ย่อหน้า 2 พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานของสามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมคางหมู “พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมคางหมู

1) คำทักทาย

2) แรงจูงใจของบทเรียน ครูตรวจสอบความพร้อมของชั้นเรียนสำหรับบทเรียน กระตุ้นให้นักเรียนกำหนดหัวข้อ

อ่านคำจำกัดความบนกระดาน (แผ่นหัวข้อ) และแทรกแนวคิดที่ต้องการ:

ขนาดของส่วนของระนาบนั้นที่ถูกครอบครองโดยรูปหลายเหลี่ยมคือ ... (พื้นที่)

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีด้านตรงข้ามขนานกันเป็นคู่ - .... (สี่เหลี่ยมด้านขนาน)

ตัวเลขที่ประกอบด้วยจุดสามจุดซึ่งไม่อยู่บนเส้นเดียวกันและมีสามส่วนที่เชื่อมต่อกันเรียกว่า .... (สามเหลี่ยม)

รูปที่ด้านทั้งสองขนานกันและอีกสองด้านไม่ขนานกัน เรียกว่า ... (สี่เหลี่ยมคางหมู)

จากคำพูดที่เกิดขึ้นให้ลองสร้างหัวข้อบทเรียนของเราวันนี้

ดังนั้น หัวข้อของบทเรียน….พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมคางหมู

พื้นที่ เราสามารถหาตัวเลขอะไรได้บ้าง และอย่างไร?

คำนวณพื้นที่ของตัวเลขในรูป

มีวิธีแก้ไขปัญหาอื่น ๆ หรือไม่?

เกิดอะไรขึ้น

มีความพยายามอะไรบ้างในการค้นหาพื้นที่?

ใครพยายามหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน? บอกฉัน.

ที่มาของสูตรสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

งาน.

จะ “วาด” สี่เหลี่ยมด้านขนานใหม่ได้อย่างไรเพื่อให้ได้สี่เหลี่ยมที่มีพื้นที่เท่ากัน

สี่เหลี่ยมด้านขนานถูกวาดใหม่เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ซึ่งหมายความว่าพื้นที่ของมันเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยม

สี่เหลี่ยมด้านขนานมีความยาวและความกว้างเป็นเท่าใด

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับผลคูณของฐานและความสูงของมัน

ในสี่เหลี่ยมด้านขนาน ฐานสามารถเป็นด้านใดก็ได้ และในการนำสูตรหาพื้นที่มาใช้จะต้องลากความสูงมาไว้ที่ฐาน

ลองคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้กัน

ที่มาของสูตรสำหรับพื้นที่สามเหลี่ยม

คุณจะวาดใหม่หรือทำให้สามเหลี่ยมสมบูรณ์ได้อย่างไร?

พื้นที่ของสามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของฐานและความสูง

เกิดอะไรขึ้นถ้าสามเหลี่ยมเป็นมุมฉาก?

ดูรูปที่.

มันสามารถ "วาดใหม่" เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าได้

และเราหาพื้นที่ของมันโดยใช้สูตร

ส =ก *ข . ความยาวของสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือครึ่งหนึ่งของขา และความกว้างคือขาอีกข้าง

พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของขา

ที่มาของสูตรหาพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู

ดูว่า Treapecia ได้รับการ "เปลี่ยนรูปร่าง" เป็นรูปสามเหลี่ยมอย่างไร และเราหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยใช้สูตร:

ฐานของรูปสามเหลี่ยมคือผลรวมของความยาวของฐานบนและฐานล่าง และความสูงของรูปสามเหลี่ยมคือความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับผลคูณของผลรวมของฐานและความสูงของผลรวมครึ่งหนึ่ง

1) ค้นหาเอส ไอน้ำ- , ถ้า ก=5, ชม. =4.

2) ค้นหาสามเหลี่ยม S , ถ้า ก=3,5; ชม. =2.

3) ค้นหาบันได S , ถ้า ก=4,5; ข = 2,5; ชม. =3.

ทำงานทดสอบให้เสร็จสิ้น (ดูภาคผนวก)

การทบทวนงานอิสระ

การแก้ปัญหาในหัวข้อใหม่:

เลขที่ 675(ก,ง), 676(ก,ข), 677(ก,ข)

สำหรับนักเรียนที่อ่อนแอและด้อยโอกาส เราได้เตรียมงานส่วนบุคคลเกี่ยวกับการ์ด ซึ่งรวมถึงงานที่มีตัวอย่างการบันทึกวิธีแก้ปัญหา

ครูเสนอให้ตอบคำถามในหัวข้อใหม่

พวกเรามาสรุปกัน!

