సమీకరణాలు

సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలి?

ఈ విభాగంలో మేము చాలా ప్రాథమిక సమీకరణాలను గుర్తుకు తెచ్చుకుంటాము (లేదా అధ్యయనం, మీరు ఎంచుకున్న వారిపై ఆధారపడి ఉంటుంది). కాబట్టి సమీకరణం ఏమిటి? మానవ భాషలో, ఇది సమానమైన సంకేతం మరియు తెలియని గణిత వ్యక్తీకరణ. ఇది సాధారణంగా అక్షరంతో సూచించబడుతుంది "X". సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి- ఇది x యొక్క అటువంటి విలువలను కనుగొనడం, దానిలో ప్రత్యామ్నాయంగా ఉన్నప్పుడు అసలువ్యక్తీకరణ మనకు సరైన గుర్తింపును ఇస్తుంది. గుర్తింపు అనేది గణిత శాస్త్ర పరిజ్ఞానంతో పూర్తిగా భారం లేని వ్యక్తికి కూడా సందేహం లేని వ్యక్తీకరణ అని నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను. 2=2, 0=0, ab=ab, మొదలైనవి. కాబట్టి సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలి?దాన్ని గుర్తించండి.

అన్ని రకాల సమీకరణాలు ఉన్నాయి (నేను ఆశ్చర్యపోయాను, సరియైనదా?). కానీ వారి అనంతమైన అన్ని రకాలను కేవలం నాలుగు రకాలుగా విభజించవచ్చు.

4. ఇతర.)

మిగిలినవన్నీ, వాస్తవానికి, అన్నింటికంటే, అవును...) ఇందులో క్యూబిక్, ఎక్స్‌పోనెన్షియల్, లాగరిథమిక్, త్రికోణమితి మరియు అన్ని రకాల ఇతరాలు ఉంటాయి. మేము తగిన విభాగాలలో వారితో కలిసి పని చేస్తాము.

నేను వెంటనే చెబుతాను, కొన్నిసార్లు మొదటి మూడు రకాల సమీకరణాలు చాలా చిత్తు చేయబడి ఉంటాయి, మీరు వాటిని కూడా గుర్తించలేరు ... ఏమీ లేదు. వాటిని ఎలా నిలిపివేయాలో మేము నేర్చుకుంటాము.

మరి ఈ నాలుగు రకాలు మనకు ఎందుకు అవసరం? ఆపై ఏమి సరళ సమీకరణాలుఒక మార్గంలో పరిష్కరించబడింది చతురస్రంఇతరులు, పాక్షిక హేతువులు - మూడవది,ఎ విశ్రాంతివారు అస్సలు ధైర్యం చేయరు! సరే, వారు అస్సలు నిర్ణయించలేరని కాదు, నేను గణితంలో తప్పు చేశాను.) ఇది వారి స్వంత ప్రత్యేక పద్ధతులు మరియు పద్ధతులను కలిగి ఉంటుంది.

కానీ దేనికైనా (నేను పునరావృతం - కోసం ఏదైనా!) సమీకరణాలు పరిష్కరించడానికి నమ్మదగిన మరియు విఫల-సురక్షిత ఆధారాన్ని అందిస్తాయి. ప్రతిచోటా మరియు ఎల్లప్పుడూ పని చేస్తుంది. ఈ పునాది - భయానకంగా అనిపిస్తుంది, కానీ ఇది చాలా సులభం. మరియు చాలా (చాలా!)ముఖ్యమైన.

వాస్తవానికి, సమీకరణానికి పరిష్కారం ఈ పరివర్తనలను కలిగి ఉంటుంది. 99% అనే ప్రశ్నకు సమాధానం: " సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలి?"ఈ రూపాంతరాలలో ఖచ్చితంగా ఉంది. సూచన స్పష్టంగా ఉందా?)

సమీకరణాల యొక్క ఒకేలా రూపాంతరాలు.

IN ఏదైనా సమీకరణాలుతెలియని వాటిని కనుగొనడానికి, మీరు అసలు ఉదాహరణను మార్చాలి మరియు సరళీకృతం చేయాలి. మరియు ప్రదర్శన మారినప్పుడు సమీకరణం యొక్క సారాంశం మారలేదు.ఇటువంటి పరివర్తనలు అంటారు ఒకేలాలేదా సమానమైనది.

ఈ రూపాంతరాలు వర్తిస్తాయని గమనించండి ప్రత్యేకంగా సమీకరణాలకు.గణితంలో గుర్తింపు పరివర్తనలు కూడా ఉన్నాయి వ్యక్తీకరణలు.ఇది మరొక అంశం.

ఇప్పుడు మనం అన్నీ, అన్నీ, అన్ని ప్రాథమికాలను పునరావృతం చేస్తాము సమీకరణాల యొక్క ఒకే విధమైన రూపాంతరాలు.

ప్రాథమిక ఎందుకంటే వారు దరఖాస్తు చేసుకోవచ్చు ఏదైనాసమీకరణాలు - లీనియర్, క్వాడ్రాటిక్, ఫ్రాక్షనల్, త్రికోణమితి, ఎక్స్‌పోనెన్షియల్, లాగరిథమిక్ మొదలైనవి. మరియు అందువలన న.

మొదటి గుర్తింపు పరివర్తన: మీరు ఏదైనా సమీకరణానికి రెండు వైపులా జోడించవచ్చు (తీసివేయవచ్చు). ఏదైనా(కానీ ఒకటి మరియు అదే!) సంఖ్య లేదా వ్యక్తీకరణ (తెలియని వ్యక్తీకరణతో సహా!). ఇది సమీకరణం యొక్క సారాన్ని మార్చదు.

మార్గం ద్వారా, మీరు ఈ పరివర్తనను నిరంతరం ఉపయోగించారు, మీరు గుర్తు మార్పుతో సమీకరణంలోని ఒక భాగం నుండి మరొకదానికి కొన్ని పదాలను బదిలీ చేస్తున్నారని మీరు అనుకున్నారు. రకం:

కేసు సుపరిచితమే, మేము రెండింటినీ కుడివైపుకి తరలిస్తాము మరియు మేము పొందుతాము:

నిజానికి మీరు దూరంగా తీసుకున్నసమీకరణం యొక్క రెండు వైపుల నుండి రెండు. ఫలితం అదే:

x+2 - 2 = 3 - 2

గుర్తు మార్పుతో నిబంధనలను ఎడమ మరియు కుడికి తరలించడం అనేది మొదటి గుర్తింపు పరివర్తన యొక్క సంక్షిప్త సంస్కరణ. మరి ఇంత లోతైన జ్ఞానం మనకు ఎందుకు అవసరం? - మీరు అడగండి. సమీకరణాల్లో ఏమీ లేదు. దేవుని కొరకు, భరించండి. గుర్తును మార్చడం మర్చిపోవద్దు. కానీ అసమానతలలో, బదిలీ యొక్క అలవాటు చనిపోయిన ముగింపుకు దారితీస్తుంది...

రెండవ గుర్తింపు పరివర్తన: సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా ఒకే విషయంతో గుణించవచ్చు (భాగించబడుతుంది). సున్నా కానిసంఖ్య లేదా వ్యక్తీకరణ. ఇక్కడ ఇప్పటికే అర్థమయ్యే పరిమితి కనిపిస్తుంది: సున్నాతో గుణించడం తెలివితక్కువది, మరియు విభజించడం పూర్తిగా అసాధ్యం. మీరు ఏదైనా చల్లగా పరిష్కరించినప్పుడు మీరు ఉపయోగించే పరివర్తన ఇది

అది స్పష్టమైనది X= 2. మీరు దానిని ఎలా కనుగొన్నారు? ఎంపిక ద్వారా? లేక ఇప్పుడే తెల్లారిందా? అంతర్దృష్టి కోసం ఎన్నుకోకుండా మరియు వేచి ఉండకుండా ఉండటానికి, మీరు న్యాయంగా ఉన్నారని మీరు అర్థం చేసుకోవాలి సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా విభజించబడింది 5 ద్వారా. ఎడమ వైపు (5x) విభజించినప్పుడు, ఐదు తగ్గించబడింది, స్వచ్ఛమైన X వదిలివేయబడుతుంది. మనకు అవసరమైనది అదే. మరియు (10) యొక్క కుడి వైపును ఐదుతో విభజించినప్పుడు, ఫలితం రెండుగా ఉంటుంది.

అంతే.

ఇది హాస్యాస్పదంగా ఉంది, కానీ ఈ రెండు (రెండు మాత్రమే!) ఒకేలా రూపాంతరాలు పరిష్కారానికి ఆధారం గణితం యొక్క అన్ని సమీకరణాలు.వావ్! ఏది మరియు ఎలా అనే ఉదాహరణలను చూడటం అర్ధమే, సరియైనదా?)

సమీకరణాల యొక్క ఒకేలా రూపాంతరాల ఉదాహరణలు. ప్రధాన సమస్యలు.

దీనితో ప్రారంభిద్దాం ప్రధమగుర్తింపు పరివర్తన. ఎడమ-కుడి బదిలీ చేయండి.

చిన్నవారికి ఒక ఉదాహరణ.)

మనం ఈ క్రింది సమీకరణాన్ని పరిష్కరించాలని అనుకుందాం:

3-2x=5-3x

అక్షరక్రమాన్ని గుర్తుచేసుకుందాం: "X లతో - ఎడమకు, X లేకుండా - కుడికి!"ఈ స్పెల్ మొదటి గుర్తింపు పరివర్తనను ఉపయోగించడం కోసం సూచనలు.) కుడివైపున Xతో ఏ వ్యక్తీకరణ ఉంది? 3x? సమాధానం తప్పు! మా కుడివైపు - 3x! మైనస్మూడు x! అందువల్ల, ఎడమ వైపుకు వెళ్లినప్పుడు, గుర్తు ప్లస్‌కి మారుతుంది. ఇది మారుతుంది:

3-2x+3x=5

కాబట్టి, X లు ఒక కుప్పలో సేకరించబడ్డాయి. సంఖ్యలలోకి వెళ్దాం. ఎడమవైపు మూడు ఉంది. ఏ సంకేతంతో? "ఎవరితోనూ" అనే సమాధానం అంగీకరించబడదు!) ముగ్గురి ముందు, నిజానికి, ఏమీ డ్రా చేయబడలేదు. మరియు దీని అర్థం మూడు ముందు ఉంది అదనంగా.కాబట్టి గణిత శాస్త్రవేత్తలు అంగీకరించారు. ఏమీ వ్రాయబడలేదు, అంటే అదనంగా.అందువల్ల, ట్రిపుల్ కుడి వైపుకు బదిలీ చేయబడుతుంది ఒక మైనస్ తో.మాకు దొరికింది:

-2x+3x=5-3

కేవలం చిన్నవిషయాలు మాత్రమే మిగిలి ఉన్నాయి. ఎడమ వైపున - ఇలాంటి వాటిని తీసుకురండి, కుడి వైపున - లెక్కించండి. సమాధానం వెంటనే వస్తుంది:

ఈ ఉదాహరణలో, ఒక గుర్తింపు పరివర్తన సరిపోతుంది. రెండవది అవసరం లేదు. సరే, సరే.)

పెద్ద పిల్లలకు ఒక ఉదాహరణ.)

మీకు ఈ సైట్ నచ్చితే...

మార్గం ద్వారా, నేను మీ కోసం మరికొన్ని ఆసక్తికరమైన సైట్‌లను కలిగి ఉన్నాను.)

మీరు ఉదాహరణలను పరిష్కరించడం సాధన చేయవచ్చు మరియు మీ స్థాయిని కనుగొనవచ్చు. తక్షణ ధృవీకరణతో పరీక్షిస్తోంది. నేర్చుకుందాం - ఆసక్తితో!)

మీరు విధులు మరియు ఉత్పన్నాలతో పరిచయం పొందవచ్చు.

కోసం సరళ సమీకరణాలను పరిష్కరించడంరెండు ప్రాథమిక నియమాలను (గుణాలు) ఉపయోగించండి.

ఆస్తి సంఖ్య 1
లేదా
బదిలీ నియమం

సమీకరణం యొక్క ఒక భాగం నుండి మరొకదానికి బదిలీ చేయబడినప్పుడు, సమీకరణంలోని సభ్యుడు దాని చిహ్నాన్ని వ్యతిరేకానికి మారుస్తాడు.

ఒక ఉదాహరణను ఉపయోగించి బదిలీ నియమాన్ని చూద్దాం. మనం సరళ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించాల్సిన అవసరం ఉందని అనుకుందాం.

ఏదైనా సమీకరణానికి ఎడమ మరియు కుడి వైపు ఉంటుందని గుర్తుంచుకోండి.

సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు నుండి "3" సంఖ్యను కుడి వైపుకు తరలిద్దాం.

"3" సంఖ్య సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున "+" గుర్తును కలిగి ఉన్నందున, "3" అనేది "-" గుర్తుతో సమీకరణం యొక్క కుడి వైపుకు బదిలీ చేయబడుతుంది.

ఫలితంగా వచ్చే సంఖ్యా విలువ "x = 2" సమీకరణం యొక్క మూలం అంటారు.

ఏదైనా సమీకరణాన్ని పరిష్కరించిన తర్వాత సమాధానం రాయడం మర్చిపోవద్దు.

మరొక సమీకరణాన్ని పరిశీలిద్దాం.

బదిలీ నియమం ప్రకారం, మేము "4x" ను సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు నుండి కుడి వైపుకు తరలించి, చిహ్నాన్ని వ్యతిరేకానికి మారుస్తాము.

"4x" ముందు గుర్తు లేనప్పటికీ, "4x" ముందు "+" గుర్తు ఉందని మేము అర్థం చేసుకున్నాము.

ఇప్పుడు ఇలాంటి వాటిని ఇచ్చి, సమీకరణాన్ని చివరి వరకు పరిష్కరిద్దాం.

ఆస్తి సంఖ్య 2
లేదా
విభజన నియమం

ఏదైనా సమీకరణంలో, మీరు ఎడమ మరియు కుడి వైపులా ఒకే సంఖ్యతో విభజించవచ్చు.

కానీ మీరు తెలియని వాటిని విభజించలేరు!

సరళ సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు విభజన నియమాన్ని ఎలా ఉపయోగించాలో ఉదాహరణను చూద్దాం.

"x"ని సూచించే "4" సంఖ్యను తెలియని సంఖ్య యొక్క సంఖ్యా గుణకం అంటారు.

సంఖ్యా గుణకం మరియు తెలియని వాటి మధ్య ఎల్లప్పుడూ గుణకార చర్య ఉంటుంది.

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి, మీరు “x”కి “1” గుణకం ఉందని నిర్ధారించుకోవాలి.

మనల్ని మనం ప్రశ్నించుకుందాం: “4”ని దేని ద్వారా విభజించాలి
"1" పొందాలా? సమాధానం స్పష్టంగా ఉంది, మీరు "4" ద్వారా విభజించాలి.

మేము విభజన నియమాన్ని ఉపయోగిస్తాము మరియు సమీకరణం యొక్క ఎడమ మరియు కుడి వైపులా "4" ద్వారా విభజించాము. మీరు ఎడమ మరియు కుడి భాగాలను విభజించాల్సిన అవసరం ఉందని మర్చిపోవద్దు.

భిన్నం తగ్గింపును ఉపయోగిస్తాము మరియు చివరి వరకు సరళ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం.

"x" ప్రతికూలంగా ఉంటే సమీకరణాన్ని ఎలా పరిష్కరించాలి

తరచుగా సమీకరణాలలో "x" ప్రతికూల గుణకం ఉన్న పరిస్థితి ఉంటుంది. దిగువ సమీకరణంలో వలె.

అటువంటి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి, మనం మళ్లీ మనల్ని మనం ప్రశ్నించుకుంటాము: "1" పొందడానికి "-2"ని ఏమి విభజించాలి?" మీరు "-2" ద్వారా విభజించాలి.

సరళ సమీకరణాలు. మొదటి స్థాయి.

మీరు మీ బలాన్ని పరీక్షించాలనుకుంటున్నారా మరియు యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ లేదా యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌కు మీరు ఎంత సిద్ధంగా ఉన్నారనే దాని ఫలితాన్ని తెలుసుకోవాలనుకుంటున్నారా?

1. సరళ సమీకరణం

ఇది బీజగణిత సమీకరణం, దీనిలో దాని భాగమైన బహుపదాల మొత్తం డిగ్రీ సమానంగా ఉంటుంది.

2. ఒక వేరియబుల్‌తో సరళ సమీకరణంరూపం ఉంది:

ఎక్కడ మరియు ఏ సంఖ్యలు ఉన్నాయి;

3. రెండు వేరియబుల్స్‌తో సరళ సమీకరణంరూపం ఉంది:

ఎక్కడ, మరియు - ఏదైనా సంఖ్యలు.

4. గుర్తింపు పరివర్తనలు

సమీకరణం సరళంగా ఉందో లేదో నిర్ణయించడానికి, ఒకే విధమైన పరివర్తనలను నిర్వహించడం అవసరం:

సారూప్య పదాలను ఎడమ/కుడివైపు తరలించండి, గుర్తును మార్చడం మర్చిపోకుండా;

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా ఒకే సంఖ్యతో గుణించండి/భాగించండి.

"సరళ సమీకరణాలు" అంటే ఏమిటి

లేదా మౌఖికంగా - వాస్యలో అన్ని ఆపిల్‌లు స్టాక్‌లో ఉన్నాయని ఆధారంగా ముగ్గురు స్నేహితులకు ఆపిల్‌లు ఇచ్చారు.

మరియు ఇప్పుడు మీరు ఇప్పటికే నిర్ణయించుకున్నారు సరళ సమీకరణం
ఇప్పుడు ఈ పదానికి గణిత నిర్వచనం ఇద్దాం.

సరళ సమీకరణం – ఒక బీజగణిత సమీకరణం, దానిలోని బహుపదాల మొత్తం డిగ్రీకి సమానం. ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది:

ఎక్కడ మరియు ఏ సంఖ్యలు ఉన్నాయి మరియు

వాస్య మరియు ఆపిల్ల విషయంలో మా విషయంలో, మేము వ్రాస్తాము:

- “ముగ్గురు స్నేహితులకు వాస్య ఒకే సంఖ్యలో ఆపిల్‌లను ఇస్తే, అతనికి యాపిల్స్ మిగిలి ఉండవు”

"దాచిన" సరళ సమీకరణాలు లేదా గుర్తింపు పరివర్తనల ప్రాముఖ్యత

మొదటి చూపులో ప్రతిదీ చాలా సులభం అయినప్పటికీ, సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు మీరు జాగ్రత్తగా ఉండాలి, ఎందుకంటే సరళ సమీకరణాలను ఈ రకమైన సమీకరణాలు మాత్రమే కాకుండా, పరివర్తనలు మరియు సరళీకరణల ద్వారా ఈ రకానికి తగ్గించగల ఏవైనా సమీకరణాలు కూడా అంటారు. ఉదాహరణకి:

మేము కుడి వైపున ఉన్నదాన్ని చూస్తాము, ఇది సిద్ధాంతంలో, సమీకరణం సరళంగా లేదని ఇప్పటికే సూచిస్తుంది. అంతేకాకుండా, మేము బ్రాకెట్లను తెరిస్తే, మనకు మరో రెండు పదాలు లభిస్తాయి, అందులో, కానీ తీర్మానాలకు తొందరపడకండి! సమీకరణం సరళంగా ఉందో లేదో నిర్ధారించే ముందు, అన్ని పరివర్తనలను చేయడం మరియు అసలు ఉదాహరణను సులభతరం చేయడం అవసరం. ఈ సందర్భంలో, రూపాంతరాలు రూపాన్ని మార్చగలవు, కానీ సమీకరణం యొక్క సారాంశం కాదు.

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, పరివర్తన డేటా తప్పనిసరిగా ఉండాలి ఒకేలాలేదా సమానమైన. అటువంటి పరివర్తనలు రెండు మాత్రమే ఉన్నాయి, కానీ అవి సమస్యలను పరిష్కరించడంలో చాలా ముఖ్యమైన పాత్ర పోషిస్తాయి. నిర్దిష్ట ఉదాహరణలను ఉపయోగించి రెండు పరివర్తనలను చూద్దాం.

ఎడమ - కుడికి బదిలీ చేయండి.

మనం ఈ క్రింది సమీకరణాన్ని పరిష్కరించాలని అనుకుందాం:

ప్రాథమిక పాఠశాలలో కూడా మాకు ఇలా చెప్పబడింది: “X లతో - ఎడమవైపు, X లేకుండా - కుడివైపు.” కుడివైపున Xతో ఏ వ్యక్తీకరణ ఉంది? అది నిజం, కానీ ఎలా కాదు. మరియు ఇది ముఖ్యం, ఎందుకంటే ఈ అకారణంగా సాధారణ ప్రశ్న తప్పుగా అర్థం చేసుకుంటే, తప్పు సమాధానం వస్తుంది. X తో ఏ వ్యక్తీకరణ ఎడమ వైపున ఉంది? కుడి, .

ఇప్పుడు మేము దీన్ని కనుగొన్నాము, మేము తెలియని వాటితో ఉన్న అన్ని నిబంధనలను ఎడమ వైపుకు మరియు తెలిసిన ప్రతిదాన్ని కుడి వైపుకు తరలిస్తాము, ఉదాహరణకు, సంఖ్య ముందు గుర్తు లేకపోతే, సంఖ్య సానుకూలంగా ఉంటుందని గుర్తుంచుకోండి. , అంటే, దాని ముందు "" గుర్తు ఉంది.

బదిలీ చేశారా? నీకు ఏమి వచ్చింది?

ఇలాంటి నిబంధనలను తీసుకురావడమే మిగిలి ఉంది. మేము అందిస్తున్నాము:

కాబట్టి, మేము మొదటి సారూప్య పరివర్తనను విజయవంతంగా విశ్లేషించాము, అయినప్పటికీ మీకు ఇది తెలుసునని మరియు నేను లేకుండా చురుకుగా ఉపయోగించారని నేను ఖచ్చితంగా అనుకుంటున్నాను. ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే, సంఖ్యల సంకేతాల గురించి మరచిపోకూడదు మరియు సమాన గుర్తు ద్వారా బదిలీ చేసేటప్పుడు వాటిని వ్యతిరేక వాటికి మార్చకూడదు!

గుణకారం-విభజన.

ఒక ఉదాహరణతో వెంటనే ప్రారంభిద్దాం

చూద్దాం మరియు ఆలోచించండి: ఈ ఉదాహరణలో మనకు ఏది నచ్చదు? తెలియనివి అన్నీ ఒక భాగంలో ఉంటాయి, తెలిసినవి మరొక భాగంలో ఉంటాయి, కానీ ఏదో మనల్ని ఆపుతోంది... మరియు ఇది ఏదో ఒక నాలుగు, ఎందుకంటే అది లేకపోతే, ప్రతిదీ ఖచ్చితంగా ఉంటుంది - x ఒక సంఖ్యకు సమానం - మనకు అవసరమైనంత ఖచ్చితంగా!

మీరు దాన్ని ఎలా వదిలించుకోవచ్చు? మేము దానిని కుడి వైపుకు తరలించలేము, ఎందుకంటే మేము మొత్తం గుణకాన్ని తరలించాలి (మేము దానిని తీసుకొని దానిని చింపివేయలేము), మరియు మొత్తం గుణకాన్ని తరలించడం కూడా అర్ధవంతం కాదు...

విభజన గురించి గుర్తుంచుకోవాల్సిన సమయం ఇది, కాబట్టి అన్నింటినీ విభజించుకుందాం! ప్రతిదీ - దీని అర్థం ఎడమ మరియు కుడి వైపు. ఈ మార్గం మరియు ఈ మార్గం మాత్రమే! ఏం చేస్తున్నాం?

ఇప్పుడు మరొక ఉదాహరణ చూద్దాం:

ఈ సందర్భంలో ఏమి చేయాలో మీరు ఊహించగలరా? అది సరైనది, ఎడమ మరియు కుడి వైపులా గుణించండి! మీరు ఏ సమాధానం అందుకున్నారు? కుడి. .

గుర్తింపు పరివర్తనల గురించి మీకు ఇప్పటికే ప్రతిదీ తెలుసు. మేము మీ జ్ఞాపకశక్తిలో ఈ జ్ఞానాన్ని రిఫ్రెష్ చేసాము మరియు ఇది ఇంకేదైనా సమయం ఆసన్నమైందని పరిగణించండి - ఉదాహరణకు, మా పెద్ద ఉదాహరణను పరిష్కరించడానికి:

మేము ఇంతకు ముందే చెప్పినట్లుగా, ఈ సమీకరణం సరళంగా ఉందని మీరు చెప్పలేరు, కానీ మేము బ్రాకెట్లను తెరిచి ఒకే విధమైన పరివర్తనలను నిర్వహించాలి. కాబట్టి ప్రారంభిద్దాం!

ప్రారంభించడానికి, మేము సంక్షిప్త గుణకారం కోసం సూత్రాలను గుర్తుచేసుకుంటాము, ప్రత్యేకించి, మొత్తం యొక్క వర్గాన్ని మరియు వ్యత్యాసం యొక్క వర్గాన్ని. అది ఏమిటో మరియు కుండలీకరణాలు ఎలా తెరవబడతాయో మీకు గుర్తులేకపోతే, "సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాలు" అనే అంశాన్ని చదవమని నేను గట్టిగా సిఫార్సు చేస్తున్నాను, ఎందుకంటే పరీక్షలో ఎదురయ్యే దాదాపు అన్ని ఉదాహరణలను పరిష్కరించేటప్పుడు ఈ నైపుణ్యాలు మీకు ఉపయోగపడతాయి.
వెల్లడించారా? పోల్చి చూద్దాం:

ఇప్పుడు ఇలాంటి నిబంధనలను తీసుకురావాల్సిన సమయం వచ్చింది. అదే ఎలిమెంటరీ గ్రేడ్‌లలో "ఈగలు మరియు కట్‌లెట్‌లను కలిపి ఉంచవద్దు" అని వారు మాకు ఎలా చెప్పారో మీకు గుర్తుందా? ఇక్కడ నేను మీకు ఈ విషయాన్ని గుర్తు చేస్తున్నాను. మేము అన్నింటినీ విడిగా జోడిస్తాము - కలిగి ఉన్న కారకాలు, కలిగి ఉన్న కారకాలు మరియు తెలియనివి లేని మిగిలిన కారకాలు. మీరు ఒకే విధమైన నిబంధనలను తీసుకువచ్చినప్పుడు, తెలియనివాటిని ఎడమవైపుకు మరియు తెలిసినవన్నీ కుడివైపుకు తరలించండి. నీకు ఏమి వచ్చింది?

