ఉదాహరణ 1. |x – 3| సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి = 1.

పరిష్కారం. ఈ సమీకరణాన్ని “దూరాల భాష”లోకి అనువదిస్తే, “కోఆర్డినేట్ x ఉన్న పాయింట్ నుండి కోఆర్డినేట్ 3 ఉన్న పాయింట్‌కి దూరం 1” అనే వాక్యాన్ని పొందుతాము. పర్యవసానంగా, సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం అనేది 1 దూరం ద్వారా కోఆర్డినేట్ 3 తో ​​పాయింట్ నుండి దూరంగా ఉన్న పాయింట్లను కనుగొనడం.

_______________________________________________________

సమీకరణం యొక్క మూలాలు 2 మరియు 4 సంఖ్యలు.

ఉదాహరణ 2. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి | 2x + 1 | = 3

ఈ సమీకరణాన్ని రూపానికి తగ్గించడం | x – (-1/2) | = 3/2, దూర సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి.

సమాధానం: -2;1.

ఉదాహరణ 3: |x + 2| సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి = |x – 1|.

పరిష్కారం. ఈ సమీకరణాన్ని |x – (-2)| రూపంలో రాద్దాం = |x – 1|. రేఖాగణిత పరిశీలనల ఆధారంగా, చివరి సమీకరణం యొక్క మూలం 1 మరియు -2 కోఆర్డినేట్‌లతో ఉన్న పాయింట్ల నుండి సమానమైన పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్ అని అర్థం చేసుకోవడం కష్టం కాదు.

సమాధానం: -0.5.

ఉదాహరణ 4: అసమానతను పరిష్కరించండి |x – 1|<2.

పరిష్కారం. రేఖాగణిత భావనల ఆధారంగా, ఈ అసమానతకు పరిష్కారాలు కోఆర్డినేట్ 1 తో పాయింట్ నుండి 2 కంటే తక్కువ దూరంలో ఉన్న పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌లు అని మేము నిర్ధారణకు వచ్చాము.

సమాధానం: (-1;3)

స్వతంత్ర పని కోసం వ్యాయామాలు

| x – 2| = 0.4 | 10 – x |< 7 | x + 4 | = | x – 4 |

| x + 3 | = 0.7 | x + 1 | > 1 | x + 2.5| = | x - 3.3|

| x – 2.5|< 0,5 | x + 8 | >0.7 | x | > | x – 2 |

| x – 5 |< | x – 1 | .

ఈ ఆన్‌లైన్ గణిత కాలిక్యులేటర్ మీకు సహాయం చేస్తుంది మాడ్యులితో సమీకరణం లేదా అసమానతను పరిష్కరించండి. కోసం ప్రోగ్రామ్ మాడ్యులితో సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను పరిష్కరించడంసమస్యకు సమాధానం ఇవ్వడమే కాదు, దారి తీస్తుంది వివరణలతో వివరణాత్మక పరిష్కారం, అనగా ఫలితాన్ని పొందే ప్రక్రియను ప్రదర్శిస్తుంది.

ఈ కార్యక్రమం సాధారణ విద్యా పాఠశాలల్లోని ఉన్నత పాఠశాల విద్యార్థులకు పరీక్షలు మరియు పరీక్షలకు సిద్ధమవుతున్నప్పుడు, ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్షకు ముందు జ్ఞానాన్ని పరీక్షించేటప్పుడు మరియు గణితం మరియు బీజగణితంలో అనేక సమస్యల పరిష్కారాన్ని నియంత్రించడానికి తల్లిదండ్రులకు ఉపయోగపడుతుంది. లేదా మీరు ట్యూటర్‌ని నియమించుకోవడం లేదా కొత్త పాఠ్యపుస్తకాలను కొనుగోలు చేయడం చాలా ఖరీదైనదా? లేదా మీరు మీ గణితం లేదా బీజగణితం హోంవర్క్‌ని వీలైనంత త్వరగా పూర్తి చేయాలనుకుంటున్నారా? ఈ సందర్భంలో, మీరు మా ప్రోగ్రామ్‌లను వివరణాత్మక పరిష్కారాలతో కూడా ఉపయోగించవచ్చు.

ఈ విధంగా, మీరు మీ స్వంత శిక్షణ మరియు/లేదా మీ తమ్ముళ్లు లేదా సోదరీమణుల శిక్షణను నిర్వహించవచ్చు, అయితే సమస్యలను పరిష్కరించే రంగంలో విద్యా స్థాయి పెరుగుతుంది.

మాడ్యులితో సమీకరణం లేదా అసమానతను నమోదు చేయండి

ఈ సమస్యను పరిష్కరించడానికి అవసరమైన కొన్ని స్క్రిప్ట్‌లు లోడ్ చేయబడలేదని మరియు ప్రోగ్రామ్ పని చేయకపోవచ్చని కనుగొనబడింది.
మీరు AdBlock ప్రారంభించబడి ఉండవచ్చు.
ఈ సందర్భంలో, దాన్ని నిలిపివేయండి మరియు పేజీని రిఫ్రెష్ చేయండి.

ఎందుకంటే సమస్యను పరిష్కరించడానికి చాలా మంది సిద్ధంగా ఉన్నారు, మీ అభ్యర్థన క్యూలో ఉంచబడింది.
కొన్ని సెకన్లలో పరిష్కారం క్రింద కనిపిస్తుంది.
దయచేసి వేచి ఉండండి సెకను...

ఒకవేళ నువ్వు పరిష్కారంలో లోపాన్ని గమనించారు, అప్పుడు మీరు దీని గురించి అభిప్రాయ ఫారమ్‌లో వ్రాయవచ్చు.
మర్చిపోవద్దు ఏ పనిని సూచించండిమీరు ఏమి నిర్ణయించుకుంటారు ఫీల్డ్‌లలోకి ప్రవేశించండి.

మా ఆటలు, పజిల్స్, ఎమ్యులేటర్లు:

ఒక చిన్న సిద్ధాంతం.

మాడ్యులితో సమీకరణాలు మరియు అసమానతలు

ప్రాథమిక పాఠశాల బీజగణిత కోర్సులో, మీరు మాడ్యులితో సరళమైన సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను ఎదుర్కోవచ్చు. వాటిని పరిష్కరించడానికి, \(|x-a| \) అనేది x మరియు a పాయింట్ల మధ్య సంఖ్య రేఖపై దూరం అనే వాస్తవం ఆధారంగా మీరు రేఖాగణిత పద్ధతిని ఉపయోగించవచ్చు: \(|x-a| = \rho (x;\; a) \). ఉదాహరణకు, \(|x-3|=2\) సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి మీరు పాయింట్ 3 నుండి 2 దూరంలో ఉన్న సంఖ్య రేఖపై పాయింట్లను కనుగొనాలి. అటువంటి రెండు పాయింట్లు ఉన్నాయి: \(x_1=1 \) మరియు \(x_2=5\) .

