తదుపరి శ్రేణి నిర్వచనం. సంఖ్య క్రమాన్ని నిర్వచించడం



తదనంతరము

తదనంతరము

నామవాచకం, మరియు., ఉపయోగించబడిన సరిపోల్చండి తరచుగా

స్వరూపం: (లేదు) ఏమిటి? సీక్వెన్సులు, ఏమిటి? సీక్వెన్సులు, (ఏమిటి చూసేది? తదుపరి, ఎలా? క్రమం, దేని గురించి? క్రమం గురించి; pl. ఏమిటి? సీక్వెన్సులు, (లేదు) ఏమిటి? సీక్వెన్సులు, ఏమిటి? సీక్వెన్సులు, (ఏమిటి చూసేది? సీక్వెన్సులు, ఎలా? సీక్వెన్సులు, దేని గురించి? సన్నివేశాల గురించి

1. స్థిరత్వంఒక మూలకం మరొక దాని పక్కన ఉన్న వరుస అని పిలుస్తారు.

నిరంతర క్రమం. | కాలక్రమానుసారం. | సంఘటనల క్రమాన్ని గుర్తుంచుకోండి. | తార్కికంలో స్థిరత్వం. | చర్యలలో స్థిరత్వం.

2. గణితం, కంప్యూటర్ సైన్స్ లో క్రమంసంఖ్యల శ్రేణికి పేరు పెట్టండి, నిర్దిష్ట రకం సమాచార మూలకాలు.

అనంతమైన సంఖ్య క్రమం. | స్థిరత్వ పరిమితి. | నిర్మాణం అనేది పేరు పెట్టబడిన సభ్యుల శ్రేణిని కలిగి ఉన్న వస్తువు, ప్రతి సభ్యుడు ఏ రకంగానైనా ఉండవచ్చు.

డిమిత్రివ్ ద్వారా రష్యన్ భాష యొక్క వివరణాత్మక నిఘంటువు. D. V. డిమిత్రివ్. 2003.

పర్యాయపదాలు:

ఇతర నిఘంటువులలో “క్రమం” ఏమిటో చూడండి:

క్రమం అనేది ఒక నిర్దిష్ట సెట్ యొక్క మూలకాల సమితి: ప్రతి సహజ సంఖ్యకు, మీరు ఈ సెట్ యొక్క మూలకాన్ని పేర్కొనవచ్చు; ఈ సంఖ్య మూలకం యొక్క సంఖ్య మరియు క్రమంలో ఈ మూలకం యొక్క స్థానాన్ని సూచిస్తుంది; ఎవరికైనా... ... వికీపీడియా

సబ్సీక్వెన్స్. I.V. కిరీవ్స్కీ యొక్క వ్యాసం “పంతొమ్మిదవ శతాబ్దం” (1830)లో మనం ఇలా చదువుతాము: “రోమన్ సామ్రాజ్యం పతనం నుండి మన కాలం వరకు, ఐరోపా యొక్క జ్ఞానోదయం క్రమంగా అభివృద్ధి చెందుతూ మరియు నిరంతరాయంగా మనకు కనిపిస్తుంది” (వాల్యూం. 1, పేజి. ... ... పదాల చరిత్ర

సీక్వెన్స్, సీక్వెన్సులు, బహువచనం. లేదు, ఆడ (పుస్తకం). పరధ్యానంగా నామవాచకం వరుసగా. సంఘటనల క్రమం. మారుతున్న ఆటుపోట్లలో స్థిరత్వం. తార్కికంలో స్థిరత్వం. ఉషకోవ్ యొక్క వివరణాత్మక నిఘంటువు.... ... ఉషకోవ్ యొక్క వివరణాత్మక నిఘంటువు

స్థిరత్వం, కొనసాగింపు, తర్కం; వరుస, పురోగతి, ముగింపు, సిరీస్, స్ట్రింగ్, టర్న్, చైన్, చైన్, క్యాస్కేడ్, రిలే రేస్; నిలకడ, చెల్లుబాటు, సెట్, పద్దతి, అమరిక, సామరస్యం, దృఢత్వం, అనుసరణ, కనెక్షన్, క్యూ,... ... పర్యాయపద నిఘంటువు

క్రమం, సంఖ్యలు లేదా మూలకాలు వ్యవస్థీకృత పద్ధతిలో అమర్చబడ్డాయి. సహజ సంఖ్యలు 1, 2, 3, 4 ....... ... వంటి సహజ సంఖ్యల పూర్తి క్రమం వంటి సీక్వెన్సులు పరిమిత (పరిమిత సంఖ్యలో మూలకాలతో) లేదా అనంతం కావచ్చు. శాస్త్రీయ మరియు సాంకేతిక ఎన్సైక్లోపెడిక్ నిఘంటువు

సీక్వెన్స్, సంఖ్యల సమితి (గణిత వ్యక్తీకరణలు, మొదలైనవి; వారు చెప్పేది: ఏదైనా స్వభావం యొక్క మూలకాలు), సహజ సంఖ్యలచే లెక్కించబడతాయి. క్రమం x1, x2,..., xn,... లేదా క్లుప్తంగా (xi) ... ఆధునిక ఎన్సైక్లోపీడియా

గణితం యొక్క ప్రాథమిక భావనలలో ఒకటి. సహజ సంఖ్యలు 1, 2, ..., n, ..., మరియు x1, x2, ..., xn, ... లేదా క్లుప్తంగా (xn) గా వ్రాయబడి, ఏదైనా స్వభావం యొక్క మూలకాల ద్వారా క్రమం ఏర్పడుతుంది. .. పెద్ద ఎన్సైక్లోపెడిక్ నిఘంటువు

తదనంతరము- సీక్వెన్స్, సంఖ్యల సమితి (గణిత వ్యక్తీకరణలు మొదలైనవి; వారు చెప్పేది: ఏదైనా స్వభావం యొక్క మూలకాలు), సహజ సంఖ్యలతో లెక్కించబడ్డాయి. క్రమం x1, x2, ..., xn, ... లేదా క్లుప్తంగా (xi) గా వ్రాయబడింది. ... ఇలస్ట్రేటెడ్ ఎన్సైక్లోపెడిక్ నిఘంటువు

సీక్వెన్స్, మరియు, స్త్రీ. 1. సీక్వెన్షియల్ చూడండి. 2. గణితంలో: అనంతమైన క్రమ సంఖ్యల సమితి. ఓజెగోవ్ యొక్క వివరణాత్మక నిఘంటువు. ఎస్.ఐ. ఓజెగోవ్, ఎన్.యు. ష్వెడోవా. 1949 1992… ఓజెగోవ్ యొక్క వివరణాత్మక నిఘంటువు

ఆంగ్ల వారసత్వం/క్రమం; జర్మన్ కాన్సెక్వెన్జ్. 1. ఒకదాని తర్వాత ఒకటి క్రమం. 2. గణితం యొక్క ప్రాథమిక భావనలలో ఒకటి. 3. సరైన తార్కిక ఆలోచన యొక్క నాణ్యత, దీనిలో తార్కికం ఒకదానిలో ఒకటి మరియు మరొకటి అంతర్గత వైరుధ్యాలు లేకుండా ఉంటుంది... ... ఎన్సైక్లోపీడియా ఆఫ్ సోషియాలజీ

తదనంతరము- “సహజ సంఖ్యల సమితిపై నిర్వచించబడిన ఫంక్షన్, దాని విలువల సమితి ఏదైనా స్వభావం యొక్క మూలకాలను కలిగి ఉంటుంది: సంఖ్యలు, పాయింట్లు, విధులు, వెక్టర్స్, సెట్‌లు, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ మొదలైనవి, సహజ సంఖ్యల ద్వారా లెక్కించబడతాయి. . ఆర్థిక మరియు గణిత నిఘంటువు

పుస్తకాలు

• మేము ఒక క్రమాన్ని నిర్మిస్తాము. పిల్లులు. 2-3 సంవత్సరాలు. గేమ్ "పిల్లులు". మేము ఒక క్రమాన్ని నిర్మిస్తాము. స్థాయి 1. సిరీస్ "ప్రీస్కూల్ విద్య". ఆనందకరమైన పిల్లులు బీచ్‌లో సన్‌బాత్ చేయాలని నిర్ణయించుకున్నాయి! కానీ వారు స్థలాలను విభజించలేరు. వారికి సహాయం చేయండి...