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, స్క్వేర్‌లోని X లు అదృశ్యమయ్యాయి మరియు మేము పూర్తిగా సాధారణమైనదాన్ని చూస్తాము. సరళ సమీకరణం. దానిని కనుగొనడమే మిగిలి ఉంది!

మరియు చివరగా, గుర్తింపు పరివర్తనల గురించి నేను మరొక ముఖ్యమైన విషయం చెబుతాను - గుర్తింపు పరివర్తనాలు సరళ సమీకరణాలకు మాత్రమే కాకుండా, చతురస్రాకార, పాక్షిక హేతుబద్ధమైన మరియు ఇతరులకు కూడా వర్తిస్తాయి. మేము సమాన గుర్తు ద్వారా కారకాలను బదిలీ చేసినప్పుడు, మేము గుర్తును వ్యతిరేక దానికి మారుస్తాము మరియు కొంత సంఖ్యతో భాగించినప్పుడు లేదా గుణించినప్పుడు, మేము సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా ఒకే సంఖ్యతో గుణిస్తాము/భాగిస్తాము అని మీరు గుర్తుంచుకోవాలి.

ఈ ఉదాహరణ నుండి మీరు ఇంకా ఏమి తీసుకున్నారు? సమీకరణాన్ని చూడటం ద్వారా అది సరళంగా ఉందో లేదో నేరుగా మరియు ఖచ్చితంగా నిర్ణయించడం ఎల్లప్పుడూ సాధ్యం కాదు. మొదట వ్యక్తీకరణను పూర్తిగా సరళీకృతం చేయడం అవసరం, ఆపై మాత్రమే అది ఏమిటో నిర్ధారించండి.

సరళ సమీకరణాలు. ఉదాహరణలు.

మీరు మీ స్వంతంగా సాధన చేయడానికి ఇక్కడ మరికొన్ని ఉదాహరణలు ఉన్నాయి - సమీకరణం సరళంగా ఉందో లేదో నిర్ణయించండి మరియు అలా అయితే, దాని మూలాలను కనుగొనండి:

సమాధానాలు:

1. ఉంది.

2. కాదు.

బ్రాకెట్లను తెరిచి, సారూప్య పదాలను అందిద్దాం:

ఒకే విధమైన పరివర్తనను చేద్దాం - ఎడమ మరియు కుడి వైపులా విభజించండి:

సమీకరణం సరళంగా లేదని మేము చూస్తాము, కాబట్టి దాని మూలాలను వెతకవలసిన అవసరం లేదు.

3. ఉంది.

ఒకే విధమైన పరివర్తనను చేద్దాం - హారంను వదిలించుకోవడానికి ఎడమ మరియు కుడి వైపులా గుణించండి.

ఇది ఎందుకు అంత ముఖ్యమైనదో ఆలోచించండి? మీకు ఈ ప్రశ్నకు సమాధానం తెలిస్తే, సమీకరణాన్ని మరింత పరిష్కరించడానికి కొనసాగండి; కాకపోతే, మరింత సంక్లిష్టమైన ఉదాహరణలలో తప్పులు చేయకుండా ఉండటానికి "ODZ" అంశాన్ని పరిశీలించాలని నిర్ధారించుకోండి. మార్గం ద్వారా, మీరు చూడగలరు గా, పరిస్థితి అసాధ్యం. ఎందుకు?
కాబట్టి, మనం ముందుకు వెళ్లి సమీకరణాన్ని క్రమాన్ని మార్చుకుందాం:

మీరు కష్టం లేకుండా ప్రతిదీ నిర్వహించినట్లయితే, రెండు వేరియబుల్స్తో సరళ సమీకరణాల గురించి మాట్లాడండి.

రెండు వేరియబుల్స్‌లో సరళ సమీకరణాలు

ఇప్పుడు కొంచెం క్లిష్టమైన - రెండు వేరియబుల్స్‌తో సరళ సమీకరణాలకు వెళ్దాం.

సరళ సమీకరణాలురెండు వేరియబుల్స్‌తో ఫారమ్ ఉంటుంది:

ఎక్కడ, మరియు - ఏదైనా సంఖ్యలు మరియు.

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, ఒకే తేడా ఏమిటంటే, సమీకరణానికి మరొక వేరియబుల్ జోడించబడింది. కాబట్టి ప్రతిదీ ఒకేలా ఉంటుంది - x స్క్వేర్డ్ లేదు, వేరియబుల్ ద్వారా విభజన లేదు. మరియు అందువలన న.

నేను మీకు ఎలాంటి జీవిత ఉదాహరణ ఇవ్వగలను? అదే వాస్య తీసుకుందాం. అతను ప్రతి 3 స్నేహితులకు ఒకే సంఖ్యలో ఆపిల్‌లను ఇవ్వాలని నిర్ణయించుకున్నాడు మరియు ఆపిల్‌లను తన కోసం ఉంచుకుంటాడని అనుకుందాం. వాస్య ప్రతి స్నేహితుడికి ఒక ఆపిల్ ఇస్తే ఎన్ని ఆపిల్ల కొనాలి? గురించి? ద్వారా అయితే?

ప్రతి వ్యక్తి స్వీకరించే ఆపిల్‌ల సంఖ్య మరియు కొనుగోలు చేయాల్సిన మొత్తం ఆపిల్‌ల మధ్య సంబంధం సమీకరణం ద్వారా వ్యక్తీకరించబడుతుంది:

• - ఒక వ్యక్తి స్వీకరించే ఆపిల్‌ల సంఖ్య (, లేదా, లేదా);
• - వాస్య తన కోసం తీసుకునే ఆపిల్ల సంఖ్య;
• - ఒక వ్యక్తికి ఆపిల్‌ల సంఖ్యను పరిగణనలోకి తీసుకుని వాస్య ఎన్ని ఆపిల్ల కొనాలి?

ఈ సమస్యను పరిష్కరిస్తూ, వాస్య ఒక స్నేహితుడికి ఆపిల్ ఇస్తే, అతను ముక్కలు కొనవలసి ఉంటుంది, అతను ఆపిల్ల ఇస్తే మొదలైనవి.

మరియు సాధారణంగా చెప్పాలంటే. మనకు రెండు వేరియబుల్స్ ఉన్నాయి. ఈ సంబంధాన్ని గ్రాఫ్‌లో ఎందుకు ప్లాట్ చేయకూడదు? మేము మా విలువను నిర్మించాము మరియు గుర్తించాము, అంటే పాయింట్లు, కోఆర్డినేట్‌లతో, మరియు!

మీరు గమనిస్తే, అవి ఒకదానికొకటి ఆధారపడి ఉంటాయి సరళ, అందుకే సమీకరణాల పేరు – “ సరళ».

ఆపిల్ నుండి సంగ్రహించి, వివిధ సమీకరణాలను గ్రాఫికల్‌గా చూద్దాం. నిర్మించిన రెండు గ్రాఫ్‌లను జాగ్రత్తగా చూడండి - ఒక సరళ రేఖ మరియు పారాబొలా, ఏకపక్ష ఫంక్షన్‌ల ద్వారా పేర్కొనబడింది:

రెండు చిత్రాలలో సంబంధిత పాయింట్లను కనుగొని గుర్తించండి.
నీకు ఏమి వచ్చింది?

మీరు దానిని మొదటి ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌లో చూస్తారు ఒంటరిగాఅనుగుణంగా ఉంటుంది ఒకటి, అంటే, అవి కూడా ఒకదానికొకటి సరళంగా ఆధారపడి ఉంటాయి, ఇది రెండవ ఫంక్షన్ గురించి చెప్పలేము. వాస్తవానికి, రెండవ గ్రాఫ్‌లో x - కూడా అనుగుణంగా ఉందని మీరు వాదించవచ్చు, కానీ ఇది ఒక పాయింట్ మాత్రమే, అంటే ఒక ప్రత్యేక సందర్భం, ఎందుకంటే మీరు ఇప్పటికీ ఒకటి కంటే ఎక్కువ సరిపోయేదాన్ని కనుగొనవచ్చు. మరియు నిర్మించిన గ్రాఫ్ ఏ విధంగానూ లైన్‌ను పోలి ఉండదు, కానీ అది పారాబొలా.

నేను మరోసారి పునరావృతం చేస్తున్నాను: సరళ సమీకరణం యొక్క గ్రాఫ్ తప్పనిసరిగా స్ట్రెయిట్ లైన్ అయి ఉండాలి.

మేము ఏదైనా డిగ్రీకి వెళితే సమీకరణం సరళంగా ఉండదు అనే వాస్తవంతో - పారాబొలా యొక్క ఉదాహరణను ఉపయోగించి ఇది స్పష్టంగా ఉంటుంది, అయినప్పటికీ మీరు మీ కోసం మరికొన్ని సాధారణ గ్రాఫ్‌లను నిర్మించుకోవచ్చు, ఉదాహరణకు లేదా. కానీ నేను మీకు హామీ ఇస్తున్నాను - వాటిలో ఏదీ స్ట్రెయిట్ లైన్ కాదు.

నమ్మొద్దు? దీన్ని నిర్మించి, ఆపై నాకు లభించిన దానితో సరిపోల్చండి:

మనం దేనినైనా, ఉదాహరణకు, కొంత సంఖ్యతో భాగిస్తే ఏమి జరుగుతుంది? సరళ సంబంధం ఉంటుందా మరియు? వాదించవద్దు, కానీ నిర్మించుకుందాం! ఉదాహరణకు, ఒక ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను రూపొందిద్దాం.

ఏదో ఒకవిధంగా ఇది సరళ రేఖలాగా నిర్మించబడినట్లు కనిపించదు... తదనుగుణంగా, సమీకరణం సరళంగా లేదు.
సారాంశం చేద్దాం:

1. సరళ సమీకరణం -బీజగణిత సమీకరణం, దీనిలో దాని భాగమైన బహుపదాల మొత్తం డిగ్రీ సమానంగా ఉంటుంది.
2. సరళ సమీకరణంఒక వేరియబుల్‌తో రూపం ఉంటుంది:
   , ఎక్కడ మరియు ఏ సంఖ్యలు ఉన్నాయి;
   సరళ సమీకరణంరెండు వేరియబుల్స్‌తో:
   , ఎక్కడ, మరియు ఏవైనా సంఖ్యలు.
3. సమీకరణం సరళంగా ఉందో లేదో వెంటనే గుర్తించడం ఎల్లప్పుడూ సాధ్యం కాదు. కొన్నిసార్లు, దీన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి, ఒకే విధమైన పరివర్తనలను నిర్వహించడం, ఒకే విధమైన పదాలను ఎడమ/కుడి వైపుకు తరలించడం, గుర్తును మార్చడం మర్చిపోకుండా లేదా సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా ఒకే సంఖ్యతో గుణించడం/భాగించడం అవసరం.

వ్యాఖ్యలు

మూలాధార పేజీకి డోఫాలో లింక్ ఉన్నట్లయితే ఆమోదం లేకుండా పదార్థాల పంపిణీ అనుమతించబడుతుంది.

గోప్యతా విధానం

మీ గోప్యతను కాపాడుకోవడం మాకు ముఖ్యం. ఈ కారణంగా, మేము మీ సమాచారాన్ని ఎలా ఉపయోగిస్తాము మరియు నిల్వ చేస్తాము అని వివరించే గోప్యతా విధానాన్ని మేము అభివృద్ధి చేసాము. దయచేసి మా గోప్యతా పద్ధతులను సమీక్షించండి మరియు మీకు ఏవైనా ప్రశ్నలు ఉంటే మాకు తెలియజేయండి.

వ్యక్తిగత సమాచారం యొక్క సేకరణ మరియు ఉపయోగం

వ్యక్తిగత సమాచారం అనేది నిర్దిష్ట వ్యక్తిని గుర్తించడానికి లేదా సంప్రదించడానికి ఉపయోగించే డేటాను సూచిస్తుంది.

మీరు మమ్మల్ని సంప్రదించినప్పుడు ఎప్పుడైనా మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని అందించమని మిమ్మల్ని అడగవచ్చు.

మేము సేకరించే వ్యక్తిగత సమాచార రకాలు మరియు అటువంటి సమాచారాన్ని మేము ఎలా ఉపయోగించవచ్చో కొన్ని ఉదాహరణలు క్రింద ఉన్నాయి.

మేము ఏ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని సేకరిస్తాము:

4. మీరు సైట్‌లో దరఖాస్తును సమర్పించినప్పుడు, మేము మీ పేరు, ఫోన్ నంబర్, ఇమెయిల్ చిరునామా మొదలైన వాటితో సహా వివిధ సమాచారాన్ని సేకరించవచ్చు.

మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని ఎలా ఉపయోగిస్తాము:

5. మేము సేకరించే వ్యక్తిగత సమాచారం ప్రత్యేక ఆఫర్‌లు, ప్రమోషన్‌లు మరియు ఇతర ఈవెంట్‌లు మరియు రాబోయే ఈవెంట్‌లతో మిమ్మల్ని సంప్రదించడానికి మమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.
6. ఎప్పటికప్పుడు, ముఖ్యమైన నోటీసులు మరియు కమ్యూనికేషన్‌లను పంపడానికి మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని ఉపయోగించవచ్చు.
7. మేము అందించే సేవలను మెరుగుపరచడానికి మరియు మా సేవలకు సంబంధించి మీకు సిఫార్సులను అందించడానికి ఆడిట్‌లు, డేటా విశ్లేషణ మరియు వివిధ పరిశోధనలను నిర్వహించడం వంటి అంతర్గత ప్రయోజనాల కోసం మేము వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని కూడా ఉపయోగించవచ్చు.
8. మీరు బహుమతి డ్రా, పోటీ లేదా ఇలాంటి ప్రమోషన్‌లో పాల్గొంటే, అటువంటి ప్రోగ్రామ్‌లను నిర్వహించడానికి మీరు అందించే సమాచారాన్ని మేము ఉపయోగించవచ్చు.

మూడవ పార్టీలకు సమాచారాన్ని బహిర్గతం చేయడం

మేము మీ నుండి స్వీకరించిన సమాచారాన్ని మూడవ పక్షాలకు బహిర్గతం చేయము.

9. అవసరమైతే - చట్టం, న్యాయ ప్రక్రియ, చట్టపరమైన చర్యలలో మరియు/లేదా రష్యన్ ఫెడరేషన్‌లోని ప్రభుత్వ సంస్థల నుండి పబ్లిక్ అభ్యర్థనలు లేదా అభ్యర్థనల ఆధారంగా - మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని బహిర్గతం చేయడానికి. భద్రత, చట్టాన్ని అమలు చేయడం లేదా ఇతర ప్రజా ప్రాముఖ్యత ప్రయోజనాల కోసం అటువంటి బహిర్గతం అవసరమని లేదా సముచితమని మేము నిర్ధారిస్తే మీ గురించిన సమాచారాన్ని కూడా మేము బహిర్గతం చేయవచ్చు.
10. పునర్వ్యవస్థీకరణ, విలీనం లేదా విక్రయం జరిగినప్పుడు, మేము సేకరించే వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని వర్తించే మూడవ పక్షానికి బదిలీ చేయవచ్చు.

వ్యక్తిగత సమాచారం యొక్క రక్షణ

మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని నష్టం, దొంగతనం మరియు దుర్వినియోగం నుండి అలాగే అనధికారిక యాక్సెస్, బహిర్గతం, మార్పు మరియు విధ్వంసం నుండి రక్షించడానికి - అడ్మినిస్ట్రేటివ్, టెక్నికల్ మరియు ఫిజికల్‌తో సహా జాగ్రత్తలు తీసుకుంటాము.

కంపెనీ స్థాయిలో మీ గోప్యతను గౌరవించడం

మీ వ్యక్తిగత సమాచారం సురక్షితంగా ఉందని నిర్ధారించుకోవడానికి, మేము మా ఉద్యోగులకు గోప్యత మరియు భద్రతా ప్రమాణాలను తెలియజేస్తాము మరియు గోప్యతా పద్ధతులను ఖచ్చితంగా అమలు చేస్తాము.

సందేశానికి ధన్యవాదాలు!

మీ వ్యాఖ్య ఆమోదించబడింది మరియు మోడరేషన్ తర్వాత అది ఈ పేజీలో ప్రచురించబడుతుంది.

యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ మరియు యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌కు ప్రిపేర్ కావడంపై మీరు కట్ కింద ఏమి దాచబడిందో తెలుసుకోవాలనుకుంటున్నారా? మీ ఇమెయిల్‌ను వదిలివేయండి

సమీకరణం అనేది ఒక అక్షరాన్ని కలిగి ఉన్న సమానత్వం, దీని గుర్తు తప్పనిసరిగా కనుగొనబడుతుంది. సమీకరణానికి పరిష్కారం అనేది అక్షర విలువల సమితి, ఇది సమీకరణాన్ని నిజమైన సమానత్వంగా మారుస్తుంది:

దాన్ని పరిష్కరించడానికి గుర్తుంచుకోండి సమీకరణంమీరు తెలియని వాటితో ఉన్న నిబంధనలను సమానత్వంలోని ఒక భాగానికి మరియు సంఖ్యా నిబంధనలను మరొకదానికి బదిలీ చేయాలి, సారూప్యమైన వాటిని తీసుకుని క్రింది సమానత్వాన్ని పొందండి:

చివరి సమానత్వం నుండి మేము నియమం ప్రకారం తెలియని వాటిని నిర్ణయిస్తాము: "కారకాలలో ఒకటి రెండవ కారకం ద్వారా విభజించబడిన భాగానికి సమానం."

హేతుబద్ధ సంఖ్యలు a మరియు b ఒకే లేదా భిన్నమైన సంకేతాలను కలిగి ఉండవచ్చు కాబట్టి, హేతుబద్ధ సంఖ్యలను విభజించే నియమాల ద్వారా తెలియని సంకేతం నిర్ణయించబడుతుంది.

సరళ సమీకరణాలను పరిష్కరించే విధానం

బ్రాకెట్లను తెరవడం మరియు రెండవ దశ కార్యకలాపాలను (గుణకారం మరియు విభజన) చేయడం ద్వారా సరళ సమీకరణాన్ని సరళీకృతం చేయాలి.

తెలియని వాటిని సమాన గుర్తు యొక్క ఒక వైపుకు మరియు సంఖ్యలను సమాన గుర్తు యొక్క మరొక వైపుకు తరలించండి, ఇచ్చిన దానికి సమానమైన సమానత్వాన్ని పొందడం,

సమాన గుర్తు యొక్క ఎడమ మరియు కుడికి సమానమైన వాటిని తీసుకురండి, రూపం యొక్క సమానత్వాన్ని పొందండి గొడ్డలి = బి.

సమీకరణం యొక్క మూలాన్ని లెక్కించండి (తెలియని వాటిని కనుగొనండి Xసమానత్వం నుండి x = బి : a),

అందించిన సమీకరణంలో తెలియని వాటిని భర్తీ చేయడం ద్వారా తనిఖీ చేయండి.

మేము సంఖ్యా సమానత్వంలో గుర్తింపును పొందినట్లయితే, అప్పుడు సమీకరణం సరిగ్గా పరిష్కరించబడుతుంది.

సమీకరణాలను పరిష్కరించే ప్రత్యేక సందర్భాలు

1. ఉంటే సమీకరణం 0కి సమానమైన ఉత్పత్తిని అందించినట్లయితే, దానిని పరిష్కరించడానికి మేము గుణకారం యొక్క లక్షణాన్ని ఉపయోగిస్తాము: "ఒక కారకం లేదా రెండు కారకాలు సున్నాకి సమానం అయితే ఉత్పత్తి సున్నాకి సమానం."

27 (x - 3) = 0
27 0కి సమానం కాదు, అంటే x - 3 = 0

రెండవ ఉదాహరణ సమీకరణానికి రెండు పరిష్కారాలను కలిగి ఉంది
ఇది రెండవ డిగ్రీ సమీకరణం:

సమీకరణం యొక్క గుణకాలు సాధారణ భిన్నాలు అయితే, మొదట మీరు హారంలను వదిలించుకోవాలి. దీని కొరకు:

సాధారణ హారం కనుగొనండి;

సమీకరణం యొక్క ప్రతి పదానికి అదనపు కారకాలను నిర్ణయించండి;

భిన్నాలు మరియు పూర్ణాంకాల సంఖ్యలను అదనపు కారకాల ద్వారా గుణించండి మరియు సమీకరణం యొక్క అన్ని నిబంధనలను హారం లేకుండా వ్రాయండి (సాధారణ హారం విస్మరించబడుతుంది);

తెలియని వాటితో ఉన్న నిబంధనలను సమీకరణం యొక్క ఒక వైపుకు మరియు సంఖ్యా పదాలను సమాన చిహ్నం నుండి మరొక వైపుకు తరలించి, సమానమైన సమానత్వాన్ని పొందడం;

ఇలాంటి సభ్యులను తీసుకురండి;

సమీకరణాల ప్రాథమిక లక్షణాలు

సమీకరణంలోని ఏదైనా భాగంలో, మీరు ఒకే విధమైన పదాలను జోడించవచ్చు లేదా కుండలీకరణాన్ని తెరవవచ్చు.

సమీకరణం యొక్క ఏదైనా పదం దాని చిహ్నాన్ని వ్యతిరేకానికి మార్చడం ద్వారా సమీకరణం యొక్క ఒక భాగం నుండి మరొకదానికి బదిలీ చేయబడుతుంది.

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 0 తప్ప, ఒకే సంఖ్యతో గుణించవచ్చు (భాగించబడుతుంది).

పై ఉదాహరణలో, సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి దాని అన్ని లక్షణాలు ఉపయోగించబడ్డాయి.

సరళ సమీకరణాలు. సరళ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం. పదాన్ని బదిలీ చేయడానికి నియమం.

పదాన్ని బదిలీ చేయడానికి నియమం.

సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు మరియు మార్చేటప్పుడు, ఒక పదాన్ని సమీకరణం యొక్క ఇతర వైపుకు తరలించడం తరచుగా అవసరం. ఒక పదం ప్లస్ లేదా మైనస్ గుర్తును కలిగి ఉండవచ్చని గమనించండి. నియమం ప్రకారం, ఒక పదాన్ని సమీకరణంలోని మరొక భాగానికి తరలించేటప్పుడు, మీరు చిహ్నాన్ని వ్యతిరేకానికి మార్చాలి. అదనంగా, నియమం అసమానతలకు కూడా పనిచేస్తుంది.

ఉదాహరణలుక్యారీ టర్మ్:

మొదట మేము బదిలీ చేస్తాము 5x

"+" గుర్తు "-"కి మరియు "-" గుర్తు "+"కి మారిందని గమనించండి. ఈ సందర్భంలో, బదిలీ చేయబడిన పదం సంఖ్య లేదా వేరియబుల్ లేదా వ్యక్తీకరణ అయినా పట్టింపు లేదు.

మేము 1వ పదాన్ని సమీకరణం యొక్క కుడి వైపుకు తరలిస్తాము. మాకు దొరికింది:

దయచేసి మా ఉదాహరణలో పదం వ్యక్తీకరణ అని గమనించండి (−3x 2 (2+7x)). కాబట్టి, ఇది విడిగా బదిలీ చేయబడదు (−3x2)మరియు (2+7x), ఇవి సమాండ్ యొక్క భాగాలు కాబట్టి. అందుకే తట్టుకోలేకపోతున్నారు (−3x 2 ⋅ 2) మరియు (7x). అయితే, మేము బ్రాకెట్లను తెరిచి 2 నిబంధనలను పొందవచ్చు: (-3x-⋅ 2) మరియు (-3×2⋅ 7x). ఈ 2 నిబంధనలను ఒకదానికొకటి విడివిడిగా తీసుకెళ్లవచ్చు.

అసమానతలు అదే విధంగా రూపాంతరం చెందుతాయి:

మేము ప్రతి సంఖ్యను ఒక వైపున సేకరిస్తాము. మాకు దొరికింది:

సమీకరణం యొక్క 2 భుజాలు నిర్వచనం ప్రకారం ఒకే విధంగా ఉంటాయి, కాబట్టి మనం సమీకరణం యొక్క రెండు వైపుల నుండి ఒకే వ్యక్తీకరణలను తీసివేయవచ్చు మరియు సమానత్వం నిజం అవుతుంది. మీరు వ్యక్తీకరణను తీసివేయాలి, అది చివరికి మరొక వైపుకు తరలించబడుతుంది. అప్పుడు “=” గుర్తుకు ఒక వైపు అది ఉన్నదానితో కుదించబడుతుంది. మరియు సమానత్వం యొక్క మరొక వైపు, మనం తీసివేసిన వ్యక్తీకరణ “-” గుర్తుతో కనిపిస్తుంది.

సరళ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ఈ నియమం తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది. సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి ఇతర పద్ధతులు ఉపయోగించబడతాయి.

ఆల్జీబ్రా/బదిలీ నియమం యొక్క ప్రాథమిక అంశాలు

మొదటి పదాన్ని సమీకరణం యొక్క కుడి వైపుకు తరలిద్దాం. మాకు దొరికింది:

అన్ని సంఖ్యలను ఒక వైపుకు తరలిద్దాం. ఫలితంగా మేము కలిగి ఉన్నాము:

రుజువును వివరించే ఉదాహరణలు సవరణ

సమీకరణాల కోసం సవరించండి

మనం అన్ని X లను సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు నుండి కుడి వైపుకు తరలించాలనుకుంటున్నాము. రెండు వైపుల నుండి 5 x తీసివేయండి

ఇప్పుడు మనం సమీకరణం యొక్క ఎడమ మరియు కుడి వైపులా ఒకేలా ఉన్నాయో లేదో తనిఖీ చేయాలి. తెలియని వేరియబుల్‌ని ఫలిత ఫలితంతో భర్తీ చేద్దాం:

ఇప్పుడు మనం ఇలాంటి నిబంధనలను ప్రదర్శించవచ్చు:

ముందుగా 5ని కదిలిద్దాం xసమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు నుండి కుడికి:

ఇప్పుడు సంఖ్య (−6)ను కుడి వైపు నుండి ఎడమకు తరలిద్దాం:

ప్లస్ గుర్తు మైనస్ గుర్తుగా మారిందని, మైనస్ గుర్తు ప్లస్ గుర్తుగా మారిందని గమనించండి. అంతేకాకుండా, బదిలీ చేయబడిన పదం సంఖ్య, వేరియబుల్ లేదా పూర్తి వ్యక్తీకరణ అయినా పట్టింపు లేదు.

