ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిష్కరించడం. ఉదాహరణలు.

శ్రద్ధ!
అదనంగా ఉన్నాయి
ప్రత్యేక విభాగం 555లోని పదార్థాలు.
చాలా "చాలా కాదు..." ఉన్నవారికి.
మరియు "చాలా..." ఉన్నవారికి)

ఏం జరిగింది ఘాతాంక సమీకరణం? ఇది తెలియనివి (xలు) మరియు వాటితో వ్యక్తీకరణలు ఉండే సమీకరణం సూచికలుకొన్ని డిగ్రీలు. మరియు అక్కడ మాత్రమే! ఇది ముఖ్యమైనది.

నువ్వు అక్కడ ఘాతాంక సమీకరణాల ఉదాహరణలు:

3 x 2 x = 8 x+3

గమనిక! డిగ్రీల బేస్‌లలో (క్రింద) - సంఖ్యలు మాత్రమే. IN సూచికలుడిగ్రీలు (పైన) - Xతో అనేక రకాల వ్యక్తీకరణలు. ఒకవేళ, అకస్మాత్తుగా, ఒక సూచిక కాకుండా వేరే చోట సమీకరణంలో X కనిపించినట్లయితే, ఉదాహరణకు:

ఇది ఇప్పటికే మిశ్రమ రకం సమీకరణం అవుతుంది. అటువంటి సమీకరణాలకు వాటిని పరిష్కరించడానికి స్పష్టమైన నియమాలు లేవు. మేము వాటిని ప్రస్తుతానికి పరిగణించము. ఇక్కడ మేము వ్యవహరిస్తాము ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిష్కరించడందాని స్వచ్ఛమైన రూపంలో.

వాస్తవానికి, స్వచ్ఛమైన ఘాతాంక సమీకరణాలు కూడా ఎల్లప్పుడూ స్పష్టంగా పరిష్కరించబడవు. కానీ కొన్ని రకాల ఘాతాంక సమీకరణాలు ఉన్నాయి, వాటిని పరిష్కరించవచ్చు మరియు పరిష్కరించాలి. ఈ రకాలు మేము పరిశీలిస్తాము.

సాధారణ ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిష్కరించడం.

మొదట, చాలా ప్రాథమికమైనదాన్ని పరిష్కరిద్దాం. ఉదాహరణకి:

ఎలాంటి సిద్ధాంతాలు లేకపోయినా, సాధారణ ఎంపిక ద్వారా x = 2 అని స్పష్టమవుతుంది. ఇంకేమీ లేదు, సరియైనదా!? X పనికి ఇతర విలువ లేదు. ఇప్పుడు ఈ గమ్మత్తైన ఘాతాంక సమీకరణానికి పరిష్కారాన్ని చూద్దాం:

ఏం చేశాం? మేము, వాస్తవానికి, అదే స్థావరాలను (ట్రిపుల్స్) విసిరాము. పూర్తిగా విసిరివేయబడింది. మరియు, శుభవార్త ఏమిటంటే, మేము తలపై గోరు కొట్టాము!

నిజానికి, ఘాతాంక సమీకరణంలో ఎడమ మరియు కుడి ఉన్నాయి అదేఏదైనా శక్తులలో సంఖ్యలు, ఈ సంఖ్యలు తీసివేయబడతాయి మరియు ఘాతాంకాలను సమం చేయవచ్చు. గణితం అనుమతిస్తుంది. ఇది చాలా సరళమైన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి మిగిలి ఉంది. గ్రేట్, సరియైనదా?)

అయితే, మనం గట్టిగా గుర్తుంచుకోండి: ఎడమ మరియు కుడి మూల సంఖ్యలు అద్భుతమైన ఐసోలేషన్‌లో ఉన్నప్పుడు మాత్రమే మీరు బేస్‌లను తీసివేయగలరు!ఏ పొరుగు మరియు గుణకాలు లేకుండా. సమీకరణాలలో చెప్పండి:

2 x +2 x+1 = 2 3, లేదా

రెండు తొలగించబడవు!

బాగా, మేము చాలా ముఖ్యమైన విషయంపై పట్టు సాధించాము. చెడు ఘాతాంక వ్యక్తీకరణల నుండి సరళమైన సమీకరణాలకు ఎలా వెళ్లాలి.

"అవి సమయాలు!" - మీరు చెప్పే. "పరీక్షలు మరియు పరీక్షల గురించి ఇంత ప్రాచీన పాఠాన్ని ఎవరు ఇస్తారు!?"

నేను అంగీకరించాలి. ఎవరూ చేయరు. కానీ ఇప్పుడు మీరు గమ్మత్తైన ఉదాహరణలను పరిష్కరించేటప్పుడు ఎక్కడ లక్ష్యంగా పెట్టుకోవాలో మీకు తెలుసు. ఇది ఎడమ మరియు కుడి వైపున ఒకే మూల సంఖ్య ఉన్న ఫారమ్‌కు తీసుకురావాలి. అప్పుడు ప్రతిదీ సులభం అవుతుంది. అసలైన, ఇది గణితశాస్త్రం యొక్క క్లాసిక్. మేము అసలు ఉదాహరణను తీసుకుంటాము మరియు దానిని కావలసినదానికి మారుస్తాము మాకుమనసు. గణిత నియమాల ప్రకారం, కోర్సు.

వాటిని సరళంగా తగ్గించడానికి కొంత అదనపు ప్రయత్నం అవసరమయ్యే ఉదాహరణలను చూద్దాం. వారిని పిలుద్దాం సాధారణ ఘాతాంక సమీకరణాలు.

సాధారణ ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిష్కరించడం. ఉదాహరణలు.

ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు, ప్రధాన నియమాలు డిగ్రీలతో చర్యలు.ఈ చర్యల గురించి తెలియకుండా ఏదీ పనిచేయదు.

డిగ్రీలతో చర్యలకు, వ్యక్తిగత పరిశీలన మరియు చాతుర్యాన్ని జోడించాలి. మనకు ఒకే మూల సంఖ్యలు అవసరమా? కాబట్టి మేము వాటిని ఉదాహరణలో స్పష్టమైన లేదా గుప్తీకరించిన రూపంలో చూస్తాము.

ఆచరణలో ఇది ఎలా జరుగుతుందో చూద్దాం?

మనకు ఒక ఉదాహరణ ఇద్దాం:

2 2x - 8 x+1 = 0

మొదటి చురుకైన చూపు ఉంది మైదానాలు.వాళ్ళు... వాళ్ళు వేరు! రెండు మరియు ఎనిమిది. కానీ నిరుత్సాహపడటం చాలా తొందరగా ఉంది. ఇది గుర్తుంచుకోవలసిన సమయం

డిగ్రీలో ఇద్దరు మరియు ఎనిమిది మంది బంధువులు.) వ్రాయడం చాలా సాధ్యమే:

8 x+1 = (2 3) x+1

మేము డిగ్రీలతో కార్యకలాపాల నుండి సూత్రాన్ని గుర్తుచేసుకుంటే:

(a n) m = a nm,

ఇది గొప్పగా పనిచేస్తుంది:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

అసలు ఉదాహరణ ఇలా కనిపించడం ప్రారంభించింది:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

మేము బదిలీ చేస్తాము 2 3 (x+1)కుడివైపు (గణితం యొక్క ప్రాథమిక కార్యకలాపాలను ఎవరూ రద్దు చేయలేదు!), మేము పొందుతాము:

2 2x = 2 3(x+1)

ఆచరణాత్మకంగా అంతే. స్థావరాలు తొలగించడం:

మేము ఈ రాక్షసుడిని పరిష్కరించాము మరియు పొందుతాము

ఇది సరైన సమాధానం.

ఈ ఉదాహరణలో, ఇద్దరి శక్తులను తెలుసుకోవడం మాకు సహాయపడింది. మేము గుర్తించారుఎనిమిదిలో గుప్తీకరించిన రెండు ఉంది. ఈ టెక్నిక్ (వివిధ సంఖ్యల క్రింద సాధారణ బేస్‌లను ఎన్‌కోడింగ్ చేయడం) ఘాతాంక సమీకరణాలలో చాలా ప్రజాదరణ పొందిన సాంకేతికత! అవును, మరియు లాగరిథమ్‌లలో కూడా. మీరు సంఖ్యలలో ఇతర సంఖ్యల శక్తులను తప్పనిసరిగా గుర్తించగలగాలి. ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ఇది చాలా ముఖ్యమైనది.

వాస్తవం ఏమిటంటే, ఏ సంఖ్యను ఏ శక్తికి పెంచడం సమస్య కాదు. కాగితంపై కూడా గుణించండి మరియు అంతే. ఉదాహరణకు, ఎవరైనా 3ని ఐదవ శక్తికి పెంచవచ్చు. మీకు గుణకారం పట్టిక తెలిస్తే 243 పని చేస్తుంది.) కానీ ఘాతాంక సమీకరణాలలో, చాలా తరచుగా శక్తికి పెంచాల్సిన అవసరం లేదు, కానీ వైస్ వెర్సా... కనుగొనండి ఏ సంఖ్య ఏ స్థాయికిసంఖ్య 243 వెనుక దాగి ఉంది, లేదా, చెప్పాలంటే, 343... ఇక్కడ మీకు ఏ కాలిక్యులేటర్ సహాయం చేయదు.

కొన్ని సంఖ్యల శక్తులను చూసి తెలుసుకోవాలి కదా... సాధన చేద్దామా?

సంఖ్యలు ఏ శక్తులు మరియు ఏ సంఖ్యలు అని నిర్ణయించండి:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

సమాధానాలు (గజిబిజిలో, అయితే!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

నిశితంగా పరిశీలిస్తే ఓ విచిత్రమైన వాస్తవం కనిపిస్తుంది. టాస్క్‌ల కంటే చాలా ఎక్కువ సమాధానాలు ఉన్నాయి! సరే, అది జరుగుతుంది... ఉదాహరణకు, 2 6, 4 3, 8 2 - అంతే 64.

మీరు సంఖ్యలతో పరిచయం గురించిన సమాచారాన్ని గమనించారని అనుకుందాం.) మేము ఉపయోగించే ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను అన్నిగణిత జ్ఞానం యొక్క స్టాక్. జూనియర్ మరియు మధ్యతరగతి వారితో సహా. మీరు నేరుగా ఉన్నత పాఠశాలకు వెళ్లలేదు, సరియైనదా?)

