సంభావ్యత మరియు గణాంకాలు ప్రాథమిక వాస్తవాలు. సానుకూల ఫలితాలను సాధించడంలో సమానంగా ముఖ్యమైనది

2. సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క ప్రాథమిక అంశాలు

ఆశించిన విలువ

సంఖ్యా విలువలతో యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్‌ను పరిగణించండి. ఈ ఫంక్షన్‌తో సంఖ్యను అనుబంధించడం తరచుగా ఉపయోగపడుతుంది - దాని “సగటు విలువ” లేదా, వారు చెప్పినట్లు, “సగటు విలువ”, “కేంద్ర ధోరణి సూచిక”. అనేక కారణాల వల్ల, వాటిలో కొన్ని తరువాత స్పష్టంగా కనిపిస్తాయి, గణిత అంచనా సాధారణంగా "సగటు విలువ"గా ఉపయోగించబడుతుంది.

నిర్వచనం 3.యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత అంచనా Xఅనే నంబర్

ఆ. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత నిరీక్షణ అనేది సంబంధిత ప్రాథమిక సంఘటనల సంభావ్యతలకు సమానమైన బరువులతో కూడిన యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క విలువల మొత్తం.

ఉదాహరణ 6.డై యొక్క పైభాగంలో కనిపించే సంఖ్య యొక్క గణిత నిరీక్షణను గణిద్దాం. ఇది డెఫినిషన్ 3 నుండి నేరుగా అనుసరిస్తుంది

ప్రకటన 2.యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్‌ని అనుమతించండి Xవిలువలను తీసుకుంటుంది x 1, x 2,…, xm. అప్పుడు సమానత్వం నిజం

(5)

ఆ. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత నిరీక్షణ అనేది యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ నిర్దిష్ట విలువలను తీసుకునే సంభావ్యతలకు సమానమైన బరువులతో కూడిన యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క విలువల మొత్తం.

(4) కాకుండా, సమ్మషన్ నేరుగా ప్రాథమిక సంఘటనలపై నిర్వహించబడుతుంది, యాదృచ్ఛిక సంఘటన అనేక ప్రాథమిక సంఘటనలను కలిగి ఉంటుంది.

కొన్నిసార్లు సంబంధం (5) గణిత నిరీక్షణ యొక్క నిర్వచనంగా తీసుకోబడుతుంది. అయితే, డెఫినిషన్ 3ని ఉపయోగించి, క్రింద చూపిన విధంగా, రిలేషన్ (5)ని ఉపయోగించడం కంటే వాస్తవ దృగ్విషయం యొక్క సంభావ్య నమూనాలను రూపొందించడానికి అవసరమైన గణిత నిరీక్షణ యొక్క లక్షణాలను స్థాపించడం సులభం.

సంబంధం (5) నిరూపించడానికి, మేము యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క ఒకే విలువలతో (4) నిబంధనలను సమూహపరుస్తాము:

స్థిరమైన కారకాన్ని మొత్తం సంకేతం నుండి తీసుకోవచ్చు కాబట్టి, అప్పుడు

ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యతను నిర్ణయించడం ద్వారా

చివరి రెండు సంబంధాలను ఉపయోగించి మేము అవసరమైన వాటిని పొందుతాము:

సంభావ్యత-గణాంక సిద్ధాంతంలో గణిత నిరీక్షణ భావన మెకానిక్స్లో గురుత్వాకర్షణ కేంద్రం యొక్క భావనకు అనుగుణంగా ఉంటుంది. దానిని పాయింట్లలో ఉంచుదాం x 1, x 2,…, xmద్రవ్యరాశి సంఖ్య అక్షం మీద పి(X= x 1 ), పి(X= x 2 ),…, పి(X= x మీ) వరుసగా. అప్పుడు సమానత్వం (5) ఈ పదార్థ బిందువుల వ్యవస్థ యొక్క గురుత్వాకర్షణ కేంద్రం గణిత నిరీక్షణతో సమానంగా ఉందని చూపిస్తుంది, ఇది నిర్వచనం 3 యొక్క సహజత్వాన్ని చూపుతుంది.

ప్రకటన 3.వీలు X- యాదృచ్ఛిక విలువ, M(X)- దాని గణిత నిరీక్షణ, ఎ- ఒక నిర్దిష్ట సంఖ్య. అప్పుడు

1) M(a)=a; 2) M(X-M(X))=0; 3మి[(X- a) 2 ]= ఎం[(X- ఎం(X)) 2 ]+(a- ఎం(X)) 2 .

దీనిని నిరూపించడానికి, మనం మొదట స్థిరంగా ఉండే యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్‌ని పరిశీలిద్దాం, అనగా. ఫంక్షన్ ప్రాథమిక సంఘటనల స్థలాన్ని ఒకే పాయింట్‌కి మ్యాప్ చేస్తుంది ఎ. స్థిరమైన గుణకం మొత్తం గుర్తుకు మించి తీసుకోవచ్చు కాబట్టి, అప్పుడు

మొత్తంలోని ప్రతి సభ్యుడు రెండు పదాలుగా విభజించబడితే, మొత్తం మొత్తం రెండు మొత్తాలుగా విభజించబడింది, వాటిలో మొదటిది మొదటి పదాలతో రూపొందించబడింది మరియు రెండవది రెండవది. కాబట్టి, రెండు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ మొత్తం యొక్క గణిత అంచనా X+Y, ప్రాథమిక సంఘటనల యొక్క ఒకే స్థలంలో నిర్వచించబడినది, గణిత అంచనాల మొత్తానికి సమానం M(X)మరియు M(U)ఈ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్:

M(X+Y) = M(X) + M(Y).

ఇందుమూలంగా M(X-M(X)) = M(X) - M(M(X)).పైన చూపిన విధంగా, M(M(X)) = M(X).అందుకే, M(X-M(X)) = M(X) - M(X) = 0.

ఎందుకంటే (X - a) 2 = ((X – ఎం(X)) + (ఎం(X) - a)} 2 = (X - ఎం(X)) 2 + 2(X - ఎం(X))(ఎం(X) - a) + (ఎం(X) – a) 2 , ఆ ఎం[(X - a) 2 ] =ఎం(X - ఎం(X)) 2 + ఎం{2(X - ఎం(X))(ఎం(X) - a)} + ఎం[(ఎం(X) – a) 2 ]. చివరి సమానత్వాన్ని సులభతరం చేద్దాం. స్టేట్‌మెంట్ 3 యొక్క రుజువు ప్రారంభంలో చూపినట్లుగా, స్థిరాంకం యొక్క గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ స్థిరంగా ఉంటుంది, అందువలన ఎం[(ఎం(X) – a) 2 ] = (ఎం(X) – a) 2 . స్థిరమైన గుణకం మొత్తం గుర్తుకు మించి తీసుకోవచ్చు కాబట్టి, అప్పుడు ఎం{2(X - ఎం(X))(ఎం(X) - a)} = 2(ఎం(X) - a)M(X - ఎం(X)). చివరి సమానత్వం యొక్క కుడి వైపు 0 ఎందుకంటే, పైన చూపిన విధంగా, M(X-M(X))=0.అందుకే, M[(X- a) 2 ]= ఎం[(X- ఎం(X)) 2 ]+(a- ఎం(X)) 2 , ఇది నిరూపించాల్సిన అవసరం ఉంది.

పై నుండి అది అనుసరిస్తుంది M[(X- a) 2 ] కనిష్టానికి చేరుకుంటుంది ఎ, సమానం ఎం[(X- ఎం(X)) 2 ], వద్ద a = M(X),సమానత్వంలో రెండవ పదం 3) ఎల్లప్పుడూ ప్రతికూలంగా ఉండదు మరియు పేర్కొన్న విలువకు మాత్రమే 0కి సమానం ఎ.

ప్రకటన 4.యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్‌ని అనుమతించండి Xవిలువలను తీసుకుంటుంది x 1, x 2,…, xm, మరియు f అనేది సంఖ్యా వాదం యొక్క కొంత ఫంక్షన్. అప్పుడు

దీన్ని నిరూపించడానికి, సమానత్వం (4) యొక్క కుడి వైపున సమూహాన్ని చేద్దాం, ఇది గణిత నిరీక్షణ, అదే విలువలతో నిబంధనలను నిర్వచిస్తుంది:

స్థిరమైన కారకాన్ని మొత్తం యొక్క సంకేతం నుండి తీసుకోవచ్చు మరియు యాదృచ్ఛిక సంఘటన (2) యొక్క సంభావ్యత యొక్క నిర్వచనాన్ని ఉపయోగించి, మేము పొందుతాము

Q.E.D.

ప్రకటన 5.వీలు Xమరియు యు- ప్రాథమిక సంఘటనల యొక్క ఒకే స్థలంలో నిర్వచించబడిన యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్, ఎమరియు బి- కొన్ని సంఖ్యలు. అప్పుడు ఎం(aX+ ద్వారా)= aM(X)+ bM(వై).

గణిత నిరీక్షణ యొక్క నిర్వచనం మరియు సమ్మషన్ చిహ్నం యొక్క లక్షణాలను ఉపయోగించి, మేము సమానత్వాల గొలుసును పొందుతాము:

అవసరం నిరూపించబడింది.

గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ మరొక రిఫరెన్స్ పాయింట్‌కి మరియు మరొక యూనిట్ కొలత (పరివర్తన)కి మారడంపై ఎలా ఆధారపడి ఉంటుందో పైన చూపబడింది. వై=aX+బి), అలాగే యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ ఫంక్షన్లకు. పొందిన ఫలితాలు సాంకేతిక మరియు ఆర్థిక విశ్లేషణలో, సంస్థ యొక్క ఆర్థిక మరియు ఆర్థిక కార్యకలాపాలను అంచనా వేయడంలో, విదేశీ ఆర్థిక గణనలలో, నియంత్రణ మరియు సాంకేతిక డాక్యుమెంటేషన్ మొదలైన వాటిలో ఒక కరెన్సీ నుండి మరొక కరెన్సీకి మారే సమయంలో నిరంతరం ఉపయోగించబడతాయి. పరిశీలనలో ఉన్న ఫలితాలు అనుమతించబడతాయి. వివిధ పారామితులు స్కేల్ మరియు షిఫ్ట్ కోసం ఒకే గణన సూత్రాలను ఉపయోగించడం.

మునుపటి

వివిక్త మరియు నిరంతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క ప్రాథమిక సంఖ్యా లక్షణాలు: గణిత నిరీక్షణ, వ్యాప్తి మరియు ప్రామాణిక విచలనం. వారి లక్షణాలు మరియు ఉదాహరణలు.

పంపిణీ చట్టం (డిస్ట్రిబ్యూషన్ ఫంక్షన్ మరియు డిస్ట్రిబ్యూషన్ సిరీస్ లేదా ప్రాబబిలిటీ డెన్సిటీ) యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క ప్రవర్తనను పూర్తిగా వివరిస్తుంది. కానీ అనేక సమస్యలలో, అడిగిన ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వడానికి అధ్యయనంలో ఉన్న విలువ యొక్క కొన్ని సంఖ్యా లక్షణాలను (ఉదాహరణకు, దాని సగటు విలువ మరియు దాని నుండి సాధ్యమయ్యే విచలనం) తెలుసుకోవడం సరిపోతుంది. వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క ప్రధాన సంఖ్యా లక్షణాలను పరిశీలిద్దాం.

నిర్వచనం 7.1.గణిత నిరీక్షణవివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ అనేది దాని సాధ్యం విలువలు మరియు వాటి సంబంధిత సంభావ్యత యొక్క ఉత్పత్తుల మొత్తం:

ఎం(X) = X 1 ఆర్ 1 + X 2 ఆర్ 2 + … + x p p p.(7.1)

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సాధ్యమయ్యే విలువల సంఖ్య అనంతంగా ఉంటే, ఫలితంగా వచ్చే సిరీస్ ఖచ్చితంగా కలుస్తుంది.

గమనిక 1.గణిత నిరీక్షణను కొన్నిసార్లు అంటారు సగటు బరువు, ఇది పెద్ద సంఖ్యలో ప్రయోగాలలో యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గమనించిన విలువల యొక్క అంకగణిత సగటుకు దాదాపు సమానంగా ఉంటుంది.

గమనిక 2.గణిత నిరీక్షణ యొక్క నిర్వచనం నుండి దాని విలువ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క అతిచిన్న సాధ్యం విలువ కంటే తక్కువ కాదు మరియు అతిపెద్దది కంటే ఎక్కువ కాదు.

గమనిక 3.వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత అంచనా కాని యాదృచ్ఛిక(స్థిరమైన. నిరంతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్‌కు కూడా ఇదే నిజమని మనం తరువాత చూస్తాము.

ఉదాహరణ 1. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత నిరీక్షణను కనుగొనండి X- 2 లోపభూయిష్టమైన వాటితో సహా 10 భాగాల బ్యాచ్ నుండి ఎంచుకున్న మూడింటిలో ప్రామాణిక భాగాల సంఖ్య. దీని కోసం పంపిణీ శ్రేణిని సృష్టిద్దాం X. సమస్య పరిస్థితుల నుండి అది అనుసరిస్తుంది X 1, 2, 3 విలువలను తీసుకోవచ్చు. తర్వాత

ఉదాహరణ 2. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత అంచనాను నిర్ణయించండి X- కోట్ ఆఫ్ ఆర్మ్స్ మొదటి రూపానికి ముందు నాణెం టాసుల సంఖ్య. ఈ పరిమాణం అనంతమైన విలువలను తీసుకోవచ్చు (సాధ్యమైన విలువల సమితి సహజ సంఖ్యల సమితి). దాని పంపిణీ శ్రేణి రూపాన్ని కలిగి ఉంది:

X			…	పి	…
ఆర్	0,5	(0,5) 2	…	(0,5)పి	…

+ (గణిస్తున్నప్పుడు, అనంతంగా తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగతి మొత్తానికి ఫార్ములా రెండుసార్లు ఉపయోగించబడింది: , ఎక్కడ నుండి ).

గణిత నిరీక్షణ యొక్క లక్షణాలు.

1) స్థిరాంకం యొక్క గణిత నిరీక్షణ స్థిరాంకానికి సమానం:

ఎం(తో) = తో.(7.2)

రుజువు. మేము పరిగణనలోకి తీసుకుంటే తోఒక వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్‌గా ఒక విలువను మాత్రమే తీసుకుంటుంది తోసంభావ్యతతో ఆర్= 1, అప్పుడు ఎం(తో) = తో?1 = తో.

2) గణిత నిరీక్షణ యొక్క సంకేతం నుండి స్థిరమైన కారకాన్ని తీసుకోవచ్చు:

ఎం(CX) = సీఎం(X). (7.3)

రుజువు. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ అయితే Xపంపిణీ సిరీస్ ద్వారా అందించబడింది

అప్పుడు ఎం(CX) = Cx 1 ఆర్ 1 + Cx 2 ఆర్ 2 + … + Cx p p p = తో(X 1 ఆర్ 1 + X 2 ఆర్ 2 + … + x p r p) = సీఎం(X).

నిర్వచనం 7.2.రెండు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ అంటారు స్వతంత్ర, వాటిలో ఒకదాని పంపిణీ చట్టం మరొకటి తీసుకున్న విలువలపై ఆధారపడి ఉండకపోతే. లేకపోతే యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ ఆధారపడిన.

నిర్వచనం 7.3.పిలుద్దాం స్వతంత్ర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క ఉత్పత్తి Xమరియు వై యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ XY, సాధ్యమయ్యే అన్ని విలువల ఉత్పత్తులకు సమానమైన విలువలు Xసాధ్యమయ్యే అన్ని విలువల కోసం వై, మరియు సంబంధిత సంభావ్యతలు కారకాల యొక్క సంభావ్యత యొక్క ఉత్పత్తులకు సమానంగా ఉంటాయి.

3) రెండు స్వతంత్ర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క ఉత్పత్తి యొక్క గణిత నిరీక్షణ వాటి గణిత అంచనాల ఉత్పత్తికి సమానం:

ఎం(XY) = ఎం(X)ఎం(వై). (7.4)

రుజువు. గణనలను సులభతరం చేయడానికి, మేము ఎప్పుడు కేసుకు పరిమితం చేస్తాము Xమరియు వైరెండు సాధ్యమయ్యే విలువలను మాత్రమే తీసుకోండి:

అందుకే, ఎం(XY) = x 1 వై 1 ?p 1 g 1 + x 2 వై 1 ?p 2 g 1 + x 1 వై 2 ?p 1 g 2 + x 2 వై 2 ?p 2 g 2 = వై 1 g 1 (x 1 p 1 + x 2 p 2) + + వై 2 g 2 (x 1 p 1 + x 2 p 2) = (వై 1 g 1 + వై 2 g 2) (x 1 p 1 + x 2 p 2) = ఎం(X)?ఎం(వై).

గమనిక 1.మీరు కారకాల యొక్క పెద్ద సంఖ్యలో సాధ్యమయ్యే విలువల కోసం ఈ ఆస్తిని అదేవిధంగా నిరూపించవచ్చు.

గమనిక 2.గణిత ప్రేరణ ద్వారా నిరూపించబడిన స్వతంత్ర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క ఏదైనా ఉత్పత్తికి ప్రాపర్టీ 3 నిజం.

నిర్వచనం 7.4.నిర్వచించుకుందాం యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ మొత్తం Xమరియు వై యాదృచ్ఛిక చరరాశిగా X+Y, సాధ్యమయ్యే విలువలు ప్రతి సాధ్యమైన విలువ మొత్తాలకు సమానంగా ఉంటాయి Xసాధ్యమయ్యే ప్రతి విలువతో వై; అటువంటి మొత్తాల సంభావ్యత నిబంధనల యొక్క సంభావ్యత యొక్క ఉత్పత్తులకు సమానంగా ఉంటుంది (ఆధారిత యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ కోసం - రెండవది షరతులతో కూడిన సంభావ్యత ద్వారా ఒక పదం యొక్క సంభావ్యత యొక్క ఉత్పత్తులు).

4) రెండు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ (డిపెండెంట్ లేదా ఇండిపెండెంట్) మొత్తం యొక్క గణిత నిరీక్షణ నిబంధనల యొక్క గణిత అంచనాల మొత్తానికి సమానం:

ఎం (X+Y) = ఎం (X) + ఎం (వై). (7.5)

రుజువు.

