3. సాధారణ త్రిభుజాకార ప్రిజం ABCA 1 B 1 C 1లో, అన్ని అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, రేఖల మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి: AB మరియు A 1 C. పరిష్కారం: కావలసిన కోణం B 1 A 1 కోణానికి సమానం C. త్రిభుజంలో B 1 A 1 C మేము ఎత్తు CD 1 గీస్తాము. ఒక లంబ త్రిభుజంలో A 1 CD 1 లెగ్ A 1 D 1 0.5కి సమానం; హైపోటెన్యూస్ A 1 C సమానం. అందుకే,
పరిష్కారం 1. O 1 సాధారణ షడ్భుజి A 1 ...F 1కి కేంద్రంగా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు AO 1 సరళ రేఖ BC 1 సరళ రేఖకు సమాంతరంగా ఉంటుంది మరియు AB 1 మరియు BC సరళ రేఖల మధ్య కావలసిన కోణం 1 కోణానికి సమానం B 1 AO 1. సమద్విబాహు త్రిభుజం B 1 AO 1 లో మనకు : O 1 B 1 = 1; AB 1 =AO 1 =. కొసైన్ సిద్ధాంతాన్ని వర్తింపజేస్తే, మనకు లభిస్తుంది.
పరిష్కారం 2. కోఆర్డినేట్‌ల మూలంగా పాయింట్ A, కోఆర్డినేట్‌లను (1, 0, 0), పాయింట్ A 1కి కోఆర్డినేట్‌లు (0, 0, 1) కలిగి ఉండేలా పాయింట్‌ని పరిగణనలోకి తీసుకుని, ఒక కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌ను పరిచయం చేద్దాం. అప్పుడు పాయింట్ C 1 కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంటుంది (1.5, 1). వెక్టర్‌కు కోఆర్డినేట్‌లు (1, 0, 1), వెక్టర్‌కు కోఆర్డినేట్‌లు (0.5, 1) ఉంటాయి. వెక్టర్స్ మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్‌ను వాటి స్కేలార్ ఉత్పత్తి మరియు పొడవు ద్వారా వ్యక్తీకరించే సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము. మన దగ్గర ఉంది. కాబట్టి, AB 1 మరియు BC 1 సరళ రేఖల మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్ 0.75.
పరిష్కారం 2. కోఆర్డినేట్‌ల మూలంగా పాయింట్ A, కోఆర్డినేట్‌లను (1, 0, 0), పాయింట్ A 1కి కోఆర్డినేట్‌లు (0, 0, 1) కలిగి ఉండేలా పాయింట్‌ని పరిగణనలోకి తీసుకుని, ఒక కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌ను పరిచయం చేద్దాం. అప్పుడు పాయింట్ D 1 కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంటుంది (1, 1). వెక్టార్‌కు కోఆర్డినేట్‌లు (1, 0, 1), వెక్టర్‌కు కోఆర్డినేట్‌లు (0, 1) ఉంటాయి. వెక్టర్స్ మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్‌ను వాటి స్కేలార్ ఉత్పత్తి మరియు పొడవు ద్వారా వ్యక్తీకరించే సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము. మన దగ్గర ఉంది. కాబట్టి, AB 1 మరియు BC 1 సరళ రేఖల మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్ సమానంగా ఉంటుంది.
పరిష్కారం 1. AB 1 మరియు BE 1 సరళ రేఖల మధ్య కోణం 90 డిగ్రీలకు సమానమని నిరూపిద్దాం. దీన్ని చేయడానికి, మేము మూడు లంబాల సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగిస్తాము. అవి, ఒక విమానంపైకి వంపుతిరిగిన విమానం యొక్క ఆర్తోగోనల్ ప్రొజెక్షన్ ఈ విమానంలో ఉన్న సరళ రేఖకు లంబంగా ఉంటే, వంపుతిరిగినది ఈ సరళ రేఖకు లంబంగా ఉంటుంది. ABB 1 విమానంలో BE 1 యొక్క ఆర్తోగోనల్ ప్రొజెక్షన్ A 1 B, AB 1కి లంబంగా ఉండే సరళ రేఖ A 1 B. తత్ఫలితంగా, BE 1 సరళ రేఖ AB 1కి లంబంగా ఉంటుంది, అనగా. కావలసిన కోణం 90°.
పరిష్కారం 2. పాయింట్ B ద్వారా మనం AB 1 రేఖకు సమాంతరంగా ఒక గీతను గీస్తాము మరియు G 1 దాని ఖండన బిందువును A 1 B 1 రేఖతో సూచిస్తాము. కావలసిన కోణం E 1 BG 1 కోణానికి సమానంగా ఉంటుంది. E 1 త్రిభుజం యొక్క BG 1 వైపు BG 1 సమానం. కుడి త్రిభుజం BEE 1లో, BE మరియు EE 1 కాళ్లు వరుసగా 2 మరియు 1కి సమానంగా ఉంటాయి. కాబట్టి, BE 1 యొక్క హైపోటెన్యూస్ సమానంగా ఉంటుంది. లంబ త్రిభుజం G 1 A 1 E 1లో, A 1 G 1 మరియు A 1 E 1 కాళ్లు వరుసగా 2 మరియు సమానంగా ఉంటాయి. కాబట్టి, హైపోటెన్యూస్ G 1 E 1 సమానంగా ఉంటుంది. ఈ విధంగా, BE 1 G 1 త్రిభుజంలో మనకు ఉన్నాయి: BG 1 =, BE 1 =, G 1 E 1 =. పైథాగరియన్ సిద్ధాంతానికి విలోమ సిద్ధాంతం ప్రకారం, మేము కోణం E 1 BG 1 90 డిగ్రీలకు సమానం.
పరిష్కారం 3. కోఆర్డినేట్‌ల మూలంగా పాయింట్ A, కోఆర్డినేట్‌లను (1, 0, 0), పాయింట్ A 1కి కోఆర్డినేట్‌లు (0, 0, 1), పాయింట్ E కలిగి ఉండేందుకు పాయింట్‌ను పరిగణనలోకి తీసుకుని, కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌ను పరిచయం చేద్దాం. అక్షాంశాలు (0, 0). అప్పుడు పాయింట్ E 1 కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంటుంది (0, 1), వెక్టర్‌కు కోఆర్డినేట్‌లు (1, 0, 1), వెక్టర్‌కు కోఆర్డినేట్‌లు (-1, 1) ఉన్నాయి. వెక్టర్స్ మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్‌ను వాటి స్కేలార్ ఉత్పత్తి మరియు పొడవు ద్వారా వ్యక్తీకరించే సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము. మేము కలిగి ఉన్నాము మరియు అందువల్ల, AB 1 మరియు BE 1 సరళ రేఖల మధ్య కోణం 90 డిగ్రీలకు సమానం.
13. సాధారణ త్రిభుజాకార ప్రిజం ABCA 1 B 1 C 1లో, అన్ని అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, ABC మరియు A 1 B 1 C విమానాల మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి. పరిష్కారం: O, O 1 అంచుల మధ్య బిందువులుగా ఉండనివ్వండి. AB మరియు A 1 B 1. కావలసిన సరళ కోణం OCO 1 కోణం అవుతుంది. కుడి త్రిభుజం OCO 1లో మనకు OO 1 = 1 ఉంటుంది; OC = అందుచేత
16. సాధారణ 6వ ప్రిజంలో A...F 1, అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, CDF 1 మరియు AFD 1 విమానాల మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి. సమాధానం: పరిష్కారం: O అనేది ప్రిజంకి కేంద్రంగా ఉండనివ్వండి, G, G 1 అంచుల మధ్య బిందువులు CD మరియు C 1 D 1. అవసరమైన కోణం GOG కోణానికి సమానం 1. త్రిభుజం GOG 1లో మనకు: GG 1 = GO = G 1 O = 1. కాబట్టి, = 60 o.
క్యూబ్ 1 క్యూబ్ A…D 1లో, AC మరియు BD రేఖల మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి 1. సమాధానం. 90 o.
క్యూబ్ 2 క్యూబ్ A…D 1లో, AB 1 మరియు BD 1 పంక్తుల మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి. సమాధానం. 90 o.
క్యూబ్ 3 క్యూబ్ A…D 1లో, DA 1 మరియు BD 1 పంక్తుల మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి. సమాధానం. 90 o.
క్యూబ్ 4 యూనిట్ క్యూబ్ A...D 1లో, AE మరియు BE 1 పంక్తుల మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్‌ను కనుగొనండి, ఇక్కడ E మరియు E 1 అనేవి వరుసగా BC మరియు B 1 C 1 అంచుల మధ్య బిందువులు. పరిష్కారం. పాయింట్ A ద్వారా మేము BE 1కి సమాంతరంగా AF 1 రేఖను గీస్తాము. కావలసిన కోణం EAF 1 కోణానికి సమానంగా ఉంటుంది. AEF 1 AE = AF 1 = , EF 1 = త్రిభుజంలో. కొసైన్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి మనం సమాధానాన్ని కనుగొంటాము.