ఉదాహరణకు, ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు, బ్రాకెట్‌ల నుండి సాధారణ కారకాన్ని ఉంచడం తరచుగా సహాయపడుతుంది (7వ తరగతికి హలో!). ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం:

3 2x+4 -11 9 x = 210

మరలా, మొదటి చూపు పునాదుల వద్ద ఉంది! డిగ్రీలు వేర్వేరుగా ఉంటాయి... మూడు మరియు తొమ్మిది. కానీ అవి అలాగే ఉండాలని మేము కోరుకుంటున్నాము. బాగా, ఈ సందర్భంలో కోరిక పూర్తిగా నెరవేరుతుంది!) ఎందుకంటే:

9 x = (3 2) x = 3 2x

డిగ్రీలతో వ్యవహరించడానికి అదే నియమాలను ఉపయోగించడం:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

ఇది చాలా బాగుంది, మీరు దీన్ని వ్రాయవచ్చు:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

మేము అదే కారణాల కోసం ఒక ఉదాహరణ ఇచ్చాము. కాబట్టి, తదుపరి ఏమిటి!? మీరు త్రీస్ విసిరివేయలేరు... డెడ్ ఎండ్?

అస్సలు కుదరదు. అత్యంత సార్వత్రిక మరియు శక్తివంతమైన నిర్ణయ నియమాన్ని గుర్తుంచుకోండి ప్రతి ఒక్కరూగణిత పనులు:

మీకు ఏమి కావాలో మీకు తెలియకపోతే, మీరు చేయగలిగినది చేయండి!

చూడండి, ప్రతిదీ పని చేస్తుంది).

ఈ ఘాతాంక సమీకరణంలో ఏముంది చెయ్యవచ్చుచేస్తావా? అవును, ఎడమ వైపున అది బ్రాకెట్ల నుండి తీసివేయమని వేడుకుంటుంది! 3 2x యొక్క మొత్తం గుణకం దీన్ని స్పష్టంగా సూచిస్తుంది. ప్రయత్నిద్దాం, ఆపై చూద్దాం:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

ఉదాహరణ మెరుగవుతూనే ఉంది!

మైదానాలను తొలగించడానికి మనకు ఎటువంటి గుణకాలు లేకుండా స్వచ్ఛమైన డిగ్రీ అవసరమని మేము గుర్తుంచుకోవాలి. 70 సంఖ్య మనల్ని ఇబ్బంది పెడుతుంది. కాబట్టి మేము సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 70 ద్వారా విభజిస్తాము, మనకు లభిస్తుంది:

అయ్యో! అంతా మెరుగైంది!

ఇదే చివరి సమాధానం.

ఇది జరుగుతుంది, అయితే, అదే ప్రాతిపదికన టాక్సీయింగ్ సాధించబడుతుంది, కానీ వారి తొలగింపు సాధ్యం కాదు. ఇది ఇతర రకాల ఘాతాంక సమీకరణాలలో జరుగుతుంది. ఈ రకంలో ప్రావీణ్యం సంపాదించుకుందాం.

ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిష్కరించడంలో వేరియబుల్‌ను భర్తీ చేయడం. ఉదాహరణలు.

సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం:

4 x - 3 2 x +2 = 0

మొదటిది - ఎప్పటిలాగే. ఒక స్థావరానికి వెళ్దాం. ఒక డ్యూస్ కు.

4 x = (2 2) x = 2 2x

మేము సమీకరణాన్ని పొందుతాము:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

మరియు ఇక్కడే మేము సమావేశమవుతాము. ఎలా చూసినా మునుపటి టెక్నిక్‌లు పనిచేయవు. మేము మా ఆయుధశాల నుండి మరొక శక్తివంతమైన మరియు సార్వత్రిక పద్ధతిని ఉపసంహరించుకోవాలి. దీనిని ఇలా వేరియబుల్ భర్తీ.

పద్ధతి యొక్క సారాంశం ఆశ్చర్యకరంగా సులభం. ఒక కాంప్లెక్స్ ఐకాన్‌కు బదులుగా (మా విషయంలో - 2 x) మేము మరొకటి వ్రాస్తాము, సరళమైనది (ఉదాహరణకు - t). అటువంటి అకారణంగా అర్ధంలేని భర్తీ అద్భుతమైన ఫలితాలకు దారి తీస్తుంది!) ప్రతిదీ స్పష్టంగా మరియు అర్థమయ్యేలా అవుతుంది!

కాబట్టి వీలు

అప్పుడు 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

మా సమీకరణంలో మేము అన్ని శక్తులను t ద్వారా xతో భర్తీ చేస్తాము:

సరే, మీకు తెల్లవారుతుందా?) మీరు ఇంకా వర్గ సమీకరణాలను మరచిపోయారా? వివక్షత ద్వారా పరిష్కరించడం, మేము పొందుతాము:

ఇక్కడ ప్రధాన విషయం ఆపడానికి కాదు, జరుగుతుంది వంటి ... ఇది ఇంకా సమాధానం కాదు, మాకు x అవసరం, t కాదు. X లకు తిరిగి వెళ్దాం, అనగా. మేము రివర్స్ రీప్లేస్‌మెంట్ చేస్తాము. t 1 కోసం మొదటిది:

అంటే,

ఒక రూట్ కనుగొనబడింది. మేము t 2 నుండి రెండవదాని కోసం చూస్తున్నాము:

మ్... ఎడమవైపు 2 x, కుడివైపు 1... సమస్యా? అస్సలు కుదరదు! యూనిట్ అంటే (అధికారాలతో కూడిన కార్యకలాపాల నుండి, అవును...) గుర్తుంచుకోవడానికి సరిపోతుంది ఏదైనాసున్నా శక్తికి సంఖ్య. ఏదైనా. ఏది అవసరమో, మేము దానిని ఇన్స్టాల్ చేస్తాము. మాకు రెండు కావాలి. అర్థం:

ఇప్పుడు అంతే. మాకు 2 మూలాలు ఉన్నాయి:

ఇదే సమాధానం.

వద్ద ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిష్కరించడంచివర్లో కొన్నిసార్లు మీరు ఒక రకమైన ఇబ్బందికరమైన వ్యక్తీకరణతో ముగుస్తుంది. రకం:

సాధారణ శక్తి ద్వారా ఏడుని రెండుగా మార్చలేము. వాళ్ళు బంధువులు కాదు... మనం ఎలా ఉంటాం? ఎవరైనా అయోమయంలో ఉండవచ్చు... కానీ ఈ సైట్‌లో “లాగరిథమ్ అంటే ఏమిటి?” అనే అంశాన్ని చదివిన వ్యక్తి. , పొదుపుగా నవ్వి, దృఢమైన చేతితో ఖచ్చితంగా సరైన సమాధానాన్ని వ్రాస్తాడు:

యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్‌లో “బి” టాస్క్‌లలో అలాంటి సమాధానం ఉండకూడదు. అక్కడ నిర్దిష్ట సంఖ్య అవసరం. కానీ "సి" పనులలో ఇది సులభం.

ఈ పాఠం అత్యంత సాధారణ ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ఉదాహరణలను అందిస్తుంది. ప్రధాన అంశాలను హైలైట్ చేద్దాం.

ఆచరణాత్మక చిట్కాలు:

1. అన్నింటిలో మొదటిది, మేము పరిశీలిస్తాము మైదానాలుడిగ్రీలు. వాటిని తయారు చేయడం సాధ్యమేనా అని ఆలోచిస్తున్నాం ఒకేలా.చురుకుగా ఉపయోగించడం ద్వారా దీన్ని చేయడానికి ప్రయత్నిద్దాం డిగ్రీలతో చర్యలు. x లేని సంఖ్యలను కూడా పవర్‌లుగా మార్చవచ్చని మర్చిపోవద్దు!

2. ఎడమ మరియు కుడి వైపున ఉన్నప్పుడు ఘాతాంక సమీకరణాన్ని ఫారమ్‌కి తీసుకురావడానికి ప్రయత్నిస్తాము అదేఏదైనా శక్తులలో సంఖ్యలు. మేము ఉపయోగిస్తాము డిగ్రీలతో చర్యలుమరియు కారకం.సంఖ్యలలో ఏమి లెక్కించవచ్చు, మేము లెక్కించాము.

3. రెండవ చిట్కా పని చేయకపోతే, వేరియబుల్ రీప్లేస్‌మెంట్‌ని ఉపయోగించి ప్రయత్నించండి. ఫలితం సులభంగా పరిష్కరించగల సమీకరణం కావచ్చు. చాలా తరచుగా - చదరపు. లేదా భిన్నం, ఇది చతురస్రానికి కూడా తగ్గిస్తుంది.

4. ఘాతాంక సమీకరణాలను విజయవంతంగా పరిష్కరించడానికి, మీరు దృష్టి ద్వారా కొన్ని సంఖ్యల శక్తులను తెలుసుకోవాలి.

ఎప్పటిలాగే, పాఠం ముగింపులో మీరు కొంచెం నిర్ణయించుకోవడానికి ఆహ్వానించబడ్డారు.) మీ స్వంతంగా. సాధారణ నుండి క్లిష్టమైన వరకు.

ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిష్కరించండి:

మరింత కష్టం:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0.5x+1 - 8 = 0

మూలాల ఉత్పత్తిని కనుగొనండి:

2 3లు + 2 x = 9

జరిగిందా?

బాగా, అప్పుడు చాలా క్లిష్టమైన ఉదాహరణ (ఇది మనస్సులో పరిష్కరించబడినప్పటికీ...):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

మరింత ఆసక్తికరమైనది ఏమిటి? ఇక్కడ మీకు చెడ్డ ఉదాహరణ ఉంది. పెరిగిన కష్టానికి చాలా ఉత్సాహం. ఈ ఉదాహరణలో, మిమ్మల్ని రక్షించేది చాతుర్యం మరియు అన్ని గణిత సమస్యలను పరిష్కరించడానికి అత్యంత సార్వత్రిక నియమం అని నేను సూచిస్తున్నాను.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

సడలింపు కోసం సరళమైన ఉదాహరణ):

9 2 x - 4 3 x = 0

మరియు డెజర్ట్ కోసం. సమీకరణం యొక్క మూలాల మొత్తాన్ని కనుగొనండి:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

అవును అవును! ఇది మిశ్రమ రకం సమీకరణం! ఈ పాఠంలో మనం పరిగణించనిది. వాటిని ఎందుకు పరిగణించాలి, అవి పరిష్కరించబడాలి!) ఈ పాఠం సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి సరిపోతుంది. సరే, మీకు చాతుర్యం కావాలి... మరియు ఏడవ తరగతి మీకు సహాయపడవచ్చు (ఇది సూచన!).

సమాధానాలు (అస్తవ్యస్తంగా, సెమికోలన్‌లతో వేరు చేయబడ్డాయి):

1; 2; 3; 4; పరిష్కారాలు లేవు; 2; -2; -5; 4; 0.

ప్రతిదీ విజయవంతమైందా? గొప్ప.

