స్ఫటికాల సమరూపత చట్టం. "స్ఫటికాల సమరూపత" అనే అంశంపై శాస్త్రీయ పని

స్ఫటికాల సమరూపత- భ్రమణాలు, ప్రతిబింబాలు, సమాంతర బదిలీలు లేదా ఈ కార్యకలాపాల యొక్క భాగం లేదా కలయిక సమయంలో స్ఫటికాల యొక్క ఆస్తి తమను తాము కలపడం. ext. క్రిస్టల్ యొక్క ఆకృతి (కట్) దాని పరమాణు నిర్మాణం యొక్క సమరూపత ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది మరియు అంచులు భౌతిక నిర్మాణం యొక్క సమరూపతను కూడా నిర్ణయిస్తాయి. క్రిస్టల్ యొక్క లక్షణాలు.

అన్నం. 1. a - క్వార్ట్జ్ క్రిస్టల్; 3 - 3 వ ఆర్డర్ యొక్క సమరూపత యొక్క అక్షం, - 2 వ ఆర్డర్ యొక్క అక్షాలు; బి - సజల సోడియం మెటాసిలికేట్ యొక్క క్రిస్టల్; m - సమరూపత యొక్క విమానం.

అంజీర్లో. 1 ఎఒక క్వార్ట్జ్ క్రిస్టల్ వర్ణించబడింది. Ext. దాని ఆకారాన్ని అక్షం 3 చుట్టూ 120° తిప్పడం ద్వారా దానితో సమానంగా అమర్చవచ్చు (అనుకూల సమానత్వం). సోడియం మెటాసిలికేట్ క్రిస్టల్ (Fig. 1, బి) సమరూపత m (అద్దం సమానత్వం) సమతలంలో ప్రతిబింబించడం ద్వారా దానిలోకి రూపాంతరం చెందుతుంది. ఉంటే - ఒక వస్తువును వివరించే ఫంక్షన్, ఉదా. త్రిమితీయ స్థలంలో క్రిస్టల్ ఆకారం లేదా k--l. దాని ఆస్తి, మరియు ఆపరేషన్ వస్తువు యొక్క అన్ని పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌లను మారుస్తుంది gఒక ఆపరేషన్, లేదా సమరూప పరివర్తన, మరియు క్రింది షరతులు నెరవేరినట్లయితే F అనేది సుష్ట వస్తువు:

గరిష్టంగా. సాధారణ సూత్రీకరణలో, సమరూపత అనేది వస్తువులు మరియు చట్టాల యొక్క మార్పులేని (అస్థిరత) వాటిని వివరించే వేరియబుల్స్ యొక్క నిర్దిష్ట పరివర్తనల క్రింద ఉంటుంది. స్ఫటికాలు త్రిమితీయ స్థలంలో వస్తువులు, కాబట్టి క్లాసిక్. SK యొక్క సిద్ధాంతం అనేది త్రిమితీయ స్థలం యొక్క సుష్ట పరివర్తనల సిద్ధాంతం, అంతర్గత వాస్తవాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటుంది. స్ఫటికాల పరమాణు నిర్మాణం వివిక్త, త్రిమితీయ ఆవర్తన. సమరూప పరివర్తనల సమయంలో, స్థలం వైకల్యం చెందదు, కానీ దృఢమైన మొత్తంగా రూపాంతరం చెందుతుంది. ఇటువంటి పరివర్తనాలు గాడిలో ఉంటాయి. ఆర్తోగోనల్ లేదా ఐసోమెట్రిక్ మరియు. సమరూప పరివర్తన తరువాత, ఒక చోట ఉన్న వస్తువు యొక్క భాగాలు మరొక ప్రదేశంలో ఉన్న భాగాలతో సమానంగా ఉంటాయి. దీనర్థం సుష్ట వస్తువు సమాన భాగాలను కలిగి ఉంటుంది (అనుకూలమైనది లేదా ప్రతిబింబిస్తుంది).

SK నిజమైన త్రిమితీయ ప్రదేశంలో వాటి నిర్మాణం మరియు లక్షణాలలో మాత్రమే కాకుండా, శక్తి వర్ణనలో కూడా వ్యక్తమవుతుంది. క్రిస్టల్ యొక్క ఎలక్ట్రాన్ స్పెక్ట్రం (చూడండి జోన్ సిద్ధాంతం), ప్రక్రియలను విశ్లేషించేటప్పుడు ఎక్స్-రే డిఫ్రాక్షన్, న్యూట్రాన్ డిఫ్రాక్షన్మరియు ఎలక్ట్రాన్ డిఫ్రాక్షన్పరస్పర స్థలాన్ని ఉపయోగించి స్ఫటికాలలో (చూడండి రివర్స్ లాటిస్) మరియు అందువలన న.

స్ఫటికాల సమరూప సమూహాలు. ఒక క్రిస్టల్ ఒకటి కంటే ఎక్కువ లక్షణాలను కలిగి ఉండవచ్చు. . అందువలన, ఒక క్వార్ట్జ్ క్రిస్టల్ (Fig. 1, ఎ)దాని అక్షం చుట్టూ 120° తిప్పినప్పుడు మాత్రమే దానితో కలిపి ఉంటుంది 3 (ఆపరేషన్ జి), కానీ అక్షం చుట్టూ తిరిగేటప్పుడు కూడా 3 240° వద్ద (ఆపరేషన్ g 2), &అక్షాల చుట్టూ 180° తిరిగేటప్పుడు కూడా 2 X, 2 y, 2 W(ఆపరేషన్లు g 3, g 4, g 5) ప్రతి సమరూప ఆపరేషన్ ఒక సమరూప మూలకంతో అనుబంధించబడుతుంది - ఒక సరళ రేఖ, ఒక విమానం లేదా ఒక పాయింట్, ఇచ్చిన ఆపరేషన్ నిర్వహించబడే దానికి సంబంధించి. ఉదా. అక్షం 3 లేదా గొడ్డలి 2 x, 2 y, 2 wసమరూపత యొక్క అక్షాలు, విమానం టి(Fig. 1,b) - అద్దం సమరూపత యొక్క విమానం, మొదలైనవి. సమరూప చర్యల సమితి (g 1 , g 2 , ..., g n )ఇచ్చిన క్రిస్టల్ గణిత శాస్త్రంలో సమరూప సమూహాన్ని ఏర్పరుస్తుంది. సిద్ధాంతాలు సమూహాలు. స్థిరమైన రెండు సమరూప ఆపరేషన్లు చేయడం కూడా ఒక సమరూప ఆపరేషన్. సమూహ సిద్ధాంతంలో ఇది కార్యకలాపాల ఉత్పత్తిగా సూచించబడుతుంది: ఎల్లప్పుడూ గుర్తింపు ఆపరేషన్ ఉంటుంది g 0, ఇది క్రిస్టల్‌లో దేనినీ మార్చదు, అంటారు. గుర్తింపు, ఇది జ్యామితీయంగా ఏదైనా అక్షం చుట్టూ 360° ద్వారా ఒక వస్తువు యొక్క అస్థిరతకు లేదా దాని భ్రమణానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది. G గ్రూప్‌ని రూపొందించే కార్యకలాపాల సంఖ్యను అంటారు. సమూహ క్రమం.

అంతరిక్ష పరివర్తనల సమరూప సమూహాలు వర్గీకరించబడ్డాయి: సంఖ్య ద్వారా పిఅవి నిర్వచించబడిన స్థలం యొక్క కొలతలు; సంఖ్య ద్వారా టిస్థలం యొక్క కొలతలు, దీనిలో వస్తువు కాలానుగుణంగా ఉంటుంది (అవి తదనుగుణంగా నియమించబడతాయి), మరియు కొన్ని ఇతర లక్షణాల ప్రకారం. స్ఫటికాలను వివరించడానికి, వివిధ సమరూప సమూహాలు ఉపయోగించబడతాయి, వీటిలో ముఖ్యమైనవి బాహ్య రూపాన్ని వివరించే పాయింట్ సమరూప సమూహాలు. క్రిస్టల్ ఆకారం; వాళ్ళ పేర్లు క్రిస్టల్లాగ్రాఫిక్ కూడా. తరగతులు; స్ఫటికాల పరమాణు నిర్మాణాన్ని వివరించే అంతరిక్ష సమరూప సమూహాలు.

పాయింట్ సమరూప సమూహాలు. పాయింట్ సమరూపత కార్యకలాపాలు: ఆర్డర్ యొక్క సమరూపత అక్షం చుట్టూ భ్రమణాలు ఎన్సమానమైన కోణంలో 360°/N(Fig. 2, a); సమరూపత యొక్క విమానంలో ప్రతిబింబం టి(అద్దం ప్రతిబింబం, Fig. 2, బి);విలోమం (ఒక పాయింట్ గురించి సమరూపత, Fig. 2, c); విలోమ మలుపులు (ఒక కోణంలో తిరగడం కలయిక 360°/N సెఅదే సమయంలో విలోమం, Fig. 2, డి). విలోమ భ్రమణాలకు బదులుగా, సమానమైన అద్దం భ్రమణాలు కొన్నిసార్లు పరిగణించబడతాయి.పాయింట్ సమరూపత కార్యకలాపాల యొక్క జ్యామితీయ సాధ్యం కలయికలు ఒకటి లేదా మరొక పాయింట్ సమరూపత సమూహాన్ని నిర్ణయిస్తాయి, ఇది సాధారణంగా స్టీరియోగ్రాఫిక్ రూపంలో చిత్రీకరించబడుతుంది. అంచనాలు. పాయింట్ సిమెట్రీ పరివర్తనల సమయంలో, వస్తువు యొక్క కనీసం ఒక బిందువు కదలకుండా ఉంటుంది - అది స్వయంగా రూపాంతరం చెందుతుంది. సమరూపత యొక్క అన్ని అంశాలు దానిలో కలుస్తాయి మరియు ఇది స్టీరియోగ్రాఫిక్ యొక్క కేంద్రం. అంచనాలు. వివిధ పాయింట్ సమూహాలకు చెందిన స్ఫటికాల ఉదాహరణలు అంజీర్‌లో ఇవ్వబడ్డాయి. 3.

అన్నం. 2. సమరూప కార్యకలాపాలకు ఉదాహరణలు: a - భ్రమణం; బి - ప్రతిబింబం; సి - విలోమం; d - 4వ ఆర్డర్ విలోమ భ్రమణం; d - 4 వ ఆర్డర్ హెలికల్ రొటేషన్; ఇ - స్లైడింగ్ ప్రతిబింబం.

అన్నం. 3. వివిధ పాయింట్ గ్రూపులకు చెందిన స్ఫటికాల ఉదాహరణలు (స్ఫటికాకార తరగతులు): a - తరగతి m నుండి (సమరూపత యొక్క ఒక విమానం); బి - తరగతికి (సమరూపత కేంద్రం లేదా విలోమ కేంద్రం); a - 2వ తరగతికి (2వ ఆర్డర్ యొక్క సమరూపత యొక్క ఒక అక్షం); g - తరగతికి (6వ క్రమం యొక్క ఒక విలోమ-భ్రమణం అక్షం).

పాయింట్ సమరూప పరివర్తనలు సరళ సమీకరణాల ద్వారా వివరించబడింది

లేదా గుణకం మాతృక

ఉదాహరణకు, అక్షం చుట్టూ తిరిగేటప్పుడు x 1కోణంలో - =360°/N మాతృక డిరూపం ఉంది:

మరియు ఒక విమానంలో ప్రతిబింబించినప్పుడు x 1 x 2 డిరూపం ఉంది:

పాయింట్ గ్రూపుల సంఖ్య అనంతం. అయితే, స్ఫటికాలలో, స్ఫటికాకార కణాల ఉనికి కారణంగా. లాటిస్‌లు, ఆపరేషన్‌లు మాత్రమే మరియు తదనుగుణంగా, 6వ ఆర్డర్ వరకు సమరూప అక్షాలు సాధ్యమే (5వది మినహా; ఒక క్రిస్టల్ లాటిస్‌లో 5వ క్రమం యొక్క సమరూప అక్షం ఉండకూడదు, ఎందుకంటే పెంటగోనల్ బొమ్మలను ఉపయోగించడం వల్ల ఖాళీలు లేకుండా ఖాళీని పూరించడం అసాధ్యం. ) పాయింట్ సమరూపత యొక్క కార్యకలాపాలు మరియు సంబంధిత సమరూప మూలకాలు చిహ్నాల ద్వారా సూచించబడతాయి: అక్షాలు 1, 2, 3, 4, 6, విలోమ అక్షాలు (సమరూపత కేంద్రం లేదా విలోమ కేంద్రం), (సమరూపత సమతలం అని కూడా పిలుస్తారు), ( అత్తి 4).

అన్నం. 4. పాయింట్ సమరూపత యొక్క మూలకాల యొక్క గ్రాఫిక్ హోదాలు: a - సర్కిల్ - సమరూపత యొక్క కేంద్రం, సమరూపత యొక్క అక్షాలు, డ్రాయింగ్ యొక్క విమానానికి లంబంగా; బి - అక్షం 2, డ్రాయింగ్ విమానం సమాంతరంగా; c - సమరూపత యొక్క అక్షాలు, డ్రాయింగ్ ప్లేన్‌కు సమాంతరంగా లేదా వాలుగా ఉంటాయి; g - సమరూపత యొక్క విమానం, డ్రాయింగ్ యొక్క విమానానికి లంబంగా; d - డ్రాయింగ్ ప్లేన్‌కు సమాంతరంగా సమరూపత యొక్క విమానాలు.

పాయింట్ సమరూప సమూహాన్ని వివరించడానికి, ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ పేర్కొనడానికి సరిపోతుంది. సమరూప కార్యకలాపాలు దానిని ఉత్పత్తి చేస్తాయి, దాని మిగిలిన కార్యకలాపాలు (ఏదైనా ఉంటే) ఉత్పత్తి చేసే వాటి పరస్పర చర్య ఫలితంగా ఉత్పన్నమవుతాయి. ఉదాహరణకు, క్వార్ట్జ్ కోసం (Fig. 1, a) ఉత్పాదక కార్యకలాపాలు 3 మరియు ఆపరేషన్లలో ఒకటి 2, మరియు ఈ సమూహంలో మొత్తం 6 కార్యకలాపాలు ఉన్నాయి. సమూహాల యొక్క అంతర్జాతీయ హోదాలు సమరూపత యొక్క ఉత్పాదక కార్యకలాపాల చిహ్నాలను కలిగి ఉంటాయి. పాయింట్ సమూహాలు యూనిట్ సెల్ ఆకారం యొక్క పాయింట్ సమరూపత ప్రకారం ఏకం చేయబడతాయి (పీరియడ్‌లతో a, బి, ఎస్మరియు కోణాలు) 7 వ్యవస్థలుగా (టేబుల్ 1).

Ch మినహా ఉన్న సమూహాలు. అక్షతలు ఎన్సమరూపత యొక్క విమానాలు టి, గా సూచించబడతాయి N/m, ఉంటే లేదా Nm, అక్షం విమానంలో ఉంటే టి. Ch తో పాటు సమూహం అయితే. అనేక ఇరుసులను కలిగి ఉంటుంది. సమరూపత యొక్క విమానాలు దాని గుండా వెళతాయి, అప్పుడు అది సూచించబడుతుంది Nmm.

పట్టిక 1.- క్రిస్టల్ సమరూపత యొక్క పాయింట్ సమూహాలు (తరగతులు).

భ్రమణాలను మాత్రమే కలిగి ఉన్న సమూహాలు అనుకూల సమాన భాగాలు (1వ రకమైన సమూహాలు) మాత్రమే కలిగి ఉండే స్ఫటికాలను వివరిస్తాయి. ప్రతిబింబాలు లేదా విలోమ భ్రమణాలను కలిగి ఉన్న సమూహాలు అద్దం లాంటి భాగాలను (2వ రకమైన సమూహాలు) కలిగి ఉన్న స్ఫటికాలను వివరిస్తాయి. 1వ రకమైన సమూహాలచే వివరించబడిన స్ఫటికాలు రెండు ఎన్యాంటియోమోర్ఫిక్ రూపాల్లో ("కుడి" మరియు "ఎడమ", వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి 2వ రకమైన సమరూప అంశాలను కలిగి ఉండవు), కానీ ఒకదానికొకటి అద్దంలా ఉంటాయి (చూడండి. ఎన్యాంటియోమార్ఫిజం).

SK యొక్క సమూహాలు జియోమ్‌ను కలిగి ఉంటాయి. అర్థం: ప్రతి ఆపరేషన్, ఉదాహరణకు, సమరూపత యొక్క అక్షం చుట్టూ భ్రమణానికి, విమానంలో ప్రతిబింబానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది. సమూహ సిద్ధాంతం యొక్క అర్థంలో కొన్ని పాయింట్ సమూహాలు, ఇచ్చిన సమూహంలోని కార్యకలాపాల పరస్పర చర్యల నియమాలను మాత్రమే పరిగణనలోకి తీసుకుంటాయి (కానీ వాటి రేఖాగణిత అర్థం కాదు), ఒకదానికొకటి ఒకేలా లేదా ఐసోమార్ఫిక్‌గా మారుతుంది. ఇవి, ఉదాహరణకు, సమూహాలు 4 మరియు tt2, 222. మొత్తంగా S. k యొక్క 32 పాయింట్ల సమూహాలలో ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ ఐసోమోర్ఫిక్ 18 నైరూప్య సమూహాలు ఉన్నాయి.

సమూహాలను పరిమితం చేయండి. దిశపై క్రిస్టల్ యొక్క వివిధ లక్షణాల ఆధారపడటాన్ని వివరించే విధులు నిర్దిష్ట పాయింట్ సమరూపతను కలిగి ఉంటాయి, ఇది క్రిస్టల్ ముఖభాగం యొక్క సమరూప సమూహంతో ప్రత్యేకంగా అనుబంధించబడుతుంది. ఇది దానితో సమానంగా ఉంటుంది లేదా సమరూపతలో దాని కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది ( న్యూమాన్ సూత్రం).

మాక్రోస్కోపిక్ గురించి లక్షణాలు, ఒక క్రిస్టల్ ఒక సజాతీయ నిరంతర మాధ్యమంగా వర్ణించవచ్చు. అందువల్ల, ఒకటి లేదా మరొక పాయింట్ సమరూప సమూహానికి చెందిన స్ఫటికాల యొక్క అనేక లక్షణాలు అని పిలవబడేవి వివరించబడ్డాయి. అనంతమైన క్రమం యొక్క సమరూప అక్షాలను కలిగి ఉన్న పరిమితి పాయింట్ సమూహాలు, చిహ్నం ద్వారా సూచించబడతాయి. అక్షం యొక్క ఉనికి అంటే ఏదైనా కోణం ద్వారా తిప్పబడినప్పుడు వస్తువు దానితో సమలేఖనం చేయబడిందని అర్థం, అనంతమైన దానితో సహా. అటువంటి 7 సమూహాలు ఉన్నాయి (Fig. 5). అందువలన, మొత్తంగా స్ఫటికాల లక్షణాల సమరూపతను వివరించే 32 + 7 = 39 పాయింట్ల సమూహాలు ఉన్నాయి. స్ఫటికాల సమరూప సమూహాన్ని తెలుసుకోవడం, దానిలో కొన్ని భౌతిక లక్షణాల ఉనికి లేదా లేకపోవడం యొక్క అవకాశాన్ని సూచించవచ్చు. లక్షణాలు (చూడండి క్రిస్టల్ ఫిజిక్స్).