క్యూబ్ 5 క్యూబ్ A...D 1లో, AE మరియు BF 1 పంక్తుల మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి, ఇక్కడ E మరియు F 1 అనేవి వరుసగా BC మరియు C 1 D 1 అంచుల మధ్య బిందువులు. పరిష్కారం. పాయింట్ F 1 నుండి మేము సరళ రేఖ CD కి లంబంగా F 1 F ను తగ్గిస్తాము. లైన్ AE BFకి లంబంగా ఉంటుంది, కనుక ఇది BF 1కి లంబంగా ఉంటుంది. సమాధానం. 90 o.
పిరమిడ్ 1 సాధారణ టెట్రాహెడ్రాన్ ABCDలో, AD మరియు BC రేఖల మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి. సమాధానం: 90 ఓ.
పిరమిడ్ 1 సాధారణ టెట్రాహెడ్రాన్ ABCDలో, E, F, G పాయింట్లు AB, BD, CD అంచుల మధ్య బిందువులు. EFG కోణాన్ని కనుగొనండి. పరిష్కారం. EF మరియు FG పంక్తులు AD మరియు BC పంక్తులకు సమాంతరంగా ఉంటాయి, ఇవి లంబంగా ఉంటాయి. అందువల్ల, వాటి మధ్య కోణం 90 డిగ్రీలు. సమాధానం: 90 ఓ.
పిరమిడ్ 2 సాధారణ పిరమిడ్ SABCDలో, అన్ని అంచులు 1కి సమానం, పాయింట్ E అనేది అంచు SC మధ్యలో ఉంటుంది. SA మరియు BE పంక్తుల మధ్య కోణం యొక్క టాంజెంట్‌ను కనుగొనండి. పరిష్కారం. పాయింట్ E ద్వారా మేము SA కి సమాంతరంగా ఒక గీతను గీస్తాము. ఇది పాయింట్ O వద్ద బేస్‌ను కలుస్తుంది. అవసరమైన కోణం కోణం OEBకి సమానంగా ఉంటుంది. కుడి త్రిభుజం OEBలో మనకు: OB = సమాధానం: , OE = . అందుకే,
పిరమిడ్ 3 సాధారణ పిరమిడ్ SABCDలో, అన్ని అంచులు 1కి సమానం, పాయింట్లు E, F అనేవి SB మరియు SC అంచుల మధ్య బిందువులు. AE మరియు BF పంక్తుల మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్‌ను కనుగొనండి. పరిష్కారం. AD అంచు మధ్య బిందువును G సూచించనివ్వండి. లైన్ GF AEకి సమాంతరంగా ఉంటుంది. అవసరమైన కోణం కోణం BFGకి సమానం. త్రిభుజం BFGలో మనకు: BF = GF = , BG = . కొసైన్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి మనం సమాధానాన్ని కనుగొంటాము:
పిరమిడ్ 4 సాధారణ పిరమిడ్ SABCDEFలో, దాని మూల భుజాలు 1కి సమానం మరియు పక్క అంచులు 2కి సమానం, SA మరియు BF పంక్తుల మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి. సమాధానం: 90 ఓ.
పిరమిడ్ 5 సాధారణ పిరమిడ్ SABCDEFలో, దాని మూల భుజాలు 1కి సమానం మరియు పక్క అంచులు 2కి సమానం, పాయింట్ G అనేది అంచు SC మధ్యలో ఉంటుంది. SA మరియు BG పంక్తుల మధ్య కోణం యొక్క టాంజెంట్‌ను కనుగొనండి. పరిష్కారం. H సెగ్మెంట్ AC యొక్క మధ్య బిందువును సూచించనివ్వండి. లైన్ GH SAకి సమాంతరంగా ఉంటుంది. అవసరమైన కోణం BGH కోణంతో సమానంగా ఉంటుంది. త్రిభుజం BGHలో మనకు: BH = 0, 5, GH = 1. సమాధానం:
ప్రిజం 1 సాధారణ త్రిభుజాకార ప్రిజం ABCA 1 B 1 C 1లో, అన్ని అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, AB 1 మరియు BC 1 సరళ రేఖల మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్‌ను కనుగొనండి. పరిష్కారం: ప్రిజమ్‌ను 4-కోణ ప్రిజమ్‌గా రూపొందిద్దాం. . BC 1కి సమాంతరంగా AD 1ని గీయండి. కావలసిన కోణం B 1 AD 1 కోణానికి సమానంగా ఉంటుంది. AB 1 D 1 త్రిభుజంలో కొసైన్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి, మనం కనుగొంటాము
ప్రిజం 2 సాధారణ త్రిభుజాకార ప్రిజం ABCA 1 B 1 C 1లో, అన్ని అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, D, E అనే పాయింట్లు A 1 B 1 మరియు B 1 C 1 అంచుల మధ్య బిందువులు. రేఖల మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్‌ను కనుగొనండి AD మరియు BE. పరిష్కారం. F అనేది సెగ్మెంట్ AC యొక్క మధ్య బిందువును సూచించనివ్వండి. లైన్ EF AD కి సమాంతరంగా ఉంటుంది. అవసరమైన కోణం BEF కోణంతో సమానంగా ఉంటుంది. త్రిభుజం BGHలో మనకు ఉంది: కొసైన్‌ల నియమాన్ని ఉపయోగించి మనం సమాధానాన్ని కనుగొంటాము.
ప్రిజం 3 సాధారణ 6వ ప్రిజం A...F 1లో, దీని అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, AA 1 మరియు BD 1 సరళ రేఖల మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి. పరిష్కారం: అవసరమైన కోణం B 1 BD 1 కోణానికి సమానం. లంబ త్రిభుజం Bలో 1 BD 1 B 1 D 1 = ; B 1 B =1; BD 1=2. కాబట్టి, కావలసిన కోణం 60°. సమాధానం. 60 o.
ప్రిజం 4 సాధారణ 6వ ప్రిజం A...F 1లో, అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, AA 1 మరియు BE 1 సరళ రేఖల మధ్య కోణం యొక్క టాంజెంట్‌ను కనుగొనండి. పరిష్కారం: కావలసిన కోణం B 1 BE కోణానికి సమానం 1. లంబ త్రిభుజంలో B 1 BE 1 లెగ్ B 1 E 1 2కి సమానం; వైపు B 1 B 1కి సమానం. కాబట్టి, సమాధానం. 2.
ప్రిజం 5 సాధారణ 6వ ప్రిజం A...F 1లో, దీని అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, AC 1 మరియు BE సరళ రేఖల మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి. సమాధానం. 90 o.
ప్రిజం 6 సాధారణ 6వ ప్రిజం A...F 1లో, దీని అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, AD 1 మరియు BF సరళ రేఖల మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి. సమాధానం. 90 o.
ప్రిజం 7 రెగ్యులర్ 6వ ప్రిజం A...F 1లో, దీని అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, AB 1 మరియు BE 1 సరళ రేఖల మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి. సమాధానం. 90 o.
ప్రిజం 8 రెగ్యులర్ 6వ ప్రిజం A...F 1లో, అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, BA 1 మరియు FC 1 అనే సరళ రేఖల మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్‌ను కనుగొనండి. పరిష్కారం: సెగ్మెంట్ FC 1 మధ్యలో O ద్వారా, BA 1కి సమాంతరంగా PP 1 సరళ రేఖను గీయండి. కావలసిన కోణం POC కోణానికి సమానంగా ఉంటుంది 1. త్రిభుజం POC 1లో మనకు ఉంది: PO = ; OC 1= PC 1= కాబట్టి, సమాధానం. .
