రెండు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క కనిష్ట (గరిష్ట) పంపిణీ చట్టం. ఆర్డర్ గణాంకాల పంపిణీ చట్టం
ఈ విభాగంలో మనం మొదటగా అటువంటి క్రియాత్మక పరివర్తనను పరిశీలిస్తాము c. c., ఇది రెండు విలువల గరిష్ట (కనిష్ట) ఎంపికను కలిగి ఉంటుంది.
సమస్య 1. కనీసం రెండు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ పంపిణీ చట్టం. నిరంతర వ్యవస్థ ఇవ్వబడుతుంది. వి. (X మరియు X 2) p.r./(*!,తో x 2). r.v పంపిణీ ఫంక్షన్‌ను కనుగొనండి. Y:
పరిష్కారం. ముందుగా P (P)ని కనుగొనండి Y> y) = పి (Xi > y; X 2 > y). ప్రాంతం డి(y), ఎక్కడ X> y మరియు X 2 > వైఅంజీర్లో చూపబడింది. 9.6.1 పాయింట్ కొట్టే సంభావ్యత (X[, X 2)ప్రాంతానికి డి(y) సమానం
ఎక్కడ F (x b x 2) -సిస్టమ్ పంపిణీ ఫంక్షన్ c. వి. (Хь Х 2), F x(jq), ఎఫ్ 2 (x 2) - పంపిణీ విధులు c. వి. Xమరియు X 2 వరుసగా. అందుకే,
p.r నిర్ణయించడానికి. g (y)మీరు కుడి వైపు (9.6.1) యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనాలి:
తో ఉంటే. వి. X x, X 2 స్వతంత్రంగా మరియు p.rతో సమానంగా పంపిణీ చేయబడింది. Fi(X) =/ 2 (x) =f(x),ఆ
ఉదాహరణ 1. మేము రెండు బ్లాక్‌లు Bi మరియు B 2లతో కూడిన పరికరం యొక్క ఆపరేషన్‌ను పరిశీలిస్తాము, దీని యొక్క ఉమ్మడి ఆపరేషన్ పరికరం యొక్క ఆపరేషన్‌కు ఖచ్చితంగా అవసరం. B ఆపరేటింగ్ సమయాలను నిరోధించండి! మరియు B 2 స్వతంత్ర లను సూచిస్తుంది. వి. Xమరియు X 2,పారామితులతో ఘాతాంక చట్టాల ప్రకారం పంపిణీ చేయబడింది Xమరియు X 2.పంపిణీ చట్టాన్ని కనుగొనడం అవసరం c. వి. U-సాంకేతిక యూనిట్ యొక్క ఆపరేటింగ్ సమయం.
పరిష్కారం. అది స్పష్టంగా ఉంది
సూత్రాలను (9.6.4) ఉపయోగించి మనం కనుగొంటాము:
అనగా కనీసం రెండు స్వతంత్ర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్, X x మరియు X 2 పారామీటర్‌లతో ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ చట్టాల ప్రకారం పంపిణీ చేయబడుతుంది, X x పారామీటర్‌తో ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ చట్టాల ప్రకారం కూడా పంపిణీ చేయబడింది + X 2. ?
సమస్య 2. కనిష్ట పంపిణీ చట్టం పిస్వతంత్ర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్. వ్యవస్థ ఇచ్చారు పిస్వతంత్ర గ్రామాలు వి. (X x, X 2, ..., X p) p.r తో .f (x x),f 2 (x 2), ..., f n (x n) f ను కనుగొనండి. ఆర్. మరియు సాంద్రత c. వి. Y=నిమి (X X,.... X p).
పరిష్కారం. ఎ-ప్రియరీ
ఉదాహరణ 2. మేము స్వయంచాలక సిస్టమ్ (AS) యొక్క ఆపరేషన్‌ను పరిశీలిస్తాము పిఉపవ్యవస్థలు స్పీకర్లు పనిచేయాలంటే అందరూ పని చేయాలి పిఉపవ్యవస్థలు; /వ ఉపవ్యవస్థ యొక్క సమయము 7} పరామితితో ఘాతాంక చట్టం ప్రకారం పంపిణీ చేయబడింది (/ = 1, 2, పి)మరియు ఇతర ఉపవ్యవస్థల నిర్వహణ సమయంపై ఆధారపడి ఉండదు. AS యొక్క వైఫల్యం లేని ఆపరేషన్ యొక్క సమయ పంపిణీ D i) యొక్క చట్టాన్ని నిర్ణయించండి.
పరిష్కారం. అది స్పష్టంగా ఉంది
ఫార్ములా (9.6.6) ఉపయోగించి మేము r.v పంపిణీ ఫంక్షన్‌ను కనుగొంటాము. D l)
అందువలన, పంపిణీ చట్టం c. వి. - కనీస పిస్వతంత్ర గ్రామాలు c., ఘాతాంక చట్టాల ప్రకారం పంపిణీ చేయబడింది, ఇది కూడా ఘాతాంకం; అయితే దాని పరామితి i)S n))ఈ ఘాతాంక పంపిణీల పారామితుల మొత్తానికి సమానం. ఇది దాన్ని అనుసరిస్తుంది
ఇది పంపిణీ చట్టం c అని చూపవచ్చు. వి. D i) తగినంత పెద్దగా ఉన్నప్పుడు పిలు కూడా ఘాతాంక చట్టానికి కలుస్తాయి. వి. 7) (/= 1, 2, ..., పి)ఘాతాంక చట్టాల ప్రకారం పంపిణీ చేయబడవు. సమాన ఏకరీతిలో పంపిణీ చేయబడిన s యొక్క ఉదాహరణను ఉపయోగించి దీనిని ప్రదర్శిస్తాము. వి.:
ఈ విషయంలో
మరియు ఇది f. ఆర్. ప్రదర్శన చట్టం.
