ప్రాంతం యొక్క భూభాగాల కోసం, 200X కోసం డేటా అందించబడింది.

ప్రాంత సంఖ్య	ఒక సామర్థ్యం గల వ్యక్తి యొక్క రోజుకు సగటు తలసరి జీవన వేతనం, రబ్., x	సగటు రోజువారీ వేతనం, రబ్., వై
1	78	133
2	82	148
3	87	134
4	79	154
5	89	162
6	106	195
7	67	139
8	88	158
9	73	152
10	87	162
11	76	159
12	115	173

వ్యాయామం:

1. ఒక సహసంబంధ ఫీల్డ్‌ను రూపొందించండి మరియు కనెక్షన్ యొక్క రూపం గురించి ఒక పరికల్పనను రూపొందించండి.

2. లీనియర్ రిగ్రెషన్ సమీకరణం యొక్క పారామితులను లెక్కించండి

4. సగటు (సాధారణ) స్థితిస్థాపకత గుణకం ఉపయోగించి, కారకం మరియు ఫలితం మధ్య సంబంధం యొక్క బలం యొక్క తులనాత్మక అంచనాను ఇవ్వండి.

7. కారకం యొక్క అంచనా విలువ దాని సగటు స్థాయి నుండి 10% పెరిగితే, ఫలితం యొక్క అంచనా విలువను లెక్కించండి. ప్రాముఖ్యత స్థాయి కోసం సూచన విశ్వాస విరామాన్ని నిర్ణయించండి.

పరిష్కారం:

Excel ఉపయోగించి ఈ సమస్యను పరిష్కరిద్దాం.

1. అందుబాటులో ఉన్న డేటా x మరియు y లను పోల్చడం ద్వారా, ఉదాహరణకు, కారకం x యొక్క పెరుగుతున్న క్రమంలో వాటిని ర్యాంక్ చేయడం ద్వారా, సగటు తలసరి జీవనాధార స్థాయి పెరుగుదల సగటు రోజువారీ సగటును పెంచినప్పుడు, లక్షణాల మధ్య ప్రత్యక్ష సంబంధం ఉనికిని గమనించవచ్చు. వేతనం. దీని ఆధారంగా, లక్షణాల మధ్య సంబంధం ప్రత్యక్షంగా ఉంటుందని మరియు సరళ రేఖ సమీకరణం ద్వారా వర్ణించబడుతుందని మనం ఊహించవచ్చు. గ్రాఫికల్ విశ్లేషణ ఆధారంగా అదే ముగింపు నిర్ధారించబడింది.

సహసంబంధ ఫీల్డ్‌ను రూపొందించడానికి, మీరు Excel PPPని ఉపయోగించవచ్చు. ప్రారంభ డేటాను క్రమంలో నమోదు చేయండి: మొదటి x, ఆపై y.

డేటాను కలిగి ఉన్న కణాల ప్రాంతాన్ని ఎంచుకోండి.

అప్పుడు ఎంచుకోండి: చొప్పించు / స్కాటర్ ప్లాట్ / స్కాటర్ మార్కర్లతోమూర్తి 1 లో చూపిన విధంగా.

మూర్తి 1 సహసంబంధ క్షేత్రం యొక్క నిర్మాణం

పాయింట్లు దాదాపు సరళ రేఖలో ఉన్నందున, సహసంబంధ క్షేత్రం యొక్క విశ్లేషణ సరళానికి దగ్గరగా ఆధారపడటం ఉనికిని చూపుతుంది.

2. లీనియర్ రిగ్రెషన్ సమీకరణం యొక్క పారామితులను లెక్కించేందుకు
అంతర్నిర్మిత గణాంక ఫంక్షన్‌ని ఉపయోగిస్తాము LINEST.

దీని కొరకు:

1) విశ్లేషించబడిన డేటాను కలిగి ఉన్న ఫైల్‌ను తెరవండి;
2) రిగ్రెషన్ గణాంకాల ఫలితాలను ప్రదర్శించడానికి 5x2 ఖాళీ సెల్‌ల ప్రాంతాన్ని (5 అడ్డు వరుసలు, 2 నిలువు వరుసలు) ఎంచుకోండి.
3) సక్రియం చేయండి ఫంక్షన్ విజార్డ్: ప్రధాన మెనులో ఎంచుకోండి సూత్రాలు / ఇన్సర్ట్ ఫంక్షన్.
4) విండోలో వర్గంమీరు తీసుకుంటున్నారు స్టాటిస్టికల్, ఫంక్షన్ విండోలో - LINEST. బటన్ క్లిక్ చేయండి అలాగేమూర్తి 2 లో చూపిన విధంగా;

మూర్తి 2 ఫంక్షన్ విజార్డ్ డైలాగ్ బాక్స్

5) ఫంక్షన్ ఆర్గ్యుమెంట్‌లను పూరించండి:

కోసం తెలిసిన విలువలు

x యొక్క తెలిసిన విలువలు

స్థిరమైన- సమీకరణంలో ఉచిత పదం యొక్క ఉనికి లేదా లేకపోవడాన్ని సూచించే తార్కిక విలువ; స్థిరం = 1 అయితే, ఉచిత పదం సాధారణ పద్ధతిలో లెక్కించబడుతుంది, స్థిరం = 0 అయితే, అప్పుడు ఉచిత పదం 0;

గణాంకాలు- రిగ్రెషన్ విశ్లేషణపై అదనపు సమాచారాన్ని ప్రదర్శించాలా వద్దా అని సూచించే తార్కిక విలువ. గణాంకాలు = 1 అయితే, అదనపు సమాచారం ప్రదర్శించబడుతుంది, గణాంకాలు = 0 అయితే, సమీకరణ పారామితుల అంచనాలు మాత్రమే ప్రదర్శించబడతాయి.

బటన్ క్లిక్ చేయండి అలాగే;

మూర్తి 3 LINEST ఫంక్షన్ ఆర్గ్యుమెంట్స్ డైలాగ్ బాక్స్

6) తుది పట్టిక యొక్క మొదటి మూలకం ఎంచుకున్న ప్రాంతం యొక్క ఎగువ ఎడమ సెల్‌లో కనిపిస్తుంది. మొత్తం పట్టికను తెరవడానికి, కీని నొక్కండి , ఆపై కీ కలయికకు ++ .

అదనపు రిగ్రెషన్ గణాంకాలు క్రింది రేఖాచిత్రంలో చూపిన క్రమంలో అవుట్‌పుట్ చేయబడతాయి:

గుణకం విలువ బి	గుణకం విలువ
ప్రామాణిక లోపం b	ప్రామాణిక లోపం a
ప్రామాణిక లోపం y
F-గణాంకం
చతురస్రాల రిగ్రెషన్ మొత్తం

Figure 4 LINEST ఫంక్షన్ గణన యొక్క ఫలితం

మేము రిగ్రెషన్ స్థాయిని పొందాము:

మేము ముగించాము: సగటు తలసరి జీవనాధార స్థాయి 1 రబ్ పెరుగుదలతో. సగటు రోజువారీ వేతనం సగటున 0.92 రూబిళ్లు పెరుగుతుంది.

అంటే వేతనాలలో 52% వైవిధ్యం (y) కారకం x - సగటు తలసరి జీవన వేతనం మరియు 48% - మోడల్‌లో చేర్చని ఇతర కారకాల చర్య ద్వారా వైవిధ్యం ద్వారా వివరించబడింది.

నిర్ణయించిన గుణకం యొక్క లెక్కించిన గుణకాన్ని ఉపయోగించి, సహసంబంధ గుణకాన్ని లెక్కించవచ్చు: .

కనెక్షన్ దగ్గరగా ఉన్నట్లు అంచనా వేయబడింది.

4. సగటు (సాధారణ) స్థితిస్థాపకత గుణకాన్ని ఉపయోగించి, ఫలితంపై కారకం యొక్క ప్రభావం యొక్క బలాన్ని మేము నిర్ణయిస్తాము.

సరళ రేఖ సమీకరణం కోసం, మేము సూత్రాన్ని ఉపయోగించి సగటు (మొత్తం) స్థితిస్థాపకత గుణకాన్ని నిర్ణయిస్తాము:

మేము x విలువలతో కణాల ప్రాంతాన్ని ఎంచుకుని, ఎంచుకోవడం ద్వారా సగటు విలువలను కనుగొంటాము సూత్రాలు / ఆటోసమ్ / సగటు, మరియు మేము y విలువలతో కూడా అదే చేస్తాము.

మూర్తి 5 సగటు ఫంక్షన్ విలువలు మరియు వాదన యొక్క గణన

ఈ విధంగా, సగటు తలసరి జీవన వ్యయం దాని సగటు విలువ నుండి 1% మారితే, సగటు రోజువారీ వేతనం సగటున 0.51% మారుతుంది.

డేటా విశ్లేషణ సాధనాన్ని ఉపయోగించడం తిరోగమనంఅందుబాటులో:
- రిగ్రెషన్ గణాంకాల ఫలితాలు,
- వ్యత్యాసాల విశ్లేషణ ఫలితాలు,
- విశ్వాస విరామాల ఫలితాలు,
- అవశేషాలు మరియు రిగ్రెషన్ లైన్ ఫిట్టింగ్ గ్రాఫ్‌లు,
- అవశేషాలు మరియు సాధారణ సంభావ్యత.

విధానం క్రింది విధంగా ఉంది:

1) యాక్సెస్ తనిఖీ విశ్లేషణ ప్యాకేజీ. ప్రధాన మెనులో, ఎంచుకోండి: ఫైల్/ఐచ్ఛికాలు/యాడ్-ఆన్‌లు.

2) డ్రాప్‌డౌన్ జాబితాలో నియంత్రణఅంశాన్ని ఎంచుకోండి ఎక్సెల్ యాడ్-ఇన్‌లుమరియు బటన్ నొక్కండి వెళ్ళండి.

3) విండోలో యాడ్-ఆన్‌లుపెట్టెను తనిఖీ చేయండి విశ్లేషణ ప్యాకేజీఆపై బటన్ క్లిక్ చేయండి అలాగే.

ఉంటే విశ్లేషణ ప్యాకేజీఫీల్డ్ జాబితాలో లేదు అందుబాటులో ఉన్న యాడ్-ఆన్‌లు, బటన్ నొక్కండి సమీక్షఒక శోధన నిర్వహించడానికి.

మీ కంప్యూటర్‌లో విశ్లేషణ ప్యాకేజీ ఇన్‌స్టాల్ చేయబడలేదని మీకు సందేశం వచ్చినట్లయితే, క్లిక్ చేయండి అవునుదానిని ఇన్స్టాల్ చేయడానికి.

4) ప్రధాన మెనులో, ఎంచుకోండి: డేటా / డేటా విశ్లేషణ / విశ్లేషణ సాధనాలు / తిరోగమనంఆపై బటన్ క్లిక్ చేయండి అలాగే.

5) డేటా ఇన్‌పుట్ మరియు అవుట్‌పుట్ పారామితుల డైలాగ్ బాక్స్‌ను పూరించండి:

ఇన్‌పుట్ విరామం Y- ఫలిత లక్షణం యొక్క డేటాను కలిగి ఉన్న పరిధి;

ఇన్‌పుట్ విరామం X- కారకాల లక్షణం యొక్క డేటాను కలిగి ఉన్న పరిధి;

టాగ్లు- మొదటి పంక్తిలో నిలువు వరుస పేర్లు ఉన్నాయా లేదా అని సూచించే ఫ్లాగ్;

స్థిరం - సున్నా- సమీకరణంలో ఉచిత పదం యొక్క ఉనికి లేదా లేకపోవడాన్ని సూచించే జెండా;

అవుట్‌పుట్ విరామం- భవిష్యత్ పరిధి యొక్క ఎగువ ఎడమ గడిని సూచించడానికి సరిపోతుంది;

6) కొత్త వర్క్‌షీట్ - మీరు కొత్త షీట్ కోసం ఏకపక్ష పేరును పేర్కొనవచ్చు.

అప్పుడు బటన్ క్లిక్ చేయండి అలాగే.

రిగ్రెషన్ సాధనం కోసం పారామితులను నమోదు చేయడానికి మూర్తి 6 డైలాగ్ బాక్స్

సమస్య డేటా కోసం రిగ్రెషన్ విశ్లేషణ ఫలితాలు మూర్తి 7లో ప్రదర్శించబడ్డాయి.

మూర్తి 7 రిగ్రెషన్ సాధనాన్ని ఉపయోగించడం యొక్క ఫలితం

5. సగటు ఉజ్జాయింపు దోషాన్ని ఉపయోగించి సమీకరణాల నాణ్యతను మూల్యాంకనం చేద్దాం. మూర్తి 8లో అందించిన రిగ్రెషన్ విశ్లేషణ ఫలితాలను ఉపయోగించుకుందాం.

మూర్తి 8 రిగ్రెషన్ సాధనాన్ని ఉపయోగించడం యొక్క ఫలితం "మిగిలిన ఉపసంహరణ"

మూర్తి 9లో చూపిన విధంగా కొత్త పట్టికను క్రియేట్ చేద్దాం. C నిలువు వరుసలో, మేము సూత్రాన్ని ఉపయోగించి సంబంధిత ఉజ్జాయింపు లోపాన్ని గణిస్తాము:

మూర్తి 9 సగటు ఉజ్జాయింపు లోపం యొక్క గణన

సగటు ఉజ్జాయింపు లోపం సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది:

నిర్మించిన నమూనా యొక్క నాణ్యత 8 - 10% మించనందున, మంచిగా అంచనా వేయబడుతుంది.

6. రిగ్రెషన్ గణాంకాలతో పట్టిక నుండి (మూర్తి 4) ఫిషర్ యొక్క F-పరీక్ష యొక్క వాస్తవ విలువను మేము వ్రాస్తాము:

ఎందుకంటే 5% ప్రాముఖ్యత స్థాయిలో, రిగ్రెషన్ సమీకరణం ముఖ్యమైనదని మేము నిర్ధారించగలము (సంబంధం నిరూపించబడింది).

8. మేము విద్యార్థి యొక్క t-గణాంకాలను ఉపయోగించి మరియు ప్రతి సూచిక యొక్క విశ్వాస విరామాన్ని లెక్కించడం ద్వారా రిగ్రెషన్ పారామితుల యొక్క గణాంక ప్రాముఖ్యతను అంచనా వేస్తాము.

సూచికలు మరియు సున్నా మధ్య గణాంకపరంగా చాలా తక్కువ వ్యత్యాసం గురించి మేము పరికల్పన H 0ని ముందుకు తెచ్చాము:

.

స్వేచ్ఛ యొక్క డిగ్రీల సంఖ్య కోసం

మూర్తి 7 వాస్తవ t-గణాంక విలువలను కలిగి ఉంది:

సహసంబంధ గుణకం కోసం t-పరీక్షను రెండు విధాలుగా లెక్కించవచ్చు:

విధానం I:

ఎక్కడ - సహసంబంధ గుణకం యొక్క యాదృచ్ఛిక లోపం.

మేము మూర్తి 7లోని పట్టిక నుండి గణన కోసం డేటాను తీసుకుంటాము.

విధానం II:

వాస్తవ t-గణాంక విలువలు పట్టిక విలువలను మించిపోయాయి:

అందువల్ల, పరికల్పన H 0 తిరస్కరించబడింది, అనగా రిగ్రెషన్ పారామితులు మరియు సహసంబంధ గుణకం అవకాశం ద్వారా సున్నా నుండి భిన్నంగా ఉండవు, కానీ గణాంకపరంగా ముఖ్యమైనవి.

పరామితి a కోసం విశ్వాస విరామం ఇలా నిర్వచించబడింది

పరామితి a కోసం, మూర్తి 7లో చూపిన విధంగా 95% పరిమితులు:

రిగ్రెషన్ కోఎఫీషియంట్ కోసం విశ్వాస విరామం ఇలా నిర్వచించబడింది

రిగ్రెషన్ కోఎఫీషియంట్ b కోసం, మూర్తి 7లో చూపిన విధంగా 95% పరిమితులు:

విశ్వాస విరామాల ఎగువ మరియు దిగువ పరిమితుల విశ్లేషణ సంభావ్యతతో నిర్ధారణకు దారి తీస్తుంది పారామితులు a మరియు b, పేర్కొన్న పరిమితుల్లో ఉండటం వలన, సున్నా విలువలను తీసుకోవద్దు, అనగా. సంఖ్యాపరంగా ముఖ్యమైనవి కావు మరియు సున్నా నుండి గణనీయంగా భిన్నంగా ఉంటాయి.

7. రిగ్రెషన్ సమీకరణం యొక్క పొందిన అంచనాలు దానిని అంచనా వేయడానికి ఉపయోగించటానికి అనుమతిస్తాయి. అంచనా వేసిన జీవన వ్యయం ఇలా ఉంటే:

అప్పుడు జీవన వ్యయం యొక్క అంచనా విలువ:

మేము సూత్రాన్ని ఉపయోగించి సూచన లోపాన్ని లెక్కిస్తాము:

ఎక్కడ

మేము Excel PPPని ఉపయోగించి వ్యత్యాసాన్ని కూడా గణిస్తాము. దీని కొరకు:

1) సక్రియం చేయండి ఫంక్షన్ విజార్డ్: ప్రధాన మెనులో ఎంచుకోండి సూత్రాలు / ఇన్సర్ట్ ఫంక్షన్.

3) కారకం లక్షణం యొక్క సంఖ్యా డేటాను కలిగి ఉన్న పరిధిని పూరించండి. క్లిక్ చేయండి అలాగే.

మూర్తి 10 వైవిధ్యం యొక్క గణన

మేము వ్యత్యాస విలువను పొందాము

స్వేచ్ఛ యొక్క డిగ్రీకి అవశేష వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించడానికి, మేము మూర్తి 7లో చూపిన విధంగా వ్యత్యాస విశ్లేషణ ఫలితాలను ఉపయోగిస్తాము.

0.95 సంభావ్యతతో y యొక్క వ్యక్తిగత విలువలను అంచనా వేయడానికి విశ్వాస విరామాలు వ్యక్తీకరణ ద్వారా నిర్ణయించబడతాయి:

విరామం చాలా విస్తృతమైనది, ప్రధానంగా పరిశీలనల యొక్క చిన్న పరిమాణం కారణంగా. సాధారణంగా, సగటు నెలవారీ జీతం కోసం సూచన నమ్మదగినదిగా మారింది.

సమస్య యొక్క పరిస్థితి దీని నుండి తీసుకోబడింది: ఎకనామెట్రిక్స్‌పై వర్క్‌షాప్: ప్రో. భత్యం / I.I. ఎలిసీవా, S.V. కురిషేవా, N.M. గోర్డింకో మరియు ఇతరులు; Ed. ఐ.ఐ. ఎలిసీవా. - M.: ఫైనాన్స్ అండ్ స్టాటిస్టిక్స్, 2003. - 192 p.: అనారోగ్యం.

5. F-పరీక్షను ఉపయోగించి, ఫలితంగా జత చేయబడిన రిగ్రెషన్ సమీకరణం మొత్తంగా గణాంకపరంగా చాలా తక్కువగా ఉందని మరియు నెలవారీ పెన్షన్ విలువ y మరియు జీవన వ్యయం x మధ్య సంబంధం యొక్క అధ్యయనం చేసిన దృగ్విషయాన్ని తగినంతగా వివరించలేదని నిర్ధారించబడింది.

6. షరతులతో కూడిన సంస్థ y యొక్క నికర ఆదాయాన్ని మూలధన టర్నోవర్ x1 మరియు ఉపయోగించిన మూలధనం x2తో అనుసంధానిస్తూ ఎకనామెట్రిక్ మల్టిపుల్ లీనియర్ రిగ్రెషన్ మోడల్ రూపొందించబడింది.

7. స్థితిస్థాపకత కోఎఫీషియంట్‌లను లెక్కించడం ద్వారా, మూలధన టర్నోవర్ 1% మారినప్పుడు, కంపెనీ నికర ఆదాయం మొత్తం 0.0008% మారుతుందని మరియు ఉపయోగించిన మూలధనం 1% మారినప్పుడు, కంపెనీ నికర ఆదాయం మొత్తం మారుతుందని చూపబడింది. 0.56% మార్పులు.

8. t-test ఉపయోగించి, రిగ్రెషన్ కోఎఫీషియంట్స్ యొక్క గణాంక ప్రాముఖ్యత అంచనా వేయబడింది. వివరణాత్మక వేరియబుల్ x 1 గణాంకపరంగా చాలా తక్కువగా ఉందని మరియు రిగ్రెషన్ సమీకరణం నుండి మినహాయించవచ్చని కనుగొనబడింది, అదే సమయంలో వివరణాత్మక వేరియబుల్ x 2 సంఖ్యాపరంగా గణనీయమైన.

9. F-పరీక్షను ఉపయోగించి, ఫలితంగా జత చేయబడిన రిగ్రెషన్ సమీకరణం మొత్తంగా గణాంకపరంగా ముఖ్యమైనదని నిర్ధారించబడింది మరియు షరతులతో కూడిన సంస్థ యొక్క నికర ఆదాయం మరియు మూలధన టర్నోవర్ x 1 మరియు ఉపయోగించిన మూలధనం మధ్య సంబంధాన్ని అధ్యయనం చేసిన దృగ్విషయాన్ని తగినంతగా వివరిస్తుంది. x 2.

10. లీనియర్ మల్టిపుల్ రిగ్రెషన్ ఈక్వేషన్ ద్వారా గణాంక డేటా యొక్క ఉజ్జాయింపు యొక్క సగటు లోపం గణించబడింది, ఇది 29.8%. గణాంక డేటాబేస్లో ఏ పరిశీలన కారణంగా ఈ లోపం యొక్క పరిమాణం అనుమతించదగిన విలువను మించిపోతుందో చూపబడింది.

14. EXCELని ఉపయోగించకుండా జత చేసిన రిగ్రెషన్ మోడల్‌ను రూపొందించడం.

టేబుల్ 3.5లో ఇవ్వబడిన గణాంక సామగ్రిని ఉపయోగించి ఇది అవసరం:

2. సహసంబంధం మరియు సంకల్పం యొక్క సూచికలను ఉపయోగించి కనెక్షన్ యొక్క సన్నిహితతను అంచనా వేయండి.

3. స్థితిస్థాపకత గుణకాన్ని ఉపయోగించి, కారకం లక్షణం మరియు ఫలితానికి మధ్య కనెక్షన్ స్థాయిని నిర్ణయించండి.

4. సగటు ఉజ్జాయింపు లోపాన్ని నిర్ణయించండి.

5.ఫిషర్ యొక్క F-పరీక్షను ఉపయోగించి మోడలింగ్ యొక్క గణాంక విశ్వసనీయతను అంచనా వేయండి.

పట్టిక 3.5. ప్రారంభ డేటా.

	డిపాజిట్లు, రుణాలు, ధృవపత్రాలు మరియు విదేశీ కరెన్సీ కొనుగోలు కోసం పొదుపును పెంచడానికి ఉద్దేశించిన నగదు ఆదాయం వాటా, సగటు తలసరి నగదు ఆదాయం మొత్తంలో, %	సగటు నెలవారీ ఆర్జిత వేతనాలు, c.u.
కలుజ్స్కాయ
కోస్ట్రోమ్స్కాయ
ఓర్లోవ్స్కాయ
రియాజాన్
స్మోలెన్స్కాయ

జత చేయబడిన లీనియర్ రిగ్రెషన్ సమీకరణం యొక్క తెలియని పారామితులను b 0 , b 1 గుర్తించడానికి, మేము సాధారణ సమీకరణాల యొక్క ప్రామాణిక వ్యవస్థను ఉపయోగిస్తాము, ఇది రూపం కలిగి ఉంటుంది

(3.7)

ఈ వ్యవస్థను పరిష్కరించడానికి, మొదట Sx 2 మరియు Sxy విలువలను నిర్ణయించడం అవసరం. ఈ విలువలు మూలాధార డేటా పట్టిక నుండి నిర్ణయించబడతాయి, తగిన నిలువు వరుసలతో అనుబంధంగా ఉంటాయి (టేబుల్ 3.6).

పట్టిక 3.6. రిగ్రెషన్ కోఎఫీషియంట్స్ యొక్క గణన వైపు.

అప్పుడు సిస్టమ్ (3.7) రూపం తీసుకుంటుంది

మొదటి సమీకరణం నుండి b 0ని వ్యక్తీకరించడం మరియు ఫలిత వ్యక్తీకరణను రెండవ సమీకరణంలోకి మార్చడం ద్వారా మనం పొందుతాము:

టర్మ్-బై-టర్మ్ గుణకారం చేయడం మరియు బ్రాకెట్లను తెరవడం, మేము పొందుతాము:

చివరగా, సగటు నెలవారీ ఆర్జిత వేతనంతో y పొదుపులను పెంచే లక్ష్యంతో జనాభా నగదు ఆదాయం వాటా విలువను అనుసంధానించే జత చేసిన లీనియర్ రిగ్రెషన్ ఈక్వేషన్ x రూపాన్ని కలిగి ఉంది:

కాబట్టి, జత చేసిన లీనియర్ రిగ్రెషన్ యొక్క సమీకరణం నిర్మించబడినందున, మేము ఆధారపడటం ప్రకారం సరళ సహసంబంధ గుణకాన్ని నిర్ణయిస్తాము:

సంబంధిత పారామితుల యొక్క ప్రామాణిక విచలనాల విలువలు ఎక్కడ ఉన్నాయి.

ఆధారపడటం (3.9) నుండి లీనియర్ కోరిలేషన్ కోఎఫీషియంట్ను లెక్కించేందుకు, మేము ఇంటర్మీడియట్ లెక్కలను నిర్వహిస్తాము.

కనుగొనబడిన పారామితుల విలువలను వ్యక్తీకరణ (3.9)గా మార్చడం ద్వారా మేము పొందుతాము

.

లీనియర్ కోరిలేషన్ కోఎఫీషియంట్ యొక్క పొందిన విలువ, పొదుపులు y పెంచే లక్ష్యంతో జనాభా యొక్క నగదు ఆదాయం వాటా మరియు సగటు నెలవారీ ఆర్జిత వేతనాల మొత్తం x మధ్య బలహీనమైన విలోమ గణాంక సంబంధం ఉనికిని సూచిస్తుంది.

