ఈ అంశంలో మేము నిరవధిక సమగ్రం యొక్క లక్షణాల గురించి మరియు పేర్కొన్న లక్షణాలను ఉపయోగించి సమగ్రాలను కనుగొనడం గురించి వివరంగా మాట్లాడుతాము. మేము నిరవధిక సమగ్రాల పట్టికతో కూడా పని చేస్తాము. ఇక్కడ అందించిన మెటీరియల్ "నిరవధిక సమగ్రం. ప్రారంభం" అనే అంశం యొక్క కొనసాగింపు. నిజం చెప్పాలంటే, పరీక్ష పత్రాలు చాలా అరుదుగా విలక్షణమైన పట్టికలు మరియు/లేదా సాధారణ లక్షణాలను ఉపయోగించి తీసుకోగల సమగ్రతను కలిగి ఉంటాయి. ఈ లక్షణాలను వర్ణమాలతో పోల్చవచ్చు, ఇతర అంశాలలో సమగ్రాలను పరిష్కరించడానికి యంత్రాంగాన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి అవసరమైన జ్ఞానం మరియు అవగాహన. నిరవధిక సమగ్రం యొక్క సమగ్రతలు మరియు లక్షణాల పట్టికలను ఉపయోగించి తరచుగా ఏకీకరణ అంటారు ప్రత్యక్ష ఏకీకరణ.

నేను ఏమి పొందుతున్నాను: ఫంక్షన్‌లు మారతాయి, అయితే డెరివేటివ్‌ను కనుగొనే సూత్రం సమగ్రంగా కాకుండా మారదు, దీని కోసం మనం ఇప్పటికే రెండు పద్ధతులను జాబితా చేయాల్సి ఉంటుంది.

ఇంకా ముందుకు వెళ్దాం. $y=x^(-\frac(1)(2))\cdot(1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3)$ అన్నింటిని కనుగొనడానికి అదే ఫార్ములా $(u\cdot v)"=u"\cdot v+u\cdot v"$ వర్తిస్తుంది, దీనిలో మీరు $u=x^(-\frac(1)(2))ని ప్రత్యామ్నాయం చేయాలి $, $v=( 1+x^(\frac(1)(4))^\frac(1)(3)$ అయితే సమగ్ర $\int x^(-\frac(1)(. 2))\cdot( 1+x^(\frac(1)(4))^\frac(1)(3) dx$కి కొత్త పద్ధతిని ఉపయోగించడం అవసరం - చెబిషెవ్ ప్రత్యామ్నాయాలు.

మరియు చివరగా: $y=\sin x\cdot\frac(1)(x)$ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనడానికి, $(u\cdot v)"=u"\cdot v+u\cdot v" సూత్రం $ అనేది మళ్లీ వర్తిస్తుంది, దీనిలో మేము $\sin x$ మరియు $\frac(1)(x)$కి బదులుగా $\int \sin x\cdot\frac(1 )(x) dx$ మరింత ఖచ్చితంగా, ఇది పరిమిత సంఖ్యలో ప్రాథమిక ఫంక్షన్ల ద్వారా వ్యక్తీకరించబడదు.

సంగ్రహించండి: ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనడానికి ఒక ఫార్ములా అవసరమైన చోట, సమగ్రానికి నాలుగు అవసరం (మరియు ఇది పరిమితి కాదు), మరియు తరువాతి సందర్భంలో సమగ్రతను కనుగొనడానికి నిరాకరించారు. ఫంక్షన్ మార్చబడింది - కొత్త ఇంటిగ్రేషన్ పద్ధతి అవసరం. ఇక్కడే మనకు రిఫరెన్స్ పుస్తకాలలో బహుళ పేజీల పట్టికలు ఉన్నాయి. సాధారణ పద్ధతి లేకపోవడం (“మాన్యువల్‌గా” పరిష్కరించడానికి తగినది) చాలా ప్రైవేట్ పద్ధతులకు దారి తీస్తుంది, ఇది వారి స్వంత, అత్యంత పరిమిత తరగతి ఫంక్షన్‌లను ఏకీకృతం చేయడానికి మాత్రమే వర్తిస్తుంది (తదుపరి అంశాలలో మేము ఈ పద్ధతులతో వివరంగా వ్యవహరిస్తాము). నేను సహాయం చేయలేనప్పటికీ రిష్ అల్గోరిథం ఉనికిని గమనించలేను (వికీపీడియాలో వివరణను చదవమని నేను మీకు సలహా ఇస్తున్నాను), ఇది నిరవధిక సమగ్రాల ప్రోగ్రామ్ ప్రాసెసింగ్‌కు మాత్రమే అనుకూలంగా ఉంటుంది.

ప్రశ్న #3

కానీ ఈ లక్షణాలు చాలా ఉంటే, నేను ఇంటిగ్రల్స్ తీసుకోవడం ఎలా నేర్చుకోవాలి? డెరివేటివ్‌లతో ఇది సులభం!

ఒక వ్యక్తికి, ఇప్పటివరకు ఒకే ఒక మార్గం ఉంది: వివిధ ఏకీకరణ పద్ధతులను ఉపయోగించి వీలైనన్ని ఎక్కువ ఉదాహరణలను పరిష్కరించడానికి, తద్వారా కొత్త నిరవధిక సమగ్రత కనిపించినప్పుడు, మీరు మీ అనుభవం ఆధారంగా దాని కోసం పరిష్కార పద్ధతిని ఎంచుకోవచ్చు. సమాధానం చాలా భరోసా ఇవ్వలేదని నేను అర్థం చేసుకున్నాను, కానీ వేరే మార్గం లేదు.

నిరవధిక సమగ్రం యొక్క లక్షణాలు

ఆస్తి సంఖ్య 1

నిరవధిక సమగ్రం యొక్క ఉత్పన్నం సమగ్రతకు సమానం, అనగా. $\left(\int f(x) dx\right)"=f(x)$.

ఈ లక్షణం చాలా సహజమైనది, ఎందుకంటే సమగ్ర మరియు ఉత్పన్నం పరస్పర విలోమ కార్యకలాపాలు. ఉదాహరణకు, $\left(\int \sin 3x dx\right)"=\sin 3x$, $\left(\int \left(3x^2+\frac(4)(\arccos x)\right) dx \ right)"=3x^2+\frac(4)(\arccos x)$ మరియు మొదలైనవి.

ఆస్తి సంఖ్య 2

కొన్ని ఫంక్షన్ యొక్క అవకలన యొక్క నిరవధిక సమగ్రత ఈ ఫంక్షన్‌కి సమానంగా ఉంటుంది, అనగా. $\int \mathrm d F(x) =F(x)+C$.