సహజ సంఖ్యల శ్రేణిని పరిగణించండి: 1, 2, 3, , n – 1, n,  .

మేము ప్రతి సహజ సంఖ్యను భర్తీ చేస్తే nఈ శ్రేణిలో నిర్దిష్ట సంఖ్యలో a n, కొంత చట్టాన్ని అనుసరించి, మేము కొత్త సంఖ్యల శ్రేణిని పొందుతాము:

a 1 , a 2 , a 3, , a n –1 , a n , ,

క్లుప్తంగా నియమించబడిన మరియు పిలిచారు సంఖ్యా క్రమం. పరిమాణం a nసంఖ్యా క్రమం యొక్క సాధారణ సభ్యుడు అంటారు. సాధారణంగా నంబర్ సీక్వెన్స్ కొన్ని ఫార్ములా ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది a n = f(n) సీక్వెన్స్‌లోని ఏదైనా సభ్యుడిని దాని సంఖ్య ద్వారా కనుగొనడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది n; ఈ సూత్రాన్ని సాధారణ పదం ఫార్ములా అంటారు. సాధారణ పద సూత్రాన్ని ఉపయోగించి సంఖ్యా క్రమాన్ని నిర్వచించడం ఎల్లప్పుడూ సాధ్యం కాదని గమనించండి; కొన్నిసార్లు ఒక క్రమం దాని సభ్యులను వివరించడం ద్వారా పేర్కొనబడుతుంది.

నిర్వచనం ప్రకారం, ఒక క్రమం ఎల్లప్పుడూ అనంతమైన మూలకాలను కలిగి ఉంటుంది: ఏవైనా రెండు వేర్వేరు మూలకాలు వాటి సంఖ్యలలో కనీసం తేడాలు ఉంటాయి, వీటిలో అనంతంగా చాలా ఉన్నాయి.

నంబర్ సీక్వెన్స్ అనేది ఒక ఫంక్షన్ యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం. క్రమం అనేది సహజ సంఖ్యల సమితిపై నిర్వచించబడిన ఒక ఫంక్షన్ మరియు వాస్తవ సంఖ్యల సమితిలో విలువలను తీసుకుంటుంది, అనగా రూపం యొక్క విధి f : ఎన్  ఆర్.

తదనంతరము
అని పిలిచారు పెరుగుతున్నాయి(తగ్గుతోంది), ఏదైనా ఉంటే n  ఎన్
అటువంటి సన్నివేశాలను అంటారు ఖచ్చితంగా మార్పులేని.

కొన్నిసార్లు అన్ని సహజ సంఖ్యలను సంఖ్యలుగా కాకుండా, వాటిలో కొన్నింటిని మాత్రమే ఉపయోగించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది (ఉదాహరణకు, కొన్ని సహజ సంఖ్యల నుండి ప్రారంభమయ్యే సహజ సంఖ్యలు n 0) నంబరింగ్ కోసం సహజ సంఖ్యలను మాత్రమే కాకుండా, ఇతర సంఖ్యలను కూడా ఉపయోగించడం సాధ్యమవుతుంది, ఉదాహరణకు, n= 0, 1, 2,  (ఇక్కడ సున్నా సహజ సంఖ్యల సమితికి మరొక సంఖ్యగా జోడించబడింది). అటువంటి సందర్భాలలో, క్రమాన్ని పేర్కొనేటప్పుడు, సంఖ్యలు ఏ విలువలను తీసుకుంటాయో సూచించండి n.

ఏదైనా కోసం కొన్ని క్రమంలో ఉంటే n  ఎన్
అప్పుడు క్రమం అంటారు తగ్గనిది(కాని పెంచడం) అటువంటి సన్నివేశాలను అంటారు మార్పులేని.

ఉదాహరణ 1 . సంఖ్యా శ్రేణి 1, 2, 3, 4, 5, ... సహజ సంఖ్యల శ్రేణి మరియు సాధారణ పదాన్ని కలిగి ఉంటుంది a n = n.

ఉదాహరణ 2 . సంఖ్యా శ్రేణి 2, 4, 6, 8, 10, ... అనేది సరి సంఖ్యల శ్రేణి మరియు సాధారణ పదాన్ని కలిగి ఉంటుంది a n = 2n.

ఉదాహరణ 3 . 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, … – పెరుగుతున్న ఖచ్చితత్వంతో ఉజ్జాయింపు విలువల సంఖ్యా క్రమం.

చివరి ఉదాహరణలో, క్రమం యొక్క సాధారణ పదానికి ఫార్ములా ఇవ్వడం అసాధ్యం.

ఉదాహరణ 4 . సంఖ్యా క్రమం యొక్క మొదటి 5 పదాలను దాని సాధారణ పదాన్ని ఉపయోగించి వ్రాయండి
. లెక్కించేందుకు aసాధారణ పదం కోసం ఫార్ములాలో 1 అవసరం a nబదులుగా nలెక్కించడానికి ప్రత్యామ్నాయం 1 a 2 - 2, మొదలైనవి. అప్పుడు మనకు ఇవి ఉన్నాయి:

పరీక్ష 6 . క్రమం 1, 2, 6, 24, 120,  యొక్క సాధారణ సభ్యుడు:

1)

2)

3)

4)

పరీక్ష 7 .
ఉంది:

1)

2)

3)

4)

పరీక్ష 8 . క్రమం యొక్క సాధారణ సభ్యుడు
ఉంది:

1)

2)

3)

4)

సంఖ్య క్రమం పరిమితి

సాధారణ పదం కొంత సంఖ్యను చేరుకునే సంఖ్య క్రమాన్ని పరిగణించండి ఎక్రమ సంఖ్య పెరిగినప్పుడు n. ఈ సందర్భంలో, సంఖ్యల శ్రేణికి పరిమితి ఉంటుంది. ఈ భావన మరింత కఠినమైన నిర్వచనాన్ని కలిగి ఉంది.

సంఖ్య ఎసంఖ్యా క్రమం యొక్క పరిమితి అని పిలుస్తారు
:

(1)

ఏదైనా  > 0 కోసం అటువంటి సంఖ్య ఉంటే n 0 = n 0 (),  ఆధారపడి, ఇది
వద్ద n > n 0 .