నిర్ణయ గుణకం , అంటే 9.6% మాత్రమే వివరణాత్మక వేరియబుల్ xని yపై రిగ్రెస్ చేయడం ద్వారా వివరించబడింది. దీని ప్రకారం, 90.4%కి సమానమైన విలువ 1 అనేది ఎకనామెట్రిక్ మోడల్‌లో పరిగణనలోకి తీసుకోని అన్ని ఇతర వివరణాత్మక వేరియబుల్స్ ప్రభావం వల్ల ఏర్పడే వేరియబుల్ y యొక్క వైవిధ్యం యొక్క వాటాను వర్గీకరిస్తుంది.

స్థితిస్థాపకత గుణకం

పర్యవసానంగా, సగటు నెలవారీ సంచిత వేతనం 1% మారినప్పుడు, పొదుపును పెంచే లక్ష్యంతో జనాభా యొక్క నగదు ఆదాయం వాటా కూడా 1% తగ్గుతుంది మరియు వేతనాల పెరుగుదలతో, నగదు ఆదాయంలో తగ్గుదల ఉంది. పొదుపును పెంచే లక్ష్యంతో జనాభా. ఈ తీర్మానం ఇంగితజ్ఞానానికి విరుద్ధంగా ఉంది మరియు రూపొందించబడిన గణిత నమూనా యొక్క సరికాని కారణంగా మాత్రమే వివరించబడుతుంది.

సగటు ఉజ్జాయింపు లోపాన్ని గణిద్దాం.

పట్టిక 3.7. సగటు ఉజ్జాయింపు లోపం యొక్క గణన వైపు.

పొందిన విలువ (12...15)% మించిపోయింది, ఇది ఎకనామెట్రిక్ మోడల్ నిర్మించబడిన వాస్తవ డేటా నుండి లెక్కించిన డేటా యొక్క సగటు విచలనం యొక్క ప్రాముఖ్యతను సూచిస్తుంది.

ఫిషర్ యొక్క F-పరీక్ష ఆధారంగా స్టాటిస్టికల్ మోడలింగ్ యొక్క విశ్వసనీయత నిర్వహించబడుతుంది. ఫిషర్ ప్రమాణం F calc యొక్క సైద్ధాంతిక విలువ సూత్రం ప్రకారం ఒక డిగ్రీ స్వేచ్ఛ కోసం లెక్కించిన కారకం మరియు అవశేష వ్యాప్తి యొక్క విలువల నిష్పత్తి నుండి నిర్ణయించబడుతుంది.

ఇక్కడ n అనేది పరిశీలనల సంఖ్య;

m అనేది వివరణాత్మక వేరియబుల్స్ సంఖ్య (ఉదాహరణకు m m =1 పరిశీలనలో ఉంది).

క్లిష్టమైన విలువ F crit గణాంక పట్టికల నుండి నిర్ణయించబడుతుంది మరియు ప్రాముఖ్యత స్థాయి a = 0.05 10.13కి సమానం. F లెక్కించినప్పటి నుండి

15. EXCELని ఉపయోగించకుండా బహుళ రిగ్రెషన్ మోడల్‌ను రూపొందించడం.

టేబుల్ 3.8లో ఇవ్వబడిన గణాంక విషయాలను ఉపయోగించి మీరు తప్పక:

1. లీనియర్ మల్టిపుల్ రిగ్రెషన్ ఈక్వేషన్‌ను రూపొందించండి మరియు దాని పారామితుల యొక్క ఆర్థిక అర్థాన్ని వివరించండి.

2. సగటు (సాధారణ) స్థితిస్థాపకత గుణకాలను ఉపయోగించి కారకాలు మరియు ఫలిత లక్షణం మధ్య సంబంధం యొక్క సామీప్యత యొక్క తులనాత్మక అంచనాను ఇవ్వండి.

3. t-పరీక్షను ఉపయోగించి రిగ్రెషన్ కోఎఫీషియంట్స్ యొక్క గణాంక ప్రాముఖ్యతను అంచనా వేయండి మరియు F-పరీక్షను ఉపయోగించి సమీకరణం యొక్క ప్రాముఖ్యత లేనిది గురించి శూన్య పరికల్పనను అంచనా వేయండి.

4. ఉజ్జాయింపు యొక్క సగటు లోపాన్ని నిర్ణయించడం ద్వారా సమీకరణం యొక్క నాణ్యతను అంచనా వేయండి.

పట్టిక 3.8. ప్రారంభ డేటా.

నికర ఆదాయం, మిలియన్ US డాలర్లు	మూలధన టర్నోవర్ మిలియన్ US డాలర్లు	ఉపయోగించిన మూలధనం, మిలియన్ US డాలర్లు

బహుళ లీనియర్ రిగ్రెషన్ సమీకరణం యొక్క తెలియని పారామితులను b 0 , b 1 , b 2 గుర్తించడానికి, మేము సాధారణ సమీకరణాల యొక్క ప్రామాణిక వ్యవస్థను ఉపయోగిస్తాము, ఇది రూపం కలిగి ఉంటుంది

(3.11)

ఈ వ్యవస్థను పరిష్కరించడానికి, Sx 1 2, Sx 2 2, Sx 1 y, Sx 2 y, Sx 1 x 2 పరిమాణాల విలువలను ముందుగా నిర్ణయించడం అవసరం. ఈ విలువలు మూలాధార డేటా పట్టిక నుండి నిర్ణయించబడతాయి, తగిన నిలువు వరుసలతో అనుబంధంగా ఉంటాయి (టేబుల్ 3.9).

పట్టిక 3.9. రిగ్రెషన్ కోఎఫీషియంట్స్ యొక్క గణన వైపు.

అప్పుడు సిస్టమ్ (3.11) రూపం తీసుకుంటుంది

ఈ వ్యవస్థను పరిష్కరించడానికి, మేము గాస్ పద్ధతిని ఉపయోగిస్తాము, ఇందులో తెలియని వాటిని వరుసగా తొలగించడం ఉంటుంది: సిస్టమ్ యొక్క మొదటి సమీకరణాన్ని 10 ద్వారా విభజించి, ఆపై ఫలిత సమీకరణాన్ని 370.6 ద్వారా గుణించి, సిస్టమ్ యొక్క రెండవ సమీకరణం నుండి తీసివేసి, ఆపై గుణించండి ఫలితంగా సమీకరణం 158.20 మరియు సిస్టమ్ యొక్క మూడవ సమీకరణం నుండి తీసివేయండి. సిస్టమ్ యొక్క రూపాంతరం చెందిన రెండవ మరియు మూడవ సమీకరణాల కోసం పేర్కొన్న అల్గోరిథంను పునరావృతం చేయడం ద్వారా, మేము పొందుతాము:

Þ Þ

Þ .

పరివర్తన తర్వాత మేము కలిగి ఉన్నాము:

లీనియర్ మల్టిపుల్ రిగ్రెషన్ ఈక్వేషన్ రూపంలో ఉపయోగించిన మూలధన టర్నోవర్ మరియు మూలధనంపై నికర ఆదాయం యొక్క తుది ఆధారపడటం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది:

ఉపయోగించిన మూలధనం పెరుగుదలతో, నికర ఆదాయం పెరుగుతుంది మరియు దీనికి విరుద్ధంగా, మూలధన టర్నోవర్ పెరుగుదలతో, నికర ఆదాయం తగ్గుతుందని ఫలితంగా వచ్చే ఎకనామెట్రిక్ సమీకరణం నుండి చూడవచ్చు. అదనంగా, పెద్ద రిగ్రెషన్ కోఎఫీషియంట్, డిపెండెంట్ వేరియబుల్‌పై వివరణాత్మక వేరియబుల్ యొక్క ప్రభావం ఎక్కువగా ఉంటుంది. పరిశీలనలో ఉన్న ఉదాహరణలో, రిగ్రెషన్ కోఎఫీషియంట్ విలువ గుణకం విలువ కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది, కాబట్టి ఉపయోగించిన మూలధనం మూలధన టర్నోవర్ కంటే నికర ఆదాయంపై గణనీయమైన ప్రభావాన్ని చూపుతుంది. ఈ ముగింపును లెక్కించడానికి, మేము పాక్షిక స్థితిస్థాపకత గుణకాలను నిర్ణయిస్తాము.

ఉపయోగించిన మూలధనం నికర ఆదాయంపై ఎక్కువ ప్రభావం చూపుతుందని ఫలితాల విశ్లేషణ కూడా చూపిస్తుంది. కాబట్టి, ముఖ్యంగా, ఉపయోగించిన మూలధనంలో 1% పెరుగుదలతో, నికర ఆదాయం 1.17% పెరుగుతుంది. అదే సమయంలో, మూలధన టర్నోవర్ 1% పెరుగుదలతో, నికర ఆదాయం 0.5% తగ్గుతుంది.

ఫిషర్ ప్రమాణం F calc యొక్క సైద్ధాంతిక విలువ.

క్లిష్టమైన విలువ F crit యొక్క విలువ గణాంక పట్టికల నుండి నిర్ణయించబడుతుంది మరియు a = 0.05 యొక్క ప్రాముఖ్యత స్థాయికి 4.74కి సమానం. F calc > F crit నుండి, శూన్య పరికల్పన తిరస్కరించబడింది మరియు ఫలితంగా వచ్చే రిగ్రెషన్ సమీకరణం గణాంకపరంగా ముఖ్యమైనదిగా అంగీకరించబడుతుంది.

రిగ్రెషన్ కోఎఫీషియంట్స్ యొక్క గణాంక ప్రాముఖ్యతను అంచనా వేయడం మరియు t- ప్రమాణం ఈ కోఎఫీషియంట్స్ యొక్క సంఖ్యా విలువను వాటి యాదృచ్ఛిక లోపాల పరిమాణంతో మరియు సంబంధం ప్రకారం పోల్చడానికి క్రిందికి వస్తుంది:

t-గణాంకాల యొక్క సైద్ధాంతిక విలువను లెక్కించడానికి పని సూత్రం:

, (3.13)

ఇక్కడ జత సహసంబంధ గుణకాలు మరియు బహుళ సహసంబంధ గుణకం డిపెండెన్సీల నుండి లెక్కించబడతాయి:

అప్పుడు t-గణాంకాల యొక్క సైద్ధాంతిక (లెక్కించిన) విలువలు వరుసగా సమానంగా ఉంటాయి:

t-గణాంకాల యొక్క క్లిష్టమైన విలువ, ప్రాముఖ్యత స్థాయి a = 0.05 t crit = 2.36కి సమానం కోసం గణాంక పట్టికల నుండి నిర్ణయించబడుతుంది, ఇది = - 1.798 కంటే సంపూర్ణ విలువలో ఎక్కువగా ఉంటుంది, అప్పుడు శూన్య పరికల్పన తిరస్కరించబడదు మరియు వివరణాత్మక వేరియబుల్ x 1 గణాంకపరంగా చాలా తక్కువగా ఉంటుంది మరియు రిగ్రెషన్ సమీకరణం నుండి దీనిని మినహాయించవచ్చు. దీనికి విరుద్ధంగా, రెండవ రిగ్రెషన్ కోఎఫీషియంట్ > t crit (3.3 > 2.36), మరియు వివరణాత్మక వేరియబుల్ x 2 గణాంకపరంగా ముఖ్యమైనది.

సగటు ఉజ్జాయింపు లోపాన్ని గణిద్దాం.

పట్టిక 3.10. సగటు ఉజ్జాయింపు లోపం యొక్క గణన వైపు.

అప్పుడు సగటు ఉజ్జాయింపు లోపం

పొందిన విలువ (12…15)%కి సమానమైన అనుమతించదగిన పరిమితిని మించదు.

16. కొలత సిద్ధాంతం యొక్క అభివృద్ధి చరిత్ర

TI మొదట సైకోఫిజికల్ కొలతల సిద్ధాంతంగా అభివృద్ధి చేయబడింది. యుద్ధానంతర ప్రచురణలలో, అమెరికన్ మనస్తత్వవేత్త S.S. స్టీవెన్స్ కొలత ప్రమాణాలపై దృష్టి పెట్టాడు. 20వ శతాబ్దం రెండవ భాగంలో. TI యొక్క అప్లికేషన్ యొక్క పరిధి వేగంగా విస్తరిస్తోంది. 50వ దశకంలో USAలో ప్రచురించబడిన “ఎన్‌సైక్లోపీడియా ఆఫ్ సైకలాజికల్ సైన్సెస్” యొక్క వాల్యూమ్‌లలో ఒకటి “మానసిక కొలతలు” అని పిలువబడింది. ఈ ప్రచురణ రచయితలు TI పరిధిని సైకోఫిజిక్స్ నుండి సైకాలజీకి సాధారణంగా విస్తరించారు. ఈ సేకరణలోని వ్యాసంలో, “ఫండమెంటల్స్ ఆఫ్ మెజర్‌మెంట్ థియరీ”, ప్రెజెంటేషన్ ఏదైనా నిర్దిష్ట అప్లికేషన్ ఫీల్డ్‌ను సూచించకుండా నైరూప్య గణిత స్థాయిలో ఉంది. అందులో, "సంఖ్యాపరంగా సంబంధాలతో అనుభావిక వ్యవస్థల హోమోమోర్ఫిజమ్స్" (ఇక్కడ ఈ గణిత పదాలలోకి వెళ్లవలసిన అవసరం లేదు) మరియు S.S రచనలతో పోలిస్తే ప్రదర్శన యొక్క గణిత సంక్లిష్టత పెరిగింది. స్టీవెన్స్.

TI పై మొదటి దేశీయ కథనాలలో ఒకటి (60 ల చివరలో), పరీక్షా వస్తువులను అంచనా వేసేటప్పుడు నిపుణులచే కేటాయించబడిన పాయింట్లు, ఒక నియమం వలె, ఆర్డినల్ స్కేల్‌లో కొలుస్తారు. 70 ల ప్రారంభంలో కనిపించిన రచనలు TI ఉపయోగం యొక్క పరిధిని గణనీయంగా విస్తరించడానికి దారితీశాయి. ఇది బోధనా క్వాలిమెట్రీ (విద్యార్థుల జ్ఞానం యొక్క నాణ్యతను కొలవడం), సిస్టమ్స్ రీసెర్చ్‌లో, నిపుణుల అంచనాల సిద్ధాంతం యొక్క వివిధ సమస్యలలో, ఉత్పత్తి నాణ్యత సూచికలను సమగ్రపరచడానికి, సామాజిక అధ్యయనాలలో మొదలైన వాటికి వర్తించబడుతుంది.

TI యొక్క రెండు ప్రధాన సమస్యలుగా, నిర్దిష్ట డేటాను కొలిచే స్కేల్ రకాన్ని స్థాపించడంతో పాటు, డేటా విశ్లేషణ అల్గారిథమ్‌ల కోసం అన్వేషణ ముందుకు వచ్చింది, దీని ఫలితం స్కేల్ యొక్క ఏదైనా ఆమోదయోగ్యమైన పరివర్తనతో మారదు (అనగా, సంబంధించి మార్పులేనిది. భౌగోళిక శాస్త్రంలో సాధారణ ప్రమాణాలు బ్యూఫోర్ట్ స్కేల్ విండ్స్ ("ప్రశాంతత", "తేలికపాటి గాలి", "మితమైన గాలి", మొదలైనవి), భూకంప శక్తి ప్రమాణం. సహజంగానే, 10 తీవ్రతతో సంభవించిన భూకంపం (భూమి ఉపరితలంపై ఉన్న ప్రతిదానిని పూర్తిగా నాశనం చేయడం) కంటే 2 తీవ్రతతో కూడిన భూకంపం (పైకప్పు కింద ఉన్న దీపం) సరిగ్గా 5 రెట్లు బలహీనమని చెప్పలేము.

వైద్యశాస్త్రంలో, ఆర్డినల్ స్కేల్స్ అనేది రక్తపోటు యొక్క దశల స్థాయి (మయాస్నికోవ్ ప్రకారం), గుండె వైఫల్యం యొక్క డిగ్రీల స్థాయి (స్ట్రాజెస్కో-వాసిలెంకో-లాంగ్ ప్రకారం), కొరోనరీ లోపం యొక్క తీవ్రత (ఫోగెల్సన్ ప్రకారం) మొదలైనవి. . ఈ ప్రమాణాలన్నీ కింది పథకం ప్రకారం నిర్మించబడ్డాయి: ఏ వ్యాధి కనుగొనబడలేదు; వ్యాధి యొక్క మొదటి దశ; రెండవ దశ; మూడవ దశ... కొన్నిసార్లు దశలు 1a, 16, మొదలైనవి వేరు చేయబడతాయి.ప్రతి దశకు ప్రత్యేకమైన వైద్య లక్షణం ఉంటుంది. వైకల్యం సమూహాలను వివరించేటప్పుడు, సంఖ్యలు వ్యతిరేక క్రమంలో ఉపయోగించబడతాయి: అత్యంత తీవ్రమైనది మొదటి వైకల్యం సమూహం, తరువాత రెండవది, తేలికైనది మూడవది.

ఇంటి సంఖ్యలు కూడా ఆర్డినల్ స్కేల్‌లో కొలుస్తారు - ఇళ్ళు వీధిలో ఏ క్రమంలో ఉన్నాయో అవి చూపుతాయి. రచయిత సేకరించిన రచనలలోని వాల్యూమ్ సంఖ్యలు లేదా ఎంటర్‌ప్రైజ్ ఆర్కైవ్‌లోని కేస్ నంబర్‌లు సాధారణంగా వాటి సృష్టి యొక్క కాలక్రమానుసారం అనుబంధించబడతాయి.

ఉత్పత్తులు మరియు సేవల నాణ్యతను అంచనా వేసేటప్పుడు, క్వాలిమెట్రీ (అక్షరాలా అనువాదం - నాణ్యత కొలత) అని పిలవబడే ఆర్డినల్ ప్రమాణాలు ప్రసిద్ధి చెందాయి. అవి, ఉత్పత్తి యూనిట్ ఆమోదయోగ్యమైనది లేదా అనర్హమైనదిగా అంచనా వేయబడుతుంది. మరింత సమగ్ర విశ్లేషణ కోసం, మూడు స్థాయిలతో కూడిన స్కేల్ ఉపయోగించబడుతుంది: ముఖ్యమైన లోపాలు ఉన్నాయి - చిన్న లోపాలు మాత్రమే ఉన్నాయి - లోపాలు లేవు. కొన్నిసార్లు నాలుగు స్థాయిలు ఉపయోగించబడతాయి: క్లిష్టమైన లోపాలు ఉన్నాయి (ఉపయోగించడం అసాధ్యం) - ముఖ్యమైన లోపాలు ఉన్నాయి - చిన్న లోపాలు మాత్రమే ఉన్నాయి - లోపాలు లేవు. ఉత్పత్తుల గ్రేడింగ్‌కు సమానమైన అర్థం ఉంది - ప్రీమియం, ఫస్ట్ గ్రేడ్, సెకండ్ గ్రేడ్,...

పర్యావరణ ప్రభావాలను అంచనా వేసేటప్పుడు, మొదటి, అత్యంత సాధారణ అంచనా సాధారణంగా ఆర్డినల్, ఉదాహరణకు: సహజ పర్యావరణం స్థిరంగా ఉంటుంది - సహజ వాతావరణం అణచివేయబడుతుంది (అధోకరణం చెందుతుంది). పర్యావరణ-వైద్య స్థాయి సమానంగా ఉంటుంది: మానవ ఆరోగ్యంపై ఎటువంటి ఉచ్ఛారణ ప్రభావం లేదు - ఆరోగ్యంపై ప్రతికూల ప్రభావం గుర్తించబడింది.

ఇతర ప్రాంతాలలో కూడా ఆర్డినల్ స్కేల్ ఉపయోగించబడుతుంది. ఎకనామెట్రిక్స్‌లో, ఇవి ప్రాథమికంగా నిపుణుల అంచనాల యొక్క వివిధ పద్ధతులు.

అన్ని కొలత ప్రమాణాలు రెండు సమూహాలుగా విభజించబడ్డాయి - గుణాత్మక లక్షణాల ప్రమాణాలు మరియు పరిమాణాత్మక లక్షణాల ప్రమాణాలు. ఆర్డినల్ స్కేల్ మరియు నామకరణ స్కేల్ గుణాత్మక లక్షణాల యొక్క ప్రధాన ప్రమాణాలు, కాబట్టి అనేక నిర్దిష్ట ప్రాంతాలలో గుణాత్మక విశ్లేషణ ఫలితాలను ఈ ప్రమాణాలపై కొలతలుగా పరిగణించవచ్చు. పరిమాణాత్మక లక్షణాల ప్రమాణాలు విరామాలు, నిష్పత్తులు, తేడాలు, సంపూర్ణ ప్రమాణాలు. విరామ స్కేల్‌ని ఉపయోగించి, పొటెన్షియల్ ఎనర్జీ యొక్క పరిమాణం లేదా సరళ రేఖపై ఒక బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్ కొలుస్తారు. ఈ సందర్భాలలో, సహజ మూలం లేదా సహజ కొలత యూనిట్ స్కేల్‌పై గుర్తించబడదు. పరిశోధకుడు తప్పనిసరిగా ప్రారంభ బిందువును సెట్ చేయాలి మరియు కొలత యూనిట్‌ను స్వయంగా ఎంచుకోవాలి. ఇంటర్వెల్ స్కేల్‌లో ఆమోదయోగ్యమైన పరివర్తనలు సరళ పెరుగుతున్న పరివర్తనలు, అనగా. సరళ విధులు. ఉష్ణోగ్రత ప్రమాణాలు సెల్సియస్ మరియు ఫారెన్‌హీట్ ఖచ్చితంగా ఈ ఆధారపడటం ద్వారా అనుసంధానించబడ్డాయి: °C = 5/9 (°F - 32), ఇక్కడ °C అనేది సెల్సియస్ స్కేల్‌పై ఉష్ణోగ్రత (డిగ్రీలలో) మరియు °F అనేది ఫారెన్‌హీట్‌పై ఉష్ణోగ్రత. స్థాయి.

పరిమాణాత్మక ప్రమాణాలలో, సైన్స్ మరియు ఆచరణలో అత్యంత సాధారణమైనవి నిష్పత్తి ప్రమాణాలు. వారికి సహజమైన రిఫరెన్స్ పాయింట్ ఉంది - సున్నా, అనగా. పరిమాణం లేకపోవడం, కానీ సహజ కొలత యూనిట్ లేదు. చాలా భౌతిక యూనిట్లు నిష్పత్తి స్కేల్‌పై కొలుస్తారు: శరీర ద్రవ్యరాశి, పొడవు, ఛార్జ్, అలాగే ఆర్థిక వ్యవస్థలో ధరలు. నిష్పత్తి స్కేల్‌లో ఆమోదయోగ్యమైన పరివర్తనలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి (స్కేల్‌ను మాత్రమే మార్చడం). మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఉచిత పదం లేకుండా సరళంగా పెరుగుతున్న పరివర్తనలు, ఉదాహరణకు, ధరలను ఒక కరెన్సీ నుండి మరొకదానికి స్థిర రేటుతో మార్చడం. మేము రూబిళ్లు ధరలను ఉపయోగించి రెండు పెట్టుబడి ప్రాజెక్టుల ఆర్థిక సామర్థ్యాన్ని సరిపోల్చండి. మొదటి ప్రాజెక్ట్ రెండవదాని కంటే మెరుగైనదిగా మారనివ్వండి. ఇప్పుడు స్థిరమైన మార్పిడి రేటును ఉపయోగించి చైనీస్ కరెన్సీ - యువాన్‌కి మారండి. సహజంగానే, మొదటి ప్రాజెక్ట్ మళ్లీ రెండవదాని కంటే లాభదాయకంగా ఉండాలి. అయితే, గణన అల్గారిథమ్‌లు ఈ పరిస్థితిని స్వయంచాలకంగా నిర్ధారించవు మరియు అది నెరవేరిందో లేదో తనిఖీ చేయడం అవసరం. సగటు విలువల కోసం అటువంటి పరీక్ష ఫలితాలు క్రింద వివరించబడ్డాయి.

తేడా స్కేల్‌కు సహజమైన కొలత యూనిట్ ఉంటుంది, కానీ సహజ రిఫరెన్స్ పాయింట్ లేదు. సంవత్సరం (లేదా రోజు - మధ్యాహ్నం నుండి మధ్యాహ్నం వరకు) సహజ కొలత యూనిట్‌గా మరియు సాధారణ సందర్భంలో విరామాల స్కేల్‌గా తీసుకుంటే, తేడాల స్కేల్‌పై సమయం కొలుస్తారు. ప్రస్తుత జ్ఞానం యొక్క స్థాయిలో, సహజ ప్రారంభ బిందువును సూచించడం అసాధ్యం. వేర్వేరు రచయితలు ప్రపంచాన్ని సృష్టించిన తేదీని వివిధ మార్గాల్లో లెక్కించారు, అలాగే క్రీస్తు యొక్క నేటివిటీ యొక్క క్షణం.

సంపూర్ణ స్థాయికి మాత్రమే కొలత ఫలితాలు పదం యొక్క సాధారణ అర్థంలో సంఖ్యలు, ఉదాహరణకు, ఒక గదిలో ఉన్న వ్యక్తుల సంఖ్య. సంపూర్ణ స్థాయి కోసం, గుర్తింపు పరివర్తన మాత్రమే అనుమతించబడుతుంది.

