యూక్లిడియన్ జ్యామితిలో సరళ రేఖ యొక్క లక్షణాలు.

ఏ బిందువు ద్వారానైనా అనంతమైన సరళ రేఖలను గీయవచ్చు.

ఏదేని రెండు నాన్-సింసిడింగ్ పాయింట్ల ద్వారా ఒకే సరళ రేఖను గీయవచ్చు.

ఒక విమానంలో రెండు విభిన్న రేఖలు ఒకే బిందువు వద్ద కలుస్తాయి లేదా ఉంటాయి

సమాంతర (మునుపటి నుండి అనుసరిస్తుంది).

త్రిమితీయ స్థలంలో, రెండు పంక్తుల సాపేక్ష స్థానం కోసం మూడు ఎంపికలు ఉన్నాయి:

• పంక్తులు కలుస్తాయి;

• పంక్తులు సమాంతరంగా ఉంటాయి;

• సరళ రేఖలు కలుస్తాయి.

నేరుగా లైన్— మొదటి ఆర్డర్ యొక్క బీజగణిత వక్రరేఖ: కార్టేసియన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో సరళ రేఖ

మొదటి డిగ్రీ (సరళ సమీకరణం) యొక్క సమీకరణం ద్వారా విమానంలో ఇవ్వబడుతుంది.

సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణం.

నిర్వచనం. విమానంలో ఏదైనా సరళ రేఖను మొదటి-ఆర్డర్ సమీకరణం ద్వారా పేర్కొనవచ్చు

Ax + Wu + C = 0,

మరియు స్థిరమైనది ఎ, బిఅదే సమయంలో సున్నాకి సమానం కాదు. ఈ మొదటి ఆర్డర్ సమీకరణం అంటారు సాధారణ

సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం.స్థిరాంకాల విలువలపై ఆధారపడి ఉంటుంది ఎ, బిమరియు తోకింది ప్రత్యేక సందర్భాలు సాధ్యమే:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- ఒక సరళ రేఖ మూలం గుండా వెళుతుంది

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- అక్షానికి సమాంతరంగా సరళ రేఖ ఓహ్

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- అక్షానికి సమాంతరంగా సరళ రేఖ ఓయూ

. B = C = 0, A ≠0- సరళ రేఖ అక్షంతో సమానంగా ఉంటుంది ఓయూ

. A = C = 0, B ≠0- సరళ రేఖ అక్షంతో సమానంగా ఉంటుంది ఓహ్

సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం ఏదైనా ఇచ్చినదానిపై ఆధారపడి వివిధ రూపాల్లో ప్రదర్శించబడుతుంది

ప్రారంభ పరిస్థితులు.

ఒక బిందువు మరియు సాధారణ వెక్టార్ నుండి సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం.

నిర్వచనం. కార్టీసియన్ దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో, భాగాలతో కూడిన వెక్టర్ (A, B)

సమీకరణం ఇచ్చిన రేఖకు లంబంగా

Ax + Wu + C = 0.

ఉదాహరణ. ఒక బిందువు గుండా వెళుతున్న రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని కనుగొనండి A(1, 2)వెక్టర్‌కు లంబంగా (3, -1).

పరిష్కారం. A = 3 మరియు B = -1తో, సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని కంపోజ్ చేద్దాం: 3x - y + C = 0. గుణకం Cని కనుగొనడానికి

ఇచ్చిన పాయింట్ A యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను ఫలిత వ్యక్తీకరణలో ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం. మనకు లభిస్తుంది: 3 - 2 + C = 0, కాబట్టి

సి = -1. మొత్తం: అవసరమైన సమీకరణం: 3x - y - 1 = 0.

రెండు పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న రేఖ యొక్క సమీకరణం.

అంతరిక్షంలో రెండు పాయింట్లు ఇవ్వండి M 1 (x 1 , y 1 , z 1)మరియు M2 (x 2, y 2, z 2),అప్పుడు ఒక పంక్తి యొక్క సమీకరణం,

ఈ పాయింట్ల గుండా వెళుతుంది:

ఏదైనా హారం సున్నా అయితే, సంబంధిత సంఖ్యను సున్నాకి సమానంగా సెట్ చేయాలి. పై

విమానం, పైన వ్రాసిన సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం సరళీకృతం చేయబడింది:

ఉంటే x 1 ≠ x 2మరియు x = x 1, ఉంటే x 1 = x 2 .

భిన్నం = కెఅని పిలిచారు వాలు నేరుగా.

ఉదాహరణ. A(1, 2) మరియు B(3, 4) పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం. పైన వ్రాసిన సూత్రాన్ని వర్తింపజేస్తే, మనకు లభిస్తుంది:

బిందువు మరియు వాలును ఉపయోగించి సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం.

లైన్ యొక్క సాధారణ సమీకరణం అయితే Ax + Wu + C = 0దారి:

మరియు నియమించండి , అప్పుడు ఫలిత సమీకరణం అంటారు

వాలు kతో సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం.

బిందువు మరియు దిశ వెక్టర్ నుండి సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం.

సాధారణ వెక్టర్ ద్వారా సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకునే పాయింట్‌తో సారూప్యత ద్వారా, మీరు పనిని నమోదు చేయవచ్చు

ఒక బిందువు ద్వారా సరళ రేఖ మరియు సరళ రేఖ యొక్క నిర్దేశక వెక్టర్.

నిర్వచనం. ప్రతి సున్నా కాని వెక్టర్ (α 1, α 2), దీని భాగాలు పరిస్థితిని సంతృప్తిపరుస్తాయి

Aα 1 + Bα 2 = 0అని పిలిచారు సరళ రేఖ యొక్క నిర్దేశక వెక్టర్.

Ax + Wu + C = 0.

ఉదాహరణ. దిశ వెక్టర్ (1, -1) మరియు పాయింట్ A(1, 2) గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం. మేము రూపంలో కావలసిన లైన్ యొక్క సమీకరణం కోసం చూస్తాము: Ax + By + C = 0.నిర్వచనం ప్రకారం,

గుణకాలు క్రింది షరతులను సంతృప్తి పరచాలి:

1 * A + (-1) * B = 0, అనగా. ఎ = బి.

అప్పుడు సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది: Ax + Ay + C = 0,లేదా x + y + C / A = 0.

వద్ద x = 1, y = 2మాకు దొరికింది C/A = -3, అనగా అవసరమైన సమీకరణం:

x + y - 3 = 0

విభాగాలలో సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం.

సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణంలో ఉంటే Ах + Ву + С = 0 С≠0, అప్పుడు, -С ద్వారా భాగిస్తే, మనకు లభిస్తుంది:

లేదా ఎక్కడ

కోఎఫీషియంట్స్ యొక్క రేఖాగణిత అర్థం ఏమిటంటే, కోఎఫీషియంట్ a అనేది ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్.

అక్షంతో నేరుగా ఓ,ఎ బి- అక్షంతో రేఖ యొక్క ఖండన బిందువు యొక్క సమన్వయం ఓయూ

ఉదాహరణ. సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణం ఇవ్వబడింది x - y + 1 = 0.ఈ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని విభాగాలలో కనుగొనండి.

C = 1, , a = -1, b = 1.

పంక్తి యొక్క సాధారణ సమీకరణం.

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా ఉంటే Ax + Wu + C = 0సంఖ్య ద్వారా విభజించండి అంటారు

సాధారణీకరణ కారకం, అప్పుడు మనకు లభిస్తుంది

xcosφ + ysinφ - p = 0 -పంక్తి యొక్క సాధారణ సమీకరణం.

సాధారణీకరణ కారకం యొక్క ± గుర్తును తప్పక ఎంచుకోవాలి μ*C< 0.

ఆర్- లంబ పొడవు మూలం నుండి సరళ రేఖకు పడిపోయింది,

ఎ φ - అక్షం యొక్క సానుకూల దిశతో ఈ లంబంగా ఏర్పడిన కోణం ఓహ్.

ఉదాహరణ. లైన్ యొక్క సాధారణ సమీకరణం ఇవ్వబడింది 12x - 5y - 65 = 0. వివిధ రకాల సమీకరణాలను వ్రాయడం అవసరం

ఈ సరళ రేఖ.

విభాగాలలో ఈ రేఖ యొక్క సమీకరణం:

వాలుతో ఈ రేఖ యొక్క సమీకరణం: (5 ద్వారా భాగించండి)

ఒక పంక్తి యొక్క సమీకరణం:

cos φ = 12/13; పాపం φ= -5/13; p = 5.

ప్రతి సరళ రేఖను విభాగాలలోని సమీకరణం ద్వారా సూచించలేమని గమనించాలి, ఉదాహరణకు, సరళ రేఖలు,

గొడ్డలికి సమాంతరంగా లేదా మూలం గుండా వెళుతుంది.

విమానంలో సరళ రేఖల మధ్య కోణం.

నిర్వచనం. రెండు లైన్లు ఇస్తే y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, అప్పుడు ఈ పంక్తుల మధ్య తీవ్రమైన కోణం

గా నిర్వచించబడుతుంది

ఒకవేళ రెండు పంక్తులు సమాంతరంగా ఉంటాయి k 1 = k 2. రెండు పంక్తులు లంబంగా ఉంటాయి

ఉంటే k 1 = -1/ k 2 .