วันนี้คุณเรียนรู้อะไรในชั้นเรียน?

คุณได้เรียนรู้อะไรบ้าง?

อะไรยากที่จะตัดสินใจ?

ครูแสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับการบ้าน

วรรค 23 หมายเลข 675(b,c), 676(c,d), 677(c,d)

ทำได้ดีมากทุกคน!

บทเรียนจบลงแล้ว ลาก่อน!

พื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิต- คุณลักษณะเชิงตัวเลขของรูปทรงเรขาคณิตที่แสดงขนาดของรูปนี้ (ส่วนหนึ่งของพื้นผิวถูกจำกัดด้วยเส้นขอบปิดของรูปนี้) ขนาดของพื้นที่แสดงด้วยจำนวนตารางหน่วยที่มีอยู่

สูตรพื้นที่สามเหลี่ยม

สูตรพื้นที่สามเหลี่ยมด้านละสูง
พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมและความยาวของระดับความสูงที่ลากมาทางด้านนี้
สูตรหาพื้นที่สามเหลี่ยมโดยพิจารณาจากด้านทั้งสามและรัศมีของเส้นรอบวงวงกลม
สูตรสำหรับพื้นที่สามเหลี่ยมโดยพิจารณาจากด้านทั้งสามและรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้
พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลคูณของกึ่งเส้นรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมและรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยม

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสคูณความยาวด้าน
พื้นที่สี่เหลี่ยมเท่ากับกำลังสองของความยาวของด้าน
สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสตามแนวยาวแนวทแยง
พื้นที่สี่เหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของความยาวของเส้นทแยงมุม
ส= 1 2
2

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน

สูตรพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานโดยพิจารณาจากความยาวและความสูงของด้าน
พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
สูตรสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานโดยพิจารณาจากด้านสองด้านและมุมระหว่างด้านทั้งสอง
พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับผลคูณของความยาวของด้านคูณด้วยไซน์ของมุมระหว่างทั้งสอง
ข บาป α

สูตรหาพื้นที่สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนโดยพิจารณาจากความยาวและความสูงของด้าน
พื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากับผลคูณของความยาวของด้านและความยาวของความสูงลดลงมาทางด้านนี้
สูตรหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนโดยพิจารณาจากความยาวด้านและมุม
พื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากับผลคูณของกำลังสองของความยาวของด้านกับไซน์ของมุมระหว่างด้านของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
สูตรหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนโดยพิจารณาจากความยาวของเส้นทแยงมุม
พื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของความยาวของเส้นทแยงมุม

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู

สูตรของนกกระสาสำหรับสี่เหลี่ยมคางหมู
โดยที่ S คือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู
- ความยาวของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู
- ความยาวของด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมู

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ทฤษฎีบท 1

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานถูกกำหนดให้เป็นผลคูณของความยาวของด้านและความสูงที่วาดลงไป

โดยที่ $a$ เป็นด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนาน $h$ คือความสูงที่ลากมาด้านนี้

การพิสูจน์.

ให้เราได้รับสี่เหลี่ยมด้านขนาน $ABCD$ โดยมี $AD=BC=a$ ให้เราวาดความสูง $DF$ และ $AE$ (รูปที่ 1)

ภาพที่ 1.

แน่นอนว่าตัวเลข $FDAE$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

\[\มุม BAE=(90)^0-\มุม A,\ \] \[\มุม CDF=\มุม D-(90)^0=(180)^0-\มุม A-(90)^0 =(90)^0-\มุม A=\มุม BAE\]

ดังนั้น เนื่องจาก $CD=AB,\ DF=AE=h$ โดยเกณฑ์ $I$ สำหรับความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม $\triangle BAE=\triangle CDF$ แล้ว

ตามทฤษฎีบทเรื่องพื้นที่สี่เหลี่ยม:

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบท 2

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานถูกกำหนดให้เป็นผลคูณของความยาวของด้านที่อยู่ติดกันคูณด้วยไซน์ของมุมระหว่างด้านเหล่านี้

ในทางคณิตศาสตร์สามารถเขียนได้ดังนี้

โดยที่ $a,\b$ เป็นด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนาน $\alpha$ คือมุมระหว่างสองด้าน

การพิสูจน์.

ให้เราได้รับสี่เหลี่ยมด้านขนาน $ABCD$ โดยมี $BC=a,\ CD=b,\ \angle C=\alpha $ ให้เราวาดความสูง $DF=h$ (รูปที่ 2)

รูปที่ 2.

