గ్యాస్ అణువుల కదలిక గణాంక భౌతిక శాస్త్ర నియమాలకు లోబడి ఉంటుంది. సగటున, అన్ని అణువుల వేగం మరియు శక్తులు ఒకే విధంగా ఉంటాయి. అయితే, ఏ సమయంలోనైనా, వ్యక్తిగత అణువుల శక్తి మరియు వేగం సగటు విలువ నుండి గణనీయంగా భిన్నంగా ఉంటాయి.
ఉపయోగించడం ద్వార సంభావ్యత సిద్ధాంతంమాక్స్‌వెల్ సాపేక్ష పౌనఃపున్యం కోసం ఒక సూత్రాన్ని పొందగలిగాడు, దీనితో నిర్దిష్ట శ్రేణి విలువలలో వేగంతో అణువులు ఇచ్చిన ఉష్ణోగ్రత వద్ద వాయువులో సంభవిస్తాయి.
మాక్స్వెల్ పంపిణీ చట్టంఅణువుల సాపేక్ష సంఖ్యను నిర్ణయిస్తుంది dN/N,దీని వేగం విరామంలో ఉంటుంది ( u, u + du).
ఇది అలా కనిపిస్తుంది:
ఎక్కడ ఎన్- గ్యాస్ అణువుల మొత్తం సంఖ్య; - వేగాలు నిర్దిష్ట పరిధిలో ఉన్న అణువుల సంఖ్య; u అనేది వేగ విరామం యొక్క తక్కువ పరిమితి; డి u అనేది వేగం విరామం యొక్క విలువ; టి- గ్యాస్ ఉష్ణోగ్రత; ఇ= 2.718… - సహజ సంవర్గమానాల ఆధారం;
కె= 1.38×10 -23 J/K - బోల్ట్జ్మాన్ స్థిరాంకం; m 0 అనేది అణువు యొక్క ద్రవ్యరాశి.
ఈ సూత్రాన్ని పొందడంలో, మాక్స్వెల్ క్రింది అంచనాలపై ఆధారపడి ఉన్నాడు:
1. గ్యాస్ పెద్ద సంఖ్యలో ఉంటుంది ఎన్ఒకేలా అణువులు.
2. గ్యాస్ ఉష్ణోగ్రత స్థిరంగా ఉంటుంది.
3. గ్యాస్ అణువులు ఉష్ణ అస్తవ్యస్త చలనానికి లోనవుతాయి.
4. శక్తి క్షేత్రాల ద్వారా గ్యాస్ ప్రభావితం కాదు.
గమనిక, ఫార్ములా (8.29)లోని ఘాతాంక సంకేతం కింద అణువు యొక్క గతి శక్తి పరిమాణానికి నిష్పత్తి kT, ఇది ఈ శక్తి యొక్క సగటు (అణువులపై) విలువను వర్ణిస్తుంది.
ఇచ్చిన వాయువు యొక్క మొత్తం అణువుల సంఖ్యలో dN/N భిన్నం u నుండి u + du పరిధిలో వేగాన్ని కలిగి ఉందో మాక్స్వెల్ పంపిణీ చూపిస్తుంది.
పంపిణీ ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్ (Fig. 8.5) అసమాన. గరిష్ట స్థానం చాలా తరచుగా సంభవించే వేగాన్ని వర్ణిస్తుంది, దీనిని పిలుస్తారు అత్యంత సంభావ్య వేగం u m. వేగం మించిపోయింది u m, తక్కువ వేగం కంటే సర్వసాధారణం. పెరుగుతున్న ఉష్ణోగ్రతతో, గరిష్ట పంపిణీ అధిక వేగం వైపు మారుతుంది.
అదే సమయంలో, వక్రత చదునుగా మారుతుంది (అణువుల సంఖ్య నుండి వక్రరేఖ క్రింద ఉన్న ప్రాంతం మారదు ఎన్స్థిరంగా ఉంటుంది).
అన్నం. 8.5
అత్యంత సంభావ్య వేగాన్ని నిర్ణయించడానికి, మీరు మాక్స్వెల్ డిస్ట్రిబ్యూషన్ ఫంక్షన్‌ను గరిష్టంగా పరిశీలించాలి (మొదటి ఉత్పన్నాన్ని సున్నాకి సమం చేసి u కోసం పరిష్కరించండి). ఫలితంగా మనకు లభిస్తుంది:
.
మేము మీపై ఆధారపడని కారకాలను విస్మరించాము. భేదం చేసిన తరువాత, మేము సమీకరణానికి చేరుకుంటాము:
.
మొదటి కారకం (ఘాతం) u = ¥ వద్ద అదృశ్యమవుతుంది మరియు మూడవ అంశం (u) u వద్ద అదృశ్యమవుతుంది =
0. అయితే, గ్రాఫ్ (Fig. 8.5) నుండి u విలువలు స్పష్టంగా ఉన్నాయి =
0 మరియు u = ¥ ఫంక్షన్ యొక్క కనిష్ట (8.29)కి అనుగుణంగా ఉంటాయి. అందువలన, విలువ u, గరిష్టానికి అనుగుణంగా, రెండవ బ్రాకెట్ యొక్క సమానత్వం నుండి సున్నాకి పొందబడుతుంది: 
. ఇక్కడనుంచి
. (8.30)
అణువుల వేగం పంపిణీ ఫంక్షన్ కోసం సంజ్ఞామానాన్ని పరిచయం చేద్దాం (8.29):
. (8.31)
కొంత భౌతిక పరిమాణం యొక్క సగటు విలువ j( x) సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించవచ్చు:
ఉండనివ్వండి nఒక నిర్దిష్ట ఉష్ణోగ్రత వద్ద యాదృచ్ఛిక ఉష్ణ చలన స్థితిలో ఒకేలాంటి అణువులు. అణువుల మధ్య ఘర్షణ యొక్క ప్రతి చర్య తర్వాత, వాటి వేగం యాదృచ్ఛికంగా మారుతుంది. ఊహించలేనంత పెద్ద సంఖ్యలో ఘర్షణల ఫలితంగా, ఇచ్చిన వేగ పరిధిలోని అణువుల సంఖ్య స్థిరంగా ఉన్నప్పుడు, స్థిరమైన సమతౌల్య స్థితి ఏర్పడుతుంది.
ప్రతి ఘర్షణ ఫలితంగా, అణువుల వేగం అంచనాలు Δυ x, Δυ y, Δυ z ద్వారా యాదృచ్ఛిక మార్పును అనుభవిస్తాయి మరియు ప్రతి వేగం ప్రొజెక్షన్‌లోని మార్పులు ఒకదానికొకటి స్వతంత్రంగా ఉంటాయి. శక్తి క్షేత్రాలు కణాలపై పనిచేయవని మేము ఊహిస్తాము. ఈ పరిస్థితుల్లో రేణువుల సంఖ్య ఎంత అని తెలుసుకుందాం d nమొత్తం నుండి nυ నుండి υ+Δυ వరకు పరిధిలో వేగాన్ని కలిగి ఉంటుంది. అదే సమయంలో, ఒక నిర్దిష్ట కణం υ i యొక్క వేగం యొక్క ఖచ్చితమైన విలువ గురించి మనం ఖచ్చితంగా ఏమీ చెప్పలేము, ఎందుకంటే ప్రతి అణువు యొక్క ఘర్షణలు మరియు కదలికలు ప్రయోగంలో లేదా సిద్ధాంతంలో గుర్తించబడవు. అటువంటి వివరణాత్మక సమాచారం ఆచరణాత్మక విలువను కలిగి ఉండదు.
ఒక ఆదర్శ వాయువు యొక్క అణువుల వేగం పంపిణీని మొదటిసారిగా 1860లో ప్రసిద్ధ ఆంగ్ల శాస్త్రవేత్త J. మాక్స్వెల్ సంభావ్యత సిద్ధాంత పద్ధతులను ఉపయోగించి పొందారు.
అణువుల వేగం పంపిణీ ఫంక్షన్ కోసం సూత్రం యొక్క ఉత్పన్నం పాఠ్యపుస్తకంలో యు.ఐ. టియురిన్ మరియు ఇతరులు (పార్ట్ 1) లేదా I.V. సవేల్యేవా (వాల్యూమ్ 1). మేము ఈ ఉత్పన్నం యొక్క ఫలితాలను ఉపయోగిస్తాము.
వేగం అనేది వెక్టార్ పరిమాణం. కోసం x అక్షం మీద వేగం ప్రొజెక్షన్ (xమేము కలిగి ఉన్న (2.2.1) నుండి వేగం యొక్క వ భాగం
 |
అప్పుడు
 |
(2.3.1) |
ఇక్కడ A 1 అనేది స్థిరమైన సమానం
ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫికల్ ప్రాతినిధ్యం మూర్తి 2.2లో చూపబడింది. వేగంతో అణువుల భిన్నం సున్నా కాదని చూడవచ్చు. వద్ద , (ఇది స్థిరమైన A1 యొక్క భౌతిక అర్ధం).
