కోణీయ వాదన యొక్క త్రికోణమితి విధులపై పాఠం. కోణం వాదన యొక్క త్రికోణమితి విధులు

సంఖ్యా వాదన యొక్క త్రికోణమితి విధులుమేము దానిని క్రమబద్ధీకరించాము. మేము సర్కిల్‌పై పాయింట్ Aని తీసుకున్నాము మరియు ఫలితంగా వచ్చిన కోణం β యొక్క సైన్స్ మరియు కొసైన్‌ల కోసం వెతికాము.

మేము పాయింట్‌ని A గా నిర్దేశించాము, కానీ బీజగణితంలో ఇది తరచుగా tగా సూచించబడుతుంది మరియు దానితో పాటు అన్ని సూత్రాలు/ఫంక్షన్‌లు ఇవ్వబడతాయి. మేము కూడా నిబంధనల నుండి వైదొలగము. ఆ. t - ఇది ఒక నిర్దిష్ట సంఖ్య అవుతుంది, కాబట్టి సంఖ్యా విధి(ఉదాహరణకు సింట్)

మేము ఒక వ్యాసార్థంతో వృత్తాన్ని కలిగి ఉన్నందున ఇది తార్కికం

కోణం వాదన యొక్క త్రికోణమితి విధులుమేము దానిని విజయవంతంగా విశ్లేషించాము - కానన్ల ప్రకారం, మేము అటువంటి ఫంక్షన్ల కోసం వ్రాస్తాము: sin α°, అంటే α° ద్వారా మనకు అవసరమైన డిగ్రీల సంఖ్యతో ఏదైనా కోణం.

ఈ కోణం యొక్క కిరణం మనకు సర్కిల్‌పై రెండవ పాయింట్ (OA - పాయింట్ A) మరియు సంఖ్యా ఆర్గ్యుమెంట్ ఫంక్షన్ కోసం సంబంధిత పాయింట్లు C మరియు Bని ఇస్తుంది, మనకు అవసరమైతే: sin t = పాపం α°

సైన్స్, కొసైన్‌లు, టాంజెంట్‌లు మరియు కోటాంజెంట్‌ల లైన్లు

అది ఎప్పటికీ మర్చిపోవద్దు Y అక్షం అనేది సైన్స్ లైన్, X అక్షం అనేది కొసైన్‌ల రేఖ! సర్కిల్ నుండి పొందిన పాయింట్లు ఈ అక్షాలపై గుర్తించబడతాయి.

ఎ టాంజెంట్లు మరియు కోటాంజెంట్ల పంక్తులు వాటికి సమాంతరంగా ఉంటాయి మరియు పాయింట్ల గుండా వెళతాయి (1; 0) మరియు (0; 1)వరుసగా.

వీడియో పాఠం “కోణీయ వాదన యొక్క త్రికోణమితి విధులు” సంబంధిత అంశంపై గణిత పాఠాన్ని నిర్వహించడానికి దృశ్యమాన విషయాలను అందిస్తుంది. వీడియో రూపొందించబడింది, తద్వారా విద్యార్థులు అర్థం చేసుకోవడానికి, సులభంగా గుర్తుంచుకోవడానికి మరియు త్రిభుజాలను అధ్యయనం చేసే విభాగం నుండి అందుబాటులో ఉన్న త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల గురించి అందుబాటులో ఉన్న సమాచారం మరియు యూనిట్‌ని ఉపయోగించి వాటి నిర్వచనానికి మధ్య ఉన్న సంబంధాన్ని చక్కగా వెల్లడిస్తుంది. వృత్తం. ఇది పాఠం యొక్క స్వతంత్ర భాగం కావచ్చు, ఎందుకంటే ఇది ఈ అంశాన్ని పూర్తిగా కవర్ చేస్తుంది, వాయిస్ సమయంలో ముఖ్యమైన వ్యాఖ్యలతో అనుబంధంగా ఉంటుంది.

త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల యొక్క విభిన్న నిర్వచనాల మధ్య సంబంధాన్ని స్పష్టంగా ప్రదర్శించడానికి, యానిమేషన్ ప్రభావాలు ఉపయోగించబడతాయి. రంగుల ఫాంట్‌తో టెక్స్ట్‌ను హైలైట్ చేయడం, స్పష్టమైన, అర్థమయ్యే నిర్మాణాలు మరియు వ్యాఖ్యలను జోడించడం ద్వారా మీరు మెటీరియల్‌ని త్వరగా ప్రావీణ్యం మరియు గుర్తుంచుకోవడానికి మరియు పాఠం యొక్క లక్ష్యాలను త్వరగా సాధించడంలో సహాయపడుతుంది. త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల నిర్వచనాల మధ్య కనెక్షన్లు యానిమేషన్ ప్రభావాలు మరియు రంగు హైలైటింగ్ ద్వారా స్పష్టంగా ప్రదర్శించబడతాయి, అవగాహన మరియు పదార్థం యొక్క నిలుపుదలని ప్రోత్సహిస్తాయి. మాన్యువల్ శిక్షణ ప్రభావాన్ని పెంచే లక్ష్యంతో ఉంది.