ప్రిజం 9 సాధారణ 6వ ప్రిజం A...F 1లో, అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, AB 1 మరియు BC 1 సరళ రేఖల మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్‌ను కనుగొనండి. పరిష్కారం: O 1 సాధారణ 6వ కేంద్రంగా ఉండనివ్వండి ప్రిజం A 1...F 1. అప్పుడు AO 1 సమాంతర BC 1, మరియు అవసరమైన కోణం B 1 AO 1 కోణానికి సమానం. సమద్విబాహు త్రిభుజంలో B 1 AO 1 O 1 B 1=1; AB 1=AO 1= కొసైన్ సిద్ధాంతాన్ని వర్తింపజేస్తే, మనకు లభిస్తుంది
ప్రిజం 10 సాధారణ 6వ ప్రిజం A...F 1లో, అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, AB 1 మరియు BD 1 సరళ రేఖల మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్‌ను కనుగొనండి. పరిష్కారం: కావలసిన కోణం B 1 AE కోణానికి సమానం 1. త్రిభుజంలో B 1 AE 1 AB 1= ; B 1 E 1 = AE 1 = 2. కాబట్టి,
ప్రిజం 11 సాధారణ 6వ ప్రిజంలో A...F 1, అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, AB 1 మరియు BF 1 సరళ రేఖల మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్‌ను కనుగొనండి. పరిష్కారం: O, O 1 కేంద్రాలుగా ఉండనివ్వండి ప్రిజం యొక్క స్థావరాలు. ప్రిజం యొక్క అక్షం మీద మేము O 1 O 2 = OO 1 ప్లాట్ చేస్తాము. అప్పుడు F 1 O 2 AB 1కి సమాంతరంగా ఉంటుంది మరియు కావలసిన కోణం BF 1 O 2 కోణానికి సమానంగా ఉంటుంది. BF 1 O 2 త్రిభుజంలో BO 2 = BF 1 = 2; F 1 O 2 = కొసైన్ సిద్ధాంతం ద్వారా, మనకు ఉంది
ప్రిజం 12 సాధారణ 6వ ప్రిజం A...F 1లో, అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, AB 1 మరియు CD 1 సరళ రేఖల మధ్య ఉన్న కోణం యొక్క కొసైన్‌ను కనుగొనండి. పరిష్కారం: కావలసిన కోణం CD 1 E కోణానికి సమానంగా ఉంటుంది. త్రిభుజంలో CD 1 E CD 1= ED 1 = ; CE = కొసైన్ సిద్ధాంతం ద్వారా, మనకు ఉంది
ప్రిజం 13 సాధారణ 6వ ప్రిజం A...F 1లో, అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, AB 1 మరియు CE 1 సరళ రేఖల మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్‌ను కనుగొనండి. పరిష్కారం: CE 1 BF 1కి సమాంతరంగా ఉందని గమనించండి. అందువల్ల, అవసరమైన కోణం AB 1 మరియు BF 1 మధ్య కోణానికి సమానంగా ఉంటుంది, ఇది ముందుగా కనుగొనబడింది. అవి,
ప్రిజం 14 సాధారణ 6వ ప్రిజం A...F 1లో, అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, AB 1 మరియు CF 1 సరళ రేఖల మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్‌ను కనుగొనండి. పరిష్కారం: O, O 1 కేంద్రాలుగా ఉండనివ్వండి ప్రిజం యొక్క స్థావరాలు. ప్రిజం యొక్క అక్షం మీద మేము O 1 O 2 = OO 1 ప్లాట్ చేస్తాము. అప్పుడు F 1 O 2 AB 1కి సమాంతరంగా ఉంటుంది మరియు కావలసిన కోణం CF 1 O 2 కోణానికి సమానంగా ఉంటుంది. త్రిభుజంలో CF 1 O 2 CO 2= CF 1 = F 1 O 2 = అప్పుడు
ప్రిజం 15 రెగ్యులర్ 6వ ప్రిజంలో A...F 1, అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, AB 1 మరియు CA 1 సరళ రేఖల మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్‌ను కనుగొనండి. పరిష్కారం: BB 1 కొనసాగింపులో, Bని పక్కన పెట్టండి 1 B 2 = BB 1. అప్పుడు A 1 B 2 AB 1కి సమాంతరంగా ఉంటుంది మరియు కావలసిన కోణం CA 1 B 2 కోణానికి సమానంగా ఉంటుంది. త్రిభుజంలో CA 1 B 2 CA 1= 2; CB 2 = A 1 B 2 = అప్పుడు
ప్రిజం 16 రెగ్యులర్ 6వ ప్రిజం A...F 1లో, అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, AB 1 మరియు DF 1 సరళ రేఖల మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్‌ను కనుగొనండి. పరిష్కారం: DF 1 CA 1కి సమాంతరంగా ఉందని గమనించండి. అందువల్ల, కావలసిన కోణం AB 1 మరియు CA 1 మధ్య కోణానికి సమానంగా ఉంటుంది, ఇది ముందుగా కనుగొనబడింది. అవి,
ప్రిజం 17 రెగ్యులర్ 6వ ప్రిజంలో A...F 1, అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, AB 1 మరియు DA 1 సరళ రేఖల మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి. పరిష్కారం: BB 1 కొనసాగింపులో మేము B 1 B 2ని పక్కన పెట్టాము. = BB 1. అప్పుడు A 1 B 2 AB 1కి సమాంతరంగా ఉంటుంది మరియు అవసరమైన కోణం DA 1 B 2 కోణానికి సమానంగా ఉంటుంది. త్రిభుజంలో DA 1 B 2 DA 1= DB 2 = A 1 B 2 = కాబట్టి, అవసరమైన కోణం 90 o.
ప్రిజం 18 ఒక సాధారణ 6వ ప్రిజం A...F 1లో, అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, AB 1 మరియు DC 1 సరళ రేఖల మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్‌ను కనుగొనండి. పరిష్కారం: O ఆధారం యొక్క కేంద్రంగా ఉండనివ్వండి ప్రిజం. OC 1 మరియు OB 1 విభాగాలు వరుసగా AB 1 మరియు DC 1 విభాగాలకు సమానంగా మరియు సమాంతరంగా ఉంటాయి. కావలసిన కోణం B 1 OC 1 కోణానికి సమానంగా ఉంటుంది. త్రిభుజంలో B 1 OC 1 OB 1 = OC 1 = ; B 1 C 1 = 1. అప్పుడు, కొసైన్ సిద్ధాంతం ద్వారా
ప్రిజం 19 సాధారణ 6వ ప్రిజం A...F 1లో, అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, AC 1 మరియు BD 1 పంక్తుల మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్‌ను కనుగొనండి. పరిష్కారం: AE 1 BD 1కి సమాంతరంగా ఉంటుందని గమనించండి. కాబట్టి , కావలసిన కోణం C 1 AE 1 త్రిభుజంలో C 1 AE 1 AC 1 = AE 1 = 2కి సమానం; C 1 E 1 = కొసైన్ సిద్ధాంతం ద్వారా, మనకు ఉంది
ప్రిజం 20 సాధారణ 6వ ప్రిజం A...F 1లో, అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, AC 1 మరియు BE 1 పంక్తుల మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్‌ను కనుగొనండి. పరిష్కారం: GG 1 సెగ్మెంట్ మధ్య బిందువుల గుండా వెళుతుందని గమనించండి అంచులు AF మరియు C 1 D 1 సమాంతరంగా ఉంటాయి మరియు సెగ్మెంట్ AC 1కి సమానంగా ఉంటుంది. అవసరమైన కోణం G 1 OE కోణానికి సమానంగా ఉంటుంది 1. త్రిభుజంలో G 1 OE 1 OG 1 = 1; OE 1 = ; G 1 E 1 = కొసైన్ సిద్ధాంతం ప్రకారం, మనకు ఉంది.
యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ 2010. మ్యాథమెటిక్స్
సమస్య C2
వర్క్‌బుక్
మరియు ద్వారా సవరించబడింది
పబ్లిషింగ్ హౌస్ MCNMO
2010
పరిచయం
ఈ మాన్యువల్ గణితంలో యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ యొక్క టాస్క్ C2ని పూర్తి చేయడానికి మిమ్మల్ని సిద్ధం చేయడానికి ఉద్దేశించబడింది. దీని లక్ష్యాలు:
- యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్ యొక్క కంటెంట్‌లో చేర్చబడిన రేఖాగణిత సమస్యల యొక్క ఉజ్జాయింపు విషయాలు మరియు కష్టాల స్థాయిని చూపడం;
- జ్యామితిలో విద్యార్థుల జ్ఞానం మరియు నైపుణ్యాల నాణ్యతను తనిఖీ చేయడం, ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్షలో పాల్గొనడానికి వారి సంసిద్ధత;
- ప్రాథమిక రేఖాగణిత బొమ్మలు మరియు వాటి లక్షణాల గురించి విద్యార్థుల ఆలోచనల అభివృద్ధి, డ్రాయింగ్‌లతో పని చేసే నైపుణ్యాల అభివృద్ధి మరియు అదనపు నిర్మాణాలను చేపట్టే సామర్థ్యం;
- విద్యార్థుల కంప్యూటింగ్ సంస్కృతిని మెరుగుపరచడం.
మాన్యువల్ అంతరిక్షంలో సరళ రేఖల మధ్య కోణాలను కనుగొనడంలో సమస్యలను కలిగి ఉంది, ఒక సరళ రేఖ మరియు ఒక విమానం, రెండు విమానాలు; ఒక బిందువు నుండి ఒక రేఖకు, ఒక బిందువు నుండి ఒక సమతలానికి, రెండు పంక్తుల మధ్య దూరాలను కనుగొనడం. డ్రాయింగ్ల ఉనికి సమస్యల పరిస్థితులను బాగా అర్థం చేసుకోవడానికి, సంబంధిత రేఖాగణిత పరిస్థితిని ఊహించడానికి, పరిష్కార ప్రణాళికను రూపొందించడానికి మరియు అదనపు నిర్మాణాలు మరియు గణనలను నిర్వహించడానికి సహాయపడుతుంది.
ప్రతిపాదిత సమస్యలను పరిష్కరించడానికి, త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల నిర్వచనాల పరిజ్ఞానం, త్రిభుజం యొక్క మూలకాలను కనుగొనే సూత్రాలు, పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం, కొసైన్ సిద్ధాంతం, అదనపు నిర్మాణాలను నిర్వహించగల సామర్థ్యం మరియు జ్యామితి యొక్క సమన్వయ మరియు వెక్టర్ పద్ధతుల పరిజ్ఞానం అవసరం. .
ప్రతి పని రెండు పాయింట్ల ఆధారంగా స్కోర్ చేయబడుతుంది. అవసరమైన కోణం లేదా దూరాన్ని సరిగ్గా నిర్మించడం లేదా వివరించడం కోసం ఒక పాయింట్ ఇవ్వబడుతుంది. అలాగే, సరిగ్గా చేసిన లెక్కలు మరియు సరైన సమాధానానికి ఒక పాయింట్ ఇవ్వబడుతుంది.