అన్నం. 2.2
పై వ్యక్తీకరణ మరియు గ్రాఫ్ చెల్లుబాటు అయ్యేవి వేగం యొక్క x-భాగాలపై గ్యాస్ అణువుల పంపిణీ.ప్రకారం స్పష్టంగా ఉంది వై- మరియు z-స్పీడ్ భాగాలు కూడా పొందవచ్చు:
ఎక్కడ 
, లేదా
 |
(2.3.2) |
ఫార్ములా (2.3.2)కి రేఖాగణిత వివరణ ఇవ్వవచ్చు: డి n xyz– ఇది dυ x, dυ y, dυ z భుజాలతో సమాంతర పైప్‌లోని అణువుల సంఖ్య, అంటే వాల్యూమ్ dలో వి=dυ x dυ y dυ z (Fig. 2.3), వేగం ప్రదేశంలో మూలం నుండి దూరంలో ఉంది.
ఈ విలువ (డి n xyz) వేగం వెక్టార్ యొక్క దిశపై ఆధారపడదు. అందువల్ల, అణువుల పంపిణీ పనితీరును వాటి దిశతో సంబంధం లేకుండా వేగం ద్వారా పొందడం అవసరం, అంటే వేగం యొక్క సంపూర్ణ విలువ ద్వారా.
మీరు ఒక యూనిట్ వాల్యూమ్‌లోని అన్ని అణువులను కలిపి, వేగాలు అన్ని దిశలలో υ నుండి υ+dυ వరకు ఉంటాయి మరియు వాటిని విడుదల చేస్తే, ఒక సెకనులో అవి మందం dυ మరియు గోళాకార పొరలో కనిపిస్తాయి. వ్యాసార్థం υ (Fig. 2.4). ఈ గోళాకార పొరపైన పేర్కొన్న సమాంతర పైప్‌లను కలిగి ఉంటుంది.
(2.3.2) నుండి క్రింది విధంగా పొరలోని మొత్తం అణువుల సంఖ్య
వాల్యూమ్ d యొక్క గోళాకార పొరలో అన్ని కణాల భిన్నం ఎక్కడ ఉంది వి, దీని వేగం υ నుండి υ+dυ వరకు ఉంటుంది.
dυ = 1 కోసం మనకు లభిస్తుంది సంభావ్యత సాంద్రత , లేదా అణువుల వేగం పంపిణీ ఫంక్షన్:
 |
(2.3.4) |
ఈ ఫంక్షన్ వాయువు యొక్క యూనిట్ వాల్యూమ్‌లోని అణువుల భిన్నాన్ని సూచిస్తుంది, దీని సంపూర్ణ వేగాలు ఇచ్చిన వేగాన్ని కలిగి ఉన్న యూనిట్ వేగం విరామంలో ఉంటాయి.
సూచిస్తాము: 
అప్పుడు (2.3.4) నుండి మనం పొందుతాము:
 |
(2.3.5) |
ఈ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ మూర్తి 2.5లో చూపబడింది.
అన్నం. 2.5
ముగింపులు:
కణ వేగం పంపిణీ యొక్క శాస్త్రీయ వివరణ యొక్క వర్తించే పరిమితులను పరిశీలిద్దాం. దీన్ని చేయడానికి, మేము హైసెన్‌బర్గ్ అనిశ్చితి సంబంధాన్ని ఉపయోగిస్తాము. ఈ సంబంధం ప్రకారం, ఒక కణం యొక్క కోఆర్డినేట్లు మరియు మొమెంటం ఏకకాలంలో నిర్దిష్ట విలువను కలిగి ఉండవు. కింది షరతులు నెరవేరినట్లయితే శాస్త్రీయ వివరణ సాధ్యమవుతుంది:
ఇక్కడ 
- ప్లాంక్ స్థిరాంకం అనేది క్వాంటం (సూక్ష్మదర్శిని) ప్రక్రియల స్థాయిని నిర్ణయించే ప్రాథమిక స్థిరాంకం.
ఈ విధంగా, ఒక కణం వాల్యూమ్‌లో ఉంటే 
, అప్పుడు ఈ సందర్భంలో క్లాసికల్ మెకానిక్స్ చట్టాల ఆధారంగా దాని కదలికను వివరించడం సాధ్యమవుతుంది.
గ్యాస్ అణువుల యొక్క అత్యంత సంభావ్య, రూట్-మీన్-స్క్వేర్ మరియు అంకగణిత సగటు వేగాలు
కణాల యూనిట్ ఏకాగ్రత వద్ద వేగం యొక్క సంపూర్ణ విలువతో యూనిట్ వేగం విరామానికి కణాల సంఖ్య ఎలా మారుతుందో పరిశీలిద్దాం.
మాక్స్వెల్ పంపిణీ ఫంక్షన్ గ్రాఫ్
 ,
|
మూర్తి 2.6లో చూపబడింది.
అన్నం. 2.6
గ్రాఫ్ నుండి "చిన్న" υ కోసం, అనగా. తో , మేము కలిగి ; అప్పుడు గరిష్టంగా Aకి చేరుకుంటుంది మరియు తర్వాత విపరీతంగా తగ్గుతుంది.
గరిష్ట ఆధారపడటం సంభవించే వేగం యొక్క పరిమాణం, అత్యంత సంభావ్య వేగం అని పిలుస్తారు.
ఉత్పన్నం యొక్క సమానత్వం యొక్క స్థితి నుండి ఈ వేగాన్ని కనుగొనండి.
RMS వేగం మేము సంబంధాన్ని ఉపయోగిస్తాము: అంకగణిత సగటు వేగం:| . | . |
υ నుండి υ+dυ వరకు వేగంతో అణువుల సంఖ్య ఎక్కడ ఉంది. మేము ఇక్కడ ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే f(υ) మరియు లెక్కించండి, మేము పొందుతాము.
ఏదైనా వాయువు యొక్క అణువులు శాశ్వతమైన అస్తవ్యస్త చలనంలో ఉంటాయి. అణువుల వేగం వివిధ విలువలను తీసుకోవచ్చు. అణువులు ఢీకొంటాయి, మరియు ఘర్షణల ఫలితంగా, అణువుల వేగం మారుతుంది. ఏ సమయంలోనైనా, ప్రతి ఒక్క అణువు యొక్క వేగం పరిమాణం మరియు దిశ రెండింటిలోనూ యాదృచ్ఛికంగా ఉంటుంది.
కానీ, వాయువు దానికే వదిలేస్తే, చాలా నిర్దిష్ట చట్టం ప్రకారం ఇచ్చిన ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఇచ్చిన ద్రవ్యరాశి వాయువు యొక్క అణువుల మధ్య ఉష్ణ కదలిక యొక్క వివిధ రేట్లు పంపిణీ చేయబడతాయి, అనగా. వేగం ద్వారా అణువుల పంపిణీ ఉంది.
పరమాణు వేగం పంపిణీ సూత్రం సిద్ధాంతపరంగా మాక్స్‌వెల్‌చే రూపొందించబడింది. మాక్స్వెల్ యొక్క చట్టం క్రింది సూత్రం ద్వారా వ్యక్తీకరించబడింది:
అంతరంలో వేగాలు ఉండే అణువుల సంఖ్య ఎక్కడ ఉంది; - ఇచ్చిన వాయువు ద్రవ్యరాశి యొక్క మొత్తం అణువుల సంఖ్య; - సహజ సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం; - విరామం నుండి పేర్కొన్న వేగం విలువ; - ఇచ్చిన ఉష్ణోగ్రత వద్ద గ్యాస్ అణువుల యొక్క అత్యంత సంభావ్య వేగం.
ఎక్కువగా వేగంఇచ్చిన గ్యాస్ ద్రవ్యరాశిలో అత్యధిక సంఖ్యలో అణువులు కలిగి ఉన్న వేగం అని పిలుస్తారు. విలువ గ్యాస్ ఉష్ణోగ్రతపై ఆధారపడి ఉంటుంది.
ఫార్ములా (10.6) వేగాల దిశతో సంబంధం లేకుండా, ఇచ్చిన వేగం పరిధిలో వేగాలు ఉండే అణువుల సంఖ్యను ఇస్తుంది.
మేము మరింత నిర్దిష్టమైన ప్రశ్నను అడిగితే, అనగా, మరియు , మరియు , మరియు మధ్య విరామంలో వేగం భాగాలు ఉండే వాయువులోని అణువుల సంఖ్య ఎంత
లేదా 
, (10.8)
గ్యాస్ అణువు యొక్క గతిశక్తి ఎక్కడ ఉంది; - అణువు యొక్క ద్రవ్యరాశి; - బోల్ట్జ్మాన్ స్థిరాంకం; - సంపూర్ణ వాయువు ఉష్ణోగ్రత. సూత్రాలు (10.7) మరియు (10.8) - కూడా మాక్స్వెల్ పంపిణీ సూత్రాలు. పంపిణీ చట్టం (10.6)కి సంబంధించిన అణువుల వేగం పంపిణీ వక్రరేఖ అంజీర్లో చూపబడింది. 10.1 అబ్సిస్సా అక్షం ఒక వ్యక్తిగత వాయువు అణువు తీసుకోగల వేగం విలువలను చూపుతుంది.
