వెక్టర్‌లకు లంబంగా ఉండే వెక్టర్‌ను కనుగొనండి. వెక్టర్‌కు లంబంగా వెక్టార్‌ను ఎలా కనుగొనాలి

సూచనలు

అసలు వెక్టర్ దీర్ఘచతురస్రాకార ద్విమితీయ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో డ్రాయింగ్‌లో చిత్రీకరించబడి ఉంటే మరియు అక్కడ లంబంగా నిర్మించాల్సిన అవసరం ఉంటే, విమానంలో వెక్టర్స్ లంబంగా నిర్వచించడాన్ని కొనసాగించండి. అటువంటి జంట దర్శకత్వం వహించిన విభాగాల మధ్య కోణం తప్పనిసరిగా 90°కి సమానంగా ఉండాలి అని పేర్కొంది. అటువంటి వెక్టర్స్ యొక్క అనంతమైన సంఖ్యను నిర్మించవచ్చు. అందువల్ల, విమానంలో ఏదైనా అనుకూలమైన ప్రదేశంలో అసలైన వెక్టార్‌కు లంబంగా గీయండి, దానిపై ఆర్డర్ చేయబడిన జత పాయింట్ల పొడవుకు సమానమైన విభాగాన్ని వేయండి మరియు లంబ వెక్టార్ ప్రారంభంలో దాని చివరల్లో ఒకదానిని కేటాయించండి. ప్రొట్రాక్టర్ మరియు రూలర్ ఉపయోగించి దీన్ని చేయండి.

అసలైన వెక్టార్ రెండు డైమెన్షనల్ కోఆర్డినేట్‌ల ద్వారా ఇవ్వబడినట్లయితే ā = (X₁;Y₁), లంబ వెక్టార్‌ల జత యొక్క స్కేలార్ ఉత్పత్తి తప్పనిసరిగా సున్నాకి సమానంగా ఉండాలి. అంటే మీరు కోరుకున్న వెక్టార్ ō = (X₂,Y₂) సమానత్వం (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0 కలిగి ఉండే కోఆర్డినేట్‌ల కోసం ఎంచుకోవాలి. ఇది ఇలా చేయవచ్చు: ఏదైనా ఎంచుకోండి X₂ కోఆర్డినేట్ కోసం సున్నా కాని విలువ, మరియు Y₂ = -(X₁*X₂)/Y₁ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి Y₂ కోఆర్డినేట్‌ను లెక్కించండి. ఉదాహరణకు, వెక్టర్ ā = (15;5) కోసం వెక్టార్ ō ఉంటుంది, అబ్సిస్సా ఒకదానికి సమానం మరియు ఆర్డినేట్ -(15*1)/5 = -3కి సమానం, అనగా. ō = (1;-3).

త్రిమితీయ మరియు ఏదైనా ఇతర ఆర్తోగోనల్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ కోసం, వెక్టర్స్ లంబంగా ఉండటానికి అదే అవసరమైన మరియు తగినంత పరిస్థితి నిజం - వాటి స్కేలార్ ఉత్పత్తి సున్నాకి సమానంగా ఉండాలి. కాబట్టి, ప్రారంభ నిర్దేశిత విభాగం ā = (X₁,Y₁,Z₁) కోఆర్డినేట్‌ల ద్వారా అందించబడితే, షరతును (ā,ō) సంతృప్తిపరిచే అటువంటి కోఆర్డినేట్‌లకు లంబంగా ō = (X₂,Y₂,Z₂) ఆర్డర్ చేసిన జత పాయింట్ల కోసం ఎంచుకోండి ) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂ = 0. సులభమయిన మార్గం X₂ మరియు Y₂కి ఒకే విలువలను కేటాయించడం మరియు Z₂ని సరళీకృత సమానత్వం నుండి Z₂ = -1*(X₁*1 + Y₁ 1)/Z₁ = -(X₁+Y₁)/ Z₁. ఉదాహరణకు, వెక్టార్ ā = (3,5,4) కోసం ఇది క్రింది రూపాన్ని తీసుకుంటుంది: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0. ఆపై abscissa మరియు ఆర్డినేట్‌ను తీసుకోండి లంబ వెక్టార్ ఒకటిగా ఉంటుంది మరియు ఈ సందర్భంలో అది -(3+5)/4 = -2కి సమానంగా ఉంటుంది.

మూలాలు:

• వెక్టర్ లంబంగా ఉంటే దానిని కనుగొనండి

వాటిని లంబంగా పిలుస్తారు వెక్టర్, దీని మధ్య కోణం 90º. లంబ వెక్టర్స్ డ్రాయింగ్ టూల్స్ ఉపయోగించి నిర్మించబడ్డాయి. వాటి కోఆర్డినేట్‌లు తెలిసినట్లయితే, వెక్టర్స్ లంబంగా తనిఖీ చేయవచ్చు లేదా విశ్లేషణ పద్ధతులను ఉపయోగించి కనుగొనవచ్చు.

నీకు అవసరం అవుతుంది

• - ప్రొట్రాక్టర్;
• - దిక్సూచి;
• - పాలకుడు.

సూచనలు

ఇచ్చిన దానికి లంబంగా వెక్టార్‌ను నిర్మించండి. దీన్ని చేయడానికి, వెక్టర్ ప్రారంభంలో ఉన్న పాయింట్ వద్ద, దానికి లంబంగా పునరుద్ధరించండి. ఇది 90º కోణాన్ని సెట్ చేస్తూ ప్రొట్రాక్టర్‌ని ఉపయోగించి చేయవచ్చు. మీకు ప్రొట్రాక్టర్ లేకపోతే, దీన్ని చేయడానికి దిక్సూచిని ఉపయోగించండి.

వెక్టార్ యొక్క ప్రారంభ బిందువుకు దీన్ని సెట్ చేయండి. ఏకపక్ష వ్యాసార్థంతో వృత్తాన్ని గీయండి. తర్వాత వెక్టార్ ఉన్న లైన్‌ను మొదటి వృత్తం కలిపే పాయింట్ల వద్ద కేంద్రాలతో రెండింటిని నిర్మించండి. ఈ వృత్తాల వ్యాసార్థాలు తప్పనిసరిగా ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉండాలి మరియు నిర్మించిన మొదటి వృత్తం కంటే పెద్దవిగా ఉండాలి. సర్కిల్‌ల ఖండన బిందువుల వద్ద, దాని మూలం వద్ద అసలు వెక్టర్‌కు లంబంగా ఉండే సరళ రేఖను నిర్మించి, దానిపై వెక్టార్‌కు లంబంగా ప్లాట్ చేయండి.