అన్నం. 5. 32 స్ఫటికాకార మరియు 2 ఐకోసాహెడ్రల్ సమూహాల స్టీరియోగ్రాఫిక్ అంచనాలు. సమూహాలు కుటుంబం ద్వారా నిలువు వరుసలలో అమర్చబడి ఉంటాయి, వీటిలో చిహ్నాలు ఎగువ వరుసలో ఇవ్వబడ్డాయి. దిగువ వరుస ప్రతి కుటుంబం యొక్క పరిమితి సమూహాన్ని చూపుతుంది మరియు పరిమితి సమూహాన్ని వివరించే బొమ్మలను చూపుతుంది.

అంతరిక్ష సమరూప సమూహాలు. స్ఫటికాల పరమాణు నిర్మాణం యొక్క ప్రాదేశిక సమరూపత అంతరిక్ష సమరూప సమూహాలచే వివరించబడింది. వాళ్ళు పిలువబడ్డారు 1890లో వారిని కనుగొన్న E. S. ఫెడోరోవ్ గౌరవార్థం కూడా ఫెడోరోవ్స్కీ; ఈ సమూహాలు స్వతంత్రంగా అదే సంవత్సరంలో A. Schoenflies చే అభివృద్ధి చేయబడ్డాయి. పాయింట్ సమూహాలకు విరుద్ధంగా, ఇది స్ఫటికాకార రూపాల చట్టాల సాధారణీకరణగా పొందబడింది. పాలిహెడ్రా (S.I. గెస్సెల్, 1830, A.V. గాడోలిన్, 1867), అంతరిక్ష సమూహాలు గణిత భూగర్భ శాస్త్రం యొక్క ఉత్పత్తి. ప్రయోగాన్ని ఊహించిన సిద్ధాంతం. ఎక్స్-రే డిఫ్రాక్షన్ ఉపయోగించి క్రిస్టల్ నిర్మాణాన్ని నిర్ణయించడం. కిరణాలు.

స్ఫటికాల యొక్క పరమాణు నిర్మాణం యొక్క కార్యకలాపాల లక్షణం 3 నాన్-కోప్లానార్ అనువాదాలు a, b, c, ఇవి స్ఫటికాకార త్రిమితీయ ఆవర్తనాన్ని నిర్ణయిస్తాయి. గ్రేట్స్. క్రిస్టాలిక్. లాటిస్ మూడు కోణాలలో అనంతంగా పరిగణించబడుతుంది. అటువంటి గణితం. గమనించిన స్ఫటికాలలో ప్రాథమిక కణాల సంఖ్య చాలా పెద్దది కనుక ఉజ్జాయింపు వాస్తవికమైనది. నిర్మాణాన్ని వెక్టర్‌లకు బదిలీ చేయడం ఎ, బి, సిలేదా ఏదైనా వెక్టర్ ఎక్కడ p 1, p 2, p 3- ఏదైనా పూర్ణాంకాలు, స్ఫటికం యొక్క నిర్మాణాన్ని దానితో మిళితం చేస్తాయి మరియు అందువల్ల, ఇది సమరూప ఆపరేషన్ (అనువాద సమరూపత).

ఫిజి. స్ఫటికాకార విచక్షణ ఒక పదార్ధం దాని పరమాణు నిర్మాణంలో వ్యక్తీకరించబడుతుంది. అంతరిక్ష సమూహాలు అంటే త్రిమితీయ సజాతీయ వివిక్త స్థలంలో తమలో తాము పరివర్తన చెందే సమూహాలు. విచక్షణ అనేది అటువంటి స్థలం యొక్క అన్ని పాయింట్లు ఒకదానికొకటి సుష్టంగా సమానంగా ఉండవు, ఉదాహరణకు. ఒక రకమైన పరమాణువు మరియు మరొక రకమైన అణువు, న్యూక్లియస్ మరియు ఎలక్ట్రాన్లు. సజాతీయత మరియు విచక్షణ యొక్క పరిస్థితులు అంతరిక్ష సమూహాలు త్రిమితీయ క్రమానుగతంగా ఉంటాయి, అనగా, ఏదైనా సమూహం అనువాదాల ఉప సమూహాన్ని కలిగి ఉంటుంది అనే వాస్తవం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. టి- స్ఫటికాకార కిటికీలకు అమర్చే ఇనుప చట్రం.

సమూహాలలో లాటిస్‌లో అనువాదాలు మరియు పాయింట్ సిమెట్రీ కార్యకలాపాలను కలిపే అవకాశం కారణంగా, పాయింట్ సిమెట్రీ కార్యకలాపాలతో పాటు, కార్యకలాపాలు మరియు సంబంధిత అనువాద సమరూప అంశాలు తలెత్తుతాయి. భాగం - వివిధ ఆర్డర్‌ల హెలికల్ అక్షాలు మరియు స్లైడింగ్ రిఫ్లెక్షన్ యొక్క విమానాలు (Fig. 2, d, f).

యూనిట్ సెల్ (ప్రాథమిక సమాంతర పైప్డ్) ఆకారం యొక్క పాయింట్ సమరూపతకు అనుగుణంగా, పాయింట్ గ్రూపుల వలె స్పేస్ సమూహాలు 7 క్రిస్టల్లాగ్రాఫిక్‌గా విభజించబడ్డాయి. సింగోనీ(టేబుల్ 2). వారి తదుపరి విభజన ప్రసారానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది. సమూహాలు మరియు వాటి సంబంధిత బార్లకు కుడివైపు. 14 బ్రావైస్ లాటిస్‌లు ఉన్నాయి, వాటిలో 7 సంబంధిత వ్యవస్థల యొక్క ఆదిమ లాటిస్‌లు, అవి నియమించబడ్డాయి ఆర్(రాంబోహెడ్రల్ తప్ప R). ఇతరులు - 7 కేంద్రీకృతం. గ్రేటింగ్స్: బేస్ (వైపు) - కేంద్రీకృతమై ఎ(ముఖం కేంద్రీకృతమై ఉంది బిసి), బి(అంచు ac), C (ab);శరీర-కేంద్రీకృత I, ముఖం-కేంద్రీకృతం (మొత్తం 3 ముఖాలపై) ఎఫ్. అనువాద ఆపరేషన్ కోసం కేంద్రీకరణను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం tకేంద్రానికి సంబంధించిన కేంద్రీకరణ బదిలీలు జోడించబడతాయి టి సి. మీరు ఈ కార్యకలాపాలను ఒకదానితో ఒకటి కలిపితే t + t లుమరియు సంబంధిత వ్యవస్థ యొక్క పాయింట్ సమూహాల కార్యకలాపాలతో, అప్పుడు 73 స్పేస్ సమూహాలు పొందబడతాయి, అంటారు. సమరూపమైన.

పట్టిక 2.-స్పేస్ సమరూప సమూహాలు

కొన్ని నియమాల ఆధారంగా, నాన్-ట్రివియల్ సబ్గ్రూప్‌లను సింమార్ఫిక్ స్పేస్ గ్రూపుల నుండి సంగ్రహించవచ్చు, ఇది మరో 157 నాన్-సిమ్మోర్ఫిక్ స్పేస్ గ్రూపులను ఇస్తుంది. మొత్తం 230 స్పేస్ గ్రూపులు ఉన్నాయి. ఒక బిందువును మార్చేటప్పుడు సమరూప చర్యలు Xదానికి సమరూపంగా సమానంగా (అందువలన మొత్తం స్థలం దానిలోకి) రూపంలో వ్రాయబడింది: , ఎక్కడ డి- పాయింట్ రూపాంతరాలు, - హెలికల్ బదిలీ లేదా స్లైడింగ్ ప్రతిబింబం యొక్క భాగాలు, - అనువాద కార్యకలాపాలు. బ్రావైస్ సమూహం. హెలికల్ సమరూపత యొక్క ఆపరేషన్లు మరియు సమరూపత యొక్క సంబంధిత అంశాలు - హెలికల్ అక్షాలు ఒక కోణాన్ని కలిగి ఉంటాయి. భాగం (N = 2, 3, 4, 6) మరియు అనువాదం t s = tq/N, ఎక్కడ t- లాటిస్ యొక్క అనువాదం, Zh అక్షం వెంట అనువాదంతో పాటు ఆన్ భ్రమణం జరుగుతుంది, q- హెలికల్ రొటేషన్ ఇండెక్స్. హెలికల్ యాక్సిల్స్ కోసం సాధారణ చిహ్నం Nq(Fig. 6). స్క్రూ అక్షాలు ch వెంట దర్శకత్వం వహించబడతాయి. యూనిట్ సెల్ యొక్క అక్షాలు లేదా వికర్ణాలు. అక్షాలు 3 1 మరియు 3 2, 4 1 మరియు 4 3, 6 1 మరియు 6 5, 6 2 మరియు 6 4 జతగా కుడి మరియు ఎడమ హెలికల్ మలుపులకు అనుగుణంగా ఉంటాయి. అంతరిక్ష సమూహాలలో అద్దం సమరూపత యొక్క ఆపరేషన్‌తో పాటు, మేత ప్రతిబింబం యొక్క విమానాలు కూడా సాధ్యమే, బి, సి:ప్రతిబింబం సంబంధిత గ్రేటింగ్ వ్యవధిలో సగం అనువాదంతో కలిపి ఉంటుంది. సెల్ ముఖం యొక్క అనువాదం సగం వికర్ణంగా పిలవబడే దానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది. క్లినోప్లేన్ స్లిప్ n, అదనంగా, టెట్రాగోనల్ మరియు క్యూబిక్‌లో. సమూహాలు, "డైమండ్" విమానాలు సాధ్యమే డి.

అన్నం. 6. a - ఫిగర్ యొక్క విమానానికి లంబంగా ఉన్న స్క్రూ గొడ్డలి యొక్క గ్రాఫిక్ హోదాలు; బి - ఫిగర్ యొక్క విమానంలో పడి ఉన్న స్క్రూ అక్షం; c - మేత ప్రతిబింబం యొక్క విమానాలు, అంజీర్ యొక్క సమతలానికి లంబంగా ఉంటాయి, ఇక్కడ a, b, c అనేది స్లైడింగ్ సంభవించే అక్షాలతో పాటు యూనిట్ సెల్ యొక్క కాలాలు (అనువాద భాగం a/2), n - మేత ప్రతిబింబం యొక్క వికర్ణ విమానం [అనువాద భాగం (a + b)/ 2], d - డైమండ్ స్లైడింగ్ ప్లేన్; g - డ్రాయింగ్ ప్లేన్‌లో అదే.

పట్టికలో 2 మొత్తం 230 అంతరిక్ష సమూహాల యొక్క అంతర్జాతీయ చిహ్నాలను 7 సింగోనీలలో ఒకదానికి మరియు పాయింట్ సిమెట్రీ క్లాస్‌కు అనుగుణంగా అందిస్తుంది.

ప్రసార అంతరిక్ష సమూహాల యొక్క మైక్రోసిమెట్రీ కార్యకలాపాల యొక్క భాగాలు పాయింట్ సమూహాలలో స్థూల దృష్టితో వ్యక్తపరచవు; ఉదాహరణకు, క్రిస్టల్ కట్టింగ్‌లోని హెలికల్ యాక్సిస్ సంబంధిత సాధారణ భ్రమణ అక్షం వలె కనిపిస్తుంది. అందువల్ల, 230 సమూహాలలో ప్రతి ఒక్కటి 32 పాయింట్ల సమూహాలలో ఒకదానికి స్థూల దృక్కోణంతో సమానంగా ఉంటుంది (హోమోమార్ఫిక్). ఉదాహరణకు, ఒక పాయింట్ సమూహానికి - ttt 28 అంతరిక్ష సమూహాలు హోమోమోర్ఫిక్‌గా మ్యాప్ చేయబడ్డాయి.

స్పేస్ సమూహాల కోసం Schönflies సంజ్ఞామానం అనేది సంబంధిత పాయింట్ గ్రూప్ (ఉదాహరణకు, టేబుల్ 1) యొక్క హోదా, దీనికి చారిత్రాత్మకంగా ఆమోదించబడిన ఆర్డినల్ సంఖ్య పైన కేటాయించబడింది, ఉదాహరణకు. . అంతర్జాతీయ సంజ్ఞామానాలు బ్రావైస్ లాటిస్ చిహ్నాన్ని మరియు ప్రతి సమూహం యొక్క సమరూపత కార్యకలాపాలను సూచిస్తాయి - మొదలైనవి. పట్టికలోని అంతరిక్ష సమూహాల అమరిక యొక్క క్రమం. అంతర్జాతీయ సంకేతాలలో 2 స్కాన్‌ఫ్లైస్ సంజ్ఞామానాలలో సంఖ్య (సూపర్‌స్క్రిప్ట్)కి అనుగుణంగా ఉంటుంది.

అంజీర్లో. మూర్తి 7 ఖాళీల చిత్రాన్ని చూపుతుంది. సమూహాలు - Rptaఇంటర్నేషనల్ క్రిస్టల్లోగ్రాఫిక్ ప్రకారం. పట్టికలు. యూనిట్ సెల్ కోసం సూచించబడిన ప్రతి స్పేస్ సమూహం యొక్క సమరూపత యొక్క కార్యకలాపాలు (మరియు వాటి సంబంధిత అంశాలు) మొత్తం స్ఫటికాకారంలో పనిచేస్తాయి. స్పేస్, క్రిస్టల్ యొక్క మొత్తం పరమాణు నిర్మాణం మరియు ఒకదానిపై ఒకటి.

అన్నం. 7. సమూహం యొక్క చిత్రం - అంతర్జాతీయ పట్టికలలో Rpt.

మీరు యూనిట్ సెల్ k-n లోపల పేర్కొన్నట్లయితే. పాయింట్ x (x 1 x 2 x 3), అప్పుడు సమరూప కార్యకలాపాలు స్ఫటికాకార అంతటా దానికి సమానమైన పాయింట్‌లుగా మారుస్తాయి. స్థలం; అటువంటి పాయింట్లు అనంతమైన సంఖ్యలో ఉన్నాయి. కానీ ఒక ప్రాథమిక సెల్‌లో వారి స్థానాన్ని వివరించడానికి సరిపోతుంది మరియు ఈ సెట్ ఇప్పటికే లాటిస్ అనువాదాల ద్వారా గుణించబడుతుంది. ఇచ్చిన ఆపరేషన్ నుండి పొందిన పాయింట్ల సమితి g iసమూహాలు G - x 1, x 2,...,x n-1, అని పిలిచారు పాయింట్ల సరైన వ్యవస్థ (PST). అంజీర్లో. కుడివైపున 7 అనేది సమూహం యొక్క సమరూప అంశాల స్థానం, ఎడమవైపు ఈ సమూహం యొక్క సాధారణ స్థానం యొక్క PST యొక్క చిత్రం. సాధారణ స్థితిలో ఉన్న పాయింట్లు స్పేస్ గ్రూప్ యొక్క పాయింట్ సిమెట్రీ ఎలిమెంట్‌లో లేని పాయింట్లు. అటువంటి పాయింట్ల సంఖ్య (మల్టిప్లిసిటీ) సమూహం యొక్క క్రమానికి సమానంగా ఉంటుంది. పాయింట్ సమరూపత యొక్క మూలకం (లేదా మూలకాలు)పై ఉన్న పాయింట్లు నిర్దిష్ట స్థానం యొక్క PSTని ఏర్పరుస్తాయి మరియు సంబంధిత సమరూపతను కలిగి ఉంటాయి, వాటి సంఖ్య సాధారణ స్థానం యొక్క PST యొక్క గుణకారం కంటే రెట్లు తక్కువ పూర్ణాంకం. అంజీర్లో. ఎడమవైపు 7, సర్కిల్‌లు సాధారణ స్థానం యొక్క పాయింట్లను సూచిస్తాయి, యూనిట్ సెల్ లోపల వాటిలో 8 ఉన్నాయి, చిహ్నాలు “+” మరియు “-”, “1/2+” మరియు “1/2-” అంటే కోఆర్డినేట్‌లు + z, -z, 1/2 + z, వరుసగా , 1/2 - z. కామాలు లేదా వాటి లేకపోవడం అంటే ఈ సమూహంలో ఉన్న సమరూపత m సమతల సమతలానికి సంబంధించి సంబంధిత పాయింట్ల జత వైపు దర్పణ సమానత్వం వద్ద= 1/4 మరియు 3/4. ఒక బిందువు m సమతలంపై పడితే, అది ఈ విమానం ద్వారా రెట్టింపు చేయబడదు, సాధారణ స్థితిలో ఉన్న పాయింట్ల విషయంలో వలె, మరియు నిర్దిష్ట స్థితిలో అటువంటి పాయింట్ల సంఖ్య (మల్టిప్లిసిటీ) 4, వాటి సమరూపత m. ఒక పాయింట్ సమరూపత యొక్క కేంద్రాలను తాకినప్పుడు అదే జరుగుతుంది.

ప్రతి ప్రాదేశిక సమూహం దాని స్వంత PSTలను కలిగి ఉంటుంది. ప్రతి సమూహానికి సాధారణ స్థానంలో ఒకే సరైన పాయింట్ల వ్యవస్థ ఉంది. కానీ నిర్దిష్ట పరిస్థితి యొక్క కొన్ని PST వేర్వేరు సమూహాలకు ఒకే విధంగా ఉండవచ్చు. అంతర్జాతీయ పట్టికలు PSTల బహుళత్వం, వాటి సమరూపత మరియు కోఆర్డినేట్‌లు మరియు ప్రతి స్పేస్ సమూహం యొక్క అన్ని ఇతర లక్షణాలను సూచిస్తాయి. PST భావన యొక్క ప్రాముఖ్యత ఏదైనా స్ఫటికాకారంలో ఉంటుంది. ఇచ్చిన అంతరిక్ష సమూహానికి చెందిన నిర్మాణం, పరమాణువులు లేదా అణువుల కేంద్రాలు PST (ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ) వెంట ఉన్నాయి. నిర్మాణ విశ్లేషణలో, ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ అణువుల పంపిణీ. ఇచ్చిన అంతరిక్ష సమూహం యొక్క PST రసాయన శాస్త్రాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటుంది. f-ly క్రిస్టల్ మరియు డిఫ్రాక్షన్ డేటా. ప్రయోగం, పరమాణువులు ఉన్న నిర్దిష్ట లేదా సాధారణ స్థానాల పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. ప్రతి PST ఒకటి లేదా బహుళ సంఖ్యలో బ్రావైస్ లాటిస్‌లను కలిగి ఉంటుంది కాబట్టి, పరమాణువుల అమరికను "ఒకదానికొకటి నెట్టబడిన" బ్రావైస్ లాటిస్‌ల సమితిగా ఊహించవచ్చు. ఈ ప్రాతినిధ్యం అంతరిక్ష సమూహం ఉప సమూహంగా అనువాదాన్ని కలిగి ఉన్నదానికి సమానం. ధైర్య సమూహం.

