త్రిభుజం అనేది అత్యంత సాధారణ రేఖాగణిత ఆకృతులలో ఒకటి, ఇది ప్రాథమిక పాఠశాలలో మనకు బాగా తెలుసు. జ్యామితి పాఠాలలో త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని ఎలా కనుగొనాలనే ప్రశ్న ప్రతి విద్యార్థి ఎదుర్కొంటుంది. కాబట్టి, ఇచ్చిన ఫిగర్ యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడంలో ఏ లక్షణాలను గుర్తించవచ్చు? ఈ వ్యాసంలో అటువంటి పనిని పూర్తి చేయడానికి అవసరమైన ప్రాథమిక సూత్రాలను పరిశీలిస్తాము మరియు త్రిభుజాల రకాలను కూడా విశ్లేషిస్తాము.

త్రిభుజాల రకాలు

మీరు త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని పూర్తిగా భిన్నమైన మార్గాల్లో కనుగొనవచ్చు, ఎందుకంటే జ్యామితిలో మూడు కోణాలను కలిగి ఉన్న ఒకటి కంటే ఎక్కువ రకాల బొమ్మలు ఉన్నాయి. ఈ రకాలు ఉన్నాయి:

• మొద్దుబారిన.
• సమబాహు (సరైనది).
• కుడి త్రిభుజం.
• ఐసోసెల్స్.

ప్రస్తుతం ఉన్న ప్రతి త్రిభుజాల రకాలను నిశితంగా పరిశీలిద్దాం.

రేఖాగణిత సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు ఈ రేఖాగణిత సంఖ్య అత్యంత సాధారణమైనదిగా పరిగణించబడుతుంది. ఏకపక్ష త్రిభుజాన్ని గీయవలసిన అవసరం వచ్చినప్పుడు, ఈ ఐచ్ఛికం రక్షించటానికి వస్తుంది.

తీవ్రమైన త్రిభుజంలో, పేరు సూచించినట్లుగా, అన్ని కోణాలు తీవ్రంగా ఉంటాయి మరియు 180° వరకు జోడించబడతాయి.

ఈ రకమైన త్రిభుజం కూడా చాలా సాధారణం, కానీ తీవ్రమైన త్రిభుజం కంటే కొంత తక్కువగా ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, త్రిభుజాలను పరిష్కరించేటప్పుడు (అనగా, దాని అనేక భుజాలు మరియు కోణాలు తెలిసినవి మరియు మీరు మిగిలిన మూలకాలను కనుగొనవలసి ఉంటుంది), కొన్నిసార్లు మీరు కోణం మందంగా ఉందో లేదో నిర్ణయించాలి. కొసైన్ ప్రతికూల సంఖ్య.

B, కోణాలలో ఒకదాని విలువ 90° మించిపోయింది, కాబట్టి మిగిలిన రెండు కోణాలు చిన్న విలువలను తీసుకోవచ్చు (ఉదాహరణకు, 15° లేదా 3° కూడా).

ఈ రకమైన త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు కొన్ని సూక్ష్మ నైపుణ్యాలను తెలుసుకోవాలి, దాని గురించి మేము తరువాత మాట్లాడుతాము.

సాధారణ మరియు సమద్విబాహు త్రిభుజాలు

ఒక సాధారణ బహుభుజి అనేది n కోణాలను కలిగి ఉన్న ఒక బొమ్మ మరియు దీని భుజాలు మరియు కోణాలు అన్నీ సమానంగా ఉంటాయి. సాధారణ త్రిభుజం అంటే ఇదే. త్రిభుజంలోని అన్ని కోణాల మొత్తం 180° కాబట్టి, మూడు కోణాల్లో ఒక్కొక్కటి 60°.

ఒక సాధారణ త్రిభుజం, దాని ఆస్తి కారణంగా, దీనిని ఈక్విలేటరల్ ఫిగర్ అని కూడా అంటారు.

ఒక సాధారణ త్రిభుజంలో ఒక వృత్తాన్ని మాత్రమే చెక్కవచ్చు మరియు దాని చుట్టూ ఒక వృత్తాన్ని మాత్రమే వివరించవచ్చు మరియు వాటి కేంద్రాలు ఒకే పాయింట్‌లో ఉన్నాయని కూడా గమనించాలి.

సమబాహు రకానికి అదనంగా, ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజాన్ని కూడా వేరు చేయవచ్చు, ఇది దాని నుండి కొద్దిగా భిన్నంగా ఉంటుంది. అటువంటి త్రిభుజంలో, రెండు భుజాలు మరియు రెండు కోణాలు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటాయి మరియు మూడవ వైపు (సమాన కోణాలు ప్రక్కనే ఉంటాయి) ఆధారం.

ఫిగర్ ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజం DEFని చూపుతుంది, దీని కోణాలు D మరియు F సమానంగా ఉంటాయి మరియు DF ఆధారం.

కుడి త్రిభుజం

లంబకోణ త్రిభుజం పేరు పెట్టబడింది, ఎందుకంటే దాని కోణాలలో ఒకటి సరిగ్గా ఉంటుంది, అంటే 90°కి సమానం. మిగిలిన రెండు కోణాలు 90° వరకు జోడించబడతాయి.

అటువంటి త్రిభుజం యొక్క అతిపెద్ద వైపు, 90° కోణానికి ఎదురుగా ఉంటుంది, ఇది హైపోటెన్యూస్, మిగిలిన రెండు భుజాలు కాళ్లు. ఈ రకమైన త్రిభుజానికి, పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం వర్తిస్తుంది:

కాళ్ళ పొడవు యొక్క చతురస్రాల మొత్తం హైపోటెన్యూస్ పొడవు యొక్క వర్గానికి సమానం.

ఫిగర్ హైపోటెన్యూస్ AC మరియు కాళ్లు AB మరియు BCతో ఉన్న లంబ త్రిభుజం BACని చూపుతుంది.

లంబ కోణంతో త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు దాని కాళ్ళ సంఖ్యా విలువలను తెలుసుకోవాలి.

ఇచ్చిన ఫిగర్ యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడానికి సూత్రాలకు వెళ్దాం.

ప్రాంతాన్ని కనుగొనడానికి ప్రాథమిక సూత్రాలు

జ్యామితిలో, చాలా రకాల త్రిభుజాల వైశాల్యాన్ని కనుగొనడానికి అనువైన రెండు సూత్రాలు ఉన్నాయి, అవి తీవ్రమైన, మందమైన, సాధారణ మరియు సమద్విబాహు త్రిభుజాల కోసం. వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి చూద్దాం.

వైపు మరియు ఎత్తు ద్వారా

మేము పరిశీలిస్తున్న ఫిగర్ యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడానికి ఈ సూత్రం సార్వత్రికమైనది. ఇది చేయుటకు, వైపు పొడవు మరియు దానికి గీసిన ఎత్తు యొక్క పొడవును తెలుసుకోవడం సరిపోతుంది. సూత్రం (బేస్ మరియు ఎత్తు యొక్క సగం ఉత్పత్తి) క్రింది విధంగా ఉంటుంది:

ఇక్కడ A అనేది ఇచ్చిన త్రిభుజం యొక్క వైపు, మరియు H అనేది త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు.