వక్రరేఖ యొక్క గరిష్టం అత్యంత సంభావ్య వేగానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది. వక్రరేఖకు సాపేక్షంగా అసమానంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే ఒక వాయువు చాలా ఎక్కువ వేగంతో సాపేక్షంగా తక్కువ సంఖ్యలో అణువులను కలిగి ఉంటుంది.
కొంత విరామం పరిశీలిద్దాం , (Fig. 10.1). ఇది చిన్నది అయితే, షేడెడ్ స్ట్రిప్ యొక్క ప్రాంతం దీర్ఘచతురస్రం యొక్క ప్రాంతానికి దగ్గరగా ఉంటుంది:
ఆ. షేడెడ్ స్ట్రిప్ యొక్క ప్రాంతం అణువుల సంఖ్యను సూచిస్తుంది, దీని వేగం విరామంలో ఉంటుంది. మరియు మొత్తం వక్రరేఖ క్రింద ఉన్న ప్రాంతం ఇచ్చిన వాయువు యొక్క మొత్తం అణువుల సంఖ్యకు అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
వక్రరేఖ గరిష్టంగా ఏ విలువను కలిగి ఉంటుందో కనుగొనండి. మేము గరిష్టంగా గణితం యొక్క సాధారణ నియమాలను ఉపయోగిస్తాము, సున్నాకి సంబంధించి మొదటి ఉత్పన్నాన్ని సమం చేస్తాము:
,
.
అప్పటి నుండి 
.
ఉత్పన్నాన్ని తీసుకుంటే, మనకు అది వస్తుంది, అనగా. వక్రరేఖ యొక్క గరిష్టం అత్యంత సంభావ్య వేగానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది.
మాక్స్వెల్ సిద్ధాంతపరంగా అంకగణిత సగటు వేగాన్ని లెక్కించడానికి ఉపయోగించే సూత్రాలను కనుగొన్నాడు. గ్యాస్ అణువుల ఉష్ణ కదలికను వివరించగల వేగాన్ని జాబితా చేద్దాం.
1. అత్యంత సంభావ్య వేగం. (10.9)
2. రూట్ సగటు చదరపు వేగం:
; 
. (10.10)
3. అంకగణిత సగటు వేగం. (10.11)
అన్ని వేగాలు నేరుగా అనులోమానుపాతంలో ఉంటాయి మరియు వాయువు యొక్క మోల్ యొక్క ద్రవ్యరాశి ఉన్న చోట విలోమానుపాతంలో ఉంటాయి.
అంజీర్లో. 10.1, గ్రాఫ్ I ఉష్ణోగ్రత కోసం ప్లాట్ చేయబడింది మరియు గ్రాఫ్ II ఉష్ణోగ్రత కోసం ప్లాట్ చేయబడింది. పెరుగుతున్న ఉష్ణోగ్రతతో గరిష్ట వక్రరేఖ కుడివైపుకి మారుతుందని చూడవచ్చు, ఎందుకంటే ఉష్ణోగ్రత పెరిగినప్పుడు, పరమాణు వేగం పెరుగుతుంది. ఎక్కువ వేగవంతమైన అణువులు ఉన్నాయి, వక్రరేఖ యొక్క కుడి శాఖ పెరుగుతుంది, తక్కువ నెమ్మదిగా అణువులు ఉన్నాయి, ఎడమ శాఖ నిటారుగా మారుతుంది. మరియు మొత్తం వక్రరేఖ తగ్గుతుంది, ఎందుకంటే వక్రరేఖ క్రింద ఉన్న ప్రాంతం తప్పనిసరిగా అలాగే ఉండాలి ఎందుకంటే వాయువు యొక్క మొత్తం అణువుల సంఖ్య ఒకే విధంగా ఉంటుంది మరియు వాయువు వేడి చేయబడినప్పుడు మారదు.
మాక్స్వెల్ యొక్క చట్టం ఒక గణాంక చట్టం, అనగా చాలా పెద్ద సంఖ్యలో అణువులకు చెల్లుబాటు అయ్యే చట్టం.
అదనంగా, మాక్స్వెల్ చట్టం వాయువుపై బాహ్య ప్రభావాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకోదు, అనగా. వాయువుపై పనిచేసే శక్తి క్షేత్రాలు లేవు.
10.4 బాహ్య క్షేత్రంలో ఆదర్శ వాయువు.
బారోమెట్రిక్ ఫార్ములా. బోల్ట్జ్మాన్ పంపిణీ
భూమి యొక్క ఉపరితలం వద్ద గాలి యొక్క నిలువు నిలువు వరుసను పరిగణించండి (Fig. 10.2). నిలువు వరుస యొక్క ఎత్తు సాపేక్షంగా తక్కువగా ఉంటే (అనేక వందల మీటర్లకు మించకూడదు), వాయువు యొక్క సాంద్రత మరియు యూనిట్ వాల్యూమ్‌కు అణువుల సంఖ్య (ఏకాగ్రత) దాదాపు ఒకే విధంగా ఉంటుంది. అయితే, నిలువు వరుస యొక్క ఎత్తు ఒక కిలోమీటరు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ ఉంటే, ఎత్తులో ఉన్న అణువుల ఏకరీతి పంపిణీ ఉల్లంఘించబడుతుంది గురుత్వాకర్షణ, ఇది భూమి యొక్క ఉపరితలం దగ్గర అణువులను కేంద్రీకరిస్తుంది. ఫలితంగా, భూమి యొక్క ఉపరితలం నుండి దూరంతో గాలి సాంద్రత మరియు వాతావరణ పీడనం తగ్గుతుంది.
ఎత్తుతో ఒత్తిడి మార్పు యొక్క చట్టాన్ని నిర్ధారిద్దాం (మేము బారోమెట్రిక్ సూత్రాన్ని కనుగొంటాము).
బారోమెట్రిక్ ఫార్ములావాతావరణ పీడనం ఎలా ఆధారపడి ఉంటుందో చూపిస్తుంది పిఎత్తు నుండి hభూమి యొక్క ఉపరితలం పైన. పీడనం భూమి యొక్క ఉపరితలం దగ్గర ఎత్తులో ఉండనివ్వండి. ఒత్తిడి తెలిసిందే. ఎత్తుతో ఒత్తిడిలో మార్పును మనం కనుగొనాలి.
ఉత్పన్నంలో గ్యాస్ ఉష్ణోగ్రత స్థిరంగా ఉంటుందని మేము ఊహిస్తాము. భూమి యొక్క ఉపరితలం పైన క్రాస్ సెక్షన్ ఉన్న గ్యాస్ (గాలి) యొక్క స్థూపాకార కాలమ్‌ను ఎంచుకుందాం. కాలమ్ యొక్క బేస్ నుండి ఎత్తులో ఉన్న అనంతమైన మందం యొక్క గ్యాస్ పొరను పరిశీలిద్దాం.
పొర యొక్క ఎగువ మరియు దిగువ స్థావరంపై పనిచేసే శక్తుల వ్యత్యాసం ఈ పొరలో ఉన్న వాయువు యొక్క బరువుకు సమానంగా ఉంటుంది, అనగా.
పొరలో వాయువు యొక్క అనంతమైన ద్రవ్యరాశి సూత్రం ద్వారా లెక్కించబడుతుంది
,
గ్యాస్ పొర యొక్క వాల్యూమ్ ఎక్కడ ఉంది.
అప్పుడు , గ్యాస్ సాంద్రత ఎక్కడ ఉంది; - గురుత్వాకర్షణ త్వరణం.
పొర యొక్క రెండు స్థావరాలపై ఒత్తిడి వ్యత్యాసం:
.
మరియు మీరు మైనస్ గుర్తును కూడా ఉంచాలి
ఎందుకంటే మైనస్ గుర్తుకు భౌతిక అర్ధం ఉంది. ఎత్తుతో పాటు గ్యాస్ పీడనం తగ్గుతుందని ఇది చూపిస్తుంది. మీరు ఎత్తుకు పెరిగినట్లయితే, వాయువు పీడనం మొత్తం తగ్గుతుంది.
మేము మెండలీవ్-క్లాపేరాన్ సమీకరణం నుండి వాయువు సాంద్రతను కనుగొంటాము.
(10.12)లో వ్యక్తీకరణను భర్తీ చేయడం, మేము కలిగి ఉన్నాము
ఇది వేరు చేయగల వేరియబుల్స్‌తో కూడిన అవకలన సమీకరణం:
.
సమీకృతం చేద్దాం:
.
బారోమెట్రిక్ ఫార్ములాను తెలుసుకుందాం
అంజీర్లో. 10.3 రెండు ఉష్ణోగ్రత విలువల కోసం పీడనం మరియు ఎత్తు యొక్క గ్రాఫ్‌లను చూపుతుంది టి 1 మరియు టి 2 (టి 2 > టి 1) గ్యాస్ ఉష్ణోగ్రత, ఒత్తిడిలో మార్పుతో పిభూమి ఉపరితలం వద్ద 0 మారదు, ఎందుకంటే ఇది యూనిట్ బేస్ ప్రాంతం మరియు అపరిమిత ఎత్తుతో భూమి యొక్క ఉపరితలం పైన ఉన్న ఒక నిలువు నిలువు వరుస బరువుకు సమానం. వాయువు బరువు ఉష్ణోగ్రతపై ఆధారపడి ఉండదు.
