సరి మరియు బేసి ఫంక్షన్ల నిర్వచనం. సరి మరియు బేసి ఫంక్షన్లను ఎలా గుర్తించాలి

ఏదైనా మరియు సమానత్వం కోసం ఒక ఫంక్షన్‌ను సరి (బేసి) అంటారు

.

సరి ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ అక్షం గురించి సుష్టంగా ఉంటుంది
.

బేసి ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ మూలం గురించి సుష్టంగా ఉంటుంది.

ఉదాహరణ 6.2. ఫంక్షన్ సరి లేదా బేసి కాదా అని పరిశీలించండి

1)
; 2)
; 3)
.

పరిష్కారం.

1) ఫంక్షన్ ఎప్పుడు నిర్వచించబడింది
. మేము కనుగొంటాము
.

ఆ.
. దీని అర్థం ఈ ఫంక్షన్ సమానంగా ఉంటుంది.

2) ఫంక్షన్ ఎప్పుడు నిర్వచించబడింది

ఆ.
. అందువలన, ఈ ఫంక్షన్ బేసి.

3) ఫంక్షన్ నిర్వచించబడింది, అనగా. కోసం

,
. అందువల్ల ఫంక్షన్ సరి లేదా బేసి కాదు. దీనిని సాధారణ రూపం యొక్క ఫంక్షన్ అని పిలుద్దాం.

3. మోనోటోనిసిటీ కోసం ఫంక్షన్ యొక్క అధ్యయనం.

ఫంక్షన్
ఈ విరామంలో ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క ప్రతి పెద్ద విలువ ఫంక్షన్ యొక్క పెద్ద (చిన్న) విలువకు అనుగుణంగా ఉంటే, నిర్దిష్ట విరామంలో పెరుగుతున్న (తగ్గడం) అంటారు.

నిర్దిష్ట వ్యవధిలో పెరుగుతున్న (తగ్గుతున్న) విధులను మోనోటోనిక్ అంటారు.

ఫంక్షన్ అయితే
విరామంలో తేడా ఉంటుంది
మరియు సానుకూల (ప్రతికూల) ఉత్పన్నం ఉంది
, తర్వాత ఫంక్షన్
ఈ విరామంలో పెరుగుతుంది (తగ్గుతుంది).

ఉదాహరణ 6.3. ఫంక్షన్ల మోనోటోనిసిటీ యొక్క విరామాలను కనుగొనండి

1)
; 3)
.

పరిష్కారం.

1) ఈ ఫంక్షన్ మొత్తం సంఖ్య రేఖపై నిర్వచించబడింది. ఉత్పన్నం కనుక్కోండి.

ఉత్పన్నం అయితే సున్నాకి సమానం
మరియు
. నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ సంఖ్య అక్షం, చుక్కల ద్వారా విభజించబడింది
,
విరామాలలో. ప్రతి విరామంలో ఉత్పన్నం యొక్క చిహ్నాన్ని నిర్ధారిద్దాం.

ఇంటర్వెల్‌లో
ఉత్పన్నం ప్రతికూలంగా ఉంటుంది, ఈ విరామంలో ఫంక్షన్ తగ్గుతుంది.

ఇంటర్వెల్‌లో
ఉత్పన్నం సానుకూలంగా ఉంటుంది, కాబట్టి, ఈ విరామంలో ఫంక్షన్ పెరుగుతుంది.

2) ఒకవేళ ఈ ఫంక్షన్ నిర్వచించబడింది
లేదా

.

మేము ప్రతి విరామంలో క్వాడ్రాటిక్ ట్రినోమియల్ యొక్క చిహ్నాన్ని నిర్ణయిస్తాము.

అందువలన, ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్

ఉత్పన్నం కనుక్కోండి
,
, ఉంటే
, అనగా
, కానీ
. విరామాలలో ఉత్పన్నం యొక్క చిహ్నాన్ని నిర్ధారిద్దాం
.

ఇంటర్వెల్‌లో
ఉత్పన్నం ప్రతికూలంగా ఉంటుంది, కాబట్టి, విరామంలో ఫంక్షన్ తగ్గుతుంది
. ఇంటర్వెల్‌లో
ఉత్పన్నం సానుకూలంగా ఉంటుంది, విరామంలో ఫంక్షన్ పెరుగుతుంది
.

4. ఎక్స్‌ట్రంమ్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క అధ్యయనం.

చుక్క
ఫంక్షన్ యొక్క గరిష్ట (కనిష్ట) పాయింట్ అని పిలుస్తారు
, పాయింట్ యొక్క అటువంటి పొరుగు ఉంటే అది అందరికీ
ఈ పొరుగు ప్రాంతం నుండి అసమానత ఉంది

.

ఫంక్షన్ యొక్క గరిష్ట మరియు కనిష్ట పాయింట్లను ఎక్స్‌ట్రీమ్ పాయింట్‌లు అంటారు.