అసమానతను పరిష్కరించడం \(|2x+7|

కానీ మాడ్యులీతో సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను పరిష్కరించడానికి ప్రధాన మార్గం "నిర్వచనం ద్వారా మాడ్యులస్ యొక్క వెల్లడి" అని పిలవబడే దానితో ముడిపడి ఉంటుంది:
\(a \geq 0 \), అప్పుడు \(|a|=a \);
\(a నియమం ప్రకారం, మాడ్యులితో సమీకరణం (అసమానత్వం) మాడ్యులస్ గుర్తును కలిగి లేని సమీకరణాల (అసమానతలు) సమితికి తగ్గించబడుతుంది.

పై నిర్వచనానికి అదనంగా, కింది ప్రకటనలు ఉపయోగించబడతాయి:
1) \(c > 0\), అయితే \(|f(x)|=c \) సమీకరణాల సమితికి సమానం: \(\left[\begin(array)(l) f(x )=c \\ f(x)=-c \end(array)\right. \)
2) \(c > 0 \), అప్పుడు అసమానత \(|f(x)| 3) \(c \geq 0 \) అయితే, అసమానత \(|f(x)| > c \) అసమానతల సమితికి సమానం : \(\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. \)
4) అసమానత యొక్క రెండు వైపులా ఉంటే \(f(x) ఉదాహరణ 1. \(x^2 +2|x-1| -6 = 0\) సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.

ఒకవేళ \(x-1 \geq 0\), అప్పుడు \(|x-1| = x-1\) మరియు ఇచ్చిన సమీకరణం రూపాన్ని తీసుకుంటుంది
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \రైట్‌టారో x^2 +2x -8 = 0 \).
ఒకవేళ \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \రైట్‌టారో x^2 -2x -4 = 0 \).
అందువల్ల, సూచించిన రెండు సందర్భాలలో ఇచ్చిన సమీకరణాన్ని విడిగా పరిగణించాలి.
1) లెట్ \(x-1 \geq 0 \), అనగా. \(x\geq 1\). సమీకరణం నుండి \(x^2 +2x -8 = 0\) మేము \(x_1=2, \; x_2=-4\)ని కనుగొంటాము. షరతు \(x \geq 1 \) విలువ \(x_1=2\) ద్వారా మాత్రమే సంతృప్తి చెందుతుంది.
2) లెట్ \(x-1 సమాధానం: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)

ఉదాహరణ 2. \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\) సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.

మొదటి మార్గం(నిర్వచనం ద్వారా మాడ్యూల్ విస్తరణ).
ఉదాహరణ 1లో తార్కికంగా, రెండు షరతులు నెరవేరినట్లయితే, ఇచ్చిన సమీకరణాన్ని విడిగా పరిగణించాల్సిన అవసరం ఉందని మేము నిర్ధారణకు వచ్చాము: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) లేదా \(x^2-6x+7

1) \(x^2-6x+7 \geq 0 \), అప్పుడు \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) మరియు ఇచ్చిన సమీకరణం \(x రూపాన్ని తీసుకుంటుంది ^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \రైట్‌టారో 3x^2-23x+30=0 \). ఈ చతురస్రాకార సమీకరణాన్ని పరిష్కరించిన తర్వాత, మనకు లభిస్తుంది: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
\(x_1=6\) విలువ \(x^2-6x+7 \geq 0\) షరతును సంతృప్తి పరుస్తుందో లేదో తెలుసుకుందాం. దీన్ని చేయడానికి, సూచించిన విలువను చతురస్రాకార అసమానతలో ప్రత్యామ్నాయం చేయండి. మనకు లభిస్తుంది: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), అనగా. \(7 \geq 0 \) నిజమైన అసమానత. దీనర్థం \(x_1=6\) అనేది ఇచ్చిన సమీకరణం యొక్క మూలం.
\(x_2=\frac(5)(3)\) విలువ \(x^2-6x+7 \geq 0\) షరతును సంతృప్తి పరుస్తుందో లేదో తెలుసుకుందాం. దీన్ని చేయడానికి, సూచించిన విలువను చతురస్రాకార అసమానతలో ప్రత్యామ్నాయం చేయండి. మనకు లభిస్తుంది: \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), అనగా. \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) అనేది సరికాని అసమానత. దీనర్థం \(x_2=\frac(5)(3)\) ఇచ్చిన సమీకరణం యొక్క మూలం కాదు.

2) \(x^2-6x+7 విలువ \(x_3=3\) షరతును సంతృప్తిపరిస్తే \(x^2-6x+7 విలువ \(x_4=\frac(4)(3) \) సంతృప్తి చెందకపోతే షరతు \ (x^2-6x+7 కాబట్టి, ఇచ్చిన సమీకరణానికి రెండు మూలాలు ఉన్నాయి: \(x=6, \; x=3 \).

రెండవ మార్గం.\(|f(x)| = h(x) \) సమీకరణం ఇచ్చినట్లయితే, \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \ఎండ్(అరే)\కుడి. \)
ఈ రెండు సమీకరణాలు పైన పరిష్కరించబడ్డాయి (ఇచ్చిన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించే మొదటి పద్ధతిని ఉపయోగించి), వాటి మూలాలు క్రింది విధంగా ఉన్నాయి: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4 )(3)\). ఈ నాలుగు విలువలలోని షరతు \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) కేవలం రెండింటితో సంతృప్తి చెందుతుంది: 6 మరియు 3. దీని అర్థం ఇవ్వబడిన సమీకరణానికి రెండు మూలాలు ఉన్నాయి: \(x=6 , \; x=3 \ ).