ఉదాహరణకు, తీవ్రమైన త్రిభుజం ACB యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు దాని వైపు AB ను ఎత్తు CD ద్వారా గుణించాలి మరియు ఫలిత విలువను రెండుగా విభజించాలి.

అయితే, త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని ఈ విధంగా కనుగొనడం ఎల్లప్పుడూ సులభం కాదు. ఉదాహరణకు, ఒక మందమైన త్రిభుజం కోసం ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగించడానికి, మీరు దాని వైపులా ఒకదానిని విస్తరించాలి మరియు ఆ తర్వాత మాత్రమే దానికి ఎత్తును గీయాలి.

ఆచరణలో, ఈ సూత్రం ఇతరులకన్నా ఎక్కువగా ఉపయోగించబడుతుంది.

రెండు వైపులా మరియు మూలలో

ఈ ఫార్ములా, మునుపటి మాదిరిగానే, చాలా త్రిభుజాలకు అనుకూలంగా ఉంటుంది మరియు దాని అర్థంలో త్రిభుజం యొక్క ప్రక్క ప్రక్కన మరియు ఎత్తును కనుగొనే సూత్రం యొక్క పరిణామం. అంటే, ప్రశ్నలోని సూత్రం మునుపటి నుండి సులభంగా తీసుకోవచ్చు. దీని సూత్రీకరణ ఇలా కనిపిస్తుంది:

S = ½*sinO*A*B,

ఇక్కడ A మరియు B త్రిభుజం యొక్క భుజాలు మరియు O అనేది A మరియు B భుజాల మధ్య కోణం.

విశిష్టమైన సోవియట్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు V. M. బ్రాడిస్ పేరు మీద ఒక ప్రత్యేక పట్టికలో కోణం యొక్క సైన్ చూడవచ్చని గుర్తుచేసుకుందాం.

ఇప్పుడు అసాధారణమైన రకాల త్రిభుజాలకు మాత్రమే సరిపోయే ఇతర సూత్రాలకు వెళ్దాం.

లంబ త్రిభుజం యొక్క ప్రాంతం

త్రిభుజంలో ఎత్తును కనుగొనవలసిన అవసరాన్ని కలిగి ఉన్న సార్వత్రిక సూత్రంతో పాటు, లంబ కోణాన్ని కలిగి ఉన్న త్రిభుజం యొక్క ప్రాంతాన్ని దాని కాళ్ళ నుండి కనుగొనవచ్చు.

అందువల్ల, లంబ కోణాన్ని కలిగి ఉన్న త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం దాని కాళ్ళ యొక్క సగం ఉత్పత్తి, లేదా:

ఇక్కడ a మరియు b లంబ త్రిభుజం యొక్క కాళ్ళు.

సాధారణ త్రిభుజం

ఈ రకమైన రేఖాగణిత బొమ్మ భిన్నంగా ఉంటుంది, దాని వైశాల్యం దాని భుజాలలో ఒకటి మాత్రమే సూచించబడిన విలువతో కనుగొనబడుతుంది (సాధారణ త్రిభుజం యొక్క అన్ని వైపులా సమానంగా ఉంటాయి కాబట్టి). కాబట్టి, "భుజాలు సమానంగా ఉన్నప్పుడు త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడం" అనే పనిని ఎదుర్కొన్నప్పుడు, మీరు ఈ క్రింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించాలి:

S = A 2 *√3 / 4,

ఇక్కడ A అనేది సమబాహు త్రిభుజం వైపు.

హెరాన్ సూత్రం

త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడానికి చివరి ఎంపిక హెరాన్ సూత్రం. దీన్ని ఉపయోగించడానికి, మీరు బొమ్మ యొక్క మూడు వైపుల పొడవును తెలుసుకోవాలి. హెరాన్ సూత్రం ఇలా కనిపిస్తుంది:

S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),

ఇక్కడ a, b మరియు c ఇవ్వబడిన త్రిభుజం యొక్క భుజాలు.

కొన్నిసార్లు సమస్య ఇవ్వబడుతుంది: "సాధారణ త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం దాని వైపు పొడవును కనుగొనడం." ఈ సందర్భంలో, సాధారణ త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడం కోసం మనకు ఇప్పటికే తెలిసిన సూత్రాన్ని ఉపయోగించాలి మరియు దాని నుండి వైపు (లేదా దాని చదరపు) విలువను పొందాలి:

A 2 = 4S / √3.

పరీక్షా పనులు

గణితంలో GIA సమస్యలలో అనేక సూత్రాలు ఉన్నాయి. అదనంగా, చాలా తరచుగా చెక్డ్ కాగితంపై త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడం అవసరం.

ఈ సందర్భంలో, బొమ్మ యొక్క ఒక వైపుకు ఎత్తును గీయడం, కణాల నుండి దాని పొడవును నిర్ణయించడం మరియు ప్రాంతాన్ని కనుగొనడానికి సార్వత్రిక సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం చాలా సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది:

కాబట్టి, వ్యాసంలో సమర్పించబడిన సూత్రాలను అధ్యయనం చేసిన తర్వాత, ఏ రకమైన త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడంలో మీకు ఏవైనా సమస్యలు ఉండవు.

పాఠశాల పాఠ్యప్రణాళిక చిన్న వయస్సు నుండి పిల్లలకు జ్యామితిని బోధించడానికి అందిస్తుంది. ఈ రంగంలో అత్యంత ప్రాథమిక జ్ఞానంలో ఒకటి వివిధ ఆకృతుల ప్రాంతాన్ని కనుగొనడం. ఈ వ్యాసంలో మేము ఈ విలువను పొందేందుకు సాధ్యమయ్యే అన్ని మార్గాలను అందించడానికి ప్రయత్నిస్తాము, సరళమైనది నుండి అత్యంత సంక్లిష్టమైనది.

ఆధారంగా

పిల్లలు పాఠశాలలో నేర్చుకునే మొదటి ఫార్ములా త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు మరియు పునాది పొడవు ద్వారా దాని వైశాల్యాన్ని కనుగొనడం. ఎత్తు అనేది త్రిభుజం యొక్క శీర్షం నుండి లంబ కోణంలో ఎదురుగా ఉన్న ఒక భాగం, ఇది ఆధారం అవుతుంది. ఈ పరిమాణాలను ఉపయోగించి త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని ఎలా కనుగొనాలి?

V అనేది ఎత్తు మరియు O అనేది బేస్ అయితే, వైశాల్యం S=V*O:2.

కావలసిన విలువను పొందడం కోసం మరొక ఎంపిక రెండు వైపులా పొడవు, అలాగే వాటి మధ్య కోణం యొక్క పరిమాణాన్ని తెలుసుకోవాలి. మనకు L మరియు M ఉంటే - భుజాల పొడవు, మరియు Q - వాటి మధ్య కోణం, అప్పుడు మీరు S=(L*M*sin(Q))/2 సూత్రాన్ని ఉపయోగించి ప్రాంతాన్ని పొందవచ్చు.

హెరాన్ సూత్రం

త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని ఎలా లెక్కించాలి అనే ప్రశ్నకు అన్ని ఇతర సమాధానాలతో పాటు, భుజాల పొడవులను మాత్రమే తెలుసుకోవడం ద్వారా మనకు అవసరమైన విలువను పొందేందుకు అనుమతించే ఒక సూత్రం ఉంది. అంటే, అన్ని వైపుల పొడవులు మనకు తెలిస్తే, అప్పుడు మనం ఎత్తును గీయడం మరియు దాని పొడవును లెక్కించాల్సిన అవసరం లేదు. మేము హెరాన్ సూత్రం అని పిలవబడేదాన్ని ఉపయోగించవచ్చు.