అందువలన, ఇంజనీరింగ్ అప్లికేషన్లలో విస్తృతంగా ఉపయోగించబడే ముగింపును మనం తీసుకోవచ్చు: ఏదైనా పరికరం తగినంత పెద్ద సంఖ్యలో మూలకాలను కలిగి ఉంటే n, దాని ఆపరేషన్ పరికరం యొక్క ఆపరేషన్‌కు ఖచ్చితంగా అవసరం, అప్పుడు సమయం పంపిణీ చట్టం F p) పరికరం యొక్క వైఫల్యం-రహిత ఆపరేషన్ పరామితితో ఘాతాంకానికి దగ్గరగా ఉంటుంది, సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది
ఎక్కడ M [ Tj- i-వ మూలకం యొక్క సగటు వైఫల్యం లేని ఆపరేషన్ సమయం.
అటువంటి పరికరం యొక్క వైఫల్య ప్రవాహం పరామితితో పాయిసన్‌కు దగ్గరగా ఉంటుంది )ఎస్ ఎన్ ?
సమస్య 3. గరిష్టంగా రెండు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ పంపిణీ చట్టం. నిరంతర వ్యవస్థ ఇవ్వబడుతుంది. వి. (ఉ X 2)సాంద్రతతో/(పౌండ్లు x 2). r.v పంపిణీ చట్టాన్ని కనుగొనడం అవసరం.
పరిష్కారం. ఎ-ప్రియరీ,
ఎక్కడ F(x x, x 2) - సిస్టమ్ డిస్ట్రిబ్యూషన్ ఫంక్షన్ (X మరియు X 2).
మేము ఇంతకు ముందు చేసినట్లుగా ఈ వ్యక్తీకరణను వేరు చేస్తే, మనకు లభిస్తుంది:
యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ అయితే X మరియు X2 అప్పుడు సమానంగా పంపిణీ చేయబడతాయి
యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ అయితే X x 2 అప్పుడు స్వతంత్రంగా ఉంటాయి
యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ అయితే X x 2 స్వతంత్ర మరియు సమానంగా పంపిణీ, అప్పుడు
ఉదాహరణ 3. సాంకేతిక పరికరం యొక్క ఆపరేషన్ దాని రెండు బ్లాక్‌ల Bi మరియు B2 యొక్క అసెంబ్లీ పూర్తయ్యే ముందు ప్రారంభించబడదు. బ్లాక్స్ Bi మరియు B 2 యొక్క అసెంబ్లీ సమయం స్వతంత్ర s యొక్క వ్యవస్థ. వి. X xమరియు X 2,పారామితులతో ఘాతాంక చట్టాల ప్రకారం పంపిణీ చేయబడింది X xమరియు X 2. Y-రెండు టెక్నికల్ స్పెసిఫికేషన్ బ్లాక్‌ల అసెంబ్లీని పూర్తి చేసే సమయం.
పరిష్కారం. అది స్పష్టంగా ఉంది Y=గరిష్టంగా (X ъ X 2).పంపిణీ సాంద్రత c. వి. ^ఫార్ములా ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది (9.6.12)
ఈ చట్టం సూచిక కాదు. ?
సమస్య 4. గరిష్ట పంపిణీ చట్టం పిస్వతంత్ర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్. నిరంతర వ్యవస్థ ఇవ్వబడుతుంది. వి. (X x, X 2 , ..., X p)సాంద్రతతో f(x x, x 2,
యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ పంపిణీ చట్టాన్ని కనుగొనండి
పరిష్కారం. ఎ-ప్రియరీ
ఎక్కడ F(x 1, X 2 ,..., x p) -సిస్టమ్ పంపిణీ ఫంక్షన్ (X x, X 2, ..., X p).వేరు చేయడం ద్వారా, మేము పంపిణీ సాంద్రతను కనుగొంటాము:
ఎక్కడ Fj (Xj) - ఎఫ్. ఆర్. తో. వి. Xjfj(xj) - దాని సాంద్రత.
తో ఉంటే. వి. x బి ..., X pస్వతంత్ర మరియు సమానంగా పంపిణీ (Fi(y) = F(y);f (y) =f(y) (/"= 1,పి)), అది
యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ అయితే X మరియు ..., X pఅప్పుడు స్వతంత్రంగా ఉంటాయి
ఉదాహరణ 4. అందరి అసెంబ్లీకి ముందు సాంకేతిక పరికరాల పని ప్రారంభించబడదు పిదాని బ్లాక్‌లు: B b Bg, ..., B„. B b..., B l బ్లాక్‌ల అసెంబ్లీ సమయాలు వ్యవస్థను సూచిస్తాయి పిస్వతంత్ర గ్రామాలు వి. (హా..., X p), A.1,..., A, p పారామితులతో ఘాతాంక చట్టాల ప్రకారం పంపిణీ చేయబడింది.
మేము సాంద్రత c ను కనుగొనాలి. వి. U-అన్ని అసెంబ్లీకి పూర్తి సమయం పి TU బ్లాక్‌లు.
