ఆక్స్ అక్షం, వక్రరేఖ y=f(x) మరియు రెండు సరళ రేఖలు: x=a మరియు x=b (Fig. 85)తో సరిహద్దులుగా ఉన్న ఒక వక్ర ట్రాపెజాయిడ్‌ను పరిశీలిద్దాం. x యొక్క ఏకపక్ష విలువను తీసుకుందాం (కేవలం a కాదు మరియు b కాదు). దీనికి h = dx ఇంక్రిమెంట్ ఇచ్చి, AB మరియు CD, ఆక్స్ అక్షం మరియు పరిశీలనలో ఉన్న వక్రరేఖకు చెందిన ఆర్క్ BD సరళ రేఖల ద్వారా సరిహద్దులుగా ఉన్న స్ట్రిప్‌ను పరిశీలిద్దాం. మేము ఈ స్ట్రిప్‌ను ఎలిమెంటరీ స్ట్రిప్ అని పిలుస్తాము. ఎలిమెంటరీ స్ట్రిప్ యొక్క వైశాల్యం దీర్ఘచతురస్రం ACQB యొక్క వైశాల్యం నుండి కర్విలినియర్ త్రిభుజం BQD ద్వారా భిన్నంగా ఉంటుంది మరియు తరువాతి వైశాల్యం BQ = =h= వైపులా ఉన్న దీర్ఘచతురస్రం BQDM వైశాల్యం కంటే తక్కువగా ఉంటుంది. dx) QD=Ay మరియు ప్రాంతం hAy = Ay dxకి సమానం. వైపు h తగ్గినప్పుడు, సైడ్ డు కూడా తగ్గుతుంది మరియు ఏకకాలంలో h సున్నాకి మారుతుంది. కాబట్టి, BQDM యొక్క ప్రాంతం రెండవ-క్రమం అనంతమైనది. ఎలిమెంటరీ స్ట్రిప్ యొక్క వైశాల్యం ప్రాంతం యొక్క పెరుగుదల, మరియు దీర్ఘచతురస్రం ACQB యొక్క వైశాల్యం, AB-AC ==/(x) dx>కు సమానం అనేది ప్రాంతం యొక్క అవకలన. పర్యవసానంగా, మేము ప్రాంతాన్ని దాని అవకలనను ఏకీకృతం చేయడం ద్వారా కనుగొంటాము. పరిశీలనలో ఉన్న చిత్రంలో, స్వతంత్ర వేరియబుల్ l: a నుండి bకి మారుతుంది, కాబట్టి అవసరమైన ప్రాంతం 5 5= \f(x) dxకి సమానంగా ఉంటుంది. (I) ఉదాహరణ 1. పారాబొలా y - 1 -x*, సరళ రేఖలు X =--Fj-, x = 1 మరియు O* అక్షం (Fig. 86) ద్వారా సరిహద్దులుగా ఉన్న ప్రాంతాన్ని గణిద్దాం. అంజీర్ వద్ద. 87. అంజీర్. 86. 1 ఇక్కడ f(x) = 1 - l?, ఏకీకరణ యొక్క పరిమితులు a = - మరియు £ = 1, కాబట్టి J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* ఉదాహరణ 2. సైనూసోయిడ్ y = sinXy, ఆక్స్ అక్షం మరియు సరళ రేఖ (Fig. 87) ద్వారా పరిమితం చేయబడిన ప్రాంతాన్ని గణిద్దాం. ఫార్ములా (I)ని వర్తింపజేస్తే, మేము A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf ఉదాహరణ 3. సైనూసాయిడ్ ^у = sin jc, పరివేష్టిత ఆర్క్ ద్వారా పరిమితం చేయబడిన ప్రాంతాన్ని లెక్కించండి ఆక్స్ అక్షంతో ప్రక్కనే ఉన్న రెండు ఖండన బిందువుల మధ్య (ఉదాహరణకు, మూలం మరియు అబ్సిస్సా iతో ఉన్న పాయింట్ మధ్య). రేఖాగణిత పరిశీలనల నుండి ఈ ప్రాంతం మునుపటి ఉదాహరణ కంటే రెట్టింపు వైశాల్యం ఉంటుందని గమనించండి. అయితే, లెక్కలు చేద్దాం: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o నిజానికి, మా ఊహ సరైనదని తేలింది. ఉదాహరణ 4. సైనూసోయిడ్ మరియు ఆక్స్ అక్షం ఒక వ్యవధిలో సరిహద్దులుగా ఉన్న ప్రాంతాన్ని లెక్కించండి (Fig. 88). ఉదాహరణ 2 కంటే ప్రాంతం నాలుగు రెట్లు పెద్దదిగా ఉంటుందని ప్రాథమిక గణనలు