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా నిర్వచనం ప్రకారం సమానంగా ఉంటాయి, కాబట్టి మీరు సమీకరణం యొక్క రెండు వైపుల నుండి ఒకే వ్యక్తీకరణను తీసివేయవచ్చు మరియు సమానత్వం ఇప్పటికీ నిజం అవుతుంది. సమాన సంకేతం యొక్క ఒక వైపు అది ఉన్నదానితో కుదించబడుతుంది. సమీకరణం యొక్క మరొక వైపు, మనం తీసివేసిన వ్యక్తీకరణ మైనస్ గుర్తుతో కనిపిస్తుంది.

సమీకరణాల నియమం నిరూపించబడింది.

అసమానతల కోసం సవరించండి

కాబట్టి, 4 అనేది 5x+2=7x-6 సమీకరణం యొక్క మూలం. గుర్తింపు అతనికి నిరూపించబడింది కాబట్టి, అసమానతలకు కూడా నిర్వచనం ప్రకారం.

సమీకరణాలను పరిష్కరించడం, నిబంధనలను బదిలీ చేసే నియమం

పాఠం యొక్క ఉద్దేశ్యం

పాఠం యొక్క విద్యా లక్ష్యాలు:

- సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు నిబంధనలను బదిలీ చేసే నియమాన్ని వర్తింపజేయగలరు;

పాఠం యొక్క అభివృద్ధి లక్ష్యాలు:

- విద్యార్థుల స్వతంత్ర కార్యకలాపాలను అభివృద్ధి చేయండి;

- ప్రసంగాన్ని అభివృద్ధి చేయండి (అక్షరాస్యత, గణిత భాషలో పూర్తి సమాధానాలు ఇవ్వండి);

పాఠం యొక్క విద్యా లక్ష్యాలు:

- నోట్‌బుక్‌లలో మరియు బోర్డులో సరిగ్గా నోట్స్ తీసుకునే సామర్థ్యాన్ని అభివృద్ధి చేయండి;

?పరికరాలు:

11. మల్టీమీడియా
12. ఇంటరాక్టివ్ బోర్డు

డాక్యుమెంట్ కంటెంట్‌లను వీక్షించండి
"పాఠం పరిష్కార సమీకరణాలు 6వ తరగతి"

గణిత పాఠం 6వ తరగతి

ఉపాధ్యాయుడు: టిమోఫీవా M. A.

పాఠం యొక్క ఉద్దేశ్యం: సమీకరణం యొక్క ఒక వైపు నుండి మరొకదానికి నిబంధనలను బదిలీ చేయడానికి నియమాలను నేర్చుకోవడం.

పాఠం యొక్క విద్యా లక్ష్యాలు:

సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు నిబంధనలను బదిలీ చేసే నియమాన్ని వర్తింపజేయగలరు;

పాఠం యొక్క అభివృద్ధి లక్ష్యాలు:

విద్యార్థుల స్వతంత్ర కార్యాచరణను అభివృద్ధి చేయండి;

ప్రసంగాన్ని అభివృద్ధి చేయండి (అక్షరాస్యత, గణిత భాషలో పూర్తి సమాధానాలు ఇవ్వండి);

పాఠం యొక్క విద్యా లక్ష్యాలు:

నోట్బుక్లలో మరియు బోర్డులో సరిగ్గా నోట్స్ తీసుకునే సామర్థ్యాన్ని అభివృద్ధి చేయండి;

పాఠం యొక్క ప్రధాన దశలు

1. సంస్థాగత క్షణం, పాఠం యొక్క ప్రయోజనం మరియు పని రూపం యొక్క కమ్యూనికేషన్

"నువ్వు ఈత నేర్చుకోవాలనుకుంటే..

అప్పుడు ధైర్యంగా నీటిలోకి ప్రవేశించండి,

మరియు మీరు సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలో నేర్చుకోవాలనుకుంటే,

2. ఈ రోజు మనం ఈ అంశాన్ని అధ్యయనం చేయడం ప్రారంభిస్తాము: "పరిష్కార సమీకరణాలు" (స్లయిడ్ 1)

కానీ సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలో మీరు ఇప్పటికే నేర్చుకున్నారు! అప్పుడు మనం ఏమి చదువుతాము?

- సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి కొత్త మార్గాలు.

3. కవర్ చేయబడిన మెటీరియల్‌ని సమీక్షిద్దాం (ఓరల్ వర్క్) (స్లయిడ్ 2)

3) 7m + 8n – 5m – 3n

4) – 6a + 12 b – 5a – 12b

5) 9x – 0.6y – 14x + 1.2y

సమీకరణం వచ్చింది
చాలా రహస్యాలు తెచ్చాడు

సమీకరణాలు ఏ వ్యక్తీకరణలు?(స్లయిడ్ 3)

4. సమీకరణాన్ని ఏమని పిలుస్తారు?

సమీకరణం అనేది తెలియని సంఖ్యను కలిగి ఉండే సమానత్వం. (స్లయిడ్ 4)

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం అంటే ఏమిటి?

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి- అంటే దాని మూలాలను కనుగొనడం లేదా అవి ఉనికిలో లేవని నిరూపించడం.

సమీకరణాలను మౌఖికంగా పరిష్కరిద్దాం. (స్లయిడ్ 5)

పరిష్కరించడానికి మేము ఏ నియమాన్ని ఉపయోగిస్తాము?

- తెలియని కారకాన్ని కనుగొనడం.

ఒక నోట్‌బుక్‌లో అనేక సమీకరణాలను వ్రాసి, తెలియని పదం మరియు మైన్యూఎండ్‌ను కనుగొనే నియమాలను ఉపయోగించి వాటిని పరిష్కరిద్దాం: (స్లయిడ్ 7)

అటువంటి సమీకరణాన్ని ఎలా పరిష్కరించాలి?

x + 5 = - 2x - 7 (స్లయిడ్ 8)

మేము సరళీకృతం చేయలేము, ఎందుకంటే ఒకే విధమైన పదాలు సమీకరణంలోని వివిధ భాగాలలో ఉన్నాయి, కాబట్టి, వాటిని తరలించడం అవసరం.

రంగులు అద్భుతంగా కాలిపోతున్నాయి,
మరియు తల ఎంత తెలివైనది అయినా,
మీరు ఇప్పటికీ అద్భుత కథలను నమ్ముతున్నారా?
అద్భుత కథ ఎల్లప్పుడూ సరైనది.

ఒకప్పుడు, ఇద్దరు రాజులు నివసించారు: ఒక నలుపు మరియు ఒక తెలుపు. బ్లాక్ కింగ్ నది కుడి ఒడ్డున ఉన్న బ్లాక్ కింగ్‌డమ్‌లో నివసించాడు మరియు వైట్ కింగ్ ఎడమ ఒడ్డున ఉన్న వైట్ కింగ్‌డమ్‌లో నివసించాడు. రాజ్యాల మధ్య చాలా తుఫాను మరియు ప్రమాదకరమైన నది ప్రవహించింది. ఈత కొట్టడం ద్వారా లేదా పడవ ద్వారా ఈ నదిని దాటడం అసాధ్యం. మాకు వంతెన కావాలి! వంతెన నిర్మాణం చాలా సమయం పట్టింది, చివరకు వంతెన నిర్మించబడింది. అందరూ సంతోషిస్తారు మరియు ఒకరితో ఒకరు సంభాషించుకుంటారు, కానీ ఇక్కడ సమస్య ఉంది: శ్వేత రాజుకు నలుపు రంగు నచ్చలేదు, అతని రాజ్య నివాసులందరూ లేత రంగు దుస్తులు ధరించారు మరియు నల్ల రాజుకు తెలుపు రంగు మరియు నివాసులు నచ్చలేదు. అతని రాజ్యం ముదురు రంగు దుస్తులు ధరించింది. నల్లజాతి రాజ్యానికి చెందిన ఎవరైనా వైట్ కింగ్‌డమ్‌కు మారినట్లయితే, అతను వెంటనే శ్వేత రాజు పట్ల అభిమానం కోల్పోయాడు మరియు వైట్ కింగ్‌డమ్ నుండి ఎవరైనా నల్లజాతి రాజ్యానికి మారినట్లయితే, అతను వెంటనే నల్ల రాజు పట్ల అభిమానాన్ని కోల్పోయాడు. రాజ్యాల నివాసులు తమ రాజులకు కోపం రాకుండా ఏదో ఒక ఆలోచనతో రావాలి. వాళ్ళు ఏమని ఆలోచించారు?

సమీకరణాలు నైపుణ్యం పొందడం కష్టమైన అంశం, కానీ చాలా సమస్యలను పరిష్కరించడానికి అవి శక్తివంతమైన సాధనం.

సమీకరణాలను ఉపయోగించి, ప్రకృతిలో సంభవించే వివిధ ప్రక్రియలు వివరించబడ్డాయి. సమీకరణాలు ఇతర శాస్త్రాలలో విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతున్నాయి: ఆర్థిక శాస్త్రం, భౌతిక శాస్త్రం, జీవశాస్త్రం మరియు రసాయన శాస్త్రం.

ఈ పాఠంలో మనం సరళమైన సమీకరణాల సారాంశాన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి ప్రయత్నిస్తాము, తెలియని వాటిని వ్యక్తీకరించడం మరియు అనేక సమీకరణాలను పరిష్కరించడం నేర్చుకుంటాము. మీరు కొత్త మెటీరియల్స్ నేర్చుకున్నప్పుడు, సమీకరణాలు మరింత క్లిష్టంగా మారతాయి, కాబట్టి ప్రాథమికాలను అర్థం చేసుకోవడం చాలా ముఖ్యం.

ప్రిలిమినరీ నైపుణ్యాలు పాఠం కంటెంట్

సమీకరణం అంటే ఏమిటి?

సమీకరణం అనేది మీరు కనుగొనాలనుకుంటున్న వేరియబుల్‌ను కలిగి ఉండే సమానత్వం. ఈ విలువ తప్పనిసరిగా అసలు సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయంగా ఉన్నప్పుడు, సరైన సంఖ్యా సమానత్వం పొందబడుతుంది.

ఉదాహరణకు, 2 + 2 = 4 అనే వ్యక్తీకరణ సమానత్వం. ఎడమ వైపును లెక్కించేటప్పుడు, సరైన సంఖ్యా సమానత్వం 4 = 4 పొందబడుతుంది.

కానీ సమానత్వం 2+ x= 4 అనేది ఒక సమీకరణం ఎందుకంటే ఇది వేరియబుల్‌ని కలిగి ఉంటుంది x, దీని విలువను కనుగొనవచ్చు. విలువ తప్పనిసరిగా ఈ విలువను అసలు సమీకరణంలోకి మార్చినప్పుడు, సరైన సంఖ్యా సమానత్వం పొందబడుతుంది.

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, సమాన సంకేతం దాని స్థానాన్ని సమర్థించే విలువను మనం తప్పనిసరిగా కనుగొనాలి - ఎడమ వైపు కుడి వైపుకు సమానంగా ఉండాలి.

సమీకరణం 2 + x= 4 ప్రాథమికమైనది. వేరియబుల్ విలువ xసంఖ్య 2కి సమానం. ఏదైనా ఇతర విలువ కోసం, సమానత్వం గమనించబడదు

సంఖ్య 2 అని వారు అంటున్నారు రూట్లేదా సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం 2 + x = 4

రూట్లేదా సమీకరణానికి పరిష్కారం- ఇది వేరియబుల్ యొక్క విలువ, దీనిలో సమీకరణం నిజమైన సంఖ్యా సమానత్వంగా మారుతుంది.

అనేక మూలాలు ఉండవచ్చు లేదా ఏదీ ఉండకపోవచ్చు. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండిఅంటే దాని మూలాలను కనుగొనడం లేదా మూలాలు లేవని నిరూపించడం.

సమీకరణంలో చేర్చబడిన వేరియబుల్‌ను వేరే విధంగా అంటారు తెలియని. మీకు నచ్చిన దానిని పిలవడానికి మీకు హక్కు ఉంది. ఇవి పర్యాయపదాలు.

గమనిక. "సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి" అనే పదబంధం దాని కోసం మాట్లాడుతుంది. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం అంటే సమీకరణాన్ని "సమీకరణం" చేయడం - ఎడమ వైపు కుడి వైపుకు సమానం అయ్యేలా సమతుల్యం చేయడం.

ఒక విషయాన్ని మరొకదాని ద్వారా వ్యక్తపరచండి

సమీకరణాల అధ్యయనం సాంప్రదాయకంగా అనేక ఇతర వాటి ద్వారా సమానత్వంలో చేర్చబడిన ఒక సంఖ్యను వ్యక్తీకరించడం నేర్చుకోవడంతో ప్రారంభమవుతుంది. ఈ సంప్రదాయాన్ని బద్దలు కొట్టి ఇలాగే చేద్దాం.

కింది వ్యక్తీకరణను పరిగణించండి:

8 + 2

ఈ వ్యక్తీకరణ 8 మరియు 2 సంఖ్యల మొత్తం. ఈ వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువ 10

8 + 2 = 10

మాకు సమానత్వం వచ్చింది. ఇప్పుడు మీరు ఈ సమానత్వం నుండి ఏదైనా సంఖ్యను అదే సమానత్వంలో చేర్చబడిన ఇతర సంఖ్యల ద్వారా వ్యక్తీకరించవచ్చు. ఉదాహరణకు, సంఖ్య 2ని వ్యక్తపరుద్దాం.

సంఖ్య 2ని వ్యక్తీకరించడానికి, మీరు ఈ ప్రశ్నను అడగాలి: "సంఖ్య 2 పొందడానికి 10 మరియు 8 సంఖ్యలతో ఏమి చేయాలి." సంఖ్య 2 పొందాలంటే, మీరు సంఖ్య 10 నుండి 8 సంఖ్యను తీసివేయాలి.

మనం చేసేది అదే. మేము సంఖ్య 2 ను వ్రాస్తాము మరియు సమాన సంకేతం ద్వారా ఈ సంఖ్య 2 పొందటానికి మేము 10 సంఖ్య నుండి 8 సంఖ్యను తీసివేస్తాము:

2 = 10 − 8

మేము 8 + 2 = 10 సమానత్వం నుండి 2 సంఖ్యను వ్యక్తీకరించాము. ఉదాహరణ నుండి చూడగలిగినట్లుగా, దీని గురించి సంక్లిష్టంగా ఏమీ లేదు.

సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు, ప్రత్యేకించి ఒక సంఖ్యను ఇతరుల పరంగా వ్యక్తీకరించేటప్పుడు, సమాన చిహ్నాన్ని "" అనే పదంతో భర్తీ చేయడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది. ఉంది" . ఇది మానసికంగా చేయాలి మరియు వ్యక్తీకరణలోనే కాదు.

కాబట్టి, సమానత్వం 8 + 2 = 10 నుండి సంఖ్య 2 ను వ్యక్తీకరించడం ద్వారా, మనకు సమానత్వం 2 = 10 - 8 వచ్చింది. ఈ సమానత్వాన్ని ఈ క్రింది విధంగా చదవవచ్చు:

2 ఉంది 10 − 8

అంటే, ఒక సంకేతం = "ఇస్" అనే పదంతో భర్తీ చేయబడింది. అంతేకాకుండా, సమానత్వం 2 = 10 - 8 గణిత భాష నుండి పూర్తి స్థాయి మానవ భాషలోకి అనువదించవచ్చు. అప్పుడు దానిని ఈ క్రింది విధంగా చదవవచ్చు:

సంఖ్య 2 ఉందిసంఖ్య 10 మరియు సంఖ్య 8 మధ్య వ్యత్యాసం

సంఖ్య 2 ఉందిసంఖ్య 10 మరియు సంఖ్య 8 మధ్య వ్యత్యాసం

కానీ సమానమైన సంకేతాన్ని “ఉంది” అనే పదంతో భర్తీ చేయడానికి మాత్రమే మనం పరిమితం చేస్తాము మరియు మేము దీన్ని ఎల్లప్పుడూ చేయము. గణిత భాషను మానవ భాషలోకి అనువదించకుండా ప్రాథమిక వ్యక్తీకరణలను అర్థం చేసుకోవచ్చు.

ఫలిత సమానత్వం 2 = 10 − 8ని దాని అసలు స్థితికి తిరిగి ఇద్దాం:

8 + 2 = 10

ఈసారి 8 సంఖ్యను వ్యక్తపరుద్దాం. 8 సంఖ్యను పొందడానికి మిగిలిన సంఖ్యలను ఏమి చేయాలి? అది నిజం, మీరు 10 సంఖ్య నుండి 2ని తీసివేయాలి

8 = 10 − 2

ఫలిత సమానత్వం 8 = 10 - 2 దాని అసలు స్థితికి తిరిగి ఇద్దాం:

8 + 2 = 10

ఈసారి మేము 10 సంఖ్యను వ్యక్తపరుస్తాము. అయితే ఇది ఇప్పటికే వ్యక్తీకరించబడినందున పదిని వ్యక్తపరచవలసిన అవసరం లేదని తేలింది. ఎడమ మరియు కుడి భాగాలను మార్చుకుంటే సరిపోతుంది, అప్పుడు మనకు అవసరమైన వాటిని పొందుతాము:

10 = 8 + 2

ఉదాహరణ 2. సమానత్వం 8 - 2 = 6 పరిగణించండి

ఈ సమానత్వం నుండి 8 సంఖ్యను వ్యక్తపరుద్దాం. 8 సంఖ్యను వ్యక్తీకరించడానికి, మిగిలిన రెండు సంఖ్యలను జోడించాలి:

8 = 6 + 2

ఫలిత సమానత్వం 8 = 6 + 2ని దాని అసలు స్థితికి తిరిగి ఇద్దాం:

8 − 2 = 6

ఈ సమానత్వం నుండి 2 సంఖ్యను వ్యక్తపరుద్దాం. సంఖ్య 2ని వ్యక్తీకరించడానికి, మీరు 8 నుండి 6ని తీసివేయాలి.

2 = 8 − 6

ఉదాహరణ 3. సమానత్వం 3 × 2 = 6 పరిగణించండి

సంఖ్య 3ని వ్యక్తపరుద్దాం. సంఖ్య 3ని వ్యక్తీకరించడానికి, మీకు 6ని 2తో భాగించాలి

ఫలిత సమానత్వాన్ని దాని అసలు స్థితికి తిరిగి తెద్దాం:

3 × 2 = 6

ఈ సమానత్వం నుండి 2 సంఖ్యను వ్యక్తపరుద్దాం. సంఖ్య 2ని వ్యక్తీకరించడానికి, మీకు 6ని 3తో భాగించాలి

ఉదాహరణ 4. సమానత్వాన్ని పరిగణించండి

ఈ సమానత్వం నుండి 15 సంఖ్యను వ్యక్తపరుద్దాం. 15 సంఖ్యను వ్యక్తీకరించడానికి, మీరు 3 మరియు 5 సంఖ్యలను గుణించాలి.

15 = 3 × 5

ఫలిత సమానత్వం 15 = 3 × 5 దాని అసలు స్థితికి తిరిగి ఇద్దాం:

ఈ సమానత్వం నుండి 5 సంఖ్యను వ్యక్తపరుద్దాం. సంఖ్య 5ని వ్యక్తీకరించడానికి, మీకు 15ని 3తో భాగించాలి

తెలియని వాటిని కనుగొనడానికి నియమాలు

తెలియని వాటిని కనుగొనడానికి అనేక నియమాలను పరిశీలిద్దాం. వారు మీకు సుపరిచితులై ఉండవచ్చు, కానీ వాటిని మళ్లీ పునరావృతం చేయడం బాధించదు. భవిష్యత్తులో, ఈ నియమాలను వర్తింపజేయకుండా సమీకరణాలను పరిష్కరించడం నేర్చుకున్నందున వాటిని మరచిపోవచ్చు.

మునుపటి టాపిక్‌లో మనం చూసిన మొదటి ఉదాహరణకి తిరిగి వెళ్దాం, ఇక్కడ సమానత్వం 8 + 2 = 10 లో మనం 2 సంఖ్యను వ్యక్తీకరించాలి.

సమానత్వంలో 8 + 2 = 10, సంఖ్యలు 8 మరియు 2 నిబంధనలు మరియు సంఖ్య 10 మొత్తం.

సంఖ్య 2ని వ్యక్తీకరించడానికి, మేము ఈ క్రింది వాటిని చేసాము:

2 = 10 − 8

అంటే, 10 మొత్తం నుండి మేము 8 అనే పదాన్ని తీసివేసాము.

ఇప్పుడు 8 + 2 = 10 సమానత్వంలో, సంఖ్య 2కి బదులుగా, ఒక వేరియబుల్ ఉందని ఊహించండి. x

8 + x = 10

ఈ సందర్భంలో, సమానత్వం 8 + 2 = 10 సమీకరణం 8 + అవుతుంది x= 10 మరియు వేరియబుల్ x తెలియని పదం



మా పని ఈ తెలియని పదాన్ని కనుగొనడం, అంటే 8+ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం x= 10. తెలియని పదాన్ని కనుగొనడానికి, కింది నియమం అందించబడింది:

తెలియని పదాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు మొత్తం నుండి తెలిసిన పదాన్ని తీసివేయాలి.

8 + 2 = 10 సమానత్వంలో రెండింటిని వ్యక్తీకరించినప్పుడు మనం ప్రాథమికంగా ఏమి చేసాము. పదం 2ని వ్యక్తీకరించడానికి, మేము మొత్తం 10 నుండి మరో పదం 8ని తీసివేసాము

2 = 10 − 8

ఇప్పుడు, తెలియని పదాన్ని కనుగొనడానికి x, మనకు తెలిసిన పదం 8ని మొత్తం 10 నుండి తీసివేయాలి:

x = 10 − 8

మీరు ఫలిత సమానత్వం యొక్క కుడి వైపును లెక్కించినట్లయితే, వేరియబుల్ దేనికి సమానమో మీరు కనుగొనవచ్చు x

x = 2

మేము సమీకరణాన్ని పరిష్కరించాము. వేరియబుల్ విలువ x 2కి సమానం. వేరియబుల్ విలువను తనిఖీ చేయడానికి xఅసలు సమీకరణం 8+కి పంపబడింది x= 10 మరియు ప్రత్యామ్నాయం x.ఏదైనా పరిష్కరించబడిన సమీకరణంతో దీన్ని చేయడం మంచిది, ఎందుకంటే సమీకరణం సరిగ్గా పరిష్కరించబడిందని మీరు ఖచ్చితంగా చెప్పలేరు:



ఫలితంగా

తెలియని పదం మొదటి సంఖ్య 8 అయితే అదే నియమం వర్తిస్తుంది.

x + 2 = 10

ఈ సమీకరణంలో xఅనేది తెలియని పదం, 2 తెలిసిన పదం, 10 అనేది మొత్తం. తెలియని పదాన్ని కనుగొనడానికి x, మీరు మొత్తం 10 నుండి తెలిసిన పదం 2ని తీసివేయాలి

x = 10 − 2

x = 8



మునుపటి అంశం నుండి రెండవ ఉదాహరణకి తిరిగి వెళ్దాం, ఇక్కడ సమానత్వం 8 - 2 = 6 లో 8 సంఖ్యను వ్యక్తపరచడం అవసరం.

సమానత్వం 8 − 2 = 6లో, సంఖ్య 8 మైన్యూఎండ్, సంఖ్య 2 ఉపగ్రహం, మరియు సంఖ్య 6 తేడా

8 సంఖ్యను వ్యక్తీకరించడానికి, మేము ఈ క్రింది వాటిని చేసాము:

8 = 6 + 2

అంటే, మేము 6 మరియు తీసివేసిన 2 తేడాను జోడించాము.

ఇప్పుడు సమానత్వంలో 8 - 2 = 6, సంఖ్య 8కి బదులుగా, ఒక వేరియబుల్ ఉందని ఊహించండి x

x − 2 = 6

ఈ సందర్భంలో వేరియబుల్ xఅని పిలవబడే పాత్రను పోషిస్తుంది తెలియని నిమిషం



తెలియని మినియెండ్‌ని కనుగొనడానికి, కింది నియమం అందించబడింది:

తెలియని మినియెండ్‌ని కనుగొనడానికి, మీరు వ్యత్యాసానికి సబ్‌ట్రాహెండ్‌ని జోడించాలి.

మేము 8 - 2 = 6 సమానత్వంలో 8 సంఖ్యను వ్యక్తీకరించినప్పుడు ఇది మేము చేసాము. 8 యొక్క మినియెండ్‌ని వ్యక్తీకరించడానికి, మేము 6 యొక్క తేడాకు 2 యొక్క సబ్‌ట్రాహెండ్‌ని జోడించాము.

ఇప్పుడు, తెలియని minuend కనుగొనేందుకు x, మనం తప్పనిసరిగా సబ్‌ట్రాహెండ్ 2ని తేడా 6కి జోడించాలి

x = 6 + 2

మీరు కుడి వైపును లెక్కించినట్లయితే, వేరియబుల్ దేనికి సమానమో మీరు కనుగొనవచ్చు x

x = 8

ఇప్పుడు సమానత్వంలో 8 - 2 = 6, సంఖ్య 2కి బదులుగా, ఒక వేరియబుల్ ఉందని ఊహించండి x

8 − x = 6

ఈ సందర్భంలో వేరియబుల్ xపాత్రను పోషిస్తుంది తెలియని subtrahend

తెలియని సబ్‌ట్రాహెండ్‌ని కనుగొనడానికి, కింది నియమం అందించబడింది:

తెలియని సబ్‌ట్రాహెండ్‌ను కనుగొనడానికి, మీరు మైన్యూఎండ్ నుండి వ్యత్యాసాన్ని తీసివేయాలి.

8 - 2 = 6 సమానత్వంలో 2 సంఖ్యను వ్యక్తీకరించినప్పుడు మనం ఇలా చేసాము. సంఖ్య 2ని వ్యక్తీకరించడానికి, మేము 6 తేడాను minuend 8 నుండి తీసివేసాము.