సిద్ధాంతం.

డైరెక్ట్ Ax + Wu + C = 0మరియు A 1 x + B 1 y + C 1 = 0గుణకాలు అనుపాతంలో ఉన్నప్పుడు సమాంతరంగా ఉంటాయి

A 1 = λA, B 1 = λB. ఒకవేళ కూడా С 1 = λС, అప్పుడు పంక్తులు ఏకీభవిస్తాయి. రెండు పంక్తుల ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్లు

ఈ పంక్తుల సమీకరణాల వ్యవస్థకు పరిష్కారంగా కనుగొనబడ్డాయి.

ఇచ్చిన రేఖకు లంబంగా ఇచ్చిన పాయింట్ గుండా వెళుతున్న రేఖ యొక్క సమీకరణం.

నిర్వచనం. లైన్ ఒక పాయింట్ గుండా వెళుతుంది M 1 (x 1, y 1)మరియు రేఖకు లంబంగా y = kx + b

సమీకరణం ద్వారా సూచించబడుతుంది:

బిందువు నుండి రేఖకు దూరం.

సిద్ధాంతం. ఒక పాయింట్ ఇస్తే M(x 0, y 0),అప్పుడు సరళ రేఖకు దూరం Ax + Wu + C = 0ఇలా నిర్వచించబడింది:

రుజువు. పాయింట్ లెట్ M 1 (x 1, y 1)- ఒక బిందువు నుండి లంబంగా పడిపోయిన ఆధారం ఎంఇచ్చిన కోసం

ప్రత్యక్షంగా. అప్పుడు పాయింట్ల మధ్య దూరం ఎంమరియు M 1:

(1)

కోఆర్డినేట్లు x 1మరియు 1 వద్దసమీకరణాల వ్యవస్థకు పరిష్కారంగా కనుగొనవచ్చు:

సిస్టమ్ యొక్క రెండవ సమీకరణం అనేది ఇచ్చిన పాయింట్ M 0 లంబంగా గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం.

సరళ రేఖ ఇవ్వబడింది. మేము సిస్టమ్ యొక్క మొదటి సమీకరణాన్ని రూపానికి మార్చినట్లయితే:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + బై 0 + C = 0,

అప్పుడు, పరిష్కరించడం, మేము పొందుతాము:

ఈ వ్యక్తీకరణలను సమీకరణం (1)గా మార్చడం ద్వారా, మేము కనుగొంటాము:

సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

"జ్యామితీయ అల్గోరిథంలు" సిరీస్ నుండి పాఠం

హలో ప్రియమైన రీడర్!

ఈ రోజు మనం జ్యామితికి సంబంధించిన అల్గారిథమ్‌లను నేర్చుకోవడం ప్రారంభిస్తాము. వాస్తవం ఏమిటంటే కంప్యూటేషనల్ జ్యామితికి సంబంధించిన కంప్యూటర్ సైన్స్‌లో చాలా ఒలింపియాడ్ సమస్యలు ఉన్నాయి మరియు అలాంటి సమస్యలను పరిష్కరించడం తరచుగా ఇబ్బందులను కలిగిస్తుంది.

అనేక పాఠాల సమయంలో, గణన జ్యామితిలో చాలా సమస్యల పరిష్కారం ఆధారంగా ఉండే అనేక ప్రాథమిక ఉప కార్యాలను మేము పరిశీలిస్తాము.

ఈ పాఠంలో మేము ఒక ప్రోగ్రామ్‌ను రూపొందిస్తాము రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని కనుగొనడం, ఇచ్చిన గుండా వెళుతుంది రెండు పాయింట్లు. రేఖాగణిత సమస్యలను పరిష్కరించడానికి, మనకు గణన జ్యామితి గురించి కొంత జ్ఞానం అవసరం. మేము పాఠంలో కొంత భాగాన్ని వాటిని తెలుసుకోవడం కోసం కేటాయిస్తాము.

కంప్యూటేషనల్ జామెట్రీ నుండి అంతర్దృష్టులు

కంప్యూటేషనల్ జ్యామితి అనేది కంప్యూటర్ సైన్స్ యొక్క ఒక శాఖ, ఇది రేఖాగణిత సమస్యలను పరిష్కరించడానికి అల్గారిథమ్‌లను అధ్యయనం చేస్తుంది.

అటువంటి సమస్యలకు సంబంధించిన ప్రారంభ డేటా అనేది విమానంలోని పాయింట్ల సమితి, విభాగాల సమితి, బహుభుజి (ఉదాహరణకు, సవ్య క్రమంలో దాని శీర్షాల జాబితా ద్వారా పేర్కొనబడింది) మొదలైనవి కావచ్చు.

ఫలితం ఏదైనా ప్రశ్నకు సమాధానం కావచ్చు (ఒక బిందువు విభాగానికి చెందినది, రెండు విభాగాలు కలుస్తాయా, ...), లేదా కొన్ని రేఖాగణిత వస్తువు (ఉదాహరణకు, ఇచ్చిన బిందువులను కలిపే అతి చిన్న కుంభాకార బహుభుజి, వైశాల్యం ఒక బహుభుజి, మొదలైనవి) .

మేము గణన జ్యామితి యొక్క సమస్యలను విమానంలో మాత్రమే మరియు కార్టీసియన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో మాత్రమే పరిశీలిస్తాము.

వెక్టర్స్ మరియు కోఆర్డినేట్లు

గణన జ్యామితి యొక్క పద్ధతులను వర్తింపజేయడానికి, రేఖాగణిత చిత్రాలను సంఖ్యల భాషలోకి అనువదించడం అవసరం. విమానానికి కార్టీసియన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ ఇవ్వబడిందని మేము ఊహిస్తాము, దీనిలో అపసవ్య దిశలో భ్రమణ దిశను సానుకూలంగా పిలుస్తారు.

ఇప్పుడు రేఖాగణిత వస్తువులు విశ్లేషణాత్మక వ్యక్తీకరణను పొందుతాయి. కాబట్టి, ఒక పాయింట్‌ను పేర్కొనడానికి, దాని కోఆర్డినేట్‌లను సూచించడానికి సరిపోతుంది: ఒక జత సంఖ్యలు (x; y). ఒక విభాగాన్ని దాని చివరల కోఆర్డినేట్‌లను పేర్కొనడం ద్వారా పేర్కొనవచ్చు; దాని పాయింట్ల జత యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను పేర్కొనడం ద్వారా సరళ రేఖను పేర్కొనవచ్చు.

కానీ సమస్యలను పరిష్కరించడానికి మా ప్రధాన సాధనం వెక్టర్స్. అందుచేత వారి గురించిన కొంత సమాచారాన్ని గుర్తుచేసుకుందాం.

లైన్ సెగ్మెంట్ AB, ఇందులో పాయింట్ ఉంది ఎప్రారంభం (అప్లికేషన్ పాయింట్), మరియు పాయింట్‌గా పరిగణించబడుతుంది IN- ముగింపు, వెక్టర్ అంటారు ABమరియు ఉదాహరణకు, బోల్డ్ చిన్న అక్షరంతో లేదా దానితో సూచించబడుతుంది ఎ .

వెక్టార్ పొడవును సూచించడానికి (అంటే సంబంధిత సెగ్మెంట్ యొక్క పొడవు), మేము మాడ్యులస్ చిహ్నాన్ని ఉపయోగిస్తాము (ఉదాహరణకు, ).

ఒక ఏకపక్ష వెక్టర్ దాని ముగింపు మరియు ప్రారంభం యొక్క సంబంధిత కోఆర్డినేట్‌ల మధ్య వ్యత్యాసానికి సమానమైన కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంటుంది:

,

ఇక్కడ పాయింట్లు ఉన్నాయి ఎమరియు బి అక్షాంశాలను కలిగి ఉంటాయి వరుసగా.

లెక్కల కోసం మేము భావనను ఉపయోగిస్తాము ఆధారిత కోణం, అంటే, వెక్టర్స్ యొక్క సాపేక్ష స్థానాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకునే కోణం.

వెక్టర్స్ మధ్య ఓరియంటెడ్ కోణం a మరియు బి భ్రమణం వెక్టర్ నుండి ఉంటే సానుకూలంగా ఉంటుంది a వెక్టర్ కు బి సానుకూల దిశలో (అపసవ్యదిశలో) మరియు ఇతర సందర్భంలో ప్రతికూలంగా నిర్వహించబడుతుంది. Fig.1a, Fig.1b చూడండి. ఇది ఒక జత వెక్టర్స్ అని కూడా చెప్పబడింది a మరియు బి సానుకూలంగా (ప్రతికూలంగా) ఆధారితమైనది.

అందువల్ల, ఓరియంటెడ్ కోణం యొక్క విలువ వెక్టర్స్ జాబితా చేయబడిన క్రమం మీద ఆధారపడి ఉంటుంది మరియు విరామంలో విలువలను తీసుకోవచ్చు.