మూడవ మార్గం(గ్రాఫిక్).
1) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను రూపొందిద్దాం \(y = |x^2-6x+7| \). ముందుగా, పారాబొలా \(y = x^2-6x+7\)ని నిర్మిస్తాము. మాకు \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \) ఉంది. ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ \(y = (x-3)^2-2\) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ \(y = x^2\) నుండి దాన్ని 3 స్కేల్ యూనిట్‌లను కుడి వైపుకు మార్చడం ద్వారా పొందవచ్చు. x-axis) మరియు 2 స్కేల్ యూనిట్లు క్రిందికి (y-అక్షం వెంట). సరళ రేఖ x=3 అనేది మనకు ఆసక్తి ఉన్న పారాబొలా యొక్క అక్షం. మరింత ఖచ్చితమైన ప్లాటింగ్ కోసం నియంత్రణ పాయింట్లుగా, పాయింట్ (3; -2) తీసుకోవడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది - పారాబొలా యొక్క శీర్షం, పాయింట్ (0; 7) మరియు పాయింట్ (6; 7) పారాబొలా యొక్క అక్షానికి సంబంధించి దానికి సుష్టంగా ఉంటుంది. .
ఇప్పుడు ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను నిర్మించడానికి \(y = |x^2-6x+7| \), మీరు x-అక్షం దిగువన లేని నిర్మిత పారాబొలాలోని ఆ భాగాలను మార్చకుండా ఉంచాలి మరియు ఆ భాగాన్ని ప్రతిబింబించాలి x అక్షానికి సంబంధించి x-అక్షం క్రింద ఉన్న పారాబొలా.
2) లీనియర్ ఫంక్షన్ \(y = \frac(5x-9)(3)\) యొక్క గ్రాఫ్‌ను రూపొందిద్దాం. పాయింట్లు (0; –3) మరియు (3; 2) నియంత్రణ పాయింట్లుగా తీసుకోవడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది.

అబ్సిస్సా అక్షంతో సరళ రేఖ యొక్క ఖండన యొక్క పాయింట్ x = 1.8 అనేది అబ్సిస్సా అక్షంతో పారాబొలా యొక్క ఎడమ ఖండన బిందువుకు కుడి వైపున ఉండటం ముఖ్యం - ఇది పాయింట్ \(x=3-\ sqrt(2) \) (\(3-\sqrt(2 ) 3) డ్రాయింగ్ ద్వారా అంచనా వేయడం వలన, గ్రాఫ్‌లు రెండు పాయింట్ల వద్ద కలుస్తాయి - A(3; 2) మరియు B(6; 7).వీటిలోని అబ్సిస్సాస్‌లను ప్రత్యామ్నాయం చేయడం ఇచ్చిన సమీకరణంలో x = 3 మరియు x = 6 పాయింట్లు, మరొక విలువలో, సరైన సంఖ్యాపరమైన సమానత్వం రెండూ లభిస్తాయని మేము నమ్ముతున్నాము. దీని అర్థం మా పరికల్పన నిర్ధారించబడింది - సమీకరణానికి రెండు మూలాలు ఉన్నాయి: x = 3 మరియు x = 6 సమాధానం: 3; 6.

వ్యాఖ్య. గ్రాఫికల్ పద్ధతి, దాని చక్కదనం కోసం, చాలా నమ్మదగినది కాదు. పరిగణించబడిన ఉదాహరణలో, సమీకరణం యొక్క మూలాలు పూర్ణాంకాలు అయినందున మాత్రమే ఇది పని చేస్తుంది.

ఉదాహరణ 3. \(|2x-4|+|x+3| = 8\) సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

మొదటి మార్గం
2x–4 అనే వ్యక్తీకరణ x = 2 పాయింట్ వద్ద 0 అవుతుంది మరియు x + 3 అనే వ్యక్తీకరణ x = –3 పాయింట్ వద్ద 0 అవుతుంది. ఈ రెండు పాయింట్లు సంఖ్య రేఖను మూడు విరామాలుగా విభజిస్తాయి: \(x

మొదటి విరామాన్ని పరిగణించండి: \((-\infty; \; -3) \).
x రెండవ విరామాన్ని పరిగణించినట్లయితే: \([-3; \; 2) \).
ఒకవేళ \(-3 \leq x మూడవ విరామాన్ని పరిగణించండి: \(

సరళంగా చెప్పాలంటే, మాడ్యులస్ అనేది "మైనస్ లేని సంఖ్య." మరియు ఇది ఈ ద్వంద్వత్వంలో ఉంది (కొన్ని ప్రదేశాలలో మీరు అసలు సంఖ్యతో ఏమీ చేయనవసరం లేదు, కానీ మరికొన్నింటిలో మీరు ఒక రకమైన మైనస్‌ను తీసివేయాలి) ఇక్కడే ప్రారంభ విద్యార్థులకు మొత్తం కష్టం ఉంది.

రేఖాగణిత నిర్వచనం కూడా ఉంది. ఇది తెలుసుకోవడం కూడా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది, అయితే మేము సంక్లిష్టమైన మరియు కొన్ని ప్రత్యేక సందర్భాలలో మాత్రమే దాన్ని ఆశ్రయిస్తాము, ఇక్కడ బీజగణితం కంటే రేఖాగణిత విధానం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది (స్పాయిలర్: ఈ రోజు కాదు).

నిర్వచనం. సంఖ్య రేఖపై పాయింట్ $a$ని గుర్తించనివ్వండి. అప్పుడు మాడ్యూల్ $\ఎడమ| x-a \right|$ అనేది ఈ లైన్‌లోని పాయింట్ $x$ నుండి పాయింట్ $a$కి దూరం.

మీరు చిత్రాన్ని గీసినట్లయితే, మీరు ఇలాంటివి పొందుతారు:

ఒక మార్గం లేదా మరొకటి, మాడ్యూల్ యొక్క నిర్వచనం నుండి దాని ముఖ్య లక్షణం వెంటనే క్రింది విధంగా ఉంటుంది: సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ ఎల్లప్పుడూ నాన్-నెగటివ్ పరిమాణం. ఈ వాస్తవం ఈ రోజు మన మొత్తం కథనంలో ఎర్రటి దారంలా ఉంటుంది.

అసమానతలను పరిష్కరించడం. విరామం పద్ధతి

ఇప్పుడు అసమానతలను చూద్దాం. వాటిలో చాలా ఉన్నాయి, కానీ ఇప్పుడు మా పని వాటిలో కనీసం సరళమైన వాటిని పరిష్కరించగలగాలి. లీనియర్ అసమానతలకు, అలాగే విరామ పద్ధతికి తగ్గించేవి.

ఈ అంశంపై నాకు రెండు పెద్ద పాఠాలు ఉన్నాయి (మార్గం ద్వారా, చాలా, చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంది - నేను వాటిని అధ్యయనం చేయాలని సిఫార్సు చేస్తున్నాను):

1. అసమానతలకు విరామ పద్ధతి (ముఖ్యంగా వీడియో చూడండి);
2. పాక్షిక హేతుబద్ధ అసమానతలు చాలా విస్తృతమైన పాఠం, కానీ దాని తర్వాత మీకు ఎలాంటి ప్రశ్నలు ఉండవు.