పరిష్కారం. స్పష్టంగా y = గరిష్టంగా (X,..., X p).ఫార్ములా (9.6.16) ప్రకారం మనకు ఉంది 
సమస్య 5. ఆర్డర్ గణాంకాల పంపిణీ చట్టం. ఒకేలా పంపిణీ చేయబడిన, స్వతంత్ర s యొక్క నిరంతర వ్యవస్థను పరిశీలిద్దాం. వి. (X v X 2, ..., X p) f తో. ఆర్. F(x)మరియు p.r./(x). యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ ద్వారా ఊహించిన విలువలను ఏర్పాటు చేద్దాం X v X 2, ..., X p,ఆరోహణ క్రమంలో మరియు సూచించండి:
X (1) అనేది యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్, ఇది చిన్న విలువలను తీసుకుంటుంది: (X (1) = నిమి (X v X 2, ..., X p));
X(2) -యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క రెండవ అతిపెద్ద ఆమోదించబడిన విలువ X v X 2, ..., X p;
X(T) - y-iయాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ నుండి ఆమోదించబడిన విలువ యొక్క పరిమాణం ద్వారా X x, X 2, ..., X p;
X(P) -ఆమోదించబడిన విలువ ప్రకారం అతిపెద్ద యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ X, X 2, x„ (X (n) =షా (X మరియు X 2, ..., X p)).
స్పష్టంగా,
యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ X(i), X@),..., X(")అంటారు సాధారణ గణాంకాలు.
సూత్రాలు (9.6.8) మరియు (9.6.17) విపరీతమైన నిబంధనల పంపిణీ చట్టాలను అందిస్తాయి X(i),మరియు X(")వ్యవస్థలు (*).
పంపిణీ ఫంక్షన్‌ను కనుగొనండి F^ m)(x)లు. వి. X^t yఈవెంట్ (X^x) అంటే టితో. వి. వ్యవస్థ నుండి పితో. వి. (X (, X 2 ,..., X n) x కంటే తక్కువగా ఉంటుంది మరియు (p - t)తో. వి. x కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది. ల నుండి. వి. X t (/" = 1, 2,..., పి)స్వతంత్రంగా మరియు ఒకేలా పంపిణీ చేయబడతాయి, తర్వాత P (X t x) = F(x)ఆర్ (Xj > x) = 1 - F(x)మేము సంభావ్యతను కనుగొనాలి పిస్వతంత్ర ప్రయోగాల సంఘటన (Xj x) ఖచ్చితంగా కనిపిస్తుంది టిఒకసారి. ద్విపద పంపిణీని వర్తింపజేస్తే, మేము పొందుతాము
రెండు మెషీన్లలో మార్పు సమయంలో ఉత్పత్తి చేయబడిన లోపభూయిష్ట భాగాల సంఖ్య కోసం పంపిణీ చట్టాన్ని రూపొందించండి మరియు ఈ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత అంచనా మరియు ప్రామాణిక విచలనాన్ని లెక్కించండి.
192. వాచ్‌కి అదనపు సర్దుబాటు అవసరమయ్యే సంభావ్యత 0.2. యాదృచ్ఛికంగా ఎంచుకున్న మూడు గడియారాలలో అదనపు సర్దుబాటు అవసరమయ్యే వాచీల సంఖ్య పంపిణీ కోసం ఒక చట్టాన్ని రూపొందించండి. ఫలిత పంపిణీ చట్టాన్ని ఉపయోగించి, ఈ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత అంచనా మరియు వ్యత్యాసాన్ని కనుగొనండి. ద్విపద చట్టం ప్రకారం పంపిణీ చేయబడిన యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత అంచనా మరియు వ్యాప్తికి తగిన సూత్రాలను ఉపయోగించి ఫలితాన్ని తనిఖీ చేయండి.
193. అందుబాటులో ఉన్న ఆరు లాటరీ టిక్కెట్ల నుండి, వాటిలో నాలుగు నాన్-విన్నింగ్, ఒక టికెట్ గెలిచిన టికెట్ ఎదురయ్యే వరకు యాదృచ్ఛికంగా డ్రా చేయబడుతుంది. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ X కోసం పంపిణీ చట్టాన్ని రూపొందించండి - తీసిన ప్రతి టిక్కెట్ తిరిగి రాకపోతే, తీసిన టిక్కెట్ల సంఖ్య. ఈ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత అంచనా మరియు ప్రామాణిక విచలనాన్ని కనుగొనండి.
194. ఒక విద్యార్థి నాలుగుసార్లకు మించి పరీక్ష రాయకూడదు. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ X కోసం పంపిణీ చట్టాన్ని రూపొందించండి - పరీక్షలో ఉత్తీర్ణత సాధించే ప్రయత్నాల సంఖ్య, ఉత్తీర్ణత సాధించే సంభావ్యత 0.75 అయితే, ఆపై ప్రతి తదుపరి ప్రయత్నంతో 0.1 పెరుగుతుంది. ఈ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క వైవిధ్యాన్ని కనుగొనండి.
195. రెండు స్వతంత్ర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ X మరియు Y పంపిణీ యొక్క చట్టాలు ఇవ్వబడ్డాయి:
| X | – 6 | వై | – 3 | – 1 | ||||
| పి | 0,3 | 0,45 | 0,25 | 0,75 | 0,25 |
యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ X–Y కోసం పంపిణీ చట్టాన్ని రూపొందించండి మరియు డిస్పర్షన్ ప్రాపర్టీని తనిఖీ చేయండి D(X–Y) = D(X) + D(Y).