క్రిస్టల్ సమరూప సమూహాల ఉప సమూహాలు. ఆపరేషన్ యొక్క భాగం k-l అయితే. సమూహాలు స్వయంగా ఒక సమూహాన్ని ఏర్పరుస్తాయి G r (g 1 ,...,g m),, తర్వాత చివరి పేరు. మొదటి యొక్క ఉప సమూహం. ఉదాహరణకు, పాయింట్ గ్రూప్ 32 (Fig. 1, a) యొక్క ఉప సమూహాలు సమూహం 3 మరియు సమూహం 2 . ఖాళీల మధ్య కూడా. సమూహాలు ఉప సమూహాల యొక్క సోపానక్రమం ఉంది. స్పేస్ గ్రూపులు సబ్‌గ్రూప్‌ల పాయింట్ గ్రూపులుగా ఉండవచ్చు (అటువంటి 217 స్పేస్ గ్రూపులు ఉన్నాయి) మరియు సబ్‌గ్రూప్‌లు, ఇవి లోయర్ ఆర్డర్‌లోని స్పేస్ గ్రూపులు. దీని ప్రకారం, ఉప సమూహాల యొక్క సోపానక్రమం ఉంది.

స్ఫటికాల యొక్క చాలా అంతరిక్ష సమరూప సమూహాలు ఒకదానికొకటి భిన్నంగా ఉంటాయి మరియు నైరూప్య సమూహాలుగా ఉంటాయి; 230 అంతరిక్ష సమూహాలకు ఐసోమోర్ఫిక్‌గా ఉన్న నైరూప్య సమూహాల సంఖ్య 219. 11 మిర్రర్-ఈక్వల్ (ఎన్‌యాంటియోమోర్ఫిక్) స్పేస్ గ్రూపులు వియుక్తంగా సమానంగా ఉంటాయి - ఒకటి కుడి హెలికల్ అక్షాలతో, మిగిలినవి ఎడమ హెలికల్ అక్షాలతో ఉంటాయి. ఇవి, ఉదాహరణకు, పి 3 1 21 మరియు పి 3 2 21. ఈ రెండు అంతరిక్ష సమూహాలు 32 పాయింట్ల సమూహానికి సజాతీయంగా మ్యాప్ చేస్తాయి, ఏ క్వార్ట్జ్‌కు చెందినదో, కానీ క్వార్ట్జ్ వరుసగా కుడిచేతి లేదా ఎడమచేతి వాటం కావచ్చు: ఈ సందర్భంలో ప్రాదేశిక నిర్మాణం యొక్క సమరూపత స్థూల దృష్టితో వ్యక్తీకరించబడుతుంది, కానీ పాయింట్ గ్రూప్ రెండు సందర్భాల్లోనూ ఒకే విధంగా ఉంటుంది.

క్రిస్టల్ సమరూపత యొక్క అంతరిక్ష సమూహాల పాత్ర. స్ఫటికాల యొక్క అంతరిక్ష సమరూప సమూహాలు సైద్ధాంతిక సిద్ధాంతానికి ఆధారం. క్రిస్టలోగ్రఫీ, స్ఫటికాల పరమాణు నిర్మాణాన్ని నిర్ణయించడానికి మరియు స్ఫటికాకారాన్ని వివరించడానికి డిఫ్రాక్షన్ మరియు ఇతర పద్ధతులు. నిర్మాణాలు.

ఎక్స్-రే డిఫ్రాక్షన్ ద్వారా పొందిన డిఫ్రాక్షన్ నమూనా న్యూట్రానోగ్రఫీలేదా ఎలక్ట్రాన్ డిఫ్రాక్షన్,సుష్ట మరియు రేఖాగణితాన్ని సెట్ చేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. లక్షణాలు పరస్పర జాలకక్రిస్టల్, అందువలన క్రిస్టల్ నిర్మాణం కూడా. ఈ విధంగా క్రిస్టల్ యొక్క పాయింట్ గ్రూప్ మరియు యూనిట్ సెల్ నిర్ణయించబడతాయి; లక్షణ విలుప్తత (నిర్దిష్ట డిఫ్రాక్షన్ రిఫ్లెక్షన్స్ లేకపోవడం) ఆధారంగా, బ్రావైస్ గ్రేటింగ్ రకం మరియు నిర్దిష్ట అంతరిక్ష సమూహంలో సభ్యత్వం నిర్ణయించబడతాయి. యూనిట్ సెల్‌లో పరమాణువుల ప్లేస్‌మెంట్ డిఫ్రాక్షన్ రిఫ్లెక్షన్స్ యొక్క తీవ్రతల మొత్తం నుండి నిర్ణయించబడుతుంది.

అంతరిక్ష సమూహాలు ముఖ్యమైన పాత్ర పోషిస్తాయి క్రిస్టల్ కెమిస్ట్రీ. 100 వేలకు పైగా స్ఫటికాకార కణాలు గుర్తించబడ్డాయి. నిర్మాణాలు అకర్బన, సేంద్రీయ మరియు జీవసంబంధమైనది కనెక్షన్లు. ఏదైనా క్రిస్టల్ 230 అంతరిక్ష సమూహాలలో ఒకదానికి చెందినది. దాదాపు అన్ని అంతరిక్ష సమూహాలు స్ఫటికాల ప్రపంచంలో గుర్తించబడుతున్నాయని తేలింది, అయినప్పటికీ వాటిలో కొన్ని ఇతరులకన్నా ఎక్కువగా ఉన్నాయి. వివిధ రకాల రసాయనాల కోసం అంతరిక్ష సమూహాల ప్రాబల్యంపై గణాంకాలు ఉన్నాయి. కనెక్షన్లు. ఇప్పటివరకు, అధ్యయనం చేసిన నిర్మాణాలలో 4 సమూహాలు మాత్రమే కనుగొనబడలేదు: Рсс2, P4 2 cm, P4nc 1, Р6тп. నిర్దిష్ట అంతరిక్ష సమూహాల ప్రాబల్యాన్ని వివరించే సిద్ధాంతం నిర్మాణాన్ని రూపొందించే అణువుల పరిమాణాలు, అణువులు లేదా అణువుల దగ్గరి ప్యాకింగ్ భావన, సమరూప మూలకాల “ప్యాకింగ్” పాత్ర - స్లైడింగ్ విమానాలు మరియు స్క్రూ గొడ్డలిని పరిగణనలోకి తీసుకుంటుంది.

ఘన స్థితి భౌతిక శాస్త్రంలో, మాత్రికలు మరియు ప్రత్యేక విధులను ఉపయోగించి సమూహ ప్రాతినిధ్యాల సిద్ధాంతం ఉపయోగించబడుతుంది. విధులు, స్పేస్ సమూహాలకు ఈ విధులు ఆవర్తన ఉంటాయి. అవును, సిద్ధాంతంలో నిర్మాణ దశ పరివర్తనాలుతక్కువ సుష్ట (తక్కువ ఉష్ణోగ్రత) దశ యొక్క సమరూపత యొక్క 2వ రకమైన అంతరిక్ష సమూహం అనేది మరింత సుష్ట దశ యొక్క అంతరిక్ష సమూహం యొక్క ఉప సమూహం మరియు దశ పరివర్తన అత్యంత సుష్ట దశ యొక్క అంతరిక్ష సమూహం యొక్క అసంపూర్ణ ప్రాతినిధ్యాలలో ఒకదానితో అనుబంధించబడింది. ప్రాతినిధ్య సిద్ధాంతం కూడా డైనమిక్స్ సమస్యలను పరిష్కరించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది క్రిస్టల్ లాటిస్, దాని ఎలక్ట్రానిక్ మరియు అయస్కాంత. నిర్మాణాలు, భౌతిక సంఖ్య లక్షణాలు. సిద్ధాంతపరంగా స్ఫటికాకార శాస్త్రంలో, స్పేస్ సమూహాలు స్పేస్‌ను సమాన ప్రాంతాలుగా విభజించే సిద్ధాంతాన్ని అభివృద్ధి చేయడం సాధ్యపడుతుంది, ప్రత్యేకించి పాలిహెడ్రల్.

అంచనాలు, పొరలు మరియు గొలుసుల సమరూపత. స్ఫటికాకార అంచనాలు విమానంలోని నిర్మాణాలు ఫ్లాట్ గ్రూపులచే వివరించబడ్డాయి, వాటి సంఖ్య 17. 1 లేదా 2 దిశలలో ఆవర్తన త్రిమితీయ వస్తువులను వివరించడానికి, ప్రత్యేకించి క్రిస్టల్ నిర్మాణం యొక్క శకలాలు, రెండు-డైమెన్షనల్ ఆవర్తన మరియు ఒక-డైమెన్షనల్ ఆవర్తన సమూహాలను ఉపయోగించవచ్చు. జీవశాస్త్ర అధ్యయనంలో ఈ సమూహాలు ముఖ్యమైన పాత్ర పోషిస్తాయి. నిర్మాణాలు మరియు అణువులు. ఉదాహరణకు, సమూహాలు జీవ నిర్మాణాన్ని వివరిస్తాయి. పొరలు, గొలుసు అణువుల సమూహాలు (Fig. 8, ఎ), రాడ్-ఆకారపు వైరస్‌లు, గోళాకార ప్రోటీన్‌ల గొట్టపు స్ఫటికాలు (Fig. 8, బి), దీనిలో అణువులు స్పైరల్ (హెలికల్) సమరూపత ప్రకారం అమర్చబడి ఉంటాయి, ఇది సమూహాలలో సాధ్యమవుతుంది (చూడండి. జీవ క్రిస్టల్).

అన్నం. 8. మురి సమరూపత కలిగిన వస్తువులు: a - DNA అణువు; b - ఫాస్ఫోరైలేస్ ప్రోటీన్ యొక్క గొట్టపు క్రిస్టల్ (ఎలక్ట్రాన్ మైక్రోస్కోపిక్ ఇమేజ్, మాగ్నిఫికేషన్ 220,000).

క్వాసిక్రిస్టల్స్ యొక్క నిర్మాణం. క్వాసిక్రిస్టల్(ఉదా, A1 86 Mn 14) ఐకోసహెడ్రల్ కలిగి ఉంటాయి. పాయింట్ సమరూపత (Fig. 5), ఇది స్ఫటికాలలో అసాధ్యం. కిటికీలకు అమర్చే ఇనుప చట్రం. క్వాసిక్రిస్టల్స్‌లో దీర్ఘ-శ్రేణి క్రమం క్వాసిపెరియోడిక్, దాదాపు ఆవర్తన సిద్ధాంతం ఆధారంగా వివరించబడింది. విధులు. క్వాసిక్రిస్టల్స్ యొక్క నిర్మాణాన్ని ఆరు-డైమెన్షనల్ ఆవర్తన నిర్మాణం యొక్క త్రిమితీయ స్థలంపై ప్రొజెక్షన్‌గా సూచించవచ్చు. క్యూబిక్ 5వ ఆర్డర్ యొక్క అక్షాలతో లాటిస్‌లు. అధిక పరిమాణంలో ఐదు డైమెన్షనల్ సమరూపత కలిగిన క్వాసిక్రిస్టల్స్ 3 రకాల బ్రావైస్ లాటిస్‌లను (ఆదిమ, శరీర-కేంద్రీకృత మరియు ముఖ-కేంద్రీకృత) మరియు 11 అంతరిక్ష సమూహాలను కలిగి ఉంటాయి. డా. క్వాసిక్రిస్టల్స్ యొక్క సాధ్యమైన రకాలు - 5-, 7-, 8-, 10-, 12... ఆర్డర్‌ల అక్షాలతో అణువుల ద్విమితీయ నెట్‌వర్క్‌లను పేర్చడం, నెట్‌వర్క్‌లకు లంబంగా మూడవ దిశలో ఆవర్తనతతో.

సాధారణీకరించిన సమరూపత. సమరూపత యొక్క నిర్వచనం పరివర్తన (1,a) కింద సమానత్వం (1,b) భావనపై ఆధారపడి ఉంటుంది. అయితే, భౌతికంగా (మరియు గణితపరంగా) ఒక వస్తువు కొన్ని అంశాలలో తనకు సమానంగా ఉంటుంది మరియు ఇతరులలో సమానంగా ఉండదు. ఉదాహరణకు, ఒక క్రిస్టల్‌లో న్యూక్లియైలు మరియు ఎలక్ట్రాన్ల పంపిణీ యాంటీఫెరో మాగ్నెట్సాధారణ ప్రాదేశిక సమరూపతను ఉపయోగించి వర్ణించవచ్చు, కానీ మనం దానిలోని అయస్కాంతత్వం యొక్క పంపిణీని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే. క్షణాలు (Fig. 9), ఆపై "సాధారణ", క్లాసిక్. సమరూపత ఇకపై సరిపోదు. ఈ రకమైన సమరూపత యొక్క సాధారణీకరణలలో యాంటీ-సిమెట్రీ మరియు కలర్ స్నిమెట్రీ ఉన్నాయి.

అన్నం. 9. ఫెర్రి అయస్కాంత స్ఫటికం యొక్క యూనిట్ సెల్‌లో అయస్కాంత కదలికల (బాణాలు) పంపిణీ, సాధారణ సమరూపతను ఉపయోగించి వివరించబడింది.

యాంటిసిమెట్రీలో, మూడు ప్రాదేశిక వేరియబుల్స్‌తో పాటు x 1, x 2, x 3అదనపు, 4వ వేరియబుల్ పరిచయం చేయబడింది. ఇది పరివర్తన (1,a) ఫంక్షన్ కింద ఉండే విధంగా అర్థం చేసుకోవచ్చు ఎఫ్(1, b) లో వలె తనకు సమానంగా ఉండటమే కాకుండా "వ్యతిరేక సమానం" కూడా కావచ్చు - ఇది గుర్తును మారుస్తుంది. 58 పాయింట్ యాంటిసిమెట్రీ గ్రూపులు మరియు 1651 స్పేస్ యాంటీసిమెట్రీ గ్రూపులు (షుబ్న్‌ప్కోవ్ గ్రూపులు) ఉన్నాయి.

అదనపు వేరియబుల్ రెండు విలువలను పొందకపోతే, అంతకంటే ఎక్కువ (సాధ్యం 3,4,6,8, ..., 48) , అప్పుడు అని పిలవబడేది బెలోవ్ రంగు సమరూపత.

ఈ విధంగా, 81 పాయింట్ల సమూహాలు మరియు 2942 సమూహాలు అంటారు. ప్రాథమిక స్ఫటికాకార శాస్త్రంలో సాధారణీకరించిన సమరూపత యొక్క అప్లికేషన్లు - అయస్కాంతం యొక్క వివరణ. నిర్మాణాలు.

ఇతర యాంటిసిమెట్రీ సమూహాలు (బహుళ, మొదలైనవి) కనుగొనబడ్డాయి. నాలుగు-డైమెన్షనల్ స్పేస్ మరియు అధిక కొలతలు యొక్క అన్ని పాయింట్ మరియు స్పేస్ సమూహాలు సిద్ధాంతపరంగా ఉద్భవించాయి. (3 + K) -డైమెన్షనల్ స్పేస్ యొక్క సమరూపత యొక్క పరిశీలన ఆధారంగా, మూడు దిశలలో అసమానంగా ఉండే మాడ్యులారిటీలను వివరించడం కూడా సాధ్యమవుతుంది. నిర్మాణాలు (చూడండి అసమాన నిర్మాణం).

డా. సమరూపత యొక్క సాధారణీకరణ - సారూప్యత యొక్క సమరూపత, ఒక వ్యక్తి యొక్క భాగాల సమానత్వం వాటి సారూప్యతతో భర్తీ చేయబడినప్పుడు (Fig. 10), కర్విలినియర్ సమరూపత, గణాంక. క్రమరహిత స్ఫటికాల నిర్మాణాన్ని వివరించేటప్పుడు సమరూపత ప్రవేశపెట్టబడింది, ఘన పరిష్కారాలు, ద్రవ స్ఫటికాలుమరియు మొదలైనవి

అన్నం. 10. సారూప్యత సమరూపత కలిగిన వ్యక్తి.

లిట్.:షుబ్నికోవ్ A.V., K o p c i k V. A., సైన్స్ అండ్ ఆర్ట్‌లో సమరూపత, 2వ ed., M., 1972; ఫెడోరోవ్ E.S., స్ఫటికాల సమరూపత మరియు నిర్మాణం, M., 1949; షుబ్నికోవ్ A.V., సిమెట్రీ అండ్ యాంటిసిమెట్రీ ఆఫ్ ఫినిట్ ఫిగర్స్, M., 1951; ఎక్స్-రే క్రిస్టల్లాగ్రఫీ కోసం అంతర్జాతీయ పట్టికలు, v. 1 - సమరూప సమూహాలు, బర్మింగ్‌హామ్, 1952; కోవలేవ్ O.V., అంతరిక్ష సమూహాల యొక్క ఇర్రెడ్యూసిబుల్ రిప్రజెంటేషన్స్, K., 1961; V eil G., సమరూపత, ట్రాన్స్. ఇంగ్లీష్ నుండి, M., 1968; ఆధునిక క్రిస్టల్లాగ్రఫీ, వాల్యూమ్. 1 - వైన్‌స్టీన్ B.K., స్ఫటికాల సమరూపత. మెథడ్స్ ఆఫ్ స్ట్రక్చరల్ క్రిస్టల్లాగ్రఫీ, M., 1979; G a l i u l i n R. V., క్రిస్టల్లోగ్రాఫిక్ జామెట్రీ, M., 1984; క్రిస్టల్లోగ్రఫీ కోసం అంతర్జాతీయ పట్టికలు, v. A - స్పేస్ గ్రూప్ సమరూపత, డోర్డ్రెచ్ట్ - , 1987. బి. TO. వైన్‌స్టెయిన్.

స్ఫటికాల నిర్మాణంలో, పాయింట్ సమరూపత సమూహంలో చేర్చబడిన పరిమిత సమరూప పరివర్తనలకు, అనంతమైన సమరూప పరివర్తనలు జోడించబడతాయి.

ప్రాథమిక అనంత పరివర్తన - ప్రసార,ఆ. ఒక సరళ రేఖ వెంట అదే నిర్దిష్ట దూరానికి అనంతంగా పునరావృతమయ్యే బదిలీని అనువాద కాలం అంటారు. ప్రతి సమరూప మూలకాలతో అనువాదాల కలయిక కొత్త సమరూప మూలకాలను సృష్టిస్తుంది, అంతులేని విధంగా అంతరిక్షంలో పునరావృతమవుతుంది. ఈ విధంగా, సమతల సమరూపత సమతల సమూహము మరియు సమాంతర అనువాదం సమతలం పొడవునా సగం అనువాద వ్యవధికి సమానం స్లైడింగ్ ప్రతిబింబం యొక్క విమానం.స్లైడింగ్ రిఫ్లెక్షన్ ప్లేన్ ద్వారా ఒక సుష్ట పరివర్తనను ఏకపక్ష బిందువు X, Y, Z యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు ఎలా మారుతాయో సూచించడం ద్వారా వివరించవచ్చు.ఈ అక్షం వెంట సమరూపత మరియు అనువాదం యొక్క అక్షం కలయిక, కలిసి పని చేయడం ద్వారా సమరూపత యొక్క హెలికల్ అక్షాన్ని ఇస్తుంది. స్ఫటికాకార స్థలంలో హెలికల్ అక్షాలు 2,3,4 మరియు 6 ఆర్డర్‌లను మాత్రమే కలిగి ఉంటాయి. ఎడమ మరియు కుడి హెలికల్ అక్షాలు ఉన్నాయి.