మీకు ఇవన్నీ తెలిస్తే, “అసమానత్వం నుండి సమీకరణానికి వెళ్దాం” అనే పదబంధం మిమ్మల్ని గోడకు వ్యతిరేకంగా కొట్టాలనే అస్పష్టమైన కోరికను కలిగి ఉండకపోతే, మీరు సిద్ధంగా ఉన్నారు: పాఠం యొక్క ప్రధాన అంశానికి నరకానికి స్వాగతం. :)

1. రూపం యొక్క అసమానతలు "మాడ్యులస్ ఫంక్షన్ కంటే తక్కువ"

మాడ్యూల్స్‌తో ఇది చాలా సాధారణ సమస్యలలో ఒకటి. ఫారమ్ యొక్క అసమానతను పరిష్కరించడానికి ఇది అవసరం:

\[\ఎడమ| f\కుడి| \ltg\]

విధులు $f$ మరియు $g$ ఏదైనా కావచ్చు, కానీ సాధారణంగా అవి బహుపదాలు. అటువంటి అసమానతలకు ఉదాహరణలు:

\[\ప్రారంభం(సమలేఖనం) & \ఎడమ| 2x+3 \కుడి| \lt x+7; \\ & \ ఎడమ| ((x)^(2))+2x-3 \కుడి|+3\ఎడమ(x+1 \కుడి) \lt 0; \\ & \ ఎడమ| ((x)^(2))-2\ఎడమ| x \కుడి|-3 \కుడి| \lt 2. \\\ end(align)\]

కింది పథకం ప్రకారం అవన్నీ అక్షరాలా ఒక లైన్‌లో పరిష్కరించబడతాయి:

\[\ఎడమ| f\కుడి| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\ end(align) \కుడి.\కుడి)\]

మేము మాడ్యూల్‌ను వదిలించుకోవడాన్ని చూడటం చాలా సులభం, కానీ ప్రతిఫలంగా మనకు డబుల్ అసమానత లభిస్తుంది (లేదా, అదే విషయం, రెండు అసమానతల వ్యవస్థ). కానీ ఈ పరివర్తన ఖచ్చితంగా సాధ్యమయ్యే అన్ని సమస్యలను పరిగణనలోకి తీసుకుంటుంది: మాడ్యులస్ క్రింద ఉన్న సంఖ్య సానుకూలంగా ఉంటే, పద్ధతి పనిచేస్తుంది; ప్రతికూలంగా ఉంటే, అది ఇప్పటికీ పనిచేస్తుంది; మరియు $f$ లేదా $g$ స్థానంలో చాలా సరిపోని ఫంక్షన్‌తో కూడా, పద్ధతి ఇప్పటికీ పని చేస్తుంది.

సహజంగానే, ప్రశ్న తలెత్తుతుంది: ఇది సరళమైనది కాదా? దురదృష్టవశాత్తు, అది సాధ్యం కాదు. ఇది మాడ్యూల్ యొక్క మొత్తం పాయింట్.

అయితే, తాత్వికతతో సరిపోతుంది. కొన్ని సమస్యలను పరిష్కరిద్దాం:

టాస్క్. అసమానతలను పరిష్కరించండి:

\[\ఎడమ| 2x+3 \కుడి| \lt x+7\]

పరిష్కారం. కాబట్టి, మన ముందు “మాడ్యులస్ తక్కువ” రూపం యొక్క క్లాసిక్ అసమానత ఉంది - మార్చడానికి కూడా ఏమీ లేదు. మేము అల్గోరిథం ప్రకారం పని చేస్తాము:

\[\ప్రారంభం(సమలేఖనం) & \ఎడమ| f\కుడి| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \ ఎడమ| 2x+3 \కుడి| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\ end(align)\]

"మైనస్" ముందు ఉన్న కుండలీకరణాలను తెరవడానికి తొందరపడకండి: మీ తొందరపాటు కారణంగా మీరు అప్రియమైన పొరపాటు చేసే అవకాశం ఉంది.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \ end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \ end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \ end(align) \right.\]

సమస్య రెండు ప్రాథమిక అసమానతలకు తగ్గించబడింది. సమాంతర సంఖ్యా రేఖలపై వాటి పరిష్కారాలను గమనించండి:

అనేక ఖండన

ఈ సెట్ల ఖండన సమాధానం అవుతుంది.

సమాధానం: $x\in \ఎడమ(-\frac(10)(3);4 \కుడి)$

టాస్క్. అసమానతలను పరిష్కరించండి:

\[\ఎడమ| ((x)^(2))+2x-3 \కుడి|+3\ఎడమ(x+1 \కుడి) \lt 0\]

పరిష్కారం. ఈ పని కొంచెం కష్టం. ముందుగా, రెండవ పదాన్ని కుడివైపుకి తరలించడం ద్వారా మాడ్యూల్‌ను వేరు చేద్దాం:

\[\ఎడమ| ((x)^(2))+2x-3 \కుడి| \lt -3\ఎడమ(x+1 \కుడి)\]

సహజంగానే, మనకు మళ్ళీ "మాడ్యూల్ చిన్నది" అనే రూపం యొక్క అసమానత ఉంది, కాబట్టి మేము ఇప్పటికే తెలిసిన అల్గోరిథం ఉపయోగించి మాడ్యూల్‌ను వదిలించుకుంటాము:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

ఇప్పుడు అవధానం: ఈ కుండలీకరణాలతో నేను కొంచెం వక్రబుద్ధిని కలిగి ఉన్నానని ఎవరైనా చెబుతారు. అయితే మన ప్రధాన లక్ష్యం ఒక్కటేనని మరోసారి గుర్తు చేస్తున్నాను అసమానతను సరిగ్గా పరిష్కరించండి మరియు సమాధానం పొందండి. తరువాత, మీరు ఈ పాఠంలో వివరించిన ప్రతిదానిని సంపూర్ణంగా ప్రావీణ్యం పొందినప్పుడు, మీరు కోరుకున్న విధంగా మీరు దానిని వక్రీకరించవచ్చు: కుండలీకరణాలను తెరవండి, మైనస్‌లను జోడించండి మొదలైనవి.