M, N, L భుజాల పొడవు అయితే, త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని ఈ క్రింది విధంగా కనుగొనవచ్చు. P=(M+N+L)/2, అప్పుడు మనకు అవసరమైన విలువ S 2 =P*(P-M)*(P-L)*(P-N). చివరికి, మనం చేయాల్సిందల్లా మూలాన్ని లెక్కించడం.

లంబ త్రిభుజం కోసం, హెరాన్ సూత్రం కొద్దిగా సరళీకృతం చేయబడింది. M, L కాళ్లు అయితే, S=(P-M)*(P-L).

సర్కిల్‌లు

త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడానికి మరొక మార్గం వృత్తాలు మరియు వృత్తాలను ఉపయోగించడం. లిఖిత వృత్తాన్ని ఉపయోగించి మనకు అవసరమైన విలువను పొందడానికి, దాని వ్యాసార్థాన్ని మనం తెలుసుకోవాలి. దానిని "r" అని సూచిస్తాము. అప్పుడు మేము గణనలను నిర్వహించే సూత్రం క్రింది రూపాన్ని తీసుకుంటుంది: S=r*P, ఇక్కడ P అనేది అన్ని వైపుల పొడవు మొత్తంలో సగం.

లంబ త్రిభుజంలో, ఈ సూత్రం కొద్దిగా సవరించబడింది. అయితే, మీరు పైన పేర్కొన్నదాన్ని ఉపయోగించవచ్చు, కానీ లెక్కల కోసం వేరే వ్యక్తీకరణను ఉపయోగించడం మంచిది. S=E*W, ఇక్కడ E మరియు W అనేది వృత్తం యొక్క టాంజెన్సీ పాయింట్ ద్వారా హైపోటెన్యూస్ విభజించబడిన విభాగాల పొడవు.

చుట్టుముట్టబడిన వృత్తం గురించి మాట్లాడుతూ, త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడం కూడా కష్టం కాదు. చుట్టుపక్కల సర్కిల్ యొక్క వ్యాసార్థంగా హోదాను పరిచయం చేయడం ద్వారా, మీరు అవసరమైన విలువను లెక్కించేందుకు అవసరమైన క్రింది సూత్రాన్ని పొందవచ్చు: S= (M*N*L):(4*R). ఇక్కడ మొదటి మూడు పరిమాణాలు త్రిభుజం యొక్క భుజాలు.

సమబాహు త్రిభుజం గురించి మాట్లాడుతూ, అనేక సాధారణ గణిత పరివర్తనల ద్వారా మీరు కొద్దిగా సవరించిన సూత్రాలను పొందవచ్చు:

S=(3 1/2 *M 2)/4;

S=(3*3 1/2 *R 2)/4;

S=3*3 1/2 *r 2 .

ఏదైనా సందర్భంలో, త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడానికి మిమ్మల్ని అనుమతించే ఏదైనా ఫార్ములా పని యొక్క డేటాకు అనుగుణంగా మార్చబడుతుంది. కాబట్టి అన్ని వ్రాసిన వ్యక్తీకరణలు సంపూర్ణమైనవి కావు. సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు, అత్యంత సరైన పరిష్కారాన్ని కనుగొనడానికి ఆలోచించండి.

కోఆర్డినేట్లు

కోఆర్డినేట్ అక్షాలను అధ్యయనం చేస్తున్నప్పుడు, విద్యార్థులు ఎదుర్కొంటున్న పనులు మరింత క్లిష్టంగా మారతాయి. అయితే, భయాందోళనలకు అంతగా లేదు. శీర్షాల కోఆర్డినేట్ల నుండి త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు అదే, కానీ కొద్దిగా సవరించిన హెరాన్ సూత్రాన్ని ఉపయోగించవచ్చు. కోఆర్డినేట్‌ల కోసం ఇది క్రింది రూపాన్ని తీసుకుంటుంది:

S=((x 2 -x 1) 2 *(y 2 -y 1) 2 *(z 2 -z 1) 2) 1/2.

అయితే, కోఆర్డినేట్‌లను ఉపయోగించి, త్రిభుజం యొక్క భుజాల పొడవులను లెక్కించడాన్ని మరియు ఆపై, పైన వ్రాసిన సూత్రాలను ఉపయోగించి, ప్రాంతాన్ని లెక్కించడాన్ని ఎవరూ నిషేధించరు. కోఆర్డినేట్‌లను పొడవుగా మార్చడానికి, కింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి:

l=((x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2) 1/2.

గమనికలు

కథనం చాలా సమస్యలలో ఉపయోగించే పరిమాణాల కోసం ప్రామాణిక సంకేతాలను ఉపయోగించింది. ఈ సందర్భంలో, పవర్ "1/2" అంటే మీరు బ్రాకెట్ల క్రింద మొత్తం వ్యక్తీకరణ యొక్క మూలాన్ని సంగ్రహించవలసి ఉంటుంది.

ఫార్ములాను ఎన్నుకునేటప్పుడు జాగ్రత్తగా ఉండండి. వాటిలో కొన్ని ప్రారంభ పరిస్థితులపై ఆధారపడి వాటి ఔచిత్యాన్ని కోల్పోతాయి. ఉదాహరణకు, వృత్తాకార సూత్రం. ఇది ఏ సందర్భంలోనైనా మీ కోసం ఫలితాన్ని లెక్కించగలదు, కానీ ఇచ్చిన పారామితులతో త్రిభుజం ఉనికిలో ఉండని పరిస్థితి ఉండవచ్చు.

మీరు ఇంట్లో కూర్చుని హోంవర్క్ చేస్తుంటే, మీరు ఆన్‌లైన్ కాలిక్యులేటర్‌ని ఉపయోగించవచ్చు. అనేక సైట్‌లు ఇచ్చిన పారామితులను ఉపయోగించి వివిధ పరిమాణాలను లెక్కించగల సామర్థ్యాన్ని అందిస్తాయి మరియు ఏవి పట్టింపు లేదు. మీరు ఫీల్డ్‌లలో ప్రారంభ డేటాను నమోదు చేయవచ్చు మరియు కంప్యూటర్ (వెబ్‌సైట్) మీ కోసం ఫలితాన్ని గణిస్తుంది. ఈ విధంగా మీరు అజాగ్రత్త కారణంగా జరిగే పొరపాట్లను నివారించవచ్చు.

వివిధ రకాల త్రిభుజాల వైశాల్యాన్ని లెక్కించడానికి సంబంధించి మీ అన్ని ప్రశ్నలకు మా కథనం సమాధానమిస్తుందని మేము ఆశిస్తున్నాము మరియు మీరు మరెక్కడా అదనపు సమాచారం కోసం వెతకవలసిన అవసరం లేదు. మీ చదువులు బాగుండాలి!

త్రిభుజం అందరికీ తెలిసిన మూర్తి. మరియు ఇది దాని రూపాల యొక్క గొప్ప వైవిధ్యం ఉన్నప్పటికీ. దీర్ఘచతురస్రాకార, సమబాహు, తీవ్రమైన, సమద్విబాహు, మందమైన. వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి ఏదో ఒక విధంగా భిన్నంగా ఉంటాయి. కానీ ఎవరికైనా మీరు త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనాలి.

