త్రికోణమితి యొక్క ప్రాథమిక సూత్రాల పరిజ్ఞానం అవసరం - సైన్ మరియు కొసైన్ యొక్క స్క్వేర్‌ల మొత్తం, సైన్ మరియు కొసైన్ ద్వారా టాంజెంట్ యొక్క వ్యక్తీకరణ మరియు ఇతరాలు. వాటిని మరచిపోయిన లేదా వారికి తెలియని వారికి, "" కథనాన్ని చదవమని మేము సిఫార్సు చేస్తున్నాము.
కాబట్టి, ప్రాథమిక త్రికోణమితి సూత్రాలు మాకు తెలుసు, వాటిని ఆచరణలో ఉపయోగించాల్సిన సమయం ఇది. త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడంసరైన విధానంతో, ఇది చాలా ఉత్తేజకరమైన చర్య, ఉదాహరణకు, రూబిక్స్ క్యూబ్‌ను పరిష్కరించడం.
పేరు ఆధారంగా, త్రికోణమితి సమీకరణం అనేది ఒక సమీకరణం, దీనిలో తెలియనిది త్రికోణమితి ఫంక్షన్ యొక్క సంకేతంలో ఉంటుంది.
సరళమైన త్రికోణమితి సమీకరణాలు అని పిలవబడేవి ఉన్నాయి. అవి ఎలా ఉంటాయో ఇక్కడ ఉంది: sinx = a, cos x = a, tan x = a. పరిగణలోకి తీసుకుందాం అటువంటి త్రికోణమితి సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలి, స్పష్టత కోసం మేము ఇప్పటికే తెలిసిన త్రికోణమితి వృత్తాన్ని ఉపయోగిస్తాము.
sinx = a
cos x = a
టాన్ x = ఎ
మంచం x = a
ఏదైనా త్రికోణమితి సమీకరణం రెండు దశల్లో పరిష్కరించబడుతుంది: మేము సమీకరణాన్ని దాని సరళమైన రూపానికి తగ్గించి, ఆపై దానిని సాధారణ త్రికోణమితి సమీకరణంగా పరిష్కరిస్తాము.
త్రికోణమితి సమీకరణాలు పరిష్కరించబడే 7 ప్రధాన పద్ధతులు ఉన్నాయి.
వేరియబుల్ ప్రత్యామ్నాయం మరియు ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతి
కారకం ద్వారా త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడం
సజాతీయ సమీకరణానికి తగ్గింపు
సగం కోణానికి పరివర్తన ద్వారా సమీకరణాలను పరిష్కరించడం
సహాయక కోణం పరిచయం
2cos 2 (x + /6) – 3sin(/3 – x) +1 = 0 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి
తగ్గింపు సూత్రాలను ఉపయోగించి మేము పొందుతాము:
2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0
సాధారణ వర్గ సమీకరణాన్ని సులభతరం చేయడానికి మరియు పొందేందుకు cos(x + /6)ని yతో భర్తీ చేయండి:
2y 2 – 3y + 1 + 0
దీని మూలాలు y 1 = 1, y 2 = 1/2
ఇప్పుడు రివర్స్ క్రమంలో వెళ్దాం
మేము y యొక్క కనుగొన్న విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము మరియు రెండు సమాధాన ఎంపికలను పొందుతాము:
sin x + cos x = 1 సమీకరణాన్ని ఎలా పరిష్కరించాలి?
అన్నింటినీ ఎడమవైపుకు తరలిద్దాం, తద్వారా 0 కుడివైపున ఉంటుంది:
sin x + cos x – 1 = 0
సమీకరణాన్ని సులభతరం చేయడానికి పైన చర్చించిన గుర్తింపులను ఉపయోగించుకుందాం:
sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0
కారకం చేద్దాం:
2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0
2sin(x/2) * = 0
మనకు రెండు సమీకరణాలు వస్తాయి
ఒక సమీకరణం సైన్ మరియు కొసైన్‌లకు సంబంధించి సజాతీయంగా ఉంటుంది, దాని అన్ని పదాలు ఒకే కోణం యొక్క అదే డిగ్రీ యొక్క సైన్ మరియు కొసైన్‌కు సంబంధించి ఉంటే. సజాతీయ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి, ఈ క్రింది విధంగా కొనసాగండి:
ఎ) దాని సభ్యులందరినీ ఎడమ వైపుకు బదిలీ చేయండి;
బి) బ్రాకెట్ల నుండి అన్ని సాధారణ కారకాలను తీసుకోండి;
సి) అన్ని కారకాలు మరియు బ్రాకెట్లను 0కి సమం చేయండి;
d) తక్కువ డిగ్రీ యొక్క సజాతీయ సమీకరణం బ్రాకెట్లలో పొందబడుతుంది, ఇది అధిక డిగ్రీ యొక్క సైన్ లేదా కొసైన్‌గా విభజించబడింది;
ఇ) tg కోసం ఫలిత సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.
3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి
ఫార్ములా sin 2 x + cos 2 x = 1ని ఉపయోగిస్తాము మరియు కుడి వైపున ఉన్న ఓపెన్ టూని వదిలించుకుందాం:
3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x
sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0
cos x ద్వారా భాగించండి:
tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0
tan xని yతో భర్తీ చేయండి మరియు వర్గ సమీకరణాన్ని పొందండి:
y 2 + 4y +3 = 0, దీని మూలాలు y 1 =1, y 2 = 3
ఇక్కడ నుండి మనం అసలు సమీకరణానికి రెండు పరిష్కారాలను కనుగొంటాము:
x 2 = ఆర్క్టాన్ 3 + కె
3sin x – 5cos x = 7 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి
x/2కి వెళ్దాం:
6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)
అన్నింటినీ ఎడమవైపుకు తరలిద్దాం:
2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0
cos(x/2) ద్వారా భాగించండి:
tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0
పరిశీలన కోసం, ఫారమ్ యొక్క సమీకరణాన్ని తీసుకుందాం: a sin x + b cos x = c,
ఇక్కడ a, b, c కొన్ని ఏకపక్ష గుణకాలు, మరియు x అనేది తెలియనిది.
సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా విభజించండి:
ఇప్పుడు సమీకరణం యొక్క గుణకాలు, త్రికోణమితి సూత్రాల ప్రకారం, సిన్ మరియు కాస్ లక్షణాలను కలిగి ఉంటాయి, అవి: వాటి మాడ్యులస్ 1 కంటే ఎక్కువ కాదు మరియు చతురస్రాల మొత్తం = 1. వాటిని వరుసగా cos మరియు sin అని సూచిస్తాము, ఇక్కడ - ఇది అని పిలవబడే సహాయక కోణం. అప్పుడు సమీకరణం రూపం తీసుకుంటుంది:
cos * sin x + sin * cos x = C
లేదా sin(x + ) = C
ఈ సరళమైన త్రికోణమితి సమీకరణానికి పరిష్కారం
x = (-1) k * arcsin C - + k, ఎక్కడ
cos మరియు sin అనే సంజ్ఞామానాలు పరస్పరం మార్చుకోగలవని గమనించాలి.
సిన్ 3x – cos 3x = 1 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి
ఈ సమీకరణంలోని గుణకాలు:
a = , b = -1, కాబట్టి రెండు వైపులా = 2 ద్వారా విభజించండి
అనేకం పరిష్కరించేటప్పుడు గణిత సమస్యలు, ముఖ్యంగా గ్రేడ్ 10కి ముందు జరిగేవి, లక్ష్యానికి దారితీసే చర్యల క్రమం స్పష్టంగా నిర్వచించబడింది. ఇటువంటి సమస్యలలో, ఉదాహరణకు, సరళ మరియు వర్గ సమీకరణాలు, సరళ మరియు వర్గ అసమానతలు, పాక్షిక సమీకరణాలు మరియు చతురస్రాకారానికి తగ్గించే సమీకరణాలు ఉన్నాయి. పేర్కొన్న ప్రతి సమస్యలను విజయవంతంగా పరిష్కరించే సూత్రం క్రింది విధంగా ఉంది: మీరు ఏ రకమైన సమస్యను పరిష్కరిస్తున్నారో మీరు స్థాపించాలి, కావలసిన ఫలితానికి దారితీసే చర్యల యొక్క అవసరమైన క్రమాన్ని గుర్తుంచుకోండి, అనగా. సమాధానం ఇవ్వండి మరియు ఈ దశలను అనుసరించండి.
ఒక నిర్దిష్ట సమస్యను పరిష్కరించడంలో విజయం లేదా వైఫల్యం ప్రధానంగా పరిష్కరించబడుతున్న సమీకరణం యొక్క రకాన్ని ఎంత సరిగ్గా నిర్ణయించింది, దాని పరిష్కారం యొక్క అన్ని దశల క్రమం ఎంత సరిగ్గా పునరుత్పత్తి చేయబడుతుందనే దానిపై ఆధారపడి ఉంటుంది. వాస్తవానికి, ఈ సందర్భంలో ఒకే విధమైన పరివర్తనలు మరియు గణనలను నిర్వహించడానికి నైపుణ్యాలను కలిగి ఉండటం అవసరం.
తో పరిస్థితి భిన్నంగా ఉంది త్రికోణమితి సమీకరణాలు.సమీకరణం త్రికోణమితి అనే వాస్తవాన్ని స్థాపించడం అస్సలు కష్టం కాదు. సరైన సమాధానానికి దారితీసే చర్యల క్రమాన్ని నిర్ణయించడంలో ఇబ్బందులు తలెత్తుతాయి.
సమీకరణం యొక్క రూపాన్ని బట్టి దాని రకాన్ని గుర్తించడం కొన్నిసార్లు కష్టం. మరియు సమీకరణం యొక్క రకాన్ని తెలియకుండా, అనేక డజన్ల త్రికోణమితి సూత్రాల నుండి సరైనదాన్ని ఎంచుకోవడం దాదాపు అసాధ్యం.
త్రికోణమితి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి, మీరు ప్రయత్నించాలి:
1. సమీకరణంలో చేర్చబడిన అన్ని విధులను "అదే కోణాలకు" తీసుకురండి;
2. సమీకరణాన్ని "ఒకేలా విధులు"కి తీసుకురండి;
3. సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు కారకం, మొదలైనవి.
పరిగణలోకి తీసుకుందాం త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ప్రాథమిక పద్ధతులు.
I. సరళమైన త్రికోణమితి సమీకరణాలకు తగ్గింపు
పరిష్కార రేఖాచిత్రం
దశ 1.తెలిసిన భాగాల పరంగా త్రికోణమితి విధిని వ్యక్తపరచండి.
దశ 2.సూత్రాలను ఉపయోగించి ఫంక్షన్ వాదనను కనుగొనండి:
cos x = a; x = ± ఆర్కోస్ a + 2πn, n ЄZ.
పాపం x = a; x = (-1) n ఆర్క్సిన్ a + πn, n Є Z.
తాన్ x = a; x = ఆర్క్టాన్ a + πn, n Є Z.
ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.
దశ 3.తెలియని వేరియబుల్‌ను కనుగొనండి.
ఉదాహరణ.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
పరిష్కారం.
1) cos(3x – π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
సమాధానం: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
II. వేరియబుల్ భర్తీ
పరిష్కార రేఖాచిత్రం
దశ 1.త్రికోణమితి ఫంక్షన్లలో ఒకదానికి సంబంధించి సమీకరణాన్ని బీజగణిత రూపానికి తగ్గించండి.