సాధారణంగా ఈ ఆస్తి కొంత కష్టంగా భావించబడుతుంది, ఎందుకంటే సమగ్రం కింద "ఏమీ లేదు" అని అనిపిస్తుంది. దీన్ని నివారించడానికి, మీరు సూచించిన ఆస్తిని ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు: $\int 1\mathrm d F(x) =F(x)+C$. ఈ లక్షణాన్ని ఉపయోగించే ఉదాహరణ: $\int \mathrm d(3x^2+e^x+4)=3x^2+e^x+4+C$ లేదా, మీకు కావాలంటే, ఈ రూపంలో: $\int 1\; \mathrm d(3x^2+e^x+4) =3x^2+e^x+4+C$.

ఆస్తి సంఖ్య 3

స్థిరమైన కారకాన్ని సమగ్ర సంకేతం నుండి తీసుకోవచ్చు, అనగా. $\int a\cdot f(x) dx=a\cdot\int f(x) dx$ (మేము $a\neq 0$ అని అనుకుంటాము).

ఆస్తి చాలా సులభం మరియు, బహుశా, వ్యాఖ్యలు అవసరం లేదు. ఉదాహరణలు: $\int 3x^5 dx=3\cdot \int x^5 dx$, $\int (2x+4e^(7x)) dx=2\cdot\int(x+2e^(7x))dx $, $\int kx^2dx=k\cdot\int x^2dx$ ($k\neq 0$).

ఆస్తి సంఖ్య 4

రెండు ఫంక్షన్ల మొత్తం (తేడా) యొక్క సమగ్రత ఈ ఫంక్షన్ల సమగ్రాల మొత్తానికి (తేడా) సమానంగా ఉంటుంది:

$$\int(f_1(x)\pm f_2(x))dx=\int f_1(x)dx\pm\int f_2(x)dx$$

ఉదాహరణలు: $\int(\cos x+x^2)dx=\int \cos xdx+\int x^2 dx$, $\int(e^x - \sin x)dx=\int e^xdx -\ int \sin x dx$.

ప్రామాణిక పరీక్షలలో, లక్షణాలు No. 3 మరియు No. 4 సాధారణంగా ఉపయోగించబడతాయి, కాబట్టి మేము వాటిపై మరింత వివరంగా నివసిస్తాము.

ఉదాహరణ సంఖ్య 3

$\int 3 e^x dx$ని కనుగొనండి.

ప్రాపర్టీ నెం. 3ని ఉపయోగిస్తాము మరియు స్థిరమైన దాన్ని తీసుకుందాం, అనగా. సంఖ్య $3$, సమగ్ర చిహ్నం కోసం: $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx$. ఇప్పుడు ఇంటిగ్రల్స్ పట్టికను తెరిచి, $u=x$ని ఫార్ములా నంబర్ 4కి ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం: $\int e^x dx=e^x+C$. ఇది $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3e^x+C$ని అనుసరిస్తుంది. పాఠకుడికి వెంటనే ఒక ప్రశ్న ఉంటుందని నేను ఊహిస్తున్నాను, కాబట్టి నేను ఈ ప్రశ్నను విడిగా రూపొందిస్తాను:

ప్రశ్న #4

$\int e^x dx=e^x+C$ అయితే, $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3\cdot\left(e^x+C\right) =3e^x+3C$! వారు $3e^x+3C$కి బదులుగా $3e^x+C$ అని ఎందుకు వ్రాసారు?

ప్రశ్న పూర్తిగా సహేతుకమైనది. పాయింట్ ఏమిటంటే, సమగ్ర స్థిరాంకం (అంటే అదే సంఖ్య $C $) ఏదైనా వ్యక్తీకరణ రూపంలో సూచించబడుతుంది: ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే, ఈ వ్యక్తీకరణ మొత్తం వాస్తవ సంఖ్యల సెట్‌లో "పడుస్తుంది", అనగా. $-\infty$ నుండి $+\infty$ వరకు మారుతూ ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, $-\infty≤ C ≤ +\infty$ అయితే, $-\infty≤ \frac(C)(3) ≤ +\infty$, కాబట్టి స్థిరమైన $C$ని $\ రూపంలో సూచించవచ్చు. frac(C)( 3)$. మనం $\int e^x dx=e^x+\frac(C)(3)$ అని వ్రాయవచ్చు మరియు ఆపై $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3\cdot\ఎడమ (e^x+\frac(C)(3)\కుడి)=3e^x+C$. మీరు గమనిస్తే, ఇక్కడ ఎటువంటి వైరుధ్యం లేదు, కానీ సమగ్ర స్థిరాంకం యొక్క రూపాన్ని మార్చేటప్పుడు మీరు జాగ్రత్తగా ఉండాలి. ఉదాహరణకు, స్థిరమైన $C$ని $C^2$గా సూచించడం లోపం అవుతుంది. పాయింట్ ఏమిటంటే $C^2 ≥ 0$, అనగా. $C^2$ $-\infty$ నుండి $+\infty$కి మారదు మరియు అన్ని వాస్తవ సంఖ్యల ద్వారా "రన్" చేయదు. అదేవిధంగా, స్థిరాంకాన్ని $\sin C$గా సూచించడం పొరపాటు, ఎందుకంటే $-1≤ \sin C ≤ 1$, అనగా. $\sin C$ నిజమైన అక్షం యొక్క అన్ని విలువల ద్వారా "పరుగు" చేయదు. కింది వాటిలో, మేము ఈ సమస్యను వివరంగా చర్చించము, కానీ ప్రతి నిరవధిక సమగ్రానికి స్థిరమైన $C$ని వ్రాస్తాము.

ఉదాహరణ సంఖ్య 4

$\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \కుడి)dx$ని కనుగొనండి.

ఆస్తి సంఖ్య. 4ని ఉపయోగించుకుందాం:

$$\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \కుడి) dx=\int 4\sin x dx-\int\frac(17)(x ^2+9)dx-\int8x^3dx$$

ఇప్పుడు సమగ్ర సంకేతాల వెలుపల స్థిరాంకాలు (సంఖ్యలు) తీసుకుందాం:

$$\int 4\sin x dx-\int\frac(17)(x^2+9)dx-\int8x^3dx=4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^ 2+9)-8\int x^3dx$$

తరువాత, మేము పొందిన ప్రతి సమగ్రంతో విడిగా పని చేస్తాము. మొదటి సమగ్ర, అనగా. $\int \sin x dx$, సంఖ్య. 5 క్రింద ఉన్న సమగ్రాల పట్టికలో సులభంగా కనుగొనవచ్చు. ఫార్ములా నం. 5లో $u=x$ని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే మనకు లభిస్తుంది: $\int \sin x dx=-\cos x+C$.

రెండవ సమగ్రమైన $\int\frac(dx)(x^2+9)$ని కనుగొనడానికి మీరు ఇంటిగ్రల్స్ పట్టిక నుండి ఫార్ములా నంబర్ 11ని వర్తింపజేయాలి. దానిలో $u=x$ మరియు $a=3$లను ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే మనకు లభిస్తుంది: $\int\frac(dx)(x^2+9)=\frac(1)(3)\cdot \arctg\frac(x) (3)+C$.