ตามนิยามของไซน์ เราได้

เพราะฉะนั้น

ดังนั้นตามทฤษฎีบท $1$:

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบท 3

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมถูกกำหนดให้เป็นครึ่งหนึ่งของผลคูณของความยาวของด้านและระดับความสูงที่วาดลงไป

ในทางคณิตศาสตร์สามารถเขียนได้ดังนี้

โดยที่ $a$ เป็นด้านของสามเหลี่ยม $h$ คือความสูงที่ลากมาด้านนี้

การพิสูจน์.

รูปที่ 3.

ดังนั้นตามทฤษฎีบท $1$:

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบท 4

พื้นที่ของสามเหลี่ยมถูกกำหนดให้เป็นครึ่งหนึ่งของผลคูณของความยาวของด้านที่อยู่ติดกันและไซน์ของมุมระหว่างด้านเหล่านี้

ในทางคณิตศาสตร์สามารถเขียนได้ดังนี้

โดยที่ $a,\b$ คือด้านของสามเหลี่ยม $\alpha$ คือมุมระหว่างพวกมัน

การพิสูจน์.

เราจะได้สามเหลี่ยม $ABC$ โดยมี $AB=a$ ลองวาดความสูง $CH=h$ กัน ลองสร้างมันขึ้นมาเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน $ABCD$ (รูปที่ 3)

แน่นอน ตามเกณฑ์ $I$ สำหรับความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม $\triangle ACB=\triangle CDB$ แล้ว

ดังนั้นตามทฤษฎีบท $1$:

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู

ทฤษฎีบท 5

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูถูกกำหนดให้เป็นครึ่งหนึ่งของผลรวมของความยาวของฐานและความสูงของมัน

ในทางคณิตศาสตร์สามารถเขียนได้ดังนี้

การพิสูจน์.

ให้เราได้รับรูปสี่เหลี่ยมคางหมู $ABCK$ โดยที่ $AK=a,\ BC=b$ ให้เราวาดความสูง $BM=h$ และ $KP=h$ รวมถึงเส้นทแยงมุม $BK$ (รูปที่ 4)

รูปที่ 4.

ตามทฤษฎีบท $3$ เราได้

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

งานตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่าถ้าความยาวด้านของมันคือ $a.$

สารละลาย.

เนื่องจากสามเหลี่ยมมีด้านเท่ากันหมด มุมทั้งหมดจึงเท่ากับ $(60)^0$

จากนั้นตามทฤษฎีบท $4$ เราได้

คำตอบ:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

โปรดทราบว่าผลลัพธ์ของปัญหานี้สามารถใช้ค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีด้านที่กำหนดได้

ให้เราตกลงที่จะเรียกด้านใดด้านหนึ่งของสี่เหลี่ยมด้านขนาน พื้นฐานและเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดใดๆ บนด้านตรงข้ามกับเส้นที่มีฐานคือ ความสูงของสี่เหลี่ยมด้านขนาน.

ทฤษฎีบท

การพิสูจน์

ลองพิจารณาสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD พร้อมพื้นที่ S ลองใช้ด้าน AD เป็นฐานแล้ววาดความสูง ВН และ СК (รูปที่ 182) ให้เราพิสูจน์ว่า S = AD VN

ข้าว. 182

ก่อนอื่นให้เราพิสูจน์ว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยม ABCD เท่ากับ S เช่นกัน ABCD สี่เหลี่ยมคางหมูประกอบด้วยสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD และสามเหลี่ยม DCK ในทางกลับกัน ประกอบด้วยสี่เหลี่ยม НВСК และสามเหลี่ยม АВН แต่สามเหลี่ยมมุมฉาก DCK และ ABH เท่ากันในด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลม (ด้านตรงข้ามมุมฉาก AB และ CD เท่ากันกับด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนาน และมุม 1 และ 2 เท่ากับมุมที่สอดคล้องกันเมื่อเส้นคู่ขนาน AB และ CD ตัดกับเส้นตัด AD) พื้นที่ของมันจึงเท่ากัน

ดังนั้นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD และสี่เหลี่ยม NVSK ก็เท่ากันนั่นคือพื้นที่ของสี่เหลี่ยม NVSK เท่ากับ S โดยทฤษฎีบทเกี่ยวกับพื้นที่ของสี่เหลี่ยม S = BC BN และเนื่องจาก BC = AD จากนั้น S = AD BN ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

ด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมมักเรียกกันว่าด้านนั้น พื้นฐาน- หากเลือกฐาน คำว่า "ความสูง" หมายถึงความสูงของรูปสามเหลี่ยมที่ลากไปยังฐาน ทฤษฎีบท

การพิสูจน์

ให้ S เป็นพื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC (รูปที่ 183) ลองใช้ด้าน AB เป็นฐานของสามเหลี่ยมแล้ววาดส่วนสูง CH มาพิสูจน์กัน .