బారోమెట్రిక్ ఫార్ములా నుండి వాయువుపై బాహ్య ప్రభావం గురుత్వాకర్షణ శక్తి అయినప్పుడు కేసు కోసం బోల్ట్జ్మాన్ పంపిణీని పొందడం చాలా సులభం.
ఎత్తులో ఉన్న వాయువు పీడనం ఈ ఎత్తులో యూనిట్ వాల్యూమ్‌కు అణువుల సంఖ్యకు నేరుగా అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది, , ఎత్తులో ఉన్న అణువుల సాంద్రత మరియు , - ఎత్తులో గ్యాస్ అణువుల సాంద్రత.
గాని 
. (10.14)
ఫార్ములా (10.14) గురుత్వాకర్షణ క్షేత్రంలో అణువుల కోసం బోల్ట్జ్మాన్ పంపిణీ అంటారు.
అంజీర్లో. మూర్తి 10.4 రెండు ఉష్ణోగ్రత విలువల కోసం ఎత్తు మరియు పరమాణు సాంద్రతల గ్రాఫ్‌లను చూపుతుంది టి 1 మరియు టి 2 (టి 2 >టి 1) గురుత్వాకర్షణ రంగంలో. పరమాణు ఏకాగ్రత nపెరుగుతున్న ఉష్ణోగ్రతతో భూమి ఉపరితలం వద్ద 0 తగ్గుతుంది ( n 0 (టి 2) < n 0 (టి 1)) గ్యాస్ కాలమ్ లోపల అణువుల పునఃపంపిణీ కారణంగా. ఎక్కువ గతిశక్తి ఉన్న అణువులు ఎక్కువగా పెరుగుతాయి.
ఎత్తులో ఉన్న అణువు యొక్క సంభావ్య శక్తి అయితే, అప్పుడు
గురుత్వాకర్షణ క్షేత్రంలో అణువులు కదులుతున్నప్పుడు మాత్రమే ఫార్ములా (10.15) చెల్లుతుంది. బోల్ట్జ్మాన్ పంపిణీని వ్యక్తీకరించే ఈ ఫార్ములా సంభావ్య ఫంక్షన్‌తో ఏదైనా శక్తి క్షేత్రానికి చెల్లుతుంది:
పెర్రిన్ అనుభవం (1870–1942).
అవోగాడ్రో సంఖ్య యొక్క నిర్వచనం
ఫ్రెంచ్ భౌతిక శాస్త్రవేత్త పెర్రిన్ అవోగాడ్రో సంఖ్యను ప్రయోగాత్మకంగా గుర్తించడానికి బోల్ట్జ్మాన్ పంపిణీని ఉపయోగించాడు.
సూక్ష్మదర్శిని ఎమల్షన్ యొక్క పై పొరలో చూపబడింది (Fig. 10.5), మైక్రోస్కోప్ ద్వారా తక్షణ ఛాయాచిత్రం తీయబడింది మరియు ఛాయాచిత్రంలోని బ్రౌనియన్ కణాల సంఖ్య లెక్కించబడుతుంది. తరువాత, మైక్రోస్కోప్ ట్యూబ్ 0.01 మిమీ తగ్గించబడింది, ఛాయాచిత్రాలు మళ్లీ తీయబడ్డాయి మరియు ఛాయాచిత్రంలోని బ్రౌనియన్ కణాల సంఖ్యను లెక్కించారు. ఓడ దిగువన ఎక్కువ బ్రౌనియన్ కణాలు ఉన్నాయని, ఎమల్షన్ ఉపరితలంపై తక్కువగా ఉన్నాయని మరియు సాధారణంగా బ్రౌనియన్ కణాల ఎత్తు పంపిణీ బోల్ట్జ్మాన్ పంపిణీకి అనుగుణంగా ఉందని తేలింది. గమ్ బంతులు ద్రవ (ఎమల్షన్)లో ఉన్నందున, ఆర్కిమెడిస్ యొక్క తేలిక శక్తిని పరిగణనలోకి తీసుకొని వాటి సంభావ్య శక్తిని వ్రాయవచ్చు. 
, ఎక్కడ m 0 - బంతి ద్రవ్యరాశి, m g - బంతి ద్వారా స్థానభ్రంశం చేయబడిన ద్రవ పరిమాణం యొక్క ద్రవ్యరాశి. అప్పుడు బోల్ట్జ్మాన్ పంపిణీని వ్రాయవచ్చు 
.
ఉంటే n 1 మరియు n 2 - ఎత్తుల వద్ద కణ సాంద్రతలను కొలుస్తారు h 1 మరియు h 2, అప్పుడు 
; , ఎ 
.
అప్పుడు మనం నిర్ణయించవచ్చు 
మరియు 
.
పరిమాణం
బంతులు మరియు ఎమల్షన్ యొక్క పదార్థం యొక్క సాంద్రతలు ఎక్కడ మరియు ఉన్నాయి.
బోల్ట్జ్మాన్ స్థిరాంకాన్ని ప్రయోగాత్మకంగా నిర్ణయించడం కెపెర్రిన్ వ్యసనం నుండి బయటపడ్డాడు 
అవగాడ్రో సంఖ్య విలువ. ఖచ్చితమైన విలువ:
(10.17)
అంశం 11
పని, అంతర్గత శక్తి మరియు వేడి.
థర్మోడైనమిక్స్ యొక్క మొదటి నియమం
థర్మోడైనమిక్స్వివిధ రకాలైన శక్తిని వేడిగా మార్చే పరిస్థితులను మరియు దీనికి విరుద్ధంగా, అలాగే ఈ సందర్భంలో గమనించిన పరిమాణాత్మక సంబంధాలను అధ్యయనం చేసే శాస్త్రం. థర్మోడైనమిక్స్ ప్రకృతి మరియు సాంకేతికతలో గమనించిన అనేక రకాల దృగ్విషయాలను కవర్ చేస్తుంది. తాపన ఇంజనీరింగ్ కోసం ఇది ప్రత్యేక ప్రాముఖ్యత కలిగి ఉంది, ఎందుకంటే తాపన మరియు శీతలీకరణ యంత్రాల అభివృద్ధికి ఆధారాన్ని అందిస్తుంది. థర్మోడైనమిక్స్‌లో ఈ పదాన్ని తరచుగా ఉపయోగిస్తారు శరీరం. థర్మోడైనమిక్స్‌లో, శరీరాన్ని గాలి, నీరు, పాదరసం, ఏదైనా వాయువు అని పిలుస్తారు, అనగా. నిర్దిష్ట వాల్యూమ్‌ను ఆక్రమించే ఏదైనా పదార్ధం.
థర్మోడైనమిక్ వ్యవస్థ అనేక శరీరాలను కలిగి ఉంటుంది, కానీ ఒక శరీరాన్ని కూడా కలిగి ఉంటుంది, చాలా తరచుగా ఈ శరీరం ఆదర్శవంతమైన వాయువు.
థర్మోడైనమిక్ సిస్టమ్ అనేది ఒకదానితో ఒకటి మరియు ఇతర శరీరాలతో శక్తిని మార్పిడి చేసుకోగల పరిశీలనలో ఉన్న ఏదైనా శరీరాల సేకరణ.ఉదాహరణకు, థర్మోడైనమిక్ సిస్టమ్ ఆదర్శవంతమైన వాయువు కావచ్చు.
థర్మోడైనమిక్ సిస్టమ్ యొక్క స్థితి థర్మోడైనమిక్ పారామితుల ద్వారా వర్గీకరించబడుతుంది. థర్మోడైనమిక్ పారామితులు వ్యవస్థ యొక్క స్థితిని వర్ణించే పరిమాణాలు.థర్మోడైనమిక్ పారామితులలో పీడనం, వాల్యూమ్, ఉష్ణోగ్రత, పదార్ధం యొక్క సాంద్రత మొదలైన పరిమాణాలు ఉంటాయి. ఆదర్శ వాయువు యొక్క స్థితి యొక్క పారామితులు, ఉదాహరణకు, ఒత్తిడి పి, వాల్యూమ్ వి, ఉష్ణోగ్రత టి. థర్మోడైనమిక్ సిస్టమ్ యొక్క స్థితి యొక్క పారామితులకు సంబంధించిన సమీకరణాన్ని అంటారు రాష్ట్ర సమీకరణం.ఉదాహరణకు, మెండలీవ్-క్లాపేరాన్ సమీకరణం: .
థర్మోడైనమిక్ వ్యవస్థ యొక్క స్థితిని అంటారు సమతౌల్య, దాని అన్ని పారామితులు ఒక నిర్దిష్ట విలువను కలిగి ఉంటే మరియు స్థిరమైన బాహ్య పరిస్థితులలో కాలక్రమేణా మారకపోతే.
థర్మోడైనమిక్ వ్యవస్థను సమతుల్యత నుండి తీసివేసి, దాని స్వంత పరికరాలకు వదిలివేస్తే, అది దాని అసలు స్థితికి తిరిగి వస్తుంది. ఈ ప్రక్రియ అంటారు సడలింపు.