ఈ నిర్వచనం అంటే ఎసాధారణ పదం పరిమితి లేకుండా చేరుకుంటే సంఖ్యా శ్రేణికి పరిమితి ఉంటుంది ఎపెరుగుతున్న తో n. జ్యామితీయంగా, దీని అర్థం ఏదైనా  > 0 కోసం అటువంటి సంఖ్యను కనుగొనవచ్చు n 0 , ఇది నుండి ప్రారంభమవుతుంది n > n 0 , సీక్వెన్స్‌లోని సభ్యులందరూ విరామం లోపల ఉన్నారు ( ఎ – , ఎ+ ). పరిమితి ఉన్న క్రమాన్ని అంటారు కలుస్తాయి; లేకుంటే - భిన్న.

ఒక సంఖ్యా క్రమం ఒక నిర్దిష్ట సంకేతం యొక్క ఒక పరిమితి (పరిమిత లేదా అనంతం) మాత్రమే కలిగి ఉంటుంది.

ఉదాహరణ 5 . హార్మోనిక్ సీక్వెన్స్ పరిమితి సంఖ్య 0 ఉంది. నిజానికి, ఏదైనా విరామానికి (–; +) సంఖ్యగా ఎన్ 0 కంటే ఎక్కువ ఏదైనా పూర్ణాంకం కావచ్చు. అప్పుడు అందరికీ n > n 0 >మాకు ఉంది

ఉదాహరణ 6 . సీక్వెన్స్ 2, 5, 2, 5,  భిన్నంగా ఉంటుంది. నిజానికి, ఒకదాని కంటే తక్కువ పొడవు విరామం లేదు, ఉదాహరణకు, ఒక నిర్దిష్ట సంఖ్య నుండి ప్రారంభమయ్యే క్రమంలో సభ్యులందరినీ కలిగి ఉండదు.

క్రమం అంటారు పరిమితం, అటువంటి సంఖ్య ఉంటే ఎం, ఏమిటి
అందరి కోసం n. ప్రతి కన్వర్జెంట్ సీక్వెన్స్ పరిమితం చేయబడింది. ప్రతి మోనోటోనిక్ మరియు బౌండెడ్ సీక్వెన్స్‌కు పరిమితి ఉంటుంది. ప్రతి కన్వర్జెంట్ సీక్వెన్స్‌కు ప్రత్యేకమైన పరిమితి ఉంటుంది.

ఉదాహరణ 7 . తదనంతరము
పెరుగుతూ మరియు పరిమితంగా ఉంది. ఆమెకు పరిమితి ఉంది
=ఇ.

సంఖ్య ఇఅని పిలిచారు ఆయిలర్ సంఖ్యమరియు దాదాపు 2.718 28కి సమానం.

పరీక్ష 9 . సీక్వెన్స్ 1, 4, 9, 16, :

1) కన్వర్జెంట్;

2) భిన్నమైన;

3) పరిమితం;

పరీక్ష 10 . తదనంతరము
ఉంది:

1) కన్వర్జెంట్;

2) భిన్నమైన;

3) పరిమితం;

4) అంకగణిత పురోగతి;

5) రేఖాగణిత పురోగతి.

పరీక్ష 11 . తదనంతరము కాదు:

1) కన్వర్జెంట్;

2) భిన్నమైన;

3) పరిమితం;

4) హార్మోనిక్.

పరీక్ష 12 . సాధారణ పదం ద్వారా అందించబడిన క్రమం యొక్క పరిమితి
సమానం.

వికీపీడియా నుండి మెటీరియల్ - ఉచిత ఎన్సైక్లోపీడియా

తదనంతరము- ఇది కిట్కొన్ని సెట్ అంశాలు:

• ప్రతి సహజ సంఖ్య కోసం మీరు ఇచ్చిన సెట్ యొక్క మూలకాన్ని పేర్కొనవచ్చు;
• ఈ సంఖ్య మూలకం యొక్క సంఖ్య మరియు క్రమంలో ఈ మూలకం యొక్క స్థానాన్ని సూచిస్తుంది;
• సీక్వెన్స్ యొక్క ఏదైనా మూలకం (సభ్యుడు) కోసం, మీరు క్రమం యొక్క తదుపరి మూలకాన్ని పేర్కొనవచ్చు.

కాబట్టి క్రమం ఫలితంగా మారుతుంది స్థిరమైనఇచ్చిన సెట్ యొక్క మూలకాల ఎంపిక. మరియు, ఏదైనా మూలకాల సమితి పరిమితమైనది మరియు మేము పరిమిత వాల్యూమ్ యొక్క నమూనా గురించి మాట్లాడినట్లయితే, ఆ క్రమం అనంతమైన వాల్యూమ్ యొక్క నమూనాగా మారుతుంది.

ఒక సీక్వెన్స్ దాని స్వభావం ప్రకారం మ్యాపింగ్, కాబట్టి ఇది సీక్వెన్స్ ద్వారా "రన్" చేసే సెట్‌తో గందరగోళం చెందకూడదు.

గణితంలో, అనేక విభిన్న శ్రేణులు పరిగణించబడతాయి:

• సంఖ్యా మరియు సంఖ్యేతర స్వభావం యొక్క సమయ శ్రేణి;
• మెట్రిక్ స్పేస్ యొక్క మూలకాల క్రమాలు
• ఫంక్షనల్ స్పేస్ ఎలిమెంట్స్ యొక్క సీక్వెన్సులు
• నియంత్రణ వ్యవస్థలు మరియు ఆటోమాటా యొక్క స్థితుల శ్రేణులు.

సాధ్యమయ్యే అన్ని సన్నివేశాలను అధ్యయనం చేయడం యొక్క ఉద్దేశ్యం నమూనాల కోసం శోధించడం, భవిష్యత్ స్థితులను అంచనా వేయడం మరియు సీక్వెన్స్‌లను రూపొందించడం.

నిర్వచనం

కొంత సెట్ ఇవ్వనివ్వండి $X$ఏకపక్ష స్వభావం యొక్క అంశాలు. | ఏదైనా మ్యాపింగ్ $f\backslash colon\backslash mathbb(N)\backslash \; to\; X$సహజ సంఖ్యల సమితి $\backslash mathbb(N)$ఇచ్చిన సెట్‌కి $X$అని పిలిచారు క్రమం(సెట్ యొక్క అంశాలు $X$).

సహజ సంఖ్య యొక్క చిత్రం $n$, అవి, మూలకం $x\_n=f(n)$, అని పిలిచారు $n$-వ సభ్యుడులేదా క్రమం మూలకం, మరియు క్రమం యొక్క సభ్యుని యొక్క ఆర్డినల్ సంఖ్య దాని సూచిక.

సంబంధిత నిర్వచనాలు

• ఉపసమితి $f\backslash ఎడమ[\backslash mathbb(N)\backslash కుడి]$సెట్లు $X$, ఇది క్రమం యొక్క మూలకాల ద్వారా ఏర్పడుతుంది, అంటారు సీక్వెన్స్ క్యారియర్: సూచిక సహజ సంఖ్యల సమితి ద్వారా నడుస్తుంది, పాయింట్ క్యారియర్‌తో పాటు "కదులుతుంది" క్రమాన్ని "ప్రాతినిధ్యం చేస్తుంది".

• మనం సహజ సంఖ్యల పెరుగుతున్న క్రమాన్ని తీసుకుంటే, అది కొంత శ్రేణి యొక్క సూచికల శ్రేణిగా పరిగణించబడుతుంది: మేము అసలు శ్రేణిలోని మూలకాలను సంబంధిత సూచికలతో తీసుకుంటే (సహజ సంఖ్యల పెరుగుతున్న క్రమం నుండి తీసుకోబడింది), అప్పుడు మనం అనే క్రమాన్ని మళ్లీ పొందవచ్చు తదుపరిఇచ్చిన క్రమం.