ఆస్తి రుజువు 3లో ఇవ్వబడిన పంపిణీ శ్రేణి ద్వారా నిర్వచించబడిన యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్‌ను మళ్లీ పరిశీలిద్దాం. ఆపై సాధ్యమయ్యే విలువలు X+Yఉన్నాయి X 1 + వద్ద 1 , X 1 + వద్ద 2 , X 2 + వద్ద 1 , X 2 + వద్ద 2. వాటి సంభావ్యతలను వరుసగా ఇలా సూచిస్తాము ఆర్ 11 , ఆర్ 12 , ఆర్ 21 మరియు ఆర్ 22. మేము కనుగొంటాము ఎం(X+వై) = (x 1 + వై 1)p 11 + (x 1 + వై 2)p 12 + (x 2 + వై 1)p 21 + (x 2 + వై 2)p 22 =

= x 1 (p 11 + p 12) + x 2 (p 21 + p 22) + వై 1 (p 11 + p 21) + వై 2 (p 12 + p 22).

అని నిరూపిద్దాం ఆర్ 11 + ఆర్ 22 = ఆర్ 1 . నిజానికి ఆ సంఘటన X+Yవిలువలు తీసుకుంటారు X 1 + వద్ద 1 లేదా X 1 + వద్ద 2 మరియు దీని సంభావ్యత ఆర్ 11 + ఆర్ 22 ఆ సంఘటనతో సమానంగా ఉంటుంది X = X 1 (దాని సంభావ్యత ఆర్ 1) అదే విధంగా నిరూపించబడింది p 21 + p 22 = ఆర్ 2 , p 11 + p 21 = g 1 , p 12 + p 22 = g 2. అంటే,

ఎం(X+Y) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + వై 1 g 1 + వై 2 g 2 = ఎం (X) + ఎం (వై).

వ్యాఖ్య. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క ఏదైనా సంఖ్య మొత్తం నిబంధనల యొక్క గణిత అంచనాల మొత్తానికి సమానం అని ఆస్తి 4 నుండి ఇది అనుసరిస్తుంది.

ఉదాహరణ. ఐదు పాచికలు విసిరినప్పుడు పొందిన పాయింట్ల సంఖ్య యొక్క మొత్తం గణిత అంచనాను కనుగొనండి.

ఒక పాచికను విసిరేటప్పుడు చుట్టబడిన పాయింట్ల సంఖ్య యొక్క గణిత నిరీక్షణను కనుగొనండి:

ఎం(X 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) అదే సంఖ్య ఏదైనా పాచికలపై చుట్టబడిన పాయింట్ల సంఖ్య యొక్క గణిత అంచనాకు సమానం. కాబట్టి, ఆస్తి ద్వారా 4 ఎం(X)=

చెదరగొట్టడం.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క ప్రవర్తన యొక్క ఆలోచనను కలిగి ఉండటానికి, దాని గణిత నిరీక్షణను మాత్రమే తెలుసుకోవడం సరిపోదు. రెండు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ పరిగణించండి: Xమరియు వై, ఫారమ్ యొక్క పంపిణీ శ్రేణి ద్వారా పేర్కొనబడింది

X
ఆర్	0,1	0,8	0,1

వై
p	0,5	0,5

మేము కనుగొంటాము ఎం(X) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, ఎం(వై) = 0?0.5 + 100?0.5 = 50. మీరు చూడగలిగినట్లుగా, రెండు పరిమాణాల గణిత అంచనాలు సమానంగా ఉంటాయి, అయితే HM(X) యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క ప్రవర్తనను బాగా వివరిస్తుంది, దాని అత్యంత సంభావ్య విలువ (మరియు మిగిలిన విలువలు 50 నుండి చాలా తేడా లేదు), ఆపై విలువలు వైనుండి గణనీయంగా తొలగించబడింది ఎం(వై) అందువల్ల, గణిత అంచనాతో పాటు, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క విలువలు దాని నుండి ఎంత వైదొలగుతున్నాయో తెలుసుకోవడం అవసరం. ఈ సూచికను వర్గీకరించడానికి, వ్యాప్తి ఉపయోగించబడుతుంది.

నిర్వచనం 7.5.చెదరగొట్టడం (చెదరగొట్టడం)యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ అనేది దాని గణిత అంచనా నుండి దాని విచలనం యొక్క స్క్వేర్ యొక్క గణిత అంచనా:

డి(X) = ఎం (X-M(X))². (7.6)

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క వైవిధ్యాన్ని కనుగొనండి X(ఎంచుకున్న వాటిలో ప్రామాణిక భాగాల సంఖ్య) ఈ ఉపన్యాసం యొక్క ఉదాహరణ 1లో. గణిత అంచనా నుండి సాధ్యమయ్యే ప్రతి విలువ యొక్క స్క్వేర్డ్ విచలనాన్ని గణిద్దాం:

(1 - 2.4) 2 = 1.96; (2 - 2.4) 2 = 0.16; (3 - 2.4) 2 = 0.36. అందుకే,

గమనిక 1.చెదరగొట్టడాన్ని నిర్ణయించడంలో, సగటు నుండి విచలనం అంచనా వేయబడదు, కానీ దాని చతురస్రం. విభిన్న సంకేతాల విచలనాలు ఒకదానికొకటి రద్దు చేయని విధంగా ఇది జరుగుతుంది.

గమనిక 2.వ్యాప్తి యొక్క నిర్వచనం నుండి ఈ పరిమాణం ప్రతికూల విలువలను మాత్రమే తీసుకుంటుంది.

గమనిక 3.గణనలకు మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉండే వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించడానికి ఒక సూత్రం ఉంది, దీని యొక్క ప్రామాణికత క్రింది సిద్ధాంతంలో నిరూపించబడింది:

సిద్ధాంతం 7.1.డి(X) = ఎం(X²) - ఎం²( X). (7.7)

రుజువు.

దేనిని ఉపయోగించడం ఎం(X) అనేది స్థిరమైన విలువ మరియు గణిత నిరీక్షణ యొక్క లక్షణాలు, మేము ఫార్ములాను (7.6) రూపానికి మారుస్తాము:

డి(X) = ఎం(X-M(X))² = ఎం(X² - 2 X?M(X) + ఎం²( X)) = ఎం(X²) - 2 ఎం(X)?ఎం(X) + ఎం²( X) =

= ఎం(X²) - 2 ఎం²( X) + ఎం²( X) = ఎం(X²) - ఎం²( X), ఇది నిరూపించాల్సిన అవసరం ఉంది.

ఉదాహరణ. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క వ్యత్యాసాలను గణిద్దాం Xమరియు వైఈ విభాగం ప్రారంభంలో చర్చించబడింది. ఎం(X) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.

ఎం(వై) = (0 2 ² అందువల్ల, ఈ పరిమాణాల పంపిణీ చట్టాలు తెలియకుండానే, తెలిసిన వ్యాప్తి విలువల ఆధారంగా మనం చెప్పగలం Xదాని గణిత నిరీక్షణ నుండి కొద్దిగా వైదొలగుతుంది, అయితే వైఈ విచలనం చాలా ముఖ్యమైనది.

వ్యాప్తి యొక్క లక్షణాలు.

1) స్థిరమైన విలువ యొక్క వైవిధ్యం తోసున్నాకి సమానం:

డి (సి) = 0. (7.8)

రుజువు. డి(సి) = ఎం((సి-ఎం(సి))²) = ఎం((సి-సి)²) = ఎం(0) = 0.

2) స్థిరమైన కారకాన్ని స్క్వేర్ చేయడం ద్వారా డిస్పర్షన్ గుర్తు నుండి బయటకు తీయవచ్చు:

డి(CX) = సి² డి(X). (7.9)

రుజువు. డి(CX) = ఎం((CX-M(CX))²) = ఎం((CX-CM(X))²) = ఎం(సి²( X-M(X))²) =

= సి² డి(X).

3) రెండు స్వతంత్ర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ మొత్తం యొక్క భేదం వాటి వ్యత్యాసాల మొత్తానికి సమానం:

డి(X+Y) = డి(X) + డి(వై). (7.10)

రుజువు. డి(X+Y) = ఎం(X² + 2 XY + వై²) - ( ఎం(X) + ఎం(వై))² = ఎం(X²) + 2 ఎం(X)ఎం(వై) +

+ ఎం(వై²) - ఎం²( X) - 2ఎం(X)ఎం(వై) - ఎం²( వై) = (ఎం(X²) - ఎం²( X)) + (ఎం(వై²) - ఎం²( వై)) = డి(X) + డి(వై).

పరిణామం 1.అనేక పరస్పర స్వతంత్ర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ మొత్తం యొక్క వ్యత్యాసం వాటి వ్యత్యాసాల మొత్తానికి సమానం.

పరిణామం 2.స్థిరాంకం మరియు యాదృచ్ఛిక చరరాశి యొక్క మొత్తం యొక్క భేదం యాదృచ్ఛిక చరరాశి యొక్క వ్యత్యాసానికి సమానం.

4) రెండు స్వతంత్ర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ మధ్య వ్యత్యాసం యొక్క వ్యత్యాసం వాటి వ్యత్యాసాల మొత్తానికి సమానం:

డి(X-Y) = డి(X) + డి(వై). (7.11)

రుజువు. డి(X-Y) = డి(X) + డి(-వై) = డి(X) + (-1)² డి(వై) = డి(X) + డి(X).