ప్రతి నిర్మాణం దాని ప్రాథమిక అనువాదాల సెట్ లేదా దాని ద్వారా వర్గీకరించబడుతుంది ప్రసార సమూహం,ఇది నిర్ణయిస్తుంది ప్రాదేశిక జాలక.

మూడు ప్రధాన అనువాదాల యొక్క మాగ్నిట్యూడ్లు మరియు పరస్పర విన్యాసాన్ని బట్టి a, b, c, లాటిస్‌లు వాటి సమరూపతలో ఒకదానికొకటి భిన్నంగా ఉంటాయి. సమరూపత సాధ్యమయ్యే లాటిస్‌ల సంఖ్యను పరిమితం చేస్తుంది. అన్నీక్రిస్టల్ నిర్మాణాలు 14 బ్రావైస్ లాటిస్‌లకు అనుగుణంగా 14 అనువాద సమూహాలచే వివరించబడ్డాయి. బ్రావైస్ లాటిస్పాయింట్ల అనంతమైన వ్యవస్థ అని పిలుస్తారు, ఇది ఒక పాయింట్ యొక్క అనువాద పునరావృతం ద్వారా ఏర్పడుతుంది.

14 బ్రావైస్ లాటిస్‌లు యూనిట్ కణాల ఆకారంలో మరియు సమరూపతలో ఒకదానికొకటి భిన్నంగా ఉంటాయి మరియు 6 వ్యవస్థలుగా విభజించబడ్డాయి (టేబుల్ చూడండి).

బ్రావైస్ లాటిస్‌లలోని యూనిట్ కణాలు ఎంపిక చేయబడతాయి, తద్వారా 1) వాటి సమరూపత మొత్తం లాటిస్ యొక్క సమరూపతకు అనుగుణంగా ఉంటుంది (మరింత ఖచ్చితంగా, ఇది క్రిస్టల్‌కు చెందిన వ్యవస్థ యొక్క హోలోహెడ్రల్ తరగతి యొక్క సమరూపతతో సమానంగా ఉండాలి), 2) సంఖ్య లంబ కోణాలు మరియు సమాన భుజాలు గరిష్టంగా ఉంటాయి మరియు 3) వాల్యూమ్ సెల్‌లు తక్కువగా ఉంటాయి.

క్రిస్టల్ నిర్మాణంలో, వ్రావ్ లాటిస్‌లు ఒకదానికొకటి చొప్పించబడతాయి మరియు వివిధ లాటిస్‌ల సైట్‌లలో ఒకేలాంటి మరియు విభిన్న అణువులు ఉండవచ్చు, రెండూ గోళాకార సౌష్టవంగా మరియు నిజమైన స్ఫటికాకార సమరూపతను కలిగి ఉంటాయి. అన్ని రకాల నిర్మాణాలు 230 స్పేస్ సమరూప సమూహాలచే వివరించబడ్డాయి, ఇవి అనంతమైన నిర్మాణాల సమరూప అంశాల కలయికల నుండి ఏర్పడతాయి. (అంతరిక్ష సమూహంసమరూపత అనేది క్రిస్టల్ నిర్మాణం యొక్క అన్ని సమరూప పరివర్తనల కలయిక).

నిర్మాణాల సమరూప అంశాల గుణకారం సిద్ధాంతాలు 1-6కు కట్టుబడి ఉంటుంది. అదనంగా, అంతులేని పునరావృత్తులు జోడించడం వలన, కొత్త కలయికలు కనిపిస్తాయి.

సిద్ధాంతం 7.సమరూపత యొక్క రెండు సమాంతర సమతలంలో వరుస ప్రతిబింబం t=2a పరామితికి అనువాదానికి సమానం, ఇక్కడ a అనేది విమానాల మధ్య దూరం..

సిద్ధాంతం 7a. T/ 2 దూరం ద్వారా ఒకదానికొకటి వేరు చేయబడిన రెండు సమాంతర విమానాలలో ప్రతిబింబం ద్వారా ఏదైనా అనువాదం t భర్తీ చేయబడుతుంది .

సిద్ధాంతం 8.సిమెట్రీ ప్లేన్ మరియు దానికి లంబంగా అనువాదం t పరామితితో కొత్త "ఇన్సర్టెడ్" సమరూప విమానాలను ఉత్పాదకానికి సమాంతరంగా ఉత్పత్తి చేస్తుంది, దాని రకాన్ని పోలి ఉంటుంది మరియు దాని నుండి వేరుగా ఉంటుంది.

సిద్ధాంతం 9. సమరూపత మరియు అనువాదం t యొక్క విమానం, విమానంతో కోణాన్ని తయారు చేస్తుంది , ఉత్పత్తి చేసే దానికి సమాంతరంగా స్లైడింగ్ రిఫ్లెక్షన్ ప్లేన్‌ని రూపొందించండి మరియు దాని నుండి అనువాద దిశలో మొత్తం (మొత్తం ద్వారా) t/2), పాపం ఉత్పత్తి చేయబడిన విమానం వెంట స్లిప్ మొత్తం t*cosకి సమానం

సిద్ధాంతం 10.భ్రమణ కోణంతో సమరూపత యొక్క అక్షం మరియు దానికి లంబంగా ఉన్న అనువాదం T సమరూపత యొక్క అదే అక్షాన్ని ఉత్పత్తి చేస్తుంది, ఇచ్చిన దానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది, ఇది దూరం (t/2) sin( ) మరియు మధ్యలో అనువాదానికి లంబంగా ఉన్న లైన్‌లో ఉంది.

సిద్ధాంతం 11.మరియు అనువాదం t మరియు అనువాదం t దానికి లంబంగా ఒకే కోణం మరియు అదే అనువాదంతో హెలికల్ అక్షాన్ని ఉత్పత్తి చేస్తాయి, ఇచ్చిన దానికి సమాంతరంగా, దాని నుండి (t/2) పాపం(/2) మరియు దాని మధ్యలో అనువాదం tకి లంబంగా ఉన్న లైన్‌లో ఉంది.

సిద్ధాంతం 12. భ్రమణ కోణంతో సమరూపత యొక్క అక్షం మరియు అనువాదం t దానితో ఒక కోణాన్ని తయారు చేయడం , సమరూపత యొక్క హెలికల్ అక్షాన్ని రూపొందించండి.

సిద్ధాంతం 13.భ్రమణ కోణంతో సమరూపత యొక్క హెలికల్ అక్షం మరియు అనువాదం t 1 మరియు అనువాదం t, అక్షంతో కోణాన్ని తయారు చేయడం అదే భ్రమణ కోణంతో సమరూపత యొక్క హెలికల్ అక్షాన్ని ఉత్పత్తి చేస్తుంది.

సిద్ధాంతం 14. భ్రమణ కోణంతో విలోమ-భ్రమణ అక్షం మరియు దానికి లంబంగా అనువాదం ఉత్పత్తి చేసే దానికి సమాంతరంగా అదే విలోమ-భ్రమణ అక్షాన్ని రూపొందించండి.

సిద్ధాంతం 15. విలోమం - భ్రమణ కోణంతో భ్రమణ అక్షం మరియు ప్రసారం , ఈ అక్షంతో కోణం , అదే భ్రమణంతో విలోమ అక్షాన్ని రూపొందించండి దీనికి సమాంతరంగా.

పనులు

1. పాయింట్ సమూహం mmmలో చేర్చబడిన అన్ని సమరూపత కార్యకలాపాల యొక్క మాతృక ప్రాతినిధ్యాన్ని వ్రాయండి.

2. క్వార్ట్జ్ యొక్క తక్కువ-ఉష్ణోగ్రత మార్పు యొక్క సమరూప సమూహం యొక్క మాతృక ప్రాతినిధ్యం మరియు క్రమాన్ని కనుగొనండి.

3. ఆయిలర్ సిద్ధాంతం బాగా తెలుసు: రెండు ఖండన సమరూప అక్షాల ఫలితంగా మొదటి రెండు ఖండన బిందువు గుండా మూడవ సమరూప అక్షం ఉంటుంది. సమరూప మూలకాల యొక్క మాతృక ప్రాతినిధ్యాన్ని ఉపయోగించి, క్లాస్ 4 2 2 యొక్క ఉదాహరణను ఉపయోగించి ఆయిలర్ సిద్ధాంతాన్ని వివరించండి.

4. స్ఫటికం 90° తిప్పబడుతుంది, తర్వాత విలోమ కేంద్రం వద్ద ప్రతిబింబం ఉంటుంది, తర్వాత మొదటి భ్రమణ అక్షానికి లంబంగా ఉండే దిశలో 180° తిప్పబడుతుంది. అదే ఫలితానికి దారితీసే సమరూప ఆపరేషన్ యొక్క మ్యాట్రిక్స్ ప్రాతినిధ్యాన్ని కనుగొనండి.

5. క్రిస్టల్ 120° తిప్పబడుతుంది, తర్వాత విలోమ కేంద్రంలో ప్రతిబింబిస్తుంది. అదే ఫలితానికి దారితీసే సమరూప ఆపరేషన్ యొక్క మ్యాట్రిక్స్ ప్రాతినిధ్యాన్ని కనుగొనండి. ఈ ఆపరేషన్ ఏ సమరూప మూలక సమూహానికి చెందినది?

సమస్యలను పరిష్కరించడానికి అవసరమైన స్ఫటికాల గురించిన మొత్తం సమాచారం లో చూడండివివరణ చివరిలో పట్టికలు.

6. సమరూప మూలకాల యొక్క మాతృక ప్రాతినిధ్యాన్ని ఉపయోగించి, 90° కోణంలో కలుస్తున్న రెండు రెండవ-ఆర్డర్ అక్షాల చర్యకు సమానమైన ఫలితాన్ని అందించే సమరూప ఆపరేషన్‌ను కనుగొనండి.

7. సమరూప ఆపరేషన్ యొక్క మాతృక ప్రాతినిధ్యాన్ని కనుగొనండి, దీని చర్య ఒకదానికొకటి 60° కోణంలో ఉన్న రెండవ-ఆర్డర్ అక్షాల చర్య వలె అదే ఫలితాన్ని ఇస్తుంది. ఈ ఆపరేషన్ ఏ సమరూప మూలక సమూహానికి చెందినది?

8. స్ఫటికాకార కోఆర్డినేట్ అక్షాల యొక్క ప్రామాణిక మరియు నాన్-స్టాండర్డ్ (4m2) ఎంపిక కోసం పొటాషియం డైహైడ్రోజన్ ఫాస్ఫేట్ (KDP) యొక్క పాయింట్ సమరూప సమూహం యొక్క మాతృక ప్రాతినిధ్యం మరియు క్రమాన్ని కనుగొనండి.

9. పాయింట్ సమరూపత సమూహం 6 2 2 యొక్క మాతృక ప్రాతినిధ్యాన్ని కనుగొనండి.

10. సమూహం 6 యొక్క మాతృక ప్రాతినిధ్యం మరియు క్రమాన్ని కనుగొనండి.

11. సమరూప కార్యకలాపాల యొక్క మాతృక ప్రాతినిధ్యాన్ని ఉపయోగించి, పాయింట్ గ్రూప్ 2 2 2 ఉదాహరణను ఉపయోగించి EULER సిద్ధాంతం యొక్క చెల్లుబాటును తనిఖీ చేయండి.

12. ఒకదానికొకటి 45° కోణంలో ఉన్న రెండవ-ఆర్డర్ అక్షాల ఉదాహరణను ఉపయోగించి ఆయిలర్ సిద్ధాంతం యొక్క చెల్లుబాటును ధృవీకరించండి.

13. కింది సమరూప సమూహాల క్రమం ఏమిటి: m t, 2 2 2, 4 మీ మీ, 422?

14. సమూహం 4/mm కోసం జనరేటర్ వ్యవస్థను వ్రాయండి.

15. పాయింట్ సమరూప సమూహం 2/m ఉదాహరణను ఉపయోగించి, అన్ని సమూహ సిద్ధాంతాలు సంతృప్తి చెందాయో లేదో తనిఖీ చేయండి.

16. సమరూప చర్యల యొక్క మాతృక ప్రాతినిధ్యాన్ని ఉపయోగించి, సిద్ధాంతం యొక్క చెల్లుబాటును తనిఖీ చేయండి: సమాన క్రమం యొక్క అక్షం మరియు దానికి లంబంగా ఉన్న విమానం కలయిక సమరూపత కేంద్రాన్ని ఇస్తుంది.

17. క్రిస్టల్ లాటిస్‌లో ఐదవ-క్రమం సమరూప అక్షం లేదని నిరూపించండి.

18. ఎ) సాధారణ, బి) శరీర-కేంద్రీకృత మరియు సి) ముఖం-కేంద్రీకృత క్యూబిక్ లాటిస్‌ల విషయంలో యూనిట్ సెల్‌లోని పరమాణువుల సంఖ్య ఎంత?

19. షట్కోణ క్లోజ్-ప్యాక్డ్ లాటిస్ యూనిట్ సెల్‌లోని పరమాణువుల సంఖ్య ఎంత?

20. విమానం (125) ద్వారా లాటిస్ గొడ్డలిపై కత్తిరించిన విభాగాలను నిర్ణయించండి.

21. 9 10 30 కోఆర్డినేట్‌లతో క్రిస్టల్ లాటిస్ యొక్క నోడల్ పాయింట్‌ల గుండా వెళుతున్న విమానాల సూచికలను కనుగొనండి, ఒకవేళ లాటిస్ పారామితులు a = 3, బి=5 మరియు c==6.

22. ముఖాలు (320) మరియు (11О) ఇవ్వబడ్డాయి. వాటి ఖండన అంచుల చిహ్నాన్ని కనుగొనండి,

23. రెండు అంచులు ఇవ్వబడ్డాయి మరియు . వారు ఏకకాలంలో ఉన్న ముఖం యొక్క చిహ్నాన్ని కనుగొనండి.

24. షట్కోణ వ్యవస్థలో విమానాల స్థానం నాలుగు సూచికలను ఉపయోగించి నిర్ణయించబడుతుంది. షట్కోణ వ్యవస్థ యొక్క (100), (010), (110) మరియు (211) విమానాలలో సూచిక iని కనుగొనండి.

25. మెగ్నీషియం యొక్క యూనిట్ సెల్ షట్కోణ వ్యవస్థకు చెందినది మరియు a=3.20 పారామితులను కలిగి ఉంటుంది మరియు c=5.20. పరస్పర లాటిస్ వెక్టర్లను నిర్ణయించండి.

26. ప్రత్యక్ష లాటిస్ యొక్క కోణాల పరంగా పరస్పర లాటిస్ వెక్టర్స్ మధ్య కోణాలను వ్యక్తపరచండి.

27. శరీర-కేంద్రీకృత క్యూబిక్ లాటిస్ యొక్క విలోమం ముఖం-కేంద్రీకృత క్యూబిక్ అని చూపండి.

28. కాల్సైట్ క్రిస్టల్ (CaCO 3) కోసం పరస్పర లాటిస్ వెక్టర్‌లను కనుగొనండి a=6,36 , =46°6".

29. విమానాల మధ్య దూరం అని నిరూపించండి (hkl) క్రిస్టల్ లాటిస్ అనేది వెక్టార్ r*hkl యొక్క పొడవు యొక్క రెసిప్రోకల్‌కు సమానం, ఇది మూలం నుండి పరస్పర లాటిస్ యొక్క పాయింట్ hkl వరకు ఉంటుంది.

30. కైనైట్ (Al 2 O 3, SiO 2) యొక్క ట్రిక్లినిక్ లాటిస్‌లో a, b, c మరియు కోణాల పారామితులు , , యూనిట్ సెల్ వరుసగా 7.09కి సమానం; 7.72; 5.56 మరియు; 90°55; 101°2; 105°44. విమానాల మధ్య దూరాన్ని నిర్ణయించండి (102).

31. పరామితితో క్యూబిక్ లాటిస్‌లో విమానాలు (100), (110) మరియు (111) మధ్య దూరాలు ఏమిటి a

32. లాటిస్ పారామితులు a=10.437తో రాంబిక్ సల్ఫర్‌లో విమానాల (201) మరియు (310) మధ్య కోణాన్ని నిర్ణయించండి ,బి=12,845 మరియు, తో. =24,369

33. లాటిస్ పారామితులు a=4.50తో టెట్రాగోనల్ గాలియం క్రిస్టల్ (111) మరియు (102) విమానాల మధ్య కోణాన్ని లెక్కించండి ,c= 7.64 8.

34. క్యూబిక్ క్రిస్టల్ (100) మరియు (010) ముఖాల ద్వారా ఏర్పడిన కోణాన్ని కనుగొనండి.

35. ఒక క్యూబిక్ క్రిస్టల్‌లో ఏదైనా దిశ విమానానికి లంబంగా ఉంటుందని నిరూపించండి (hkl) మిల్లర్ సూచికల యొక్క అదే విలువలతో.

36. ఘన వికర్ణ మరియు క్యూబ్ యొక్క అంచు మధ్య కోణాన్ని నిర్ణయించండి.

37. యూనిట్ సెల్ పారామితులు a = 9.42తో ట్రైగ్లైసిన్ సల్ఫేట్ ((NH 2 CH 2 COOH) 3 *H 2 SO 4) యొక్క క్రిస్టల్‌లో రెండు దిశల మధ్య కోణాన్ని నిర్ణయించండి. ,బి=12,64,c=5.73 మరియు మోనోక్లినిసిటీ కోణం =PO°23.

38. రెండు సరళ రేఖల మధ్య కోణాన్ని మరియు జాలక పరామితులతో కాపర్ సల్ఫేట్ యొక్క రాంబిక్ లాటిస్‌లో లెక్కించండి a =4,88 ,b=6.66 మరియు. సి =8.32 .

స్ఫటికాల సమరూపత

భ్రమణాలు, ప్రతిబింబాలు, సమాంతర బదిలీలు లేదా భాగం లేదా ఈ కార్యకలాపాల కలయిక సమయంలో స్ఫటికాల యొక్క ఆస్తి. సమరూపత అంటే ఒక వస్తువును దానితో కలిపి మార్చే అవకాశం. సమరూపత ext. క్రిస్టల్ యొక్క ఆకృతి (కట్) దాని పరమాణు నిర్మాణం యొక్క సమరూపత ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది మరియు అంచులు భౌతిక నిర్మాణం యొక్క సమరూపతను కూడా నిర్ణయిస్తాయి. క్రిస్టల్ యొక్క లక్షణాలు.

అన్నం. 1. a - క్వార్ట్జ్ క్రిస్టల్: 3 - 3 వ ఆర్డర్ యొక్క సమరూపత యొక్క అక్షం, 2x, 2y, 2w - 2 వ ఆర్డర్ యొక్క అక్షాలు; b - సజల సోడియం మెటా-సిలికేట్ యొక్క క్రిస్టల్: m - సమరూపత యొక్క విమానం.