గణన జ్యామితిలోని అనేక సమస్యలు వెక్టర్స్ యొక్క వెక్టర్ (స్కేవ్ లేదా సూడోస్కేలార్) ఉత్పత్తుల భావనను ఉపయోగిస్తాయి.

వెక్టర్స్ a మరియు b యొక్క వెక్టర్ ఉత్పత్తి అనేది ఈ వెక్టర్స్ యొక్క పొడవు మరియు వాటి మధ్య ఉన్న కోణం యొక్క సైన్ యొక్క ఉత్పత్తి:

.

కోఆర్డినేట్లలో వెక్టర్స్ యొక్క క్రాస్ ప్రోడక్ట్:

కుడి వైపున ఉన్న వ్యక్తీకరణ రెండవ-ఆర్డర్ నిర్ణాయకం:

విశ్లేషణాత్మక జ్యామితిలో ఇచ్చిన నిర్వచనం వలె కాకుండా, ఇది స్కేలార్.

వెక్టర్ ఉత్పత్తి యొక్క సంకేతం ఒకదానికొకటి సాపేక్షంగా వెక్టర్స్ స్థానాన్ని నిర్ణయిస్తుంది:

a మరియు బి సానుకూలంగా ఓరియెంటెడ్.

విలువ అయితే, ఒక జత వెక్టర్స్ a మరియు బి ప్రతికూల ఆధారిత.

నాన్ జీరో వెక్టర్స్ యొక్క క్రాస్ ప్రొడక్ట్ అవి కొలినియర్ అయితే మాత్రమే ( ) అంటే అవి ఒకే రేఖపై లేదా సమాంతర రేఖలపై ఉంటాయి.

మరింత క్లిష్టమైన వాటిని పరిష్కరించేటప్పుడు అవసరమైన కొన్ని సాధారణ సమస్యలను చూద్దాం.

రెండు పాయింట్ల అక్షాంశాల నుండి సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని గుర్తించండి.

వాటి కోఆర్డినేట్‌ల ద్వారా పేర్కొన్న రెండు వేర్వేరు పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న రేఖ యొక్క సమీకరణం.

రెండు నాన్-యాదృచ్ఛిక పాయింట్లను సరళ రేఖపై ఇవ్వనివ్వండి: కోఆర్డినేట్‌లతో (x1; y1) మరియు కోఆర్డినేట్‌లతో (x2; y2). దీని ప్రకారం, ఒక బిందువు వద్ద ప్రారంభం మరియు ఒక బిందువు వద్ద ముగింపు ఉన్న వెక్టర్ కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంటుంది (x2-x1, y2-y1). P(x, y) అనేది మన లైన్‌లో ఏకపక్ష బిందువు అయితే, వెక్టార్ యొక్క అక్షాంశాలు (x-x1, y – y1)కి సమానంగా ఉంటాయి.

వెక్టర్ ఉత్పత్తిని ఉపయోగించి, వెక్టర్స్ యొక్క కోలినియరిటీ కోసం షరతు మరియు క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు:

ఆ. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

మేము చివరి సమీకరణాన్ని ఈ క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాస్తాము:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

కాబట్టి, సరళ రేఖను రూపం (1) సమీకరణం ద్వారా పేర్కొనవచ్చు.

సమస్య 1. రెండు పాయింట్ల కోఆర్డినేట్లు ఇవ్వబడ్డాయి. దాని ప్రాతినిధ్యాన్ని ax + by + c = 0 రూపంలో కనుగొనండి.

ఈ పాఠంలో మేము గణన జ్యామితి గురించి కొంత సమాచారాన్ని నేర్చుకున్నాము. మేము రెండు పాయింట్ల అక్షాంశాల నుండి రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని కనుగొనే సమస్యను పరిష్కరించాము.

తదుపరి పాఠంలో, మన సమీకరణాల ద్వారా ఇవ్వబడిన రెండు పంక్తుల ఖండన బిందువును కనుగొనడానికి మేము ప్రోగ్రామ్‌ను సృష్టిస్తాము.

సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణం:

సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణం యొక్క ప్రత్యేక సందర్భాలు:

మరియు ఉంటే సి= 0, సమీకరణం (2) రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది

గొడ్డలి + ద్వారా = 0,

మరియు ఈ సమీకరణం ద్వారా నిర్వచించబడిన సరళ రేఖ మూలం గుండా వెళుతుంది, ఎందుకంటే మూలం యొక్క అక్షాంశాలు x = 0, వై= 0 ఈ సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరుస్తుంది.

బి) సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణంలో ఉంటే (2) బి= 0, అప్పుడు సమీకరణం రూపాన్ని తీసుకుంటుంది

గొడ్డలి + తో= 0, లేదా .

సమీకరణంలో వేరియబుల్ లేదు వై, మరియు ఈ సమీకరణం ద్వారా నిర్వచించబడిన సరళ రేఖ అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది ఓయ్.

సి) సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణంలో ఉంటే (2) ఎ= 0, అప్పుడు ఈ సమీకరణం రూపం తీసుకుంటుంది

ద్వారా + తో= 0, లేదా ;

సమీకరణంలో వేరియబుల్ లేదు x, మరియు అది నిర్వచించే సరళ రేఖ అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది ఎద్దు.

ఇది గుర్తుంచుకోవాలి: సరళ రేఖ కొన్ని కోఆర్డినేట్ అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటే, దాని సమీకరణంలో ఈ అక్షం వలె అదే పేరుతో కోఆర్డినేట్ ఉన్న పదం లేదు.

డి) ఎప్పుడు సి= 0 మరియు ఎ= 0 సమీకరణం (2) రూపాన్ని తీసుకుంటుంది ద్వారా= 0, లేదా వై = 0.

ఇది అక్షం యొక్క సమీకరణం ఎద్దు.

డి) ఎప్పుడు సి= 0 మరియు బి= 0 సమీకరణం (2) రూపంలో వ్రాయబడుతుంది గొడ్డలి= 0 లేదా x = 0.

ఇది అక్షం యొక్క సమీకరణం ఓయ్.

విమానంలో పంక్తుల సాపేక్ష స్థానం. విమానంలో సరళ రేఖల మధ్య కోణం. సమాంతర రేఖల కోసం పరిస్థితి. పంక్తుల లంబంగా ఉండే పరిస్థితి.

l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

S 2 S 1 వెక్టర్స్ S 1 మరియు S 2 వాటి పంక్తుల కోసం మార్గదర్శకాలు అంటారు.

సరళ రేఖల మధ్య కోణం l 1 మరియు l 2 దిశ వెక్టర్స్ మధ్య కోణం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది.
సిద్ధాంతం 1: l 1 మరియు l 2 మధ్య కోణం యొక్క cos = cos(l 1 ; l 2) =

సిద్ధాంతం 2: 2 పంక్తులు సమానంగా ఉండటానికి ఇది అవసరం మరియు సరిపోతుంది:

సిద్ధాంతం 3: 2 సరళ రేఖలు లంబంగా ఉండాలంటే ఇది అవసరం మరియు సరిపోతుంది:

L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0

సాధారణ సమతల సమీకరణం మరియు దాని ప్రత్యేక సందర్భాలు. విభాగాలలో విమానం యొక్క సమీకరణం.

సాధారణ సమీకరణం:

Ax + By + Cz + D = 0

ప్రత్యేక కేసులు:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 – విమానం మూలం గుండా వెళుతుంది

2. С=0 Ax+By+D = 0 – విమానం || OZ

3. B=0 Ax+Cz+d = 0 – విమానం || OY

4. A=0 By+Cz+D = 0 – విమానం || OX

5. A=0 మరియు D=0 By+Cz = 0 – విమానం OX గుండా వెళుతుంది

6. B=0 మరియు D=0 Ax+Cz = 0 – విమానం OY గుండా వెళుతుంది

7. C=0 మరియు D=0 Ax+By = 0 – విమానం OZ గుండా వెళుతుంది

అంతరిక్షంలో విమానాలు మరియు సరళ రేఖల సాపేక్ష స్థానం:

1. అంతరిక్షంలో సరళ రేఖల మధ్య కోణం వాటి దిశ వెక్టర్స్ మధ్య కోణం.

Cos (l 1 ; l 2) = cos (S 1 ; S 2) = =

2. విమానాల మధ్య కోణం వాటి సాధారణ వెక్టర్స్ మధ్య కోణం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది.

Cos (l 1 ; l 2) = cos (N 1 ; N 2) = =

3. లైన్ మరియు విమానం మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్ లైన్ యొక్క దిశ వెక్టర్ మరియు విమానం యొక్క సాధారణ వెక్టార్ మధ్య కోణం యొక్క పాపం ద్వారా కనుగొనవచ్చు.

4. 2 నేరుగా || అంతరిక్షంలో ఉన్నప్పుడు వారి || వెక్టర్ మార్గదర్శకాలు

5. 2 విమానాలు || ఎప్పుడు || సాధారణ వెక్టర్స్

6. పంక్తులు మరియు విమానాల లంబంగా ఉన్న భావనలు అదేవిధంగా ప్రవేశపెట్టబడ్డాయి.