యూనిట్ వెక్టర్: , ఎక్కడ - వెక్టర్ మాడ్యూల్.

సమాధానం:
.

గమనిక.యూనిట్ వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు తప్పనిసరిగా ఒకటి కంటే ఎక్కువ ఉండకూడదు.

6.3 వెక్టర్ యొక్క పొడవు మరియు దిశ కొసైన్‌లను కనుగొనండి . మునుపటి పేరాలోని సమాధానంతో సరిపోల్చండి. ముగింపులు గీయండి.

వెక్టర్ యొక్క పొడవు దాని మాడ్యులస్:

వెక్టర్‌లను పేర్కొనే మార్గాలలో ఒకదాని కోసం ఫార్ములా ఉపయోగించి దిశ కొసైన్‌లను మనం కనుగొనవచ్చు:

దీని నుండి దిశ కొసైన్‌లు యూనిట్ వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు అని మనం చూస్తాము.

సమాధానం:
,
,
,
.

6.4 కనుగొనండి
.

వెక్టర్‌ను సంఖ్యతో గుణించడం, జోడించడం మరియు మాడ్యులస్ చేయడం వంటి చర్యలను నిర్వహించడం అవసరం.

మేము వెక్టర్స్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను పదం ద్వారా సంఖ్య ద్వారా గుణిస్తాము.

మేము వెక్టర్స్ టర్మ్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను టర్మ్ వారీగా జోడిస్తాము.

వెక్టర్ యొక్క మాడ్యులస్‌ను కనుగొనడం.

సమాధానం:

6.5 వెక్టర్ కోఆర్డినేట్‌లను నిర్ణయించండి
, వెక్టర్‌కు కొలినియర్ , తెలుసుకొనుట
మరియు అది వెక్టర్‌కు వ్యతిరేక దిశలో నిర్దేశించబడుతుంది .

వెక్టర్ వెక్టర్‌కు కొలినియర్ , అంటే దాని యూనిట్ వెక్టర్ యూనిట్ వెక్టర్‌కు సమానం మైనస్ గుర్తుతో మాత్రమే, ఎందుకంటే వ్యతిరేక దిశలో దర్శకత్వం వహించారు.

యూనిట్ వెక్టర్ పొడవు 1 కి సమానం, అంటే మీరు దానిని 5 ద్వారా గుణిస్తే, దాని పొడవు ఐదుకి సమానంగా ఉంటుంది.

మేము కనుగొంటాము

సమాధానం:

6.6 డాట్ ఉత్పత్తులను లెక్కించండి
మరియు
. వెక్టర్స్ లంబంగా ఉన్నాయా? మరియు ,మరియు తమ మధ్య?

వెక్టర్స్ యొక్క స్కేలార్ ఉత్పత్తిని చేద్దాం.

వెక్టర్స్ లంబంగా ఉంటే, వాటి స్కేలార్ ఉత్పత్తి సున్నా.

మన విషయంలో వెక్టర్స్ అని మనం చూస్తాము మరియు లంబంగా.

సమాధానం:
,
, వెక్టర్స్ లంబంగా లేవు.

గమనిక.స్కేలార్ ఉత్పత్తి యొక్క రేఖాగణిత అర్థం ఆచరణలో చాలా తక్కువ ఉపయోగం, కానీ అది ఇప్పటికీ ఉంది. అటువంటి చర్య యొక్క ఫలితం రేఖాగణితంగా చిత్రీకరించబడుతుంది మరియు లెక్కించబడుతుంది.

6.7 శక్తి వర్తించే మెటీరియల్ పాయింట్ ద్వారా చేసిన పనిని కనుగొనండి
, పాయింట్ B నుండి పాయింట్ Cకి తరలించేటప్పుడు.

స్కేలార్ ఉత్పత్తి యొక్క భౌతిక అర్ధం పని. ఫోర్స్ వెక్టర్ ఇక్కడ ఉంది , స్థానభ్రంశం వెక్టర్
. మరియు ఈ వెక్టర్స్ యొక్క ఉత్పత్తి అవసరమైన పని అవుతుంది.

ఉద్యోగం దొరుకుతోంది

6.8 శీర్షంలో అంతర్గత కోణాన్ని కనుగొనండి ఎ మరియు బాహ్య శీర్ష కోణం సి త్రిభుజం ABC .

వెక్టర్స్ యొక్క స్కేలార్ ఉత్పత్తి యొక్క నిర్వచనం నుండి, మేము కోణాన్ని కనుగొనడానికి సూత్రాన్ని పొందుతాము: .

IN
మేము ఒక బిందువు నుండి వెలువడే వెక్టర్స్ మధ్య కోణంగా అంతర్గత కోణం కోసం చూస్తాము.

బాహ్య కోణాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు వెక్టర్లను కలపాలి, తద్వారా అవి ఒక పాయింట్ నుండి బయటకు వస్తాయి. చిత్రం దీనిని వివరిస్తుంది.

ఇది గమనించదగ్గ విషయం
, కేవలం వివిధ ప్రారంభ కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉండండి.

అవసరమైన వెక్టర్స్ మరియు కోణాలను కనుగొనడం

సమాధానం: శీర్షం వద్ద అంతర్గత కోణం A = , శీర్షం B వద్ద బాహ్య కోణం = .

6.9 వెక్టర్స్ యొక్క అంచనాలను కనుగొనండి: మరియు

వెక్టార్ వెక్టర్స్ గుర్తుకు తెచ్చుకుందాం:
,
,
.

స్కేలార్ ఉత్పత్తి నుండి కూడా ప్రొజెక్షన్ కనుగొనబడింది

- ప్రొజెక్షన్ బిపై a.

మునుపు పొందిన వెక్టర్స్

,
,

ప్రొజెక్షన్‌ను కనుగొనడం

రెండవ ప్రొజెక్షన్‌ను కనుగొనడం

సమాధానం:
,

గమనిక.ప్రొజెక్షన్‌ను కనుగొనడంలో మైనస్ సంకేతం అంటే ప్రొజెక్షన్ వెక్టర్‌పైకి దిగదు, కానీ వ్యతిరేక దిశలో, ఈ వెక్టర్ ఉన్న రేఖపైకి వస్తుంది.