దశ 2.వేరియబుల్ t ద్వారా ఫలిత ఫంక్షన్‌ను సూచించండి (అవసరమైతే, tపై పరిమితులను ప్రవేశపెట్టండి).
దశ 3.ఫలితంగా వచ్చే బీజగణిత సమీకరణాన్ని వ్రాసి పరిష్కరించండి.
దశ 4.రివర్స్ రీప్లేస్‌మెంట్ చేయండి.
దశ 5.సరళమైన త్రికోణమితి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.
ఉదాహరణ.
2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.
పరిష్కారం.
1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;
2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.
2) పాపం (x/2) = t, ఎక్కడ |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 లేదా e = -3/2, షరతు |t|ని సంతృప్తిపరచదు ≤ 1.
4) పాపం(x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z.
సమాధానం: x = π + 4πn, n Є Z.
III. సమీకరణ క్రమం తగ్గింపు పద్ధతి
పరిష్కార రేఖాచిత్రం
దశ 1.డిగ్రీని తగ్గించడానికి సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, ఈ సమీకరణాన్ని సరళమైన దానితో భర్తీ చేయండి:
sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);
cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);
tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).
దశ 2. I మరియు II పద్ధతులను ఉపయోగించి ఫలిత సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.
ఉదాహరణ.
cos 2x + cos 2 x = 5/4.
పరిష్కారం.
1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;
3/2 cos 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;
x = ±π/6 + πn, n Є Z.
సమాధానం: x = ±π/6 + πn, n Є Z.
IV. సజాతీయ సమీకరణాలు
పరిష్కార రేఖాచిత్రం
దశ 1.ఈ సమీకరణాన్ని ఫారమ్‌కి తగ్గించండి
a) a sin x + b cos x = 0 (మొదటి డిగ్రీ యొక్క సజాతీయ సమీకరణం)
లేదా వీక్షణకు
బి) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (రెండవ డిగ్రీ యొక్క సజాతీయ సమీకరణం).
దశ 2.సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా విభజించండి
a) cos x ≠ 0;
బి) cos 2 x ≠ 0;
మరియు tan x కోసం సమీకరణాన్ని పొందండి:
a) a tan x + b = 0;
బి) a tan 2 x + b ఆర్క్టాన్ x + c = 0.
దశ 3.తెలిసిన పద్ధతులను ఉపయోగించి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.
ఉదాహరణ.
5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.
పరిష్కారం.
1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.
3) tg x = t, ఆపై
t 2 + 3t - 4 = 0;
t = 1 లేదా t = -4, అంటే
tg x = 1 లేదా tg x = -4.
మొదటి సమీకరణం నుండి x = π/4 + πn, n Є Z; రెండవ సమీకరణం x = -arctg 4 + నుండి πk, k Є Z.
సమాధానం: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
V. త్రికోణమితి సూత్రాలను ఉపయోగించి సమీకరణాన్ని మార్చే విధానం
పరిష్కార రేఖాచిత్రం
దశ 1.సాధ్యమయ్యే అన్ని త్రికోణమితి సూత్రాలను ఉపయోగించి, ఈ సమీకరణాన్ని I, II, III, IV పద్ధతుల ద్వారా పరిష్కరించబడిన సమీకరణంగా తగ్గించండి.
దశ 2.తెలిసిన పద్ధతులను ఉపయోగించి ఫలిత సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.
ఉదాహరణ.
sin x + sin 2x + sin 3x = 0.
పరిష్కారం.
1) (పాపం x + పాపం 3x) + పాపం 2x = 0;
2sin 2x cos x + sin 2x = 0.
2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 లేదా 2cos x + 1 = 0;
మొదటి సమీకరణం నుండి 2x = π/2 + πn, n Є Z; రెండవ సమీకరణం cos x = -1/2 నుండి.
మనకు x = π/4 + πn/2, n Є Z; రెండవ సమీకరణం నుండి x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.
ఫలితంగా, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
సమాధానం: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించగల సామర్థ్యం మరియు నైపుణ్యం చాలా ఎక్కువ 
ముఖ్యమైనది, వారి అభివృద్ధికి విద్యార్ధి వైపు నుండి మరియు ఉపాధ్యాయుని వైపు నుండి గణనీయమైన కృషి అవసరం.
స్టీరియోమెట్రీ, ఫిజిక్స్ మొదలైన అనేక సమస్యలు త్రికోణమితి సమీకరణాల పరిష్కారంతో ముడిపడి ఉన్నాయి.అటువంటి సమస్యలను పరిష్కరించే ప్రక్రియ త్రికోణమితి యొక్క మూలకాలను అధ్యయనం చేయడం ద్వారా పొందిన అనేక జ్ఞానం మరియు నైపుణ్యాలను కలిగి ఉంటుంది.
సాధారణంగా గణితం మరియు వ్యక్తిగత అభివృద్ధి నేర్చుకునే ప్రక్రియలో త్రికోణమితి సమీకరణాలు ముఖ్యమైన స్థానాన్ని ఆక్రమిస్తాయి.
ఇంకా ప్రశ్నలు ఉన్నాయా? త్రికోణమితి సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలో తెలియదా?
ట్యూటర్ నుండి సహాయం పొందడానికి, నమోదు చేసుకోండి.
మొదటి పాఠం ఉచితం!
వెబ్‌సైట్, మెటీరియల్‌ని పూర్తిగా లేదా పాక్షికంగా కాపీ చేస్తున్నప్పుడు, మూలానికి లింక్ అవసరం.
