అదనపు (సహాయక) వాదన కోసం ఫార్ములా

రూపం యొక్క వ్యక్తీకరణను పరిగణించండి

దీనిలో సంఖ్యలు మరియు అదే సమయంలో సున్నాకి సమానంగా ఉండవు. ప్రతి నిబంధనలను గుణించి, విభజించి, బ్రాకెట్ల నుండి సాధారణ కారకాన్ని చేద్దాం:

దీన్ని తనిఖీ చేయడం సులభం

అంటే, సిద్ధాంతం 2 ద్వారా, అటువంటి నిజమైన కోణం ఉంది

అందువలన, మొత్తం సూత్రం యొక్క సైన్ ఉపయోగించి, మేము పొందుతాము

ఇక్కడ వంటి కోణాన్ని సహాయక ఆర్గ్యుమెంట్ ఫార్ములా అని పిలుస్తారు మరియు అసమాన సరళ సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను పరిష్కరించడంలో ఉపయోగించబడుతుంది.

విలోమ త్రికోణమితి విధులు

నిర్వచనాలు

ఇచ్చిన కోణాల త్రికోణమితి విధులను నిర్ణయించే సమస్యను ఇప్పటివరకు మేము పరిష్కరించాము. సమస్య విరుద్ధంగా ఉంటే ఏమి చేయాలి: ఏదైనా త్రికోణమితి ఫంక్షన్ తెలుసుకోవడం, సంబంధిత కోణాన్ని నిర్ణయించండి.

ఆర్క్సిన్

తెలిసిన వాస్తవ సంఖ్య ఉన్న వ్యక్తీకరణను పరిగణించండి. నిర్వచనం ప్రకారం, సైన్ అనేది అబ్సిస్సా అక్షం మరియు త్రికోణమితి వృత్తంతో కోణాన్ని ఏర్పరుచుకునే కిరణ ఖండన బిందువు యొక్క ఆర్డినేట్. అందువలన, సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి, మీరు సరళ రేఖ మరియు త్రికోణమితి వృత్తం యొక్క ఖండన పాయింట్లను కనుగొనాలి.

సహజంగానే, వద్ద , సరళ రేఖ మరియు వృత్తానికి సాధారణ బిందువులు లేవు, అందువల్ల సమీకరణానికి పరిష్కారాలు లేవు. అంటే, సంపూర్ణ విలువలో సైన్ 1 కంటే ఎక్కువ ఉండే కోణాన్ని కనుగొనడం అసాధ్యం.

ఎప్పుడు, ఒక సరళ రేఖ మరియు వృత్తం ఖండన బిందువులను కలిగి ఉంటాయి, ఉదాహరణకు, మరియు (ఫిగర్ చూడండి). అందువల్ల, పూర్తి విప్లవాల పూర్ణాంక సంఖ్యతో వాటి నుండి భిన్నంగా ఉండే అన్ని కోణాలు ఇచ్చిన సైన్‌ని కలిగి ఉంటాయి, అనగా. , - కోణాల అనంతమైన సంఖ్య. ఈ అనంతమైన వైవిధ్యంలో ఒక కోణాన్ని ఎలా ఎంచుకోవాలి?

సంఖ్యకు సంబంధించిన కోణాన్ని ప్రత్యేకంగా గుర్తించడానికి, అదనపు షరతును నెరవేర్చడం అవసరం: ఈ కోణం తప్పనిసరిగా విభాగానికి చెందినది. ఈ కోణాన్ని సంఖ్య యొక్క ఆర్క్‌సైన్ అంటారు. కోణం త్రికోణమితి ఫంక్షన్ గుర్తింపు

ఆర్క్సిన్వాస్తవ సంఖ్య అనేది సైన్ సమానమైన వాస్తవ సంఖ్య. ఈ సంఖ్య నిర్దేశించబడింది.

ఆర్క్ కొసైన్

ఇప్పుడు రూపం యొక్క సమీకరణాన్ని పరిశీలిద్దాం. దాన్ని పరిష్కరించడానికి, త్రికోణమితి వృత్తంలో అబ్సిస్సా ఉన్న అన్ని పాయింట్లను కనుగొనడం అవసరం, అనగా. రేఖతో ఖండన పాయింట్లు. మునుపటి సందర్భంలో వలె, పరిశీలనలో ఉన్న సమీకరణానికి పరిష్కారాలు లేవు. మరియు ఒక సరళ రేఖ మరియు వృత్తం యొక్క ఖండన పాయింట్లు ఉంటే, అనంతమైన కోణాలకు అనుగుణంగా, .

ఇచ్చిన కొసైన్‌కు సంబంధించిన కోణాన్ని ప్రత్యేకంగా గుర్తించడానికి, అదనపు షరతు ప్రవేశపెట్టబడింది: ఈ కోణం తప్పనిసరిగా విభాగానికి చెందినది; అటువంటి కోణాన్ని సంఖ్య యొక్క ఆర్క్ కొసైన్ అంటారు.

ఆర్క్ కొసైన్వాస్తవ సంఖ్య అనేది కొసైన్ సమానమైన వాస్తవ సంఖ్య. ఈ సంఖ్య నిర్దేశించబడింది.

ఆర్క్టాంజెంట్ మరియు ఆర్కోటాంజెంట్

వ్యక్తీకరణను చూద్దాం. దాన్ని పరిష్కరించడానికి, మీరు సరళ రేఖతో ఖండన యొక్క అన్ని పాయింట్లను సర్కిల్‌లో కనుగొనాలి, దీని కోణీయ గుణకం అబ్సిస్సా అక్షం యొక్క సానుకూల దిశకు సరళ రేఖ యొక్క వంపు కోణం యొక్క టాంజెంట్‌కు సమానంగా ఉంటుంది. అటువంటి పంక్తి, అన్ని వాస్తవ విలువలకు, త్రికోణమితి వృత్తాన్ని రెండు పాయింట్ల వద్ద కలుస్తుంది. ఈ పాయింట్లు మూలం గురించి సుష్టంగా ఉంటాయి మరియు కోణాలకు అనుగుణంగా ఉంటాయి.

ఇచ్చిన టాంజెంట్‌తో కోణాన్ని నిస్సందేహంగా నిర్ణయించడానికి, ఇది విరామం నుండి ఎంపిక చేయబడుతుంది.

ఆర్క్టాంజెంట్ఏకపక్ష వాస్తవ సంఖ్య అనేది టాంజెంట్ సమానమైన వాస్తవ సంఖ్య. ఈ సంఖ్య నిర్దేశించబడింది.

కోణం యొక్క ఆర్క్ టాంజెంట్‌ను నిర్ణయించడానికి, ఒకే విధమైన తార్కికం ఉపయోగించబడుతుంది, ఒకే తేడా ఏమిటంటే, సరళ రేఖతో వృత్తం యొక్క ఖండన పరిగణించబడుతుంది మరియు కోణం విరామం నుండి ఎంపిక చేయబడుతుంది.

ఆర్కోటాంజెంట్ఏకపక్ష వాస్తవ సంఖ్య అనేది కోటాంజెంట్ సమానమైన వాస్తవ సంఖ్య. ఈ సంఖ్య నిర్దేశించబడింది.

