చమురు మరియు వాయువు యొక్క గొప్ప ఎన్సైక్లోపీడియా

మేము మాటలతో సమాధానం ఇస్తాము! ఏదైనా త్రిభుజాకార పిరమిడ్ చుట్టూ ఒక గోళం వర్ణించబడుతుందనేది నిజమేనా? ఏదైనా చతుర్భుజ పిరమిడ్ చుట్టూ ఉన్న గోళాన్ని వివరించడం సాధ్యమేనా? పిరమిడ్ దాని చుట్టూ ఉన్న గోళాన్ని వివరించడానికి ఏ లక్షణాలను కలిగి ఉండాలి? పిరమిడ్ ఒక గోళంలో చెక్కబడి ఉంటుంది, దాని ప్రక్క అంచు బేస్‌కు లంబంగా ఉంటుంది. గోళం యొక్క కేంద్రాన్ని ఎలా కనుగొనాలి? ఒక సాధారణ పిరమిడ్ సమీపంలో ఒక గోళం వివరించబడింది. పిరమిడ్ మూలకాలకు సంబంధించి దాని కేంద్రం ఎలా ఉంది?

స్లయిడ్ 17ప్రదర్శన నుండి "జ్యామితి సమస్యలు" 11వ తరగతి. ప్రదర్శనతో ఉన్న ఆర్కైవ్ పరిమాణం 1032 KB.

జామెట్రీ 11వ తరగతి

ఇతర ప్రదర్శనల సారాంశం

“కేంద్ర సమరూపత భావన” - స్పేస్‌ను మ్యాపింగ్ చేయడం. కేంద్ర సమరూపత. ఫిగర్ సిమెట్రిక్ అంటారు. కేంద్ర సమరూపత అనేది కదలిక. స్థలం యొక్క కదలిక. పాయింట్లు M మరియు M1 లను సిమెట్రిక్ అంటారు. ఆస్తి. ఉద్యమాలు. విమానం కదలికలు మాకు బాగా తెలుసు. టాస్క్. కేంద్ర సమరూపత అనేది భ్రమణానికి సంబంధించిన ప్రత్యేక సందర్భం.

"త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించడంలో సమస్యలు" - ఇవాన్ నివెన్. ఒక సమస్యను పరిష్కరించడం. పాఠం నినాదం. వ్యక్తిగత లక్ష్యాలు. బొమ్మ యొక్క ప్రాంతాన్ని కనుగొనండి. గణిత డిక్టేషన్. త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనే పద్ధతులు. ఒక ప్రకటనను ఎంచుకోండి. శారీరక విద్య నిమిషం. బొమ్మ యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించండి. బొమ్మ యొక్క ప్రాంతం. పురోగతిని తనిఖీ చేస్తోంది. చతురస్రం.

“స్టీరియోమెట్రీలో టాస్క్‌లు” - శీర్షాల మధ్య దూరం యొక్క చతురస్రాన్ని కనుగొనండి. పనులు. సీసం బంతి యొక్క వ్యాసం. బంతి మరియు దాని భాగాలు వాల్యూమ్. పాలిహెడ్రాన్ యొక్క కోణాన్ని కనుగొనండి. పిరమిడ్ వాల్యూమ్‌ను కనుగొనండి. పాయింట్ A. వృత్తాకార సెక్టార్ యొక్క ఆర్డినేట్‌ను కనుగొనండి. సిలిండర్ యొక్క వాల్యూమ్ Vని కనుగొనండి. పాలిహెడ్రాన్ యొక్క ఉపరితల వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి. ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క ప్రాంతాన్ని కనుగొనండి. చుట్టుకొలత.

"భ్రమణం యొక్క శరీరం యొక్క పరిమాణాన్ని లెక్కించండి" - గోళం. సిలిండర్ మరియు కోన్. కోన్. సిలిండర్లు మన చుట్టూ ఉన్నాయి. కోన్ యొక్క వాల్యూమ్ V. క్యూబ్ కోన్ యొక్క నిర్వచనం. భ్రమణ శరీరాల రకాలు. బంతి. విప్లవ శరీరాల వాల్యూమ్‌లు. మూర్తి. వాల్యూమ్‌ను కనుగొనండి. స్థూపాకార పాత్ర. సిలిండర్ యొక్క నిర్వచనం. వ్యాసార్థం. సిలిండర్. కోన్ యొక్క వాల్యూమ్.

“విప్లవం యొక్క శరీరాల వాల్యూమ్‌లు మరియు ఉపరితలాలు” - పరికల్పనలను ప్రతిపాదించడం మరియు పరీక్షించడం. జ్ఞానాన్ని సంగ్రహించండి. విప్లవ శరీరాల వాల్యూమ్‌లు మరియు ఉపరితలాలు. రేఖాగణిత ఆకారాన్ని గుర్తించండి. సమస్యను సూత్రీకరించడం. సమస్య. ఆచరణాత్మక కార్యకలాపాల నుండి ఉదాహరణలు. థర్మామీటర్ ట్యాంక్ ఎందుకు వేగంగా వేడెక్కుతుంది? బంతి ఆకారపు టీపాట్ అతి చిన్న ఉపరితల వైశాల్యాన్ని కలిగి ఉంటుంది. వాల్యూమ్‌లు.

“మన చుట్టూ తిరిగే శరీరాలు” - మన చుట్టూ తిరిగే శరీరాలు. పారిశ్రామిక పరికరాలు. భ్రమణ శరీరాలను కనుగొనండి. ఫారెస్ట్ కోన్ స్ప్రూస్. ఇటలీలో వాలు టవర్. బాహ్య అంతరిక్షంలో. మెల్నికోవ్ ఇల్లు. కోన్. రౌండ్ టవర్లు. రౌండ్ బిల్డింగ్ చరిత్ర. కాస్మిక్ శరీరాలు.

పాలిహెడ్రా మరియు రౌండ్ బాడీల కలయికలు

గోళం మరియు బంతి యొక్క భావనలు.

గోళముఅనేది స్పేస్‌లోని అన్ని బిందువుల సమితిని కలిగి ఉన్న ఒక ఫిగర్, ప్రతి దాని నుండి ఇచ్చిన పాయింట్ Oకి దూరం ఇచ్చిన ధన సంఖ్య rకి సమానం. పాయింట్ O అంటారు కేంద్రంగోళం, మరియు గోళంలోని ఏదైనా బిందువుకు ఒక బిందువును కలిపే విభాగం వ్యాసార్థం. గోళంలోని అన్ని రేడియాలు పొడవు rని కలిగి ఉంటాయి. r సంఖ్యను గోళం యొక్క వ్యాసార్థం అంటారు.

గోళం తనకు చెందని స్పేస్‌లోని అన్ని బిందువుల సమితిని రెండు ఉపసమితులుగా విభజిస్తుంది: అంతర్గతమరియు బాహ్యగోళానికి సంబంధించి ప్రాంతం. అంతర్గత ప్రాంతం అంతరిక్షంలో ఆ బిందువులను కలిగి ఉంటుంది, ప్రతి దాని నుండి మధ్యకు ఉన్న దూరం వ్యాసార్థం కంటే తక్కువగా ఉంటుంది మరియు బయటి ప్రాంతంలో ఆ బిందువులను కలిగి ఉంటుంది, వీటిలో ప్రతి దాని నుండి కేంద్రానికి ఉన్న దూరం వ్యాసార్థం కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది.

బంతిఅనేది స్పేస్‌లోని అన్ని బిందువుల సమితిని కలిగి ఉన్న ఒక ఫిగర్, ప్రతి దాని నుండి ఇచ్చిన పాయింట్ Oకి దూరం ఇచ్చిన ధన సంఖ్య r కంటే ఎక్కువ కాదు. పాయింట్ O అంటారు కేంద్రంబంతి, మరియు సంఖ్య r దాని వ్యాసార్థం. r వ్యాసార్థం O కేంద్రంతో ఉన్న గోళాన్ని అంటారు ఉపరితలలేదా బంతి యొక్క సరిహద్దు. బంతి యొక్క ఉపరితలంపై లేని అన్ని పాయింట్లను బాల్ యొక్క అంతర్గత పాయింట్లు లేదా బంతి లోపల ఉన్న పాయింట్లు అంటారు. ఈ విధంగా, బంతి అనేది గోళంలోని అన్ని బిందువుల కలయిక (బంతి ఉపరితలం) మరియు ఈ గోళానికి సంబంధించి అన్ని అంతర్గత బిందువుల సమితిని కలిగి ఉంటుంది.

బంతి ఉపరితలంపై టాంజెంట్ ప్లేన్ అంటారు టాంజెంట్ విమానంబంతికి. ఈ బిందువుకు గీసిన వ్యాసార్థానికి లంబంగా బంతి ఉపరితలంపై ఉన్న ఒక బిందువు గుండా వెళితే మాత్రమే ఒక విమానం బంతికి టాంజెంట్‌గా ఉంటుంది. బంతి ఉపరితలంపై ఉన్న ప్రతి బిందువు ద్వారా బంతికి ఒక విమానం టాంజెంట్ మాత్రమే వెళుతుందని కూడా గమనించండి.

పాలిహెడ్రాన్ చుట్టూ చుట్టుముట్టబడిన గోళం.

నిర్వచనం.గోళం అంటారు పాలిహెడ్రాన్ చుట్టూ వివరించబడింది, పాలిహెడ్రాన్ యొక్క అన్ని శీర్షాలు గోళంపై ఉంటే.

సిద్ధాంతం 1.ఏదైనా త్రిభుజాకార పిరమిడ్ చుట్టూ ఒక గోళాన్ని వర్ణించవచ్చు.

పిరమిడ్ యొక్క ఆధార శీర్షాల నుండి సమాన దూరంలో ఉన్న బిందువుల సముదాయం బేస్ సమీపంలోని చుట్టుముట్టబడిన వృత్తం మధ్యలో నుండి లంబంగా గీస్తారు (ఒక వృత్తాన్ని వర్ణించగలిగితే ఇచ్చిన బహుభుజి యొక్క శీర్షాలకు సమానమైన స్థలంలో GMT ఉంటుంది. ఈ బహుభుజి, మరియు చుట్టుపక్కల వృత్తం మధ్యలో ఈ బహుభుజి యొక్క సమతలానికి లంబంగా గీస్తారు ). పిరమిడ్ యొక్క ఆధారం యొక్క లంబంగా ద్విభాగాల ఖండన బిందువు వృత్తం యొక్క కేంద్రం.

చుట్టుముట్టబడిన గోళం యొక్క కేంద్రాన్ని కనుగొనడానికి, పాయింట్ M ద్వారా ఒక విమానం గీయండి - AD వైపు అంచు మధ్యలో. ఈ విమానం S బిందువు వద్ద లంబంగా (ముందుగా సూచించబడింది) కలుస్తుంది. నిర్మాణం ద్వారా SA=SB=SC, మరియు త్రిభుజం ASD సమద్విబాహు (నిర్మాణం ద్వారా కూడా) అనే వాస్తవం నుండి SA=SDని అనుసరిస్తుంది. అందువల్ల, పిరమిడ్ యొక్క అన్ని శీర్షాల నుండి పాయింట్ S వరకు ఉన్న దూరాలు సమానంగా ఉంటాయి మరియు ఈ దూరం ABCD (SA=SB=SC=SD=R) పిరమిడ్ సమీపంలోని చుట్టుముట్టబడిన గోళం యొక్క వ్యాసార్థానికి సమానంగా ఉంటుంది.

ఉదాహరణ 1 . సాధారణ టెట్రాహెడ్రాన్ చుట్టూ ఉన్న గోళం యొక్క వ్యాసార్థాన్ని కనుగొనండి.

త్రిభుజం SOCని పరిగణించండి. ఇది లంబ కోణం Oతో దీర్ఘచతురస్రాకారంగా ఉంటుంది (నిర్మాణం ద్వారా, OD అనేది పిరమిడ్ ఎత్తుగా ఉంటుంది).

, O అనేది మధ్యస్థాల ఖండన బిందువు కాబట్టి.

, ఇక్కడ DO అనేది పిరమిడ్ యొక్క ఎత్తు.

అప్పుడు పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం ద్వారా అది అనుసరిస్తుంది లేదా

సమాధానం: ఒక సాధారణ టెట్రాహెడ్రాన్ చుట్టూ ఉన్న గోళం యొక్క వ్యాసార్థం సమానం

సిద్ధాంతం 2. పిరమిడ్ పునాది చుట్టూ ఒక వృత్తాన్ని వివరించగలిగితే, పిరమిడ్ చుట్టూ ఒక గోళాన్ని వివరించవచ్చు..

మేము ఇప్పటికే ఒక ప్రత్యేక కేసును పరిగణించాము. సాధారణ సందర్భంలో, రుజువు సమానంగా ఉంటుంది.

సిద్ధాంతం 3 . వంపుతిరిగిన ప్రిజం దగ్గర గోళాన్ని వర్ణించడం అసాధ్యం; నేరుగా ప్రిజం దగ్గర మీరు ఒక గోళాన్ని వర్ణించవచ్చు, ప్రిజం యొక్క బేస్ దగ్గర మీరు ఒక వృత్తాన్ని వర్ణించవచ్చు.

1) ప్రిజం వంపుతిరిగిన సందర్భాన్ని ముందుగా పరిశీలిద్దాం (ఒక త్రిభుజాకార ప్రిజమ్‌ను ఉదాహరణగా తీసుకుందాం). A, B మరియు C బిందువుల నుండి సమాన దూరంలో ఉన్న బిందువు OS 1 సరళ రేఖపై ఉంటుంది, ఇది ABC త్రిభుజం యొక్క సమతలానికి లంబంగా ఉంటుంది మరియు లంబానికి ఆధారం ABC త్రిభుజం వైపులా గీసిన బైసెక్టోరల్ లంబాల ఖండన బిందువు వద్ద ఉంటుంది. .

అదేవిధంగా, A 1, B 1, C 1 బిందువులకు సమాన దూరంలో ఉన్న పాయింట్లు A 1 B 1 C 1 – O 1 S త్రిభుజం యొక్క సమతలానికి లంబంగా ఉంటాయి. ప్రిజం వంపుతిరిగినందున, OS 1 మరియు O 1 S పంక్తులు ఉంటాయి. సమాంతరంగా ఉంటుంది, కానీ సరిపోలడం లేదు. అందువల్ల వారికి సాధారణ పాయింట్లు ఉండవని దీని అర్థం: ప్రిజం యొక్క అన్ని శీర్షాల నుండి దూరం ఒకేలా ఉంటుంది, ఇది వంపుతిరిగిన ప్రిజం చుట్టూ వివరించిన గోళాన్ని నిర్మించడం అసంభవానికి సమానంగా ఉంటుంది.

2) స్ట్రెయిట్ ప్రిజమ్‌ను పరిగణించండి, దాని బేస్ దగ్గర ఒక వృత్తాన్ని వర్ణించవచ్చు. పాయింట్లు O మరియు O 1 అనేవి వరుసగా దిగువ మరియు ఎగువ స్థావరాలకు సమీపంలో ఉన్న వృత్తాల కేంద్రాలు. ప్రిజం నేరుగా ఉన్నందున, సరళ రేఖ OO 1 బేస్ యొక్క విమానాలకు లంబంగా ఉంటుంది.

అప్పుడు పక్క పక్కటెముకల మధ్యలో ప్రయాణిస్తున్న విమానం బేస్ యొక్క సమతలానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది మరియు OO 1 పాయింట్ S వద్ద - OO 1 మధ్యలో కలుస్తుంది. అప్పుడు ప్రిజం యొక్క అన్ని శీర్షాల నుండి వీల్‌బారో Sకి దూరం ఒకే విధంగా ఉంటుంది (నిర్మాణం ద్వారా), కాబట్టి, సాధారణ ప్రిజం చుట్టూ వివరించిన గోళానికి S అనేది కేంద్రం.

కాబట్టి, వంపుతిరిగిన ప్రిజం దగ్గర ఒక గోళాన్ని వర్ణించడం అసాధ్యమని మేము నమ్ముతున్నాము, కానీ నేరుగా ప్రిజం దగ్గర ఒక వృత్తాన్ని దాని బేస్ దగ్గర వివరించగలిగితే అది సాధ్యమవుతుంది.

సిద్ధాంతం 4. ఒక గోళాన్ని కత్తిరించిన పిరమిడ్ చుట్టూ వర్ణించవచ్చు మరియు వృత్తాలు దాని స్థావరాల చుట్టూ వర్ణించగలిగితే మరియు ఈ వృత్తాల కేంద్రాలను కలిపే సరళ రేఖ స్థావరాల సమతలానికి లంబంగా ఉంటే మాత్రమే..

మొదటి షరతు ఏమిటంటే, బహుభుజాల శీర్షాల నుండి సమాన దూరంలో ఉన్న స్థావరాల యొక్క HMT లంబాలు ఉనికిలో ఉంటాయి మరియు రెండవది - అవి ఏకీభవిస్తాయి, కాబట్టి, అన్ని శీర్షాల నుండి సమాన దూరంలో ఉండే పాయింట్ ఉంటుంది. కత్తిరించబడిన పిరమిడ్.