థర్మోడైనమిక్స్‌లో, ఒక వ్యవస్థ నుండి మరొక స్థితికి సాధ్యమయ్యే అన్ని పరివర్తనాల చట్టాలు అధ్యయనం చేయబడతాయి. వ్యవస్థను ఒక రాష్ట్రం నుండి మరొక స్థితికి మార్చడం,ఇది కనీసం ఒక రాష్ట్ర పరామితిలో మార్పుతో కూడి ఉంటుంది,ప్రక్రియ అని పిలుస్తారు.ఒక స్థితి నుండి మరొక స్థితికి మారే సమయంలో సిస్టమ్ పారామితులలో మార్పును నిర్ణయించే సమీకరణాన్ని ప్రక్రియ సమీకరణం అంటారు.
థర్మోడైనమిక్స్ శరీరాల యొక్క థర్మోడైనమిక్ సమతౌల్య స్థితిని మరియు నెమ్మదిగా ప్రక్రియలను మాత్రమే అధ్యయనం చేస్తుంది, ఇవి ఒకదానికొకటి నిరంతరం అనుసరించే సమతౌల్య స్థితిగా పరిగణించబడతాయి. ఆమె థర్మోడైనమిక్ సమతౌల్య స్థితికి వ్యవస్థల పరివర్తన యొక్క సాధారణ నమూనాలను అధ్యయనం చేస్తుంది.
సమతౌల్య ప్రక్రియలు- థర్మోడైనమిక్ పారామితుల మార్పు రేటు అనంతంగా ఉండే ప్రక్రియలు, అనగా. థర్మోడైనమిక్ పారామితులలో మార్పులు చాలా కాలం పాటు జరుగుతాయి. ఈ మోడల్, ఎందుకంటే అన్ని నిజమైన ప్రక్రియలు అసమతుల్యమైనవి.
సమతౌల్య ప్రక్రియ అనేది సమతౌల్య స్థితుల క్రమం ద్వారా జరిగే ప్రక్రియ.
సమతుల్యత లేని ప్రక్రియ- పరిమిత విలువ ద్వారా థర్మోడైనమిక్ పారామితులలో మార్పు పరిమిత సమయంలో సంభవించే ప్రక్రియ.
అసమతుల్య ప్రక్రియ గ్రాఫికల్‌గా వర్ణించబడదు.
థర్మోడైనమిక్స్ దృగ్విషయాలను అధ్యయనం చేయడానికి ఒక ప్రత్యేక పద్ధతిని ఉపయోగిస్తుంది - థర్మోడైనమిక్ పద్ధతి.థర్మోడైనమిక్స్ ప్రక్రియ ఎలా జరుగుతుందో చూస్తుంది.
థర్మోడైనమిక్స్ రెండు ప్రాథమిక చట్టాలపై ఆధారపడి ఉంటుంది, ఇవి అపారమైన వాస్తవిక పదార్థాల సాధారణీకరణ. ఈ చట్టాలు థర్మోడైనమిక్స్ యొక్క మొత్తం శాస్త్రానికి దారితీశాయి మరియు అందుచేత పేరు ప్రారంభాలను పొందింది.
11.1 ఆదర్శ వాయువు యొక్క అంతర్గత శక్తి.
స్వేచ్ఛ డిగ్రీల సంఖ్య
స్వేచ్ఛ డిగ్రీల సంఖ్యఅంతరిక్షంలో శరీరం యొక్క స్థానాన్ని నిర్ణయించడానికి నమోదు చేయవలసిన అతి చిన్న స్వతంత్ర కోఆర్డినేట్లు. - స్వేచ్ఛ డిగ్రీల సంఖ్య.
పరిగణలోకి తీసుకుందాం మోనాటమిక్ వాయువు. అటువంటి వాయువు యొక్క అణువును మెటీరియల్ పాయింట్‌గా పరిగణించవచ్చు; అంతరిక్షంలో ఉన్న మెటీరియల్ పాయింట్ (Fig. 11.1) యొక్క స్థానం మూడు కోఆర్డినేట్‌ల ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది.
అణువు మూడు దిశలలో కదలగలదు (Fig. 11.2).
పర్యవసానంగా, ఇది మూడు అనువాద స్థాయిల స్వేచ్ఛను కలిగి ఉంది.
ఒక అణువు ఒక పదార్థ బిందువు.
భ్రమణ చలన శక్తి, ఎందుకంటే బిందువు గుండా వెళుతున్న అక్షానికి సంబంధించి మెటీరియల్ పాయింట్ యొక్క జడత్వం యొక్క క్షణం సున్నా
మోనాటమిక్ గ్యాస్ మాలిక్యూల్ కోసం, స్వేచ్ఛ డిగ్రీల సంఖ్య .
పరిగణలోకి తీసుకుందాం డయాటామిక్ వాయువు. డయాటోమిక్ అణువులో, ప్రతి అణువు ఒక పదార్థ బిందువుగా తీసుకోబడుతుంది మరియు పరమాణువులు ఒకదానికొకటి కఠినంగా అనుసంధానించబడి ఉన్నాయని నమ్ముతారు; ఇది డయాటోమిక్ అణువు యొక్క డంబెల్ మోడల్. డయాటోమిక్ గట్టిగా బంధించబడిన అణువు(వైకల్యం లేని కనెక్షన్ ద్వారా అనుసంధానించబడిన రెండు మెటీరియల్ పాయింట్ల సమితి), Fig. 11.3
అణువు యొక్క ద్రవ్యరాశి కేంద్రం యొక్క స్థానం మూడు కోఆర్డినేట్‌ల ద్వారా పేర్కొనబడింది, (Fig. 11.4) ఇవి మూడు డిగ్రీల స్వేచ్ఛ, అవి నిర్ణయిస్తాయి ఒక అణువు యొక్క అనువాద చలనం.కానీ అణువు అక్షాల చుట్టూ భ్రమణ కదలికలను కూడా చేయగలదు మరియు ఇవి మరో రెండు డిగ్రీల స్వేచ్ఛను నిర్ణయిస్తాయి. అణువు భ్రమణం. అక్షం చుట్టూ అణువు యొక్క భ్రమణం అసాధ్యం, ఎందుకంటే మెటీరియల్ పాయింట్లు ఈ బిందువుల గుండా వెళుతున్న అక్షం చుట్టూ తిరగలేవు.
డయాటోమిక్ గ్యాస్ మాలిక్యూల్ కోసం, స్వేచ్ఛ డిగ్రీల సంఖ్య .
పరిగణలోకి తీసుకుందాం త్రికోణ వాయువు.ఒక అణువు యొక్క నమూనా మూడు అణువులు (మెటీరియల్ పాయింట్లు), ఒకదానికొకటి కఠినంగా అనుసంధానించబడి ఉంటుంది (Fig. 11.5).
ట్రయాటోమిక్ మాలిక్యూల్ అనేది గట్టిగా బంధించబడిన అణువు.
ట్రయాటోమిక్ గ్యాస్ మాలిక్యూల్ కోసం, స్వేచ్ఛ డిగ్రీల సంఖ్య .
అవి ఢీకొన్నప్పుడు, వాయువు అణువులు వాటి వేగాన్ని మారుస్తాయి. అణువుల వేగం యాదృచ్ఛికంగా మారుతుంది. ఇచ్చిన అణువు ఏ సంఖ్యా వేగంతో ఉంటుందో ముందుగానే అంచనా వేయడం అసాధ్యం: ఈ వేగం యాదృచ్ఛికంగా ఉంటుంది.
వేగం మాడ్యూల్స్‌పై అణువుల పంపిణీ పంపిణీ ఫంక్షన్‌ని ఉపయోగించి వివరించబడింది f(v):
ఇక్కడ నిష్పత్తి అణువుల భాగానికి సమానం, దీని వేగం పరిధి నుండి ఉంటుంది vముందు v+dv. dv-విరామం వెడల్పు (Fig. 2).
అన్నం. 2. స్పీడ్ విరామం
వీక్షణను తెలుసుకోవడం f(v),మీరు అణువుల సంఖ్యను కనుగొనవచ్చు Δ ఎన్ విఈ అణువుల నుండి N,దీని వేగం వేగం విరామంలో వస్తుంది vముందు v + Δv. వైఖరి
(14)
ఇచ్చిన వేగ విరామంలో అణువు యొక్క వేగం విలువను కలిగి ఉండే సంభావ్యతను ఇస్తుంది dv
ఫంక్షన్ f(v)సాధారణీకరణ స్థితిని సంతృప్తి పరచాలి, అంటే, షరతు తప్పక నెరవేరాలి:
(15)
వ్యక్తీకరణ యొక్క ఎడమ వైపు (17.3) అణువు 0 నుండి ∞ వరకు వేగం కలిగి ఉండే సంభావ్యతను ఇస్తుంది. ఒక అణువు యొక్క వేగం తప్పనిసరిగా కొంత అర్థాన్ని కలిగి ఉంటుంది కాబట్టి, సూచించిన సంభావ్యత ఒక నిర్దిష్ట సంఘటన యొక్క సంభావ్యత మరియు అందువలన, 1కి సమానం.