విలోమ త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల లక్షణాలు

డొమైన్ మరియు డొమైన్

సరి బేసి

విలోమ త్రికోణమితి ఫంక్షన్లను మారుస్తోంది

విలోమ త్రికోణమితి ఫంక్షన్లను కలిగి ఉన్న వ్యక్తీకరణలను మార్చడానికి, ఈ ఫంక్షన్ల నిర్వచనం నుండి క్రింది లక్షణాలు తరచుగా ఉపయోగించబడతాయి:

ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్య కోసం అది కలిగి ఉంటుంది

మరియు వైస్ వెర్సా:

అదేవిధంగా అది కలిగి ఉన్న ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్యకు

మరియు వైస్ వెర్సా:

త్రికోణమితి మరియు విలోమ త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌లు

త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌లు

సెగ్మెంట్‌లో ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను ప్లాట్ చేయడం ద్వారా ప్రారంభిద్దాం. దీన్ని చేయడానికి, మేము త్రికోణమితి వృత్తంలో సైన్ యొక్క నిర్వచనాన్ని ఉపయోగిస్తాము. త్రికోణమితి వృత్తాన్ని (ఈ సందర్భంలో 16) సమాన భాగాలుగా విభజిద్దాం మరియు సమీపంలో ఒక సమన్వయ వ్యవస్థను ఉంచుదాం, ఇక్కడ అక్షంలోని సెగ్మెంట్ కూడా సమాన భాగాలుగా విభజించబడింది. వృత్తం యొక్క విభజన బిందువుల ద్వారా అక్షానికి సమాంతరంగా సరళ రేఖలను గీయడం ద్వారా, అక్షంలోని సంబంధిత విభజన పాయింట్ల నుండి పునరుద్ధరించబడిన లంబాలతో ఈ పంక్తుల ఖండన వద్ద, మేము పాయింట్లను పొందుతాము, దీని కోఆర్డినేట్‌లు నిర్వచనం ప్రకారం, సైన్‌లకు సమానంగా ఉంటాయి. సంబంధిత కోణాలు. ఈ పాయింట్ల ద్వారా మృదువైన వక్రరేఖను గీయడం ద్వారా, మేము ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను పొందుతాము. పూర్తి సంఖ్య రేఖపై ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను పొందేందుకు, సైన్ యొక్క ఆవర్తనాన్ని ఉపయోగించండి: , .

ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను పొందడానికి, మేము తగ్గింపు సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము. అందువలన, ఒక ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ పొడవు యొక్క సెగ్మెంట్ ద్వారా ఎడమకు సమాంతర అనువాదం ద్వారా ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ నుండి పొందబడుతుంది.

త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌లను ఉపయోగించడం తగ్గింపు సూత్రాలను పొందేందుకు మరొక సులభమైన మార్గాన్ని అందిస్తుంది. కొన్ని ఉదాహరణలు చూద్దాం.

వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేద్దాం. అక్షం మీద మేము కోణాన్ని సూచిస్తాము మరియు దాని సైన్ మరియు కొసైన్‌లను వరుసగా సూచిస్తాము. అక్షం మీద కోణాన్ని కనుగొని, సైన్ గ్రాఫ్‌తో ఖండనకు లంబంగా పునరుద్ధరిద్దాము. అని బొమ్మను బట్టి స్పష్టమవుతోంది.

టాస్క్: వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి.

ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను రూపొందించడానికి వెళ్దాం. ముందుగా, ఒక కోణం కోసం, టాంజెంట్ అనేది సెగ్మెంట్ యొక్క పొడవు అని గుర్తుంచుకోండి AB. సైన్ గ్రాఫ్‌ను నిర్మించడం, కుడి సెమిసర్కిల్‌ను సమాన భాగాలుగా విభజించడం మరియు ఫలిత టాంజెంట్ విలువలను ప్లాట్ చేయడం ద్వారా, మేము చిత్రంలో చూపిన గ్రాఫ్‌ను పొందుతాము. ఇతర విలువల కోసం, గ్రాఫ్ టాంజెంట్ పీరియాడిసిటీ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి పొందబడుతుంది, .

గ్రాఫ్‌లోని చుక్కల పంక్తులు అసిప్టోట్‌లను సూచిస్తాయి. అసింప్టోట్వక్రరేఖ అనేది ఒక సరళ రేఖ, దీనికి వక్రరేఖ అనంతం వైపు వెళ్లేటప్పుడు కావలసినంత దగ్గరగా ఉంటుంది, కానీ దానిని కలుస్తుంది.

ఒక టాంజెంట్ కోసం, అసిమ్ప్టోట్‌లు సరళ రేఖలు, ఈ పాయింట్ల వద్ద సున్నాకి మారడం ద్వారా వాటి రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

ఇదే రీజనింగ్ ఉపయోగించి, ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ పొందబడుతుంది. దాని కోసం, అసింప్టోట్‌లు సరళ రేఖలు, . ఈ గ్రాఫ్ తగ్గింపు సూత్రాన్ని ఉపయోగించి కూడా పొందవచ్చు, అనగా. అక్షం గురించి సమరూపత యొక్క రూపాంతరం మరియు కుడి వైపుకు మారడం.

త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల లక్షణాలు

విలోమ త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌లు

మొదట మనం విలోమ ఫంక్షన్ భావనను పరిచయం చేస్తాము.

ఒక ఫంక్షన్ మోనోటోనికల్‌గా పెరిగితే లేదా తగ్గితే, దాని కోసం ఉనికిలో ఉంటుంది విలోమ ఫంక్షన్. విలోమ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను నిర్మించడానికి, గ్రాఫ్ సరళ రేఖకు సంబంధించి సమరూప పరివర్తనకు లోబడి ఉండాలి. విలోమ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను పొందే ఉదాహరణను బొమ్మలు చూపుతాయి.

ఆర్క్సిన్, ఆర్కోసిన్, ఆర్క్టాంజెంట్ మరియు ఆర్కోటాంజెంట్ ఫంక్షన్‌లు వరుసగా సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్ ఫంక్షన్‌ల విలోమాలు కాబట్టి, వాటి గ్రాఫ్‌లు పైన వివరించిన పరివర్తన ద్వారా పొందబడతాయి. బొమ్మలలోని అసలైన ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌లు షేడ్ చేయబడ్డాయి.

పై బొమ్మల నుండి, విలోమ త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల యొక్క ప్రధాన లక్షణాలలో ఒకటి స్పష్టంగా ఉంది: అదే సంఖ్య యొక్క సహ-ప్రక్రియల మొత్తం ఇస్తుంది.

లేమ్మా. రెండు వాస్తవ సంఖ్యల చతురస్రాల మొత్తం ఒకదానికి సమానంగా ఉంటే, ఈ సంఖ్యలలో ఒకదానిని కొసైన్‌గానూ, మరొకటి కొంత కోణం యొక్క సైన్‌గానూ పరిగణించవచ్చు.

ఇతర మాటలలో, ఉంటే ఎ 2 + బి 2 = 1 , అప్పుడు ఒక కోణం ఉంది φ , అలాంటి

ఎ = cos φ; బి= పాపం φ.

ఈ లెమ్మాను నిరూపించే ముందు, దానిని క్రింది ఉదాహరణతో ఉదహరిద్దాం:

$$ (\frac(\sqrt3)(2))^2 + (\frac(1)(2)) = \frac(3)(4) + \frac(1)(4) = 1 $$

అందువలన ఒక కోణం ఉంది φ , అంటే \(\frac(\sqrt3)(2) \) = cos φ ; 1/2 = పాపం φ .

వంటి φ ఈ సందర్భంలో, మీరు 30°, 30° ± 360°, 30° ± 2 360° మొదలైన కోణాలలో దేనినైనా ఎంచుకోవచ్చు.

లెమ్మా రుజువు:

వెక్టర్‌ను పరిగణించండి \(\vec(0A)\)అక్షాంశాలతో ( ఎ, బి ) ఎందుకంటే ఎ 2 + బి 2 = 1 , ఈ వెక్టర్ యొక్క పొడవు 1. కానీ ఈ సందర్భంలో దాని కోఆర్డినేట్‌లు సమానంగా ఉండాలి కాస్ φ మరియు పాపం, ఎక్కడ φ - ఇచ్చిన వెక్టర్ అబ్సిస్సా అక్షంతో ఏర్పడే కోణం.

కాబట్టి, ఎ = cos φ; బి= sinφ, ఇది నిరూపించాల్సిన అవసరం ఉంది.

నిరూపితమైన లెమ్మా వ్యక్తీకరణను మార్చడానికి అనుమతిస్తుంది aపాపం x + బికాస్ xఅధ్యయనం కోసం మరింత అనుకూలమైన రూపానికి.