6.10 లెక్కించు
.

వెక్టర్స్ యొక్క వెక్టర్ ఉత్పత్తిని చేద్దాం

మాడ్యూల్‌ను కనుగొనండి

వెక్టర్స్ యొక్క వెక్టర్ ఉత్పత్తి యొక్క నిర్వచనం నుండి వెక్టర్స్ మధ్య కోణం యొక్క సైన్ని మేము కనుగొంటాము

సమాధానం:
,
,
.

6.11 త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి ABC మరియు ఎత్తు యొక్క పొడవు పాయింట్ C నుండి దిగివచ్చింది.

వెక్టర్ ఉత్పత్తి యొక్క మాడ్యులస్ యొక్క రేఖాగణిత అర్థం ఏమిటంటే ఇది ఈ వెక్టర్స్ ద్వారా ఏర్పడిన సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క ప్రాంతం. మరియు త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క సగం వైశాల్యానికి సమానం.

త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని ఎత్తు మరియు బేస్ రెండింటి ద్వారా విభజించబడిన ఉత్పత్తిగా కూడా కనుగొనవచ్చు, దీని నుండి ఎత్తును కనుగొనే సూత్రాన్ని పొందవచ్చు.

అందువలన, మేము ఎత్తును కనుగొంటాము

సమాధానం:
,
.

6.12 వెక్టార్‌లకు లంబంగా ఉండే యూనిట్ వెక్టర్‌ను కనుగొనండి మరియు .

డాట్ ఉత్పత్తి యొక్క ఫలితం రెండు అసలైన వాటికి లంబంగా ఉండే వెక్టర్. మరియు యూనిట్ వెక్టర్ అనేది వెక్టార్ దాని పొడవుతో విభజించబడింది.

ఇంతకుముందు, మేము కనుగొన్నాము:

,

సమాధానం:
.

6.13 శక్తి యొక్క క్షణం యొక్క పరిమాణం మరియు దిశ కొసైన్‌లను నిర్ణయించండి
, పాయింట్ Cకి సంబంధించి Aకి వర్తింపజేయబడింది.

వెక్టర్ ఉత్పత్తి యొక్క భౌతిక అర్ధం శక్తి యొక్క క్షణం. ఈ పనికి ఒక ఉదాహరణ ఇద్దాం.

శక్తి యొక్క క్షణం కనుగొనడం

సమాధానం:
.

6.14 వెక్టర్స్ అబద్ధం చెప్పండి ,మరియు అదే విమానంలో? ఈ వెక్టర్స్ స్పేస్‌కి ఆధారం కాగలవా? ఎందుకు? వారు వీలైతే, వెక్టర్‌ను ఈ ప్రాతిపదికన విస్తరించండి
.

వెక్టర్స్ ఒకే విమానంలో ఉన్నాయో లేదో తనిఖీ చేయడానికి, ఈ వెక్టర్స్ యొక్క మిశ్రమ ఉత్పత్తిని నిర్వహించడం అవసరం.

మిశ్రమ ఉత్పత్తి సున్నాకి సమానం కాదు, కాబట్టి, వెక్టర్స్ ఒకే విమానంలో ఉండవు (కాప్లానార్ కాదు) మరియు ఒక ఆధారాన్ని ఏర్పరుస్తాయి. కుళ్ళిపోదాం దీని ఆధారంగా.

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం ద్వారా ప్రాతిపదికన విస్తరిద్దాం

సమాధానం: వెక్టర్స్ ,మరియు ఒకే విమానంలో పడుకోవద్దు.
.

6.15 కనుగొనండి
. A, B, C, D శీర్షాలతో పిరమిడ్ వాల్యూమ్ ఎంత మరియు దాని ఎత్తు పాయింట్ A నుండి బేస్ BCDకి తగ్గించబడింది.

జి మిశ్రమ ఉత్పత్తి యొక్క రేఖాగణిత అర్థం ఏమిటంటే ఇది ఈ వెక్టర్స్ ద్వారా ఏర్పడిన సమాంతర పైప్ యొక్క వాల్యూమ్.

పిరమిడ్ యొక్క వాల్యూమ్ సమాంతర పైప్డ్ వాల్యూమ్ కంటే ఆరు రెట్లు తక్కువగా ఉంటుంది.

పిరమిడ్ యొక్క వాల్యూమ్ కూడా ఇలా కనుగొనవచ్చు:

ఎత్తును కనుగొనడానికి మేము సూత్రాన్ని పొందుతాము

ఎత్తును కనుగొనడం

సమాధానం: వాల్యూమ్ = 2.5, ఎత్తు = .

6.16 లెక్కించు
మరియు
.

- ఈ పని గురించి మీరే ఆలోచించమని మేము మిమ్మల్ని ఆహ్వానిస్తున్నాము.

- పనిని చేద్దాం.

గతంలో పొందింది

సమాధానం:
.

6.17 లెక్కించు

దశలను భాగాలుగా చేద్దాం

3)

పొందిన విలువలను సంగ్రహిద్దాం

సమాధానం:
.

6.18 వెక్టర్‌ను కనుగొనండి
, ఇది వెక్టర్స్‌కు లంబంగా ఉందని తెలుసుకోవడం మరియు , మరియు వెక్టర్‌పై దాని ప్రొజెక్షన్ 5కి సమానం.

ఈ పనిని రెండు సబ్‌టాస్క్‌లుగా విభజిద్దాము

1) వెక్టర్‌లకు లంబంగా వెక్టార్‌ను కనుగొనండి మరియు ఏకపక్ష పొడవు.

మేము వెక్టార్ ఉత్పత్తి ఫలితంగా లంబ వెక్టార్ని పొందుతాము

ఇంతకుముందు, మేము కనుగొన్నాము:

అవసరమైన వెక్టర్ అందుకున్న దాని నుండి పొడవులో మాత్రమే భిన్నంగా ఉంటుంది

2) కనుక్కోండి సమీకరణం ద్వారా

6.19 వెక్టర్‌ను కనుగొనండి
, పరిస్థితులను సంతృప్తి పరచడం
,
,
.

ఈ పరిస్థితులను మరింత వివరంగా పరిశీలిద్దాం.

ఇది సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ. ఈ వ్యవస్థను కంపోజ్ చేసి పరిష్కరించుకుందాం.

సమాధానం:

6.20 వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను నిర్ణయించండి
, వెక్టర్స్‌తో కోప్లానార్ మరియు , మరియు వెక్టర్‌కు లంబంగా
.