ఫంక్షన్ అయితే
పాయింట్ వద్ద ఒక విపరీతాన్ని కలిగి ఉంటుంది, అప్పుడు ఈ సమయంలో ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం సున్నాకి సమానం లేదా ఉనికిలో ఉండదు (అతివృత్తం యొక్క ఉనికికి అవసరమైన పరిస్థితి).

ఉత్పన్నం సున్నా లేదా ఉనికిలో లేని పాయింట్లను క్రిటికల్ అంటారు.

5. ఒక విపరీతమైన ఉనికికి తగిన పరిస్థితులు.

నియమం 1. పరివర్తన సమయంలో (ఎడమ నుండి కుడికి) క్లిష్టమైన పాయింట్ ద్వారా ఉంటే ఉత్పన్నం
చిహ్నాన్ని “+” నుండి “–”కి మారుస్తుంది, ఆపై పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్
గరిష్టంగా ఉంది; ఒకవేళ “–” నుండి “+” వరకు, అప్పుడు కనిష్టం; ఉంటే
చిహ్నాన్ని మార్చదు, అప్పుడు అంత్యాంశం లేదు.

నియమం 2. పాయింట్ వద్ద లెట్
ఒక ఫంక్షన్ యొక్క మొదటి ఉత్పన్నం
సున్నాకి సమానం
, మరియు రెండవ ఉత్పన్నం ఉంది మరియు సున్నాకి భిన్నంగా ఉంటుంది. ఉంటే
, ఆ - గరిష్ట పాయింట్, అయితే
, ఆ - ఫంక్షన్ యొక్క కనీస పాయింట్.

ఉదాహరణ 6.4. గరిష్ట మరియు కనిష్ట విధులను అన్వేషించండి:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

పరిష్కారం.

1) ఫంక్షన్ నిర్వచించబడింది మరియు విరామంలో నిరంతరంగా ఉంటుంది
.

ఉత్పన్నం కనుక్కోండి
మరియు సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి
, అనగా
.ఇక్కడనుంచి
- క్లిష్టమైన పాయింట్లు.

వ్యుత్పన్నం యొక్క చిహ్నాన్ని విరామాలలో నిర్ధారిద్దాం,
.

పాయింట్ల గుండా వెళుతున్నప్పుడు
మరియు
"-" నుండి "+" కు ఉత్పన్నం మార్పు గుర్తు, కాబట్టి, నియమం 1 ప్రకారం
- కనీస పాయింట్లు.

ఒక పాయింట్ గుండా వెళుతున్నప్పుడు
ఉత్పన్నం చిహ్నాన్ని “+” నుండి “–”కి మారుస్తుంది, కాబట్టి
- గరిష్ట పాయింట్.

,
.

2) ఫంక్షన్ నిర్వచించబడింది మరియు విరామంలో నిరంతరంగా ఉంటుంది
. ఉత్పన్నం కనుక్కోండి
.

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించిన తరువాత
, మేము కనుగొంటాము
మరియు
- క్లిష్టమైన పాయింట్లు. హారం ఉంటే
, అనగా
, అప్పుడు ఉత్పన్నం లేదు. కాబట్టి,
- మూడవ క్లిష్టమైన పాయింట్. వ్యుత్పన్నం యొక్క చిహ్నాన్ని విరామాలలో నిర్ధారిద్దాం.

అందువల్ల, ఫంక్షన్ పాయింట్ వద్ద కనిష్టంగా ఉంటుంది
, పాయింట్లలో గరిష్టంగా
మరియు
.

3) ఒక ఫంక్షన్ నిర్వచించబడుతుంది మరియు నిరంతరంగా ఉంటే
, అనగా వద్ద
.

ఉత్పన్నం కనుక్కోండి

.

క్లిష్టమైన పాయింట్లను కనుగొనండి:

పాయింట్ల పరిసరాలు
నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌కు చెందినవి కావు, కాబట్టి అవి విపరీతమైనవి కావు. కాబట్టి, క్లిష్టమైన అంశాలను పరిశీలిద్దాం
మరియు
.

4) ఫంక్షన్ నిర్వచించబడింది మరియు విరామంలో నిరంతరంగా ఉంటుంది
. నియమం 2ని ఉపయోగిస్తాము. ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి
.

క్లిష్టమైన పాయింట్లను కనుగొనండి:

రెండవ ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి
మరియు పాయింట్ల వద్ద దాని గుర్తును నిర్ణయించండి

పాయింట్ల వద్ద
ఫంక్షన్ కనిష్టంగా ఉంటుంది.

పాయింట్ల వద్ద
ఫంక్షన్ గరిష్టంగా ఉంటుంది.

కూడా ఫంక్షన్.

సంకేతం మారినప్పుడు గుర్తు మారని ఫంక్షన్‌ని ఈవెన్ అంటారు. x.

xసమానత్వం కలిగి ఉంటుంది f(–x) = f(x) సంతకం చేయండి xచిహ్నాన్ని ప్రభావితం చేయదు వై.

సరి ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ కోఆర్డినేట్ అక్షం (Fig. 1) గురించి సుష్టంగా ఉంటుంది.