మొదట, వివిధ పాలిహెడ్రా కోసం కోణాలు మరియు దూరాలను కనుగొనడానికి డయాగ్నస్టిక్ పని ప్రతిపాదించబడింది. ప్రతిపాదిత సమస్యలకు పరిష్కారాల యొక్క ఖచ్చితత్వాన్ని తనిఖీ చేయాలనుకునే లేదా అందుకున్న సమాధానం సరైనదని నిర్ధారించుకోవాలనుకునే వారికి, సమస్యలకు పరిష్కారాలు సాధారణంగా రెండు రకాలుగా ఇవ్వబడతాయి మరియు సమాధానాలు ఇవ్వబడతాయి. అప్పుడు, సమస్యలను పరిష్కరించడానికి పరిగణించబడిన పద్ధతులను ఏకీకృతం చేయడానికి, రోగనిర్ధారణ పనిలో పరిగణించబడే ప్రతి రకమైన బొమ్మలకు కోణాలు మరియు దూరాలను కనుగొనడానికి శిక్షణా పని ప్రతిపాదించబడింది.
ఈ పనులు విజయవంతంగా పరిష్కరించబడితే, మీరు వివిధ రకాలైన పనులను కలిగి ఉన్న తుది విశ్లేషణ పనిని నిర్వహించడానికి కొనసాగవచ్చు.
మాన్యువల్ చివరిలో, అన్ని సమస్యలకు సమాధానాలు ఇవ్వబడ్డాయి.
జ్యామితిలో ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్షకు సిద్ధం కావడానికి ఉత్తమ మార్గం జ్యామితి పాఠ్యపుస్తకంలో క్రమపద్ధతిలో అధ్యయనం చేయడం. ఈ మాన్యువల్ పాఠ్యపుస్తకాన్ని భర్తీ చేయదు. దీనిని ఇలా ఉపయోగించవచ్చు అదనపు సేకరణ 10-11 తరగతులలో జ్యామితిని అధ్యయనం చేసేటప్పుడు, అలాగే సాధారణ పునరావృతం లేదా స్వతంత్ర జ్యామితి అధ్యయనాలను నిర్వహించేటప్పుడు పనులు.
రోగనిర్ధారణ పని
1.1. యూనిట్ క్యూబ్‌లో ఎ…డి 1 పంక్తుల మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి AB 1 మరియు బి.సి. 1.
1.2.
యూనిట్ క్యూబ్‌లో ఎ…డి 1 పంక్తుల మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి డి.ఎ. 1 మరియు BD 1.
1.3 . ABCA 1బి 1సి క్రీ.శ 1 మరియు సి.ఇ. 1, ఎక్కడ డి 1 మరియు ఇ 1 - వరుసగా, పక్కటెముకల మధ్యలో ఎ 1సి 1 మరియు బి 1సి 1.
2.1. ఎ…ఎఫ్ ఎ.ఎఫ్.మరియు విమానం
2.2.
సాధారణ షట్కోణ ప్రిజంలో ఎ…ఎఫ్ 1, అన్ని అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, రేఖ మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి CC 1 మరియు విమానం
2.3
. SABCD BEమరియు విమానం విచారంగా., ఎక్కడ ఇ- పక్కటెముక మధ్యలో ఎస్.సి..
3.1.
సాధారణ షట్కోణ ప్రిజంలో ఎ…ఎఫ్ 1, అన్ని అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, విమానాల మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి
AFF 1 మరియు DEE 1.
3.2. యూనిట్ క్యూబ్‌లో ఎ…డి
జోడించు 1 మరియు BDC 1.
3.3.
సాధారణ త్రిభుజాకార ప్రిజంలో ABCA 1బి 1సి 1డి 1 ఎసిబి 1 మరియు బా. 1సి 1.
4.1. సాధారణ షట్కోణ ప్రిజంలో ఎ…ఎఫ్ ఎసరళ రేఖకు డి 1ఎఫ్ 1.
4.2.
యూనిట్ క్యూబ్‌లో ఎ…డి ఎసరళ రేఖకు BD 1.
4.3. SABCDEF ఎఫ్సరళ రేఖకు బి.జి., ఎక్కడ జి- పక్కటెముక మధ్యలో ఎస్.సి..
5.1. యూనిట్ క్యూబ్‌లో ఎ…డి 1 పాయింట్ నుండి దూరాన్ని కనుగొనండి ఎవిమానానికి BDA 1.
5.2.
సాధారణ షట్కోణ పిరమిడ్‌లో SABCDEF, బేస్ యొక్క భుజాలు 1కి సమానం మరియు పక్క అంచులు 2కి సమానం, పాయింట్ నుండి దూరాన్ని కనుగొనండి ఎవిమానానికి SBC.
5.3.
సాధారణ షట్కోణ ప్రిజంలో ఎ…ఎఫ్ 1, అన్ని అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, పాయింట్ నుండి దూరాన్ని కనుగొనండి ఎవిమానానికి బి.ఎఫ్.ఇ. 1.
6.1.
సాధారణ చతుర్భుజ పిరమిడ్‌లో SABCD ఎస్.ఎ.మరియు బి.సి..
6.2. యూనిట్ క్యూబ్‌లో ఎ…డి AB 1 మరియు బి.సి. 1.
6.3.
సాధారణ షట్కోణ ప్రిజంలో ఎ…ఎఫ్ ఎ.ఎ. 1 మరియు CF 1.
రోగనిర్ధారణ పని 1.1 - 1.3 సమస్యలకు పరిష్కారాలు
1.1.
మొదటి పరిష్కారం. నేరుగా క్రీ.శ 1 రేఖకు సమాంతరంగా ఉంటుంది బి.సి. 1 మరియు అందువల్ల పంక్తుల మధ్య కోణం AB 1 మరియు బి.సి. 1 కోణానికి సమానం బి 1క్రీ.శ 1. త్రిభుజం బి 1క్రీ.శ 1 సమబాహు మరియు అందువలన కోణం బి 1క్రీ.శ 1 సమానం 60o.
రెండవ పరిష్కారం ఎ, కోఆర్డినేట్ అక్షాలు - సరళ రేఖలు AB, క్రీ.శ, ఎ.ఎ. 1. వెక్టర్ కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంది (1, 0, 1). వెక్టర్ కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంది (0, 1, 1). వెక్టర్స్ మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్‌ను కనుగొనడానికి సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము మరియు . మేము పొందుతాము మరియు అందువల్ల, కోణం 60 °. అందువల్ల, పంక్తుల మధ్య కావలసిన కోణం AB 1 మరియు బి.సి. 1 సమానం 60o.
సమాధానం. 60o.
1.2. మొదటి పరిష్కారం. ఆర్తోగోనల్ ప్రొజెక్షన్‌ను పరిగణించండి క్రీ.శ 1 నేరుగా BDఒక్కో విమానానికి 1 జోడించు 1. నేరుగా క్రీ.శ 1 మరియు డి.ఎ. 1 లంబంగా ఉంటాయి. మూడు లంబాల గురించి సిద్ధాంతం నుండి అది సరళ రేఖలను అనుసరిస్తుంది డి.ఎ. 1 మరియు BD 1 కూడా లంబంగా ఉంటాయి, అనగా సరళ రేఖల మధ్య కావలసిన కోణం డి.ఎ. 1 మరియు BD 1 సమానం 90o.
రెండవ పరిష్కారం. పాయింట్‌ను కోఆర్డినేట్‌ల మూలంగా పరిగణించి, కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌ను పరిచయం చేద్దాం ఎ, కోఆర్డినేట్ అక్షాలు - సరళ రేఖలు AB, క్రీ.శ, ఎ.ఎ. 1. వెక్టర్ కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంది (0, -1, 1). వెక్టర్ కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంది (-1, 1, 1). ఈ వెక్టర్స్ యొక్క స్కేలార్ ఉత్పత్తి సున్నాకి సమానం మరియు అందువల్ల, రేఖల మధ్య కావలసిన కోణం డి.ఎ. 1 మరియు BD 1 సమానం 90o.
సమాధానం. 90o.
1.3 . మొదటి పరిష్కారం. సూచిస్తాం డిమరియు ఎఫ్ 1 వరుసగా పక్కటెముకల మధ్యలో ఎ.సి.మరియు ఎ 1బి 1.
డైరెక్ట్ DC 1 మరియు DF 1 వరుసగా సరళ రేఖలకు సమాంతరంగా ఉంటుంది క్రీ.శ 1 మరియు సి.ఇ. 1. కాబట్టి, పంక్తుల మధ్య కోణం క్రీ.శ 1 మరియు సి.ఇ. 1 కోణానికి సమానంగా ఉంటుంది సి 1DF 1. త్రిభుజం సి 1DF 1 సమద్విబాహు, DC 1 = DF 1 = , సి 1ఎఫ్ 1 = . కొసైన్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి, మేము పొందుతాము 
.