వ్యత్యాసం సగటు నుండి యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క స్క్వేర్డ్ విచలనం యొక్క సగటు విలువను ఇస్తుంది; విచలనాన్ని స్వయంగా అంచనా వేయడానికి, ప్రామాణిక విచలనం అని పిలువబడే విలువ ఉపయోగించబడుతుంది.

నిర్వచనం 7.6.ప్రామాణిక విచలనంσ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ Xభేదం యొక్క వర్గమూలం అంటారు:

ఉదాహరణ. మునుపటి ఉదాహరణలో, ప్రామాణిక విచలనాలు Xమరియు వైవరుసగా సమానంగా ఉంటాయి

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క సంఖ్యా లక్షణాలలో, ముందుగా, సంఖ్యా అక్షంపై యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క స్థానాన్ని వర్గీకరించే వాటిని గమనించడం అవసరం, అనగా. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క అన్ని సాధ్యమైన విలువలు సమూహం చేయబడిన కొంత సగటు, సుమారుగా విలువను సూచిస్తాయి.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సగటు విలువ ఒక నిర్దిష్ట సంఖ్య, అంటే దాని "ప్రతినిధి" మరియు దానిని సుమారుగా ఉజ్జాయింపు లెక్కల్లో భర్తీ చేస్తుంది. మేము ఇలా చెప్పినప్పుడు: "సగటు దీపం ఆపరేటింగ్ సమయం 100 గంటలు" లేదా "ప్రభావం యొక్క సగటు పాయింట్ లక్ష్యానికి సంబంధించి 2 మీటర్లు కుడివైపుకి మార్చబడుతుంది" అని మేము దాని స్థానాన్ని వివరించే యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క నిర్దిష్ట సంఖ్యా లక్షణాన్ని సూచిస్తాము. సంఖ్యా అక్షం మీద, అనగా. "స్థాన లక్షణాలు".

సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో స్థానం యొక్క లక్షణాలలో, చాలా ముఖ్యమైన పాత్ర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత నిరీక్షణ ద్వారా ఆడబడుతుంది, దీనిని కొన్నిసార్లు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సగటు విలువ అని పిలుస్తారు.

సంభావ్యతతో సాధ్యమయ్యే విలువలను కలిగి ఉన్న వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్‌ను పరిశీలిద్దాం. ఈ విలువలు వేర్వేరు సంభావ్యతలను కలిగి ఉన్నాయనే వాస్తవాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుని, x- అక్షంపై యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క విలువల స్థానాన్ని మనం కొంత సంఖ్యతో వర్గీకరించాలి. ఈ ప్రయోజనం కోసం, విలువల యొక్క "వెయిటెడ్ యావరేజ్" అని పిలవబడేది సహజమైనది మరియు సగటు సమయంలో ప్రతి విలువ ఈ విలువ యొక్క సంభావ్యతకు అనులోమానుపాతంలో "బరువు"తో పరిగణనలోకి తీసుకోవాలి. అందువలన, మేము యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సగటును గణిస్తాము, దీనిని మేము దీని ద్వారా సూచిస్తాము:

లేదా, ఇచ్చిన,

. (5.6.1)

ఈ వెయిటెడ్ యావరేజ్‌ని యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత అంచనా అంటారు. అందువల్ల, సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క అత్యంత ముఖ్యమైన భావనలలో ఒకదాన్ని మేము పరిగణనలోకి తీసుకున్నాము - గణిత నిరీక్షణ భావన.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత అంచనా అనేది యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క అన్ని సాధ్యమైన విలువల యొక్క ఉత్పత్తుల మొత్తం మరియు ఈ విలువల సంభావ్యత.

పై సూత్రీకరణలో గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ యొక్క నిర్వచనం చెల్లుబాటు అయ్యేది, ఖచ్చితంగా చెప్పాలంటే, వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ కోసం మాత్రమే; దిగువ మేము ఈ భావనను నిరంతర పరిమాణాల విషయంలో సాధారణీకరిస్తాము.

గణిత నిరీక్షణ భావనను మరింత స్పష్టంగా చెప్పడానికి, వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ పంపిణీ యొక్క యాంత్రిక వివరణకు వెళ్దాం. అబ్సిస్సా అక్షం మీద అబ్సిస్సాస్‌తో పాయింట్లు ఉండనివ్వండి, అందులో ద్రవ్యరాశి వరుసగా కేంద్రీకృతమై ఉంటుంది మరియు . అప్పుడు, స్పష్టంగా, ఫార్ములా (5.6.1) ద్వారా నిర్వచించబడిన గణిత నిరీక్షణ అనేది భౌతిక పాయింట్ల యొక్క ఇచ్చిన వ్యవస్థ యొక్క గురుత్వాకర్షణ కేంద్రం యొక్క అబ్సిస్సా కంటే మరేమీ కాదు.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత నిరీక్షణ పెద్ద సంఖ్యలో ప్రయోగాలలో యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గమనించిన విలువల యొక్క అంకగణిత సగటుతో ఒక విచిత్రమైన ఆధారపడటం ద్వారా అనుసంధానించబడింది. ఈ ఆధారపడటం అనేది ఫ్రీక్వెన్సీ మరియు సంభావ్యత మధ్య ఆధారపడటం వంటిది, అవి: పెద్ద సంఖ్యలో ప్రయోగాలతో, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గమనించిన విలువల యొక్క అంకగణిత సగటు దాని గణిత నిరీక్షణకు (సంభావ్యతలో కలుస్తుంది) విధానాలు. ఫ్రీక్వెన్సీ మరియు సంభావ్యత మధ్య కనెక్షన్ ఉనికి నుండి, అంకగణిత సగటు మరియు గణిత అంచనాల మధ్య సారూప్య కనెక్షన్ ఉనికిని పర్యవసానంగా అంచనా వేయవచ్చు.

నిజానికి, డిస్ట్రిబ్యూషన్ సిరీస్ ద్వారా వర్గీకరించబడిన వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్‌ను పరిగణించండి:

ఎక్కడ .

స్వతంత్ర ప్రయోగాలను నిర్వహించనివ్వండి, ప్రతి దానిలో పరిమాణం నిర్దిష్ట విలువను తీసుకుంటుంది. విలువ ఒకసారి కనిపించిందని, విలువ ఒకసారి కనిపించిందని, విలువ ఒకసారి కనిపించిందని అనుకుందాం. స్పష్టంగా,

పరిమాణం యొక్క గమనించిన విలువల యొక్క అంకగణిత సగటును గణిద్దాం, ఇది గణిత అంచనాకు విరుద్ధంగా, మేము సూచిస్తాము:

కానీ ఈవెంట్ యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీ (లేదా గణాంక సంభావ్యత) కంటే ఎక్కువ ఏమీ లేదు; ఈ ఫ్రీక్వెన్సీని సూచించవచ్చు. అప్పుడు

,

ఆ. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గమనించిన విలువల యొక్క అంకగణిత సగటు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క అన్ని సాధ్యమైన విలువల ఉత్పత్తుల మొత్తానికి మరియు ఈ విలువల పౌనఃపున్యాలకు సమానం.

ప్రయోగాల సంఖ్య పెరిగేకొద్దీ, పౌనఃపున్యాలు సంబంధిత సంభావ్యతలకు చేరుకుంటాయి (సంభావ్యతలో కలుస్తాయి). తత్ఫలితంగా, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గమనించిన విలువల యొక్క అంకగణిత సగటు ప్రయోగాల సంఖ్య పెరిగేకొద్దీ దాని గణిత నిరీక్షణకు చేరుకుంటుంది (సంభావ్యతలో కలుస్తుంది).

పైన రూపొందించిన అంకగణిత సగటు మరియు గణిత అంచనాల మధ్య కనెక్షన్ పెద్ద సంఖ్యల చట్టం యొక్క రూపాలలో ఒకదాని యొక్క కంటెంట్‌ను ఏర్పరుస్తుంది. మేము 13వ అధ్యాయంలో ఈ చట్టం యొక్క కఠినమైన రుజువును అందిస్తాము.

పెద్ద సంఖ్యల చట్టం యొక్క అన్ని రూపాలు పెద్ద సంఖ్యలో ప్రయోగాలలో కొన్ని సగటులు స్థిరంగా ఉన్నాయనే వాస్తవాన్ని తెలియజేస్తాయని మనకు ఇప్పటికే తెలుసు. ఇక్కడ మనం అదే పరిమాణంలోని పరిశీలనల శ్రేణి నుండి అంకగణిత సగటు యొక్క స్థిరత్వం గురించి మాట్లాడుతున్నాము. తక్కువ సంఖ్యలో ప్రయోగాలతో, వాటి ఫలితాల యొక్క అంకగణిత సగటు యాదృచ్ఛికంగా ఉంటుంది; ప్రయోగాల సంఖ్యలో తగినంత పెరుగుదలతో, ఇది "దాదాపు యాదృచ్ఛికం" అవుతుంది మరియు స్థిరీకరించడం, స్థిరమైన విలువను చేరుకుంటుంది - గణిత అంచనా.