ప్రశ్న నం. 14

ఒక విమానంలో సరళ రేఖ యొక్క వివిధ రకాల సమీకరణం (విభాగాలలో సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం, కోణ గుణకం మొదలైనవి)

విభాగాలలో సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం:
సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణంలో ఇలా అనుకుందాం:

1. C = 0 Ах + Ву = 0 - సరళ రేఖ మూలం గుండా వెళుతుంది.

2. a = 0 Vu + C = 0 y =

3. b = 0 Ax + C = 0 x =

4. b=C=0 Ax = 0 x = 0

5. a=C=0 Ву = 0 у = 0

వాలుతో సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం:

op-amp అక్షం (B కాదు = 0)కి సమానం కాని ఏదైనా సరళ రేఖను తదుపరి పంక్తిలో వ్రాయవచ్చు. రూపం:

k = tanα α – సరళ రేఖ మరియు సానుకూలంగా దర్శకత్వం వహించిన రేఖ OX మధ్య కోణం

b - op-amp యొక్క అక్షంతో సరళ రేఖ యొక్క ఖండన స్థానం

పత్రం:

Ax+By+C = 0

Wu= -Ah-S |:B

రెండు పాయింట్ల ఆధారంగా సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం:

ప్రశ్న నం. 16

ఒక పాయింట్ వద్ద మరియు x→∞ కోసం ఫంక్షన్ యొక్క పరిమిత పరిమితి

x0 వద్ద ముగింపు పరిమితి:

A సంఖ్యను x→x 0 కోసం y = f(x) ఫంక్షన్ పరిమితి అంటారు, ఏదైనా E > 0 కోసం b > 0 ఉన్నట్లయితే, x ≠x 0కి అసమానత |x – x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

పరిమితి దీని ద్వారా సూచించబడుతుంది: = A

పాయింట్ +∞ వద్ద ముగింపు పరిమితి:

A సంఖ్యను x వద్ద y = f(x) ఫంక్షన్ పరిమితి అంటారు → + ∞ , ఏదైనా E > 0 కోసం C > 0 ఉంటే x > Cకి అసమానత |f(x) - A|< Е

పరిమితి దీని ద్వారా సూచించబడుతుంది: = A

పాయింట్ వద్ద ముగింపు పరిమితి -∞:

A సంఖ్యను ఫంక్షన్ y = f(x) కోసం పరిమితి అంటారు x→-∞,ఏదైనా E కోసం ఉంటే< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е

రెండు పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న రేఖ యొక్క సమీకరణం. వ్యాసంలో" " ఒక ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ మరియు ఈ గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ ఇచ్చిన డెరివేటివ్‌ను కనుగొనడంలో సమర్పించబడిన సమస్యలను పరిష్కరించడానికి రెండవ మార్గాన్ని చూస్తానని నేను మీకు వాగ్దానం చేసాను. మేము ఈ పద్ధతిలో చర్చిస్తాము , వదులుకోకు! ఎందుకుతదుపరి దానిలో?

వాస్తవం ఏమిటంటే సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం కోసం సూత్రం అక్కడ ఉపయోగించబడుతుంది. అయితే, మేము ఈ ఫార్ములాను చూపుతాము మరియు దీన్ని నేర్చుకోవాలని మీకు సలహా ఇవ్వగలము. కానీ అది ఎక్కడ నుండి వచ్చిందో వివరించడం మంచిది (ఇది ఎలా ఉద్భవించింది). ఇది అవసరం! మీరు దానిని మరచిపోయినట్లయితే, మీరు దానిని త్వరగా పునరుద్ధరించవచ్చుకష్టం ఉండదు. ప్రతిదీ వివరంగా క్రింద వివరించబడింది. కాబట్టి, కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లో మనకు రెండు పాయింట్లు A ఉన్నాయి(x 1;y 1) మరియు B(x 2;y 2), సూచించిన పాయింట్ల ద్వారా సరళ రేఖ గీస్తారు:

ప్రత్యక్ష సూత్రం ఇక్కడ ఉంది:

*అంటే, పాయింట్ల నిర్దిష్ట కోఆర్డినేట్‌లను ప్రత్యామ్నాయం చేసినప్పుడు, మనకు y=kx+b రూపం యొక్క సమీకరణం వస్తుంది.

** మీరు ఈ ఫార్ములాను కేవలం "గుర్తుంచుకుంటే", అప్పుడు సూచికలతో గందరగోళం చెందడానికి అధిక సంభావ్యత ఉంటుంది X. అదనంగా, సూచికలను వివిధ మార్గాల్లో నియమించవచ్చు, ఉదాహరణకు:

అందుకే అర్థాన్ని అర్థం చేసుకోవడం చాలా ముఖ్యం.

ఇప్పుడు ఈ సూత్రం యొక్క ఉత్పన్నం. ప్రతిదీ చాలా సులభం!

ABE మరియు ACF త్రిభుజాలు తీవ్రమైన కోణంలో సమానంగా ఉంటాయి (లంబ త్రిభుజాల సారూప్యతకు మొదటి సంకేతం). దీని నుండి సంబంధిత మూలకాల నిష్పత్తులు సమానంగా ఉంటాయి, అంటే:

ఇప్పుడు మేము ఈ విభాగాలను పాయింట్ల కోఆర్డినేట్లలో వ్యత్యాసం ద్వారా వ్యక్తపరుస్తాము:

వాస్తవానికి, మీరు మూలకాల సంబంధాలను వేరే క్రమంలో వ్రాసినట్లయితే ఎటువంటి లోపం ఉండదు (ప్రధాన విషయం స్థిరత్వాన్ని కొనసాగించడం):

ఫలితం రేఖ యొక్క అదే సమీకరణం అవుతుంది. ఇదొక్కటే!

అంటే, పాయింట్లు (మరియు వాటి కోఆర్డినేట్‌లు) ఎలా నియమించబడినా, ఈ సూత్రాన్ని అర్థం చేసుకోవడం ద్వారా మీరు ఎల్లప్పుడూ సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని కనుగొంటారు.

వెక్టర్స్ యొక్క లక్షణాలను ఉపయోగించి సూత్రాన్ని పొందవచ్చు, కానీ ఉత్పన్నం యొక్క సూత్రం ఒకే విధంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే మేము వాటి కోఆర్డినేట్‌ల నిష్పత్తి గురించి మాట్లాడుతాము. ఈ సందర్భంలో, కుడి త్రిభుజాల యొక్క అదే సారూప్యత పనిచేస్తుంది. నా అభిప్రాయం ప్రకారం, పైన వివరించిన ముగింపు మరింత స్పష్టంగా ఉంది)).

వెక్టార్ కోఆర్డినేట్‌ల ద్వారా అవుట్‌పుట్‌ని వీక్షించండి >>>

A(x 1;y 1) మరియు B(x 2;y 2) అనే రెండు పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌పై సరళ రేఖను నిర్మించనివ్వండి. కోఆర్డినేట్‌లతో లైన్‌లో ఏకపక్ష పాయింట్ Cని గుర్తు పెట్టుకుందాం ( x; వై) మేము రెండు వెక్టర్లను కూడా సూచిస్తాము:

సమాంతర రేఖలపై (లేదా అదే రేఖపై) ఉన్న వెక్టర్స్ కోసం, వాటి సంబంధిత కోఆర్డినేట్లు అనుపాతంలో ఉంటాయి, అంటే:

- మేము సంబంధిత అక్షాంశాల నిష్పత్తుల సమానత్వాన్ని వ్రాస్తాము:

ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం:

కోఆర్డినేట్‌లతో (2;5) మరియు (7:3) రెండు పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ సమీకరణాన్ని కనుగొనండి.

మీరు సరళ రేఖను కూడా నిర్మించాల్సిన అవసరం లేదు. మేము సూత్రాన్ని వర్తింపజేస్తాము:

నిష్పత్తిని గీసేటప్పుడు మీరు కరస్పాండెన్స్‌ను గ్రహించడం ముఖ్యం. మీరు వ్రాసినట్లయితే మీరు తప్పు చేయలేరు:

సమాధానం: y=-2/5x+29/5 గో y=-0.4x+5.8

ఫలిత సమీకరణం సరిగ్గా కనుగొనబడిందని నిర్ధారించుకోవడానికి, తనిఖీ చేయండి - డేటా యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను పాయింట్ల స్థితిలో ప్రత్యామ్నాయం చేయండి. సమీకరణాలు సరిగ్గా ఉండాలి.

అంతే. పదార్థం మీకు ఉపయోగకరంగా ఉందని నేను ఆశిస్తున్నాను.

భవదీయులు, అలెగ్జాండర్.

P.S: మీరు సోషల్ నెట్‌వర్క్‌లలో సైట్ గురించి నాకు చెబితే నేను కృతజ్ఞుడను.