చివరగా, $\int x^3dx$ని కనుగొనడానికి మేము టేబుల్ నుండి ఫార్ములా నంబర్ 1ని ఉపయోగిస్తాము, దానిలో $u=x$ మరియు $\alpha=3$ని భర్తీ చేస్తాము: $\int x^3dx=\frac(x^ (3 +1))(3+1)+C=\frac(x^4)(4)+C$.

$4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^2+9)-8\int x^3dx$ అనే వ్యక్తీకరణలో చేర్చబడిన అన్ని సమగ్రతలు కనుగొనబడ్డాయి. వాటిని ప్రత్యామ్నాయం చేయడమే మిగిలి ఉంది:

$$4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^2+9)-8\int x^3dx=4\cdot(-\cos x)-17\cdot\frac(1) (3)\cdot\arctg\frac(x)(3)-8\cdot\frac(x^4)(4)+C=\\ =-4\cdot\cos x-\frac(17)(3 )\cdot\arctg\frac(x)(3)-2\cdot x^4+C.$$

సమస్య పరిష్కరించబడింది, సమాధానం: $\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \right)dx=-4\cdot\cos x-\ frac(17 )(3)\cdot\arctg\frac(x)(3)-2\cdot x^4+C$. నేను ఈ సమస్యకు ఒక చిన్న గమనికను జోడిస్తాను:

ఒక చిన్న గమనిక

బహుశా ఎవరికీ ఈ ఇన్సర్ట్ అవసరం ఉండదు, కానీ నేను ఇప్పటికీ $\frac(1)(x^2+9)\cdot dx=\frac(dx)(x^2+9)$ అని ప్రస్తావిస్తాను. ఆ. $\int\frac(17)(x^2+9)dx=17\cdot\int\frac(1)(x^2+9)dx=17\cdot\int\frac(dx)(x^2 +9)$.

అహేతుకతలను (మూలాలు, మరో మాటలో చెప్పాలంటే) ఇంటర్పోస్ చేయడానికి సమగ్రాల పట్టిక నుండి ఫార్ములా నంబర్ 1ని ఉపయోగించే ఉదాహరణను చూద్దాం.

ఉదాహరణ సంఖ్య 5

$\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6))\కుడి)dx$ని కనుగొనండి.

ప్రారంభించడానికి, మేము ఉదాహరణ నం. 3లో అదే చర్యలను చేస్తాము, అవి: మేము సమగ్రతను రెండుగా విడదీస్తాము మరియు స్థిరాంకాలను సమగ్ర సంకేతాలకు మించి తరలిస్తాము:

$$\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6)) \right)dx=\int\left(5\cdot\sqrt(x^) 4) \right)dx-\int\frac(14)(\sqrt(x^6)) dx=\\ =5\cdot\int\sqrt(x^4) dx-14\cdot\int\frac( dx)(\sqrt(x^6)) $$

$\sqrt(x^4)=x^(\frac(4)(7))$, ఆపై $\int\sqrt(x^4) dx=\int x^(\frac(4)(7 ) )dx$. ఈ సమగ్రతను కనుగొనడానికి, మేము ఫార్ములా నంబర్ 1ని వర్తింపజేస్తాము, దానిలో $u=x$ మరియు $\alpha=\frac(4)(7)$ని భర్తీ చేస్తాము: $\int x^(\frac(4)(7)) dx=\ frac(x^(\frac(4)(7)+1))(\frac(4)(7)+1)+C=\frac(x^(\frac(11)(7)) )(\ frac(11)(7))+C=\frac(7\cdot\sqrt(x^(11)))(11)+C$. మీరు కోరుకుంటే, మీరు $\sqrt(x^(11))$ని $x\cdot\sqrt(x^(4))$గా సూచించవచ్చు, కానీ ఇది అవసరం లేదు.

ఇప్పుడు మనం రెండవ సమగ్రానికి వెళ్దాం, అనగా. $\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))$. నుండి $\frac(1)(\sqrt(x^6))=\frac(1)(x^(\frac(6)(11)))=x^(-\frac(6)(11) ) $, అప్పుడు పరిశీలనలో ఉన్న సమగ్రతను క్రింది రూపంలో సూచించవచ్చు: $\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))=\int x^(-\frac(6)(11))dx$ . ఫలిత సమగ్రతను కనుగొనడానికి, మేము సమగ్రాల పట్టిక నుండి ఫార్ములా నం. 1ని వర్తింపజేస్తాము, దానిలో $u=x$ మరియు $\alpha=-\frac(6)(11)$ని భర్తీ చేస్తాము: $\int x^(-\ frac(6)(11) ))dx=\frac(x^(-\frac(6)(11)+1))(-\frac(6)(11)+1)+C=\frac(x ^(\frac(5) (11)))(\frac(5)(11))+C=\frac(11\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C$.

పొందిన ఫలితాలను ప్రత్యామ్నాయంగా, మేము సమాధానం పొందుతాము:

$$5\cdot\int\sqrt(x^4) dx-14\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))= 5\cdot\frac(7\cdot\sqrt(x^( 11)))(11)-14\cdot\frac(11\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C= \frac(35\cdot\sqrt(x^(11)))( 11)-\frac(154\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C. $$

సమాధానం: $\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6))\right)dx=\frac(35\cdot\sqrt(x^(11) )))(11)-\frac(154\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C$.

చివరగా, ఇంటిగ్రల్స్ పట్టికలోని ఫార్ములా నంబర్ 9 కిందకు వచ్చే సమగ్రతను తీసుకుందాం. ఉదాహరణ నం. 6, మేము ఇప్పుడు కొనసాగిస్తాము, మరొక విధంగా పరిష్కరించవచ్చు, కానీ ఇది తదుపరి అంశాలలో చర్చించబడుతుంది. ప్రస్తుతానికి, మేము పట్టికను ఉపయోగించే ఫ్రేమ్‌వర్క్‌లో ఉంటాము.

ఉదాహరణ సంఖ్య 6

$\int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx$ని కనుగొనండి.

ముందుగా, మునుపటిలాగా అదే ఆపరేషన్ చేద్దాం: సమగ్ర చిహ్నం వెలుపల స్థిరాంకాన్ని ($12$) తరలించండి:

$$ \int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx=12\cdot\int\frac(1)(\sqrt(15-7x^2))dx=12\cdot\int \frac(dx)(\sqrt(15-7x^2)) $$

ఫలితంగా సమగ్రమైన $\int\frac(dx)(\sqrt(15-7x^2))$ ఇప్పటికే పట్టిక $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2)కి దగ్గరగా ఉంది )$ (ఫార్ములా సంఖ్య. 9 సమగ్రాల పట్టిక). మా ఇంటిగ్రల్‌లో వ్యత్యాసం ఏమిటంటే, రూట్ కింద $x^2$ కంటే ముందు $7$ గుణకం ఉంది, ఇది టేబుల్ ఇంటిగ్రల్ అనుమతించదు. అందువల్ల, ఈ ఏడుని మూల గుర్తుకు మించి తరలించడం ద్వారా మనం వదిలించుకోవాలి:

$$ 12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(15-7x^2))=12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(7\cdot\left(\frac(15))( ) 7)-x^2\కుడి)))= 12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(7)\cdot\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))=\ frac (12)(\sqrt(7))\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2)) $$