XV సిటీ ఓపెన్ కాన్ఫరెన్స్ ఆఫ్ స్టూడెంట్స్

"XXI శతాబ్దపు మేధావులు"

విభాగం: గణితం

ఒలింపియాడ్స్ మరియు యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్‌లో వివరించిన ప్రాంతం

కియావా అన్నా అనటోలెవ్నా

ఓరెన్‌బర్గ్ - 2008

1.2 స్కోప్ వివరించబడింది

1.2.1 ప్రాథమిక లక్షణాలు మరియు నిర్వచనాలు

1.2.2 పిరమిడ్ కలయిక

1.2.3 ప్రిజంతో కలయిక

1.2.4 సిలిండర్‌తో కలయిక

1.2.5 కోన్ తో కలయిక

2 ఒలింపియాడ్ టాస్క్‌ల ఉదాహరణలు

2.1 పిరమిడ్‌తో ఒలింపియాడ్ పనులకు ఉదాహరణలు

2.2 ప్రిజంతో ఒలింపియాడ్ టాస్క్‌ల ఉదాహరణలు

2.3 సిలిండర్‌తో ఒలింపియాడ్ పనులకు ఉదాహరణలు

2.4 కోన్‌తో ఒలింపియాడ్ పనులకు ఉదాహరణలు

3.3 సిలిండర్‌తో యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ టాస్క్‌ల ఉదాహరణలు

3.4 కోన్‌తో యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ టాస్క్‌ల ఉదాహరణలు

పరిచయం

బోర్డింగ్ లైసియం యొక్క వెబ్‌సైట్‌లో పాఠశాల పిల్లల కోసం గణిత పేజీని సృష్టించే ప్రాజెక్ట్‌లో భాగంగా ఈ పని నిర్వహించబడుతోంది మరియు "గణిత పద్ధతులు" విభాగంలో పోస్ట్ చేయబడుతుంది.

లక్ష్యంపని - ఒలింపియాడ్స్ మరియు యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌లో వివరించిన గోళంతో రేఖాగణిత సమస్యలను పరిష్కరించే పద్ధతికి అంకితమైన సూచన పుస్తకాన్ని రూపొందించడం.

ఈ లక్ష్యాన్ని సాధించడానికి, మేము ఈ క్రింది వాటిని పరిష్కరించాలి పనులు :

1) వివరించిన గోళం యొక్క భావనతో సుపరిచితం;

2) పిరమిడ్, ప్రిజం, సిలిండర్ మరియు కోన్‌తో వివరించిన గోళం యొక్క కలయికల లక్షణాలను అధ్యయనం చేయండి;

3) రేఖాగణిత సమస్యలలో, వివరించిన గోళం యొక్క ఉనికిని కలిగి ఉన్న వాటిని ఎంచుకోండి;

4) సేకరించిన పదార్థాన్ని విశ్లేషించండి, క్రమబద్ధీకరించండి మరియు వర్గీకరించండి;

5) స్వతంత్ర పరిష్కారం కోసం సమస్యల ఎంపిక చేయండి;

6) పరిశోధన ఫలితాన్ని నైరూప్య రూపంలో ప్రదర్శించండి.

ఆచరణాత్మక ప్రాముఖ్యత- మేము సిద్ధం చేసిన మెటీరియల్స్ పాఠశాల పిల్లలను ఒలింపియాడ్‌లు, యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ మరియు విశ్వవిద్యాలయంలో తదుపరి అధ్యయనాల కోసం సిద్ధం చేయడంలో ఉపయోగించవచ్చు.

1 గోళం మరియు బంతి

1.1 గోళం మరియు బంతి: ప్రాథమిక భావనలు మరియు నిర్వచనాలు

గోళముఅనేది ఒక నిర్దిష్ట బిందువు నుండి ఇచ్చిన దూరంలో ఉన్న ప్రదేశంలోని అన్ని బిందువులను కలిగి ఉన్న ఉపరితలం.

ఈ పాయింట్ అంటారు గోళం యొక్క కేంద్రం(చుక్క గురించిఅంజీర్లో. 1), మరియు ఈ దూరం గోళం యొక్క వ్యాసార్థం. కేంద్రాన్ని మరియు గోళంలోని ఏదైనా బిందువును కలిపే ఏదైనా సెగ్మెంట్‌ను గోళం యొక్క వ్యాసార్థం అని కూడా అంటారు. ఒక గోళంపై రెండు బిందువులను కలుపుతూ మరియు దాని కేంద్రం గుండా వెళ్ళే రేఖ విభాగాన్ని అంటారు గోళ వ్యాసం(పంక్తి విభాగం DCఅంజీర్లో. 1) దాని వ్యాసం చుట్టూ సెమిసర్కిల్‌ను తిప్పడం ద్వారా గోళాన్ని పొందవచ్చని గమనించండి.

బంతిఒక గోళం ద్వారా కట్టుబడి ఉన్న శరీరం అంటారు. గోళం యొక్క కేంద్రం, వ్యాసార్థం మరియు వ్యాసాన్ని కూడా అంటారు కేంద్రం , వ్యాసార్థంమరియు బంతి వ్యాసం. స్పష్టంగా, వ్యాసార్థం యొక్క బంతి ఆర్వద్ద కేంద్రీకృతమై ఉంది గురించిపాయింట్ నుండి ఉన్న స్పేస్‌లోని అన్ని పాయింట్లను కలిగి ఉంటుంది గురించిమించని దూరంలో ఆర్(పాయింట్‌తో సహా గురించి), మరియు ఇతర పాయింట్లను కలిగి ఉండదు. బంతిదాని వ్యాసం చుట్టూ సెమిసర్కిల్ యొక్క భ్రమణ సంఖ్య అని కూడా పిలుస్తారు. బాల్ సెగ్మెంట్- బంతిలో కొంత భాగం దాని నుండి కొంత విమానం ద్వారా కత్తిరించబడింది. ఒక విమానం ద్వారా బంతి యొక్క ప్రతి విభాగం ఒక వృత్తం. ఈ వృత్తం యొక్క కేంద్రం బంతి కేంద్రం నుండి కట్టింగ్ ప్లేన్‌పైకి గీసిన లంబంగా ఉంటుంది. బంతి మధ్యలో ప్రయాణిస్తున్న విమానం అంటారు డయామెట్రిక్ విమానం.డయామెట్రల్ ప్లేన్ ద్వారా బంతి యొక్క విభాగాన్ని అంటారు పెద్ద సర్కిల్, మరియు గోళం యొక్క విభాగం పెద్ద సర్కిల్. బాల్ సెక్టార్ -వృత్తాకార సెక్టార్‌ను పరిమితం చేసే రేడియాలలో ఒకదానిని కలిగి ఉన్న సరళ రేఖ చుట్టూ 90° కంటే తక్కువ కోణంతో వృత్తాకార సెక్టార్‌ను తిప్పడం ద్వారా పొందిన రేఖాగణిత శరీరం. గోళాకార రంగం ఒక గోళాకార విభాగం మరియు ఒక సాధారణ ఆధారంతో ఒక కోన్‌ను కలిగి ఉంటుంది.

గోళం యొక్క ఉపరితల వైశాల్యం:

ఎస్ = 4π ఆర్ 2 ,

ఎక్కడ ఆర్- బంతి వ్యాసార్థం, ఎస్- గోళం యొక్క ప్రాంతం.

గోళ పరిమాణం

ఎక్కడ వి- బంతి పరిమాణం

బాల్ సెక్టార్ వాల్యూమ్

వి – గోళాకార విభాగం యొక్క వాల్యూమ్.

సెగ్మెంటల్ ఉపరితల వైశాల్యం

- సెగ్మెంట్ ఎత్తు, సెగ్మెంటల్ ఉపరితల వైశాల్యం

సెగ్మెంట్ బేస్ వ్యాసార్థం

, - సెగ్మెంట్ బేస్ వ్యాసార్థం, - సెగ్మెంట్ ఎత్తు, 0<హెచ్ < 2ఆర్ .

బాల్ సెగ్మెంట్ యొక్క గోళాకార ఉపరితల వైశాల్యం

- గోళాకార విభాగం యొక్క గోళాకార ఉపరితలం యొక్క ప్రాంతం.

అంతరిక్షంలో, ఒక బంతి మరియు ఒక విమానం కోసం, మూడు కేసులు సాధ్యమే:

1) బంతి మధ్యలో నుండి విమానానికి దూరం బంతి వ్యాసార్థం కంటే ఎక్కువగా ఉంటే, అప్పుడు బంతి మరియు విమానం సాధారణ పాయింట్లను కలిగి ఉండవు.

2) బంతి మధ్యలో నుండి సమతలానికి ఉన్న దూరం బంతి వ్యాసార్థానికి సమానం అయితే, ఆ విమానం బంతి మరియు గోళాన్ని బంధించే ఒక సాధారణ బిందువును మాత్రమే కలిగి ఉంటుంది.

3) బంతి మధ్యలో నుండి విమానానికి దూరం బంతి వ్యాసార్థం కంటే తక్కువగా ఉంటే, అప్పుడు విమానంతో బంతిని ఖండన ఒక వృత్తం. ఈ వృత్తం యొక్క కేంద్రం అనేది ఒక నిర్దిష్ట విమానంలో బంతి యొక్క కేంద్రం యొక్క ప్రొజెక్షన్. గోళంతో ఉన్న విమానం యొక్క ఖండన పేర్కొన్న వృత్తం యొక్క చుట్టుకొలత.

1.2 వర్ణించిన గోళం

1.2.1 నిర్వచనాలు మరియు లక్షణాలు

గోళం అంటారు పాలిహెడ్రాన్ చుట్టూ వివరించబడింది(మరియు పాలిహెడ్రాన్ గోళంలో చేర్చబడింది), పాలిహెడ్రాన్ యొక్క అన్ని శీర్షాలు గోళంపై ఉంటే.

వివరించిన గోళం యొక్క నిర్వచనం నుండి రెండు వాస్తవాలు అనుసరించబడతాయి:

1) ఒక గోళంలో లిఖించబడిన పాలిహెడ్రాన్ యొక్క అన్ని శీర్షాలు ఒక నిర్దిష్ట బిందువు నుండి (పరివేష్టిత గోళం యొక్క కేంద్రం నుండి) సమాన దూరంలో ఉంటాయి;

2) ఒక గోళంలో చెక్కబడిన బహుభుజి యొక్క ప్రతి ముఖం ఒక నిర్దిష్ట వృత్తంలో చెక్కబడిన బహుభుజి, ఖచ్చితంగా ముఖం యొక్క విమానం ద్వారా గోళం యొక్క విభాగంలో పొందబడిన వృత్తంలో; ఈ సందర్భంలో, ముఖాల సమతలంలో చుట్టుముట్టబడిన గోళం యొక్క కేంద్రం నుండి తగ్గించబడిన లంబాల ఆధారం ముఖాల చుట్టూ చుట్టబడిన వృత్తాల కేంద్రాలు.

సిద్ధాంతం 1 . కింది షరతుల్లో ఏవైనా కలిసినట్లయితే మరియు మాత్రమే పాలిహెడ్రాన్ చుట్టూ ఒక గోళాన్ని వివరించవచ్చు:

a) బహుభుజి యొక్క ఏదైనా ముఖం చుట్టూ ఒక వృత్తాన్ని వర్ణించవచ్చు మరియు పాలిహెడ్రాన్ ముఖాల చుట్టూ వివరించిన వృత్తాల అక్షాలు ఒక బిందువు వద్ద కలుస్తాయి;

బి) పాలీహెడ్రాన్ యొక్క అంచులకు లంబంగా మరియు వాటి మధ్య బిందువుల గుండా వెళుతున్న విమానాలు ఒక బిందువు వద్ద కలుస్తాయి;

c) పాలీహెడ్రాన్ యొక్క అన్ని శీర్షాల నుండి సమాన దూరంలో ఒకే పాయింట్ ఉంది.

రుజువు.

ఆవశ్యకత.పాలిహెడ్రాన్ చుట్టూ ఒక గోళాన్ని వివరించండి. షరతు ఎ) సంతృప్తికరంగా ఉందని నిరూపిద్దాం. నిజమే, పాలిహెడ్రాన్ యొక్క ఇచ్చిన ముఖం యొక్క విమానం ఒక వృత్తం వెంట ఒక గోళాన్ని కలుస్తుంది కాబట్టి, గోళానికి చెందిన ముఖం యొక్క శీర్షాలు మరియు ముఖం యొక్క విమానం వాటి ఖండన రేఖకు చెందినవి - వృత్తం. గోళం యొక్క కేంద్రం ఇచ్చిన ముఖం యొక్క అన్ని శీర్షాల నుండి సమాన దూరంలో ఉన్నందున, ఇది ముఖం చుట్టూ ఉన్న వృత్తం మధ్యలో గీసిన ఈ ముఖానికి లంబంగా ఉంటుంది.

సమర్ధత.షరతు ఎ) సంతృప్తి చెందనివ్వండి. పాలిహెడ్రాన్ చుట్టూ ఒక గోళాన్ని వర్ణించవచ్చని నిరూపిద్దాం. వాస్తవానికి, ముఖాల చుట్టూ ఉన్న వృత్తాల కేంద్రాల ద్వారా గీసిన ముఖాలకు లంబంగా ఉండే సాధారణ బిందువు బహుభుజి యొక్క అన్ని శీర్షాల నుండి సమాన దూరంలో ఉన్నందున, ఈ బిందువులో కేంద్రంతో ఒక గోళం పాలిహెడ్రాన్ చుట్టూ వివరించబడింది.

షరతు ఎ) ఈ సందర్భంలో షరతులకు సమానం బి) మరియు సి).

ఒక గోళం పాలీహెడ్రాన్ చుట్టూ చుట్టబడి ఉంటే, అప్పుడు: a) గోళం మధ్యలో నుండి ఏ ముఖానికైనా పడిపోయిన లంబంగా ఉండే ఆధారం ఈ ముఖం చుట్టూ చుట్టబడిన వృత్తం యొక్క కేంద్రం (సమానంగా ఉన్న పిరమిడ్ ఎత్తు యొక్క బేస్ లాగా పార్శ్వ అంచులు - దాని కేంద్రం నుండి ఇచ్చిన ముఖం యొక్క శీర్షాల వరకు గీసిన గోళం యొక్క వ్యాసార్థం ); బి) పాలిహెడ్రాన్ చుట్టూ ఉన్న ఒక గోళం యొక్క కేంద్రం దాని ఉపరితలంపై (ఒక ముఖం చుట్టూ చుట్టుముట్టబడిన వృత్తం మధ్యలో, ప్రత్యేకించి, కొంత అంచు మధ్యలో), పాలిహెడ్రాన్ వెలుపల ఉంటుంది.

1.2.2 చుట్టుముట్టబడిన గోళం మరియు పిరమిడ్

సిద్ధాంతం 2 . ఒక గోళాన్ని పిరమిడ్ చుట్టూ వర్ణించవచ్చు మరియు ఒక వృత్తాన్ని దాని పునాది చుట్టూ వివరించగలిగితే మాత్రమే.

రుజువు.పిరమిడ్ బేస్ చుట్టూ ఒక వృత్తాన్ని వివరించండి. అప్పుడు ఈ వృత్తం మరియు ఈ వృత్తం యొక్క విమానం వెలుపల ఒక బిందువు - పిరమిడ్ యొక్క పైభాగం - పిరమిడ్ చుట్టూ చుట్టుముట్టబడిన ఒకే గోళాన్ని నిర్వచిస్తుంది. మరియు తిరిగి. ఒక గోళం పిరమిడ్ చుట్టూ చుట్టుముట్టబడి ఉంటే, పిరమిడ్ యొక్క బేస్ యొక్క విమానం ద్వారా గోళం యొక్క విభాగం బేస్ చుట్టూ చుట్టుముట్టబడిన వృత్తం.

పరిణామం 1.ఏదైనా టెట్రాహెడ్రాన్ చుట్టూ ఒక గోళాన్ని వర్ణించవచ్చు.

పరిణామం 2.ఏదైనా సాధారణ పిరమిడ్ చుట్టూ ఒక గోళాన్ని వివరించవచ్చు, దీని కేంద్రం పిరమిడ్ లేదా దాని పొడిగింపు ఎత్తులో ఉంటుంది.

పిరమిడ్ సమీపంలో వివరించిన గోళం యొక్క కేంద్రం ఇలా ఉండవచ్చు:

· దాని బేస్ యొక్క విమానం యొక్క ఒక వైపున పిరమిడ్ పైభాగంతో - పిరమిడ్ లోపల, సైడ్ ఫేస్ యొక్క విమానంలో (ఈ ముఖం చుట్టూ వివరించిన సర్కిల్ మధ్యలో), పిరమిడ్ వెలుపల;

· బేస్ యొక్క విమానంలో - బేస్ సమీపంలో వివరించిన సర్కిల్ మధ్యలో;

· పిరమిడ్ పైభాగంలో దాని బేస్ యొక్క విమానం ఎదురుగా ఉంటుంది.

సిద్ధాంతం 3 . పిరమిడ్ యొక్క పార్శ్వ అంచులు దాని బేస్ యొక్క సమతలానికి సమానంగా వంపుతిరిగి ఉంటే, అప్పుడు పిరమిడ్ చుట్టూ ఒక గోళాన్ని వర్ణించవచ్చు.

రుజువు.పార్శ్వ అంచులు పిరమిడ్ యొక్క బేస్ యొక్క సమతలానికి సమానంగా వంపుతిరిగినందున, పిరమిడ్ యొక్క బేస్ సమీపంలో ఒక వృత్తాన్ని వర్ణించవచ్చు, ఆపై పిరమిడ్ సమీపంలో ఒక గోళాన్ని వర్ణించవచ్చు.