ఈ పనిలో రెండు షరతులు ఉన్నాయి: వెక్టర్స్ యొక్క కోప్లానారిటీ మరియు లంబంగా, మొదట మొదటి షరతును పూర్తి చేద్దాం, ఆపై రెండవది.

1) వెక్టర్స్ కోప్లానార్ అయితే, వాటి మిశ్రమ ఉత్పత్తి సున్నాకి సమానం.

ఇక్కడ నుండి మేము వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌ల యొక్క కొంత ఆధారపడటాన్ని పొందుతాము

వెక్టార్‌ని కనుక్కోండి .

2) వెక్టర్స్ లంబంగా ఉంటే, అప్పుడు వాటి స్కేలార్ ఉత్పత్తి సున్నా

మేము కోరుకున్న వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌ల యొక్క రెండవ ఆధారపడటాన్ని పొందాము

ఏదైనా విలువ కోసం వెక్టర్ పరిస్థితులను సంతృప్తిపరుస్తుంది. ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం
.

సమాధానం:
.

విశ్లేషణాత్మక జ్యామితి

ప్రశ్నలోని విభాగంలో, రచయిత ఇచ్చిన రెండు వెక్టర్‌లకు లంబంగా వెక్టార్‌ను కనుగొనండి అన్నా అఫనస్యేవాఉత్తమ సమాధానం: రెండు నాన్-సమాంతర వెక్టార్‌లకు లంబంగా ఉండే వెక్టర్ వాటి వెక్టార్ ఉత్పత్తి xbగా కనుగొనబడింది, దానిని కనుగొనడానికి మీరు డిటర్‌మినెంట్‌ను కంపోజ్ చేయాలి, దాని మొదటి పంక్తి యూనిట్ వెక్టర్స్ I, j, k, ది వెక్టర్ a యొక్క అక్షాంశాల నుండి రెండవది, వెక్టర్ b యొక్క కోఆర్డినేట్ల నుండి మూడవది. డిటర్మినెంట్ మొదటి పంక్తిలో విస్తరణగా పరిగణించబడుతుంది, మీ విషయంలో మీరు akhv=20i-10k లేదా ahv=(20,0,-10) పొందుతారు.

నుండి సమాధానం 22 సమాధానాలు[గురు]

హలో! మీ ప్రశ్నకు సమాధానాలతో కూడిన అంశాల ఎంపిక ఇక్కడ ఉంది: ఇచ్చిన రెండు వెక్టర్‌లకు లంబంగా వెక్టర్‌ను కనుగొనండి

నుండి సమాధానం చాచు[కొత్త వ్యక్తి]
రెండు నాన్-సమాంతర వెక్టార్‌లకు లంబంగా ఉన్న వెక్టర్ వాటి వెక్టార్ ఉత్పత్తి xbగా కనుగొనబడింది, దానిని కనుగొనడానికి మీరు డిటర్‌మినెంట్‌ను కంపోజ్ చేయాలి, మొదటి పంక్తిలో యూనిట్ వెక్టర్స్ I, j, k, రెండవది - కోఆర్డినేట్‌ల నుండి ఉంటాయి. వెక్టర్ a యొక్క, మూడవది - వెక్టర్ b యొక్క కోఆర్డినేట్ల నుండి. డిటర్మినెంట్ మొదటి పంక్తిలో విస్తరణగా పరిగణించబడుతుంది, మీ విషయంలో మీరు akhv=20i-10k, లేదా ahv=(20,0,-10) పొందుతారు.

నుండి సమాధానం హయకా[గురు]
స్థూలంగా ఇలా పరిష్కరించండి; అయితే ముందుగా అన్నీ మీరే చదవండి!! !
d=-c+a+2b అయితే వెక్టర్స్ d మరియు r యొక్క స్కేలార్ ఉత్పత్తిని లెక్కించండి; r=-b+2a.
వెక్టర్ a యొక్క మాడ్యులస్ 4, వెక్టర్ b యొక్క మాడ్యులస్ 6. వెక్టర్స్ a మరియు b మధ్య కోణం 60 డిగ్రీలు, వెక్టర్ c అనేది వెక్టర్స్ a మరియు b లకు లంబంగా ఉంటుంది.
పాయింట్లు E మరియు F వరుసగా ABCD సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క AD మరియు BC వైపులా ఉంటాయి, AE = ED, BF: FC = 4: 3. a) వెక్టర్స్ m = వెక్టర్ AB మరియు వెక్టర్ n = వెక్టర్ AD పరంగా వెక్టర్ EFని వ్యక్తపరచండి. బి) సమానత్వ వెక్టార్ EF = x వెక్టర్ CDతో గుణిస్తే x యొక్క ఏదైనా విలువ కోసం పట్టుకోగలదా? .

ఈ వ్యాసం త్రిమితీయ స్థలంలో ఒక విమానంలో రెండు వెక్టర్స్ లంబంగా మరియు ఒకటి లేదా మొత్తం జత వెక్టర్‌లకు లంబంగా ఉన్న వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనడం యొక్క అర్థాన్ని వెల్లడిస్తుంది. రేఖలు మరియు విమానాల సమీకరణాలకు సంబంధించిన సమస్యలకు అంశం వర్తిస్తుంది.

మేము రెండు వెక్టర్స్ లంబంగా ఉండటానికి అవసరమైన మరియు తగినంత షరతును పరిశీలిస్తాము, ఇచ్చిన వాటికి లంబంగా వెక్టార్‌ను కనుగొనే పద్ధతిని పరిష్కరిస్తాము మరియు రెండు వెక్టర్‌లకు లంబంగా ఉన్న వెక్టర్‌ను కనుగొనే పరిస్థితులను తాకిస్తాము.

Yandex.RTB R-A-339285-1

రెండు వెక్టర్స్ లంబంగా ఉండటానికి అవసరమైన మరియు తగినంత పరిస్థితి

విమానంలో మరియు త్రిమితీయ ప్రదేశంలో లంబ వెక్టర్స్ గురించి నియమాన్ని వర్తింపజేద్దాం.

నిర్వచనం 1

రెండు నాన్-జీరో వెక్టర్స్ మధ్య కోణాన్ని 90 ° (π 2 రేడియన్లు) అంటారు లంబంగా.

దీని అర్థం ఏమిటి, మరియు ఏ పరిస్థితులలో వారి లంబంగా ఉండటం గురించి తెలుసుకోవడం అవసరం?