సంబంధిత జ్ఞాన రంగం అభివృద్ధి ప్రక్రియలో, స్థాయి రకం మారవచ్చు. కాబట్టి, మొదట ఉష్ణోగ్రతను ఆర్డినల్ స్కేల్‌లో కొలుస్తారు (చల్లని - వెచ్చగా). అప్పుడు - విరామం ప్రకారం (సెల్సియస్, ఫారెన్‌హీట్, రీమూర్ ప్రమాణాలు). చివరగా, సంపూర్ణ సున్నాని కనుగొన్న తర్వాత, ఉష్ణోగ్రతను నిష్పత్తి స్కేల్ (కెల్విన్ స్కేల్)పై కొలవవచ్చు. కొలిచిన కొన్ని వాస్తవ విలువలను పరిగణనలోకి తీసుకోవడానికి ఏ ప్రమాణాలను ఉపయోగించాలో నిపుణుల మధ్య కొన్నిసార్లు విభేదాలు ఉన్నాయని గమనించాలి. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, కొలత ప్రక్రియలో స్కేల్ రకాన్ని నిర్ణయించడం కూడా ఉంటుంది (ఒక నిర్దిష్ట రకం స్కేల్‌ను ఎంచుకోవడానికి హేతుబద్ధతతో పాటు). జాబితా చేయబడిన ఆరు ప్రధాన రకాల ప్రమాణాలకు అదనంగా, ఇతర ప్రమాణాలు కొన్నిసార్లు ఉపయోగించబడతాయి.

17. మార్పులేని అల్గోరిథంలు మరియు సగటు విలువలు.

TIలో డేటా విశ్లేషణ అల్గారిథమ్‌ల కోసం ప్రధాన ఆవశ్యకతను రూపొందిద్దాం: ఈ డేటా యొక్క కొలత స్కేల్ అనుమతించబడినప్పుడు ఒక నిర్దిష్ట రకం స్కేల్‌పై కొలిచిన డేటా ఆధారంగా రూపొందించబడిన ముగింపులు మారకూడదు. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, చెల్లుబాటు అయ్యే స్కేల్ పరివర్తనల క్రింద అనుమితులు తప్పనిసరిగా మారకుండా ఉండాలి.

అందువల్ల, నిజమైన వస్తువులకు సంఖ్యా విలువలను కేటాయించేటప్పుడు పరిశోధకుడి ఆత్మాశ్రయతను ఎదుర్కోవడం కొలత సిద్ధాంతం యొక్క ప్రధాన లక్ష్యాలలో ఒకటి. అందువలన, దూరాలను అర్షిన్లు, మీటర్లు, మైక్రాన్లు, మైళ్లు, పార్సెక్స్ మరియు ఇతర కొలత యూనిట్లలో కొలవవచ్చు. ద్రవ్యరాశి (బరువు) - పూడ్‌లు, కిలోగ్రాములు, పౌండ్‌లు మొదలైనవి. వస్తువులు మరియు సేవల ధరలను యువాన్, రూబిళ్లు, టెంగే, హ్రైవ్నియా, లాట్స్, క్రూన్‌లు, మార్కులు, US డాలర్లు మరియు ఇతర కరెన్సీలలో (పేర్కొన్న మార్పిడి రేట్లకు లోబడి) సూచించవచ్చు. మేము చాలా ముఖ్యమైన, చాలా స్పష్టంగా ఉన్నప్పటికీ, వాస్తవాన్ని నొక్కిచెబదాం: కొలత యూనిట్ల ఎంపిక పరిశోధకుడిపై ఆధారపడి ఉంటుంది, అనగా. ఆత్మాశ్రయమైన. స్కేల్ యొక్క అనుమతించదగిన పరివర్తనకు సంబంధించి అవి మారకుండా ఉన్నప్పుడు, పరిశోధకుడు ఇష్టపడే కొలత యూనిట్‌పై ఆధారపడనప్పుడు మాత్రమే గణాంక ముగింపులు వాస్తవికతకు సరిపోతాయి. ఎకనామెట్రిక్ డేటా విశ్లేషణ కోసం అనేక అల్గారిథమ్‌లలో, కొన్ని మాత్రమే ఈ పరిస్థితిని సంతృప్తిపరుస్తాయి. సగటు విలువలను పోల్చడం ద్వారా దీన్ని చూపిద్దాం.

X 1, X 2,.., X n వాల్యూమ్ n యొక్క నమూనాగా ఉండనివ్వండి. అంకగణిత సగటు తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది. అంకగణిత సగటు యొక్క ఉపయోగం చాలా సాధారణం, ఈ పదంలోని రెండవ పదం తరచుగా విస్మరించబడుతుంది మరియు వ్యక్తులు సగటు జీతం, సగటు ఆదాయం మరియు నిర్దిష్ట ఆర్థిక డేటా కోసం ఇతర సగటుల గురించి మాట్లాడతారు, అంటే "సగటు" అంకగణిత సగటు. ఈ సంప్రదాయం తప్పు నిర్ధారణలకు దారి తీస్తుంది. ఊహాత్మక సంస్థ యొక్క ఉద్యోగుల సగటు జీతం (సగటు ఆదాయం) గణన యొక్క ఉదాహరణను ఉపయోగించి దీన్ని చూపిద్దాం. 100 మంది కార్మికులలో, కేవలం 5 మంది మాత్రమే దానిని మించి జీతం కలిగి ఉన్నారు మరియు మిగిలిన 95 మంది జీతం అంకగణిత సగటు కంటే గణనీయంగా తక్కువగా ఉంది. కారణం స్పష్టంగా ఉంది - ఒక వ్యక్తి యొక్క జీతం - సాధారణ డైరెక్టర్ - 95 మంది కార్మికుల జీతం మించిపోయింది - తక్కువ నైపుణ్యం మరియు అధిక నైపుణ్యం కలిగిన కార్మికులు, ఇంజనీర్లు మరియు కార్యాలయ ఉద్యోగులు. 10 మంది రోగులు ఉన్న ఆసుపత్రి గురించి తెలిసిన కథనంలో వివరించిన పరిస్థితిని గుర్తుచేస్తుంది, వారిలో 9 మంది 40 డిగ్రీల సెల్సియస్ ఉష్ణోగ్రత కలిగి ఉన్నారు మరియు ఒకరు ఇప్పటికే బాధపడ్డారు, 0 ° ఉష్ణోగ్రతతో శవాగారంలో పడుకున్నారు. సి. ఇంతలో, ఆసుపత్రిలో సగటు ఉష్ణోగ్రత 36°C ఉంది - ఇది మెరుగైనది కాదు!

అందువల్ల, అంకగణిత సగటు కేవలం సజాతీయ జనాభా కోసం మాత్రమే ఉపయోగించబడుతుంది (ఒక దిశలో లేదా మరొక వైపు పెద్ద అవుట్‌లెర్స్ లేకుండా). వేతనాలను వివరించడానికి ఏ సగటులను ఉపయోగించాలి? 50వ మరియు 51వ ఉద్యోగుల జీతాలు తగ్గని క్రమంలో అమర్చబడి ఉంటే వారి మధ్యస్థ - అంకగణిత సగటును ఉపయోగించడం చాలా సహజం. మొదట 40 తక్కువ నైపుణ్యం కలిగిన కార్మికుల జీతాలు వస్తాయి, ఆపై - 41 నుండి 70 వ వర్కర్ వరకు - అత్యంత నైపుణ్యం కలిగిన కార్మికుల జీతాలు. పర్యవసానంగా, మధ్యస్థం వారిపై ఖచ్చితంగా వస్తుంది మరియు 200కి సమానం. 50 మంది కార్మికులకు, జీతం 200కి మించదు, మరియు 50 - కనీసం 200 మందికి, కాబట్టి మధ్యస్థం "కేంద్రం"ని చూపుతుంది, దాని చుట్టూ అధ్యయనం చేసిన విలువలలో ఎక్కువ భాగం సమూహం చేయబడ్డాయి. మరొక సగటు విలువ మోడ్, చాలా తరచుగా సంభవించే విలువ. పరిశీలనలో ఉన్న సందర్భంలో, ఇవి తక్కువ నైపుణ్యం కలిగిన కార్మికుల వేతనాలు, అనగా. 100. ఈ విధంగా, జీతం గురించి వివరించడానికి మనకు మూడు సగటు విలువలు ఉన్నాయి - మోడ్ (100 యూనిట్లు), మధ్యస్థం (200 యూనిట్లు) మరియు అంకగణిత సగటు (400 యూనిట్లు).

నిజ జీవితంలో గమనించిన ఆదాయం మరియు వేతన పంపిణీల కోసం, అదే నమూనా నిజం: మోడ్ మధ్యస్థం కంటే తక్కువగా ఉంటుంది మరియు మధ్యస్థం అంకగణిత సగటు కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.

ఆర్థికశాస్త్రంలో సగటులు ఎందుకు ఉపయోగించబడతాయి? సగటులను ఉపయోగించి జనాభాను సరిపోల్చడానికి సాధారణంగా సంఖ్యల సేకరణను ఒకే సంఖ్యతో భర్తీ చేయడం. ఉదాహరణకు, Y 1, Y 2,..., Y n అనేది నైపుణ్యం ఉన్న ఒక వస్తువుకు "ఇచ్చిన" నిపుణుల అంచనాల సమితి (ఉదాహరణకు, కంపెనీ యొక్క వ్యూహాత్మక అభివృద్ధికి ఎంపికలలో ఒకటి), Z 1 , Z 2,..., Z n -రెండవది (ఈ అభివృద్ధి యొక్క మరొక సంస్కరణ). ఈ జనాభాను ఎలా పోల్చారు? సహజంగానే, సులభమైన మార్గం సగటు విలువల ద్వారా.

సగటులను ఎలా లెక్కించాలి? వివిధ రకాల సగటులు ఉన్నాయి: అంకగణిత సగటు, మధ్యస్థ, మోడ్, రేఖాగణిత సగటు, హార్మోనిక్ మీన్, క్వాడ్రాటిక్ మీన్. సగటు విలువ యొక్క సాధారణ భావనను 19 వ శతాబ్దం మొదటి భాగంలో ఫ్రెంచ్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు ప్రవేశపెట్టారని గుర్తుచేసుకుందాం. విద్యావేత్త O. కౌచీ. ఇది క్రింది విధంగా ఉంది: సగటు విలువ ఏదైనా ఫంక్షన్ Ф(Х 1, Х 2,..., Х n) అంటే ఆర్గ్యుమెంట్‌ల యొక్క సాధ్యమయ్యే అన్ని విలువలకు ఈ ఫంక్షన్ యొక్క విలువ కనీస విలువ కంటే తక్కువ కాదు సంఖ్యలు X 1, Х 2,... , X n , మరియు ఈ సంఖ్యల గరిష్ట సంఖ్య కంటే ఎక్కువ కాదు. పైన జాబితా చేయబడిన అన్ని రకాల సగటులు Cauchy సగటులు.

ఆమోదయోగ్యమైన స్కేల్ పరివర్తనతో, సగటు విలువ స్పష్టంగా మారుతుంది. కానీ ఏ జనాభాకు సగటు ఎక్కువ మరియు అది తక్కువ అనే ముగింపులు మారకూడదు (తీర్పుల మార్పులేని అవసరానికి అనుగుణంగా, TI లో ప్రధాన అవసరంగా అంగీకరించబడింది). సగటు విలువల రకం కోసం శోధించడంలో సంబంధిత గణిత సమస్యను రూపొందిద్దాం, దీని పోలిక ఫలితం ఆమోదయోగ్యమైన స్కేల్ పరివర్తనలకు సంబంధించి స్థిరంగా ఉంటుంది.

Ф(Х 1 Х 2 ,..., Х n) కౌచీ సగటుగా ఉండనివ్వండి. మొదటి జనాభా యొక్క సగటు రెండవ జనాభా సగటు కంటే తక్కువగా ఉండనివ్వండి: అప్పుడు, TI ప్రకారం, సగటులను పోల్చడం యొక్క ఫలితం యొక్క స్థిరత్వం కోసం, ఆమోదయోగ్యమైన పరివర్తనల సమూహం నుండి ఏదైనా ఆమోదయోగ్యమైన పరివర్తన కోసం g అవసరం. సంబంధిత స్కేల్ ప్రకారం, మొదటి జనాభా నుండి రూపాంతరం చెందిన విలువల సగటు రెండవ సెట్ కోసం రూపాంతరం చెందిన విలువల సగటు కంటే తక్కువగా ఉంటుంది. అంతేకాకుండా, ఏదైనా రెండు సెట్‌ల Y 1, Y 2,...,Y n మరియు Z 1, Z 2,..., Z n మరియు రీకాల్, ఏదైనా ఆమోదయోగ్యమైన పరివర్తనకు సూత్రీకరించబడిన షరతు తప్పనిసరిగా ఉండాలి. సూత్రీకరించబడిన షరతును ఆమోదయోగ్యమైన (తగిన స్థాయిలో) సంతృప్తిపరిచే సగటు విలువలను మేము పిలుస్తాము. TI ప్రకారం, నిపుణుల అభిప్రాయాలు మరియు పరిశీలనలో ఉన్న స్కేల్‌పై కొలవబడిన ఇతర డేటాను విశ్లేషించేటప్పుడు అటువంటి సగటులు మాత్రమే ఉపయోగించబడతాయి.

1970లలో అభివృద్ధి చేసిన గణిత సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి, ప్రాథమిక ప్రమాణాలపై ఆమోదయోగ్యమైన సగటుల రకాన్ని వివరించడం సాధ్యమవుతుంది. పేర్ల స్కేల్‌పై కొలవబడిన డేటా కోసం, మోడ్ మాత్రమే సగటుగా సరిపోతుందని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది.

18. ఆర్డినల్ స్కేల్‌లో సగటు విలువలు

ఆర్డినల్ స్కేల్‌లో కొలవబడిన నిపుణుల అభిప్రాయాల ప్రాసెసింగ్‌ను పరిశీలిద్దాం. కింది ప్రకటన నిజం.

సిద్ధాంతం1 . అన్ని కౌచీ సగటులలో, వైవిధ్య శ్రేణి (ఆర్డినల్ గణాంకాలు) సభ్యులు మాత్రమే ఆర్డినల్ స్కేల్‌లో ఆమోదయోగ్యమైన సగటులు.

సగటు Ф(Х 1 Х 2 ,..., Х n) నిరంతర (వేరియబుల్స్ సెట్‌పై) మరియు సిమెట్రిక్ ఫంక్షన్‌ని అందించిన సిద్ధాంతం 1 చెల్లుబాటు అవుతుంది. ఆర్గ్యుమెంట్‌లు పునర్వ్యవస్థీకరించబడినప్పుడు, ఫంక్షన్ విలువ Ф(Х 1 Х 2 ,..., Х n) మారదు. ఈ పరిస్థితి చాలా సహజమైనది, ఎందుకంటే మేము మొత్తం (సెట్) కోసం సగటు విలువను కనుగొంటాము మరియు క్రమం కోసం కాదు. మేము దాని మూలకాలను జాబితా చేసే క్రమాన్ని బట్టి సెట్ మారదు.

సిద్ధాంతం 1 ప్రకారం, ప్రత్యేకించి, ఆర్డినల్ స్కేల్‌లో (నమూనా పరిమాణం బేసిగా ఉంటే) కొలవబడిన డేటాకు మధ్యస్థాన్ని సగటుగా ఉపయోగించవచ్చు. వాల్యూమ్ సమానంగా ఉన్నట్లయితే, వైవిధ్య శ్రేణి యొక్క రెండు కేంద్ర పదాలలో ఒకదానిని ఉపయోగించాలి - వాటిని కొన్నిసార్లు ఎడమ మధ్యస్థం లేదా కుడి మధ్యస్థం అని పిలుస్తారు. ఫ్యాషన్ కూడా ఉపయోగించవచ్చు - ఇది ఎల్లప్పుడూ వేరియేషన్ సిరీస్‌లో సభ్యుడు. కానీ మీరు అంకగణిత సగటు, రేఖాగణిత సగటు మొదలైనవాటిని ఎప్పటికీ లెక్కించలేరు.

కింది సిద్ధాంతం నిజం.

సిద్ధాంతం 2. Y 1, Y 2,...,Y m అనేది డిస్ట్రిబ్యూషన్ ఫంక్షన్ F(x)తో స్వతంత్రంగా పంపిణీ చేయబడిన యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్‌గా ఉండనివ్వండి మరియు Z 1, Z 2,..., Zn అనేది ఫంక్షన్ డిస్ట్రిబ్యూషన్‌లతో స్వతంత్రంగా ఒకేలా పంపిణీ చేయబడిన యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్‌గా ఉండనివ్వండి. H(x), మరియు నమూనాలు Y 1, Y 2,...,Y m మరియు Z 1, Z 2,..., Z n ఒకదానికొకటి స్వతంత్రంగా ఉంటాయి మరియు MY X > MZ X. ఏదైనా ఖచ్చితంగా పెరుగుతున్న నిరంతర ఫంక్షన్ కోసం ఒక ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత 1 వద్ద min(m, n) కోసం g షరతును సంతృప్తి పరచడం |g i |>X అన్నింటికీ అసమానత F(x) సంతృప్తి చెందడం అవసరం మరియు సరిపోతుంది x< Н(х), причем существовало число х 0 , для которого F(x 0)

గమనిక.ఎగువ పరిమితితో ఉన్న పరిస్థితి పూర్తిగా అంతర్-గణిత స్వభావం కలిగి ఉంటుంది. నిజానికి, ఫంక్షన్ g అనేది ఆర్డినల్ స్కేల్‌పై ఏకపక్షంగా అనుమతించదగిన పరివర్తన.

సిద్ధాంతం 2 ప్రకారం, సిద్ధాంతంలో ఇచ్చిన అసమానతను సంతృప్తిపరిచే రెండు పంపిణీల నుండి నమూనాలను పోల్చినట్లయితే, అంకగణిత సగటును ఆర్డినల్ స్కేల్‌లో కూడా ఉపయోగించవచ్చు. సరళంగా చెప్పాలంటే, పంపిణీ ఫంక్షన్లలో ఒకటి ఎల్లప్పుడూ మరొకదానిపై ఉండాలి. పంపిణీ విధులు కలుస్తాయి, అవి ఒకదానికొకటి తాకడానికి మాత్రమే అనుమతించబడతాయి. ఈ షరతు నెరవేరుతుంది, ఉదాహరణకు, పంపిణీ విధులు షిఫ్ట్‌లో మాత్రమే భిన్నంగా ఉంటే:

F(x) = Н(x + ∆)

కొందరికి ∆.

ఒక నిర్దిష్ట పరిమాణంలోని రెండు విలువలను ఒకే కొలిచే పరికరాన్ని ఉపయోగించి కొలిస్తే చివరి షరతు సంతృప్తి చెందుతుంది, దీనిలో సందేహాస్పద పరిమాణంలోని ఒక విలువను కొలవడం నుండి మరొకదానిని కొలిచేటప్పుడు లోపాల పంపిణీ మారదు.

కోల్మోగోరోవ్ ప్రకారం సగటు

పైన పేర్కొన్న అనేక సగటుల సాధారణీకరణ కోల్మోగోరోవ్ సగటు. X 1, X 2,..., X n సంఖ్యల కోసం, కోల్మోగోరోవ్ సగటు సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది

G((F(X l) + F(X 2)+...F(X n))/n),

ఇక్కడ F అనేది ఖచ్చితంగా మోనోటోనిక్ ఫంక్షన్ (అనగా ఖచ్చితంగా పెరగడం లేదా ఖచ్చితంగా తగ్గడం),

G అనేది F యొక్క విలోమ ఫంక్షన్.

కోల్మోగోరోవ్ యొక్క సగటులలో చాలా ప్రసిద్ధ పాత్రలు ఉన్నాయి. కాబట్టి, F(x) = x అయితే, కోల్మోగోరోవ్ మీన్ అనేది అంకగణిత సగటు, F(x) = lnx అయితే, రేఖాగణిత సగటు, F(x) = 1/x అయితే, అప్పుడు హార్మోనిక్ మీన్, F(అయితే x) = x 2, ఆపై సగటు చతురస్రం మొదలైనవి. కోల్మోగోరోవ్ సగటు అనేది కౌచీ సగటు యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం. మరోవైపు, మధ్యస్థ మరియు మోడ్ వంటి ప్రసిద్ధ సగటులు కోల్మోగోరోవ్ సగటులుగా సూచించబడవు. కింది ప్రకటనలు మోనోగ్రాఫ్‌లో నిరూపించబడ్డాయి.

సిద్ధాంతం3 . ఇంటర్వెల్ స్కేల్‌లో క్రమబద్ధత యొక్క కొన్ని ఇంట్రామాథమెటికల్ పరిస్థితులు చెల్లుబాటు అయితే, అన్ని కోల్మోగోరోవ్ మార్గాలలో, అంకగణిత సగటు మాత్రమే అనుమతించబడుతుంది. అందువలన, రేఖాగణిత సగటు లేదా రూట్ మీన్ స్క్వేర్ ఉష్ణోగ్రతలు (సెల్సియస్‌లో) లేదా దూరాలు అర్థరహితం. అంకగణిత సగటును సగటుగా ఉపయోగించాలి. మీరు మధ్యస్థ లేదా మోడ్‌ని కూడా ఉపయోగించవచ్చు.

సిద్ధాంతం 4. నిష్పత్తుల స్కేల్‌లో క్రమబద్ధత యొక్క నిర్దిష్ట ఇంట్రామాథమెటికల్ పరిస్థితులు చెల్లుబాటు అయితే, అన్ని కోల్మోగోరోవ్ సగటులలో, F(x) = x c మరియు రేఖాగణిత సగటుతో శక్తి సగటులు మాత్రమే అనుమతించబడతాయి.

వ్యాఖ్య. జ్యామితీయ సగటు అనేది c > 0కి శక్తి సాధనాల పరిమితి.

నిష్పత్తి స్కేల్‌లో ఉపయోగించలేని కోల్మోగోరోవ్ సగటులు ఉన్నాయా? కోర్సు యొక్క కలిగి. ఉదాహరణకు F(x) = e x.

సగటు విలువల మాదిరిగానే, ఇతర గణాంక లక్షణాలను అధ్యయనం చేయవచ్చు - స్కాటర్, కనెక్షన్, దూరం మొదలైన వాటి సూచికలు. ఉదాహరణకు, విరామాల గిన్నెలో ఏ విధమైన ఆమోదయోగ్యమైన పరివర్తనతో సహసంబంధ గుణకం మారదు, విక్షేపణల నిష్పత్తి వలె, వ్యత్యాసాల స్కేల్‌లో, వైవిధ్యం యొక్క గుణకంలో వ్యాప్తి మారదు. నిష్పత్తుల స్థాయి మొదలైనవి.

సగటు విలువలపై పై ఫలితాలు ఆర్థిక శాస్త్రం, నిర్వహణ, నిపుణుల అంచనాల సిద్ధాంతం లేదా సామాజిక శాస్త్రంలో మాత్రమే కాకుండా, ఇంజనీరింగ్‌లో కూడా విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతున్నాయి, ఉదాహరణకు, బ్లాస్ట్ ఫర్నేస్‌ల యొక్క ఆటోమేటెడ్ ప్రాసెస్ కంట్రోల్ సిస్టమ్‌లలో సెన్సార్‌లను సమగ్రపరిచే పద్ధతులను విశ్లేషించడానికి. ప్రామాణీకరణ మరియు నాణ్యత నిర్వహణ సమస్యలలో TI చాలా ఆచరణాత్మక ప్రాముఖ్యతను కలిగి ఉంది, ప్రత్యేకించి క్వాలిమెట్రీలో, ఇక్కడ ఆసక్తికరమైన సైద్ధాంతిక ఫలితాలు పొందబడ్డాయి. కాబట్టి, ఉదాహరణకు, ఉత్పత్తి నాణ్యత యొక్క వ్యక్తిగత సూచికల యొక్క బరువు గుణకాలలో ఏదైనా మార్పు వెయిటెడ్ సగటు సూచిక ప్రకారం ఉత్పత్తుల క్రమాన్ని మార్చడానికి దారితీస్తుంది (ఈ సిద్ధాంతం ప్రొఫెసర్ V.V. పోడినోవ్స్కీచే నిరూపించబడింది). పర్యవసానంగా, TI మరియు దాని పద్ధతుల గురించి పైన పేర్కొన్న సంక్షిప్త సమాచారం, ఒక కోణంలో, ఆర్థిక శాస్త్రం, సామాజిక శాస్త్రం మరియు ఇంజనీరింగ్ శాస్త్రాలను మిళితం చేస్తుంది మరియు ఇది గతంలో సమర్థవంతమైన విశ్లేషణకు అనుకూలంగా లేని సంక్లిష్ట సమస్యలను పరిష్కరించడానికి తగిన ఉపకరణం, అంతేకాకుండా, అందువలన వాస్తవిక నమూనాలను రూపొందించడానికి మరియు సూచన సమస్యను పరిష్కరించడానికి మార్గం తెరుచుకుంటుంది.

22. జత చేసిన లీనియర్ రిగ్రెషన్

ఇప్పుడు మనం పెయిర్‌వైస్ లీనియర్ రిగ్రెషన్ యొక్క సరళమైన కేసు గురించి మరింత వివరణాత్మక అధ్యయనానికి వెళ్దాం. సరళ రేఖ సమీకరణం రూపంలో సరళమైన క్రియాత్మక సంబంధం ద్వారా లీనియర్ రిగ్రెషన్ వివరించబడుతుంది మరియు మోడల్ పారామితుల (సమీకరణ గుణకాలు) యొక్క పారదర్శక వివరణ ద్వారా వర్గీకరించబడుతుంది. సమీకరణం యొక్క కుడి వైపు రిగ్రెసర్ (వివరణాత్మక వేరియబుల్) యొక్క ఇచ్చిన విలువల ఆధారంగా ఫలిత (వివరించిన) వేరియబుల్ యొక్క సైద్ధాంతిక (లెక్కించిన) విలువలను పొందటానికి అనుమతిస్తుంది. ఈ విలువలను కొన్నిసార్లు అంచనా అని కూడా పిలుస్తారు (అదే అర్థంలో), అనగా. సైద్ధాంతిక సూత్రాల నుండి పొందబడింది. అయినప్పటికీ, ఆధారపడటం యొక్క స్వభావం గురించి ఒక పరికల్పనను ముందుకు తెచ్చేటప్పుడు, సమీకరణం యొక్క గుణకాలు ఇప్పటికీ తెలియవు. సాధారణంగా చెప్పాలంటే, ఈ గుణకాల యొక్క సుమారు విలువలను పొందడం వివిధ పద్ధతులను ఉపయోగించి సాధ్యమవుతుంది.