ఈ సిద్ధాంతాన్ని విభిన్నంగా రూపొందించవచ్చు: పిరమిడ్‌కు సమాన పార్శ్వ అంచులు ఉంటే, పిరమిడ్ చుట్టూ ఒక గోళాన్ని వర్ణించవచ్చు.

సంభాషణ సిద్ధాంతం ఇది సత్యం కాదు

సిద్ధాంతం 4. పిరమిడ్ సమీపంలో బంతిని వివరించినట్లయితే, దాని కేంద్రం ఈ అంచులకు లంబంగా పిరమిడ్ అంచుల మధ్య బిందువుల ద్వారా గీసిన అన్ని విమానాల ఖండన స్థానం.

రుజువు.వాస్తవానికి, ఒక అంచుకు ఆనుకుని ఉన్న పిరమిడ్ యొక్క రెండు శీర్షాల నుండి సమాన దూరంలో ఉన్న ఏదైనా బిందువు దాని మధ్యలో పిరమిడ్ యొక్క ఈ అంచుకు లంబంగా గీసిన విమానంలో ఉంటుంది. అందువల్ల, చుట్టుముట్టబడిన బంతి యొక్క కేంద్రం, పిరమిడ్ యొక్క అన్ని శీర్షాల నుండి సమాన దూరంలో ఉండి, అటువంటి ప్రతి విమానంలో ఉండాలి, అనగా. ఇది అన్ని విమానాల ఖండన స్థానం. డ్రాయింగ్ చేసేటప్పుడు, పాఠశాల పిల్లలు తరచుగా వివరించిన బంతిని యాదృచ్ఛికంగా ఉంచుతారు, ఇచ్చిన ప్రాదేశిక కాన్ఫిగరేషన్‌ను తగినంతగా ఊహించకుండా, మరియు ముఖ్యంగా ఈ కేంద్రం యొక్క స్థానం గురించి ఎటువంటి తార్కికం లేకుండా. ఈ సందర్భంలో, ఒక నియమం వలె, కేంద్రం పిరమిడ్ లోపల ఉంచబడుతుంది. ఇంతలో, వివరించిన బంతి మధ్యలో పిరమిడ్ లోపల, వెలుపల లేదా ఉపరితలంపై ఉంటుంది (పిరమిడ్ యొక్క నిర్దిష్ట రకాన్ని బట్టి).

సిద్ధాంతం 5 . కింది షరతుల్లో ఏవైనా కలిసినట్లయితే మరియు మాత్రమే కత్తిరించబడిన పిరమిడ్ చుట్టూ ఒక గోళాన్ని వివరించవచ్చు:

a) పిరమిడ్ యొక్క స్థావరాల దగ్గర వృత్తాలు వివరించబడ్డాయి, వాటి కేంద్రాల రేఖ వాటి విమానాలకు లంబంగా ఉంటుంది;

బి) పిరమిడ్ యొక్క అన్ని పార్శ్వ అంచులు బేస్‌లలో ఒకదాని యొక్క సమతలానికి సమానంగా వంపుతిరిగి ఉంటాయి;

సి) పిరమిడ్ యొక్క అన్ని పార్శ్వ అంచులు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటాయి;

d) పిరమిడ్ యొక్క అన్ని పార్శ్వ ముఖాలు సమబాహు ట్రాపెజాయిడ్‌లు.

రుజువు.ఇచ్చిన కత్తిరించబడిన పిరమిడ్ యొక్క స్థావరాలకు సమీపంలో సర్కిల్‌లను వివరించవచ్చని అనుకుందాం మరియు ఈ సర్కిల్‌ల విమానాలు వాటి కేంద్రాల రేఖకు లంబంగా ఉంటాయి. అప్పుడు, తెలిసినట్లుగా, అటువంటి రెండు వృత్తాలు ఒకే గోళాన్ని నిర్వచించాయి, ఇవి ఈ పిరమిడ్ చుట్టూ చుట్టుముట్టబడతాయి.

దానికి విరుద్ధంగా, ఇచ్చిన కత్తిరించబడిన పిరమిడ్ చుట్టూ ఒక గోళం వివరించబడిందని అనుకుందాం. అప్పుడు పిరమిడ్ యొక్క స్థావరాల యొక్క విమానాల ద్వారా గోళం యొక్క విభాగాలు స్థావరాల చుట్టూ వివరించబడిన వృత్తాలుగా ఉంటాయి. ఇంకా. పిరమిడ్ యొక్క స్థావరాల యొక్క విమానాలకు లంబంగా మరియు గోళం యొక్క కేంద్రం గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ స్థావరాల చుట్టూ వివరించిన వృత్తాల కేంద్రాల గుండా వెళుతుంది.

పరిస్థితి a) షరతులకు సమానం బి), సి), డి).

పర్యవసానం.ఏదైనా సాధారణ కత్తిరించబడిన పిరమిడ్ చుట్టూ ఒక గోళాన్ని వివరించవచ్చు.

1.2.3 వృత్తాకార గోళం మరియు ప్రిజం

సిద్ధాంతం 6. ప్రిజం నిటారుగా ఉండి, దాని ఆధారం చుట్టూ ఒక వృత్తాన్ని వివరించగలిగితే మాత్రమే ఒక గోళాన్ని ప్రిజం చుట్టూ వర్ణించవచ్చు.

రుజువు.

ఆవశ్యకత.ఒక గోళంలో ప్రిజం చెక్కబడి ఉంటే, దాని ప్రతి ముఖం ఒక వృత్తంలో చెక్కబడి ఉంటుంది - ఈ ముఖం యొక్క విమానం ద్వారా గోళంలోని ఒక విభాగం. దీనర్థం ఒక వృత్తాన్ని ప్రిజం యొక్క బేస్ దగ్గర వర్ణించవచ్చు మరియు ప్రిజం యొక్క అన్ని పార్శ్వ ముఖాలు వృత్తాలలో చెక్కబడిన సమాంతర చతుర్భుజాల వలె ఉంటాయి - దీర్ఘచతురస్రాలు మరియు అందువల్ల ప్రిజం నేరుగా ఉంటుంది.

సమర్ధత.ప్రిజం నిటారుగా ఉండనివ్వండి మరియు దాని బేస్ చుట్టూ ఒక వృత్తం వివరించబడింది. అప్పుడు ప్రిజం యొక్క స్థావరాల చుట్టూ చుట్టుముట్టబడిన వృత్తాలు, వాటి కేంద్రాల రేఖకు లంబంగా ఉండే విమానాలు, ఒకే గోళాన్ని నిర్వచించాయి, ఇవి ప్రిజం చుట్టూ చుట్టుముట్టబడతాయి.

పరిణామాలు:

ఎ) ఏదైనా సాధారణ ప్రిజం చుట్టూ ఒక గోళాన్ని వర్ణించవచ్చు;

బి) ఏదైనా కుడి త్రిభుజాకార ప్రిజం చుట్టూ ఒక గోళాన్ని వర్ణించవచ్చు;

c) ఏదైనా దీర్ఘచతురస్రాకార సమాంతర గొట్టం చుట్టూ ఒక గోళాన్ని వివరించవచ్చు;

ప్రిజం చుట్టూ ఉన్న గోళం యొక్క కేంద్రం ప్రిజం యొక్క స్థావరాల విమానాల నుండి సమాన దూరంలో ఉంటుంది మరియు ప్రిజం లోపల, దాని వైపు ముఖం (ముఖం గురించి వివరించిన వృత్తం మధ్యలో), ప్రిజం వెలుపల ఉంటుంది.

1.2.4 చుట్టుముట్టబడిన గోళం మరియు సిలిండర్

గోళం అంటారు సిలిండర్ గురించి వివరించబడింది, సిలిండర్ యొక్క స్థావరాల యొక్క వృత్తాలు దానిపై పడినట్లయితే (Fig. 4). మీరు ఎల్లప్పుడూ సిలిండర్ చుట్టూ ఉన్న గోళాన్ని వివరించవచ్చు.

1.2.5 చుట్టుముట్టబడిన గోళం మరియు కోన్

గోళం అంటారు కోన్ చుట్టూ వివరించబడింది, కోన్ యొక్క ఆధారం యొక్క శీర్షం మరియు వృత్తం దానిపై ఉంటే (Fig. 5). కోన్ చుట్టూ ఉన్న గోళాన్ని వివరించడం ఎల్లప్పుడూ సాధ్యపడుతుంది; దాని వ్యాసార్థం కోన్ యొక్క అక్షసంబంధ విభాగం చుట్టూ వివరించిన వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థానికి సమానంగా ఉంటుంది. కత్తిరించబడిన కోన్ అంటారు లిఖించబడిందిబంతి ఉపరితలంపై దాని స్థావరాలు ఉంటే బంతిలోకి.

2 ఒలింపియాడ్ టాస్క్‌ల ఉదాహరణలు

2.1 పిరమిడ్‌తో ఒలింపియాడ్ పనులకు ఉదాహరణలు

ఉదాహరణ 1. త్రిభుజాకార పిరమిడ్‌లో ఎస్ ABC అంచు BC అనేది a, AB=AC, అంచుకు సమానం ఎస్ మరియు ABC పిరమిడ్ యొక్క ఆధారానికి లంబంగా, అంచున ఉన్న డైహెడ్రల్ కోణం ఎస్ A కి సమానం 2α , మరియు అంచు వద్ద BC సమానంగా ఉంటుంది β (Fig. 6) . చుట్టుముట్టబడిన గోళం యొక్క వ్యాసార్థాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం.పిరమిడ్‌ను పరిగణించండి ఎస్ ABC,ఇది సమస్య ప్రకటనలో చర్చించబడింది. అంచు నుండి ఎస్.ఎ.బేస్ యొక్క విమానానికి లంబంగా, అప్పుడు

VA ఎస్ = CAS= 90°, అందువలన కోణం మీరుఖచ్చితంగా అంచు వద్ద డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క సరళ కోణం ఎస్.ఎ.. అందువలన, పిరమిడ్ యొక్క బేస్ వద్ద 2 కోణంతో సమద్విబాహు త్రిభుజం ఉంటుంది α ఎగువన, మరియు పిరమిడ్ యొక్క ఎత్తు అంచుతో సమానంగా ఉంటుంది ఎస్ ఎ.

పార్శ్వ పక్కటెముకల అంచనాల నుండి ఎస్.బి.మరియు ఎస్ తోబేస్ యొక్క విమానంలో సమానంగా ఉంటాయి, అప్పుడు ఈ అంచులు సమానంగా ఉంటాయి. అందువలన అంచు IN ఎస్ తో- ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజం, మరియు దాని ఎత్తు శీర్షం నుండి తగ్గించబడింది ఎస్, మధ్యలోకి వస్తుంది TOపక్కటెముకలు సూర్యుడు.మూడు లంబాల సిద్ధాంతం ద్వారా ఎకె- త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు మీరు.దీన్ని బట్టి ఆ కోణం స్పష్టంగా కనిపిస్తోంది ఎస్ CA- అంచు వద్ద డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క సరళ కోణం సూర్యుడు,అనగా

ఎస్ CA = β .

చుట్టుముట్టబడిన బంతి యొక్క కేంద్రం రేఖ యొక్క ఖండన వద్ద ఉంటుంది ఎల్, విమానానికి లంబంగా IN ఎస్ తోమరియు త్రిభుజం చుట్టూ ఉన్న వృత్తం మధ్యలో గుండా వెళుతుంది IN ఎస్ తో,ఒక విమానం అంచు మధ్యలో గుండా వెళుతుంది ఎ ఎస్దానికి లంబంగా. నేరుగా ఎల్ఒక విమానంలో ఉంది ఎ ఎస్ కు:నిజానికి, విమానం IN ఎస్ తోసరళ రేఖ గుండా వెళుతుంది సూర్యుడు,విమానానికి లంబంగా ఎ ఎస్ TO, అంటే విమానాలు IN ఎస్ తోమరియు ఎ ఎస్ TOలంబంగా; అదే సమయంలో నేరుగా ఎల్విమానానికి లంబంగా IN ఎస్ తోమరియు ఈ విమానాల ఖండన రేఖ గుండా వెళుతుంది, తద్వారా ఇది విమానంలో ఉంటుంది ఎ ఎస్ TO .

కాబట్టి, బంతి మధ్యలో విమానంలో ఉంటుంది ఎ ఎస్ TO. ఈ విమానాన్ని ప్రత్యేక డ్రాయింగ్‌కి తీసుకెళ్దాం. బాల్ సెంటర్ గురించిఅప్పుడు లైన్ యొక్క ఖండన వద్ద ఉంటాయి ఎల్మరియు నేరుగా m, లంబంగా ఎ ఎస్మరియు దాని మధ్య గుండా వెళుతుంది. కానీ, సాధారణంగా చెప్పాలంటే, మూడు అవకాశాలు తమను తాము ప్రదర్శించవచ్చు: ప్రత్యక్షంగా ఎల్మరియు టిత్రిభుజం లోపల లేదా వెలుపల కలుస్తాయి ఎ ఎస్ TOలేదా అతని వైపు, మరియు మేము ఈ అన్ని అవకాశాలను పరిగణించాలి (అంజీర్ 7, 8, 9 చూడండి). క్రింద, లెక్కల సమయంలో, వాటిలో రెండు వాస్తవానికి అమలు చేయబడలేదని మేము చూపుతాము. మేము వ్యాసార్థంలో ఆసక్తి కలిగి ఉన్నాము ఆర్చుట్టుముట్టబడిన బంతి, అనగా. పాయింట్ నుండి దూరం గురించి- లంబాల ఖండన యొక్క పాయింట్లు టిమరియు ఎల్కోణం వైపులా TO ఎస్ ఎ- విషయానికి ఎస్, ఈ కోణం యొక్క శీర్షాలు. అన్నింటిలో మొదటిది, కనుగొనండి క్ర.సం- వైపుకు అవసరమైన దూరం యొక్క ప్రొజెక్షన్ ఎస్.కె.త్రిభుజం KAS. త్రిభుజంలో నుండి ఎకె బి(Fig. 6) మేము లెగ్ తెలుసు VK =

ఎమరియు కోణం KAV = α,ఆ AK= ఎ ctg α .

ఎస్.కె. =

ఎందుకంటే ఎల్- త్రిభుజం గురించి కేంద్రం వివరించబడింది IN ఎస్ తోసర్కిల్‌లు, ఆపై ఎల్.ఎస్. = ఎల్ IN, a ఎందుకంటే త్రిభుజం నుండి VC ఎల్మేము దానిని కనుగొంటాము ( ఎస్ టు- క్ర.సం ) 2 +HF 2 = బి ఎల్ 2 , అనగా

సెగ్మెంట్ యొక్క లెక్కలు అని పేర్కొంది క్ర.సంకేంద్రం యొక్క స్థానంపై ఏ విధంగానూ ఆధారపడలేదు గురించివివరించిన బంతి, అంజీర్‌కి తిరిగి వెళ్దాం. 7, 8, 9. ద్వారా సూచిస్తాం ఎన్రేఖ యొక్క ఖండన స్థానం mవైపు తో ఎస్ TO.సూటిగా స్పష్టంగా ఉంది ఎల్మరియు టికలుస్తాయి బయటత్రిభుజం CA ఎస్ , ఉంటే SN <క్ర.సం(Fig. 8); ఉంటే ఎస్ N> క్ర.సం , అప్పుడు పాయింట్ గురించిఈ త్రిభుజం లోపల ఉంది (Fig. 7); చివరగా, ఉంటే SN = క్ర.సం , అప్పుడు పాయింట్ గురించివైపు పడి ఉంది ఎస్ TOఈ త్రిభుజం (Fig. 9). ఈ నిబంధనలలో ఏది వాస్తవంగా జరుగుతుందో తెలుసుకుందాం.

ఎందుకంటే MN CA ఎస్ , ఆ SN =

ఎస్ TO. విభాగాల పొడవులను పోల్చడం SNమరియు క్ర.సం, మనం దేనికైనా సులభంగా నిరూపించగలము a, αమరియు

(జ్యామితీయ పరిశీలనల నుండి అది అనుసరిస్తుంది ఎ> 0.0°<

< 90° మరియు 0°< β < 90°). Следовательно, каковы бы ни были размеры ఎ , α మరియు β పిరమిడ్లు ఎస్ ABC,కేంద్రం గురించిచుట్టుపక్కల ఉన్న బంతి ఎల్లప్పుడూ పిరమిడ్ వెలుపల ఉంటుంది. దీని అర్థం మనం విమానంలో తీసుకున్న ఫ్లాట్ కాన్ఫిగరేషన్ CA ఎస్మూర్తి 8లో చూపిన రూపాన్ని మాత్రమే కలిగి ఉంటుంది; అంజీర్‌లో చూపిన స్థానాలు. 7 మరియు 9 వాస్తవానికి జరగవు. అంజీర్ చూడటం. 8, మనం సులభంగా = అని చూపవచ్చు β , ఇందుమూలంగా L.O. = NL tg β = (క్ర.సం -ఎస్ N) tg β. పైన పొందిన వ్యక్తీకరణలను ఇక్కడ భర్తీ చేయడం క్ర.సంమరియు ఎస్ ఎన్, మేము స్పష్టమైన లెక్కల తర్వాత పొందుతాము:

ఎల్ O =

ఎ tg α పాపం β .

చివరగా, లంబ త్రిభుజం నుండి గురించి ఎల్.ఎస్.మేము కనుగొంటాము

= .

మనం చూడగలిగినట్లుగా, సమస్యలోని గణనలు సరళమైనవిగా మారాయి - పరిష్కారం యొక్క ప్రధాన కష్టం చుట్టుపక్కల బంతి యొక్క కేంద్రం యొక్క స్థానాన్ని స్థాపించే తార్కికంలో ఉంది.