రెండవ పరిష్కారం. పాయింట్‌ను కోఆర్డినేట్‌ల మూలంగా పరిగణించి, కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌ను పరిచయం చేద్దాం ఎ, చిత్రంలో చూపిన విధంగా. చుక్క సిఅక్షాంశాలను కలిగి ఉంది, పాయింట్ డి 1 అక్షాంశాలను కలిగి ఉంది, పాయింట్ ఇ 1 అక్షాంశాలను కలిగి ఉంది. వెక్టర్ కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంది. వెక్టర్ కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంటుంది 
. పంక్తుల మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్ క్రీ.శ 1 మరియు సి.ఇ. 1 అనేది వెక్టర్స్ మరియు మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్‌కి సమానం. వెక్టర్స్ మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్‌ను కనుగొనడానికి సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము. మేము దానిని పొందుతాము.
సమాధానం. 0.7
శిక్షణ పని 1. సరళ రేఖల మధ్య కోణం
1.
క్యూబ్డ్ ఎ…డి 1 రేఖల మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్‌ను కనుగొనండి ABమరియు సి.ఎ. 1.
2. సాధారణ టెట్రాహెడ్రాన్‌లో ఎ బి సి డిచుక్క ఇ- పక్కటెముక మధ్యలో CD. పంక్తుల మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్‌ను కనుగొనండి బి.సి.మరియు ఎ.ఇ..
3. సాధారణ త్రిభుజాకార ప్రిజంలో ABCA 1బి 1సి 1, అన్ని అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, రేఖల మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్‌ను కనుగొనండి ABమరియు సి.ఎ. 1.
4.
సాధారణ చతుర్భుజ పిరమిడ్‌లో SABCD ఇ- పక్కటెముక మధ్యలో SD ఎస్.బి.మరియు ఎ.ఇ..
5.
సాధారణ షట్కోణ ప్రిజంలో ఎ…ఎఫ్ 1, అన్ని అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, రేఖల మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్‌ను కనుగొనండి ABమరియు F.E. 1.
6. సాధారణ షట్కోణ ప్రిజంలో ఎ…ఎఫ్ 1, అన్ని అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, రేఖల మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్‌ను కనుగొనండి AB 1 మరియు బి.సి. 1.
7. సాధారణ షట్కోణ పిరమిడ్‌లో SABCDEF ఎస్.బి.మరియు ఎ.ఇ..
8. సాధారణ షట్కోణ పిరమిడ్‌లో SABCDEF, బేస్ యొక్క భుజాలు 1కి సమానం మరియు పక్క అంచులు 2కి సమానం, రేఖల మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్‌ను కనుగొనండి ఎస్.బి.మరియు క్రీ.శ.
సమస్యలకు పరిష్కారాలు 2.1 - 2.3 డయాగ్నస్టిక్ పని
2.1. పరిష్కారం.వీలు ఓ- ప్రిజం దిగువ బేస్ మధ్యలో. నేరుగా బి.ఓ.సమాంతరంగా ఎ.ఎఫ్.. విమానం నుండి ABCమరియు BCC 1 లంబంగా ఉంటాయి, అప్పుడు అవసరమైన కోణం కోణం అవుతుంది OBC. త్రిభుజం నుండి OBCసమబాహు, అప్పుడు ఈ కోణం 60°కి సమానంగా ఉంటుంది.
సమాధానం. 60o.
2.2.
పరిష్కారం. నేరుగా నుండి BB 1 మరియు CC 1 సమాంతరంగా ఉంటాయి, అప్పుడు కావలసిన కోణం సరళ రేఖ మధ్య కోణానికి సమానంగా ఉంటుంది BB 1 మరియు విమానం BDE 1. డైరెక్ట్ BD, దీని ద్వారా విమానం వెళుతుంది BDE 1, విమానానికి లంబంగా ABB 1 మరియు, అందువలన, ఒక విమానం BDE 1 విమానానికి లంబంగా ABB 1. కాబట్టి, కావలసిన కోణం కోణంతో సమానంగా ఉంటుంది ఎ 1BB 1, అంటే 45oకి సమానం.
సమాధానం. 45o.
2.3. పరిష్కారం. పైభాగం ద్వారా ఎస్రేఖకు సమాంతరంగా ఒక గీతను గీయండి AB, మరియు దానిపై ఒక విభాగాన్ని ప్లాట్ చేయండి SF, విభాగానికి సమానం AB. టెట్రాహెడ్రాన్‌లో SBCFఅన్ని అంచులు 1 మరియు సమతలానికి సమానంగా ఉంటాయి BCFవిమానానికి సమాంతరంగా విచారంగా.. లంబంగా ఇ.హెచ్., పాయింట్ నుండి పడిపోయింది ఇవిమానానికి BCF, టెట్రాహెడ్రాన్ యొక్క సగం ఎత్తుకు సమానం, అంటే సమానం. సరళ రేఖ మధ్య కోణం BEమరియు విమానం విచారంగా.కోణానికి సమానం EBH, వీరి పాపం సమానం .
సమాధానం. .
శిక్షణ పని 2. ఒక సరళ రేఖ మరియు ఒక విమానం మధ్య కోణం
1.
క్యూబ్డ్ ఎ…డి 1 లైన్ మధ్య కోణం యొక్క టాంజెంట్‌ను కనుగొనండి ఎ.సి. 1 మరియు విమానం
2.
క్యూబ్డ్ ఎ…డి ABమరియు విమానం
సి.బి. 1డి 1.
3.
సాధారణ టెట్రాహెడ్రాన్‌లో ఎ బి సి డిచుక్క ఇ- పక్కటెముక మధ్యలో BD. లైన్ మధ్య కోణం యొక్క సైన్ కనుగొనండి ఎ.ఇ.మరియు విమానం
4. సాధారణ త్రిభుజాకార ప్రిజంలో ABCA 1బి 1సి 1, అన్ని అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, రేఖ మధ్య కోణం యొక్క టాంజెంట్‌ను కనుగొనండి BB 1 మరియు విమానం
AB 1సి 1.
5. సాధారణ చతుర్భుజ పిరమిడ్‌లో SABCD, అన్ని అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, రేఖ మధ్య కోణం యొక్క సైన్‌ను కనుగొనండి BDమరియు విమానం
6.
సాధారణ షట్కోణ పిరమిడ్‌లో SABCDEF బి.సి.మరియు విమానం
7. సాధారణ షట్కోణ ప్రిజంలో ఎ…ఎఫ్ 1, అన్ని అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, రేఖ మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి ఎ.ఎ. 1 మరియు విమానం
8. సాధారణ షట్కోణ ప్రిజంలో ఎ…ఎఫ్ బి.సి. 1 మరియు విమానం
సమస్యలకు పరిష్కారాలు 3.1 - 3.3 డయాగ్నస్టిక్ పని
3.1.
మొదటి పరిష్కారం. విమానం నుండి FCC 1 విమానానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది DEE AFF 1 మరియు FCC 1. విమానం నుండి AFF 1 మరియు FCC 1 విమానానికి లంబంగా ABC A.F.C., ఇది 60oకి సమానం.
రెండవ పరిష్కారం. విమానం నుండి AFF 1 విమానానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది BEE 1, అప్పుడు కావలసిన కోణం విమానాల మధ్య కోణానికి సమానంగా ఉంటుంది BEE 1 మరియు DEE 1. విమానం నుండి BEE 1 మరియు DEE 1 విమానానికి లంబంగా ABC, అప్పుడు సంబంధిత సరళ కోణం కోణం అవుతుంది మం చం, ఇది 60oకి సమానం.
సమాధానం. 60o.
3.2.
పరిష్కారం. విమానం నుండి జోడించు 1 విమానానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది BCC 1, అప్పుడు కావలసిన కోణం విమానాల మధ్య కోణానికి సమానంగా ఉంటుంది BCC 1 మరియు BDC 1. లెట్ ఇ- సెగ్మెంట్ మధ్యలో బి.సి. 1. అప్పుడు నేరుగా సి.ఇ.మరియు DEరేఖకు లంబంగా ఉంటుంది బి.సి. 1 మరియు అందువలన కోణం CEDవిమానాల మధ్య సరళ కోణం ఉంటుంది BCC 1 మరియు BDC 1. త్రిభుజం CEDదీర్ఘచతురస్రాకార, కాలు CD 1, లెగ్ సమానం సి.ఇ.సమానంగా . అందుకే, 
.
3.3 వీలు DE- ఈ విమానాల ఖండన రేఖ, ఎఫ్- సెగ్మెంట్ మధ్యలో DE, జి- సెగ్మెంట్ మధ్యలో ఎ 1సి 1. కోణం GFB 1 ఈ విమానాల మధ్య సరళ కోణం. ఒక త్రిభుజంలో GFB 1 మనకు ఉన్నాయి: FG =
FB 1 = , జి.బి. 1 = . కొసైన్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి మనం కనుగొన్నాము 
.
సమాధానం. .
శిక్షణ పని 3. రెండు విమానాల మధ్య కోణం
1.
క్యూబ్డ్ ఎ…డి 1 విమానాల మధ్య కోణం యొక్క టాంజెంట్‌ను కనుగొనండి
ABCమరియు సి.బి. 1డి 1.
2.