డ్రాయింగ్ ద్వారా లంబాన్ని స్థాపించడం సాధ్యమవుతుంది. ఇచ్చిన పాయింట్ల నుండి విమానంలో వెక్టార్‌ను ప్లాట్ చేస్తున్నప్పుడు, మీరు వాటి మధ్య కోణాన్ని రేఖాగణితంగా కొలవవచ్చు. వెక్టార్ల లంబాన్ని స్థాపించినప్పటికీ, అది పూర్తిగా ఖచ్చితమైనది కాదు. చాలా తరచుగా, ఈ పనులు ప్రొట్రాక్టర్‌ని ఉపయోగించి దీన్ని చేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతించవు, కాబట్టి వెక్టర్స్ గురించి వేరే ఏమీ తెలియనప్పుడు మాత్రమే ఈ పద్ధతి వర్తిస్తుంది.

విమానంలో లేదా అంతరిక్షంలో రెండు నాన్-జీరో వెక్టర్స్ లంబంగా నిరూపించే చాలా సందర్భాలు రెండు వెక్టర్స్ లంబంగా ఉండటానికి అవసరమైన మరియు తగినంత పరిస్థితి.

సిద్ధాంతం 1

a → , b → = 0 సమానత్వాన్ని సంతృప్తి పరచడానికి రెండు సున్నా కాని వెక్టర్స్ a → మరియు b → సున్నాకి సమానమైన స్కేలార్ ఉత్పత్తి వాటి లంబంగా సరిపోతుంది.

సాక్ష్యం 1

ఇవ్వబడిన వెక్టర్స్ a → మరియు b → లంబంగా ఉండనివ్వండి, అప్పుడు మేము a ⇀ , b → = 0 సమానత్వాన్ని నిరూపిస్తాము.

యొక్క నిర్వచనం నుండి వెక్టర్స్ యొక్క డాట్ ఉత్పత్తిఅది సమానమని మాకు తెలుసు ఇచ్చిన వెక్టర్స్ యొక్క పొడవు మరియు వాటి మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్ యొక్క ఉత్పత్తి. షరతు ప్రకారం, a → మరియు b → లంబంగా ఉంటాయి, అంటే, నిర్వచనం ఆధారంగా, వాటి మధ్య కోణం 90 °. అప్పుడు మనకు ఒక → , b → = a → · b → · cos (a → , b → ^) = a → · b → · cos 90 ° = 0 .

రుజువు యొక్క రెండవ భాగం

అందించినది a ⇀, b → = 0, a → మరియు b → లంబంగా నిరూపించండి.

వాస్తవానికి, రుజువు మునుపటిదానికి వ్యతిరేకం. a → మరియు b → సున్నా కానివి అని తెలుసు, అంటే సమానత్వం నుండి a ⇀ , b → = a → · b → · cos (a → , b →) ^ మేము కొసైన్‌ను కనుగొంటాము. అప్పుడు మనకు cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 . కొసైన్ సున్నా కాబట్టి, వెక్టర్స్ a →, b → ^ కోణం a → మరియు b → 90 °కి సమానం అని మనం నిర్ధారించవచ్చు. నిర్వచనం ప్రకారం, ఇది అవసరమైన మరియు తగినంత ఆస్తి.

కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లో లంబ స్థితి

అధ్యాయం కోఆర్డినేట్లలో స్కేలార్ ఉత్పత్తిఅసమానతను ప్రదర్శిస్తుంది (a → , b →) = a x · b x + a y · b y , కోఆర్డినేట్‌లతో వెక్టార్‌లకు చెల్లుబాటు అవుతుంది a → = (a x , a y) మరియు b → = (b x , b y), విమానంలో మరియు (a → , b → ) = a x · b x + a y · b y వెక్టర్స్ కోసం a → = (a x , a y , a z) మరియు b → = (b x , b y , b z) స్పేస్‌లో. కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లోని రెండు వెక్టర్స్ లంబంగా ఉండటానికి అవసరమైన మరియు తగినంత షరతు x · b x + a y · b y = 0, త్రిమితీయ స్థలం కోసం a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0.

ఆచరణలో పెట్టండి మరియు ఉదాహరణలను చూద్దాం.

ఉదాహరణ 1

a → = (2, - 3), b → = (- 6, - 4) రెండు వెక్టర్స్ లంబంగా ఉండే లక్షణాన్ని తనిఖీ చేయండి.

పరిష్కారం

ఈ సమస్యను పరిష్కరించడానికి, మీరు స్కేలార్ ఉత్పత్తిని కనుగొనాలి. షరతు ప్రకారం అది సున్నాకి సమానం అయితే, అవి లంబంగా ఉంటాయి.

(a → , b →) = a x · b x + a y · b y = 2 · (- 6) + (- 3) · (- 4) = 0 . షరతు నెరవేరింది, అంటే ఇవ్వబడిన వెక్టర్స్ విమానానికి లంబంగా ఉంటాయి.

సమాధానం:అవును, ఇచ్చిన వెక్టర్స్ a → మరియు b → లంబంగా ఉంటాయి.

ఉదాహరణ 2

కోఆర్డినేట్ వెక్టర్స్ i → , j → , k → ఇవ్వబడ్డాయి. వెక్టర్స్ i → - j → మరియు i → + 2 · j → + 2 · k → లంబంగా ఉండవచ్చో లేదో తనిఖీ చేయండి.

పరిష్కారం

వెక్టార్ కోఆర్డినేట్‌లు ఎలా నిర్ణయించబడతాయో గుర్తుంచుకోవడానికి, మీరు దాని గురించి కథనాన్ని చదవాలి దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో వెక్టర్ కోఆర్డినేట్‌లు.ఈ విధంగా, ఇవ్వబడిన వెక్టర్స్ i → - j → మరియు i → + 2 · j → + 2 · k → సంబంధిత కోఆర్డినేట్‌లు (1, - 1, 0) మరియు (1, 2, 2) ఉన్నాయని మేము కనుగొన్నాము. మేము సంఖ్యా విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము మరియు పొందండి: i → + 2 · j → + 2 · k → , i → - j → = 1 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 2 = - 1 .

వ్యక్తీకరణ సున్నాకి సమానం కాదు, (i → + 2 j → + 2 k →, i → - j →) ≠ 0, అంటే వెక్టర్స్ i → - j → మరియు i → + 2 j → + 2 k → షరతుకు అనుగుణంగా లేనందున లంబంగా లేవు.