పాఠం టాపిక్ పరిచయంతో ప్రారంభమవుతుంది. అప్పుడు లంబ త్రిభుజం యొక్క తీవ్రమైన కోణం యొక్క సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్ యొక్క నిర్వచనాలు గుర్తుకు వస్తాయి. ఫ్రేమ్‌లో హైలైట్ చేయబడిన నిర్వచనం మనకు గుర్తుచేస్తుంది, సైన్ మరియు కొసైన్ కాలు యొక్క హైపోటెన్యూస్‌కు నిష్పత్తి, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్‌లు కాళ్ల నిష్పత్తి ద్వారా ఏర్పడతాయి. యూనిట్ సర్కిల్‌పై ఒక పాయింట్‌ను పరిగణనలోకి తీసుకున్నప్పుడు, పాయింట్ యొక్క అబ్సిస్సా కొసైన్ మరియు ఆర్డినేట్ అనేది ఆ బిందువుకు సంబంధించిన సంఖ్య యొక్క సైన్ అని ఇటీవల నేర్చుకున్న విషయాలను కూడా విద్యార్థులు గుర్తు చేస్తున్నారు. ఈ భావనల మధ్య కనెక్షన్ నిర్మాణాన్ని ఉపయోగించి ప్రదర్శించబడుతుంది. స్క్రీన్ యూనిట్ సర్కిల్‌ను ప్రదర్శిస్తుంది, తద్వారా దాని కేంద్రం మూలంతో సమానంగా ఉంటుంది. కోఆర్డినేట్‌ల మూలం నుండి, ధనాత్మక అబ్సిస్సా సెమీ-యాక్సిస్‌తో కోణాన్ని αగా చేసే ఒక కిరణం నిర్మించబడింది. ఈ కిరణం పాయింట్ O వద్ద యూనిట్ సర్కిల్‌ను కలుస్తుంది. పాయింట్ నుండి, లంబాలు అబ్సిస్సా మరియు ఆర్డినేట్ అక్షానికి దిగుతాయి, ఈ బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు α కోణం యొక్క కొసైన్ మరియు సైన్‌ను నిర్ణయిస్తాయని నిరూపిస్తుంది. పాయింట్ O వరకు అబ్సిస్సా అక్షం యొక్క సానుకూల దిశతో యూనిట్ సర్కిల్ యొక్క ఖండన స్థానం నుండి ఆర్క్ AO యొక్క పొడవు మొత్తం ఆర్క్ యొక్క 360 ° నుండి కోణం α వలె ఉంటుంది. ఇది α/360=t/2π నిష్పత్తిని సృష్టించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది, ఇది వెంటనే ప్రదర్శించబడుతుంది మరియు గుర్తుంచుకోవడానికి ఎరుపు రంగులో హైలైట్ చేయబడుతుంది. ఈ నిష్పత్తి నుండి t=πα/180° విలువ తీసుకోబడింది. దీన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, సైన్ మరియు కొసైన్ నిర్వచనాల మధ్య సంబంధం నిర్ణయించబడుతుంది: sinα°= sint= sinπα/180, cosα°=cost=cosπα/180. ఉదాహరణకు, sin60°ని కనుగొనడం ఇవ్వబడింది. ఫార్ములాలోకి కోణం యొక్క డిగ్రీ కొలతను ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మేము పాపం π·60°/180°ని పొందుతాము. భిన్నాన్ని 60 ద్వారా తగ్గించడం, మేము sin π/3ని పొందుతాము, ఇది √3/2కి సమానం. 60° అనేది ఒక కోణం యొక్క డిగ్రీ కొలత అయితే, π/3ని కోణం యొక్క రేడియన్ కొలత అంటారు. రేడియన్ కొలతకు కోణం యొక్క డిగ్రీ కొలత నిష్పత్తికి రెండు సాధ్యం సంజ్ఞామానాలు ఉన్నాయి: 60°=π/3 మరియు 60°=π/3 రాడ్.