వ్యాఖ్యలు

• సీక్వెన్స్ క్యారియర్ మరియు సీక్వెన్స్ కూడా కలపవద్దు! ఉదాహరణకు, డాట్ $ఒక\; \backslash \; లో\; X$ఒక-పాయింట్ ఉపసమితిగా $\backslash (a\backslash )\backslash ఉపసమితి\; X$రూపం యొక్క స్థిరమైన క్రమం యొక్క క్యారియర్ $a,a,a,\backslash చుక్కలు$.

• ఏదైనా సెట్ మ్యాపింగ్ $\backslash mathbb(N)$దానిలోకి కూడా ఒక క్రమం.

• గణిత విశ్లేషణలో, ఒక ముఖ్యమైన భావన అనేది సంఖ్యా క్రమం యొక్క పరిమితి.

హోదాలు

రూపం యొక్క సీక్వెన్సులు

$x\_1,\backslash quad\; x\_2,\backslash quad\; x\_3,\backslash quad\backslash చుక్కలు$

కుండలీకరణాలను ఉపయోగించి కాంపాక్ట్‌గా వ్రాయడం ఆచారం:

$(x\_n)$లేదా $(x\_n)\_(n=1)^(\backslash infty)$

కర్లీ జంట కలుపులు కొన్నిసార్లు ఉపయోగించబడతాయి:

$\backslash (x\_n\backslash )\_(n=1)^(\backslash infty)$

కొంత వాక్ స్వాతంత్య్రాన్ని అనుమతించడం ద్వారా, మేము రూపం యొక్క పరిమిత క్రమాలను కూడా పరిగణించవచ్చు

$(x\_n)\_(n=1)^N$,

ఇది సహజ సంఖ్యల క్రమం యొక్క ప్రారంభ విభాగం యొక్క చిత్రాన్ని సూచిస్తుంది.

ఇది కూడ చూడు

వ్యాసం "క్రమం" గురించి సమీక్ష వ్రాయండి

గమనికలు

సాహిత్యం

• సీక్వెన్స్ // యువ గణిత శాస్త్రజ్ఞుల ఎన్సైక్లోపెడిక్ నిఘంటువు / కాంప్. A. P. సవిన్. - M.: పెడగోగి, 1985. - P. 242-245. - 352 సె.

సీక్వెన్సులు మరియు సిరీస్ సీక్వెన్సులు వరుసలు, ప్రధాన సంఖ్య సిరీస్ (సంఖ్య శ్రేణితో చర్యలు) ఫంక్షనల్ సిరీస్ ఇతర రకాల వరుసలు కలయిక సంకేతాలు

క్రమాన్ని వర్ణించే పాసేజ్

సంభాషణ విషయం కోసం క్రమబద్ధీకరించబడిన వ్యక్తులలో, జూలీ యొక్క సంస్థ రోస్టోవ్స్‌తో ముగిసింది.
"వారి వ్యవహారాలు చాలా చెడ్డవని వారు అంటున్నారు," జూలీ చెప్పింది. - మరియు అతను చాలా తెలివితక్కువవాడు - స్వయంగా లెక్కించండి. రజుమోవ్స్కీలు మాస్కో సమీపంలో అతని ఇల్లు మరియు అతని ఆస్తిని కొనుగోలు చేయాలనుకున్నారు, మరియు ఇదంతా లాగుతుంది. అతను ఐశ్వర్యవంతుడు.
"లేదు, ఈ రోజుల్లో ఏదో ఒకదానిలో అమ్మకం జరుగుతుందని తెలుస్తోంది" అని ఎవరో చెప్పారు. - అయినప్పటికీ ఇప్పుడు మాస్కోలో ఏదైనా కొనడం వెర్రి.
- దేని నుంచి? - జూలీ అన్నారు. - మాస్కోకు ప్రమాదం ఉందని మీరు నిజంగా అనుకుంటున్నారా?
- మీరు ఎందుకు వెళ్తున్నారు?
- నేను? అది వింతగానుంది. నేను వెళ్తున్నాను ఎందుకంటే... సరే, అందరూ వెళ్తున్నారు కాబట్టి నేను జోన్ ఆఫ్ ఆర్క్ లేదా అమెజాన్ కాదు.
- సరే, అవును, అవును, నాకు మరికొన్ని గుడ్డలు ఇవ్వండి.
"అతను పనులు పూర్తి చేయగలిగితే, అతను తన అప్పులన్నింటినీ తీర్చగలడు" అని మిలీషియా రోస్టోవ్ గురించి కొనసాగించాడు.
- మంచి వృద్ధుడు, కానీ చాలా పావ్రే సైర్ [చెడు]. మరి ఇంతకాలం ఇక్కడ ఎందుకు నివసిస్తున్నారు? వారు చాలా కాలంగా గ్రామానికి వెళ్లాలని కోరుకున్నారు. నటాలీ ఇప్పుడు బాగానే ఉన్నట్టుంది? - జూలీ పియరీని అడిగాడు, తెలివిగా నవ్వుతూ.
"వారు చిన్న కొడుకు కోసం ఎదురు చూస్తున్నారు," అని పియరీ చెప్పాడు. "అతను ఒబోలెన్స్కీ యొక్క కోసాక్స్‌లో చేరాడు మరియు బిలా సెర్క్వాకు వెళ్ళాడు. అక్కడ ఒక రెజిమెంట్ ఏర్పడుతోంది. ఇప్పుడు వారు అతనిని నా రెజిమెంట్‌కు బదిలీ చేశారు మరియు ప్రతిరోజూ అతని కోసం వేచి ఉన్నారు. కౌంట్ చాలా కాలం నుండి వెళ్ళాలని కోరుకుంటుంది, కాని కౌంటెస్ తన కొడుకు వచ్చే వరకు మాస్కోను విడిచిపెట్టడానికి అంగీకరించదు.
"నేను వారిని ఇతర రోజు అర్ఖరోవ్స్ వద్ద చూశాను. నటాలీ మళ్లీ అందంగా మరియు ఉల్లాసంగా కనిపించింది. ఆమె ఒక రొమాన్స్ పాడింది. కొంతమందికి ఇది ఎంత సులభం!
-ఏం జరుగుతోంది? - పియరీ అసంతృప్తిగా అడిగాడు. జూలీ నవ్వింది.
"మీకు తెలుసా, కౌంట్, మీలాంటి నైట్స్ మేడమ్ సుజా నవలల్లో మాత్రమే ఉంటారని."
- ఏ గుర్రం? దేని నుంచి? - పియరీ సిగ్గుపడుతూ అడిగాడు.
- బాగా, రండి, డియర్ కౌంట్, సి "ఎస్ట్ లా ఫేబుల్ డి టౌట్ మాస్కో. జె వౌస్ అడ్మైర్, మా పెరోల్ డి" గౌరవం. [ఇది మాస్కో అందరికీ తెలుసు. నిజంగా, నేను నిన్ను చూసి ఆశ్చర్యపోయాను.]
- బాగానే ఉంది! బాగానే ఉంది! - మిలీషియా అన్నాడు.
- సరే మరి. ఇది ఎంత విసుగుగా ఉందో మీరు నాకు చెప్పలేరు!
"Qu"est ce qui est la fable de tout Moscou? [మాస్కో అందరికీ ఏమి తెలుసు?] - పియరీ కోపంగా లేచి అన్నాడు.
- రండి, కౌంట్. నీకు తెలుసు!
"నాకు ఏమీ తెలియదు," అని పియరీ చెప్పాడు.
– మీరు నటాలీతో స్నేహంగా ఉన్నారని నాకు తెలుసు, అందుకే... లేదు, నేను వెరాతో ఎప్పుడూ స్నేహంగా ఉంటాను. చెట్టే చేరే వేరా! [ఈ స్వీట్ వెరా!]
"కాదు, మేడమ్," పియరీ అసంతృప్తితో కొనసాగించాడు. "నేను రోస్టోవా యొక్క గుర్రం పాత్రను అస్సలు తీసుకోలేదు మరియు నేను వారితో దాదాపు ఒక నెల పాటు లేను." కానీ క్రూరత్వం నాకు అర్థం కాలేదు ...
“Qui s"excuse - s"ఆరోపణ, [ఎవరు క్షమాపణలు చెప్పినా, తనను తాను నిందించుకుంటాడు.] - జూలీ నవ్వుతూ మరియు మెత్తని ఊపుతూ చెప్పింది, మరియు ఆమె చివరి పదాన్ని కలిగి ఉంది, ఆమె వెంటనే సంభాషణను మార్చింది. “ఏమిటి, ఈ రోజు నేను కనుగొన్నాను: పేద మేరీ వోల్కోన్స్కాయ నిన్న మాస్కోకు వచ్చారు. ఆమె తన తండ్రిని కోల్పోయిందని మీరు విన్నారా?
- నిజంగా! ఆమె ఎక్కడుంది? "నేను ఆమెను చూడాలనుకుంటున్నాను," అని పియరీ చెప్పాడు.
– నేను నిన్న సాయంత్రం ఆమెతో గడిపాను. ఈరోజు లేదా రేపు ఉదయం ఆమె తన మేనల్లుడితో మాస్కో ప్రాంతానికి వెళుతోంది.
- సరే, ఆమె ఎలా ఉంది? - పియరీ చెప్పారు.
- ఏమీ లేదు, నేను విచారంగా ఉన్నాను. అయితే ఆమెను కాపాడిందెవరో తెలుసా? ఇది మొత్తం నవల. నికోలస్ రోస్టోవ్. వారు ఆమెను చుట్టుముట్టారు, ఆమెను చంపాలని కోరుకున్నారు, ఆమె ప్రజలను గాయపరిచారు. పరుగెత్తుకుంటూ వచ్చి ఆమెను కాపాడాడు...
"మరొక నవల," మిలీషియామాన్ అన్నాడు. "ఈ సాధారణ పారిపోవడం నిర్ణయాత్మకంగా జరిగింది, తద్వారా పాత వధువులందరూ వివాహం చేసుకున్నారు." కాటిచే ఒకరు, యువరాణి బోల్కోన్స్కాయ మరొకరు.
"ఆమె అన్ పెటిట్ ప్యూ అమోరియస్ డు జ్యూన్ హోమ్ అని నేను నిజంగా అనుకుంటున్నాను అని మీకు తెలుసు." [ఒక యువకుడితో కొంచెం ప్రేమలో ఉంది.]
- బాగానే ఉంది! బాగానే ఉంది! బాగానే ఉంది!
- అయితే మీరు దీన్ని రష్యన్‌లో ఎలా చెప్పగలరు? ..