మాక్స్వెల్ ద్వారా పంపిణీ ఫంక్షన్ సిద్ధాంతపరంగా కనుగొనబడింది. ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది:
(16)
ఎక్కడ t 0 -పరమాణు ద్రవ్యరాశి.
వ్యక్తీకరణ (16) అంటారు మాక్స్వెల్ పంపిణీ ఫంక్షన్.
(16) నుండి పరమాణు వేగం పంపిణీ రకం వాయువు యొక్క స్వభావం (అణువు ద్రవ్యరాశి) మరియు ఉష్ణోగ్రతపై ఆధారపడి ఉంటుంది టి.ఒత్తిడి మరియు వాల్యూమ్ అణువుల వేగం పంపిణీని ప్రభావితం చేయవు.
Fig.3. మాక్స్వెల్ పంపిణీ ఫంక్షన్ గ్రాఫ్
మాక్స్వెల్ డిస్ట్రిబ్యూషన్ ఫంక్షన్ యొక్క స్కీమాటిక్ గ్రాఫ్ అంజీర్లో ఇవ్వబడింది. 3. గ్రాఫ్‌ని విశ్లేషిద్దాం.
1. సున్నాకి చేరుకునే వేగంతో (v ->0) మరియు అనంతం వరకు (v -> ∞) పంపిణీ ఫంక్షన్ కూడా సున్నాకి ఉంటుంది. దీని అర్థం చాలా పెద్ద మరియు అతి చిన్న పరమాణు వేగం అసంభవం.
2. వేగం vB,డిస్ట్రిబ్యూషన్ ఫంక్షన్ యొక్క గరిష్టానికి సంబంధించినది అత్యంత సంభావ్యమైనది. దీనర్థం మెజారిటీ అణువులు సంభావ్యతకు దగ్గరగా ఉన్న వేగాలను కలిగి ఉంటాయి.
మీరు అత్యంత సంభావ్య వేగాన్ని లెక్కించడానికి ఒక సూత్రాన్ని పొందవచ్చు:
(17)
ఎక్కడ కె — బోల్ట్జ్మాన్ యొక్క స్థిరాంకం; t 0 -పరమాణు ద్రవ్యరాశి.
3. సాధారణీకరణ స్థితి (15)కి అనుగుణంగా, వక్రరేఖ ద్వారా పరిమితం చేయబడిన ప్రాంతం f(v)మరియు x-అక్షం ఒకదానికి సమానం.
4. పంపిణీ వక్రరేఖ అసమానంగా ఉంటుంది. దీనర్థం అత్యంత సంభావ్యత కంటే ఎక్కువ వేగాలను కలిగి ఉన్న అణువుల భిన్నం అత్యంత సంభావ్య దాని కంటే తక్కువ వేగాలను కలిగి ఉన్న అణువుల భిన్నం కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది.
5. వక్రరేఖ యొక్క ఆకృతి వాయువు యొక్క ఉష్ణోగ్రత మరియు స్వభావంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. అంజీర్లో. మూర్తి 4 వేర్వేరు ఉష్ణోగ్రతల వద్ద ఒకే వాయువు పంపిణీ పనితీరును చూపుతుంది. వేడిచేసినప్పుడు, "వేగవంతమైన" అణువుల నిష్పత్తి పెరుగుతుంది మరియు "నెమ్మదిగా" అణువుల నిష్పత్తి తగ్గుతుంది కాబట్టి, గరిష్ట వక్రరేఖ తగ్గుతుంది మరియు కుడివైపుకి మారుతుంది. రెండు వక్రరేఖల క్రింద ఉన్న ప్రాంతం స్థిరంగా మరియు ఏకత్వానికి సమానంగా ఉంటుంది.
మాక్స్వెల్ స్థాపించిన పరమాణు వేగం పంపిణీ చట్టం మరియు దాని నుండి ఉత్పన్నమయ్యే పరిణామాలు సమతుల్య స్థితిలో ఉన్న వాయువుకు మాత్రమే చెల్లుతాయి. మాక్స్వెల్ నియమం గణాంకపరమైనది, ఇది పెద్ద సంఖ్యలో కణాలకు మాత్రమే వర్తించబడుతుంది
అన్నం. 4. వివిధ ఉష్ణోగ్రతల వద్ద మాక్స్వెల్ పంపిణీలు
మాక్స్వెల్ పంపిణీ ఫంక్షన్‌ని ఉపయోగించడం f(v), మీరు అణువుల స్థితిని వర్ణించే అనేక సగటు విలువలను కనుగొనవచ్చు.
అంకగణిత సగటు వేగం -అణువుల సంఖ్యతో విభజించబడిన అన్ని అణువుల వేగం మొత్తం:
. (18)
సగటు చదరపు వేగం,ఇది అణువుల యొక్క సగటు గతి శక్తిని నిర్ణయిస్తుంది (సూత్రం (10) చూడండి), నిర్వచనం ప్రకారం సమానం
<v HF> = 
(19)
ఉపన్యాసం 5
ఒకదానికొకటి (1 సెకనుకు ~ 10 9 ఘర్షణలు) మరియు ఓడ యొక్క గోడలతో గ్యాస్ అణువుల యొక్క అనేక ఘర్షణల ఫలితంగా, వేగం ద్వారా అణువుల యొక్క నిర్దిష్ట గణాంక పంపిణీ స్థాపించబడింది. ఈ సందర్భంలో, పరమాణు వేగం వెక్టర్స్ యొక్క అన్ని దిశలు సమానంగా సంభావ్యంగా మారతాయి మరియు వేగ మాడ్యూల్స్ మరియు కోఆర్డినేట్ అక్షాలపై వాటి అంచనాలు కొన్ని చట్టాలకు లోబడి ఉంటాయి.
ఘర్షణల సమయంలో, అణువుల వేగం యాదృచ్ఛికంగా మారుతుంది. ఘర్షణల శ్రేణిలోని అణువులలో ఒకటి ఇతర అణువుల నుండి శక్తిని పొందుతుందని మరియు దాని శక్తి ఇచ్చిన ఉష్ణోగ్రత వద్ద సగటు శక్తి విలువ కంటే గణనీయంగా ఎక్కువగా ఉంటుందని తేలింది. అటువంటి అణువు యొక్క వేగం ఎక్కువగా ఉంటుంది, కానీ అది ఇప్పటికీ పరిమిత విలువను కలిగి ఉంటుంది, ఎందుకంటే గరిష్ట సాధ్యమైన వేగం కాంతి వేగం - 3·10 8 m/s. పర్యవసానంగా, అణువు యొక్క వేగం సాధారణంగా 0 నుండి కొన్ని వరకు విలువలను కలిగి ఉంటుంది υ గరిష్టంగా సగటు విలువలతో పోలిస్తే చాలా ఎక్కువ వేగం చాలా తక్కువ అని వాదించవచ్చు.
సిద్ధాంతం మరియు ప్రయోగాలు చూపినట్లుగా, వేగం ద్వారా అణువుల పంపిణీ యాదృచ్ఛికమైనది కాదు, కానీ చాలా ఖచ్చితమైనది. ఇచ్చిన వేగానికి సమీపంలో నిర్దిష్ట విరామంలో ఉండే వేగాలను ఎన్ని అణువులు లేదా అణువులలో ఏ భాగం కలిగి ఉందో మనం నిర్ధారిద్దాం.
ఇచ్చిన గ్యాస్ ద్రవ్యరాశిని కలిగి ఉండనివ్వండి ఎన్అణువులు, అయితే dNనుండి అణువులు వేగాలను కలిగి ఉంటాయి υ ముందు υ +dυ. సహజంగానే ఇది అణువుల సంఖ్య dNమొత్తం అణువుల సంఖ్యకు అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది ఎన్మరియు పేర్కొన్న వేగ విరామం విలువ dυ
ఎక్కడ a- అనుపాత గుణకం.
అనేది కూడా స్పష్టంగానే ఉంది dNవేగం మీద ఆధారపడి ఉంటుంది υ , ఒకే పరిమాణంలో, కానీ వేగం యొక్క విభిన్న సంపూర్ణ విలువలతో, అణువుల సంఖ్య భిన్నంగా ఉంటుంది (ఉదాహరణ: 20 - 21 సంవత్సరాలు మరియు 99 - 100 సంవత్సరాల వయస్సులో నివసించే వ్యక్తుల సంఖ్యను సరిపోల్చండి). దీని అర్థం గుణకం aఫార్ములా (1)లో తప్పనిసరిగా వేగం యొక్క విధిగా ఉండాలి.