క్యూబ్డ్ ఎ…డి బి
ఎ 1సి 1 మరియు AB 1డి 1.
3.
సాధారణ త్రిభుజాకార ప్రిజంలో ABCA 1బి 1సి
ABCమరియు సి.ఎ. 1బి 1.
4. సాధారణ చతుర్భుజ పిరమిడ్‌లో SABCD, అన్ని అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, విమానాల మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్‌ను కనుగొనండి ఎస్
క్రీ.శమరియు SBC.
5. సాధారణ చతుర్భుజ పిరమిడ్‌లో SABCD, అన్ని అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, ముఖాల ద్వారా ఏర్పడిన డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క కొసైన్‌ను కనుగొనండి
SBCమరియు SCD.
6.
సాధారణ షట్కోణ పిరమిడ్‌లో SABCDEF
SBCమరియు ఎస్.ఇ.ఎఫ్..
7. సాధారణ షట్కోణ పిరమిడ్‌లో SABCDEF, బేస్ యొక్క భుజాలు 1కి సమానం మరియు పక్క అంచులు 2కి సమానం, విమానాల మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్‌ను కనుగొనండి
SAFమరియు SBC.
8. సాధారణ షట్కోణ ప్రిజంలో ఎ… ఎఫ్ 1, అన్ని అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, విమానాల మధ్య కోణం యొక్క టాంజెంట్‌ను కనుగొనండి
ABCమరియు డి.బి. 1ఎఫ్ 1.
సమస్యలకు పరిష్కారాలు 4.1 - 4.3 డయాగ్నస్టిక్ పని
4.1. పరిష్కారం.ఇది సూటిగా ఉంటుంది కాబట్టి డి 1ఎఫ్ 1 విమానానికి లంబంగా AFF 1, ఆపై విభాగం ఎ.ఎఫ్. 1 పాయింట్ నుండి డ్రాప్ చేయబడిన అవసరమైన లంబంగా ఉంటుంది ఎనేరుగా డి 1ఎఫ్ 1. దీని పొడవు .
4.2. మొదటి పరిష్కారం ఎ.హెచ్.కుడి త్రిభుజం ABD 1, దీనిలో AB = 1, క్రీ.శ 1 =, BD 1 = . ప్రాంతం కోసం ఎస్ . మేము దానిని ఎక్కడ నుండి కనుగొంటాము? ఎ.హెచ్. = .
రెండవ పరిష్కారం. అవసరమైన లంబంగా ఎత్తు ఎ.హెచ్.కుడి త్రిభుజం ABD 1, దీనిలో AB = 1, క్రీ.శ 1 =, BD 1 = . త్రిభుజాలు చెడు 1 మరియు బి.హెచ్.ఎ. క్రీ.శ 1:BD 1 = ఎ.హెచ్.:AB. మేము దానిని ఎక్కడ నుండి కనుగొంటాము? ఎ.హెచ్. = .
మూడవ పరిష్కారం. అవసరమైన లంబంగా ఎత్తు ఎ.హెచ్.కుడి త్రిభుజం ABD 1, దీనిలో AB = 1, క్రీ.శ 1 =, BD 1 = . ఎక్కడ 
ఇందుమూలంగా 
సమాధానం. .
4.3 పాయింట్ నుండి అవసరమైన దూరం ఎఫ్సరళ రేఖకు బి.జి.ఎత్తుకు సమానం ఎఫ్ హెచ్త్రిభుజం FBG, దీనిలో FB = FG = , బి.జి.= . పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి మనం కనుగొన్నాము ఎఫ్ హెచ్ = .
శిక్షణ పని 4. ఒక పాయింట్ నుండి ఒక లైన్ వరకు దూరం
1.
యూనిట్ క్యూబ్‌లో ఎ…డి 1 పాయింట్ నుండి దూరాన్ని కనుగొనండి బిసరళ రేఖకు డి.ఎ. 1.
2.
సాధారణ త్రిభుజాకార ప్రిజంలో ABCA 1బి 1సి 1, అన్ని అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, పాయింట్ నుండి దూరాన్ని కనుగొనండి బిసరళ రేఖకు ఎ.సి. 1.
3. సాధారణ షట్కోణ పిరమిడ్‌లో SABCDEF, బేస్ యొక్క భుజాలు 1కి సమానం మరియు పక్క అంచులు 2కి సమానం, పాయింట్ నుండి దూరాన్ని కనుగొనండి ఎస్సరళ రేఖకు బి.ఎఫ్..
4.
సాధారణ షట్కోణ పిరమిడ్‌లో SABCDEF, బేస్ యొక్క భుజాలు 1కి సమానం మరియు పక్క అంచులు 2కి సమానం, పాయింట్ నుండి దూరాన్ని కనుగొనండి బిసరళ రేఖకు ఎస్.ఎ..
5.
సాధారణ షట్కోణ ప్రిజంలో ఎ…ఎఫ్ 1, అన్ని అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, పాయింట్ నుండి దూరాన్ని కనుగొనండి బిసరళ రేఖకు ఎ 1ఎఫ్ 1.
6. సాధారణ షట్కోణ ప్రిజంలో ఎ…ఎఫ్ 1, అన్ని అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, పాయింట్ నుండి దూరాన్ని కనుగొనండి బిసరళ రేఖకు ఎ 1డి 1.
7.
సాధారణ షట్కోణ ప్రిజంలో ఎ…ఎఫ్ 1, అన్ని అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, పాయింట్ నుండి దూరాన్ని కనుగొనండి బిసరళ రేఖకు F.E. 1.
8. సాధారణ షట్కోణ ప్రిజంలో ఎ…ఎఫ్ 1, అన్ని అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, పాయింట్ నుండి దూరాన్ని కనుగొనండి బిసరళ రేఖకు క్రీ.శ 1.
సమస్యలకు పరిష్కారాలు 5.1 - 5.3 డయాగ్నస్టిక్ పని
5.1.
మొదటి పరిష్కారం. వీలు ఓ- సెగ్మెంట్ మధ్యలో BD. నేరుగా BDవిమానానికి లంబంగా AOA 1. అందువలన, విమానాలు BDA 1 మరియు AOA ఎవిమానానికి BDA 1, ఎత్తు ఎ.హెచ్.కుడి త్రిభుజం AOA 1, దీనిలో ఎ.ఎ. 1 = 1, ఎ.ఓ. = , ఓ ఏ. 1 = . ప్రాంతం కోసం ఎస్ఈ త్రిభుజం సమానత్వం కలిగి ఉంటుంది . మేము దానిని ఎక్కడ నుండి కనుగొంటాము? ఎ.హెచ్. = .
రెండవ పరిష్కారం. వీలు ఓ- సెగ్మెంట్ మధ్యలో BD. నేరుగా BDవిమానానికి లంబంగా AOA 1. అందువలన, విమానాలు BDA 1 మరియు AOA 1 లంబంగా ఉంటాయి. పాయింట్ నుండి అవసరమైన లంబంగా పడిపోయింది ఎవిమానానికి BDA 1, ఎత్తు ఎ.హెచ్.కుడి త్రిభుజం AOA 1, దీనిలో ఎ.ఎ. 1 = 1, ఎ.ఓ. = , ఓ ఏ. 1 = . త్రిభుజాలు AOA 1 మరియు HOAమూడు కోణాల్లో సమానంగా ఉంటుంది. అందుకే, ఎ.ఎ. 1:ఓ ఏ. 1 = ఎ.హెచ్.:ఎ.ఓ.. మేము దానిని ఎక్కడ నుండి కనుగొంటాము? ఎ.హెచ్. = .
మూడవ పరిష్కారం. వీలు ఓ- సెగ్మెంట్ మధ్యలో BD. నేరుగా BDవిమానానికి లంబంగా AOA 1. అందువలన, విమానాలు BDA 1 మరియు AOA 1 లంబంగా ఉంటాయి. పాయింట్ నుండి అవసరమైన లంబంగా పడిపోయింది ఎవిమానానికి BDA 1, ఎత్తు ఎ.హెచ్.కుడి త్రిభుజం AOA 1, దీనిలో ఎ.ఎ. 1 = 1, ఎ.ఓ. = , ఓ ఏ. 1 = . ఎక్కడ 
ఇందుమూలంగా 
సమాధానం. .
5.2.
మొదటి పరిష్కారం. వీలు ఓ ఎ.ఓ.రేఖకు సమాంతరంగా బి.సి. SBC ఓవిమానానికి SBC. వీలు జి- సెగ్మెంట్ మధ్యలో బి.సి.. అప్పుడు నేరుగా O.G.లంబంగా బి.సి. ఓవిమానానికి SBC, ఎత్తు ఓహ్కుడి త్రిభుజం SOG. ఈ త్రిభుజంలో O.G. = , ఎస్.జి. = , SO= . ప్రాంతం కోసం ఎస్ఈ త్రిభుజం సమానత్వం కలిగి ఉంటుంది . మేము దానిని ఎక్కడ నుండి కనుగొంటాము? ఓహ్ = .