భుజాలు లేదా ఎత్తుల పొడవులను ఉపయోగించే అన్ని త్రిభుజాలకు సాధారణ సూత్రాలు

వాటిలో స్వీకరించబడిన హోదాలు: వైపులా - a, b, c; a, n in, n తో సంబంధిత భుజాలపై ఎత్తులు.

1. త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం ½, ఒక వైపు మరియు దాని నుండి తీసివేయబడిన ఎత్తు యొక్క ఉత్పత్తిగా లెక్కించబడుతుంది. S = ½ * a * n a. మిగతా రెండు వైపుల ఫార్ములాలను ఇలాగే రాయాలి.

2. హెరాన్ యొక్క ఫార్ములా, దీనిలో సెమీ చుట్టుకొలత కనిపిస్తుంది (ఇది సాధారణంగా పూర్తి చుట్టుకొలతకు విరుద్ధంగా చిన్న అక్షరం p ద్వారా సూచించబడుతుంది). సెమీ చుట్టుకొలత తప్పనిసరిగా ఈ క్రింది విధంగా లెక్కించబడాలి: అన్ని భుజాలను జోడించి వాటిని 2 ద్వారా విభజించండి. సెమీ చుట్టుకొలత సూత్రం: p = (a+b+c) / 2. ఆపై వైశాల్యం కోసం సమానత్వం బొమ్మ ఇలా కనిపిస్తుంది: S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с)).

3. మీరు సెమీ చుట్టుకొలతను ఉపయోగించకూడదనుకుంటే, భుజాల పొడవులను మాత్రమే కలిగి ఉన్న ఫార్ములా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a ) * (a + c - c) * (a + b - c)). ఇది మునుపటి కంటే కొంచెం పొడవుగా ఉంది, కానీ సెమీ చుట్టుకొలతను ఎలా కనుగొనాలో మీరు మరచిపోయినట్లయితే ఇది సహాయపడుతుంది.

త్రిభుజం యొక్క కోణాలను కలిగి ఉన్న సాధారణ సూత్రాలు

సూత్రాలను చదవడానికి అవసరమైన సంకేతాలు: α, β, γ - కోణాలు. అవి వరుసగా ఎ, బి, సి, ఎదురుగా ఉంటాయి.

1. దాని ప్రకారం, రెండు వైపులా సగం ఉత్పత్తి మరియు వాటి మధ్య కోణం యొక్క సైన్ త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యానికి సమానం. అంటే: S = ½ a * b * sin γ. మిగతా రెండు కేసుల ఫార్ములాలు కూడా ఇలాగే రాయాలి.

2. త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని ఒక వైపు మరియు మూడు తెలిసిన కోణాల నుండి లెక్కించవచ్చు. S = (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. తెలిసిన ఒక వైపు మరియు రెండు ప్రక్కనే ఉన్న కోణాలతో ఒక సూత్రం కూడా ఉంది. ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

చివరి రెండు సూత్రాలు సరళమైనవి కావు. వాటిని గుర్తుంచుకోవడం చాలా కష్టం.

లిఖించబడిన లేదా చుట్టుముట్టబడిన వృత్తాల వ్యాసార్థాలు తెలిసిన పరిస్థితుల కోసం సాధారణ సూత్రాలు

అదనపు హోదాలు: r, R - radii. మొదటిది చెక్కబడిన వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం కోసం ఉపయోగించబడుతుంది. రెండవది వివరించబడినది.

1. త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించే మొదటి సూత్రం సెమీ చుట్టుకొలతకు సంబంధించినది. S = r * r. దీన్ని వ్రాయడానికి మరొక మార్గం: S = ½ r * (a + b + c).

2. రెండవ సందర్భంలో, మీరు త్రిభుజం యొక్క అన్ని భుజాలను గుణించాలి మరియు వాటిని చుట్టుముట్టబడిన వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థాన్ని నాలుగు రెట్లు విభజించాలి. సాహిత్య వ్యక్తీకరణలో ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది: S = (a * b * c) / (4R).

3. మూడవ పరిస్థితి వైపులా తెలియకుండా చేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది, కానీ మీకు మూడు కోణాల విలువలు అవసరం. S = 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

ప్రత్యేక సందర్భం: కుడి త్రిభుజం

ఇది సరళమైన పరిస్థితి, ఎందుకంటే రెండు కాళ్ళ పొడవు మాత్రమే అవసరం. అవి a మరియు b అనే లాటిన్ అక్షరాలతో సూచించబడతాయి. లంబ త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం దానికి జోడించిన దీర్ఘచతురస్రం యొక్క సగం వైశాల్యానికి సమానం.

గణితశాస్త్రపరంగా ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది: S = ½ a * b. ఇది గుర్తుంచుకోవడం చాలా సులభం. ఇది దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యానికి ఫార్ములా వలె కనిపిస్తున్నందున, ఒక భిన్నం మాత్రమే కనిపిస్తుంది, ఇది సగాన్ని సూచిస్తుంది.

ప్రత్యేక సందర్భం: సమద్విబాహు త్రిభుజం

ఇది రెండు సమాన భుజాలను కలిగి ఉన్నందున, దాని ప్రాంతం కోసం కొన్ని సూత్రాలు కొంతవరకు సరళీకృతంగా కనిపిస్తాయి. ఉదాహరణకు, సమద్విబాహు త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించే హెరాన్ సూత్రం క్రింది రూపాన్ని తీసుకుంటుంది:

S = ½ in √((a + ½ in)*(a - ½ in)).

మీరు దానిని మార్చినట్లయితే, అది చిన్నదిగా మారుతుంది. ఈ సందర్భంలో, సమద్విబాహు త్రిభుజం కోసం హెరాన్ సూత్రం క్రింది విధంగా వ్రాయబడింది:

S = ¼ in √(4 * a 2 - b 2).

భుజాలు మరియు వాటి మధ్య కోణం తెలిసినట్లయితే ఏరియా ఫార్ములా ఏకపక్ష త్రిభుజం కంటే కొంత సరళంగా కనిపిస్తుంది. S = ½ a 2 * sin β.

ప్రత్యేక సందర్భం: సమబాహు త్రిభుజం

సాధారణంగా సమస్యలలో దాని గురించిన వైపు తెలుస్తుంది లేదా ఏదో ఒక విధంగా కనుగొనవచ్చు. అటువంటి త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనే సూత్రం క్రింది విధంగా ఉంటుంది:

S = (a 2 √3) / 4.

త్రిభుజం గీసిన కాగితంపై చిత్రీకరించబడితే, ప్రాంతాన్ని కనుగొనడంలో సమస్యలు

సరళమైన పరిస్థితి ఏమిటంటే, లంబ త్రిభుజం గీసినప్పుడు దాని కాళ్ళు కాగితం పంక్తులతో సమానంగా ఉంటాయి. అప్పుడు మీరు కాళ్ళకు సరిపోయే కణాల సంఖ్యను లెక్కించాలి. అప్పుడు వాటిని గుణించి రెండుగా విభజించండి.