పెద్ద సంఖ్యలో ప్రయోగాలపై సగటుల స్థిరత్వం ప్రయోగాత్మకంగా సులభంగా ధృవీకరించబడుతుంది. ఉదాహరణకు, ఖచ్చితమైన ప్రమాణాలపై ప్రయోగశాలలో శరీరాన్ని బరువుగా ఉంచినప్పుడు, బరువు ఫలితంగా ప్రతిసారీ కొత్త విలువను పొందుతాము; పరిశీలన లోపాన్ని తగ్గించడానికి, మేము శరీరాన్ని అనేక సార్లు బరువుగా ఉంచుతాము మరియు పొందిన విలువల యొక్క అంకగణిత సగటును ఉపయోగిస్తాము. ప్రయోగాల సంఖ్య (బరువులు) మరింత పెరగడంతో, అంకగణిత సగటు ఈ పెరుగుదలకు తక్కువ మరియు తక్కువ ప్రతిస్పందిస్తుంది మరియు తగినంత పెద్ద సంఖ్యలో ప్రయోగాలతో, ఆచరణాత్మకంగా మారడం ఆగిపోతుందని చూడటం సులభం.

గణిత నిరీక్షణ కోసం ఫార్ములా (5.6.1) వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ కేసుకు అనుగుణంగా ఉంటుంది. నిరంతర పరిమాణంలో, గణిత అంచనా సహజంగా మొత్తంగా కాకుండా సమగ్రంగా వ్యక్తీకరించబడుతుంది:

, (5.6.2)

పరిమాణం యొక్క పంపిణీ సాంద్రత ఎక్కడ ఉంది.

ఫార్ములా (5.6.2) ఫార్ములా (5.6.1) నుండి పొందబడుతుంది, దానిలోని వ్యక్తిగత విలువలు నిరంతరం మారుతున్న పరామితి x ద్వారా భర్తీ చేయబడితే, సంబంధిత సంభావ్యతలు - సంభావ్యత మూలకం ద్వారా మరియు చివరి మొత్తం - సమగ్ర ద్వారా. భవిష్యత్తులో, నిరంతర పరిమాణాల కోసం ఉత్పన్నమైన సూత్రాలను నిరంతర పరిమాణాల విషయంలో విస్తరించడానికి మేము తరచుగా ఈ పద్ధతిని ఉపయోగిస్తాము.

యాంత్రిక వివరణలో, నిరంతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత నిరీక్షణ అదే అర్థాన్ని కలిగి ఉంటుంది - సాంద్రతతో ద్రవ్యరాశి నిరంతరం అబ్సిస్సా వెంట పంపిణీ చేయబడినప్పుడు గురుత్వాకర్షణ కేంద్రం యొక్క అబ్సిస్సా. ఈ వివరణ తరచుగా సాధారణ యాంత్రిక పరిశీలనల నుండి సమగ్ర (5.6.2)ని లెక్కించకుండా గణిత నిరీక్షణను కనుగొనడానికి అనుమతిస్తుంది.

పైన మేము పరిమాణం యొక్క గణిత నిరీక్షణ కోసం ఒక సంజ్ఞామానాన్ని పరిచయం చేసాము. అనేక సందర్భాల్లో, ఒక నిర్దిష్ట సంఖ్యగా సూత్రాలలో పరిమాణాన్ని చేర్చినప్పుడు, దానిని ఒక అక్షరంతో సూచించడం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. ఈ సందర్భాలలో, మేము విలువ యొక్క గణిత నిరీక్షణను దీని ద్వారా సూచిస్తాము:

సూత్రాల యొక్క నిర్దిష్ట రికార్డింగ్ సౌలభ్యాన్ని బట్టి భవిష్యత్తులో సంజ్ఞామానం మరియు గణిత నిరీక్షణ సమాంతరంగా ఉపయోగించబడుతుంది. అవసరమైతే, "గణిత నిరీక్షణ" అనే పదాలను m.o అక్షరాలతో సంక్షిప్తీకరించడానికి కూడా అంగీకరిస్తాము.

ఒక స్థానం యొక్క అతి ముఖ్యమైన లక్షణం - గణిత నిరీక్షణ - అన్ని యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్‌కు ఉనికిలో లేదని గమనించాలి. గణిత నిరీక్షణ ఉనికిలో లేని యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క ఉదాహరణలను కంపోజ్ చేయడం సాధ్యపడుతుంది, ఎందుకంటే సంబంధిత మొత్తం లేదా సమగ్రం వేరుగా ఉంటుంది.

ఉదాహరణకు, డిస్ట్రిబ్యూషన్ సిరీస్‌తో నిరంతర రాండమ్ వేరియబుల్‌ను పరిగణించండి:

దానిని ధృవీకరించడం సులభం, అనగా. పంపిణీ సిరీస్ అర్ధమే; అయినప్పటికీ, ఈ సందర్భంలో మొత్తం వేరుగా ఉంటుంది మరియు అందువల్ల, విలువకు గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ ఉండదు. అయితే, ఇటువంటి కేసులు ఆచరణలో ముఖ్యమైన ఆసక్తిని కలిగి ఉండవు. సాధారణంగా, మేము వ్యవహరించే యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ పరిమిత శ్రేణి సాధ్యమైన విలువలను కలిగి ఉంటాయి మరియు వాస్తవానికి, గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణను కలిగి ఉంటాయి.

పైన మేము ఫార్ములాలను (5.6.1) మరియు (5.6.2) ఇచ్చాము, అవి నిరంతర మరియు నిరంతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ కోసం వరుసగా గణిత నిరీక్షణను వ్యక్తపరుస్తాయి.

ఒక పరిమాణం మిశ్రమ రకానికి చెందిన పరిమాణాలకు చెందినదైతే, దాని గణిత అంచనా రూపం యొక్క ఫార్ములా ద్వారా వ్యక్తీకరించబడుతుంది:

, (5.6.3)

డిస్ట్రిబ్యూషన్ ఫంక్షన్ నిరంతరాయంగా ఉన్న అన్ని పాయింట్లకు మొత్తం విస్తరిస్తుంది మరియు డిస్ట్రిబ్యూషన్ ఫంక్షన్ నిరంతరంగా ఉండే అన్ని ప్రాంతాలకు సమగ్రం విస్తరిస్తుంది.

గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ - - ఒక స్థానం యొక్క అత్యంత ముఖ్యమైన లక్షణాలతో పాటు, ఆచరణలో, స్థానం యొక్క ఇతర లక్షణాలు కొన్నిసార్లు ఉపయోగించబడతాయి, ప్రత్యేకించి, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క మోడ్ మరియు మధ్యస్థం.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క మోడ్ దాని అత్యంత సంభావ్య విలువ. ఖచ్చితంగా చెప్పాలంటే "అత్యంత సంభావ్య విలువ" అనే పదం నిరంతర పరిమాణాలకు మాత్రమే వర్తిస్తుంది; నిరంతర పరిమాణం కోసం, మోడ్ అనేది సంభావ్యత సాంద్రత గరిష్టంగా ఉండే విలువ. అక్షరం ద్వారా మోడ్‌ను సూచించడానికి అంగీకరిస్తాము. అంజీర్లో. 5.6.1 మరియు 5.6.2 వరుసగా నిరంతర మరియు నిరంతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ కోసం మోడ్‌ను చూపుతాయి.

పంపిణీ బహుభుజి (పంపిణీ వక్రరేఖ) గరిష్టంగా ఒకటి కంటే ఎక్కువ ఉంటే, పంపిణీని "మల్టీమోడల్" అంటారు (Fig. 5.6.3 మరియు 5.6.4).

కొన్నిసార్లు గరిష్టంగా కాకుండా మధ్యలో కనిష్టంగా ఉండే పంపిణీలు ఉన్నాయి (Fig. 5.6.5 మరియు 5.6.6). ఇటువంటి పంపిణీలను "యాంటీ-మోడల్" అంటారు. యాంటీమోడల్ పంపిణీకి ఉదాహరణ ఉదాహరణ 5, n° 5.1లో పొందిన పంపిణీ.

సాధారణ సందర్భంలో, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క మోడ్ మరియు గణిత నిరీక్షణ ఏకీభవించవు. నిర్దిష్ట సందర్భంలో, పంపిణీ సుష్టంగా మరియు మోడల్‌గా ఉన్నప్పుడు (అనగా మోడ్‌ను కలిగి ఉంటుంది) మరియు గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ ఉన్నప్పుడు, అది పంపిణీ యొక్క మోడ్ మరియు సెంటర్ ఆఫ్ సిమెట్రీతో సమానంగా ఉంటుంది.

మరొక స్థానం లక్షణం తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది - యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క మధ్యస్థం అని పిలవబడేది. ఈ లక్షణం సాధారణంగా నిరంతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ కోసం మాత్రమే ఉపయోగించబడుతుంది, అయినప్పటికీ ఇది నిరంతర వేరియబుల్ కోసం అధికారికంగా నిర్వచించబడుతుంది.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క మధ్యస్థం దాని విలువ

ఆ. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ కంటే తక్కువగా లేదా ఎక్కువ ఉండే అవకాశం ఉంది. రేఖాగణితంగా, మధ్యస్థం అనేది పంపిణీ వక్రరేఖ ద్వారా పరిమితం చేయబడిన ప్రాంతం సగానికి విభజించబడిన బిందువు యొక్క అబ్సిస్సా (Fig. 5.6.7).