అన్నింటిలో మొదటిది, \(\sqrt(a^2 + b^2)\) వ్యక్తీకరణను బ్రాకెట్ల నుండి తీసుకుందాం

$$ a sinx + b cosx = \sqrt(a^2 + b^2)(\frac(a)(\sqrt(a^2 + b^2))sinx + \frac(b)(\sqrt(a) ^2 + b^2))cosx) $$

ఎందుకంటే

$$ (\frac(a)(\sqrt(a^2 + b^2))^2 + (\frac(b)(\sqrt(a^2 + b^2)))^2 = 1 $ $

సంఖ్యలలో మొదటిది \(\frac(a)(\sqrt(a^2 + b^2)) \) మరియు \(\frac(b)(\sqrt(a^2 + b^2)) \) కొంత కోణం యొక్క కొసైన్‌గా పరిగణించవచ్చు φ , మరియు రెండవది - అదే కోణం యొక్క సైన్ వలె φ :

$$ \frac(a)(\sqrt(a^2 + b^2)) = cos\phi, \;\; \frac(b)(\sqrt(a^2 + b^2)) = sin\phi $$

కానీ ఆ సందర్భంలో

aపాపం x + బి cos x = \(\sqrt(a^2 + b^2)\)(cos φ sin x + sin φ cos x) = \(\sqrt(a^2 + b^2)\) పాపం (x + φ )

aపాపం x + బి cos x = \(\sqrt(a^2 + b^2)\) sin (x + φ), ఇక్కడ కోణం φ పరిస్థితుల నుండి నిర్ణయించబడుతుంది

$$ sin\phi = \frac(b)(\sqrt(a^2 + b^2)) \;\; cos\phi = \frac(a)(\sqrt(a^2 + b^2)) $$

ఉదాహరణలు.

1) \(sin x + cos x = \sqrt2 (\frac(1)(\sqrt2) sin x + \frac(1)(\sqrt2)cos x) = \sqrt2 (cos\frac(\pi)(4 )sin x + sin\frac(\pi)(4)cos x) =\\= \sqrt2(sinx + \frac(\pi)(4)) \)

ఫలిత సూత్రం పాపం x+కాస్ x= \(\sqrt2(sinx + \frac(\pi)(4))\)గుర్తుంచుకోవడానికి ఉపయోగపడుతుంది.

2) సంఖ్యలలో ఒకటి అయితే ఎ మరియు బి సానుకూల మరియు ఇతర ప్రతికూల, అప్పుడు వ్యక్తీకరణ
aపాపం x + బికాస్ xఇది మొత్తం యొక్క సైన్కి కాకుండా, రెండు కోణాల వ్యత్యాసం యొక్క సైన్కి మార్చడం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. కాబట్టి,

$$ 3sinx - 4cosx = \sqrt(9+16)(\frac(3)(\sqrt(9+16))sinx - \frac(4)(\sqrt(9+16))cosx) =\\= 5(sinx\cdot\frac(3)(5) - cosx\cdot\frac(4)(5)) = 5sin(x - \phi), $$

కింద ఎక్కడ φ కింది షరతులను సంతృప్తిపరిచే ఏదైనా కోణాన్ని మనం అర్థం చేసుకోవచ్చు:

కాస్ φ = 3/5, పాపం φ = 4 / 5

ముఖ్యంగా, ఒక ఉంచవచ్చు φ = ఆర్క్టాన్ 4/3. అప్పుడు మనకు లభిస్తుంది:

3 sin x - 4 cos x = 5 sin (x - arctan 4/3).

బీజగణితం పాఠాలలో, ఉపాధ్యాయులు మాకు చెప్పేది, త్రికోణమితి సమీకరణాల యొక్క చిన్న (వాస్తవానికి, చాలా పెద్ద) తరగతి త్రికోణమితి సమీకరణాలు ప్రామాణిక పద్ధతుల ద్వారా పరిష్కరించబడవు - కారకం ద్వారా లేదా వేరియబుల్ మార్పు ద్వారా లేదా సజాతీయ నిబంధనల ద్వారా కూడా కాదు. ఈ సందర్భంలో, ప్రాథమికంగా భిన్నమైన విధానం అమలులోకి వస్తుంది - సహాయక కోణం పద్ధతి.

ఈ పద్ధతి ఏమిటి మరియు దానిని ఎలా దరఖాస్తు చేయాలి? ముందుగా, మొత్తం/తేడా యొక్క సైన్ మరియు మొత్తం/తేడా యొక్క కొసైన్ కోసం సూత్రాలను గుర్తుంచుకోండి:

\[\begin(align)& \sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\& \cos \left(\ ఆల్ఫా \pm \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \\\ end(align)\]

ఈ సూత్రాలు మీకు బాగా తెలుసునని నేను భావిస్తున్నాను - వాటి నుండి ద్వంద్వ వాదన సూత్రాలు ఉద్భవించాయి, ఇది లేకుండా త్రికోణమితిలో ఎక్కడా లేదు. కానీ ఇప్పుడు ఒక సాధారణ సమీకరణాన్ని చూద్దాం:

రెండు వైపులా 5 ద్వారా విభజించండి:

గమనించండి $((\left(\frac(3)(5) \right))^(2))+((\left(\frac(4)(5) \right))^(2))= 1 $, అంటే ఈ సంఖ్యలు వరుసగా కొసైన్ మరియు సైన్ అయిన $\alpha $ కోణం ఖచ్చితంగా ఉండాలి. కాబట్టి, మా సమీకరణం ఈ క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాయబడుతుంది:

\[\begin(align)& \cos \alpha \sin x+\sin \alpha \cos x=1 \\& \sin \left(\alpha +x \right)=1 \\\ end(align)\]

మరియు ఇది ఇప్పటికే సులభంగా పరిష్కరించబడుతుంది, దీని తర్వాత $\alpha $ కోణం దేనికి సమానమో కనుగొనడమే మిగిలి ఉంది. ఎలా కనుగొనాలి, అలాగే సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా విభజించడానికి సరైన సంఖ్యను ఎలా ఎంచుకోవాలి (ఈ సాధారణ ఉదాహరణలో, మేము 5 ద్వారా విభజించాము) - మేము నేటి వీడియో పాఠంలో దీని గురించి మాట్లాడుతాము:

ఈ రోజు మనం త్రికోణమితి సమీకరణాల పరిష్కారాన్ని విశ్లేషిస్తాము లేదా మరింత ఖచ్చితంగా చెప్పాలంటే “సహాయక కోణ పద్ధతి” అని పిలువబడే ఒకే సాంకేతికతను విశ్లేషిస్తాము. ఈ పద్ధతి ఎందుకు? గత రెండు లేదా మూడు రోజులుగా, నేను త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడం గురించి విద్యార్థులకు బోధిస్తున్నప్పుడు మరియు మేము ఇతర విషయాలతోపాటు, సహాయక కోణ పద్ధతిని పరిశీలిస్తున్నాము మరియు విద్యార్థులందరూ ఒకే తప్పు చేశారు. . కానీ పద్ధతి సాధారణంగా సులభం మరియు, అంతేకాకుండా, ఇది త్రికోణమితిలో ప్రధాన పద్ధతుల్లో ఒకటి. అందువల్ల, అనేక త్రికోణమితి సమస్యలను సహాయక కోణ పద్ధతి ద్వారా మినహా అస్సలు పరిష్కరించలేము.

అందువల్ల, ఇప్పుడు, మొదట, మేము కొన్ని సాధారణ పనులను పరిశీలిస్తాము, ఆపై మేము మరింత తీవ్రమైన పనులకు వెళ్తాము. అయితే, ఇవన్నీ ఒక మార్గం లేదా మరొకటి సహాయక కోణ పద్ధతిని ఉపయోగించాల్సిన అవసరం ఉంది, దీని సారాంశం నేను మొదటి డిజైన్‌లో చెబుతాను.