మేము పట్టిక సమగ్రమైన $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2))$ మరియు $\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-ని పోల్చినట్లయితే x^ 2))$ అవి ఒకే నిర్మాణాన్ని కలిగి ఉన్నాయని స్పష్టమవుతుంది. సమగ్ర $\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))$లో $u$కి బదులుగా $x$ ఉంది మరియు $a^2$కి బదులుగా $\frac (15)(7)$ ఉంది. సరే, $a^2=\frac(15)(7)$ అయితే, $a=\sqrt(\frac(15)(7))$. $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2))=\arcsin సూత్రంలో $u=x$ మరియు $a=\sqrt(\frac(15)(7))$ని ప్రత్యామ్నాయం చేయడం \ frac(u)(a)+C$, మేము ఈ క్రింది ఫలితాన్ని పొందుతాము:

$$ \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))= \frac(12)(\sqrt (7))\cdot\arcsin\frac(x)(\sqrt(\frac(15)(7)))+C $$

మనం $\sqrt(\frac(15)(7))=\frac(\sqrt(15))(\sqrt(7))$ అని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, ఫలితం “మూడు-కథ లేకుండా తిరిగి వ్రాయబడుతుంది. "భిన్నాలు:

$$ \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac(x)(\sqrt(\frac(15)(7)))+C=\frac(12)(\sqrt(7) ))\cdot\arcsin\frac(x)(\frac(\sqrt(15))(\sqrt(7))+C= \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac (\sqrt(7)\;x)(\sqrt(15))+C $$

సమస్య పరిష్కారమైంది, సమాధానం అందుతుంది.

సమాధానం: $\int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx=\frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac(\sqrt(7)\;x) (\sqrt(15))+C$.

ఉదాహరణ సంఖ్య 7

$\int\tg^2xdx$ని కనుగొనండి.

త్రికోణమితి విధులను ఏకీకృతం చేయడానికి పద్ధతులు ఉన్నాయి. అయితే, ఈ సందర్భంలో, మీరు సాధారణ త్రికోణమితి సూత్రాల పరిజ్ఞానంతో పొందవచ్చు. నుండి $\tg x=\frac(\sin x)(\cos x)$, ఆపై $\left(\tg x\right)^2=\left(\frac(\sin x)(\cos x) \ కుడి)^2=\frac(\sin^2x)(\cos^2x)$. $\sin^2x=1-\cos^2x$ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, మనకు లభిస్తుంది:

$$ \frac(\sin^2x)(\cos^2x)=\frac(1-\cos^2x)(\cos^2x)=\frac(1)(\cos^2x)-\frac(\ cos^2x)(\cos^2x)=\frac(1)(\cos^2x)-1 $$

అందువలన, $\int\tg^2xdx=\int\left(\frac(1)(\cos^2x)-1\కుడి)dx$. ఫలిత సమగ్రతను సమగ్రాల మొత్తానికి విస్తరించడం మరియు పట్టిక సూత్రాలను వర్తింపజేయడం, మేము వీటిని కలిగి ఉంటాము:

$$ \int\left(\frac(1)(\cos^2x)-1\right)dx=\int\frac(dx)(\cos^2x)-\int 1dx=\tg x-x+C . $$

సమాధానం: $\int\tg^2xdx=\tg x-x+C$.

పాఠ్య సామగ్రి: ఉపన్యాస గమనికలు.

మూల్యాంకన నిర్ణయ ప్రమాణాలు

పని క్రమంలో

వ్యాయామం 1.

ఉపన్యాసం నం. 9 చదవండి

టాస్క్ 2.

ఉపన్యాసం 9.

నిరవధిక సమగ్ర ఈ ఫంక్షన్ నుండి:

10 .

( dx)" = డి ( dx) =f(x) dx

20. ఫంక్షన్ యొక్క అవకలన యొక్క నిరవధిక సమగ్రం ఈ ఫంక్షన్‌తో పాటు ఏకపక్ష స్థిరాంకంతో సమానంగా ఉంటుంది:

30. స్థిరమైన కారకాన్ని నిరవధిక సమగ్ర సంకేతం నుండి తీసుకోవచ్చు.

40. ఫంక్షన్ల బీజగణిత మొత్తం యొక్క నిరవధిక సమగ్రం, ఫంక్షన్ల నిబంధనల యొక్క నిరవధిక సమగ్రాల బీజగణిత మొత్తానికి సమానం:

50. a స్థిరాంకం అయితే, సూత్రం చెల్లుతుంది

డాక్యుమెంట్ కంటెంట్‌లను వీక్షించండి
“టెక్నిక్ ఆఫ్ ఇంటిగ్రేషన్ డైరెక్ట్ ఇంటిగ్రేషన్”

ప్రాక్టికల్ పని№ 7

అంశం: ఇంటిగ్రేషన్ టెక్నిక్. ప్రత్యక్ష ఏకీకరణ

లక్ష్యాలు:

నిరవధిక సమగ్రతను లెక్కించడానికి సూత్రాలు మరియు నియమాలను అధ్యయనం చేయండి

ప్రత్యక్ష ఏకీకరణను ఉపయోగించి ఉదాహరణలను పరిష్కరించడం నేర్చుకోండి

పాఠ్య సామగ్రి: ఉపన్యాస గమనికలు.

మూల్యాంకన నిర్ణయ ప్రమాణాలు

అన్ని పని పనులను సరిగ్గా పూర్తి చేయడానికి "5" గ్రేడ్ ఇవ్వబడుతుంది

టాస్క్ 1ని పూర్తి చేయడానికి మరియు టాస్క్ 2 నుండి ఏవైనా పది ఉదాహరణలను సరిగ్గా పరిష్కరించడానికి “4” గ్రేడ్ ఇవ్వబడింది.

టాస్క్ 1ని పూర్తి చేయడానికి మరియు టాస్క్ 2 నుండి ఏవైనా ఏడు ఉదాహరణలను సరిగ్గా పరిష్కరించడానికి “3” గ్రేడ్ ఇవ్వబడింది.

పని క్రమంలో

వ్యాయామం 1.

ఉపన్యాసం నం. 9 చదవండి

ఉపన్యాసాలను ఉపయోగించి, ప్రశ్నలకు సమాధానమివ్వండి మరియు మీ నోట్‌బుక్‌లో సమాధానాలను వ్రాయండి:

1.నిరవధిక సమగ్రం యొక్క ఏ లక్షణాలు మీకు తెలుసు?

2. ప్రాథమిక ఏకీకరణ సూత్రాలలో వ్రాయండి

3. ప్రత్యక్ష ఏకీకరణతో ఏ కేసులు సాధ్యమవుతాయి?

టాస్క్ 2.

స్వతంత్ర పరిష్కారం కోసం ఉదాహరణలను పరిష్కరించండి

ఉపన్యాసం 9.