ఇప్పుడు, తెలియని సబ్‌ట్రాహెండ్‌ని కనుగొనడానికి x, మీరు మళ్లీ 8 నుండి 6 తేడాను తీసివేయాలి

x = 8 − 6

మేము కుడి వైపున లెక్కించి విలువను కనుగొంటాము x

x = 2

మునుపటి అంశం నుండి మూడవ ఉదాహరణకి తిరిగి వెళ్దాం, ఇక్కడ సమానత్వం 3 × 2 = 6 లో మేము 3 సంఖ్యను వ్యక్తీకరించడానికి ప్రయత్నించాము.

సమానత్వం 3 × 2 = 6 లో, సంఖ్య 3 గుణకం, సంఖ్య 2 గుణకం, సంఖ్య 6 ఉత్పత్తి

సంఖ్య 3ని వ్యక్తీకరించడానికి మేము ఈ క్రింది వాటిని చేసాము:

అంటే, మేము 6 యొక్క ఉత్పత్తిని 2 కారకంతో విభజించాము.

ఇప్పుడు సమానత్వంలో 3 × 2 = 6, సంఖ్య 3కి బదులుగా వేరియబుల్ ఉందని ఊహించండి x

x× 2 = 6

ఈ సందర్భంలో వేరియబుల్ xపాత్రను పోషిస్తుంది తెలియని గుణకారం.

తెలియని గుణకారాన్ని కనుగొనడానికి, కింది నియమం అందించబడింది:

తెలియని గుణకాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు కారకం ద్వారా ఉత్పత్తిని విభజించాలి.

మేము 3 × 2 = 6 సమానత్వం నుండి 3 సంఖ్యను వ్యక్తీకరించినప్పుడు ఇది మేము చేసాము. మేము ఉత్పత్తి 6ని కారకం 2 ద్వారా విభజించాము.

ఇప్పుడు తెలియని గుణకారాన్ని కనుగొనడానికి x, మీరు కారకం 2 ద్వారా ఉత్పత్తి 6ని విభజించాలి.

కుడి వైపును లెక్కించడం వలన వేరియబుల్ విలువను కనుగొనవచ్చు x

x = 3

వేరియబుల్ అయితే అదే నియమం వర్తిస్తుంది xగుణకారానికి బదులుగా ఉంది, గుణకం కాదు. సమానత్వంలో 3 × 2 = 6, సంఖ్య 2కి బదులుగా ఒక వేరియబుల్ ఉందని ఊహించుకుందాం. x.

ఈ సందర్భంలో వేరియబుల్ xపాత్రను పోషిస్తుంది తెలియని గుణకం. తెలియని కారకాన్ని కనుగొనడానికి, తెలియని గుణకారాన్ని కనుగొనడానికి అదే విధానం అందించబడుతుంది, అవి తెలిసిన కారకం ద్వారా ఉత్పత్తిని విభజించడం:

తెలియని కారకాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు ఉత్పత్తిని గుణకారంతో విభజించాలి.

మేము 3 × 2 = 6 సమానత్వం నుండి 2 సంఖ్యను వ్యక్తీకరించినప్పుడు ఇది మేము చేసాము. 2వ సంఖ్యను పొందడానికి, 6 యొక్క ఉత్పత్తిని దాని గుణకారం మరియు 3 ద్వారా విభజించాము.

ఇప్పుడు తెలియని కారకాన్ని కనుగొనండి xమేము 6 యొక్క ఉత్పత్తిని 3 యొక్క గుణకారంతో విభజించాము.

సమానత్వం యొక్క కుడి వైపును లెక్కించడం వలన మీరు x దేనికి సమానమో కనుగొనవచ్చు

x = 2

గుణకారం మరియు గుణకం కలిసి కారకాలు అంటారు. గుణకారాన్ని మరియు గుణకాన్ని కనుగొనే నియమాలు ఒకే విధంగా ఉన్నందున, తెలియని కారకాన్ని కనుగొనడానికి మేము సాధారణ నియమాన్ని రూపొందించవచ్చు:

తెలియని కారకాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు తెలిసిన కారకం ద్వారా ఉత్పత్తిని విభజించాలి.

ఉదాహరణకు, 9 × సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం x= 18. వేరియబుల్ xఅనేది తెలియని అంశం. ఈ తెలియని కారకాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు ఉత్పత్తి 18ని తెలిసిన కారకం 9 ద్వారా విభజించాలి

సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం x× 3 = 27. వేరియబుల్ xఅనేది తెలియని అంశం. ఈ తెలియని కారకాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు ఉత్పత్తి 27ని తెలిసిన కారకం 3తో విభజించాలి

మునుపటి అంశం నుండి నాల్గవ ఉదాహరణకి తిరిగి వెళ్దాం, ఇక్కడ సమానత్వంలో మనం 15 సంఖ్యను వ్యక్తీకరించాలి. ఈ సమానత్వంలో, సంఖ్య 15 డివిడెండ్, సంఖ్య 5 భాగహారం మరియు సంఖ్య 3 భాగాంశం.



15 సంఖ్యను వ్యక్తీకరించడానికి మేము ఈ క్రింది వాటిని చేసాము:

15 = 3 × 5

అంటే, మేము 3 యొక్క గుణకాన్ని 5 యొక్క భాజకంతో గుణించాము.

ఇప్పుడు సమానత్వంలో, 15 సంఖ్యకు బదులుగా, ఒక వేరియబుల్ ఉందని ఊహించండి x

ఈ సందర్భంలో వేరియబుల్ xపాత్రను పోషిస్తుంది తెలియని డివిడెండ్.



తెలియని డివిడెండ్‌ని కనుగొనడానికి, కింది నియమం అందించబడింది:

తెలియని డివిడెండ్‌ని కనుగొనడానికి, మీరు భాజకం ద్వారా గుణకాన్ని గుణించాలి.

మేము సమానత్వం నుండి 15 సంఖ్యను వ్యక్తీకరించినప్పుడు ఇది మేము చేసాము. 15 సంఖ్యను వ్యక్తీకరించడానికి, మేము 3 యొక్క గుణకాన్ని 5 యొక్క భాగహారంతో గుణిస్తాము.

ఇప్పుడు, తెలియని డివిడెండ్ కనుగొనేందుకు x, మీరు భాజకం 5 ద్వారా గుణకం 3ని గుణించాలి

x= 3 × 5

x .

x = 15

ఇప్పుడు సమానత్వంలో, సంఖ్య 5కి బదులుగా, ఒక వేరియబుల్ ఉందని ఊహించండి x .

ఈ సందర్భంలో వేరియబుల్ xపాత్రను పోషిస్తుంది తెలియని డివైజర్.



తెలియని డివైజర్‌ను కనుగొనడానికి, కింది నియమం అందించబడింది:

మేము సమానత్వం నుండి 5 సంఖ్యను వ్యక్తీకరించినప్పుడు మేము చేసినది ఇదే. సంఖ్య 5ని వ్యక్తీకరించడానికి, మేము డివిడెండ్ 15ని భాగస్వామ్య 3 ద్వారా భాగిస్తాము.

ఇప్పుడు తెలియని డివైజర్‌ను కనుగొనడం x, మీరు డివిడెండ్ 15ని భాగస్వామ్య 3 ద్వారా విభజించాలి

ఫలిత సమానత్వం యొక్క కుడి వైపును గణిద్దాం. ఈ విధంగా వేరియబుల్ దేనికి సమానం అని మనం కనుగొంటాము x .

x = 5

కాబట్టి, తెలియని వాటిని కనుగొనడానికి, మేము ఈ క్రింది నియమాలను అధ్యయనం చేసాము:

• తెలియని పదాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు మొత్తం నుండి తెలిసిన పదాన్ని తీసివేయాలి;
• తెలియని minuend కనుగొనేందుకు, మీరు తేడా subtrahend జోడించాలి;
• తెలియని సబ్‌ట్రాహెండ్‌ని కనుగొనడానికి, మీరు మైనుఎండ్ నుండి వ్యత్యాసాన్ని తీసివేయాలి;
• తెలియని గుణకారాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు కారకం ద్వారా ఉత్పత్తిని విభజించాలి;
• తెలియని కారకాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు ఉత్పత్తిని గుణకారంతో విభజించాలి;
• తెలియని డివిడెండ్‌ని కనుగొనడానికి, మీరు భాజకం ద్వారా గుణకాన్ని గుణించాలి;
• తెలియని డివైజర్‌ను కనుగొనడానికి, మీరు డివిడెండ్‌ను భాగస్వామ్యం ద్వారా విభజించాలి.

భాగాలు

మేము భాగాలు సమానత్వంలో చేర్చబడిన సంఖ్యలు మరియు వేరియబుల్స్ అని పిలుస్తాము

కాబట్టి, సంకలనం యొక్క భాగాలు నిబంధనలుమరియు మొత్తం



వ్యవకలనం భాగాలు minuend, ఉపగ్రహించుమరియు తేడా

గుణకారం యొక్క భాగాలు గుణకారం మరియు, కారకంమరియు పని

విభజన యొక్క భాగాలు డివిడెండ్, డివైజర్ మరియు కోషెంట్.

మేము ఏ భాగాలతో వ్యవహరిస్తున్నాము అనేదానిపై ఆధారపడి, తెలియని వాటిని కనుగొనడానికి సంబంధిత నియమాలు వర్తిస్తాయి. మేము మునుపటి అంశంలో ఈ నియమాలను అధ్యయనం చేసాము. సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు, ఈ నియమాలను హృదయపూర్వకంగా తెలుసుకోవడం మంచిది.

ఉదాహరణ 1. 45+ సమీకరణం యొక్క మూలాన్ని కనుగొనండి x = 60

45 - పదం, x- తెలియని పదం, 60 - మొత్తం. మేము అదనపు భాగాలతో వ్యవహరిస్తున్నాము. తెలియని పదాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు తెలిసిన పదాన్ని మొత్తం నుండి తీసివేయవలసి ఉంటుందని మేము గుర్తు చేస్తున్నాము:

x = 60 − 45

కుడివైపును లెక్కించి విలువను పొందండి x 15కి సమానం

x = 15

కాబట్టి సమీకరణం యొక్క మూలం 45 + x= 60 15కి సమానం.

చాలా తరచుగా, తెలియని పదాన్ని వ్యక్తీకరించే రూపానికి తగ్గించాలి.

ఉదాహరణ 2. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

ఇక్కడ, మునుపటి ఉదాహరణ వలె కాకుండా, తెలియని పదాన్ని వెంటనే వ్యక్తీకరించలేము, ఎందుకంటే ఇది 2 యొక్క గుణకం కలిగి ఉంటుంది. ఈ సమీకరణాన్ని వ్యక్తీకరించగలిగే రూపానికి తీసుకురావడం మా పని. x

ఈ ఉదాహరణలో, మేము సంకలనం యొక్క భాగాలు-నిబంధనలు మరియు మొత్తంతో వ్యవహరిస్తున్నాము. 2 xమొదటి పదం, 4 రెండవ పదం, 8 మొత్తం.

ఈ సందర్భంలో, పదం 2 xఒక వేరియబుల్ కలిగి ఉంది x. వేరియబుల్ విలువను కనుగొన్న తర్వాత xపదం 2 xడిఫరెంట్ లుక్ తీసుకుంటారు. కాబట్టి, పదం 2 xపూర్తిగా తెలియని పదంగా తీసుకోవచ్చు:



ఇప్పుడు మనం తెలియని పదాన్ని కనుగొనడానికి నియమాన్ని వర్తింపజేస్తాము. మొత్తం నుండి తెలిసిన పదాన్ని తీసివేయండి:

ఫలిత సమీకరణం యొక్క కుడి వైపును గణిద్దాం:

మాకు కొత్త సమీకరణం ఉంది. ఇప్పుడు మనం గుణకారం యొక్క భాగాలతో వ్యవహరిస్తున్నాము: గుణకారం, గుణకం మరియు ఉత్పత్తి. 2 - గుణకారం, x- గుణకం, 4 - ఉత్పత్తి

ఈ సందర్భంలో, వేరియబుల్ xఅనేది కేవలం గుణకం కాదు, తెలియని గుణకం

ఈ తెలియని కారకాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు ఉత్పత్తిని గుణకారంతో విభజించాలి:

కుడి వైపును లెక్కించి వేరియబుల్ విలువను పొందండి x

తనిఖీ చేయడానికి, కనుగొన్న మూలాన్ని అసలు సమీకరణం మరియు ప్రత్యామ్నాయానికి పంపండి x



ఉదాహరణ 3. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి 3x+ 9x+ 16x= 56

తెలియని విషయాన్ని వెంటనే వ్యక్తపరచండి xఅది నిషేధించబడింది. ముందుగా మీరు ఈ సమీకరణాన్ని వ్యక్తీకరించగలిగే రూపానికి తీసుకురావాలి.

మేము ఈ సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున ప్రదర్శిస్తాము:



మేము గుణకారం యొక్క భాగాలతో వ్యవహరిస్తున్నాము. 28 - గుణకారం, x- గుణకం, 56 - ఉత్పత్తి. ఇందులో xఅనేది తెలియని అంశం. తెలియని కారకాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు ఉత్పత్తిని గుణకారంతో విభజించాలి:

ఇక్కడనుంచి x 2కి సమానం

సమానమైన సమీకరణాలు

మునుపటి ఉదాహరణలో, సమీకరణాన్ని పరిష్కరించేటప్పుడు 3x + 9x + 16x = 56 , మేము సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున ఒకే విధమైన పదాలను ఇచ్చాము. ఫలితంగా, మేము కొత్త సమీకరణం 28ని పొందాము x= 56 పాత సమీకరణం 3x + 9x + 16x = 56 మరియు ఫలితంగా కొత్త సమీకరణం 28 x= 56 అంటారు సమానమైన సమీకరణాలు, వారి మూలాలు సమానంగా ఉంటాయి కాబట్టి.

సమీకరణాలు వాటి మూలాలు సమానంగా ఉంటే వాటిని సమానం అంటారు.

దాన్ని తనిఖీ చేద్దాం. సమీకరణం కోసం 3x+ 9x+ 16x= 56 మేము 2కి సమానమైన మూలాన్ని కనుగొన్నాము. ముందుగా ఈ మూలాన్ని సమీకరణంలోకి మారుద్దాం 3x+ 9x+ 16x= 56 , ఆపై సమీకరణం 28లోకి x= 56, ఇది మునుపటి సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున సారూప్య పదాలను తీసుకురావడం ద్వారా పొందబడింది. మనం సరైన సంఖ్యా సమానతలను పొందాలి



కార్యకలాపాల క్రమం ప్రకారం, గుణకారం మొదట నిర్వహించబడుతుంది:



రెండవ సమీకరణం 28కి రూట్ 2ను ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం x= 56



రెండు సమీకరణాలకు ఒకే మూలాలు ఉన్నాయని మనం చూస్తాము. కాబట్టి సమీకరణాలు 3x+ 9x+ 16x= 6 మరియు 28 x= 56 నిజానికి సమానం.

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి 3x+ 9x+ 16x= 56 మేము వాటిలో ఒకదాన్ని ఉపయోగించాము - సారూప్య పదాల తగ్గింపు. సమీకరణం యొక్క సరైన గుర్తింపు రూపాంతరం మాకు సమానమైన సమీకరణం 28ని పొందేందుకు అనుమతించింది x= 56, ఇది పరిష్కరించడం సులభం.

ఒకే విధమైన పరివర్తనలలో, ప్రస్తుతానికి భిన్నాలను తగ్గించడం, సారూప్య పదాలను తీసుకురావడం, బ్రాకెట్‌ల నుండి సాధారణ కారకాన్ని తరలించడం మరియు బ్రాకెట్‌లను తెరవడం ఎలాగో మాత్రమే మనకు తెలుసు. మీరు తెలుసుకోవలసిన ఇతర మార్పిడులు ఉన్నాయి. కానీ సమీకరణాల యొక్క సారూప్య పరివర్తనల యొక్క సాధారణ ఆలోచన కోసం, మేము అధ్యయనం చేసిన అంశాలు చాలా సరిపోతాయి.

సమానమైన సమీకరణాన్ని పొందేందుకు అనుమతించే కొన్ని పరివర్తనలను పరిశీలిద్దాం

మీరు సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా ఒకే సంఖ్యను జోడిస్తే, మీరు ఇచ్చిన దానికి సమానమైన సమీకరణాన్ని పొందుతారు.

మరియు అదేవిధంగా:

మీరు సమీకరణం యొక్క రెండు వైపుల నుండి ఒకే సంఖ్యను తీసివేస్తే, మీరు ఇచ్చిన దానికి సమానమైన సమీకరణాన్ని పొందుతారు.

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఒకే సంఖ్యను ఒకే సంఖ్యకు జోడించినట్లయితే (లేదా రెండు వైపుల నుండి తీసివేస్తే) సమీకరణం యొక్క మూలం మారదు.

ఉదాహరణ 1. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపుల నుండి 10 తీసివేయండి



మాకు సమీకరణం 5 వచ్చింది x= 10. మేము గుణకారం యొక్క భాగాలతో వ్యవహరిస్తున్నాము. తెలియని కారకాన్ని కనుగొనడానికి x, మీరు ఉత్పత్తి 10ని తెలిసిన కారకం 5 ద్వారా విభజించాలి.

మరియు ప్రత్యామ్నాయం xకనుగొనబడిన విలువ 2



మేము సరైన సంఖ్యా సమానత్వాన్ని పొందాము. దీని అర్థం సమీకరణం సరిగ్గా పరిష్కరించబడింది.

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం మేము సమీకరణం యొక్క రెండు వైపుల నుండి 10 సంఖ్యను తీసివేసాము. ఫలితంగా, మేము సమానమైన సమీకరణాన్ని పొందాము. ఈ సమీకరణం యొక్క మూలం, సమీకరణం వలె 2కి కూడా సమానం

ఉదాహరణ 2. 4వ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి x+ 3) = 16

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపుల నుండి 12 సంఖ్యను తీసివేయండి

ఎడమవైపు 4 మిగిలి ఉంటుంది x, మరియు కుడి వైపున సంఖ్య 4

మాకు సమీకరణం 4 వచ్చింది x= 4. మేము గుణకారం యొక్క భాగాలతో వ్యవహరిస్తున్నాము. తెలియని కారకాన్ని కనుగొనడానికి x, మీరు ఉత్పత్తి 4ని తెలిసిన కారకం 4 ద్వారా విభజించాలి

అసలు సమీకరణం 4కి తిరిగి వెళ్దాం( x+ 3) = 16 మరియు ప్రత్యామ్నాయం xకనుగొన్న విలువ 1



మేము సరైన సంఖ్యా సమానత్వాన్ని పొందాము. దీని అర్థం సమీకరణం సరిగ్గా పరిష్కరించబడింది.

పరిష్కార సమీకరణం 4( x+ 3) = 16 మేము సమీకరణం యొక్క రెండు వైపుల నుండి 12 సంఖ్యను తీసివేసాము. ఫలితంగా, మేము సమానమైన సమీకరణం 4ని పొందాము x= 4. ఈ సమీకరణం యొక్క మూలం, సమీకరణం 4( x+ 3) = 16 కూడా 1కి సమానం

ఉదాహరణ 3. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

సమానత్వం యొక్క ఎడమ వైపున బ్రాకెట్లను విస్తరింపజేద్దాం:

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 8 సంఖ్యను జోడించండి

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా ఒకే విధమైన పదాలను అందిద్దాం:

ఎడమవైపు 2 మిగిలి ఉంటుంది x, మరియు కుడి వైపున సంఖ్య 9

ఫలిత సమీకరణంలో 2 x= 9 మేము తెలియని పదాన్ని వ్యక్తపరుస్తాము x

అసలు సమీకరణానికి తిరిగి వద్దాం మరియు ప్రత్యామ్నాయం xకనుగొనబడిన విలువ 4.5



మేము సరైన సంఖ్యా సమానత్వాన్ని పొందాము. దీని అర్థం సమీకరణం సరిగ్గా పరిష్కరించబడింది.

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం మేము సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 8 సంఖ్యను జోడించాము. ఫలితంగా, మనకు సమానమైన సమీకరణం వచ్చింది. ఈ సమీకరణం యొక్క మూలం, సమీకరణం వలె 4.5కి కూడా సమానం

సమానమైన సమీకరణాన్ని పొందేందుకు అనుమతించే తదుపరి నియమం క్రింది విధంగా ఉంటుంది

మీరు ఒక సమీకరణంలోని పదాన్ని ఒక భాగం నుండి మరొక భాగానికి తరలించి, దాని గుర్తును మార్చినట్లయితే, మీరు ఇచ్చిన దానికి సమానమైన సమీకరణాన్ని పొందుతారు.

అంటే, మనం ఒక పదాన్ని సమీకరణంలోని ఒక భాగం నుండి మరొకదానికి తరలించి, దాని చిహ్నాన్ని మారుస్తే, సమీకరణం యొక్క మూలం మారదు. సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు ఈ ఆస్తి ముఖ్యమైనది మరియు తరచుగా ఉపయోగించే వాటిలో ఒకటి.

కింది సమీకరణాన్ని పరిగణించండి:

ఈ సమీకరణం యొక్క మూలం 2కి సమానం. మనం ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం xఈ రూట్ మరియు సంఖ్యా సమానత్వం సరైనదేనా అని తనిఖీ చేయండి



ఫలితం సరైన సమానత్వం. దీనర్థం సంఖ్య 2 నిజానికి సమీకరణం యొక్క మూలం.

ఇప్పుడు ఈ సమీకరణం యొక్క నిబంధనలతో ప్రయోగాలు చేయడానికి ప్రయత్నిద్దాం, వాటిని ఒక భాగం నుండి మరొకదానికి తరలించడం, సంకేతాలను మార్చడం.

ఉదాహరణకు, పదం 3 xసమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున ఉంది. చిహ్నాన్ని వ్యతిరేక వైపుకు మారుస్తూ, దానిని కుడి వైపుకు తరలించండి:



ఫలితం ఒక సమీకరణం 12 = 9x − 3x . ఈ సమీకరణం యొక్క కుడి వైపున:



xఅనేది తెలియని అంశం. ఈ ప్రసిద్ధ కారకాన్ని కనుగొనండి:

ఇక్కడనుంచి x= 2 మీరు గమనిస్తే, సమీకరణం యొక్క మూలం మారలేదు. కాబట్టి సమీకరణాలు 12 + 3 x = 9xమరియు 12 = 9x − 3x సమానంగా ఉంటాయి.

వాస్తవానికి, ఈ పరివర్తన అనేది మునుపటి రూపాంతరం యొక్క సరళీకృత పద్ధతి, ఇక్కడ సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా ఒకే సంఖ్య జోడించబడింది (లేదా తీసివేయబడుతుంది).

మేము 12 + 3 సమీకరణంలో చెప్పాము x = 9xపదం 3 xగుర్తును మారుస్తూ కుడి వైపుకు తరలించబడింది. వాస్తవానికి, కిందిది జరిగింది: సమీకరణం యొక్క రెండు వైపుల నుండి పదం 3 తీసివేయబడింది x



అప్పుడు ఎడమ వైపున ఇలాంటి నిబంధనలు ఇవ్వబడ్డాయి మరియు సమీకరణం పొందబడింది 12 = 9x − 3x. అప్పుడు ఇలాంటి నిబంధనలు మళ్లీ ఇవ్వబడ్డాయి, కానీ కుడి వైపున, మరియు సమీకరణం 12 = 6 పొందబడింది x.

కానీ "బదిలీ" అని పిలవబడేది అటువంటి సమీకరణాలకు మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది, అందుకే ఇది చాలా విస్తృతంగా మారింది. సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు, మేము ఈ నిర్దిష్ట పరివర్తనను తరచుగా ఉపయోగిస్తాము.

12 + 3 సమీకరణాలు కూడా సమానం x= 9xమరియు 3x- 9x= −12 . ఈసారి సమీకరణం 12 + 3 x= 9xపదం 12 కుడి వైపుకు తరలించబడింది మరియు పదం 9 xఎడమ వైపునకు. బదిలీ సమయంలో ఈ నిబంధనల సంకేతాలు మార్చబడ్డాయని మనం మర్చిపోకూడదు



సమానమైన సమీకరణాన్ని పొందేందుకు అనుమతించే తదుపరి నియమం క్రింది విధంగా ఉంది:

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా సున్నాకి సమానం కాకుండా ఒకే సంఖ్యతో గుణించబడినా లేదా విభజించబడినా, మీరు ఇచ్చిన దానికి సమానమైన సమీకరణాన్ని పొందుతారు.

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, రెండు వైపులా ఒకే సంఖ్యతో గుణించినా లేదా భాగించినా సమీకరణం యొక్క మూలాలు మారవు. మీరు పాక్షిక వ్యక్తీకరణలను కలిగి ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించాల్సిన అవసరం వచ్చినప్పుడు ఈ చర్య తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది.

మొదట, సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా ఒకే సంఖ్యతో గుణించబడే ఉదాహరణలను చూద్దాం.

ఉదాహరణ 1. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

పాక్షిక వ్యక్తీకరణలను కలిగి ఉన్న సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు, మొదట సమీకరణాన్ని సరళీకృతం చేయడం ఆచారం.

ఈ సందర్భంలో, మేము అటువంటి సమీకరణంతో వ్యవహరిస్తున్నాము. ఈ సమీకరణాన్ని సులభతరం చేయడానికి, రెండు వైపులా 8 ద్వారా గుణించవచ్చు:



కోసం, ఇచ్చిన భిన్నం యొక్క లవంను ఈ సంఖ్యతో గుణించాలి. మనకు రెండు భిన్నాలు ఉన్నాయి మరియు వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి 8 సంఖ్యతో గుణించబడుతుంది. ఈ సంఖ్య 8 ద్వారా భిన్నాల సంఖ్యలను గుణించడం మా పని.



ఇప్పుడు ఆసక్తికరమైన భాగం జరుగుతుంది. రెండు భిన్నాల యొక్క న్యూమరేటర్లు మరియు హారం 8 యొక్క కారకాన్ని కలిగి ఉంటాయి, దీనిని 8 ద్వారా తగ్గించవచ్చు. ఇది భిన్న వ్యక్తీకరణను వదిలించుకోవడానికి మాకు అనుమతిస్తుంది:



ఫలితంగా, సరళమైన సమీకరణం మిగిలిపోయింది

సరే, ఈ సమీకరణం యొక్క మూలం 4 అని ఊహించడం కష్టం కాదు

xకనుగొనబడిన విలువ 4



ఫలితం సరైన సంఖ్యా సమానత్వం. దీని అర్థం సమీకరణం సరిగ్గా పరిష్కరించబడింది.