సమాధానం: ఆర్ =

ఉదాహరణ 2. ఒక సాధారణ త్రిభుజాకార పిరమిడ్ శిఖరం వద్ద ఫ్లాట్ యాంగిల్  వ్యాసార్థం R బంతిలో చెక్కబడి ఉంటుంది. పిరమిడ్ పరిమాణం, అలాగే సూచించిన పిరమిడ్ చుట్టూ వివరించిన కోన్ యొక్క పార్శ్వ ఉపరితలం కనుగొనండి .

పరిష్కారం.పిరమిడ్ బేస్ వైపు ఉండనివ్వండి a, ఈ పిరమిడ్ చుట్టూ వివరించిన కోన్ యొక్క బేస్ యొక్క వ్యాసార్థం సమానంగా ఉంటుంది ఆర్, అప్పుడు

(Fig. 10). పిరమిడ్ ముఖాలు సమద్విబాహు త్రిభుజాలు. అప్పుడు DK- ఎత్తు, మధ్యస్థ మరియు ద్విభాగము  ABD. లంబ త్రిభుజం నుండి ADKమన దగ్గర ఉంది. లంబ త్రిభుజం నుండి పిరమిడ్ ఎత్తును కనుగొనండి AOD : ,

DM- బంతి వ్యాసం. అప్పుడు వ్యాసం గుండా బంతిని విభాగంలో DMమరియు కాలం ఎ, మనకు లంబ త్రిభుజం వస్తుంది AMD. మేము కలిగి ఉన్న లంబకోణ త్రిభుజంలో మెట్రిక్ సంబంధాల నుండి

ఎక్కడ

అప్పుడు మేము సూత్రాన్ని ఉపయోగించి బేస్ యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొంటాము:

మరియు సూత్రం నుండి

పిరమిడ్ వాల్యూమ్‌ను కనుగొనండి: .

అంచు క్రీ.శనిర్వచనం ప్రకారం, చుట్టుముట్టబడిన కోన్ దాని జెనరాట్రిక్స్. అప్పుడు మేము సూత్రాన్ని ఉపయోగించి చుట్టుముట్టబడిన కోన్ యొక్క పార్శ్వ ఉపరితలాన్ని కనుగొంటాము ఎస్వైపు =  ఆర్ ఎల్ :

సమాధానం:

;

ఉదాహరణ 3. పిరమిడ్ యొక్క బేస్ వద్ద a వైపు ఒక చతురస్రం ఉంటుంది. పిరమిడ్ యొక్క ఎత్తు బేస్ యొక్క అంచులలో ఒకదాని మధ్యలో గుండా వెళుతుంది మరియు సమానంగా ఉంటుంది

. పిరమిడ్ చుట్టూ ఉన్న గోళం యొక్క వ్యాసార్థాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం.ఈ సమస్యను పరిష్కరించేటప్పుడు ఒక సాధారణ తప్పు ఏమిటంటే, వివరించిన గోళం యొక్క కేంద్రం అంచున ఉందని ప్రకటన SBC(Fig. 11). వాస్తవానికి పాయింట్ యొక్క స్థానం గురించిఅంచుకు కనెక్ట్ చేయబడలేదు SBC.

పాయింట్ యొక్క సమాన దూరం కారణంగా గురించిటాప్స్ నుండి S, A, B, C, Dదానిని అనుసరిస్తుంది OABCD- సాధారణ చతుర్భుజ పిరమిడ్. అందువలన, అంచుకు ఎ బి సి డిచుక్క గురించిఒక పాయింట్ వరకు అంచనా వేయబడింది ఎం- వికర్ణాల ఖండన స్థానం. త్రిభుజం ఎ.ఎస్.డి.సమద్విబాహు, అప్పుడు పిరమిడ్ ఎత్తు ఎస్.కె.త్రిభుజం యొక్క మధ్యస్థం ఎ.ఎస్.డి. ,

. లంబ త్రిభుజం నుండి ఎస్.ఎ.కె.మేము కనుగొంటాము ఎస్.ఎ. :

కాబట్టి త్రిభుజం విచారంగా.- సమబాహు మరియు OASD- సాధారణ త్రిభుజాకార పిరమిడ్. అప్పుడు పాయింట్ గురించిఅంచుకు అంచనా వేయబడింది విచారంగా.త్రిభుజం మధ్యలో విచారంగా.. ఇక్కడనుంచి

త్రిభుజం నుండి కొడుకుఅవసరమైన వ్యాసార్థాన్ని కనుగొనండి SO,

సమాధానం:

ఉదాహరణ 4. వ్యాసార్థం ఉన్న బంతికి ఆర్ ఒక సాధారణ షట్కోణ కత్తిరించబడిన పిరమిడ్ చెక్కబడి ఉంటుంది, దీనిలో దిగువ బేస్ యొక్క విమానం బంతి మధ్యలో వెళుతుంది మరియు ప్రక్క అంచు బేస్ యొక్క విమానంతో 60 కోణాన్ని చేస్తుంది

. పిరమిడ్ యొక్క పరిమాణాన్ని నిర్ణయించండి.

పరిష్కారం.షరతు ప్రకారం,

OAA 1 = 60 (Fig. 12); అంటే, గురించి 1 ఓ ఏ 1 =30 మరియు ఎ 1 గురించి 1 = ఎ 1 O = ,O.O 1 = .

ఎస్దిగువ బేస్ = 6

, ఎస్టాప్ ప్రాథమిక = తక్కువ ప్రాథమిక .

చివరకు మనకు లభిస్తుంది

సమాధానం:

2.2 ప్రిజంతో ఒలింపియాడ్ టాస్క్‌ల ఉదాహరణలు

ఉదాహరణ 1. వాల్యూమ్ సమానంగా ఉండే బంతిలోకి వి , కుడి త్రిభుజాకార ప్రిజం చెక్కబడి ఉంటుంది. ప్రిజం యొక్క ఆధారం తీవ్రమైన కోణంతో కూడిన లంబ త్రిభుజం

, మరియు దాని అతిపెద్ద వైపు ముఖం ఒక చతురస్రం. ప్రిజం వాల్యూమ్‌ను కనుగొనండి.

పరిష్కారం.మొదట, మేము ప్రిజంకు సంబంధించి బంతి కేంద్రం యొక్క స్థానాన్ని నిర్ణయిస్తాము. ప్రిజం యొక్క స్థావరాల యొక్క విమానాల ద్వారా బంతి యొక్క విభాగాలు ఈ స్థావరాలు చెక్కబడిన వృత్తాలు (Fig. 13), మరియు ప్రిజం యొక్క స్థావరాలు సమానంగా ఉన్నందున, విభాగాల వృత్తాలు సమానంగా ఉంటాయి మరియు సమానంగా ఉంటాయి. బంతి మధ్యలో. ప్రతి కేంద్రాలు గురించి 1 మరియు గురించి 2 సంబంధిత హైపోటెన్యూస్ మధ్యలో సమానంగా ఉంటుంది.

ఒక విమానం ద్వారా బంతి యొక్క విభాగాల లక్షణాల నుండి, బంతి మధ్యలో నుండి లంబంగా గీసినట్లు తెలుస్తుంది. గురించిక్రాస్ సెక్షనల్ సర్కిల్ యొక్క విమానం, ఈ సర్కిల్ మధ్యలో వెళుతుంది. అందుకే, గురించి 1 గురించి

విమానం ABC.నేరుగా గురించి 1 గురించికూడా గుండా వెళుతుంది ఓ 2 మరియు సమతలానికి లంబంగా ఉంటుంది. ఆ విధంగా, బంతి కేంద్రం సెగ్మెంట్ మధ్యలో ముఖంపై ఉంటుంది. ఓ 1 ఓ. ప్రిజం యొక్క అన్ని పార్శ్వ ముఖాలు దీర్ఘ చతురస్రాలు, మరియు ముఖం - వాటిలో గొప్పది (నుండి AB -ఒక త్రిభుజం యొక్క హైపోటెన్యూస్ ఎ సూర్యుడు) ఈ ముఖం సంప్రదాయం ప్రకారం చతురస్రం. ముఖం యొక్క విమానం ద్వారా బంతి యొక్క విభాగం బంతి యొక్క పెద్ద వృత్తం, కాబట్టి అంజీర్లో చూపిన వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం. 14, బంతి వ్యాసార్థానికి సమానం ఆర్ . ప్రిజం యొక్క ఎత్తు గమనించండి AA 1 = a 4 = . ఇప్పుడు మిగిలి ఉన్నది బేస్ యొక్క ప్రాంతాన్ని కనుగొనడం:

ఎస్ ఎ బి తో =

. నుండి (Fig. 15)

మన దగ్గర ఉంది AC = AB

, అంటే,

ఎస్ ఎ బి తో =

ఇప్పుడు మనం పొందుతాము:

విబహుమతి.

షరతు ప్రకారం,

ఆర్ 3 = వి ,

ఎక్కడ ఆర్ 3 =

,అందుకే,

విబహుమతి.

సమాధానం: విబహుమతి.

ఉదాహరణ 2. గోళం యొక్క ఉపరితలం మరియు ఘనపరిమాణం యొక్క నిష్పత్తిని వరుసగా, చెక్కబడిన క్యూబ్ యొక్క ఉపరితలం మరియు వాల్యూమ్‌కు కనుగొనండి

పరిష్కారం.బంతి వ్యాసార్థం ఉండనివ్వండి ఆర్ , క్యూబ్ యొక్క అంచు సమానంగా ఉంటుంది A;

అప్పుడు ఆర్ 2 -

, ఎక్కడ a= .

ఒక గోళం మరియు ఘనపు ఘనాల యొక్క వాల్యూమ్‌లు మరియు ఉపరితలాలను వరుసగా ద్వారా సూచిస్తాము వి 1 , వి 2 , మరియు ఎస్ 1 , ఎస్ 2 .

, వి 2 = = , ఎస్ 1 =4, ఎస్ 2 = 6ఎ 2 =8ఆర్ 2 , వి 2 = , ఎస్ 1 ఎస్ 2 = .

సమాధానం: వి 1

వి 2 = , ఎస్ 1 ఎస్ 2 = .

2.3 సిలిండర్‌తో ఒలింపియాడ్ పనులకు ఉదాహరణలు

ఉదాహరణ. ఈ గోళంలో లిఖించబడిన కుడి వృత్తాకార సిలిండర్ వాల్యూమ్‌కు గోళం యొక్క వాల్యూమ్ యొక్క నిష్పత్తిని కనుగొనండి, సిలిండర్ యొక్క అక్షసంబంధ విభాగం యొక్క వికర్ణాల మధ్య చిన్న కోణం దీనికి సమానం అని తెలిస్తే

మరియు బేస్ యొక్క వ్యాసం సిలిండర్ యొక్క ఎత్తు కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది (Fig. 18).

పరిష్కారం.గోళం పరిమాణం మనకు తెలుసు

, మరియు మేము ఫార్ములా ఉపయోగించి సిలిండర్ యొక్క వాల్యూమ్ను కనుగొంటాము, కానీ, అందువలన

వీలు ఎ బి సి డి- సిలిండర్ యొక్క అక్షసంబంధ విభాగం (Fig. 18 చూడండి). బేస్ యొక్క వ్యాసం సిలిండర్ యొక్క ఎత్తు కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది కాబట్టి, అప్పుడు

- మూలలో AOB.త్రిభుజం నుండి ABOఇది సిలిండర్ యొక్క ఎత్తును అనుసరిస్తుంది

సిలిండర్ బేస్ వ్యాసార్థం

. .

అని తేలుతుంది

కనుగొనబడిన డేటాను సిలిండర్ వాల్యూమ్ కోసం సూత్రంలోకి మారుద్దాం:

;

ఈ విధంగా,

సంబంధాన్ని వెతుకుదాం

సమాధానం:

2.4 ఒలింపియాడ్ పనులకు ఉదాహరణలు కోన్

ఉదాహరణ 1. వ్యాసార్థం ఉన్న బంతికి ఆర్ ఒక వృత్తాకార కోన్ చెక్కబడి ఉంటుంది; అక్షసంబంధ విభాగంలో కోన్ యొక్క జెనరేట్రిక్స్ మధ్య కోణం αకి సమానంగా ఉంటుంది. కోన్ యొక్క బేస్ యొక్క వ్యాసార్థాన్ని ఏర్పరిచే ఎత్తును కనుగొనండి.

పరిష్కారం.కోన్ యొక్క అక్షం గుండా బంతి యొక్క విభాగం బంతి యొక్క గొప్ప వృత్తం

AB ఎస్(Fig. 19), ఎక్కడ ఎ IN- కోన్ యొక్క బేస్ యొక్క వ్యాసం. కోన్ యొక్క ఎత్తు (అక్షం) కొనసాగిద్దాం SOబిందువు వద్ద ఉన్న గొప్ప వృత్తాన్ని కలుస్తుంది వరకు ఇమరియు పరిగణించండి ఇ ఎస్ జ:

ఈ త్రిభుజంలో

ఎస్.ఇ. = 2ఆర్ ,

ఎస్ AE = 90° మరియు ఎ ఎస్ E= .

ఎ ఎస్ = 2ఆర్

ఇప్పుడు నుండి

ఎ OSమేము కనుగొంటాము

ఎ గురించి = ఆర్ = 2R

, SO = h= 2ఆర్

సమాధానం : SO= 2ఆర్

ఎ ఎస్ = 2ఆర్ , ఎ గురించి =.

ఉదాహరణ 2. శంకువు ఎత్తు మరియు దాని చుట్టూ చుట్టుముట్టబడిన బంతి వ్యాసార్థం నిష్పత్తికి సమానం కె . ఈ శరీరాల వాల్యూమ్‌ల నిష్పత్తిని కనుగొనండి. దేనిలో కనుగొనండి కె పని అర్ధమే.

పరిష్కారం.కోన్ (Fig. 20) యొక్క అక్షసంబంధ విభాగాన్ని పరిశీలిద్దాం. వీలు h- కోన్ యొక్క ఎత్తు, ఆర్- ఒక కోన్ చుట్టూ చుట్టుముట్టబడిన గోళం యొక్క వ్యాసార్థం. అప్పుడు, షరతు ప్రకారం,

=కె, అనగా h = kR .

వ్యాసార్థాన్ని తెలియజేస్తాము ఆర్ద్వారా కోన్ యొక్క ఆధారం ఆర్; తీగలను పరిగణనలోకి తీసుకున్నాను ACమరియు BE,మాకు దొరికింది:

IN డి

డి ఇ = ఎ డి డి తో(ఎందుకంటే AD=DC ,
- దీర్ఘచతురస్రాకార, క్రీ.శ – లంబ కోణం యొక్క శీర్షం నుండి ఎత్తు పడిపోయింది).

(అందుకే, కె < 2).

వి w =

; వి k ==

ఈ విధంగా,

, (0 వద్ద< కె < 2).

సమాధానం:

, (0 వద్ద< కె < 2).

ఉదాహరణ 3. కత్తిరించబడిన కోన్‌లో, దిగువ మరియు ఎగువ స్థావరాల యొక్క వ్యాసార్థాలు వరుసగా సమానంగా ఉంటాయి ఆర్ 1 మరియు ఆర్ 2 , మరియు కోన్ యొక్క జనరేట్రిక్స్ ఒక కోణం α (Fig. 21) వద్ద దిగువ బేస్ యొక్క సమతలానికి వొంపు ఉంటుంది. ఇవ్వబడిన కత్తిరించబడిన శంఖం లిఖించబడిన గోళం యొక్క వ్యాసార్థాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం.కత్తిరించబడిన కోన్ యొక్క అక్షం గుండా వెళుతున్న బంతి విభాగంలో, బంతి యొక్క పెద్ద వృత్తం పొందబడుతుంది, దీనిలో ట్రాపెజాయిడ్ చెక్కబడి ఉంటుంది. ABC డి. పరిగణలోకి తీసుకుందాం

ఎ సూర్యుడు,ఇది బంతి యొక్క గొప్ప వృత్తంలో కూడా వ్రాయబడింది. ఈ త్రిభుజంలోని కోణం తెలిసిందే తో బా. = α . సైన్ సిద్ధాంతం ద్వారా, AC = 2ఆర్. అందువలన, నిర్ణయించడానికి ఆర్అది కనుగొనేందుకు సరిపోతుంది AC.పాయింట్ నుండి డ్రాప్ చేద్దాం తోలంబంగా SEపై AB.స్పష్టంగా,

AE= ఆర్ 1 + ఆర్ 2 ,BE = ఆర్ 1 - ఆర్ 2,a CE = ( ఆర్ 1 - ఆర్ 2 )

కాబట్టి, పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం ప్రకారం

= = = ఎక్కడ నుండి ఆర్ =

సమాధానం: ఆర్

3 యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్ టాస్క్‌ల ఉదాహరణలు

3.1 పిరమిడ్‌తో యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ టాస్క్‌ల ఉదాహరణలు

ఉదాహరణ 1. సెగ్మెంట్ పి ఎన్ , 8కి సమానం, గోళం యొక్క వ్యాసం. పాయింట్లు M, ఎల్ పిరమిడ్ వాల్యూమ్ P గా ఉండేలా గోళంపై పడుకోండి ఎన్ ఎం ఎల్ అతిపెద్దది (Fig. 22). త్రిభుజం K యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి ఎల్ T, ఇక్కడ K మరియు T అనేది PM యొక్క అంచుల మధ్య బిందువులు మరియు ఎన్ ఎం వరుసగా.