కానీ వాటిలో అతి ముఖ్యమైనది మరియు విస్తృతమైనది అతి తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతి (OLS). ఇది లెక్కించిన (సైద్ధాంతిక) వాటి నుండి ఫలిత లక్షణం యొక్క వాస్తవ విలువల యొక్క స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తాన్ని తగ్గించాల్సిన అవసరంపై (ఇప్పటికే వివరించినట్లు) ఆధారపడి ఉంటుంది. సైద్ధాంతిక విలువలకు బదులుగా (వాటిని పొందేందుకు), రిగ్రెషన్ సమీకరణం యొక్క కుడి-భుజాలను స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తానికి ప్రత్యామ్నాయం చేయండి, ఆపై ఈ ఫంక్షన్ యొక్క పాక్షిక ఉత్పన్నాలను కనుగొనండి (వాస్తవ విలువల యొక్క స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తం. సిద్ధాంతపరమైన వాటి నుండి వచ్చే లక్షణం). ఈ పాక్షిక ఉత్పన్నాలు x మరియు y వేరియబుల్స్‌కు సంబంధించి కాకుండా a మరియు b పారామితులకు సంబంధించి తీసుకోబడ్డాయి. పాక్షిక ఉత్పన్నాలు సున్నాకి సమానంగా సెట్ చేయబడతాయి మరియు సరళమైన కానీ గజిబిజిగా పరివర్తన చెందిన తర్వాత, పారామితులను నిర్ణయించడానికి సాధారణ సమీకరణాల వ్యవస్థ పొందబడుతుంది. వేరియబుల్ x కోసం గుణకం, అనగా. bని రిగ్రెషన్ కోఎఫీషియంట్ అంటారు, ఇది ఒక యూనిట్ ద్వారా కారకంలో మార్పుతో ఫలితంలో సగటు మార్పును చూపుతుంది. పరామితి a ఆర్థిక వివరణను కలిగి ఉండకపోవచ్చు, ప్రత్యేకించి ఈ గుణకం యొక్క సంకేతం ప్రతికూలంగా ఉంటే.

వినియోగ ఫంక్షన్‌ను అధ్యయనం చేయడానికి పెయిర్‌వైస్ లీనియర్ రిగ్రెషన్ ఉపయోగించబడుతుంది. గుణకం లెక్కించేందుకు వినియోగం ఫంక్షన్‌లోని రిగ్రెషన్ కోఎఫీషియంట్ ఉపయోగించబడుతుంది. దాదాపు ఎల్లప్పుడూ, రిగ్రెషన్ సమీకరణం కనెక్షన్ యొక్క సాన్నిహిత్యం యొక్క సూచికతో అనుబంధంగా ఉంటుంది. లీనియర్ రిగ్రెషన్ యొక్క సరళమైన సందర్భంలో, కనెక్షన్ యొక్క సాన్నిహిత్యం యొక్క ఈ సూచిక లీనియర్ కోరిలేషన్ కోఎఫీషియంట్. కానీ లీనియర్ కోరిలేషన్ కోఎఫీషియంట్ అనేది లీనియర్ రూపంలో లక్షణాల మధ్య సంబంధాన్ని సాన్నిహిత్యాన్ని వర్ణిస్తుంది కాబట్టి, లీనియర్ కోరిలేషన్ కోఎఫీషియంట్ యొక్క సంపూర్ణ విలువ సున్నాకి సామీప్యత ఇంకా లక్షణాల మధ్య కనెక్షన్ లేకపోవడానికి సూచికగా పనిచేయదు.

ఇది మోడల్ స్పెసిఫికేషన్ యొక్క విభిన్న ఎంపికతో ఉంటుంది మరియు అందువల్ల, వాస్తవ సంబంధం ఏకత్వానికి చాలా దగ్గరగా మారవచ్చు. కానీ లీనియర్ ఫంక్షన్ యొక్క ఎంపిక యొక్క నాణ్యత లీనియర్ కోరిలేషన్ కోఎఫీషియంట్ యొక్క చతురస్రాన్ని ఉపయోగించి నిర్ణయించబడుతుంది - గుణకం యొక్క గుణకం. ఇది ప్రభావవంతమైన లక్షణం యొక్క మొత్తం వ్యత్యాసంలో రిగ్రెషన్ ద్వారా వివరించబడిన ప్రభావవంతమైన లక్షణం y యొక్క భేదం యొక్క నిష్పత్తిని వర్ణిస్తుంది. నిర్ణయ గుణకాన్ని 1కి పూర్తి చేసే విలువ, మోడల్‌లో (అవశేష వైవిధ్యం) పరిగణనలోకి తీసుకోని ఇతర కారకాల ప్రభావం వల్ల ఏర్పడే వైవిధ్యం యొక్క వాటాను వర్ణిస్తుంది.

జత చేసిన రిగ్రెషన్ క్రింది రూపంలోని రెండు వేరియబుల్స్ y మరియు x లకు సంబంధించిన సమీకరణం ద్వారా సూచించబడుతుంది:

ఇక్కడ y అనేది డిపెండెంట్ వేరియబుల్ (ఫలితాల లక్షణం), మరియు x అనేది స్వతంత్ర వేరియబుల్ (వివరణాత్మక వేరియబుల్ లేదా లక్షణం-కారకం). లీనియర్ రిగ్రెషన్ మరియు నాన్ లీనియర్ రిగ్రెషన్ ఉన్నాయి. లీనియర్ రిగ్రెషన్ రూపం యొక్క సమీకరణం ద్వారా వివరించబడింది:

y = a+ bx + .

నాన్ లీనియర్ రిగ్రెషన్, విశ్లేషణలో చేర్చబడిన వివరణాత్మక వేరియబుల్స్‌కు సంబంధించి నాన్‌లీనియర్‌గా ఉంటుంది, కానీ అంచనా వేసిన పారామితులకు సంబంధించి లీనియర్‌గా ఉంటుంది. లేదా అంచనా వేయబడిన పారామితుల పరంగా రిగ్రెషన్ నాన్‌లీనియర్‌గా ఉండవచ్చు. వివరణాత్మక వేరియబుల్స్‌లో నాన్‌లీనియర్‌గా ఉండే రిగ్రెషన్ ఉదాహరణలు, కానీ అంచనా వేసిన పారామితులలో సరళంగా ఉంటాయి, వివిధ డిగ్రీలు (పాలినోమియల్స్) మరియు ఈక్విలేటరల్ హైపర్‌బోలా యొక్క బహుపది డిపెండెన్సీలు ఉన్నాయి.

అంచనా వేయబడిన పారామితుల కోసం నాన్‌లీనియర్ రిగ్రెషన్ అనేది పరామితికి సంబంధించి పవర్ డిపెండెన్స్ (పరామితి ఘాతాంకంలో ఉంటుంది), ఘాతాంక ఆధారపడటం, ఇక్కడ పరామితి ఘాతాంకం యొక్క బేస్ వద్ద ఉంటుంది మరియు మొత్తం లీనియర్ డిపెండెన్స్ పూర్తిగా ఉన్నప్పుడు ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ డిపెండెన్స్. ఘాతాంకంలో. ఈ మూడు సందర్భాలలో, యాదృచ్ఛిక భాగం (యాదృచ్ఛిక శేషం)  సమీకరణం యొక్క కుడి వైపున ఒక కారకంగా చేర్చబడిందని మరియు సంగ్రహంగా కాదు, అనగా. గుణకారంగా! వాస్తవమైన వాటి నుండి ఫలిత లక్షణం యొక్క లెక్కించిన విలువల యొక్క సగటు విచలనం ఉజ్జాయింపు యొక్క సగటు లోపం ద్వారా వర్గీకరించబడుతుంది. ఇది శాతంగా వ్యక్తీకరించబడింది మరియు 7-8% మించకూడదు. ఉజ్జాయింపు యొక్క ఈ సగటు లోపం కేవలం వాస్తవ మరియు లెక్కించిన విలువల మధ్య వ్యత్యాసాల సాపేక్ష పరిమాణాల సగటు శాతం.

అనేక ఆర్థిక దృగ్విషయాలు మరియు ప్రక్రియల యొక్క ముఖ్యమైన లక్షణంగా పనిచేసే సగటు స్థితిస్థాపకత గుణకం ముఖ్యమైనది. ఇది ఇచ్చిన ఫంక్షనల్ రిలేషన్‌షిప్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క విలువ మరియు x యొక్క సగటు విలువ y యొక్క సగటు విలువ యొక్క నిష్పత్తి యొక్క ఉత్పత్తిగా లెక్కించబడుతుంది. కారకం x దాని (కారకం x) సగటు విలువ నుండి 1% మారినప్పుడు దాని సగటు విలువ నుండి ఫలితం y సగటున ఎంత శాతం మారుతుందో స్థితిస్థాపకత గుణకం చూపుతుంది.

వైవిధ్యం యొక్క విశ్లేషణ యొక్క సమస్యలు జతవైపు రిగ్రెషన్ మరియు మల్టిపుల్ రిగ్రెషన్ (అనేక కారకాలు ఉన్నప్పుడు) మరియు అవశేష వ్యత్యాసానికి దగ్గరి సంబంధం కలిగి ఉంటాయి. వైవిధ్యం యొక్క విశ్లేషణ డిపెండెంట్ వేరియబుల్ యొక్క వైవిధ్యాన్ని పరిశీలిస్తుంది. ఈ సందర్భంలో, స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తం మొత్తం రెండు భాగాలుగా విభజించబడింది. మొదటి పదం రిగ్రెషన్ లేదా వివరించిన (కారకం) కారణంగా స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తం. రెండవ పదం కారకం రిగ్రెషన్ ద్వారా వివరించబడని స్క్వేర్డ్ విచలనాల అవశేష మొత్తం.

ఫలిత లక్షణం y యొక్క మొత్తం వైవిధ్యంలో తిరోగమనం ద్వారా వివరించబడిన భేదం యొక్క వాటా నిర్ణయం యొక్క గుణకం (సూచిక) ద్వారా వర్గీకరించబడుతుంది, ఇది స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తం మొత్తానికి రిగ్రెషన్ కారణంగా స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తం నిష్పత్తి కంటే ఎక్కువ కాదు. (మొత్తం మొత్తానికి మొదటి పదం).

మోడల్ పారామితులు (తెలియని గుణకాలు) కనీసం చతురస్రాల పద్ధతిని ఉపయోగించి నిర్ణయించబడినప్పుడు, సారాంశంలో, కొన్ని యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ కనుగొనబడతాయి (అంచనాలను పొందే ప్రక్రియలో). రిగ్రెషన్ కోఎఫీషియంట్ యొక్క అంచనా ప్రత్యేక ప్రాముఖ్యత, ఇది యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క కొన్ని ప్రత్యేక రూపం. ఈ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క లక్షణాలు సమీకరణంలో (మోడల్‌లో) అవశేష పదం యొక్క లక్షణాలపై ఆధారపడి ఉంటాయి. జత చేసిన లీనియర్ రిగ్రెషన్ మోడల్ కోసం, వివరణాత్మక వేరియబుల్ xని యాదృచ్ఛికం కాని ఎక్సోజనస్ వేరియబుల్‌గా పరిగణించండి. అన్ని పరిశీలనలలో వేరియబుల్ x యొక్క విలువలు ముందుగా నిర్ణయించబడినవిగా పరిగణించబడతాయి మరియు అధ్యయనంలో ఉన్న ఆధారపడటానికి ఏ విధంగానూ సంబంధం లేదని దీని అర్థం. అందువలన, వివరించబడిన వేరియబుల్ యొక్క వాస్తవ విలువ రెండు భాగాలను కలిగి ఉంటుంది: యాదృచ్ఛికం కాని మరియు యాదృచ్ఛిక భాగం (అవశేష పదం).

మరోవైపు, అతి తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతి (OLS) ఉపయోగించి నిర్ణయించబడిన రిగ్రెషన్ కోఎఫీషియంట్ చరరాశుల x మరియు y యొక్క కోవియారెన్స్‌ని వేరియబుల్ x యొక్క భేదంతో విభజించే భాగానికి సమానం. అందువల్ల ఇది యాదృచ్ఛిక భాగాన్ని కూడా కలిగి ఉంటుంది. అన్నింటికంటే, కోవియారెన్స్ y వేరియబుల్ విలువలపై ఆధారపడి ఉంటుంది, ఇక్కడ వేరియబుల్ y యొక్క విలువలు యాదృచ్ఛిక అవశేష పదం  విలువలపై ఆధారపడి ఉంటాయి. ఇంకా, వేరియబుల్స్ x మరియు y యొక్క కోవియారెన్స్ అంచనా వేసిన రిగ్రెషన్ కోఎఫీషియంట్ బీటా () మరియు వేరియబుల్ x యొక్క వైవిధ్యం మరియు వేరియబుల్స్ x మరియు  యొక్క కోవియారెన్స్‌తో సమానంగా ఉంటుందని చూపడం సులభం. అందువల్ల, రిగ్రెషన్ కోఎఫీషియంట్ బీటా యొక్క అంచనా ఈ తెలియని రిగ్రెషన్ కోఎఫీషియంట్‌కు సమానంగా ఉంటుంది, x మరియు  వేరియబుల్స్ యొక్క కోవియారెన్స్‌ను వేరియబుల్ x యొక్క భేదంతో విభజించే భాగానికి జోడించబడుతుంది. ఆ. ఏదైనా నమూనా నుండి పొందిన రిగ్రెషన్ కోఎఫీషియంట్ b యొక్క అంచనా రెండు పదాల మొత్తంగా ప్రదర్శించబడుతుంది: గుణకం  (బీటా) యొక్క నిజమైన విలువకు సమానమైన స్థిరమైన విలువ మరియు వేరియబుల్స్ x మరియు  యొక్క కోవియారెన్స్‌పై ఆధారపడి యాదృచ్ఛిక భాగం .

23. గణితం గాస్-మార్కోవ్ పరిస్థితులు మరియు వారి అప్లికేషన్.

ఉత్తమ ఫలితాలను అందించడానికి సాధారణ OLS ఆధారంగా రిగ్రెషన్ విశ్లేషణ కోసం, యాదృచ్ఛిక పదం తప్పనిసరిగా నాలుగు గాస్-మార్కోవ్ పరిస్థితులను సంతృప్తి పరచాలి.

యాదృచ్ఛిక పదం యొక్క గణిత అంచనా సున్నాకి సమానం, అనగా. అది నిష్పాక్షికమైనది. రిగ్రెషన్ సమీకరణం స్థిరమైన పదాన్ని కలిగి ఉంటే, ఈ అవసరాన్ని నెరవేర్చినట్లు పరిగణించడం సహజం, ఎందుకంటే ఇది స్థిరమైన పదం మరియు వేరియబుల్ y విలువలలో ఏదైనా క్రమబద్ధమైన ధోరణిని పరిగణనలోకి తీసుకోవాలి, దీనికి విరుద్ధంగా రిగ్రెషన్ సమీకరణం యొక్క వివరణాత్మక వేరియబుల్స్‌లో ఉండకూడదు.

యాదృచ్ఛిక పదం యొక్క వైవిధ్యం అన్ని పరిశీలనలకు స్థిరంగా ఉంటుంది.

నమూనాను రూపొందించే యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క విలువల కోవియారెన్స్ తప్పనిసరిగా సున్నాకి సమానంగా ఉండాలి, అనగా. ఏదైనా రెండు ప్రత్యేక పరిశీలనలలో యాదృచ్ఛిక పదం యొక్క విలువల మధ్య క్రమబద్ధమైన సంబంధం లేదు. యాదృచ్ఛిక సభ్యులు ఒకరికొకరు స్వతంత్రంగా ఉండాలి.

యాదృచ్ఛిక పదం యొక్క పంపిణీ చట్టం తప్పనిసరిగా వివరణాత్మక వేరియబుల్స్ నుండి స్వతంత్రంగా ఉండాలి.

అంతేకాకుండా, అనేక అనువర్తనాల్లో వివరణాత్మక వేరియబుల్స్ యాదృచ్ఛికంగా ఉండవు, అనగా. యాదృచ్ఛిక భాగం లేదు. ప్రతి పరిశీలనలో ఏదైనా స్వతంత్ర వేరియబుల్ విలువ తప్పనిసరిగా బాహ్యంగా పరిగణించబడాలి, రిగ్రెషన్ సమీకరణంలో పరిగణనలోకి తీసుకోని బాహ్య కారణాల ద్వారా పూర్తిగా నిర్ణయించబడుతుంది.

పేర్కొన్న గాస్-మార్కోవ్ పరిస్థితులతో కలిపి, యాదృచ్ఛిక పదం సాధారణ పంపిణీని కలిగి ఉంటుందని కూడా భావించబడుతుంది. ఇది చాలా విస్తృత పరిస్థితులలో చెల్లుబాటు అవుతుంది మరియు కేంద్ర పరిమితి సిద్ధాంతం (CLT) అని పిలవబడే ఆధారంగా ఉంటుంది. ఈ సిద్ధాంతం యొక్క సారాంశం ఏమిటంటే, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ అనేది పెద్ద సంఖ్యలో ఇతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క పరస్పర చర్య యొక్క మొత్తం ఫలితం అయితే, ఈ మొత్తం ఫలితం యొక్క ప్రవర్తనపై వీటిలో ఏదీ ప్రధానమైన ప్రభావాన్ని చూపదు, ఫలితంగా వచ్చే యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ వివరించబడుతుంది. సుమారు సాధారణ పంపిణీ ద్వారా. సాధారణ పంపిణీకి ఈ సామీప్యత సాధారణ పంపిణీని మరియు విద్యార్థి పంపిణీని ఉపయోగించడం సాధ్యపడుతుంది, ఇది ఒక నిర్దిష్ట కోణంలో సాధారణీకరణ, అంచనాలను పొందేందుకు, ఇది సాధారణంగా "తోకలు, ” అంటే చిన్న నమూనా పరిమాణాల కోసం. యాదృచ్ఛిక పదం సాధారణంగా పంపిణీ చేయబడితే, రిగ్రెషన్ కోఎఫీషియంట్‌లు కూడా సాధారణంగా పంపిణీ చేయబడతాయి.

స్థాపించబడిన రిగ్రెషన్ కర్వ్ (రిగ్రెషన్ ఈక్వేషన్) పాయింట్ ఫోర్కాస్ట్ అని పిలవబడే సమస్యను పరిష్కరించడానికి మాకు అనుమతిస్తుంది. అటువంటి గణనలలో, x యొక్క నిర్దిష్ట విలువ అధ్యయనం చేసిన పరిశీలన విరామం వెలుపల తీసుకోబడుతుంది మరియు రిగ్రెషన్ సమీకరణం (ఎక్స్‌ట్రాపోలేషన్ విధానం) యొక్క కుడి వైపున భర్తీ చేయబడుతుంది. ఎందుకంటే రిగ్రెషన్ కోఎఫీషియంట్స్ కోసం అంచనాలు ఇప్పటికే తెలిసినవి, అప్పుడు x తీసుకున్న విలువకు అనుగుణంగా వివరించిన వేరియబుల్ y విలువను లెక్కించడం సాధ్యమవుతుంది. సహజంగానే, అంచనా (సూచన) యొక్క అర్ధానికి అనుగుణంగా, గణనలు ముందుకు (భవిష్యత్ విలువల ప్రాంతంలోకి) నిర్వహించబడతాయి.

ఏదేమైనప్పటికీ, గుణకాలు నిర్దిష్ట లోపంతో నిర్ణయించబడినందున, ఆసక్తి కలిగించేది ఫలిత లక్షణం కోసం పాయింట్ అంచనా (పాయింట్ సూచన) కాదు, కానీ పరిమితుల జ్ఞానం, నిర్దిష్ట సంభావ్యతతో, విలువలు కారకం x యొక్క తీసుకున్న విలువకు సంబంధించిన ఫలిత లక్షణం అబద్ధం అవుతుంది.

దీన్ని చేయడానికి, ప్రామాణిక లోపం (ప్రామాణిక విచలనం) లెక్కించబడుతుంది. ఈ క్రింది విధంగా ఇప్పుడే చెప్పబడిన దాని యొక్క ఆత్మలో దీనిని పొందవచ్చు. సగటు విలువల ద్వారా అంచనాల నుండి ఉచిత పదం యొక్క వ్యక్తీకరణ సరళ రిగ్రెషన్ సమీకరణంలోకి మార్చబడుతుంది. అప్పుడు ప్రామాణిక లోపం సగటు ప్రభావవంతమైన కారకం y యొక్క లోపంపై ఆధారపడి ఉంటుంది మరియు రిగ్రెషన్ కోఎఫీషియంట్ b యొక్క లోపంపై సంకలితంగా ఉంటుంది. కేవలం, ఈ ప్రామాణిక లోపం యొక్క స్క్వేర్ సగటు విలువ y యొక్క స్క్వేర్డ్ ఎర్రర్ మొత్తానికి మరియు కారకం x మరియు దాని సగటు యొక్క స్క్వేర్డ్ విచలనం ద్వారా రిగ్రెషన్ కోఎఫీషియంట్ యొక్క స్క్వేర్డ్ లోపం యొక్క ఉత్పత్తికి సమానంగా ఉంటుంది. ఇంకా, మొదటి పదం, గణాంకాల చట్టాల ప్రకారం, సాధారణ జనాభా యొక్క వ్యత్యాసాన్ని నమూనా పరిమాణం (వాల్యూమ్) ద్వారా విభజించే భాగానికి సమానం.

తెలియని వైవిధ్యానికి బదులుగా, నమూనా వ్యత్యాసం అంచనాగా ఉపయోగించబడుతుంది. తదనుగుణంగా, రిగ్రెషన్ కోఎఫీషియంట్ యొక్క లోపం కారకం x యొక్క భేదం ద్వారా నమూనా వ్యత్యాసాన్ని విభజించే గుణకం వలె నిర్వచించబడింది. మీరు ప్రామాణిక లోపం (ప్రామాణిక విచలనం) మరియు లీనియర్ రిగ్రెషన్ మోడల్ నుండి మరింత స్వతంత్రంగా ఉండే ఇతర పరిగణనలను పొందవచ్చు. దీన్ని చేయడానికి, సగటు లోపం మరియు ఉపాంత లోపం మరియు వాటి మధ్య సంబంధం అనే భావన ఉపయోగించబడుతుంది.

కానీ ప్రామాణిక లోపాన్ని పొందిన తర్వాత కూడా, అంచనా వేసిన విలువ ఉన్న సరిహద్దుల గురించి ప్రశ్న మిగిలి ఉంది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, కొలత లోపం యొక్క విరామం గురించి, అనేక సందర్భాల్లో సహజమైన ఊహలో ఈ విరామం మధ్యలో ప్రభావవంతమైన కారకం y యొక్క లెక్కించిన (సగటు) విలువ ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది. ఇక్కడ కేంద్ర పరిమితి సిద్ధాంతం రక్షణకు వస్తుంది, ఇది ఈ విశ్వాస విరామంలో తెలియని పరిమాణం ఏ సంభావ్యతతో ఉందో ఖచ్చితంగా సూచిస్తుంది.

ముఖ్యంగా, ప్రామాణిక లోపం ఫార్ములా, ఎలా మరియు ఏ రూపంలో పొందబడిందనే దానితో సంబంధం లేకుండా, రిగ్రెషన్ లైన్ స్థానంలో లోపాన్ని వర్ణిస్తుంది. కారకం x విలువ కారకం యొక్క సగటు విలువతో సమానంగా ఉన్నప్పుడు ప్రామాణిక లోపం కనిష్ట స్థాయికి చేరుకుంటుంది.

24. ఫిషర్ ప్రమాణాన్ని ఉపయోగించి పరికల్పనల గణాంక పరీక్ష మరియు లీనియర్ రిగ్రెషన్ యొక్క ప్రాముఖ్యతను అంచనా వేయడం.

లీనియర్ రిగ్రెషన్ సమీకరణం కనుగొనబడిన తర్వాత, మొత్తం సమీకరణం మరియు దాని వ్యక్తిగత పారామితులు రెండింటి యొక్క ప్రాముఖ్యత అంచనా వేయబడుతుంది. మొత్తంగా రిగ్రెషన్ సమీకరణం యొక్క ప్రాముఖ్యతను అంచనా వేయడం వివిధ ప్రమాణాలను ఉపయోగించి చేయవచ్చు. ఫిషర్స్ ఎఫ్ పరీక్షను ఉపయోగించడం చాలా సాధారణమైనది మరియు ప్రభావవంతమైనది. ఈ సందర్భంలో, రిగ్రెషన్ కోఎఫీషియంట్ సున్నాకి సమానం అని శూన్య పరికల్పనను ముందుకు తెచ్చారు, అనగా. b=0, అందువల్ల y ఫలితంపై కారకం x ప్రభావం చూపదు. F-పరీక్ష యొక్క తక్షణ గణన వైవిధ్యం యొక్క విశ్లేషణ ద్వారా ముందుగా ఉంటుంది. దానిలోని కేంద్ర స్థానం సగటు విలువ y నుండి వేరియబుల్ y యొక్క స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తం మొత్తాన్ని రెండు భాగాలుగా విభజించడం ద్వారా ఆక్రమించబడింది - “వివరించబడింది” మరియు “వివరించబడలేదు”:

సగటు విలువ y నుండి వచ్చే లక్షణం y యొక్క వ్యక్తిగత విలువల యొక్క స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తం మొత్తం అనేక కారకాల ప్రభావంతో ఏర్పడుతుంది.