అంజీర్లో. 1, మరియు క్వార్ట్జ్ క్రిస్టల్ వర్ణించబడింది. Ext. దాని ఆకారాన్ని అక్షం 3 చుట్టూ 120° తిప్పడం ద్వారా దానితో సమానంగా అమర్చవచ్చు (అనుకూల సమానత్వం). సోడియం మెటాసిలికేట్ క్రిస్టల్ (Fig. 1, 6) సమరూపత m (అద్దం సమానత్వం) యొక్క విమానంలో ప్రతిబింబించడం ద్వారా దానిలోకి రూపాంతరం చెందుతుంది.

F(xlx2.x3) అనేది ఒక వస్తువును వివరించే ఫంక్షన్ అయితే, ఉదాహరణకు. త్రిమితీయ స్థలంలో క్రిస్టల్ ఆకారం లేదా k.-l. దాని ఆస్తి, మరియు ఆపరేషన్ g(x1, x2, x3) అనేది వస్తువు యొక్క అన్ని పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌లను మారుస్తుంది, అప్పుడు g అనేది సమరూపత యొక్క ఆపరేషన్ లేదా పరివర్తన, మరియు క్రింది షరతులు నెరవేరినట్లయితే F అనేది సుష్ట వస్తువు:

అత్యంత సాధారణ సూత్రీకరణలో - వాటిని వివరించే వేరియబుల్స్ యొక్క నిర్దిష్ట పరివర్తనల క్రింద వస్తువులు మరియు చట్టాల యొక్క మార్పులేని (అస్థిరత). స్ఫటికాలు త్రిమితీయ స్థలంలో వస్తువులు, కాబట్టి క్లాసిక్. S. k. యొక్క సిద్ధాంతం - సమరూప సిద్ధాంతం. త్రిమితీయ స్థలం యొక్క రూపాంతరాలు, అంతర్గత వాస్తవాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటాయి. స్ఫటికాల పరమాణు నిర్మాణం త్రిమితీయంగా ఆవర్తనంగా ఉంటుంది, అనగా ఇది ఇలా వివరించబడింది. పరివర్తన సమయంలో, సమరూపత వైకల్యం చెందదు, కానీ దృఢమైన మొత్తంగా రూపాంతరం చెందుతుంది. ఇటువంటి పరివర్తనలు అంటారు ఆర్తోగోనల్ లేదా ఐసోమెట్రిక్. తరువాత, ఒక ప్రదేశంలో ఉన్న వస్తువు యొక్క భాగాలు మరొక ప్రదేశంలో ఉన్న భాగాలతో సమానంగా ఉంటాయి. దీనర్థం సుష్ట వస్తువు సమాన భాగాలను కలిగి ఉంటుంది (అనుకూలమైనది లేదా ప్రతిబింబిస్తుంది).

SK నిజమైన త్రిమితీయ ప్రదేశంలో వాటి నిర్మాణం మరియు లక్షణాలలో మాత్రమే కాకుండా, శక్తి వర్ణనలో కూడా వ్యక్తమవుతుంది. క్రిస్టల్ యొక్క ఎలక్ట్రాన్ స్పెక్ట్రం (బ్యాండ్ థియరీ చూడండి), X-రే డిఫ్రాక్షన్ ప్రక్రియలను విశ్లేషించేటప్పుడు. పరస్పర ప్రదేశంలో స్ఫటికాలలో కిరణాలు మరియు ఎలక్ట్రాన్లు (రివర్స్ లాటిస్ చూడండి) మొదలైనవి.

క్రిస్టల్ సమరూప సమూహం. ఒక క్రిస్టల్ ఒకటి కంటే ఎక్కువ లక్షణాలను కలిగి ఉండవచ్చు. సమరూప కార్యకలాపాలు. ఈ విధంగా, ఒక క్వార్ట్జ్ క్రిస్టల్ (Fig. 1, a) అక్షం 3 (ఆపరేషన్ g1) చుట్టూ 120° తిరిగినప్పుడు మాత్రమే కాకుండా, అక్షం 3 చుట్టూ 240° (ఆపరేషన్ g2) తిరిగినప్పుడు కూడా దానితో సమానంగా ఉంటుంది. 2x, 2y, 2w (ఆపరేషన్లు g3, g4, g5) చుట్టూ 180 ° ద్వారా తిప్పబడింది. ప్రతి ఒక్కటి సమరూపత యొక్క మూలకంతో అనుబంధించబడవచ్చు - ఒక సరళ రేఖ, ఒక విమానం లేదా ఒక పాయింట్, ఇచ్చిన ఆపరేషన్ నిర్వహించబడే దానికి సంబంధించి. ఉదాహరణకు, అక్షం 3 లేదా అక్షాలు 2x, 2y, 2w సమరూపత యొక్క అక్షాలు, ప్లేన్ m (Fig. 1.6) అనేది అద్దం సమరూపత యొక్క విమానం, మొదలైనవి. సమరూప చర్యల సమితి (g1, g2, ..., gn) ఇచ్చిన క్రిస్టల్ గణిత అర్థంలో G సమరూప సమూహాన్ని ఏర్పరుస్తుంది. సమూహ సిద్ధాంతం. స్థిరమైన రెండు సమరూప ఆపరేషన్లు చేయడం కూడా ఒక సమరూప ఆపరేషన్. క్రిస్టల్‌లో దేనినీ మార్చని గుర్తింపు ఆపరేషన్ g0 ఎల్లప్పుడూ ఉంటుంది, అంటారు గుర్తింపు, ఏదైనా అక్షం చుట్టూ 360° ద్వారా వస్తువు లేదా దాని భ్రమణానికి జ్యామితీయంగా అనుగుణంగా ఉంటుంది. G గ్రూప్‌ని రూపొందించే కార్యకలాపాల సంఖ్యను అంటారు. సమూహ క్రమం.

సమరూప సమూహాలు వర్గీకరించబడ్డాయి: అవి నిర్వచించబడిన స్పేస్ కొలతల సంఖ్య n ప్రకారం; స్థలం యొక్క కొలతలు సంఖ్య m ప్రకారం, దీనిలో వస్తువు ఆవర్తన (అవి Gnm ద్వారా సూచించబడతాయి) మరియు కొన్ని ఇతర లక్షణాల ప్రకారం. స్ఫటికాలను వివరించడానికి, కుళ్ళిపోవడం ఉపయోగించబడుతుంది. సమరూప సమూహాలు, వీటిలో ముఖ్యమైనవి . G33, స్ఫటికాల పరమాణు నిర్మాణాన్ని వివరిస్తుంది మరియు సమరూపత యొక్క పాయింట్ సమూహాలు మరియు G30, వాటి బాహ్య ఆకృతిని వివరిస్తుంది. చివరి పేర్లు స్ఫటికాకార తరగతులు కూడా.

పాయింట్ సమరూప సమూహాలు. పాయింట్ సమరూపత యొక్క కార్యకలాపాలు: 360°/N (Fig. 2, a), సమరూపత సమతలంలో ప్రతిబింబం (; Fig. 2, b), విలోమం T అనే కోణం ద్వారా ఆర్డర్ N యొక్క సమరూపత యొక్క అక్షం చుట్టూ భ్రమణాలు (ఒక బిందువు గురించి సమరూపత; Fig. 2, c), విలోమం N= (360°/N కోణం ద్వారా ఏకకాల విలోమం; Fig. 2, d)గా మారుతుంది.

అన్నం. 2. సమరూపత యొక్క సరళమైన కార్యకలాపాలు: a - భ్రమణం; బి - ప్రతిబింబం; సి - విలోమం; d - 4వ ఆర్డర్ విలోమ భ్రమణం; d - 4 వ ఆర్డర్ హెలికల్ రొటేషన్; ఇ - స్లైడింగ్ ప్రతిబింబం.

విలోమ మలుపులకు బదులుగా, N= అద్దం మలుపులు కొన్నిసార్లు పరిగణించబడతాయి. ఈ కార్యకలాపాల యొక్క జ్యామితీయ సాధ్యం కలయికలు ఒకటి లేదా మరొక పాయింట్ సమరూపత సమూహాన్ని నిర్ణయిస్తాయి, ఇది సాధారణంగా స్టీరియోగ్రాఫిక్ రూపంలో చిత్రీకరించబడుతుంది. అంచనాలు. పాయింట్ సిమెట్రీ పరివర్తనల సమయంలో, వస్తువు యొక్క కనీసం ఒక బిందువు కదలకుండా ఉంటుంది - అది స్వయంగా రూపాంతరం చెందుతుంది. అన్ని సమరూపతలు దానిలో కలుస్తాయి మరియు ఇది స్టీరియోగ్రాఫిక్ యొక్క కేంద్రం. అంచనాలు. కుళ్ళిపోవడానికి సంబంధించిన స్ఫటికాల ఉదాహరణలు. పాయింట్ గ్రూపులు అంజీర్‌లో ఇవ్వబడ్డాయి. 3.

అన్నం. 3. వివిధ పాయింట్ సమూహాలకు చెందిన స్ఫటికాల ఉదాహరణలు (స్ఫటికాకార తరగతులు): o - తరగతి m నుండి (సమరూపత యొక్క ఒక విమానం); బి - క్లాస్ సికి (సమరూపత కేంద్రం); c - క్లాస్ 2 కి (2 వ ఆర్డర్ యొక్క సమరూపత యొక్క ఒక అక్షం); g - 6వ తరగతికి (6వ క్రమం యొక్క ఒక విలోమ-భ్రమణం అక్షం).

పాయింట్ సమరూప పరివర్తనలు g(x1, x2, x3) = x"1, x"2, x"3 సరళ సమీకరణాల ద్వారా వివరించబడ్డాయి:

అంటే, గుణకం మాతృక, (AIj). ఉదాహరణకు, a=360°/N గుణకం కోణంలో x1 అక్షం చుట్టూ తిరిగేటప్పుడు. రూపం ఉంది:

మరియు x1, x2 విమానంలో ప్రతిబింబించినప్పుడు ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది:

గో పాయింట్ గ్రూపుల సంఖ్య అనంతం. అయితే, స్ఫటికాలలో, క్రిస్టే ఉనికి కారణంగా. లాటిస్‌లు, ఆపరేషన్‌లు మాత్రమే మరియు తదనుగుణంగా, 6 వ ఆర్డర్ వరకు సమరూప అక్షాలు సాధ్యమే (5వది మినహా; ఒక క్రిస్టల్ లాటిస్‌లో 5వ క్రమం యొక్క సమరూప అక్షాలు ఉండకూడదు, ఎందుకంటే పెంటగాన్‌లను ఉపయోగించడం ద్వారా ఖాళీలు లేకుండా పూరించడం అసాధ్యం), ఇవి నియమించబడిన చిహ్నాలు: 1, 2, 3, 4, 6, అలాగే విలోమ అక్షాలు 1 (అకా సమరూపత యొక్క కేంద్రం), 2 (అకా సమరూపత యొక్క విమానం), 3, 4, 6. కాబట్టి, పాయింట్ సంఖ్య స్ఫటికాకార. బాహ్యాన్ని వివరించే సమరూప సమూహాలు స్ఫటికాల ఆకారం పరిమితం, వాటిలో 32 మాత్రమే ఉన్నాయి (పట్టిక చూడండి). అంతర్జాతీయంగా పాయింట్ గ్రూపుల హోదాలు వాటిని ఉత్పత్తి చేసే సమరూప కార్యకలాపాల చిహ్నాలను కలిగి ఉంటాయి. ఈ సమూహాలు యూనిట్ సెల్ (o, b, c మరియు కోణాల a, b, g కాలాలతో) 7 వ్యవస్థలుగా యూనిట్ సెల్ ఆకారం యొక్క సమరూపత ప్రకారం కలుపుతారు.

భ్రమణాలను మాత్రమే కలిగి ఉన్న సమూహాలు అనుకూల సమాన భాగాలను (1వ రకమైన సమూహాలు) మాత్రమే కలిగి ఉన్న వాటిని వివరిస్తాయి. ప్రతిబింబాలు లేదా విలోమ భ్రమణాలను కలిగి ఉన్న సమూహాలు అద్దం లాంటి భాగాలను (2వ రకమైన సమూహాలు) కలిగి ఉన్న స్ఫటికాలను వివరిస్తాయి. 1వ రకమైన సమూహాలచే వివరించబడిన స్ఫటికాలు రెండు ఎన్‌యాంటియోమోర్ఫిక్ రూపాల్లో స్ఫటికీకరించబడతాయి ("కుడి" మరియు "ఎడమ", వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి 2వ రకమైన సమరూప అంశాలను కలిగి ఉండవు), కానీ ఒకదానికొకటి సమానంగా ప్రతిబింబిస్తాయి (ENANTIOMORPHISM చూడండి).

పాయింట్ సమూహాలు స్ఫటికాల యొక్క సమరూపతను మాత్రమే కాకుండా, ఏదైనా పరిమిత బొమ్మలను వివరిస్తాయి. జీవన స్వభావంలో, 5 వ, 7 వ క్రమం మరియు అంతకంటే ఎక్కువ అక్షాలతో సమరూపత తరచుగా గమనించబడుతుంది, ఇది స్ఫటికాకార శాస్త్రంలో నిషేధించబడింది. ఉదాహరణకు, గోళాకారం యొక్క సాధారణ నిర్మాణాన్ని వివరించడానికి వైరస్లు, అణువుల దట్టమైన ప్యాకింగ్ సూత్రాలను గమనించిన షెల్లలో, ఐకోసాహెడ్రల్ 532 ముఖ్యమైనదిగా మారింది (బయోలాజికల్ క్రిస్టల్స్ చూడండి).

సమూహాలను పరిమితం చేయండి. వివిధ రకాల ఆధారపడటాన్ని వివరించే విధులు. దిశను బట్టి క్రిస్టల్ యొక్క లక్షణాలు, నిర్దిష్ట బిందువు సమరూపతను కలిగి ఉంటాయి, ప్రత్యేకంగా క్రిస్టల్ కట్ యొక్క సమరూప సమూహంతో అనుబంధించబడతాయి. ఇది దానితో సమానంగా ఉంటుంది లేదా సమరూపతలో దాని కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది (న్యూమాన్ సూత్రం).

నిర్దిష్ట బిందువు సమరూప సమూహాలకు చెందిన స్ఫటికాల యొక్క అనేక లక్షణాలు క్రిస్టల్ ఫిజిక్స్ అని పిలవబడేవి వివరించబడ్డాయి).

స్ఫటికాల పరమాణు నిర్మాణం యొక్క ప్రాదేశిక సమరూపత ఖాళీల ద్వారా వివరించబడింది. సమరూపత G33 సమూహాలు (1890లో వాటిని కనుగొన్న E. S. ఫెడోరోవ్ గౌరవార్థం ఫెడోరోవ్ సమూహాలు అని కూడా పిలుస్తారు). లాటిస్ యొక్క ఆపరేషన్ల లక్షణం మూడు నాన్-కోప్లానార్ వాటిని a, b, c అని పిలుస్తారు. అనువాదాలు, ఇది స్ఫటికాల పరమాణు నిర్మాణం యొక్క త్రిమితీయ ఆవర్తనాన్ని నిర్ణయిస్తుంది. a, b, c లేదా ఏదైనా వెక్టర్ t=р1a+p2b+p3cకి నిర్మాణం యొక్క మార్పు (బదిలీ), ఇక్కడ p1, p2, p3 ఏదైనా సానుకూల లేదా ప్రతికూల పూర్ణాంకాలు, స్ఫటికం యొక్క నిర్మాణాన్ని దానితో కలుపుతుంది మరియు అందువలన, ఒక సమరూప ఆపరేషన్ (అనువాద సమరూపత).

G33 సమూహాలలో లాటిస్‌లో అనువాదాలు మరియు పాయింట్ సిమెట్రీ ఆపరేషన్‌లను కలపడం వల్ల, కార్యకలాపాలు మరియు సంబంధిత అనువాద సమరూప అంశాలు తలెత్తుతాయి. భాగం - స్క్రూ అక్షాలు dispar. ఆర్డర్లు మరియు మేత ప్రతిబింబం యొక్క విమానం (Fig. 2, e, f). మొత్తం 230 ఖాళీలు తెలిసినవి. సమరూప సమూహాలు G33, ఏదైనా క్రిస్టల్ ఈ సమూహాలలో ఒకదానికి చెందినది. ప్రసార మైక్రోసిమెట్రీ యొక్క మూలకాలు స్థూల దృష్టితో వ్యక్తీకరించబడవు, ఉదాహరణకు. క్రిస్టల్ కట్టింగ్‌లోని హెలికల్ యాక్సిస్ సంబంధిత సాధారణ భ్రమణ అక్షం వలె కనిపిస్తుంది. కాబట్టి, 230 G33 సమూహాలలో ప్రతి ఒక్కటి 32 పాయింట్ల సమూహాలలో ఒకదానికి మాక్రోస్కోపికల్‌గా (హోమోమోర్ఫిక్) పోలి ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, 28 ఖాళీలు mmm అనే పాయింట్ గ్రూప్‌లో హోమోమోర్ఫికల్‌గా మ్యాప్ చేయబడతాయి. సమూహాలు. ఇచ్చిన స్పేస్ సమూహంలో అంతర్లీనంగా ఉన్న అనువాదాల సమితి దాని అనువాద ఉప సమూహం లేదా బ్రావైస్ లాటిస్; అటువంటి లాటిస్‌లు 14 ఉన్నాయి.

పొరలు మరియు గొలుసుల సమరూపత. 1 లేదా 2 దిశలలో ఆవర్తన వస్తువులను వివరించడానికి, క్రిస్టల్ నిర్మాణం యొక్క ప్రత్యేక శకలాలు, సమూహాలు G32 - రెండు-డైమెన్షనల్ ఆవర్తన మరియు G31 - త్రిమితీయ ప్రదేశంలో ఒక డైమెన్షనల్ ఆవర్తనాన్ని ఉపయోగించవచ్చు. బయోల్ అధ్యయనంలో ఈ సమూహాలు ముఖ్యమైన పాత్ర పోషిస్తాయి. నిర్మాణాలు మరియు అణువులు. ఉదాహరణకు, సమూహాలు G| బయోల్ యొక్క నిర్మాణాన్ని వివరించండి. పొరలు, G31-గొలుసు అణువుల సమూహాలు (Fig. 5, a) రాడ్-ఆకారపు వైరస్‌లు, గ్లోబులర్ ప్రోటీన్‌ల గొట్టపు స్ఫటికాలు (Fig. 5, b), వీటిలో G31 సమూహాలలో సాధ్యమయ్యే స్పైరల్ (హెలికల్) సమరూపత ప్రకారం అమర్చబడి ఉంటాయి. (బయోలాజికల్ క్రిస్టల్స్ చూడండి).

అన్నం. 5. మురి సమరూపత కలిగిన వస్తువులు: a - DNA; b - ఫాస్ఫోరైలేస్ ప్రోటీన్ యొక్క గొట్టపు క్రిస్టల్ (ఎలక్ట్రాన్ మైక్రోస్కోపిక్ ఇమేజ్, మాగ్నిఫికేషన్ 220000).