పరిష్కారం.వీలు గురించిగోళం యొక్క కేంద్రం, మరియు ఆర్- దాని వ్యాసార్థం. ఎందుకంటే ఆర్ ఎన్ = 2ఆర్= 8 మరియు చుక్కలు ఎంమరియు ఎల్గోళం మీద పడుకోండి, అప్పుడు OR = O ఎల్ = ఓ ఎన్ = OM = ఆర్ = 4. విమానాల ద్వారా గోళం యొక్క విభాగాలు ఆర్ LNమరియు RM ఎన్- సర్కిల్ వ్యాసార్థం ఆర్ = 4, త్రిభుజాల గురించి వివరించబడింది ఆర్ LNమరియు RM ఎన్ , మరియు

RM ఎన్ = ఆర్ LN= 90°, వ్యాసం ఆధారంగా చెక్కబడిన కోణాల వలె ఆర్ ఎన్ .

వీలు ఎన్- పిరమిడ్ యొక్క ఎత్తు, పై నుండి తగ్గించబడింది ఎం, ఎ h- త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు ఆర్ LN , పక్కకి జరిపాడు ఆర్ ఎన్ . పాయింట్ నుండి ఎంగోళం మీద ఉంది, మరియు విమానం ఆర్ LNగోళం యొక్క కేంద్రాన్ని కలిగి ఉంటుంది ఎన్

ఆర్ , మరియు ఎన్ = ఆర్ , ఉంటే MO ఆర్ NL . అదేవిధంగా, పాయింట్ నుండి ఎల్గోళం మీద ఉంటుంది, అప్పుడు h ఆర్ , మరియు h = ఆర్ , ఉంటే ఎల్ గురించి ఆర్ ఎన్ .

అందువల్ల పిరమిడ్ వాల్యూమ్ కోసం ఆర్ ఎన్ ఎం ఎల్మన దగ్గర ఉంది

, .

కాబట్టి పిరమిడ్ ఆర్ ఎన్ ఎం ఎల్త్రిభుజాలు ఉంటే గొప్ప వాల్యూమ్ కలిగి ఉంటుంది ఆర్ LNమరియు RM ఎన్దీర్ఘచతురస్రాకార, సాధారణ హైపోటెన్యూస్‌తో సమద్విబాహులు ఆర్ ఎన్, పరస్పరం లంబంగా ఉండే విమానాలలో పడుకోవడం. త్రిభుజాల నుండి ఎల్ గురించి ఎన్ , ఎల్ లేదా ఎల్ OM, ROM, ఎన్ ఓంరెండు కాళ్లపై సమానంగా ఉంటాయి, తర్వాత త్రిభుజాలు ఎల్ ఎం ఎన్మరియు ఎల్ శ్రీపక్కతో సరిదిద్దండి

NL = పి ఎల్ = పై

అది క మెడియ న్లు ఎల్ TOమరియు ఎల్ టిఈ త్రిభుజాలు సమానంగా ఉంటాయి మరియు

ఎల్ TO =

= 2.

త్రిభుజం TO ఎల్ టిసమద్విబాహులు మరియు దాని ఎత్తు LDకుడి సమద్విబాహు త్రిభుజం మధ్యస్థం ఎల్ ఓంఇక్కడనుంచి

LD =

= 2.

CT- త్రిభుజం మధ్య రేఖ RM ఎన్ఇందుమూలంగా CT = 0,5ఆర్ ఎన్ =ఆర్ . అందువలన, ప్రాంతం ఎస్ TO ఎల్ టి =

CT LD = 4.

సమాధానం: 4

ఉదాహరణ 2. సాధారణ త్రిభుజాకార పిరమిడ్‌లో, ఆధారం వైపు 5, మరియు పక్క పక్కటెముకలు 60 కోణంలో బేస్‌కు వంపుతిరిగి ఉంటాయి.ఓ. పిరమిడ్ చుట్టూ ఉన్న గోళం యొక్క వ్యాసార్థాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం.వీలు ABCMసూచించిన పిరమిడ్ (Fig. 23 చూడండి) వర్ణించిన గోళం యొక్క కేంద్రం పిరమిడ్ యొక్క ఎత్తులో ఉంటుంది, ఎందుకంటే పిరమిడ్ సక్రమంగా ఉంటుంది.

పిరమిడ్ యొక్క ఎత్తు యొక్క ఆధారం త్రిభుజం యొక్క కేంద్రం ABC, అంటే మధ్యస్థాల ఖండన స్థానం. అప్పుడు:

ST =

CH= = = .

ఇప్పుడు త్రిభుజాన్ని పరిగణించండి MNS.ఇక్కడ మూల ఉంది MSNసైడ్ ఎడ్జ్ మధ్య కోణం వలె 60°కి సమానం కుమారిమరియు ఆధారం ABC. కార్నర్ NMS 30కి సమానం

. MO=OSరేడియాల వలె. కనుక ఇది త్రిభుజం MOSసమద్విబాహులు. మీకు తెలిసినట్లుగా, సమద్విబాహు త్రిభుజంలో బేస్ వద్ద ఉన్న కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి. అందుకే, OSM = తప్పనిసరి వైద్య బీమా = 30, OSN = MSN - MCO = 60 - 30= 30.

లంబ త్రిభుజం నుండి OSNహైపోటెన్యూస్‌ని నిర్వచిద్దాం OSలంబ త్రిభుజంలో త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల సంబంధాన్ని ఉపయోగించడం:

సమాధానం: ఓ.సి. =

3.2 ప్రిజంతో USE టాస్క్‌ల ఉదాహరణలు

ఉదాహరణ 1. ప్రిజం యొక్క ఆధారం భుజాలతో కూడిన త్రిభుజం a , బి , సి . ప్రిజం ఎత్తు h (చిత్రం 25). చుట్టుముట్టబడిన గోళం యొక్క వ్యాసార్థాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం.ఒక గోళం ప్రిజం చుట్టూ చుట్టుముట్టబడినందున, ప్రిజం నేరుగా ఉంటుంది మరియు దాని వైపు అంచు దాని ఎత్తుకు సమానంగా ఉంటుంది. ప్రిజం యొక్క ఆధారం చుట్టూ వివరించిన వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం సూత్రం ద్వారా లెక్కించబడుతుంది

సమాధానం:

ఉదాహరణ 2. బాల్ వ్యాసార్థం ఆర్ . ఎత్తు 2 యొక్క సాధారణ n-గోనల్ ప్రిజం ఒక గోళంలో చెక్కబడి ఉంటుంది. h (చిత్రం 26). ప్రిజం యొక్క బేస్ వైపు కనుగొనండి.

పరిష్కారం.వీలు TO- చుట్టుముట్టబడిన గోళం యొక్క కేంద్రం. మాకు ఉన్నాయి: కె.బి. = ఆర్ , అలాగే = h. వీలు ఓం

AB, అప్పుడు

O.B. =

(త్రిభుజం నుండి OKB).

త్రిభుజం నుండి OMBమేము కనుగొంటాము

a = 2ఎం.బి. = 2O.B.

కాబట్టి, a =

సమాధానం: a =

3.3 సిలిండర్‌తో యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ టాస్క్‌ల ఉదాహరణలు

ఉదాహరణ 1. వృత్తాకార సిలిండర్ యొక్క ఎత్తు బేస్ యొక్క వ్యాసార్థం కంటే 10 ఎక్కువ, మరియు మొత్తం ఉపరితల వైశాల్యం 144

. చుట్టుముట్టబడిన గోళం యొక్క వ్యాసార్థాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం.చుట్టుకొలత గోళం యొక్క వ్యాసార్థం

(Fig. 27).

సిలిండర్ ఉపరితల వైశాల్యం

, 144,

ఈ వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేద్దాం:

మనకు చతుర్భుజ సమీకరణం వస్తుంది

ఈ సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనండి

, ప్రతికూలంగా ఉన్నందున అనుకూలం కాదు. ఎత్తు

చుట్టుపక్కల గోళం యొక్క వ్యాసార్థాన్ని కనుగొనండి:

సమాధానం:

ఉదాహరణ 2. ఒక నేరుగా వృత్తాకార సిలిండర్ ఒక బంతికి చెక్కబడి ఉంటుంది (Fig. 28). గోళం యొక్క వ్యాసార్థం మరియు సిలిండర్ యొక్క మూల వ్యాసార్థం యొక్క నిష్పత్తి యొక్క నిష్పత్తి యొక్క ఉపరితలం యొక్క నిష్పత్తి కంటే సగం ఎక్కువ అని తెలిస్తే, గోళం యొక్క పరిమాణం సిలిండర్ పరిమాణం కంటే ఎన్ని రెట్లు ఎక్కువగా ఉంటుంది సిలిండర్ యొక్క పార్శ్వ ఉపరితలానికి గోళం.

పరిష్కారం.ఒక గోళం యొక్క ఘనపరిమాణం మరియు లిఖించబడిన సిలిండర్ వాల్యూమ్ యొక్క నిష్పత్తి

షరతు ప్రకారం తెలిసింది

; –

సమబాహు

గోళం మరియు లిఖించబడిన సిలిండర్ యొక్క వాల్యూమ్‌ల నిష్పత్తిని కనుగొనండి

సమాధానం: 16:9.

3.4 కోన్‌తో యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ టాస్క్‌ల ఉదాహరణలు

ఉదాహరణ 1. కోన్ యొక్క బేస్ యొక్క వ్యాసం 6 మీ, జెనరాట్రిక్స్ 60 ° కోణంలో బేస్ యొక్క సమతలానికి వంపుతిరిగింది (Fig. 29). కోన్ చుట్టూ ఉన్న గోళం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి.

టాక్సీకోన్ యొక్క జనరేట్రిక్స్ మరియు దాని బేస్ వైశాల్యం మధ్య కోణానికి సమానం. అందుకే CAB= 60° మరియు సమద్విబాహు త్రిభుజం ABC -సరైన. ఇది దాన్ని అనుసరిస్తుంది

CA = AB = BC= 6మీ.

శంఖం చుట్టూ ఉన్న గోళం యొక్క కేంద్రం యొక్క స్థానాన్ని కనుగొనండి. అటువంటి గోళం యొక్క నిర్వచనం ప్రకారం, కోన్ యొక్క ఆధారం యొక్క చుట్టుకొలత చుట్టుకొలత గోళంలో ఒక విభాగం మరియు కోన్ యొక్క శీర్షం ఈ గోళంపై ఉంటుంది. గోళం యొక్క వ్యాసం యొక్క ఆస్తి ప్రకారం, దానిలోని ఏదైనా విభాగం మధ్యలో, సరళ రేఖ గుండా వెళుతుంది COకోన్ యొక్క ఆధారం యొక్క విమానం లంబంగా మరియు అందువలన కేంద్రం గురించిచుట్టుపక్కల ఉన్న గోళంలో 1 సరళ రేఖపై ఉంటుంది CO.ఇది కేంద్రం అనుసరిస్తుంది గురించిఒక శంకువు చుట్టూ చుట్టుముట్టబడిన గోళం యొక్క 1 దాని అక్షసంబంధ విభాగం చుట్టూ ఉన్న వృత్తం యొక్క కేంద్రం.

లంబ త్రిభుజంలో

ABC ఆర్ = ఓ 1 సి =

(మీ)

గోళం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి:

(మీ2).

సమాధానం: 48

m 2.

ఉదాహరణ 2. వ్యాసార్థం ఉన్న బంతికి ఆర్ = 6 సెం.మీ ఎత్తులో లిఖించబడిన కోన్ h (Fig. 30). ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క విధిగా కోన్ యొక్క వాల్యూమ్ మరియు పార్శ్వ ఉపరితలాన్ని వ్యక్తపరచండి h .

పరిష్కారం.మాకు ఉన్నాయి:

మరియు

ఎక్కడ ఆర్ - మూల వ్యాసార్థం, ఎల్- ఒక కోన్ ఏర్పాటు.

పరిగణలోకి ఆర్ = VA -లంబ కోణం యొక్క శీర్షం నుండి హైపోటెన్యూస్‌కు తగ్గించబడిన ఎత్తు, మనకు ఉంది: మరియు . లేదా ఆర్ 2 మరియు

, .

ఇప్పుడు మనం పొందుతాము:

, .

సమాధానం:

ఉదాహరణ 3. బంతిలో ఒక కోన్ చెక్కబడి ఉంటుంది, దీని యొక్క జెనరాట్రిక్స్ బేస్ యొక్క వ్యాసానికి సమానంగా ఉంటుంది (Fig. 31). కోన్ యొక్క ఉపరితలం మరియు బంతి యొక్క ఉపరితలం యొక్క నిష్పత్తిని కనుగొనండి.

పరిష్కారం.కోన్ యొక్క అక్షసంబంధ విభాగాన్ని వర్ణిద్దాం, ఇది బంతి మధ్యలో గుండా వెళుతుంది. కోన్ యొక్క ఆధారం యొక్క వ్యాసం జనరేట్రిక్స్కు సమానంగా ఉంటుంది కాబట్టి, విభాగంలో మనం ఒక వృత్తంలో చెక్కబడిన సాధారణ త్రిభుజాన్ని పొందుతాము (Fig. 31). బంతి వ్యాసార్థం సమానంగా ఉండనివ్వండి ఆర్ : అప్పుడు

AB =ఆర్

, ఎ డి =

ద్వారా కోన్ యొక్క మొత్తం ఉపరితలాన్ని సూచిస్తాము ఎస్ 1, మరియు బంతి ఉపరితలం ద్వారా ఎస్ 2. మన దగ్గర ఉంది

ఎక్కడ ఎస్ 1: ఎస్ 2 = 9:16.

సమాధానం: ఎస్ 1: ఎస్ 2 = 9:16.

ముగింపు

పరిశోధన సమయంలో, యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌లో పాఠశాల పిల్లలకు వివరించిన ప్రాంతంతో సమస్యలు చాలా తరచుగా అందించబడుతున్నాయని మేము కనుగొన్నాము, కాబట్టి ఈ రకమైన సమస్యలను పరిష్కరించే సామర్థ్యం పరీక్షలలో విజయవంతంగా ఉత్తీర్ణత సాధించడంలో చాలా ముఖ్యమైన పాత్ర పోషిస్తుంది. అలాగే, వివరించిన ప్రాంతంతో సమస్యలు తరచుగా వివిధ స్థాయిలలో గణిత ఒలింపియాడ్‌లలో కనిపిస్తాయి. సంబంధిత ఉదాహరణలు మా పనిలో ఇవ్వబడ్డాయి. ఈ దశలో, మేము పిరమిడ్, ప్రిజం, సిలిండర్ మరియు కోన్‌తో చుట్టుముట్టబడిన గోళం కలయికతో కూడిన సమస్యలను పరిగణలోకి తీసుకోవడానికి పరిమితం చేసాము. స్వతంత్ర పని కోసం ఎంచుకున్న పనులు. పనిని నిర్వహించే ప్రక్రియలో, మేము ఈ క్రింది పద్ధతులను ఉపయోగించాము: శాస్త్రీయ మరియు ప్రసిద్ధ సైన్స్ సాహిత్యంతో పని చేయడం, ఇంటర్నెట్‌లో సమాచారాన్ని సేకరించడం, విశ్లేషణ, వ్యవస్థీకరణ, వర్గీకరణ మరియు కంప్యూటర్‌లో ప్రాసెసింగ్. ఫలితాలు ప్రస్తుతం వియుక్త రూపంలో ప్రదర్శించబడ్డాయి. భవిష్యత్తులో, కొత్త పనులతో పనిని భర్తీ చేయడానికి ప్రణాళిక చేయబడింది.

గ్రంథ పట్టిక

1. అబ్రమోవిచ్ M.I., స్టారోడుబ్ట్సేవ్ M.T. గణితం (జ్యామితి మరియు త్రికోణమితి విధులు). విశ్వవిద్యాలయాల సన్నాహక విభాగాలకు పాఠ్య పుస్తకం - M: హయ్యర్ స్కూల్, 1976. - 304 p.

2. వోయిటోవిచ్ F.S. రేఖాగణిత వస్తువుల కలయికలు: (చెక్కిన మరియు చుట్టుముట్టబడిన గోళాలు): విద్యార్థుల కోసం పుస్తకం. – మిన్స్క్: నరోద్నయ అస్వెటా, 1992. – 160 p.

3. గోవోరోవ్ V.M., డైబోవ్ P.T., మిరోషిన్ N.V. మరియు ఇతరులు. గణితంలో పోటీ సమస్యల జాబితా (పద్దతిపరమైన సూచనలు మరియు పరిష్కారాలతో): పాఠ్య పుస్తకం. – రెండవ ఎడిషన్ – M: నౌకా, 1986. – 384 p.

4. డెనిష్చెవా L.O., బెజ్రుకోవా G.K., బోయ్చెంకో E.M. మరియు ఇతరులు ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్ష, గణితం, నియంత్రణ కొలిచే పదార్థాలు - M: విద్య 2005. - 80 p.

5. డెనిష్చెవా L.O., గ్లాజ్కోవ్ యు.ఎ., క్రాస్న్యాన్స్కాయ K.A. మరియు ఇతరులు. ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్ష. గణితం. విద్యార్థులను సిద్ధం చేయడానికి విద్యా మరియు శిక్షణా సామగ్రి / FIPI - M: ఇంటెలెక్ట్-సెంటర్, 2008. - 240 p.