పియర్ ఇంటికి తిరిగి వచ్చినప్పుడు, అతనికి ఆ రోజు తెచ్చిన రెండు రాస్టోప్చిన్ పోస్టర్లు ఇవ్వబడ్డాయి.
కౌంట్ రోస్టోప్‌చిన్ మాస్కోను విడిచిపెట్టకుండా నిషేధించబడ్డారనే పుకారు అన్యాయమని మరియు దీనికి విరుద్ధంగా, మహిళలు మరియు వ్యాపారి భార్యలు మాస్కోను విడిచిపెడుతున్నందుకు కౌంట్ రోస్టోప్‌చిన్ సంతోషంగా ఉన్నారని మొదటివారు చెప్పారు. "తక్కువ భయం, తక్కువ వార్తలు," పోస్టర్ చెప్పారు, "కానీ మాస్కోలో విలన్ ఉండరని నేను నా జీవితంతో సమాధానం ఇస్తున్నాను." ఫ్రెంచ్ వారు మాస్కోలో ఉంటారని ఈ పదాలు పియరీకి స్పష్టంగా చూపించాయి. రెండవ పోస్టర్ మా ప్రధాన అపార్ట్‌మెంట్ వ్యాజ్మాలో ఉందని, కౌంట్ విట్ష్‌స్టెయిన్ ఫ్రెంచ్‌ను ఓడించాడని, అయితే చాలా మంది నివాసితులు తమను తాము ఆయుధాలు చేసుకోవాలనుకుంటున్నందున, ఆయుధాగారంలో వారి కోసం ఆయుధాలు సిద్ధంగా ఉన్నాయని చెప్పారు: సాబర్స్, పిస్టల్స్, గన్‌లు, వీటిని నివాసితులు పొందవచ్చు. ఒక చౌక ధర. పోస్టర్ల టోన్ చిగిరిన్ యొక్క మునుపటి సంభాషణలలో వలె ఇప్పుడు సరదాగా లేదు. పియరీ ఈ పోస్టర్ల గురించి ఆలోచించాడు. సహజంగానే, ఆ భయంకరమైన ఉరుము, అతను తన ఆత్మ యొక్క మొత్తం బలంతో పిలిచాడు మరియు అదే సమయంలో అతనిలో అసంకల్పిత భయానకతను రేకెత్తించాడు - స్పష్టంగా ఈ మేఘం సమీపిస్తోంది.

తదనంతరము

తదనంతరము- ఇది కిట్కొన్ని సెట్ అంశాలు:

• ప్రతి సహజ సంఖ్య కోసం మీరు ఇచ్చిన సెట్ యొక్క మూలకాన్ని పేర్కొనవచ్చు;
• ఈ సంఖ్య మూలకం యొక్క సంఖ్య మరియు క్రమంలో ఈ మూలకం యొక్క స్థానాన్ని సూచిస్తుంది;
• సీక్వెన్స్ యొక్క ఏదైనా మూలకం (సభ్యుడు) కోసం, మీరు క్రమం యొక్క తదుపరి మూలకాన్ని పేర్కొనవచ్చు.

కాబట్టి క్రమం ఫలితంగా మారుతుంది స్థిరమైనఇచ్చిన సెట్ యొక్క మూలకాల ఎంపిక. మరియు, ఏదైనా మూలకాల సమితి పరిమితమైనది మరియు మేము పరిమిత వాల్యూమ్ యొక్క నమూనా గురించి మాట్లాడినట్లయితే, ఆ క్రమం అనంతమైన వాల్యూమ్ యొక్క నమూనాగా మారుతుంది.

ఒక సీక్వెన్స్ దాని స్వభావం ప్రకారం మ్యాపింగ్, కాబట్టి ఇది సీక్వెన్స్ ద్వారా "రన్" చేసే సెట్‌తో గందరగోళం చెందకూడదు.

గణితంలో, అనేక విభిన్న శ్రేణులు పరిగణించబడతాయి:

• సంఖ్యా మరియు సంఖ్యేతర స్వభావం యొక్క సమయ శ్రేణి;
• మెట్రిక్ స్పేస్ యొక్క మూలకాల క్రమాలు
• ఫంక్షనల్ స్పేస్ ఎలిమెంట్స్ యొక్క సీక్వెన్సులు
• నియంత్రణ వ్యవస్థలు మరియు యంత్రాల స్థితుల క్రమాలు.