సాధారణీకరించిన సమరూపత. సమరూపత యొక్క నిర్వచనం పరివర్తన (1, ఎ) కింద సమానత్వం (1, బి) భావనపై ఆధారపడి ఉంటుంది. అయితే, భౌతికంగా (మరియు గణితపరంగా) ఒక వస్తువు కొన్ని అంశాలలో తనకు సమానంగా ఉంటుంది మరియు ఇతరులలో సమానంగా ఉండదు. ఉదాహరణకు, యాంటీఫెరో మాగ్నెట్ క్రిస్టల్‌లోని న్యూక్లియైలు మరియు ఎలక్ట్రాన్‌లను సాధారణ ఖాళీలను ఉపయోగించి వివరించవచ్చు. సమరూపత, కానీ మీరు అయస్కాంతాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే క్షణాలు (Fig. 6), తర్వాత సాధారణ”, క్లాసిక్. సమరూపత ఇకపై సరిపోదు. సమరూపత యొక్క ఇటువంటి సాధారణీకరణలు యాంటిసిమెట్రీ మరియు . మూడు ఖాళీలతో పాటు యాంటిసిమెట్రీలో. x1, x2, x3 వేరియబుల్స్‌కు, అదనపు 4వ వేరియబుల్ x4=±1 పరిచయం చేయబడింది. పరివర్తన (1, ఎ) సమయంలో (1, బి) ఫంక్షన్ F దానితో సమానంగా ఉండటమే కాకుండా “యాంటీ-ఈక్వల్” - మార్పు గుర్తును కూడా మార్చే విధంగా దీనిని అర్థం చేసుకోవచ్చు. సాంప్రదాయకంగా, అటువంటి ఆపరేషన్ రంగును మార్చడం ద్వారా చిత్రీకరించబడుతుంది (Fig. 7).

అన్నం. 6. ఫెర్రి అయస్కాంత స్ఫటికం యొక్క యూనిట్ సెల్‌లో అయస్కాంత కదలికల (బాణాలు) పంపిణీ, సాధారణ సమరూపతను ఉపయోగించి వివరించబడింది.

58 C30 పాయింట్ యాంటిసిమెట్రీ సమూహాలు మరియు 1651 ఖాళీలు ఉన్నాయి. యాంటిసిమెట్రీ G33,a (శుబ్నికోవ్స్కీ సమూహం). అదనపు వేరియబుల్ రెండు విలువలను పొందకపోతే, అనేకం. (సాధ్యమైన సంఖ్యలు 3, 4, 6, 8, ..., 48), అప్పుడు బెలోవ్ రంగు సమరూపత పుడుతుంది. అందువలన, 81 పాయింట్ల సమూహాలు G30,ts మరియు 2942 సమూహాలు C33,ts అంటారు. స్ఫటికాకార శాస్త్రంలో సాధారణీకరించిన సమరూపత యొక్క ప్రధాన అనువర్తనాలు అయస్కాంతాల వివరణ. నిర్మాణాలు.

అన్నం. 7. పాయింట్ యాంటిసిమెట్రీ గ్రూప్ వివరించిన బొమ్మ.

డా. సమరూపత యొక్క సాధారణీకరణలు: సారూప్యత యొక్క సమరూపత, ఒక వ్యక్తి యొక్క భాగాల సమానత్వం వాటి సారూప్యతతో భర్తీ చేయబడినప్పుడు (Fig. 8), కర్విలినియర్ సమరూపత, గణాంక. క్రమరహిత స్ఫటికాలు, ఘన పరిష్కారాలు, ద్రవ స్ఫటికాలు మొదలైన వాటి నిర్మాణాన్ని వివరించేటప్పుడు సమరూపత పరిచయం చేయబడింది.

భౌతిక ఎన్సైక్లోపెడిక్ నిఘంటువు. - M.: సోవియట్ ఎన్సైక్లోపీడియా. ఎడిటర్-ఇన్-చీఫ్ A. M. ప్రోఖోరోవ్. 1983 .

స్ఫటికాల సమరూపత

భ్రమణాలు, ప్రతిబింబాలు, సమాంతర బదిలీలు లేదా పాక్షికంగా లేదా ఈ కార్యకలాపాల కలయిక సమయంలో స్ఫటికాల యొక్క లక్షణం. సమరూపత ext. క్రిస్టల్ యొక్క ఆకృతి (కట్) దాని పరమాణు నిర్మాణం యొక్క సమరూపత ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది, ఇది భౌతిక నిర్మాణం యొక్క సమరూపతను కూడా నిర్ణయిస్తుంది. క్రిస్టల్ యొక్క లక్షణాలు.

అంజీర్లో. 1 ఎఒక క్వార్ట్జ్ క్రిస్టల్ వర్ణించబడింది. Ext. దాని రూపం బి) సమరూపత m (అద్దం సమానత్వం) యొక్క విమానంలో ప్రతిబింబించడం ద్వారా దానిలోకి రూపాంతరం చెందుతుంది. ఉంటే - ఒక వస్తువును వివరించే ఫంక్షన్, ఉదా. త్రిమితీయ స్థలంలో క్రిస్టల్ ఆకారం లేదా k.-l. దాని ఆస్తి, మరియు ఆపరేషన్ వస్తువు యొక్క అన్ని పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌లను మారుస్తుంది gసమరూపత యొక్క ఆపరేషన్ లేదా పరివర్తన, మరియు F అనేది సుష్ట వస్తువు,

గరిష్టంగా. సాధారణ సూత్రీకరణలో, సమరూపత అనేది వస్తువులు మరియు చట్టాల యొక్క మార్పులేని (అస్థిరత) వాటిని వివరించే వేరియబుల్స్ యొక్క నిర్దిష్ట పరివర్తనల క్రింద ఉంటుంది. SK నిజమైన త్రిమితీయ ప్రదేశంలో వాటి నిర్మాణం మరియు లక్షణాలలో మాత్రమే కాకుండా, శక్తి వర్ణనలో కూడా వ్యక్తమవుతుంది. క్రిస్టల్ యొక్క ఎలక్ట్రాన్ స్పెక్ట్రం (చూడండి జోన్ సిద్ధాంతం),ప్రక్రియలను విశ్లేషించేటప్పుడు ఎక్స్-రే డిఫ్రాక్షన్, న్యూట్రాన్ డిఫ్రాక్షన్మరియు ఎలక్ట్రాన్ డిఫ్రాక్షన్పరస్పర స్థలాన్ని ఉపయోగించి స్ఫటికాలలో (చూడండి రివర్స్ లాటిస్)అది. పి.

స్ఫటికాల సమరూప సమూహాలు. ఒక క్రిస్టల్ ఒకటి కంటే ఎక్కువ లక్షణాలను కలిగి ఉండవచ్చు, మత్తు. సమరూప కార్యకలాపాలు. అందువలన, ఒక క్వార్ట్జ్ క్రిస్టల్ (Fig. 1, ఎ)దాని అక్షం చుట్టూ 120° తిప్పినప్పుడు మాత్రమే దానితో కలిపి ఉంటుంది 3 (ఆపరేషన్ జి),అక్షం చుట్టూ తిరిగేటప్పుడు noi 3 240° వద్ద (ఆపరేషన్ g 2),&అక్షాల చుట్టూ 180° తిరిగేటప్పుడు కూడా 2 X, 2 y, 2 W(ఆపరేషన్లు g 3, g 4, g 5) ప్రతి సమరూప ఆపరేషన్ ఒక సమరూప మూలకంతో అనుబంధించబడుతుంది - సరళ రేఖ, 3 లేదా అక్షం 2 x, 2 y, 2 wసమరూపత యొక్క అక్షాలు, విమానం టి(Fig. 1, b) - అద్దం సమరూపత యొక్క విమానం, మొదలైనవి సమరూప కార్యకలాపాల సమితి (g 1 , g 2 ,..., g n )ఇచ్చిన క్రిస్టల్ గణిత శాస్త్రంలో సమరూప సమూహాన్ని ఏర్పరుస్తుంది. సిద్ధాంతాలు సమూహాలు.స్థిరమైన రెండు సమరూప ఆపరేషన్లు చేయడం కూడా ఒక సమరూప ఆపరేషన్. సమూహ సిద్ధాంతంలో ఇది కార్యకలాపాల ఉత్పత్తిగా సూచించబడుతుంది: ఎల్లప్పుడూ గుర్తింపు ఆపరేషన్ ఉంటుంది g 0,అని పిలువబడే క్రిస్టల్‌లో దేనినీ మార్చదు. గుర్తింపు, ఇది జ్యామితీయంగా ఏదైనా అక్షం చుట్టూ 360° ద్వారా ఒక వస్తువు యొక్క అస్థిరతకు లేదా దాని భ్రమణానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది. G గ్రూప్‌ని రూపొందించే కార్యకలాపాల సంఖ్యను అంటారు. సమూహ క్రమం.

అంతరిక్ష పరివర్తనల సమరూప సమూహాలు వర్గీకరించబడ్డాయి: సంఖ్య ద్వారా . అవి నిర్వచించబడిన స్థలం యొక్క కొలతలు; సంఖ్య ద్వారా . స్థలం యొక్క కొలతలు, దీనిలో వస్తువు కాలానుగుణంగా ఉంటుంది (అవి తదనుగుణంగా నియమించబడతాయి), మరియు కొన్ని ఇతర లక్షణాల ప్రకారం. స్ఫటికాలను వివరించడానికి, వివిధ సమరూప సమూహాలు ఉపయోగించబడతాయి, వీటిలో ముఖ్యమైనవి బాహ్య రూపాన్ని వివరించేవి. క్రిస్టల్ ఆకారం; వాళ్ళ పేర్లు క్రిస్టల్లాగ్రాఫిక్ కూడా. తరగతులు; స్ఫటికాల పరమాణు నిర్మాణాన్ని వివరించే అంతరిక్ష సమరూప సమూహాలు.

పాయింట్ సమరూప సమూహాలు.పాయింట్ సమరూపత కార్యకలాపాలు: ఆర్డర్ యొక్క సమరూపత అక్షం చుట్టూ భ్రమణాలు ఎన్సమానమైన కోణంలో 360°/N(Fig. 2, a); సమరూపత యొక్క విమానంలో ప్రతిబింబం టి(అద్దం ప్రతిబింబం, బి); విలోమం (ఒక పాయింట్ గురించి సమరూపత, Fig. 2, c); విలోమ మలుపులు (ఒక కోణంలో తిరగడం కలయిక 360°/N సెఅదే సమయంలో విలోమం, Fig. 2, d). విలోమ భ్రమణాలకు బదులుగా, సమానమైన అద్దం భ్రమణాలు కొన్నిసార్లు పరిగణించబడతాయి.పాయింట్ సమరూపత కార్యకలాపాల యొక్క జ్యామితీయ సాధ్యం కలయికలు ఒకటి లేదా మరొక పాయింట్ సమరూపత సమూహాన్ని నిర్ణయిస్తాయి, ఇది సాధారణంగా స్టీరియోగ్రాఫిక్ రూపంలో చిత్రీకరించబడుతుంది.

అన్నం. 2. సమరూప కార్యకలాపాలకు ఉదాహరణలు: a - భ్రమణం; బి - ప్రతిబింబం; c- విలోమం; d - 4వ ఆర్డర్ విలోమ భ్రమణం; d - 4 వ ఆర్డర్ యొక్క స్క్రూ రొటేషన్; ఇ - స్లైడింగ్ ప్రతిబింబం.

అన్నం. 3. వివిధ పాయింట్ సమూహాలకు చెందిన స్ఫటికాల ఉదాహరణలు (స్ఫటికాకార తరగతులు): a - తరగతి m నుండి (ఒక సమరూపత విమానం); b - తరగతికి (సమరూపత కేంద్రం లేదా విలోమ కేంద్రం); a - 2వ తరగతికి (2వ ఆర్డర్ యొక్క సమరూపత యొక్క ఒక అక్షం); g - తరగతికి (6వ ఆర్డర్ యొక్క ఒక విలోమ-భ్రమణం అక్షం).

పాయింట్ సమరూప పరివర్తనలు సరళ సమీకరణాల ద్వారా వివరించబడింది

లేదా గుణకం మాతృక

ఉదాహరణకు, అక్షం చుట్టూ తిరిగేటప్పుడు x 1కోణంలో -=360°/N మాతృక డిరూపం ఉంది:

మరియు ఒక విమానంలో ప్రతిబింబించినప్పుడు x 1 x 2 డిరూపం ఉంది:

పాయింట్ గ్రూపుల సంఖ్య అనంతం. అయితే, స్ఫటికాలలో, స్ఫటికాకార కణాల ఉనికి కారణంగా. లాటిస్‌లు, ఆపరేషన్‌లు మాత్రమే మరియు తదనుగుణంగా, 6వ ఆర్డర్ వరకు సమరూప అక్షాలు సాధ్యమే (5వది మినహా; ఒక క్రిస్టల్ లాటిస్‌లో 5వ క్రమం యొక్క సమరూప అక్షం ఉండకూడదు, ఎందుకంటే పెంటగోనల్ బొమ్మలను ఉపయోగించడం వల్ల ఖాళీలు లేకుండా ఖాళీని పూరించడం అసాధ్యం. ) పాయింట్ సమరూపత యొక్క కార్యకలాపాలు మరియు సమరూపత యొక్క సంబంధిత అంశాలు చిహ్నాల ద్వారా సూచించబడతాయి: అక్షాలు 1, 2, 3, 4, 6, విలోమ అక్షాలు (సమరూప కేంద్రం లేదా విలోమ కేంద్రం), (సమరూపత సమతలం అని కూడా పిలుస్తారు) , (Fig. 4).

అన్నం. 4. పాయింట్ సమరూపత యొక్క మూలకాల యొక్క గ్రాఫిక్ హోదాలు: a - సర్కిల్ - సమరూపత యొక్క కేంద్రం, డ్రాయింగ్ ప్లేన్‌కు లంబంగా సమరూపత యొక్క అక్షాలు; b - అక్షం 2, డ్రాయింగ్ ప్లేన్‌కు సమాంతరంగా; c - సమరూపత యొక్క అక్షాలు, డ్రాయింగ్ ప్లేన్‌కు సమాంతరంగా లేదా వాలుగా ఉంటాయి; g - సమరూపత యొక్క విమానం, డ్రాయింగ్ యొక్క విమానానికి లంబంగా; d - డ్రాయింగ్ యొక్క విమానానికి సమాంతరంగా సమరూపత యొక్క విమానాలు.

పాయింట్ సమరూప సమూహాన్ని వివరించడానికి, ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ పేర్కొనడానికి సరిపోతుంది. b, c మరియు కోణాలు) 7 వ్యవస్థలలో (టేబుల్ 1).

Ch మినహా ఉన్న సమూహాలు. అక్షతలు ఎన్సమరూపత యొక్క విమానాలు T,గా నియమించబడ్డాయి N/mఉంటే లేదా Nm,అక్షం విమానంలో ఉంటే టి.కాకుండా సమూహం ఉంటే అనేక ఇరుసులను కలిగి ఉంటుంది. సమరూపత యొక్క విమానాలు దాని గుండా వెళతాయి, అప్పుడు అది సూచించబడుతుంది Nmm.

పట్టిక 1.- క్రిస్టల్ సమరూపత యొక్క పాయింట్ సమూహాలు (తరగతులు).

SK యొక్క సమూహాలు జియోమ్‌ను కలిగి ఉంటాయి. అర్థం: ప్రతి ఆపరేషన్, ఉదాహరణకు, సమరూపత యొక్క అక్షం చుట్టూ భ్రమణానికి, విమానంలో ప్రతిబింబానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది. ఇచ్చిన సమూహంలో (కానీ వాటి జియోమ్ కాదు. అర్థం) ఒకదానికొకటి ఒకేలా లేదా ఐసోమోర్ఫిక్‌గా మారుతుంది. ఇవి, ఉదాహరణకు, సమూహాలు 4 మరియు , tt2, 222. మొత్తంగా S. k యొక్క 32 పాయింట్ల సమూహాలలో ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ ఐసోమోర్ఫిక్ 18 నైరూప్య సమూహాలు ఉన్నాయి.

పాయింట్ సమూహాలు స్ఫటికాల యొక్క సమరూపతను మాత్రమే కాకుండా, ఏదైనా పరిమిత బొమ్మలను వివరిస్తాయి. జీవన స్వభావంలో, స్ఫటికాకార శాస్త్రంలో నిషేధించబడిన 5వ, 7వ క్రమం మరియు అంతకంటే ఎక్కువ అక్షాలతో పాయింట్ సమరూపత తరచుగా గమనించబడుతుంది. గోళాకారం యొక్క సాధారణ నిర్మాణాన్ని వివరించడానికి వైరస్లు, వీటిలో అణువుల దట్టమైన ప్యాకింగ్ సూత్రాలు గమనించబడతాయి మరియు కొన్ని అకర్బన. అణువులు ముఖ్యమైన ఐకోసాహెడ్రల్‌గా మారాయి. (సెం. జీవ క్రిస్టల్).ఐకోసాహెడ్రిక్. సమరూపత కూడా గమనించబడుతుంది క్వాసిక్రిస్టల్స్.

సమూహాలను పరిమితం చేయండి. దిశపై క్రిస్టల్ యొక్క వివిధ లక్షణాల ఆధారపడటాన్ని వివరించే విధులు నిర్దిష్ట పాయింట్ సమరూపతను కలిగి ఉంటాయి, ప్రత్యేకంగా క్రిస్టల్ ముఖభాగం యొక్క సమరూప సమూహంతో అనుబంధించబడతాయి. ఇది దానితో సమానంగా ఉంటుంది లేదా సమరూపతలో దాని కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది ( న్యూమాన్ సూత్రం).

అన్నం. 5. 32 స్ఫటికాకార మరియు 2 ఐకోసాహెడ్రల్ సమూహాల స్టీరియోగ్రాఫిక్ అంచనాలు. సమూహాలు కుటుంబాల ప్రకారం నిలువు వరుసలలో అమర్చబడి ఉంటాయి, వీటిలో చిహ్నాలు ఎగువ వరుసలో ఇవ్వబడ్డాయి. దిగువ వరుస ప్రతి కుటుంబం యొక్క పరిమితి సమూహాన్ని చూపుతుంది మరియు పరిమితి సమూహాన్ని వివరించే బొమ్మలను చూపుతుంది.