6. డోరోఫీవ్ G.V., పొటాపోవ్ K.M., రోజోవ్ N.Kh. విశ్వవిద్యాలయాలలో ప్రవేశించే వారి కోసం గణితంపై ఒక మాన్యువల్ - M: నౌకా 1972. - 528 p.

7. ఎగెరెవ్ V.K., జైట్సేవ్ V.V., కోర్డెమ్స్కీ B.A. మరియు ఇతరులు విశ్వవిద్యాలయాలలో ప్రవేశించే వారికి పరిష్కారాలతో గణితంలో 2500 సమస్యలు: - M: LLC పబ్లిషింగ్ హౌస్ "ONICS 21వ శతాబ్దం": LLC పబ్లిషింగ్ హౌస్ "వరల్డ్ అండ్ ఎడ్యుకేషన్", 2002. - 912 p.

8. జ్వావిచ్ L.I., రియాజనోవ్స్కీ A.R. పట్టికలలో జ్యామితి - M: బస్టర్డ్ 2007. - 128 p.

9. క్లిమిన్ S.V., Strunkina T.V., Panteleeva E.I. మరియు ఇతరులు ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్ష, పరీక్ష పనులు - M: విద్య 2002. - 24 p.

10. మోడెనోవ్ V.P., డోరోఫీవ్ G.V., నోవోసెలోవ్ S.I. మరియు ఇతరులు గణితంపై ఒక మాన్యువల్ - M: మాస్కో యూనివర్సిటీ పబ్లిషింగ్ హౌస్, 1972. - 404 p.

11. షువలోవా E.Z., కప్లున్ V.I. జ్యామితి: విశ్వవిద్యాలయాల సన్నాహక విభాగాలకు పాఠ్య పుస్తకం - M: హయ్యర్ స్కూల్, 1980. - 265 p.

12. http://kvant.mirror1.mccme.ru/pdf/2000/06/kv0600solut.pdf

13. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B0%D0%BB:%D0%9D%D0%B0%D1% 83%D0%BA%D0%B0

14. http://rgp.nm.ru/geometriia/praktika11/zadatcha119.html

అప్లికేషన్. స్వతంత్ర పరిష్కారం కోసం పనులు

1. పిరమిడ్ లో FABCఅంచులు ABFమరియు ABCలంబంగా, బి.ఎఫ్. :ఎఫ్.ఎ. = 15:11. సరళ రేఖ మధ్య కోణం యొక్క టాంజెంట్ బి.సి.మరియు విమానం ABFసమానం 5. పాయింట్ ఎంఅంచున ఎంపిక చేయబడింది బి.సి.కాబట్టి బి ఎం :ఎం సి = 4:11. చుక్క టిసరళ రేఖపై ఉంటుంది ఎఫ్.ఎ.మరియు పాయింట్ల నుండి సమాన దూరంలో ఎంమరియు IN.పిరమిడ్ చుట్టూ ఉన్న గోళం యొక్క కేంద్రం FABC , అంచున ఉంటుంది AB, ఈ గోళం యొక్క వైశాల్యం 36

. పిరమిడ్ వాల్యూమ్‌ను కనుగొనండి ASMT. (సమాధానం: 6)

2. పిరమిడ్ యొక్క ఆధారం FABCDఒక దీర్ఘ చతురస్రం ఎ బి సి డి . విమానం A.F.C.విమానానికి లంబంగా ABC , కోణం యొక్క టాంజెంట్ FACసమానం

, లైన్ మధ్య కోణం యొక్క టాంజెంట్ బి.సి.మరియు విమానం A.F.C.సమానంగా . చుక్క ఎంఅంచున ఉంటుంది బి.సి. , VM =బి.సి. . చుక్క ఎల్సరళ రేఖపై ఉంటుంది ఎఫ్.ఎ.మరియు పాయింట్ల నుండి సమాన దూరంలో ఎంమరియు సి . పిరమిడ్ వాల్యూమ్ ఎల్ IN డి ఎం 72కి సమానం. పిరమిడ్ చుట్టూ ఉన్న గోళం యొక్క కేంద్రం FABCD , దాని బేస్ యొక్క విమానం మీద ఉంది. ఈ గోళం యొక్క వ్యాసార్థాన్ని కనుగొనండి. (సమాధానం: 5)

3. సాధారణ పిరమిడ్ దగ్గర FABCబేస్ యొక్క విమానంలో కేంద్రం ఉన్న గోళాన్ని వివరిస్తుంది ABCపిరమిడ్లు. చుక్క ఎంఅంచున ఉంటుంది ABకాబట్టి ఎ ఎం :ఎం బి=1:3. చుక్క టిసరళ రేఖపై ఉంటుంది ఎఫ్.ఎ.మరియు పాయింట్ నుండి సమాన దూరంలో ఎంమరియు IN. పిరమిడ్ వాల్యూమ్ TVSMసమానం

. పిరమిడ్ ద్వారా చుట్టుముట్టబడిన గోళం యొక్క వ్యాసార్థాన్ని కనుగొనండి FABC . (సమాధానం: )

4. లైన్ సెగ్మెంట్ AB- గోళం యొక్క వ్యాసం. పాయింట్లు తో, డి ఎ బి సి డిగొప్ప. పంక్తుల మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్‌ను కనుగొనండి సీఎంమరియు AB,ఉంటే ఎం- పక్కటెముక మధ్యలో BD . (సమాధానం:

)

5. లైన్ సెగ్మెంట్ ఆర్ ఎన్ , 8కి సమానం, గోళం యొక్క వ్యాసం. చుక్క M, ఎల్పిరమిడ్ యొక్క వాల్యూమ్ కాబట్టి గోళం మీద ఉంటాయి ఆర్ ఎన్ ఎం ఎల్గొప్ప. త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి KLT , ఎక్కడ కెమరియు టి – పక్కటెముకల మధ్యలో RMమరియు ఎన్ ఎంవరుసగా. (సమాధానం: 4

)

6. వ్యాసార్థం యొక్క గోళం ఇవ్వబడింది 6. విమానం ద్వారా గోళం యొక్క క్రాస్ సెక్షన్ వ్యాసం కలిగిన వృత్తం CT. విభాగం విమానం 5. పాయింట్ దూరంలో గోళం యొక్క కేంద్రం నుండి తీసివేయబడుతుంది ఆర్గోళం మరియు పాయింట్‌పై ఎంపిక చేయబడింది ఎల్ ఆర్కే ఎల్ టిగొప్ప. సరళ రేఖ మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి ఎల్.ఎమ్.మరియు విమానం PTK , ఉంటే ఎంమధ్య పక్కటెముక ఆర్కే. (సమాధానం: 30

)

7. కేంద్రం ద్వారా గురించి ఎఫ్గోళం మరియు పాయింట్లపై ఎంపిక చేయబడింది ఎ , బి , సి , డి – FABCDగొప్ప. పాయింట్లు M, T, ఎల్ – పక్కటెముకల మధ్యలో FB , CDమరియు క్రీ.శవరుసగా. త్రిభుజం యొక్క ప్రాంతం MLT 64కి సమానం

. గోళం యొక్క వ్యాసార్థాన్ని కనుగొనండి. (సమాధానం: 2)

8. కేంద్రం ద్వారా గురించిఒక విభాగం ఈ గోళంతో తయారు చేయబడింది. చుక్క ఎఫ్గోళం మరియు పాయింట్లపై ఎంపిక చేయబడింది ఎ , బి , సి , డి – క్రాస్-సెక్షనల్ సర్కిల్‌పై వరుసగా పిరమిడ్ వాల్యూమ్ FABCDగొప్ప. లైన్ మధ్య కోణం యొక్క సైన్ కనుగొనండి ఉదయంమరియు విమానం బి.ఎఫ్.డి. . (సమాధానం:

)

9. 10 వ్యాసార్థంతో ఒక గోళం ఇవ్వబడింది. ఈ గోళం యొక్క సమతల విభాగం వ్యాసం కలిగిన వృత్తం AB.విభాగం విమానం 8. పాయింట్ దూరంలో గోళం యొక్క కేంద్రం నుండి తీసివేయబడుతుంది డిగోళం మరియు పాయింట్‌పై ఎంపిక చేయబడింది తో- క్రాస్ సెక్షనల్ చుట్టుకొలతపై తద్వారా పిరమిడ్ యొక్క వాల్యూమ్ ABC డిగొప్ప. ముఖం యొక్క ప్రాంతాన్ని కనుగొనండి ACD .(సమాధానం: 27

)

10. పిరమిడ్ యొక్క ఆధారం ఒక దీర్ఘ చతురస్రం. విమానం విమానానికి లంబంగా ఉంటుంది ABC, లైన్ మధ్య కోణం యొక్క టాంజెంట్ సూర్యుడుమరియు విమానం FACసమానం 2. పాయింట్ ఎంఅంచున ఉంటుంది సూర్యుడుమరియు MV =

చుక్క ఎల్సరళ రేఖపై ఉంటుంది ఎఫ్.ఎ.మరియు పాయింట్ల నుండి సమాన దూరంలో ఎంమరియు తో. పిరమిడ్ చుట్టూ ఉన్న గోళం యొక్క కేంద్రం ఎఫ్.ఎ. IN CD, పిరమిడ్ యొక్క బేస్ యొక్క విమానంలో ఉంది, ఈ గోళం యొక్క వ్యాసార్థం 4. పిరమిడ్ వాల్యూమ్‌ను కనుగొనండి L.A కుమారి. (సమాధానం: 48)

11. ఒక బంతికి, వ్యాసార్థం 2

ABCA 1 IN 1 తో 1 . నేరుగా AC 1 ఒక విమానంతో రూపాలు ABB (సమాధానం: 288)

12. ఒక సాధారణ త్రిభుజాకార ప్రిజం ఒక గోళంలో చెక్కబడి ఉంటుంది ABCA 1 IN 1 తో 1, దీని వాల్యూమ్ 4.5. నేరుగా VAఒక విమానంతో 1 రూపాలు VSS 1 మూల 45

. గోళం యొక్క ఉపరితల వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి. (సమాధానం: 11)

13. వ్యాసార్థంతో బంతిలోకి

ఒక సాధారణ త్రిభుజాకార ప్రిజం చెక్కబడి ఉంటుంది ABCA 1 IN 1 తో 1 . నేరుగా ABఒక విమానంతో 1 రూపాలు ACC 1 కోణం 45. ప్రిజం వాల్యూమ్‌ను కనుగొనండి. (సమాధానం: 36)

14. వ్యాసార్థాన్ని తెలుసుకోవడం ద్వారా సాధారణ త్రిభుజాకార ప్రిజం అంచులను లెక్కించండి ఆర్పరివేష్టిత గోళం మరియు వంపు కోణం α ఈ బంతి యొక్క వ్యాసార్థం ప్రిజం యొక్క శీర్షానికి, ఈ శీర్షాన్ని కలిగి ఉన్న ప్రక్క ముఖానికి గీసారు. (సమాధానం: 2

)

15. వ్యాసార్థం ఉన్న బంతికి ఆర్ఒక కుడి వృత్తాకార కోన్ చెక్కబడి ఉంది. కోన్ ఎత్తు ఉంటే దాని పార్శ్వ ఉపరితలాన్ని కనుగొనండి h . (సమాధానం:

)

16. ఒక గోళంలో ఒక శంఖం చెక్కబడి ఉంటుంది. కోన్ యొక్క అక్షసంబంధ క్రాస్ సెక్షనల్ ప్రాంతం సమానంగా ఉంటుంది ఎస్. దాని ఎత్తు మరియు జనరేటర్ మధ్య కోణం సమానంగా ఉంటుంది α . గోళం యొక్క ఘనపరిమాణాన్ని కనుగొనండి. (సమాధానం:

)

17. వ్యాసార్థం యొక్క పొడవు తెలుసుకోవడం, కోన్ యొక్క పార్శ్వ ఉపరితలాన్ని నిర్ణయించండి ఆర్గోళం దాని చుట్టూ చుట్టబడి మరియు కోణం α, దీని కింద కోన్ యొక్క జనరేట్రిక్స్ బంతి మధ్యలో నుండి కనిపిస్తుంది. (సమాధానం:

)

18. కోన్ యొక్క అక్షసంబంధ విభాగం యొక్క శిఖరం వద్ద ఉన్న కోణం సమానంగా ఉంటే, బంతిలో చెక్కబడిన కుడి కోన్ యొక్క మొత్తం ఉపరితల వైశాల్యానికి ఈ బంతి ఉపరితల వైశాల్యానికి నిష్పత్తిని కనుగొనండి. α మరియు

. (సమాధానం:

)

19. ఒక కోన్ ఒక బంతిలో చెక్కబడి ఉంటుంది, తద్వారా దాని ఎత్తు సగటు మరియు తీవ్ర నిష్పత్తిలో బంతి మధ్యలో విభజించబడింది. కోన్ యొక్క అక్షసంబంధ విభాగం యొక్క శిఖరం వద్ద కోణాన్ని కనుగొనండి. కోన్ వాల్యూమ్ కంటే గోళం యొక్క వాల్యూమ్ ఎన్ని రెట్లు ఎక్కువగా ఉందో నిర్ణయించండి. (సమాధానం:

; 4 సార్లు )

ఉదాహరణ 2.సాధారణ త్రిభుజాకార పిరమిడ్‌లో, ఆధారం వైపు 5, మరియు పక్క పక్కటెముకలు 60 కోణంలో బేస్‌కు వంపుతిరిగి ఉంటాయి.ఓ. పిరమిడ్ చుట్టూ ఉన్న గోళం యొక్క వ్యాసార్థాన్ని కనుగొనండి.

CH= ST = CH= = = .

ఇప్పుడు త్రిభుజాన్ని పరిగణించండి MNS.ఇక్కడ మూల ఉంది MSNసైడ్ ఎడ్జ్ మధ్య కోణం వలె 60°కి సమానం కుమారిమరియు ఆధారం ABC. కార్నర్ NMSసమానం 30. MO=OSరేడియాల వలె. కనుక ఇది త్రిభుజం MOSసమద్విబాహులు. మీకు తెలిసినట్లుగా, సమద్విబాహు త్రిభుజంలో బేస్ వద్ద ఉన్న కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి. అందుకే,

OSM = తప్పనిసరి వైద్య బీమా = 30, OSN = MSN - MCO = 60 - 30= 30.

OS= = .

సమాధానం: ఓ.సి.= .

3.2 ప్రిజంతో USE టాస్క్‌ల ఉదాహరణలు

ఉదాహరణ 1.ప్రిజం యొక్క ఆధారం భుజాలతో కూడిన త్రిభుజంa, బి, సి. ప్రిజం ఎత్తుh(చిత్రం 25). చుట్టుముట్టబడిన గోళం యొక్క వ్యాసార్థాన్ని కనుగొనండి.

సమాధానం:

ఉదాహరణ 2.బాల్ వ్యాసార్థంఆర్. ఎత్తు 2 యొక్క సాధారణ n-గోనల్ ప్రిజం ఒక గోళంలో చెక్కబడి ఉంటుంది.h(చిత్రం 26). ప్రిజం యొక్క బేస్ వైపు కనుగొనండి.

పరిష్కారం.వీలు TO- చుట్టుముట్టబడిన గోళం యొక్క కేంద్రం. మాకు ఉన్నాయి: కె.బి.= ఆర్, అలాగే= h. వీలు ఓంAB, అప్పుడు

O.B.=

(త్రిభుజం నుండి OKB).

త్రిభుజం నుండి OMBమేము కనుగొంటాము

a= 2ఎం.బి.= 2O.B..

కాబట్టి, a= .

సమాధానం: a= .

3.3 సిలిండర్‌తో యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ టాస్క్‌ల ఉదాహరణలు

ఉదాహరణ 1.వృత్తాకార సిలిండర్ యొక్క ఎత్తు బేస్ యొక్క వ్యాసార్థం కంటే 10 ఎక్కువ, మరియు మొత్తం ఉపరితల వైశాల్యం 144. చుట్టుముట్టబడిన గోళం యొక్క వ్యాసార్థాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం.చుట్టుకొలత గోళం యొక్క వ్యాసార్థం

సిలిండర్ ఉపరితల వైశాల్యం

ఈ వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేద్దాం:

మనకు చతుర్భుజ సమీకరణం వస్తుంది

ఈ సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనండి

ఇది ప్రతికూలంగా ఉన్నందున మూలం తగినది కాదు. ఎత్తు

చుట్టుపక్కల గోళం యొక్క వ్యాసార్థాన్ని కనుగొనండి:

సమాధానం: .

ఉదాహరణ 2.ఒక నేరుగా వృత్తాకార సిలిండర్ ఒక బంతికి చెక్కబడి ఉంటుంది (Fig. 28). గోళం యొక్క వ్యాసార్థం మరియు సిలిండర్ యొక్క మూల వ్యాసార్థం యొక్క నిష్పత్తి యొక్క నిష్పత్తి యొక్క ఉపరితలం యొక్క నిష్పత్తి కంటే సగం ఎక్కువ అని తెలిస్తే, గోళం యొక్క పరిమాణం సిలిండర్ వాల్యూమ్ కంటే ఎన్ని రెట్లు ఎక్కువగా ఉంటుంది సిలిండర్ యొక్క పార్శ్వ ఉపరితలానికి గోళం.

షరతు ప్రకారం తెలిసింది

సమబాహు

గోళం మరియు లిఖించబడిన సిలిండర్ యొక్క వాల్యూమ్‌ల నిష్పత్తిని కనుగొనండి

సమాధానం: 16:9.