సాధారణ త్రికోణమితి సమస్యలను పరిష్కరించడం

ఉదాహరణ #1

\[\cos 2x=\sqrt(3)\sin 2x-1\]

మన వ్యక్తీకరణను కొద్దిగా మార్చుకుందాం:

\[\cos 2x-\sqrt(3)\sin 2x=-1\left| \ఎడమ(-1 \కుడి) \కుడి.\]

\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x-\cos 2x=1\]

మేము దానిని ఎలా పరిష్కరిస్తాము? డబుల్ యాంగిల్ ఫార్ములాలను ఉపయోగించి $\sin 2x$ మరియు $\cos 2x$లను పరిష్కరించడం, ఆపై యూనిట్‌ని $((\sin )^(2))x((\cos )^(2)గా తిరిగి వ్రాయడం ప్రామాణిక ట్రిక్. )x$, ఒక సజాతీయ సమీకరణాన్ని పొందండి, దానిని టాంజెంట్‌లకు తగ్గించి పరిష్కరించండి. అయితే, ఇది సుదీర్ఘమైన మరియు దుర్భరమైన మార్గం, దీనికి పెద్ద మొత్తంలో లెక్కలు అవసరం.

మీరు దీని గురించి ఆలోచించాలని నేను సూచిస్తున్నాను. మాకు $\sin$ మరియు $\cos$ ఉన్నాయి. కొసైన్ మరియు సైన్ ఆఫ్ సమ్ అండ్ డిఫరెన్స్ ఫార్ములాను గుర్తుచేసుకుందాం:

\[\sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \]

\[\cos \left(\alpha +\beta \right)=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \]

\[\cos \left(\alpha -\beta \right)=\cos a\cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \]

మన ఉదాహరణకి తిరిగి వెళ్దాం. భేదమున్న పాపానికి అన్నీ తగ్గించుకుందాం. కానీ మొదట, సమీకరణాన్ని కొద్దిగా మార్చాలి. గుణకం కనుగొనండి:

$\sqrt(l)$ అనేది అదే గుణకం, దీని ద్వారా సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా విభజించడం అవసరం, తద్వారా సైన్ మరియు కొసైన్ ముందు సైన్స్ మరియు కొసైన్‌లుగా ఉండే సంఖ్యలు కనిపిస్తాయి. విభజన చేద్దాం:

\[\frac(\sqrt(3))(2)\cdot \sin 2x-\frac(1)(2)\cdot \cos 2x=\frac(1)(2)\]

మనకు ఎడమ వైపున ఉన్న వాటిని చూద్దాం: $\cos \alpha =\frac(\sqrt(3))(2)$ మరియు $\sin \alpha వంటి $\sin $ మరియు $\cos $ ఉందా? =\frac(1)(2)$? సహజంగానే ఉంది: $\alpha =\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$. కాబట్టి మన వ్యక్తీకరణను ఈ క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు:

\[\cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6))\cdot \sin 2x-\sin \frac(\text( )\! \!\pi\!\!\text( ))(\text(6))\cdot \cos 2x=\frac(1)(2)\]

\[\sin 2x\cdot \cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6))-\cos 2x\cdot \sin \frac(\ text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6))=\frac(1)(2)\]

ఇప్పుడు మనకు తేడా యొక్క సైన్ కోసం సూత్రం ఉంది. మనం ఇలా వ్రాయవచ్చు:

\[\sin \left(2x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6)) \right)=\frac(1)(2) \]

ఇక్కడ మనకు సరళమైన క్లాసికల్ త్రికోణమితి నిర్మాణం ఉంది. నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను:

మా నిర్దిష్ట వ్యక్తీకరణ కోసం మేము దీన్ని వ్రాస్తాము:

\[\left[ \begin(align)& 2x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\! \pi\!\!\text( ))(6)=2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\& 2x-\frac(\text( )\!\ !\pi\!\!\text( ))(\text(6))=\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-\frac(\text( )\!\! \pi\!\!\text( ))(\text(6))+2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\\ end(align) \right.\ ]

\[\left[ \begin(align)& 2x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2\text( )\!\!\pi \!\!\text( )n \\& 2x=\text( )\!\!\pi\!\!\text( )+2\text( )\!\!\pi\!\!\text ( )n \\\ end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align)& x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n \\& x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(2)+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n \\\ end(align) \right.\]

పరిష్కారం యొక్క సూక్ష్మ నైపుణ్యాలు

కాబట్టి, మీరు ఇలాంటి ఉదాహరణను చూసినట్లయితే మీరు ఏమి చేయాలి:

1. అవసరమైతే డిజైన్‌ను సవరించండి.
2. దిద్దుబాటు కారకాన్ని కనుగొని, దాని నుండి మూలాన్ని తీసుకోండి మరియు దాని ద్వారా ఉదాహరణ యొక్క రెండు వైపులా విభజించండి.
3. సంఖ్యలు ఏ సైన్ మరియు కొసైన్ విలువలను పొందుతాయో చూద్దాం.
4. మేము సైన్ లేదా కొసైన్ తేడా లేదా సమ్ ఫార్ములాలను ఉపయోగించి సమీకరణాన్ని విస్తరిస్తాము.
5. మేము సరళమైన త్రికోణమితి సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తాము.

ఈ విషయంలో, శ్రద్ధగల విద్యార్థులకు బహుశా రెండు ప్రశ్నలు ఉండవచ్చు.

దిద్దుబాటు కారకాన్ని కనుగొనే దశలో $\sin $ మరియు $\cos $లను వ్రాయకుండా మనల్ని ఏది నిరోధిస్తుంది? - ప్రాథమిక త్రికోణమితి గుర్తింపు మనల్ని నిరోధిస్తోంది. వాస్తవం ఏమిటంటే, ఫలితంగా వచ్చే $\sin $ మరియు $\cos $, అదే ఆర్గ్యుమెంట్‌తో ఉన్న ఇతర వాటిలాగా, స్క్వేర్ చేసినప్పుడు, మొత్తంగా ఖచ్చితంగా “ఒకటి” ఇవ్వాలి. నిర్ణయం ప్రక్రియలో, మీరు చాలా జాగ్రత్తగా ఉండాలి మరియు "X" కంటే ముందు "2" ను కోల్పోకూడదు.

సహాయక కోణం పద్ధతి అనేది "అగ్లీ" సమీకరణాన్ని పూర్తిగా సరిపోయే మరియు "అందమైన" ఒకదానికి తగ్గించడంలో సహాయపడే సాధనం.

ఉదాహరణ సంఖ్య 2

\[\sqrt(3)\sin 2x+2((\sin )^(2))x-1=2\cos x\]

మనకు $((\sin )^(2))x$ ఉందని మేము చూస్తాము, కాబట్టి పవర్ తగ్గింపు గణనలను ఉపయోగిస్తాము. అయితే, వాటిని ఉపయోగించే ముందు, వాటిని బయటకు తీయండి. దీన్ని చేయడానికి, డబుల్ యాంగిల్ యొక్క కొసైన్‌ను ఎలా కనుగొనాలో గుర్తుంచుకోండి:

\[\cos 2x=((\cos )^(2))x-((\sin )^(2))x=2((\cos )^(2))x-1=1-2(( \sin ^(2))x\]

మేము మూడవ ఎంపికలో $\cos 2x$ అని వ్రాస్తే, మనకు లభిస్తుంది:

\[\cos 2x=1-2((\ sin )^(2))x\]

\[((\ sin )^(2))x=\frac(1-((\cos)^(2))x)(x)\]

నేను దానిని విడిగా వ్రాస్తాను:

\[((\ sin )^(2))x=\frac(1-\cos 2x)(2)\]

అదే విధంగా $((\cos )^(2))x$ కోసం చేయవచ్చు:

\[((\cos )^(2))x=\frac(1+\cos 2x)(2)\]

మాకు మొదటి లెక్కలు మాత్రమే అవసరం. పనిపై పని ప్రారంభిద్దాం:

\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x+2\cdot \frac(1-\cos 2x)(2)-1=2\cos x\]

\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x+1-\cos 2x-1=2\cos x\]

\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x-\cos 2x=2\cos x\]

ఇప్పుడు వ్యత్యాసం యొక్క కొసైన్ యొక్క గణనలను ఉపయోగించుకుందాం. అయితే ముందుగా, $l$ దిద్దుబాటును లెక్కిద్దాం:

ఈ వాస్తవాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకొని దానిని తిరిగి వ్రాస్దాం:

\[\frac(\sqrt(3))(2)\cdot \sin 2x-\frac(1)(2)\cdot \cos 2x=\cos x\]

ఈ సందర్భంలో, మనం $\frac(\sqrt(3))(2)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)$, మరియు అని వ్రాయవచ్చు $\frac(1)(2)=\cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)$. మళ్లీ వ్రాద్దాం:

\[\sin \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(3))\cdot \sin 2x-\cos \frac(\text( )\! \!\pi\!\!\text( ))(\text(3))\cdot \cos 2x=\cos x\]

\[-\cos \left(\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(3))+2x \right)=\cos x\]

ఒక తెలివైన మార్గంలో బ్రాకెట్‌లో "మైనస్"ని జోడిద్దాం. దీన్ని చేయడానికి, ఈ క్రింది వాటిని గమనించండి:

\[\cos \left(\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(3))+2x \right)=\cos \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-\text( )\!\!\!\pi\!\!\text( +)\frac(\text( )\!\!\pi\! \!\text( ))(\text(3))+2x \right)=\]

\[=\cos \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+2x \right)=\cos \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )+\varphi \right)=-\cos \varphi \]

మన వ్యక్తీకరణకు తిరిగి వెళ్లి $\varphi $ పాత్రలో మనకు $-\frac(2\text( )\!\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2x అనే వ్యక్తీకరణ ఉందని గుర్తుంచుకోండి. $. కాబట్టి, వ్రాద్దాం:

\[-\left(-\cos \left(-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2x \right) \right)=\cos x\]

\[\cos \left(2x-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3) \right)=\cos x\]

ఈ సమస్యను పరిష్కరించడానికి, మీరు దీన్ని గుర్తుంచుకోవాలి:

\[\cos \alpha =\cos \beta \]

\[\left[ \begin(align)& \alpha =\beta +2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\& \alpha =-\beta +2\text ( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\\ end(align) \right.\]

మన ఉదాహరణను చూద్దాం:

\[\left[ \begin(align)& 2x-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)=x+2\text( )\!\ !\pi\!\!\text( )n \\& 2x-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\!\text( ))(3)=-x+2\text ( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\\ end(align) \right.\]

ఈ సమీకరణాలలో ప్రతిదానిని గణిద్దాం:

మరియు రెండవది:

చివరి సమాధానాన్ని వ్రాసుకుందాం:

\[\left[ \begin(align)& x=\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2\text( )\!\!\ pi\!\!\text( )n \\& x=\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(9)+\frac(2\text( ) \!\!\pi\!\!\text( )n)(3) \\\ end(align) \right.\]

పరిష్కారం యొక్క సూక్ష్మ నైపుణ్యాలు

వాస్తవానికి, ఈ వ్యక్తీకరణ అనేక రకాలుగా పరిష్కరించబడుతుంది, అయితే ఈ సందర్భంలో సరైనది సహాయక కోణం పద్ధతి. అదనంగా, ఈ డిజైన్‌ను ఉదాహరణగా ఉపయోగించి, నేను మీ దృష్టిని అనేక ఆసక్తికరమైన పద్ధతులు మరియు వాస్తవాలకు ఆకర్షించాలనుకుంటున్నాను:

• డిగ్రీలను తగ్గించే సూత్రాలు. ఈ సూత్రాలను గుర్తుంచుకోవలసిన అవసరం లేదు, కానీ వాటిని ఎలా పొందాలో మీరు తెలుసుకోవాలి, ఈ రోజు నేను మీకు చెప్పాను.
• $\cos \alpha =\cos \beta $ రూపం యొక్క సమీకరణాలను పరిష్కరించడం.
• "సున్నా" జోడించడం.

అయితే అంతే కాదు. ఇప్పటి వరకు, మేము అదనపు వాదనగా పొందిన $\sin $ మరియు $\cos $, అవి తప్పనిసరిగా సానుకూలంగా ఉంటాయని మేము విశ్వసించాము. అందువలన, ఇప్పుడు మేము మరింత క్లిష్టమైన సమస్యలను పరిష్కరిస్తాము.

మరింత క్లిష్టమైన సమస్యల విశ్లేషణ

ఉదాహరణ #1

\[\sin 3x+4((\sin )^(3))x+4\cos x=5\]

మొదటి పదాన్ని మారుద్దాం:

\[\sin 3x=\sin \left(2x+x \right)=\sin 2x\cdot \cos x+\cos 2x\cdot \sin x\]

\[=2\ఎడమ(1-\cos 2x \కుడి)\cdot \sin x\]

ఇప్పుడు వీటన్నింటిని మన అసలు నిర్మాణంలో ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:

\[\sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x+2\sin x-2\cos x\sin x+4\cos x=5\]

\[\sin 2x\cos x-\operatorname(cosx)-cos2\sin x+2\sin x+4\cos x=5\]

\[\sin \left(2x-x \right)+2\sin x+4\cos x=5\]

మన సవరణను ప్రవేశపెడదాం:

మేము వ్రాస్తాము:

\[\frac(3)(5)\sin x+\frac(4)(5)\cos x=1\]

త్రికోణమితి పట్టికలో $\frac(3)(5)$ మరియు $\frac(4)(5)$కి $\sin $ లేదా $\cos $ సమానంగా ఉండే $\alpha $ ఏదీ లేదు. కాబట్టి దీన్ని ఇలా వ్రాసి, వ్యక్తీకరణను మొత్తం యొక్క సైన్కి తగ్గించండి:

\[\sin x\cdot \cos \varphi +\cos x\cdot \sin \varphi =1\]

\[\sin \left(x+\varphi \right)=1\]

ఇది ఒక ప్రత్యేక సందర్భం, సరళమైన త్రికోణమితి నిర్మాణం:

$\varphi $ దేనికి సమానం అనేది కనుగొనడం మిగిలి ఉంది. ఇక్కడే చాలా మంది విద్యార్థులు తప్పుబడుతున్నారు. వాస్తవం ఏమిటంటే $\varphi $ రెండు అవసరాలకు లోబడి ఉంటుంది:

\[\left\( \begin(align)& \cos \varphi =\frac(3)(5) \\& \sin \varphi =\frac(4)(5) \\\ end(align) \right .\]

రాడార్‌ని గీయండి మరియు అటువంటి విలువలు ఎక్కడ జరుగుతాయో చూద్దాం:

మా వ్యక్తీకరణకు తిరిగి, మేము ఈ క్రింది వాటిని వ్రాస్తాము:

కానీ ఈ ఎంట్రీని కొద్దిగా ఆప్టిమైజ్ చేయవచ్చు. ఎందుకంటే మనకు ఈ క్రిందివి తెలుసు:

\[\alpha:\arcsin \alpha +\arccos \alpha =\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\!\text( ))(\text(2)),\]

అప్పుడు మన విషయంలో మనం ఇలా వ్రాయవచ్చు:

ఉదాహరణ సంఖ్య 2

దీనికి త్రికోణమితి లేకుండా ప్రామాణిక సమస్యలను పరిష్కరించడానికి సాంకేతికతలపై మరింత లోతైన అవగాహన అవసరం. కానీ ఈ ఉదాహరణను పరిష్కరించడానికి మేము సహాయక కోణ పద్ధతిని కూడా ఉపయోగిస్తాము.\[\]