1/360 పొడవు చుట్టుకొలతలో కొంత భాగాన్ని సూచించే ఆర్క్ ద్వారా ఉపసంహరించబడిన కేంద్ర కోణంగా ఒక డిగ్రీ కోణం యొక్క భావన నిర్వచించబడింది. కింది నిర్వచనం ఒక రేడియన్ యొక్క కోణం యొక్క భావనను వెల్లడిస్తుంది - పొడవు ఒకటి లేదా వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థానికి సమానమైన ఆర్క్ ఆధారంగా కేంద్ర కోణం. నిర్వచనాలు ముఖ్యమైనవిగా గుర్తించబడతాయి మరియు గుర్తుంచుకోవడానికి హైలైట్ చేయబడతాయి.

కోణం యొక్క ఒక డిగ్రీ కొలతను రేడియన్ కొలతగా మార్చడానికి మరియు దీనికి విరుద్ధంగా, ఫార్ములా α°=πα/180 రాడ్ ఉపయోగించండి. ఈ ఫార్ములా స్క్రీన్‌పై ఫ్రేమ్‌లో హైలైట్ చేయబడింది. ఈ ఫార్ములా నుండి అది 1° = π/180 రాడ్. ఈ సందర్భంలో, ఒక రేడియన్ 180°/π≈57.3° కోణానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది. స్వతంత్ర వేరియబుల్ t యొక్క త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల విలువలను కనుగొనేటప్పుడు, ఇది సంఖ్యాపరమైన వాదన మరియు కోణీయ ఒకటిగా పరిగణించబడుతుంది.

గణిత సమస్యలను పరిష్కరించడంలో సంపాదించిన జ్ఞానాన్ని ఉపయోగించడం యొక్క ఉదాహరణలను క్రింది చూపిస్తుంది. ఉదాహరణ 1లో, మీరు విలువలను డిగ్రీల నుండి రేడియన్లు 135° మరియు 905°కి మార్చాలి. స్క్రీన్ కుడి వైపున డిగ్రీలు మరియు రేడియన్‌ల మధ్య సంబంధాన్ని చూపే ఫార్ములా ఉంది. విలువను సూత్రంలోకి మార్చిన తర్వాత, మనకు (π/180)·135 వస్తుంది. ఈ భిన్నాన్ని 45 ద్వారా తగ్గించిన తర్వాత, మనకు 135° = 3π/4 విలువ వస్తుంది. 905° కోణాన్ని రేడియన్ కొలతగా మార్చడానికి, అదే ఫార్ములా ఉపయోగించబడుతుంది. దానిలో విలువను భర్తీ చేసిన తర్వాత, అది (π/180)·905=181π/36 రాడ్‌గా మారుతుంది.

రెండవ ఉదాహరణలో, విలోమ సమస్య పరిష్కరించబడింది - రేడియన్లు π/12, -21π/20, 2.4πలలో వ్యక్తీకరించబడిన కోణాల డిగ్రీ కొలత కనుగొనబడింది. స్క్రీన్ కుడి వైపున, 1 రాడ్ = 180°/π కోణం యొక్క డిగ్రీ మరియు రేడియన్ కొలతల మధ్య కనెక్షన్ కోసం మేము అధ్యయనం చేసిన సూత్రాన్ని గుర్తుచేసుకుంటాము. ప్రతి ఉదాహరణ రేడియన్ కొలతను సూత్రంలోకి మార్చడం ద్వారా పరిష్కరించబడుతుంది. π/12ని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మనకు (180°/π)·(π/12)=15° వస్తుంది. మిగిలిన కోణాల విలువలు అదే విధంగా -21π/20=-189° మరియు 2.4π=432°గా కనిపిస్తాయి.

అభ్యాస సామర్థ్యాన్ని పెంచడానికి సాంప్రదాయ గణిత పాఠాలలో "కోణీయ వాదన యొక్క త్రికోణమితి విధులు" వీడియో పాఠం సిఫార్సు చేయబడింది. ఈ అంశంపై దూరవిద్య సమయంలో నేర్చుకునే దృశ్యమానతను నిర్ధారించడానికి మెటీరియల్ సహాయం చేస్తుంది. విషయం యొక్క వివరణాత్మక, అర్థమయ్యే వివరణ మరియు దానిపై ఉన్న సమస్యలకు పరిష్కారాలు విద్యార్థికి స్వతంత్రంగా మెటీరియల్‌ను నేర్చుకోవడంలో సహాయపడతాయి.

టెక్స్ట్ డీకోడింగ్:

"కోణీయ వాదన యొక్క త్రికోణమితి విధులు."