196. వర్క్‌షాప్‌లో లభించే ఒకే రకమైన ఐదు గడియారాలలో, ఒకదానిలో మాత్రమే తప్పుగా అమర్చబడిన లోలకం ఉంది. మాస్టర్ యాదృచ్ఛికంగా ఎంచుకున్న వాచ్‌ని తనిఖీ చేస్తాడు. స్థానభ్రంశం చెందిన లోలకం ఉన్న గడియారాన్ని గుర్తించిన వెంటనే సమీక్ష ముగుస్తుంది (తనిఖీ చేసిన గడియారాలు మళ్లీ చూడబడవు). మాస్టర్ వీక్షించిన గంటల సంఖ్య కోసం పంపిణీ చట్టాన్ని రూపొందించండి మరియు ఈ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత అంచనా మరియు వ్యాప్తిని లెక్కించండి.
197. స్వతంత్ర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ X మరియు Y పంపిణీ చట్టాల ద్వారా పేర్కొనబడ్డాయి:
| X | వై | – 2 | ||||||
| పి | 0,1 | 0,3 | ? | 0,4 | 0,6 |
యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ X 2 + 2Y పంపిణీ నియమాన్ని గీయండి మరియు గణిత నిరీక్షణ యొక్క ఆస్తిని తనిఖీ చేయండి: M(X 2 + 2Y) = M(X 2) + 2M(Y).
198. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ X, x 1 = 1 మరియు x 2 = 2 అనే రెండు విలువలను తీసుకుంటే, 7/6కి సమానమైన గణిత నిరీక్షణను కలిగి ఉంటుంది. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ X దాని విలువలను తీసుకునే సంభావ్యతలను కనుగొనండి. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ 2 X 2 కోసం పంపిణీ చట్టాన్ని రూపొందించండి మరియు దాని వ్యత్యాసాన్ని కనుగొనండి.
199. రెండు స్వతంత్ర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ X మరియు Y పంపిణీ చట్టాల ద్వారా పేర్కొనబడ్డాయి:
P(X= 3) మరియు P(Y= 4)ని కనుగొనండి. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ X – 2Y పంపిణీ నియమాన్ని గీయండి మరియు గణిత అంచనా మరియు వ్యాప్తి యొక్క లక్షణాలను తనిఖీ చేయండి: M(X – 2Y) = M(X) – 2M(Y); D(X – 2Y) = D(X) + 4D(Y).
201-210 సమస్యలలో, సాధారణ చట్టం ప్రకారం పంపిణీ చేయబడిన యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ ఇవ్వబడ్డాయి
201. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ ξ సాధారణంగా పంపిణీ చేయబడుతుంది. P(0.ని కనుగొనండి< ξ<10), если Мξ= 10 и Р(10< ξ<20)= 0,3.
202. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ ξ సాధారణంగా పంపిణీ చేయబడుతుంది. P(35.)ని కనుగొనండి< ξ<40), если Мξ= 25 и Р(10< ξ<15)= 0,2.
203. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ ξ సాధారణంగా పంపిణీ చేయబడుతుంది. P(1.ని కనుగొనండి< ξ<3), если Мξ= 3 и Р(3< ξ<5)= 0,1915.
204. <σ).
205. సాధారణ చట్టం ప్రకారం పంపిణీ చేయబడిన యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ ξ కోసం, Р(|ξ–а|ని కనుగొనండి<2σ).
206. సాధారణ చట్టం ప్రకారం పంపిణీ చేయబడిన యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ ξ కోసం, Р(|ξ–а|ని కనుగొనండి<4σ).
207. స్వతంత్ర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ ξ మరియు η సాధారణంగా పంపిణీ చేయబడతాయి,
Мξ= –1; Dξ= 2; Мη= 5; Dη= 7. సంభావ్యత సాంద్రత మరియు వాటి మొత్తం పంపిణీ ఫంక్షన్‌ను వ్రాయండి. కనుగొను Р(ξ+η<5) и Р(–1< ξ+η<3).
208. స్వతంత్ర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ ξ, η, ζ సాధారణ చట్టం ప్రకారం పంపిణీ చేయబడతాయి మరియు Мξ= 3; Dξ= 4; Мη= –2; Dη= 0.04; Мζ= 1; Dζ= 0.09. వాటి మొత్తానికి సంభావ్యత సాంద్రత మరియు పంపిణీ ఫంక్షన్‌ను వ్రాయండి. కనుగొను Р(ξ+η+ζ<5) и Р(–1< ξ+η+ζ<3).
209. స్వతంత్ర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ ξ, η, ζ సాధారణంగా పంపిణీ చేయబడతాయి మరియు Мξ= –1; Dξ= 9; Мη= 2; Dη= 4; Мζ= –3; Dζ= 0.64. వాటి మొత్తానికి సంభావ్యత సాంద్రత మరియు పంపిణీ ఫంక్షన్‌ను వ్రాయండి. కనుగొను Р(ξ+η+ζ<0) и
Р(–3< ξ+η+ζ<0).
210. ఆటోమేటిక్ యంత్రం రోలర్లను ఉత్పత్తి చేస్తుంది, వాటి వ్యాసాలను నియంత్రిస్తుంది ξ. ξ సాధారణంగా పంపిణీ చేయబడిందని మరియు a = 10 mm, σ = 0.1 mm అని ఊహిస్తూ, తయారు చేయబడిన రోలర్‌ల యొక్క వ్యాసాలు 0.9973 సంభావ్యతతో ఉండే విరామాన్ని కనుగొనండి.