ప్రారంభించడానికి, మేము ఎడమ వైపున ఉన్న డబుల్ మైనస్‌ను వదిలించుకుంటాము:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\ఎడమ(x+1 \కుడి)\]

ఇప్పుడు డబుల్ అసమానతలోని అన్ని బ్రాకెట్లను తెరుద్దాం:

డబుల్ అసమానత వైపు వెళ్దాం. ఈసారి లెక్కలు మరింత తీవ్రంగా ఉంటాయి:

\[\ఎడమ\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \ ముగింపు(సమలేఖనం) \కుడి.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( సమలేఖనం)\కుడి.\]

రెండు అసమానతలు చతురస్రాకారంలో ఉంటాయి మరియు విరామ పద్ధతిని ఉపయోగించి పరిష్కరించవచ్చు (అందుకే నేను చెప్తున్నాను: ఇది ఏమిటో మీకు తెలియకపోతే, మాడ్యూల్‌లను ఇంకా తీసుకోకపోవడమే మంచిది). మొదటి అసమానతలో సమీకరణానికి వెళ్దాం:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\ఎడమ(x+5 \కుడి)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\ ముగింపు(సమలేఖనం)\]

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, అవుట్‌పుట్ అనేది అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణం, దీనిని ప్రాథమిక మార్గంలో పరిష్కరించవచ్చు. ఇప్పుడు సిస్టమ్ యొక్క రెండవ అసమానతను చూద్దాం. అక్కడ మీరు వియటా సిద్ధాంతాన్ని వర్తింపజేయాలి:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& (((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\ ముగింపు(సమలేఖనం)\]

మేము ఫలిత సంఖ్యలను రెండు సమాంతర రేఖలపై గుర్తు చేస్తాము (మొదటి అసమానతకు వేరు మరియు రెండవదానికి వేరు):

మళ్ళీ, మేము అసమానతల వ్యవస్థను పరిష్కరిస్తున్నందున, మేము షేడెడ్ సెట్‌ల ఖండనపై ఆసక్తి కలిగి ఉన్నాము: $x\in \left(-5;-2 \right)$. ఇదే సమాధానం.

సమాధానం: $x\in \ఎడమ(-5;-2 \కుడి)$

ఈ ఉదాహరణల తర్వాత పరిష్కార పథకం చాలా స్పష్టంగా ఉందని నేను భావిస్తున్నాను:

1. అన్ని ఇతర నిబంధనలను అసమానత యొక్క వ్యతిరేక వైపుకు తరలించడం ద్వారా మాడ్యూల్‌ను వేరు చేయండి. ఆ విధంగా మనం $\left| రూపంలో అసమానతను పొందుతాము f\కుడి| \ltg$.
2. పైన వివరించిన పథకం ప్రకారం మాడ్యూల్‌ను వదిలించుకోవడం ద్వారా ఈ అసమానతను పరిష్కరించండి. ఏదో ఒక సమయంలో, డబుల్ అసమానత నుండి రెండు స్వతంత్ర వ్యక్తీకరణల వ్యవస్థకు వెళ్లడం అవసరం, వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి ఇప్పటికే విడిగా పరిష్కరించబడతాయి.
3. చివరగా, ఈ రెండు స్వతంత్ర వ్యక్తీకరణల పరిష్కారాలను కలుస్తాయి - మరియు అంతే, మేము తుది సమాధానం పొందుతాము.

మాడ్యులస్ ఫంక్షన్ కంటే ఎక్కువగా ఉన్నప్పుడు కింది రకానికి చెందిన అసమానతలకు ఇదే విధమైన అల్గోరిథం ఉంటుంది. అయితే, కొన్ని తీవ్రమైన "కానీ" ఉన్నాయి. మేము ఇప్పుడు ఈ "కానీ" గురించి మాట్లాడుతాము.

2. ఫారమ్ యొక్క అసమానతలు "మాడ్యులస్ ఫంక్షన్ కంటే ఎక్కువ"

అవి ఇలా కనిపిస్తాయి:

\[\ఎడమ| f\కుడి| \gtg\]

మునుపటి మాదిరిగానే ఉందా? అనిపిస్తోంది. మరియు ఇంకా అలాంటి సమస్యలు పూర్తిగా భిన్నమైన రీతిలో పరిష్కరించబడతాయి. అధికారికంగా, పథకం క్రింది విధంగా ఉంటుంది:

\[\ఎడమ| f\కుడి| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\ end(align) \right.\]

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, మేము రెండు కేసులను పరిశీలిస్తాము:

1. మొదట, మేము మాడ్యూల్‌ను విస్మరించి సాధారణ అసమానతను పరిష్కరిస్తాము;
2. అప్పుడు, సారాంశంలో, మేము మాడ్యూల్‌ను మైనస్ గుర్తుతో విస్తరిస్తాము, ఆపై అసమానత యొక్క రెండు వైపులా −1 ద్వారా గుణిస్తాము, అయితే నాకు గుర్తు ఉంది.

ఈ సందర్భంలో, ఎంపికలు చదరపు బ్రాకెట్తో కలుపుతారు, అనగా. మన ముందు రెండు అవసరాల కలయిక ఉంది.

దయచేసి మళ్లీ గమనించండి: ఇది ఒక వ్యవస్థ కాదు, కానీ మొత్తం, కాబట్టి సమాధానంలో సెట్‌లు కలుస్తాయి కాకుండా కలుస్తాయి. ఇది మునుపటి పాయింట్ నుండి ప్రాథమిక వ్యత్యాసం!

సాధారణంగా, చాలా మంది విద్యార్థులు యూనియన్‌లు మరియు ఖండనలతో పూర్తిగా గందరగోళానికి గురవుతారు, కాబట్టి ఈ సమస్యను ఒకసారి మరియు అందరికీ క్రమబద్ధీకరిద్దాం:

• "∪" అనేది యూనియన్ గుర్తు. వాస్తవానికి, ఇది "U" అనే శైలీకృత అక్షరం, ఇది ఆంగ్ల భాష నుండి మాకు వచ్చింది మరియు ఇది "యూనియన్" యొక్క సంక్షిప్తీకరణ, అనగా. "అసోసియేషన్స్".
• "∩" అనేది ఖండన గుర్తు. ఈ చెత్త ఎక్కడి నుండి రాలేదు, కానీ కేవలం "∪"కి కౌంటర్ పాయింట్‌గా కనిపించింది.

గుర్తుంచుకోవడాన్ని మరింత సులభతరం చేయడానికి, అద్దాలు తయారు చేయడానికి ఈ సంకేతాలకు కాళ్లు గీయండి (మాదకద్రవ్యాల వ్యసనం మరియు మద్య వ్యసనాన్ని ప్రోత్సహిస్తున్నట్లు ఇప్పుడే నన్ను నిందించవద్దు: మీరు ఈ పాఠాన్ని తీవ్రంగా అధ్యయనం చేస్తుంటే, మీరు ఇప్పటికే మాదకద్రవ్యాల బానిస).

రష్యన్ భాషలోకి అనువదించబడింది, దీని అర్థం క్రింది విధంగా ఉంది: యూనియన్ (మొత్తం) రెండు సెట్ల నుండి మూలకాలను కలిగి ఉంటుంది, కాబట్టి ఇది వాటిలో ప్రతిదాని కంటే తక్కువ కాదు; కానీ ఖండన (వ్యవస్థ) మొదటి సెట్ మరియు రెండవ రెండింటిలోనూ ఏకకాలంలో ఉన్న అంశాలను మాత్రమే కలిగి ఉంటుంది. కాబట్టి, సెట్‌ల ఖండన మూలం సెట్‌ల కంటే ఎప్పుడూ పెద్దది కాదు.