త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి పద్ధతులు
పరిచయం 2
త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించే పద్ధతులు 5
బీజగణితం 5
అదే పేరుతో ఉన్న త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల సమానత్వం యొక్క పరిస్థితిని ఉపయోగించి సమీకరణాలను పరిష్కరించడం 7
కారకం 8
సజాతీయ సమీకరణానికి తగ్గింపు 10
సహాయక కోణం పరిచయం 11
ఉత్పత్తిని మొత్తం 14కి మార్చండి
సార్వత్రిక ప్రత్యామ్నాయం 14
ముగింపు 17
పరిచయం
పదవ తరగతి వరకు, లక్ష్యానికి దారితీసే అనేక వ్యాయామాల చర్యల క్రమం, ఒక నియమం వలె, స్పష్టంగా నిర్వచించబడింది. ఉదాహరణకు, సరళ మరియు వర్గ సమీకరణాలు మరియు అసమానతలు, పాక్షిక సమీకరణాలు మరియు చతురస్రాకారానికి తగ్గించదగిన సమీకరణాలు మొదలైనవి. పేర్కొన్న ప్రతి ఉదాహరణలను పరిష్కరించే సూత్రాన్ని వివరంగా పరిశీలించకుండా, వాటి విజయవంతమైన పరిష్కారానికి అవసరమైన సాధారణ విషయాలను మేము గమనించాము.
చాలా సందర్భాలలో, మీరు పని ఏ రకమైన పనిని స్థాపించాలి, లక్ష్యానికి దారితీసే చర్యల క్రమాన్ని గుర్తుంచుకోండి మరియు ఈ చర్యలను చేయండి. సహజంగానే, సమీకరణాలను పరిష్కరించడంలో నైపుణ్యం సాధించడంలో విద్యార్థి యొక్క విజయం లేదా వైఫల్యం ప్రధానంగా అతను సమీకరణ రకాన్ని సరిగ్గా నిర్ణయించగలడు మరియు దాని పరిష్కారం యొక్క అన్ని దశల క్రమాన్ని గుర్తుంచుకోగలడు అనే దానిపై ఆధారపడి ఉంటుంది. వాస్తవానికి, విద్యార్థికి ఒకే విధమైన పరివర్తనలు మరియు గణనలను నిర్వహించడానికి నైపుణ్యాలు ఉన్నాయని భావించబడుతుంది.
పాఠశాల విద్యార్థి త్రికోణమితి సమీకరణాలను ఎదుర్కొన్నప్పుడు పూర్తిగా భిన్నమైన పరిస్థితి తలెత్తుతుంది. అంతేకాక, సమీకరణం త్రికోణమితి అనే వాస్తవాన్ని స్థాపించడం కష్టం కాదు. సానుకూల ఫలితానికి దారితీసే చర్యను కనుగొనడంలో ఇబ్బందులు తలెత్తుతాయి. మరియు ఇక్కడ విద్యార్థి రెండు సమస్యలను ఎదుర్కొంటాడు. సమీకరణం యొక్క రూపాన్ని బట్టి రకాన్ని నిర్ణయించడం కష్టం. మరియు రకాన్ని తెలియకుండా, అందుబాటులో ఉన్న అనేక డజన్ల నుండి కావలసిన సూత్రాన్ని ఎంచుకోవడం దాదాపు అసాధ్యం.
త్రికోణమితి సమీకరణాల సంక్లిష్ట చిట్టడవి ద్వారా విద్యార్థులు తమ మార్గాన్ని కనుగొనడంలో సహాయపడటానికి, కొత్త వేరియబుల్‌ను ప్రవేశపెట్టినప్పుడు వర్గ సమీకరణాలకు తగ్గించబడే సమీకరణాలను వారు మొదట పరిచయం చేస్తారు. అప్పుడు అవి సజాతీయ సమీకరణాలను మరియు వాటికి తగ్గించదగిన వాటిని పరిష్కరిస్తాయి. ప్రతిదీ ఒక నియమం వలె, సమీకరణాలతో ముగుస్తుంది, దానిని పరిష్కరించడానికి ఎడమ వైపు కారకం అవసరం, ఆపై ప్రతి కారకాన్ని సున్నాకి సమం చేస్తుంది.
పాఠాలలో చర్చించిన డజనున్నర సమీకరణాలు విద్యార్థిని త్రికోణమితి "సముద్రం" ద్వారా స్వతంత్ర ప్రయాణంలో అమర్చడానికి స్పష్టంగా సరిపోవని గ్రహించి, ఉపాధ్యాయుడు తన స్వంత మరికొన్ని సిఫార్సులను జతచేస్తాడు.
త్రికోణమితి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి, మీరు ప్రయత్నించాలి:
సమీకరణంలో చేర్చబడిన అన్ని విధులను "అదే కోణాలకు" తీసుకురండి;
సమీకరణాన్ని "ఒకేలా విధులు"కి తగ్గించండి;
సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు కారకం మొదలైనవి.
త్రికోణమితి సమీకరణాల యొక్క ప్రాథమిక రకాలు మరియు వాటి పరిష్కారాలను కనుగొనడానికి అనేక సూత్రాలు తెలిసినప్పటికీ, చాలా మంది విద్యార్థులు ఇప్పటికీ ప్రతి సమీకరణం ద్వారా తమను తాము ముందు పరిష్కరించిన వాటి కంటే కొంచెం భిన్నంగా ఉంటారు. ఈ లేదా ఆ సమీకరణాన్ని కలిగి ఉన్నప్పుడు దేని కోసం ప్రయత్నించాలి అనేది అస్పష్టంగానే ఉంది, ఒక సందర్భంలో డబుల్ యాంగిల్ సూత్రాలను ఎందుకు ఉపయోగించాలి, మరొకటి - సగం కోణం మరియు మూడవది - అదనపు సూత్రాలు మొదలైనవి.