రెండవ పరిష్కారం. వీలు ఓ- పిరమిడ్ యొక్క బేస్ యొక్క కేంద్రం. నేరుగా ఎ.ఓ.రేఖకు సమాంతరంగా బి.సి.అందువలన విమానానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది SBC. అందువల్ల, అవసరమైన దూరం పాయింట్ నుండి దూరానికి సమానంగా ఉంటుంది ఓవిమానానికి SBC. వీలు జి- సెగ్మెంట్ మధ్యలో బి.సి.. అప్పుడు నేరుగా O.G.లంబంగా బి.సి.మరియు కావలసిన లంబంగా పాయింట్ నుండి పడిపోయింది ఓవిమానానికి SBC, ఎత్తు ఓహ్కుడి త్రిభుజం SOG. ఈ త్రిభుజంలో O.G. = , ఎస్.జి. = , SO= . త్రిభుజాలు SOGమరియు OHGమూడు కోణాల్లో సమానంగా ఉంటుంది. అందుకే, SO:ఎస్.జి. = ఓహ్:O.G.. మేము దానిని ఎక్కడ నుండి కనుగొంటాము? ఓహ్ = .
సమాధానం. .
5.3. మొదటి పరిష్కారం. వీలు ఓమరియు ఓ 1 - ప్రిజం బేస్‌ల కేంద్రాలు. నేరుగా ఎ.ఓ. 1 విమానానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది బి.ఎఫ్.ఇ. 1 మరియు అందువల్ల పాయింట్ నుండి దూరం ఎవిమానానికి బి.ఎఫ్.ఇ. 1 రేఖ నుండి దూరానికి సమానం ఎ.ఓ. 1 విమానానికి బి.ఎఫ్.ఇ. 1. విమానం AOO 1 విమానానికి లంబంగా బి.ఎఫ్.ఇ. 1 మరియు అందువల్ల సరళ రేఖ నుండి దూరం ఎ.ఓ. 1 విమానానికి బి.ఎఫ్.ఇ. 1 రేఖ నుండి దూరానికి సమానం ఎ.ఓ.ఖండన రేఖకు 1 GG 1 విమానాలు AOO 1 మరియు బి.ఎఫ్.ఇ. 1. త్రిభుజం AOO 1 దీర్ఘచతురస్రాకారం, ఎ.ఓ. =
O.O 1 = 1, GG 1 - దాని మధ్యరేఖ. అందువల్ల, పంక్తుల మధ్య దూరం ఎ.ఓ. 1 మరియు GG 1 సగం ఎత్తుకు సమానం ఓహ్త్రిభుజం AOO 1, అంటే సమానం.
రెండవ పరిష్కారం. వీలు జి- పంక్తుల ఖండన స్థానం క్రీ.శమరియు బి.ఎఫ్.. సరళ రేఖ మధ్య కోణం క్రీ.శమరియు విమానం బి.ఎఫ్.ఇ. 1 పంక్తుల మధ్య కోణానికి సమానం బి.సి.మరియు బి.సి. 1 మరియు 45o సమానం. లంబంగా ఎ.హెచ్., పాయింట్ నుండి పడిపోయింది ఎవిమానానికి బి.ఎఫ్.ఇ. 1, సమానం. ఎందుకంటే ఎ.జి. = 0.5, అప్పుడు ఎ.హెచ్. = .
సమాధానం. .
శిక్షణ పని 5. పాయింట్ నుండి విమానం వరకు దూరం
1.
యూనిట్ క్యూబ్‌లో ఎ…డి 1 పాయింట్ నుండి దూరాన్ని కనుగొనండి ఎవిమానానికి సి.బి. 1డి 1.
2.
యూనిట్ క్యూబ్‌లో ఎ…డి 1 పాయింట్ నుండి దూరాన్ని కనుగొనండి ఎవిమానానికి BDC 1.
3.
సాధారణ త్రిభుజాకార ప్రిజంలో ABCA 1బి 1సి 1, అన్ని అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, పాయింట్ నుండి దూరాన్ని కనుగొనండి ఎవిమానానికి బి.సి.ఎ. 1.
4.
సాధారణ త్రిభుజాకార ప్రిజంలో ABCA 1బి 1సి 1, అన్ని అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, పాయింట్ నుండి దూరాన్ని కనుగొనండి ఎవిమానానికి సి.ఎ. 1బి 1.
5. సాధారణ చతుర్భుజ పిరమిడ్‌లో SABCD, అన్ని అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, పాయింట్ నుండి దూరాన్ని కనుగొనండి ఎవిమానానికి SCD.
6. సాధారణ షట్కోణ పిరమిడ్‌లో SABCDEF, బేస్ యొక్క భుజాలు 1కి సమానం మరియు పక్క అంచులు 2కి సమానం, పాయింట్ నుండి దూరాన్ని కనుగొనండి ఎవిమానానికి SDE.
7. సాధారణ షట్కోణ ప్రిజంలో ఎ…ఎఫ్ 1, అన్ని అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, పాయింట్ నుండి దూరాన్ని కనుగొనండి ఎవిమానానికి డి.ఇ.ఎ. 1.
8. సాధారణ షట్కోణ ప్రిజంలో ఎ…ఎఫ్ 1, అన్ని అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, పాయింట్ నుండి దూరాన్ని కనుగొనండి ఎవిమానానికి DEF 1.
సమస్యలకు పరిష్కారాలు 6.1 - 6.3 డయాగ్నస్టిక్ పని
6.1. పరిష్కారం.నేరుగా బి.సి.విమానానికి సమాంతరంగా విచారంగా., ఇది సరళ రేఖను కలిగి ఉంటుంది ఎస్.ఎ.. అందువల్ల, పంక్తుల మధ్య దూరం ఎస్.ఎ.మరియు బి.సి.సరళ రేఖ నుండి దూరానికి సమానం బి.సి.విమానానికి విచారంగా..
వీలు ఇమరియు ఎఫ్వరుసగా పక్కటెముకల మధ్యలో క్రీ.శమరియు బి.సి.. అప్పుడు అవసరమైన లంబంగా ఎత్తు ఉంటుంది ఎఫ్ హెచ్త్రిభుజం ఎస్.ఇ.ఎఫ్.. ఒక త్రిభుజంలో ఎస్.ఇ.ఎఫ్.మాకు ఉన్నాయి: ఇ.ఎఫ్. = 1, ఎస్.ఇ. = SF= , ఎత్తు SOసమానంగా . ప్రాంతం కోసం ఎస్త్రిభుజం ఎస్.ఇ.ఎఫ్.సమానత్వం కలిగి ఉంటుంది, దాని నుండి మనం పొందుతాము.
6.2.
పరిష్కారం. విమానాలు AB 1డి 1 మరియు BDC 1, దీనిలో ఈ పంక్తులు సమాంతరంగా ఉంటాయి. కాబట్టి, ఈ సరళ రేఖల మధ్య దూరం సంబంధిత విమానాల మధ్య దూరానికి సమానంగా ఉంటుంది.
వికర్ణ సి.ఎ. 1 క్యూబ్ ఈ విమానాలకు లంబంగా ఉంటుంది. సూచిస్తాం ఇమరియు ఎఫ్వికర్ణ ఖండన పాయింట్లు సి.ఎ.విమానాలతో వరుసగా 1 AB 1డి 1 మరియు BDC 1. సెగ్మెంట్ యొక్క పొడవు ఇ.ఎఫ్.పంక్తుల మధ్య దూరానికి సమానంగా ఉంటుంది AB 1 మరియు బి.సి. 1. లెట్ ఓమరియు ఓ 1 వరుసగా, ముఖాల కేంద్రాలు ఎ బి సి డిమరియు ఎ 1బి 1సి 1డి 1 క్యూబ్. ఒక త్రిభుజంలో ACEలైన్ సెగ్మెంట్ OFసమాంతరంగా ఎ.ఇ.మరియు మధ్యలో వెళుతుంది ఎ.సి.. అందుకే, OF ACEఇందుమూలంగా, ఇ.ఎఫ్. = ఎఫ్.సి.. అదేవిధంగా, అది నిరూపించబడింది ఓ 1ఇ- త్రిభుజం మధ్య రేఖ ఎ 1సి 1ఎఫ్ఇందుమూలంగా, ఎ 1ఇ = ఇ.ఎఫ్.. ఈ విధంగా, ఇ.ఎఫ్.వికర్ణంలో మూడవ వంతు సి.ఎ. 1, అనగా ఇ.ఎఫ్. = .
సమాధానం. .
6.3. పరిష్కారం. పంక్తుల మధ్య దూరం ఎ.ఎ. 1 మరియు CF 1 సమాంతర విమానాల మధ్య దూరానికి సమానం ABB 1 మరియు CFF 1 దీనిలో ఈ పంక్తులు ఉన్నాయి. ఇది సమానం.
శిక్షణ పని 6. రెండు సరళ రేఖల మధ్య దూరం
1.
యూనిట్ క్యూబ్‌లో ఎ…డి 1 పంక్తుల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనండి బా. 1 మరియు డి.బి. 1.
2.
సాధారణ త్రిభుజాకార ప్రిజంలో ABCA 1బి 1సి 1, అన్ని అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, పంక్తుల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనండి CC 1 మరియు AB.
3.
సాధారణ త్రిభుజాకార ప్రిజంలో ABCA 1బి 1సి 1, అన్ని అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, పంక్తుల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనండి ABమరియు సి.బి. 1.