సూచిస్తున్నాయి. అయితే, గణనలను చేసిన తర్వాత, మేము “i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l -( -cos 0) = - 1 + 1 = 0. ఈ ఫలితానికి స్పష్టత అవసరం. విషయం యొక్క సారాంశాన్ని స్పష్టం చేయడానికి, మేము అదే sinusoid y = sin l: మరియు L నుండి 2i వరకు ఉన్న ఆక్స్ అక్షం ద్వారా పరిమితం చేయబడిన ప్రాంతాన్ని కూడా లెక్కిస్తాము. ఫార్ములా (I)ని వర్తింపజేస్తే, మేము 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2ని పొందుతాము. అందువల్ల, ఈ ప్రాంతం ప్రతికూలంగా మారిందని మేము చూస్తున్నాము. వ్యాయామం 3లో లెక్కించిన ప్రాంతంతో పోల్చి చూస్తే, వాటి సంపూర్ణ విలువలు ఒకే విధంగా ఉన్నాయని మేము కనుగొన్నాము, కానీ సంకేతాలు భిన్నంగా ఉంటాయి. మనం ప్రాపర్టీ V (చాప్టర్ XI, § 4 చూడండి)ని వర్తింపజేస్తే, మనకు 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0 ఈ ఉదాహరణలో జరిగింది ప్రమాదం కాదు. ఎల్లప్పుడూ ఆక్స్ అక్షం క్రింద ఉన్న ప్రాంతం, స్వతంత్ర వేరియబుల్ ఎడమ నుండి కుడికి మారితే, సమగ్రాలను ఉపయోగించి లెక్కించినప్పుడు పొందబడుతుంది. ఈ కోర్సులో మేము ఎల్లప్పుడూ సంకేతాలు లేని ప్రాంతాలను పరిశీలిస్తాము. కాబట్టి, ఇప్పుడు చర్చించిన ఉదాహరణలో సమాధానం ఇలా ఉంటుంది: అవసరమైన ప్రాంతం 2 + |-2| = 4. ఉదాహరణ 5. అంజీర్‌లో చూపిన BAB వైశాల్యాన్ని గణిద్దాం. 89. ఈ ప్రాంతం ఆక్స్ అక్షం, పారాబొలా y = - xr మరియు సరళ రేఖ y - = -x+\ ద్వారా పరిమితం చేయబడింది. కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క ప్రాంతం OAB అవసరమైన ప్రాంతం రెండు భాగాలను కలిగి ఉంటుంది: OAM మరియు MAV. పాయింట్ A అనేది పారాబొలా మరియు సరళ రేఖ యొక్క ఖండన స్థానం కాబట్టి, 3 2 Y = mx సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడం ద్వారా మేము దాని కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొంటాము. (మనం పాయింట్ A యొక్క అబ్సిస్సాను మాత్రమే కనుగొనాలి). వ్యవస్థను పరిష్కరించడం, మేము l ను కనుగొంటాము; = ~. కాబట్టి, ప్రాంతాన్ని మొదటి చతురస్రాకారంలో లెక్కించాలి. OAM ఆపై pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x = 
[భర్తీ:
] = 
దీని అర్థం సరికాని సమగ్రం కలుస్తుంది మరియు దాని విలువకు సమానం.
సమస్య 1(వక్ర ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించడం గురించి).
కార్టెసియన్ దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ xOyలో, x అక్షం, సరళ రేఖలు x = a, x = b (ఒక కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ ద్వారా ఒక ఫిగర్ ఇవ్వబడుతుంది (ఫిగర్ చూడండి). కర్విలినియర్ యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించడం అవసరం. ట్రాపజోయిడ్.