సంభావ్యత సిద్ధాంతం అనేది గణితశాస్త్రం యొక్క ప్రత్యేక విభాగం, దీనిని ఉన్నత విద్యా సంస్థల విద్యార్థులు మాత్రమే అధ్యయనం చేస్తారు. మీకు లెక్కలు మరియు సూత్రాలు ఇష్టమా? వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సాధారణ పంపిణీ, సమిష్టి ఎంట్రోపీ, గణిత నిరీక్షణ మరియు వ్యాప్తితో పరిచయం పొందడానికి మీరు భయపడలేదా? అప్పుడు ఈ విషయం మీకు చాలా ఆసక్తికరంగా ఉంటుంది. సైన్స్ యొక్క ఈ శాఖ యొక్క అనేక ముఖ్యమైన ప్రాథమిక భావనలతో పరిచయం చేసుకుందాం.

బేసిక్స్ గుర్తుంచుకుందాం

మీరు సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క సరళమైన భావనలను గుర్తుంచుకున్నప్పటికీ, వ్యాసం యొక్క మొదటి పేరాలను విస్మరించవద్దు. ప్రాథమిక విషయాలపై స్పష్టమైన అవగాహన లేకుండా, దిగువ చర్చించిన సూత్రాలతో మీరు పని చేయలేరు.

కాబట్టి, కొన్ని యాదృచ్ఛిక సంఘటనలు సంభవిస్తాయి, కొన్ని ప్రయోగం. మేము తీసుకునే చర్యల ఫలితంగా, మేము అనేక ఫలితాలను పొందవచ్చు - వాటిలో కొన్ని తరచుగా జరుగుతాయి, మరికొన్ని తక్కువ తరచుగా జరుగుతాయి. ఒక ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత అనేది ఒక రకమైన వాస్తవంగా పొందిన ఫలితాల సంఖ్య మరియు సాధ్యమయ్యే మొత్తం సంఖ్యల నిష్పత్తి. ఈ కాన్సెప్ట్ యొక్క క్లాసికల్ డెఫినిషన్ తెలుసుకోవడం మాత్రమే మీరు నిరంతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క గణిత నిరీక్షణ మరియు వ్యాప్తిని అధ్యయనం చేయడం ప్రారంభించవచ్చు.

సగటు

తిరిగి పాఠశాలలో, గణిత పాఠాల సమయంలో, మీరు అంకగణిత సగటుతో పని చేయడం ప్రారంభించారు. ఈ భావన సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది మరియు అందువల్ల విస్మరించబడదు. ఈ సమయంలో మనకు ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత నిరీక్షణ మరియు వ్యాప్తి కోసం సూత్రాలలో మనం దానిని ఎదుర్కొంటాము.

మేము సంఖ్యల క్రమాన్ని కలిగి ఉన్నాము మరియు అంకగణిత సగటును కనుగొనాలనుకుంటున్నాము. మనకు కావలసిందల్లా అందుబాటులో ఉన్న ప్రతిదానిని సంగ్రహించడం మరియు క్రమంలో మూలకాల సంఖ్యతో విభజించడం. మనకు 1 నుండి 9 వరకు సంఖ్యలు ఉండనివ్వండి. మూలకాల మొత్తం 45కి సమానంగా ఉంటుంది మరియు మేము ఈ విలువను 9 ద్వారా భాగిస్తాము. సమాధానం: - 5.

చెదరగొట్టడం

శాస్త్రీయ పరంగా, చెదరగొట్టడం అనేది అంకగణిత సగటు నుండి ఒక లక్షణం యొక్క పొందిన విలువల విచలనాల సగటు చతురస్రం. ఇది ఒక పెద్ద లాటిన్ అక్షరం D ద్వారా సూచించబడుతుంది. దానిని లెక్కించడానికి ఏమి అవసరం? క్రమం యొక్క ప్రతి మూలకం కోసం, మేము ఇప్పటికే ఉన్న సంఖ్య మరియు అంకగణిత సగటు మధ్య వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించి దానిని వర్గీకరిస్తాము. మేము పరిశీలిస్తున్న ఈవెంట్‌కు ఎన్ని ఫలితాలు ఉండవచ్చో అంత చాలా విలువలు ఉంటాయి. తరువాత, మేము అందుకున్న ప్రతిదాన్ని సంగ్రహించి, క్రమంలో మూలకాల సంఖ్యతో భాగిస్తాము. మనకు ఐదు సాధ్యమైన ఫలితాలు ఉంటే, ఐదుతో భాగించండి.

డిస్పర్షన్‌లో సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు ఉపయోగించేందుకు గుర్తుంచుకోవలసిన లక్షణాలు కూడా ఉన్నాయి. ఉదాహరణకు, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్‌ను X రెట్లు పెంచుతున్నప్పుడు, వ్యత్యాసం X స్క్వేర్డ్ సార్లు పెరుగుతుంది (అంటే X*X). ఇది ఎప్పుడూ సున్నా కంటే తక్కువ కాదు మరియు సమాన మొత్తాలలో విలువలను పైకి లేదా క్రిందికి మార్చడంపై ఆధారపడదు. అదనంగా, స్వతంత్ర ట్రయల్స్ కోసం, మొత్తం యొక్క వ్యత్యాసం వ్యత్యాసాల మొత్తానికి సమానంగా ఉంటుంది.

ఇప్పుడు మనం వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ మరియు గణిత నిరీక్షణ యొక్క వైవిధ్యం యొక్క ఉదాహరణలను ఖచ్చితంగా పరిగణించాలి.

మేము 21 ప్రయోగాలు చేసాము మరియు 7 విభిన్న ఫలితాలను పొందాము. మేము వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి వరుసగా 1, 2, 2, 3, 4, 4 మరియు 5 సార్లు గమనించాము. వైవిధ్యం దేనికి సమానంగా ఉంటుంది?

మొదట, అంకగణిత సగటును గణిద్దాం: మూలకాల మొత్తం, వాస్తవానికి, 21. దానిని 7 ద్వారా విభజించి, 3 పొందండి. ఇప్పుడు అసలు క్రమంలో ప్రతి సంఖ్య నుండి 3ని తీసివేయండి, ప్రతి విలువను వర్గీకరించండి మరియు ఫలితాలను కలిపి జోడించండి. ఫలితం 12. ఇప్పుడు మనం చేయాల్సిందల్లా మూలకాల సంఖ్యతో సంఖ్యను భాగించడం, మరియు అది కనిపిస్తుంది, అంతే. కానీ ఒక క్యాచ్ ఉంది! దానిని చర్చిద్దాం.

ప్రయోగాల సంఖ్యపై ఆధారపడి ఉంటుంది

వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించేటప్పుడు, హారం రెండు సంఖ్యలలో ఒకదాన్ని కలిగి ఉంటుంది: N లేదా N-1. ఇక్కడ N అనేది ప్రయోగాల సంఖ్య లేదా క్రమంలోని మూలకాల సంఖ్య (ఇది తప్పనిసరిగా అదే విషయం). ఇది దేనిపై ఆధారపడి ఉంటుంది?

పరీక్షల సంఖ్యను వందల్లో కొలిస్తే, మనం తప్పనిసరిగా N ని హారంలో ఉంచాలి. యూనిట్లలో అయితే, N-1. శాస్త్రవేత్తలు చాలా ప్రతీకాత్మకంగా సరిహద్దును గీయాలని నిర్ణయించుకున్నారు: ఈ రోజు అది 30 సంఖ్య గుండా వెళుతుంది. మేము 30 కంటే తక్కువ ప్రయోగాలు చేస్తే, మేము N-1 ద్వారా మొత్తాన్ని విభజిస్తాము మరియు ఎక్కువ ఉంటే, N ద్వారా.

టాస్క్

వైవిధ్యం మరియు గణిత నిరీక్షణ సమస్యను పరిష్కరించడానికి మా ఉదాహరణకి తిరిగి వెళ్దాం. మాకు ఇంటర్మీడియట్ సంఖ్య 12 వచ్చింది, దానిని N లేదా N-1తో విభజించాల్సిన అవసరం ఉంది. మేము 21 ప్రయోగాలను నిర్వహించాము, ఇది 30 కంటే తక్కువ, మేము రెండవ ఎంపికను ఎంచుకుంటాము. కాబట్టి సమాధానం: వ్యత్యాసం 12/2 = 2.

ఆశించిన విలువ

రెండవ భావనకు వెళ్దాం, ఈ వ్యాసంలో మనం తప్పక పరిగణించాలి. గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ అనేది సంబంధిత సంభావ్యతలతో గుణించబడిన అన్ని సాధ్యమైన ఫలితాలను జోడించడం యొక్క ఫలితం. పొందిన విలువ, అలాగే వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించడం వల్ల వచ్చే ఫలితం మొత్తం సమస్యకు ఒకసారి మాత్రమే పొందబడిందని అర్థం చేసుకోవడం చాలా ముఖ్యం, దానిలో ఎన్ని ఫలితాలను పరిగణనలోకి తీసుకున్నా.