ఒక విమానంలో సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం.
దిశ వెక్టర్ నేరుగా ఉంటుంది. సాధారణ వెక్టర్

విమానంలో సరళ రేఖ అనేది ప్రాథమిక పాఠశాల నుండి మీకు తెలిసిన సరళమైన రేఖాగణిత బొమ్మలలో ఒకటి, మరియు ఈ రోజు మనం విశ్లేషణాత్మక జ్యామితి యొక్క పద్ధతులను ఉపయోగించి దానిని ఎలా ఎదుర్కోవాలో నేర్చుకుంటాము. పదార్థాన్ని నైపుణ్యం చేయడానికి, మీరు సరళ రేఖను నిర్మించగలగాలి; సరళ రేఖను ఏ సమీకరణం నిర్వచించాలో తెలుసు, ప్రత్యేకించి, కోఆర్డినేట్‌ల మూలం గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ మరియు కోఆర్డినేట్ అక్షాలకు సమాంతరంగా ఉండే సరళ రేఖలు. ఈ సమాచారాన్ని మాన్యువల్‌లో చూడవచ్చు ప్రాథమిక విధుల గ్రాఫ్‌లు మరియు లక్షణాలు, నేను దీన్ని మథన్ కోసం సృష్టించాను, కానీ లీనియర్ ఫంక్షన్ గురించిన విభాగం చాలా విజయవంతమైంది మరియు వివరంగా ఉంది. కాబట్టి, ప్రియమైన టీపాట్‌లారా, ముందుగా అక్కడ వేడెక్కండి. అదనంగా, మీరు గురించి ప్రాథమిక జ్ఞానం కలిగి ఉండాలి వెక్టర్స్, లేకపోతే పదార్థం యొక్క అవగాహన అసంపూర్ణంగా ఉంటుంది.

ఈ పాఠంలో మీరు విమానంలో సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని సృష్టించగల మార్గాలను మేము పరిశీలిస్తాము. ఆచరణాత్మక ఉదాహరణలను విస్మరించవద్దని నేను సిఫార్సు చేస్తున్నాను (ఇది చాలా సరళంగా అనిపించినప్పటికీ), నేను వారికి ప్రాథమిక మరియు ముఖ్యమైన వాస్తవాలు, ఉన్నత గణితంలో ఇతర విభాగాలతో సహా భవిష్యత్తులో అవసరమైన సాంకేతిక పద్ధతులను అందిస్తాను.

• కోణ గుణకంతో సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని ఎలా వ్రాయాలి?
• ఎలా ?
• సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి దిశ వెక్టర్‌ను ఎలా కనుగొనాలి?
• ఒక పాయింట్ మరియు సాధారణ వెక్టర్ ఇచ్చిన సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని ఎలా వ్రాయాలి?

మరియు మేము ప్రారంభిస్తాము:

వాలుతో సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం

సరళ రేఖ సమీకరణం యొక్క ప్రసిద్ధ "పాఠశాల" రూపాన్ని అంటారు వాలుతో సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం. ఉదాహరణకు, సమీకరణం ద్వారా సరళ రేఖను అందించినట్లయితే, దాని వాలు: . ఈ గుణకం యొక్క రేఖాగణిత అర్ధాన్ని మరియు దాని విలువ రేఖ యొక్క స్థానాన్ని ఎలా ప్రభావితం చేస్తుందో పరిశీలిద్దాం:

జ్యామితి కోర్సులో అది నిరూపించబడింది సరళ రేఖ యొక్క వాలు సమానంగా ఉంటుంది కోణం యొక్క టాంజెంట్సానుకూల అక్షం దిశ మధ్యమరియు ఈ లైన్: , మరియు కోణం అపసవ్య దిశలో “విప్పు”.

డ్రాయింగ్‌ను అస్తవ్యస్తం చేయకుండా ఉండటానికి, నేను రెండు సరళ రేఖల కోసం మాత్రమే కోణాలను గీసాను. "ఎరుపు" లైన్ మరియు దాని వాలును పరిశీలిద్దాం. పైన పేర్కొన్న ప్రకారం: ("ఆల్ఫా" కోణం ఆకుపచ్చ ఆర్క్ ద్వారా సూచించబడుతుంది). కోణ గుణకంతో "నీలం" సరళ రేఖకు, సమానత్వం నిజం ("బీటా" కోణం బ్రౌన్ ఆర్క్ ద్వారా సూచించబడుతుంది). మరియు కోణం యొక్క టాంజెంట్ తెలిసినట్లయితే, అవసరమైతే దానిని కనుగొనడం సులభం మరియు మూలలో కూడావిలోమ ఫంక్షన్ ఉపయోగించి - ఆర్క్టాంజెంట్. వారు చెప్పినట్లు, మీ చేతుల్లో ఒక త్రికోణమితి పట్టిక లేదా మైక్రోకాలిక్యులేటర్. ఈ విధంగా, కోణీయ గుణకం అబ్సిస్సా అక్షానికి సరళ రేఖ యొక్క వంపు స్థాయిని వర్ణిస్తుంది.

కింది కేసులు సాధ్యమే:

1) వాలు ప్రతికూలంగా ఉంటే: అప్పుడు లైన్, సుమారుగా చెప్పాలంటే, పై నుండి క్రిందికి వెళుతుంది. డ్రాయింగ్‌లోని "నీలం" మరియు "కోరిందకాయ" సరళ రేఖలు ఉదాహరణలు.

2) వాలు సానుకూలంగా ఉంటే: అప్పుడు లైన్ దిగువ నుండి పైకి వెళుతుంది. ఉదాహరణలు - డ్రాయింగ్‌లోని “నలుపు” మరియు “ఎరుపు” సరళ రేఖలు.

3) వాలు సున్నా అయితే: , అప్పుడు సమీకరణం రూపాన్ని తీసుకుంటుంది మరియు సంబంధిత సరళ రేఖ అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది. ఒక ఉదాహరణ "పసుపు" సరళ రేఖ.

4) అక్షానికి సమాంతరంగా ఉండే పంక్తుల కుటుంబానికి (డ్రాయింగ్‌లో అక్షం మినహా ఎటువంటి ఉదాహరణ లేదు), కోణీయ గుణకం ఉనికిలో లేదు (90 డిగ్రీల టాంజెంట్ నిర్వచించబడలేదు).

సంపూర్ణ విలువలో స్లోప్ కోఎఫీషియంట్ ఎంత ఎక్కువగా ఉంటే, సరళ రేఖ గ్రాఫ్ అంత నిటారుగా ఉంటుంది..

ఉదాహరణకు, రెండు సరళ రేఖలను పరిగణించండి. ఇక్కడ, కాబట్టి, సరళ రేఖకు ఏటవాలు ఉంటుంది. గుర్తును విస్మరించడానికి మాడ్యూల్ మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది అని నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను, మాకు మాత్రమే ఆసక్తి ఉంది సంపూర్ణ విలువలుకోణీయ గుణకాలు.

ప్రతిగా, సరళ రేఖ సరళ రేఖల కంటే నిటారుగా ఉంటుంది .

దీనికి విరుద్ధంగా: సంపూర్ణ విలువలో చిన్న వాలు గుణకం, సరళ రేఖ చదునుగా ఉంటుంది.

సరళ రేఖల కోసం అసమానత నిజం, కాబట్టి సరళ రేఖ చదునుగా ఉంటుంది. పిల్లల స్లయిడ్, తద్వారా మీరే గాయాలు మరియు గడ్డలు ఇవ్వకూడదు.

ఇది ఎందుకు అవసరం?

మీ వేదనను పొడిగించండి, పై వాస్తవాల పరిజ్ఞానం మీ తప్పులను, ప్రత్యేకించి, గ్రాఫ్‌లను నిర్మించేటప్పుడు లోపాలను వెంటనే చూడటానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది - డ్రాయింగ్ “స్పష్టంగా ఏదో తప్పు” అని తేలితే. ఇది మీరు మంచిది వెంటనేఉదాహరణకు, సరళ రేఖ చాలా నిటారుగా ఉంటుంది మరియు దిగువ నుండి పైకి వెళుతుంది మరియు సరళ రేఖ చాలా చదునుగా ఉంటుంది, అక్షానికి దగ్గరగా నొక్కి, పై నుండి క్రిందికి వెళుతుంది.

రేఖాగణిత సమస్యలలో, అనేక సరళ రేఖలు తరచుగా కనిపిస్తాయి, కాబట్టి వాటిని ఏదో ఒకవిధంగా నియమించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది.

హోదాలు: సరళ రేఖలు చిన్న లాటిన్ అక్షరాలలో సూచించబడ్డాయి: . సహజమైన సబ్‌స్క్రిప్ట్‌లతో ఒకే అక్షరాన్ని ఉపయోగించి వాటిని నియమించడం ఒక ప్రసిద్ధ ఎంపిక. ఉదాహరణకు, మనం ఇప్పుడే చూసిన ఐదు లైన్లను సూచించవచ్చు .

ఏదైనా సరళ రేఖ రెండు పాయింట్ల ద్వారా ప్రత్యేకంగా నిర్ణయించబడుతుంది కాబట్టి, దానిని ఈ పాయింట్ల ద్వారా సూచించవచ్చు: మొదలైనవి పాయింట్లు రేఖకు చెందినవని హోదా స్పష్టంగా సూచిస్తుంది.