సరి ఫంక్షన్ యొక్క ఉదాహరణలు:

వై= కోస్ x

వై = x 2

వై = –x 2

వై = x 4

వై = x 6

వై = x 2 + x

వివరణ:
ఫంక్షన్ తీసుకుందాం వై = x 2 లేదా వై = –x 2 .
ఏదైనా విలువ కోసం xఫంక్షన్ సానుకూలంగా ఉంటుంది. సంతకం చేయండి xచిహ్నాన్ని ప్రభావితం చేయదు వై. గ్రాఫ్ కోఆర్డినేట్ అక్షం గురించి సుష్టంగా ఉంటుంది. ఇది సరి ఫంక్షన్.

బేసి ఫంక్షన్.

గుర్తు మారినప్పుడు సంకేతం మారే ఫంక్షన్‌ని బేసి అంటారు. x.

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఏదైనా విలువ కోసం xసమానత్వం కలిగి ఉంటుంది f(–x) = –f(x).

బేసి ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ మూలానికి సంబంధించి సుష్టంగా ఉంటుంది (Fig. 2).

బేసి ఫంక్షన్ ఉదాహరణలు:

వై= పాపం x

వై = x 3

వై = –x 3

వివరణ:

ఫంక్షన్ y తీసుకుందాం = – x 3 .
అన్ని అర్థాలు వద్దదానికి మైనస్ గుర్తు ఉంటుంది. అది ఒక సంకేతం xచిహ్నాన్ని ప్రభావితం చేస్తుంది వై. స్వతంత్ర వేరియబుల్ ధనాత్మక సంఖ్య అయితే, ఫంక్షన్ సానుకూలంగా ఉంటుంది, స్వతంత్ర వేరియబుల్ ప్రతికూల సంఖ్య అయితే, ఫంక్షన్ ప్రతికూలంగా ఉంటుంది: f(–x) = –f(x).
ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ మూలం గురించి సుష్టంగా ఉంటుంది. ఇది బేసి ఫంక్షన్.

సరి మరియు బేసి ఫంక్షన్ల లక్షణాలు:

గమనిక:

అన్ని విధులు సరి లేదా బేసి కాదు. అటువంటి స్థాయిని పాటించని విధులు ఉన్నాయి. ఉదాహరణకు, రూట్ ఫంక్షన్ వద్ద = √Xసరి లేదా బేసి ఫంక్షన్లకు వర్తించదు (Fig. 3). అటువంటి ఫంక్షన్ల లక్షణాలను జాబితా చేసినప్పుడు, తగిన వివరణ ఇవ్వాలి: సరి లేదా బేసి కాదు.

ఆవర్తన విధులు.

మీకు తెలిసినట్లుగా, ఆవర్తన అనేది ఒక నిర్దిష్ట వ్యవధిలో కొన్ని ప్రక్రియల పునరావృతం. ఈ ప్రక్రియలను వివరించే విధులను ఆవర్తన విధులు అంటారు. అంటే, ఇవి నిర్దిష్ట సంఖ్యా వ్యవధిలో పునరావృతమయ్యే గ్రాఫ్‌లలో ఉండే ఫంక్షన్‌లు.

దీన్ని చేయడానికి, గ్రాఫ్ పేపర్ లేదా గ్రాఫింగ్ కాలిక్యులేటర్‌ని ఉపయోగించండి. ఇండిపెండెంట్ వేరియబుల్ x (\ డిస్ప్లేస్టైల్ x) కోసం ఎన్ని సంఖ్యా విలువలను ఎంచుకోండి మరియు డిపెండెంట్ వేరియబుల్ y (\ డిస్ప్లేస్టైల్ y) కోసం విలువలను లెక్కించడానికి వాటిని ఫంక్షన్‌లోకి ప్లగ్ చేయండి. కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లో పాయింట్ల యొక్క కనుగొనబడిన కోఆర్డినేట్‌లను ప్లాట్ చేయండి, ఆపై ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను రూపొందించడానికి ఈ పాయింట్‌లను కనెక్ట్ చేయండి.

• ఫంక్షన్‌లో సానుకూల సంఖ్యా విలువలు x (\ డిస్ప్లేస్టైల్ x) మరియు సంబంధిత ప్రతికూల సంఖ్యా విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి. ఉదాహరణకు, ఫంక్షన్ ఇవ్వబడింది . కింది విలువలు x (\డిస్ప్లేస్టైల్ x)ని దానిలో ప్రత్యామ్నాయం చేయండి:
  • f (1) = 2 (1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\ డిస్ప్లేస్టైల్ f(1)=2(1)^(2)+1=2+1=3) (1 , 3) (\ displaystyle (1,3)) .
  • f (2) = 2 (2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\ డిస్ప్లేస్టైల్ f(2)=2(2)^(2)+1=2(4)+1 =8+1=9) . మేము కోఆర్డినేట్‌లతో (2, 9) (\డిస్‌ప్లేస్టైల్ (2,9)) పాయింట్‌ని పొందాము.
  • f (- 1) = 2 (− 1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\ డిస్ప్లేస్టైల్ f(-1)=2(-1)^(2)+1=2+1=3) . మేము కోఆర్డినేట్‌లతో ఒక పాయింట్‌ని పొందాము (− 1, 3) (\displaystyle (-1,3)) .
  • f (- 2) = 2 (− 2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\ డిస్ప్లేస్టైల్ f(-2)=2(-2)^(2)+1=2( 4)+1=8+1=9) . మేము కోఆర్డినేట్‌లతో పాయింట్‌ని పొందాము (− 2, 9) (\displaystyle (-2,9)) .

ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ Y అక్షం గురించి సుష్టంగా ఉందో లేదో తనిఖీ చేయండి. సమరూపత అంటే y-అక్షం గురించిన గ్రాఫ్ యొక్క మిర్రర్ ఇమేజ్ అని అర్థం. Y- అక్షం యొక్క కుడి వైపున ఉన్న గ్రాఫ్ యొక్క భాగం (స్వతంత్ర వేరియబుల్ యొక్క సానుకూల విలువలు) Y- అక్షం యొక్క ఎడమ వైపున ఉన్న గ్రాఫ్ యొక్క భాగానికి సమానంగా ఉంటే (స్వతంత్ర వేరియబుల్ యొక్క ప్రతికూల విలువలు ), గ్రాఫ్ Y- అక్షం గురించి సుష్టంగా ఉంటుంది. ఫంక్షన్ y- అక్షం గురించి సుష్టంగా ఉంటే, ఫంక్షన్ సమానంగా ఉంటుంది.

• మీరు వ్యక్తిగత పాయింట్లను ఉపయోగించి గ్రాఫ్ యొక్క సమరూపతను తనిఖీ చేయవచ్చు. y (\displaystyle y) x (\displaystyle x) విలువ y (\displaystyle y) విలువతో సరిపోలితే అది − x (\displaystyle -x) విలువతో సరిపోలితే, ఫంక్షన్ సమానంగా ఉంటుంది. f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1) ఫంక్షన్‌తో మా ఉదాహరణలో మేము పాయింట్ల యొక్క క్రింది కోఆర్డినేట్‌లను పొందాము:
  • (1.3) మరియు (-1.3)
  • (2.9) మరియు (-2.9)
• x=1 మరియు x=-1 కోసం డిపెండెంట్ వేరియబుల్ y=3, మరియు x=2 మరియు x=-2 కోసం డిపెండెంట్ వేరియబుల్ y=9 అని గమనించండి. అందువలన ఫంక్షన్ సమానంగా ఉంటుంది. వాస్తవానికి, ఫంక్షన్ యొక్క రూపాన్ని ఖచ్చితంగా నిర్ణయించడానికి, మీరు రెండు కంటే ఎక్కువ పాయింట్లను పరిగణించాలి, కానీ వివరించిన పద్ధతి మంచి ఉజ్జాయింపు.

ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ మూలం గురించి సుష్టంగా ఉందో లేదో తనిఖీ చేయండి. మూలం అనేది కోఆర్డినేట్‌లతో కూడిన పాయింట్ (0,0). మూలం గురించి సమరూపత అంటే y (\డిస్ప్లేస్టైల్ y) యొక్క సానుకూల విలువ (x (\ డిస్ప్లేస్టైల్ x) యొక్క సానుకూల విలువ కోసం) (\డిస్ప్లేస్టైల్ y) (\డిస్ప్లేస్టైల్ y) (ప్రతికూల విలువ కోసం) యొక్క ప్రతికూల విలువకు అనుగుణంగా ఉంటుంది. యొక్క x (\ displaystyle x) ), మరియు వైస్ వెర్సా. బేసి విధులు మూలం గురించి సమరూపతను కలిగి ఉంటాయి.

• మీరు ఫంక్షన్‌లో x (\డిస్‌ప్లేస్టైల్ x) యొక్క అనేక సానుకూల మరియు సంబంధిత ప్రతికూల విలువలను భర్తీ చేస్తే, y (\డిస్‌ప్లేస్టైల్ y) విలువలు గుర్తులో భిన్నంగా ఉంటాయి. ఉదాహరణకు, f (x) = x 3 + x (\displaystyle f(x)=x^(3)+x) . దానిలో x (\ displaystyle x) యొక్క అనేక విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి:
  • f (1) = 1 3 + 1 = 1 + 1 = 2 (\డిస్ప్లేస్టైల్ f(1)=1^(3)+1=1+1=2) . కోఆర్డినేట్‌లతో (1,2) మాకు పాయింట్ వచ్చింది.
  • f (- 1) = (- 1) 3 + (- 1) = - 1 - 1 = - 2 (\ ప్రదర్శన శైలి f(-1)=(-1)^(3)+(-1)=-1- 1=-2)
  • f (2) = 2 3 + 2 = 8 + 2 = 10 (\డిస్ప్లేస్టైల్ f(2)=2^(3)+2=8+2=10)
  • f (- 2) = (- 2) 3 + (- 2) = - 8 - 2 = − 10 (\ డిస్ప్లేస్టైల్ f(-2)=(-2)^(3)+(-2)=-8- 2=-10) . మేము కోఆర్డినేట్‌లతో పాయింట్‌ని అందుకున్నాము (-2,-10).
• అందువలన, f(x) = -f(-x), అంటే ఫంక్షన్ బేసిగా ఉంటుంది.

ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ఏదైనా సమరూపతను కలిగి ఉందో లేదో తనిఖీ చేయండి. చివరి రకమైన ఫంక్షన్ అనేది గ్రాఫ్‌కు సమరూపత లేని ఫంక్షన్, అంటే ఆర్డినేట్ అక్షానికి సంబంధించి మరియు మూలానికి సంబంధించి అద్దం ప్రతిబింబం ఉండదు. ఉదాహరణకు, ఫంక్షన్ ఇవ్వబడింది .

• ఫంక్షన్‌లో x (\ డిస్ప్లేస్టైల్ x) యొక్క అనేక సానుకూల మరియు సంబంధిత ప్రతికూల విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి:
  • f (1) = 1 2 + 2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 (\ డిస్ప్లేస్టైల్ f(1)=1^(2)+2(1)+1=1+2+1=4 ) . కోఆర్డినేట్‌లతో (1,4) మాకు పాయింట్ వచ్చింది.
  • f (- 1) = (- 1) 2 + 2 (- 1) + (- 1) = 1 - 2 - 1 = - 2 (\ ప్రదర్శన శైలి f(-1)=(-1)^(2)+2 (-1)+(-1)=1-2-1=-2) . కోఆర్డినేట్‌లతో (-1,-2) మాకు పాయింట్ వచ్చింది.
  • f (2) = 2 2 + 2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10 (\ ప్రదర్శన శైలి f(2)=2^(2)+2(2)+2=4+4+2=10 ) . మేము కోఆర్డినేట్‌లతో పాయింట్‌ని పొందాము (2,10).
  • f (- 2) = (- 2) 2 + 2 (- 2) + (- 2) = 4 - 4 - 2 = - 2 (\ ప్రదర్శన శైలి f(-2)=(-2)^(2)+2 (-2)+(-2)=4-4-2=-2) . కోఆర్డినేట్‌లతో (2,-2) మాకు పాయింట్ వచ్చింది.
• పొందిన ఫలితాల ప్రకారం, సమరూపత లేదు. x (\ డిస్ప్లేస్టైల్ x) వ్యతిరేక విలువలకు y (\ డిస్ప్లేస్టైల్ y) విలువలు ఒకేలా ఉండవు మరియు వ్యతిరేకం కాదు. అందువలన ఫంక్షన్ సరి లేదా బేసి కాదు.
• దయచేసి f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చని గమనించండి: f (x) = (x + 1 ) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)) . ఈ రూపంలో వ్రాసినప్పుడు, సరి ఘాతాంకం ఉన్నందున కూడా ఫంక్షన్ కనిపిస్తుంది. కానీ ఈ ఉదాహరణ స్వతంత్ర వేరియబుల్ కుండలీకరణాలలో జతచేయబడితే, ఫంక్షన్ యొక్క రకాన్ని త్వరగా నిర్ణయించలేమని రుజువు చేస్తుంది. ఈ సందర్భంలో, మీరు బ్రాకెట్లను తెరిచి, పొందిన ఘాతాంకాలను విశ్లేషించాలి.

ఫంక్షన్ అనేది చాలా ముఖ్యమైన గణిత భావనలలో ఒకటి. x యొక్క ప్రతి విలువ y యొక్క ఒకే విలువకు అనుగుణంగా ఉంటే, వేరియబుల్ xపై వేరియబుల్ y ఆధారపడటమే ఫంక్షన్. వేరియబుల్ xని స్వతంత్ర వేరియబుల్ లేదా ఆర్గ్యుమెంట్ అంటారు. y వేరియబుల్ డిపెండెంట్ వేరియబుల్ అంటారు. స్వతంత్ర వేరియబుల్ (వేరియబుల్ x) యొక్క అన్ని విలువలు ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను ఏర్పరుస్తాయి. డిపెండెంట్ వేరియబుల్ (వేరియబుల్ y) ఫంక్షన్ పరిధిని ఏర్పరిచే అన్ని విలువలు.

ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ అనేది కోఆర్డినేట్ ప్లేన్ యొక్క అన్ని పాయింట్ల సమితి, వీటిలో అబ్సిసాస్ ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క విలువలకు సమానంగా ఉంటాయి మరియు ఆర్డినేట్‌లు ఫంక్షన్ యొక్క సంబంధిత విలువలు, అంటే విలువలు వేరియబుల్ x అబ్సిస్సా అక్షం వెంట పన్నాగం చేయబడింది మరియు y వేరియబుల్ విలువలు ఆర్డినేట్ అక్షం వెంట ప్లాట్ చేయబడతాయి. ఫంక్షన్‌ను గ్రాఫ్ చేయడానికి, మీరు ఫంక్షన్ యొక్క లక్షణాలను తెలుసుకోవాలి. ఫంక్షన్ యొక్క ప్రధాన లక్షణాలు క్రింద చర్చించబడతాయి!

ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను రూపొందించడానికి, మా ప్రోగ్రామ్‌ను ఉపయోగించమని మేము సిఫార్సు చేస్తున్నాము - ఆన్‌లైన్‌లో గ్రాఫింగ్ ఫంక్షన్‌లు. ఈ పేజీలోని విషయాలను అధ్యయనం చేస్తున్నప్పుడు మీకు ఏవైనా ప్రశ్నలు ఉంటే, మీరు వాటిని మా ఫోరమ్‌లో ఎల్లప్పుడూ అడగవచ్చు. ఫోరమ్‌లో గణితం, రసాయన శాస్త్రం, జ్యామితి, సంభావ్యత సిద్ధాంతం మరియు అనేక ఇతర విషయాలలో సమస్యలను పరిష్కరించడంలో వారు మీకు సహాయం చేస్తారు!

ఫంక్షన్ యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాలు.

1) ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ మరియు ఫంక్షన్ యొక్క విలువల పరిధి.

ఫంక్షన్ డొమైన్ అనేది ఆర్గ్యుమెంట్ x (వేరియబుల్ x) యొక్క అన్ని చెల్లుబాటు అయ్యే వాస్తవ విలువల సమితి, దీని కోసం ఫంక్షన్ y = f(x) నిర్వచించబడింది.
ఫంక్షన్ యొక్క పరిధి అనేది ఫంక్షన్ అంగీకరించే అన్ని వాస్తవ y విలువల సమితి.

ప్రాథమిక గణితంలో, విధులు వాస్తవ సంఖ్యల సమితిలో మాత్రమే అధ్యయనం చేయబడతాయి.

2) ఫంక్షన్ యొక్క సున్నాలు.

x విలువలను y=0 అంటారు ఫంక్షన్ సున్నాలు. ఇవి ఆక్స్ అక్షంతో ఫంక్షన్ గ్రాఫ్ యొక్క ఖండన బిందువుల అబ్సిస్సాస్.

3) ఫంక్షన్ యొక్క స్థిరమైన సంకేతం యొక్క విరామాలు.

ఫంక్షన్ యొక్క స్థిరమైన సంకేతం యొక్క విరామాలు - x విలువల విరామాలు y ఫంక్షన్ యొక్క విలువలు సానుకూలంగా లేదా ప్రతికూలంగా మాత్రమే పిలువబడతాయి ఫంక్షన్ యొక్క స్థిరమైన సంకేతం యొక్క విరామాలు.

4) ఫంక్షన్ యొక్క మోనోటోనిసిటీ.

పెరుగుతున్న ఫంక్షన్ (నిర్దిష్ట విరామంలో) అనేది ఒక ఫంక్షన్, దీనిలో ఈ విరామం నుండి ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క పెద్ద విలువ ఫంక్షన్ యొక్క పెద్ద విలువకు అనుగుణంగా ఉంటుంది.

తగ్గుతున్న ఫంక్షన్ (నిర్దిష్ట విరామంలో) అనేది ఒక ఫంక్షన్, దీనిలో ఈ విరామం నుండి ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క పెద్ద విలువ ఫంక్షన్ యొక్క చిన్న విలువకు అనుగుణంగా ఉంటుంది.

5) ఫంక్షన్ యొక్క సమానత్వం (విచిత్రం).

ఈవెన్ ఫంక్షన్ అనేది మూలానికి సంబంధించి మరియు ఏదైనా x f(-x) = f(x)కి సంబంధించి డెఫినిషన్ డొమైన్ సుష్టంగా ఉండే ఫంక్షన్. సరి ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ఆర్డినేట్ గురించి సుష్టంగా ఉంటుంది.

బేసి ఫంక్షన్ అనేది డెఫినిషన్ డొమైన్ మూలానికి సంబంధించి సుష్టంగా ఉంటుంది మరియు నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ నుండి ఏదైనా x కోసం సమానత్వం f(-x) = - f(x) నిజం. బేసి ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ మూలం గురించి సుష్టంగా ఉంటుంది.

కూడా ఫంక్షన్
1) నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ పాయింట్ (0; 0)కి సంబంధించి సుష్టంగా ఉంటుంది, అంటే, పాయింట్ a నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌కు చెందినది అయితే, పాయింట్ -a కూడా నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌కు చెందినది.
2) ఏదైనా విలువ కోసం x f(-x)=f(x)
3) సరి ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ Oy అక్షం గురించి సుష్టంగా ఉంటుంది.