211–220 సమస్యలలో, వాల్యూమ్ n = 100 యొక్క నమూనా X పట్టిక ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది:
| x i | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 | x 6 | x 7 |
| n i | 20+(a+b) | 30–(a+b) |
ఇక్కడ కొలత ఫలితాలు x i = 0.2·a +(i –1)·0.3·b; n i – విలువలు x i సంభవించే పౌనఃపున్యాలు.
1) సాపేక్ష పౌనఃపున్యాల యొక్క బహుభుజిని నిర్మించడం w i =n i /n;
2) నమూనా సగటు, నమూనా వ్యత్యాసం D B మరియు ప్రామాణిక విచలనం σ Bని లెక్కించండి;
3) సైద్ధాంతిక పౌనఃపున్యాలను లెక్కించండి. బహుభుజి వలె అదే డ్రాయింగ్‌పై గ్రాఫ్‌ను నిర్మించండి;
4) χ 2 ప్రమాణాన్ని ఉపయోగించి, జనాభా యొక్క సాధారణ పంపిణీ గురించి α = 0.05 యొక్క ప్రాముఖ్యత స్థాయిలో పరికల్పనను పరీక్షించండి.
211. a = 4; b = 3; 212 . a = 3; b = 2; 213. a = 5; b = 1; 214. a = 1; b = 4;
215. a = 3; b = 5; 216. a=2; b = 3; 217. a = 4; b = 1; 218. a = 2; b = 5; 219. a = 1; b = 2; 220. a = 5; b = 4.
సమస్యలు 221–230లో, n = 100 వాల్యూమ్‌తో X మరియు Y లక్షణాల ఉమ్మడి కొలతల ఫలితాల యొక్క ద్విమితీయ నమూనా సహసంబంధ పట్టిక ద్వారా పేర్కొనబడింది:
| X Y | y 1 | y 2 | y 3 | y 4 | y 5 | n xi |
| x 1 | – | – | – | |||
| x 2 | – | – | ||||
| x 3 | – | 8+ఎ | 12+బి | – | – | 20+(a+b) |
| x 4 | – | – | 16–ఎ | 14-బి | – | 30–(a+b) |
| x 5 | – | – | – | |||
| x 6 | – | – | ||||
| x 7 | – | – | – | |||
| ఎన్ యి | 19+ఎ | 42+b–a | 31-బి | n = 100 |
ఇక్కడ x i = 0.2·a +(i –1)·0.3·b; y i = 0.5·a +(j – 1)·0.2·b.
1) వెతుకుము మరియు σ y. మునుపటి సమస్య నుండి మరియు σ x విలువలను తీసుకోండి.
2) సహసంబంధ గుణకం r Bని లెక్కించండి. X మరియు Y లక్షణాల మధ్య సంబంధం యొక్క స్వభావం గురించి ఒక తీర్మానాన్ని గీయండి.
3) రూపంలో Xపై Y యొక్క రిగ్రెషన్ యొక్క సరళ రేఖ సమీకరణాన్ని రూపొందించండి.
4) గ్రాఫ్‌పై సహసంబంధ క్షేత్రాన్ని గీయండి, అనగా. పాయింట్లను ప్లాట్ చేయండి (xi, yi) మరియు సరళ రేఖను నిర్మించండి.
221. a = 4; b = 3; 222. a = 3; b = 2; 223. a = 5; b = 1;
224. a = 1; b = 4; 225. a = 3; b = 5; 226. a = 2; b = 3;
227. a = 4; b = 1; 228. a = 2; b = 5; 229. a = 1; b = 2
230. a = 5; b = 4
231–240 సమస్యలలో, ఫంక్షన్ యొక్క గరిష్ట విలువను కనుగొనండి 
పరిస్థితులలో 
.
పట్టిక నుండి విలువలను తీసుకోండి
| ఎంపికలు | ఎంపికలు | |||||||||
| A 1 | ||||||||||
| A 2 | ||||||||||
| A 3 | ||||||||||
| B 1 | ||||||||||
| బి 2 | ||||||||||
| బి 3 | ||||||||||
| T 1 | ||||||||||
| T 2 | ||||||||||
| T 3 | ||||||||||
| సి 1 | ||||||||||
| సి 2 |
అవసరం:
1) గ్రాఫికల్ పద్ధతిని ఉపయోగించి లీనియర్ ప్రోగ్రామింగ్ సమస్యను పరిష్కరించండి;
2) టేబుల్ సింప్లెక్స్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సమస్యను పరిష్కరించండి;
3) సహాయక పరిష్కారాలు మరియు సాధ్యమయ్యే పరిష్కారాల ప్రాంతం యొక్క శీర్షాల మధ్య అనురూపాన్ని చూపండి;
241–250 సమస్యలలో, ముగ్గురు సరఫరాదారుల మధ్య కేంద్రీకృతమై ఉన్న కొంత సజాతీయ కార్గో A i () ఐదుగురు వినియోగదారులకు B j () పంపిణీ చేయాలి. సరఫరాదారుల కార్గో ఇన్వెంటరీలు a i మరియు వినియోగదారుల అవసరాలు b j , అలాగే i-th సరఫరాదారు నుండి j-th వినియోగదారు C ij వరకు ఒక యూనిట్ కార్గోను రవాణా చేయడానికి అయ్యే ఖర్చు పట్టికలో ఇవ్వబడింది.