అక్కడ సమస్య ఉంది? ఏమి ఇబ్బంది లేదు! ప్రత్యేక విభాగం 555 వివరణాత్మక వివరణలతో ఈ ఘాతాంక సమీకరణాలన్నింటినీ పరిష్కరిస్తుంది. ఏమి, ఎందుకు మరియు ఎందుకు. మరియు, వాస్తవానికి, అన్ని రకాల ఘాతాంక సమీకరణాలతో పనిచేయడానికి అదనపు విలువైన సమాచారం ఉంది. ఇవి మాత్రమే కాదు.)

పరిగణించవలసిన చివరి సరదా ప్రశ్న. ఈ పాఠంలో మేము ఘాతాంక సమీకరణాలతో పని చేసాము. నేను ఇక్కడ ODZ గురించి ఒక్క మాట కూడా ఎందుకు చెప్పలేదు?సమీకరణాలలో, ఇది చాలా ముఖ్యమైన విషయం, మార్గం ద్వారా ...

మీకు ఈ సైట్ నచ్చితే...

మార్గం ద్వారా, నేను మీ కోసం మరికొన్ని ఆసక్తికరమైన సైట్‌లను కలిగి ఉన్నాను.)

మీరు ఉదాహరణలను పరిష్కరించడం సాధన చేయవచ్చు మరియు మీ స్థాయిని కనుగొనవచ్చు. తక్షణ ధృవీకరణతో పరీక్షిస్తోంది. నేర్చుకుందాం - ఆసక్తితో!)

మీరు విధులు మరియు ఉత్పన్నాలతో పరిచయం పొందవచ్చు.

ఈ పాఠంలో మనం మరింత సంక్లిష్టమైన ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిష్కరించడం మరియు ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్‌కు సంబంధించిన ప్రాథమిక సైద్ధాంతిక సూత్రాలను గుర్తుచేసుకుంటాము.

1. ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం మరియు లక్షణాలు, సరళమైన ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిష్కరించే పద్ధతులు

ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం మరియు ప్రాథమిక లక్షణాలను గుర్తుచేసుకుందాం. అన్ని ఘాతాంక సమీకరణాలు మరియు అసమానతల పరిష్కారం ఈ లక్షణాలపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ఫారమ్ యొక్క ఫంక్షన్ , ఇక్కడ బేస్ డిగ్రీ మరియు ఇక్కడ x అనేది స్వతంత్ర వేరియబుల్, ఆర్గ్యుమెంట్; y అనేది డిపెండెంట్ వేరియబుల్, ఫంక్షన్.

అన్నం. 1. ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్

గ్రాఫ్ పెరుగుతున్న మరియు తగ్గుతున్న ఘాతాంకాలను చూపుతుంది, ఘాతాంక ఫంక్షన్‌ను వరుసగా ఒకటి కంటే ఎక్కువ మరియు ఒకటి కంటే తక్కువ కానీ సున్నా కంటే ఎక్కువ కలిగి ఉంటుంది.

రెండు వక్రతలు పాయింట్ గుండా వెళతాయి (0;1)

ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క లక్షణాలు:

డొమైన్: ;

విలువల పరిధి: ;

ఫంక్షన్ మోనోటోనిక్, పెరుగుతుంది, తగ్గుతుంది.

ఒక మోనోటోనిక్ ఫంక్షన్ దాని ప్రతి విలువను ఒకే ఆర్గ్యుమెంట్ విలువతో తీసుకుంటుంది.

ఆర్గ్యుమెంట్ మైనస్ నుండి ప్లస్ ఇన్ఫినిటీకి పెరిగినప్పుడు, ఫంక్షన్ సున్నా నుండి ప్లస్ ఇన్ఫినిటీకి పెరుగుతుంది. దీనికి విరుద్ధంగా, ఆర్గ్యుమెంట్ మైనస్ నుండి ప్లస్ ఇన్ఫినిటీకి పెరిగినప్పుడు, ఫంక్షన్ ఇన్ఫినిటీ నుండి సున్నాకి తగ్గుతుంది, కలుపుకొని కాదు.

2. ప్రామాణిక ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిష్కరించడం

సరళమైన ఘాతాంక సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలో మీకు గుర్తు చేద్దాం. వారి పరిష్కారం ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క మోనోటోనిసిటీపై ఆధారపడి ఉంటుంది. దాదాపు అన్ని సంక్లిష్ట ఘాతాంక సమీకరణాలను అటువంటి సమీకరణాలకు తగ్గించవచ్చు.

సమాన స్థావరాలు కలిగిన ఘాతాంకాల సమానత్వం ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క ఆస్తి కారణంగా ఉంటుంది, అవి దాని మోనోటోనిసిటీ.

పరిష్కార పద్ధతి:

డిగ్రీల బేస్‌లను సమం చేయండి;

ఘాతాంకాలను సమం చేయండి.

మరింత సంక్లిష్టమైన ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిగణలోకి తీసుకుందాం;

ఎడమ వైపున ఉన్న మూలాన్ని వదిలించుకోండి మరియు డిగ్రీలను అదే స్థావరానికి తీసుకురండి:

సంక్లిష్ట ఘాతాంక సమీకరణాన్ని దాని సరళమైనదానికి తగ్గించడానికి, వేరియబుల్స్ యొక్క ప్రత్యామ్నాయం తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది.

పవర్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించుకుందాం:

మేము భర్తీని పరిచయం చేస్తున్నాము. అది అప్పుడు ఉండనివ్వండి. అటువంటి భర్తీతో, y ఖచ్చితంగా సానుకూల విలువలను తీసుకుంటుందని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది. మాకు దొరికింది:

ఫలిత సమీకరణాన్ని రెండుతో గుణించి, అన్ని పదాలను ఎడమ వైపుకు తరలిద్దాం:

మొదటి రూట్ y విలువల పరిధిని సంతృప్తిపరచదు, కాబట్టి మేము దానిని విస్మరిస్తాము. మాకు దొరికింది:

డిగ్రీలను ఒకే సూచికకు తగ్గిద్దాం:

ప్రత్యామ్నాయాన్ని పరిచయం చేద్దాం:

అది అప్పుడు ఉండనివ్వండి . అటువంటి భర్తీతో, y ఖచ్చితంగా సానుకూల విలువలను తీసుకుంటుందని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది. మాకు దొరికింది:

అటువంటి వర్గ సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలో మాకు తెలుసు, మేము సమాధానాన్ని వ్రాయవచ్చు:

మూలాలు సరిగ్గా కనుగొనబడిందని నిర్ధారించుకోవడానికి, మీరు Vieta సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి తనిఖీ చేయవచ్చు, అనగా, మూలాల మొత్తాన్ని మరియు వాటి ఉత్పత్తిని కనుగొని వాటిని సమీకరణం యొక్క సంబంధిత గుణకాలతో సరిపోల్చండి.

మాకు దొరికింది:

3. రెండవ డిగ్రీ యొక్క సజాతీయ ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి పద్దతి

కింది ముఖ్యమైన ఘాతాంక సమీకరణాలను అధ్యయనం చేద్దాం:

ఈ రకమైన సమీకరణాలు f మరియు g ఫంక్షన్లకు సంబంధించి రెండవ డిగ్రీ యొక్క సజాతీయంగా పిలువబడతాయి. దాని ఎడమ వైపున f పరామితితో fకు సంబంధించి ఒక చతురస్ర త్రినామి లేదా f పరామితితో gకి సంబంధించి ఒక చతురస్ర ట్రినోమియల్ ఉంటుంది.

పరిష్కార పద్ధతి:

ఈ సమీకరణాన్ని చతురస్రాకార సమీకరణంగా పరిష్కరించవచ్చు, కానీ దీన్ని భిన్నంగా చేయడం సులభం. పరిగణించవలసిన రెండు సందర్భాలు ఉన్నాయి:

మొదటి సందర్భంలో మనం పొందుతాము

రెండవ సందర్భంలో, అత్యధిక డిగ్రీ ద్వారా విభజించి, పొందే హక్కు మాకు ఉంది:

వేరియబుల్స్ మార్పును పరిచయం చేయడం అవసరం, మేము y కోసం చతురస్రాకార సమీకరణాన్ని పొందుతాము:

f మరియు g ఫంక్షన్‌లు ఏవైనా కావచ్చు, అయితే ఇవి ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్‌లు అయినప్పుడు మనకు ఆసక్తి ఉంటుంది.

4. సజాతీయ సమీకరణాలను పరిష్కరించే ఉదాహరణలు

అన్ని నిబంధనలను సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపుకు తరలిద్దాం:

ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్‌లు ఖచ్చితంగా సానుకూల విలువలను పొందుతాయి కాబట్టి, సందర్భాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకోకుండా వెంటనే సమీకరణాన్ని భాగించే హక్కు మాకు ఉంది:

మాకు దొరికింది:

ప్రత్యామ్నాయాన్ని పరిచయం చేద్దాం: (ఘాతాంక ఫంక్షన్ యొక్క లక్షణాల ప్రకారం)

మేము ఒక వర్గ సమీకరణాన్ని పొందాము:

మేము వియటా సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి మూలాలను నిర్ణయిస్తాము:

మొదటి రూట్ y విలువల పరిధిని సంతృప్తిపరచదు, మేము దానిని విస్మరిస్తాము, మనకు లభిస్తుంది:

డిగ్రీల లక్షణాలను ఉపయోగిస్తాము మరియు అన్ని డిగ్రీలను సాధారణ స్థావరాలకు తగ్గించండి:

f మరియు g ఫంక్షన్‌లను గమనించడం సులభం:

ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్‌లు ఖచ్చితంగా సానుకూల విలువలను పొందుతాయి కాబట్టి, సందర్భాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకోకుండా, సమీకరణాన్ని తక్షణమే విభజించే హక్కు మాకు ఉంది.

ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిష్కరించడం. ఉదాహరణలు.

శ్రద్ధ!
అదనంగా ఉన్నాయి
ప్రత్యేక విభాగం 555లోని పదార్థాలు.
చాలా "చాలా కాదు..." ఉన్నవారికి.
మరియు "చాలా..." ఉన్నవారికి)

ఏం జరిగింది ఘాతాంక సమీకరణం? ఇది తెలియనివి (xలు) మరియు వాటితో వ్యక్తీకరణలు ఉండే సమీకరణం సూచికలుకొన్ని డిగ్రీలు. మరియు అక్కడ మాత్రమే! ఇది ముఖ్యమైనది.

నువ్వు అక్కడ ఘాతాంక సమీకరణాల ఉదాహరణలు:

3 x 2 x = 8 x+3

గమనిక! డిగ్రీల బేస్‌లలో (క్రింద) - సంఖ్యలు మాత్రమే. IN సూచికలుడిగ్రీలు (పైన) - Xతో అనేక రకాల వ్యక్తీకరణలు. ఒకవేళ, అకస్మాత్తుగా, ఒక సూచిక కాకుండా వేరే చోట సమీకరణంలో X కనిపించినట్లయితే, ఉదాహరణకు:

ఇది ఇప్పటికే మిశ్రమ రకం సమీకరణం అవుతుంది. అటువంటి సమీకరణాలకు వాటిని పరిష్కరించడానికి స్పష్టమైన నియమాలు లేవు. మేము వాటిని ప్రస్తుతానికి పరిగణించము. ఇక్కడ మేము వ్యవహరిస్తాము ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిష్కరించడందాని స్వచ్ఛమైన రూపంలో.