మొత్తం కారణాలను షరతులతో రెండు గ్రూపులుగా విభజిద్దాం: అధ్యయనం చేసిన కారకం x మరియు ఇతర కారకాలు. కారకం ఫలితాన్ని ప్రభావితం చేయకపోతే, గ్రాఫ్‌లోని రిగ్రెషన్ లైన్ OX మరియు y=y అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది. అప్పుడు ఫలిత లక్షణం యొక్క మొత్తం వైవిధ్యం ఇతర కారకాల ప్రభావం కారణంగా ఉంటుంది మరియు స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తం మొత్తం అవశేషంతో సమానంగా ఉంటుంది. ఇతర కారకాలు ఫలితాన్ని ప్రభావితం చేయకపోతే, y అనేది క్రియాత్మకంగా xకి సంబంధించినది మరియు స్క్వేర్‌ల అవశేష మొత్తం సున్నా. ఈ సందర్భంలో, రిగ్రెషన్ ద్వారా వివరించబడిన స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తం స్క్వేర్‌ల మొత్తం మొత్తానికి సమానంగా ఉంటుంది. సహసంబంధ ఫీల్డ్ యొక్క అన్ని పాయింట్లు రిగ్రెషన్ లైన్‌పై ఉండవు కాబట్టి, వాటి స్కాటర్ ఎల్లప్పుడూ కారకం x ప్రభావం వల్ల సంభవిస్తుంది, అనగా. xపై y యొక్క తిరోగమనం మరియు ఇతర కారణాల వల్ల (వివరించలేని వైవిధ్యం). అంచనా కోసం రిగ్రెషన్ లైన్ యొక్క అనుకూలత వివరించిన వైవిధ్యం ద్వారా y లక్షణంలోని మొత్తం వైవిధ్యం ఎంత వరకు లెక్కించబడుతుంది అనే దానిపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

సహజంగానే, రిగ్రెషన్ కారణంగా స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తం స్క్వేర్‌ల అవశేష మొత్తం కంటే ఎక్కువగా ఉంటే, రిగ్రెషన్ సమీకరణం గణాంకపరంగా ముఖ్యమైనది మరియు x కారకం ఫలితంపై గణనీయమైన ప్రభావాన్ని చూపుతుంది. సంకల్పం యొక్క గుణకం ఐక్యతకు చేరువవుతుందనే వాస్తవానికి ఇది సమానం. స్క్వేర్డ్ విచలనాల యొక్క ఏదైనా మొత్తం స్వేచ్ఛ డిగ్రీల సంఖ్యకు సంబంధించినది, అనగా. ఒక లక్షణం యొక్క స్వతంత్ర వైవిధ్యం యొక్క స్వేచ్ఛ సంఖ్య. స్వేచ్ఛ యొక్క డిగ్రీల సంఖ్య జనాభా యొక్క యూనిట్ల సంఖ్యతో లేదా దాని నుండి నిర్ణయించబడిన స్థిరాంకాల సంఖ్యతో సంబంధం కలిగి ఉంటుంది. అధ్యయనంలో ఉన్న సమస్యకు సంబంధించి, స్వేచ్ఛా డిగ్రీల సంఖ్య n సాధ్యం [(y 1 -y), (y 2 -y),...(y n -y)] నుండి ఎన్ని స్వతంత్ర విచలనాలు అవసరమో చూపాలి ఇచ్చిన చతురస్రాల మొత్తాన్ని రూపొందించడానికి. ఈ విధంగా, మొత్తం చతురస్రాల మొత్తానికి ∑(y-y sr) 2, (n-1) స్వతంత్ర విచలనాలు అవసరం, ఎందుకంటే n యూనిట్ల జనాభాలో, సగటు స్థాయిని లెక్కించిన తర్వాత, (n-1) విచలనాల సంఖ్య మాత్రమే స్వేచ్ఛగా మారుతూ ఉంటుంది. ∑(y-y సగటు) 2 యొక్క వివరించిన లేదా కారకం మొత్తాన్ని లెక్కించేటప్పుడు, రిగ్రెషన్ లైన్‌లో కనుగొనబడిన y* ఫలిత లక్షణం యొక్క సైద్ధాంతిక (లెక్కించిన) విలువలు ఉపయోగించబడతాయి: y(x)=a+bx.

ఇప్పుడు ఈ విలువ యొక్క సగటు నుండి ప్రభావవంతమైన కారకం యొక్క స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తం మొత్తం విస్తరణకు తిరిగి వెళ్దాం. ఈ మొత్తం ఇప్పటికే పైన నిర్వచించిన రెండు భాగాలను కలిగి ఉంది: రిగ్రెషన్ ద్వారా వివరించబడిన స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తం మరియు స్క్వేర్డ్ విచలనాల అవశేష మొత్తం అని పిలువబడే మరొక మొత్తం. ఈ కుళ్ళిపోవడంతో అనుబంధించబడిన వైవిధ్యం యొక్క విశ్లేషణ, ఇది ప్రాథమిక ప్రశ్నకు నేరుగా సమాధానం ఇస్తుంది: మొత్తంగా రిగ్రెషన్ సమీకరణం యొక్క ప్రాముఖ్యతను మరియు దాని వ్యక్తిగత పారామితులను ఎలా అంచనా వేయాలి? ఇది ఈ ప్రశ్న యొక్క అర్థాన్ని కూడా ఎక్కువగా నిర్ణయిస్తుంది. మొత్తంగా రిగ్రెషన్ సమీకరణం యొక్క ప్రాముఖ్యతను అంచనా వేయడానికి, ఫిషర్ ప్రమాణం (F-టెస్ట్) ఉపయోగించబడుతుంది. ఫిషర్ ప్రతిపాదించిన విధానం ప్రకారం, శూన్య పరికల్పన ముందుకు వచ్చింది: రిగ్రెషన్ కోఎఫీషియంట్ సున్నాకి సమానం, అనగా. విలువb=0. దీని అర్థం Y ఫలితంపై కారకం X ప్రభావం చూపదు.

దాదాపు ఎల్లప్పుడూ గణాంక అధ్యయనం ఫలితంగా పొందిన పాయింట్లు రిగ్రెషన్ లైన్‌లో ఖచ్చితంగా ఉండవని గుర్తుంచుకోండి. అవి చెల్లాచెదురుగా ఉంటాయి, రిగ్రెషన్ లైన్ నుండి ఎక్కువ లేదా తక్కువ దూరంలో ఉంటాయి. రిగ్రెషన్ సమీకరణంలో పరిగణనలోకి తీసుకోని వివరణాత్మక కారకం X నుండి భిన్నమైన ఇతర కారకాల ప్రభావం కారణంగా ఇటువంటి వ్యాప్తి చెందుతుంది. స్క్వేర్డ్ విచలనాల యొక్క వివరించిన లేదా కారకం మొత్తాన్ని లెక్కించేటప్పుడు, రిగ్రెషన్ లైన్ నుండి కనుగొనబడిన ఫలిత లక్షణం యొక్క సైద్ధాంతిక విలువలు ఉపయోగించబడతాయి.

Y మరియు X వేరియబుల్స్ యొక్క ఇచ్చిన విలువల సెట్ కోసం, సగటు విలువ Y యొక్క లెక్కించిన విలువ సరళ రిగ్రెషన్‌లో ఒకే ఒక పరామితి యొక్క ఫంక్షన్ - రిగ్రెషన్ కోఎఫీషియంట్. దీనికి అనుగుణంగా, స్క్వేర్డ్ విచలనాల కారకం మొత్తం 1కి సమానమైన అనేక డిగ్రీల స్వేచ్ఛను కలిగి ఉంటుంది. మరియు లీనియర్ రిగ్రెషన్‌లో స్క్వేర్డ్ విచలనాల అవశేష మొత్తం యొక్క స్వేచ్ఛ డిగ్రీల సంఖ్య n-2.

పర్యవసానంగా, అసలు విస్తరణలోని ప్రతి స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తాన్ని దాని స్వేచ్ఛ డిగ్రీల సంఖ్యతో భాగిస్తే, మేము సగటు స్క్వేర్డ్ విచలనాలను (ఒక డిగ్రీ స్వేచ్ఛకు వ్యత్యాసం) పొందుతాము. తరువాత, కారకం వ్యత్యాసాన్ని ఒక డిగ్రీ స్వేచ్ఛతో అవశేష వ్యత్యాసంతో ఒక డిగ్రీ స్వేచ్ఛతో విభజించడం ద్వారా, మేము శూన్య పరికల్పనను పరీక్షించడానికి ఒక ప్రమాణాన్ని పొందుతాము, F- నిష్పత్తి అని పిలవబడేది లేదా అదే పేరు యొక్క ప్రమాణం. అవి, శూన్య పరికల్పన నిజమైతే, కారకం మరియు అవశేష వ్యత్యాసాలు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటాయి.

శూన్య పరికల్పనను తిరస్కరించడానికి, అనగా. వ్యతిరేక పరికల్పనను అంగీకరించడం, ఇది అధ్యయనంలో ఉన్న సంబంధం యొక్క ప్రాముఖ్యత (ఉనికి) యొక్క వాస్తవాన్ని వ్యక్తపరుస్తుంది మరియు వాస్తవానికి ఉనికిలో లేని సంబంధాన్ని అనుకరించే కారకాల యాదృచ్ఛిక యాదృచ్చికం మాత్రమే కాకుండా, క్లిష్టమైన విలువల పట్టికలను ఉపయోగించడం అవసరం. పేర్కొన్న సంబంధం. పట్టికలను ఉపయోగించి, ఫిషర్ ప్రమాణం యొక్క క్లిష్టమైన (థ్రెషోల్డ్) విలువ నిర్ణయించబడుతుంది. దీనిని సైద్ధాంతిక అని కూడా అంటారు. అప్పుడు వారు పరిశీలనాత్మక డేటా నుండి లెక్కించిన ప్రమాణం యొక్క సంబంధిత అనుభావిక (వాస్తవ) విలువతో పోల్చడం ద్వారా, నిష్పత్తి యొక్క వాస్తవ విలువ పట్టికల నుండి క్లిష్టమైన విలువను మించిందా అని తనిఖీ చేస్తారు.

ఇది ఇలా మరింత వివరంగా జరుగుతుంది. శూన్య పరికల్పన యొక్క ఉనికి యొక్క సంభావ్యత యొక్క ఒక నిర్దిష్ట స్థాయిని ఎంచుకోండి మరియు పట్టికల నుండి F- ప్రమాణం యొక్క క్లిష్టమైన విలువను కనుగొనండి, దీనిలో 1 డిగ్రీ స్వేచ్ఛ ద్వారా వ్యత్యాసాల యొక్క యాదృచ్ఛిక వైవిధ్యం ఇప్పటికీ సంభవించవచ్చు, అనగా. అటువంటి గరిష్ట విలువ. అప్పుడు ఎఫ్-నిష్పత్తి యొక్క లెక్కించిన విలువ ఈ నిష్పత్తి పట్టికలో ఉన్నదాని కంటే ఎక్కువగా ఉంటే నమ్మదగినదిగా పరిగణించబడుతుంది (అనగా, వాస్తవ మరియు అవశేష వ్యత్యాసాల మధ్య వ్యత్యాసాన్ని వ్యక్తపరుస్తుంది). అప్పుడు శూన్య పరికల్పన తిరస్కరించబడుతుంది (కనెక్షన్ యొక్క సంకేతాలు లేవు అనేది నిజం కాదు) మరియు దీనికి విరుద్ధంగా, కనెక్షన్ ఉందని మరియు అది ముఖ్యమైనది (ఇది యాదృచ్ఛికం కానిది, ముఖ్యమైనది) అని మేము నిర్ధారణకు వస్తాము.

సంబంధం యొక్క విలువ పట్టికలో ఉన్న దాని కంటే తక్కువగా ఉంటే, అప్పుడు శూన్య పరికల్పన యొక్క సంభావ్యత పేర్కొన్న స్థాయి కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది (ఇది మొదట్లో ఎంపిక చేయబడింది) మరియు శూన్య పరికల్పనను గుర్తించదగిన ప్రమాదం లేకుండా తిరస్కరించడం సాధ్యం కాదు. సంబంధం యొక్క ఉనికి గురించి తప్పు నిర్ధారణను పొందడం. దీని ప్రకారం, రిగ్రెషన్ సమీకరణం చాలా తక్కువగా పరిగణించబడుతుంది.

F- ప్రమాణం యొక్క విలువ కూడా నిర్ణయ గుణకంతో సంబంధం కలిగి ఉంటుంది. మొత్తంగా రిగ్రెషన్ సమీకరణం యొక్క ప్రాముఖ్యతను అంచనా వేయడంతో పాటు, రిగ్రెషన్ సమీకరణం యొక్క వ్యక్తిగత పారామితుల యొక్క ప్రాముఖ్యత కూడా అంచనా వేయబడుతుంది. ఈ సందర్భంలో, రిగ్రెషన్ కోఎఫీషియంట్ యొక్క ప్రామాణిక లోపం అనుభావిక వాస్తవ ప్రామాణిక విచలనం మరియు స్వేచ్ఛ యొక్క డిగ్రీకి అనుభావిక వ్యత్యాసాన్ని ఉపయోగించి నిర్ణయించబడుతుంది. విద్యార్థి పంపిణీ దాని విశ్వాస విరామాలను లెక్కించడానికి రిగ్రెషన్ కోఎఫీషియంట్ యొక్క ప్రాముఖ్యతను పరీక్షించడానికి ఉపయోగించబడుతుంది.

స్టూడెంట్స్ టి-టెస్ట్ ఉపయోగించి రిగ్రెషన్ మరియు కోరిలేషన్ కోఎఫీషియంట్స్ యొక్క ప్రాముఖ్యతను అంచనా వేయడం ఈ పరిమాణాల విలువలు మరియు ప్రామాణిక లోపంతో పోల్చడం ద్వారా నిర్వహించబడుతుంది. లీనియర్ రిగ్రెషన్ పారామితులు మరియు సహసంబంధ గుణకం యొక్క లోపం యొక్క పరిమాణం క్రింది సూత్రాల ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది:

ఇక్కడ S అనేది రూట్ మీన్ స్క్వేర్ అవశేష నమూనా విచలనం,

r xy - సహసంబంధ గుణకం.

దీని ప్రకారం, రిగ్రెషన్ లైన్ ద్వారా అంచనా వేయబడిన ప్రామాణిక లోపం యొక్క విలువ సూత్రం ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది:

రిగ్రెషన్ మరియు కోరిలేషన్ కోఎఫీషియంట్స్ యొక్క విలువల యొక్క సంబంధిత నిష్పత్తులు వాటి ప్రామాణిక దోషానికి t-గణాంకాలు అని పిలవబడేవి, మరియు సంబంధిత పట్టిక (క్లిష్టమైన) విలువ మరియు దాని వాస్తవ విలువ యొక్క పోలిక శూన్యతను అంగీకరించడానికి లేదా తిరస్కరించడానికి అనుమతిస్తుంది. పరికల్పన. అయితే, విశ్వాస విరామాన్ని లెక్కించడానికి, ప్రతి సూచికకు గరిష్ట లోపం సంబంధిత సూచిక యొక్క సగటు యాదృచ్ఛిక లోపం ద్వారా t గణాంకాల యొక్క పట్టిక విలువ యొక్క ఉత్పత్తిగా కనుగొనబడుతుంది. వాస్తవానికి, మేము దానిని కొద్దిగా భిన్నంగా వ్రాసాము. అప్పుడు విశ్వాస విరామాల సరిహద్దులు పొందబడతాయి: తక్కువ పరిమితి సంబంధిత కోఎఫీషియంట్స్ (వాస్తవానికి సగటు) నుండి సంబంధిత ఉపాంత లోపాన్ని తీసివేయడం ద్వారా మరియు ఎగువ పరిమితి అదనంగా (జోడించడం) ద్వారా ఉంటుంది.

లీనియర్ రిగ్రెషన్‌లో ∑(y x -y avg) 2 =b 2 ∑(x-x avg) 2. లీనియర్ కోరిలేషన్ కోఎఫీషియంట్ కోసం సూత్రాన్ని సూచించడం ద్వారా దీన్ని ధృవీకరించడం సులభం: r 2 xy = b 2 *σ 2 x /σ 2 y

ఇక్కడ σ 2 y అనేది y లక్షణం యొక్క మొత్తం వైవిధ్యం;

σ 2 x - కారకం x కారణంగా y లక్షణం యొక్క వ్యాప్తి. దీని ప్రకారం, లీనియర్ రిగ్రెషన్ కారణంగా స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తం ఉంటుంది:

∑(y x -y సగటు) 2 =b 2 ∑(x-x సగటు) 2 .

x మరియు y లలో ఇచ్చిన పరిశీలనల వాల్యూమ్ కోసం, లీనియర్ రిగ్రెషన్‌లోని స్క్వేర్‌ల ఫ్యాక్టర్ మొత్తం రిగ్రెషన్ కోఎఫీషియంట్ b యొక్క ఒక స్థిరాంకంపై మాత్రమే ఆధారపడి ఉంటుంది, అప్పుడు ఈ స్క్వేర్‌ల మొత్తానికి ఒక డిగ్రీ స్వేచ్ఛ ఉంటుంది. y లక్షణం యొక్క లెక్కించబడిన విలువ యొక్క కంటెంట్ వైపు మనం పరిశీలిద్దాం i.e. y x. y x విలువ సరళ రిగ్రెషన్ సమీకరణం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది: y x ​​= a + bx.

a పరామితిని a=y-bxగా నిర్వచించవచ్చు. పరామితి a కోసం వ్యక్తీకరణను లీనియర్ మోడల్‌లోకి మార్చడం ద్వారా, మేము పొందుతాము: y x ​​= y-bx+bx avg =y-b(x-x avg).

ఇచ్చిన వేరియబుల్స్ y మరియు x కోసం, లీనియర్ రిగ్రెషన్‌లో y x యొక్క లెక్కించబడిన విలువ కేవలం ఒక పరామితి యొక్క ఫంక్షన్ - రిగ్రెషన్ కోఎఫీషియంట్. దీని ప్రకారం, స్క్వేర్డ్ విచలనాల కారకం మొత్తం 1కి సమానమైన అనేక డిగ్రీల స్వేచ్ఛను కలిగి ఉంటుంది.

చతురస్రాల మొత్తం, కారకం మరియు అవశేష మొత్తాల స్వేచ్ఛ డిగ్రీల సంఖ్య మధ్య సమానత్వం ఉంది. లీనియర్ రిగ్రెషన్‌లో స్క్వేర్‌ల అవశేష మొత్తం స్వేచ్ఛ డిగ్రీల సంఖ్య (n-2). స్క్వేర్‌ల మొత్తం మొత్తానికి స్వేచ్చ యొక్క డిగ్రీల సంఖ్య వాటి సంఖ్య ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది మరియు మేము నమూనా డేటా నుండి లెక్కించిన సగటును ఉపయోగిస్తాము కాబట్టి, మేము ఒక డిగ్రీ స్వేచ్ఛను కోల్పోతాము, అనగా. (n-1). కాబట్టి, మనకు రెండు సమానత్వాలు ఉన్నాయి: మొత్తాలకు మరియు స్వేచ్ఛ డిగ్రీల సంఖ్యకు. మరియు ఇది, స్వేచ్ఛ యొక్క డిగ్రీకి పోల్చదగిన వ్యత్యాసాలకు మమ్మల్ని తిరిగి తీసుకువస్తుంది, దీని నిష్పత్తి ఫిషర్ ప్రమాణాన్ని ఇస్తుంది.

25. విద్యార్థి పరీక్షను ఉపయోగించి రిగ్రెషన్ ఈక్వేషన్ మరియు కోఎఫీషియంట్స్ యొక్క వ్యక్తిగత పారామితుల యొక్క ప్రాముఖ్యతను అంచనా వేయడం.

27. వారి అధ్యయనం కోసం లీనియర్ మరియు నాన్ లీనియర్ రిగ్రెషన్ మరియు పద్ధతులు.

లీనియర్ రిగ్రెషన్ మరియు దాని పరిశోధన మరియు మూల్యాంకనం యొక్క పద్ధతులు చాలా ముఖ్యమైనవి కావు, ఇది చాలా ముఖ్యమైనది, కానీ ఇప్పటికీ సరళమైన సందర్భంలో, మేము వారి సహాయంతో మరింత సంక్లిష్టమైన నాన్‌లీనియర్ డిపెండెన్సీలను విశ్లేషించే సాధనాన్ని పొందలేము. నాన్ లీనియర్ రిగ్రెషన్‌లను రెండు విభిన్న తరగతులుగా విభజించవచ్చు. మొదటి మరియు సరళమైనది నాన్ లీనియర్ డిపెండెన్సీల తరగతి, దీనిలో వివరణాత్మక వేరియబుల్స్‌కు సంబంధించి నాన్‌లీనియారిటీ ఉంటుంది, కానీ వాటిలో చేర్చబడిన పారామితులలో ఇవి సరళంగా ఉంటాయి మరియు మూల్యాంకనానికి లోబడి ఉంటాయి. ఇందులో వివిధ డిగ్రీల బహుపదిలు మరియు సమబాహు హైపర్బోలా ఉన్నాయి.

వేరియబుల్స్‌ను సరళంగా మార్చడం (భర్తీ చేయడం) ద్వారా వివరణలో చేర్చబడిన వేరియబుల్స్ కోసం ఇటువంటి నాన్‌లీనియర్ రిగ్రెషన్ కొత్త వేరియబుల్స్ కోసం సాధారణ లీనియర్ రిగ్రెషన్‌కి సులభంగా తగ్గించబడుతుంది. అందువల్ల, ఈ సందర్భంలో పారామితుల అంచనా కనీసం చతురస్రాల ద్వారా నిర్వహించబడుతుంది, ఎందుకంటే పారామితులలో డిపెండెన్సీలు సరళంగా ఉంటాయి. అందువల్ల, ఆర్థిక శాస్త్రంలో ఒక ముఖ్యమైన పాత్ర సమబాహు హైపర్బోలా ద్వారా వివరించబడిన నాన్ లీనియర్ డిపెండెన్స్ ద్వారా పోషించబడుతుంది:

దీని పారామితులు తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతిని ఉపయోగించి బాగా అంచనా వేయబడతాయి మరియు ఈ ఆధారపడటం అనేది ముడి పదార్థాలు, ఇంధనం, అవుట్‌పుట్ వాల్యూమ్‌తో కూడిన పదార్థాలు, వస్తువుల సర్క్యులేషన్ సమయం మరియు వాణిజ్య మొత్తంతో ఈ అన్ని కారకాల మధ్య సంబంధాన్ని వర్ణిస్తుంది. టర్నోవర్. ఉదాహరణకు, ఫిలిప్స్ వక్రరేఖ నిరుద్యోగ రేటు మరియు వేతన వృద్ధి శాతం మధ్య నాన్ లీనియర్ సంబంధాన్ని వర్ణిస్తుంది.

అంచనా వేయబడిన పారామితులలో నాన్‌లీనియర్‌గా ఉండే రిగ్రెషన్‌తో పరిస్థితి పూర్తిగా భిన్నంగా ఉంటుంది, ఉదాహరణకు, పవర్ ఫంక్షన్ ద్వారా ప్రాతినిధ్యం వహిస్తుంది, దీనిలో డిగ్రీ (దాని ఘాతాంకం) ఒక పరామితి లేదా పరామితిపై ఆధారపడి ఉంటుంది. ఇది ఘాతాంక ఫంక్షన్ కూడా కావచ్చు, ఇక్కడ డిగ్రీ యొక్క ఆధారం పారామీటర్ మరియు ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్, దీనిలో మళ్లీ సూచిక పరామితి లేదా పారామితుల కలయికను కలిగి ఉంటుంది. ఈ తరగతి, క్రమంగా, రెండు ఉపవర్గాలుగా విభజించబడింది: ఒకటి బాహ్యంగా నాన్‌లీనియర్‌ను కలిగి ఉంటుంది, కానీ తప్పనిసరిగా అంతర్గతంగా సరళంగా ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో, మీరు పరివర్తనలను ఉపయోగించి మోడల్‌ను సరళ రూపానికి తీసుకురావచ్చు. అయితే, మోడల్ అంతర్గతంగా నాన్‌లీనియర్‌గా ఉన్నట్లయితే, దానిని లీనియర్ ఫంక్షన్‌కి తగ్గించడం సాధ్యం కాదు.

అందువల్ల, రిగ్రెషన్ విశ్లేషణలో అంతర్గతంగా నాన్‌లీనియర్‌గా ఉన్న నమూనాలు మాత్రమే నిజంగా నాన్‌లీనియర్‌గా పరిగణించబడతాయి. పరివర్తనల ద్వారా సరళంగా తగ్గించబడే మిగతావన్నీ అటువంటివిగా పరిగణించబడవు మరియు ఎకనామెట్రిక్ అధ్యయనాలలో వారు ఎక్కువగా పరిగణించబడతారు. అదే సమయంలో, ఎకనామెట్రిక్స్‌లో తప్పనిసరిగా నాన్‌లీనియర్ డిపెండెన్సీలను అధ్యయనం చేయడం అసాధ్యం అని దీని అర్థం కాదు. మోడల్ దాని పారామితులలో అంతర్గతంగా నాన్‌లీనియర్‌గా ఉంటే, పారామితులను అంచనా వేయడానికి పునరుక్తి విధానాలు ఉపయోగించబడతాయి, దీని విజయం ఉపయోగించిన పునరుక్తి పద్ధతి యొక్క లక్షణాల కోసం సమీకరణ రకంపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

లీనియర్‌కి తగ్గించబడిన డిపెండెన్సీలకు తిరిగి వెళ్దాం. అవి పరామితులు మరియు వేరియబుల్స్ రెండింటిలోనూ నాన్ లీనియర్‌గా ఉంటే, ఉదాహరణకు, రూపం y = a X శక్తితో గుణించబడుతుంది, దీని ఘాతాంకం పరామితి -  (బీటా):

సహజంగానే, అటువంటి సంబంధాన్ని సరళమైన లాగరిథమ్ ద్వారా సులభంగా సరళ సమీకరణంగా మార్చవచ్చు.

లాగరిథమ్‌లను సూచించే కొత్త వేరియబుల్స్‌ను ప్రవేశపెట్టిన తర్వాత, ఒక సరళ సమీకరణం పొందబడుతుంది. రిగ్రెషన్‌ను అంచనా వేసే విధానం అసలు విలువల లాగరిథమ్‌లను తీసుకోవడం ద్వారా ప్రతి పరిశీలన కోసం కొత్త వేరియబుల్‌లను గణించడంలో ఉంటుంది. అప్పుడు కొత్త వేరియబుల్స్ యొక్క రిగ్రెషన్ డిపెండెన్స్ అంచనా వేయబడుతుంది. అసలైన వేరియబుల్స్‌కి వెళ్లడానికి, మీరు యాంటీలాగరిథమ్‌ని తీసుకోవాలి, అంటే వాస్తవానికి వాటి ఘాతాంకాలకు బదులుగా శక్తులకు తిరిగి రావాలి (అన్నింటికంటే, లాగరిథమ్ ఘాతాంకం). ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ లేదా ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్‌ల విషయంలో కూడా అదేవిధంగా పరిగణించవచ్చు.