నిర్వచనం 1.త్రికోణమితి సమీకరణం అనేది ఒక సమీకరణం, దీనిలో తెలియనిది త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల సంకేతంలో ఉంటుంది.
నిర్వచనం 2.త్రికోణమితి సమీకరణం దానిలో చేర్చబడిన అన్ని త్రికోణమితి విధులు సమాన ఆర్గ్యుమెంట్‌లను కలిగి ఉంటే దానికి సమాన కోణాలు ఉంటాయి. త్రికోణమితి సమీకరణం త్రికోణమితి ఫంక్షన్లలో ఒకదానిని మాత్రమే కలిగి ఉంటే ఒకే విధమైన విధులను కలిగి ఉంటుంది.
నిర్వచనం 3.త్రికోణమితి ఫంక్షన్లను కలిగి ఉన్న మోనోమియల్ యొక్క శక్తి దానిలో చేర్చబడిన త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల శక్తుల యొక్క ఘాతాంకాల మొత్తం.
నిర్వచనం 4.సమీకరణంలో చేర్చబడిన అన్ని మోనోమియల్‌లు ఒకే డిగ్రీని కలిగి ఉంటే సజాతీయత అంటారు. ఈ డిగ్రీని సమీకరణ క్రమం అంటారు.
నిర్వచనం 5.విధులను మాత్రమే కలిగి ఉన్న త్రికోణమితి సమీకరణం పాపంమరియు కాస్, త్రికోణమితి ఫంక్షన్‌లకు సంబంధించి అన్ని మోనోమియల్‌లు ఒకే డిగ్రీని కలిగి ఉంటే, మరియు త్రికోణమితి విధులు సమాన కోణాలను కలిగి ఉంటే మరియు మోనోమియల్‌ల సంఖ్య సమీకరణ క్రమం కంటే 1 ఎక్కువగా ఉంటే సజాతీయంగా పిలువబడుతుంది.
త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి పద్ధతులు.
త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడం రెండు దశలను కలిగి ఉంటుంది: సమీకరణాన్ని దాని సరళమైన రూపాన్ని పొందేలా మార్చడం మరియు ఫలితంగా సరళమైన త్రికోణమితి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం. త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ఏడు ప్రాథమిక పద్ధతులు ఉన్నాయి.
I. బీజగణిత పద్ధతి.ఈ పద్ధతి బీజగణితం నుండి బాగా తెలుసు. (వేరియబుల్ రీప్లేస్‌మెంట్ మరియు ప్రత్యామ్నాయం యొక్క పద్ధతి).
సమీకరణాలను పరిష్కరించండి.
1)
సంజ్ఞామానాన్ని పరిచయం చేద్దాం x=2 పాపం3 t, మాకు దొరికింది
ఈ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తే, మనకు లభిస్తుంది: 
లేదా 
ఆ. రాసుకోవచ్చు
సంకేతాల ఉనికి కారణంగా ఫలిత పరిష్కారాన్ని రికార్డ్ చేసినప్పుడు 
డిగ్రీ 
దానిని వ్రాయడంలో అర్థం లేదు.
సమాధానం: 
సూచిస్తాం 
మనకు చతుర్భుజ సమీకరణం వస్తుంది 
. దాని మూలాలు సంఖ్యలు 
మరియు 
. కాబట్టి, ఈ సమీకరణం సరళమైన త్రికోణమితి సమీకరణాలకు తగ్గుతుంది 
మరియు 
. వాటిని పరిష్కరించడం, మేము దానిని కనుగొంటాము 
లేదా 
.
సమాధానం: 
; 
.
సూచిస్తాం 
పరిస్థితిని సంతృప్తిపరచదు 
అర్థం 
సమాధానం: 
సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపును మారుద్దాం:
కాబట్టి, ఈ ప్రారంభ సమీకరణాన్ని ఇలా వ్రాయవచ్చు:
, అనగా
నియమించబడినది 
, మాకు దొరికింది 
ఈ చతురస్రాకార సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం మనకు ఉంది:
పరిస్థితిని సంతృప్తిపరచదు 
మేము అసలు సమీకరణానికి పరిష్కారాన్ని వ్రాస్తాము:
సమాధానం: 
ప్రత్యామ్నాయం 
ఈ సమీకరణాన్ని వర్గ సమీకరణంగా తగ్గిస్తుంది 
. దాని మూలాలు సంఖ్యలు 
మరియు 
. ఎందుకంటే 
, అప్పుడు ఇచ్చిన సమీకరణానికి మూలాలు లేవు.
సమాధానం: మూలాలు లేవు.
II. అదే పేరుతో త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల సమానత్వం యొక్క పరిస్థితిని ఉపయోగించి సమీకరణాలను పరిష్కరించడం.
ఎ) 
, ఉంటే
బి) 
, ఉంటే
V) 
, ఉంటే 
ఈ పరిస్థితులను ఉపయోగించి, కింది సమీకరణాలను పరిష్కరించడాన్ని పరిగణించండి:
6) 
పార్ట్‌లో చెప్పబడిన వాటిని ఉపయోగించి a) సమీకరణానికి పరిష్కారం ఉంటే మరియు ఉంటే మాత్రమే ఉందని మేము కనుగొంటాము 
.
ఈ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తూ, మేము కనుగొంటాము 
.
మాకు రెండు సమూహాల పరిష్కారాలు ఉన్నాయి: 
.
7) సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి: 
.
అంశం యొక్క స్థితిని ఉపయోగించి b) మేము దానిని తీసివేస్తాము 
.
ఈ చతురస్రాకార సమీకరణాలను పరిష్కరిస్తే, మనకు లభిస్తుంది:
.
8) సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి 
.
ఈ సమీకరణం నుండి మనం దానిని తీసివేస్తాము. ఈ చతురస్రాకార సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం, మేము దానిని కనుగొంటాము 
.