వాస్తవానికి, స్వచ్ఛమైన ఘాతాంక సమీకరణాలు కూడా ఎల్లప్పుడూ స్పష్టంగా పరిష్కరించబడవు. కానీ కొన్ని రకాల ఘాతాంక సమీకరణాలు ఉన్నాయి, వాటిని పరిష్కరించవచ్చు మరియు పరిష్కరించాలి. ఈ రకాలు మేము పరిశీలిస్తాము.

సాధారణ ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిష్కరించడం.

మొదట, చాలా ప్రాథమికమైనదాన్ని పరిష్కరిద్దాం. ఉదాహరణకి:

ఎలాంటి సిద్ధాంతాలు లేకపోయినా, సాధారణ ఎంపిక ద్వారా x = 2 అని స్పష్టమవుతుంది. ఇంకేమీ లేదు, సరియైనదా!? X పనికి ఇతర విలువ లేదు. ఇప్పుడు ఈ గమ్మత్తైన ఘాతాంక సమీకరణానికి పరిష్కారాన్ని చూద్దాం:

ఏం చేశాం? మేము, వాస్తవానికి, అదే స్థావరాలను (ట్రిపుల్స్) విసిరాము. పూర్తిగా విసిరివేయబడింది. మరియు, శుభవార్త ఏమిటంటే, మేము తలపై గోరు కొట్టాము!

నిజానికి, ఘాతాంక సమీకరణంలో ఎడమ మరియు కుడి ఉన్నాయి అదేఏదైనా శక్తులలో సంఖ్యలు, ఈ సంఖ్యలు తీసివేయబడతాయి మరియు ఘాతాంకాలను సమం చేయవచ్చు. గణితం అనుమతిస్తుంది. ఇది చాలా సరళమైన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి మిగిలి ఉంది. గ్రేట్, సరియైనదా?)

అయితే, మనం గట్టిగా గుర్తుంచుకోండి: ఎడమ మరియు కుడి మూల సంఖ్యలు అద్భుతమైన ఐసోలేషన్‌లో ఉన్నప్పుడు మాత్రమే మీరు బేస్‌లను తీసివేయగలరు!ఏ పొరుగు మరియు గుణకాలు లేకుండా. సమీకరణాలలో చెప్పండి:

2 x +2 x+1 = 2 3, లేదా

రెండు తొలగించబడవు!

బాగా, మేము చాలా ముఖ్యమైన విషయంపై పట్టు సాధించాము. చెడు ఘాతాంక వ్యక్తీకరణల నుండి సరళమైన సమీకరణాలకు ఎలా వెళ్లాలి.

"అవి సమయాలు!" - మీరు చెప్పే. "పరీక్షలు మరియు పరీక్షల గురించి ఇంత ప్రాచీన పాఠాన్ని ఎవరు ఇస్తారు!?"

నేను అంగీకరించాలి. ఎవరూ చేయరు. కానీ ఇప్పుడు మీరు గమ్మత్తైన ఉదాహరణలను పరిష్కరించేటప్పుడు ఎక్కడ లక్ష్యంగా పెట్టుకోవాలో మీకు తెలుసు. ఇది ఎడమ మరియు కుడి వైపున ఒకే మూల సంఖ్య ఉన్న ఫారమ్‌కు తీసుకురావాలి. అప్పుడు ప్రతిదీ సులభం అవుతుంది. అసలైన, ఇది గణితశాస్త్రం యొక్క క్లాసిక్. మేము అసలు ఉదాహరణను తీసుకుంటాము మరియు దానిని కావలసినదానికి మారుస్తాము మాకుమనసు. గణిత నియమాల ప్రకారం, కోర్సు.

వాటిని సరళంగా తగ్గించడానికి కొంత అదనపు ప్రయత్నం అవసరమయ్యే ఉదాహరణలను చూద్దాం. వారిని పిలుద్దాం సాధారణ ఘాతాంక సమీకరణాలు.

మొదటి స్థాయి

ఘాతాంక సమీకరణాలు. ది అల్టిమేట్ గైడ్ (2019)

హలో! ప్రాథమికంగా ఉండే సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలో ఈ రోజు మేము మీతో చర్చిస్తాము (మరియు ఈ కథనాన్ని చదివిన తర్వాత, దాదాపు అన్నీ మీ కోసం అలానే ఉంటాయని నేను ఆశిస్తున్నాను), మరియు సాధారణంగా "ఫిల్లింగ్ కోసం" ఇవ్వబడినవి. స్పష్టంగా చివరకు నిద్రపోవడం. కానీ ఈ రకమైన సమీకరణాలను ఎదుర్కొన్నప్పుడు మీరు ఇప్పుడు ఇబ్బందుల్లో పడకుండా ఉండటానికి నేను సాధ్యమైన ప్రతిదాన్ని చేయడానికి ప్రయత్నిస్తాను. నేను ఇకపై బుష్ చుట్టూ కొట్టను, కానీ నేను మీకు వెంటనే ఒక చిన్న రహస్యాన్ని చెబుతాను: ఈ రోజు మనం చదువుతాము ఘాతాంక సమీకరణాలు.

వాటిని పరిష్కరించడానికి మార్గాలను విశ్లేషించడానికి ముందు, ఈ అంశంపై దాడి చేయడానికి ముందు మీరు పునరావృతం చేయవలసిన అనేక ప్రశ్నలను (చాలా చిన్నది) నేను వెంటనే మీ కోసం వివరిస్తాను. కాబట్టి, ఉత్తమ ఫలితాల కోసం, దయచేసి పునరావృతం:

1. లక్షణాలు మరియు
2. పరిష్కారం మరియు సమీకరణాలు

పునరావృతమా? అద్భుతం! అప్పుడు సమీకరణం యొక్క మూలం సంఖ్య అని గమనించడం మీకు కష్టం కాదు. నేను ఎలా చేశానో మీకు సరిగ్గా అర్థమైందా? ఇది నిజమా? అప్పుడు కొనసాగిద్దాం. ఇప్పుడు నా ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వండి, మూడవ శక్తికి సమానం ఏమిటి? మీరు చెప్పింది పూర్తిగా నిజం: . ఎనిమిది అంటే ఇద్దరి శక్తి ఏమిటి? అది నిజం - మూడవది! ఎందుకంటే. సరే, ఇప్పుడు కింది సమస్యను పరిష్కరించడానికి ప్రయత్నిద్దాం: నేను ఒకసారి సంఖ్యను స్వయంగా గుణించి ఫలితాన్ని పొందుతాను. ప్రశ్న ఏమిటంటే, నేను స్వయంగా ఎన్నిసార్లు గుణించాను? మీరు దీన్ని నేరుగా తనిఖీ చేయవచ్చు:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \ end( సమలేఖనం)

అప్పుడు నేనే రెట్లు గుణించాను అని మీరు ముగించవచ్చు. మీరు దీన్ని ఇంకా ఎలా తనిఖీ చేయవచ్చు? ఇక్కడ ఎలా ఉంది: నేరుగా డిగ్రీ నిర్వచనం ప్రకారం: . కానీ, మీరు తప్పక ఒప్పుకోవాలి, పొందడానికి రెండింటిని దానితో ఎన్నిసార్లు గుణించాలి అని నేను అడిగితే, చెప్పండి, మీరు నాకు చెబుతారు: నేను ముఖం నీలిరంగులో ఉండే వరకు నన్ను నేను మోసం చేసుకోను మరియు స్వయంగా గుణించను. మరియు అతను ఖచ్చితంగా సరైనవాడు. ఎందుకంటే మీరు ఎలా చేయగలరు అన్ని దశలను క్లుప్తంగా వ్రాయండి(మరియు సంక్షిప్తత ప్రతిభకు సోదరి)

ఎక్కడ - ఇవి ఒకటే "సమయాలు", మీరు స్వయంగా గుణించినప్పుడు.

నా సమస్య ఈ రూపంలో వ్రాయబడుతుందని మీకు తెలుసు (మరియు మీకు తెలియకపోతే, అత్యవసరంగా, చాలా అత్యవసరంగా డిగ్రీలను పునరావృతం చేయండి!) అని నేను అనుకుంటున్నాను:

మీరు దీన్ని సహేతుకంగా ఎలా ముగించగలరు:

కాబట్టి, గమనించకుండా, నేను సరళమైనదాన్ని వ్రాసాను ఘాతాంక సమీకరణం:

మరియు నేను అతనిని కూడా కనుగొన్నాను రూట్. అవన్నీ పూర్తిగా పనికిమాలినవి అని మీరు అనుకోలేదా? నేను సరిగ్గా అదే అనుకుంటున్నాను. మీ కోసం ఇక్కడ మరొక ఉదాహరణ:

అయితే ఏం చేయాలి? అన్ని తరువాత, ఇది ఒక (సహేతుకమైన) సంఖ్య యొక్క శక్తిగా వ్రాయబడదు. నిరాశ చెందకండి మరియు ఈ రెండు సంఖ్యలు ఒకే సంఖ్య యొక్క శక్తి ద్వారా సంపూర్ణంగా వ్యక్తీకరించబడతాయని గమనించండి. ఏది? కుడి: . అప్పుడు అసలు సమీకరణం రూపంలోకి మార్చబడుతుంది:

ఎక్కడ, మీరు ఇప్పటికే అర్థం చేసుకున్నట్లుగా, . ఇక ఆలస్యం చేయకుండా రాసుకుందాం నిర్వచనం:

మా విషయంలో: .

ఈ సమీకరణాలు వాటిని రూపంలోకి తగ్గించడం ద్వారా పరిష్కరించబడతాయి:

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం ద్వారా అనుసరించబడింది

వాస్తవానికి, మునుపటి ఉదాహరణలో మేము అలా చేసాము: మేము ఈ క్రింది వాటిని పొందాము: మరియు మేము సరళమైన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించాము.