సమాధానం:లేదు, i → - j → మరియు i → + 2 · j → + 2 · k → వెక్టర్స్ లంబంగా లేవు.

ఉదాహరణ 3

ఇచ్చిన వెక్టర్స్ a → = (1, 0, - 2) మరియు b → = (λ, 5, 1). ఈ వెక్టర్స్ లంబంగా ఉండే λ విలువను కనుగొనండి.

పరిష్కారం

మేము చదరపు రూపంలో అంతరిక్షంలో రెండు వెక్టర్స్ లంబంగా ఉన్న స్థితిని ఉపయోగిస్తాము, అప్పుడు మనకు లభిస్తుంది

a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2

సమాధానం:వెక్టర్స్ విలువ λ = 2 వద్ద లంబంగా ఉంటాయి.

అవసరమైన మరియు తగినంత పరిస్థితిలో కూడా లంబంగా ప్రశ్న అసాధ్యం అయినప్పుడు సందర్భాలు ఉన్నాయి. రెండు వెక్టర్స్‌పై త్రిభుజం యొక్క మూడు వైపులా తెలిసిన డేటాను బట్టి, కనుగొనడం సాధ్యమవుతుంది వెక్టర్స్ మధ్య కోణంమరియు దాన్ని తనిఖీ చేయండి.

ఉదాహరణ 4

A B = 8, A C = 6, B C = 10 cm భుజాలతో A B C త్రిభుజం ఇవ్వబడింది. లంబంగా కోసం వెక్టర్స్ A B → మరియు A C → తనిఖీ చేయండి.

పరిష్కారం

A B → మరియు A C → వెక్టర్స్ లంబంగా ఉంటే, A B C త్రిభుజం దీర్ఘచతురస్రాకారంగా పరిగణించబడుతుంది. అప్పుడు మేము పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని వర్తింపజేస్తాము, ఇక్కడ B C అనేది త్రిభుజం యొక్క హైపోటెన్యూస్. సమానత్వం B C 2 = A B 2 + A C 2 తప్పక నిజం. ఇది 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100 అని అనుసరిస్తుంది. దీని అర్థం A B మరియు A C త్రిభుజం A B C యొక్క కాళ్ళు, కాబట్టి A B → మరియు A C → లంబంగా ఉంటాయి.

ఇచ్చిన దానికి లంబంగా వెక్టార్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను ఎలా కనుగొనాలో నేర్చుకోవడం ముఖ్యం. వెక్టర్స్ లంబంగా ఉంటే, విమానంలో మరియు అంతరిక్షంలో ఇది సాధ్యమవుతుంది.

ఒక విమానంలో ఇచ్చిన దానికి లంబంగా వెక్టార్‌ని కనుగొనడం.

సున్నా కాని వెక్టార్ a → విమానంలో అనంతమైన లంబ వెక్టర్‌లను కలిగి ఉంటుంది. దీన్ని కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో వర్ణిద్దాం.

నాన్-జీరో వెక్టార్ ఇచ్చినట్లయితే a → సరళ రేఖపై ఉంటుంది a. అప్పుడు ఇచ్చిన b → , పంక్తి aకి లంబంగా ఏదైనా రేఖపై ఉన్నట్లయితే, a →కి లంబంగా మారుతుంది. వెక్టార్ i → వెక్టర్ j →కి లంబంగా ఉంటే లేదా ఏదైనా వెక్టర్స్ λ · j →తో సున్నా కాకుండా ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్యకు సమానం అయితే, వెక్టర్ b → యొక్క అక్షాంశాలను a → = (a x , a y)కి లంబంగా కనుగొనడం ) అనంతమైన పరిష్కారాల సమితికి తగ్గించబడింది. కానీ వెక్టార్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను a → = (a x , a y) లంబంగా కనుగొనడం అవసరం. దీన్ని చేయడానికి, కింది రూపంలో వెక్టర్స్ లంబంగా ఉన్న స్థితిని వ్రాయడం అవసరం: a x · b x + a y · b y = 0. మనకు b x మరియు b y ఉన్నాయి, ఇవి లంబ వెక్టార్‌కు కావలసిన కోఆర్డినేట్‌లు. a x ≠ 0 అయినప్పుడు, b y విలువ సున్నా కాదు మరియు b x అసమానత నుండి గణించబడుతుంది a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x . x = 0 మరియు a y ≠ 0 కోసం, మేము b xకి సున్నా కాకుండా ఏదైనా విలువను కేటాయిస్తాము మరియు b y = - a x · b x a y వ్యక్తీకరణ నుండి b yని కనుగొంటాము.

ఉదాహరణ 5

ఒక → = (- 2 , 2) కోఆర్డినేట్‌లతో వెక్టర్ ఇవ్వబడింది. దీనికి లంబంగా వెక్టార్‌ను కనుగొనండి.

పరిష్కారం

మనకు కావలసిన వెక్టార్‌ను b → (b x , b y) గా సూచిస్తాము. వెక్టర్స్ a → మరియు b → లంబంగా ఉండే పరిస్థితి నుండి దీని కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనవచ్చు. అప్పుడు మనకు లభిస్తుంది: (a → , b →) = a x · b x + a y · b y = - 2 · b x + 2 · b y = 0 . b y = 1 మరియు ప్రత్యామ్నాయాన్ని కేటాయించండి: - 2 · b x + 2 · b y = 0 ⇔ - 2 · b x + 2 = 0 . కాబట్టి, ఫార్ములా నుండి మనకు b x = - 2 - 2 = 1 2 వస్తుంది. దీని అర్థం వెక్టార్ b → = (1 2 , 1) అనేది a →కి లంబంగా ఉండే వెక్టార్.

సమాధానం: b → = (1 2 , 1) .

త్రిమితీయ స్థలం గురించి ప్రశ్న తలెత్తితే, సమస్య అదే సూత్రం ప్రకారం పరిష్కరించబడుతుంది. ఇచ్చిన వెక్టర్ కోసం a → = (a x , a y , a z) లంబ వెక్టర్‌ల అనంతమైన సంఖ్య ఉంటుంది. దీన్ని త్రీ-డైమెన్షనల్ కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లో పరిష్కరిస్తుంది. ఇచ్చిన → పంక్తిలో a. నేరుగా a కి లంబంగా ఉండే విమానం α చే సూచించబడుతుంది. ఈ సందర్భంలో, విమానం α నుండి ఏదైనా సున్నా కాని వెక్టర్ b → a →కి లంబంగా ఉంటుంది.