దీన్ని పరిగణనలోకి తీసుకొని, మేము (1) రూపంలో తిరిగి వ్రాస్తాము
(2)
(2) నుండి మనకు లభిస్తుంది
(3)
ఫంక్షన్ f(υ ) పంపిణీ ఫంక్షన్ అంటారు. దీని భౌతిక అర్ధం సూత్రం (3) నుండి అనుసరిస్తుంది
ఉంటే (4)
అందుకే, f(υ ) వేగానికి సమీపంలోని యూనిట్ వేగం విరామంలో వేగాలు ఉండే అణువుల సాపేక్ష భిన్నానికి సమానం υ . మరింత ఖచ్చితంగా, డిస్ట్రిబ్యూషన్ ఫంక్షన్ ఏదైనా గ్యాస్ అణువు యొక్క సంభావ్యత యొక్క అర్ధాన్ని కలిగి ఉంటుంది యూనిట్ విరామంసమీపంలో వేగం υ . అందుకే ఆమెను పిలుస్తున్నారు సంభావ్యత సాంద్రత.
0 నుండి మనం పొందే అన్ని వేగ విలువలపై (2) సమగ్రపరచడం
(5)
(5) నుండి అది అనుసరిస్తుంది
(6)
సమీకరణం (6) అంటారు సాధారణీకరణ పరిస్థితివిధులు. ఇది ఒక అణువు 0 నుండి స్పీడ్ విలువలలో ఒకదానిని కలిగి ఉండే సంభావ్యతను నిర్ణయిస్తుంది. అణువు యొక్క వేగం కొంత అర్థాన్ని కలిగి ఉంది: ఈ సంఘటన నమ్మదగినది మరియు దాని సంభావ్యత ఒకదానికి సమానం.
ఫంక్షన్ f(υ ) 1859లో మాక్స్వెల్ కనుగొన్నారు. ఆమెకు పేరు పెట్టారు మాక్స్వెల్ పంపిణీ:
(7)
ఎక్కడ ఎ- వేగంపై ఆధారపడని గుణకం, m- పరమాణు ద్రవ్యరాశి, టి- గ్యాస్ ఉష్ణోగ్రత. సాధారణీకరణ స్థితి (6)ని ఉపయోగించి మనం గుణకాన్ని గుర్తించవచ్చు ఎ:
ఈ సమగ్రతను తీసుకుంటే, మనకు లభిస్తుంది ఎ:
గుణకం పరిగణనలోకి తీసుకోవడం ఎమాక్స్‌వెల్ పంపిణీ ఫంక్షన్ ఈ రూపాన్ని కలిగి ఉంది:
(8)
పెరుగుతున్నప్పుడు υ (8)లోని కారకం అది పెరిగే దానికంటే వేగంగా మారుతుంది υ 2. అందువల్ల, పంపిణీ ఫంక్షన్ (8) మూలం వద్ద మొదలవుతుంది, ఒక నిర్దిష్ట వేగ విలువ వద్ద గరిష్టంగా చేరుకుంటుంది, ఆపై తగ్గుతుంది, అసింప్టోటిక్‌గా సున్నాకి చేరుకుంటుంది (Fig. 1).
చిత్రం 1. మాక్స్వెల్లియన్ అణువుల పంపిణీ
వేగం ద్వారా. టి 2 > టి 1
మాక్స్వెల్ డిస్ట్రిబ్యూషన్ కర్వ్‌ని ఉపయోగించి, మీరు ఇచ్చిన వేగం పరిధిలో వేగాలు ఉండే అణువుల సాపేక్ష సంఖ్యను గ్రాఫికల్‌గా కనుగొనవచ్చు υ ముందు dυ(Fig. 1, షేడెడ్ స్ట్రిప్ యొక్క ప్రాంతం).
సహజంగానే, కర్వ్ కింద ఉన్న మొత్తం ప్రాంతం మొత్తం అణువుల సంఖ్యను ఇస్తుంది ఎన్. సమీకరణం (2) నుండి, (8)ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, వేగాలు పరిధిలో ఉండే అణువుల సంఖ్యను మేము కనుగొంటాము υ ముందు dυ
(9)
(8) నుండి డిస్ట్రిబ్యూషన్ ఫంక్షన్ యొక్క నిర్దిష్ట రూపం గ్యాస్ రకం (అణువు యొక్క ద్రవ్యరాశి)పై ఆధారపడి ఉంటుందని కూడా స్పష్టంగా తెలుస్తుంది m) మరియు ఉష్ణోగ్రత మరియు వాయువు యొక్క పీడనం మరియు వాల్యూమ్ మీద ఆధారపడి ఉండదు.
ఒక వివిక్త వ్యవస్థను సమతౌల్యం నుండి తీసివేసి, దాని స్వంత పరికరాలకు వదిలివేస్తే, కొంత సమయం తర్వాత అది సమతౌల్య స్థితికి తిరిగి వస్తుంది. ఈ కాలాన్ని అంటారు సడలింపు సమయం. ఇది వేర్వేరు వ్యవస్థలకు భిన్నంగా ఉంటుంది. వాయువు సమతౌల్య స్థితిలో ఉన్నట్లయితే, వేగం ద్వారా అణువుల పంపిణీ కాలక్రమేణా మారదు. వ్యక్తిగత అణువుల వేగం నిరంతరం మారుతూ ఉంటుంది, కానీ అణువుల సంఖ్య dN, దీని వేగం పరిధిలో ఉంటుంది υ ముందు dυఅన్ని సమయాలలో స్థిరంగా ఉంటుంది.
వ్యవస్థ సమతౌల్య స్థితికి చేరుకున్నప్పుడు అణువుల యొక్క మాక్స్వెల్లియన్ వేగం పంపిణీ ఎల్లప్పుడూ స్థాపించబడుతుంది. గ్యాస్ అణువుల కదలిక అస్తవ్యస్తంగా ఉంటుంది. థర్మల్ మోషన్ యొక్క యాదృచ్ఛికత యొక్క ఖచ్చితమైన నిర్వచనం క్రింది విధంగా ఉంది: మాక్స్వెల్ ప్రకారం అణువుల వేగం పంపిణీ చేయబడితే అణువుల కదలిక పూర్తిగా అస్తవ్యస్తంగా ఉంటుంది. ఇది ఉష్ణోగ్రత సగటు గతి శక్తి ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది అవి అస్తవ్యస్తమైన కదలికలు. బలమైన గాలి వేగం ఎంత ఎక్కువగా ఉన్నా, అది "వేడి" చేయదు. బలమైన గాలి కూడా చల్లగా మరియు వెచ్చగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే వాయువు యొక్క ఉష్ణోగ్రత గాలి యొక్క దిశాత్మక వేగం ద్వారా కాదు, కానీ అణువుల అస్తవ్యస్తమైన కదలిక వేగం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది.
పంపిణీ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ నుండి (Fig. 1) అదే విరామాలలో వేగాలు ఉన్న అణువుల సంఖ్య d. υ , కానీ వివిధ వేగాల దగ్గర υ , వేగం ఉంటే మరింత υ ఫంక్షన్ యొక్క గరిష్ట స్థాయికి అనుగుణంగా ఉండే వేగాన్ని చేరుకుంటుంది f(υ ) ఈ వేగం υ n అత్యంత సంభావ్య (అత్యంత సంభావ్య) అంటారు.
(8)ని వేరు చేసి, ఉత్పన్నాన్ని సున్నాకి సమం చేద్దాం:
ఎందుకంటే 
,
చివరి సమానత్వం ఎప్పుడు సంతృప్తి చెందుతుంది:
(10)
సమీకరణం (10) సంతృప్తి చెందినప్పుడు:
మరియు 
మొదటి రెండు మూలాలు ఫంక్షన్ యొక్క కనీస విలువలకు అనుగుణంగా ఉంటాయి. అప్పుడు మేము షరతు నుండి పంపిణీ ఫంక్షన్ యొక్క గరిష్ట స్థాయికి అనుగుణంగా ఉన్న వేగాన్ని కనుగొంటాము:
చివరి సమీకరణం నుండి:
(11)
ఎక్కడ ఆర్- యూనివర్సల్ గ్యాస్ స్థిరాంకం, μ - మోలార్ మాస్.
(8) నుండి (11) పరిగణనలోకి తీసుకుంటే మేము పంపిణీ ఫంక్షన్ యొక్క గరిష్ట విలువను పొందవచ్చు
(12)
(11) మరియు (12) నుండి అది పెరుగుతూ ఉంటుంది టిలేదా తగ్గుతున్నప్పుడు mగరిష్ట వక్రత f(υ ) కుడివైపుకి మారుతుంది మరియు చిన్నదిగా మారుతుంది, కానీ వక్రరేఖ క్రింద ఉన్న ప్రాంతం స్థిరంగా ఉంటుంది (Fig. 1).
అనేక సమస్యలను పరిష్కరించడానికి, మాక్స్వెల్ పంపిణీని దాని తగ్గిన రూపంలో ఉపయోగించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది. సాపేక్ష వేగాన్ని పరిచయం చేద్దాం:
ఎక్కడ υ - ఇచ్చిన వేగం, υ n- అత్యంత సంభావ్య వేగం. దీన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, సమీకరణం (9) రూపాన్ని తీసుకుంటుంది:
(13)
(13) అనేది సార్వత్రిక సమీకరణం. ఈ రూపంలో, పంపిణీ ఫంక్షన్ గ్యాస్ లేదా ఉష్ణోగ్రత రకంపై ఆధారపడి ఉండదు.