3.4 కోన్‌తో యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ టాస్క్‌ల ఉదాహరణలు

ఉదాహరణ 1.కోన్ యొక్క బేస్ యొక్క వ్యాసం 6 మీ, జెనరాట్రిక్స్ 60 ° కోణంలో బేస్ యొక్క సమతలానికి వంపుతిరిగింది (Fig. 29). కోన్ చుట్టూ ఉన్న గోళం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం.వీలు తో -కోన్ యొక్క పైభాగం గురించి -దాని స్థావరం యొక్క కేంద్రం, DIA -కోన్ యొక్క అక్షసంబంధ విభాగం. కోన్ యొక్క జనరేట్రిక్స్ 60° కోణంలో బేస్ యొక్క సమతలానికి వంపుతిరిగి ఉంటుంది మరియు COఅనేది కోన్ యొక్క ఎత్తు, తరువాత సరళ రేఖ AB -ప్రత్యక్ష ప్రొజెక్షన్ SAకోన్ యొక్క బేస్ యొక్క విమానం మీద. అందుకే, టాక్సీకోన్ యొక్క జనరేట్రిక్స్ మరియు దాని బేస్ వైశాల్యం మధ్య కోణానికి సమానం. అందుకే CAB= 60° మరియు సమద్విబాహు త్రిభుజం ABC -సరైన. ఇది దాన్ని అనుసరిస్తుంది

CA = AB = BC= 6మీ.

శంఖం చుట్టూ ఉన్న గోళం యొక్క కేంద్రం యొక్క స్థానాన్ని కనుగొనండి. అటువంటి గోళం యొక్క నిర్వచనం ప్రకారం, కోన్ యొక్క ఆధారం యొక్క చుట్టుకొలత చుట్టుకొలత గోళంలో ఒక విభాగం మరియు కోన్ యొక్క శీర్షం ఈ గోళంపై ఉంటుంది. గోళం యొక్క వ్యాసం యొక్క ఆస్తి ప్రకారం, దానిలోని ఏదైనా విభాగం మధ్యలో, సరళ రేఖ గుండా వెళుతుంది COకోన్ యొక్క ఆధారం యొక్క విమానం లంబంగా మరియు అందువలన కేంద్రం గురించిచుట్టుపక్కల ఉన్న గోళంలో 1 సరళ రేఖపై ఉంటుంది CO.ఇది కేంద్రం అనుసరిస్తుంది గురించి 1 ఒక శంకువు చుట్టూ ఉన్న ఒక గోళం దాని అక్షసంబంధ విభాగం చుట్టూ ఉన్న వృత్తం యొక్క కేంద్రం.

లంబ త్రిభుజంలో

ABCఆర్= ఓ 1 సి= (మీ)

ఉదాహరణ 3.బంతిలో ఒక కోన్ చెక్కబడి ఉంటుంది, దీని యొక్క జెనరాట్రిక్స్ బేస్ యొక్క వ్యాసానికి సమానంగా ఉంటుంది (Fig. 31). కోన్ యొక్క ఉపరితలం మరియు బంతి యొక్క ఉపరితలం యొక్క నిష్పత్తిని కనుగొనండి.

పరిష్కారం.కోన్ యొక్క అక్షసంబంధ విభాగాన్ని వర్ణిద్దాం, ఇది బంతి మధ్యలో గుండా వెళుతుంది. కోన్ యొక్క బేస్ యొక్క వ్యాసం జెనరాట్రిక్స్కు సమానంగా ఉంటుంది కాబట్టి, విభాగంలో మనం ఒక వృత్తంలో చెక్కబడిన సాధారణ త్రిభుజాన్ని పొందుతాము (Fig. 31). బంతి వ్యాసార్థం ఉండనివ్వండి ఆర్: అప్పుడు

AB= ఆర్ , ఎడి =

ఎక్కడ ఎస్ 1: ఎస్ 2 = 9:16.

సమాధానం:ఎస్ 1: ఎస్ 2 = 9:16.

ముగింపు

గ్రంథ పట్టిక

అబ్రమోవిచ్ M.I., స్టారోడుబ్ట్సేవ్ M.T. గణితం (జ్యామితి మరియు త్రికోణమితి విధులు). విశ్వవిద్యాలయాల సన్నాహక విభాగాలకు పాఠ్య పుస్తకం - M: హయ్యర్ స్కూల్, 1976. - 304 p.

వోయిటోవిచ్ F.S. రేఖాగణిత వస్తువుల కలయికలు: (చెక్కిన మరియు చుట్టుముట్టబడిన గోళాలు): విద్యార్థుల కోసం పుస్తకం. – మిన్స్క్: నరోద్నయ అస్వెటా, 1992. – 160 p.

గోవోరోవ్ V.M., డైబోవ్ P.T., మిరోషిన్ N.V. మరియు ఇతరులు. గణితంలో పోటీ సమస్యల జాబితా (పద్దతిపరమైన సూచనలు మరియు పరిష్కారాలతో): పాఠ్య పుస్తకం. – రెండవ ఎడిషన్ – M: నౌకా, 1986. – 384 p.

డెనిష్చెవా L.O., బెజ్రుకోవా G.K., బోయ్చెంకో E.M. మరియు ఇతరులు ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్ష, గణితం, నియంత్రణ కొలిచే పదార్థాలు - M: విద్య 2005. - 80 p.

డెనిష్చెవా L.O., గ్లాజ్కోవ్ Yu.A., క్రాస్న్యాన్స్కాయ K.A. మరియు ఇతరులు. ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్ష. గణితం. విద్యార్థులను సిద్ధం చేయడానికి విద్యా మరియు శిక్షణా సామగ్రి / FIPI - M: ఇంటెలెక్ట్-సెంటర్, 2008. - 240 p.

డోరోఫీవ్ G.V., పొటాపోవ్ K.M., రోజోవ్ N.Kh. విశ్వవిద్యాలయాలలో ప్రవేశించే వారి కోసం గణితంపై ఒక మాన్యువల్ - M: నౌకా 1972. - 528 p.

ఎగెరెవ్ V.K., జైట్సేవ్ V.V., కోర్డెమ్స్కీ B.A. మరియు ఇతరులు విశ్వవిద్యాలయాలలో ప్రవేశించే వారికి పరిష్కారాలతో గణితంలో 2500 సమస్యలు: - M: LLC పబ్లిషింగ్ హౌస్ "ONICS 21వ శతాబ్దం": LLC పబ్లిషింగ్ హౌస్ "వరల్డ్ అండ్ ఎడ్యుకేషన్", 2002. - 912 p.

జ్వావిచ్ L.I., రియాజనోవ్స్కీ A.R. పట్టికలలో జ్యామితి - M: బస్టర్డ్ 2007. - 128 p.

క్లిమిన్ S.V., స్ట్రుంకినా T.V., పాంటెలీవా E.I. మరియు ఇతరులు ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్ష, పరీక్ష పనులు - M: విద్య 2002. - 24 p.

మోడెనోవ్ V.P., డోరోఫీవ్ G.V., నోవోసెలోవ్ S.I. మరియు ఇతరులు గణితంపై ఒక మాన్యువల్ - M: మాస్కో యూనివర్సిటీ పబ్లిషింగ్ హౌస్, 1972. - 404 p.

షువలోవా E.Z., కప్లున్ V.I. జ్యామితి: విశ్వవిద్యాలయాల సన్నాహక విభాగాలకు పాఠ్య పుస్తకం - M: హయ్యర్ స్కూల్, 1980. - 265 p.

http :// క్వాంటం. అద్దం1. mccme. రు/ pdf/2000/06/ కెవి0600 ద్రావకం. pdf

http :// రు. వికీపీడియా. org/ వికీ/% డి0%9 ఎఫ్% డి0% BE% డి1%80% డి1%82% డి0% బి0% డి0% BB:% డి0%9 డి% డి0% బి0% డి1%83% డి0% బా.% డి0% బి0

rgp . nm. రు/ రేఖాగణితం/ ప్రాక్టికల్11/ జడచ్చా119. html

అప్లికేషన్. స్వతంత్ర పరిష్కారం కోసం పనులు

"పాలీహెడ్రా, సిలిండర్, కోన్ మరియు బాల్‌పై వివిధ సమస్యలు" అనే అంశం 11వ తరగతి జ్యామితి కోర్సులో అత్యంత కష్టతరమైనది. రేఖాగణిత సమస్యలను పరిష్కరించడానికి ముందు, వారు సాధారణంగా సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు సూచించబడే సిద్ధాంతం యొక్క సంబంధిత విభాగాలను అధ్యయనం చేస్తారు. ఈ అంశంపై S. అటనస్యన్ మరియు ఇతరుల పాఠ్యపుస్తకంలో (p. 138) ఒక గోళం చుట్టూ వివరించబడిన బహుభుజి, ఒక గోళంలో లిఖించబడిన ఒక బహుభుజి, ఒక బహుభుజిలో వ్రాసిన గోళం మరియు ఒక గోళం చుట్టూ వివరించబడిన ఒక గోళం యొక్క నిర్వచనాలను మాత్రమే కనుగొనవచ్చు. బహుభుజి. ఈ పాఠ్యపుస్తకం యొక్క పద్దతి సిఫార్సులు (S.M. సహక్యాన్ మరియు V.F. బుట్జోవ్, పేజి 159 ద్వారా "10-11 తరగతులలో జ్యామితిని అధ్యయనం చేయడం" అనే పుస్తకాన్ని చూడండి) సమస్యలు No. 629-646ను పరిష్కరించేటప్పుడు శరీరాల కలయికలు ఏవి పరిగణించబడతాయో చెబుతాయి మరియు శ్రద్ధ చూపబడుతుంది "ఒక నిర్దిష్ట సమస్యను పరిష్కరిస్తున్నప్పుడు, మొదటగా, పరిస్థితిలో సూచించబడిన శరీరాల సాపేక్ష స్థానాలపై విద్యార్థులకు మంచి అవగాహన ఉందని నిర్ధారించుకోవడం అవసరం." నం. 638(ఎ) మరియు నం. 640 సమస్యలకు పరిష్కారం క్రిందిది.

పైన పేర్కొన్నవన్నీ పరిగణనలోకి తీసుకుంటే మరియు విద్యార్థులకు చాలా కష్టమైన సమస్యలు ఇతర శరీరాలతో బంతిని కలపడం, సంబంధిత సైద్ధాంతిక సూత్రాలను క్రమబద్ధీకరించడం మరియు వాటిని విద్యార్థులకు తెలియజేయడం అవసరం.

నిర్వచనాలు.

1. ఒక బాల్‌ను పాలిహెడ్రాన్‌లో లిఖించబడింది అని పిలుస్తారు మరియు బంతి యొక్క ఉపరితలం పాలిహెడ్రాన్ యొక్క అన్ని ముఖాలను తాకినట్లయితే, ఒక బంతి చుట్టూ ఒక పాలిహెడ్రాన్ వివరించబడుతుంది.

2. ఒక బంతిని పాలిహెడ్రాన్ చుట్టూ చుట్టుముట్టబడినది అని మరియు బంతి యొక్క ఉపరితలం పాలిహెడ్రాన్ యొక్క అన్ని శీర్షాల గుండా వెళితే, ఒక బంతిలో లిఖించబడిన పాలిహెడ్రాన్ అంటారు.

3. ఒక బంతిని సిలిండర్‌లో చెక్కబడిందని, కత్తిరించబడిన కోన్ (శంకువు) మరియు ఒక సిలిండర్, కత్తిరించబడిన కోన్ (శంకువు) బంతి యొక్క ఉపరితలం బేస్‌లను (బేస్) మరియు అన్నింటిని తాకినట్లయితే బంతి చుట్టూ చెక్కబడిందని చెప్పబడింది. సిలిండర్ యొక్క జనరేట్రిక్స్, కత్తిరించబడిన కోన్ (కోన్).

(ఈ నిర్వచనం నుండి బంతి యొక్క గొప్ప వృత్తం ఈ శరీరాల యొక్క ఏదైనా అక్షసంబంధ విభాగంలోకి వ్రాయబడుతుందని అనుసరిస్తుంది).

4. స్థావరాలు (బేస్ సర్కిల్ మరియు అపెక్స్) యొక్క వృత్తాలు బంతి యొక్క ఉపరితలానికి చెందినట్లయితే, ఒక సిలిండర్, కత్తిరించబడిన కోన్ (కోన్) చుట్టూ ఒక బంతిని చుట్టుముట్టినట్లు చెబుతారు.

(ఈ నిర్వచనం నుండి ఈ శరీరాల యొక్క ఏదైనా అక్షసంబంధ విభాగం చుట్టూ బంతి యొక్క పెద్ద వృత్తం యొక్క వృత్తాన్ని వివరించవచ్చు).

బంతి కేంద్రం యొక్క స్థానంపై సాధారణ గమనికలు.

1. పాలీహెడ్రాన్‌లోని అన్ని డైహెడ్రల్ కోణాల బైసెక్టర్ ప్లేన్‌ల ఖండన బిందువు వద్ద పాలీహెడ్రాన్‌లో చెక్కబడిన బంతి కేంద్రం ఉంటుంది. ఇది పాలిహెడ్రాన్ లోపల మాత్రమే ఉంది.

2. పాలీహెడ్రాన్ చుట్టూ చుట్టబడిన బంతి యొక్క కేంద్రం పాలిహెడ్రాన్ యొక్క అన్ని అంచులకు లంబంగా మరియు వాటి మధ్య బిందువుల గుండా వెళుతున్న విమానాల ఖండన స్థానం వద్ద ఉంటుంది. ఇది పాలిహెడ్రాన్ లోపల, ఉపరితలంపై లేదా వెలుపల ఉంటుంది.

గోళం మరియు ప్రిజం కలయిక.

1. నేరుగా ప్రిజంలో చెక్కబడిన బంతి.

సిద్ధాంతం 1. ఒక వృత్తాన్ని ప్రిజం యొక్క బేస్‌లో లిఖించగలిగితే మరియు ప్రిజం యొక్క ఎత్తు ఈ వృత్తం యొక్క వ్యాసానికి సమానంగా ఉంటే మాత్రమే గోళాన్ని నేరుగా ప్రిజంలో లిఖించవచ్చు.

పరిణామం 1.కుడి ప్రిజంలో లిఖించబడిన గోళం యొక్క కేంద్రం బేస్‌లో లిఖించబడిన వృత్తం యొక్క కేంద్రం గుండా వెళుతున్న ప్రిజం యొక్క ఎత్తు మధ్యలో ఉంటుంది.

పరిణామం 2.ఒక బంతిని, ప్రత్యేకించి, సరళ రేఖలలో చెక్కవచ్చు: H = 2r షరతు ప్రకారం త్రిభుజాకార, క్రమ, చతుర్భుజ (దీనిలో బేస్ యొక్క వ్యతిరేక భుజాల మొత్తాలు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటాయి), ఇక్కడ H అనేది ఎత్తు ప్రిజం, r అనేది ఆధారంలో చెక్కబడిన వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం.

2. ప్రిజం చుట్టూ ఉన్న గోళం.

సిద్ధాంతం 2. ప్రిజం నిటారుగా ఉండి, దాని ఆధారం చుట్టూ ఒక వృత్తాన్ని వివరించగలిగితే మాత్రమే ఒక గోళాన్ని ప్రిజం చుట్టూ వర్ణించవచ్చు.

పరిణామం 1. సూటిగా ఉన్న ప్రిజం చుట్టూ ఉన్న గోళం యొక్క కేంద్రం, ఆధారం చుట్టూ ఉన్న వృత్తం మధ్యలో గీసిన ప్రిజం యొక్క ఎత్తు మధ్యలో ఉంటుంది.

పరిణామం 2.ఒక బంతిని, ప్రత్యేకించి, వర్ణించవచ్చు: కుడి త్రిభుజాకార ప్రిజం దగ్గర, సాధారణ ప్రిజం దగ్గర, దీర్ఘచతురస్రాకార సమాంతర పైప్డ్ దగ్గర, కుడి చతుర్భుజ ప్రిజం దగ్గర, దీనిలో బేస్ యొక్క వ్యతిరేక కోణాల మొత్తం 180 డిగ్రీలకు సమానం.

L.S. Atanasyan ద్వారా పాఠ్యపుస్తకం నుండి, సమస్యలు సంఖ్య 632, 633, 634, 637(a), 639(a,b) బంతి మరియు ప్రిజం కలయిక కోసం సూచించవచ్చు.

పిరమిడ్‌తో బంతిని కలపడం.

1. పిరమిడ్ దగ్గర వివరించిన బంతి.

సిద్ధాంతం 3. పిరమిడ్ చుట్టూ ఒక వృత్తాన్ని దాని బేస్ చుట్టూ వివరించగలిగితే మాత్రమే బంతిని వర్ణించవచ్చు.

పరిణామం 1.ఒక పిరమిడ్ చుట్టూ చుట్టబడిన గోళం యొక్క కేంద్రం, పిరమిడ్ యొక్క పునాదికి లంబంగా ఒక సరళ రేఖ యొక్క ఖండన బిందువు వద్ద ఉంటుంది, ఈ బేస్ చుట్టూ చుట్టుముట్టబడిన వృత్తం మధ్యలో గుండా వెళుతుంది మరియు ఏదైనా పార్శ్వ అంచుకు లంబంగా ఒక విమానం మధ్యలో ఉంటుంది. ఈ అంచు.