4.
సాధారణ చతుర్భుజ పిరమిడ్‌లో SABCD, అన్ని అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, పంక్తుల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనండి ఎస్.బి.మరియు ఎ.సి..
5.
సాధారణ చతుర్భుజ పిరమిడ్‌లో SABCD, అన్ని అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, పంక్తుల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనండి ఎస్.ఎ.మరియు CD.
6.
సాధారణ షట్కోణ పిరమిడ్‌లో SABCDEF ఎస్.బి.మరియు ఎ.ఎఫ్..
7.
సాధారణ షట్కోణ పిరమిడ్‌లో SABCDEF, బేస్ యొక్క భుజాలు 1కి సమానం మరియు పక్క అంచులు 2కి సమానం, పంక్తుల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనండి ఎస్.బి.మరియు ఎ.ఇ..
8.
సాధారణ షట్కోణ ప్రిజంలో ఎ…ఎఫ్ 1, అన్ని అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, పంక్తుల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనండి BB 1 మరియు ఇ.ఎఫ్. 1.
రోగనిర్ధారణ పని 1
1. క్యూబ్డ్ ఎ…డి 1 పంక్తుల మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి బా. 1 మరియు బి 1డి 1.
2. సాధారణ త్రిభుజాకార ప్రిజంలో ABCA 1బి 1సి 1, అన్ని అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, రేఖల మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్‌ను కనుగొనండి AB 1 మరియు బి.సి. 1.
3.
సాధారణ షట్కోణ ప్రిజంలో ఎ…ఎఫ్ 1, అన్ని అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, రేఖల మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్‌ను కనుగొనండి AB 1 మరియు DC 1.
4. క్యూబ్డ్ ఎ…డి 1 లైన్ మధ్య కోణం యొక్క సైన్‌ను కనుగొనండి ఎ 1 డి 1 మరియు విమానం
5. సాధారణ షట్కోణ పిరమిడ్‌లో SABCDEF, ఆధారం యొక్క భుజాలు 1కి సమానం మరియు పక్క అంచులు 2కి సమానం, రేఖ మధ్య కోణం యొక్క సైన్‌ను కనుగొనండి ABమరియు విమానం
6.
సాధారణ షట్కోణ ప్రిజంలో ఎ…ఎఫ్ 1, అన్ని అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, రేఖ మధ్య కోణం యొక్క సైన్‌ను కనుగొనండి ఎ.ఎఫ్. 1 మరియు విమానం
7. సాధారణ చతుర్భుజ పిరమిడ్‌లో SABCD, అన్ని అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, విమానాల మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్‌ను కనుగొనండి
ABCమరియు SCD.
8.
సాధారణ షట్కోణ ప్రిజంలో ఎ…ఎఫ్
AFF 1 మరియు BCC 1.
9. క్యూబ్డ్ ఎ…డి 1 విమానాల మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్‌ను కనుగొనండి
AB 1డి 1 మరియు సి.బి. 1డి 1.
10. యూనిట్ క్యూబ్‌లో ఎ…డి 1 పాయింట్ నుండి దూరాన్ని కనుగొనండి బిసరళ రేఖకు డి.ఎ. 1.
11. సాధారణ షట్కోణ ప్రిజంలో ఎ…ఎఫ్ 1, అన్ని అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, పాయింట్ నుండి దూరాన్ని కనుగొనండి ఎసరళ రేఖకు ఇ.బి. 1.
12.
సాధారణ షట్కోణ పిరమిడ్‌లో SABCDEF, బేస్ యొక్క భుజాలు 1కి సమానం మరియు పక్క అంచులు 2కి సమానం, పాయింట్ నుండి దూరాన్ని కనుగొనండి ఎసరళ రేఖకు SD.
13. యూనిట్ క్యూబ్‌లో ఎ…డి 1 పాయింట్ నుండి దూరాన్ని కనుగొనండి బివిమానానికి డి.ఎ. 1సి 1.
14. సాధారణ షట్కోణ ప్రిజంలో ఎ…ఎఫ్ 1, అన్ని అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, పాయింట్ నుండి దూరాన్ని కనుగొనండి ఎవిమానానికి బి.ఎఫ్.ఎ. 1.
15.
సాధారణ షట్కోణ పిరమిడ్‌లో SABCDEF, బేస్ యొక్క భుజాలు 1కి సమానం మరియు పక్క అంచులు 2కి సమానం, పాయింట్ నుండి దూరాన్ని కనుగొనండి ఎవిమానానికి ఎస్.సి.ఇ..
16.
సాధారణ త్రిభుజాకార ప్రిజంలో ABCA 1బి 1సి 1, అన్ని అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, పంక్తుల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనండి ఎ.ఎ. 1 మరియు బి.సి..
17. సాధారణ షట్కోణ ప్రిజంలో ఎ…ఎఫ్ 1, అన్ని అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, పంక్తుల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనండి BB 1 మరియు CD 1.
18. యూనిట్ క్యూబ్‌లో ఎ…డి 1 పంక్తుల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనండి AB 1 మరియు BD 1.
రోగనిర్ధారణ పని 2
1. క్యూబ్డ్ ఎ…డి 1 పంక్తుల మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి AB 1 మరియు BD 1.
2. సాధారణ చతుర్భుజ పిరమిడ్‌లో SABCD, అన్ని అంచులు 1, పాయింట్‌కి సమానం ఇ- పక్కటెముక మధ్యలో ఎస్.బి.. పంక్తుల మధ్య కోణం యొక్క టాంజెంట్‌ను కనుగొనండి ఎస్.ఎ.మరియు BE.
3. సాధారణ షట్కోణ ప్రిజంలో ఎ…ఎఫ్ 1, అన్ని అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, రేఖల మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్‌ను కనుగొనండి AB 1 మరియు BD 1.
4. క్యూబ్డ్ ఎ…డి 1 లైన్ మధ్య కోణం యొక్క సైన్‌ను కనుగొనండి DD 1 మరియు విమానం
5. సాధారణ షట్కోణ పిరమిడ్‌లో SABCDEF, ఆధారం యొక్క భుజాలు 1కి సమానం మరియు పక్క అంచులు 2కి సమానం, రేఖ మధ్య కోణం యొక్క సైన్‌ను కనుగొనండి ఎ.ఎఫ్.మరియు విమానం
6. సాధారణ షట్కోణ ప్రిజంలో ఎ…ఎఫ్ 1, అన్ని అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, రేఖ మధ్య కోణం యొక్క సైన్‌ను కనుగొనండి బి.సి. 1 మరియు విమానం
7.
సాధారణ షట్కోణ పిరమిడ్‌లో SABCDEF, బేస్ యొక్క భుజాలు 1కి సమానం మరియు పక్క అంచులు 2కి సమానం, విమానాల మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్‌ను కనుగొనండి
ABCమరియు ఎస్.ఇ.ఎఫ్..
8.
సాధారణ షట్కోణ ప్రిజంలో ఎ…ఎఫ్ 1 విమానాల మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి
AFF 1 మరియు BDD 1.
9. క్యూబ్డ్ ఎ…డి 1 విమానాల మధ్య కోణం యొక్క టాంజెంట్‌ను కనుగొనండి
ABCమరియు డి.ఎ. 1సి 1.
10.
సాధారణ త్రిభుజాకార ప్రిజంలో ABCA 1బి 1సి 1, అన్ని అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, పాయింట్ నుండి దూరాన్ని కనుగొనండి ఎసరళ రేఖకు సి.బి. 1.
11.
సాధారణ షట్కోణ ప్రిజంలో ఎ … ఎఫ్ 1, అన్ని అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, పాయింట్ నుండి దూరాన్ని కనుగొనండి ఎసరళ రేఖకు BE 1.
12. సాధారణ షట్కోణ పిరమిడ్‌లో SABCDEF, బేస్ యొక్క భుజాలు 1కి సమానం మరియు పక్క అంచులు 2కి సమానం, పాయింట్ నుండి దూరాన్ని కనుగొనండి ఎసరళ రేఖకు ఎస్.సి..
13.
యూనిట్ క్యూబ్‌లో ఎ…డి 1 పాయింట్ నుండి దూరాన్ని కనుగొనండి బివిమానానికి AB 1డి 1.
14.
సాధారణ షట్కోణ ప్రిజంలో ఎ…ఎఫ్ 1, అన్ని అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, పాయింట్ నుండి దూరాన్ని కనుగొనండి ఎవిమానానికి CEF 1.
15.
సాధారణ షట్కోణ పిరమిడ్‌లో SABCDEF, బేస్ యొక్క భుజాలు 1కి సమానం మరియు పక్క అంచులు 2కి సమానం, పాయింట్ నుండి దూరాన్ని కనుగొనండి ఎవిమానానికి SBF.
16.
సాధారణ త్రిభుజాకార ప్రిజంలో ABCA 1బి 1సి 1, అన్ని అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, పంక్తుల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనండి ఎ.ఎ. 1 మరియు బి.సి. 1.
17. సాధారణ షట్కోణ ప్రిజంలో ఎ…ఎఫ్ 1, అన్ని అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి, పంక్తుల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనండి BB 1 మరియు F.E. 1.