కాబట్టి ఇది స్పష్టమైంది? అది గొప్పది. అభ్యాసానికి వెళ్దాం.

టాస్క్. అసమానతలను పరిష్కరించండి:

\[\ఎడమ| 3x+1 \కుడి| \gt 5-4x\]

పరిష్కారం. మేము పథకం ప్రకారం కొనసాగుతాము:

\[\ఎడమ| 3x+1 \కుడి| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\ end(align) \ కుడి.\]

జనాభాలోని ప్రతి అసమానతను మేము పరిష్కరిస్తాము:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \ end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \ end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \ end(align) \right.\]

మేము ప్రతి ఫలిత సెట్‌ను నంబర్ లైన్‌లో గుర్తించాము, ఆపై వాటిని కలపండి:

సెట్ల యూనియన్

సమాధానం $x\in \ఎడమ(\frac(4)(7);+\infty \right)$ అని చాలా స్పష్టంగా ఉంది.

సమాధానం: $x\in \ఎడమ(\frac(4)(7);+\infty \right)$

టాస్క్. అసమానతలను పరిష్కరించండి:

\[\ఎడమ| ((x)^(2))+2x-3 \కుడి| \gt x\]

పరిష్కారం. బాగా? ఏమీ లేదు - అంతా ఒకటే. మేము మాడ్యులస్‌తో అసమానత నుండి రెండు అసమానతల సమితికి వెళ్తాము:

\[\ఎడమ| ((x)^(2))+2x-3 \కుడి| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\ ముగింపు(సమలేఖనం) \కుడివైపు.\]

మేము ప్రతి అసమానతను పరిష్కరిస్తాము. దురదృష్టవశాత్తు, అక్కడ మూలాలు చాలా మంచివి కావు:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\ ముగింపు(సమలేఖనం)\]

రెండవ అసమానత కూడా కొంచెం క్రూరంగా ఉంది:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\ ముగింపు(సమలేఖనం)\]

ఇప్పుడు మీరు ఈ సంఖ్యలను రెండు అక్షాలపై గుర్తించాలి - ప్రతి అసమానతకు ఒక అక్షం. అయితే, మీరు పాయింట్లను సరైన క్రమంలో గుర్తించాలి: పెద్ద సంఖ్య, మరింత పాయింట్ కుడి వైపుకు కదులుతుంది.

మరియు ఇక్కడ ఒక సెటప్ మాకు వేచి ఉంది. $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (మొదటి లవంలోని నిబంధనలు)తో ప్రతిదీ స్పష్టంగా ఉంటే భిన్నం రెండవ లవంలోని నిబంధనల కంటే తక్కువగా ఉంటుంది, కాబట్టి మొత్తం కూడా తక్కువగా ఉంటుంది), $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt) (21))(2)$ కూడా ఎటువంటి ఇబ్బందులు ఉండవు (సానుకూల సంఖ్య స్పష్టంగా మరింత ప్రతికూలంగా ఉంటుంది), అప్పుడు చివరి జంటతో ప్రతిదీ అంత స్పష్టంగా లేదు. ఏది ఎక్కువ: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ లేదా $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? సంఖ్య రేఖలపై పాయింట్ల స్థానం మరియు వాస్తవానికి, సమాధానం ఈ ప్రశ్నకు సమాధానంపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

కాబట్టి పోల్చి చూద్దాం:

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\ end(matrix)\]

మేము మూలాన్ని వేరు చేసాము, అసమానత యొక్క రెండు వైపులా నాన్-నెగటివ్ సంఖ్యలను పొందాము, కాబట్టి మాకు రెండు వైపులా వర్గీకరించే హక్కు ఉంది:

\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\ end(matrix)\]

$4\sqrt(13) \gt 3$, కాబట్టి $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, అక్షాలపై చివరి పాయింట్లు ఇలా ఉంచబడతాయి:

అగ్లీ మూలాల కేసు

మేము సెట్‌ను పరిష్కరిస్తున్నామని నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను, కాబట్టి సమాధానం యూనియన్‌గా ఉంటుంది, షేడెడ్ సెట్‌ల ఖండన కాదు.

సమాధానం: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, మా పథకం సాధారణ మరియు చాలా కఠినమైన సమస్యలకు గొప్పగా పనిచేస్తుంది. ఈ విధానంలో ఉన్న ఏకైక "బలహీనమైన అంశం" మీరు అహేతుక సంఖ్యలను సరిగ్గా సరిపోల్చాలి (మరియు నన్ను నమ్మండి: ఇవి మూలాలు మాత్రమే కాదు). కానీ ఒక ప్రత్యేక (మరియు చాలా తీవ్రమైన) పాఠం పోలిక సమస్యలకు అంకితం చేయబడుతుంది. మరియు మేము కొనసాగండి.

3. ప్రతికూలత లేని "తోకలు"తో అసమానతలు

ఇప్పుడు మనం అత్యంత ఆసక్తికరమైన భాగానికి వస్తాము. ఇవి రూపం యొక్క అసమానతలు:

\[\ఎడమ| f\కుడి| \gt\left| g\కుడి|\]

సాధారణంగా చెప్పాలంటే, ఇప్పుడు మనం మాట్లాడే అల్గోరిథం మాడ్యూల్‌కు మాత్రమే సరైనది. ఇది ఎడమ మరియు కుడి వైపున హామీ లేని ప్రతికూల వ్యక్తీకరణలు ఉన్న అన్ని అసమానతలలో పని చేస్తుంది:

ఈ పనులతో ఏమి చేయాలి? కేవలం గుర్తుంచుకో:

ప్రతికూలత లేని "తోకలు" ఉన్న అసమానతలలో, రెండు వైపులా ఏదైనా సహజ శక్తికి పెంచవచ్చు. అదనపు పరిమితులు ఉండవు.