గణనీయంగా నాన్ లీనియర్ రిగ్రెషన్ కోసం, సాధారణ రిగ్రెషన్ అంచనా విధానాన్ని వర్తింపజేయడం సాధ్యం కాదు ఎందుకంటే సంబంధిత సంబంధాన్ని లీనియర్‌గా మార్చడం సాధ్యం కాదు. చర్యల యొక్క సాధారణ పథకం క్రింది విధంగా ఉంది:

1. కొన్ని ఆమోదయోగ్యమైన ప్రారంభ పరామితి విలువలు ఆమోదించబడ్డాయి;

2. అంచనా వేయబడిన Y విలువలు ఈ పారామితి విలువలను ఉపయోగించి వాస్తవ X విలువల నుండి లెక్కించబడతాయి;

3. నమూనాలోని అన్ని పరిశీలనల కోసం అవశేషాలు లెక్కించబడతాయి, ఆపై అవశేషాల చతురస్రాల మొత్తం;

4. ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ పరామితి అంచనాలకు చిన్న మార్పులు చేయబడతాయి;

5. Y యొక్క కొత్త అంచనా విలువలు, అవశేషాలు మరియు అవశేషాల చతురస్రాల మొత్తం లెక్కించబడతాయి;

6. అవశేషాల చతురస్రాల మొత్తం మునుపటి కంటే తక్కువగా ఉంటే, కొత్త పరామితి అంచనాలు మునుపటి వాటి కంటే మెరుగ్గా ఉంటాయి మరియు కొత్త ప్రారంభ బిందువుగా ఉపయోగించాలి;

7. చతురస్రాల అవశేషాల మొత్తంలో మార్పుకు దారితీసే పరామితి అంచనాలకు అటువంటి మార్పులు చేయడం అసాధ్యం అయ్యే వరకు 4, 5 మరియు 6 దశలు మళ్లీ పునరావృతమవుతాయి;

8. స్క్వేర్డ్ అవశేషాల మొత్తం కనిష్టీకరించబడిందని మరియు చివరి పరామితి అంచనాలు కనిష్ట స్క్వేర్‌ల అంచనాలు అని నిర్ధారించబడింది.

లీనియర్ రూపంలోకి తగ్గించబడే నాన్ లీనియర్ ఫంక్షన్లలో, పవర్ ఫంక్షన్ ఎకనామెట్రిక్స్‌లో విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది. దానిలోని పరామితి బి స్పష్టమైన వివరణను కలిగి ఉంది, ఇది స్థితిస్థాపకత గుణకం. అంచనా వేసిన పారామితులలో నాన్‌లీనియర్‌గా ఉండే మోడల్‌లలో, కానీ సరళ రూపానికి తగ్గించవచ్చు, రూపాంతరం చెందిన సమీకరణాలకు కనీసం చతురస్రాల పద్ధతి వర్తించబడుతుంది. సంవర్గమానాల యొక్క ఆచరణాత్మక ఉపయోగం మరియు తదనుగుణంగా, ఫలిత సంకేతం ప్రతికూల విలువలను కలిగి లేనప్పుడు ఘాతాంకాలు సాధ్యమవుతాయి. ఫలిత లక్షణం యొక్క లాగరిథమ్‌ను ఉపయోగించి ఫంక్షన్‌ల మధ్య సంబంధాలను అధ్యయనం చేస్తున్నప్పుడు, ఎకనామెట్రిక్స్‌లో పవర్-లా డిపెండెన్సీలు ప్రధానంగా ఉంటాయి (డిమాండ్ మరియు సరఫరా వక్రతలు, ఉత్పత్తి విధులు, ఉత్పత్తుల శ్రమ తీవ్రత, ఉత్పత్తి స్థాయి, ఆధారపడటం మధ్య సంబంధాన్ని వర్గీకరించడానికి శోషణ వక్రతలు. ఉపాధి స్థాయిపై GNI, ఎంగెల్ వక్రతలు).

28. విలోమ నమూనా మరియు దాని ఉపయోగం

కొన్నిసార్లు విలోమ నమూనా అని పిలవబడేది అంతర్గతంగా నాన్‌లీనియర్‌గా ఉంటుంది, కానీ దానిలో, ఈక్విలేటరల్ హైపర్‌బోలా వలె కాకుండా, ఇది పరివర్తనకు లోబడి ఉండే వివరణాత్మక వేరియబుల్ కాదు, ఫలితంగా వచ్చే లక్షణం Y. కాబట్టి, విలోమ నమూనా ఇలా మారుతుంది. అంతర్గతంగా నాన్‌లీనియర్‌గా ఉండాలి మరియు ఫలితంగా వచ్చే లక్షణం Y యొక్క వాస్తవ విలువలకు మరియు వాటి విలోమ విలువలకు OLS అవసరం సంతృప్తి చెందదు. నాన్ లీనియర్ రిగ్రెషన్ కోసం సహసంబంధం యొక్క అధ్యయనం ప్రత్యేక శ్రద్ధకు అర్హమైనది. సాధారణ సందర్భంలో, రెండవ డిగ్రీ యొక్క పారాబొలా, అధిక క్రమానికి చెందిన బహుపదిల వలె, సరళీకరించబడినప్పుడు బహుళ రిగ్రెషన్ సమీకరణం రూపంలో ఉంటుంది. ఒకవేళ, సరళీకరించబడినప్పుడు, వివరించబడిన వేరియబుల్‌కు సంబంధించి నాన్‌లీనియర్‌గా ఉండే రిగ్రెషన్ సమీకరణం లీనియర్ జత చేసిన రిగ్రెషన్ ఈక్వేషన్ రూపాన్ని తీసుకుంటే, సంబంధం యొక్క సాన్నిహిత్యాన్ని అంచనా వేయడానికి లీనియర్ కోరిలేషన్ కోఎఫీషియంట్ ఉపయోగించవచ్చు.

రిగ్రెషన్ సమీకరణాన్ని లీనియర్ రూపంలోకి మార్చడం డిపెండెంట్ వేరియబుల్ (ఫలిత లక్షణం)తో అనుబంధించబడితే, లక్షణాల రూపాంతరం చెందిన విలువల ఆధారంగా సరళ సహసంబంధ గుణకం సంబంధం యొక్క ఉజ్జాయింపు అంచనాను మాత్రమే ఇస్తుంది మరియు సంఖ్యాపరంగా ఏకీభవించదు. సహసంబంధ సూచిక. సహసంబంధ సూచికను లెక్కించేటప్పుడు, ఫలిత లక్షణం Y యొక్క స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తాలు ఉపయోగించబడతాయి మరియు వాటి లాగరిథమ్‌లు కాదని గుర్తుంచుకోవాలి. సహసంబంధ సూచిక యొక్క ప్రాముఖ్యతను అంచనా వేయడం సహసంబంధ గుణకం యొక్క విశ్వసనీయతను (ప్రాముఖ్యత) అంచనా వేసే విధంగానే నిర్వహించబడుతుంది. ఫిషర్ ఎఫ్ పరీక్షను ఉపయోగించి నాన్ లీనియర్ రిగ్రెషన్ ఈక్వేషన్ యొక్క మొత్తం ప్రాముఖ్యతను పరీక్షించడానికి డిటర్మినేషన్ ఇండెక్స్ వంటి సహసంబంధ సూచిక కూడా ఉపయోగించబడుతుంది.

నాన్ లీనియర్ మోడల్‌లను నిర్మించే అవకాశం, వాటిని లీనియర్ ఫారమ్‌కి తగ్గించడం మరియు నాన్‌లీనియర్ రిగ్రెషన్‌ని ఉపయోగించడం ద్వారా, ఒక వైపు, రిగ్రెషన్ విశ్లేషణ యొక్క విశ్వవ్యాప్తతను పెంచుతుందని గమనించండి. మరోవైపు, ఇది పరిశోధకుడి పనులను గణనీయంగా క్లిష్టతరం చేస్తుంది. జత చేసిన రిగ్రెషన్ విశ్లేషణకు మనల్ని మనం పరిమితం చేసుకుంటే, Y మరియు X పరిశీలనలను స్కాటర్ ప్లాట్‌గా రూపొందించవచ్చు. తరచుగా వివిధ నాన్ లీనియర్ ఫంక్షన్‌లు కొన్ని వక్రరేఖపై ఉన్నట్లయితే అవి సుమారుగా పరిశీలనలను సూచిస్తాయి. కానీ బహుళ రిగ్రెషన్ విశ్లేషణ విషయంలో, అటువంటి గ్రాఫ్ నిర్మించబడదు.

డిపెండెంట్ వేరియబుల్ యొక్క అదే నిర్వచనంతో ప్రత్యామ్నాయ నమూనాలను పరిగణనలోకి తీసుకున్నప్పుడు, ఎంపిక విధానం చాలా సులభం. ఊహించగలిగే అన్ని ఆమోదయోగ్యమైన ఫంక్షన్‌ల ఆధారంగా రిగ్రెషన్‌ను అంచనా వేయవచ్చు మరియు డిపెండెంట్ వేరియబుల్‌లో మార్పును ఎక్కువగా వివరించే ఫంక్షన్‌ను ఎంచుకోవచ్చు. ఒక లీనియర్ ఫంక్షన్ yలోని దాదాపు 64% వ్యత్యాసాన్ని వివరించినప్పుడు మరియు హైపర్బోలిక్ ఫంక్షన్ 99.9%ని వివరించినప్పుడు, రెండోది స్పష్టంగా ఎంచుకోవాలి. కానీ వేర్వేరు నమూనాలు వేర్వేరు ఫంక్షనల్ రూపాలను ఉపయోగించినప్పుడు, మోడల్ ఎంపిక సమస్య గణనీయంగా మరింత క్లిష్టంగా మారుతుంది.

29. బాక్స్-కాక్స్ పరీక్షను ఉపయోగించడం.

మరింత సాధారణంగా, డిపెండెంట్ వేరియబుల్ యొక్క అదే నిర్వచనంతో ప్రత్యామ్నాయ నమూనాలను పరిగణనలోకి తీసుకున్నప్పుడు, ఎంపిక సులభం. డిపెండెంట్ వేరియబుల్‌లో మార్పును ఎక్కువగా వివరించే ఫంక్షన్‌పై దృష్టి సారించి, అన్ని ఆమోదయోగ్యమైన ఫంక్షన్‌ల ఆధారంగా తిరోగమనాన్ని అంచనా వేయడం చాలా సహేతుకమైనది. డిటర్మినేషన్ కోఎఫీషియంట్ కొలిస్తే, ఒక సందర్భంలో, రిగ్రెషన్ ద్వారా వివరించబడిన వ్యత్యాస నిష్పత్తి, మరియు మరొకటి, రిగ్రెషన్ ద్వారా వివరించబడిన ఈ డిపెండెంట్ వేరియబుల్ యొక్క లాగరిథమ్‌లో వ్యత్యాసం యొక్క నిష్పత్తి, అప్పుడు ఎంపిక కష్టం లేకుండా చేయబడుతుంది. రెండు మోడళ్లకు ఈ విలువలు చాలా దగ్గరగా ఉన్నప్పుడు మరియు ఎంపిక సమస్య మరింత క్లిష్టంగా మారినప్పుడు ఇది మరొక విషయం.

బాక్స్-కాక్స్ పరీక్ష రూపంలో ప్రామాణిక విధానాన్ని వర్తింపజేయాలి. మీరు డిపెండెంట్ వేరియబుల్ యొక్క వేరియంట్ రూపంలో ప్రభావవంతమైన కారకం మరియు దాని లాగరిథమ్‌ను ఉపయోగించి మోడల్‌లను సరిపోల్చవలసి వస్తే, అప్పుడు Zarembka పరీక్ష యొక్క సంస్కరణ ఉపయోగించబడుతుంది. ఇది పరిశీలన స్కేల్ Y యొక్క పరివర్తనను ప్రతిపాదిస్తుంది, ఇది లీనియర్ మరియు లాగరిథమిక్ మోడల్‌లలో రూట్ మీన్ స్క్వేర్ ఎర్రర్ (MSE) యొక్క ప్రత్యక్ష పోలికను అనుమతిస్తుంది. సంబంధిత విధానం క్రింది దశలను కలిగి ఉంటుంది:

నమూనాలోని Y విలువల యొక్క రేఖాగణిత సగటు లెక్కించబడుతుంది, ఇది Y యొక్క లాగరిథమ్ యొక్క అంకగణిత సగటు యొక్క ఘాతాంకంతో సమానంగా ఉంటుంది;

పరిశీలనలు Y తిరిగి లెక్కించబడతాయి, అవి మొదటి దశలో పొందిన విలువతో విభజించబడతాయి;

ఒరిజినల్ Y విలువలకు బదులుగా స్కేల్ చేయబడిన Y విలువలను ఉపయోగించి ఒక లీనియర్ మోడల్ కోసం రిగ్రెషన్ అంచనా వేయబడింది మరియు స్కేల్ చేయబడిన Y విలువల లాగరిథమ్‌ని ఉపయోగించి లాగరిథమిక్ మోడల్ కోసం రెండు రిగ్రెషన్‌ల కోసం RMSE విలువలు ఇప్పుడు పోల్చదగినవి మరియు అందువల్ల స్క్వేర్డ్ విచలనాల యొక్క చిన్న మొత్తంతో మోడల్ గమనించిన విలువల యొక్క నిజమైన సంబంధానికి మెరుగైన అమరికను అందిస్తుంది;

మోడళ్లలో ఒకటి గణనీయంగా మెరుగైన ఫిట్‌ను అందించలేదని తనిఖీ చేయడానికి, తిరిగి లెక్కించిన రిగ్రెషన్‌లలో ప్రామాణిక విచలనం యొక్క విలువల నిష్పత్తి యొక్క సగం సంఖ్యలో పరిశీలనల మరియు లాగరిథమ్ యొక్క ఉత్పత్తిని ఉపయోగించవచ్చు, ఆపై దాన్ని తీసుకోవచ్చు. ఈ విలువ యొక్క సంపూర్ణ విలువ.

30. పరస్పర సంబంధం మరియు కారకాల యొక్క మల్టీకాలినియారిటీ యొక్క భావనలు.

34. MNC యొక్క ఫండమెంటల్స్ మరియు దాని అప్లికేషన్ యొక్క చెల్లుబాటు.

ఇప్పుడు మనం OLS యొక్క ప్రాథమిక అంశాలు, దాని అప్లికేషన్ యొక్క చెల్లుబాటు (బహుళ రిగ్రెషన్ సమస్యలతో సహా) మరియు OLSని ఉపయోగించి పొందిన అంచనాల యొక్క అతి ముఖ్యమైన లక్షణాలకు వెళ్దాం. రిగ్రెషన్ సమీకరణం యొక్క కుడి వైపున విశ్లేషణాత్మక ఆధారపడటంతో పాటు, యాదృచ్ఛిక పదం కూడా ఒక ముఖ్యమైన పాత్ర పోషిస్తుంది అనే వాస్తవంతో ప్రారంభిద్దాం. ఈ యాదృచ్ఛిక భాగం గమనించలేని పరిమాణం. రిగ్రెషన్ పారామితులు మరియు సహసంబంధ సూచికల యొక్క గణాంక పరీక్షలు బహుళ రిగ్రెషన్ యొక్క ఈ యాదృచ్ఛిక భాగం యొక్క పంపిణీ గురించి పరీక్షించలేని అంచనాలపై ఆధారపడి ఉంటాయి. ఈ అంచనాలు ప్రాథమికమైనవి మాత్రమే. రిగ్రెషన్ సమీకరణాన్ని రూపొందించిన తర్వాత మాత్రమే యాదృచ్ఛిక అవశేషాల అంచనాలు (యాదృచ్ఛిక భాగం యొక్క అనుభావిక అనలాగ్‌లు) ప్రాపర్టీగా భావించబడే లక్షణాలను కలిగి ఉన్నాయో లేదో తనిఖీ చేయబడుతుంది. ముఖ్యంగా, మోడల్ పారామితులను అంచనా వేసినప్పుడు, ఫలిత లక్షణం యొక్క సైద్ధాంతిక మరియు వాస్తవ విలువల మధ్య తేడాలు యాదృచ్ఛిక భాగాన్ని అంచనా వేయడానికి లెక్కించబడతాయి. ఇది ఇవ్వబడిన సమీకరణం యొక్క తెలియని శేషం యొక్క నమూనా అమలు మాత్రమే అని గుర్తుంచుకోండి.

సాధారణ సమీకరణాల వ్యవస్థ నుండి పొందిన తిరోగమన గుణకాలు సంబంధం యొక్క బలం యొక్క నమూనా అంచనాలు. అవి నిష్పక్షపాతంగా ఉన్నప్పుడే వాటికి ఆచరణాత్మక ప్రాముఖ్యత ఉంటుందని స్పష్టమవుతుంది. ఈ సందర్భంలో అవశేషాల సగటు సున్నాకి సమానం, లేదా, అదే, అంచనా యొక్క సగటు అంచనా వేసిన పరామితికి సమానం అని గుర్తుచేసుకుందాం. అప్పుడు అవశేషాలు పెద్ద సంఖ్యలో నమూనా అంచనాలపై పేరుకుపోవు మరియు కనుగొనబడిన రిగ్రెషన్ పరామితిని కూడా పెద్ద సంఖ్యలో నిష్పాక్షిక అంచనాల సగటుగా పరిగణించవచ్చు.

అదనంగా, అంచనాలు అతి చిన్న వ్యత్యాసాన్ని కలిగి ఉండాలి, అనగా. ప్రభావవంతంగా ఉంటుంది మరియు ఆచరణాత్మకంగా ఉపయోగించలేని పాయింట్ అంచనాల నుండి విరామం అంచనాకు వెళ్లడం సాధ్యమవుతుంది. చివరగా, పరామితి యొక్క నిజమైన (తెలియని) విలువ నుండి ఇచ్చిన దూరం వద్ద అంచనాను పొందే సంభావ్యత ఒకదానికి దగ్గరగా ఉన్నప్పుడు విశ్వాస విరామాలు ఉపయోగపడతాయి. ఇటువంటి అంచనాలను స్థిరంగా పిలుస్తారు మరియు స్థిరత్వం యొక్క ఆస్తి పెరుగుతున్న నమూనా పరిమాణంతో వాటి ఖచ్చితత్వంలో పెరుగుదల ద్వారా వర్గీకరించబడుతుంది.

అయినప్పటికీ, స్థిరత్వ స్థితి స్వయంచాలకంగా సంతృప్తి చెందదు మరియు కింది రెండు ముఖ్యమైన అవసరాల నెరవేర్పుపై గణనీయంగా ఆధారపడి ఉంటుంది. ముందుగా, అవశేషాలు చాలా ఉచ్ఛరించే యాదృచ్ఛికతతో యాదృచ్ఛికంగా ఉండాలి, అనగా. అన్ని స్పష్టంగా ఫంక్షనల్ డిపెండెన్సీలు తప్పనిసరిగా బహుళ రిగ్రెషన్ యొక్క విశ్లేషణాత్మక భాగంలో తప్పనిసరిగా చేర్చబడాలి మరియు అదనంగా, అవశేషాల విలువలు వేర్వేరు నమూనాల కోసం ఒకదానికొకటి స్వతంత్రంగా పంపిణీ చేయబడాలి (అవశేషాల యొక్క స్వయంసిద్ధీకరణ లేదు). రెండవది, తక్కువ ముఖ్యమైన అవసరం లేదు, ప్రతి విచలనం (అవశేషం) యొక్క వైవిధ్యం X వేరియబుల్స్ (హోమోస్కేడాస్టిసిటీ) యొక్క అన్ని విలువలకు ఒకేలా ఉండాలి. ఆ. అన్ని పరిశీలనల కోసం వైవిధ్యం యొక్క స్థిరత్వం ద్వారా హోమోస్సెడాస్టిసిటీ వ్యక్తీకరించబడుతుంది:

దీనికి విరుద్ధంగా, భిన్నమైన పరిశీలనల కోసం భిన్నత్వం యొక్క అటువంటి స్థిరత్వాన్ని ఉల్లంఘించడమే భిన్నత్వం. ఈ సందర్భంలో, నమూనాలోని వివిధ పరిశీలనల కోసం యాదృచ్ఛిక పదం యొక్క విభిన్న సైద్ధాంతిక పంపిణీలతో అత్యంత వైకల్య విలువలను పొందే ప్రియోరి (పరిశీలనలకు ముందు) సంభావ్యత సాపేక్షంగా ఎక్కువగా ఉంటుంది.

అవశేషాల యొక్క ఆటోకోరిలేషన్, లేదా ప్రస్తుత మరియు మునుపటి (తరువాతి) పరిశీలనల యొక్క అవశేషాల మధ్య పరస్పర సంబంధం ఉండటం, సాధారణ లీనియర్ కోరిలేషన్ కోఎఫీషియంట్ విలువ ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. ఇది సున్నా నుండి గణనీయంగా భిన్నంగా ఉంటే, అవశేషాలు స్వయంచాలకంగా ఉంటాయి మరియు అందువల్ల, సంభావ్యత సాంద్రత ఫంక్షన్ (అవశేషాల పంపిణీ) పరిశీలన పాయింట్ మరియు ఇతర పరిశీలన పాయింట్ల వద్ద అవశేష విలువల పంపిణీపై ఆధారపడి ఉంటుంది. కారకం X ద్వారా పరిశీలనల క్రమం ఉన్నట్లయితే, అందుబాటులో ఉన్న గణాంక సమాచారాన్ని ఉపయోగించి అవశేషాల యొక్క స్వీయ సహసంబంధాన్ని గుర్తించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది.

35. హోమోస్కేడాస్టిసిటీ మరియు హెటెరోసెడాస్టిసిటీ, అవశేషాల స్వయంప్రతిపత్తి, సాధారణీకరించిన కనీస చతురస్రాలు (GLM).

OLSని ఉపయోగించి రిగ్రెషన్ పారామితుల యొక్క స్థిరమైన అంచనాలను పొందడానికి X వేరియబుల్స్ లేదా హోమోస్సెడాస్టిసిటీ యొక్క అన్ని విలువలకు అవశేషాల యొక్క వైవిధ్యాల యొక్క సారూప్యత కూడా ఖచ్చితంగా అవసరం. హోమోస్కేడాస్టిసిటీ స్థితిని సంతృప్తిపరచడంలో వైఫల్యం హెటెరోస్కేడాస్టిసిటీ అని పిలవబడే దారితీస్తుంది. ఇది రిగ్రెషన్ కోఎఫీషియంట్స్ యొక్క పక్షపాత అంచనాలకు దారి తీస్తుంది. హెటెరోసెడాస్టిసిటీ ప్రధానంగా రిగ్రెషన్ కోఎఫీషియంట్ అంచనాల సామర్థ్యంలో తగ్గింపును ప్రభావితం చేస్తుంది. ఈ సందర్భంలో, రిగ్రెషన్ కోఎఫీషియంట్ యొక్క ప్రామాణిక లోపం కోసం సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం చాలా కష్టం అవుతుంది, దీని ఉపయోగం కారకం యొక్క ఏదైనా విలువలకు అవశేషాల యొక్క ఏకరీతి వ్యాప్తిని ఊహిస్తుంది. రిగ్రెషన్ కోఎఫీషియంట్స్ యొక్క అంచనాల నిష్పాక్షికత విషయానికొస్తే, ఇది ప్రధానంగా అవశేషాల స్వాతంత్ర్యం మరియు కారకాల విలువలపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

హోమోస్కేడాస్టిసిటీని పరీక్షించడానికి కఠినమైన మరియు నైపుణ్యం-అవసరమైన మార్గం చాలా స్పష్టంగా ఉన్నప్పటికీ, సగటు లెక్కించిన (సైద్ధాంతిక) ఫలిత లక్షణం లేదా సంబంధిత సహసంబంధ క్షేత్రాలపై అవశేషాల ఆధారపడటం యొక్క స్వభావాన్ని గ్రాఫికల్‌గా అధ్యయనం చేయడం. హెటెరోసెడాస్టిసిటీని అధ్యయనం చేయడానికి మరియు అంచనా వేయడానికి విశ్లేషణాత్మక పద్ధతులు మరింత కఠినమైనవి. హెటెరోసెడాస్టిసిటీ యొక్క గణనీయమైన ఉనికి ఉంటే, OLSకి బదులుగా సాధారణీకరించిన OLS (GLM)ని ఉపయోగించడం మంచిది.

OLS ఉపయోగం నుండి ఉత్పన్నమయ్యే బహుళ రిగ్రెషన్ అవసరాలతో పాటు, మోడల్‌లో చేర్చబడిన వేరియబుల్స్‌పై షరతులకు అనుగుణంగా ఉండటం కూడా అవసరం. వీటిలో, మొదటగా, ఇచ్చిన పరిశీలనల వాల్యూమ్ (1 నుండి 7) కోసం మోడల్ కారకాల సంఖ్యకు సంబంధించిన అవసరాలు ఉంటాయి. లేకపోతే, రిగ్రెషన్ పారామితులు గణాంకపరంగా చాలా తక్కువగా ఉంటాయి. LSMని అమలు చేసేటప్పుడు సంబంధిత సంఖ్యా పద్ధతులను వర్తింపజేయడం యొక్క ప్రభావం యొక్క దృక్కోణం నుండి, పరిశీలనల సంఖ్య అంచనా వేసిన పారామితుల సంఖ్యను అధిగమించడం అవసరం (సమీకరణాల వ్యవస్థలో, సమీకరణాల సంఖ్య కోరిన సంఖ్య కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది. వేరియబుల్స్).