త్రిభుజం తీవ్రంగా లేదా మందంగా ఉన్నప్పుడు, దానిని దీర్ఘచతురస్రానికి లాగడం అవసరం. అప్పుడు ఫలిత సంఖ్య 3 త్రిభుజాలను కలిగి ఉంటుంది. ఒకటి సమస్యలో ఇవ్వబడినది. మరియు మిగిలిన రెండు సహాయక మరియు దీర్ఘచతురస్రాకారంగా ఉంటాయి. పైన వివరించిన పద్ధతిని ఉపయోగించి చివరి రెండు ప్రాంతాలను నిర్ణయించడం అవసరం. అప్పుడు దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించండి మరియు దాని నుండి సహాయక వాటి కోసం లెక్కించిన వాటిని తీసివేయండి. త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం నిర్ణయించబడుతుంది.

త్రిభుజం యొక్క భుజాలు ఏవీ కాగితపు పంక్తులతో ఏకీభవించని పరిస్థితి చాలా క్లిష్టంగా మారుతుంది. అప్పుడు దానిని దీర్ఘచతురస్రంలో చెక్కాలి, తద్వారా అసలు బొమ్మ యొక్క శీర్షాలు దాని వైపులా ఉంటాయి. ఈ సందర్భంలో, మూడు సహాయక లంబ త్రిభుజాలు ఉంటాయి.

హెరాన్ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి సమస్య యొక్క ఉదాహరణ

పరిస్థితి. కొన్ని త్రిభుజం తెలిసిన భుజాలను కలిగి ఉంటుంది. అవి 3, 5 మరియు 6 సెం.మీ.కి సమానం. మీరు దాని ప్రాంతాన్ని తెలుసుకోవాలి.

ఇప్పుడు మీరు పై సూత్రాన్ని ఉపయోగించి త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించవచ్చు. వర్గమూలం కింద నాలుగు సంఖ్యల ఉత్పత్తి: 7, 4, 2 మరియు 1. అంటే, వైశాల్యం √(4 * 14) = 2 √(14).

ఎక్కువ ఖచ్చితత్వం అవసరం లేకపోతే, మీరు 14 యొక్క వర్గమూలాన్ని తీసుకోవచ్చు. ఇది 3.74కి సమానం. అప్పుడు ప్రాంతం 7.48 అవుతుంది.

సమాధానం. S = 2 √14 cm 2 లేదా 7.48 cm 2.

కుడి త్రిభుజంతో ఉదాహరణ సమస్య

పరిస్థితి. లంబ త్రిభుజం యొక్క ఒక కాలు రెండవదాని కంటే 31 సెం.మీ పెద్దది. త్రిభుజం వైశాల్యం 180 సెం.మీ 2 అయితే మీరు వాటి పొడవును కనుగొనాలి.
పరిష్కారం. మేము రెండు సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించాలి. మొదటిది ప్రాంతానికి సంబంధించినది. రెండవది కాళ్ళ నిష్పత్తితో ఉంటుంది, ఇది సమస్యలో ఇవ్వబడుతుంది.
180 = ½ a * b;

a = b + 31.
ముందుగా, మొదటి సమీకరణంలో "a" విలువను తప్పనిసరిగా భర్తీ చేయాలి. ఇది మారుతుంది: 180 = ½ (లో + 31) * in. ఇది ఒక తెలియని పరిమాణాన్ని మాత్రమే కలిగి ఉంది, కాబట్టి దీనిని పరిష్కరించడం సులభం. కుండలీకరణాలను తెరిచిన తర్వాత, వర్గ సమీకరణం పొందబడుతుంది: 2 + 31 360 = 0. ఇది "ఇన్" కోసం రెండు విలువలను ఇస్తుంది: 9 మరియు - 40. రెండవ సంఖ్య సమాధానంగా సరిపోదు, ఎందుకంటే వైపు పొడవు త్రిభుజం యొక్క ప్రతికూల విలువ ఉండకూడదు.

ఇది రెండవ పాదాన్ని లెక్కించడానికి మిగిలి ఉంది: ఫలిత సంఖ్యకు 31 జోడించండి. ఇది 40 అవుతుంది. ఇవి సమస్యలో కోరిన పరిమాణాలు.

సమాధానం. త్రిభుజం యొక్క కాళ్ళు 9 మరియు 40 సెం.మీ.

త్రిభుజం యొక్క ప్రాంతం, వైపు మరియు కోణం ద్వారా ఒక వైపు కనుగొనడంలో సమస్య

పరిస్థితి. ఒక నిర్దిష్ట త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం 60 సెం.మీ 2. రెండవ వైపు 15 సెం.మీ మరియు వాటి మధ్య కోణం 30º అయితే దాని వైపులా ఒకదానిని లెక్కించడం అవసరం.

పరిష్కారం. ఆమోదించబడిన సంజ్ఞామానం ఆధారంగా, కావలసిన వైపు “a”, తెలిసిన వైపు “b”, ఇచ్చిన కోణం “γ”. అప్పుడు ఏరియా ఫార్ములాను ఈ క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు:

60 = ½ a * 15 * sin 30º. ఇక్కడ 30 డిగ్రీల సైన్ 0.5.

పరివర్తనల తరువాత, “a” 60 / (0.5 * 0.5 * 15)కి సమానంగా మారుతుంది. అంటే 16.

సమాధానం. అవసరమైన వైపు 16 సెం.మీ.

లంబ త్రిభుజంలో చెక్కబడిన చతురస్రం గురించిన సమస్య

పరిస్థితి. 24 సెంటీమీటర్ల వైపు ఉన్న చతురస్రం యొక్క శీర్షం త్రిభుజం యొక్క లంబ కోణంతో సమానంగా ఉంటుంది. మిగిలిన రెండు పక్కల పడుకున్నాయి. మూడవది హైపోటెన్యూస్‌కు చెందినది. ఒక కాలు పొడవు 42 సెం.మీ. కుడి త్రిభుజం వైశాల్యం ఎంత?

పరిష్కారం. రెండు లంబ త్రిభుజాలను పరిగణించండి. మొదటిది టాస్క్‌లో పేర్కొన్నది. రెండవది అసలు త్రిభుజం యొక్క తెలిసిన లెగ్ ఆధారంగా రూపొందించబడింది. అవి ఒకే కోణంలో ఉంటాయి మరియు సమాంతర రేఖల ద్వారా ఏర్పడతాయి.

అప్పుడు వారి కాళ్ళ నిష్పత్తులు సమానంగా ఉంటాయి. చిన్న త్రిభుజం యొక్క కాళ్లు 24 cm (చదరపు వైపు) మరియు 18 cm (ఇచ్చిన కాలు 42 cm చదరపు వైపు 24 cm తీసివేయి) సమానంగా ఉంటాయి. పెద్ద త్రిభుజం యొక్క సంబంధిత కాళ్లు 42 సెం.మీ మరియు x సెం.మీ. త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించడానికి ఈ “x” అవసరం.

18/42 = 24/x, అంటే, x = 24 * 42 / 18 = 56 (సెం.మీ.).

అప్పుడు వైశాల్యం 56 మరియు 42 యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం, అంటే 1176 సెం.మీ 2తో విభజించబడింది.

సమాధానం. అవసరమైన ప్రాంతం 1176 సెం.మీ 2.