గణిత నిరీక్షణ సూత్రం చాలా సులభం: మేము ఫలితాన్ని తీసుకుంటాము, దాని సంభావ్యతతో గుణించండి, రెండవ, మూడవ ఫలితం మొదలైనవాటికి అదే జోడించండి. ఈ భావనకు సంబంధించిన ప్రతిదీ లెక్కించడం కష్టం కాదు. ఉదాహరణకు, ఊహించిన విలువల మొత్తం మొత్తం అంచనా విలువకు సమానంగా ఉంటుంది. పని విషయంలో కూడా అదే నిజం. సంభావ్యత సిద్ధాంతంలోని ప్రతి పరిమాణం అటువంటి సాధారణ కార్యకలాపాలను నిర్వహించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతించదు. సమస్యను తీసుకుందాం మరియు మనం అధ్యయనం చేసిన రెండు భావనల అర్థాన్ని ఒకేసారి లెక్కించండి. అంతేకాకుండా, మేము సిద్ధాంతం ద్వారా పరధ్యానంలో ఉన్నాము - ఇది సాధన చేయడానికి సమయం.

ఇంకొక ఉదాహరణ

మేము 50 ట్రయల్‌లను అమలు చేసాము మరియు 10 రకాల ఫలితాలను పొందాము - 0 నుండి 9 వరకు సంఖ్యలు - విభిన్న శాతాలలో కనిపిస్తాయి. ఇవి వరుసగా: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%,18%, 6%, 16%, 10%, 18%. సంభావ్యతలను పొందడానికి, మీరు శాతం విలువలను 100 ద్వారా విభజించాలని గుర్తుంచుకోండి. అందువలన, మనకు 0.02 వస్తుంది; 0.1, మొదలైనవి యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ మరియు గణిత నిరీక్షణ యొక్క వైవిధ్యం కోసం సమస్యను పరిష్కరించడానికి ఒక ఉదాహరణను అందిద్దాం.

మేము ప్రాథమిక పాఠశాల నుండి గుర్తుంచుకునే సూత్రాన్ని ఉపయోగించి అంకగణిత సగటును గణిస్తాము: 50/10 = 5.

ఇప్పుడు లెక్కించడాన్ని సులభతరం చేయడానికి సంభావ్యతలను "ముక్కలుగా" ఫలితాల సంఖ్యగా మారుద్దాం. మనకు 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 మరియు 9 లభిస్తాయి. పొందిన ప్రతి విలువ నుండి, మేము అంకగణిత సగటును తీసివేస్తాము, దాని తర్వాత మేము పొందిన ప్రతి ఫలితాలను వర్గీకరిస్తాము. మొదటి మూలకాన్ని ఉదాహరణగా ఉపయోగించి దీన్ని ఎలా చేయాలో చూడండి: 1 - 5 = (-4). తదుపరి: (-4) * (-4) = 16. ఇతర విలువల కోసం, ఈ కార్యకలాపాలను మీరే చేయండి. మీరు ప్రతిదీ సరిగ్గా చేస్తే, వాటిని జోడించిన తర్వాత మీకు 90 వస్తుంది.

90ని Nతో భాగించడం ద్వారా వైవిధ్యం మరియు అంచనా విలువను గణించడం కొనసాగిద్దాం. మనం N-1 కాకుండా Nని ఎందుకు ఎంచుకుంటాము? సరైనది, ఎందుకంటే ప్రదర్శించిన ప్రయోగాల సంఖ్య 30ని మించిపోయింది. కాబట్టి: 90/10 = 9. మేము వైవిధ్యాన్ని పొందాము. మీరు వేరే సంఖ్యను పొందినట్లయితే, నిరాశ చెందకండి. చాలా మటుకు, మీరు గణనలలో ఒక సాధారణ తప్పు చేసారు. మీరు వ్రాసిన వాటిని ఒకటికి రెండుసార్లు తనిఖీ చేయండి మరియు ప్రతిదీ బహుశా సరిగ్గా అమలులోకి వస్తుంది.

చివరగా, గణిత నిరీక్షణ సూత్రాన్ని గుర్తుంచుకోండి. మేము అన్ని గణనలను ఇవ్వము, అవసరమైన అన్ని విధానాలను పూర్తి చేసిన తర్వాత మీరు తనిఖీ చేయగల సమాధానాన్ని మాత్రమే మేము వ్రాస్తాము. అంచనా విలువ 5.48గా ఉంటుంది. 0*0.02 + 1*0.1... మరియు మొదలైనవి: మొదటి మూలకాలను ఉదాహరణగా ఉపయోగించి, కార్యకలాపాలను ఎలా నిర్వహించాలో మాత్రమే మనం గుర్తుచేసుకుందాం. మీరు చూడగలిగినట్లుగా, మేము ఫలిత విలువను దాని సంభావ్యత ద్వారా గుణిస్తాము.

విచలనం

విక్షేపణ మరియు గణిత నిరీక్షణకు దగ్గరి సంబంధం ఉన్న మరొక భావన ప్రామాణిక విచలనం. ఇది లాటిన్ అక్షరాలు sd ద్వారా లేదా గ్రీకు చిన్న అక్షరం "సిగ్మా" ద్వారా సూచించబడుతుంది. ఈ భావన కేంద్ర లక్షణం నుండి సగటున విలువలు ఎంత భిన్నంగా ఉంటాయో చూపిస్తుంది. దాని విలువను కనుగొనడానికి, మీరు వ్యత్యాసం యొక్క వర్గమూలాన్ని లెక్కించాలి.

మీరు సాధారణ పంపిణీ గ్రాఫ్‌ను ప్లాట్ చేసి, దానిపై నేరుగా స్క్వేర్డ్ విచలనాన్ని చూడాలనుకుంటే, ఇది అనేక దశల్లో చేయవచ్చు. మోడ్ (కేంద్ర విలువ) యొక్క ఎడమ లేదా కుడి వైపున ఉన్న చిత్రంలో సగం తీసుకోండి, క్షితిజ సమాంతర అక్షానికి లంబంగా గీయండి, తద్వారా ఫలిత బొమ్మల ప్రాంతాలు సమానంగా ఉంటాయి. డిస్ట్రిబ్యూషన్ మధ్య భాగం మరియు క్షితిజ సమాంతర అక్షం మీద వచ్చే ప్రొజెక్షన్ మధ్య సెగ్మెంట్ పరిమాణం ప్రామాణిక విచలనాన్ని సూచిస్తుంది.

సాఫ్ట్‌వేర్

సూత్రాల వివరణలు మరియు అందించిన ఉదాహరణల నుండి చూడగలిగినట్లుగా, వైవిధ్యం మరియు గణిత నిరీక్షణను లెక్కించడం అనేది అంకగణిత కోణం నుండి సరళమైన ప్రక్రియ కాదు. సమయాన్ని వృథా చేయకుండా ఉండటానికి, ఉన్నత విద్యా సంస్థలలో ఉపయోగించే ప్రోగ్రామ్‌ను ఉపయోగించడం అర్ధమే - దీనిని "R" అని పిలుస్తారు. ఇది గణాంకాలు మరియు సంభావ్యత సిద్ధాంతం నుండి అనేక భావనల కోసం విలువలను లెక్కించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతించే విధులను కలిగి ఉంది.

ఉదాహరణకు, మీరు విలువల వెక్టర్‌ను పేర్కొనండి. ఇది క్రింది విధంగా జరుగుతుంది: వెక్టర్<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

చివరగా

చెదరగొట్టడం మరియు గణిత నిరీక్షణ లేకుండా భవిష్యత్తులో ఏదైనా లెక్కించడం కష్టం. విశ్వవిద్యాలయాలలో ఉపన్యాసాల యొక్క ప్రధాన కోర్సులో, వారు ఈ అంశాన్ని అధ్యయనం చేసిన మొదటి నెలల్లో ఇప్పటికే చర్చించబడ్డారు. ఈ సాధారణ భావనలపై సరైన అవగాహన లేకపోవడం మరియు వాటిని లెక్కించలేకపోవడం వల్ల చాలా మంది విద్యార్థులు వెంటనే ప్రోగ్రామ్‌లో వెనుకబడి ఉండటం మరియు తరువాత సెషన్ చివరిలో బ్యాడ్ గ్రేడ్‌లు పొందడం వల్ల స్కాలర్‌షిప్‌లను కోల్పోతారు.

ఈ ఆర్టికల్‌లో అందించిన వాటికి సమానమైన పనులను పరిష్కరించడం ద్వారా కనీసం ఒక వారం, రోజుకు అరగంట ప్రాక్టీస్ చేయండి. అప్పుడు, సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో ఏదైనా పరీక్షలో, మీరు అదనపు చిట్కాలు మరియు చీట్ షీట్లు లేకుండా ఉదాహరణలను ఎదుర్కోగలుగుతారు.

ఇప్పటికే తెలిసినట్లుగా, పంపిణీ చట్టం యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్‌ను పూర్తిగా వర్గీకరిస్తుంది. అయినప్పటికీ, తరచుగా పంపిణీ చట్టం తెలియదు మరియు తక్కువ సమాచారానికి తనను తాను పరిమితం చేసుకోవాలి. కొన్నిసార్లు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్‌ను మొత్తంగా వివరించే సంఖ్యలను ఉపయోగించడం మరింత లాభదాయకంగా ఉంటుంది; అటువంటి సంఖ్యలు అంటారు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సంఖ్యా లక్షణాలు.ముఖ్యమైన సంఖ్యా లక్షణాలలో ఒకటి గణిత అంచనా.