| సరఫరాదారులు | వినియోగదారులు | నిల్వలు | ||||
| B 1 | బి 2 | బి 3 | B 4 | B 5 | ||
| A 1 | 11 నుండి | 12 నుండి | 13 నుండి | 14 నుండి | 15 నుండి | a 1 |
| A 2 | 21 నుండి | 22 నుండి | 23 నుండి | 24 నుండి | 25 నుండి | ఒక 2 |
| A 3 | సి 31 | సి 32 | సి 33 | సి 34 | 35 నుండి | a 3 |
| అవసరాలు | బి 1 | బి 2 | బి 3 | బి 4 | బి 5 |
నిర్ణయించడం అవసరంఅన్ని సరుకులను సరఫరాదారుల నుండి తీసివేయడానికి మరియు ఈ ప్లాన్‌కు కనీస ధర ఉండే విధంగా వినియోగదారులందరి అవసరాలను తీర్చడానికి అనుమతించే సరైన రవాణా ప్రణాళిక. "వాయువ్య" కోణం పద్ధతిని ఉపయోగించి మొదటి మద్దతు ప్రణాళికను కనుగొనండి. సంభావ్య పద్ధతిని ఉపయోగించి సరైన ప్రణాళికను కనుగొనండి. ప్రతి ప్లాన్ కోసం షిప్పింగ్ ఖర్చులను లెక్కించండి.
| ఎంపికలు | ఎంపికలు | |||||||||
| a 1 | ||||||||||
| ఒక 2 | ||||||||||
| a 3 | ||||||||||
| బి 1 | ||||||||||
| బి 2 | ||||||||||
| బి 3 | ||||||||||
| బి 4 | ||||||||||
| బి 5 | ||||||||||
| 11 నుండి | ||||||||||
| 12 నుండి | ||||||||||
| 13 నుండి | ||||||||||
| 14 నుండి | ||||||||||
| 15 నుండి | ||||||||||
| 21 నుండి | ||||||||||
| 22 నుండి | ||||||||||
| 23 నుండి | ||||||||||
| 24 నుండి | ||||||||||
| 25 నుండి | ||||||||||
| సి 31 | ||||||||||
| సి 32 | ||||||||||
| సి 33 | ||||||||||
| సి 34 | ||||||||||
| 35 నుండి |
పనులు 251-260లో, పరిశ్రమ నాలుగు వస్తువులలో మూలధన పెట్టుబడులను చేస్తుంది.సహకారం మరియు స్థానిక పరిస్థితుల యొక్క లక్షణాలను పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, పరిశ్రమ యొక్క లాభం, ఫైనాన్సింగ్ మొత్తాన్ని బట్టి, చెల్లింపు మాతృక యొక్క మూలకాల ద్వారా వ్యక్తీకరించబడుతుంది. సమస్యను సులభతరం చేయడానికి, పరిశ్రమ నష్టం పరిశ్రమ లాభంతో సమానంగా ఉంటుందని భావించండి. సరైన పరిశ్రమ వ్యూహాలను కనుగొనండి. అవసరం:
1) టేబుల్‌లోని ప్రారంభ డేటాను సంగ్రహించి, మ్యాట్రిక్స్ గేమ్ ఉనికిలో ఉన్నట్లయితే, మ్యాట్రిక్స్ గేమ్‌కు పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి (లేకపోతే, తదుపరి దశ 2 చూడండి);
2) చెల్లింపు మాతృకను సులభతరం చేయండి;
3) ఇచ్చిన మ్యాట్రిక్స్ గేమ్‌కు సమానమైన పరస్పర ద్వంద్వ సమస్యలను సృష్టించడం;
4) సింప్లెక్స్ పద్ధతిని ఉపయోగించి ప్రత్యక్ష సమస్యకు (పరిశ్రమ B కోసం) సరైన పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి;
5) వేరియబుల్స్ యొక్క అనురూపాన్ని ఉపయోగించి, ద్వంద్వ సమస్యకు సరైన పరిష్కారాన్ని వ్రాయండి (పరిశ్రమ A కోసం);
6) ఈ పరిష్కారం యొక్క రేఖాగణిత వివరణను ఇవ్వండి (పరిశ్రమ A కోసం);
7) ద్వంద్వ సమస్యలకు సరైన పరిష్కారాల మధ్య సంబంధాన్ని ఉపయోగించడం, సరైన వ్యూహాలు మరియు ఆట ఖర్చు, మిశ్రమ వ్యూహాలలో ఆటకు పరిష్కారాన్ని కనుగొనడం;
ఎంపిక 1 ఎంపిక 2 ఎంపిక 3
1. విశ్లేషణాత్మక జ్యామితి మరియు వెక్టార్ బీజగణితం.................. 4
2. సరళ సమీకరణాలు మరియు సంక్లిష్ట సంఖ్యల వ్యవస్థలు.................. 5
3. ప్లాటింగ్ ఫంక్షన్ గ్రాఫ్‌లు, పరిమితులను లెక్కించడం
మరియు ఫంక్షన్ల బ్రేక్‌పాయింట్‌లను గుర్తించడం............................................ 6
4. ఫంక్షన్ల ఉత్పన్నాలు, గొప్ప మరియు తక్కువ విలువలు
విభాగంలో.................................................................................. 9
5. ఫంక్షన్ల పరిశోధన మరియు గ్రాఫ్‌ల నిర్మాణం,
అనేక వేరియబుల్స్ యొక్క విధులు, కనీసం చతురస్రాల పద్ధతి..… 11
6. నిరవధిక, ఖచ్చితమైన మరియు సరికాని సమగ్రత..... 12
7. అవకలన సమీకరణాలు మరియు వ్యవస్థలను పరిష్కరించడం
అవకలన సమీకరణాలు……………………………………………… 14
8. మల్టిపుల్ మరియు కర్విలినియర్ ఇంటిగ్రల్స్ ……………………………… 15
9. సంఖ్యా మరియు శక్తి శ్రేణుల అధ్యయనం, సుమారుగా
అవకలన సమీకరణాలకు పరిష్కారాలు……………………………… 17
10. సంభావ్యత సిద్ధాంతం………………………………………………………… 18
పీటర్ అలెక్సీవిచ్ బురోవ్
అనటోలీ నికోలెవిచ్ మురవియోవ్
పనుల సేకరణ
©2015-2019 సైట్
అన్ని హక్కులు వాటి రచయితలకే చెందుతాయి. ఈ సైట్ రచయిత హక్కును క్లెయిమ్ చేయదు, కానీ ఉచిత వినియోగాన్ని అందిస్తుంది.