ఎకనామెట్రిక్స్ యొక్క అత్యంత ముఖ్యమైన సాధన ఏమిటంటే, తెలియని పారామితులను అంచనా వేసే పద్ధతుల యొక్క గణనీయమైన అభివృద్ధి మరియు పరిశీలనలో ఉన్న ప్రభావాల యొక్క స్థిరమైన ప్రాముఖ్యతను గుర్తించడానికి ప్రమాణాలను మెరుగుపరచడం. ఈ విషయంలో, భిన్నమైన స్థాయిలలో వ్యక్తీకరించబడిన హెటెరోస్కెడాస్టిసిటీ కారణంగా సాంప్రదాయ OLSని ఉపయోగించడం అసంభవం లేదా అసమర్థత సాధారణీకరించిన OLS (GLM) అభివృద్ధికి దారితీసింది. వాస్తవానికి, ఇది మోడల్‌ను సర్దుబాటు చేయడం, దాని స్పెసిఫికేషన్‌ను మార్చడం మరియు రిగ్రెషన్ కోఎఫీషియంట్స్ యొక్క నిష్పాక్షికమైన, సమర్థవంతమైన మరియు స్థిరమైన అంచనాలను నిర్ధారించడానికి అసలు డేటాను మార్చడం వంటివి కలిగి ఉంటుంది.

అవశేషాల సగటు సున్నా అని భావించబడుతుంది, కానీ వాటి వ్యాప్తి ఇకపై స్థిరంగా ఉండదు, కానీ K i విలువలకు అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది, ఇక్కడ ఈ విలువలు అనుపాత గుణకాలు, ఇవి వేర్వేరు విలువలకు భిన్నంగా ఉంటాయి. కారకం x. అందువల్ల, ఈ గుణకాలు (K i విలువలు) వ్యాప్తి యొక్క వైవిధ్యతను వర్ణిస్తాయి. సహజంగానే, ఈ దామాషా కోఎఫీషియంట్‌లకు ఒక సాధారణ కారకం అయిన చెదరగొట్టే మొత్తం తెలియదని నమ్ముతారు.

అసలు మోడల్, ఈ గుణకాలను బహుళ రిగ్రెషన్ సమీకరణంలోకి ప్రవేశపెట్టిన తర్వాత, హెటెరోస్కెడాస్టిక్‌గా కొనసాగుతుంది (మరింత ఖచ్చితంగా, ఇవి మోడల్ యొక్క అవశేష విలువలు). ఈ అవశేషాలు (అవశేషాలు) స్వయంచాలకంగా ఉండనివ్వండి. I-th పరిశీలన ఫలితంగా నమోదు చేయబడిన ప్రారంభ మోడల్ వేరియబుల్స్‌ను అనుపాత గుణకాల K i వర్గమూలంతో విభజించడం ద్వారా పొందిన కొత్త వేరియబుల్స్‌ను పరిచయం చేద్దాం. అప్పుడు మేము రూపాంతరం చెందిన వేరియబుల్స్‌లో కొత్త సమీకరణాన్ని పొందుతాము, దీనిలో అవశేషాలు హోమోస్కేడాస్టిక్‌గా ఉంటాయి. కొత్త వేరియబుల్స్ వాటినే వెయిటెడ్ పాత (అసలు) వేరియబుల్స్.

అందువల్ల, హోమోస్కేడాస్టిక్ అవశేషాలతో ఈ విధంగా పొందిన కొత్త సమీకరణం యొక్క పారామితుల అంచనా వెయిటెడ్ మినిస్ట్ స్క్వేర్స్ పద్ధతికి తగ్గించబడుతుంది (సారాంశంలో, ఇది OLS పద్ధతి). రిగ్రెషన్ వేరియబుల్స్‌కు బదులుగా ఉపయోగించినప్పుడు, సగటుల నుండి వాటి విచలనాలు, రిగ్రెషన్ కోఎఫీషియంట్‌ల వ్యక్తీకరణలు సరళమైన మరియు ప్రామాణికమైన (ఏకరీతి) రూపాన్ని తీసుకుంటాయి, న్యూమరేటర్ మరియు హారంలోని దిద్దుబాటు కారకం 1/K ద్వారా OLS మరియు OLSలకు కొద్దిగా భిన్నంగా ఉంటాయి. రిగ్రెషన్ కోఎఫీషియంట్ ఇచ్చే భిన్నం.

రూపాంతరం చెందిన (సర్దుబాటు చేయబడిన) మోడల్ యొక్క పారామితులు K i అనుపాత గుణకాలకు ఆధారంగా ఏ భావన ఉపయోగించబడుతుందనే దానిపై గణనీయంగా ఆధారపడి ఉంటుందని గుర్తుంచుకోవాలి. అవశేషాలు కారకం విలువలకు అనులోమానుపాతంలో ఉంటాయని తరచుగా భావించబడుతుంది. లోపాలు క్రమంలో చివరి కారకం యొక్క విలువలకు అనులోమానుపాతంలో ఉన్నాయని పరికల్పన అంగీకరించబడినప్పుడు మోడల్ దాని సరళమైన రూపాన్ని తీసుకుంటుంది. అసలు మూల వేరియబుల్స్‌తో ప్రామాణిక OLS యొక్క ఆపరేషన్‌తో పోలిస్తే రిగ్రెషన్ పారామితులను నిర్ణయించేటప్పుడు రూపాంతరం చెందిన వేరియబుల్స్ యొక్క చిన్న విలువలతో పరిశీలనల బరువును పెంచడం OLS సాధ్యం చేస్తుంది. కానీ ఈ కొత్త వేరియబుల్స్ ఇప్పటికే భిన్నమైన ఆర్థిక కంటెంట్‌ను పొందుతున్నాయి.

కారకం యొక్క పరిమాణానికి అవశేషాల నిష్పత్తికి సంబంధించిన పరికల్పనకు నిజమైన ఆధారం ఉండవచ్చు. ఒక నిర్దిష్ట తగినంత సజాతీయ డేటాను ప్రాసెస్ చేయనివ్వండి, ఉదాహరణకు, అదే సమయంలో పెద్ద మరియు చిన్న సంస్థలతో సహా. అప్పుడు కారకం యొక్క పెద్ద వాల్యూమెట్రిక్ విలువలు ఫలిత లక్షణం యొక్క పెద్ద వ్యాప్తి మరియు అవశేష విలువల యొక్క పెద్ద వ్యాప్తి రెండింటికి అనుగుణంగా ఉంటాయి. ఇంకా, OLS యొక్క ఉపయోగం మరియు సంబంధిత విలువలకు సంబంధిత పరివర్తన కారకం వైవిధ్యాన్ని తగ్గించడమే కాకుండా, లోపం వైవిధ్యాన్ని కూడా తగ్గిస్తుంది. అందువల్ల, రిగ్రెషన్ మోడళ్లలో హెటెరోస్కెడాస్టిసిటీని పరిగణనలోకి తీసుకోవడం మరియు సరిదిద్దడం యొక్క సరళమైన సందర్భం OLS ఉపయోగం ద్వారా గ్రహించబడుతుంది.

బరువున్న OLS రూపంలో OLSని అమలు చేయడానికి పై విధానం చాలా ఆచరణాత్మకమైనది - ఇది కేవలం అమలు చేయబడుతుంది మరియు పారదర్శక ఆర్థిక వివరణను కలిగి ఉంటుంది. వాస్తవానికి, ఇది చాలా సాధారణమైన విధానం కాదు మరియు ఎకనోమెట్రిక్స్ యొక్క సైద్ధాంతిక ప్రాతిపదికగా పనిచేసే గణిత గణాంకాల సందర్భంలో, OLSని అత్యంత సాధారణ రూపంలో అమలు చేసే మరింత కఠినమైన పద్ధతిని మేము అందిస్తున్నాము. అందులో, మీరు లోపం వెక్టర్ (అవశేష కాలమ్) యొక్క కోవియారిన్స్ మాతృకను తెలుసుకోవాలి. మరియు ఇది సాధారణంగా ఆచరణాత్మక పరిస్థితులలో అన్యాయం, మరియు ఈ మాతృకను కనుగొనడం అసాధ్యం. అందువల్ల, సాధారణంగా చెప్పాలంటే, మాతృకకు బదులుగా సంబంధిత సూత్రాలలో అటువంటి అంచనాను ఉపయోగించడానికి అవసరమైన మాతృకను ఏదో ఒకవిధంగా అంచనా వేయడం అవసరం. అందువలన, OMNC యొక్క అమలు యొక్క వివరించిన సంస్కరణ అటువంటి అంచనాలలో ఒకదానిని సూచిస్తుంది. దీనిని కొన్నిసార్లు యాక్సెస్ చేయగల సాధారణీకరించిన కనీస చతురస్రాలు అని పిలుస్తారు.

OLSని ఉపయోగిస్తున్నప్పుడు ఫిట్ యొక్క నాణ్యత యొక్క సంతృప్తికరమైన కొలమానంగా నిర్ణయం యొక్క గుణకం పనిచేయదని కూడా పరిగణనలోకి తీసుకోవాలి. OLS వినియోగానికి తిరిగి రావడం, తెలుపు రూపంలో ప్రామాణిక విచలనాలను (ప్రామాణిక లోపాలు) ఉపయోగించే పద్ధతి (హెటెరోసెడాస్టిసిటీ సమక్షంలో స్థిరమైన ప్రామాణిక లోపాలు అని పిలవబడేవి) తగినంత సాధారణతను కలిగి ఉన్నాయని కూడా మేము గమనించాము. ఎర్రర్ వెక్టర్ యొక్క కోవియారిన్స్ మ్యాట్రిక్స్ వికర్ణంగా ఉంటే ఈ పద్ధతి వర్తిస్తుంది. అవశేషాల (లోపాలు) యొక్క స్వయంసిద్ధీకరణ ఉంటే, కోవియారెన్స్ మ్యాట్రిక్స్‌లో మరియు ప్రధాన వికర్ణం వెలుపల సున్నా కాని మూలకాలు (గుణకాలు) ఉన్నప్పుడు, నెవ్ వెస్ట్ రూపంలో మరింత సాధారణ ప్రామాణిక దోష పద్ధతిని ఉపయోగించాలి. ఒక ముఖ్యమైన పరిమితి ఉంది: ప్రధాన వికర్ణానికి అదనంగా సున్నా కాని మూలకాలు, ప్రక్కనే ఉన్న వికర్ణాలపై మాత్రమే కనిపిస్తాయి, ప్రధాన వికర్ణం నుండి నిర్దిష్ట మొత్తానికి మించకుండా ఉంటాయి.

హెటెరోస్కేడాస్టిసిటీ కోసం డేటాను తనిఖీ చేయగలగాలి అని పై నుండి స్పష్టంగా తెలుస్తుంది. దిగువ పరీక్షలు ఈ ప్రయోజనాన్ని అందిస్తాయి. వారు ప్రత్యామ్నాయ పరికల్పనకు వ్యతిరేకంగా అవశేషాల వ్యత్యాసాల సమానత్వం గురించి ప్రధాన పరికల్పనను పరీక్షిస్తారు (ఈ పరికల్పనల అసమానత గురించి). అదనంగా, హెటెరోస్కేడాస్టిసిటీ యొక్క స్వభావంపై ప్రాథమిక నిర్మాణ పరిమితులు ఉన్నాయి. గోల్డ్‌ఫెల్డ్-క్వాండ్ట్ పరీక్ష సాధారణంగా ఎర్రర్ వైవిధ్యం (అవశేషం) నేరుగా కొన్ని స్వతంత్ర చరరాశి విలువపై ఆధారపడి ఉంటుంది అనే భావనను ఉపయోగిస్తుంది. ఈ పరీక్షను ఉపయోగించే పథకం క్రింది విధంగా ఉంది. మొదటిది, హెటెరోస్కేడాస్టిసిటీ అనుమానించబడిన స్వతంత్ర వేరియబుల్ యొక్క అవరోహణ క్రమంలో డేటా క్రమం చేయబడుతుంది. ఈ ఆర్డర్ డేటా సెట్ తర్వాత సగటు కొన్ని పరిశీలనలను తొలగిస్తుంది, ఇక్కడ "కొన్ని" అనే పదం అంటే మొత్తం పరిశీలనల మొత్తం సంఖ్యలో నాలుగింట ఒక వంతు (25%). తరువాత, రెండు స్వతంత్ర రిగ్రెషన్‌లు మిగిలిన (తొలగింపు తర్వాత) సగటు పరిశీలనలలో మొదటిదానిపై మరియు ఈ మిగిలిన సగటు పరిశీలనలలో చివరి రెండు వాటిపై అమలు చేయబడతాయి. దీని తరువాత, రెండు సంబంధిత అవశేషాలు నిర్మించబడ్డాయి. చివరగా, ఫిషర్ F గణాంకాలు సంకలనం చేయబడ్డాయి మరియు అధ్యయనంలో ఉన్న పరికల్పన నిజమైతే, F అనేది వాస్తవానికి తగిన స్థాయి స్వేచ్ఛతో ఫిషర్ పంపిణీ. అప్పుడు ఈ గణాంకం యొక్క పెద్ద విలువ అంటే పరీక్షించబడుతున్న పరికల్పన తప్పనిసరిగా తిరస్కరించబడాలి. తొలగింపు దశ లేకుండా, ఈ పరీక్ష యొక్క శక్తి తగ్గించబడుతుంది.

బ్రూష్-పాగన్ పరీక్ష అనేది వైవిధ్యాలు కొన్ని అదనపు వేరియబుల్స్‌పై ఆధారపడి ఉంటుందని భావించిన సందర్భాల్లో ఉపయోగించబడుతుంది. మొదట, సాధారణ (ప్రామాణిక) రిగ్రెషన్ నిర్వహించబడుతుంది మరియు అవశేషాల వెక్టర్ పొందబడుతుంది. అప్పుడు వ్యత్యాసం యొక్క అంచనా నిర్మించబడింది. తరువాత, అనుభావిక వైవిధ్యం (వైవిధ్య అంచనా) ద్వారా విభజించబడిన అవశేషాల స్క్వేర్డ్ వెక్టర్ యొక్క రిగ్రెషన్ నిర్వహించబడుతుంది. దాని కోసం (రిగ్రెషన్), వైవిధ్యం యొక్క వివరించిన భాగం కనుగొనబడింది. మరియు దీని కోసం వివరించిన వైవిధ్యం యొక్క భాగం, సగానికి విభజించబడింది, గణాంకాలు నిర్మించబడ్డాయి. శూన్య పరికల్పన నిజమైతే (హెటెరోస్కెడాస్టిసిటీ నిజం కాదు), అప్పుడు ఈ విలువ పంపిణీని కలిగి ఉంటుంది హీ-చదరపు. పరీక్ష, విరుద్దంగా, హెటెరోస్కెడాస్టిసిటీని వెల్లడి చేస్తే, అసలైన మోడల్ అవశేషాల వెక్టర్ యొక్క భాగాలను గమనించిన స్వతంత్ర వేరియబుల్స్ యొక్క వెక్టర్ యొక్క సంబంధిత భాగాల ద్వారా విభజించడం ద్వారా రూపాంతరం చెందుతుంది.

36. వైట్ రూపంలో ప్రామాణిక విచలనం పద్ధతి.

కింది ముగింపులు డ్రా చేయవచ్చు. హెటెరోస్కెడాస్టిసిటీ సమక్షంలో OLS యొక్క ఉపయోగం వెయిటెడ్ స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తాన్ని తగ్గించడానికి వస్తుంది. అందుబాటులో ఉన్న OLS యొక్క ఉపయోగం అంచనా వేసిన పారామితుల సంఖ్య కంటే ఎక్కువ సంఖ్యలో పరిశీలనలను కలిగి ఉండవలసిన అవసరంతో ముడిపడి ఉంటుంది. OLSను ఉపయోగించడానికి అత్యంత అనుకూలమైన సందర్భం ఏమిటంటే, లోపం (అవశేషాలు) స్వతంత్ర వేరియబుల్స్‌లో ఒకదానికి అనులోమానుపాతంలో ఉన్నప్పుడు మరియు ఫలితంగా అంచనాలు స్థిరంగా ఉంటాయి. అయినప్పటికీ, హెటెరోస్కెడాస్టిసిటీ ఉన్న మోడల్‌లో OLS కాకుండా ప్రామాణిక OLSని ఉపయోగించడం అవసరం అయితే, స్థిరమైన అంచనాలను పొందడానికి, వైట్ లేదా నెవియర్-వెస్ట్ రూపంలో లోపం అంచనాలను ఉపయోగించవచ్చు.

సమయ శ్రేణిని విశ్లేషించేటప్పుడు, వివిధ సమయాలలో పరిశీలనల యొక్క గణాంక ఆధారపడటాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకోవడం తరచుగా అవసరం. ఈ సందర్భంలో, పరస్పర సంబంధం లేని లోపాల ఊహ సంతృప్తి చెందదు. లోపాలు మొదటి-ఆర్డర్ ఆటోరిగ్రెసివ్ ప్రక్రియను రూపొందించే సాధారణ నమూనాను పరిశీలిద్దాం. ఈ సందర్భంలో, లోపాలు సాధారణ పునరావృత సంబంధాన్ని సంతృప్తిపరుస్తాయి, వీటిలో కుడి వైపున సున్నా సగటు మరియు స్థిరమైన వ్యత్యాసంతో స్వతంత్ర సాధారణంగా పంపిణీ చేయబడిన యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్‌ల క్రమం. రెండవ పదం పరామితి (ఆటోరిగ్రెషన్ కోఎఫీషియంట్) యొక్క ఉత్పత్తి మరియు మునుపటి సమయంలో అవశేషాల విలువలు. లోపం విలువల (అవశేషాలు) క్రమం కూడా స్థిరమైన యాదృచ్ఛిక ప్రక్రియను ఏర్పరుస్తుంది. స్థిరమైన యాదృచ్ఛిక ప్రక్రియ కాలక్రమేణా దాని లక్షణాల స్థిరత్వం, ప్రత్యేకించి, సగటు మరియు వ్యత్యాసం ద్వారా వర్గీకరించబడుతుంది. ఈ సందర్భంలో, పరామితి యొక్క అధికారాలను ఉపయోగించి మనకు ఆసక్తి ఉన్న కోవియారెన్స్ మ్యాట్రిక్స్ (దాని నిబంధనలు) సులభంగా వ్రాయవచ్చు.

తెలిసిన పరామితి కోసం ఆటోరిగ్రెసివ్ మోడల్ యొక్క అంచనా OLSని ఉపయోగించి నిర్వహించబడుతుంది. ఈ సందర్భంలో, ప్రామాణిక రిగ్రెషన్ మోడల్ యొక్క షరతులను సంతృప్తిపరిచే లోపాలు ఉన్న మోడల్‌కి సాధారణ రూపాంతరం ద్వారా అసలు మోడల్‌ను తగ్గించడం సరిపోతుంది. ఇది చాలా అరుదు, కానీ ఇప్పటికీ ఆటోరిగ్రెషన్ పరామితి తెలిసిన పరిస్థితి ఉంది. అందువల్ల, సాధారణంగా తెలియని ఆటోరిగ్రెసివ్ పరామితితో అంచనా వేయడం అవసరం. అటువంటి అంచనా కోసం సాధారణంగా ఉపయోగించే మూడు విధానాలు ఉన్నాయి. కోక్రాన్-ఆర్కట్ పద్ధతి, హిల్‌డ్రెత్-లు విధానం మరియు డర్బిన్ పద్ధతి.

సాధారణంగా, ఈ క్రింది తీర్మానాలు నిజం. సమయ శ్రేణి విశ్లేషణకు సాంప్రదాయ OLS యొక్క దిద్దుబాటు అవసరం, ఎందుకంటే ఈ సందర్భంలో లోపాలు సాధారణంగా పరస్పర సంబంధం కలిగి ఉంటాయి. తరచుగా ఈ లోపాలు ఫస్ట్-ఆర్డర్ స్టేషనరీ ఆటోరెగ్రెసివ్ ప్రక్రియను ఏర్పరుస్తాయి. ఫస్ట్-ఆర్డర్ ఆటోరిగ్రెషన్ కోసం OLS అంచనాలు నిష్పాక్షికమైనవి, స్థిరమైనవి, కానీ అసమర్థమైనవి. తెలిసిన ఆటోరిగ్రెషన్ కోఎఫీషియంట్‌తో, OLS అసలు సిస్టమ్ యొక్క సాధారణ పరివర్తనలకు (దిద్దుబాట్లు) ఆపై ప్రామాణిక OLS యొక్క అనువర్తనానికి తగ్గిస్తుంది. ఒకవేళ, చాలా తరచుగా జరిగే విధంగా, ఆటోరిగ్రెసివ్ కోఎఫీషియంట్ తెలియకపోతే, OLS కోసం అనేక విధానాలు అందుబాటులో ఉన్నాయి, అవి తెలియని పరామితిని (గుణకం) అంచనా వేయడంలో ఉంటాయి, ఆ తర్వాత తెలిసిన వాటి యొక్క మునుపటి సందర్భంలో వలె అదే పరివర్తనలు వర్తించబడతాయి. పరామితి.

37. బ్రూష్-పాగన్ పరీక్ష, గోల్డ్‌ఫెల్డ్-క్వాండ్ట్ పరీక్ష యొక్క భావన

వివిధ అంచనా పద్ధతులలో, ఉజ్జాయింపు విస్మరించబడదు. దాని సహాయంతో, మీరు అసలు వస్తువులను సరళమైన వాటితో భర్తీ చేయడం ద్వారా సుమారుగా గణనలను చేయవచ్చు మరియు ప్రణాళికాబద్ధమైన సూచికలను లెక్కించవచ్చు. Excel లో, అంచనా మరియు విశ్లేషణ కోసం ఈ పద్ధతిని ఉపయోగించడం కూడా సాధ్యమే. అంతర్నిర్మిత సాధనాలను ఉపయోగించి పేర్కొన్న ప్రోగ్రామ్‌లో ఈ పద్ధతిని ఎలా అన్వయించవచ్చో చూద్దాం.

ఈ పద్ధతి యొక్క పేరు లాటిన్ పదం ప్రాక్సిమా నుండి వచ్చింది - “సమీపంలో.” ఇది తెలిసిన సూచికలను సరళీకృతం చేయడం మరియు సున్నితంగా చేయడం ద్వారా ఉజ్జాయింపుగా ఉంటుంది, వాటిని ఒక ట్రెండ్‌లో చేర్చడం, అది దాని ఆధారం. కానీ ఈ పద్ధతిని అంచనా వేయడానికి మాత్రమే కాకుండా, ఇప్పటికే ఉన్న ఫలితాలను అధ్యయనం చేయడానికి కూడా ఉపయోగించవచ్చు. అన్నింటికంటే, ఉజ్జాయింపు అనేది సారాంశంలో, అసలు డేటా యొక్క సరళీకరణ, మరియు సరళీకృత సంస్కరణను అధ్యయనం చేయడం సులభం.

ఎక్సెల్‌లో సున్నితత్వం నిర్వహించబడే ప్రధాన సాధనం ట్రెండ్ లైన్ నిర్మాణం. బాటమ్ లైన్ ఏమిటంటే, ఇప్పటికే ఉన్న సూచికల ఆధారంగా, భవిష్యత్ కాలాల కోసం ఫంక్షన్ గ్రాఫ్ పూర్తయింది. ట్రెండ్ లైన్ యొక్క ముఖ్య ఉద్దేశ్యం, మీరు ఊహించినట్లుగా, అంచనాలను రూపొందించడం లేదా సాధారణ ధోరణిని గుర్తించడం.

కానీ ఇది ఐదు రకాల ఉజ్జాయింపులలో ఒకదానిని ఉపయోగించి నిర్మించవచ్చు:

• లీనియర్;
• ఘాతాంక;
• లాగరిథమిక్;
• బహుపది;
• శక్తివంతమైన.

ప్రతి ఎంపికను విడిగా మరింత వివరంగా పరిశీలిద్దాం.

విధానం 1: సరళ స్మూత్టింగ్

అన్నింటిలో మొదటిది, సరళమైన ఫంక్షన్‌ని ఉపయోగించి ఉజ్జాయింపు యొక్క సరళమైన సంస్కరణను చూద్దాం. మేము దానిపై మరింత వివరంగా నివసిస్తాము, ఎందుకంటే మేము ఇతర పద్ధతుల యొక్క సాధారణ పాయింట్లను వివరిస్తాము, అవి షెడ్యూల్ నిర్మాణం మరియు కొన్ని ఇతర సూక్ష్మ నైపుణ్యాలు, తదుపరి ఎంపికలను పరిగణనలోకి తీసుకునేటప్పుడు మేము నివసించము.

అన్నింటిలో మొదటిది, మేము ఒక గ్రాఫ్ని నిర్మిస్తాము, దాని ఆధారంగా మేము మృదువైన విధానాన్ని నిర్వహిస్తాము. గ్రాఫ్‌ను రూపొందించడానికి, ఎంటర్‌ప్రైజ్ ఉత్పత్తి చేసే యూనిట్ ఉత్పత్తికి నెలవారీ ఖర్చు మరియు నిర్దిష్ట వ్యవధిలో సంబంధిత లాభాన్ని చూపే పట్టికను తీసుకుందాం. మేము నిర్మించే గ్రాఫికల్ ఫంక్షన్ ఉత్పత్తి వ్యయాల తగ్గుదలపై లాభం పెరుగుదల యొక్క ఆధారపడటాన్ని ప్రదర్శిస్తుంది.

ఈ సందర్భంలో ఉపయోగించిన సున్నితత్వం క్రింది సూత్రం ద్వారా వివరించబడింది:

మా నిర్దిష్ట సందర్భంలో, సూత్రం క్రింది రూపాన్ని తీసుకుంటుంది:

y=-0.1156x+72.255

మా ఉజ్జాయింపు విశ్వసనీయత విలువ దీనికి సమానం 0,9418 , ఇది చాలా ఆమోదయోగ్యమైన ఫలితం, సున్నితత్వాన్ని నమ్మదగినదిగా వర్గీకరిస్తుంది.

విధానం 2: ఘాతాంక ఉజ్జాయింపు

ఇప్పుడు Excelలో ఘాతాంక రకాన్ని ఉజ్జాయింపు చూద్దాం.

సున్నితత్వం ఫంక్షన్ యొక్క సాధారణ రూపం క్రింది విధంగా ఉంటుంది:

ఎక్కడ ఇసహజ సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం.