సున్నా కాని వెక్టార్ a → = (a x , a y , a z) కు లంబంగా b → కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనడం అవసరం.

b → అక్షాంశాలు b x , b y మరియు b z లతో ఇవ్వబడనివ్వండి. వాటిని కనుగొనడానికి, రెండు వెక్టర్స్ లంబంగా ఉన్న స్థితి యొక్క నిర్వచనాన్ని వర్తింపజేయడం అవసరం. సమానత్వం a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 తప్పనిసరిగా సంతృప్తి చెందాలి. షరతు నుండి a → అనేది సున్నా కాదు, అంటే కోఆర్డినేట్‌లలో ఒకటి సున్నాకి సమానం కాని విలువను కలిగి ఉంటుంది. ఒక x ≠ 0, (a y ≠ 0 లేదా a z ≠ 0) అని అనుకుందాం. కాబట్టి, ఈ కోఆర్డినేట్ ద్వారా మొత్తం అసమానతలను a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 విభజించడానికి మాకు హక్కు ఉంది, మేము b x + a y · b y + a z · b z a x = 0 ⇔ b x = - a y · b y + a z · b z a x . మేము b y మరియు b x అక్షాంశాలకు ఏదైనా విలువను కేటాయిస్తాము, ఫార్ములా ఆధారంగా b x విలువను లెక్కించండి, b x = - a y · b y + a z · b z a x. కావలసిన లంబ వెక్టార్ విలువ a → = (a x, a y, a z) కలిగి ఉంటుంది.

ఒక ఉదాహరణను ఉపయోగించి రుజువును చూద్దాం.

ఉదాహరణ 6

ఒక → = (1, 2, 3)  కోఆర్డినేట్‌లతో వెక్టర్ ఇవ్వబడింది. ఇచ్చిన దానికి లంబంగా వెక్టార్‌ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం

b → = (b x , b y , b z) ద్వారా కావలసిన వెక్టార్‌ని సూచిస్తాము. వెక్టర్స్ లంబంగా ఉండే షరతు ఆధారంగా, స్కేలార్ ఉత్పత్తి తప్పనిసరిగా సున్నాకి సమానంగా ఉండాలి.

a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)

b y = 1, b z = 1 విలువ అయితే, b x = - 2 b y - 3 b z = - (2 1 + 3 1) = - 5. ఇది వెక్టార్ b → (- 5 , 1 , 1) యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను అనుసరిస్తుంది. వెక్టర్ b → అనేది ఇచ్చిన వాటికి లంబంగా ఉండే వెక్టర్‌లలో ఒకటి.

సమాధానం: b → = (- 5 , 1 , 1) .

ఇచ్చిన రెండు వెక్టర్‌లకు లంబంగా వెక్టార్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనడం

మేము త్రిమితీయ ప్రదేశంలో వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనాలి. ఇది నాన్-కాలినియర్ వెక్టర్స్ a → (a x , a y , a z) మరియు b → = (b x , b y , b z) లకు లంబంగా ఉంటుంది. a → మరియు b → వెక్టార్‌లు కొలినియర్‌గా ఉంటే, సమస్యలో a → లేదా b →కి లంబంగా వెక్టార్‌ని కనుగొనడం సరిపోతుంది.

పరిష్కరించేటప్పుడు, వెక్టర్స్ యొక్క వెక్టర్ ఉత్పత్తి యొక్క భావన ఉపయోగించబడుతుంది.

వెక్టర్స్ యొక్క వెక్టర్ ఉత్పత్తి a → మరియు b → అనేది ఒక → మరియు b → రెండింటికి ఏకకాలంలో లంబంగా ఉండే వెక్టర్. ఈ సమస్యను పరిష్కరించడానికి, వెక్టార్ ఉత్పత్తి a → × b → ఉపయోగించబడుతుంది. త్రిమితీయ స్థలం కోసం ఇది a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది

ఉదాహరణ సమస్యను ఉపయోగించి వెక్టర్ ఉత్పత్తిని మరింత వివరంగా చూద్దాం.

ఉదాహరణ 7

వెక్టర్స్ b → = (0, 2, 3) మరియు a → = (2, 1, 0) ఇవ్వబడ్డాయి. డేటాకు లంబంగా ఉన్న ఏదైనా వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను ఏకకాలంలో కనుగొనండి.

పరిష్కారం

పరిష్కరించడానికి, మీరు వెక్టర్స్ యొక్క వెక్టర్ ఉత్పత్తిని కనుగొనాలి. (దయచేసి పేరాని చూడండి మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారిని గణించడంవెక్టర్ కనుగొనేందుకు). మాకు దొరికింది:

a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i = 2 3 i → + (- 6) j → + 4 k →

సమాధానం: (3 , - 6 , 4) - ఇచ్చిన a → మరియు b → లకు ఏకకాలంలో లంబంగా ఉండే వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు.

మీరు టెక్స్ట్‌లో లోపాన్ని గమనించినట్లయితే, దయచేసి దాన్ని హైలైట్ చేసి, Ctrl+Enter నొక్కండి

ఓం దీన్ని చేయడానికి, మేము మొదట సెగ్మెంట్ యొక్క భావనను పరిచయం చేస్తాము.

నిర్వచనం 1

మేము ఒక సెగ్మెంట్‌ను రెండు వైపులా పాయింట్లతో సరిహద్దులుగా ఉన్న రేఖలో ఒక భాగం అని పిలుస్తాము.

నిర్వచనం 2

సెగ్మెంట్ చివరలు దానిని పరిమితం చేసే పాయింట్లు.

వెక్టర్ యొక్క నిర్వచనాన్ని పరిచయం చేయడానికి, మేము సెగ్మెంట్ చివరలలో ఒకదానిని దాని ప్రారంభం అని పిలుస్తాము.

నిర్వచనం 3

మేము వెక్టార్ (డైరెక్ట్ చేయబడిన సెగ్మెంట్) అని పిలుస్తాము, దీనిలో ఏ సరిహద్దు బిందువు దాని ప్రారంభం మరియు దాని ముగింపు అని సూచించబడుతుంది.

గమనిక: \overline(AB) అనేది వెక్టార్ AB, ఇది పాయింట్ A వద్ద ప్రారంభమై పాయింట్ B వద్ద ముగుస్తుంది.