గణిత అంచనా, క్రింద చూపబడినట్లుగా, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సగటు విలువకు దాదాపు సమానంగా ఉంటుంది. అనేక సమస్యలను పరిష్కరించడానికి, గణిత నిరీక్షణను తెలుసుకోవడం సరిపోతుంది. ఉదాహరణకు, మొదటి షూటర్ స్కోర్ చేసిన పాయింట్ల సంఖ్య యొక్క గణిత అంచనా రెండవదాని కంటే ఎక్కువగా ఉందని తెలిస్తే, మొదటి షూటర్ సగటున రెండవదాని కంటే ఎక్కువ పాయింట్లను స్కోర్ చేస్తాడు మరియు అందువల్ల మెరుగ్గా షూట్ చేస్తాడు. రెండవదాని కంటే. గణిత నిరీక్షణ దాని పంపిణీ యొక్క చట్టం కంటే యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ గురించి చాలా తక్కువ సమాచారాన్ని అందించినప్పటికీ, పైన పేర్కొన్న మరియు అనేక ఇతర సమస్యలను పరిష్కరించడానికి గణిత నిరీక్షణ యొక్క జ్ఞానం సరిపోతుంది.

§ 2. వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత అంచనా

గణిత నిరీక్షణవివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ అనేది దాని సాధ్యమయ్యే అన్ని విలువలు మరియు వాటి సంభావ్యత యొక్క ఉత్పత్తుల మొత్తం.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్‌ని అనుమతించండి X విలువలను మాత్రమే తీసుకోవచ్చు X 1 , X 2 , ..., X పి , వీరి సంభావ్యతలు వరుసగా సమానంగా ఉంటాయి ఆర్ 1 , ఆర్ 2 , . . ., ఆర్ పి . అప్పుడు గణిత నిరీక్షణ ఎం(X) యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ X సమానత్వం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది

ఎం(X) = X 1 ఆర్ 1 + X 2 ఆర్ 2 + … + x n p n .

వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ అయితే X సాధ్యమయ్యే విలువల యొక్క లెక్కించదగిన సమితిని తీసుకుంటుంది

ఎం(X)=

అంతేకాకుండా, సమానత్వం యొక్క కుడి వైపున ఉన్న శ్రేణి ఖచ్చితంగా కలుస్తే గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ ఉంటుంది.

వ్యాఖ్య. వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత నిరీక్షణ అనేది యాదృచ్ఛికం కాని (స్థిరమైన) పరిమాణం అని నిర్వచనం నుండి ఇది అనుసరిస్తుంది. మీరు ఈ ప్రకటనను గుర్తుంచుకోవాలని మేము సిఫార్సు చేస్తున్నాము, ఎందుకంటే ఇది చాలా సార్లు తర్వాత ఉపయోగించబడుతుంది. నిరంతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత నిరీక్షణ కూడా స్థిరమైన విలువ అని తరువాత చూపబడుతుంది.

ఉదాహరణ 1.యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత నిరీక్షణను కనుగొనండి X, దాని పంపిణీ చట్టాన్ని తెలుసుకోవడం:

పరిష్కారం. అవసరమైన గణిత అంచనా అనేది యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ మరియు వాటి సంభావ్యత యొక్క సాధ్యమయ్యే అన్ని విలువల ఉత్పత్తుల మొత్తానికి సమానం:

ఎం(X)= 3* 0, 1+ 5* 0, 6+ 2* 0, 3= 3, 9.

ఉదాహరణ 2.ఈవెంట్ యొక్క సంఘటనల సంఖ్య యొక్క గణిత అంచనాను కనుగొనండి ఎఒక ట్రయల్‌లో, ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత ఉంటే ఎసమానంగా ఆర్.

పరిష్కారం. యాదృచ్ఛిక విలువ X - ఈవెంట్ యొక్క సంఘటనల సంఖ్య ఎఒక పరీక్షలో - రెండు విలువలను మాత్రమే తీసుకోవచ్చు: X 1 = 1 (సంఘటన ఎసంభవించింది) సంభావ్యతతో ఆర్మరియు X 2 = 0 (సంఘటన ఎసంభవించలేదు) సంభావ్యతతో q= 1 -ఆర్.అవసరమైన గణిత నిరీక్షణ

ఎం(X)= 1* p+ 0* q= p

కాబట్టి, ఒక ట్రయల్‌లో ఈవెంట్ యొక్క సంఘటనల సంఖ్య యొక్క గణిత అంచనా ఈ సంఘటన యొక్క సంభావ్యతకు సమానం.ఈ ఫలితం క్రింద ఉపయోగించబడుతుంది.

§ 3. గణిత నిరీక్షణ యొక్క సంభావ్య అర్థం

దానిని ఉత్పత్తి చేయనివ్వండి పిపరీక్షలు దీనిలో యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ X ఆమోదించబడిన టి 1 సార్లు విలువ X 1 , టి 2 సార్లు విలువ X 2 ,...,m కె సార్లు విలువ x కె , మరియు టి 1 + టి 2 + …+టి కు = p.అప్పుడు తీసుకున్న అన్ని విలువల మొత్తం X, సమానంగా

X 1 టి 1 + X 2 టి 2 + ... + X కు టి కు .

అంకగణిత సగటును కనుగొనండి యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ ద్వారా ఆమోదించబడిన అన్ని విలువలు, దీని కోసం మేము కనుగొన్న మొత్తాన్ని మొత్తం పరీక్షల సంఖ్యతో భాగిస్తాము:

= (X 1 టి 1 + X 2 టి 2 + ... + X కు టి కు)/పి,

= X 1 (m 1 / n) + X 2 (m 2 / n) + ... + X కు (టి కు /పి). (*)

అనే వైఖరిని గమనిస్తున్నారు m 1 / n- సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీ W 1 విలువలు X 1 , m 2 / n - సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీ W 2 విలువలు X 2 మొదలైనవి, మేము సంబంధాన్ని (*) ఇలా వ్రాస్తాము:

=X 1 W 1 + x 2 W 2 + .. . + X కు W కె . (**)

పరీక్షల సంఖ్య చాలా పెద్దదని అనుకుందాం. అప్పుడు సంబంధిత పౌనఃపున్యం సంఘటన సంభవించే సంభావ్యతకు దాదాపు సమానంగా ఉంటుంది (ఇది చాప్టర్ IX, § 6లో నిరూపించబడుతుంది):

W 1 p 1 , W 2 p 2 , …, W కె p కె .

సంబంధిత ఫ్రీక్వెన్సీలను సంబంధిత సంభావ్యతలతో భర్తీ చేయడం (**), మేము పొందుతాము

x 1 p 1 + X 2 ఆర్ 2 + … + X కు ఆర్ కు .

ఈ ఉజ్జాయింపు సమానత్వం యొక్క కుడి వైపు ఎం(X). కాబట్టి,

ఎం(X).

పొందిన ఫలితం యొక్క సంభావ్య అర్ధం క్రింది విధంగా ఉంది: గణిత అంచనా దాదాపు సమానంగా ఉంటుంది(మరింత ఖచ్చితమైనది, పరీక్షల సంఖ్య ఎక్కువ) యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గమనించిన విలువల యొక్క అంకగణిత సగటు.

వ్యాఖ్య 1. గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ అతిచిన్న దానికంటే ఎక్కువ మరియు సాధ్యమయ్యే అతిపెద్ద విలువ కంటే తక్కువగా ఉందని అర్థం చేసుకోవడం సులభం. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, సంఖ్యా రేఖపై, సాధ్యమయ్యే విలువలు గణిత నిరీక్షణకు ఎడమ మరియు కుడి వైపున ఉంటాయి. ఈ కోణంలో, గణిత నిరీక్షణ అనేది పంపిణీ యొక్క స్థానాన్ని వర్ణిస్తుంది మరియు అందువల్ల దీనిని తరచుగా పిలుస్తారు పంపిణీ కేంద్రం.

ఈ పదం మెకానిక్స్ నుండి తీసుకోబడింది: మాస్ అయితే ఆర్ 1 , ఆర్ 2 , ..., ఆర్ పిఅబ్సిస్సా పాయింట్ల వద్ద ఉంది x 1 , X 2 , ..., X n, మరియు
అప్పుడు గురుత్వాకర్షణ కేంద్రం యొక్క అబ్సిస్సా

x సి =
.

పరిగణలోకి
= ఎం (X) మరియు
మాకు దొరికింది ఎం(X)= x తో .

కాబట్టి, గణిత నిరీక్షణ అనేది మెటీరియల్ పాయింట్ల వ్యవస్థ యొక్క గురుత్వాకర్షణ కేంద్రం యొక్క అబ్సిస్సా, వీటిలో అబ్సిస్సాస్ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సాధ్యమైన విలువలకు సమానం మరియు ద్రవ్యరాశి వాటి సంభావ్యతలకు సమానం.

వ్యాఖ్య 2. "గణిత నిరీక్షణ" అనే పదం యొక్క మూలం సంభావ్యత సిద్ధాంతం (XVI - XVII శతాబ్దాలు) యొక్క ఆవిర్భావం యొక్క ప్రారంభ కాలంతో ముడిపడి ఉంది, దాని అప్లికేషన్ యొక్క పరిధి జూదానికి పరిమితం చేయబడింది. ఆటగాడు ఊహించిన విజయం యొక్క సగటు విలువపై ఆసక్తి కలిగి ఉన్నాడు లేదా మరో మాటలో చెప్పాలంటే, గెలుపొందాలనే గణిత నిరీక్షణ.