ఇది కొద్దిగా వేడెక్కడానికి సమయం:

కోణ గుణకంతో సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని ఎలా వ్రాయాలి?

ఒక నిర్దిష్ట రేఖకు చెందిన పాయింట్ మరియు ఈ రేఖ యొక్క కోణీయ గుణకం తెలిసినట్లయితే, ఈ రేఖ యొక్క సమీకరణం సూత్రం ద్వారా వ్యక్తీకరించబడుతుంది:

ఉదాహరణ 1

పాయింట్ ఇచ్చిన రేఖకు చెందినదని తెలిస్తే, వాలుతో ఉన్న రేఖకు సమీకరణాన్ని వ్రాయండి.

పరిష్కారం: సూత్రాన్ని ఉపయోగించి సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని కంపోజ్ చేద్దాం . ఈ విషయంలో:

సమాధానం:

పరీక్షసరళంగా చేయబడుతుంది. మొదట, మేము ఫలిత సమీకరణాన్ని చూస్తాము మరియు మా వాలు స్థానంలో ఉందని నిర్ధారించుకోండి. రెండవది, పాయింట్ యొక్క అక్షాంశాలు ఈ సమీకరణాన్ని సంతృప్తి పరచాలి. వాటిని సమీకరణంలోకి ప్లగ్ చేద్దాం:

సరైన సమానత్వం పొందబడుతుంది, అంటే పాయింట్ ఫలిత సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరుస్తుంది.

ముగింపు: సమీకరణం సరిగ్గా కనుగొనబడింది.

మీ స్వంతంగా పరిష్కరించడానికి మరింత గమ్మత్తైన ఉదాహరణ:

ఉదాహరణ 2

అక్షం యొక్క సానుకూల దిశకు దాని వంపు కోణం , మరియు పాయింట్ ఈ సరళ రేఖకు చెందినదని తెలిస్తే సరళ రేఖకు సమీకరణాన్ని వ్రాయండి.

మీకు ఏవైనా ఇబ్బందులు ఉంటే, సైద్ధాంతిక విషయాలను మళ్లీ చదవండి. మరింత ఖచ్చితంగా, మరింత ఆచరణాత్మకంగా, నేను చాలా సాక్ష్యాలను దాటవేస్తాను.

చివరి గంట మోగింది, గ్రాడ్యుయేషన్ వేడుక ముగిసింది మరియు మా స్థానిక పాఠశాల యొక్క గేట్ల వెలుపల, విశ్లేషణాత్మక జ్యామితి మాకు వేచి ఉంది. జోకులు అయిపోయాయి... లేదా వారు ఇప్పుడే ప్రారంభిస్తున్నారు =)

మేము వ్యామోహపూర్వకంగా మా పెన్ను సుపరిచితం మరియు సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణంతో పరిచయం చేస్తాము. ఎందుకంటే విశ్లేషణాత్మక జ్యామితిలో ఇది ఖచ్చితంగా ఉపయోగించబడుతుంది:

సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది: , కొన్ని సంఖ్యలు ఎక్కడ ఉన్నాయి. అదే సమయంలో, గుణకాలు ఏకకాలంలోసమీకరణం దాని అర్థాన్ని కోల్పోతుంది కాబట్టి, సున్నాకి సమానం కాదు.

సూట్‌లో దుస్తులు ధరించి, వాలు కోఎఫీషియంట్‌తో సమీకరణాన్ని కట్టాలి. ముందుగా, అన్ని నిబంధనలను ఎడమ వైపుకు తరలిద్దాం:

"X"తో ఉన్న పదాన్ని తప్పనిసరిగా మొదటి స్థానంలో ఉంచాలి:

సూత్రప్రాయంగా, సమీకరణం ఇప్పటికే రూపాన్ని కలిగి ఉంది , కానీ గణిత మర్యాద నియమాల ప్రకారం, మొదటి పదం యొక్క గుణకం (ఈ సందర్భంలో) సానుకూలంగా ఉండాలి. మారుతున్న సంకేతాలు:

ఈ సాంకేతిక లక్షణాన్ని గుర్తుంచుకోండి!మేము మొదటి గుణకం (చాలా తరచుగా) సానుకూలంగా చేస్తాము!

విశ్లేషణాత్మక జ్యామితిలో, సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం దాదాపు ఎల్లప్పుడూ సాధారణ రూపంలో ఇవ్వబడుతుంది. బాగా, అవసరమైతే, కోణీయ గుణకం (ఆర్డినేట్ అక్షానికి సమాంతరంగా ఉన్న సరళ రేఖలను మినహాయించి) తో "పాఠశాల" రూపానికి సులభంగా తగ్గించవచ్చు.

ఏమిటని మనల్ని మనం ప్రశ్నించుకుందాం చాలుసరళ రేఖను నిర్మించడం తెలుసా? రెండు పాయింట్లు. కానీ ఈ చిన్ననాటి సంఘటన గురించి మరింత, ఇప్పుడు బాణాల పాలనతో అంటుకుంది. ప్రతి సరళ రేఖకు చాలా నిర్దిష్టమైన వాలు ఉంటుంది, ఇది "అడాప్ట్" చేయడం సులభం. వెక్టర్.

రేఖకు సమాంతరంగా ఉండే వెక్టర్‌ను ఆ రేఖకు దిశ వెక్టర్ అంటారు. ఏదైనా సరళ రేఖకు అనంతమైన దిశ వెక్టర్‌లు ఉన్నాయని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది మరియు అవన్నీ కోలినియర్‌గా ఉంటాయి (సహ-దిశాత్మక లేదా - ఇది పట్టింపు లేదు).

నేను దిశ వెక్టర్‌ను ఈ క్రింది విధంగా సూచిస్తాను: .

కానీ సరళ రేఖను నిర్మించడానికి ఒక వెక్టర్ సరిపోదు; వెక్టర్ ఉచితం మరియు విమానంలో ఏ బిందువుతోనూ ముడిపడి ఉండదు. అందువల్ల, లైన్‌కు చెందిన కొన్ని పాయింట్‌లను తెలుసుకోవడం అదనంగా అవసరం.

పాయింట్ మరియు డైరెక్షన్ వెక్టర్ ఉపయోగించి సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని ఎలా వ్రాయాలి?

ఒక రేఖకు చెందిన నిర్దిష్ట బిందువు మరియు ఈ రేఖ యొక్క దిశ వెక్టర్ తెలిసినట్లయితే, ఈ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని సూత్రాన్ని ఉపయోగించి కంపైల్ చేయవచ్చు:

కొన్నిసార్లు అంటారు లైన్ యొక్క కానానికల్ సమీకరణం .

ఎప్పుడు ఏం చేయాలి అక్షాంశాలలో ఒకటిసున్నాకి సమానం, మేము దిగువ ఆచరణాత్మక ఉదాహరణలలో అర్థం చేసుకుంటాము. మార్గం ద్వారా, దయచేసి గమనించండి - రెండూ ఒకేసారిసున్నా వెక్టర్ నిర్దిష్ట దిశను పేర్కొననందున కోఆర్డినేట్‌లు సున్నాకి సమానంగా ఉండవు.

ఉదాహరణ 3

ఒక బిందువు మరియు దిశ వెక్టర్ ఉపయోగించి సరళ రేఖకు సమీకరణాన్ని వ్రాయండి

పరిష్కారం: సూత్రాన్ని ఉపయోగించి సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని కంపోజ్ చేద్దాం. ఈ విషయంలో:

నిష్పత్తి యొక్క లక్షణాలను ఉపయోగించి మేము భిన్నాలను తొలగిస్తాము:

మరియు మేము సమీకరణాన్ని దాని సాధారణ రూపానికి తీసుకువస్తాము:

సమాధానం:

నియమం ప్రకారం, అటువంటి ఉదాహరణలలో డ్రాయింగ్ చేయవలసిన అవసరం లేదు, కానీ అవగాహన కొరకు:

డ్రాయింగ్‌లో మనం ప్రారంభ స్థానం, అసలు దిశ వెక్టర్ (విమానం మీద ఏ పాయింట్ నుండి అయినా ప్లాట్ చేయవచ్చు) మరియు నిర్మించిన సరళ రేఖను చూస్తాము. మార్గం ద్వారా, అనేక సందర్భాల్లో కోణీయ గుణకంతో సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి సరళ రేఖను నిర్మించడం చాలా సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. మా సమీకరణాన్ని రూపంలోకి మార్చడం సులభం మరియు సరళ రేఖను నిర్మించడానికి మరొక పాయింట్‌ను సులభంగా ఎంచుకోండి.

పేరా ప్రారంభంలో గుర్తించినట్లుగా, ఒక సరళ రేఖకు అనంతమైన అనేక దిశల వెక్టర్‌లు ఉంటాయి మరియు అవన్నీ కోలినియర్‌గా ఉంటాయి. ఉదాహరణకు, నేను అలాంటి మూడు వెక్టర్లను గీసాను: . మనం ఏ దిశ వెక్టార్‌ని ఎంచుకున్నా, ఫలితం ఎల్లప్పుడూ ఒకే సరళ రేఖ సమీకరణంగా ఉంటుంది.