అంశం: “నిరవధిక సమగ్రం. ప్రత్యక్ష ఏకీకరణ"

F "(x) = f(x) అయితే F(x) ఫంక్షన్‌ని f(x) ఫంక్షన్ యొక్క యాంటీడెరివేటివ్ అంటారు.

ఏదైనా నిరంతర ఫంక్షన్ f(x) అనంతమైన యాంటీడెరివేటివ్‌లను కలిగి ఉంటుంది, ఇది స్థిరమైన పదం ద్వారా ఒకదానికొకటి భిన్నంగా ఉంటుంది.

F(x) ఫంక్షన్ కోసం అన్ని యాంటీడెరివేటివ్‌ల సెట్ యొక్క సాధారణ వ్యక్తీకరణ F(x) +C అంటారు నిరవధిక సమగ్ర ఈ ఫంక్షన్ నుండి:

dx = F(x) +С, d(F(x) +С) = dx అయితే

నిరవధిక సమగ్రం యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాలు

1 0 .నిరవధిక సమగ్రం యొక్క ఉత్పన్నం సమగ్రతకు సమానం మరియు దాని అవకలన సమగ్రతకు సమానం:

( dx)" = డి ( dx) =f(x) dx

2 0 . ఫంక్షన్ యొక్క అవకలన యొక్క నిరవధిక సమగ్రం ఈ ఫంక్షన్‌తో పాటు ఏకపక్ష స్థిరాంకంతో సమానంగా ఉంటుంది:

3 0 . స్థిరమైన కారకాన్ని నిరవధిక సమగ్ర సంకేతం నుండి తీసుకోవచ్చు.

4 0 .బీజగణిత మొత్తం ఫంక్షన్ల యొక్క నిరవధిక సమగ్రం, ఫంక్షన్ల నిబంధనల యొక్క నిరవధిక సమగ్రాల బీజగణిత మొత్తానికి సమానం:

+dx

5 0 . a స్థిరాంకం అయితే, సూత్రం చెల్లుతుంది

ప్రాథమిక ఏకీకరణ సూత్రాలు (పట్టిక ఇంటిగ్రల్స్)

4.

5.

7.

9. = - ctgx + C

12. = ఆర్క్సిన్ + సి

సూత్రాలు (3), (10) వర్తించేటప్పుడు. (11) సంవర్గమాన సంకేతం క్రింద వ్యక్తీకరణ ప్రతికూల విలువను కలిగి ఉన్న సందర్భాలలో మాత్రమే సంపూర్ణ విలువ గుర్తు వ్రాయబడుతుంది.

ప్రతి సూత్రాలను తనిఖీ చేయడం సులభం. కుడి వైపున భేదం ఫలితంగా, ఒక సమగ్రత పొందబడుతుంది.

ప్రత్యక్ష ఏకీకరణ.

డైరెక్ట్ ఇంటిగ్రేషన్ అనేది ఇంటిగ్రల్స్ పట్టిక యొక్క ప్రత్యక్ష వినియోగంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. కింది సందర్భాలు ఇక్కడ తలెత్తవచ్చు:

1) ఈ సమగ్రతను సంబంధిత పట్టిక సమగ్ర నుండి నేరుగా కనుగొనవచ్చు;

2) ఈ సమగ్రత, 3 0 మరియు 4 0 లక్షణాలను వర్తింపజేసిన తర్వాత, ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ పట్టిక సమగ్రాలకు తగ్గించబడుతుంది;

3) ఈ సమగ్రత, 3 0 మరియు 4 0 లక్షణాల సమగ్ర మరియు అప్లికేషన్‌పై ప్రాథమిక గుర్తింపు పరివర్తనల తర్వాత, ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ పట్టిక సమగ్రాలకు తగ్గించబడుతుంది.

ఉదాహరణలు.

ఆస్తి 3 0 ఆధారంగా, స్థిరమైన కారకం 5 సమగ్ర సంకేతం నుండి తీసివేయబడుతుంది మరియు ఫార్ములా 1ని ఉపయోగించి, మేము పొందుతాము

పరిష్కారం. ఆస్తి 3 0 మరియు ఫార్ములా 2 ఉపయోగించి, మేము పొందుతాము

6

పరిష్కారం. లక్షణాలు 3 0 మరియు 4 0 మరియు సూత్రాలు 1 మరియు 2 ఉపయోగించి, మేము కలిగి

X + 3) = 4 + 12 = 4 - 4 + 12x + C = + 12x + C

ఏకీకరణ స్థిరాంకం C అనేది మూడు ఏకీకరణ స్థిరాంకాల బీజగణిత మొత్తానికి సమానం, ఎందుకంటే ప్రతి సమగ్రానికి దాని స్వంత ఏకపక్ష స్థిరాంకం ఉంటుంది (C 1 – C 2 + C 3 = C)

పరిష్కారం. ప్రతి పదాన్ని వర్గీకరించడం మరియు సమగ్రపరచడం, మేము కలిగి ఉన్నాము

త్రికోణమితి సూత్రాన్ని ఉపయోగించి 1 + cot 2 x =

= = - ctgx – x + C

పరిష్కారం. ఇంటిగ్రాండ్ యొక్క న్యూమరేటర్‌కు 9 సంఖ్యను తీసివేయడం మరియు జోడించడం, మేము పొందుతాము

= = + = - =

X + 9 + C = - x +

స్వీయ పరిష్కారానికి ఉదాహరణలు

డైరెక్ట్ ఇంటిగ్రేషన్ ఉపయోగించి సమగ్రాలను మూల్యాంకనం చేయండి:

విద్యార్థుల జ్ఞానాన్ని పర్యవేక్షించడం:

ఆచరణాత్మక పనిని తనిఖీ చేయండి;

ఆచరణాత్మక పనిని పూర్తి చేయడానికి అవసరాలు:

ఆచరణాత్మక పని కోసం ఒక నోట్బుక్లో పని పూర్తి చేయాలి

తరగతి తర్వాత పనిని సమర్పించండి

ఇప్పటి నుండి మనం నిరవధిక సమగ్రత గురించి మాత్రమే మాట్లాడతాము, సంక్షిప్తత కొరకు మేము "నిరవధిక" అనే పదాన్ని విస్మరిస్తాము.

ఇంటిగ్రల్స్‌ను ఎలా లెక్కించాలో తెలుసుకోవడానికి (లేదా, వారు చెప్పినట్లు, ఫంక్షన్‌లను ఇంటిగ్రేట్ చేయండి), మీరు మొదట సమగ్రాల పట్టికను నేర్చుకోవాలి:

టేబుల్ 1. సమగ్రాల పట్టిక

2. ( ),u>0. 2a. (α=0); 2b. (α=1); 2c. (α= ). 3. 3a. 4. 5. 5a) 6a. 7. 7a.

8. 9. 10. 10a. 11. 11a. 12. 13. 13a.