ఇది సంక్లిష్టంగా ఏమీ లేదు, సరియైనదా? ముందుగా సరళమైన వాటిపై సాధన చేద్దాం ఉదాహరణలు:

సమీకరణం యొక్క కుడి మరియు ఎడమ వైపులా ఒక సంఖ్య యొక్క శక్తులుగా సూచించబడాలని మనం మళ్ళీ చూస్తాము. నిజమే, ఎడమ వైపున ఇది ఇప్పటికే జరిగింది, కానీ కుడి వైపున ఒక సంఖ్య ఉంది. కానీ అది సరే, ఎందుకంటే నా సమీకరణం అద్భుతంగా ఇలా మారుతుంది:

నేను ఇక్కడ ఏమి ఉపయోగించాలి? ఏ నియమం? "డిగ్రీల లోపల డిగ్రీలు" నియమంఇది చదువుతుంది:

ఒకవేళ:

ఈ ప్రశ్నకు సమాధానమివ్వడానికి ముందు, కింది పట్టికను పూరించండి:

చిన్నది, చిన్నది విలువ అని మనం గమనించడం సులభం, అయితే, ఈ విలువలన్నీ సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉంటాయి. మరియు ఇది ఎల్లప్పుడూ అలానే ఉంటుంది!!! ఏదైనా సూచికతో ఏ ప్రాతిపదికన అయినా అదే ఆస్తి వర్తిస్తుంది!! (ఏదైనా మరియు). అప్పుడు సమీకరణం గురించి మనం ఏమి తేల్చవచ్చు? ఇది ఏమిటో ఇక్కడ ఉంది: ఇది మూలాలు లేవు! ఏ సమీకరణానికి మూలాలు లేనట్లే. ఇప్పుడు సాధన చేద్దాం మరియు సరళమైన ఉదాహరణలను పరిష్కరిద్దాం:

తనిఖీ చేద్దాం:

1. ఇక్కడ డిగ్రీల లక్షణాల గురించి జ్ఞానం తప్ప మరేమీ అవసరం లేదు (ఇది, నేను మిమ్మల్ని పునరావృతం చేయమని అడిగాను!) నియమం ప్రకారం, ప్రతిదీ అతి చిన్న ఆధారానికి దారితీస్తుంది: , . అప్పుడు అసలు సమీకరణం క్రింది వాటికి సమానంగా ఉంటుంది: నాకు కావలసింది శక్తుల లక్షణాలను ఉపయోగించడం: ఒకే స్థావరాలతో సంఖ్యలను గుణించేటప్పుడు, శక్తులు జోడించబడతాయి మరియు విభజించేటప్పుడు, అవి తీసివేయబడతాయి.అప్పుడు నేను పొందుతాను: సరే, ఇప్పుడు స్పష్టమైన మనస్సాక్షితో నేను ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఈక్వేషన్ నుండి లీనియర్‌కి వెళతాను: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\ ముగింపు (సమలేఖనం)

2. రెండవ ఉదాహరణలో, మనం మరింత జాగ్రత్తగా ఉండాలి: ఇబ్బంది ఏమిటంటే ఎడమ వైపున మనం అదే సంఖ్యను శక్తిగా సూచించలేము. ఈ సందర్భంలో, ఇది కొన్నిసార్లు ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది విభిన్న స్థావరాలు కలిగిన శక్తుల ఉత్పత్తిగా సంఖ్యలను సూచిస్తాయి, కానీ అదే ఘాతాంకాలు:

సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు ఇలా ఉంటుంది: ఇది మనకు ఏమి ఇచ్చింది? ఇక్కడ ఏమి ఉంది: వేర్వేరు స్థావరాలు ఉన్న సంఖ్యలు కానీ ఒకే ఘాతాంకాలను గుణించవచ్చు.ఈ సందర్భంలో, స్థావరాలు గుణించబడతాయి, కానీ సూచిక మారదు:

నా పరిస్థితిలో ఇది ఇస్తుంది:

\ప్రారంభం(సమలేఖనం)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot ((((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\ ముగింపు (సమలేఖనం)

చెడ్డది కాదు, సరియైనదా?

3. అనవసరంగా, నేను సమీకరణం యొక్క ఒక వైపు రెండు పదాలను కలిగి ఉన్నాను మరియు మరొక వైపు ఏదీ లేనప్పుడు (కొన్నిసార్లు, వాస్తవానికి, ఇది సమర్థించబడుతోంది, కానీ ఇప్పుడు అలాంటి సందర్భం కాదు) నేను ఇష్టపడను. నేను మైనస్ పదాన్ని కుడివైపుకి తరలిస్తాను:

ఇప్పుడు, మునుపటిలాగా, నేను మూడు అధికారాల పరంగా ప్రతిదీ వ్రాస్తాను:

నేను ఎడమవైపు డిగ్రీలను జోడించి, సమానమైన సమీకరణాన్ని పొందుతాను

మీరు దాని మూలాన్ని సులభంగా కనుగొనవచ్చు:

4. ఉదాహరణ మూడు వలె, మైనస్ పదానికి కుడి వైపున స్థానం ఉంది!

నా ఎడమవైపు, దాదాపు ప్రతిదీ బాగానే ఉంది, దేనికి తప్ప? అవును, ఇద్దరి “రాంగ్ డిగ్రీ” నన్ను ఇబ్బంది పెడుతోంది. కానీ నేను దీన్ని వ్రాయడం ద్వారా సులభంగా పరిష్కరించగలను: . యురేకా - ఎడమవైపు అన్ని స్థావరాలు భిన్నంగా ఉంటాయి, కానీ అన్ని డిగ్రీలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి! వెంటనే గుణిద్దాం!

ఇక్కడ మళ్ళీ, ప్రతిదీ స్పష్టంగా ఉంది: (నేను చివరి సమానత్వాన్ని అద్భుతంగా ఎలా పొందానో మీకు అర్థం కాకపోతే, ఒక నిమిషం విరామం తీసుకోండి, శ్వాస తీసుకోండి మరియు డిగ్రీ యొక్క లక్షణాలను మళ్ళీ చాలా జాగ్రత్తగా చదవండి. మీరు దాటవేయవచ్చు అని ఎవరు చెప్పారు ప్రతికూల ఘాతాంకంతో డిగ్రీ ఉందా? ఇప్పుడు నేను పొందుతాను:

\ప్రారంభం(సమలేఖనం)
& ((2)^(4\ఎడమ((x) -9 \కుడి)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\ ముగింపు (సమలేఖనం)

మీరు సాధన చేయడానికి ఇక్కడ కొన్ని సమస్యలు ఉన్నాయి, వాటికి నేను సమాధానాలు మాత్రమే ఇస్తాను (కానీ "మిశ్రమ" రూపంలో). వాటిని పరిష్కరించండి, వాటిని తనిఖీ చేయండి మరియు మీరు మరియు నేను మా పరిశోధనను కొనసాగిస్తాము!

సిద్ధంగా ఉన్నారా? సమాధానాలుఇలాంటివి:

1. ఏదైనా సంఖ్య

సరే, సరే, నేను తమాషా చేశాను! ఇక్కడ కొన్ని పరిష్కారాల స్కెచ్‌లు ఉన్నాయి (కొన్ని చాలా క్లుప్తంగా!)

ఎడమవైపు ఉన్న ఒక భిన్నం మరొకటి "విలోమంగా" ఉండటం యాదృచ్చికం కాదని మీరు అనుకోలేదా? దీన్ని సద్వినియోగం చేసుకోకపోవడం పాపం:

ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు ఈ నియమం చాలా తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది, దీన్ని బాగా గుర్తుంచుకోండి!

అప్పుడు అసలు సమీకరణం ఇలా అవుతుంది:

ఈ వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం ద్వారా, మీరు ఈ క్రింది మూలాలను పొందుతారు:

2. మరొక పరిష్కారం: సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా ఎడమవైపు (లేదా కుడివైపు) వ్యక్తీకరణ ద్వారా విభజించడం. కుడి వైపున ఉన్న వాటితో భాగించండి, అప్పుడు నేను పొందుతాను:

ఎక్కడ (ఎందుకు?!)

3. నేను కూడా పునరావృతం చేయకూడదనుకుంటున్నాను, ప్రతిదీ ఇప్పటికే చాలా "నమలింది".

4. వర్గ సమీకరణానికి సమానం, మూలాలు

5. మీరు మొదటి సమస్యలో ఇచ్చిన సూత్రాన్ని ఉపయోగించాలి, అప్పుడు మీరు దాన్ని పొందుతారు:

సమీకరణం ఏదైనా ఒక చిన్న గుర్తింపుగా మారింది. అప్పుడు సమాధానం ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్య.

సరే, ఇప్పుడు మీరు పరిష్కరించడం ప్రాక్టీస్ చేసారు సాధారణ ఘాతాంక సమీకరణాలు.ఇప్పుడు నేను మీకు కొన్ని జీవిత ఉదాహరణలను ఇవ్వాలనుకుంటున్నాను, అవి సూత్రప్రాయంగా ఎందుకు అవసరమో అర్థం చేసుకోవడంలో మీకు సహాయపడతాయి. ఇక్కడ నేను రెండు ఉదాహరణలు ఇస్తాను. వాటిలో ఒకటి చాలా రోజువారీ, కానీ మరొకటి ఆచరణాత్మక ఆసక్తి కంటే శాస్త్రీయంగా ఉంటుంది.

ఉదాహరణ 1 (వర్తక)మీకు రూబిళ్లు ఉండనివ్వండి, కానీ మీరు దానిని రూబిళ్లుగా మార్చాలనుకుంటున్నారు. వడ్డీ యొక్క నెలవారీ క్యాపిటలైజేషన్ (నెలవారీ అక్రూవల్)తో వార్షిక రేటుతో ఈ డబ్బును మీ నుండి తీసుకోమని బ్యాంక్ మీకు అందిస్తుంది. ప్రశ్న ఏమిటంటే, అవసరమైన తుది మొత్తాన్ని చేరుకోవడానికి మీరు ఎన్ని నెలలు డిపాజిట్ తెరవాలి? చాలా ప్రాపంచిక పని, కాదా? అయినప్పటికీ, దాని పరిష్కారం సంబంధిత ఘాతాంక సమీకరణం యొక్క నిర్మాణంతో ముడిపడి ఉంది: లెట్ - ప్రారంభ మొత్తం, - చివరి మొత్తం, - కాలానికి వడ్డీ రేటు, - కాలాల సంఖ్య. అప్పుడు:

మా విషయంలో (రేటు వార్షికంగా ఉంటే, అది నెలకు లెక్కించబడుతుంది). ఎందుకు విభజించబడింది? ఈ ప్రశ్నకు సమాధానం మీకు తెలియకపోతే, "" అంశాన్ని గుర్తుంచుకోండి! అప్పుడు మనం ఈ సమీకరణాన్ని పొందుతాము:

ఈ ఘాతాంక సమీకరణం ఇప్పటికే కాలిక్యులేటర్ సహాయంతో మాత్రమే పరిష్కరించబడుతుంది (దీని రూపాన్ని ఇది సూచిస్తుంది, మరియు దీనికి లాగరిథమ్‌ల పరిజ్ఞానం అవసరం, దీనితో మనం కొంచెం తరువాత పరిచయం చేస్తాము), అదే నేను చేస్తాను: ... అందువలన , మిలియన్ పొందడానికి, మేము ఒక నెల పాటు సహకారం అందించాలి (చాలా వేగంగా కాదు, సరియైనదా?).