అంతరిక్ష సమరూప సమూహాలు.స్ఫటికాల పరమాణు నిర్మాణం యొక్క ప్రాదేశిక సమరూపత అంతరిక్ష సమరూప సమూహాలచే వివరించబడింది. వాళ్ళు పిలువబడ్డారు 1890లో వాటిని కనుగొన్న E. S. ఫెడోరోవ్ గౌరవార్థం కూడా ఫెడోరోవ్స్కీ; ఈ సమూహాలు స్వతంత్రంగా అదే సంవత్సరంలో A. స్కోన్‌ఫ్లైస్ ద్వారా ఉద్భవించబడ్డాయి, పాయింట్ సమూహాలకు విరుద్ధంగా, స్ఫటికాకార రూపాల నమూనాల సాధారణీకరణగా పొందబడ్డాయి. పాలీహెడ్రా (S.I. గెస్సెల్, 1830, A. స్ఫటికాల యొక్క పరమాణు నిర్మాణం యొక్క కార్యకలాపాలు నాన్-కోప్లానార్ అనువాదాలు a, b , తో , ఇది స్ఫటికాకార త్రిమితీయ ఆవర్తనాన్ని నిర్ణయిస్తుంది. గ్రేట్స్. క్రిస్టాలిక్. లాటిస్ మూడు కోణాలలో అనంతంగా పరిగణించబడుతుంది. అటువంటి గణితం. నిజమైన, a, b, c లేదా ఏదైనా వెక్టర్ ఎక్కడ p 1, p 2, p 3 -ఏదైనా పూర్ణాంకాలు, Phys. స్ఫటికాకార విచక్షణ ఒక పదార్ధం దాని పరమాణు నిర్మాణంలో వ్యక్తీకరించబడుతుంది. త్రిమితీయ సజాతీయ వివిక్త స్థలం యొక్క తమలో తాము పరివర్తన చెందే సమూహాలు. విచక్షణ అనేది అటువంటి స్థలం యొక్క అన్ని పాయింట్లు ఒకదానికొకటి సుష్టంగా సమానంగా ఉండవు, ఉదాహరణకు. ఒకటి మరియు మరొక అణువు, న్యూక్లియైలు మరియు ఎలక్ట్రాన్లు. సజాతీయత మరియు విచక్షణ యొక్క పరిస్థితులు అంతరిక్ష సమూహాలు త్రిమితీయ క్రమానుగతంగా ఉంటాయి, అనగా, ఏదైనా సమూహం అనువాదాల ఉప సమూహాన్ని కలిగి ఉంటుంది అనే వాస్తవం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. టి- స్ఫటికాకార కిటికీలకు అమర్చే ఇనుప చట్రం.

సమూహాలలో లాటిస్‌లో అనువాదాలు మరియు పాయింట్ సిమెట్రీ ఆపరేషన్‌లను కలపడం వల్ల, పాయింట్ సిమెట్రీ ఆపరేషన్‌లతో పాటు, ఆపరేషన్‌లు మరియు అనువాదంతో సంబంధిత సమరూప అంశాలు తలెత్తుతాయి. భాగం - వివిధ ఆర్డర్‌ల హెలికల్ అక్షాలు మరియు స్లైడింగ్ రిఫ్లెక్షన్ యొక్క విమానాలు (Fig. 2, d, f).

యూనిట్ సెల్ (ప్రాథమిక సమాంతర పైప్డ్) ఆకారం యొక్క పాయింట్ సమరూపతకు అనుగుణంగా, పాయింట్ గ్రూపుల వలె స్పేస్ సమూహాలు 7 క్రిస్టల్లాగ్రాఫిక్‌గా విభజించబడ్డాయి. సింగోనీ(టేబుల్ 2). వారి తదుపరి విభజన ప్రసారానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది. సమూహాలు మరియు వాటి సంబంధిత బార్లకు కుడివైపు. 14 బ్రావైస్ లాటిస్‌లు ఉన్నాయి, వాటిలో 7 సంబంధిత వ్యవస్థల యొక్క ఆదిమ లాటిస్‌లు, P (రాంబోహెడ్రల్ మినహా R).ఇతరులు - 7 కేంద్రీకృతం. A (ముఖం కేంద్రీకృతమై ఉంది bc), B(అంచు ac), C (ab);శరీర-కేంద్రీకృత I, ముఖం-కేంద్రీకృతం (మొత్తం 3 ముఖాలపై) ఎఫ్.అనువాద ఆపరేషన్ కోసం కేంద్రీకరణను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం tకేంద్రానికి సంబంధించిన కేంద్రీకరణ బదిలీలు జోడించబడతాయి tcమీరు ఈ కార్యకలాపాలను ఒకదానితో ఒకటి కలిపితే t+ t లుమరియు సంబంధిత వ్యవస్థ యొక్క పాయింట్ సమూహాల కార్యకలాపాలతో, అప్పుడు 73 ప్రాదేశిక సమూహాలు పొందబడతాయి, అంటారు. సమరూపమైన.

పట్టిక 2.-స్పేస్ సమరూప సమూహాలు

కొన్ని నియమాల ఆధారంగా, నాన్-ట్రివియల్ సబ్గ్రూప్‌లను సింమార్ఫిక్ స్పేస్ గ్రూపుల నుండి సంగ్రహించవచ్చు, ఇది మరో 157 నాన్-సిమ్మోర్ఫిక్ స్పేస్ గ్రూపులను ఇస్తుంది. మొత్తం 230 స్పేస్ గ్రూపులు ఉన్నాయి. ఒక బిందువును మార్చేటప్పుడు సమరూప చర్యలు Xదానికి సమరూపంగా సమానంగా (అందువలన మొత్తం స్థలం దానిలోకి) రూపంలో వ్రాయబడింది:, ఎక్కడ D-పాయింట్ రూపాంతరాలు, - హెలికల్ బదిలీ లేదా స్లైడింగ్ ప్రతిబింబం యొక్క భాగాలు, - అనువాద కార్యకలాపాలు. బ్రావైస్ సమూహం. హెలికల్ సమరూపత యొక్క ఆపరేషన్లు మరియు సమరూపత యొక్క సంబంధిత అంశాలు - హెలికల్ అక్షాలు ఒక కోణాన్ని కలిగి ఉంటాయి. భాగం (N = 2, 3, 4, 6) మరియు అనువాదం t s = tq/N,ఎక్కడ t-గ్రిడ్ ప్రసారం, ఆన్ చేయండి Zh అక్షం వెంట అనువాదంతో ఏకకాలంలో సంభవిస్తుంది, q-హెలికల్ రొటేషన్ ఇండెక్స్. హెలికల్ యాక్సిల్స్ కోసం సాధారణ చిహ్నం Nq(Fig. 6). స్క్రూ అక్షాలు ch వెంట దర్శకత్వం వహించబడతాయి. యూనిట్ సెల్ యొక్క అక్షాలు లేదా వికర్ణాలు. అక్షాలు 3 1 మరియు 3 2, 4 1 మరియు 4 3, 6 1 మరియు 6 5, 6 2 మరియు 6 4 జతగా కుడి మరియు ఎడమ హెలికల్ మలుపులకు అనుగుణంగా ఉంటాయి. అంతరిక్ష సమూహాలలో అద్దం సమరూపత యొక్క ఆపరేషన్‌తో పాటు, గ్లైడింగ్ రిఫ్లెక్షన్ ప్లేన్‌లు కూడా సాధ్యమే, బి, సి:ప్రతిబింబం సంబంధిత గ్రేటింగ్ వ్యవధిలో సగం అనువాదంతో కలిపి ఉంటుంది. సెల్ ముఖం యొక్క సగం వికర్ణాన్ని తరలించడం అనుగుణంగా ఉంటుంది n. క్లినోప్లేన్ స్లిప్ n, అదనంగా, టెట్రాగోనల్ మరియు క్యూబిక్‌లో. డి.

అన్నం. 6. a - ఫిగర్ యొక్క విమానానికి లంబంగా ఉన్న స్క్రూ గొడ్డలి యొక్క గ్రాఫిక్ హోదాలు; బి - ఫిగర్ యొక్క విమానంలో పడి ఉన్న స్క్రూ అక్షం; c - గ్లైడింగ్ ప్రతిబింబం యొక్క విమానాలు, అంజీర్ యొక్క సమతలానికి లంబంగా ఉంటాయి, ఇక్కడ a, b, c అనేది స్లైడింగ్ సంభవించే అక్షాలతో పాటు యూనిట్ సెల్ యొక్క కాలాలు (అనువాద భాగం a/2), n - మేత ప్రతిబింబం యొక్క వికర్ణ విమానం [అనువాద భాగం (a + b)/2], d - డైమండ్ స్లైడింగ్ ప్లేన్; d - డ్రాయింగ్ యొక్క విమానంలో అదే.

పట్టికలో 2 మొత్తం 230 అంతరిక్ష సమూహాల యొక్క అంతర్జాతీయ చిహ్నాలను 7 వ్యవస్థలలో ఒకదానికి మరియు పాయింట్ సమరూపత తరగతికి అనుగుణంగా అందిస్తుంది.

ప్రసార అంతరిక్ష సమూహాల మైక్రోసిమెట్రీ కార్యకలాపాల భాగాలు పాయింట్ సమూహాలలో స్థూల దృష్టితో కనిపించవు; ఉదాహరణకు, క్రిస్టల్ కట్టింగ్‌లో హెలికల్ యాక్సిస్ తదనుగుణంగా సాధారణ భ్రమణ అక్షం వలె కనిపిస్తుంది. అందువల్ల, 230 సమూహాలలో ప్రతి ఒక్కటి 32 పాయింట్ల సమూహాలలో ఒకదానికి స్థూల దృక్కోణంతో సమానంగా ఉంటుంది (హోమోమార్ఫిక్). ఉదాహరణకు, ఒక పాయింట్ సమూహానికి - ttt 28 అంతరిక్ష సమూహాలు హోమోమోర్ఫిక్‌గా మ్యాప్ చేయబడ్డాయి.

అంతరిక్ష సమూహాల యొక్క Schönflies సంజ్ఞామానం సంబంధిత పాయింట్ సమూహం యొక్క హోదా (ఉదాహరణకు, టేబుల్ 1), దీనికి చారిత్రాత్మకంగా ఆమోదించబడినది , పైన కేటాయించబడింది. అంతర్జాతీయ సంజ్ఞామానంలో, Bravais లాటిస్ చిహ్నం మరియు ప్రతి సమూహం యొక్క సమరూపత కార్యకలాపాలు సూచించబడతాయి, మొదలైనవి. అంతర్జాతీయ సంజ్ఞామానంలో పట్టిక 2లోని స్పేస్ సమూహాల అమరిక యొక్క క్రమం Schönflies సంజ్ఞామానంలోని సంఖ్యకు (సూపర్‌స్క్రిప్ట్) అనుగుణంగా ఉంటుంది.

అంజీర్లో. మూర్తి 7 ఖాళీల చిత్రాన్ని చూపుతుంది. సమూహాలు - Rptaఇంటర్నేషనల్ క్రిస్టల్లోగ్రాఫిక్ ప్రకారం. పట్టికలు. ప్రతి అంతరిక్ష సమూహం యొక్క సమరూపత యొక్క కార్యకలాపాలు (మరియు వాటి సంబంధిత అంశాలు),

అన్నం. 7. సమూహం యొక్క చిత్రం - అంతర్జాతీయ పట్టికలలో Ppta.

మీరు యూనిట్ సెల్ లోపల సెట్ చేస్తే k.-n. పాయింట్ x (x 1 x 2 x 3),అప్పుడు సమరూపత యొక్క కార్యకలాపాలు దానిని స్ఫటికాకార అంతటా సుష్టంగా సమాన బిందువులుగా మారుస్తాయి. స్థలం; అటువంటి పాయింట్లు అనంతమైన సంఖ్యలో ఉన్నాయి. కానీ ఒక ప్రాథమిక సెల్‌లో వారి స్థానాన్ని వివరించడానికి సరిపోతుంది మరియు ఈ సెట్ ఇప్పటికే లాటిస్ అనువాదాల ద్వారా గుణించబడుతుంది. ఇచ్చిన ఆపరేషన్ నుండి పొందిన పాయింట్ల సమితి g iసమూహాలు G - x 1 ,x 2 ,...,x n-1, అని పిలిచారు పాయింట్ల సాధారణ వ్యవస్థ (PST). కుడివైపున 7 అనేది సమూహం యొక్క సమరూప అంశాల స్థానం, ఎడమవైపు ఈ సమూహం యొక్క సాధారణ స్థానం యొక్క PST యొక్క చిత్రం. జనరల్ పొజిషన్ పాయింట్స్ అంటే స్పేస్ గ్రూప్ యొక్క పాయింట్ సిమెట్రీ ఎలిమెంట్‌లో లేని పాయింట్లు. అటువంటి పాయింట్ల సంఖ్య (మల్టిప్లిసిటీ) సమూహం యొక్క క్రమానికి సమానంగా ఉంటుంది. y= 1/4 మరియు 3/4. ఒక బిందువు సమతలంపై పడితే, అది సాధారణ స్థితిలో ఉన్న పాయింట్ల విషయంలో వలె ఈ విమానం ద్వారా రెట్టింపు చేయబడదు. ప్రతి ప్రాదేశిక సమూహానికి దాని స్వంత PSTలు ఉంటాయి. ప్రతి సమూహానికి సాధారణ స్థానంలో ఒకే సరైన పాయింట్ల వ్యవస్థ ఉంది. కానీ కొన్ని PST ప్రత్యేక నిబంధనలు వేర్వేరు సమూహాలకు ఒకే విధంగా ఉండవచ్చు. అంతర్జాతీయ పట్టికలు PSTల బహుళత్వం, వాటి సమరూపత మరియు కోఆర్డినేట్‌లు మరియు ప్రతి అంతరిక్ష సమూహం యొక్క అన్ని ఇతర లక్షణాలను సూచిస్తాయి. PST భావన యొక్క ప్రాముఖ్యత ఏదైనా స్ఫటికాకారంలో ఉంటుంది. ఇచ్చిన అంతరిక్ష సమూహానికి చెందిన నిర్మాణం,

క్రిస్టల్ సమరూప సమూహాల ఉప సమూహాలు.ఆపరేషన్‌లో భాగమైతే స్వయంగా ఒక సమూహాన్ని ఏర్పరుస్తుంది G r (g 1 ,...,g m),,అప్పుడు చివరి పేరు మొదటి యొక్క ఉప సమూహం. ఉదాహరణకు, పాయింట్ గ్రూప్32 (Fig. 1, a) యొక్క ఉప సమూహాలు సమూహం 3 మరియు సమూహం 2. ఖాళీల మధ్య కూడా. సమూహాలు ఉప సమూహాల యొక్క సోపానక్రమం ఉంది. స్పేస్ గ్రూపులు సబ్‌గ్రూప్‌ల పాయింట్ గ్రూపులుగా ఉండవచ్చు (అటువంటి 217 స్పేస్ గ్రూపులు ఉన్నాయి) మరియు సబ్‌గ్రూప్‌లు, ఇవి తక్కువ ఆర్డర్‌లోని స్పేస్ గ్రూపులు. దీని ప్రకారం, ఉప సమూహాల యొక్క సోపానక్రమం ఉంది.

స్ఫటికాల యొక్క చాలా అంతరిక్ష సమరూప సమూహాలు ఒకదానికొకటి భిన్నంగా ఉంటాయి మరియు నైరూప్య సమూహాలుగా ఉంటాయి; 230 అంతరిక్ష సమూహాలకు ఐసోమోర్ఫిక్ ఉన్న నైరూప్య సమూహాల సంఖ్య 219. 11 మిర్రర్-ఈక్వల్ (ఎన్‌యాంటియోమోర్ఫిక్) స్పేస్ గ్రూపులు నైరూప్యంగా సమానంగా ఉంటాయి - ఒకటి మాత్రమే కుడిచేతితో, మరొకటి ఎడమ చేతి హెలికల్ అక్షాలు. ఇవి, ఉదాహరణకు, పి 3 1 21 మరియు పి 3 2 21. ఈ రెండు అంతరిక్ష సమూహాలు ఒక పాయింట్ గ్రూప్32పై హోమోమోర్ఫికల్‌గా మ్యాప్ చేస్తాయి, దీనికి క్వార్ట్జ్ చెందినది, కానీ క్వార్ట్జ్ తదనుగుణంగా కుడి-చేతి లేదా ఎడమ చేతి: ఈ సందర్భంలో ప్రాదేశిక నిర్మాణం యొక్క సమరూపత స్థూల దృష్టితో వ్యక్తీకరించబడుతుంది, స్ఫటికాల యొక్క అంతరిక్ష సమరూప సమూహాల పాత్ర.స్ఫటికాల యొక్క అంతరిక్ష సమరూప సమూహాలు సైద్ధాంతిక సిద్ధాంతానికి ఆధారం. క్రిస్టలోగ్రఫీ,స్ఫటికాల పరమాణు నిర్మాణాన్ని నిర్ణయించడానికి మరియు స్ఫటికాకారాన్ని వివరించడానికి డిఫ్రాక్షన్ మరియు ఇతర పద్ధతులు. ఎక్స్-రే డిఫ్రాక్షన్ ద్వారా పొందిన డిఫ్రాక్షన్ నమూనా న్యూట్రానోగ్రఫీలేదా ఎలక్ట్రోనోగ్రఫీ,సుష్ట మరియు రేఖాగణితాన్ని సెట్ చేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. క్రిస్టల్ యొక్క పరస్పర జాలక, అందువలన క్రిస్టల్ నిర్మాణం కూడా. ఈ విధంగా క్రిస్టల్ మరియు యూనిట్ సెల్ యొక్క పాయింట్ సమూహం నిర్ణయించబడుతుంది; లక్షణ విలుప్తత (నిర్దిష్ట డిఫ్రాక్షన్ రిఫ్లెక్షన్స్ లేకపోవడం) ఆధారంగా, బ్రావైస్ గ్రేటింగ్ రకం మరియు నిర్దిష్ట ప్రాదేశిక సమూహంలో సభ్యత్వం నిర్ణయించబడతాయి. యూనిట్ సెల్‌లో పరమాణువుల స్థానం డిఫ్రాక్షన్ రిఫ్లెక్షన్స్ యొక్క తీవ్రతల మొత్తం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది.

అంతరిక్ష సమూహాలు ముఖ్యమైన పాత్ర పోషిస్తాయి క్రిస్టల్ కెమిస్ట్రీ. 100 వేలకు పైగా స్ఫటికాకార కణాలు గుర్తించబడ్డాయి. నిర్మాణాలు అకర్బన, సేంద్రీయ మరియు జీవసంబంధమైనది కనెక్షన్లు. Рсс2, P4 2 cm, P4nc 1, Р6тп. సాంకేతికత మరియు ఇతర అంతరిక్ష సమూహాల ప్రాబల్యాన్ని వివరించే సిద్ధాంతం, పరమాణువుల పరిమాణాలు, పరమాణువులు లేదా అణువుల దగ్గరి ప్యాకింగ్ భావన, సమరూప మూలకాల “ప్యాకింగ్” పాత్ర - స్లైడింగ్ విమానాలు మరియు స్క్రూ గొడ్డలిని పరిగణనలోకి తీసుకుంటుంది.