బేసి ఫంక్షన్ క్రింది లక్షణాలను కలిగి ఉంది:
1) నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ పాయింట్ (0; 0) గురించి సుష్టంగా ఉంటుంది.
2) నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌కు చెందిన ఏదైనా విలువ x కోసం, సమానత్వం f(-x)=-f(x) సంతృప్తి చెందుతుంది
3) బేసి ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ మూలానికి సంబంధించి సుష్టంగా ఉంటుంది (0; 0).

ప్రతి ఫంక్షన్ సరి లేదా బేసి కాదు. విధులు సాధారణ వీక్షణసరి లేదా బేసి కాదు.

6) పరిమిత మరియు అపరిమిత విధులు.

|f(x)| అనే ధనాత్మక సంఖ్య M ఉన్నట్లయితే ఒక ఫంక్షన్‌ని బౌండడ్ అంటారు x యొక్క అన్ని విలువలకు ≤ M. అటువంటి సంఖ్య లేనట్లయితే, అప్పుడు ఫంక్షన్ అపరిమితంగా ఉంటుంది.

7) ఫంక్షన్ యొక్క ఆవర్తనము.

ఒక ఫంక్షన్ f(x) అనేది సున్నా కాని సంఖ్య T ఉన్నట్లయితే, ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ నుండి ఏదైనా x కోసం కింది వాటిని కలిగి ఉంటుంది: f(x+T) = f(x). ఈ అతి చిన్న సంఖ్యను ఫంక్షన్ యొక్క కాలం అంటారు. అన్ని త్రికోణమితి విధులు ఆవర్తనమైనవి. (త్రికోణమితి సూత్రాలు).

నిర్వచన డొమైన్ నుండి ఏదైనా x కోసం సమానత్వం f(x)=f(x-T)=f(x+T) కలిగి ఉండే సంఖ్య ఉంటే f ఫంక్షన్‌ని ఆవర్తన అంటారు. T అనేది ఫంక్షన్ యొక్క కాలం.

ప్రతి ఆవర్తన ఫంక్షన్ అనంతమైన కాలాలను కలిగి ఉంటుంది. ఆచరణలో, చిన్న సానుకూల కాలం సాధారణంగా పరిగణించబడుతుంది.

ఆవర్తన ఫంక్షన్ యొక్క విలువలు కాలానికి సమానమైన విరామం తర్వాత పునరావృతమవుతాయి. గ్రాఫ్‌లను నిర్మించేటప్పుడు ఇది ఉపయోగించబడుతుంది.

వెబ్‌సైట్‌లో గణిత సూత్రాలను ఎలా చొప్పించాలి?

మీరు ఎప్పుడైనా వెబ్ పేజీకి ఒకటి లేదా రెండు గణిత సూత్రాలను జోడించాల్సిన అవసరం ఉన్నట్లయితే, దీన్ని చేయడానికి సులభమైన మార్గం వ్యాసంలో వివరించిన విధంగా ఉంటుంది: గణిత సూత్రాలు వోల్ఫ్రామ్ ఆల్ఫా ద్వారా స్వయంచాలకంగా రూపొందించబడిన చిత్రాల రూపంలో సైట్‌లో సులభంగా చొప్పించబడతాయి. . సరళతతో పాటు, ఈ సార్వత్రిక పద్ధతి శోధన ఇంజిన్లలో సైట్ యొక్క దృశ్యమానతను మెరుగుపరచడంలో సహాయపడుతుంది. ఇది చాలా కాలంగా పని చేస్తోంది (మరియు, ఎప్పటికీ పని చేస్తుందని నేను అనుకుంటున్నాను), కానీ ఇప్పటికే నైతికంగా పాతది.

మీరు మీ సైట్‌లో గణిత సూత్రాలను క్రమం తప్పకుండా ఉపయోగిస్తుంటే, మీరు MathML, LaTeX లేదా ASCIIMathML మార్కప్‌ని ఉపయోగించి వెబ్ బ్రౌజర్‌లలో గణిత సంజ్ఞామానాన్ని ప్రదర్శించే ప్రత్యేక JavaScript లైబ్రరీ - MathJaxని ఉపయోగించమని నేను మీకు సిఫార్సు చేస్తున్నాను.

MathJaxని ఉపయోగించడం ప్రారంభించడానికి రెండు మార్గాలు ఉన్నాయి: (1) సాధారణ కోడ్‌ని ఉపయోగించి, మీరు మీ వెబ్‌సైట్‌కి MathJax స్క్రిప్ట్‌ని త్వరగా కనెక్ట్ చేయవచ్చు, ఇది సరైన సమయంలో రిమోట్ సర్వర్ నుండి స్వయంచాలకంగా లోడ్ చేయబడుతుంది (సర్వర్‌ల జాబితా); (2) MathJax స్క్రిప్ట్‌ను రిమోట్ సర్వర్ నుండి మీ సర్వర్‌కు డౌన్‌లోడ్ చేయండి మరియు దానిని మీ సైట్‌లోని అన్ని పేజీలకు కనెక్ట్ చేయండి. రెండవ పద్ధతి - మరింత సంక్లిష్టమైనది మరియు ఎక్కువ సమయం తీసుకునేది - మీ సైట్ యొక్క పేజీల లోడ్‌ను వేగవంతం చేస్తుంది మరియు మాతృ MathJax సర్వర్ కొన్ని కారణాల వల్ల తాత్కాలికంగా అందుబాటులో లేకుంటే, ఇది మీ స్వంత సైట్‌ని ఏ విధంగానూ ప్రభావితం చేయదు. ఈ ప్రయోజనాలు ఉన్నప్పటికీ, నేను మొదటి పద్ధతిని ఎంచుకున్నాను ఎందుకంటే ఇది సరళమైనది, వేగవంతమైనది మరియు సాంకేతిక నైపుణ్యాలు అవసరం లేదు. నా ఉదాహరణను అనుసరించండి మరియు కేవలం 5 నిమిషాల్లో మీరు మీ సైట్‌లో MathJax యొక్క అన్ని లక్షణాలను ఉపయోగించగలరు.