సాధ్యమయ్యే అన్ని సన్నివేశాలను అధ్యయనం చేయడం యొక్క ఉద్దేశ్యం నమూనాల కోసం శోధించడం, భవిష్యత్ స్థితులను అంచనా వేయడం మరియు సీక్వెన్స్‌లను రూపొందించడం.

నిర్వచనం

ఏకపక్ష స్వభావం యొక్క నిర్దిష్ట సెట్‌ను ఇవ్వనివ్వండి. | సహజ సంఖ్యల సమితి నుండి ఇచ్చిన సమితికి ఏదైనా మ్యాపింగ్ అంటారు క్రమం(సెట్ యొక్క అంశాలు).

సహజ సంఖ్య యొక్క చిత్రం, అవి మూలకం, అంటారు - వ సభ్యుడులేదా క్రమం మూలకం, మరియు క్రమం యొక్క సభ్యుని యొక్క ఆర్డినల్ సంఖ్య దాని సూచిక.

సంబంధిత నిర్వచనాలు

• మనం సహజ సంఖ్యల పెరుగుతున్న క్రమాన్ని తీసుకుంటే, అది కొంత శ్రేణి యొక్క సూచికల శ్రేణిగా పరిగణించబడుతుంది: మేము అసలు శ్రేణిలోని మూలకాలను సంబంధిత సూచికలతో తీసుకుంటే (సహజ సంఖ్యల పెరుగుతున్న క్రమం నుండి తీసుకోబడింది), అప్పుడు మనం అనే క్రమాన్ని మళ్లీ పొందవచ్చు తదుపరిఇచ్చిన క్రమం.

వ్యాఖ్యలు

• గణిత విశ్లేషణలో, ఒక ముఖ్యమైన భావన అనేది సంఖ్యా క్రమం యొక్క పరిమితి.

హోదాలు

రూపం యొక్క సీక్వెన్సులు

కుండలీకరణాలను ఉపయోగించి కాంపాక్ట్‌గా వ్రాయడం ఆచారం:

లేదా

కర్లీ జంట కలుపులు కొన్నిసార్లు ఉపయోగించబడతాయి:

కొంత వాక్ స్వాతంత్య్రాన్ని అనుమతించడం ద్వారా, మేము రూపం యొక్క పరిమిత క్రమాలను కూడా పరిగణించవచ్చు

,

ఇది సహజ సంఖ్యల క్రమం యొక్క ప్రారంభ విభాగం యొక్క చిత్రాన్ని సూచిస్తుంది.

ఇది కూడ చూడు

వికీమీడియా ఫౌండేషన్. 2010.

పర్యాయపదాలు:

ఇతర నిఘంటువులలో “క్రమం” ఏమిటో చూడండి:

సబ్సీక్వెన్స్. I.V. కిరీవ్స్కీ యొక్క వ్యాసం “పంతొమ్మిదవ శతాబ్దం” (1830)లో మనం ఇలా చదువుతాము: “రోమన్ సామ్రాజ్యం పతనం నుండి మన కాలం వరకు, ఐరోపా యొక్క జ్ఞానోదయం క్రమంగా అభివృద్ధి చెందుతూ మరియు నిరంతరాయంగా మనకు కనిపిస్తుంది” (వాల్యూం. 1, పేజి. ... ... పదాల చరిత్ర

సీక్వెన్స్, సీక్వెన్సులు, బహువచనం. లేదు, ఆడ (పుస్తకం). పరధ్యానంగా నామవాచకం వరుసగా. సంఘటనల క్రమం. మారుతున్న ఆటుపోట్లలో స్థిరత్వం. తార్కికంలో స్థిరత్వం. ఉషకోవ్ యొక్క వివరణాత్మక నిఘంటువు.... ... ఉషకోవ్ యొక్క వివరణాత్మక నిఘంటువు

స్థిరత్వం, కొనసాగింపు, తర్కం; వరుస, పురోగతి, ముగింపు, సిరీస్, స్ట్రింగ్, టర్న్, చైన్, చైన్, క్యాస్కేడ్, రిలే రేస్; నిలకడ, చెల్లుబాటు, సెట్, పద్దతి, అమరిక, సామరస్యం, దృఢత్వం, అనుసరణ, కనెక్షన్, క్యూ,... ... పర్యాయపద నిఘంటువు

క్రమం, సంఖ్యలు లేదా మూలకాలు వ్యవస్థీకృత పద్ధతిలో అమర్చబడ్డాయి. సహజ సంఖ్యలు 1, 2, 3, 4 ....... ... వంటి సహజ సంఖ్యల పూర్తి క్రమం వంటి సీక్వెన్సులు పరిమిత (పరిమిత సంఖ్యలో మూలకాలతో) లేదా అనంతం కావచ్చు. శాస్త్రీయ మరియు సాంకేతిక ఎన్సైక్లోపెడిక్ నిఘంటువు

సీక్వెన్స్, సంఖ్యల సమితి (గణిత వ్యక్తీకరణలు, మొదలైనవి; వారు చెప్పేది: ఏదైనా స్వభావం యొక్క మూలకాలు), సహజ సంఖ్యలచే లెక్కించబడతాయి. క్రమం x1, x2,..., xn,... లేదా క్లుప్తంగా (xi) ... ఆధునిక ఎన్సైక్లోపీడియా

గణితం యొక్క ప్రాథమిక భావనలలో ఒకటి. సహజ సంఖ్యలు 1, 2, ..., n, ..., మరియు x1, x2, ..., xn, ... లేదా క్లుప్తంగా (xn) గా వ్రాయబడి, ఏదైనా స్వభావం యొక్క మూలకాల ద్వారా క్రమం ఏర్పడుతుంది. .. పెద్ద ఎన్సైక్లోపెడిక్ నిఘంటువు

తదనంతరము- సీక్వెన్స్, సంఖ్యల సమితి (గణిత వ్యక్తీకరణలు మొదలైనవి; వారు చెప్పేది: ఏదైనా స్వభావం యొక్క మూలకాలు), సహజ సంఖ్యలతో లెక్కించబడ్డాయి. క్రమం x1, x2, ..., xn, ... లేదా క్లుప్తంగా (xi) గా వ్రాయబడింది. ... ఇలస్ట్రేటెడ్ ఎన్సైక్లోపెడిక్ నిఘంటువు

సీక్వెన్స్, మరియు, స్త్రీ. 1. సీక్వెన్షియల్ చూడండి. 2. గణితంలో: అనంతమైన క్రమ సంఖ్యల సమితి. ఓజెగోవ్ యొక్క వివరణాత్మక నిఘంటువు. ఎస్.ఐ. ఓజెగోవ్, ఎన్.యు. ష్వెడోవా. 1949 1992… ఓజెగోవ్ యొక్క వివరణాత్మక నిఘంటువు

ఆంగ్ల వారసత్వం/క్రమం; జర్మన్ కాన్సెక్వెన్జ్. 1. ఒకదాని తర్వాత ఒకటి క్రమం. 2. గణితం యొక్క ప్రాథమిక భావనలలో ఒకటి. 3. సరైన తార్కిక ఆలోచన యొక్క నాణ్యత, దీనిలో తార్కికం ఒకదానిలో ఒకటి మరియు మరొకటి అంతర్గత వైరుధ్యాలు లేకుండా ఉంటుంది... ... ఎన్సైక్లోపీడియా ఆఫ్ సోషియాలజీ