మీ దృష్టిని ఆకర్షించే మొదటి విషయం ఏమిటంటే, మొదటిదాని కంటే ఎక్కువ డిగ్రీలు లేవు మరియు అందువల్ల డిగ్రీల కుళ్ళిపోయే సూత్రాల ప్రకారం ఏదీ విస్తరించబడదు. రివర్స్ లెక్కలను ఉపయోగించండి:

నేను $5$ ఎందుకు వెచ్చించాను. ఇక్కడ చూడండి:

మేము యూనిట్‌ని ప్రాథమిక త్రికోణమితి గుర్తింపు ద్వారా $((\sin )^(2))x+((\cos )^(2))x$:

అటువంటి రికార్డు మనకు ఏమి ఇస్తుంది? వాస్తవం ఏమిటంటే మొదటి బ్రాకెట్‌లో ఖచ్చితమైన చతురస్రం ఉంటుంది. దానిని కుదించి, పొందండి:

కొత్త వేరియబుల్‌ని పరిచయం చేయమని నేను సూచిస్తున్నాను:

\[\sin x+\cos x=t\]

ఈ సందర్భంలో, మేము వ్యక్తీకరణను పొందుతాము:

\[((t)_(1))=\frac(5+1)(4)=\frac(3)(2)\]

\[((t)_(2))=\frac(5-1)(4)=1\]

మొత్తంగా మనం పొందుతాము:

\[\left[ \begin(align)& \sin x+\cos x=\frac(3)(2) \\& \sin x+\cos x=1 \\\ end(align) \right.\]

వాస్తవానికి, పరిజ్ఞానం ఉన్న విద్యార్థులు ఇప్పుడు అలాంటి నిర్మాణాలను సజాతీయ నిర్మాణానికి తగ్గించడం ద్వారా సులభంగా పరిష్కరించవచ్చని చెబుతారు. అయితే, మేము ప్రతి సమీకరణాన్ని సహాయక కోణ పద్ధతిని ఉపయోగించి పరిష్కరిస్తాము. దీన్ని చేయడానికి, మేము ముందుగా దిద్దుబాటు $l$ని లెక్కిస్తాము:

\[\sqrt(l)=\sqrt(2)\]

అన్నింటినీ $\sqrt(2)$తో భాగిద్దాం:

\[\ఎడమ[ \begin(align)& \frac(\sqrt(2))(2)\sin x+\frac(\sqrt(2))(2)\cos x=\frac(3)(2\ sqrt(2)) \\& \frac(\sqrt(2))(2)\sin x+\frac(\sqrt(2))(2)\cos x=\frac(\sqrt(2))(2 ) \\\ ముగింపు(సమలేఖనం) \కుడి.\]

అన్నింటినీ $\cos $కి తగ్గిద్దాం:

\[\cos x\cdot \cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\sin x\sin \frac(\text( )\!\ !\pi\!\!\text( ))(\text(4))\]

\[\left[ \begin(align)& \cos \left(x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\!\text( ))(\text(4)) \right) =\frac(3)(2\sqrt(2)) \\& \cos \left(x-\frac(\text( )\!!\!\pi\!\!\text( ))(4) \ కుడి)=\frac(\sqrt(2))(2) \\\ end(align) \right.\]

ఈ వ్యక్తీకరణలలో ప్రతి ఒక్కటి చూద్దాం.

మొదటి సమీకరణానికి మూలాలు లేవు మరియు ఈ వాస్తవాన్ని నిరూపించడానికి, హారంలోని అహేతుకత మాకు సహాయం చేస్తుంది. కింది వాటిని గమనించండి:

\[\sqrt(2)<1,5\]

\[\frac(3)(2\sqrt(2))>\frac(3)(3\cdot 1.5)=\frac(3)(3)=1\]

మొత్తంగా, మేము $\cos \left(x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4) \right)$ అని స్పష్టంగా నిరూపించాము. "ఒకటి" కంటే ఎక్కువ ఉన్న సంఖ్యకు సమానం మరియు అందువల్ల, ఈ నిర్మాణానికి మూలాలు లేవు.

రెండవదానితో వ్యవహరిస్తాము:

ఈ నిర్మాణాన్ని పరిష్కరిద్దాం:

సూత్రప్రాయంగా, మీరు సమాధానాన్ని ఇలా వదిలివేయవచ్చు లేదా మీరు దానిని వ్రాయవచ్చు:

ముఖ్యమైన పాయింట్లు

ముగింపులో, నేను మరోసారి "అగ్లీ" వాదనలతో పనిచేయడానికి మీ దృష్టిని ఆకర్షించాలనుకుంటున్నాను, అనగా. $\sin $ మరియు $\cos $లు పట్టిక విలువలు కానప్పుడు. సమస్య ఏమిటంటే, మన సమీకరణంలో $\frac(3)(5)$ $\cos $ మరియు $\frac(4)(5)$ $\sin $ అని చెప్పినట్లయితే, చివరికి, మన తర్వాత డిజైన్‌పై నిర్ణయం తీసుకోండి, మేము ఈ రెండు అవసరాలను పరిగణనలోకి తీసుకోవాలి. మేము రెండు సమీకరణాల వ్యవస్థను పొందుతాము. మేము దీనిని పరిగణనలోకి తీసుకోకపోతే, మేము ఈ క్రింది పరిస్థితిని పొందుతాము. ఈ సందర్భంలో, మనకు రెండు పాయింట్లు లభిస్తాయి మరియు $\varphi $ స్థానంలో మనకు రెండు సంఖ్యలు ఉంటాయి: $\arcsin \frac(4)(5)$ మరియు $-\arcsin \frac(4)(5)$, కానీ రెండోది మనం ఏ విధంగానూ సంతృప్తి చెందలేదు. $\frac(3)(5)$ పాయింట్‌తో కూడా అదే జరుగుతుంది.

మేము "అగ్లీ" వాదనల గురించి మాట్లాడుతున్నప్పుడు మాత్రమే ఈ సమస్య తలెత్తుతుంది. మనకు టేబుల్ విలువలు ఉన్నప్పుడు, అలాంటిదేమీ ఉండదు.

సహాయక కోణ పద్ధతి అంటే ఏమిటో మరియు సంక్లిష్టత యొక్క వివిధ స్థాయిల ఉదాహరణలకు దానిని ఎలా వర్తింపజేయాలో అర్థం చేసుకోవడానికి నేటి పాఠం మీకు సహాయపడిందని నేను ఆశిస్తున్నాను. కానీ ఇది సహాయక కోణ పద్ధతిని ఉపయోగించి సమస్యలను పరిష్కరించడానికి అంకితమైన ఏకైక పాఠం కాదు. కాబట్టి వేచి ఉండండి!

పాఠం అంశం:త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు సహాయక కోణాన్ని పరిచయం చేసే పద్ధతి.

అప్‌డేట్ చేస్తోంది.

టీచర్.

అబ్బాయిలు! మేము వివిధ రకాల త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిచయం చేసాము మరియు వాటిని ఎలా పరిష్కరించాలో నేర్చుకున్నాము. ఈ రోజు మనం వివిధ రకాల త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించే పద్ధతుల జ్ఞానాన్ని సాధారణీకరిస్తాము. దీన్ని చేయడానికి, మీకు ప్రతిపాదించిన సమీకరణాల వర్గీకరణపై పని చేయమని నేను మిమ్మల్ని అడుగుతున్నాను (అపెండిక్స్‌లో నం. 1-10 సమీకరణాలను చూడండి - PDF రూపంలో సారాంశం చివరిలో)

పట్టికను పూరించండి: సమీకరణం యొక్క రకాన్ని, దానిని పరిష్కరించే పద్ధతిని సూచించండి మరియు సమీకరణాల సంఖ్యలను అవి చెందిన రకానికి సరిపోల్చండి.

విద్యార్థులు.పట్టికను పూరించండి.