ఘన స్థితి భౌతిక శాస్త్రంలో, మాత్రికలు మరియు ప్రత్యేక విధులను ఉపయోగించి సమూహ ప్రాతినిధ్యాల సిద్ధాంతం ఉపయోగించబడుతుంది. విధులు, స్పేస్ సమూహాలకు ఈ విధులు ఆవర్తన ఉంటాయి. 2వ రకమైన నిర్మాణ దశ పరివర్తనలు, తక్కువ సుష్ట (తక్కువ-ఉష్ణోగ్రత) దశ యొక్క అంతరిక్ష సమరూప సమూహం అనేది మరింత సుష్ట దశ యొక్క అంతరిక్ష సమూహం యొక్క ఉప సమూహం, మరియు దశ పరివర్తన స్థలం యొక్క తగ్గించలేని ప్రాతినిధ్యాలలో ఒకదానితో అనుబంధించబడింది. అత్యంత సుష్ట దశ సమూహం. ప్రాతినిధ్య సిద్ధాంతం కూడా డైనమిక్స్ సమస్యలను పరిష్కరించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది క్రిస్టల్ లాటిస్,దాని ఎలక్ట్రానిక్ మరియు అయస్కాంత నిర్మాణాలు, భౌతిక సంఖ్య లక్షణాలు. సిద్ధాంతపరంగా అంచనాలు, పొరలు మరియు గొలుసుల సమరూపత.స్ఫటికాకార అంచనాలు స్ట్రక్చరల్ ప్లేన్ ఫ్లాట్ గ్రూపులచే వివరించబడింది, వాటి సంఖ్య 17. 1 లేదా 2 దిశలలో ఆవర్తన త్రిమితీయ వస్తువులను వివరించడానికి, స్ఫటికాల నిర్మాణం యొక్క ప్రత్యేక శకలాలు, రెండు-డైమెన్షనల్ ఆవర్తన మరియు ఒక డైమెన్షనల్ ఆవర్తన సమూహాలను ఉపయోగించవచ్చు. జీవశాస్త్ర అధ్యయనంలో ఈ సమూహాలు ముఖ్యమైన పాత్ర పోషిస్తాయి. జీవ నిర్మాణాన్ని వివరించండి పొరలు, గొలుసు అణువుల సమూహాలు (Fig. 8, ఎ),రాడ్ ఆకారంలో ఉండే వైరస్‌లు, గొట్టపు స్ఫటికాలు, గ్లోబులర్ ప్రొటీన్లు (Fig. 8, బి),దీనిలో అవి స్పైరల్ (హెలికల్) సమరూపత ప్రకారం అమర్చబడి ఉంటాయి, ఇది సమూహాలలో సాధ్యమవుతుంది (చూడండి. జీవ క్రిస్టల్).

క్వాసిక్రిస్టల్స్ యొక్క నిర్మాణం.క్వాసిక్రిస్టల్(ఉదాహరణకు, A1 86 Mn 14) ఐకోసాహెడ్రల్ కలిగి ఉంటాయి. పాయింట్ సమరూపత (Fig. 5), ఇది స్ఫటికాలలో అసాధ్యం. సాధారణీకరించిన సమరూపత.సమరూపత యొక్క నిర్వచనం పరివర్తన (1,a) కింద సమానత్వం (1,b) భావనపై ఆధారపడి ఉంటుంది. అయితే, భౌతికంగా (మరియు గణితపరంగా) ఒక వస్తువు కొన్ని అంశాలలో తనకు సమానంగా ఉంటుంది మరియు ఇతరులలో సమానంగా ఉండదు. ఉదాహరణకు, ఒక క్రిస్టల్‌లో న్యూక్లియైలు మరియు ఎలక్ట్రాన్ల పంపిణీ యాంటీఫెరో మాగ్నెట్సాధారణ ప్రాదేశిక సమరూపతను ఉపయోగించి వర్ణించవచ్చు, కానీ మేము దానిలోని అయస్కాంత క్షేత్రాల పంపిణీని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే. క్షణాలు (Fig. 9), ఆపై "సాధారణ", క్లాసిక్. సమరూపత ఇకపై సరిపోదు.

అన్నం. 9. ఫెర్రి అయస్కాంత క్రిస్టల్ యొక్క ప్రాథమిక కణంలో అయస్కాంత కదలికల (బాణాలు) పంపిణీ, సాధారణ సమరూపతను ఉపయోగించి వివరించబడింది.

అదనపు వేరియబుల్ రెండు విలువలను పొందకపోతే, అంతకంటే ఎక్కువ (సాధ్యం 3,4,6,8, ..., 48), అప్పుడు అని పిలవబడేది బెలోవ్ రంగు సమరూపత.

ఈ విధంగా, 81 పాయింట్ల సమూహాలు మరియు 2942 సమూహాలు అంటారు. ప్రాథమిక స్ఫటికాకార శాస్త్రంలో సాధారణీకరించిన సమరూపత యొక్క అప్లికేషన్లు - అయస్కాంతం యొక్క వివరణ. ఇతర యాంటిసిమెట్రీ సమూహాలు (బహుళ, మొదలైనవి) కనుగొనబడ్డాయి. అత్యధిక కొలతలు గల నాలుగు-డైమెన్షనల్ స్పేస్ యొక్క అన్ని పాయింట్ మరియు స్పేస్ సమూహాలు సిద్ధాంతపరంగా ఉద్భవించాయి. (3 + K)-డైమెన్షనల్ స్పేస్ యొక్క సమరూపత యొక్క పరిశీలన ఆధారంగా, మూడు దిశలలో అసమానంగా ఉండే మాడ్యులారిటీలను వివరించడం కూడా సాధ్యమవుతుంది. అసమాన నిర్మాణం).

డా. సమరూపత యొక్క సాధారణీకరణ - సారూప్యత యొక్క సమరూపత, ఒక వ్యక్తి యొక్క భాగాల సమానత్వం వాటి సారూప్యతతో భర్తీ చేయబడినప్పుడు (Fig. 10), కర్విలినియర్ సమరూపత, గణాంక. ఘన పరిష్కారాలు, ద్రవ స్ఫటికాలు మొదలైనవి.

అన్నం. 10. సారూప్యత సమరూపత కలిగిన వ్యక్తి.పెద్ద ఎన్సైక్లోపెడిక్ నిఘంటువు

స్ఫటికాల యొక్క పరమాణు నిర్మాణం, బాహ్య ఆకారం మరియు భౌతిక లక్షణాల యొక్క క్రమబద్ధత, భ్రమణాలు, ప్రతిబింబాలు, సమాంతర బదిలీలు (అనువాదాలు) మరియు ఇతర సమరూప పరివర్తనల ద్వారా ఒక స్ఫటికాన్ని దానితో కలపవచ్చు అనే వాస్తవాన్ని కలిగి ఉంటుంది... ఎన్సైక్లోపెడిక్ నిఘంటువు

భ్రమణం, ప్రతిబింబం, సమాంతర బదిలీలు లేదా భాగం లేదా ఈ కార్యకలాపాల కలయిక ద్వారా వివిధ స్థానాల్లో తమతో తాము సమలేఖనం చేసుకునే స్ఫటికాల యొక్క ఆస్తి. స్ఫటికం యొక్క బాహ్య ఆకృతి (కట్) యొక్క సమరూపత దాని పరమాణు సమరూపత ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది... ...

పరమాణు నిర్మాణం యొక్క క్రమబద్ధత, ext. రూపాలు మరియు భౌతిక స్ఫటికాల యొక్క లక్షణాలు, భ్రమణాలు, ప్రతిబింబాలు, సమాంతర బదిలీలు (అనువాదాలు) మరియు ఇతర సమరూప పరివర్తనల ద్వారా ఒక క్రిస్టల్‌ను దానితో కలపవచ్చు, అలాగే... ... సహజ శాస్త్రం. ఎన్సైక్లోపెడిక్ నిఘంటువు

క్రిస్టల్ సమరూపత- భ్రమణం, ప్రతిబింబం, సమాంతర బదిలీ లేదా ఈ కార్యకలాపాల కలయిక ద్వారా స్ఫటికాల యొక్క ఆస్తిని వాటితో కలపాలి. బాహ్య ఆకారం (కట్) యొక్క సమరూపత దాని పరమాణు నిర్మాణం యొక్క సమరూపత ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది, ఇది కూడా నిర్ణయిస్తుంది... ఎన్సైక్లోపెడిక్ డిక్షనరీ ఆఫ్ మెటలర్జీ

గణితంలో సమరూపత (గ్రీకు సిమెట్రియా నుండి - అనుపాతం నుండి), 1) సమరూపత (ఇరుకైన అర్థంలో), లేదా ప్రతిబింబం (అద్దం) అంతరిక్షంలో ఒక విమానం (విమానంలో ఒక సరళ రేఖకు సంబంధించి), - రూపాంతరం స్పేస్ (విమానం), తో ... ... గ్రేట్ సోవియట్ ఎన్సైక్లోపీడియా

అణువు యొక్క లక్షణం, దాని సమతౌల్య కాన్ఫిగరేషన్ కోసం సాధ్యమయ్యే పాయింట్ సిమెట్రీ ఆపరేషన్ల సెట్ ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. పాయింట్ సమరూపత యొక్క నాలుగు కార్యకలాపాలు (360° కంటే తక్కువ లేదా సమానమైన నిర్దిష్ట కోణంలో అక్షం చుట్టూ భ్రమణం; ఒక విమానం నుండి ప్రతిబింబం; విలోమం... ... ఫిజికల్ ఎన్సైక్లోపీడియా

I సమరూపత (గ్రీకు సమరూపత అనుపాతం నుండి) గణితంలో, 1) సమరూపత (ఇరుకైన అర్థంలో), లేదా ప్రతిబింబం (అద్దం) అంతరిక్షంలో α (విమానంలోని రేఖకు సంబంధించి), స్థలం యొక్క రూపాంతరం .. .... గ్రేట్ సోవియట్ ఎన్సైక్లోపీడియా

- (గ్రీకు అనుపాతం నుండి), వస్తువులు వాటిపై నిర్ణయం తీసుకున్నప్పుడు వాటిలోకి లేదా ఒకదానికొకటి మారడాన్ని వర్ణించే భావన. పరివర్తనాలు (S. రూపాంతరాలు); విస్తృత కోణంలో, కొందరి యొక్క మార్పులేని (అస్థిరత) ఆస్తి... ... ఫిలాసఫికల్ ఎన్సైక్లోపీడియా

- (గ్రీకు సిమెట్రియా అనుపాతం నుండి) భౌతిక శాస్త్ర నియమాలు. చట్టాలు భౌతిక వర్ణన పరిమాణాల మధ్య సంబంధాన్ని ఏర్పరచినట్లయితే వ్యవస్థ, లేదా కాలక్రమేణా ఈ పరిమాణాలలో మార్పును నిర్ణయించడం, కొన్ని కార్యకలాపాల సమయంలో మారవు... ... ఫిజికల్ ఎన్‌సైక్లోపీడియా, E.S. ఫెడోరోవ్. ప్రచురణలో క్రిస్టలోగ్రఫీపై ఎవ్‌గ్రాఫ్ స్టెపనోవిచ్ ఫెడోరోవ్ యొక్క క్లాసిక్ రచనలు ఉన్నాయి. E. S. ఫెడోరోవ్ యొక్క గొప్ప విజయం సాధ్యమయ్యే అన్ని అంతరిక్ష సమూహాల యొక్క కఠినమైన ఉత్పన్నం (1891). ఆ...

వివిధ పద్ధతుల ద్వారా పొందిన స్ఫటికాల రూపాన్ని, ఉదాహరణకు, ఒక కరుగు లేదా ద్రావణం నుండి పెరిగిన, ఒకదానికొకటి భిన్నంగా ఉండవచ్చు. అదే సమయంలో, క్రిస్టల్లోగ్రఫీలో మొదటి ఆవిష్కరణలలో ఒకటి అదే పదార్ధం యొక్క క్రిస్టల్ యొక్క ముఖాల మధ్య మూలలు మారవు అనే వాస్తవాన్ని స్థాపించడం. అటువంటి కోణాల స్థిరత్వం, ఇప్పుడు తెలిసినట్లుగా, స్ఫటికం లోపల అణువుల లేదా అణువుల సమూహాల క్రమబద్ధమైన అమరిక కారణంగా ఉంది, అనగా స్ఫటికాకార ఘనంలో అణువుల అమరికలో ఒక నిర్దిష్ట సమరూపత ఉండటం.

అనువాద సమరూపత. స్ఫటికం యొక్క అనువాద సమరూపత భావన అంటే ఒక స్ఫటికంలో ఒక చిన్న భాగాన్ని ఎంచుకోవచ్చు, దీనిని యూనిట్ సెల్ అని పిలుస్తారు, దీని యొక్క ప్రాదేశిక పునరావృతం ప్రసార -మూడు దిశలలో (సెల్ అంచుల వెంట) మొత్తం క్రిస్టల్ ఏర్పడుతుంది. అనువాద సమరూపత మరియు స్ఫటికం యొక్క ప్రాథమిక కణం యొక్క భావనలు ఒకే పదార్ధం యొక్క స్ఫటికాలలో ఒక ప్రాథమిక రేఖాగణిత మూలకాన్ని మానసికంగా వేరు చేయవచ్చు, దాని నుండి మొత్తం క్రిస్టల్‌ను నిర్మించవచ్చు అనే ప్రయోగాత్మక వాస్తవం యొక్క శాస్త్రీయ సాధారణీకరణ. ఘనపదార్థాల యొక్క ఎక్స్-రే నిర్మాణ విశ్లేషణ పద్ధతుల అభివృద్ధితో ఈ భావనల యొక్క లోతైన శాస్త్రీయ అర్ధం తరువాత వెల్లడైంది.

ఒక యూనిట్ సెల్‌లో ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ అణువులు, పరమాణువులు లేదా అయాన్లు ఉండవచ్చు, వాటి యొక్క ప్రాదేశిక అమరిక కణంలో స్థిరంగా ఉంటుంది. యూనిట్ సెల్ విద్యుత్ తటస్థంగా ఉంటుంది. ఒక స్ఫటికంలో పునరావృతమయ్యే యూనిట్ సెల్ ఒక బిందువు ద్వారా సూచించబడితే, ఈ పాయింట్ యొక్క అనువాద పునరావృత ఫలితంగా మూడు దిశలలో (తప్పనిసరిగా లంబంగా ఉండకూడదు), త్రిమితీయ పాయింట్ల సెట్ పొందబడుతుంది, దీనిని క్రిస్టల్ లాటిస్ అని పిలుస్తారు. పదార్ధం. ఈ సందర్భంలో, పాయింట్లు తమను క్రిస్టల్ లాటిస్ యొక్క నోడ్స్ అని పిలుస్తారు. క్రిస్టల్ లాటిస్‌ను ప్రాథమిక అనువాదాల వెక్టర్స్ ద్వారా వర్గీకరించవచ్చు A (మరియు ఒక 2,అంజీర్‌లోని రెండు డైమెన్షనల్ కేసు కోసం చూపిన విధంగా. 1.14

అంజీర్లో చూడవచ్చు. 1.14, ప్రధాన అనువాదాల యొక్క వెక్టర్‌ల ఎంపిక నిస్సందేహంగా లేదు. ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే, క్రిస్టల్ లాటిస్ యొక్క అన్ని సమానమైన పాయింట్ల స్థానం ప్రాథమిక అనువాదాల యొక్క వెక్టర్స్ యొక్క సరళ కలయిక ద్వారా వివరించబడుతుంది. ఈ సందర్భంలో, అన్ని లాటిస్ వెక్టర్స్ సెట్ ఏర్పడుతుంది బ్రావైస్ లాటిస్క్రిస్టల్. లాటిస్ వెక్టర్స్ చివరలు లాటిస్‌లోని నోడ్ పాయింట్ల స్థానాన్ని నిర్ణయిస్తాయి.

అన్నం. 1.14 అనువాద వెక్టర్స్ a 1 మరియు a 2 మరియు ఆదిమ జాలక (ఐచ్ఛికాలు) యొక్క సాధ్యమైన ఎంపిక కోసం ఎంపికలు 1,2,3,4)

ప్రాథమిక అనువాదాల వెక్టర్‌లపై నిర్మించిన సమాంతర పైప్‌ను ఆదిమ క్రిస్టల్ సెల్ అంటారు, క్రిస్టల్‌లో ఎంపిక కూడా అస్పష్టంగా ఉంటుంది. యూనిట్ సెల్ 4 అంజీర్లో. అనువాద వెక్టర్స్ మధ్య బిందువుల ద్వారా నిర్మించబడిన 1.14, అంటారు విగ్నెర్ సెల్ - సీట్జ్.

స్ఫటికాకార సూచికలు. అంజీర్‌లో చూపిన ద్విమితీయ క్రిస్టల్ లాటిస్ యూనిట్ సెల్ J?లో ఉంటే. 1.14, వెక్టర్‌కు సమాంతరంగా సరళ రేఖ విభాగాలను గీయండి ఒక 2మరియు నోడ్స్ a మరియు |3 గుండా వెళితే, అవి వెక్టర్ iని మూడు సమాన భాగాలుగా విభజిస్తాయి. సెల్‌ను ప్రసారం చేస్తున్నప్పుడు 3 అనువాద వెక్టర్‌లతో పాటు A (మరియు ఒక 2క్రిస్టల్ లాటిస్ సరళ రేఖలతో నిండి ఉంటుంది మరియు క్రిస్టల్ లాటిస్ యొక్క అన్ని నోడ్‌లు ఈ రేఖలపై ఉంటాయి. ఇదే విధమైన ఆపరేషన్ త్రిమితీయ క్రిస్టల్ లాటిస్‌లో దాని ద్వారా విమానాల వ్యవస్థను దాటడం ద్వారా నిర్వహించబడుతుంది మరియు ఈ సందర్భంలో, త్రిమితీయ క్రిస్టల్ లాటిస్ యొక్క అన్ని నోడ్‌లు ఈ విమానాలపై కనిపిస్తాయి. ఈ విమానాలను క్రిస్టల్లోగ్రాఫిక్ లాటిస్ ప్లేన్స్ అంటారు. క్రిస్టల్ లాటిస్ ద్వారా స్ఫటికాకార విమానాల యొక్క అనేక విభిన్న కుటుంబాలను గీయవచ్చని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది. కుటుంబంలోని విమానాల మధ్య దూరం ఎంత తక్కువగా ఉంటే, ప్రతి విమానంలో (ఇచ్చిన విమానాల కుటుంబానికి చెందిన) క్రిస్టల్ లాటిస్ నోడ్‌ల సాంద్రత తక్కువగా ఉంటుందని కూడా స్పష్టంగా తెలుస్తుంది.

స్ఫటికాకార విమానాలు వర్ణించబడతాయి మిల్లర్ సూచికలు,కుండలీకరణాల్లో జతచేయబడిన మూడు సంఖ్యలచే సూచించబడుతుంది ( hkl) ఈ సంఖ్యలు స్ఫటికాకార విమానాల కుటుంబం ప్రధాన అనువాదాల వెక్టర్స్ ద్వారా విభజించబడిన విభాగాల సంఖ్యకు సమానం. విమానాలు ఏదైనా అనువాద వెక్టార్‌కు సమాంతరంగా ఉంటే, సంబంధిత మిల్లర్ సూచిక విలువ సున్నాకి సమానం. విమానాలు ఏదైనా అనువాద వెక్టర్ యొక్క ప్రతికూల దిశను కలుస్తే, ఈ సూచిక పైన డాష్ ఉంచడం ద్వారా సంబంధిత సూచిక ప్రతికూల విలువను కేటాయించబడుతుంది. ఇవ్వబడిన విమానాల కుటుంబాలతో ద్విమితీయ క్రిస్టల్ లాటిస్ కోసం ఏమి చెప్పబడింది (10), (01) మరియు (12), అలాగే కుటుంబం నుండి ఒక విమానం (12), అంజీర్‌లో బాగా వివరించబడింది. 1.15

అన్నం. 1.15 స్ఫటికాకార విమానాలు }