వంపు f(υ ) అసమానంగా ఉంటుంది. గ్రాఫ్ (Fig. 1) నుండి చాలా అణువులు కంటే ఎక్కువ వేగం కలిగి ఉన్నాయని స్పష్టమవుతుంది υ n. వక్రరేఖ యొక్క అసమానత అంటే అణువుల యొక్క అంకగణిత సగటు వేగం సమానంగా ఉండదు υ n. అంకగణిత సగటు వేగం అన్ని అణువుల వేగం యొక్క మొత్తానికి వాటి సంఖ్యతో భాగించబడుతుంది:
(2) ప్రకారం దానిని పరిగణనలోకి తీసుకుందాం
(14)
(14) విలువలో ప్రత్యామ్నాయం f(υ ) నుండి (8) మేము అంకగణిత సగటు వేగాన్ని పొందుతాము:
(15)
అన్ని అణువుల వేగం యొక్క చతురస్రాల మొత్తం నిష్పత్తిని వాటి సంఖ్యకు లెక్కించడం ద్వారా అణువుల వేగం యొక్క సగటు చతురస్రం పొందబడుతుంది:
ప్రత్యామ్నాయం తర్వాత f(υ (8) నుండి మేము పొందుతాము:
చివరి వ్యక్తీకరణ నుండి మనం రూట్ మీన్ స్క్వేర్ స్పీడ్‌ని కనుగొంటాము:
(16)
(11), (15) మరియు (16) పోల్చి చూస్తే, మేము దానిని ముగించవచ్చు మరియు సమానంగా ఉష్ణోగ్రతపై ఆధారపడి ఉంటుంది మరియు సంఖ్యా విలువలలో మాత్రమే తేడా ఉంటుంది: (Fig. 2).
Fig.2. సంపూర్ణ వేగం విలువలపై మాక్స్వెల్ పంపిణీ
మాక్స్వెల్ పంపిణీ సమతౌల్య స్థితిలో ఉన్న వాయువులకు చెల్లుబాటు అవుతుంది; పరిశీలనలో ఉన్న అణువుల సంఖ్య తగినంత పెద్దదిగా ఉండాలి. తక్కువ సంఖ్యలో అణువుల కోసం, మాక్స్వెల్ పంపిణీ (ఒడిదుడుకులు) నుండి గణనీయమైన వ్యత్యాసాలను గమనించవచ్చు.
పరమాణు వేగాల యొక్క మొదటి ప్రయోగాత్మక నిర్ణయం ద్వారా నిర్వహించబడింది దృఢమైన 1920లో స్టెర్న్ యొక్క పరికరం వేర్వేరు రేడియాల రెండు సిలిండర్లను కలిగి ఉంటుంది, అదే అక్షం మీద అమర్చబడి ఉంటుంది. సిలిండర్ల నుండి గాలి లోతైన వాక్యూమ్‌కు పంప్ చేయబడింది. వెండి యొక్క పలుచని పొరతో పూసిన ప్లాటినం దారం అక్షం వెంట విస్తరించబడింది. ఫిలమెంట్ ద్వారా విద్యుత్ ప్రవాహాన్ని పంపినప్పుడు, అది అధిక ఉష్ణోగ్రత (~1200 o C)కి వేడి చేయబడుతుంది, ఇది వెండి అణువుల ఆవిరికి దారితీసింది.
లోపలి సిలిండర్ యొక్క గోడలో ఇరుకైన రేఖాంశ చీలిక చేయబడింది, దీని ద్వారా కదిలే వెండి అణువులు వెళతాయి. బయటి సిలిండర్ యొక్క అంతర్గత ఉపరితలంపై జమ చేయబడింది, అవి స్లాట్‌కు నేరుగా ఎదురుగా స్పష్టంగా కనిపించే సన్నని స్ట్రిప్‌ను ఏర్పరుస్తాయి.
సిలిండర్లు స్థిరమైన కోణీయ వేగం ω వద్ద తిరగడం ప్రారంభించాయి. ఇప్పుడు చీలిక గుండా వెళ్ళిన అణువులు చీలికకు నేరుగా ఎదురుగా స్థిరపడలేదు, కానీ కొంత దూరం ద్వారా స్థానభ్రంశం చెందాయి, ఎందుకంటే వాటి ఫ్లైట్ సమయంలో బయటి సిలిండర్ ఒక నిర్దిష్ట కోణం ద్వారా తిప్పడానికి సమయం ఉంది. సిలిండర్లు స్థిరమైన వేగంతో తిరిగినప్పుడు, బయటి సిలిండర్‌పై అణువుల ద్వారా ఏర్పడిన స్ట్రిప్ యొక్క స్థానం కొంత దూరం ద్వారా మార్చబడుతుంది. ఎల్.
ఇన్‌స్టాలేషన్ స్థిరంగా ఉన్నప్పుడు పార్టికల్స్ పాయింట్ 1 వద్ద స్థిరపడతాయి; ఇన్‌స్టాలేషన్ తిరిగినప్పుడు, కణాలు పాయింట్ 2 వద్ద స్థిరపడతాయి.
పొందిన వేగ విలువలు మాక్స్వెల్ సిద్ధాంతాన్ని నిర్ధారించాయి. అయినప్పటికీ, ఈ పద్ధతి అణువుల వేగం పంపిణీ యొక్క స్వభావం గురించి సుమారు సమాచారాన్ని అందించింది.
మాక్స్వెల్ పంపిణీ ప్రయోగాల ద్వారా మరింత ఖచ్చితంగా ధృవీకరించబడింది లామెర్ట్, ఈస్టర్‌మాన్, ఎల్‌డ్రిడ్జ్ మరియు కోస్టా. ఈ ప్రయోగాలు మాక్స్వెల్ సిద్ధాంతాన్ని చాలా ఖచ్చితంగా నిర్ధారించాయి.
పుంజంలోని పాదరసం పరమాణువుల వేగం యొక్క ప్రత్యక్ష కొలతలు 1929లో జరిగాయి. లామెర్ట్. ఈ ప్రయోగం యొక్క సరళీకృత రేఖాచిత్రం అంజీర్లో చూపబడింది. 3.
Fig.3. లామెర్ట్ యొక్క ప్రయోగం యొక్క రేఖాచిత్రం
1 - వేగంగా తిరిగే డిస్క్‌లు, 2 - ఇరుకైన చీలికలు, 3 - ఓవెన్, 4 - కొలిమేటర్, 5 - అణువుల పథం, 6 - డిటెక్టర్
రెండు డిస్క్‌లు 1, ఒక సాధారణ అక్షం మీద అమర్చబడి, రేడియల్ స్లాట్‌లు 2 కలిగి, ఒక కోణంలో ఒకదానికొకటి సాపేక్షంగా మారాయి φ . స్లాట్‌లకు ఎదురుగా ఫర్నేస్ 3 ఉంది, దీనిలో ఫ్యూసిబుల్ మెటల్ అధిక ఉష్ణోగ్రతకు వేడి చేయబడుతుంది. వేడిచేసిన లోహ పరమాణువులు, ఈ సందర్భంలో పాదరసం, కొలిమి నుండి బయటకు వెళ్లి, కొలిమేటర్ 4ని ఉపయోగించి, అవసరమైన దిశలో మళ్ళించబడ్డాయి. కొలిమేటర్‌లో రెండు స్లిట్‌లు ఉండటం వల్ల డిస్క్‌ల మధ్య రేణువుల కదలిక నేరుగా మార్గం 5. తర్వాత, డిస్క్‌లలోని చీలికల గుండా వెళ్లే పరమాణువులు డిటెక్టర్‌ని ఉపయోగించి రికార్డ్ చేయబడ్డాయి 6. మొత్తం వివరించిన ఇన్‌స్టాలేషన్ లోతైన వాక్యూమ్‌లో ఉంచబడింది. .
డిస్క్‌లు స్థిరమైన కోణీయ వేగం ωతో తిరిగినప్పుడు, నిర్దిష్ట వేగంతో ఉండే పరమాణువులు మాత్రమే వాటి చీలికల గుండా స్వేచ్ఛగా వెళతాయి. υ . రెండు చీలికల గుండా వెళ్ళే పరమాణువుల కోసం సమానత్వం తప్పనిసరిగా సంతృప్తి చెందాలి:
ఎక్కడ Δ t 1 - డిస్కుల మధ్య అణువుల విమాన సమయం, Δ t 2 - ఒక కోణంలో డిస్కులను తిప్పడానికి సమయం φ . అప్పుడు:
డిస్కుల భ్రమణ కోణీయ వేగాన్ని మార్చడం ద్వారా, పుంజం నుండి నిర్దిష్ట వేగంతో అణువులను వేరుచేయడం సాధ్యమైంది. υ , మరియు డిటెక్టర్ రికార్డ్ చేసిన తీవ్రత నుండి, బీమ్‌లోని వాటి సంబంధిత కంటెంట్‌ను నిర్ధారించండి.
ఈ విధంగా, మాక్స్వెల్ యొక్క పరమాణు వేగం పంపిణీ నియమాన్ని ప్రయోగాత్మకంగా ధృవీకరించడం సాధ్యమైంది.