అన్నింటిలో మొదటిది, మేము స్క్వేర్ చేయడంలో ఆసక్తి కలిగి ఉంటాము - ఇది మాడ్యూల్స్ మరియు మూలాలను కాల్చేస్తుంది:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\ ముగింపు(సమలేఖనం)\]

చతురస్రం యొక్క మూలాన్ని తీసుకోవడంతో దీన్ని కంగారు పెట్టవద్దు:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\ఎడమ| f \right|\ne f\]

ఒక విద్యార్థి మాడ్యూల్‌ను ఇన్‌స్టాల్ చేయడం మరచిపోయినప్పుడు లెక్కలేనన్ని తప్పులు జరిగాయి! కానీ ఇది పూర్తిగా భిన్నమైన కథ (ఇవి, అహేతుక సమీకరణాలు), కాబట్టి మేము ఇప్పుడు దీనిలోకి వెళ్లము. రెండు సమస్యలను బాగా పరిష్కరిద్దాం:

టాస్క్. అసమానతలను పరిష్కరించండి:

\[\ఎడమ| x+2 \కుడి|\ge \ఎడమ| 1-2x \కుడి|\]

పరిష్కారం. వెంటనే రెండు విషయాలను గమనిద్దాం:

1. ఇది కఠినమైన అసమానత కాదు. సంఖ్య రేఖపై పాయింట్లు పంక్చర్ చేయబడతాయి.
2. అసమానత యొక్క రెండు వైపులా స్పష్టంగా ప్రతికూలం కాదు (ఇది మాడ్యూల్ యొక్క లక్షణం: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

అందువల్ల, మాడ్యులస్‌ను వదిలించుకోవడానికి మరియు సాధారణ విరామ పద్ధతిని ఉపయోగించి సమస్యను పరిష్కరించడానికి మేము అసమానత యొక్క రెండు వైపులా వర్గీకరించవచ్చు:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\ఎడమ(x+2 \కుడి))^(2))\ge ((\ఎడమ(2x-1 \కుడి))^(2)). \\\ ముగింపు(సమలేఖనం)\]

చివరి దశలో, నేను కొంచెం మోసపోయాను: నేను మాడ్యూల్ యొక్క సమానత్వాన్ని సద్వినియోగం చేసుకుంటూ నిబంధనల క్రమాన్ని మార్చాను (వాస్తవానికి, నేను $1-2x$ వ్యక్తీకరణను −1తో గుణించాను).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ కుడి)\కుడి)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\ end(align)\]

మేము విరామం పద్ధతిని ఉపయోగించి పరిష్కరిస్తాము. అసమానత నుండి సమీకరణానికి వెళ్దాం:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\ ముగింపు(సమలేఖనం)\]

మేము కనుగొన్న మూలాలను సంఖ్య రేఖపై గుర్తు చేస్తాము. మరోసారి: అసలు అసమానత కఠినంగా లేనందున అన్ని పాయింట్లు షేడ్ చేయబడ్డాయి!

మాడ్యులస్ గుర్తును వదిలించుకోవడం

ముఖ్యంగా మొండి పట్టుదలగల వారికి నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను: మేము చివరి అసమానత నుండి సంకేతాలను తీసుకుంటాము, ఇది సమీకరణానికి వెళ్లడానికి ముందు వ్రాయబడింది. మరియు మేము అదే అసమానతలో అవసరమైన ప్రాంతాలపై పెయింట్ చేస్తాము. మా విషయంలో ఇది $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

సరే ఇప్పుడు అంతా అయిపోయింది. సమస్య పరిష్కారమైంది.

సమాధానం: $x\in \ఎడమ[ -\frac(1)(3);3 \కుడి]$.

టాస్క్. అసమానతలను పరిష్కరించండి:

\[\ఎడమ| ((x)^(2))+x+1 \కుడి|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \కుడి|\]

పరిష్కారం. మేము ప్రతిదీ ఒకేలా చేస్తాము. నేను వ్యాఖ్యానించను - చర్యల క్రమాన్ని చూడండి.

స్క్వేర్ చేయండి:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left) | ((x)^(2))+3x+4 \కుడి| \కుడి))^(2)); \\ & ((\ఎడమ(((x)^(2))+x+1 \కుడి))^(2))\le (\left(((x)^(2))+3x+4 \కుడి))^(2)); \\ & ((\ఎడమ((((x))^2))+x+1 \కుడి))^(2))-(\ఎడమ(((x)^(2))+3x+4 \ కుడి))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \కుడి)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\ end(align)\]

విరామ పద్ధతి:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ రైట్‌టారో x=-1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\ ముగింపు(సమలేఖనం)\]

నంబర్ లైన్‌లో ఒకే ఒక మూలం ఉంది:

సమాధానం మొత్తం విరామం

సమాధానం: $x\in \ఎడమ[ -1.5;+\infty \right)$.

చివరి పని గురించి చిన్న గమనిక. నా విద్యార్థులలో ఒకరు ఖచ్చితంగా గుర్తించినట్లుగా, ఈ అసమానతలో రెండు సబ్‌మోడ్యులర్ వ్యక్తీకరణలు స్పష్టంగా సానుకూలంగా ఉంటాయి, కాబట్టి మాడ్యులస్ గుర్తును ఆరోగ్యానికి హాని లేకుండా వదిలివేయవచ్చు.

కానీ ఇది పూర్తిగా భిన్నమైన ఆలోచనా స్థాయి మరియు భిన్నమైన విధానం - దీనిని షరతులతో కూడిన పరిణామాల పద్ధతి అని పిలుస్తారు. దాని గురించి - ప్రత్యేక పాఠంలో. ఇప్పుడు నేటి పాఠం యొక్క చివరి భాగానికి వెళ్దాం మరియు ఎల్లప్పుడూ పనిచేసే సార్వత్రిక అల్గారిథమ్‌ను చూద్దాం. మునుపటి విధానాలన్నీ శక్తిలేనివి అయినప్పటికీ. :)

4. ఎంపికల గణన పద్ధతి

ఈ పద్ధతులన్నీ సహాయం చేయకపోతే ఏమి చేయాలి? అసమానత ప్రతికూలమైన తోకలకు తగ్గించబడకపోతే, మాడ్యూల్ను వేరుచేయడం అసాధ్యం అయితే, సాధారణంగా నొప్పి, విచారం, విచారం ఉంటే?