ఈ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించేటప్పుడు, మేము రెండు వైపులా 8 ద్వారా గుణించాము. ఫలితంగా, మనకు సమీకరణం వచ్చింది. సమీకరణం వలె ఈ సమీకరణం యొక్క మూలం 4. అంటే ఈ సమీకరణాలు సమానంగా ఉంటాయి.

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా గుణించబడే అంశం సాధారణంగా సమీకరణం యొక్క భాగానికి ముందు వ్రాయబడుతుంది మరియు దాని తర్వాత కాదు. కాబట్టి, సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తూ, మేము రెండు వైపులా 8 కారకంతో గుణించాము మరియు క్రింది ఎంట్రీని పొందాము:



ఇది సమీకరణం యొక్క మూలాన్ని మార్చలేదు, కానీ మేము పాఠశాలలో ఉన్నప్పుడు దీన్ని చేసి ఉంటే, మేము మందలించబడతాము, ఎందుకంటే బీజగణితంలో అది గుణించబడే వ్యక్తీకరణకు ముందు ఒక కారకాన్ని వ్రాయడం ఆచారం. కాబట్టి, సమీకరణం యొక్క రెండు వైపుల గుణకారాన్ని 8 కారకంతో ఈ క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాయడం మంచిది:



ఉదాహరణ 2. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి



ఎడమ వైపున, 15 యొక్క కారకాలను 15 తగ్గించవచ్చు మరియు కుడి వైపున, 15 మరియు 5 యొక్క కారకాలను 5 తగ్గించవచ్చు.



సమీకరణం యొక్క కుడి వైపున ఉన్న బ్రాకెట్లను తెరవండి:

పదాన్ని కదిలిద్దాం xసమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు నుండి కుడి వైపుకు, గుర్తును మారుస్తుంది. మరియు మేము పదం 15 ను సమీకరణం యొక్క కుడి వైపు నుండి ఎడమ వైపుకు తరలిస్తాము, మళ్లీ గుర్తును మారుస్తాము:

మేము రెండు వైపులా ఒకే విధమైన పదాలను ప్రదర్శిస్తాము, మేము పొందుతాము

మేము గుణకారం యొక్క భాగాలతో వ్యవహరిస్తున్నాము. వేరియబుల్ x

అసలు సమీకరణానికి తిరిగి వద్దాం మరియు ప్రత్యామ్నాయం xకనుగొనబడిన విలువ 5



ఫలితం సరైన సంఖ్యా సమానత్వం. దీని అర్థం సమీకరణం సరిగ్గా పరిష్కరించబడింది. ఈ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించేటప్పుడు, మేము రెండు వైపులా 15 ద్వారా గుణించాము. ఒకే విధమైన పరివర్తనలను మరింతగా ప్రదర్శిస్తూ, మేము 10 = 2 సమీకరణాన్ని పొందాము x. ఈ సమీకరణం యొక్క మూలం, సమీకరణం వలె 5కి సమానం. అంటే ఈ సమీకరణాలు సమానమైనవి.

ఉదాహరణ 3. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి



ఎడమ వైపున మీరు రెండు మూడులను తగ్గించవచ్చు మరియు కుడి వైపు 18కి సమానంగా ఉంటుంది



సరళమైన సమీకరణం మిగిలి ఉంది. మేము గుణకారం యొక్క భాగాలతో వ్యవహరిస్తున్నాము. వేరియబుల్ xఅనేది తెలియని అంశం. ఈ ప్రసిద్ధ కారకాన్ని కనుగొనండి:

అసలు సమీకరణం మరియు ప్రత్యామ్నాయానికి తిరిగి వెళ్దాం xకనుగొన్న విలువ 9

ఫలితం సరైన సంఖ్యా సమానత్వం. దీని అర్థం సమీకరణం సరిగ్గా పరిష్కరించబడింది.

ఉదాహరణ 4. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 6 ద్వారా గుణించండి



సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున ఉన్న బ్రాకెట్లను తెరవండి. కుడి వైపున, కారకం 6 ను న్యూమరేటర్‌కు పెంచవచ్చు:



సమీకరణాల యొక్క రెండు వైపులా తగ్గించగలిగే వాటిని తగ్గించండి:



మనకు మిగిలి ఉన్న వాటిని మళ్లీ వ్రాద్దాం:

నిబంధనల బదిలీని ఉపయోగించుకుందాం. తెలియని వాటిని కలిగి ఉన్న నిబంధనలు x, మేము సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున సమూహపరచాము మరియు తెలియనివి లేని నిబంధనలను - కుడివైపున:

రెండు భాగాలలో ఒకే విధమైన పదాలను అందిద్దాం:



ఇప్పుడు వేరియబుల్ విలువను కనుగొనండి x. దీన్ని చేయడానికి, తెలిసిన కారకం 7 ద్వారా ఉత్పత్తి 28ని విభజించండి

ఇక్కడనుంచి x= 4.

అసలు సమీకరణానికి తిరిగి వద్దాం మరియు ప్రత్యామ్నాయం xకనుగొన్న విలువ 4



ఫలితం సరైన సంఖ్యా సమీకరణం. దీని అర్థం సమీకరణం సరిగ్గా పరిష్కరించబడింది.

ఉదాహరణ 5. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

సాధ్యమైన చోట సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా కుండలీకరణాలను తెరవండి:

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 15తో గుణించండి

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా బ్రాకెట్లను తెరవండి:

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా తగ్గించగలిగే వాటిని తగ్గించండి:



మనకు మిగిలి ఉన్న వాటిని మళ్లీ వ్రాద్దాం:

సాధ్యమైన చోట బ్రాకెట్లను విస్తరింపజేద్దాం:

నిబంధనల బదిలీని ఉపయోగించుకుందాం. మేము సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు తెలియని పదాలను మరియు కుడి వైపున తెలియని పదాలను కలిగి ఉన్న నిబంధనలను సమూహపరుస్తాము. బదిలీ సమయంలో, నిబంధనలు వాటి సంకేతాలను వ్యతిరేకానికి మారుస్తాయని మర్చిపోవద్దు:

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా ఒకే విధమైన పదాలను అందిద్దాం:



విలువను కనుక్కోండి x

ఫలిత సమాధానాన్ని మొత్తం భాగంగా విభజించవచ్చు:



అసలు సమీకరణం మరియు ప్రత్యామ్నాయానికి తిరిగి వెళ్దాం xవిలువను కనుగొన్నారు



ఇది చాలా గజిబిజిగా ఉండే వ్యక్తీకరణగా మారుతుంది. వేరియబుల్స్ ఉపయోగిస్తాము. సమానత్వం యొక్క ఎడమ వైపు వేరియబుల్‌గా ఉంచుదాం ఎ, మరియు సమానత్వం యొక్క కుడి వైపు వేరియబుల్‌గా ఉంటుంది బి



ఎడమ వైపు కుడికి సమానంగా ఉందో లేదో నిర్ధారించుకోవడం మా పని. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, A = B సమానత్వాన్ని నిరూపించండి

వేరియబుల్ A లో వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనండి.



వేరియబుల్ విలువ ఎసమానం. ఇప్పుడు వేరియబుల్ విలువను కనుగొనండి బి. అంటే, మన సమానత్వానికి కుడి వైపున ఉన్న విలువ. ఇది కూడా సమానంగా ఉంటే, అప్పుడు సమీకరణం సరిగ్గా పరిష్కరించబడుతుంది



వేరియబుల్ విలువను మనం చూస్తాము బి, అలాగే వేరియబుల్ A విలువ . అంటే ఎడమ వైపు కుడి వైపు సమానంగా ఉంటుంది. దీని నుండి సమీకరణం సరిగ్గా పరిష్కరించబడిందని మేము నిర్ధారించాము.

ఇప్పుడు సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా ఒకే సంఖ్యతో గుణించకుండా, విభజించడానికి ప్రయత్నిద్దాం.

సమీకరణాన్ని పరిగణించండి 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 . సాధారణ పద్ధతిని ఉపయోగించి దాన్ని పరిష్కరిద్దాం: మేము సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున తెలియని వాటిని కలిగి ఉన్న పదాలను సమూహపరుస్తాము మరియు తెలియనివి లేని నిబంధనలను - కుడి వైపున. తరువాత, తెలిసిన గుర్తింపు పరివర్తనలను ప్రదర్శిస్తూ, మేము విలువను కనుగొంటాము x



బదులుగా దొరికిన విలువ 2ని ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం xఅసలు సమీకరణంలోకి:



ఇప్పుడు సమీకరణం యొక్క అన్ని నిబంధనలను వేరు చేయడానికి ప్రయత్నిద్దాం 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 కొంత సంఖ్య ద్వారా. ఈ సమీకరణం యొక్క అన్ని పదాలు 2 యొక్క సాధారణ కారకాన్ని కలిగి ఉన్నాయని మేము గమనించాము. మేము ప్రతి పదాన్ని దానితో భాగిస్తాము:

ప్రతి పదంలో తగ్గింపును చేద్దాం:



మనకు మిగిలి ఉన్న వాటిని మళ్లీ వ్రాద్దాం:

బాగా తెలిసిన గుర్తింపు పరివర్తనలను ఉపయోగించి ఈ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం:



మాకు రూట్ 2 వచ్చింది. కాబట్టి సమీకరణాలు 15x+ 7x+ 7 = 35x- 20x+ 21 మరియు 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 సమానంగా ఉంటాయి.

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా ఒకే సంఖ్యతో విభజించడం గుణకం నుండి తెలియని వాటిని తీసివేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. మునుపటి ఉదాహరణలో మనకు సమీకరణం 7 వచ్చినప్పుడు x= 14, మేము ఉత్పత్తి 14ని తెలిసిన కారకం 7తో భాగించవలసి ఉంటుంది. కానీ ఎడమ వైపున ఉన్న కారకం 7 నుండి తెలియని దాన్ని విడిచిపెట్టినట్లయితే, మూలం వెంటనే కనుగొనబడి ఉండేది. దీన్ని చేయడానికి, రెండు వైపులా 7 ద్వారా విభజించడానికి సరిపోతుంది

మేము కూడా ఈ పద్ధతిని తరచుగా ఉపయోగిస్తాము.

మైనస్ ఒకటితో గుణకారం

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా మైనస్ ఒకటితో గుణించబడితే, మీరు దీనికి సమానమైన సమీకరణాన్ని పొందుతారు.

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా ఒకే సంఖ్యతో గుణించడం (లేదా విభజించడం) ఇచ్చిన సమీకరణం యొక్క మూలాన్ని మార్చదు అనే వాస్తవం నుండి ఈ నియమం అనుసరిస్తుంది. దీని అర్థం దాని రెండు భాగాలను −1తో గుణిస్తే మూలం మారదు.

సమీకరణంలో చేర్చబడిన అన్ని భాగాల సంకేతాలను మార్చడానికి ఈ నియమం మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. అది దేనికోసం? మళ్ళీ, సులభంగా పరిష్కరించగల సమానమైన సమీకరణాన్ని పొందడానికి.

సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. ఈ సమీకరణానికి మూలం ఏమిటి?

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా సంఖ్య 5ని జోడించండి

ఇలాంటి పదాలను చూద్దాం:



ఇప్పుడు గురించి గుర్తు చేసుకుందాం. సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు ఏమిటి? ఇది మైనస్ వన్ మరియు వేరియబుల్ యొక్క ఉత్పత్తి x

అంటే, వేరియబుల్ ముందు మైనస్ గుర్తు xవేరియబుల్‌ను సూచించదు x, కానీ ఒకదానికి, ఇది మనకు కనిపించదు, ఎందుకంటే గుణకం 1 సాధారణంగా వ్రాయబడదు. అంటే ఈ సమీకరణం వాస్తవానికి ఇలా కనిపిస్తుంది:

మేము గుణకారం యొక్క భాగాలతో వ్యవహరిస్తున్నాము. కనుగొనేందుకు X, మీరు ఉత్పత్తి −5ని తెలిసిన కారకం −1 ద్వారా విభజించాలి.

లేదా సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా −1తో భాగించండి, ఇది మరింత సరళమైనది



కాబట్టి సమీకరణం యొక్క మూలం 5. తనిఖీ చేయడానికి, దానిని అసలు సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం. అసలు సమీకరణంలో మైనస్ వేరియబుల్ ముందు ఉందని మర్చిపోవద్దు xఅదృశ్య యూనిట్‌ను సూచిస్తుంది



ఫలితం సరైన సంఖ్యా సమీకరణం. దీని అర్థం సమీకరణం సరిగ్గా పరిష్కరించబడింది.

ఇప్పుడు సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా మైనస్ ఒకటితో గుణించడానికి ప్రయత్నిద్దాం:

బ్రాకెట్లను తెరిచిన తర్వాత, వ్యక్తీకరణ ఎడమ వైపున ఏర్పడుతుంది మరియు కుడి వైపు 10కి సమానంగా ఉంటుంది

సమీకరణం వలె ఈ సమీకరణం యొక్క మూలం 5



అంటే సమీకరణాలు సమానంగా ఉంటాయి.

ఉదాహరణ 2. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

ఈ సమీకరణంలో, అన్ని భాగాలు ప్రతికూలంగా ఉంటాయి. ప్రతికూల వాటి కంటే సానుకూల భాగాలతో పనిచేయడం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది, కాబట్టి సమీకరణంలో చేర్చబడిన అన్ని భాగాల సంకేతాలను మార్చండి. దీన్ని చేయడానికి, ఈ సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా −1తో గుణించండి.

−1తో గుణించినప్పుడు, ఏదైనా సంఖ్య దాని చిహ్నాన్ని వ్యతిరేకానికి మారుస్తుందని స్పష్టమవుతుంది. అందువల్ల, −1 ద్వారా గుణించడం మరియు బ్రాకెట్‌లను తెరవడం వివరంగా వివరించబడలేదు, అయితే వ్యతిరేక సంకేతాలతో సమీకరణం యొక్క భాగాలు వెంటనే వ్రాయబడతాయి.

కాబట్టి, సమీకరణాన్ని −1తో గుణించడం ఈ క్రింది విధంగా వివరంగా వ్రాయవచ్చు:



లేదా మీరు అన్ని భాగాల సంకేతాలను మార్చవచ్చు:



ఫలితం ఒకేలా ఉంటుంది, కానీ తేడా ఏమిటంటే మనం మన సమయాన్ని ఆదా చేసుకుంటాము.

కాబట్టి, సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా −1తో గుణిస్తే, మనకు సమీకరణం వస్తుంది. ఈ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం. రెండు వైపుల నుండి 4 తీసివేసి, రెండు వైపులా 3 ద్వారా విభజించండి



రూట్ కనుగొనబడినప్పుడు, వేరియబుల్ సాధారణంగా ఎడమ వైపున వ్రాయబడుతుంది మరియు దాని విలువ కుడి వైపున ఉంటుంది, ఇది మనం చేసింది.

ఉదాహరణ 3. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా −1తో గుణిద్దాం. అప్పుడు అన్ని భాగాలు వాటి సంకేతాలను వ్యతిరేక వాటికి మారుస్తాయి:



ఫలిత సమీకరణం యొక్క రెండు వైపుల నుండి 2ని తీసివేయండి xమరియు ఇలాంటి నిబంధనలను ఇవ్వండి:



సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా ఒకదానిని జోడించి, ఒకే విధమైన పదాలను ఇద్దాం:

సున్నాకి సమానం

మనం ఈక్వేషన్‌లోని పదాన్ని ఒక భాగం నుండి మరొక భాగానికి తరలిస్తే, దాని చిహ్నాన్ని మారుస్తే, ఇచ్చిన దానికి సమానమైన సమీకరణాన్ని పొందుతామని మేము ఇటీవల తెలుసుకున్నాము.

మీరు ఒక పదం మాత్రమే కాకుండా, అన్ని నిబంధనలను ఒక భాగం నుండి మరొక భాగానికి తరలిస్తే ఏమి జరుగుతుంది? అది సరే, అన్ని నిబంధనలను తీసివేసిన భాగంలో సున్నా మిగిలి ఉంటుంది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఏమీ మిగిలి ఉండదు.

ఉదాహరణగా, సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. ఈ సమీకరణాన్ని యధావిధిగా పరిష్కరిద్దాం - మేము ఒక భాగంలో తెలియని వాటిని కలిగి ఉన్న పదాలను సమూహపరుస్తాము మరియు మరొక భాగంలో సంఖ్యాపరమైన పదాలను తెలియనివి లేకుండా వదిలివేస్తాము. తరువాత, తెలిసిన గుర్తింపు పరివర్తనలను చేయడం ద్వారా, మేము వేరియబుల్ విలువను కనుగొంటాము x



ఇప్పుడు అదే సమీకరణాన్ని దాని అన్ని భాగాలను సున్నాకి సమం చేయడం ద్వారా పరిష్కరించడానికి ప్రయత్నిద్దాం. దీన్ని చేయడానికి, మేము అన్ని నిబంధనలను కుడి వైపు నుండి ఎడమకు తరలించి, సంకేతాలను మారుస్తాము:



ఎడమ వైపున ఇలాంటి పదాలను అందజేద్దాం:



రెండు వైపులా 77ని జోడించి, రెండు వైపులా 7తో భాగించండి

తెలియని వాటిని కనుగొనడానికి నియమాలకు ప్రత్యామ్నాయం

సహజంగానే, సమీకరణాల యొక్క సారూప్య పరివర్తనల గురించి తెలుసుకోవడం, మీరు తెలియని వాటిని కనుగొనే నియమాలను గుర్తుంచుకోవలసిన అవసరం లేదు.

ఉదాహరణకు, ఒక సమీకరణంలో తెలియని వాటిని కనుగొనడానికి, మేము ఉత్పత్తి 10ని తెలిసిన కారకం 2 ద్వారా విభజించాము.

కానీ మీరు సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 2 ద్వారా విభజించినట్లయితే, మూలం వెంటనే కనుగొనబడుతుంది. న్యూమరేటర్‌లోని సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున కారకం 2 మరియు హారంలో కారకం 2 2 ద్వారా తగ్గించబడుతుంది. మరియు కుడి వైపు 5కి సమానంగా ఉంటుంది.

తెలియని పదాన్ని వ్యక్తీకరించడం ద్వారా మేము ఫారమ్ యొక్క సమీకరణాలను పరిష్కరించాము:

కానీ మీరు మేము ఈ రోజు అధ్యయనం చేసిన ఒకే విధమైన పరివర్తనలను ఉపయోగించవచ్చు. సమీకరణంలో, గుర్తును మార్చడం ద్వారా పదం 4ని కుడి వైపుకు తరలించవచ్చు:

సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున, రెండు రెండులు రద్దు చేయబడతాయి. కుడివైపు 2కి సమానంగా ఉంటుంది. అందుకే .

లేదా మీరు సమీకరణం యొక్క రెండు వైపుల నుండి 4 తీసివేయవచ్చు. అప్పుడు మీరు ఈ క్రింది వాటిని పొందుతారు:



రూపం యొక్క సమీకరణాల విషయంలో, తెలిసిన కారకం ద్వారా ఉత్పత్తిని విభజించడం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. రెండు పరిష్కారాలను సరిపోల్చండి:



మొదటి పరిష్కారం చాలా చిన్నది మరియు చక్కగా ఉంటుంది. మీరు మీ తలలో విభజన చేస్తే రెండవ పరిష్కారం గణనీయంగా తగ్గించబడుతుంది.

అయితే, రెండు పద్ధతులను తెలుసుకోవడం అవసరం మరియు అప్పుడు మాత్రమే మీరు ఇష్టపడేదాన్ని ఉపయోగించండి.

అనేక మూలాలు ఉన్నప్పుడు

ఒక సమీకరణం బహుళ మూలాలను కలిగి ఉంటుంది. ఉదాహరణకు సమీకరణం x(x+ 9) = 0కి రెండు మూలాలు ఉన్నాయి: 0 మరియు −9.



Eq లో. x(x+ 9) = 0 అటువంటి విలువను కనుగొనడం అవసరం xఎడమ వైపు సున్నాకి సమానంగా ఉంటుంది. ఈ సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు వ్యక్తీకరణలు ఉన్నాయి xమరియు (x+9), ఇవి కారకాలు. ఉత్పత్తి చట్టాల ప్రకారం, కనీసం ఒక కారకం సున్నాకి సమానంగా ఉంటే (మొదటి కారకం లేదా రెండవది) ఉత్పత్తి సున్నాకి సమానం అని మనకు తెలుసు.

అంటే, Eq లో. x(x+ 9) = 0 సమానత్వం ఉంటే సాధించబడుతుంది xసున్నాకి సమానంగా ఉంటుంది లేదా (x+9)సున్నాకి సమానంగా ఉంటుంది.

x= 0 లేదా x + 9 = 0

ఈ రెండు వ్యక్తీకరణలను సున్నాకి సెట్ చేయడం ద్వారా, మనం సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనవచ్చు x(x+ 9) = 0 . మొదటి మూలం, ఉదాహరణ నుండి చూడవచ్చు, వెంటనే కనుగొనబడింది. రెండవ మూలాన్ని కనుగొనడానికి మీరు ప్రాథమిక సమీకరణాన్ని పరిష్కరించాలి x+ 9 = 0 . ఈ సమీకరణం యొక్క మూలం −9 అని ఊహించడం సులభం. రూట్ సరైనదని తనిఖీ చేయడం చూపిస్తుంది:

−9 + 9 = 0

ఉదాహరణ 2. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

ఈ సమీకరణానికి రెండు మూలాలు ఉన్నాయి: 1 మరియు 2. సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు వ్యక్తీకరణల ఉత్పత్తి ( x− 1) మరియు ( x− 2) . మరియు కారకాలలో కనీసం ఒకటి సున్నాకి (లేదా కారకం (లేదా) సమానం అయితే ఉత్పత్తి సున్నాకి సమానం x− 1) లేదా కారకం ( x − 2) ).

ఇలాంటివి కనుక్కోండి xదీని కింద వ్యక్తీకరణలు ( x- 1) లేదా ( x− 2) సున్నా అవుతుంది:



మేము కనుగొన్న విలువలను ఒక్కొక్కటిగా అసలు సమీకరణంలోకి మారుస్తాము మరియు ఈ విలువలకు ఎడమ వైపు సున్నాకి సమానం అని నిర్ధారించుకోండి:



అనంతమైన అనేక మూలాలు ఉన్నప్పుడు

ఒక సమీకరణం అనంతమైన అనేక మూలాలను కలిగి ఉంటుంది. అంటే, అటువంటి సమీకరణంలో ఏదైనా సంఖ్యను ప్రత్యామ్నాయం చేయడం ద్వారా, మనం సరైన సంఖ్యా సమానత్వాన్ని పొందుతాము.

ఉదాహరణ 1. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

ఈ సమీకరణం యొక్క మూలం ఏదైనా సంఖ్య. మీరు సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున ఉన్న బ్రాకెట్లను తెరిచి, సారూప్య పదాలను జోడిస్తే, మీరు సమానత్వం 14 = 14 పొందుతారు. ఈ సమానత్వం ఎవరికైనా లభిస్తుంది x



ఉదాహరణ 2. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

ఈ సమీకరణం యొక్క మూలం ఏదైనా సంఖ్య. మీరు సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున ఉన్న బ్రాకెట్లను తెరిస్తే, మీరు సమానత్వం పొందుతారు 10x + 12 = 10x + 12. ఈ సమానత్వం ఎవరికైనా లభిస్తుంది x

మూలాలు లేనప్పుడు

సమీకరణానికి ఎటువంటి పరిష్కారాలు లేవు, అంటే దానికి మూలాలు లేవు. ఉదాహరణకు, ఏదైనా విలువ కోసం సమీకరణానికి మూలాలు లేవు x, సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు కుడి వైపుకు సమానంగా ఉండదు. ఉదాహరణకు, వీలు. అప్పుడు సమీకరణం క్రింది రూపాన్ని తీసుకుంటుంది



ఉదాహరణ 2. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

సమానత్వం యొక్క ఎడమ వైపున బ్రాకెట్లను విస్తరింపజేద్దాం:

ఇలాంటి పదాలను చూద్దాం:



ఎడమ వైపు కుడి వైపుకు సమానంగా లేదని మనం చూస్తాము. మరియు ఇది ఏదైనా విలువకు సంబంధించినది వై. ఉదాహరణకు, వీలు వై = 3 .



అక్షర సమీకరణాలు

ఒక సమీకరణం వేరియబుల్స్‌తో సంఖ్యలను మాత్రమే కాకుండా అక్షరాలను కూడా కలిగి ఉంటుంది.

ఉదాహరణకు, వేగాన్ని కనుగొనే సూత్రం అక్షర సమీకరణం:

ఈ సమీకరణం ఏకరీతి వేగవంతమైన కదలిక సమయంలో శరీరం యొక్క వేగాన్ని వివరిస్తుంది.

ఉపయోగకరమైన నైపుణ్యం అనేది అక్షర సమీకరణంలో చేర్చబడిన ఏదైనా భాగాన్ని వ్యక్తీకరించగల సామర్థ్యం. ఉదాహరణకు, సమీకరణం నుండి దూరాన్ని నిర్ణయించడానికి, మీరు వేరియబుల్‌ను వ్యక్తపరచాలి లు .

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా గుణించండి t



కుడి వైపున వేరియబుల్స్ tదానిని కట్ చేద్దాం t



ఫలిత సమీకరణంలో, మేము ఎడమ మరియు కుడి వైపులా మార్పిడి చేస్తాము:



దూరాన్ని కనుగొనడానికి మాకు ఒక సూత్రం ఉంది, మేము ఇంతకు ముందు అధ్యయనం చేసాము.

సమీకరణం నుండి సమయాన్ని నిర్ణయించడానికి ప్రయత్నిద్దాం. దీన్ని చేయడానికి మీరు వేరియబుల్‌ను వ్యక్తీకరించాలి t .

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా గుణించండి t



కుడి వైపున వేరియబుల్స్ tదానిని కట్ చేద్దాం tమరియు మనకు మిగిలి ఉన్న వాటిని తిరిగి వ్రాయండి:



ఫలిత సమీకరణంలో v×t = sరెండు భాగాలను విభజించండి v

ఎడమవైపు వేరియబుల్స్ vదానిని కట్ చేద్దాం vమరియు మనకు మిగిలి ఉన్న వాటిని తిరిగి వ్రాయండి:

మేము ఇంతకు ముందు అధ్యయనం చేసిన సమయాన్ని నిర్ణయించే సూత్రాన్ని కలిగి ఉన్నాము.