పాయింట్ మరియు డైరెక్షన్ వెక్టర్ ఉపయోగించి సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని సృష్టిద్దాం:

నిష్పత్తిని పరిష్కరించడం:

రెండు వైపులా –2 ద్వారా విభజించి, తెలిసిన సమీకరణాన్ని పొందండి:

ఆసక్తి ఉన్నవారు వెక్టర్లను అదే విధంగా పరీక్షించవచ్చు లేదా ఏదైనా ఇతర కొలినియర్ వెక్టర్.

ఇప్పుడు విలోమ సమస్యను పరిష్కరిద్దాం:

సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి దిశ వెక్టర్‌ను ఎలా కనుగొనాలి?

చాలా సులభం:

దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో సాధారణ సమీకరణం ద్వారా పంక్తి ఇవ్వబడితే, వెక్టర్ ఈ రేఖ యొక్క దిశ వెక్టర్.

సరళ రేఖల దిశ వెక్టర్లను కనుగొనే ఉదాహరణలు:

ప్రకటన అనంతమైన సంఖ్య నుండి ఒక దిశ వెక్టార్‌ను మాత్రమే కనుగొనడానికి అనుమతిస్తుంది, కానీ మాకు అంతకన్నా ఎక్కువ అవసరం లేదు. కొన్ని సందర్భాల్లో దిశ వెక్టర్స్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను తగ్గించడం మంచిది:

అందువల్ల, సమీకరణం అక్షానికి సమాంతరంగా ఉండే సరళ రేఖను నిర్దేశిస్తుంది మరియు ఫలిత దిశ వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు సౌకర్యవంతంగా –2 ద్వారా విభజించబడతాయి, సరిగ్గా ఆధార వెక్టర్‌ను దిశ వెక్టర్‌గా పొందడం. లాజికల్.

అదేవిధంగా, సమీకరణం అక్షానికి సమాంతరంగా సరళ రేఖను నిర్దేశిస్తుంది మరియు వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను 5 ద్వారా విభజించడం ద్వారా, మేము యూనిట్ వెక్టర్‌ను దిశ వెక్టర్‌గా పొందుతాము.

ఇప్పుడు చేద్దాం తనిఖీ ఉదాహరణ 3. ఉదాహరణ పెరిగింది, కాబట్టి మేము పాయింట్ మరియు దిశ వెక్టర్ ఉపయోగించి సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని కంపైల్ చేసాము అని నేను మీకు గుర్తు చేస్తున్నాను

ముందుగా, సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి మేము దాని దిశ వెక్టర్‌ను పునర్నిర్మిస్తాము: – అంతా బాగానే ఉంది, మేము అసలైన వెక్టార్‌ని అందుకున్నాము (కొన్ని సందర్భాల్లో ఫలితం అసలైనదానికి కొలినియర్ వెక్టర్ కావచ్చు మరియు సంబంధిత కోఆర్డినేట్‌ల అనుపాతంలో ఇది సాధారణంగా గమనించడం సులభం).

రెండవది, పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు తప్పనిసరిగా సమీకరణాన్ని సంతృప్తి పరచాలి. మేము వాటిని సమీకరణంలో భర్తీ చేస్తాము:

సరైన సమానత్వం పొందబడింది, దాని గురించి మేము చాలా సంతోషిస్తున్నాము.

ముగింపు: పని సరిగ్గా పూర్తయింది.

ఉదాహరణ 4

ఒక బిందువు మరియు దిశ వెక్టర్ ఉపయోగించి సరళ రేఖకు సమీకరణాన్ని వ్రాయండి

మీరు మీ స్వంతంగా పరిష్కరించుకోవడానికి ఇది ఒక ఉదాహరణ. పరిష్కారం మరియు సమాధానం పాఠం చివరిలో ఉన్నాయి. ఇప్పుడే చర్చించిన అల్గోరిథం ఉపయోగించి తనిఖీ చేయడం చాలా మంచిది. డ్రాఫ్ట్‌ను ఎల్లప్పుడూ (వీలైతే) తనిఖీ చేయడానికి ప్రయత్నించండి. 100% నివారించగలిగే పొరపాట్లు చేయడం మూర్ఖత్వం.

దిశ వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్లలో ఒకటి సున్నా అయిన సందర్భంలో, చాలా సరళంగా కొనసాగండి:

ఉదాహరణ 5

పరిష్కారం: కుడి వైపున ఉన్న హారం సున్నా అయినందున ఫార్ములా తగినది కాదు. నిష్క్రమణ ఉంది! నిష్పత్తి యొక్క లక్షణాలను ఉపయోగించి, మేము ఫార్ములాను రూపంలో తిరిగి వ్రాస్తాము మరియు మిగిలినవి లోతైన రూట్ వెంట చుట్టబడతాయి:

సమాధానం:

పరీక్ష:

1) లైన్ యొక్క డైరెక్టింగ్ వెక్టర్‌ను పునరుద్ధరించండి:
- ఫలిత వెక్టార్ అసలు దిశ వెక్టర్‌కు కొలినియర్‌గా ఉంటుంది.

2) పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేయండి:

సరైన సమానత్వం లభిస్తుంది

ముగింపు: పని సరిగ్గా పూర్తయింది

ప్రశ్న తలెత్తుతుంది, ఏ సందర్భంలోనైనా పని చేసే యూనివర్సల్ వెర్షన్ ఉంటే ఫార్ములాతో ఎందుకు బాధపడాలి? రెండు కారణాలున్నాయి. మొదట, ఫార్ములా భిన్నం రూపంలో ఉంటుంది చాలా బాగా గుర్తుంచుకోవాలి. మరియు రెండవది, సార్వత్రిక సూత్రం యొక్క ప్రతికూలత గందరగోళానికి గురయ్యే ప్రమాదం గణనీయంగా పెరుగుతుందికోఆర్డినేట్‌లను ప్రత్యామ్నాయం చేసినప్పుడు.

ఉదాహరణ 6

ఒక బిందువు మరియు దిశ వెక్టర్ ఉపయోగించి సరళ రేఖకు సమీకరణాన్ని వ్రాయండి.

మీరు మీ స్వంతంగా పరిష్కరించుకోవడానికి ఇది ఒక ఉదాహరణ.

సర్వసాధారణమైన రెండు అంశాలకు తిరిగి వెళ్దాం:

రెండు పాయింట్లను ఉపయోగించి సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని ఎలా వ్రాయాలి?

రెండు పాయింట్లు తెలిసినట్లయితే, ఈ పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని ఫార్ములా ఉపయోగించి కంపైల్ చేయవచ్చు:

వాస్తవానికి, ఇది ఒక రకమైన ఫార్ములా మరియు ఇక్కడ ఎందుకు ఉంది: రెండు పాయింట్లు తెలిసినట్లయితే, వెక్టర్ ఇచ్చిన రేఖకు దిశ వెక్టర్ అవుతుంది. పాఠం వద్ద డమ్మీస్ కోసం వెక్టర్స్మేము సరళమైన సమస్యను పరిగణించాము - రెండు పాయింట్ల నుండి వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను ఎలా కనుగొనాలి. ఈ సమస్య ప్రకారం, దిశ వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్లు:

గమనిక : పాయింట్లను "మార్పిడి" చేయవచ్చు మరియు సూత్రాన్ని ఉపయోగించవచ్చు . అటువంటి పరిష్కారం సమానంగా ఉంటుంది.

ఉదాహరణ 7

రెండు పాయింట్లను ఉపయోగించి సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని వ్రాయండి .

పరిష్కారం: మేము సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము:

హారం కలపడం:

మరియు డెక్‌ను షఫుల్ చేయండి:

ఇప్పుడు భిన్న సంఖ్యలను వదిలించుకోవడానికి సమయం ఆసన్నమైంది. ఈ సందర్భంలో, మీరు రెండు వైపులా 6 ద్వారా గుణించాలి:

బ్రాకెట్లను తెరిచి, సమీకరణాన్ని గుర్తుంచుకోండి:

సమాధానం:

పరీక్షస్పష్టంగా ఉంది - ప్రారంభ బిందువుల అక్షాంశాలు ఫలిత సమీకరణాన్ని సంతృప్తి పరచాలి:

1) పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి:

నిజమైన సమానత్వం.

2) పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి:

నిజమైన సమానత్వం.

ముగింపు: లైన్ యొక్క సమీకరణం సరిగ్గా వ్రాయబడింది.

ఉంటే కనీసం ఒక్కటిపాయింట్ల సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరచదు, లోపం కోసం చూడండి.

ఈ సందర్భంలో గ్రాఫికల్ ధృవీకరణ కష్టం అని గమనించాలి, ఎందుకంటే సరళ రేఖను నిర్మించి, పాయింట్లు దానికి చెందినవా అని చూడండి. , అంత సులభం కాదు.