మీరు మీ పాఠశాల జ్యామితి పాఠ్యాంశాల నుండి గుర్తుంచుకోవచ్చు, త్రిభుజం అనేది ఒకే సరళ రేఖపై ఉండని మూడు పాయింట్ల ద్వారా అనుసంధానించబడిన మూడు విభాగాల నుండి ఏర్పడిన బొమ్మ. ఒక త్రిభుజం మూడు కోణాలను ఏర్పరుస్తుంది, అందుకే ఆ బొమ్మ పేరు. నిర్వచనం భిన్నంగా ఉండవచ్చు. త్రిభుజాన్ని మూడు కోణాలతో బహుభుజి అని కూడా పిలుస్తారు, సమాధానం కూడా సరైనది. త్రిభుజాలు సమాన భుజాల సంఖ్య మరియు బొమ్మలలోని కోణాల పరిమాణం ప్రకారం విభజించబడ్డాయి. అందువల్ల, త్రిభుజాలు వరుసగా సమద్విబాహులు, సమబాహు మరియు స్కేలేన్, అలాగే దీర్ఘచతురస్రాకార, తీవ్రమైన మరియు మొండిగా విభజించబడ్డాయి.

త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించడానికి చాలా సూత్రాలు ఉన్నాయి. త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని ఎలా కనుగొనాలో ఎంచుకోండి, అనగా. ఏ ఫార్ములా ఉపయోగించాలో మీ ఇష్టం. కానీ త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించడానికి అనేక సూత్రాలలో ఉపయోగించే కొన్ని సంకేతాలను మాత్రమే గమనించడం విలువ. కాబట్టి, గుర్తుంచుకో:

S అనేది త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం,

a, b, c అనేవి త్రిభుజం యొక్క భుజాలు,

h అనేది త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు,

R అనేది చుట్టుముట్టబడిన వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం,

p అనేది సెమీ చుట్టుకొలత.

మీరు మీ జ్యామితి కోర్సును పూర్తిగా మరచిపోయినట్లయితే మీకు ఉపయోగపడే ప్రాథమిక సంకేతాలు ఇక్కడ ఉన్నాయి. త్రిభుజం యొక్క తెలియని మరియు మర్మమైన ప్రాంతాన్ని లెక్కించడానికి అత్యంత అర్థమయ్యే మరియు సంక్లిష్టమైన ఎంపికలు క్రింద ఉన్నాయి. ఇది కష్టం కాదు మరియు మీ ఇంటి అవసరాలకు మరియు మీ పిల్లలకు సహాయం చేయడానికి ఉపయోగపడుతుంది. త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని వీలైనంత సులభంగా ఎలా లెక్కించాలో గుర్తుంచుకోండి:

మా సందర్భంలో, త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం: S = ½ * 2.2 cm * 2.5 cm = 2.75 sq. cm. ప్రాంతాన్ని చదరపు సెంటీమీటర్లలో (sqcm) కొలుస్తారని గుర్తుంచుకోండి.

కుడి త్రిభుజం మరియు దాని ప్రాంతం.

లంబ త్రిభుజం అనేది ఒక త్రిభుజం, దీనిలో ఒక కోణం 90 డిగ్రీలకు సమానం (అందుకే కుడి అంటారు). లంబ కోణం రెండు లంబ రేఖల ద్వారా ఏర్పడుతుంది (త్రిభుజం విషయంలో, రెండు లంబ భాగాలు). లంబ త్రిభుజంలో ఒక లంబ కోణం మాత్రమే ఉంటుంది, ఎందుకంటే... ఏదైనా ఒక త్రిభుజంలోని అన్ని కోణాల మొత్తం 180 డిగ్రీలకు సమానం. 2 ఇతర కోణాలు మిగిలిన 90 డిగ్రీలను విభజించాలి, ఉదాహరణకు 70 మరియు 20, 45 మరియు 45, మొదలైనవి. కాబట్టి, మీరు ప్రధాన విషయం గుర్తుంచుకోవాలి, లంబ త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని ఎలా కనుగొనాలో తెలుసుకోవడానికి మాత్రమే మిగిలి ఉంది. మన ముందు అటువంటి లంబ త్రిభుజం ఉందని ఊహించుకుందాం మరియు దాని ప్రాంతం Sని కనుగొనాలి.

1. లంబ త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని నిర్ణయించడానికి సులభమైన మార్గం క్రింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది:

మా విషయంలో, కుడి త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం: S = 2.5 cm * 3 cm / 2 = 3.75 sq. cm.

సూత్రప్రాయంగా, త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని ఇతర మార్గాల్లో ధృవీకరించాల్సిన అవసరం లేదు, ఎందుకంటే ఇది మాత్రమే ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది మరియు రోజువారీ జీవితంలో సహాయపడుతుంది. కానీ తీవ్రమైన కోణాల ద్వారా త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కొలిచే ఎంపికలు కూడా ఉన్నాయి.

2. ఇతర గణన పద్ధతుల కోసం, మీరు తప్పనిసరిగా కొసైన్‌లు, సైన్స్ మరియు టాంజెంట్‌ల పట్టికను కలిగి ఉండాలి. మీ కోసం తీర్పు చెప్పండి, ఇప్పటికీ ఉపయోగించబడే లంబ త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించడానికి ఇక్కడ కొన్ని ఎంపికలు ఉన్నాయి:

మేము మొదటి సూత్రాన్ని ఉపయోగించాలని నిర్ణయించుకున్నాము మరియు కొన్ని చిన్న మచ్చలతో (మేము దానిని నోట్‌బుక్‌లో గీసాము మరియు పాత పాలకుడు మరియు ప్రొట్రాక్టర్‌ని ఉపయోగించాము), కానీ మాకు సరైన గణన వచ్చింది:

S = (2.5*2.5)/(2*0.9)=(3*3)/(2*1.2). మేము ఈ క్రింది ఫలితాలను పొందాము: 3.6=3.7, కానీ కణాల మార్పును పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, మేము ఈ స్వల్పభేదాన్ని క్షమించగలము.

సమద్విబాహు త్రిభుజం మరియు దాని వైశాల్యం.

మీరు సమద్విబాహు త్రిభుజం కోసం సూత్రాన్ని లెక్కించే పనిని ఎదుర్కొంటున్నట్లయితే, ప్రధాన మరియు త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యానికి శాస్త్రీయ సూత్రంగా పరిగణించబడే వాటిని ఉపయోగించడం సులభమయిన మార్గం.