పరిష్కారం.జ్యామితి మాకు బహుభుజాల ప్రాంతాలను మరియు వృత్తంలోని కొన్ని భాగాలను (సెక్టార్, సెగ్మెంట్) లెక్కించడానికి వంటకాలను అందిస్తుంది. రేఖాగణిత పరిగణనలను ఉపయోగించి, మేము ఈ క్రింది విధంగా తార్కికంగా అవసరమైన ప్రాంతం యొక్క ఉజ్జాయింపు విలువను మాత్రమే కనుగొనగలము.
సెగ్మెంట్ [a; b] (వక్ర ట్రాపజోయిడ్ యొక్క ఆధారం) n సమాన భాగాలుగా; ఈ విభజన x 1, x 2, ... x k, ... x n-1 పాయింట్లను ఉపయోగించి నిర్వహించబడుతుంది. y-అక్షానికి సమాంతరంగా ఈ బిందువుల ద్వారా సరళ రేఖలను గీయండి. అప్పుడు ఇచ్చిన కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ n భాగాలుగా, n ఇరుకైన నిలువు వరుసలుగా విభజించబడుతుంది. మొత్తం ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క వైశాల్యం నిలువు వరుసల మొత్తానికి సమానం.
మనం k-th నిలువు వరుసను విడిగా పరిశీలిద్దాం, అనగా. వంపు తిరిగిన ట్రాపెజాయిడ్, దీని ఆధారం ఒక విభాగం. దానిని f(x k)కి సమానమైన అదే బేస్ మరియు ఎత్తుతో దీర్ఘచతురస్రంతో భర్తీ చేద్దాం (చిత్రాన్ని చూడండి). దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వైశాల్యం \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \)కి సమానం, ఇక్కడ \(\Delta x_k \) అనేది సెగ్మెంట్ యొక్క పొడవు; ఫలిత ఉత్పత్తిని kth కాలమ్ యొక్క ప్రాంతం యొక్క ఉజ్జాయింపు విలువగా పరిగణించడం సహజం. 
మేము ఇప్పుడు అన్ని ఇతర నిలువు వరుసలతో అదే విధంగా చేస్తే, మేము క్రింది ఫలితానికి వస్తాము: ఇచ్చిన కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క వైశాల్యం n దీర్ఘచతురస్రాలతో రూపొందించబడిన స్టెప్డ్ ఫిగర్ యొక్క S n వైశాల్యానికి దాదాపు సమానంగా ఉంటుంది (చిత్రాన్ని చూడండి):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
ఇక్కడ, సంజ్ఞామానం యొక్క ఏకరూపత కొరకు, మేము a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - సెగ్మెంట్ యొక్క పొడవు, \(\Delta x_1 \) - సెగ్మెంట్ యొక్క పొడవు, మొదలైనవి; ఈ సందర్భంలో, మేము పైన అంగీకరించినట్లుగా, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)
కాబట్టి, \(S \ approx S_n \), మరియు ఈ సుమారు సమానత్వం మరింత ఖచ్చితమైనది, పెద్దది n.
నిర్వచనం ప్రకారం, కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క అవసరమైన ప్రాంతం సీక్వెన్స్ (S n) పరిమితికి సమానం అని నమ్ముతారు:
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$
సమస్య 2(ఒక పాయింట్‌ని తరలించడం గురించి)
మెటీరియల్ పాయింట్ సరళ రేఖలో కదులుతుంది. సమయంపై వేగం యొక్క ఆధారపడటం v = v(t) సూత్రం ద్వారా వ్యక్తీకరించబడుతుంది. ఒక నిర్దిష్ట వ్యవధిలో ఒక బిందువు యొక్క కదలికను కనుగొనండి [a; బి].
పరిష్కారం.ఉద్యమం ఏకరీతిగా ఉంటే, సమస్య చాలా సరళంగా పరిష్కరించబడుతుంది: s = vt, అనగా. s = v(b-a). అసమాన కదలిక కోసం, మీరు మునుపటి సమస్యకు పరిష్కారం ఆధారంగా ఉన్న అదే ఆలోచనలను ఉపయోగించాలి.