ข้าว. 183

ลองเติมสามเหลี่ยม ABC ให้เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABDC ดังแสดงในรูปที่ 183 สามเหลี่ยม ABC และ DCB เท่ากันทั้งสามด้าน (BC คือด้านร่วมของพวกมัน, AB = CD และ AC = BD เป็นด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABDC) ดังนั้นพื้นที่ของพวกมัน มีความเท่าเทียมกัน ดังนั้น พื้นที่ S ของสามเหลี่ยม ABC เท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน ABDC นั่นคือ . ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ข้อพิสูจน์ 1

ข้อพิสูจน์ 2

ขอให้เราใช้ข้อพิสูจน์ที่ 2 เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทเรื่องอัตราส่วนของพื้นที่สามเหลี่ยมที่มีมุมเท่ากัน

ทฤษฎีบท

การพิสูจน์

ให้ S และ S 1 เป็นพื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC และ A 1 B 1 C 1 โดยที่ ∠A = ∠A 1 (รูปที่ 184, a) มาพิสูจน์กัน .

ข้าว. 184

ลองวางสามเหลี่ยม A 1 B 1 C 1 ไว้บนสามเหลี่ยม ABC เพื่อให้จุดยอด A 1 อยู่ในแนวเดียวกันกับจุดยอด A และด้าน A 1 B 1 และ A 1 C 1 ซ้อนทับรังสี AB และ AC ตามลำดับ (รูปที่ 184, b) ดังนั้น รูปสามเหลี่ยม ABC และ AB 1 C มีความสูงร่วม - CH .

สามเหลี่ยม AB 1 C และ AB 1 C 1 ก็มีความสูงร่วมเช่นกัน - B 1 H 1 ดังนั้น - เมื่อคูณผลลัพธ์ที่เท่ากันเราจะพบว่า:

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู

ในการคำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมตามอำเภอใจ คุณมักจะทำสิ่งนี้: แบ่งรูปหลายเหลี่ยมออกเป็นรูปสามเหลี่ยมและค้นหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมแต่ละรูป ผลรวมของพื้นที่ของสามเหลี่ยมเหล่านี้เท่ากับพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่กำหนด (รูปที่ 185, a) เมื่อใช้เทคนิคนี้ เราจะได้สูตรในการคำนวณพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู ให้เราตกลงที่จะเรียกความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูว่าตั้งฉากจากจุดใดๆ ของฐานใดฐานหนึ่งไปยังเส้นที่มีฐานอีกฐานหนึ่ง ในรูปที่ 185, b, ส่วน BH (รวมถึงส่วน DH 1) คือความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู ABCD

ข้าว. 185

ทฤษฎีบท

การพิสูจน์

พิจารณารูปทรงสี่เหลี่ยมคางหมู ABCD ที่มีฐาน AD และ BC ส่วนสูง BH และพื้นที่ S (ดูรูปที่ 185, b)

มาพิสูจน์กัน

เส้นทแยงมุม BD แบ่งสี่เหลี่ยมคางหมูออกเป็นสามเหลี่ยมสองอันคือ ABD และ BCD ดังนั้น S = S ABD + S BCD

ขอให้เราใช้ส่วนของ AD และ ВН เป็นฐานและความสูงของสามเหลี่ยม ABD และแบ่ง ВС และ DH 1 เป็นฐานและความสูงของสามเหลี่ยม BCD แล้ว

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

งาน

459. ให้ a เป็นฐาน, h คือความสูง, และ S คือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ค้นหา: a) S ถ้า a = 15 cm, h = 12 cm; b) a ถ้า S = 34 ซม. 2, h = 8.5 ซม. c) a ถ้า S = 162 ซม. 2, h = 1/2a; d) h ถ้า h = 3a, S = 27

460. เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับ 13 ซม. ตั้งฉากกับด้านข้างของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับ 12 ซม. จงหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

461 ด้านประชิดของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ 12 ซม. และ 14 ซม. และมุมแหลมคือ 30° หาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

462 ด้านของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนยาว 6 ซม. และมุมหนึ่งคือ 150° หาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