రైలు వేగం గంటకు 50 కి.మీ

v= 50 కిమీ/గం

మరియు దూరం 100 కి.మీ

లు= 100 కి.మీ

అప్పుడు లేఖ క్రింది రూపాన్ని తీసుకుంటుంది

ఈ సమీకరణం నుండి సమయాన్ని కనుగొనవచ్చు. దీన్ని చేయడానికి మీరు వేరియబుల్‌ను వ్యక్తీకరించగలగాలి t. మీరు డివిడెండ్‌ను గుణకం ద్వారా విభజించడం ద్వారా మరియు వేరియబుల్ విలువను నిర్ణయించడం ద్వారా తెలియని డివైజర్‌ను కనుగొనడానికి నియమాన్ని ఉపయోగించవచ్చు. t

లేదా మీరు ఒకే విధమైన పరివర్తనలను ఉపయోగించవచ్చు. మొదట సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా గుణించండి t



అప్పుడు రెండు వైపులా 50 ద్వారా విభజించండి



ఉదాహరణ 2 x

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపుల నుండి తీసివేయండి a



సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా విభజిద్దాము బి



a + bx = c, అప్పుడు మనకు రెడీమేడ్ సొల్యూషన్ ఉంటుంది. అవసరమైన విలువలను దానిలో భర్తీ చేయడానికి ఇది సరిపోతుంది. అక్షరాలకు ప్రత్యామ్నాయంగా ఉండే విలువలు ఎ, బి, సిసాధారణంగా అంటారు పారామితులు. మరియు రూపం యొక్క సమీకరణాలు a + bx = cఅని పిలిచారు పారామితులతో సమీకరణం. పారామితులపై ఆధారపడి, రూట్ మారుతుంది.

2 + 4 సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం x= 10. ఇది అక్షరాల సమీకరణం వలె కనిపిస్తుంది a + bx = c. ఒకే విధమైన పరివర్తనలను నిర్వహించడానికి బదులుగా, మేము సిద్ధంగా ఉన్న పరిష్కారాన్ని ఉపయోగించవచ్చు. రెండు పరిష్కారాలను సరిపోల్చండి:



రెండవ పరిష్కారం చాలా సరళమైనది మరియు చిన్నది అని మేము చూస్తాము.

రెడీమేడ్ పరిష్కారం కోసం, ఒక చిన్న వ్యాఖ్య చేయడం అవసరం. పరామితి బిసున్నాకి సమానంగా ఉండకూడదు (బి ≠ 0), సున్నా ద్వారా విభజన అనుమతించబడినందున.

ఉదాహరణ 3. సాహిత్య సమీకరణం ఇవ్వబడింది. ఈ సమీకరణం నుండి వ్యక్తపరచండి x

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా బ్రాకెట్లను తెరవండి

నిబంధనల బదిలీని ఉపయోగించుకుందాం. వేరియబుల్ కలిగి ఉన్న పారామితులు x, మేము సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున సమూహం చేస్తాము మరియు ఈ వేరియబుల్ నుండి ఉచిత పారామితులను - కుడివైపున.

ఎడమ వైపున మేము బ్రాకెట్ల నుండి కారకాన్ని తీసుకుంటాము x

వ్యక్తీకరణ ద్వారా రెండు వైపులా విభజిద్దాము a−b



ఎడమ వైపున, న్యూమరేటర్ మరియు హారం ద్వారా తగ్గించవచ్చు a−b. ఈ విధంగా చరరాశి చివరకు వ్యక్తీకరించబడింది x



ఇప్పుడు, మనం రూపం యొక్క సమీకరణాన్ని చూస్తే a(x - c) = b(x + d), అప్పుడు మనకు రెడీమేడ్ సొల్యూషన్ ఉంటుంది. అవసరమైన విలువలను దానిలో భర్తీ చేయడానికి ఇది సరిపోతుంది.

మనకు ఒక సమీకరణం ఇచ్చారని అనుకుందాం 4(x- 3) = 2(x+ 4) . ఇది ఒక సమీకరణం వలె కనిపిస్తుంది a(x - c) = b(x + d). దీన్ని రెండు విధాలుగా పరిష్కరిద్దాం: ఒకే విధమైన పరివర్తనలను ఉపయోగించడం మరియు రెడీమేడ్ పరిష్కారాన్ని ఉపయోగించడం:

సౌలభ్యం కోసం, దానిని సమీకరణం నుండి తీసుకుందాం 4(x- 3) = 2(x+ 4) పరామితి విలువలు a, బి, సి, డి . ప్రత్యామ్నాయం చేసేటప్పుడు పొరపాటు చేయకుండా ఇది మమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది:



మునుపటి ఉదాహరణలో వలె, ఇక్కడ హారం సున్నాకి సమానంగా ఉండకూడదు ( a − b ≠ 0) మేము రూపం యొక్క సమీకరణాన్ని ఎదుర్కొంటే a(x - c) = b(x + d)దీనిలో పారామితులు aమరియు బిఒకే విధంగా ఉంటుంది, ఈ సమీకరణానికి మూలాలు లేవని మనం పరిష్కరించకుండానే చెప్పగలం, ఎందుకంటే ఒకే సంఖ్యల వ్యత్యాసం సున్నా.

ఉదాహరణకు, సమీకరణం 2(x - 3) = 2(x + 4)రూపం యొక్క సమీకరణం a(x - c) = b(x + d). Eq లో. 2(x - 3) = 2(x + 4)ఎంపికలు aమరియు బిఅదే. మేము దానిని పరిష్కరించడం ప్రారంభిస్తే, ఎడమ వైపు కుడి వైపుకు సమానంగా ఉండదని మేము నిర్ధారణకు వస్తాము:



ఉదాహరణ 4. సాహిత్య సమీకరణం ఇవ్వబడింది. ఈ సమీకరణం నుండి వ్యక్తపరచండి x

సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున ఒక సాధారణ హారంకు తీసుకువద్దాం:

రెండు వైపులా గుణించండి a



ఎడమ వైపున xదానిని బ్రాకెట్ల నుండి బయట పెడతాము



వ్యక్తీకరణ ద్వారా రెండు వైపులా విభజించండి (1 - a)



తెలియని ఒకదానితో సరళ సమీకరణాలు

ఈ పాఠంలో చర్చించిన సమీకరణాలు అంటారు తెలియని ఒకదానితో మొదటి డిగ్రీ యొక్క సరళ సమీకరణాలు.

సమీకరణం మొదటి డిగ్రీలో ఇవ్వబడితే, తెలియని వాటి ద్వారా విభజనను కలిగి ఉండకపోతే మరియు తెలియని దాని నుండి మూలాలను కూడా కలిగి ఉండకపోతే, దానిని లీనియర్ అని పిలుస్తారు. మేము ఇంకా శక్తులు మరియు మూలాలను అధ్యయనం చేయలేదు, కాబట్టి మన జీవితాలను క్లిష్టతరం చేయకుండా ఉండటానికి, "సరళ" అనే పదాన్ని "సరళమైన" గా అర్థం చేసుకుంటాము.

ఈ పాఠంలో పరిష్కరించబడిన చాలా సమీకరణాలు చివరికి ఒక సాధారణ సమీకరణానికి వచ్చాయి, దీనిలో మీరు తెలిసిన కారకం ద్వారా ఉత్పత్తిని విభజించాలి. ఉదాహరణకు, ఇది సమీకరణం 2( x+ 3) = 16 . దాన్ని పరిష్కరించుకుందాం.

సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున ఉన్న బ్రాకెట్లను తెరుద్దాం, మనకు 2 వస్తుంది x+ 6 = 16. గుర్తును మారుస్తూ, పదం 6ని కుడి వైపుకు తరలిద్దాం. అప్పుడు మనకు 2 వస్తుంది x= 16 - 6. కుడి వైపును లెక్కించండి, మనకు 2 వస్తుంది x= 10. కనుగొనడానికి x, ఉత్పత్తిని 10ని తెలిసిన కారకం 2తో భాగించండి. అందుకే x = 5.

సమీకరణం 2( x+ 3) = 16 సరళంగా ఉంటుంది. ఇది సమీకరణం 2కి వస్తుంది x= 10, తెలిసిన కారకం ద్వారా ఉత్పత్తిని విభజించాల్సిన అవసరం ఉన్న మూలాన్ని కనుగొనడానికి. ఈ సరళమైన సమీకరణం అంటారు కానానికల్ రూపంలో తెలియని దానితో మొదటి డిగ్రీ యొక్క సరళ సమీకరణం. "కానానికల్" అనే పదం "సాధారణ" లేదా "సాధారణ" పదాలకు పర్యాయపదంగా ఉంటుంది.

కానానికల్ రూపంలో తెలియని ఒకదానితో మొదటి డిగ్రీ యొక్క సరళ సమీకరణాన్ని రూపం యొక్క సమీకరణం అంటారు. ax = బి.

మా ఫలిత సమీకరణం 2 x= 10 అనేది కానానికల్ రూపంలో తెలియని ఒకదానితో మొదటి డిగ్రీ యొక్క సరళ సమీకరణం. ఈ సమీకరణం మొదటి డిగ్రీని కలిగి ఉంది, ఒకటి తెలియనిది, ఇది తెలియని వాటి ద్వారా విభజనను కలిగి ఉండదు మరియు తెలియని వాటి నుండి మూలాలను కలిగి ఉండదు మరియు ఇది కానానికల్ రూపంలో ప్రదర్శించబడుతుంది, అంటే, విలువను సులభంగా నిర్ణయించగలిగే సరళమైన రూపంలో x. పారామితులకు బదులుగా aమరియు బిమా సమీకరణం 2 మరియు 10 సంఖ్యలను కలిగి ఉంటుంది. కానీ అటువంటి సమీకరణం ఇతర సంఖ్యలను కూడా కలిగి ఉంటుంది: ధనాత్మక, ప్రతికూల లేదా సున్నాకి సమానం.

సరళ సమీకరణంలో ఉంటే a= 0 మరియు బి= 0, అప్పుడు సమీకరణం అనంతమైన అనేక మూలాలను కలిగి ఉంటుంది. నిజానికి, ఉంటే aసున్నాకి సమానం మరియు బిసున్నాకి సమానం, ఆపై సరళ సమీకరణం గొడ్డలి= బిఫారమ్ 0 తీసుకుంటుంది x= 0. ఏదైనా విలువ కోసం xఎడమ వైపు కుడి వైపు సమానంగా ఉంటుంది.

సరళ సమీకరణంలో ఉంటే a= 0 మరియు బి≠ 0, అప్పుడు సమీకరణానికి మూలాలు లేవు. నిజానికి, ఉంటే aసున్నాకి సమానం మరియు బిసున్నాకి సమానం కాని కొంత సంఖ్యకు సమానం, సంఖ్య 5 చెప్పండి, ఆపై సమీకరణం ax = బిఫారమ్ 0 తీసుకుంటుంది x= 5 ఎడమ వైపు సున్నా ఉంటుంది, మరియు కుడి వైపు ఐదు ఉంటుంది. మరియు సున్నా ఐదుకి సమానం కాదు.

సరళ సమీకరణంలో ఉంటే a≠ 0, మరియు బిఏదైనా సంఖ్యకు సమానం, అప్పుడు సమీకరణం ఒక మూలాన్ని కలిగి ఉంటుంది. ఇది పరామితిని విభజించడం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది బిపరామితి ప్రకారం a

నిజానికి, ఉంటే aసున్నా లేని కొంత సంఖ్యకు సమానం, సంఖ్య 3 చెప్పండి మరియు బికొంత సంఖ్యకు సమానం, సంఖ్య 6 చెప్పండి, అప్పుడు సమీకరణం రూపాన్ని తీసుకుంటుంది.
ఇక్కడనుంచి.

తెలియని దానితో మొదటి డిగ్రీ యొక్క సరళ సమీకరణాన్ని వ్రాయడానికి మరొక రూపం ఉంది. ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది: ax−b= 0. ఇదే సమీకరణం ax = బి

మీకు పాఠం నచ్చిందా?
మా కొత్త VKontakte సమూహంలో చేరండి మరియు కొత్త పాఠాల గురించి నోటిఫికేషన్‌లను స్వీకరించడం ప్రారంభించండి

మేము సంఖ్యలు, అక్షరాలు మరియు వేరియబుల్‌లను కలిగి ఉన్న వివిధ వ్యక్తీకరణలతో పని చేస్తున్నప్పుడు, మేము పెద్ద సంఖ్యలో అంకగణిత కార్యకలాపాలను నిర్వహించాలి. మేము మార్పిడి చేసినప్పుడు లేదా విలువను లెక్కించినప్పుడు, ఈ చర్యల యొక్క సరైన క్రమాన్ని అనుసరించడం చాలా ముఖ్యం. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, అంకగణిత కార్యకలాపాలు వాటి స్వంత ప్రత్యేక అమలు క్రమాన్ని కలిగి ఉంటాయి.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ఈ ఆర్టికల్లో మేము ముందుగా ఏ చర్యలు చేయాలి మరియు ఏవి తర్వాత చేయాలి అని మీకు తెలియజేస్తాము. మొదట, వేరియబుల్స్ లేదా సంఖ్యా విలువలు, అలాగే భాగహారం, గుణకారం, తీసివేత మరియు కూడిక సంకేతాలను మాత్రమే కలిగి ఉన్న కొన్ని సాధారణ వ్యక్తీకరణలను చూద్దాం. అప్పుడు కుండలీకరణాలతో ఉదాహరణలను తీసుకుందాం మరియు వాటిని ఏ క్రమంలో లెక్కించాలో పరిశీలిద్దాం. మూడవ భాగంలో, మూలాలు, అధికారాలు మరియు ఇతర ఫంక్షన్ల సంకేతాలను కలిగి ఉన్న ఉదాహరణలలో రూపాంతరాలు మరియు గణనల యొక్క అవసరమైన క్రమాన్ని మేము ఇస్తాము.

నిర్వచనం 1

కుండలీకరణాలు లేని వ్యక్తీకరణల విషయంలో, చర్యల క్రమం నిస్సందేహంగా నిర్ణయించబడుతుంది:

1. అన్ని చర్యలు ఎడమ నుండి కుడికి నిర్వహించబడతాయి.
2. మేము మొదట భాగహారం మరియు గుణకారం మరియు రెండవది తీసివేత మరియు సంకలనం చేస్తాము.

ఈ నియమాల అర్థాన్ని అర్థం చేసుకోవడం సులభం. సాంప్రదాయ ఎడమ నుండి కుడికి వ్రాసే క్రమం గణనల యొక్క ప్రాథమిక క్రమాన్ని నిర్వచిస్తుంది మరియు మొదట గుణించడం లేదా విభజించడం అవసరం అనేది ఈ కార్యకలాపాల యొక్క సారాంశం ద్వారా వివరించబడింది.

స్పష్టత కోసం కొన్ని పనులను తీసుకుందాం. మేము అన్ని గణనలను మానసికంగా చేయగలిగేలా సరళమైన సంఖ్యా వ్యక్తీకరణలను మాత్రమే ఉపయోగించాము. ఈ విధంగా మీరు కోరుకున్న ఆర్డర్‌ను త్వరగా గుర్తుంచుకోవచ్చు మరియు ఫలితాలను త్వరగా తనిఖీ చేయవచ్చు.

ఉదాహరణ 1

పరిస్థితి:అది ఎంత ఉంటుందో లెక్కించండి 7 − 3 + 6 .

పరిష్కారం

మా వ్యక్తీకరణలో కుండలీకరణాలు లేవు, గుణకారం మరియు విభజన కూడా లేదు, కాబట్టి మేము పేర్కొన్న క్రమంలో అన్ని చర్యలను చేస్తాము. మొదట మనం ఏడు నుండి మూడింటిని తీసివేసి, ఆపై మిగిలిన వాటికి ఆరు జోడించి పదితో ముగుస్తుంది. మొత్తం పరిష్కారం యొక్క ట్రాన్స్క్రిప్ట్ ఇక్కడ ఉంది:

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

సమాధానం: 7 − 3 + 6 = 10 .

ఉదాహరణ 2

పరిస్థితి:వ్యక్తీకరణలో గణనలను ఏ క్రమంలో నిర్వహించాలి? 6:2 8:3?

పరిష్కారం

ఈ ప్రశ్నకు సమాధానమివ్వడానికి, మేము ముందుగా రూపొందించిన కుండలీకరణాలు లేని వ్యక్తీకరణల నియమాన్ని మళ్లీ చదవండి. ఇక్కడ మనకు గుణకారం మరియు భాగహారం మాత్రమే ఉన్నాయి, అంటే మనం గణనల వ్రాత క్రమాన్ని ఉంచుతాము మరియు ఎడమ నుండి కుడికి వరుసగా గణిస్తాము.

సమాధానం:మొదట మనం ఆరింటిని రెండుగా విభజించి, ఫలితాన్ని ఎనిమిదితో గుణించి, ఫలిత సంఖ్యను మూడుతో భాగిస్తాము.

ఉదాహరణ 3

పరిస్థితి: 17 - 5 · 6: 3 - 2 + 4: 2 ఎంత ఉంటుందో లెక్కించండి.

పరిష్కారం

మొదట, మేము ఇక్కడ అన్ని ప్రాథమిక రకాల అంకగణిత కార్యకలాపాలను కలిగి ఉన్నందున, ఆపరేషన్ల యొక్క సరైన క్రమాన్ని నిర్ధారిద్దాం - కూడిక, తీసివేత, గుణకారం, భాగహారం. మనం చేయవలసిన మొదటి విషయం ఏమిటంటే విభజించడం మరియు గుణించడం. ఈ చర్యలకు ఒకదానికొకటి ప్రాధాన్యత లేదు, కాబట్టి మేము వాటిని కుడి నుండి ఎడమకు వ్రాసిన క్రమంలో నిర్వహిస్తాము. అంటే, 30ని పొందడానికి 5ని 6తో గుణించాలి, తర్వాత 10ని పొందడానికి 30ని 3తో భాగించాలి. ఆ తర్వాత, 4ని 2తో భాగించండి, ఇది 2. కనుగొనబడిన విలువలను అసలు వ్యక్తీకరణలో ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:

17 - 5 6: 3 - 2 + 4: 2 = 17 - 10 - 2 + 2

ఇక్కడ భాగహారం లేదా గుణకారం లేదు, కాబట్టి మేము మిగిలిన గణనలను క్రమంలో చేస్తాము మరియు సమాధానాన్ని పొందుతాము:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

సమాధానం:17 - 5 6: 3 - 2 + 4: 2 = 7.

చర్యలను నిర్వహించే క్రమం దృఢంగా గుర్తుంచుకోబడే వరకు, మీరు గణన క్రమాన్ని సూచించే అంకగణిత కార్యకలాపాల సంకేతాల పైన సంఖ్యలను ఉంచవచ్చు. ఉదాహరణకు, పై సమస్య కోసం మనం దీన్ని ఇలా వ్రాయవచ్చు:

మనకు అక్షర వ్యక్తీకరణలు ఉంటే, మేము వాటితో కూడా అదే చేస్తాము: మొదట మనం గుణించి విభజించి, ఆపై జోడించి తీసివేస్తాము.

మొదటి మరియు రెండవ దశ చర్యలు ఏమిటి?

కొన్నిసార్లు సూచన పుస్తకాలలో అన్ని అంకగణిత కార్యకలాపాలు మొదటి మరియు రెండవ దశల చర్యలుగా విభజించబడ్డాయి. అవసరమైన నిర్వచనాన్ని రూపొందిద్దాం.

మొదటి దశ యొక్క కార్యకలాపాలలో వ్యవకలనం మరియు కూడిక ఉన్నాయి, రెండవది - గుణకారం మరియు విభజన.

ఈ పేర్లను తెలుసుకోవడం, మేము చర్యల క్రమానికి సంబంధించి గతంలో ఇచ్చిన నియమాన్ని ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు:

నిర్వచనం 2

కుండలీకరణాలు లేని వ్యక్తీకరణలో, మీరు మొదట రెండవ దశ యొక్క చర్యలను ఎడమ నుండి కుడికి దిశలో చేయాలి, ఆపై మొదటి దశ యొక్క చర్యలు (అదే దిశలో).

కుండలీకరణాలతో వ్యక్తీకరణలలో లెక్కల క్రమం

కుండలీకరణాలు మనకు కావలసిన చర్యల క్రమాన్ని తెలియజేసే సంకేతం. ఈ సందర్భంలో, అవసరమైన నియమాన్ని ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు:

నిర్వచనం 3

వ్యక్తీకరణలో కుండలీకరణాలు ఉన్నట్లయితే, మొదటి దశ వాటిలో ఆపరేషన్ను నిర్వహించడం, దాని తర్వాత మేము గుణించి విభజించి, ఆపై ఎడమ నుండి కుడికి జోడించడం మరియు తీసివేయడం.

కుండల వ్యక్తీకరణ విషయానికొస్తే, ఇది ప్రధాన వ్యక్తీకరణలో అంతర్భాగంగా పరిగణించబడుతుంది. బ్రాకెట్లలో వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను లెక్కించేటప్పుడు, మనకు తెలిసిన అదే విధానాన్ని మేము నిర్వహిస్తాము. ఒక ఉదాహరణతో మన ఆలోచనను వివరించండి.

ఉదాహరణ 4

పరిస్థితి:అది ఎంత ఉంటుందో లెక్కించండి 5 + (7 - 2 3) (6 - 4) : 2.

పరిష్కారం

ఈ వ్యక్తీకరణలో కుండలీకరణాలు ఉన్నాయి, కాబట్టి వాటితో ప్రారంభిద్దాం. ముందుగా, 7 − 2 · 3 ఎంత ఉంటుందో గణిద్దాం. ఇక్కడ మనం 2ని 3తో గుణించాలి మరియు ఫలితాన్ని 7 నుండి తీసివేయాలి:

7 - 2 3 = 7 - 6 = 1

మేము రెండవ బ్రాకెట్లలో ఫలితాన్ని లెక్కిస్తాము. అక్కడ మనకు ఒకే ఒక చర్య ఉంది: 6 − 4 = 2 .

ఇప్పుడు మనం ఫలిత విలువలను అసలు వ్యక్తీకరణలో భర్తీ చేయాలి:

5 + (7 - 2 3) (6 - 4) : 2 = 5 + 1 2: 2

గుణకారం మరియు భాగహారంతో ప్రారంభిద్దాం, ఆపై వ్యవకలనం చేసి, పొందండి:

5 + 1 2: 2 = 5 + 2: 2 = 5 + 1 = 6

దీంతో లెక్కలు ముగిశాయి.

సమాధానం: 5 + (7 - 2 3) (6 - 4) : 2 = 6.

మా పరిస్థితిలో కొన్ని కుండలీకరణాలు మరికొన్నింటిని చేర్చే వ్యక్తీకరణను కలిగి ఉంటే ఆందోళన చెందకండి. మేము కుండలీకరణాల్లోని అన్ని వ్యక్తీకరణలకు మాత్రమే పైన ఉన్న నియమాన్ని స్థిరంగా వర్తింపజేయాలి. ఈ సమస్యను తీసుకుందాం.

ఉదాహరణ 5

పరిస్థితి:అది ఎంత ఉంటుందో లెక్కించండి 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)).

పరిష్కారం

మేము కుండలీకరణాల్లో కుండలీకరణాలను కలిగి ఉన్నాము. మేము 3 + 1 + 4 · (2 ​​+ 3) తో ప్రారంభిస్తాము, అవి 2 + 3. 5 అవుతుంది. విలువను వ్యక్తీకరణలో భర్తీ చేయాలి మరియు 3 + 1 + 4 · 5 అని లెక్కించాలి. మనం మొదట గుణించి, ఆపై జోడించాలని గుర్తుంచుకోవాలి: 3 + 1 + 4 5 = 3 + 1 + 20 = 24. కనుగొనబడిన విలువలను అసలు వ్యక్తీకరణలో భర్తీ చేయడం ద్వారా, మేము సమాధానాన్ని లెక్కిస్తాము: 4 + 24 = 28 .

సమాధానం: 4 + (3 + 1 + 4 · (2 ​​+ 3)) = 28.

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, కుండలీకరణాల్లోని కుండలీకరణాలను కలిగి ఉన్న వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను గణిస్తున్నప్పుడు, మేము లోపలి కుండలీకరణాలతో ప్రారంభించి, బయటి వాటికి మా మార్గంలో పని చేస్తాము.

(4 + (4 + (4 - 6: 2)) − 1) - 1 ఎంత ఉంటుందో మనం కనుగొనవలసి ఉందని అనుకుందాం. మేము అంతర్గత బ్రాకెట్లలో వ్యక్తీకరణతో ప్రారంభిస్తాము. 4 - 6: 2 = 4 - 3 = 1 కాబట్టి, అసలు వ్యక్తీకరణను (4 + (4 + 1) - 1) − 1గా వ్రాయవచ్చు. లోపలి కుండలీకరణాల్లో మళ్లీ చూడటం: 4 + 1 = 5. మేము వ్యక్తీకరణకు వచ్చాము (4 + 5 − 1) − 1 . మేము లెక్కిస్తాము 4 + 5 − 1 = 8 మరియు ఫలితంగా మనకు 8 - 1 తేడా వస్తుంది, దీని ఫలితం 7 అవుతుంది.

అధికారాలు, మూలాలు, సంవర్గమానాలు మరియు ఇతర ఫంక్షన్‌లతో వ్యక్తీకరణలలో గణన క్రమం

మన పరిస్థితి పవర్, రూట్, లాగరిథమ్ లేదా త్రికోణమితి ఫంక్షన్ (సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్) లేదా ఇతర ఫంక్షన్‌లతో కూడిన వ్యక్తీకరణను కలిగి ఉంటే, ముందుగా మనం ఫంక్షన్ విలువను లెక్కిస్తాము. దీని తరువాత, మేము మునుపటి పేరాల్లో పేర్కొన్న నిబంధనల ప్రకారం పని చేస్తాము. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, బ్రాకెట్లలో ఉన్న వ్యక్తీకరణకు ఫంక్షన్లు సమానంగా ఉంటాయి.

అటువంటి గణన యొక్క ఉదాహరణను చూద్దాం.