1) సమయ వ్యవధిని విభజించండి [a; b] n సమాన భాగాలుగా.
2) కాల వ్యవధిని పరిగణించండి మరియు ఈ కాలంలో వేగం స్థిరంగా ఉందని భావించండి, అదే సమయంలో t k. కాబట్టి మనం v = v(t k) అని అనుకుంటాము.
3) ఒక నిర్దిష్ట వ్యవధిలో పాయింట్ యొక్క కదలిక యొక్క ఉజ్జాయింపు విలువను కనుగొనండి; మేము ఈ ఉజ్జాయింపు విలువను s kగా సూచిస్తాము
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) స్థానభ్రంశం యొక్క ఉజ్జాయింపు విలువను కనుగొనండి:
\(లు \ approx S_n \) ఎక్కడ
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) అవసరమైన స్థానభ్రంశం క్రమం (S n) యొక్క పరిమితికి సమానం:
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$
సారాంశం చేద్దాం. వివిధ సమస్యలకు పరిష్కారాలు ఒకే గణిత నమూనాకు తగ్గించబడ్డాయి. శాస్త్ర సాంకేతిక రంగాలలోని అనేక సమస్యలు పరిష్కార ప్రక్రియలో ఒకే నమూనాకు దారితీస్తాయి. అంటే ఈ గణిత నమూనాను ప్రత్యేకంగా అధ్యయనం చేయాలి.
ఖచ్చితమైన సమగ్ర భావన
y = f(x) ఫంక్షన్ కోసం పరిగణించబడిన మూడు సమస్యలలో నిర్మించబడిన నమూనా యొక్క గణిత వివరణను ఇద్దాం, నిరంతర (కానీ తప్పనిసరిగా ప్రతికూలమైనది కాదు, పరిగణించబడిన సమస్యలలో ఊహించినట్లుగా) విరామం [a; బి]:
1) విభాగాన్ని విభజించండి [a; b] n సమాన భాగాలుగా;
2) మొత్తం $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$ని లెక్కించండి
గణిత శాస్త్ర విశ్లేషణలో, ఈ పరిమితి నిరంతర (లేదా పీస్‌వైస్ నిరంతర) ఫంక్షన్‌లో ఉందని నిరూపించబడింది. అతను పిలవబడ్డాడు ఫంక్షన్ y = f(x) సెగ్మెంట్ మీద ఒక నిర్దిష్ట సమగ్రం [a; బి]మరియు ఈ క్రింది విధంగా సూచించబడింది:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
a మరియు b సంఖ్యలను ఏకీకరణ పరిమితులు అంటారు (వరుసగా దిగువ మరియు ఎగువ).
పైన చర్చించిన పనులకు తిరిగి వెళ్దాం. సమస్య 1లో ఇవ్వబడిన ప్రాంతం యొక్క నిర్వచనం ఇప్పుడు క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాయబడుతుంది:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
ఇక్కడ S అనేది పై చిత్రంలో చూపిన వక్ర ట్రాపజోయిడ్ యొక్క వైశాల్యం. ఇది ఖచ్చితమైన సమగ్రత యొక్క రేఖాగణిత అర్థం.
సమస్య 2లో ఇవ్వబడిన t = a నుండి t = b వరకు ఉన్న సమయ వ్యవధిలో v = v(t) వేగంతో సరళ రేఖలో కదులుతున్న పాయింట్ యొక్క స్థానభ్రంశం s యొక్క నిర్వచనం క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాయబడుతుంది:
న్యూటన్-లీబ్నిజ్ ఫార్ములా
మొదట, ప్రశ్నకు సమాధానమివ్వండి: ఖచ్చితమైన సమగ్ర మరియు యాంటీడెరివేటివ్ మధ్య సంబంధం ఏమిటి?