అదనంగా, మీకు ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని లెక్కించే సామర్థ్యం అవసరం, అంటే మీరు భేదం యొక్క నియమాలను మరియు ప్రాథమిక ప్రాథమిక ఫంక్షన్ల ఉత్పన్నాల పట్టికను గుర్తుంచుకోవాలి:

టేబుల్ 2. డెరివేటివ్స్ మరియు డిఫరెన్సియేషన్ నియమాల పట్టిక:

6.a .

(పాపం మరియు) = ఖర్చు మరియు  మరియు (కస్ u) = – పాపం మరియు మరియు

ఫంక్షన్ యొక్క అవకలనను కనుగొనే సామర్థ్యం కూడా మనకు అవసరం. ఫంక్షన్ యొక్క అవకలన అని గుర్తుంచుకోండి
ఫార్ములా ద్వారా కనుగొనండి
, అనగా ఒక ఫంక్షన్ యొక్క భేదం ఈ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం మరియు దాని వాదన యొక్క భేదం యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం. కింది తెలిసిన సంబంధాలను గుర్తుంచుకోవడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది:

టేబుల్ 3. అవకలన పట్టిక

1. (బి= కాన్స్ట్) 2. ( ) 3. 4. 5. (బి= కాన్స్ట్) 6. 7. 8. 9.

10. 11. 12. 14. 15. 16. 17.

అంతేకాకుండా, ఈ సూత్రాలను ఎడమ నుండి కుడికి లేదా కుడి నుండి ఎడమకు చదవడం ద్వారా ఉపయోగించవచ్చు.

సమగ్రతను లెక్కించే మూడు ప్రధాన పద్ధతులను వరుసగా పరిశీలిద్దాం. వాటిలో మొదటిది అంటారు డైరెక్ట్ ఇంటిగ్రేషన్ పద్ధతి ద్వారా.ఇది నిరవధిక సమగ్రం యొక్క లక్షణాల ఉపయోగంపై ఆధారపడి ఉంటుంది మరియు రెండు ప్రధాన పద్ధతులను కలిగి ఉంటుంది: బీజగణిత మొత్తానికి సమగ్రతను విస్తరించడంసరళమైనది మరియు అవకలన గుర్తుకు సభ్యత్వం పొందడం, మరియు ఈ పద్ధతులు స్వతంత్రంగా మరియు కలయికలో ఉపయోగించవచ్చు.

ఎ)పరిగణలోకి తీసుకుందాం బీజగణిత మొత్తం విస్తరణ- ఈ సాంకేతికత సమీకృత మరియు నిరవధిక సమగ్రత యొక్క లీనియరిటీ లక్షణాల యొక్క ఒకే విధమైన పరివర్తనలను ఉపయోగించడం:
మరియు.

ఉదాహరణ 1. సమగ్రాలను కనుగొనండి:

ఎ)
; బి)
;

V)
జి)

d)
.

పరిష్కారం.

ఎ)న్యూమరేటర్ పదాన్ని పదం ద్వారా విభజించడం ద్వారా సమగ్రతను మారుద్దాం:

అధికారాల ఆస్తి ఇక్కడ ఉపయోగించబడుతుంది:
.

బి) మొదట, మేము భిన్నం యొక్క లవంను మారుస్తాము, ఆపై మేము లవం పదాన్ని హారం ద్వారా పదం ద్వారా విభజిస్తాము:

డిగ్రీల ఆస్తి కూడా ఇక్కడ ఉపయోగించబడుతుంది:
.

ఇక్కడ ఉపయోగించిన ఆస్తి:
,
.

.

టేబుల్ 1లోని 2 మరియు 5 సూత్రాలు ఇక్కడ ఉపయోగించబడ్డాయి.

ఉదాహరణ 2. సమగ్రాలను కనుగొనండి:

ఎ)
; బి)
;

V)
జి)

d)
.

పరిష్కారం.

ఎ)త్రికోణమితి గుర్తింపును ఉపయోగించి సమగ్రతను మారుద్దాం:

.

ఇక్కడ మేము మళ్లీ పదం వారీగా భాగము యొక్క హారం మరియు టేబుల్ 1 యొక్క 8 మరియు 9 సూత్రాలను ఉపయోగిస్తాము.

బి) మేము గుర్తింపును ఉపయోగించి అదేవిధంగా రూపాంతరం చేస్తాము
:

.

సి) ముందుగా, లవం పదాన్ని హారం ద్వారా పదం ద్వారా విభజించి, సమగ్ర సంకేతం నుండి స్థిరాంకాలను తీయండి, ఆపై త్రికోణమితి గుర్తింపును ఉపయోగించండి
:

డి) డిగ్రీని తగ్గించడానికి సూత్రాన్ని వర్తింపజేయండి:

,

ఇ) త్రికోణమితి గుర్తింపులను ఉపయోగించి, మేము రూపాంతరం చేస్తాము:

బి) n అని పిలువబడే ఇంటిగ్రేషన్ టెక్నిక్‌ని పరిశీలిద్దాం అవకలన గుర్తు క్రింద ఉంచడం ద్వారా. ఈ సాంకేతికత నిరవధిక సమగ్రం యొక్క మార్పులేని లక్షణంపై ఆధారపడి ఉంటుంది:

ఉంటే
, ఏదైనా డిఫరెన్సిబుల్ ఫంక్షన్ కోసం మరియు=మరియు(X) సంభవిస్తుంది:
.

ఈ లక్షణం సాధారణ సమగ్రాల పట్టికను గణనీయంగా విస్తరించడానికి అనుమతిస్తుంది, ఎందుకంటే ఈ ఆస్తి కారణంగా టేబుల్ 1లోని సూత్రాలు స్వతంత్ర వేరియబుల్‌కు మాత్రమే చెల్లుతాయి. మరియు, కానీ సందర్భంలో కూడా ఉన్నప్పుడు మరియుకొన్ని ఇతర వేరియబుల్ యొక్క డిఫరెన్సిబుల్ ఫంక్షన్.

ఉదాహరణకి,
, ఐన కూడా
, మరియు
, మరియు
.

లేదా
మరియు
, మరియు
.

పద్ధతి యొక్క సారాంశం ఏమిటంటే, ఇచ్చిన సమగ్రతలో నిర్దిష్ట ఫంక్షన్ యొక్క అవకలనాన్ని వేరుచేయడం, తద్వారా ఈ వివిక్త అవకలన, మిగిలిన వ్యక్తీకరణలతో కలిపి, ఈ ఫంక్షన్ కోసం పట్టిక సూత్రాన్ని ఏర్పరుస్తుంది. అవసరమైతే, అటువంటి మార్పిడి సమయంలో, స్థిరాంకాలు తదనుగుణంగా జోడించబడతాయి. ఉదాహరణకి:

(Ln(3+) వ్రాసిన చివరి ఉదాహరణలో x 2) ln|3 +కి బదులుగా x 2 | , వ్యక్తీకరణ 3 + కాబట్టి x 2 ఎల్లప్పుడూ సానుకూలంగా ఉంటుంది).