ఉదాహరణ 2 (కాకుండా శాస్త్రీయమైనది).అతని నిర్దిష్ట “ఒంటరితనం” ఉన్నప్పటికీ, మీరు అతని పట్ల శ్రద్ధ వహించాలని నేను సిఫార్సు చేస్తున్నాను: అతను క్రమం తప్పకుండా “యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్‌లోకి జారిపోతాడు!! (సమస్య "నిజమైన" సంస్కరణ నుండి తీసుకోబడింది) రేడియోధార్మిక ఐసోటోప్ యొక్క క్షయం సమయంలో, దాని ద్రవ్యరాశి చట్టం ప్రకారం తగ్గుతుంది, ఇక్కడ (mg) ఐసోటోప్ యొక్క ప్రారంభ ద్రవ్యరాశి, (నిమి.) నుండి గడిచిన సమయం ప్రారంభ క్షణం, (నిమి.) సగం జీవితం. ప్రారంభ క్షణంలో, ఐసోటోప్ యొక్క ద్రవ్యరాశి mg. దీని సగం జీవితం నిమి. ఎన్ని నిమిషాల తర్వాత ఐసోటోప్ ద్రవ్యరాశి mgకి సమానంగా ఉంటుంది? ఇది ఫర్వాలేదు: మేము మాకు ప్రతిపాదించిన ఫార్ములాలో మొత్తం డేటాను తీసుకొని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము:

ఎడమ వైపున మనం జీర్ణమయ్యే ఏదో పొందుతామని "ఆశతో" రెండు భాగాలను విభజిద్దాం:

సరే, మేము చాలా అదృష్టవంతులం! ఇది ఎడమ వైపున ఉంది, ఆపై సమానమైన సమీకరణానికి వెళ్దాం:

నిమి ఎక్కడ ఉంది.

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, ఘాతాంక సమీకరణాలు ఆచరణలో చాలా నిజమైన అనువర్తనాలను కలిగి ఉంటాయి. ఇప్పుడు నేను ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి మరొక (సరళమైన) మార్గాన్ని మీకు చూపాలనుకుంటున్నాను, ఇది బ్రాకెట్‌ల నుండి సాధారణ కారకాన్ని తీసివేసి, ఆపై నిబంధనలను సమూహపరచడంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. నా మాటలకు భయపడకండి, మీరు ఇప్పటికే 7వ తరగతిలో బహుపదాలు చదివేటప్పుడు ఈ పద్ధతిని చూశారు. ఉదాహరణకు, మీరు వ్యక్తీకరణను కారకం చేయవలసి వస్తే:

లెట్స్ గ్రూప్: మొదటి మరియు మూడవ నిబంధనలు, అలాగే రెండవ మరియు నాల్గవ. మొదటి మరియు మూడవది చతురస్రాల వ్యత్యాసం అని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది:

మరియు రెండవ మరియు నాల్గవ మూడు సాధారణ కారకాన్ని కలిగి ఉంటాయి:

అప్పుడు అసలు వ్యక్తీకరణ దీనికి సమానం:

సాధారణ కారకాన్ని ఎక్కడ పొందాలి అనేది ఇకపై కష్టం కాదు:

అందుకే,

ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు మనం స్థూలంగా ఇదే చేస్తాము: నిబంధనల మధ్య “సామాన్యత” కోసం వెతకండి మరియు బ్రాకెట్‌ల నుండి తీసివేయండి, ఆపై - ఏది వచ్చినా, మనం అదృష్టవంతులమని నేను నమ్ముతున్నాను =)) ఉదాహరణకు:

కుడి వైపున ఏడు శక్తికి దూరంగా ఉంది (నేను తనిఖీ చేసాను!) మరియు ఎడమ వైపున - ఇది కొంచెం మెరుగ్గా ఉంది, మీరు మొదటి టర్మ్ నుండి రెండవ నుండి కారకాన్ని "తరిగించవచ్చు", ఆపై వ్యవహరించవచ్చు మీకు లభించిన దానితో, కానీ మీతో మరింత వివేకంతో ఉండండి. "ఎంచుకునేటప్పుడు" అనివార్యంగా ఏర్పడే భిన్నాలతో నేను వ్యవహరించకూడదనుకుంటున్నాను, కాబట్టి నేను దానిని బయటకు తీయకూడదా? అప్పుడు నాకు భిన్నాలు లేవు: వారు చెప్పినట్లు, తోడేళ్ళకు ఆహారం ఇవ్వబడుతుంది మరియు గొర్రెలు సురక్షితంగా ఉంటాయి:

బ్రాకెట్లలో వ్యక్తీకరణను లెక్కించండి. అద్భుతంగా, అద్భుతంగా, అది మారుతుంది (ఆశ్చర్యకరంగా, మనం ఇంకా ఏమి ఆశించాలి?).

అప్పుడు మేము ఈ కారకం ద్వారా సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా తగ్గిస్తాము. మేము పొందుతాము: , నుండి.

ఇక్కడ మరింత సంక్లిష్టమైన ఉదాహరణ (కొంచెం, నిజంగా):

ఏం సమస్య! మాకు ఇక్కడ ఒక ఉమ్మడి మైదానం లేదు! ఇప్పుడు ఏమి చేయాలో పూర్తిగా స్పష్టంగా లేదు. మనం చేయగలిగినది చేద్దాం: మొదట, "ఫోర్స్" ను ఒక వైపుకు మరియు "ఫైవ్స్" మరొక వైపుకు తరలించండి:

ఇప్పుడు ఎడమ మరియు కుడి వైపున ఉన్న "జనరల్" ను తీసుకుందాం:

అయితే ఇప్పుడేంటి? ఇంత తెలివితక్కువ గుంపు వల్ల ఏం లాభం? మొదటి చూపులో ఇది అస్సలు కనిపించదు, కానీ లోతుగా చూద్దాం:

సరే, ఇప్పుడు మనం ఎడమ వైపున c అనే వ్యక్తీకరణను మాత్రమే కలిగి ఉన్నామని మరియు కుడి వైపున - మిగతావన్నీ ఉండేలా చూస్తాము. మేము దీన్ని ఎలా చేస్తాము? ఇక్కడ ఎలా ఉంది: ముందుగా సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా విభజించండి (కాబట్టి మనం కుడి వైపున ఉన్న ఘాతాంకాన్ని తొలగిస్తాము), ఆపై రెండు వైపులా విభజించండి (కాబట్టి మనం ఎడమ వైపున ఉన్న సంఖ్యా కారకాన్ని తొలగిస్తాము). చివరగా మనకు లభిస్తుంది:

ఇన్క్రెడిబుల్! ఎడమ వైపున మనకు వ్యక్తీకరణ ఉంటుంది మరియు కుడి వైపున మనకు సాధారణ వ్యక్తీకరణ ఉంటుంది. అప్పుడు మేము వెంటనే దానిని ముగించాము

మీరు బలోపేతం చేయడానికి ఇక్కడ మరొక ఉదాహరణ ఉంది:

నేను అతని సంక్షిప్త పరిష్కారాన్ని ఇస్తాను (వివరణలతో నన్ను చాలా ఇబ్బంది పెట్టకుండా), పరిష్కారం యొక్క అన్ని “సూక్ష్మతలను” మీరే అర్థం చేసుకోవడానికి ప్రయత్నించండి.

ఇప్పుడు కవర్ చేయబడిన పదార్థం యొక్క తుది ఏకీకరణ కోసం. కింది సమస్యలను మీరే పరిష్కరించడానికి ప్రయత్నించండి. నేను వాటిని పరిష్కరించడానికి సంక్షిప్త సిఫార్సులు మరియు చిట్కాలను ఇస్తాను:

1. బ్రాకెట్ల నుండి సాధారణ కారకాన్ని తీసుకుందాం: ఎక్కడ:
2. మొదటి వ్యక్తీకరణను ఫారమ్‌లో అందజేద్దాం: , రెండు వైపులా విభజించి దాన్ని పొందండి
3. , అప్పుడు అసలు సమీకరణం రూపానికి రూపాంతరం చెందుతుంది: సరే, ఇప్పుడు సూచన - మీరు మరియు నేను ఇప్పటికే ఈ సమీకరణాన్ని ఎక్కడ పరిష్కరించామో చూడండి!
4. ఎలా, ఎలా, ఆహ్, బాగా, ఆపై రెండు వైపులా విభజించండి, కాబట్టి మీరు సరళమైన ఘాతాంక సమీకరణాన్ని పొందుతారు.
5. బ్రాకెట్ల నుండి బయటకు తీసుకురండి.
6. బ్రాకెట్ల నుండి బయటకు తీసుకురండి.

ఎక్స్పోనెంటరీ సమీకరణాలు. సగటు స్థాయి

నేను మొదటి వ్యాసం చదివిన తర్వాత, ఇది గురించి మాట్లాడింది ఘాతాంక సమీకరణాలు ఏమిటి మరియు వాటిని ఎలా పరిష్కరించాలి, సరళమైన ఉదాహరణలను పరిష్కరించడానికి అవసరమైన కనీస పరిజ్ఞానాన్ని మీరు స్వాధీనం చేసుకున్నారు.

ఇప్పుడు నేను ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి మరొక పద్ధతిని చూస్తాను, ఇది

“కొత్త వేరియబుల్‌ని పరిచయం చేసే పద్ధతి” (లేదా భర్తీ).అతను ఘాతాంక సమీకరణాల (మరియు సమీకరణాలు మాత్రమే కాదు) అనే అంశంపై చాలా "కష్టమైన" సమస్యలను పరిష్కరిస్తాడు. ఈ పద్ధతి ఆచరణలో చాలా తరచుగా ఉపయోగించే వాటిలో ఒకటి. మొదట, మీరు టాపిక్‌తో మిమ్మల్ని పరిచయం చేసుకోవాలని నేను సిఫార్సు చేస్తున్నాను.