నేను పరిష్కారం యొక్క మరికొన్ని సాంకేతిక అంశాలను గమనిస్తాను. బహుశా ఈ సమస్యలో అద్దం సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం మరింత లాభదాయకంగా ఉంటుంది మరియు, అదే పాయింట్ల వద్ద ఒక సమీకరణం చేయండి:

తక్కువ భిన్నాలు. మీకు కావాలంటే, మీరు ముగింపు వరకు పరిష్కారాన్ని నిర్వహించవచ్చు, ఫలితం అదే సమీకరణంగా ఉండాలి.

రెండవ విషయం ఏమిటంటే, తుది సమాధానాన్ని పరిశీలించి, దానిని మరింత సరళీకృతం చేయవచ్చా? ఉదాహరణకు, మీరు సమీకరణాన్ని పొందినట్లయితే, దానిని రెండుగా తగ్గించడం మంచిది: - సమీకరణం అదే సరళ రేఖను నిర్వచిస్తుంది. అయితే, ఇది ఇప్పటికే చర్చనీయాంశంగా మారింది పంక్తుల సాపేక్ష స్థానం.

సమాధానం అందుకున్న తరువాత ఉదాహరణ 7లో, సమీకరణం యొక్క అన్ని గుణకాలు 2, 3 లేదా 7 ద్వారా భాగించబడతాయో లేదో నేను తనిఖీ చేసాను. అయినప్పటికీ, చాలా తరచుగా ఇటువంటి తగ్గింపులు పరిష్కారం సమయంలో చేయబడతాయి.

ఉదాహరణ 8

పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న రేఖకు సమీకరణాన్ని వ్రాయండి .

ఇది స్వతంత్ర పరిష్కారానికి ఒక ఉదాహరణ, ఇది గణన పద్ధతులను బాగా అర్థం చేసుకోవడానికి మరియు సాధన చేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.

మునుపటి పేరా మాదిరిగానే: ఫార్ములాలో ఉంటే హారంలలో ఒకటి (దిశ వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్) సున్నా అవుతుంది, అప్పుడు మేము దానిని రూపంలో తిరిగి వ్రాస్తాము . మళ్ళీ, ఆమె ఎంత ఇబ్బందికరంగా మరియు గందరగోళంగా కనిపిస్తుందో గమనించండి. ఆచరణాత్మక ఉదాహరణలు ఇవ్వడంలో నాకు పెద్దగా అర్థం లేదు, ఎందుకంటే మేము ఇప్పటికే ఈ సమస్యను పరిష్కరించాము (నం. 5, 6 చూడండి).

ప్రత్యక్ష సాధారణ వెక్టర్ (సాధారణ వెక్టర్)

సాధారణమైనది ఏమిటి? సరళంగా చెప్పాలంటే, సాధారణం లంబంగా ఉంటుంది. అంటే, ఒక పంక్తి యొక్క సాధారణ వెక్టర్ ఇచ్చిన రేఖకు లంబంగా ఉంటుంది. సహజంగానే, ఏదైనా సరళ రేఖలో అనంతమైన వాటి సంఖ్య ఉంటుంది (అలాగే దిశ వెక్టర్స్), మరియు సరళ రేఖ యొక్క అన్ని సాధారణ వెక్టర్‌లు కొల్లినియర్‌గా ఉంటాయి (కోడైరెక్షనల్ లేదా కాకపోయినా, దీనికి తేడా లేదు).

గైడ్ వెక్టర్స్‌తో పోలిస్తే వాటితో వ్యవహరించడం మరింత సులభం అవుతుంది:

ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో సాధారణ సమీకరణం ద్వారా పంక్తి ఇవ్వబడితే, వెక్టర్ ఈ రేఖ యొక్క సాధారణ వెక్టర్.

దిశ వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను సమీకరణం నుండి జాగ్రత్తగా "బయటకు లాగవలసి ఉంటే", అప్పుడు సాధారణ వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు కేవలం "తొలగించబడతాయి".

సాధారణ వెక్టర్ ఎల్లప్పుడూ రేఖ యొక్క దిశ వెక్టర్‌కు ఆర్తోగోనల్‌గా ఉంటుంది. ఉపయోగించి ఈ వెక్టర్స్ యొక్క ఆర్తోగోనాలిటీని ధృవీకరిద్దాం డాట్ ఉత్పత్తి:

నేను దిశ వెక్టర్ కోసం అదే సమీకరణాలతో ఉదాహరణలను ఇస్తాను:

ఒక పాయింట్ మరియు సాధారణ వెక్టర్ ఇచ్చిన సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని నిర్మించడం సాధ్యమేనా? నేను నా గట్ లో భావిస్తున్నాను, అది సాధ్యమే. సాధారణ వెక్టర్ తెలిసినట్లయితే, సరళ రేఖ యొక్క దిశ స్పష్టంగా నిర్వచించబడుతుంది - ఇది 90 డిగ్రీల కోణంతో కూడిన “దృఢమైన నిర్మాణం”.

ఒక పాయింట్ మరియు సాధారణ వెక్టర్ ఇచ్చిన సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని ఎలా వ్రాయాలి?

ఒక రేఖకు చెందిన నిర్దిష్ట బిందువు మరియు ఈ రేఖ యొక్క సాధారణ వెక్టర్ తెలిసినట్లయితే, ఈ రేఖ యొక్క సమీకరణం సూత్రం ద్వారా వ్యక్తీకరించబడుతుంది:

ఇక్కడ ప్రతిదీ భిన్నాలు మరియు ఇతర ఆశ్చర్యాలు లేకుండా పని చేస్తుంది. ఇది మన సాధారణ వెక్టర్. అతనిని ప్రేమించు. మరియు గౌరవం =)

ఉదాహరణ 9

ఒక పాయింట్ మరియు సాధారణ వెక్టర్ ఇచ్చిన సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని వ్రాయండి. రేఖ యొక్క దిశ వెక్టర్‌ను కనుగొనండి.

పరిష్కారం: మేము సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము:

సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణం పొందబడింది, తనిఖీ చేద్దాం:

1) సమీకరణం నుండి సాధారణ వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను "తీసివేయండి": - అవును, నిజానికి, అసలు వెక్టార్ పరిస్థితి నుండి పొందబడింది (లేదా కొల్లినియర్ వెక్టర్ పొందాలి).

2) పాయింట్ సమీకరణానికి అనుగుణంగా ఉందో లేదో చూద్దాం:

నిజమైన సమానత్వం.

సమీకరణం సరిగ్గా కంపోజ్ చేయబడిందని మేము ఒప్పించిన తర్వాత, మేము పని యొక్క రెండవ, సులభమైన భాగాన్ని పూర్తి చేస్తాము. మేము సరళ రేఖ యొక్క దర్శకత్వ వెక్టర్‌ను తీసుకుంటాము:

సమాధానం:

డ్రాయింగ్లో పరిస్థితి ఇలా కనిపిస్తుంది:

శిక్షణ ప్రయోజనాల కోసం, స్వతంత్రంగా పరిష్కరించడానికి ఇదే విధమైన పని:

ఉదాహరణ 10

ఒక పాయింట్ మరియు సాధారణ వెక్టర్ ఇచ్చిన సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని వ్రాయండి. రేఖ యొక్క దిశ వెక్టర్‌ను కనుగొనండి.

పాఠం యొక్క చివరి విభాగం తక్కువ సాధారణమైన, కానీ విమానంలో ఒక లైన్ యొక్క ముఖ్యమైన రకాల సమీకరణాలకు కూడా అంకితం చేయబడుతుంది.

విభాగాలలో సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం.
పారామెట్రిక్ రూపంలో ఒక లైన్ యొక్క సమీకరణం

విభాగాలలో సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది, ఇక్కడ నాన్జీరో స్థిరాంకాలు ఉంటాయి. కొన్ని రకాల సమీకరణాలు ఈ రూపంలో సూచించబడవు, ఉదాహరణకు, ప్రత్యక్ష అనుపాతత (ఉచిత పదం సున్నాకి సమానం మరియు కుడి వైపున ఒకదాన్ని పొందేందుకు మార్గం లేదు కాబట్టి).

ఇది అలంకారికంగా చెప్పాలంటే, "సాంకేతిక" రకం సమీకరణం. పంక్తి యొక్క సాధారణ సమీకరణాన్ని విభాగాలలో ఒక రేఖ యొక్క సమీకరణంగా సూచించడం ఒక సాధారణ పని. ఇది ఎలా సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది? సెగ్మెంట్లలోని పంక్తి యొక్క సమీకరణం కోఆర్డినేట్ అక్షాలతో లైన్ యొక్క ఖండన యొక్క పాయింట్లను త్వరగా కనుగొనడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది, ఇది అధిక గణితంలో కొన్ని సమస్యలలో చాలా ముఖ్యమైనది.

అక్షంతో రేఖ యొక్క ఖండన బిందువును కనుగొనండి. మేము "y"ని సున్నాకి రీసెట్ చేస్తాము మరియు సమీకరణం రూపాన్ని తీసుకుంటుంది. కావలసిన పాయింట్ స్వయంచాలకంగా పొందబడుతుంది: .

అదే అక్షం - సరళ రేఖ ఆర్డినేట్ అక్షాన్ని కలుస్తున్న పాయింట్.