అప్పుడు అన్ని గణితాల యొక్క "భారీ ఫిరంగి" సన్నివేశంలోకి వస్తుంది-బ్రూట్ ఫోర్స్ పద్ధతి. మాడ్యులస్‌తో అసమానతలకు సంబంధించి ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది:

1. అన్ని సబ్‌మోడ్యులర్ వ్యక్తీకరణలను వ్రాసి వాటిని సున్నాకి సమానంగా సెట్ చేయండి;
2. ఫలిత సమీకరణాలను పరిష్కరించండి మరియు ఒక నంబర్ లైన్‌లో కనిపించే మూలాలను గుర్తించండి;
3. సరళ రేఖ అనేక విభాగాలుగా విభజించబడుతుంది, దానిలో ప్రతి మాడ్యూల్ స్థిరమైన గుర్తును కలిగి ఉంటుంది మరియు అందువల్ల ప్రత్యేకంగా బహిర్గతం చేయబడుతుంది;
4. అటువంటి ప్రతి విభాగంలో అసమానతను పరిష్కరించండి (మీరు దశ 2లో పొందిన మూలాలు-సరిహద్దులను విడిగా పరిగణించవచ్చు - విశ్వసనీయత కోసం). ఫలితాలను కలపండి - ఇది సమాధానం అవుతుంది. :)

కాబట్టి ఎలా? బలహీనమైన? సులభంగా! చాలా కాలం మాత్రమే. ఆచరణలో చూద్దాం:

టాస్క్. అసమానతలను పరిష్కరించండి:

\[\ఎడమ| x+2 \కుడి| \lt \left| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

పరిష్కారం. ఈ చెత్త $\left| వంటి అసమానతలను తగ్గించదు f\కుడి| \lt g$, $\ఎడమ| f\కుడి| \gt g$ లేదా $\ఎడమ| f\కుడి| \lt \left| g \right|$, కాబట్టి మేము ముందుగా పని చేస్తాము.

మేము సబ్‌మోడ్యులర్ వ్యక్తీకరణలను వ్రాస్తాము, వాటిని సున్నాకి సమం చేస్తాము మరియు మూలాలను కనుగొంటాము:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Rightarrow x=1. \\\ ముగింపు(సమలేఖనం)\]

మొత్తంగా, మనకు రెండు మూలాలు ఉన్నాయి, అవి సంఖ్య రేఖను మూడు విభాగాలుగా విభజించాయి, వీటిలో ప్రతి మాడ్యూల్ ప్రత్యేకంగా బహిర్గతం చేయబడుతుంది:

సబ్‌మోడ్యులర్ ఫంక్షన్‌ల సున్నాల ద్వారా సంఖ్య రేఖను విభజించడం

ప్రతి విభాగాన్ని విడిగా చూద్దాం.

1. $x \lt -2$. అప్పుడు సబ్‌మోడ్యులర్ వ్యక్తీకరణలు రెండూ ప్రతికూలంగా ఉంటాయి మరియు అసలు అసమానత క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాయబడుతుంది:

\[\ప్రారంభం(సమలేఖనం) & -\ఎడమ(x+2 \కుడి) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\ end(align)\]

మేము చాలా సరళమైన పరిమితిని పొందాము. $x \lt -2$ అనే ప్రారంభ ఊహతో దానిని ఖండిద్దాం:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\ end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnoth \]

సహజంగానే, వేరియబుల్ $x$ ఏకకాలంలో −2 కంటే తక్కువ మరియు 1.5 కంటే ఎక్కువ ఉండకూడదు. ఈ ప్రాంతంలో పరిష్కారాలు లేవు.

1.1 సరిహద్దు రేఖను విడిగా పరిశీలిద్దాం: $x=-2$. ఈ సంఖ్యను అసలు అసమానతతో భర్తీ చేసి తనిఖీ చేద్దాం: ఇది నిజమేనా?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \left| -3\కుడి|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\ ముగింపు(సమలేఖనం)\]

లెక్కల గొలుసు మనల్ని సరికాని అసమానతకు దారితీసిందని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది. అందువల్ల, అసలు అసమానత కూడా తప్పు, మరియు సమాధానంలో $x=-2$ చేర్చబడలేదు.

2. ఇప్పుడు $-2 \lt x \lt 1$ని తెలియజేయండి. ఎడమ మాడ్యూల్ ఇప్పటికే "ప్లస్"తో తెరవబడుతుంది, కానీ కుడివైపు ఇప్పటికీ "మైనస్"తో తెరవబడుతుంది. మాకు ఉన్నాయి:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\ end(align)\]

మళ్ళీ మేము అసలు అవసరంతో కలుస్తాము:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\ end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnoth \]

మరలా, పరిష్కారాల సమితి ఖాళీగా ఉంది, ఎందుకంటే −2.5 కంటే తక్కువ మరియు −2 కంటే ఎక్కువ సంఖ్యలు లేవు.

2.1 మరియు మళ్ళీ ఒక ప్రత్యేక సందర్భం: $x=1$. మేము అసలు అసమానతలను భర్తీ చేస్తాము:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \ఎడమ| 3\కుడి| \lt \left| 0\కుడి|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0.5; \\ & 3 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\ ముగింపు(సమలేఖనం)\]

మునుపటి “ప్రత్యేక సందర్భం” లాగానే, సమాధానంలో $x=1$ సంఖ్య స్పష్టంగా చేర్చబడలేదు.

3. లైన్ యొక్క చివరి భాగం: $x \gt 1$. ఇక్కడ అన్ని మాడ్యూల్స్ ప్లస్ గుర్తుతో తెరవబడతాయి:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \ end(align)\ ]

మరియు మళ్లీ మేము కనుగొన్న సెట్‌ను అసలు పరిమితితో కలుస్తాము:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\ end(align) \ right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

చివరగా! మేము ఒక విరామాన్ని కనుగొన్నాము, అది సమాధానంగా ఉంటుంది.

సమాధానం: $x\in \ఎడమ(4,5;+\infty \right)$

చివరగా, నిజమైన సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు తెలివితక్కువ తప్పుల నుండి మిమ్మల్ని రక్షించే ఒక వ్యాఖ్య:

మాడ్యులితో అసమానతలకు పరిష్కారాలు సాధారణంగా సంఖ్య రేఖపై నిరంతర సెట్లను సూచిస్తాయి - విరామాలు మరియు విభాగాలు. వివిక్త పాయింట్లు చాలా తక్కువ సాధారణం. మరియు ఇంకా తక్కువ తరచుగా, పరిష్కారం యొక్క సరిహద్దు (సెగ్మెంట్ ముగింపు) పరిశీలనలో ఉన్న పరిధి యొక్క సరిహద్దుతో సమానంగా ఉంటుంది.

పర్యవసానంగా, సమాధానంలో సరిహద్దులు (అదే "ప్రత్యేక సందర్భాలు") చేర్చబడకపోతే, ఈ సరిహద్దులకు ఎడమ మరియు కుడి వైపున ఉన్న ప్రాంతాలు దాదాపు ఖచ్చితంగా సమాధానంలో చేర్చబడవు. మరియు దీనికి విరుద్ధంగా: సరిహద్దు సమాధానంలోకి ప్రవేశించింది, అంటే దాని చుట్టూ ఉన్న కొన్ని ప్రాంతాలు కూడా సమాధానాలుగా ఉంటాయి.

మీ పరిష్కారాలను సమీక్షించేటప్పుడు దీన్ని గుర్తుంచుకోండి.