మీరు పేరు నుండి ఇప్పటికే అర్థం చేసుకున్నట్లుగా, ఈ పద్ధతి యొక్క సారాంశం వేరియబుల్ యొక్క అటువంటి మార్పును పరిచయం చేయడం, మీ ఘాతాంక సమీకరణం మీరు సులభంగా పరిష్కరించగలిగేలా అద్భుతంగా రూపాంతరం చెందుతుంది. ఈ “సరళీకృత సమీకరణాన్ని” పరిష్కరించిన తర్వాత మీ కోసం మిగిలి ఉన్నది “రివర్స్ రీప్లేస్‌మెంట్” చేయడం: అంటే, భర్తీ చేసిన దాని నుండి భర్తీ చేసిన దానికి తిరిగి వెళ్లండి. చాలా సులభమైన ఉదాహరణతో మనం ఇప్పుడే చెప్పినట్లు ఉదహరించండి:

ఉదాహరణ 1:

ఈ సమీకరణం "సాధారణ ప్రత్యామ్నాయం" ఉపయోగించి పరిష్కరించబడుతుంది, గణిత శాస్త్రవేత్తలు దీనిని అవమానకరంగా పిలుస్తారు. నిజానికి, ఇక్కడ భర్తీ అత్యంత స్పష్టమైనది. అది ఒక్కటే చూడాలి

అప్పుడు అసలు సమీకరణం ఇలా మారుతుంది:

మేము అదనంగా ఎలా ఊహించినట్లయితే, అప్పుడు భర్తీ చేయవలసినది ఖచ్చితంగా స్పష్టంగా ఉంటుంది: వాస్తవానికి, . అప్పుడు అసలు సమీకరణం ఏమవుతుంది? ఇక్కడ ఏమి ఉంది:

మీరు మీ స్వంతంగా దాని మూలాలను సులభంగా కనుగొనవచ్చు: . ఇప్పుడు మనం ఏమి చేయాలి? అసలు వేరియబుల్‌కి తిరిగి రావడానికి ఇది సమయం. నేను ఏమి చెప్పడం మర్చిపోయాను? అవి: ఒక నిర్దిష్ట డిగ్రీని కొత్త వేరియబుల్‌తో భర్తీ చేసినప్పుడు (అంటే, ఒక రకాన్ని భర్తీ చేసేటప్పుడు), నేను ఆసక్తిని కలిగి ఉంటాను సానుకూల మూలాలు మాత్రమే!ఎందుకు అని మీరే సులభంగా సమాధానం చెప్పగలరు. అందువల్ల, మీకు మరియు నాకు ఆసక్తి లేదు, కానీ రెండవ రూట్ మాకు చాలా అనుకూలంగా ఉంటుంది:

అప్పుడు ఎక్కడ నుండి.

సమాధానం:

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, మునుపటి ఉదాహరణలో, ప్రత్యామ్నాయం కేవలం మా చేతుల కోసం అడుగుతోంది. దురదృష్టవశాత్తు, ఇది ఎల్లప్పుడూ కేసు కాదు. అయితే, విచారకరమైన విషయాలకు నేరుగా వెళ్లవద్దు, కానీ చాలా సులభమైన ప్రత్యామ్నాయంతో మరో ఉదాహరణతో సాధన చేద్దాం

ఉదాహరణ 2.

చాలా మటుకు మనం భర్తీ చేయవలసి ఉంటుందని స్పష్టంగా ఉంది (ఇది మా సమీకరణంలో చేర్చబడిన శక్తులలో అతి చిన్నది), కానీ భర్తీని పరిచయం చేయడానికి ముందు, మా సమీకరణాన్ని దాని కోసం "సిద్ధం" చేయాలి, అవి: , . అప్పుడు మీరు భర్తీ చేయవచ్చు, ఫలితంగా నేను ఈ క్రింది వ్యక్తీకరణను పొందుతాను:

ఓ హార్రర్: దాన్ని పరిష్కరించడానికి ఖచ్చితంగా భయంకరమైన సూత్రాలతో కూడిన క్యూబిక్ సమీకరణం (అలాగే, సాధారణ పరంగా మాట్లాడటం). కానీ వెంటనే నిరాశ చెందకండి, కానీ మనం ఏమి చేయాలో ఆలోచిద్దాం. నేను మోసం చేయమని సూచిస్తాను: “అందమైన” సమాధానం పొందడానికి, మనం దానిని మూడు శక్తి రూపంలో పొందాలని మాకు తెలుసు (అది ఎందుకు అవుతుంది, ఇహ్?). మన సమీకరణం యొక్క కనీసం ఒక మూలాన్ని ఊహించడానికి ప్రయత్నిద్దాం (నేను మూడు శక్తులతో ఊహించడం ప్రారంభిస్తాను).

మొదటి అంచనా. రూట్ కాదు. అయ్యో అయ్యో...

.
ఎడమ వైపు సమానంగా ఉంటుంది.
కుడి భాగం:!
తినండి! మొదటి మూలాన్ని ఊహించారు. ఇప్పుడు విషయాలు తేలికవుతాయి!

"మూల" విభజన పథకం గురించి మీకు తెలుసా? వాస్తవానికి మీరు చేస్తారు, మీరు ఒక సంఖ్యను మరొకదానితో విభజించినప్పుడు దాన్ని ఉపయోగిస్తారు. కానీ బహుపదాలతో కూడా అదే పని చేయవచ్చని కొద్ది మందికి తెలుసు. ఒక అద్భుతమైన సిద్ధాంతం ఉంది:

నా పరిస్థితికి వర్తింపజేస్తే, ఇది మిగిలిన వాటితో భాగించబడుతుందని ఇది నాకు చెబుతుంది. విభజన ఎలా జరుగుతుంది? ఆ విధంగా:

నేను స్పష్టంగా పొందడానికి ఏ మోనోమియల్‌ని గుణించాలి అని చూస్తున్నాను:

నేను ఫలిత వ్యక్తీకరణను తీసివేస్తాను, నేను పొందుతాను:

ఇప్పుడు, నేను పొందడానికి ఏమి గుణించాలి? ఇది స్పష్టంగా ఉంది, అప్పుడు నేను పొందుతాను:

మరియు మిగిలిన దాని నుండి ఫలిత వ్యక్తీకరణను మళ్లీ తీసివేయండి:

బాగా, చివరి దశ మిగిలిన వ్యక్తీకరణ నుండి గుణించడం మరియు తీసివేయడం:

హుర్రే, విభజన ముగిసింది! మేము ప్రైవేట్‌గా ఏమి సేకరించాము? దానికదే: .

అప్పుడు మేము అసలు బహుపది యొక్క క్రింది విస్తరణను పొందాము:

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం:

దీనికి మూలాలు ఉన్నాయి:

అప్పుడు అసలు సమీకరణం:

మూడు మూలాలు ఉన్నాయి:

మేము, వాస్తవానికి, చివరి మూలాన్ని విస్మరిస్తాము, ఎందుకంటే ఇది సున్నా కంటే తక్కువగా ఉంటుంది. మరియు రివర్స్ రీప్లేస్‌మెంట్ తర్వాత మొదటి రెండు మాకు రెండు మూలాలను ఇస్తాయి:

సమాధానం: ..

ఈ ఉదాహరణతో, నేను మిమ్మల్ని భయపెట్టాలని కోరుకోలేదు, మేము చాలా సరళమైన ప్రత్యామ్నాయాన్ని కలిగి ఉన్నప్పటికీ, ఇది చాలా సంక్లిష్టమైన సమీకరణానికి దారితీసిందని, దీని పరిష్కారానికి మా నుండి కొన్ని ప్రత్యేక నైపుణ్యాలు అవసరమని చూపించడం నా లక్ష్యం. బాగా, దీని నుండి ఎవరూ రక్షింపబడరు. కానీ ఈ సందర్భంలో భర్తీ చాలా స్పష్టంగా ఉంది.

కొంచెం తక్కువ స్పష్టమైన భర్తీతో ఇక్కడ ఒక ఉదాహరణ ఉంది:

మనం ఏమి చేయాలో స్పష్టంగా లేదు: సమస్య ఏమిటంటే, మన సమీకరణంలో రెండు వేర్వేరు స్థావరాలు ఉన్నాయి మరియు ఏదైనా (సహేతుకమైన, సహజంగా) శక్తికి పెంచడం ద్వారా మరొక దాని నుండి ఒక ఆధారాన్ని పొందలేము. అయితే, మనం ఏమి చూస్తాము? రెండు స్థావరాలు గుర్తులో మాత్రమే విభిన్నంగా ఉంటాయి మరియు వాటి ఉత్పత్తి ఒకదానికి సమానమైన చతురస్రాల వ్యత్యాసం:

నిర్వచనం:

కాబట్టి, మా ఉదాహరణలో స్థావరాలుగా ఉన్న సంఖ్యలు సంయోగం.

ఈ సందర్భంలో, తెలివైన దశ ఉంటుంది సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా సంయోగ సంఖ్యతో గుణించండి.

ఉదాహరణకు, ఆన్, అప్పుడు సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు సమానంగా మరియు కుడి వైపుకు మారుతుంది. మనం ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మన అసలు సమీకరణం ఇలా అవుతుంది:

దాని మూలాలు, ఆపై, మరియు గుర్తుంచుకోవడం, మేము దానిని పొందుతాము.

సమాధానం: , .

నియమం ప్రకారం, చాలా "పాఠశాల" ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి భర్తీ పద్ధతి సరిపోతుంది. కింది పనులు యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్ C1 (కష్టం యొక్క పెరిగిన స్థాయి) నుండి తీసుకోబడ్డాయి. ఈ ఉదాహరణలను మీ స్వంతంగా పరిష్కరించడానికి మీకు ఇప్పటికే తగినంత అక్షరాస్యత ఉంది. నేను అవసరమైన భర్తీ మాత్రమే ఇస్తాను.

1. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి:
2. సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనండి:
3. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి: . విభాగానికి చెందిన ఈ సమీకరణం యొక్క అన్ని మూలాలను కనుగొనండి:

మరియు ఇప్పుడు కొన్ని క్లుప్త వివరణలు మరియు సమాధానాలు:

1. ఇక్కడ మనం గమనిస్తే చాలు... అప్పుడు అసలు సమీకరణం దీనికి సమానంగా ఉంటుంది: ఈ సమీకరణాన్ని భర్తీ చేయడం ద్వారా పరిష్కరించవచ్చు తదుపరి గణనలను మీరే చేయండి. చివరికి, మీ పని సాధారణ త్రికోణమితి సమస్యలను (సైన్ లేదా కొసైన్‌పై ఆధారపడి) పరిష్కరించడానికి తగ్గించబడుతుంది. మేము ఇతర విభాగాలలో ఇలాంటి ఉదాహరణలకు పరిష్కారాలను పరిశీలిస్తాము.
2. ఇక్కడ మీరు ప్రత్యామ్నాయం లేకుండా కూడా చేయవచ్చు: సబ్‌ట్రాహెండ్‌ను కుడివైపుకి తరలించి, రెండు శక్తుల ద్వారా రెండు స్థావరాలను సూచించండి: , ఆపై నేరుగా వర్గ సమీకరణానికి వెళ్లండి.
3. మూడవ సమీకరణం కూడా చాలా ప్రామాణికంగా పరిష్కరించబడింది: ఎలా ఊహించుకుందాం. అప్పుడు, స్థానంలో, మేము ఒక వర్గ సమీకరణాన్ని పొందుతాము: అప్పుడు,

   సంవర్గమానం అంటే ఏమిటో మీకు ఇప్పటికే తెలుసు, సరియైనదా? కాదా? అప్పుడు అంశాన్ని అత్యవసరంగా చదవండి!