ఉదాహరణ 3. సమగ్రాలను కనుగొనండి:

ఎ)
; బి)
; V)
;

జి)
; d)
; ఇ)
;

మరియు)
; h)
.

పరిష్కారం.

ఎ).

టేబుల్ 1 యొక్క సూత్రాలు 2a, 5a మరియు 7a ఇక్కడ ఉపయోగించబడ్డాయి, వీటిలో చివరి రెండు అవకలన గుర్తును ఉపసంహరించుకోవడం ద్వారా ఖచ్చితంగా పొందబడతాయి:

వీక్షణ విధులను ఏకీకృతం చేయండి
మరింత సంక్లిష్టమైన ఫంక్షన్ల యొక్క సమగ్రాలను లెక్కించే చట్రంలో చాలా తరచుగా జరుగుతుంది. ప్రతిసారీ పైన వివరించిన దశలను పునరావృతం చేయకుండా ఉండటానికి, మీరు టేబుల్ 1లో అందించిన సంబంధిత సూత్రాలను గుర్తుంచుకోవాలని మేము సిఫార్సు చేస్తున్నాము.

.

టేబుల్ 1 యొక్క ఫార్ములా 3 ఇక్కడ ఉపయోగించబడింది.

సి) అదేవిధంగా, దీనిని పరిగణనలోకి తీసుకుని, మేము రూపాంతరం చేస్తాము:

.

టేబుల్ 1లోని ఫార్ములా 2c ఇక్కడ ఉపయోగించబడింది.

జి)

.

d) ;

ఇ)

.

మరియు) ;

h)

.

ఉదాహరణ 4. సమగ్రాలను కనుగొనండి:

ఎ)
బి)

V)
.

పరిష్కారం.

ఎ) రూపాంతరం చెందుదాం:

టేబుల్ 1 యొక్క ఫార్ములా 3 కూడా ఇక్కడ ఉపయోగించబడింది.

బి) మేము డిగ్రీని తగ్గించడానికి సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము
:

టేబుల్ 1లోని 2a మరియు 7a సూత్రాలు ఇక్కడ ఉపయోగించబడ్డాయి.

ఇక్కడ, టేబుల్ 1 యొక్క 2 మరియు 8 సూత్రాలతో పాటు, టేబుల్ 3 యొక్క సూత్రాలు కూడా ఉపయోగించబడతాయి:
,
.

ఉదాహరణ 5. సమగ్రాలను కనుగొనండి:

ఎ)
; బి)

V)
; జి)
.

పరిష్కారం.

ఒక పని
ఫంక్షన్ యొక్క అవకలనకు అనుబంధంగా (టేబుల్ 3 యొక్క ఫార్ములాలు 4 మరియు 5 చూడండి)
, ఎక్కడ ఎమరియు బి- ఏదైనా స్థిరాంకాలు,
. నిజానికి, ఎక్కడ నుండి
.

అప్పుడు మనకు ఉన్నాయి:

.

బి) టేబుల్ 3 యొక్క ఫార్ములా 6 ఉపయోగించి, మేము కలిగి ఉన్నాము
, మరియు
, అంటే ఉత్పత్తి యొక్క సమగ్రతలో ఉనికిని సూచిస్తుంది
అంటే సూచన: అవకలన చిహ్నం కింద మీరు వ్యక్తీకరణను నమోదు చేయాలి
. అందువల్ల మనకు లభిస్తుంది

c) బిందువు బిందువు వలెనే), ఉత్పత్తి
అవకలన ఫంక్షన్లకు విస్తరించవచ్చు
. అప్పుడు మనకు లభిస్తుంది:

.

d) మొదట మనం సమగ్రం యొక్క సరళ లక్షణాలను ఉపయోగిస్తాము:

ఉదాహరణ 6. సమగ్రాలను కనుగొనండి:

ఎ)
; బి)
;

V)
; జి)
.

పరిష్కారం.

ఎ)పరిగణలోకి
(టేబుల్ 3 యొక్క ఫార్ములా 9), మేము రూపాంతరం చేస్తాము:

బి) టేబుల్ 3 యొక్క ఫార్ములా 12 ఉపయోగించి, మేము పొందుతాము

సి) టేబుల్ 3 యొక్క ఫార్ములా 11ని పరిగణనలోకి తీసుకుని, మేము రూపాంతరం చేస్తాము

d) టేబుల్ 3 యొక్క ఫార్ములా 16ని ఉపయోగించి, మేము పొందుతాము:

.

ఉదాహరణ 7. సమగ్రాలను కనుగొనండి:

ఎ)
; బి)
;

V)
; జి)
.

పరిష్కారం.

ఎ)ఈ ఉదాహరణలో అందించబడిన అన్ని సమగ్రతలు ఒక సాధారణ లక్షణాన్ని కలిగి ఉంటాయి: సమగ్రత చతుర్భుజ ట్రినోమియల్‌ని కలిగి ఉంది. అందువల్ల, ఈ సమగ్రాలను గణించే పద్ధతి అదే పరివర్తనపై ఆధారపడి ఉంటుంది - ఈ క్వాడ్రాటిక్ ట్రినోమియల్‌లో పూర్తి చతురస్రాన్ని వేరుచేయడం.

.

బి)

.

V)

జి)

అవకలన సంకేతాన్ని ప్రత్యామ్నాయం చేసే పద్ధతి అనేది ఒక సమగ్రతను లెక్కించే మరింత సాధారణ పద్ధతి యొక్క నోటి అమలు, దీనిని ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతి లేదా వేరియబుల్ మార్పు అని పిలుస్తారు. నిజానికి, ప్రతిసారీ, ఫంక్షన్ అవకలన గుర్తును ఉపసంహరించుకోవడం ద్వారా పొందిన దాని కోసం టేబుల్ 1లో తగిన ఫార్ములాను ఎంచుకోవడం ద్వారా, మేము లేఖను మానసికంగా భర్తీ చేస్తాము. మరియుఫంక్షన్ అవకలన గుర్తు క్రింద ప్రవేశపెట్టబడింది. అందువల్ల, అవకలన గుర్తును ఉపసంహరించుకోవడం ద్వారా ఏకీకరణ బాగా పని చేయకపోతే, మీరు నేరుగా వేరియబుల్‌ను మార్చవచ్చు. తదుపరి పేరాలో దీని గురించి మరిన్ని వివరాలు.