మా ప్రత్యేక సందర్భంలో, సూత్రం క్రింది రూపాన్ని తీసుకుంది:

y=6282.7*e^(-0.012*x)

విధానం 3: లాగరిథమిక్ స్మూటింగ్

ఇప్పుడు లాగరిథమిక్ ఉజ్జాయింపు పద్ధతిని పరిగణించాల్సిన వంతు వచ్చింది.

సాధారణంగా, స్మూటింగ్ ఫార్ములా ఇలా కనిపిస్తుంది:

ఎక్కడ lnసహజ సంవర్గమానం యొక్క విలువ. అందుకే పద్ధతికి పేరు.

మా సందర్భంలో, సూత్రం క్రింది రూపాన్ని తీసుకుంటుంది:

y=-62.81ln(x)+404.96

విధానం 4: బహుపది మృదుత్వం

ఇప్పుడు బహుపది స్మూత్టింగ్ పద్ధతిని పరిగణించాల్సిన సమయం వచ్చింది.

ఈ రకమైన సున్నితత్వాన్ని వివరించే సూత్రం క్రింది రూపాన్ని తీసుకుంటుంది:

y=8E-08x^6-0.0003x^5+0.3725x^4-269.33x^3+109525x^2-2E+07x+2E+09

విధానం 5: పవర్ స్మూత్టింగ్

చివరగా, Excelలో పవర్ ఉజ్జాయింపు పద్ధతిని చూద్దాం.

ఫంక్షన్ డేటాలో తీవ్రమైన మార్పుల సందర్భాలలో ఈ పద్ధతి ప్రభావవంతంగా ఉపయోగించబడుతుంది. ఫంక్షన్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్ ప్రతికూల లేదా సున్నా విలువలను అంగీకరించకపోతే మాత్రమే ఈ ఎంపిక వర్తిస్తుందని గమనించడం ముఖ్యం.

ఈ పద్ధతిని వివరించే సాధారణ సూత్రం క్రింది విధంగా ఉంది:

మా ప్రత్యేక సందర్భంలో, ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది:

y = 6E+18x^(-6.512)

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, మేము ఉదాహరణగా ఉపయోగించిన నిర్దిష్ట డేటాను ఉపయోగిస్తున్నప్పుడు, ఆరవ డిగ్రీకి బహుపదితో బహుపది ఉజ్జాయింపు పద్ధతి ద్వారా అత్యధిక స్థాయి విశ్వసనీయత చూపబడుతుంది ( 0,9844 ), సరళ పద్ధతి అత్యల్ప స్థాయి విశ్వసనీయతను కలిగి ఉంటుంది ( 0,9418 ) కానీ ఇతర ఉదాహరణలను ఉపయోగించినప్పుడు అదే ధోరణి సంభవిస్తుందని దీని అర్థం కాదు. లేదు, ట్రెండ్ లైన్ నిర్మించబడే నిర్దిష్ట రకం ఫంక్షన్‌పై ఆధారపడి, పై పద్ధతుల ప్రభావ స్థాయి గణనీయంగా మారవచ్చు. అందువల్ల, ఈ ఫంక్షన్‌కు ఎంచుకున్న పద్ధతి అత్యంత ప్రభావవంతంగా ఉంటే, ఇది మరొక పరిస్థితిలో కూడా సరైనదని దీని అర్థం కాదు.

పై సిఫార్సుల ఆధారంగా, మీ విషయంలో ప్రత్యేకంగా ఏ రకమైన ఉజ్జాయింపు అనుకూలంగా ఉంటుందో మీరు ఇంకా వెంటనే గుర్తించలేకపోతే, అన్ని పద్ధతులను ప్రయత్నించడం అర్ధమే. ట్రెండ్ లైన్‌ను నిర్మించి, దాని విశ్వాస స్థాయిని చూసిన తర్వాత, మీరు ఉత్తమ ఎంపికను ఎంచుకోవచ్చు.

కోర్సు పని

"ఎకనామెట్రిక్స్" విభాగంలో

« ఎంటర్ప్రైజెస్ యొక్క ఆర్థిక మరియు ఆర్థిక పనితీరు సూచికల మధ్య సంబంధం యొక్క సమగ్ర విశ్లేషణ"

ఎంపిక సంఖ్య 12

పూర్తయింది:

సమూహం EET-312 విద్యార్థి

లోగునోవ్ N.Yu.

తనిఖీ చేయబడింది:

అసో. ఇష్ఖాన్యన్ M.V.

మాస్కో 2015

సమస్య యొక్క సూత్రీకరణ

1. సహసంబంధ మాతృక యొక్క సంకలనం. కారకాల ఎంపిక

2. మల్టిపుల్ లీనియర్ రిగ్రెషన్ ఈక్వేషన్ నిర్మాణం. సమీకరణ పారామితుల యొక్క వివరణ

3. నిర్ధారణ గుణకం, బహుళ సహసంబంధ గుణకం

4.మల్టిపుల్ లీనియర్ రిగ్రెషన్ ఈక్వేషన్ యొక్క నాణ్యతను అంచనా వేయడం

4.1. ఉజ్జాయింపు యొక్క సగటు సంబంధిత లోపం

4.2. ఫిషర్ యొక్క F పరీక్షను ఉపయోగించి మొత్తంగా బహుళ రిగ్రెషన్ సమీకరణం యొక్క గణాంక ప్రాముఖ్యతను తనిఖీ చేయడం

4.3. బహుళ రిగ్రెషన్ సమీకరణం యొక్క పారామితుల యొక్క గణాంక ప్రాముఖ్యతను తనిఖీ చేయడం. విరామం పరామితి అంచనాలు

5.రిగ్రెషన్ మోడల్ యొక్క అప్లికేషన్

5.1.పాయింట్ సూచన

5.2. పాక్షిక స్థితిస్థాపకత గుణకాలు మరియు సగటు పాక్షిక స్థితిస్థాపకత గుణకాలు

6.రిగ్రెషన్ మోడల్ అవశేషాల విశ్లేషణ (గాస్-మార్కోవ్ సిద్ధాంతం యొక్క ప్రాంగణాన్ని తనిఖీ చేయడం)

6.1. అవశేషాల యొక్క గణిత నిరీక్షణ యొక్క అంచనాలు

6.2. అవశేషాలలో ఆటోకోరిలేషన్ కోసం తనిఖీ చేస్తోంది

7. గ్రెగొరీ చౌ ప్రమాణం

సమస్య యొక్క సూత్రీకరణ

53 సంస్థల ఆర్థిక కార్యకలాపాలను వివరించే 6 సూచికల విలువలు పేర్కొనబడ్డాయి. అవసరం:

1. సహసంబంధ మాతృకను సృష్టించండి. స్వతంత్ర వేరియబుల్స్ సెట్‌ను సర్దుబాటు చేయండి (2 కారకాలను ఎంచుకోండి).

4.2 ఫిషర్ యొక్క F పరీక్షను ఉపయోగించి మొత్తం బహుళ రిగ్రెషన్ సమీకరణం యొక్క గణాంక ప్రాముఖ్యతను పరీక్షించండి. ముగింపులు గీయండి

4.3 బహుళ రిగ్రెషన్ సమీకరణం యొక్క పారామితుల యొక్క గణాంక ప్రాముఖ్యతను తనిఖీ చేయండి. పారామితుల విరామ అంచనాలను రూపొందించండి. ముగింపులు గీయండి.

5. రిగ్రెషన్ మోడల్ అప్లికేషన్:

5.1 నిర్మించిన సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి, పాయింట్ సూచనను ఇవ్వండి. మొదటి కారకం (yకి అత్యంత దగ్గరి సంబంధం) విలువ దాని సగటు విలువలో 110% అయితే, రెండవ కారకం విలువ దాని సగటు విలువలో 80% ఉంటే, అధ్యయనం చేసిన పరామితి y విలువను కనుగొనండి. ఫలితం యొక్క ఆర్థిక వివరణ ఇవ్వండి.

5.2 పాక్షిక స్థితిస్థాపకత గుణకాలు మరియు సగటు పాక్షిక స్థితిస్థాపకత గుణకాలను కనుగొనండి. ఫలితాలను అర్థం చేసుకోండి. ముగింపులు గీయండి.

6. రిగ్రెషన్ మోడల్ యొక్క అవశేషాలను విశ్లేషించండి (గాస్-మార్కోవ్ సిద్ధాంతం యొక్క అవసరాలను తనిఖీ చేయండి):

6.1 అవశేషాల గణిత అంచనాల అంచనాలను కనుగొనండి.

6.2 అవశేషాలలో ఆటోకోరిలేషన్ కోసం తనిఖీ చేయండి. ఒక ముగింపును గీయండి.

7. నమూనాను రెండు సమాన భాగాలుగా విభజించండి. మొదటి మరియు చివరి పరిశీలనలను స్వతంత్ర నమూనాలుగా పరిగణించి, గ్రెగొరీ-చౌ ప్రమాణాన్ని ఉపయోగించి వాటిని ఒకే నమూనాగా కలపడం గురించి పరికల్పనను పరీక్షించండి.

సహసంబంధ మాతృకను గీయడం. కారకాల ఎంపిక

ఎంటర్‌ప్రైజ్ నం.	Y3	X10	X12	X5	X7	X13
	13,26	1,45	167,69	0,78	1,37
	10,16	1,3	186,1	0,75	1,49
	13,72	1,37	220,45	0,68	1,44
	12,85	1,65	169,3	0,7	1,42
	10,63	1,91	39,53	0,62	1,35
	9,12	1,68	40,41	0,76	1,39
	25,83	1,94	102,96	0,73	1,16
	23,39	1,89	37,02	0,71	1,27
	14,68	1,94	45,74	0,69	1,16
	10,05	2,06	40,07	0,73	1,25
	13,99	1,96	45,44	0,68	1,13
	9,68	1,02	41,08	0,74	1,1
	10,03	1,85	136,14	0,66	1,15
	9,13	0,88	42,39	0,72	1,23
	5,37	0,62	37,39	0,68	1,39
	9,86	1,09	101,78	0,77	1,38
	12,62	1,6	47,55	0,78	1,35
	5,02	1,53	32,61	0,78	1,42
	21,18	1,4	103,25	0,81	1,37
	25,17	2,22	38,95	0,79	1,41
	19,4	1,32	81,32	0,77	1,35
		1,48	67,26	0,78	1,48
	6,57	0,68	59,92	0,72	1,24
	14,19	2,3	107,34	0,79	1,40
	15,81	1,37	512,6	0,77	1,45
	5,23	1,51	53,81	0,8	1,4
	7,99	1,43	80,83	0,71	1,28
	17,5	1,82	59,42	0,79	1,33
	17,16	2,62	36,96	0,76	1,22
	14,54	1,75	91,43	0,78	1,28
	6,24	1,54	17,16	0,62	1,47
	12,08	2,25	27,29	0,75	1,27
	9,49	1,07	184,33	0,71	1,51
	9,28	1,44	58,42	0,74	1,46
	11,42	1,4	59,4	0,65	1,27
	10,31	1,31	49,63	0,66	1,43
	8,65	1,12	391,27	0,84	1,5
	10,94	1,16	258,62	0,74	1,35
	9,87	0,88	75,66	0,75	1,41
	6,14	1,07	123,68	0,75	1,47
	12,93	1,24	37,21	0,79	1,35
	9,78	1,49	53,37	0,72	1,4
	13,22	2,03	32,87	0,7	1,2
	17,29	1,84	45,63	0,66	1,15
	7,11	1,22	48,41	0,69	1,09
	22,49	1,72	13,58	0,71	1,26
	12,14	1,75	63,99	0,73	1,36
	15,25	1,46	104,55	0,65	1,15
	31,34	1,6	222,11	0,82	1,87
	11,56	1,47	25,76	0,8	1,17
	30,14	1,38	29,52	0,83	1,61
	19,71	1,41	41,99	0,7	1,34
	23,56	1,39	78,11	0,74	1,22

1.కోరిలేషన్ మ్యాట్రిక్స్‌ను సృష్టించండి. స్వతంత్ర వేరియబుల్స్ సెట్‌ను సర్దుబాటు చేయండి (2 కారకాలను ఎంచుకోండి).

ఫలిత సంకేతాన్ని పరిశీలిద్దాం Y3 మరియు కారకాల లక్షణాలు X10, X12, X5, X7, X13 .

MS Excelలో “డేటా అనాలిసిస్→కోరిలేషన్” ఎంపికను ఉపయోగించి సహసంబంధ మాతృకను క్రియేట్ చేద్దాం:

	Y3	X10	X12	X5	X7	X13
Y3	1,0000	0,3653	0,0185	0,2891	0,1736	0,0828
X10	0,3653	1,0000	-0,2198	-0,0166	-0,2061	-0,0627
X12	0,0185	-0,2198	1,0000	0,2392	0,3796	0,6308
X5	0,2891	-0,0166	0,2392	1,0000	0,4147	0,0883
X7	0,1736	-0,2061	0,3796	0,4147	1,0000	0,1939
X13	0,0828	-0,0627	0,6308	0,0883	0,1939	1,0000

మేము ప్రమాణాల ప్రకారం 2 కారకాలను ఎంచుకుంటాము:

1) Y మరియు X మధ్య కనెక్షన్ గరిష్టంగా ఉండాలి

2) Xmi మధ్య కనెక్షన్ తక్కువగా ఉండాలి

అందువలన, కింది పేరాల్లో, కారకాలతో పని చేయబడుతుంది X10 , X5.

బహుళ లీనియర్ రిగ్రెషన్ సమీకరణాన్ని రూపొందించడం. సమీకరణ పారామితుల యొక్క వివరణ.

2. మల్టిపుల్ లీనియర్ రిగ్రెషన్ ఈక్వేషన్‌ను రూపొందించండి. సమీకరణం యొక్క పారామితుల యొక్క వివరణను ఇవ్వండి.

MS Excelలో “డేటా అనాలిసిస్→రిగ్రెషన్” అనే విశ్లేషణ ప్యాకేజీని ఉపయోగించి రిగ్రెషన్ మోడల్‌ని క్రియేట్ చేద్దాం:

	అసమానత
వై	-20,7163
X 10	5,7169
X 5	34,9321

రిగ్రెషన్ సమీకరణం ఇలా ఉంటుంది:

ŷ = b 0 + b 10 * x 10 + b 5 * x 5

ŷ = -20.7163-5.7169* x 10 +34.9321* x 5

1) b10 పాజిటివ్;

2) b5 పాజిటివ్;

నిర్ధారణ గుణకం, బహుళ సహసంబంధ గుణకం

3. నిర్ధారణ గుణకం, బహుళ సహసంబంధ గుణకం కనుగొనండి. ముగింపులు గీయండి.

MS Excelలో “డేటా అనాలిసిస్ → రిగ్రెషన్” అనే విశ్లేషణ ప్యాకేజీని ఉపయోగించి చేసిన రిగ్రెషన్ విశ్లేషణలో, మేము “రిగ్రెషన్ గణాంకాలు” పట్టికను కనుగొంటాము:

Y3 మరియు X10,X5 మధ్య బహుళ R-కనెక్షన్ బలహీనంగా ఉంది

R-స్క్వేర్డ్ - Y లక్షణంలో 22.05% వైవిధ్యం X10 మరియు X5 లక్షణాలలో వైవిధ్యం ద్వారా వివరించబడింది

బహుళ లీనియర్ రిగ్రెషన్ సమీకరణం యొక్క నాణ్యతను అంచనా వేయడం

4. బహుళ లీనియర్ రిగ్రెషన్ సమీకరణం యొక్క నాణ్యతను అంచనా వేయండి:

ఉజ్జాయింపు యొక్క సగటు సంబంధిత లోపం

4.1 సగటు సాపేక్ష ఉజ్జాయింపు లోపాన్ని కనుగొనండి. ముగింపులు గీయండి.

ప్రతి పరిశీలన కోసం అంచనా వేయబడిన విలువలను గణిద్దాం లేదా MS Excelలో "డేటా అనాలిసిస్→రిగ్రెషన్" విశ్లేషణ ప్యాకేజీని ఉపయోగించి నిర్వహించే రిగ్రెషన్ విశ్లేషణలో "అవశేష అవుట్‌పుట్" పట్టికలోని "ఊహించిన Y" కాలమ్‌ని ఉపయోగించండి)

సూత్రాన్ని ఉపయోగించి ప్రతి పరిశీలన కోసం సంబంధిత లోపాలను గణిద్దాం:

సూత్రాన్ని ఉపయోగించి సగటు సాపేక్ష ఉజ్జాయింపు లోపాన్ని గణిద్దాం:

ముగింపు: 20% < А < 50%, качество уравнения среднее (удовлетворительное).

సహసంబంధం మరియు సంకల్పం యొక్క సూచికలు

లీనియర్ పెయిర్ రిగ్రెషన్

సహాయక డేటా ఆధారంగా, ఇది పట్టికలో లెక్కించబడుతుంది. 2, మేము కనెక్షన్ సాన్నిహిత్యం యొక్క సూచికను లెక్కిస్తాము.

ఈ సూచిక నమూనా సరళ సహసంబంధ గుణకం, సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది.

సహసంబంధ గుణకాన్ని లెక్కించే ఫలితాల ఆధారంగా, కారకం మరియు ఫలిత లక్షణం మధ్య సంబంధం ప్రత్యక్షంగా మరియు బలంగా ఉంటుందని మేము నిర్ధారించగలము (చాడోక్ స్కేల్ ప్రకారం).

సహసంబంధ గుణకం యొక్క వర్గాన్ని గుణకం యొక్క గుణకం అని పిలుస్తారు, ఇది కారకం లక్షణంలోని వైవిధ్యం ద్వారా వివరించబడిన ఫలిత లక్షణంలో వైవిధ్యం యొక్క నిష్పత్తిని చూపుతుంది.

సాధారణంగా, నిర్ణయం యొక్క గుణకాన్ని వివరించేటప్పుడు, అది శాతంగా వ్యక్తీకరించబడుతుంది.

R2 = 0.8472 = 0.7181

ఆ. 71.81% కేసులలో, కారకం లక్షణంలో మార్పు ఫలిత లక్షణంలో మార్పుకు దారితీస్తుంది. రిగ్రెషన్ సమీకరణాన్ని ఎంచుకోవడంలో ఖచ్చితత్వం చాలా ఎక్కువగా ఉంటుంది. Y లో మిగిలిన 28.19% మార్పు మోడల్‌లో పరిగణనలోకి తీసుకోని కారకాల ద్వారా వివరించబడింది.

పవర్ పెయిర్ రిగ్రెషన్

సహసంబంధ గుణకం ఉపయోగించి పవర్ పెయిర్ రిగ్రెషన్ కోసం ఫలిత మరియు కారకాల లక్షణాల మధ్య సంబంధం యొక్క సన్నిహితతను మేము నిర్ణయిస్తాము:

తెలిసిన డేటాను ప్రత్యామ్నాయంగా, మేము పొందుతాము:

నిర్ధారణ సూచిక.

ఆ. 69% కేసులలో, కారకం లక్షణంలో మార్పు ఫలితంగా వచ్చే లక్షణంలో మార్పుకు దారితీస్తుంది. రిగ్రెషన్ సమీకరణాన్ని అమర్చడం యొక్క ఖచ్చితత్వం సగటు. Y లో మిగిలిన 31% మార్పు మోడల్‌లో పరిగణనలోకి తీసుకోని కారకాల ద్వారా వివరించబడింది.

సగటు ఉజ్జాయింపు లోపం

లీనియర్ పెయిర్ రిగ్రెషన్

సంపూర్ణ ఉజ్జాయింపు యొక్క లోపాన్ని ఉపయోగించి రిగ్రెషన్ సమీకరణం యొక్క నాణ్యతను మూల్యాంకనం చేద్దాం. సగటు ఉజ్జాయింపు లోపం - వాస్తవ వాటి నుండి లెక్కించిన విలువల సగటు విచలనం:

పవర్ పెయిర్ రిగ్రెషన్

సగటు ఉజ్జాయింపు లోపం - వాస్తవ వాటి నుండి లెక్కించిన విలువల సగటు విచలనం:

5%-7% లోపల ఉన్న ఉజ్జాయింపు లోపం అసలు డేటాకు రిగ్రెషన్ సమీకరణం యొక్క మంచి సరిపోతుందని సూచిస్తుంది.

లోపం 7% కంటే ఎక్కువగా ఉన్నందున, ఈ సమీకరణాన్ని రిగ్రెషన్‌గా ఉపయోగించడం మంచిది కాదు.

ఫిషర్ యొక్క F పరీక్షను ఉపయోగించి రిగ్రెషన్ మోడలింగ్ ఫలితాల గణాంక విశ్వసనీయత అంచనా

లీనియర్ పెయిర్ రిగ్రెషన్

మొత్తంగా లీనియర్ రిగ్రెషన్ సమీకరణం యొక్క ప్రాముఖ్యతను పరీక్షించడానికి డిటర్మినేషన్ R2 గుణకం ఉపయోగించబడుతుంది.

ఫిషర్ యొక్క ఎఫ్ పరీక్షను ఉపయోగించి రిగ్రెషన్ మోడల్ యొక్క ప్రాముఖ్యతను పరీక్షించడం జరుగుతుంది, దీని యొక్క లెక్కించిన విలువ అధ్యయనం చేయబడిన సూచిక యొక్క అసలు శ్రేణి పరిశీలనల యొక్క వ్యత్యాసం యొక్క నిష్పత్తి మరియు అవశేష శ్రేణి యొక్క వైవిధ్యం యొక్క నిష్పాక్షిక అంచనాగా కనుగొనబడుతుంది. ఈ మోడల్ కోసం.

k 1 =(m) మరియు k 2 =(n-m-1) డిగ్రీల స్వేచ్ఛతో లెక్కించబడిన విలువ, ఇచ్చిన ప్రాముఖ్యత స్థాయిలో పట్టిక విలువ కంటే ఎక్కువగా ఉంటే, అప్పుడు మోడల్ ముఖ్యమైనదిగా పరిగణించబడుతుంది.

జత చేసిన లీనియర్ రిగ్రెషన్ యొక్క గణాంక ప్రాముఖ్యత క్రింది అల్గోరిథం ఉపయోగించి అంచనా వేయబడుతుంది:

జతవైపు రిగ్రెషన్ కోసం m=1.

F > యొక్క వాస్తవ విలువ నుండి

పవర్ పెయిర్ రిగ్రెషన్

లీనియర్ పెయిర్ రిగ్రెషన్ మాదిరిగానే, మేము పవర్ పెయిర్ రిగ్రెషన్‌ను అంచనా వేస్తాము

ఇక్కడ m అనేది మోడల్‌లోని కారకాల సంఖ్య.

1. మొత్తంగా సమీకరణం గణాంకపరంగా చాలా తక్కువగా ఉందని ఒక శూన్య పరికల్పన ప్రతిపాదించబడింది: H 0: R 2 =0 ప్రాముఖ్యత స్థాయిలో b.

2. F- ప్రమాణం యొక్క వాస్తవ విలువను నిర్ణయించండి:

జతవైపు రిగ్రెషన్ కోసం m=1.

3. ఫిషర్ డిస్ట్రిబ్యూషన్ టేబుల్స్ నుండి ఇచ్చిన ప్రాముఖ్యత స్థాయి కోసం పట్టిక విలువ నిర్ణయించబడుతుంది, మొత్తం స్క్వేర్‌ల మొత్తానికి (పెద్ద వ్యత్యాసం) ఫ్రీడమ్ డిగ్రీల సంఖ్య 1 అని మరియు అవశేషానికి ఫ్రీడమ్ డిగ్రీల సంఖ్య అని పరిగణనలోకి తీసుకుంటారు. లీనియర్ రిగ్రెషన్‌లో చతురస్రాల మొత్తం (చిన్న వ్యత్యాసం) n-2 .

F పట్టిక అనేది స్వేచ్ఛ మరియు ప్రాముఖ్యత స్థాయి b వద్ద యాదృచ్ఛిక కారకాల ప్రభావంతో ప్రమాణం యొక్క గరిష్ట సాధ్యమైన విలువ. ప్రాముఖ్యత స్థాయి b - సరైన పరికల్పనను తిరస్కరించే సంభావ్యత, అది నిజమని అందించబడింది. సాధారణంగా b 0.05 లేదా 0.01కి సమానంగా తీసుకోబడుతుంది.

4. F-test యొక్క వాస్తవ విలువ పట్టిక విలువ కంటే తక్కువగా ఉంటే, అప్పుడు వారు శూన్య పరికల్పనను తిరస్కరించడానికి ఎటువంటి కారణం లేదని చెప్పారు.

లేకపోతే, శూన్య పరికల్పన తిరస్కరించబడుతుంది మరియు సంభావ్యతతో (1-b) మొత్తం సమీకరణం యొక్క గణాంక ప్రాముఖ్యత గురించి ప్రత్యామ్నాయ పరికల్పన అంగీకరించబడుతుంది.

స్వేచ్ఛ స్థాయిలతో ప్రమాణం యొక్క పట్టిక విలువ:

k 1 =1 మరియు k 2 =8, F పట్టిక = 5.32

వాస్తవ విలువ F > F పట్టిక నుండి, నిర్ధారణ గుణకం గణాంకపరంగా ముఖ్యమైనది (రిగ్రెషన్ సమీకరణం యొక్క కనుగొనబడిన అంచనా గణాంకపరంగా నమ్మదగినది).

విశ్లేషణ ఫలితాల ఆధారంగా, లీనియర్ పెయిర్ రిగ్రెషన్ మరియు పవర్ పెయిర్ రిగ్రెషన్ రెండింటికీ సంకల్పం యొక్క గుణకాలు గణాంకపరంగా ముఖ్యమైనవని మేము నిర్ధారించాము.

లీనియర్ పెయిర్ రిగ్రెషన్ నిర్ణయం యొక్క అధిక గుణకం (సూచక) కలిగి ఉన్నందున, ఇది కారకం మరియు ఫలిత లక్షణం మధ్య సంబంధాన్ని తగినంతగా వివరిస్తుందని మేము నమ్ముతున్నాము.