తదనంతరము- “సహజ సంఖ్యల సమితిపై నిర్వచించబడిన ఫంక్షన్, దాని విలువల సమితి ఏదైనా స్వభావం యొక్క మూలకాలను కలిగి ఉంటుంది: సంఖ్యలు, పాయింట్లు, విధులు, వెక్టర్స్, సెట్‌లు, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ మొదలైనవి, సహజ సంఖ్యల ద్వారా లెక్కించబడతాయి. . ఆర్థిక మరియు గణిత నిఘంటువు

పుస్తకాలు

• మేము ఒక క్రమాన్ని నిర్మిస్తాము. పిల్లులు. 2-3 సంవత్సరాలు. గేమ్ "పిల్లులు". మేము ఒక క్రమాన్ని నిర్మిస్తాము. స్థాయి 1. సిరీస్ "ప్రీస్కూల్ విద్య". ఆనందకరమైన పిల్లులు బీచ్‌లో సన్‌బాత్ చేయాలని నిర్ణయించుకున్నాయి! కానీ వారు స్థలాలను విభజించలేరు. వారికి సహాయం చేయండి...

నిర్వచనం .
సంఖ్యా క్రమం (xn) అనేది ఒక చట్టం (నియమం) ప్రకారం, ప్రతి సహజ సంఖ్య n = 1, 2, 3, . . . ఒక నిర్దిష్ట సంఖ్య x n కేటాయించబడింది.
x n మూలకాన్ని nవ సభ్యుడు లేదా క్రమం యొక్క మూలకం అంటారు.

సీక్వెన్స్ వంకర జంట కలుపులలో జతచేయబడిన nవ పదంగా సూచించబడుతుంది: . కింది హోదాలు కూడా సాధ్యమే: . సూచిక n సహజ సంఖ్యల సమితికి చెందినదని మరియు క్రమం కూడా అనంతమైన పదాలను కలిగి ఉందని వారు స్పష్టంగా సూచిస్తున్నారు. ఇక్కడ కొన్ని ఉదాహరణ సన్నివేశాలు ఉన్నాయి:
, , .

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, నంబర్ సీక్వెన్స్ అనేది ఒక ఫంక్షన్, దీని నిర్వచనం డొమైన్ సహజ సంఖ్యల సమితి. క్రమం యొక్క మూలకాల సంఖ్య అనంతం. మూలకాలలో ఒకే అర్థాలను కలిగి ఉన్న సభ్యులు కూడా ఉండవచ్చు. అలాగే, ఒక క్రమాన్ని అనంతమైన సభ్యుల సంఖ్యతో కూడిన సంఖ్యల సమితిగా పరిగణించవచ్చు.

n అనంతం వైపు మొగ్గు చూపినప్పుడు సీక్వెన్సులు ఎలా ప్రవర్తిస్తాయి అనే ప్రశ్నపై మేము ప్రధానంగా ఆసక్తి కలిగి ఉంటాము: . ఈ మెటీరియల్ సీక్వెన్స్ యొక్క పరిమితి - ప్రాథమిక సిద్ధాంతాలు మరియు లక్షణాలు విభాగంలో ప్రదర్శించబడింది. ఇక్కడ మేము సీక్వెన్సుల యొక్క కొన్ని ఉదాహరణలను పరిశీలిస్తాము.

సీక్వెన్స్ ఉదాహరణలు

అనంతంగా పెరుగుతున్న సీక్వెన్స్‌ల ఉదాహరణలు

క్రమాన్ని పరిగణించండి. ఈ క్రమంలో సాధారణ సభ్యుడు. మొదటి కొన్ని పదాలను వ్రాద్దాం:
.
n సంఖ్య పెరిగేకొద్దీ, మూలకాలు సానుకూల విలువల వైపు నిరవధికంగా పెరుగుతాయని చూడవచ్చు. ఈ క్రమానికి మొగ్గు చూపుతుందని మనం చెప్పగలం: కోసం .

ఇప్పుడు సాధారణ పదంతో ఒక క్రమాన్ని పరిగణించండి. దాని మొదటి కొన్ని సభ్యులు ఇక్కడ ఉన్నారు:
.
సంఖ్య n పెరిగేకొద్దీ, ఈ క్రమం యొక్క మూలకాలు సంపూర్ణ విలువలో అపరిమితంగా పెరుగుతాయి, కానీ స్థిరమైన గుర్తును కలిగి ఉండవు. అంటే, ఈ క్రమం ఇలా ఉంటుంది: వద్ద .

పరిమిత సంఖ్యకు కలుస్తున్న సీక్వెన్స్‌ల ఉదాహరణలు

క్రమాన్ని పరిగణించండి. ఆమె సాధారణ సభ్యుడు. మొదటి పదాలు క్రింది రూపాన్ని కలిగి ఉంటాయి:
.
n సంఖ్య పెరిగేకొద్దీ, ఈ శ్రేణిలోని మూలకాలు వాటి పరిమితి విలువను చేరుకోవడం గమనించవచ్చు = 0 : వద్ద. కాబట్టి ప్రతి తదుపరి పదం మునుపటి కంటే సున్నాకి దగ్గరగా ఉంటుంది. ఒక కోణంలో, a సంఖ్యకు సుమారుగా విలువ ఉందని మనం పరిగణించవచ్చు = 0 లోపంతో. n పెరిగేకొద్దీ, ఈ లోపం సున్నాకి మారుతుంది, అంటే, nని ఎంచుకోవడం ద్వారా, ఎర్రర్‌ను కావలసినంత చిన్నదిగా చేయవచ్చు. అంతేకాకుండా, ఏదైనా లోపం కోసం ε > 0 మీరు N సంఖ్యను పేర్కొనవచ్చు, N: కంటే ఎక్కువ సంఖ్యలు ఉన్న అన్ని మూలకాల కోసం, పరిమితి విలువ a నుండి సంఖ్య యొక్క విచలనం లోపం ε:ని మించదు.

తరువాత, క్రమాన్ని పరిగణించండి. ఆమె సాధారణ సభ్యుడు. దాని మొదటి సభ్యులలో కొందరు ఇక్కడ ఉన్నారు:
.
ఈ క్రమంలో, సరి సంఖ్యలతో ఉన్న పదాలు సున్నాకి సమానం. బేసి nతో ఉన్న నిబంధనలు సమానంగా ఉంటాయి. కాబట్టి, n పెరిగేకొద్దీ, వాటి విలువలు పరిమిత విలువను చేరుకుంటాయి a = 0 . ఇది వాస్తవం నుండి కూడా అనుసరిస్తుంది
.
మునుపటి ఉదాహరణలో వలె, మేము ఏకపక్షంగా చిన్న లోపాన్ని పేర్కొనవచ్చు ε > 0 , దీని కోసం N సంఖ్యను కనుగొనడం సాధ్యమవుతుంది అంటే N కంటే ఎక్కువ సంఖ్యలు ఉన్న మూలకాలు పరిమితి విలువ నుండి వైదొలిగిపోతాయి a = 0 పేర్కొన్న లోపాన్ని మించని మొత్తం ద్వారా. కాబట్టి ఈ క్రమం a విలువకు కలుస్తుంది = 0 : వద్ద.