   మొదటి మూలం స్పష్టంగా విభాగానికి చెందినది కాదు, కానీ రెండవది అస్పష్టంగా ఉంది! కానీ మేము అతి త్వరలో కనుగొంటాము! అప్పటి నుండి (ఇది సంవర్గమానం యొక్క లక్షణం!) పోల్చి చూద్దాం:

   రెండు వైపుల నుండి తీసివేయండి, అప్పుడు మనకు లభిస్తుంది:

   ఎడమ వైపు ఇలా సూచించవచ్చు:

   దీని ద్వారా రెండు వైపులా గుణించండి:

   అప్పుడు గుణించవచ్చు

   ఆపై సరిపోల్చండి:

   అప్పటి నుండి:

   అప్పుడు రెండవ మూలం అవసరమైన విరామానికి చెందినది

   సమాధానం:

మీరు చూస్తున్నట్లుగా, ఘాతాంక సమీకరణాల మూలాల ఎంపికకు లాగరిథమ్‌ల లక్షణాల గురించి చాలా లోతైన జ్ఞానం అవసరం, కాబట్టి ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు వీలైనంత జాగ్రత్తగా ఉండాలని నేను మీకు సలహా ఇస్తున్నాను. మీరు అర్థం చేసుకున్నట్లుగా, గణితంలో ప్రతిదీ పరస్పరం అనుసంధానించబడి ఉంది! నా గణిత ఉపాధ్యాయుడు చెప్పినట్లుగా: "చరిత్ర వంటి గణితాన్ని రాత్రిపూట చదవలేము."

నియమం ప్రకారం, అన్ని సమస్యలను పరిష్కరించడంలో ఇబ్బంది C1 అనేది సమీకరణం యొక్క మూలాల ఎంపిక.మరో ఉదాహరణతో సాధన చేద్దాం:

సమీకరణం చాలా సరళంగా పరిష్కరించబడిందని స్పష్టమవుతుంది. ప్రత్యామ్నాయం చేయడం ద్వారా, మేము మా అసలు సమీకరణాన్ని క్రింది వాటికి తగ్గిస్తాము:

మొదట మొదటి మూలాన్ని చూద్దాం. పోల్చి చూద్దాం మరియు: అప్పటి నుండి. (ఒక లాగరిథమిక్ ఫంక్షన్ యొక్క ఆస్తి, వద్ద). అప్పుడు మొదటి రూట్ మన ఇంటర్వెల్‌కి చెందదని తెలుస్తుంది. ఇప్పుడు రెండవ మూలం: . ఇది స్పష్టంగా ఉంది (ఎట్ ఫంక్షన్ పెరుగుతోంది కాబట్టి). ఇది పోల్చడానికి మిగిలి ఉంది మరియు ...

అప్పటి నుండి, అదే సమయంలో. ఈ విధంగా నేను మరియు మధ్య "ఒక పెగ్ నడపగలను". ఈ పెగ్ ఒక సంఖ్య. మొదటి వ్యక్తీకరణ తక్కువ మరియు రెండవది ఎక్కువ. అప్పుడు రెండవ వ్యక్తీకరణ మొదటి దాని కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది మరియు మూలం విరామానికి చెందినది.

సమాధానం: .

చివరగా, ప్రత్యామ్నాయం చాలా ప్రామాణికం కాని సమీకరణం యొక్క మరొక ఉదాహరణను చూద్దాం:

ఏమి చేయాలో వెంటనే ప్రారంభిద్దాం, మరియు ఏమి - సూత్రప్రాయంగా, చేయవచ్చు, కానీ దీన్ని చేయకపోవడమే మంచిది. మీరు మూడు, రెండు మరియు ఆరు శక్తుల ద్వారా ప్రతిదీ ఊహించవచ్చు. ఎక్కడికి దారి తీస్తుంది? ఇది దేనికీ దారితీయదు: డిగ్రీల గందరగోళం, వాటిలో కొన్ని వదిలించుకోవటం చాలా కష్టం. అప్పుడు ఏమి కావాలి? మరియు ఇది మనకు ఏమి ఇస్తుంది అని గమనించండి? మరియు మేము ఈ ఉదాహరణ యొక్క పరిష్కారాన్ని చాలా సరళమైన ఘాతాంక సమీకరణం యొక్క పరిష్కారానికి తగ్గించగలము! ముందుగా, మన సమీకరణాన్ని ఇలా తిరిగి వ్రాద్దాం:

ఇప్పుడు ఫలిత సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా విభజించండి:

యురేకా! ఇప్పుడు మనం భర్తీ చేయవచ్చు, మనకు లభిస్తుంది:

సరే, ఇప్పుడు ప్రదర్శన సమస్యలను పరిష్కరించడం మీ వంతు, మరియు మీరు తప్పుదారి పట్టకుండా ఉండటానికి నేను వారికి సంక్షిప్త వ్యాఖ్యలు మాత్రమే ఇస్తాను! అదృష్టం!

1. అత్యంత కష్టం! ఇక్కడ ప్రత్యామ్నాయాన్ని చూడటం చాలా కష్టం! అయితే, ఈ ఉదాహరణను ఉపయోగించి పూర్తిగా పరిష్కరించవచ్చు పూర్తి చతురస్రాన్ని హైలైట్ చేస్తుంది. దాన్ని పరిష్కరించడానికి, దీన్ని గమనించడం సరిపోతుంది:

ఆపై మీ ప్రత్యామ్నాయం ఇక్కడ ఉంది:

(దయచేసి ఇక్కడ మా భర్తీ సమయంలో మేము ప్రతికూల మూలాన్ని విస్మరించలేము!!! మీరు ఎందుకు అనుకుంటున్నారు?)

ఇప్పుడు ఉదాహరణను పరిష్కరించడానికి మీరు రెండు సమీకరణాలను మాత్రమే పరిష్కరించాలి:

ఈ రెండింటినీ "ప్రామాణిక భర్తీ" ద్వారా పరిష్కరించవచ్చు (కానీ ఒక ఉదాహరణలో రెండవది!)

2. అది గమనించండి మరియు భర్తీ చేయండి.

3. సంఖ్యను కాప్రైమ్ కారకాలుగా విడదీయండి మరియు ఫలిత వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి.

4. భిన్నం యొక్క లవం మరియు హారం (లేదా, మీరు ఇష్టపడితే) ద్వారా విభజించండి మరియు ప్రత్యామ్నాయం చేయండి లేదా.

5. సంఖ్యలు మరియు సంయోగం అని గమనించండి.

ఎక్స్పోనెంటరీ సమీకరణాలు. అధునాతన స్థాయి

అదనంగా, మరొక మార్గాన్ని చూద్దాం - లాగరిథమ్ పద్ధతిని ఉపయోగించి ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిష్కరించడం. ఈ పద్ధతిని ఉపయోగించి ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిష్కరించడం చాలా ప్రజాదరణ పొందిందని నేను చెప్పలేను, కానీ కొన్ని సందర్భాల్లో మాత్రమే ఇది మన సమీకరణం యొక్క సరైన పరిష్కారానికి దారి తీస్తుంది. "" అని పిలవబడే వాటిని పరిష్కరించడానికి ఇది చాలా తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది. మిశ్రమ సమీకరణాలు": అంటే, వివిధ రకాల విధులు జరిగేవి.

ఉదాహరణకు, రూపం యొక్క సమీకరణం:

సాధారణ సందర్భంలో, ఇది రెండు వైపుల లాగరిథమ్‌లను తీసుకోవడం ద్వారా మాత్రమే పరిష్కరించబడుతుంది (ఉదాహరణకు, ఆధారానికి), దీనిలో అసలు సమీకరణం క్రింది విధంగా మారుతుంది:

కింది ఉదాహరణను చూద్దాం:

లాగరిథమిక్ ఫంక్షన్ యొక్క ODZ ప్రకారం, మేము మాత్రమే ఆసక్తి కలిగి ఉన్నామని స్పష్టమవుతుంది. అయితే, ఇది సంవర్గమానం యొక్క ODZ నుండి మాత్రమే కాకుండా, మరొక కారణం కోసం కూడా అనుసరిస్తుంది. ఇది ఏది అని మీరు ఊహించడం కష్టం కాదని నేను భావిస్తున్నాను.

మన సమీకరణం యొక్క రెండు వైపుల సంవర్గమానాన్ని ఆధారానికి తీసుకుందాం:

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, మా అసలు సమీకరణం యొక్క సంవర్గమానాన్ని తీసుకోవడం వల్ల త్వరగా సరైన (మరియు అందమైన!) సమాధానానికి దారితీసింది. మరో ఉదాహరణతో సాధన చేద్దాం:

ఇక్కడ కూడా తప్పు ఏమీ లేదు: సమీకరణం యొక్క రెండు వైపుల సంవర్గమానాన్ని బేస్కు తీసుకుందాం, అప్పుడు మనకు లభిస్తుంది:

భర్తీ చేద్దాం:

అయితే, మేము ఏదో కోల్పోయాము! నేను ఎక్కడ తప్పు చేశానో గమనించారా? అన్ని తరువాత, అప్పుడు:

ఇది అవసరాన్ని తీర్చదు (ఇది ఎక్కడ నుండి వచ్చిందో ఆలోచించండి!)

సమాధానం:

దిగువ ఘాతాంక సమీకరణాలకు పరిష్కారాన్ని వ్రాయడానికి ప్రయత్నించండి:

ఇప్పుడు మీ నిర్ణయాన్ని దీనితో పోల్చండి:

1. బేస్‌కు రెండు వైపులా లాగరిథమ్ చేద్దాం, దీనిని పరిగణనలోకి తీసుకుంటాము:

(భర్తీ కారణంగా రెండవ మూలం మాకు సరిపోదు)

2. ఆధారానికి సంవర్గమానం:

ఫలిత వ్యక్తీకరణను క్రింది రూపానికి మారుద్దాం:

ఎక్స్పోనెంటరీ సమీకరణాలు. సంక్షిప్త వివరణ మరియు ప్రాథమిక సూత్రాలు

ఘాతాంక సమీకరణం

రూపం యొక్క సమీకరణం:

అని పిలిచారు సరళమైన ఘాతాంక సమీకరణం.

డిగ్రీల లక్షణాలు

పరిష్కారానికి విధానాలు

• అదే ప్రాతిపదికన తగ్గింపు
• అదే ఘాతాంకానికి తగ్గింపు
• వేరియబుల్ భర్తీ
• వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయడం మరియు పై వాటిలో ఒకదాన్ని వర్తింపజేయడం.