సమీకరణం రకం	పరిష్కార పద్ధతి	సమీకరణాలు
ప్రోటోజోవా	మూల సూత్రాలు	№1
చతురస్రానికి తగ్గించవచ్చు	వేరియబుల్ రీప్లేస్‌మెంట్ మెథడ్	№2,3
సంక్లిష్ట త్రికోణమితి వీక్షణ	త్రికోణమితి సూత్రాలను ఉపయోగించి తెలిసిన రూపానికి సరళీకరించండి	№4,5
సజాతీయ మొదటి డిగ్రీ	వేరియబుల్ యొక్క కొసైన్ ద్వారా సమీకరణ పదాన్ని పదం ద్వారా భాగించండి	№6
సజాతీయ రెండవ డిగ్రీ	వేరియబుల్ యొక్క కొసైన్ యొక్క స్క్వేర్ ద్వారా సమీకరణ పదాన్ని పదం ద్వారా భాగించండి	№7

సమస్యాత్మకం.

టేబుల్ నింపే సమయంలో, విద్యార్థులు ఒక సమస్యను ఎదుర్కొంటారు. వారు మూడు సమీకరణాలను పరిష్కరించే రకం మరియు పద్ధతిని నిర్ణయించలేరు: నం. 8,9,10.

టీచర్.మీరు అన్ని సమీకరణాలను వాటి రూపం మరియు పరిష్కార పద్ధతి ప్రకారం వర్గీకరించగలిగారా?

విద్యార్థి ప్రతిస్పందన.లేదు, మూడు సమీకరణాలను పట్టికలో ఉంచడం సాధ్యం కాలేదు.

టీచర్.ఎందుకు?

విద్యార్థి ప్రతిస్పందన.అవి తెలిసిన జాతులతో సమానంగా లేవు. పరిష్కార పద్ధతి అస్పష్టంగా ఉంది.

లక్ష్యాన్ని ఏర్పచుకోవడం.

టీచర్.అప్పుడు మన పాఠం యొక్క ఉద్దేశ్యాన్ని ఎలా రూపొందించాలి?

విద్యార్థులు సమాధానమిస్తారు. కనుగొనబడిన కొత్త రకమైన సమీకరణాలను నిర్ణయించండి మరియు వాటిని పరిష్కరించడానికి ఒక పద్ధతిని కనుగొనండి.

టీచర్. కనుగొన్న సమీకరణాల రకం మరియు వాటిని పరిష్కరించే పద్ధతి మనకు తెలియకపోతే పాఠం యొక్క అంశాన్ని రూపొందించడం సాధ్యమేనా?

విద్యార్థి ప్రతిస్పందన. లేదు, కానీ మనం ఏమి చేస్తున్నామో గుర్తించినప్పుడు మేము దీన్ని తర్వాత చేయవచ్చు.

కార్యాచరణ ప్రణాళిక.

టీచర్.మన కార్యకలాపాలను ప్లాన్ చేద్దాం. మేము సాధారణంగా రకాన్ని గుర్తించి, ఆపై త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ఒక పద్ధతి కోసం చూస్తాము. మన ప్రస్తుత పరిస్థితిలో, కనుగొనబడిన సమీకరణాల రకానికి నిర్దిష్ట పేరు పెట్టడం సాధ్యమేనా? మరియు సాధారణంగా, వారు ఒకే జాతికి చెందినవా?

విద్యార్థి ప్రతిస్పందన.చేయడం కష్టం.

టీచర్.అప్పుడు ఆలోచించండి, బహుశా వారికి ఉమ్మడిగా ఏదైనా ఉండవచ్చు, లేదా అవి కొన్ని రకాలను పోలి ఉన్నాయా?

విద్యార్థి ప్రతిస్పందన.ఈ సమీకరణాల యొక్క ఎడమ వైపు సజాతీయ సమీకరణాల మాదిరిగానే ఉంటుంది, కానీ వాటి కుడి వైపు సున్నాకి సమానంగా ఉండదు. దీని అర్థం కొసైన్ ద్వారా విభజించడం అనేది పరిష్కారాన్ని క్లిష్టతరం చేస్తుంది.

టీచర్.పరిష్కార పద్ధతిని కనుగొనడం ద్వారా ప్రారంభించి, ఆపై సమీకరణ రకాన్ని నిర్ణయించాలా? 3 సమీకరణాలలో మీకు ఏది సరళమైనది?

విద్యార్థులు సమాధానమిస్తారు, కానీ ఏకాభిప్రాయం లేదు. సమీకరణ సంఖ్య 8లోని గుణకాలు పట్టిక కోణం యొక్క సైన్ మరియు కొసైన్‌గా వ్యక్తీకరించబడాలని బహుశా ఎవరైనా ఊహించవచ్చు. ఆపై తరగతి మొదట పరిష్కరించగల సమీకరణాన్ని నిర్ణయిస్తుంది. లేకపోతే, ఉపాధ్యాయుడు అదనపు సమీకరణాన్ని పరిగణించమని సూచిస్తాడు (అపెండిక్స్‌లో సమీకరణ సంఖ్య 11 చూడండి - PDF రూపంలో సారాంశం చివరిలో). అందులో, గుణకాలు తెలిసిన కోణం యొక్క సైన్ మరియు కొసైన్‌తో సమానంగా ఉంటాయి మరియు విద్యార్థులు దీనిని గమనించాలి.

ఉపాధ్యాయుడు సూచించే పాయింట్ల క్రమాన్ని సూచిస్తారు. ( చూడండి అనుబంధంలో సమీకరణాలు - PDF రూపంలో, సారాంశం చివరిలో).

1. మొదటి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి (№11), తెలిసిన కోణం యొక్క సైన్ మరియు కొసైన్ విలువలతో కోఎఫీషియంట్‌లను భర్తీ చేయడం మరియు మొత్తం సూత్రం యొక్క సైన్‌ని వర్తింపజేయడం.
2. ఇతర సమీకరణాలను మొదటి రూపంలోకి మార్చడానికి ప్రయత్నించండి మరియు అదే పద్ధతిని వర్తింపజేయండి. ( సమీకరణం సంఖ్య 8,9, 12 చూడండి)
3. ఏదైనా కోఎఫీషియంట్‌లకు పద్ధతిని సాధారణీకరించండి మరియు విస్తరించండి మరియు చర్యల యొక్క సాధారణ అల్గోరిథంను రూపొందించండి (సమీకరణం #10 చూడండి).
4. అదే రకమైన ఇతర సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి పద్ధతిని వర్తింపజేయండి. (సమీకరణాలు సంఖ్య 12,13, 14 చూడండి).

ప్రణాళిక అమలు.

టీచర్. బాగా, మేము ఒక ప్రణాళిక చేసాము. దానిని అమలు చేయడం ప్రారంభిద్దాం.

బ్లాక్ బోర్డ్ వద్ద, విద్యార్థి సమీకరణ సంఖ్య 11ని పరిష్కరిస్తాడు.

రెండవ విద్యార్థి కింది సమీకరణ సంఖ్య 8ని పరిష్కరిస్తాడు, మొదట దానిని స్థిరమైన సంఖ్యతో విభజించి, తద్వారా పరిస్థితిని ఇప్పటికే కనుగొన్న పరిష్కారానికి తగ్గించాడు.

ఉపాధ్యాయుడు స్వతంత్రంగా నం. 9 మరియు 12 సమీకరణాలను పరిష్కరించాలని సూచించారు. పరివర్తనలు మరియు బహుళ పరిష్కారాల యొక్క ఖచ్చితత్వాన్ని తనిఖీ చేస్తుంది.

టీచర్.గైస్, సమీకరణం యొక్క కోఎఫీషియంట్‌లకు బదులుగా కనిపించే కోణాన్ని మనం ఏమని పిలుస్తాము మరియు పరిష్కారాన్ని చేరుకోవడంలో మాకు సహాయపడుతుంది?

విద్యార్థి ప్రతిస్పందన.అదనపు. (ఎంపిక: సహాయక).