అయితే ముందుగా, సమద్విబాహు త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనే ముందు, ఇది ఏ విధమైన ఫిగర్ అని తెలుసుకుందాం. సమద్విబాహు త్రిభుజం ఒక త్రిభుజం, దీనిలో రెండు వైపులా ఒకే పొడవు ఉంటుంది. ఈ రెండు వైపులా పార్శ్వం అంటారు, మూడవ వైపు బేస్ అంటారు. సమబాహు త్రిభుజంతో సమద్విబాహు త్రిభుజాన్ని కంగారు పెట్టవద్దు, అనగా. మూడు వైపులా సమానంగా ఉండే సాధారణ త్రిభుజం. అటువంటి త్రిభుజంలో కోణాలకు లేదా వాటి పరిమాణానికి ప్రత్యేక ధోరణులు లేవు. అయితే, సమద్విబాహు త్రిభుజంలో బేస్ వద్ద ఉన్న కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి, కానీ సమాన భుజాల మధ్య కోణం నుండి భిన్నంగా ఉంటాయి. కాబట్టి, మీకు ఇప్పటికే మొదటి మరియు ప్రధాన సూత్రం తెలుసు; సమద్విబాహు త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని నిర్ణయించడానికి ఇతర సూత్రాలు ఏమిటో తెలుసుకోవడానికి ఇది మిగిలి ఉంది:

త్రిభుజం యొక్క ప్రాంతం - సూత్రాలు మరియు సమస్య పరిష్కారానికి ఉదాహరణలు

క్రింద ఉన్నాయి ఏకపక్ష త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడానికి సూత్రాలుదాని లక్షణాలు, కోణాలు లేదా పరిమాణాలతో సంబంధం లేకుండా ఏదైనా త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడానికి తగినవి. ఫార్ములాలు ఒక చిత్రం రూపంలో ప్రదర్శించబడతాయి, వాటి అప్లికేషన్ కోసం వివరణలు లేదా వాటి ఖచ్చితత్వాన్ని సమర్థించడం. అలాగే, ఫార్ములాల్లోని అక్షర చిహ్నాలు మరియు డ్రాయింగ్‌లోని గ్రాఫిక్ చిహ్నాల మధ్య అనురూప్యాన్ని ప్రత్యేక బొమ్మ చూపిస్తుంది.

గమనిక . త్రిభుజం ప్రత్యేక లక్షణాలను కలిగి ఉన్నట్లయితే (సమద్విబాహులు, దీర్ఘచతురస్రాకార, సమబాహు), మీరు క్రింద ఇచ్చిన సూత్రాలను అలాగే ఈ లక్షణాలతో త్రిభుజాలకు మాత్రమే చెల్లుబాటు అయ్యే అదనపు ప్రత్యేక సూత్రాలను ఉపయోగించవచ్చు:

• "సమబాహు త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యానికి ఫార్ములా"

ట్రయాంగిల్ ఏరియా సూత్రాలు

సూత్రాల కోసం వివరణలు:
ఎ, బి, సి- మనం కనుగొనాలనుకుంటున్న త్రిభుజం యొక్క భుజాల పొడవు
ఆర్- త్రిభుజంలో చెక్కబడిన వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం
ఆర్- త్రిభుజం చుట్టూ ఉన్న వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం
h- త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు ప్రక్కకు తగ్గించబడింది
p- త్రిభుజం యొక్క అర్ధ-పరిధి, 1/2 దాని భుజాల మొత్తం (చుట్టుకొలత)
α - త్రిభుజం యొక్క a వైపుకు వ్యతిరేక కోణం
β - త్రిభుజం b వైపు ఎదురుగా ఉన్న కోణం
γ - త్రిభుజం యొక్క c వైపు ఎదురుగా ఉన్న కోణం
h a, h బి , h సి- త్రిభుజం ఎత్తు a, b, c వైపులా తగ్గించబడింది

ఇవ్వబడిన సంజ్ఞామానాలు పై బొమ్మకు అనుగుణంగా ఉన్నాయని దయచేసి గమనించండి, తద్వారా నిజమైన జ్యామితి సమస్యను పరిష్కరించేటప్పుడు, సూత్రంలో సరైన స్థానాల్లో సరైన విలువలను భర్తీ చేయడం మీకు దృశ్యమానంగా సులభం అవుతుంది.

• త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు యొక్క సగం ఉత్పత్తి మరియు ఈ ఎత్తు తగ్గించబడిన వైపు పొడవు(ఫార్ములా 1). ఈ ఫార్ములా యొక్క ఖచ్చితత్వాన్ని తార్కికంగా అర్థం చేసుకోవచ్చు. స్థావరానికి తగ్గించబడిన ఎత్తు ఏకపక్ష త్రిభుజాన్ని రెండు దీర్ఘచతురస్రాకార త్రిభుజాలుగా విభజిస్తుంది. మీరు వాటిలో ప్రతి ఒక్కటిని b మరియు h పరిమాణాలతో దీర్ఘచతురస్రాకారంలో నిర్మిస్తే, స్పష్టంగా ఈ త్రిభుజాల వైశాల్యం దీర్ఘచతురస్రం యొక్క సగం వైశాల్యానికి సమానంగా ఉంటుంది (Spr = bh)
• త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం దాని రెండు వైపులా సగం ఉత్పత్తి మరియు వాటి మధ్య కోణం యొక్క సైన్(ఫార్ములా 2) (క్రింద ఉన్న ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి సమస్యను పరిష్కరించే ఉదాహరణను చూడండి). ఇది మునుపటి కంటే భిన్నంగా కనిపించినప్పటికీ, దానిని సులభంగా మార్చవచ్చు. మనం ఎత్తును B కోణం నుండి b వైపుకు తగ్గిస్తే, లంబ త్రిభుజంలోని సైన్ యొక్క లక్షణాల ప్రకారం, a వైపు మరియు γ కోణం యొక్క సైన్ యొక్క ఉత్పత్తి, మనం గీసిన త్రిభుజం యొక్క ఎత్తుకు సమానం అని తేలింది. , ఇది మాకు మునుపటి సూత్రాన్ని ఇస్తుంది
• ఏకపక్ష త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనవచ్చు ద్వారా పనివృత్తం యొక్క సగం వ్యాసార్థం దాని అన్ని భుజాల పొడవుల మొత్తంతో దానిలో వ్రాయబడింది(ఫార్ములా 3), సరళంగా చెప్పాలంటే, మీరు త్రిభుజం యొక్క సెమీ చుట్టుకొలతను చెక్కిన వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థంతో గుణించాలి (ఇది గుర్తుంచుకోవడం సులభం)
• ఏకపక్ష త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని దాని అన్ని భుజాల ఉత్పత్తిని దాని చుట్టూ ఉన్న వృత్తం యొక్క 4 వ్యాసార్థాలతో విభజించడం ద్వారా కనుగొనవచ్చు (ఫార్ములా 4)
• ఫార్ములా 5 అనేది ఒక త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని దాని భుజాల పొడవు మరియు దాని అర్ధ-పరిధి (అన్ని భుజాల మొత్తంలో సగం) ద్వారా కనుగొనడం.
• హెరాన్ సూత్రం(6) అనేది సెమీ చుట్టుకొలత భావనను ఉపయోగించకుండా, భుజాల పొడవు ద్వారా మాత్రమే అదే ఫార్ములా యొక్క ప్రాతినిధ్యం
• ఏకపక్ష త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం త్రిభుజం యొక్క భుజం యొక్క చతురస్రం యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం మరియు ఈ వైపుకు ప్రక్కనే ఉన్న కోణాల యొక్క సైన్స్ ఈ వైపు ఎదురుగా ఉన్న కోణం యొక్క డబుల్ సైన్ ద్వారా విభజించబడింది (ఫార్ములా 7)
• ఏకపక్ష త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని దాని చుట్టూ ఉన్న ప్రతి కోణాల యొక్క సైన్స్ ద్వారా చుట్టుముట్టబడిన వృత్తం యొక్క రెండు చతురస్రాల ఉత్పత్తిగా కనుగొనవచ్చు. (ఫార్ములా 8)
• ఒక వైపు పొడవు మరియు రెండు ప్రక్కనే ఉన్న కోణాల విలువలు తెలిసినట్లయితే, త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం ఈ కోణాల కోటాంజెంట్ల రెట్టింపు మొత్తంతో భాగించబడిన ఈ వైపు చతురస్రంగా కనుగొనవచ్చు (ఫార్ములా 9)
• త్రిభుజం యొక్క ప్రతి ఎత్తు యొక్క పొడవు మాత్రమే తెలిస్తే (ఫార్ములా 10), హెరాన్ సూత్రం ప్రకారం, అటువంటి త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం ఈ ఎత్తుల పొడవులకు విలోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
• ఫార్ములా 11 మీరు లెక్కించేందుకు అనుమతిస్తుంది త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం దాని శీర్షాల కోఆర్డినేట్‌ల ఆధారంగా, ఇవి ప్రతి శీర్షానికి (x;y) విలువలుగా పేర్కొనబడ్డాయి. వ్యక్తిగత (లేదా అన్ని) శీర్షాల కోఆర్డినేట్‌లు ప్రతికూల విలువల ప్రాంతంలో ఉండవచ్చు కాబట్టి, ఫలిత విలువ తప్పనిసరిగా మాడ్యులో తీసుకోబడుతుందని దయచేసి గమనించండి.