మీరు ప్రధాన MathJax వెబ్‌సైట్ లేదా డాక్యుమెంటేషన్ పేజీ నుండి తీసుకున్న రెండు కోడ్ ఎంపికలను ఉపయోగించి రిమోట్ సర్వర్ నుండి MathJax లైబ్రరీ స్క్రిప్ట్‌ను కనెక్ట్ చేయవచ్చు:

ఈ కోడ్ ఎంపికలలో ఒకదానిని మీ వెబ్ పేజీ యొక్క కోడ్‌లో కాపీ చేసి అతికించవలసి ఉంటుంది, ప్రాధాన్యంగా ట్యాగ్‌ల మధ్య లేదా ట్యాగ్ తర్వాత వెంటనే. మొదటి ఎంపిక ప్రకారం, MathJax వేగంగా లోడ్ అవుతుంది మరియు పేజీని నెమ్మదిగా తగ్గిస్తుంది. కానీ రెండవ ఎంపిక MathJax యొక్క తాజా సంస్కరణలను స్వయంచాలకంగా పర్యవేక్షిస్తుంది మరియు లోడ్ చేస్తుంది. మీరు మొదటి కోడ్‌ను చొప్పించినట్లయితే, అది కాలానుగుణంగా నవీకరించబడాలి. మీరు రెండవ కోడ్‌ను చొప్పించినట్లయితే, పేజీలు మరింత నెమ్మదిగా లోడ్ అవుతాయి, కానీ మీరు MathJax నవీకరణలను నిరంతరం పర్యవేక్షించాల్సిన అవసరం లేదు.

MathJaxని కనెక్ట్ చేయడానికి Blogger లేదా WordPressలో సులభమైన మార్గం: సైట్ కంట్రోల్ ప్యానెల్‌లో, థర్డ్-పార్టీ JavaScript కోడ్‌ని ఇన్‌సర్ట్ చేయడానికి రూపొందించబడిన విడ్జెట్‌ను జోడించండి, పైన అందించిన డౌన్‌లోడ్ కోడ్ యొక్క మొదటి లేదా రెండవ వెర్షన్‌ను కాపీ చేసి, విడ్జెట్‌ను దగ్గరగా ఉంచండి టెంప్లేట్ ప్రారంభానికి (మార్గం ద్వారా, ఇది అస్సలు అవసరం లేదు , MathJax స్క్రిప్ట్ అసమకాలికంగా లోడ్ చేయబడినందున). అంతే. ఇప్పుడు MathML, LaTeX మరియు ASCIIMathML యొక్క మార్కప్ సింటాక్స్ నేర్చుకోండి మరియు మీరు మీ సైట్ వెబ్ పేజీలలో గణిత సూత్రాలను చొప్పించడానికి సిద్ధంగా ఉన్నారు.

ఏదైనా ఫ్రాక్టల్ ఒక నిర్దిష్ట నియమం ప్రకారం నిర్మించబడింది, ఇది స్థిరంగా అపరిమిత సంఖ్యలో వర్తించబడుతుంది. అలాంటి ప్రతి సమయాన్ని పునరావృతం అంటారు.

మెంగర్ స్పాంజ్‌ను నిర్మించడానికి పునరుక్తి అల్గోరిథం చాలా సులభం: సైడ్ 1 ఉన్న అసలు క్యూబ్ దాని ముఖాలకు సమాంతరంగా 27 సమాన క్యూబ్‌లుగా విభజించబడింది. ఒక సెంట్రల్ క్యూబ్ మరియు ముఖాల వెంట ప్రక్కనే ఉన్న 6 క్యూబ్‌లు దాని నుండి తీసివేయబడతాయి. ఫలితం మిగిలిన 20 చిన్న ఘనాలతో కూడిన సమితి. ఈ క్యూబ్‌లలో ప్రతిదానితో అదే విధంగా చేయడం ద్వారా, మేము 400 చిన్న ఘనాలతో కూడిన సెట్‌ను పొందుతాము. ఈ ప్రక్రియను అనంతంగా కొనసాగిస్తూ, మేము మెంగర్ స్పాంజ్‌ని పొందుతాము.