463 ด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ 8.1 ซม. และเส้นทแยงมุมเท่ากับ 14 ซม. มีมุม 30° หาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

464. ให้ a และ b เป็นด้านประชิดของสี่เหลี่ยมด้านขนาน, S พื้นที่, a h 1 และ h 2 ความสูง ค้นหา: a) h 2 ถ้า a = 18 cm, b = 30 cm, h 1 = 6 cm, h 2 > h 1 ; b) h 1 ถ้า a = 10 ซม. 6 = 15 ซม. h 2 = 6 ซม. h 2 > h 1 c) h 1 และ h 2 ถ้า S = 54 ซม. 2 a = 4.5 ซม. b = 6 ซม.

465 มุมแหลมของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ 30° และความสูงที่ลากจากจุดยอดของมุมป้านคือ 2 ซม. และ 3 ซม. จงหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

466 เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับด้านของมัน ค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานถ้าด้านที่ยาวที่สุดของมันคือ 15.2 ซม. และมุมหนึ่งของมันคือ 45°

467 สี่เหลี่ยมจัตุรัสและสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่ไม่ใช่สี่เหลี่ยมจัตุรัสจะมีเส้นรอบวงเท่ากัน เปรียบเทียบพื้นที่ของตัวเลขเหล่านี้

468 ให้ a เป็นฐาน h คือความสูง และ S คือพื้นที่ของสามเหลี่ยม ค้นหา: a) S ถ้า a = 7 ซม. h = 11 ซม. b) S ถ้า a = 2√3 cm, h = 5 cm; c) h ถ้า S = 37.8 ซม. 2, a - 14 ซม. d) a ถ้า S = 12 ซม. 2, h = 3√2 ซม.

469 ด้าน AB และ BC ของสามเหลี่ยม ABC เท่ากับ 16 ซม. และ 22 ซม. ตามลำดับ และความสูงที่ลากไปทางด้าน AB เท่ากับ 11 ซม. จงหาความสูงที่ลากไปทางด้าน BC

470. ด้านสองด้านของสามเหลี่ยมมีค่าเท่ากับ 7.5 ซม. และ 3.2 ซม. ความสูงที่ลากไปยังด้านที่ใหญ่กว่าคือ 2.4 ซม. จงหาความสูงที่ลากไปยังด้านที่เล็กกว่าของด้านเหล่านี้

471. D ค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากหากขาของมันเท่ากัน: ก) 4 ซม. และ 11 ซม.; b) 1.2 เดซิเมตร และ 3 เดซิเมตร

472 พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากคือ 168 ซม. 2 หาขาของมันถ้าอัตราส่วนของความยาวคือ 7/12

473 ผ่านจุดยอด C ของสามเหลี่ยม ABC เส้นตรง m จะถูกลากขนานกับด้าน AB พิสูจน์ว่าสามเหลี่ยมทุกรูปที่มีจุดยอดบนเส้น m และฐาน AB มีพื้นที่เท่ากัน

474. เปรียบเทียบพื้นที่ของสามเหลี่ยมสองรูปโดยหารสามเหลี่ยมที่กำหนดด้วยค่ามัธยฐาน

475. วาดรูปสามเหลี่ยม ABC ลากเส้นตรงสองเส้นผ่านจุดยอด A เพื่อแบ่งสามเหลี่ยมนี้ออกเป็นสามเหลี่ยมสามอันโดยมีพื้นที่เท่ากัน

476. พิสูจน์ว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากับครึ่งหนึ่งผลคูณของเส้นทแยงมุม คำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนถ้าเส้นทแยงมุมเท่ากับ: ก) 3.2 dm และ 14 ซม. ข) 4.6 เดซิเมตร และ 2 เดซิเมตร

477. ค้นหาเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนหากหนึ่งในนั้นใหญ่กว่าอีกอัน 1.5 เท่า และพื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือ 27 ซม. 2

478 ในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนูน เส้นทแยงมุมจะตั้งฉากกัน พิสูจน์ว่าพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของเส้นทแยงมุม

479 จุด D และ E อยู่บนด้าน AB และ AC ของสามเหลี่ยม ABC ค้นหา: a) S ADE ถ้า AB = 5 ซม., AC = 6 ซม., AD = 3 ซม., AE = 2 ซม., S ABC = 10 ซม. 2 ; b) AD ถ้า AB = 8 ซม. AC = 3 ซม. AE = 2 ซม. S ABC = 10 ซม. 2 S ADE = 2 ซม. 2

480. จงหาพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู ABCD ด้วยฐาน AB และ CD ถ้า:

ก) AB = 21 ซม., CD = 17 ซม. ความสูง BH คือ 7 ซม.
b) ∠D = 30°, AB = 2 ซม., CD = 10 ซม., DA = 8 ซม.
c) BC ⊥ AB, AB = 5 ซม., BC = 8 ซม., CD = 13 ซม.

481. จงหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยมซึ่งมีด้านเล็กสองด้านยาว 6 ซม. และมุมที่ใหญ่กว่าคือ 135°

482 มุมป้านของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วคือ 135° และระดับความสูงที่ดึงมาจากจุดยอดของมุมนี้จะแบ่งฐานที่ใหญ่กว่าออกเป็นส่วนๆ 1.4 ซม. และ 3.4 ซม. ค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู

คำตอบสำหรับปัญหา

459. ก) 180 ซม. 2; ข) 4 ซม. ค) 18 ซม. ง) 9.

460. 156 ซม. 2.

461.84 ซม.2.

462. 18 ซม. 2.

463.56.7 ซม.2.

464. ก) 10 ซม. ข) 4 ซม. ค) 12 ซม. และ 9 ซม.

465. 12 ซม. 2.

466. 115.52 ซม. 2.

467 พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสนั้นใหญ่กว่า

468. ก) 38.5 ซม. 2; ข) 5√3 ซม. 2; ค) ง) 4√2 ซม.

470.5.625 ซม.

471. ก) 22 ซม. 2; ข) 1.8 ดีเอ็ม 2.

472. 14 ซม. และ 24 ซม.

473. คำสั่งสอน ใช้ทฤษฎีบท 38

474 พื้นที่ของสามเหลี่ยมเท่ากัน

475. คำสั่งสอน ขั้นแรก แบ่งด้าน BC ออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กัน

476. ก) 224 ซม. 2; ข) 4.6 ดีเอ็ม 2. บันทึก. โปรดทราบว่าเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนั้นตั้งฉากกัน

477. 6 ซม. และ 9 ซม.

479. ก) 2 ซม. 2; b) คำแนะนำ 2.4 ซม. ใช้ทฤษฎีบทที่สองของย่อหน้า 53

480. ก) 133 ซม. 2; ข) 24 ซม. 2; ค) 72 ซม. 2

481.54 ซม.2.

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ทฤษฎีบท 1

โดยที่ $a$ เป็นด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนาน $h$ คือความสูงที่ลากมาด้านนี้

การพิสูจน์.

ภาพที่ 1.

แน่นอนว่าตัวเลข $FDAE$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

\[\มุม BAE=(90)^0-\มุม A,\ \] \[\มุม CDF=\มุม D-(90)^0=(180)^0-\มุม A-(90)^0 =(90)^0-\มุม A=\มุม BAE\]

ตามทฤษฎีบทเรื่องพื้นที่สี่เหลี่ยม:

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบท 2

ในทางคณิตศาสตร์สามารถเขียนได้ดังนี้

โดยที่ $a,\b$ เป็นด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนาน $\alpha$ คือมุมระหว่างสองด้าน

การพิสูจน์.

รูปที่ 2.

ตามนิยามของไซน์ เราได้

เพราะฉะนั้น

ดังนั้นตามทฤษฎีบท $1$:

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบท 3

ในทางคณิตศาสตร์สามารถเขียนได้ดังนี้

โดยที่ $a$ เป็นด้านของสามเหลี่ยม $h$ คือความสูงที่ลากมาด้านนี้

การพิสูจน์.

รูปที่ 3.

ดังนั้นตามทฤษฎีบท $1$:

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบท 4

ในทางคณิตศาสตร์สามารถเขียนได้ดังนี้

โดยที่ $a,\b$ คือด้านของสามเหลี่ยม $\alpha$ คือมุมระหว่างพวกมัน

การพิสูจน์.

ดังนั้นตามทฤษฎีบท $1$:

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู

ทฤษฎีบท 5

ในทางคณิตศาสตร์สามารถเขียนได้ดังนี้

การพิสูจน์.

รูปที่ 4.

ตามทฤษฎีบท $3$ เราได้

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

งานตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่าถ้าความยาวด้านของมันคือ $a.$

สารละลาย.

เนื่องจากสามเหลี่ยมมีด้านเท่ากันหมด มุมทั้งหมดจึงเท่ากับ $(60)^0$

จากนั้นตามทฤษฎีบท $4$ เราได้

คำตอบ:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

ส=	1	2
	2