పేజీ సృష్టి తేదీ: 2017-12-07
రెండు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ $X$ మరియు $Y$ ఒక యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క పంపిణీ చట్టం ఇతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ తీసుకునే సాధ్యం విలువలను బట్టి మారకపోతే స్వతంత్రంగా పిలువబడతాయి. అంటే, ఏదైనా $x$ మరియు $y$ ఈవెంట్‌లు $X=x$ మరియు $Y=y$ స్వతంత్రంగా ఉంటాయి. $X=x$ మరియు $Y=y$ ఈవెంట్‌లు స్వతంత్రంగా ఉన్నందున, స్వతంత్ర ఈవెంట్‌ల సంభావ్యత యొక్క సిద్ధాంతం ద్వారా $P\left(\left(X=x\right)\left(Y=y\ కుడి)\కుడి)=P \left(X=x\right)P\left(Y=y\right)$.
ఉదాహరణ 1 . యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ $X$ ఒక లాటరీ "రష్యన్ లోట్టో" టిక్కెట్ల నుండి నగదు విజయాలను వ్యక్తపరచనివ్వండి మరియు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ $Y$ మరొక లాటరీ "గోల్డెన్ కీ" టిక్కెట్ల నుండి నగదు విజయాలను వ్యక్తపరుస్తుంది. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ $X,\Y$ స్వతంత్రంగా ఉంటాయని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది, ఎందుకంటే ఒక లాటరీ టిక్కెట్ల నుండి వచ్చే విజయాలు మరొక లాటరీ టిక్కెట్ల నుండి విజయాల పంపిణీ చట్టంపై ఆధారపడి ఉండవు. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ $X,\Y$ అదే లాటరీ యొక్క విజయాలను వ్యక్తపరిచే సందర్భంలో, స్పష్టంగా, ఈ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ ఆధారపడి ఉంటాయి.
ఉదాహరణ 2 . ఇద్దరు కార్మికులు వేర్వేరు వర్క్‌షాప్‌లలో పని చేస్తారు మరియు తయారీ సాంకేతికతలు మరియు ఉపయోగించిన ముడి పదార్థాల ద్వారా ఒకదానికొకటి సంబంధం లేని వివిధ ఉత్పత్తులను ఉత్పత్తి చేస్తారు. ప్రతి షిఫ్ట్‌కు మొదటి కార్మికుడు తయారు చేసిన లోపభూయిష్ట ఉత్పత్తుల సంఖ్యకు పంపిణీ చట్టం క్రింది రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
\ లోపభూయిష్ట \ ఉత్పత్తుల సంఖ్య \ x & 0 & 1 \\
\hline
సంభావ్యత & 0.8 & 0.2 \\
\hline
\end(శ్రేణి)$
ప్రతి షిఫ్ట్‌కు రెండవ కార్మికుడు ఉత్పత్తి చేసే లోపభూయిష్ట ఉత్పత్తుల సంఖ్య క్రింది పంపిణీ చట్టానికి లోబడి ఉంటుంది.
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
\ లోపభూయిష్ట \ ఉత్పత్తుల సంఖ్య \ y & 0 & 1 \\
\hline
సంభావ్యత & 0.7 & 0.3 \\
\hline
\end(శ్రేణి)$
ప్రతి షిఫ్ట్‌కి ఇద్దరు కార్మికులు ఉత్పత్తి చేసే లోపభూయిష్ట ఉత్పత్తుల సంఖ్య కోసం పంపిణీ చట్టాన్ని కనుగొనండి.
యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ $X$ ప్రతి షిఫ్ట్‌కు మొదటి వర్కర్ ఉత్పత్తి చేసిన లోపభూయిష్ట ఉత్పత్తుల సంఖ్య మరియు ప్రతి షిఫ్ట్‌కు రెండవ కార్మికుడు ఉత్పత్తి చేసే లోపభూయిష్ట ఉత్పత్తుల సంఖ్య $Y$. షరతు ప్రకారం, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ $X,\Y$ స్వతంత్రంగా ఉంటాయి.
ప్రతి షిఫ్ట్‌కు ఇద్దరు కార్మికులు ఉత్పత్తి చేసే లోపభూయిష్ట ఉత్పత్తుల సంఖ్య యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ $X+Y$. దీని సాధ్యమయ్యే విలువలు $0,\ 1$ మరియు $2$. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ $X+Y$ దాని విలువలను తీసుకునే సంభావ్యతలను కనుగొనండి.