డైరెక్ట్ ఇంటిగ్రేషన్ పద్ధతి సమగ్ర ఫంక్షన్‌ను మార్చడం, నిరవధిక సమగ్రం యొక్క లక్షణాలను వర్తింపజేయడం మరియు సమగ్ర వ్యక్తీకరణను పట్టిక రూపంలోకి తగ్గించడంపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

ఉదాహరణకి:

పరీక్ష

పరీక్ష

2. ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతి (వేరియబుల్ రీప్లేస్‌మెంట్)

ఈ పద్ధతి కొత్త వేరియబుల్‌ను పరిచయం చేయడంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. సమగ్రంలో ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:

;

అందువలన, మేము పొందుతాము:

ఉదాహరణకి:

1)

పరీక్ష:

2)

పరీక్ష(నిరవధిక సమగ్రం యొక్క ఆస్తి సంఖ్య. 2 ఆధారంగా):

ముక్కల వారీగా ఇంటిగ్రేటెడ్

వీలు u మరియు v - భిన్నమైన విధులు. ఈ ఫంక్షన్ల యొక్క ఉత్పత్తి యొక్క భేదాన్ని వెల్లడి చేద్దాం:

,

ఎక్కడ

ఫలిత వ్యక్తీకరణను ఏకీకృతం చేద్దాం:

ఉదాహరణకి:

పరీక్ష(నిరవధిక సమగ్రం యొక్క ఆస్తి సంఖ్య. 1 ఆధారంగా):

2)

తేల్చుకుందాం

పరీక్ష(నిరవధిక సమగ్రం యొక్క ఆస్తి సంఖ్య. 1 ఆధారంగా):

ప్రాక్టికల్ పార్ట్

ఇంట్లోనే పరిష్కరించుకోవాల్సిన సమస్యలు

సమగ్రతను కనుగొనండి:

ఎ) ; ఇ) ;

V) ; h)

జి) ; మరియు)

d) ; కు)

ఎ) ; ఇ) ;

V) ; h) ;

d) ; కు) .

ఎ) ; V) ; d)

బి) ; జి) ; ఇ)

ప్రాక్టికల్ తరగతుల్లో పరిష్కరించాల్సిన సమస్యలు:

I. డైరెక్ట్ ఇంటిగ్రేషన్ పద్ధతి

ఎ) ; మరియు) ;

బి) ; h) ;

V) ; మరియు)

జి) ; కు)

ఇ) ; m)

II. ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతి (వేరియబుల్ రీప్లేస్‌మెంట్)

జి) ; కు) ;

d) ; l) ;

III. భాగాల ద్వారా ఏకీకరణ పద్ధతి

టాపిక్ నం. 4

ఖచ్చితమైన సమగ్రం

గణిత గణనలలో, నిర్దిష్ట పరిమితుల్లో దాని వాదన మారినప్పుడు యాంటీడెరివేటివ్ ఫంక్షన్ యొక్క పెరుగుదలను కనుగొనడం తరచుగా అవసరం. వివిధ సంఖ్యల ప్రాంతాలు మరియు వాల్యూమ్‌లను లెక్కించేటప్పుడు, ఫంక్షన్ యొక్క సగటు విలువను నిర్ణయించేటప్పుడు, వేరియబుల్ ఫోర్స్ యొక్క పనిని లెక్కించేటప్పుడు ఈ సమస్యను పరిష్కరించాలి. సంబంధిత ఖచ్చితమైన సమగ్రాలను గణించడం ద్వారా ఈ సమస్యలను పరిష్కరించవచ్చు.

పాఠం యొక్క ఉద్దేశ్యం:

1. న్యూటన్-లీబ్నిజ్ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి ఖచ్చితమైన సమగ్రతను లెక్కించడం నేర్చుకోండి.

2. అనువర్తిత సమస్యలను పరిష్కరించడానికి ఖచ్చితమైన సమగ్ర భావనను వర్తింపజేయగలగాలి.

సైద్ధాంతిక భాగం

నిర్ణయించబడిన సమగ్రత యొక్క భావన మరియు దాని జ్యామితీయ అర్థం

కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క ప్రాంతాన్ని కనుగొనడంలో సమస్యను పరిగణించండి.

కొంత ఫంక్షన్ ఇవ్వనివ్వండి y=f(x), దీని గ్రాఫ్ చిత్రంలో చూపబడింది.

మూర్తి 1. ఖచ్చితమైన సమగ్రత యొక్క రేఖాగణిత అర్థం.

అక్షం మీద 0x పాయింట్లను ఎంచుకోండి “ఒక" మరియు "వి" మరియు అవి వక్రరేఖతో కలిసే వరకు వాటి నుండి లంబాలను పునరుద్ధరించండి. ఒక వక్రరేఖ, లంబంగా మరియు అక్షంతో సరిహద్దులుగా ఉన్న బొమ్మ 0x వక్ర ట్రాపెజాయిడ్ అని పిలుస్తారు. విరామాన్ని అనేక చిన్న భాగాలుగా విభజిద్దాము. ఏకపక్ష విభాగాన్ని ఎంచుకుందాం. ఒక దీర్ఘచతురస్రానికి ఈ విభాగానికి అనుగుణంగా వంపు తిరిగిన ట్రాపెజాయిడ్‌ను నిర్మిస్తాము. అటువంటి దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వైశాల్యం ఇలా నిర్ణయించబడుతుంది:

అప్పుడు విరామంలో పూర్తయిన అన్ని దీర్ఘచతురస్రాల వైశాల్యం దీనికి సమానంగా ఉంటుంది:

;

ప్రతి సెగ్మెంట్ తగినంత చిన్నది మరియు సున్నాకి మొగ్గుచూపినట్లయితే, దీర్ఘచతురస్రాల మొత్తం వైశాల్యం వక్ర ట్రాపజోయిడ్ యొక్క వైశాల్యానికి మొగ్గు చూపుతుంది:

;

కాబట్టి, కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించే సమస్య మొత్తం పరిమితిని నిర్ణయించడానికి వస్తుంది.

సమగ్ర మొత్తం అనేది ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క ఇంక్రిమెంట్ మరియు ఫంక్షన్ విలువ యొక్క ఉత్పత్తుల మొత్తం f(x) , వాదం మారే సరిహద్దుల లోపల విరామంలో ఏదో ఒక సమయంలో తీసుకోబడింది. గణితశాస్త్రపరంగా, ఇండిపెండెంట్ వేరియబుల్ యొక్క పెంపు సున్నాకి మారినట్లయితే సమగ్ర మొత్తం యొక్క పరిమితిని కనుగొనడంలో సమస్య ఖచ్చితమైన సమగ్ర భావనకు దారి తీస్తుంది.

ఫంక్షన్ f(x ) నుండి కొంత విరామంలో x=a ముందు x=b సమగ్ర మొత్తంగా ఉండే సంఖ్య ఉంటే సమగ్రం Dх®0 . ఈ సందర్భంలో సంఖ్య జె అని పిలిచారు ఖచ్చితమైన సమగ్ర విధులు f(x) విరామంలో:

;

ఎక్కడ ] a, c[ - ఏకీకరణ ప్రాంతం,

ఎ-ఇంటిగ్రేషన్ యొక్క తక్కువ పరిమితి,

వి- ఏకీకరణ యొక్క ఎగువ పరిమితి.

కాబట్టి, జ్యామితి దృక్కోణం నుండి, ఖచ్చితమైన సమగ్రత అనేది ఒక నిర్దిష్ట వ్యవధిలో ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ద్వారా పరిమితం చేయబడిన ఫిగర్ యొక్క వైశాల్యం. a, c [మరియు x-అక్షం.