సమస్య 2లో సమాధానాన్ని కనుగొనవచ్చు. ఒకవైపు, t = a నుండి t = b వరకు ఉన్న సమయ వ్యవధిలో v = v(t) వేగంతో సరళ రేఖలో కదులుతున్న బిందువు యొక్క స్థానభ్రంశం s దీని ద్వారా లెక్కించబడుతుంది సూత్రం
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)
మరోవైపు, కదిలే పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్ వేగం కోసం యాంటీడెరివేటివ్ - దానిని s(t) సూచిస్తాము; దీని అర్థం స్థానభ్రంశం s సూత్రం s = s(b) - s(a) ద్వారా వ్యక్తీకరించబడుతుంది. ఫలితంగా మనకు లభిస్తుంది:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
ఇక్కడ s(t) అనేది v(t) యొక్క యాంటీడెరివేటివ్.
గణిత విశ్లేషణలో ఈ క్రింది సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.
సిద్ధాంతం. ఫంక్షన్ y = f(x) విరామంలో నిరంతరంగా ఉంటే [a; b], అప్పుడు ఫార్ములా చెల్లుబాటు అవుతుంది
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
ఇక్కడ F(x) అనేది f(x) యొక్క యాంటీడెరివేటివ్.
ఇచ్చిన సూత్రాన్ని సాధారణంగా అంటారు న్యూటన్-లీబ్నిజ్ ఫార్ములాఆంగ్ల భౌతిక శాస్త్రవేత్త ఐజాక్ న్యూటన్ (1643-1727) మరియు జర్మన్ తత్వవేత్త గాట్‌ఫ్రైడ్ లీబ్నిజ్ (1646-1716) గౌరవార్థం, వారు ఒకరికొకరు స్వతంత్రంగా మరియు దాదాపు ఏకకాలంలో అందుకున్నారు.
ఆచరణలో, F(b) - F(a) అని వ్రాయడానికి బదులుగా, వారు \(\left. F(x)\right|_a^b \) (దీనిని కొన్నిసార్లు అంటారు. డబుల్ ప్రత్యామ్నాయం) మరియు, తదనుగుణంగా, ఈ రూపంలో న్యూటన్-లీబ్నిజ్ సూత్రాన్ని తిరిగి వ్రాయండి:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \ఎడమ. F(x)\కుడి|_a^b \)
ఖచ్చితమైన సమగ్రతను లెక్కించేటప్పుడు, మొదట యాంటీడెరివేటివ్‌ను కనుగొని, ఆపై డబుల్ ప్రత్యామ్నాయాన్ని నిర్వహించండి.
న్యూటన్-లీబ్నిజ్ సూత్రం ఆధారంగా, మేము ఖచ్చితమైన సమగ్రం యొక్క రెండు లక్షణాలను పొందవచ్చు.
ఆస్తి 1.ఫంక్షన్ల మొత్తం యొక్క సమగ్రం సమగ్రాల మొత్తానికి సమానం:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)
ఆస్తి 2.స్థిరమైన కారకాన్ని సమగ్ర సంకేతం నుండి తీసుకోవచ్చు:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)
ఖచ్చితమైన సమగ్రతను ఉపయోగించి విమానం బొమ్మల ప్రాంతాలను గణించడం
సమగ్రతను ఉపయోగించి, మీరు వక్ర ట్రాపెజాయిడ్ల ప్రాంతాలను మాత్రమే కాకుండా, మరింత సంక్లిష్టమైన రకం యొక్క విమాన బొమ్మలను కూడా లెక్కించవచ్చు, ఉదాహరణకు, చిత్రంలో చూపినది. ఫిగర్ P అనేది x = a, x = b మరియు నిరంతర ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌లు y = f(x), y = g(x) మరియు సెగ్మెంట్‌లో [a; b] అసమానత \(g(x) \leq f(x) \) కలిగి ఉంది. అటువంటి వ్యక్తి యొక్క ప్రాంతం Sని లెక్కించడానికి, మేము ఈ క్రింది విధంగా కొనసాగుతాము:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
కాబట్టి, x = a, x = b మరియు ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌లు y = f(x), y = g(x), సెగ్మెంట్‌పై నిరంతరాయంగా మరియు సెగ్మెంట్ నుండి ఏదైనా x కోసం సరళ రేఖలతో సరిహద్దులుగా ఉన్న వ్యక్తి యొక్క ప్రాంతం S [a; b] అసమానత \(g(x) \leq f(x) \) సంతృప్తి చెందింది, సూత్రం ద్వారా లెక్కించబడుతుంది
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)