టీచర్.అటువంటి సహాయక కోణాన్ని ఎంచుకోవడం ఎల్లప్పుడూ సులభం కాదు. గుణకాలు తెలిసిన కోణాల సైన్ మరియు కొసైన్ కాకపోతే దానిని కనుగొనడం సాధ్యమేనా? అటువంటి కోఎఫీషియంట్‌లను మనం సహాయక కోణం యొక్క సైన్ మరియు కొసైన్‌గా సూచించాలనుకుంటే ఏ గుర్తింపును సంతృప్తిపరచాలి?

సమాధానం.ప్రాథమిక త్రికోణమితి గుర్తింపు.

టీచర్.బాగా చేసారు! నిజమే! దీనర్థం మా పని అటువంటి కోఎఫీషియంట్‌లను పొందడం, వాటి స్క్వేర్‌ల మొత్తం ఒకదానికి సమానం! సమీకరణాన్ని విభజించే సంఖ్యతో ముందుకు రావడానికి ప్రయత్నించండి, తద్వారా మేము పేర్కొన్న పరిస్థితి సంతృప్తి చెందుతుంది.

విద్యార్థులు ఆలోచిస్తారు మరియు బహుశా సమీకరణం యొక్క గుణకాల యొక్క వర్గాల మొత్తం యొక్క వర్గమూలం ద్వారా ప్రతిదీ విభజించాలని సూచించారు. కాకపోతే, గురువు వారిని ఈ ఆలోచనకు దారి తీస్తాడు.

టీచర్.మేము కేవలం కొత్త కోఎఫీషియంట్స్‌లో దేన్ని సహాయక కోణం యొక్క సైన్ ద్వారా మరియు కొసైన్ ద్వారా సూచించాలో ఎంచుకోవాలి. రెండు ఎంపికలు ఉన్నాయి. ఎంపిక అనేది సైన్ లేదా కొసైన్‌తో సరళమైన సమీకరణానికి మారడంపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

విద్యార్థులువారు ఒక పరిష్కారాన్ని అందిస్తారు మరియు ఉపాధ్యాయుడు దానిని పూర్తి చేస్తాడు, తార్కికం మరియు సమాధానాన్ని రికార్డ్ చేసే రూపానికి శ్రద్ధ చూపుతాడు. సమీకరణ సంఖ్య 10ని పరిష్కరించండి.

టీచర్. కొత్త రకమైన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి మేము ఒక పద్ధతిని కనుగొన్నారా? ఈ రకాన్ని మనం ఏమని పిలవాలి?

సమాధానం.మేము సహాయక కోణం కోసం శోధించడం ద్వారా పని చేసాము. బహుశా సమీకరణాలను సహాయక కోణాలను ఉపయోగించి పరిష్కరించగల సమీకరణాలు అని పిలవవచ్చా?

టీచర్.అయితే మీరు చెయ్యగలరు. మీరు వారి రకానికి సంబంధించిన ఫార్ములాతో రాగలరా? ఇది చిన్నదిగా ఉంటుంది.

సమాధానం.అవును. A, B మరియు C గుణకాలతో సమీకరణాలు.

టీచర్.ఏకపక్ష గుణకాల పద్ధతిని సాధారణీకరిద్దాం.

ఉపాధ్యాయుడు సాధారణీకరించిన గుణకాల కోసం సహాయక కోణం సైన్ మరియు కొసైన్ సూత్రాలను బోర్డుపై చర్చిస్తారు మరియు వ్రాస్తారు. అప్పుడు, వారి సహాయంతో, నం. 13 మరియు 14 సమీకరణాలను పరిష్కరిస్తుంది.

టీచర్.మనం ఈ పద్ధతిని బాగా నేర్చుకున్నామా?

సమాధానం.నం. అటువంటి సమీకరణాలను పరిష్కరించడం మరియు సహాయక కోణ పద్ధతిని ఉపయోగించగల సామర్థ్యాన్ని ఏకీకృతం చేయడం అవసరం.

టీచర్.మేము పద్ధతిని స్వాధీనం చేసుకున్నామని ఎలా అర్థం చేసుకుంటాము?

సమాధానం.అనేక సమీకరణాలను మనమే పరిష్కరిస్తే.

టీచర్.పద్ధతిని మాస్టరింగ్ చేయడానికి ఒక గుణాత్మక స్థాయిని ఏర్పాటు చేద్దాం.

స్థాయిల లక్షణాలను తెలుసుకోండి మరియు వాటిని ఈ నైపుణ్యంలో నైపుణ్యం స్థాయిని ప్రతిబింబించే స్థాయిలో ఉంచండి. స్థాయి లక్షణం మరియు స్కోర్‌ను సరిపోల్చండి (0 నుండి 3 వరకు)

• నేను వివిధ గుణకాలతో సమీకరణాలను పరిష్కరించగలను
• నేను సమీకరణాలను పరిష్కరించలేను
• నేను సంక్లిష్ట సమీకరణాలను పరిష్కరించగలను
• నేను పట్టిక గుణకాలతో సమీకరణాలను పరిష్కరించగలను

టీచర్.(విద్యార్థులు సమాధానం ఇచ్చిన తర్వాత) కాబట్టి, మా రేటింగ్ స్కేల్ క్రింది విధంగా ఉంది:

అదే సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, మేము తదుపరి పాఠంలో అంశంపై స్వతంత్ర పనిని అంచనా వేస్తాము.

ఇప్పుడు, దయచేసి నం. 1148 గ్రా, 1149 గ్రా, 1150 గ్రా సమీకరణాలను పరిష్కరించండి మరియు టాపిక్‌పై మీ నైపుణ్యం స్థాయిని నిర్ణయించండి.

పట్టికలోని ఎంట్రీలను పూర్తి చేయడం మరియు టాపిక్ పేరు పెట్టడం మర్చిపోవద్దు: "త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడంలో సహాయక కోణాన్ని పరిచయం చేయడం."

లక్ష్యాన్ని సాధించే మార్గంలో ప్రతిబింబం.

టీచర్.గైస్, మేము పాఠం యొక్క లక్ష్యాన్ని సాధించారా?

విద్యార్థి సమాధానాలు. అవును, మేము కొత్త రకమైన సమీకరణాన్ని గుర్తించడం నేర్చుకున్నాము.

సహాయక కోణాన్ని ఉపయోగించి వాటిని పరిష్కరించడానికి మేము ఒక పద్ధతిని కనుగొన్నాము.

మేము ఆచరణలో పద్ధతిని వర్తింపజేయడం నేర్చుకున్నాము.

టీచర్.మేము ఎలా ప్రవర్తించాము? మేము ఏమి చేయాలో మీకు ఎలా అర్థమైంది?

సమాధానం.మేము "గుర్తించదగిన" గుణకాలతో సమీకరణాల యొక్క అనేక ప్రత్యేక సందర్భాలను పరిశీలించాము మరియు ఈ తర్కాన్ని A, B మరియు C యొక్క ఏదైనా విలువలకు విస్తరించాము.

టీచర్.ఇది ప్రేరక ఆలోచనా విధానం: అనేక కేసుల ఆధారంగా, మేము ఒక పద్ధతిని రూపొందించాము మరియు ఇలాంటి సందర్భాలలో దానిని వర్తింపజేస్తాము.

దృష్టికోణం.ఈ రకమైన ఆలోచనను మనం ఎక్కడ అన్వయించుకోవచ్చు? (విద్యార్థుల సమాధానాలు)

మీరు ఈరోజు క్లాసులో బాగా పని చేసారు. ఇంట్లో, పాఠ్యపుస్తకంలో సహాయక కోణ పద్ధతి యొక్క వివరణను చదివి, 1148 (a, b, c), 1149 (a, b, c), 1150 (a, b, c) లను పరిష్కరించండి. త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ఈ పద్ధతిని ఉపయోగించి తర్వాతి పాఠంలో మీ అందరికీ గొప్ప సమయం ఉంటుందని నేను ఆశిస్తున్నాను.

తరగతిలో మీ పనికి ధన్యవాదాలు!