విభిన్న శ్రేణుల ఉదాహరణలు

కింది సాధారణ పదంతో ఒక క్రమాన్ని పరిగణించండి:

దాని మొదటి సభ్యులు ఇక్కడ ఉన్నారు:


.
సరి సంఖ్యలతో ఉన్న పదాలను చూడవచ్చు:
,
విలువకు కలుస్తుంది a 1 = 0 . బేసి-సంఖ్య సభ్యులు:
,
విలువకు కలుస్తుంది a 2 = 2 . సీక్వెన్స్, n పెరిగే కొద్దీ, ఏ విలువకు కలుస్తుంది.

విరామంలో పంపిణీ చేయబడిన నిబంధనలతో క్రమం (0;1)

ఇప్పుడు మరింత ఆసక్తికరమైన క్రమాన్ని చూద్దాం. సంఖ్యా రేఖపై ఒక విభాగాన్ని తీసుకుందాం. దానిని సగానికి విభజిద్దాము. మేము రెండు విభాగాలను పొందుతాము. వీలు
.
ప్రతి సెగ్మెంట్‌ను మళ్లీ సగానికి విభజిద్దాం. మేము నాలుగు విభాగాలను పొందుతాము. వీలు
.
ప్రతి విభాగాన్ని మళ్లీ సగానికి విభజిద్దాం. తీసుకుందాం


.
మరియు అందువలన న.

ఫలితంగా, మేము ఒక క్రమాన్ని పొందుతాము, దీని మూలకాలు బహిరంగ విరామంలో పంపిణీ చేయబడతాయి (0; 1) . క్లోజ్డ్ ఇంటర్వెల్ నుండి మనం ఏ పాయింట్ తీసుకున్నా , ఈ పాయింట్‌కి ఏకపక్షంగా దగ్గరగా ఉండే లేదా దానితో సమానంగా ఉండే సీక్వెన్స్‌లోని సభ్యులను మనం ఎల్లప్పుడూ కనుగొనవచ్చు.

అప్పుడు అసలు సీక్వెన్స్ నుండి విరామం నుండి ఏకపక్ష బిందువుకు కలుస్తున్న ఒక ఉప క్రమాన్ని ఎంచుకోవచ్చు . అంటే, n సంఖ్య పెరిగేకొద్దీ, సీక్వెన్స్‌లోని సభ్యులు ముందుగా ఎంచుకున్న పాయింట్‌కి దగ్గరగా మరియు దగ్గరగా వస్తారు.

ఉదాహరణకు, పాయింట్ a కోసం = 0 మీరు ఈ క్రింది క్రమాన్ని ఎంచుకోవచ్చు:
.
= 0 .

పాయింట్ కోసం a = 1 కింది క్రమాన్ని ఎంచుకుందాం:
.
ఈ తదుపరి నిబంధనలు విలువ aకి కలుస్తాయి = 1 .

విభిన్న విలువలకు కలుస్తున్న ఉపక్రమాలు ఉన్నందున, అసలు శ్రేణి ఏ సంఖ్యకు కలుస్తుంది.

అన్ని హేతుబద్ధ సంఖ్యలను కలిగి ఉన్న క్రమం

ఇప్పుడు అన్ని హేతుబద్ధ సంఖ్యలను కలిగి ఉన్న క్రమాన్ని నిర్మిస్తాము. అంతేకాకుండా, ప్రతి హేతుబద్ధ సంఖ్య అటువంటి క్రమంలో అనంతమైన సార్లు కనిపిస్తుంది.

హేతుబద్ధ సంఖ్య rని ఈ క్రింది విధంగా సూచించవచ్చు:
,
పూర్ణాంకం ఎక్కడ ఉంది; - సహజ.
మేము ప్రతి సహజ సంఖ్య n ను p మరియు q సంఖ్యల జతతో అనుబంధించాలి, తద్వారా ఏదైనా జత p మరియు q మన క్రమంలో చేర్చబడతాయి.

దీన్ని చేయడానికి, విమానంలో p మరియు q అక్షాలను గీయండి. మేము p మరియు q యొక్క పూర్ణాంక విలువల ద్వారా గ్రిడ్ లైన్లను గీస్తాము. అప్పుడు ఈ గ్రిడ్ c యొక్క ప్రతి నోడ్ హేతుబద్ధ సంఖ్యకు అనుగుణంగా ఉంటుంది. హేతుబద్ధ సంఖ్యల మొత్తం సెట్ నోడ్‌ల సెట్ ద్వారా సూచించబడుతుంది. మేము నోడ్‌లను కోల్పోకుండా అన్ని నోడ్‌లను నంబర్ చేయడానికి ఒక మార్గాన్ని కనుగొనాలి. మీరు నోడ్‌లను చతురస్రాల ద్వారా నంబర్ చేస్తే, వాటి కేంద్రాలు పాయింట్ వద్ద ఉన్నట్లయితే ఇది చేయడం సులభం (0; 0) (చిత్రాన్ని చూడండి). ఈ సందర్భంలో, q తో చతురస్రాల దిగువ భాగాలు < 1 మాకు అది అవసరం లేదు. అందువల్ల అవి చిత్రంలో చూపబడలేదు.

కాబట్టి, మొదటి చతురస్రం యొక్క పైభాగంలో మేము కలిగి ఉన్నాము:
.
తరువాత, మేము తదుపరి స్క్వేర్ యొక్క పై భాగాన్ని సంఖ్య చేస్తాము:

.
మేము క్రింది చతురస్రం యొక్క ఎగువ భాగాన్ని సంఖ్య చేస్తాము:

.
మరియు అందువలన న.

ఈ విధంగా మేము అన్ని హేతుబద్ధ సంఖ్యలను కలిగి ఉన్న క్రమాన్ని పొందుతాము. ఈ క్రమంలో ఏదైనా హేతుబద్ధ సంఖ్య అనంతమైన సార్లు కనిపించడాన్ని మీరు గమనించవచ్చు. నిజానికి, నోడ్‌తో పాటు, ఈ క్రమంలో సహజ సంఖ్య ఉన్న నోడ్‌లు కూడా ఉంటాయి. కానీ ఈ నోడ్లన్నీ ఒకే హేతుబద్ధ సంఖ్యకు అనుగుణంగా ఉంటాయి.

ఆ తర్వాత మనం నిర్మించిన సీక్వెన్స్ నుండి, మనం ఒక సీక్వెన్స్‌ను ఎంచుకోవచ్చు (అనంతమైన మూలకాలతో కూడినది), దీని మూలకాలు అన్నీ ముందుగా నిర్ణయించిన హేతుబద్ధ సంఖ్యకు సమానంగా ఉంటాయి. మేము నిర్మించిన సీక్వెన్స్ వేర్వేరు సంఖ్యలకు కలుస్తుంది కాబట్టి, సీక్వెన్స్ ఏ సంఖ్యకు కలుస్తుంది.

ముగింపు

ఇక్కడ మనం సంఖ్యా శ్రేణికి ఖచ్చితమైన నిర్వచనం ఇచ్చాము. మేము సహజమైన ఆలోచనల ఆధారంగా దాని కలయిక సమస్యను కూడా లేవనెత్తాము. కన్వర్జెన్స్ యొక్క ఖచ్చితమైన నిర్వచనం ఒక క్రమం యొక్క పరిమితిని నిర్వచించడం అనే పేజీలో చర్చించబడింది. సంబంధిత లక్షణాలు మరియు సిద్ధాంతాలు పేజీలో పేర్కొనబడ్డాయి