లంబ త్రిభుజం యొక్క తీవ్రమైన కోణం యొక్క సైన్ (కొసైన్) అనేది లెగ్ మరియు హైపోటెన్యూస్ యొక్క నిష్పత్తి మరియు టాంజెంట్ (కోటాంజెంట్) కాళ్ళ నిష్పత్తి అని జ్యామితి నుండి మనకు ఇప్పటికే తెలుసు. మరియు బీజగణితంలో మనం యూనిట్ సర్కిల్‌పై ఉన్న బిందువు యొక్క అబ్సిస్సాను కొసైన్ అని మరియు ఈ బిందువు యొక్క ఆర్డినేట్‌ను సైన్ అని పిలుస్తాము. ఇవన్నీ ఒకదానితో ఒకటి అనుసంధానించబడి ఉన్నాయని నిర్ధారించుకోండి.

మూర్తి 1లో చూపిన విధంగా డిగ్రీ కొలత α° (ఆల్ఫా డిగ్రీలు)తో కోణాన్ని ఉంచుదాం: కోణం యొక్క శీర్షం యూనిట్ సర్కిల్ మధ్యలో (కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ యొక్క మూలంతో) మరియు కోణం యొక్క ఒక వైపుకు అనుకూలంగా ఉంటుంది. అబ్సిస్సా అక్షం యొక్క సానుకూల రేకు అనుకూలంగా ఉంటుంది. కోణం యొక్క రెండవ వైపు పాయింట్ O వద్ద వృత్తాన్ని కలుస్తుంది. పాయింట్ O యొక్క ఆర్డినేట్ కోణం ఆల్ఫా యొక్క సైన్, మరియు ఈ బిందువు యొక్క అబ్సిస్సా ఆల్ఫా యొక్క కొసైన్.

కోణం ఆల్ఫా మూడు వందల అరవై డిగ్రీల కోణం నుండి ఉన్నందున ఆర్క్ AO యూనిట్ సర్కిల్ యొక్క పొడవులో అదే భాగమని గమనించండి. ఆర్క్ AO యొక్క పొడవును t(te)తో సూచిస్తాము, అప్పుడు మేము నిష్పత్తిని కంపోజ్ చేస్తాము =

(ఆల్ఫా అంటే అరవైని ట్రస్ట్ చేయడం అంటే te రెండు pi). ఇక్కడ నుండి మనకు te: t = = (te అనేది pi alphaకి నూట ఎనభైతో భాగించబడినప్పుడు సమానం).

అందువల్ల, ఆల్ఫా డిగ్రీల కోణం యొక్క సైన్ లేదా కొసైన్‌ను కనుగొనడానికి, మీరు సూత్రాన్ని ఉపయోగించవచ్చు:

sin α° = sint = sin (సైన్ ఆల్ఫా డిగ్రీలు సైన్ టెకి సమానం మరియు పాక్షిక పై ఆల్ఫా యొక్క సైన్ నూట ఎనభైకి సమానం),

cosα° = ఖర్చు = cos (ఆల్ఫా డిగ్రీల కొసైన్ te యొక్క కొసైన్‌కి సమానం మరియు పాక్షిక పై ఆల్ఫా యొక్క కొసైన్‌కి నూట ఎనభైకి సమానం).

ఉదాహరణకు, పాపం 60° = పాపం = పాపం = (అరవై డిగ్రీల సైన్ సైన్ బై త్రీకి సమానం, సైన్స్ ప్రాథమిక విలువల పట్టిక ప్రకారం, ఇది మూడు బై టూ యొక్క మూలానికి సమానం) .

60° అనేది ఒక కోణం యొక్క డిగ్రీ కొలత, మరియు (పై మూడు ద్వారా) అదే కోణం యొక్క రేడియన్ కొలత, అంటే 60° = సంతోషం(అరవై డిగ్రీలు పై సార్లు మూడు రేడియన్‌లకు సమానం). సంక్షిప్తత కోసం, మేము హోదాపై అంగీకరించాము సంతోషంవిస్మరించండి, అంటే, కింది నమోదు ఆమోదయోగ్యమైనది: 60°= (రేడియన్ కొలత = రాడ్ సంక్షిప్తీకరణలను చూపు.)

ఒక డిగ్రీ కోణం అనేది ఆర్క్‌లో (మూడు వందల అరవయ్యవ) భాగమైన ఆర్క్‌ను ఉపసంహరించుకునే కేంద్ర కోణం. ఒక రేడియన్ యొక్క కోణం అనేది ఒక పొడవు గల ఆర్క్‌పై ఉండే కేంద్ర కోణం, అంటే, వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థానికి సమానమైన ఆర్క్‌పై (పైలో కోణాన్ని చూపించడానికి యూనిట్ సర్కిల్ యొక్క కేంద్ర కోణాలను మేము పరిగణిస్తాము. ఒక వృత్తంలో రేడియన్లు).