లేకపోతే, ఒక చిన్న అక్షరంలో: \overline(a) (Fig. 1).

నిర్వచనం 4

మేము సున్నా వెక్టార్‌ని విమానానికి చెందిన ఏదైనా బిందువు అని పిలుస్తాము.

చిహ్నం: \overline(0) .

ఇప్పుడు మనం నేరుగా కొల్లినియర్ వెక్టర్స్ నిర్వచనాన్ని పరిచయం చేద్దాం.

మేము స్కేలార్ ఉత్పత్తి యొక్క నిర్వచనాన్ని కూడా పరిచయం చేస్తాము, ఇది మనకు తరువాత అవసరం.

నిర్వచనం 6

ఇచ్చిన రెండు వెక్టర్స్ యొక్క స్కేలార్ ఉత్పత్తి స్కేలార్ (లేదా సంఖ్య), ఇది ఈ వెక్టర్స్ మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్‌తో ఈ రెండు వెక్టర్స్ పొడవుల ఉత్పత్తికి సమానం.

గణితశాస్త్రపరంగా ఇది ఇలా ఉండవచ్చు:

\overline(α)\overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))

క్రింది విధంగా వెక్టర్ కోఆర్డినేట్‌లను ఉపయోగించి డాట్ ఉత్పత్తిని కూడా కనుగొనవచ్చు

\overline(α)\overline(β)=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3

అనుపాతత ద్వారా లంబంగా ఉండే సంకేతం

సిద్ధాంతం 1

సున్నా కాని వెక్టర్స్ ఒకదానికొకటి లంబంగా ఉండాలంటే, ఈ వెక్టర్స్ యొక్క స్కేలార్ ఉత్పత్తి సున్నాకి సమానం కావడం అవసరం మరియు సరిపోతుంది.

రుజువు.

ఆవశ్యకత: మనకు వరుసగా కోఆర్డినేట్‌లు (α_1,α_2,α_3) మరియు (β_1,β_2,β_3) ఉన్న వెక్టర్స్ \overline(α) మరియు \overline(β) ఇవ్వబడాలి మరియు అవి ఒకదానికొకటి లంబంగా ఉంటాయి. అప్పుడు మనం ఈ క్రింది సమానత్వాన్ని నిరూపించుకోవాలి

వెక్టర్స్ \overline(α) మరియు \overline(β) లంబంగా ఉన్నందున, వాటి మధ్య కోణం 90^0. డెఫినిషన్ 6 నుండి సూత్రాన్ని ఉపయోగించి ఈ వెక్టర్స్ యొక్క స్కేలార్ ఉత్పత్తిని కనుగొనండి.

\overline(α)\cdot \overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡90^\circ =|\overline(α)||\overline(β)|\cdot 0=0

సమృద్ధి: సమానత్వం సత్యంగా ఉండనివ్వండి \overline(α)\cdot \overline(β)=0. వెక్టర్స్ \overline(α) మరియు \overline(β) ఒకదానికొకటి లంబంగా ఉంటాయని నిరూపిద్దాం.

నిర్వచనం 6 ప్రకారం, సమానత్వం నిజం అవుతుంది

|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))=0

Cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))=0

∠(\overline(α),\overline(β))=90^\circ

కాబట్టి, వెక్టర్స్ \overline(α) మరియు \overline(β) ఒకదానికొకటి లంబంగా ఉంటాయి.

సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

ఉదాహరణ 1

కోఆర్డినేట్‌లు (1,-5,2) మరియు (2,1,3/2) ఉన్న వెక్టర్‌లు లంబంగా ఉన్నాయని నిరూపించండి.

రుజువు.

పైన ఇచ్చిన సూత్రాన్ని ఉపయోగించి ఈ వెక్టర్స్ కోసం స్కేలార్ ఉత్పత్తిని కనుగొనండి

\overline(α)\cdot \overline(β)=1\cdot 2+(-5)\cdot 1+2\cdot \frac(3)(2)=2\cdot 5+3=0

దీని అర్థం, సిద్ధాంతం 1 ప్రకారం, ఈ వెక్టర్స్ లంబంగా ఉంటాయి.

క్రాస్ ప్రొడక్ట్‌ని ఉపయోగించి ఇచ్చిన రెండు వెక్టర్‌లకు లంబ వెక్టార్‌ను కనుగొనడం

మొదట వెక్టార్ ఉత్పత్తి భావనను పరిచయం చేద్దాం.

నిర్వచనం 7

రెండు వెక్టర్స్ యొక్క వెక్టార్ ఉత్పత్తి వెక్టార్‌గా ఉంటుంది, ఇది రెండు వెక్టర్‌లకు లంబంగా ఉంటుంది మరియు దాని పొడవు ఈ వెక్టర్‌ల మధ్య కోణం యొక్క సైన్‌తో ఈ వెక్టర్‌ల పొడవుల ఉత్పత్తికి సమానంగా ఉంటుంది మరియు ఈ వెక్టర్ రెండింటితో కూడా ఉంటుంది. ప్రారంభ వాటిని కార్టీసియన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ వలె అదే ధోరణిని కలిగి ఉంటుంది.

హోదా: \overline(α)x\overline(β)x.

వెక్టర్ ఉత్పత్తిని కనుగొనడానికి, మేము సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము

\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix) x

రెండు వెక్టర్స్ యొక్క క్రాస్ ప్రొడక్ట్ యొక్క వెక్టర్ ఈ రెండు వెక్టర్లకు లంబంగా ఉన్నందున, అది వెక్టర్ అవుతుంది. అంటే, రెండు వెక్టర్‌లకు లంబంగా వెక్టార్‌ని కనుగొనడానికి, మీరు వాటి వెక్టర్ ఉత్పత్తిని కనుగొనవలసి ఉంటుంది.

ఉదాహరణ 2

\overline(α)=(1,2,3) మరియు \overline(β)=(-1,0,3) అక్షాంశాలతో వెక్టర్‌లకు లంబంగా వెక్టార్‌ని కనుగొనండి

ఈ వెక్టర్స్ యొక్క వెక్టర్ ఉత్పత్తిని కనుగొనండి.

\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\1&2&3\\-1&0&3\end(vmatrix)=(6- 0)\overline(i)-(3+3)\overline(j)+(0+2)\overline(k)=6\overline(i)-6\overline(j)+2\overline(k) =(6,6,2) x