పరిణామం 2.పిరమిడ్ యొక్క ప్రక్క అంచులు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటే (లేదా బేస్ యొక్క సమతలానికి సమానంగా వంగి ఉంటే), అప్పుడు ఒక బంతిని అటువంటి పిరమిడ్ చుట్టూ వర్ణించవచ్చు, ఈ సందర్భంలో ఈ బంతి మధ్యలో ఉంటుంది పిరమిడ్ యొక్క ఎత్తు (లేదా దాని పొడిగింపు) విమానం పార్శ్వ అంచు మరియు ఎత్తులో ఉన్న వైపు అంచు యొక్క సమరూపత అక్షం.

పర్యవసానం 3.ఒక బంతిని, ప్రత్యేకించి, వర్ణించవచ్చు: త్రిభుజాకార పిరమిడ్ దగ్గర, సాధారణ పిరమిడ్ దగ్గర, చతుర్భుజ పిరమిడ్ దగ్గర, వ్యతిరేక కోణాల మొత్తం 180 డిగ్రీలు.

2. పిరమిడ్‌లో చెక్కబడిన బంతి.

సిద్ధాంతం 4. పిరమిడ్ యొక్క ప్రక్క ముఖాలు బేస్‌కు సమానంగా వంపుతిరిగి ఉంటే, అటువంటి పిరమిడ్‌లో బంతిని చెక్కవచ్చు.

పరిణామం 1.పిరమిడ్‌లో చెక్కబడిన బంతి మధ్యలో, దాని ప్రక్క ముఖాలు బేస్‌కు సమానంగా వంగి ఉంటాయి, పిరమిడ్ యొక్క బేస్ వద్ద ఏదైనా డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క సరళ కోణం యొక్క ద్విసెక్టర్‌తో పిరమిడ్ ఎత్తు ఖండన బిందువు వద్ద ఉంటుంది. వీటిలో పిరమిడ్ పై నుండి గీసిన పక్క ముఖం యొక్క ఎత్తు.

పరిణామం 2.మీరు సాధారణ పిరమిడ్‌లో బంతిని అమర్చవచ్చు.

L.S. Atanasyan ద్వారా పాఠ్యపుస్తకం నుండి, పిరమిడ్‌తో బంతిని కలపడం కోసం సమస్యలు సంఖ్య 635, 637(b), 638, 639(c), 640, 641 సూచించవచ్చు.

కత్తిరించబడిన పిరమిడ్‌తో బంతి కలయిక.

1. ఒక సాధారణ కత్తిరించబడిన పిరమిడ్ చుట్టూ చుట్టబడిన బంతి.

సిద్ధాంతం 5. ఏదైనా సాధారణ కత్తిరించబడిన పిరమిడ్ చుట్టూ ఒక గోళాన్ని వివరించవచ్చు. (ఈ పరిస్థితి సరిపోతుంది, కానీ అవసరం లేదు)

2. సాధారణ కత్తిరించబడిన పిరమిడ్‌లో చెక్కబడిన బంతి.

సిద్ధాంతం 6. పిరమిడ్ యొక్క అపోథెమ్ బేస్‌ల అపోథెమ్‌ల మొత్తానికి సమానంగా ఉంటే మాత్రమే ఒక బంతిని సాధారణ కత్తిరించబడిన పిరమిడ్‌లో లిఖించవచ్చు.

L.S. Atanasyan యొక్క పాఠ్యపుస్తకం (నం. 636)లో కత్తిరించబడిన పిరమిడ్‌తో బంతి కలయికకు ఒకే ఒక సమస్య ఉంది.

రౌండ్ బాడీలతో బంతి కలయిక.

సిద్ధాంతం 7. ఒక గోళాన్ని ఒక సిలిండర్, ఒక కత్తిరించబడిన కోన్ (నేరుగా వృత్తాకారంలో) లేదా ఒక కోన్ చుట్టూ వివరించవచ్చు.

సిద్ధాంతం 8. సిలిండర్ సమబాహుగా ఉన్నట్లయితే మాత్రమే బంతిని (నేరుగా వృత్తాకార) సిలిండర్‌లో వ్రాయవచ్చు.

సిద్ధాంతం 9. మీరు ఏదైనా కోన్ (నేరుగా వృత్తాకారంలో) బంతిని అమర్చవచ్చు.

సిద్ధాంతం 10. ఒక బంతిని కత్తిరించిన కోన్‌లో (నేరుగా వృత్తాకారంలో) లిఖించవచ్చు మరియు దాని జనరేటర్ బేస్‌ల రేడియాల మొత్తానికి సమానంగా ఉంటే మాత్రమే.

L.S. Atanasyan ద్వారా పాఠ్యపుస్తకం నుండి, సమస్యలు సంఖ్య 642, 643, 644, 645, 646 రౌండ్ బాడీలతో బంతిని కలపడం కోసం సూచించవచ్చు.

ఈ అంశంపై విషయాలను మరింత విజయవంతంగా అధ్యయనం చేయడానికి, పాఠాలలో నోటి పనులను చేర్చడం అవసరం:

1. క్యూబ్ యొక్క అంచు a కి సమానం. బంతుల రేడియాలను కనుగొనండి: క్యూబ్‌లో చెక్కబడి దాని చుట్టూ చుట్టుముట్టబడి ఉంటుంది. (r = a/2, R = a3).

2. చుట్టూ ఒక గోళాన్ని (బంతి) వివరించడం సాధ్యమేనా: a) ఒక క్యూబ్; బి) దీర్ఘచతురస్రాకార సమాంతర పైప్డ్; సి) దాని బేస్ వద్ద ఒక దీర్ఘచతురస్రంతో వంపుతిరిగిన సమాంతర పైప్డ్; d) నేరుగా సమాంతర పైప్డ్; ఇ) వంపుతిరిగిన సమాంతర పైప్డ్? (ఎ) అవును; బి) అవును; సి) లేదు; d) లేదు; డి) లేదు)

3. ఏదైనా త్రిభుజాకార పిరమిడ్ చుట్టూ ఒక గోళం వర్ణించబడుతుందనేది నిజమేనా? (అవును)

4. ఏదైనా చతుర్భుజ పిరమిడ్ చుట్టూ ఉన్న గోళాన్ని వివరించడం సాధ్యమేనా? (లేదు, ఏ చతుర్భుజ పిరమిడ్ దగ్గర లేదు)

5. పిరమిడ్ దాని చుట్టూ ఉన్న గోళాన్ని వివరించడానికి ఏ లక్షణాలను కలిగి ఉండాలి? (దాని బేస్ వద్ద ఒక బహుభుజి ఉండాలి, దాని చుట్టూ ఒక వృత్తాన్ని వర్ణించవచ్చు)

6. ఒక గోళంలో ఒక పిరమిడ్ చెక్కబడి ఉంటుంది, దాని ప్రక్క అంచు ఆధారానికి లంబంగా ఉంటుంది. గోళం యొక్క కేంద్రాన్ని ఎలా కనుగొనాలి? (గోళం యొక్క కేంద్రం అంతరిక్షంలో ఉన్న రెండు రేఖాగణిత స్థానాల ఖండన స్థానం. మొదటిది పిరమిడ్ యొక్క బేస్ యొక్క సమతలానికి లంబంగా గీస్తారు, దాని చుట్టూ చుట్టుముట్టబడిన వృత్తం మధ్యలో ఉంటుంది. రెండవది ఒక విమానం ఇచ్చిన సైడ్ ఎడ్జ్‌కు లంబంగా మరియు దాని మధ్యలో గీసారు)

7. ప్రిజం చుట్టూ ఉన్న గోళాన్ని మీరు ఏ పరిస్థితులలో వర్ణించవచ్చు, దాని అడుగుభాగంలో ట్రాపెజాయిడ్ ఉంటుంది? (మొదట, ప్రిజం నిటారుగా ఉండాలి మరియు రెండవది, ట్రాపజోయిడ్ ఐసోసెల్స్ అయి ఉండాలి, తద్వారా దాని చుట్టూ ఒక వృత్తాన్ని వర్ణించవచ్చు)

8. ఒక గోళం దాని చుట్టూ వర్ణించబడాలంటే ప్రిజం ఏ పరిస్థితులను సంతృప్తి పరచాలి? (ప్రిజం నిటారుగా ఉండాలి మరియు దాని ఆధారం తప్పనిసరిగా బహుభుజి అయి ఉండాలి, దాని చుట్టూ వృత్తాన్ని వర్ణించవచ్చు)

9. త్రిభుజాకార ప్రిజం చుట్టూ ఒక గోళం వివరించబడింది, దీని కేంద్రం ప్రిజం వెలుపల ఉంటుంది. ప్రిజం యొక్క ఆధారం ఏ త్రిభుజం? (అంచనా త్రిభుజం)

10. వంపుతిరిగిన ప్రిజం చుట్టూ ఉన్న గోళాన్ని వివరించడం సాధ్యమేనా? (నువ్వుకాదు)

11. లంబకోణ త్రిభుజాకార ప్రిజం చుట్టూ ఉన్న గోళం యొక్క కేంద్రం ప్రిజం యొక్క పార్శ్వ ముఖాలలో ఒకదానిపై ఏ పరిస్థితిలో ఉంటుంది? (ఆధారం ఒక లంబ త్రిభుజం)

12. పిరమిడ్ యొక్క ఆధారం ఒక సమద్విబాహు ట్రాపెజాయిడ్. పిరమిడ్ యొక్క పైభాగం బేస్ యొక్క సమతలంపై ఉండే ఆర్తోగోనల్ ప్రొజెక్షన్ ట్రాపెజాయిడ్ వెలుపల ఉన్న ఒక బిందువు. అటువంటి ట్రాపెజాయిడ్ చుట్టూ ఉన్న గోళాన్ని వివరించడం సాధ్యమేనా? (అవును, మీరు చేయగలరు. పిరమిడ్ పైభాగంలోని ఆర్తోగోనల్ ప్రొజెక్షన్ దాని బేస్ వెలుపల ఉన్నదనే వాస్తవం పట్టింపు లేదు. పిరమిడ్ యొక్క బేస్ వద్ద ఒక ఐసోసెల్స్ ట్రాపెజాయిడ్ - ఒక వృత్తం ఉండే బహుభుజి ఉండటం ముఖ్యం. వివరించబడింది)

13. సాధారణ పిరమిడ్ దగ్గర ఒక గోళం వివరించబడింది. పిరమిడ్ మూలకాలకు సంబంధించి దాని కేంద్రం ఎలా ఉంది? (గోళం యొక్క కేంద్రం దాని కేంద్రం ద్వారా బేస్ యొక్క సమతలానికి లంబంగా డ్రా చేయబడింది)

14. కుడి త్రిభుజాకార ప్రిజం చుట్టూ వివరించిన గోళం యొక్క కేంద్రం ఏ పరిస్థితిలో ఉంటుంది: a) ప్రిజం లోపల; బి) ప్రిజం వెలుపల? (ప్రిజం యొక్క బేస్ వద్ద: a) ఒక తీవ్రమైన త్రిభుజం; బి) మందమైన త్రిభుజం)

15. 1 dm, 2 dm మరియు 2 dm అంచులు ఉన్న దీర్ఘచతురస్రాకార సమాంతర పైప్ చుట్టూ ఒక గోళం వివరించబడింది. గోళం యొక్క వ్యాసార్థాన్ని లెక్కించండి. (1.5 dm)

16. కత్తిరించబడిన కోన్ ఏ గోళానికి సరిపోతుంది? (కత్తిరించబడిన కోన్‌లో, ఒక వృత్తాన్ని లిఖించగలిగే అక్షసంబంధ విభాగంలోకి. కోన్ యొక్క అక్షసంబంధ విభాగం ఒక సమద్విబాహు ట్రాపెజాయిడ్, దాని స్థావరాల మొత్తం తప్పనిసరిగా దాని పార్శ్వ భుజాల మొత్తానికి సమానంగా ఉండాలి. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ది కోన్ యొక్క స్థావరాల వ్యాసార్థం మొత్తం తప్పనిసరిగా జనరేటర్‌కు సమానంగా ఉండాలి)

17. కత్తిరించబడిన కోన్‌లో ఒక గోళం చెక్కబడి ఉంటుంది. గోళం మధ్యలో నుండి కోన్ యొక్క జనరేట్రిక్స్ ఏ కోణంలో కనిపిస్తుంది? (90 డిగ్రీలు)

18. ఒక గోళం దానిలో లిఖించబడాలంటే స్ట్రెయిట్ ప్రిజం ఏ ఆస్తిని కలిగి ఉండాలి? (మొదట, స్ట్రెయిట్ ప్రిజం యొక్క బేస్ వద్ద ఒక వృత్తాన్ని లిఖించగలిగే బహుభుజి ఉండాలి మరియు రెండవది, ప్రిజం యొక్క ఎత్తు తప్పనిసరిగా బేస్‌లో చెక్కబడిన వృత్తం యొక్క వ్యాసానికి సమానంగా ఉండాలి)

19. గోళానికి సరిపోని పిరమిడ్‌కి ఉదాహరణ ఇవ్వండి? (ఉదాహరణకు, ఒక దీర్ఘచతురస్రం లేదా సమాంతర చతుర్భుజంతో చతుర్భుజ పిరమిడ్ దాని బేస్ వద్ద)

20. స్ట్రెయిట్ ప్రిజం యొక్క బేస్ వద్ద ఒక రాంబస్ ఉంటుంది. ఈ ప్రిజంలో ఒక గోళాన్ని అమర్చడం సాధ్యమేనా? (లేదు, ఇది అసాధ్యం, ఎందుకంటే సాధారణంగా రాంబస్ చుట్టూ ఉన్న వృత్తాన్ని వివరించడం అసాధ్యం)

21. ఏ పరిస్థితిలో గోళాన్ని కుడి త్రిభుజాకార ప్రిజంలో లిఖించవచ్చు? (ప్రిజం యొక్క ఎత్తు ఆధారంలో వ్రాయబడిన వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థానికి రెండింతలు ఉంటే)

22. సాధారణ చతుర్భుజాకార కత్తిరించబడిన పిరమిడ్‌లో గోళాన్ని ఏ పరిస్థితిలో వ్రాయవచ్చు? (ఇచ్చిన పిరమిడ్ యొక్క క్రాస్-సెక్షన్ దానికి లంబంగా బేస్ వైపు మధ్యలో గుండా వెళుతున్న విమానం అయితే, అది ఒక సమద్విబాహు ట్రాపెజాయిడ్, దానిలో వృత్తాన్ని చెక్కవచ్చు)

23. త్రిభుజాకార కత్తిరించబడిన పిరమిడ్‌లో ఒక గోళం చెక్కబడి ఉంటుంది. పిరమిడ్‌లోని ఏ బిందువు గోళానికి కేంద్రంగా ఉంది? (ఈ పిరమిడ్‌లో లిఖించబడిన గోళం యొక్క కేంద్రం ఆధారంతో పిరమిడ్ యొక్క పార్శ్వ ముఖాల ద్వారా ఏర్పడిన కోణాల యొక్క మూడు ద్వివిభాగ విమానాల ఖండన వద్ద ఉంది)

24. సిలిండర్ (కుడి వృత్తాకారం) చుట్టూ ఉన్న గోళాన్ని వివరించడం సాధ్యమేనా? (మీరు చెయ్యవచ్చు అవును)

25. ఒక కోన్ చుట్టూ ఉన్న గోళాన్ని, కత్తిరించబడిన కోన్ (నేరుగా వృత్తాకారంలో) వివరించడం సాధ్యమేనా? (అవును, మీరు రెండు సందర్భాల్లోనూ చేయవచ్చు)

26. ఏదైనా సిలిండర్‌లో గోళాన్ని చెక్కవచ్చా? ఒక గోళాన్ని అమర్చడానికి సిలిండర్‌కు ఏ లక్షణాలు ఉండాలి? (లేదు, ప్రతిసారీ కాదు: సిలిండర్ యొక్క అక్షసంబంధ విభాగం తప్పనిసరిగా చతురస్రంగా ఉండాలి)

27. ఏదైనా శంకువులో గోళాన్ని లిఖించవచ్చా? కోన్‌లో చెక్కబడిన గోళం యొక్క కేంద్రం స్థానాన్ని ఎలా గుర్తించాలి? (అవును, ఖచ్చితంగా. చెక్కబడిన గోళం యొక్క కేంద్రం కోన్ యొక్క ఎత్తు మరియు బేస్ యొక్క సమతలానికి జెనరాట్రిక్స్ యొక్క వంపు కోణం యొక్క ద్విదళం యొక్క ఖండన వద్ద ఉంది)

“పాలీహెడ్రా, సిలిండర్, కోన్ మరియు బాల్‌పై విభిన్న సమస్యలు” అనే అంశంపై మూడు ప్రణాళిక పాఠాలలో, బంతిని ఇతర శరీరాలతో కలపడంపై సమస్యలను పరిష్కరించడానికి రెండు పాఠాలను కేటాయించడం మంచిది అని రచయిత అభిప్రాయపడ్డారు. తరగతిలో తగినంత సమయం లేనందున పైన ఇచ్చిన సిద్ధాంతాలను నిరూపించడానికి ఇది సిఫార్సు చేయబడదు. రుజువు యొక్క కోర్సు లేదా ప్రణాళికను సూచించడం ద్వారా (ఉపాధ్యాయుని అభీష్టానుసారం) వాటిని నిరూపించడానికి మీరు దీనికి తగిన నైపుణ్యాలను కలిగి ఉన్న విద్యార్థులను ఆహ్వానించవచ్చు.