డిగ్రీలను రేడియన్‌లుగా మార్చడానికి ముఖ్యమైన సూత్రాన్ని గుర్తుంచుకోండి:

α° = సంతోషం. (ఆల్ఫా సమానం పై ఆల్ఫాను నూట ఎనభైతో విభజించారు, రేడియన్లు) ప్రత్యేకంగా, 1° = సంతోషం(ఒక డిగ్రీ pi కి సమానం నూట ఎనభై, రేడియన్లతో విభజించబడింది).

దీని నుండి మనం ఒక రేడియన్ నూట ఎనభై డిగ్రీలు పై నిష్పత్తికి సమానమని మరియు యాభై-ఏడు పాయింట్ మూడు డిగ్రీలకు దాదాపు సమానమని కనుగొనవచ్చు: 1 సంతోషం= ≈ 57.3°.

పై నుండి: మనం ఏదైనా త్రికోణమితి ఫంక్షన్ గురించి మాట్లాడినప్పుడు, ఉదాహరణకు s = sint (es ఈజ్ సేన్ టే) ఫంక్షన్ గురించి, స్వతంత్ర వేరియబుల్ t(te) సంఖ్యా వాదం మరియు కోణీయ ఆర్గ్యుమెంట్ రెండింటినీ పరిగణించవచ్చు.

ఉదాహరణలు చూద్దాం.

ఉదాహరణ 1. డిగ్రీల నుండి రేడియన్‌లకు మార్చండి: a) 135°; బి) 905°.

పరిష్కారం. డిగ్రీలను రేడియన్‌లుగా మార్చడానికి ఫార్ములాను ఉపయోగిస్తాము:

a) 135° = 1° ∙ 135 = సంతోషం ∙ 135 = సంతోషం

(నూట ముప్పై-ఐదు డిగ్రీలు పై రెట్లు నూట ఎనభై రేడియన్‌లను నూట ముప్పై ఐదుతో గుణిస్తే సమానం, మరియు తగ్గింపు తర్వాత మూడు పై రెట్లు నాలుగు రేడియన్‌లకు సమానం)

బి) అదేవిధంగా, డిగ్రీ కొలతను రేడియన్ కొలతగా మార్చడానికి సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, మేము పొందుతాము

905° = సంతోషం ∙ 905 = సంతోషం.

(తొమ్మిది వందల ఐదు డిగ్రీలు నూట ఎనభై ఒక్క పై రెట్లు ముప్పై ఆరు రేడియన్‌లకు సమానం).

ఉదాహరణ 2. డిగ్రీలలో వ్యక్తీకరించండి: ఎ) ; బి) - ; సి) 2.4π

(పై పై పన్నెండు; మైనస్ ఇరవై ఒకటి పై ఇరవై; రెండు పాయింట్ నాలుగు పై).

పరిష్కారం. a) పైని పన్నెండు డిగ్రీలతో వ్యక్తీకరిద్దాం, కోణం యొక్క రేడియన్ కొలతను 1లో డిగ్రీకి మార్చడానికి సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి సంతోషం=, మేము పొందుతాము

సంతోషం = 1 సంతోషం∙ = ∙ = 15° (పై రెట్లు పన్నెండు రేడియన్‌లు ఒక రేడియన్ మరియు పై రెట్లు పన్నెండు యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం. ఒక రేడియన్‌కు బదులుగా పైకి నూట ఎనభైని భర్తీ చేసి తగ్గిస్తే మనకు పదిహేను డిగ్రీలు వస్తాయి)

బి) - = 1 సంతోషం∙ (-) = ∙ (-)= - 189° (మైనస్ ఇరవై ఒక్క పై రెట్లు ఇరవై సమానం మైనస్ నూట ఎనభై తొమ్మిది డిగ్రీలు),

సి) 2.4π = 1 సంతోషం∙ 2.4π = ∙ 2.4π = 432° (రెండు పాయింట్ల నాలుగు పై నాలుగు వందల ముప్పై రెండు డిగ్రీలకు సమానం).

వాస్తవ సంఖ్య t తీసుకున్నా, అది ప్రత్యేకంగా నిర్వచించబడిన sin t సంఖ్యతో అనుబంధించబడుతుంది. నిజమే, సరిపోలే నియమం చాలా క్లిష్టంగా ఉంటుంది; మనం పైన చూసినట్లుగా, ఇది క్రింది విధంగా ఉంది.

t సంఖ్యను ఉపయోగించి sin t విలువను కనుగొనడానికి, మీకు ఇది అవసరం:

1) కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లో నంబర్ సర్కిల్‌ను ఉంచండి, తద్వారా వృత్తం యొక్క కేంద్రం అక్షాంశాల మూలంతో సమానంగా ఉంటుంది మరియు వృత్తం యొక్క ప్రారంభ బిందువు A పాయింట్ (1; 0) వద్ద వస్తుంది;

2) t సంఖ్యకు సంబంధించిన సర్కిల్‌పై ఒక పాయింట్‌ను కనుగొనండి;

3) ఈ పాయింట్ యొక్క ఆర్డినేట్‌ను కనుగొనండి.