ఉదాహరణ 6

పరిస్థితి:ఎంత ఉందో కనుగొనండి (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7.

పరిష్కారం

మేము డిగ్రీతో వ్యక్తీకరణను కలిగి ఉన్నాము, దాని విలువ ముందుగా కనుగొనబడాలి. మేము లెక్కిస్తాము: 6 2 = 36. ఇప్పుడు ఫలితాన్ని వ్యక్తీకరణకు ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం, దాని తర్వాత అది (3 + 1) · 2 + 36: 3 - 7 రూపాన్ని తీసుకుంటుంది.

(3 + 1) 2 + 36: 3 - 7 = 4 2 + 36: 3 - 7 = 8 + 12 - 7 = 13

సమాధానం: (3 + 1) 2 + 6 2: 3 - 7 = 13.

వ్యక్తీకరణల విలువలను లెక్కించడానికి అంకితమైన ప్రత్యేక కథనంలో, మూలాలు, డిగ్రీలు మొదలైన వాటితో వ్యక్తీకరణల విషయంలో గణనల యొక్క ఇతర, సంక్లిష్టమైన ఉదాహరణలను మేము అందిస్తాము. దానితో మిమ్మల్ని మీరు పరిచయం చేసుకోవాలని మేము సిఫార్సు చేస్తున్నాము.

మీరు టెక్స్ట్‌లో లోపాన్ని గమనించినట్లయితే, దయచేసి దాన్ని హైలైట్ చేసి, Ctrl+Enter నొక్కండి

సమీకరణం అనేది ఒక అక్షరాన్ని కలిగి ఉన్న సమానత్వం, దీని విలువ తప్పనిసరిగా కనుగొనబడుతుంది.

సమీకరణాలలో, తెలియనిది సాధారణంగా చిన్న అక్షరంతో సూచించబడుతుంది. సాధారణంగా ఉపయోగించే అక్షరాలు “x” [ix] మరియు “y” [y].

• సమీకరణం యొక్క మూలం- ఇది సమీకరణం నుండి సరైన సంఖ్యా సమానత్వాన్ని పొందే అక్షరం యొక్క విలువ.
• సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి- అంటే దాని అన్ని మూలాలను కనుగొనడం లేదా మూలాలు లేవని నిర్ధారించుకోండి.

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించిన తరువాత, మేము ఎల్లప్పుడూ సమాధానం తర్వాత చెక్ వ్రాస్తాము.

తల్లిదండ్రుల కోసం సమాచారం

ప్రియమైన తల్లిదండ్రులారా, ప్రాథమిక పాఠశాలలో మరియు 5 వ తరగతిలో పిల్లలకు "ప్రతికూల సంఖ్యలు" అనే అంశం తెలియదని మేము మీ దృష్టిని ఆకర్షిస్తున్నాము.

కాబట్టి, అవి కూడిక, తీసివేత, గుణకారం మరియు భాగహారం యొక్క లక్షణాలను మాత్రమే ఉపయోగించి సమీకరణాలను పరిష్కరించాలి. గ్రేడ్ 5 కోసం సమీకరణాలను పరిష్కరించే పద్ధతులు క్రింద ఇవ్వబడ్డాయి.

గుర్తులో మార్పుతో సమీకరణంలోని ఒక భాగం నుండి మరొకదానికి సంఖ్యలు మరియు అక్షరాలను బదిలీ చేయడం ద్వారా సమీకరణాల పరిష్కారాన్ని వివరించడానికి ప్రయత్నించవద్దు.

మీరు "లాస్ ఆఫ్ అరిథ్మెటిక్" పాఠంలో కూడిక, తీసివేత, గుణకారం మరియు భాగహారానికి సంబంధించిన భావనలను బ్రష్ చేయవచ్చు.

కూడిక మరియు తీసివేత సమీకరణాలను పరిష్కరించడం

తెలియని వాటిని ఎలా కనుగొనాలి
పదం

తెలియని వాటిని ఎలా కనుగొనాలి
minuend

తెలియని వాటిని ఎలా కనుగొనాలి
ఉపగ్రహించు

తెలియని పదాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు మొత్తం నుండి తెలిసిన పదాన్ని తీసివేయాలి.

తెలియని మినియెండ్‌ని కనుగొనడానికి, మీరు వ్యత్యాసానికి సబ్‌ట్రాహెండ్‌ని జోడించాలి.

తెలియని సబ్‌ట్రాహెండ్‌ను కనుగొనడానికి, మీరు మైన్యూఎండ్ నుండి వ్యత్యాసాన్ని తీసివేయాలి.

x + 9 = 15
x = 15 - 9
x = 6
పరీక్ష

x - 14 = 2
x = 14 + 2
x = 16
పరీక్ష

16 − 2 = 14
14 = 14

5 - x = 3
x = 5 - 3
x = 2
పరీక్ష

గుణకారం మరియు విభజన సమీకరణాలను పరిష్కరించడం

తెలియని దాన్ని ఎలా కనుగొనాలి
కారకం

తెలియని వాటిని ఎలా కనుగొనాలి
డివిడెండ్

తెలియని దాన్ని ఎలా కనుగొనాలి
డివైడర్

తెలియని కారకాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు తెలిసిన కారకం ద్వారా ఉత్పత్తిని విభజించాలి.

తెలియని డివిడెండ్‌ని కనుగొనడానికి, మీరు భాజకం ద్వారా గుణకాన్ని గుణించాలి.

తెలియని డివైజర్‌ను కనుగొనడానికి, మీరు డివిడెండ్‌ను భాగస్వామ్యం ద్వారా విభజించాలి.

y 4 = 12
y=12:4
y=3
పరీక్ష

y: 7 = 2
y = 2 7
y=14
పరీక్ష

8:y=4
y=8:4
y=2
పరీక్ష

సమీకరణం అనేది ఒక అక్షరాన్ని కలిగి ఉన్న సమానత్వం, దీని గుర్తు తప్పనిసరిగా కనుగొనబడుతుంది. సమీకరణానికి పరిష్కారం అనేది అక్షర విలువల సమితి, ఇది సమీకరణాన్ని నిజమైన సమానత్వంగా మారుస్తుంది:

దాన్ని పరిష్కరించడానికి గుర్తుంచుకోండి సమీకరణంమీరు తెలియని వాటితో ఉన్న నిబంధనలను సమానత్వంలోని ఒక భాగానికి మరియు సంఖ్యా నిబంధనలను మరొకదానికి బదిలీ చేయాలి, సారూప్యమైన వాటిని తీసుకుని క్రింది సమానత్వాన్ని పొందండి:

చివరి సమానత్వం నుండి మేము నియమం ప్రకారం తెలియని వాటిని నిర్ణయిస్తాము: "కారకాలలో ఒకటి రెండవ కారకం ద్వారా విభజించబడిన భాగానికి సమానం."

హేతుబద్ధ సంఖ్యలు a మరియు b ఒకే లేదా భిన్నమైన సంకేతాలను కలిగి ఉండవచ్చు కాబట్టి, హేతుబద్ధ సంఖ్యలను విభజించే నియమాల ద్వారా తెలియని సంకేతం నిర్ణయించబడుతుంది.

సరళ సమీకరణాలను పరిష్కరించే విధానం

బ్రాకెట్లను తెరవడం మరియు రెండవ దశ కార్యకలాపాలను (గుణకారం మరియు విభజన) చేయడం ద్వారా సరళ సమీకరణాన్ని సరళీకృతం చేయాలి.

తెలియని వాటిని సమాన గుర్తు యొక్క ఒక వైపుకు మరియు సంఖ్యలను సమాన గుర్తు యొక్క మరొక వైపుకు తరలించండి, ఇచ్చిన దానికి సమానమైన సమానత్వాన్ని పొందడం,

సమాన గుర్తు యొక్క ఎడమ మరియు కుడికి సమానమైన వాటిని తీసుకురండి, రూపం యొక్క సమానత్వాన్ని పొందండి గొడ్డలి = బి.

సమీకరణం యొక్క మూలాన్ని లెక్కించండి (తెలియని వాటిని కనుగొనండి Xసమానత్వం నుండి x = బి : a),

అందించిన సమీకరణంలో తెలియని వాటిని భర్తీ చేయడం ద్వారా తనిఖీ చేయండి.

మేము సంఖ్యా సమానత్వంలో గుర్తింపును పొందినట్లయితే, అప్పుడు సమీకరణం సరిగ్గా పరిష్కరించబడుతుంది.

సమీకరణాలను పరిష్కరించే ప్రత్యేక సందర్భాలు

1. ఉంటే సమీకరణం 0కి సమానమైన ఉత్పత్తిని అందించినట్లయితే, దానిని పరిష్కరించడానికి మేము గుణకారం యొక్క లక్షణాన్ని ఉపయోగిస్తాము: "ఒక కారకం లేదా రెండు కారకాలు సున్నాకి సమానం అయితే ఉత్పత్తి సున్నాకి సమానం."

27 (x - 3) = 0
27 0కి సమానం కాదు, అంటే x - 3 = 0

రెండవ ఉదాహరణ సమీకరణానికి రెండు పరిష్కారాలను కలిగి ఉంది
ఇది రెండవ డిగ్రీ సమీకరణం:

సమీకరణం యొక్క గుణకాలు సాధారణ భిన్నాలు అయితే, మొదట మీరు హారంలను వదిలించుకోవాలి. దీని కొరకు:

సాధారణ హారం కనుగొనండి;

సమీకరణం యొక్క ప్రతి పదానికి అదనపు కారకాలను నిర్ణయించండి;

భిన్నాలు మరియు పూర్ణాంకాల సంఖ్యలను అదనపు కారకాల ద్వారా గుణించండి మరియు సమీకరణం యొక్క అన్ని నిబంధనలను హారం లేకుండా వ్రాయండి (సాధారణ హారం విస్మరించబడుతుంది);

తెలియని వాటితో ఉన్న నిబంధనలను సమీకరణం యొక్క ఒక వైపుకు మరియు సంఖ్యా పదాలను సమాన చిహ్నం నుండి మరొక వైపుకు తరలించి, సమానమైన సమానత్వాన్ని పొందడం;

ఇలాంటి సభ్యులను తీసుకురండి;

సమీకరణాల ప్రాథమిక లక్షణాలు

సమీకరణంలోని ఏదైనా భాగంలో, మీరు ఒకే విధమైన పదాలను జోడించవచ్చు లేదా కుండలీకరణాన్ని తెరవవచ్చు.

సమీకరణం యొక్క ఏదైనా పదం దాని చిహ్నాన్ని వ్యతిరేకానికి మార్చడం ద్వారా సమీకరణం యొక్క ఒక భాగం నుండి మరొకదానికి బదిలీ చేయబడుతుంది.

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 0 తప్ప, ఒకే సంఖ్యతో గుణించవచ్చు (భాగించబడుతుంది).

పై ఉదాహరణలో, సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి దాని అన్ని లక్షణాలు ఉపయోగించబడ్డాయి.

గుణకార సమీకరణాలు

1) సాధారణ గుణకార సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి అల్గారిథమ్‌ను నిర్మించే ఉదాహరణను ఉపయోగించి అల్గారిథమ్‌ను రూపొందించే సామర్థ్యాన్ని అభివృద్ధి చేయడం, సమీకరణాన్ని పరిష్కరించేటప్పుడు నిర్మించిన అల్గోరిథంను ఉపయోగించగల సామర్థ్యాన్ని అభివృద్ధి చేయడం.

2) మీ కంప్యూటింగ్ నైపుణ్యాలకు శిక్షణ ఇవ్వండి మరియు పద సమస్యలను పరిష్కరించండి.

డిజైన్ దశలో అవసరమైన మానసిక కార్యకలాపాలు: విశ్లేషణ, సంశ్లేషణ, పోలిక, సారూప్యత.

దశ 1. అభ్యాస కార్యకలాపాలకు ప్రేరణ

1) కార్యకలాపాలను అధ్యయనం చేయడానికి విద్యార్థులను ప్రేరేపించడం,

2) పాఠం యొక్క కంటెంట్ ఫ్రేమ్‌వర్క్‌ను నిర్ణయించండి.

దశ 1లో విద్యా ప్రక్రియ యొక్క సంస్థ:

— మనం ఇప్పుడు గణిత పాఠాల్లో ఏ టాపిక్ చదువుతున్నాం? (గుణకారం మరియు భాగహారం)

— మేము ఈ చర్యలను ఏ పనులలో ఉపయోగిస్తాము? (ఉదాహరణలు, సమస్యలను పరిష్కరించడంలో)

— మేము ఈ చర్యలను ఉపయోగించగల ఇతర పనులు ఏవి ఉన్నాయో మీరు తెలుసుకోవాలనుకుంటున్నారా? (అవును)

అబ్బాయిలు, ఈ రోజు మా పాఠానికి ఎవరు వచ్చారో చూడండి? మీరు వారిని గుర్తించారా? ఈ హీరోల గురించి మీకు ఏమి తెలుసు? (...)

(ప్రశ్న గుర్తులు కనిపిస్తాయి). ఏం జరుగుతోంది? కోలోబోక్స్ అయోమయంలో మరియు కలత చెందారు. వారు పనిని పూర్తి చేయాలనుకున్నారు, కానీ మొదటి సారి వారు విఫలమయ్యారు. కొత్త జ్ఞానాన్ని ఎలా కనుగొనాలో వారికి తెలియదు. మనం సహాయం చేద్దామా? (...)

కోలోబోక్స్ మాదిరిగానే అదే మానసిక స్థితితో పని చేయడం సాధ్యమేనా? (ఇది అసాధ్యం, ఫలితం ఉండదు)

ఒకరినొకరు చూసుకుని నవ్వుకుందాం మరియు ఒకరికొకరు శుభాకాంక్షలు తెలుపుకుందాం! సరే, కొత్త జ్ఞానాన్ని కనుగొనే ప్రణాళిక ప్రకారం పని చేద్దాం. మీకు ఆయన బాగా తెలుసు.

దశ 2. జ్ఞానాన్ని నవీకరించడం మరియు ట్రయల్ చర్యలో సమస్యలను పరిష్కరించడం

1) నిర్మాణం, వాటి శబ్ద మరియు సంకేత స్థిరీకరణ మరియు సాధారణీకరణకు సరిపోయే చర్య యొక్క అధ్యయనం చేసిన పద్ధతులను నవీకరించడం;

2) కొత్త జ్ఞానం యొక్క నిర్మాణానికి తగినంత మానసిక మరియు అభిజ్ఞా ప్రక్రియల నవీకరణ;

3) ట్రయల్ ఎడ్యుకేషనల్ యాక్షన్ మరియు దాని స్వతంత్ర అమలు కోసం ప్రేరణ;

4) ట్రయల్ ఎడ్యుకేషనల్ యాక్షన్ చేయడంలో లేదా దానిని సమర్థించడంలో వ్యక్తిగత ఇబ్బందులను విద్యార్థుల గుర్తింపు.

దశ 2లో విద్యా ప్రక్రియ యొక్క సంస్థ:

1) దీర్ఘచతురస్రం యొక్క ప్రాంతం మరియు తెలియని వైపు కనుగొనడం కోసం సూత్రాలను నవీకరించడం.

మనం ఎక్కడ ప్రారంభించాలి? (పునరావృతంతో). మనకు తెలిసిన ప్రతిదాన్ని పునరావృతం చేయాలా? (లేదు, కొత్త జ్ఞానాన్ని కనుగొనడానికి మనకు ఉపయోగపడేది మాత్రమే)



- ఈ పనిలో మీరు ఏమి కనుగొనాలి? (దీర్ఘచతురస్రం యొక్క ప్రాంతం)

- దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వైశాల్యాన్ని ఎలా కనుగొనాలి? (దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడానికి, పొడవును వెడల్పుతో గుణించండి)

ప్రాంతం ఫార్ములా కనిపిస్తుంది.

విద్యార్థులు విధిని పూర్తి చేస్తారు.

- ప్రాంతం ఏమిటి? (18 చ.మీ)

- ఎవరికి వేరే సమాధానం వచ్చింది?

- మీ తప్పు ఏమిటి?

— దీర్ఘచతురస్రం యొక్క తెలియని భాగాన్ని ఎలా కనుగొనాలి? (దీర్ఘచతురస్రం యొక్క తెలియని భాగాన్ని కనుగొనడానికి, తెలిసిన వైపుతో ప్రాంతాన్ని విభజించండి)

— దీర్ఘచతురస్రం యొక్క తెలియని వైపు కనుగొనడానికి ఒక ఫార్ములా కనిపిస్తుంది.

— మీరు దీర్ఘచతురస్రం యొక్క పొడవును కనుగొనవలసిన విలోమ సమస్యను సృష్టించండి (...)

- విలోమ సమస్యకు పరిష్కారాన్ని వ్రాసుకుందాం.

విలోమ సమస్యను కంపోజ్ చేసిన విద్యార్థి దానిని బోర్డులో పరిష్కరిస్తాడు: 18:3=6(m) – పొడవు

- ఇప్పుడు మరొక విలోమ సమస్యను సృష్టించండి.

విలోమ సమస్యను కంపోజ్ చేసిన విద్యార్థి దానిని బోర్డు మీద పరిష్కరిస్తాడు: 18:6=3 (m) – వెడల్పు

ఈ పనిలో ఎవరు తప్పు చేయలేదు? రూట్ షీట్‌లో పునరావృతం పక్కన మీరే + గుర్తును ఉంచండి. తప్పు చేసింది ఎవరు? లోపం ఎందుకు సంభవించింది? కారణం అర్థమైందా? తప్పు సరిదిద్దుకో. మీరు మీ కోసం ఏమి సెట్ చేస్తారు? (? మరియు +).

2) కూడిక మరియు తీసివేత సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి అల్గారిథమ్‌ను నవీకరించడం.

— వ్రాయండి: X + 5 మొత్తం 7కి సమానం. మీరు ఈ ఎంట్రీని ఏమని పిలుస్తారు? (సమీకరణం)

- సమీకరణం అంటే ఏమిటి? (తెలియని సంఖ్య ఉన్న సమానత్వాన్ని సమీకరణం అంటారు)

- ఈ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడంలో మాకు ఏది సహాయపడుతుంది? (అదనపు సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ప్రామాణికం)

బ్లాక్ బోర్డ్ వద్ద ఒక విద్యార్థి వ్యాఖ్యానిస్తున్నాడు. (నేను సమీకరణంలోని భాగాలను నిర్దేశిస్తాను, భాగాలను అండర్‌లైన్ చేస్తాను, మొత్తం (మొత్తం) సర్కిల్ చేస్తాను. ఆ భాగం తెలియదని నేను చూస్తున్నాను. తెలియని భాగాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు మొత్తం నుండి తెలిసిన భాగాన్ని తీసివేయాలి.

ఈ పనిలో ఎవరు తప్పు చేయలేదు? రూట్ షీట్‌లో పునరావృతం పక్కన మీరే + గుర్తును ఉంచండి. తప్పు చేసింది ఎవరు? లోపం ఎందుకు సంభవించింది? కారణం అర్థమైందా? తప్పు సరిదిద్దుకో. మీరు మీ కోసం ఏమి సెట్ చేస్తారు? (- మరియు +).

- మేము దీన్ని ఎందుకు పునరావృతం చేసాము? (కొత్త జ్ఞానాన్ని కనుగొనడానికి ఇది మాకు ఉపయోగపడుతుంది)

- తదుపరి దశ ఏమిటి? (పరీక్ష చర్య) ఇది దేనికి? (మనకు తెలియని వాటిని అర్థం చేసుకోవడానికి)

ఉపాధ్యాయుడు ట్రయల్ చర్య కోసం టాస్క్‌తో విద్యార్థులకు కార్డ్‌లను అందిస్తాడు:

- ఏ పని పూర్తి చేయాలి? (సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి)



- ఏ చర్యతో? (గుణకారంతో)

- ఈ టాస్క్‌లో కొత్తది ఏమిటి? (మేము గుణకార సమీకరణాలను పరిష్కరించలేదు)

ఈ పనిని ప్రయత్నించండి. (30 సె.)

- ఎవరు పనిని పూర్తి చేయలేదు?

మీరు ఏమి చేయలేకపోయారు? (మేము సమీకరణాన్ని పరిష్కరించలేకపోయాము)

- సమీకరణం యొక్క మూలాన్ని ఎవరు కనుగొన్నారు? మీరు ఏ ఫలితాలను పొందారు?

ఉపాధ్యాయుడు ట్రయల్ చర్య పక్కన ఉన్న బోర్డులో ఫలితాలను నమోదు చేస్తాడు.

- మీ అభిప్రాయాన్ని సమర్థించండి.

మీరు చేయలేనిది? (మేము మా సమాధానాన్ని సమర్థించలేము.)

నీకు ఒక సమస్య ఉంది. (కష్టం). రూట్ షీట్‌లో ట్రయల్ యాక్షన్ పక్కన పెట్టండి... (ప్రశ్న గుర్తు).

— పాఠంలో తదుపరి దశ ఏమిటి? (మన సమస్య ఏమిటో గుర్తించండి)

- మరియు ఒక కష్టం తలెత్తినందున, మీరు... (ఆగి ఆలోచించండి)

దశ 3. సమస్య యొక్క స్థానాన్ని మరియు కారణాన్ని గుర్తించడం

1) నిర్వహించిన కార్యకలాపాలను పునరుద్ధరించండి మరియు కష్టం యొక్క స్థానాన్ని రికార్డ్ చేయండి;

2) ఉపయోగించిన చర్య యొక్క పద్ధతితో మీ చర్యలను పరస్పరం అనుసంధానించండి మరియు దీని ఆధారంగా, బాహ్య ప్రసంగంలో కష్టానికి కారణాన్ని గుర్తించి రికార్డ్ చేయండి.

దశ 3లో విద్యా ప్రక్రియ యొక్క సంస్థ:

- మీరు ఏ పనిని పూర్తి చేయాలి? (మేము గుణకార సమీకరణాన్ని పరిష్కరించాలి)

- పరీక్ష చర్య చేస్తున్నప్పుడు మీరు ఎలా వాదించారు? (మేము సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి బాగా తెలిసిన అల్గారిథమ్‌ని ఉపయోగించడానికి ప్రయత్నించాము...)

- సమస్య ఏమిటి? (అల్గోరిథం తగినది కాదు)

ఎందుకు కష్టం వచ్చింది? (గుణకార సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి మాకు మార్గం లేదు)

మీకు తెలియనిది మీకు అర్థమైందా? (అవును). మీ రూట్ షీట్‌లో మూడవ దశ పక్కన + గుర్తును ఉంచండి.

దశ 4. సమస్య నుండి బయటపడేందుకు ప్రాజెక్ట్‌ను నిర్మించడం

1) పాఠం యొక్క ఉద్దేశ్యం మరియు అంశాన్ని అంగీకరించి రికార్డ్ చేయండి;

2) ఒక ప్రణాళికను రూపొందించండి మరియు లక్ష్యాన్ని సాధించడానికి మార్గాలను నిర్ణయించండి.

దశ 4లో విద్యా ప్రక్రియ యొక్క సంస్థ:

- మనకు తెలియని వాటిని మేము గ్రహించాము, ఇప్పుడు మనం చేయగలము... (పద్ధతిని మనమే కనుగొనండి)

మొదట మీరు ఒక లక్ష్యాన్ని నిర్దేశించుకోవాలి. గుణకార సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలో మీకు తెలియకపోతే, మీ లక్ష్యం... (అటువంటి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ఒక మార్గాన్ని కనుగొనండి)

- మా పాఠం యొక్క అంశాన్ని రూపొందించండి (...)

బోర్డు మీద టాపిక్ వ్రాయండి:

- మేము నిజమైన డిటెక్టివ్‌ల వలె వ్యవహరిస్తాము. కార్యాచరణ ప్రణాళికను రూపొందిద్దాం. స్లయిడ్

- మనకు ఏది సహాయపడుతుందో ఆలోచిద్దాం. గుర్తుంచుకోండి, మీరు పాఠం ప్రారంభంలోనే పునరావృతం చేసారు. (అదనపు సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి అల్గోరిథం, ప్రాంతాన్ని కనుగొనే సూత్రం)

- ఏ ఫార్ములా మాకు సహాయపడుతుంది? (దీర్ఘ చతురస్రం యొక్క వైశాల్యం మరియు తెలియని వైపు కనుగొనడానికి సూత్రం)

- దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వైశాల్యానికి సూత్రాన్ని వర్తింపజేయడానికి ప్రయత్నిద్దాం.

— అదనంగా సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి మీకు తెలిసిన అల్గారిథమ్‌ని ఉపయోగించమని నేను సూచిస్తున్నాను.

అల్గోరిథం.

2. నేను మొత్తం మరియు భాగాలను వేరు చేస్తున్నాను.
3. తెలియనిది ఏమిటి?
4. నేను నియమాన్ని వర్తింపజేస్తాను.
5. నేను తెలియని xని కనుగొన్నాను.
6. ఈ అల్గోరిథంలో మీకు ఏది స్పష్టంగా సరిపోదు? (1 పాయింట్)
7. మీరు అదనపు సమీకరణాలను కలిగి ఉన్నప్పుడు, మీరు వాటి భాగాలను పంక్తి విభాగాలను ఉపయోగించి భాగాలు మరియు పూర్ణాలకు సంబంధించినవి. మీరు గుణకారం యొక్క భాగాలను దేనితో పరస్పరం అనుసంధానించారు? (విస్తీర్ణంతో)
8. మీరు విభాగానికి బదులుగా ఏమి ఉపయోగిస్తారు? (దీర్ఘచతురస్ర నమూనా)

ఐటెమ్ 1ని రీప్లేస్ చేద్దాం దీర్ఘచతురస్ర నమూనాను ఉపయోగించి సమీకరణం యొక్క భాగాలను సూచిస్తాము.

— అల్గోరిథం యొక్క మిగిలిన పాయింట్లు మీకు సరిపోతాయా?

— ఈ అల్గోరిథం ఉపయోగించి, మీరు సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి ప్రయత్నించవచ్చా?

— ఈ నియమాన్ని ఎల్లప్పుడూ ఉపయోగించడం సౌకర్యంగా ఉండటానికి మనం ఏమి చేయవచ్చు? (నియమాను సాధారణ రూపంలో వ్రాస్దాం)

నియమాన్ని సాధారణ రూపంలో వ్రాస్దాం.

- మనం దేనిని ఉపయోగిస్తాము?

దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వైశాల్యానికి సూత్రాన్ని వర్తింపజేయడానికి ప్రయత్నిద్దాం...

సాధనాలు: దీర్ఘచతురస్ర నమూనా, అల్గోరిథం.

దశ 5. పూర్తయిన ప్రాజెక్ట్ యొక్క అమలు

1) ప్రణాళికకు అనుగుణంగా నిర్మించిన ప్రాజెక్ట్ను అమలు చేయండి;

2) స్టాండర్డ్‌పై వ్యక్తీకరణలను వ్రాసే మార్గాలను పరిష్కరించండి;

3) కష్టాన్ని అధిగమించడానికి రికార్డింగ్ నిర్వహించండి;

4) కొత్త జ్ఞానం యొక్క సాధారణ స్వభావం యొక్క స్పష్టీకరణను నిర్వహించండి.

దశ 5లో విద్యా ప్రక్రియ యొక్క సంస్థ:

మీరు సమూహాలలో పని చేయాలని నేను సూచిస్తున్నాను. సమూహాలలో పని చేయడానికి నియమాలను పేర్కొనండి.

సమూహాలలో పని చేయడానికి నియమాలు

1. సమూహంలో ఒక వ్యక్తి తప్పనిసరిగా ఉండాలి.

2. ఒకరు మాట్లాడతారు, ఇతరులు వింటారు.

3. మీ అసమ్మతిని మర్యాదపూర్వకంగా వ్యక్తపరచండి.

4. ప్రతి ఒక్కరూ పని చేయాలి.

విద్యార్థులు సమూహాలుగా ఏర్పడతారు.

- సమూహాలలో ప్రణాళికను అమలు చేయండి.

ప్రతి సమూహం నుండి బాధ్యత వహించే వ్యక్తి ఒక పనిని అందుకుంటారు.

1. నేను దీర్ఘచతురస్ర నమూనాను ఉపయోగిస్తాను మరియు మోడల్‌పై సమీకరణం యొక్క భాగాలను ప్లాట్ చేస్తాను.



2. నేను దీర్ఘచతురస్రం యొక్క ప్రాంతం కోసం నియమాన్ని వర్తింపజేస్తాను. (దీర్ఘచతురస్రం యొక్క తెలియని భాగాన్ని కనుగొనడానికి, తెలిసిన వైపుతో ప్రాంతాన్ని విభజించండి)

3. సమీకరణం యొక్క మూలాన్ని కనుగొనండి

మేము దీర్ఘచతురస్ర నమూనాలో సంఖ్యలను గుర్తించాము. దీర్ఘచతురస్రం వైపు తెలియదని చూడవచ్చు. దీర్ఘచతురస్రం యొక్క తెలియని భాగాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు ప్రాంతాన్ని తెలిసిన వైపు ద్వారా విభజించాలి. మేము గణనలను నిర్వహించాము మరియు సమీకరణం యొక్క మూలాన్ని కనుగొన్నాము, x=5.

- ప్రణాళిక ప్రకారం ఇంకా ఏమి చేయాలి? (సాధారణ రూపంలో సమీకరణాన్ని వ్రాయండి)

- సాధారణ రూపంలో సమీకరణాన్ని ఎలా వ్రాయాలి? (లాటిన్ వర్ణమాల యొక్క అక్షరాలను ఉపయోగించడం)



— మీరు దీర్ఘచతురస్రం యొక్క భుజాల సమీకరణంలో సంఖ్యలను ఎలా నిర్దేశిస్తారు? (మేము నొక్కి చెబుతున్నాము)

- నేను ఒక దీర్ఘచతురస్రాకారంలో ఉన్న సంఖ్యను, ఇది ప్రాంతంగా తీసుకోవాలని ప్రతిపాదిస్తున్నాను, ఇది ఎందుకు సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది? (మేము ఉపయోగించే సూత్రాన్ని నాకు గుర్తుచేస్తుంది)



— మరొక కారకం స్థానంలో x ఉన్న సందర్భంలో వేరొక ప్రమాణాన్ని సృష్టించడం అవసరమా? (లేదు)

- ఎందుకు? (మీరు గుణకారం యొక్క కమ్యుటేటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించవచ్చు)

— మీ ఆవిష్కరణను ఎలా తనిఖీ చేయాలి? జ్ఞానానికి మన దగ్గర ఏ కీలు ఉన్నాయి? (పాఠ్య పుస్తకంలో చూడండి)

పేజీ 1లో మీ పాఠ్యపుస్తకాలను తెరవండి. నియమాన్ని చదవండి.

బాగా చేసారు! మీరు కోలోబోక్స్‌కు సహాయం చేసారు. స్లయిడ్ (చప్పట్లు).

ఇప్పుడు విచారణ చర్యకు తిరిగి వద్దాం.

బోర్డులో అవసరమైన వాటిని పూర్తి చేయండి.

మీరు కష్టాన్ని అధిగమించగలిగారా? (అవును). రూట్ షీట్‌లో + గుర్తు పెట్టుకుందాం.

సాధారణ బోర్డులో, "నేను నేనే ఒక మార్గాన్ని కనుగొంటాను" అనే దశలో కొత్త ప్రమాణాలను జత చేయండి.

మీ కొత్త జ్ఞానం సహాయంతో మీరు ఇప్పుడు ఏమి చేయవచ్చు? (సమీకరణాలను పరిష్కరించండి)

దశ 6. ప్రాథమిక ఏకీకరణ

1) బాహ్య ప్రసంగంలో వారి ఉచ్చారణతో గుణకార సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు కొత్త చర్య యొక్క పిల్లల సమీకరణను నిర్వహించండి.

దశ 6లో విద్యా ప్రక్రియ యొక్క సంస్థ:

1) ముందు పని. బోర్డులో, ఎడమ వైపు అల్గోరిథం, కుడి వైపు సమీకరణం + మోడల్.

2) 4 x=8; 3 x=9; x · 4=12.

3) ఉపాధ్యాయుడు బోర్డులో ఏకీకరణ కోసం ఒక పనిని తెరుస్తాడు. విద్యార్థులు ఒక్కొక్కరుగా బోర్డు పైకి వెళ్లి వ్యాఖ్యానంతో పనిని పూర్తి చేస్తారు. వ్యాఖ్య ఎంపిక:

- మొదట, నేను దీర్ఘచతురస్రం యొక్క ప్రాంతాన్ని ఒక చతురస్రంతో గుర్తించాను మరియు నేను వైపులా అండర్లైన్ చేస్తాను. ఈ సమీకరణంలో, దీర్ఘచతురస్రం వైపు తెలియదు. దీని అర్థం దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వైశాల్యం తెలిసిన వైపు ద్వారా విభజించబడాలి. ఎనిమిదిని 4తో భాగిస్తే 2, x 2కి సమానం.

పని యొక్క తదుపరి అమలు అదే విధంగా వ్యాఖ్యానించబడింది.

కళ్ళకు శారీరక వ్యాయామాలు.

మేము కొంచెం విశ్రాంతి తీసుకుంటాము. మరియు మేము ప్రతిదానికీ సమాధానం కనుగొంటాము.
మన కాలి మీద నిలబడి చేతులు పైకి చాచుకుందాం.
నడుము మీద చేతులు, ముందుకు వంగి.
ఇప్పుడు దూకి కూర్చుందాం!

ఇప్పుడు అందరూ విశ్రాంతి తీసుకున్నారు మరియు కొత్త ఆందోళన ఉంది:

మీరు అద్భుతమైన జంట పని చేయాలి.

ఉపాధ్యాయుడు జతలు పని చేయడానికి ఒక పనితో కార్డులను పంపిణీ చేస్తాడు.

విద్యార్థులు వ్యాఖ్యలతో జంటగా పనులను పూర్తి చేస్తారు. D-7 మోడల్ ప్రకారం చెక్ నిర్వహించబడుతుంది.

- మీ ఫలితాలను తనిఖీ చేయండి.

తప్పులు సరిదిద్దు. ఈ పనిలో ఎవరు తప్పు చేయలేదు? 5వ దశ పక్కన ఉన్న రూట్ షీట్‌లో మీరే + గుర్తు పెట్టుకోండి. తప్పు చేసింది ఎవరు? లోపం ఎందుకు సంభవించింది? కారణం అర్థమైందా? తప్పు సరిదిద్దుకో. మీరు మీ కోసం ఏమి సెట్ చేస్తారు? (? మరియు +)

— పాఠంలో తదుపరి దశ ఏమిటి? (మనం దానిని మన స్వంతంగా నిర్వహించగలమో లేదో తెలుసుకోవడానికి మనల్ని మనం పరీక్షించుకోండి)

దశ 7. ప్రమాణానికి వ్యతిరేకంగా స్వీయ-పరీక్షతో స్వీయ పర్యవేక్షణ

1) స్వీయ-నియంత్రణ మరియు స్వీయ-గౌరవం సామర్థ్యం శిక్షణ;

2) గుణకార సమీకరణాలను పరిష్కరించే మీ సామర్థ్యాన్ని పరీక్షించండి.

దశ 7లో విద్యా ప్రక్రియ యొక్క సంస్థ:

- ఈ సమీకరణాలను మీరే పూర్తి చేయండి. విద్యార్థులు కార్డులపై స్వతంత్ర పనిని చేస్తారు

- తనిఖీ D-8 ప్రమాణం ప్రకారం నిర్వహించబడుతుంది.

- ఒక ముగింపు గీయండి. (మరింత అభ్యాసం అవసరం.)

- ఒక ముగింపు గీయండి. (మేము ప్రతిదీ బాగా నేర్చుకున్నాము.)

- ఈ పనిలో ఎవరు తప్పులు చేయలేదు? 5వ దశ పక్కన ఉన్న రూట్ షీట్‌లో మీరే + గుర్తు పెట్టుకోండి. తప్పు చేసింది ఎవరు? లోపం ఎందుకు సంభవించింది? కారణం అర్థమైందా? తప్పు సరిదిద్దుకో. మీరు మీ కోసం ఏమి సెట్ చేస్తారు? (? మరియు +).

దశ 8. జ్ఞాన వ్యవస్థలో చేర్చడం మరియు పునరావృతం

1) జ్ఞాన వ్యవస్థలో కొత్త జ్ఞానాన్ని చేర్చడం;

2) సమస్యలను పరిష్కరించే సామర్థ్యాన్ని శిక్షణ.

దశ 8లో విద్యా ప్రక్రియ యొక్క సంస్థ:

— గుణకార సమీకరణాలను సరిగ్గా పరిష్కరించడానికి మీరు ఏమి తెలుసుకోవాలి? (గుణకారం మరియు విభజన పట్టికలు, ప్రాంతం సూత్రం). నేను మీరు సమస్య సంఖ్య 4 p.2 పరిష్కరించాలని సూచిస్తున్నాను.

విద్యార్థులు విధిని పూర్తి చేస్తారు. D-9 మోడల్ ప్రకారం చెక్ నిర్వహించబడుతుంది.

-మీలో ఎవరు తప్పు చేసారు?

- తప్పు ఎక్కడ ఉంది? (నియమం ఎంచుకోవడంలో, లెక్కల్లో, ...)

దశ 9. తరగతి గదిలో అభ్యాస కార్యకలాపాలపై ప్రతిబింబం

లక్ష్యాలు:

1) పాఠంలో నేర్చుకున్న కొత్త కంటెంట్‌ను రికార్డ్ చేయండి;

2) పాఠంలో మీ పని మరియు తరగతి పనిని అంచనా వేయండి;

4) భవిష్యత్ విద్యా కార్యకలాపాల కోసం దిశలను వివరించండి;

3) హోంవర్క్ గురించి చర్చించండి.

దశ 9 వద్ద విద్యా ప్రక్రియ యొక్క సంస్థ:

- మీరు మీ కోసం ఏ లక్ష్యాన్ని నిర్దేశించుకున్నారు? (...)

- మీరు మీ లక్ష్యాన్ని సాధించారా? (నిరూపించు)

— తరగతిలో మీ పనిని అంచనా వేయమని నేను సూచిస్తున్నాను. మీ లెసన్ ప్లాన్‌లను మరోసారి పరిశీలించండి, మీకు ఎన్ని పాజిటివ్‌లు ఉన్నాయో చూడండి.

- సాధారణ బోర్డులో ఒక్కొక్కటిగా కొలోబోక్స్ చిత్రం ఉంటుంది. ఒకడు నవ్వాడు. మీరు అర్థం చేసుకున్నారని మరియు కొత్త అంశాన్ని గుర్తుంచుకున్నారని భావించే వారు, ఆశ్చర్యార్థక గుర్తులను తీసుకొని వాటిని నవ్వుతున్న కొలోబోక్ పక్కన జత చేయండి. ఇప్పటికీ ఏదో గురించి ఖచ్చితంగా తెలియని వారు, ఇప్పటికీ ప్రశ్నలు ఉన్నవారు, వారి స్వతంత్ర పనిలో తప్పులు చేసిన వారు - తీవ్రమైన కోలోబోక్ పక్కన ప్రశ్న గుర్తును అటాచ్ చేయండి. మీరు సాధన చేస్తారు మరియు మీరు ఖచ్చితంగా మీ కష్టాన్ని అధిగమిస్తారు.

- మీరు ఈ రోజు చాలా బాగా పని చేసారు, అయితే మీరు ఇకపై శిక్షణ పొందాల్సిన అవసరం లేదని దీని అర్థం? (నేను నా హోంవర్క్ చేయాలి)

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

గుణకారం ద్వారా సమీకరణాలను పరిష్కరించడం

తెలియని పరిమాణాన్ని + లేదా - గుర్తు ద్వారా మాత్రమే కాకుండా, తెలిసిన పరిమాణానికి సంబంధించినది విభజించబడిందికొంత మొత్తంలో, ఈ సమీకరణంలో వలె: $\frac = b$.

సమీకరణంలో పదాన్ని బదిలీ చేయడం ద్వారా మునుపటి ఉదాహరణలలో వలె ఇక్కడ పరిష్కారం కనుగొనబడదు. కానీ సమీకరణం యొక్క రెండు పదాలు ఉంటే గుణించాలి a న, సమీకరణం రూపం తీసుకుంటుంది
$x = ab.$

అంటే, ఎడమ వైపున ఉన్న భిన్నం యొక్క హారం రద్దు అవుతుంది. ఇది భిన్నాల లక్షణాల ద్వారా నిరూపించబడుతుంది.

తెలియని పరిమాణం ఉన్నప్పుడు విభజించబడిందితెలిసిన విలువ ద్వారా, సమీకరణం పరిష్కరించబడుతుంది గుణకారంఈ తెలిసిన మొత్తం ద్వారా ప్రతి వైపు.

మునుపటి ఉదాహరణల మాదిరిగానే ఈ సందర్భంలోనూ అదే బదిలీలు చేయాలి. అయితే, గుణించడం అవసరం అని మనం గుర్తుంచుకోవాలి ప్రతిసమీకరణం యొక్క పదం.

ఉదాహరణ 1. $\frac + a = b + d$ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి
రెండు వైపులా $c$తో గుణించండి
ఉత్పత్తి $x + ac = bc + cd$
మరియు $x = bc + cd - ac$.

ఉదాహరణ 1: $\frac సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి + d = h$
$a + b$ $x + ad + bd = ah + bh$తో గుణించండి.
మరియు $x = ag + bh - ad - bd.$

తెలియని విలువ ఉన్నప్పుడు హారంభిన్నాలు, సమీకరణం ఇదే విధంగా పరిష్కరించబడుతుంది, అంటే, సమీకరణాన్ని హారం ద్వారా గుణించడం ద్వారా.

ఉదాహరణ 3: $\frac + 7 = 8$ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి
$10 - x$ $6 + 70 - 7x = 80 - 8x$తో గుణించడం
అప్పుడు $x = 4$.

ఇది ఉన్నప్పటికీ అవసరం లేదు, కానీ తరచుగా మాత్రమే కలిగి ఉన్న భిన్నం యొక్క హారం వదిలించుకోవటం చాలా సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది ప్రసిద్ధిపరిమాణంలో మేము తెలియని పరిమాణాన్ని కలిగి ఉన్న హారంను వదిలించుకున్నప్పుడు, ఇదే విధంగా చేయవచ్చు.

ఉదాహరణకు $\frac = \frac తీసుకుందాం +\frac $
$x = \fracతో గుణించండి +\frac $
b $bx = ad + \frac $ ద్వారా గుణించండి
c $bcx = acd + abh$తో గుణించండి.

లేదా, మేము ఒకేసారి అన్ని హారంల ఉత్పత్తితో గుణించవచ్చు.

అదే సమీకరణంలో $\frac = \frac +\frac $
నిబంధనలను abc $\frac = \frac ద్వారా గుణించండి +\frac $

ప్రతి సారూప్య విలువను ఒక భిన్నంలో తగ్గించిన తర్వాత, మేము మునుపటి సంస్కరణలో వలె $bcx = acd + abh$ని పొందుతాము. ఇక్కడనుంచి,

సమీకరణంలో మనం వదిలించుకోవచ్చు భిన్నాలు, సమీకరణం యొక్క ప్రతి వైపు అందరితో గుణించడం హారం.

సమీకరణంలో భిన్నాలను తొలగించేటప్పుడు, బ్రాకెట్‌లను తెరిచేటప్పుడు ప్రతి భిన్నం యొక్క సంకేతాలు మరియు గుణకాలు సరిగ్గా వ్రాయబడిందని మీరు నిర్ధారించుకోవాలి.

చీట్ కార్డ్ “పరిష్కార సమీకరణాలు. తెలియని వాటిని ఎలా కనుగొనాలి", గుణకారం మరియు భాగహారం, 11x20 సెం.మీ



13. లక్షణాలు
14. వివరణ
15. ఒక ప్రశ్న అడగండి
16. మీ అభిప్రాయాన్ని తెలపండి
• సాధారణమైనవి
• ట్రేడ్మార్క్ హాలిడే వాతావరణం
• ఆర్టికల్ 1060173
• సర్టిఫికేట్ ధృవీకరణకు లోబడి ఉండదు
• దేశం రష్యా
• ప్యాకేజింగ్
• పెట్టెలో 2000 ముక్కలు ఉన్నాయి
• ప్యాకేజింగ్: 20 PC లు.
• వ్యక్తిగత ప్యాకేజింగ్ ప్యాకేజింగ్ లేదు
• ప్యాకేజీ పరిమాణం 0.1 cm × 6 cm × 13 cm
• కొలతలు మరియు బరువు
• పరిమాణం 0.1 cm × 7 cm × 13 cm
• బరువు 3 గ్రా
• ప్రత్యేకతలు
• సాంద్రత, g/m² 190
• పూర్తి చేయకుండా ముగించండి
• యునిసెక్స్ ఎవరి కోసం
• హాలిడే థీమ్ కారణం లేదు
• చిరునామాదారుడు చిరునామాదారుడు లేరు
• మెటీరియల్ కార్డ్బోర్డ్
• స్కూల్ సబ్జెక్ట్ గణితం

ప్రపంచంలో అత్యధికంగా చదివే పది దేశాలలో రష్యా ఒకటి! మా స్వదేశీయులలో చదవడానికి ఆసక్తి సంవత్సరానికి పెరుగుతోంది, ఇది శుభవార్త, ఎందుకంటే ఇది అద్భుతమైన మరియు చాలా ఉపయోగకరమైన అలవాటు.

వివిధ సాహిత్యాలను అధ్యయనం చేయడం ద్వారా, మీరు చాలా విలువైన సమాచారాన్ని పొందవచ్చు, మీ క్షితిజాలను, పదజాలాన్ని విస్తరించవచ్చు మరియు వివేకవంతులుగా మారవచ్చు. అదనంగా, ఒక పుస్తకం విశ్రాంతి మరియు ఆనందించడానికి ఒక గొప్ప మార్గం. చీట్ షీట్ "పరిష్కార సమీకరణాలు. తెలియని వాటిని ఎలా కనుగొనాలి", గుణకారం మరియు భాగహారం, 11x20 సెం.మీ మీ సేకరణలో మరొక ఉపయోగకరమైన ప్రచురణ అవుతుంది.

సిమా-ల్యాండ్‌కు స్వతంత్రంగా మరియు ప్రచురణ కోసం ప్రశ్నలను ఎంపిక చేసుకునే వినియోగదారులకు తెలియజేయకుండా హక్కు ఉంది. మేము ప్రశ్నలను పోస్ట్ చేయము:

• దుకాణం యొక్క ఆపరేషన్ లేదా దానిలో కొనుగోళ్లకు సంబంధించిన విషయానికి సంబంధించినది కాదు;
• అశ్లీలత, అభ్యంతరకరమైన ప్రకటనలను కలిగి ఉంటాయి;

మేము వీటిని కలిగి ఉన్న ప్రశ్నలను ప్రచురించము:

• ఇతర వెబ్‌సైట్‌లకు లింక్‌లు, అలాగే నిర్దిష్ట విక్రేతలు మరియు వస్తువుల దిగుమతిదారులకు సూచనలు;

Sima-land ఏ సమయంలోనైనా ప్రచురించబడిన ప్రశ్నను తొలగించే హక్కును కలిగి ఉంది, అలాగే ప్రశ్నలు సంబంధితంగా పరిగణించబడే మరియు సిమా-ల్యాండ్ వెబ్‌సైట్‌లో ప్రచురించబడే వ్యవధిని స్వతంత్రంగా నిర్ణయించడం.

ప్రశ్నలను తిరస్కరించడానికి లేదా గతంలో పోస్ట్ చేసిన ప్రశ్నలను తొలగించడానికి గల కారణాలను వినియోగదారులకు తెలియజేయడానికి మేము ఎటువంటి బాధ్యత వహించము.

ఒక వినియోగదారు ప్రశ్న అడిగితే, అతను తన ప్రశ్నలకు కొత్త సమాధానాల గురించి సిమా-ల్యాండ్ వెబ్‌సైట్ నుండి నోటిఫికేషన్‌లను స్వీకరించడానికి అంగీకరిస్తాడు.

సిమా-ల్యాండ్‌కు స్వతంత్రంగా మరియు వినియోగదారులకు తెలియజేయకుండా ప్రచురణ కోసం సమీక్షలను ఎంపిక చేసుకునే హక్కు ఉంది. మేము రివ్యూలను పోస్ట్ చేయము:

• ఈ ఉత్పత్తిని ఉపయోగించడం యొక్క వాస్తవ అనుభవంతో సంబంధం లేదు;
• ఇతర వినియోగదారులకు ఉపయోగకరమైన సమాచారాన్ని కలిగి ఉండకూడదు;
• ఇతర వెబ్‌సైట్‌లకు లింక్‌లను కలిగి ఉంటుంది.

మేము వీటిని కలిగి ఉన్న ఉత్పత్తుల ఎంపికలు మరియు సమీక్షలను ప్రచురించము:

• ఎంపిక మరియు సమీక్ష యొక్క వచనంలో ఇతర వెబ్‌సైట్‌లకు లింక్‌లు, అలాగే నిర్దిష్ట విక్రేతలు మరియు వస్తువుల దిగుమతిదారుల ప్రస్తావనలు;
• మూడవ పార్టీల (దుకాణాలు, తయారీదారులు మరియు వస్తువుల దిగుమతిదారులతో సహా) గౌరవం, గౌరవం మరియు వ్యాపార ఖ్యాతిని కించపరిచే ప్రకటనలు;
• మేధో కార్యకలాపాల ఫలితాల హక్కులు మరియు వ్యక్తిగతీకరణ మార్గాలతో సహా మూడవ పక్షాల హక్కులను ఉల్లంఘించే పదార్థాలు (టెక్స్ట్, వీడియో, గ్రాఫిక్ చిత్రాలు, కోడ్ రూపంలో సహా).

ప్రచురించబడిన సమీక్ష, ఎంపిక మరియు ఉత్పత్తుల సమీక్షను ఎప్పుడైనా తొలగించే హక్కు సిమా-ల్యాండ్‌కి ఉంది, అలాగే సమీక్షలు సంబంధితంగా పరిగణించబడే మరియు సిమా-ల్యాండ్ వెబ్‌సైట్‌లో ప్రచురించబడే కాలాన్ని స్వతంత్రంగా నిర్ణయించే హక్కును కలిగి ఉంది.

ప్రచురణను తిరస్కరించడానికి లేదా గతంలో ప్రచురించిన సమీక్షలు, రేటింగ్‌లు, ఎంపికలు మరియు ఉత్పత్తి సమీక్షలను తొలగించడానికి గల కారణాలను వినియోగదారులకు తెలియజేయడానికి మేము ఎటువంటి బాధ్యత వహించము.

ఒక వినియోగదారు సమీక్ష లేదా ప్రశ్నకు ప్రతిస్పందిస్తే, అతను తన వ్యాఖ్యలకు కొత్త ప్రత్యుత్తరాల గురించి సిమా-ల్యాండ్ వెబ్‌సైట్ నుండి నోటిఫికేషన్‌లను స్వీకరించడానికి అంగీకరిస్తాడు.

www.sima-land.ru

• పిల్లల కోసం పగటిపూట బసతో కూడిన వేసవి ఆరోగ్య శిబిరం యొక్క కార్యక్రమం సంకలనం: పిలిపీ O.N. (1వ వర్గం) మెలెంటీవా I.N. (1వ త్రైమాసిక వర్గం) డెమిడోవా O.B. (Q1 వర్గం) పిల్లల వయస్సు: 5 -15 సంవత్సరాల కాలపరిమితి […]
• పన్ను అకౌంటింగ్‌లో స్థిర ఆస్తుల విక్రయాన్ని ఎలా ప్రతిబింబించాలి స్థిర ఆస్తులను విక్రయించేటప్పుడు, జనవరి 21, 2003 నంబర్ 7 నాటి రష్యా స్టేట్ స్టాటిస్టిక్స్ కమిటీ రిజల్యూషన్ ద్వారా ఆమోదించబడిన ప్రాథమిక అకౌంటింగ్ పత్రాలను పూరించండి (ఆర్టికల్స్ 2, 5, […]
• డిపాజిట్లపై వడ్డీపై పన్ను: మీరు చెల్లించాల్సి ఉంటుందా? రష్యాలోని వ్యక్తుల డిపాజిట్లపై వడ్డీపై పన్నులు నేటికీ అమలులో ఉన్నాయి. ఏ సందర్భాలలో ఖాతాదారుడు డిపాజిట్లపై వచ్చే వడ్డీ ఆదాయంపై పన్నులు చెల్లించాలి? దీనితో […]