గమనిక. త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడానికి జ్యామితి సమస్యలను పరిష్కరించడానికి క్రింది ఉదాహరణలు. మీరు ఇక్కడ సారూప్యంగా లేని జ్యామితి సమస్యను పరిష్కరించాల్సిన అవసరం ఉంటే, దాని గురించి ఫోరమ్‌లో వ్రాయండి. పరిష్కారాలలో, "స్క్వేర్ రూట్" చిహ్నానికి బదులుగా, sqrt() ఫంక్షన్‌ని ఉపయోగించవచ్చు, దీనిలో sqrt వర్గమూల చిహ్నం మరియు రాడికల్ వ్యక్తీకరణ కుండలీకరణాల్లో సూచించబడుతుంది..కొన్నిసార్లు సాధారణ రాడికల్ వ్యక్తీకరణల కోసం చిహ్నాన్ని ఉపయోగించవచ్చు √

టాస్క్. రెండు వైపులా ఇచ్చిన ప్రాంతం మరియు వాటి మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి

త్రిభుజం యొక్క భుజాలు 5 మరియు 6 సెం.మీ.. వాటి మధ్య కోణం 60 డిగ్రీలు. త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం.

ఈ సమస్యను పరిష్కరించడానికి, మేము పాఠం యొక్క సైద్ధాంతిక భాగం నుండి ఫార్ములా సంఖ్య రెండుని ఉపయోగిస్తాము.
త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని రెండు భుజాల పొడవు మరియు వాటి మధ్య ఉన్న కోణం యొక్క సైన్ ద్వారా కనుగొనవచ్చు మరియు సమానంగా ఉంటుంది
S=1/2 ab sin γ

పరిష్కారం కోసం అవసరమైన అన్ని డేటాను కలిగి ఉన్నందున (ఫార్ములా ప్రకారం), మేము సమస్య పరిస్థితుల నుండి ఫార్ములాలోని విలువలను మాత్రమే భర్తీ చేయగలము:
S = 1/2 * 5 * 6 * పాపం 60

త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల విలువల పట్టికలో, మేము సైన్ 60 డిగ్రీల విలువను వ్యక్తీకరణలో కనుగొని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము. ఇది మూడు సార్లు రెండు యొక్క మూలానికి సమానంగా ఉంటుంది.
S = 15 √3 / 2

సమాధానం: 7.5 √3 (ఉపాధ్యాయుని అవసరాలను బట్టి, మీరు బహుశా 15 √3/2 వదిలివేయవచ్చు)

టాస్క్. సమబాహు త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి

3 సెంటీమీటర్ల వైపు ఉన్న సమబాహు త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం .

హెరాన్ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనవచ్చు:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

a = b = c కాబట్టి, సమబాహు త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యానికి సూత్రం రూపం తీసుకుంటుంది:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

సమాధానం: 9 √3 / 4.

టాస్క్. భుజాల పొడవును మార్చేటప్పుడు ప్రాంతంలో మార్చండి

భుజాలను 4 రెట్లు పెంచినట్లయితే త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం ఎన్ని సార్లు పెరుగుతుంది?

పరిష్కారం.

త్రిభుజం యొక్క భుజాల కొలతలు మనకు తెలియవు కాబట్టి, సమస్యను పరిష్కరించడానికి మేము భుజాల పొడవులు వరుసగా a, b, c అనే ఏకపక్ష సంఖ్యలకు సమానం అని అనుకుంటాము. అప్పుడు, సమస్య యొక్క ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వడానికి, మేము ఇచ్చిన త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొంటాము, ఆపై భుజాలు నాలుగు రెట్లు పెద్దవిగా ఉన్న త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొంటాము. ఈ త్రిభుజాల ప్రాంతాల నిష్పత్తి మనకు సమస్యకు సమాధానం ఇస్తుంది.

క్రింద మేము దశల వారీగా సమస్యకు పరిష్కారం యొక్క వచన వివరణను అందిస్తాము. అయినప్పటికీ, చివరిలో, ఇదే పరిష్కారం మరింత అనుకూలమైన గ్రాఫికల్ రూపంలో ప్రదర్శించబడుతుంది. ఆసక్తి ఉన్నవారు వెంటనే పరిష్కారాలను కనుగొనవచ్చు.

పరిష్కరించడానికి, మేము హెరాన్ సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము (పాఠం యొక్క సైద్ధాంతిక భాగంలో పైన చూడండి). ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(క్రింద ఉన్న చిత్రంలో మొదటి పంక్తి చూడండి)

ఏకపక్ష త్రిభుజం యొక్క భుజాల పొడవులు a, b, c వేరియబుల్స్ ద్వారా పేర్కొనబడతాయి.
భుజాలను 4 రెట్లు పెంచినట్లయితే, కొత్త త్రిభుజం c యొక్క వైశాల్యం ఇలా ఉంటుంది:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(క్రింద చిత్రంలో రెండవ పంక్తి చూడండి)

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, 4 అనేది సాధారణ కారకం, ఇది గణితశాస్త్రం యొక్క సాధారణ నియమాల ప్రకారం నాలుగు వ్యక్తీకరణల నుండి బ్రాకెట్ల నుండి తీసివేయబడుతుంది.
అప్పుడు

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - చిత్రం యొక్క మూడవ పంక్తిలో
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - నాల్గవ పంక్తి

256 సంఖ్య యొక్క వర్గమూలం ఖచ్చితంగా సంగ్రహించబడింది, కాబట్టి దానిని రూట్ కింద నుండి తీసుకుందాం
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(క్రింద ఉన్న చిత్రంలో ఐదవ లైన్ చూడండి)

సమస్యలో అడిగిన ప్రశ్నకు సమాధానమివ్వడానికి, మేము ఫలిత త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని అసలు వైశాల్యంతో విభజించాలి.
వ్యక్తీకరణలను ఒకదానికొకటి విభజించడం ద్వారా మరియు ఫలిత భిన్నాన్ని తగ్గించడం ద్వారా వైశాల్య నిష్పత్తులను నిర్ధారిద్దాం.