ఈ ఆర్డినేట్ పాపం టి.

వాస్తవానికి, మేము u = sin t ఫంక్షన్ గురించి మాట్లాడుతున్నాము, ఇక్కడ t ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్య.

ఈ విధులన్నీ అంటారు సంఖ్యా వాదం యొక్క త్రికోణమితి విధులు t.

వివిధ త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల విలువలను అనుసంధానించే అనేక సంబంధాలు ఉన్నాయి; మేము ఇప్పటికే ఈ సంబంధాలలో కొన్నింటిని పొందాము:

sin 2 t+cos 2 t = 1

చివరి రెండు సూత్రాల నుండి tg t మరియు ctg t లను అనుసంధానించే సంబంధాన్ని పొందడం సులభం:

త్రికోణమితి ఫంక్షన్ యొక్క విలువను తెలుసుకోవడం, ఇతర త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల విలువలను లెక్కించాల్సిన అవసరం ఉన్న సందర్భాలలో ఈ సూత్రాలన్నీ ఉపయోగించబడతాయి.

"సైన్", "కొసైన్", "టాంజెంట్" మరియు "కోటాంజెంట్" అనే పదాలు వాస్తవానికి సుపరిచితం, అయినప్పటికీ, అవి ఇప్పటికీ కొద్దిగా భిన్నమైన వివరణలో ఉపయోగించబడ్డాయి: జ్యామితి మరియు భౌతిక శాస్త్రంలో వారు సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్‌గా పరిగణించారు. తల వద్ద(కాని కాదు

సంఖ్యలు, మునుపటి పేరాల్లో వలె).

రేఖాగణితం నుండి, తీవ్రమైన కోణం యొక్క సైన్ (కొసైన్) అనేది లంబ త్రిభుజం యొక్క కాళ్ళ నిష్పత్తి దాని హైపోటెన్యూస్ అని మరియు ఒక కోణం యొక్క టాంజెంట్ (కోటాంజెంట్) అనేది లంబ త్రిభుజం యొక్క కాళ్ళ నిష్పత్తి అని తెలుస్తుంది. మునుపటి పేరాల్లో సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్ భావనలకు భిన్నమైన విధానం అభివృద్ధి చేయబడింది. నిజానికి, ఈ విధానాలు పరస్పరం సంబంధం కలిగి ఉంటాయి.

డిగ్రీ కొలత b oతో కోణాన్ని తీసుకుందాం మరియు అంజీర్‌లో చూపిన విధంగా “దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లోని సంఖ్యా వృత్తం” మోడల్‌లో ఉంచండి. 14

కోణం యొక్క శిఖరం కేంద్రంతో అనుకూలంగా ఉంటుంది

సర్కిల్‌లు (కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ యొక్క మూలంతో),

మరియు కోణం యొక్క ఒక వైపు అనుకూలంగా ఉంటుంది

x-అక్షం యొక్క సానుకూల కిరణం. ఫుల్ స్టాప్

తో కోణం యొక్క రెండవ వైపు ఖండన

M. ఆర్డినా అనే అక్షరాన్ని వృత్తం ద్వారా సూచించండి-

Fig. 14 b o, మరియు ఈ పాయింట్ యొక్క అబ్సిస్సా కోణం b o యొక్క కొసైన్.

b o కోణం యొక్క సైన్ లేదా కొసైన్‌ను కనుగొనడానికి ప్రతిసారీ ఈ చాలా క్లిష్టమైన నిర్మాణాలను చేయవలసిన అవసరం లేదు.

ఆర్క్ AM సంఖ్య వృత్తం యొక్క పొడవులో b o కోణం 360° మూలలో ఉన్నట్లే ఉంటుందని గమనించడం సరిపోతుంది. ఆర్క్ AM యొక్క పొడవు t అక్షరంతో సూచించబడితే, మనకు లభిస్తుంది:

ఈ విధంగా,

ఉదాహరణకి,

30° అనేది ఒక కోణం యొక్క డిగ్రీ కొలత, మరియు అదే కోణం యొక్క రేడియన్ కొలత: 30° = రాడ్ అని నమ్ముతారు. అస్సలు:

ముఖ్యంగా, మేము దానిని ఎక్కడ నుండి పొందుతాము అని నేను సంతోషిస్తున్నాను.