III. కారకం.
మేము ఈ పద్ధతిని ఉదాహరణలతో పరిశీలిస్తాము.
9) సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి 
.
పరిష్కారం. సమీకరణం యొక్క అన్ని నిబంధనలను ఎడమవైపుకు తరలిద్దాం: .
సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున వ్యక్తీకరణను రూపాంతరం చేసి, కారకం చేద్దాం: 
.
.
.
1)
2) 
ఎందుకంటే 
మరియు 
సున్నా విలువను అంగీకరించవద్దు
అదే సమయంలో, మేము రెండు భాగాలను విభజిస్తాము
కోసం సమీకరణాలు 
, 
సమాధానం: 
10) సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి:
పరిష్కారం.
లేదా 
సమాధానం: 
11) సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి
పరిష్కారం:
1)
2)
3)
, 
సమాధానం: 
IV. సజాతీయ సమీకరణానికి తగ్గింపు.
సజాతీయ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి మీకు ఇది అవసరం:
దాని సభ్యులందరినీ ఎడమ వైపుకు తరలించండి;
బ్రాకెట్ల నుండి అన్ని సాధారణ కారకాలను ఉంచండి;
అన్ని కారకాలు మరియు బ్రాకెట్లను సున్నాకి సమం చేయండి;
సున్నాకి సమానమైన బ్రాకెట్‌లు తక్కువ డిగ్రీ యొక్క సజాతీయ సమీకరణాన్ని అందిస్తాయి, వీటిని విభజించాలి 
(లేదా 
) సీనియర్ డిగ్రీలో;
ఫలితంగా వచ్చే బీజగణిత సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి 
.
ఉదాహరణలను చూద్దాం:
12) సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి:
పరిష్కారం.
సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా విభజిద్దాము 
, 
హోదాలను పరిచయం చేస్తోంది 
, పేరు
ఈ సమీకరణం యొక్క మూలాలు: 
అందుకే 1) 
2) 
సమాధానం: 
13) సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి:
పరిష్కారం. డబుల్ యాంగిల్ ఫార్ములాలు మరియు ప్రాథమిక త్రికోణమితి గుర్తింపును ఉపయోగించి, మేము ఈ సమీకరణాన్ని సగం ఆర్గ్యుమెంట్‌కి తగ్గిస్తాము:
సారూప్య నిబంధనలను తగ్గించిన తర్వాత మనకు ఇవి ఉన్నాయి:
సజాతీయ చివరి సమీకరణాన్ని విభజించడం 
, మాకు దొరికింది
నేను సూచిస్తాను 
, మేము ఒక వర్గ సమీకరణాన్ని పొందుతాము 
, దీని మూలాలు సంఖ్యలు 
ఈ విధంగా 
వ్యక్తీకరణ 
వద్ద సున్నాకి వెళుతుంది 
, అనగా వద్ద 
, 
.
మేము పొందిన సమీకరణానికి పరిష్కారం ఈ సంఖ్యలను కలిగి ఉండదు.
సమాధానం: 
, .
వి. సహాయక కోణం పరిచయం.
రూపం యొక్క సమీకరణాన్ని పరిగణించండి
ఎక్కడ ఎ, బి, సి- గుణకాలు, x- తెలియదు.
ఈ సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా విభజించండి 
ఇప్పుడు సమీకరణం యొక్క గుణకాలు సైన్ మరియు కొసైన్ యొక్క లక్షణాలను కలిగి ఉన్నాయి, అవి: వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి మాడ్యులస్ ఒకటి మించదు మరియు వాటి చతురస్రాల మొత్తం 1కి సమానం.
అప్పుడు మేము వాటిని తదనుగుణంగా నియమించవచ్చు 
(ఇక్కడ 
- సహాయక కోణం) మరియు మా సమీకరణం రూపాన్ని తీసుకుంటుంది: .
అప్పుడు 
మరియు అతని నిర్ణయం
ప్రవేశపెట్టిన సంజ్ఞామానాలు పరస్పరం మార్చుకోగలవని గమనించండి.
14) సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి: 
పరిష్కారం. ఇక్కడ 
, కాబట్టి మేము సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా విభజిస్తాము 
సమాధానం: 
15) సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి
పరిష్కారం. ఎందుకంటే 
, అప్పుడు ఈ సమీకరణం సమీకరణానికి సమానం
ఎందుకంటే 
, అప్పుడు అలాంటి కోణం ఉంది 
, 
(అవి. 
).
మన దగ్గర ఉంది 
ఎందుకంటే 
, అప్పుడు మనం చివరకు పొందుతాము:
.
ఫారమ్ యొక్క సమీకరణాలు ఉంటే మరియు మాత్రమే పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉన్నాయని గమనించండి 
16) సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి:
ఈ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి, మేము అదే ఆర్గ్యుమెంట్‌లతో త్రికోణమితి ఫంక్షన్లను సమూహపరుస్తాము
సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా రెండుగా విభజించండి
త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల మొత్తాన్ని ఉత్పత్తిగా మారుద్దాం:
సమాధానం: 
VI. ఉత్పత్తిని మొత్తానికి మార్చడం.
సంబంధిత సూత్రాలు ఇక్కడ ఉపయోగించబడతాయి.
17) సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి:
పరిష్కారం. ఎడమ వైపు మొత్తాన్ని మొత్తంగా మారుద్దాం:
VII.యూనివర్సల్ ప్రత్యామ్నాయం.
, 
ఈ సూత్రాలు అందరికీ నిజమైనవి 
ప్రత్యామ్నాయం 
సార్వత్రిక అంటారు.
18) సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి: 
పరిష్కారం: భర్తీ మరియు 
ద్వారా వారి వ్యక్తీకరణకు 
మరియు సూచిస్తాయి 
.
మేము హేతుబద్ధమైన సమీకరణాన్ని పొందుతాము 
, ఇది చతురస్రంగా మారుతుంది 
.
ఈ సమీకరణం యొక్క మూలాలు సంఖ్యలు 
.
అందువల్ల, సమస్య రెండు సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి తగ్గించబడింది 
.
మేము దానిని కనుగొంటాము 
.
విలువను వీక్షించండి 
అసలు సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరచదు, ఇది తనిఖీ చేయడం ద్వారా ధృవీకరించబడుతుంది - ఇచ్చిన విలువను భర్తీ చేయడం tఅసలు సమీకరణంలోకి.
సమాధానం: 
.
వ్యాఖ్య. సమీకరణం 18ని మరొక విధంగా పరిష్కరించవచ్చు.
ఈ సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 5 ద్వారా భాగిద్దాం (అంటే 
): 
.
ఎందుకంటే 
, అప్పుడు అటువంటి సంఖ్య ఉంది 
, ఏమిటి 
మరియు 
. కాబట్టి సమీకరణం రూపం తీసుకుంటుంది: 
లేదా 
. ఇక్కడ నుండి మేము దానిని కనుగొంటాము 
ఎక్కడ 
.
19) సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి 
.
పరిష్కారం. విధులు నుండి 
మరియు 
1కి సమానమైన గొప్ప విలువను కలిగి ఉంటే, వాటి మొత్తం 2కి సమానం అయితే 
మరియు 
, ఏకకాలంలో, అంటే 
.
సమాధానం: 
.
ఈ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించేటప్పుడు, విధుల యొక్క సరిహద్దు మరియు ఉపయోగించబడింది.
ముగింపు.
"త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడం" అనే అంశంపై పని చేస్తున్నప్పుడు, ప్రతి ఉపాధ్యాయుడు క్రింది సిఫార్సులను అనుసరించడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది:
త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి పద్ధతులను క్రమబద్ధీకరించండి.
సమీకరణం యొక్క విశ్లేషణ మరియు నిర్దిష్ట పరిష్కార పద్ధతిని ఉపయోగించడం యొక్క సూచనల సంకేతాలను నిర్వహించడానికి దశలను మీ కోసం ఎంచుకోండి.
పద్ధతిని అమలు చేయడంలో మీ కార్యకలాపాలను స్వయంగా పర్యవేక్షించే మార్గాల గురించి ఆలోచించండి.
అధ్యయనం చేయబడిన ప్రతి పద్ధతికి "మీ స్వంత" సమీకరణాలను కంపోజ్ చేయడం నేర్చుకోండి.
అనుబంధం నం. 1
సజాతీయ సమీకరణాలను పరిష్కరించండి లేదా సజాతీయ సమీకరణాలకు తగ్గించండి.
1. | ప్రతినిధి |
ప్రతినిధి |
|
ప్రతినిధి |
|
5. | ప్రతినిధి |
ప్రతినిధి |
|
7. | ప్రతినిధి |
ప్రతినిధి |
|
"Get an A" అనే వీడియో కోర్సు 60-65 పాయింట్లతో గణితంలో యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌లో విజయవంతంగా ఉత్తీర్ణత సాధించడానికి అవసరమైన అన్ని అంశాలను కలిగి ఉంటుంది. గణితంలో ప్రొఫైల్ యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌లోని 1-13 వరకు అన్ని పనులు. గణితంలో బేసిక్ యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్‌లో ఉత్తీర్ణత సాధించడానికి కూడా అనుకూలంగా ఉంటుంది. మీరు ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్షలో 90-100 పాయింట్లతో ఉత్తీర్ణత సాధించాలనుకుంటే, మీరు 30 నిమిషాల్లో మరియు తప్పులు లేకుండా పార్ట్ 1ని పరిష్కరించాలి!
10-11 తరగతులకు, అలాగే ఉపాధ్యాయులకు ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్ష కోసం ప్రిపరేషన్ కోర్సు. మీరు గణితం (మొదటి 12 సమస్యలు) మరియు సమస్య 13 (త్రికోణమితి)లో యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌లోని పార్ట్ 1ని పరిష్కరించాల్సిన అవసరం ఉంది. మరియు ఇది యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌లో 70 పాయింట్ల కంటే ఎక్కువ, మరియు 100-పాయింట్ విద్యార్థి లేదా హ్యుమానిటీస్ విద్యార్థి వాటిని లేకుండా చేయలేరు.
అన్ని అవసరమైన సిద్ధాంతం. ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్ష యొక్క శీఘ్ర పరిష్కారాలు, ఆపదలు మరియు రహస్యాలు. FIPI టాస్క్ బ్యాంక్ నుండి పార్ట్ 1 యొక్క అన్ని ప్రస్తుత టాస్క్‌లు విశ్లేషించబడ్డాయి. కోర్సు పూర్తిగా యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ 2018 యొక్క అవసరాలకు అనుగుణంగా ఉంటుంది.
కోర్సులో 5 పెద్ద అంశాలు, ఒక్కొక్కటి 2.5 గంటలు ఉంటాయి. ప్రతి అంశం మొదటి నుండి సరళంగా మరియు స్పష్టంగా ఇవ్వబడింది.