$P\left(X+Y=0\right)=P\left(X=0,\ Y=0\right)=P\left(X=0\right)P\left(Y=0\right) =0.8\cdot 0.7=0.56.$
$P\left(X+Y=1\right)=P\left(X=0,\ Y=1\ or\ X=1,\ Y=0\right)=P\left(X=0\right) )P\left(Y=1\right)+P\left(X=1\right)P\left(Y=0\right)=0.8\cdot 0.3+0.2\cdot 0.7 =0.38.$
$P\left(X+Y=2\right)=P\left(X=1,\ Y=1\right)=P\left(X=1\right)P\left(Y=1\right) =0.2\cdot 0.3=0.06.$
ప్రతి షిఫ్ట్‌కు ఇద్దరు కార్మికులు తయారు చేసిన లోపభూయిష్ట ఉత్పత్తుల సంఖ్య పంపిణీ చట్టం:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
\\ లోపభూయిష్ట \ ఉత్పత్తుల సంఖ్య & 0 & 1 & 2 \\
\hline
సంభావ్యత & 0.56 & 0.38 & 0.06 \\
\hline
\end(శ్రేణి)$
మునుపటి ఉదాహరణలో, మేము $X,\Y$ అనే యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్‌పై ఆపరేషన్ చేసాము, అవి వాటి మొత్తం $X+Y$ని మేము కనుగొన్నాము. ఇప్పుడు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్‌పై ఆపరేషన్‌ల (అదనపు, వ్యత్యాసం, గుణకారం) మరింత కఠినమైన నిర్వచనాన్ని ఇద్దాం మరియు పరిష్కారాల ఉదాహరణలను ఇద్దాం.
నిర్వచనం 1. స్థిరమైన వేరియబుల్ $k$ ద్వారా యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ $X$ యొక్క $kX$ ఉత్పత్తి $kx_i$ అదే సంభావ్యతలతో $p_i$ $\left(i=1,\ 2,\) విలువలను తీసుకునే యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్. \చుక్కలు ,\ n\ కుడివైపు)$.
నిర్వచనం 2. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ $X$ మరియు $Y$ మొత్తం (తేడా లేదా ఉత్పత్తి) $x_i+y_j$ ($x_i-y_i$ లేదా $x_i\cdot y_i$) రూపంలోని అన్ని సాధ్యమైన విలువలను తీసుకునే యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్. , ఇక్కడ $i=1 ,\ 2,\చుక్కలు ,\ n$, సంభావ్యతతో $p_(ij)$ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ $X$ విలువ $x_i$ మరియు $Y$ విలువ $y_j$ తీసుకుంటుంది:
$$p_(ij)=P\left[\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right].$$
యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ $X,\Y$ స్వతంత్రంగా ఉన్నందున, స్వతంత్ర సంఘటనల సంభావ్యత గుణకార సిద్ధాంతం ప్రకారం: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ కుడి)= p_i\cdot p_j$.
ఉదాహరణ 3 . స్వతంత్ర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ $X,\ Y$ వాటి సంభావ్యత పంపిణీ చట్టాల ద్వారా పేర్కొనబడ్డాయి.
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
x_i & -8 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0.4 & 0.1 & 0.5 \\
\hline
\end(శ్రేణి)$
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0.3 & 0.7 \\
\hline
\end(శ్రేణి)$
యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ $Z=2X+Y$ పంపిణీ చట్టాన్ని రూపొందిద్దాం. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ $X$ మరియు $Y$ మొత్తం, అంటే $X+Y$, $i=1,\ 2 రూపంలో $x_i+y_j$ రూపంలో సాధ్యమయ్యే అన్ని విలువలను తీసుకునే యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్. ,\చుక్కలు ,\ n$ , సంభావ్యతతో $p_(ij)$ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ $X$ విలువ $x_i$ని తీసుకుంటుంది మరియు $Y$ విలువ $y_j$: $p_(ij)=P\ఎడమవైపు [\left(X=x_i\right )\left(Y=y_j\right)\right]$. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ $X,\Y$ స్వతంత్రంగా ఉన్నందున, స్వతంత్ర సంఘటనల సంభావ్యత గుణకార సిద్ధాంతం ప్రకారం: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ కుడి)= p_i\cdot p_j$.
కాబట్టి, ఇది వరుసగా $2X$ మరియు $Y$ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ కోసం పంపిణీ చట్టాలను కలిగి ఉంది.
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
x_i & -16 & 4 & 6 \\
\hline
p_i & 0.4 & 0.1 & 0.5 \\
\hline
\end(శ్రేణి)$
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0.3 & 0.7 \\
\hline
\end(శ్రేణి)$
మొత్తం $Z=2X+Y$ మరియు వాటి సంభావ్యత యొక్క అన్ని విలువలను కనుగొనే సౌలభ్యం కోసం, మేము సహాయక పట్టికను కంపోజ్ చేస్తాము, దానిలోని ప్రతి సెల్‌లో మేము $ మొత్తం విలువలను ఎడమ మూలలో ఉంచుతాము. Z=2X+Y$, మరియు కుడి మూలలో - యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ $2X$ మరియు $Y$ యొక్క సంబంధిత విలువల సంభావ్యతలను గుణించడం ఫలితంగా ఈ విలువల సంభావ్యతలు పొందబడతాయి.
ఫలితంగా, మేము $Z=2X+Y$ పంపిణీని పొందుతాము:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
z_i & -14 & -8 & 6 & 12 & 10 & 16 \\
\hline
p_i & 0.12 & 0.28 & 0.03 & 0.07 & 0.15 & 0.35 \\
\hline
\end(శ్రేణి)$