కాబట్టి 1 రేడియన్ అంటే ఏమిటి? సెగ్మెంట్ల పొడవు యొక్క వివిధ కొలతలు ఉన్నాయి: సెంటీమీటర్లు, మీటర్లు, గజాలు మొదలైనవి. కోణాల పరిమాణాన్ని సూచించడానికి వివిధ చర్యలు కూడా ఉన్నాయి. మేము యూనిట్ సర్కిల్ యొక్క కేంద్ర కోణాలను పరిశీలిస్తాము. 1° కోణం అనేది వృత్తంలో భాగమైన ఒక ఆర్క్ ద్వారా ఉపసంహరించబడిన కేంద్ర కోణం. 1 రేడియన్ యొక్క కోణం అనేది పొడవు 1 యొక్క ఆర్క్ ద్వారా ఉపసంహరించబడిన కేంద్ర కోణం, అనగా. వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థానికి సమానంగా ఉండే ఆర్క్‌పై. సూత్రం నుండి, మేము 1 రాడ్ = 57.3 ° అని కనుగొంటాము.

u = sin t (లేదా ఏదైనా ఇతర త్రికోణమితి ఫంక్షన్) ఫంక్షన్‌ను పరిగణనలోకి తీసుకున్నప్పుడు, మునుపటి పేరాగ్రాఫ్‌లలో ఉన్నట్లుగా, మేము స్వతంత్ర వేరియబుల్ tని సంఖ్యా వాదంగా పరిగణించవచ్చు, కానీ మనం ఈ వేరియబుల్‌ను కొలమానంగా కూడా పరిగణించవచ్చు. కోణం, అనగా. మూలలో వాదన. అందువల్ల, త్రికోణమితి ఫంక్షన్ గురించి మాట్లాడేటప్పుడు, ఒక నిర్దిష్ట కోణంలో అది సంఖ్యా లేదా కోణీయ వాదన యొక్క విధిగా పరిగణించడంలో తేడా లేదు.

అంశంపై పాఠం మరియు ప్రదర్శన: "కోణీయ వాదన యొక్క త్రికోణమితి ఫంక్షన్, కోణం మరియు రేడియన్ల డిగ్రీ కొలత"

అదనపు పదార్థాలు
ప్రియమైన వినియోగదారులు, మీ వ్యాఖ్యలు, సమీక్షలు, శుభాకాంక్షలు తెలియజేయడం మర్చిపోవద్దు. అన్ని పదార్థాలు యాంటీ-వైరస్ ప్రోగ్రామ్ ద్వారా తనిఖీ చేయబడ్డాయి.

1C నుండి గ్రేడ్ 10 కోసం ఇంటిగ్రల్ ఆన్‌లైన్ స్టోర్‌లో మాన్యువల్‌లు మరియు సిమ్యులేటర్‌లు
జ్యామితిలో సమస్యలను పరిష్కరించడం. ఇంటరాక్టివ్ నిర్మాణ పనులు
జ్యామితిలో సమస్యలను పరిష్కరించడం. అంతరిక్షంలో నిర్మించడానికి ఇంటరాక్టివ్ పనులు

మేము ఏమి అధ్యయనం చేస్తాము:
1. జ్యామితిని గుర్తుంచుకుందాం.
2. కోణీయ వాదన యొక్క నిర్వచనం.
3. కోణం యొక్క డిగ్రీ కొలత.
4. కోణం యొక్క రేడియన్ కొలత.
5. రేడియన్ అంటే ఏమిటి?
6. స్వతంత్ర పరిష్కారం కోసం ఉదాహరణలు మరియు పనులు.

జ్యామితి యొక్క పునరావృతం

అబ్బాయిలు, మా ఫంక్షన్లలో:

y= sin(t), y= cos(t), y= tg(t), y= ctg(t)

t వేరియబుల్ సంఖ్యా విలువలను మాత్రమే తీసుకోగలదు, అనగా సంఖ్యా వాదనగా ఉంటుంది, కానీ ఇది ఒక కోణం యొక్క కొలతగా కూడా పరిగణించబడుతుంది - కోణీయ వాదన.

జ్యామితిని గుర్తుంచుకుందాం!
మేము అక్కడ సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్, కోటాంజెంట్‌లను ఎలా నిర్వచించాము?

కోణం యొక్క సైన్ - హైపోటెన్యూస్‌కు ఎదురుగా ఉన్న నిష్పత్తి

కోణం యొక్క కొసైన్ - హైపోటెన్యూస్‌కు ప్రక్కనే ఉన్న కాలు యొక్క నిష్పత్తి

ఒక కోణం యొక్క టాంజెంట్ అనేది ప్రక్క ప్రక్కకు ఎదురుగా ఉన్న నిష్పత్తి.