వందలాది యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ టాస్క్‌లు. పద సమస్యలు మరియు సంభావ్యత సిద్ధాంతం. సమస్యలను పరిష్కరించడానికి సులభమైన మరియు గుర్తుంచుకోవడానికి సులభమైన అల్గారిథమ్‌లు. జ్యామితి. థియరీ, రిఫరెన్స్ మెటీరియల్, యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్ పనుల యొక్క అన్ని రకాల విశ్లేషణ. స్టీరియోమెట్రీ. గమ్మత్తైన పరిష్కారాలు, ఉపయోగకరమైన చీట్ షీట్లు, ప్రాదేశిక కల్పన అభివృద్ధి. మొదటి నుండి సమస్య వరకు త్రికోణమితి 13. క్రామింగ్‌కు బదులుగా అర్థం చేసుకోవడం. సంక్లిష్ట భావనల స్పష్టమైన వివరణలు. బీజగణితం. రూట్స్, పవర్స్ మరియు లాగరిథమ్స్, ఫంక్షన్ మరియు డెరివేటివ్. యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ యొక్క పార్ట్ 2 యొక్క సంక్లిష్ట సమస్యలను పరిష్కరించడానికి ఒక ఆధారం.
జ్ఞానం యొక్క సమగ్ర అనువర్తనంలో ఒక పాఠం.
పాఠం లక్ష్యాలు.
- త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి వివిధ పద్ధతులను సమీక్షించండి.
- సమీకరణాలను పరిష్కరించడం ద్వారా విద్యార్థుల సృజనాత్మక సామర్థ్యాలను అభివృద్ధి చేయడం.
- స్వీయ నియంత్రణ, పరస్పర నియంత్రణ మరియు వారి విద్యా కార్యకలాపాల స్వీయ-విశ్లేషణకు విద్యార్థులను ప్రోత్సహించడం.
పరికరాలు: స్క్రీన్, ప్రొజెక్టర్, రిఫరెన్స్ మెటీరియల్.
తరగతుల సమయంలో
పరిచయ సంభాషణ.
త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ప్రధాన పద్ధతి వాటిని వాటి సరళమైన రూపానికి తగ్గించడం. ఈ సందర్భంలో, సాధారణ పద్ధతులు ఉపయోగించబడతాయి, ఉదాహరణకు, కారకం, అలాగే త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి మాత్రమే ఉపయోగించే పద్ధతులు. ఈ పద్ధతులు చాలా ఉన్నాయి, ఉదాహరణకు, వివిధ త్రికోణమితి ప్రత్యామ్నాయాలు, కోణ పరివర్తనలు, త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల రూపాంతరాలు. ఏదైనా త్రికోణమితి రూపాంతరాల యొక్క విచక్షణారహిత అనువర్తనం సాధారణంగా సమీకరణాన్ని సులభతరం చేయదు, కానీ దానిని విపత్తుగా క్లిష్టతరం చేస్తుంది. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి సాధారణ ప్రణాళికను అభివృద్ధి చేయడానికి, సమీకరణాన్ని సరళంగా తగ్గించే మార్గాన్ని వివరించడానికి, మీరు మొదట కోణాలను విశ్లేషించాలి - సమీకరణంలో చేర్చబడిన త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల వాదనలు.
ఈ రోజు మనం త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించే పద్ధతుల గురించి మాట్లాడుతాము. సరిగ్గా ఎంచుకున్న పద్ధతి తరచుగా పరిష్కారాన్ని గణనీయంగా సులభతరం చేస్తుంది, కాబట్టి త్రికోణమితి సమీకరణాలను అత్యంత సరైన పద్ధతిని ఉపయోగించి పరిష్కరించడానికి మేము అధ్యయనం చేసిన అన్ని పద్ధతులను ఎల్లప్పుడూ గుర్తుంచుకోవాలి.
II. (ప్రొజెక్టర్ ఉపయోగించి, మేము సమీకరణాలను పరిష్కరించే పద్ధతులను పునరావృతం చేస్తాము.)
1. త్రికోణమితి సమీకరణాన్ని బీజగణితానికి తగ్గించే విధానం.
ఒకే వాదనతో అన్ని త్రికోణమితి విధులను ఒకటి ద్వారా వ్యక్తీకరించడం అవసరం. ఇది ప్రాథమిక త్రికోణమితి గుర్తింపు మరియు దాని పరిణామాలను ఉపయోగించి చేయవచ్చు. మేము ఒక త్రికోణమితి ఫంక్షన్‌తో సమీకరణాన్ని పొందుతాము. దీన్ని కొత్తగా తెలియనిదిగా తీసుకుంటే, మేము బీజగణిత సమీకరణాన్ని పొందుతాము. మేము దాని మూలాలను కనుగొని, పాత తెలియని వాటికి తిరిగి వస్తాము, సరళమైన త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరిస్తాము.
2. కారకం పద్ధతి.
కోణాలను మార్చడానికి, ఆర్గ్యుమెంట్‌ల తగ్గింపు, మొత్తం మరియు వ్యత్యాసం కోసం సూత్రాలు తరచుగా ఉపయోగపడతాయి, అలాగే త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల మొత్తాన్ని (తేడా) ఉత్పత్తిగా మార్చడానికి సూత్రాలు మరియు వైస్ వెర్సా.
sin x + sin 3x = sin 2x + sin4x
3. అదనపు కోణాన్ని పరిచయం చేసే పద్ధతి.
4. సార్వత్రిక ప్రత్యామ్నాయాన్ని ఉపయోగించే పద్ధతి.
ఫారమ్ F(sinx, cosx, tanx) = 0 యొక్క సమీకరణాలు సార్వత్రిక త్రికోణమితి ప్రత్యామ్నాయాన్ని ఉపయోగించి బీజగణితానికి తగ్గించబడ్డాయి
సగం కోణం యొక్క టాంజెంట్ పరంగా సైన్, కొసైన్ మరియు టాంజెంట్‌లను వ్యక్తీకరించడం. ఈ సాంకేతికత అధిక ఆర్డర్ సమీకరణానికి దారి తీస్తుంది. దీనికి పరిష్కారం కష్టం.