ఒక కోణం యొక్క కోటాంజెంట్ అనేది ప్రక్కనే ఉన్న వైపు మరియు వ్యతిరేక వైపు నిష్పత్తి.

యాంగిల్ ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క త్రికోణమితి ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం

సంఖ్య సర్కిల్‌పై కోణీయ ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క ఫంక్షన్‌లుగా త్రికోణమితి ఫంక్షన్‌లను నిర్వచిద్దాం:
నంబర్ సర్కిల్ మరియు కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌ని ఉపయోగించి, మనం ఎల్లప్పుడూ ఒక కోణం యొక్క సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్‌లను సులభంగా కనుగొనవచ్చు:

మన కోణం α యొక్క శీర్షాన్ని వృత్తం మధ్యలో ఉంచుదాం, అనగా. కోఆర్డినేట్ అక్షం మధ్యలో, మరియు ఒక వైపులా ఉంచండి, తద్వారా ఇది అబ్సిస్సా అక్షం (OA) యొక్క సానుకూల దిశతో సమానంగా ఉంటుంది.
అప్పుడు రెండవ వైపు పాయింట్ M వద్ద సంఖ్య వృత్తాన్ని కలుస్తుంది.

ఆర్డినేట్ చేయండిపాయింట్ M: కోణం α యొక్క సైన్
అబ్సిస్సాపాయింట్ M: కోణం α యొక్క కొసైన్

ఆర్క్ పొడవు AM 360 డిగ్రీల నుండి మా కోణం α వలె యూనిట్ సర్కిల్‌లో అదే భాగం అని గమనించండి: ఇక్కడ t అనేది ఆర్క్ AM యొక్క పొడవు.

కోణం యొక్క డిగ్రీ కొలత

1) అబ్బాయిలు, సంఖ్యా వృత్తం యొక్క ఆర్క్ పొడవు ద్వారా కోణం యొక్క డిగ్రీ కొలతను నిర్ణయించడానికి మాకు ఒక ఫార్ములా వచ్చింది, దానిని నిశితంగా పరిశీలిద్దాం:

అప్పుడు మేము త్రికోణమితి ఫంక్షన్లను రూపంలో వ్రాస్తాము:

ఉదాహరణకి:

కోణాల రేడియన్ కొలత

కోణం యొక్క డిగ్రీ లేదా రేడియన్ కొలతను లెక్కించేటప్పుడు, గుర్తుంచుకోండి! :
ఉదాహరణకి:

మార్గం ద్వారా! హోదా రాడ్. మీరు దానిని తగ్గించవచ్చు!

రేడియన్ అంటే ఏమిటి?

ప్రియమైన మిత్రులారా, మేము కొత్త భావనను ఎదుర్కొంటున్నాము - రేడియన్. కాబట్టి ఇది ఏమిటి?

పొడవు, సమయం, బరువు యొక్క వివిధ కొలతలు ఉన్నాయి, ఉదాహరణకు: మీటర్, కిలోమీటర్, రెండవ, గంట, గ్రాము, కిలోగ్రాము మరియు ఇతరులు. కాబట్టి రేడియన్ కోణం యొక్క కొలతలలో ఒకటి. కేంద్ర కోణాలను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం విలువ, అనగా, సంఖ్య సర్కిల్ మధ్యలో ఉన్నవి.
1 డిగ్రీ కోణం అనేది చుట్టుకొలత యొక్క 1/360కి సమానమైన ఆర్క్ ద్వారా ఉపసంహరించబడిన కేంద్ర కోణం.

1 రేడియన్ యొక్క కోణం అనేది ఒక యూనిట్ సర్కిల్‌లో 1కి సమానమైన ఆర్క్ ద్వారా మరియు ఏకపక్ష వృత్తంలో వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థానికి సమానమైన ఆర్క్ ద్వారా ఉపసంహరించబడిన కేంద్ర కోణం.

ఉదాహరణలు:

కోణం యొక్క డిగ్రీ కొలత నుండి రేడియన్ కొలతకు మరియు వైస్ వెర్సాకు మార్చడానికి ఉదాహరణలు

స్వతంత్రంగా పరిష్కరించాల్సిన సమస్యలు

1. కోణాల రేడియన్ కొలతను కనుగొనండి:
ఎ) 55° బి) 450° సి) 15° డి) 302°

2. కనుగొనండి:
a) sin(150°) b) cos(45°) c) tg(120°)

3. కోణాల డిగ్రీ కొలతను కనుగొనండి: