మీకు తెలిసినట్లుగా, వ్యక్తీకరణలను శక్తులతో గుణించేటప్పుడు, వాటి ఘాతాంకాలు ఎల్లప్పుడూ జోడించబడతాయి (a b *a c = a b+c). ఈ గణిత శాస్త్ర నియమం ఆర్కిమెడిస్ చేత ఉద్భవించబడింది మరియు తరువాత, 8వ శతాబ్దంలో, గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు విరాసేన్ పూర్ణాంక ఘాతాకాల పట్టికను రూపొందించాడు. లాగరిథమ్‌ల తదుపరి ఆవిష్కరణకు వారు పనిచేశారు. ఈ ఫంక్షన్‌ని ఉపయోగించే ఉదాహరణలు దాదాపు ప్రతిచోటా చూడవచ్చు, అక్కడ మీరు సాధారణ సంకలనం ద్వారా గజిబిజిగా గుణకారం సులభతరం చేయాలి. మీరు ఈ కథనాన్ని చదవడానికి 10 నిమిషాలు గడిపినట్లయితే, లాగరిథమ్‌లు అంటే ఏమిటి మరియు వాటితో ఎలా పని చేయాలో మేము మీకు వివరిస్తాము. సరళమైన మరియు అందుబాటులో ఉన్న భాషలో.
గణితంలో నిర్వచనం
సంవర్గమానం అనేది కింది ఫారమ్ యొక్క వ్యక్తీకరణ: లాగ్ a b=c, అనగా, ఏదైనా ప్రతికూల సంఖ్య (అంటే ఏదైనా ధనాత్మకం) “b” దాని మూలాధారమైన “a”కి సంబంధించిన లాగరిథమ్ “c”గా పరిగణించబడుతుంది. "బి" విలువను పొందాలంటే "a"ని తప్పనిసరిగా పెంచాలి. ఉదాహరణలను ఉపయోగించి సంవర్గమానాన్ని విశ్లేషిద్దాం, ఎక్స్‌ప్రెషన్ లాగ్ 2 ఉందని అనుకుందాం 8. సమాధానాన్ని ఎలా కనుగొనాలి? ఇది చాలా సులభం, మీరు 2 నుండి అవసరమైన శక్తి వరకు 8 పొందే శక్తిని కనుగొనాలి. మీ తలపై కొన్ని గణనలను చేసిన తర్వాత, మేము సంఖ్య 3ని పొందుతాము! మరియు ఇది నిజం, ఎందుకంటే 2 నుండి 3 శక్తికి 8 సమాధానం ఇస్తుంది.
లాగరిథమ్‌ల రకాలు
చాలా మంది విద్యార్థులు మరియు విద్యార్థులకు, ఈ అంశం సంక్లిష్టంగా మరియు అపారమయినదిగా అనిపిస్తుంది, కానీ వాస్తవానికి లాగరిథమ్‌లు అంత భయానకంగా లేవు, ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే వాటి సాధారణ అర్థాన్ని అర్థం చేసుకోవడం మరియు వారి లక్షణాలు మరియు కొన్ని నియమాలను గుర్తుంచుకోవడం. లాగరిథమిక్ వ్యక్తీకరణలలో మూడు వేర్వేరు రకాలు ఉన్నాయి:
- సహజ సంవర్గమానం ln a, ఇక్కడ ఆధారం ఆయిలర్ సంఖ్య (e = 2.7).
- దశాంశం a, ఇక్కడ ఆధారం 10.
- ఏ సంఖ్య b యొక్క సంవర్గమానం a>1 ఆధారం.
సంవర్గమాన సిద్ధాంతాలను ఉపయోగించి ఒకే లాగరిథమ్‌కు సరళీకరణ, తగ్గింపు మరియు తదుపరి తగ్గింపుతో సహా వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి ప్రామాణిక మార్గంలో పరిష్కరించబడుతుంది. లాగరిథమ్‌ల యొక్క సరైన విలువలను పొందడానికి, వాటిని పరిష్కరించేటప్పుడు మీరు వాటి లక్షణాలను మరియు చర్యల క్రమాన్ని గుర్తుంచుకోవాలి.
నియమాలు మరియు కొన్ని పరిమితులు
గణితంలో, అనేక నియమాలు-పరిమితులు ఉన్నాయి, అవి ఒక సిద్ధాంతంగా అంగీకరించబడతాయి, అనగా అవి చర్చకు లోబడి ఉండవు మరియు నిజం. ఉదాహరణకు, సంఖ్యలను సున్నాతో విభజించడం అసాధ్యం మరియు ప్రతికూల సంఖ్యల యొక్క సరి మూలాన్ని సంగ్రహించడం కూడా అసాధ్యం. లాగరిథమ్‌లు కూడా వాటి స్వంత నియమాలను కలిగి ఉన్నాయి, వీటిని అనుసరించి మీరు పొడవైన మరియు కెపాసియస్ లాగరిథమిక్ వ్యక్తీకరణలతో కూడా సులభంగా పని చేయడం నేర్చుకోవచ్చు:
- ఆధారం "a" ఎల్లప్పుడూ సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉండాలి మరియు 1కి సమానంగా ఉండకూడదు, లేకుంటే వ్యక్తీకరణ దాని అర్ధాన్ని కోల్పోతుంది, ఎందుకంటే "1" మరియు "0" ఏ స్థాయికి అయినా ఎల్లప్పుడూ వాటి విలువలకు సమానంగా ఉంటాయి;
- a > 0 అయితే, a b >0 అయితే, “c” కూడా సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉండాలి.
లాగరిథమ్‌లను ఎలా పరిష్కరించాలి?
ఉదాహరణకు, 10 x = 100 సమీకరణానికి సమాధానాన్ని కనుగొనడానికి పని ఇవ్వబడుతుంది. ఇది చాలా సులభం, మీరు మనకు 100 వచ్చే పది సంఖ్యను పెంచడం ద్వారా శక్తిని ఎంచుకోవాలి. ఇది 10 2 = 100
ఇప్పుడు ఈ వ్యక్తీకరణను లాగరిథమిక్ రూపంలో సూచిస్తాము. మేము లాగ్ 10 100 = 2 ను పొందుతాము. సంవర్గమానాలను పరిష్కరించేటప్పుడు, ఇచ్చిన సంఖ్యను పొందేందుకు సంవర్గమానం యొక్క ఆధారాన్ని నమోదు చేయడానికి అవసరమైన శక్తిని కనుగొనడానికి అన్ని చర్యలు ఆచరణాత్మకంగా కలుస్తాయి.
తెలియని డిగ్రీ విలువను ఖచ్చితంగా నిర్ణయించడానికి, మీరు డిగ్రీల పట్టికతో ఎలా పని చేయాలో నేర్చుకోవాలి. ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది:
మీరు చూడగలిగినట్లుగా, మీకు గుణకారం పట్టిక యొక్క సాంకేతిక పరిజ్ఞానం మరియు జ్ఞానం ఉంటే కొన్ని ఘాతాంకాలను అకారణంగా ఊహించవచ్చు. అయితే, పెద్ద విలువల కోసం మీకు పవర్ టేబుల్ అవసరం. సంక్లిష్టమైన గణిత అంశాల గురించి ఏమీ తెలియని వారు కూడా దీనిని ఉపయోగించవచ్చు. ఎడమ నిలువు వరుస సంఖ్యలను కలిగి ఉంటుంది (బేస్ a), సంఖ్యల ఎగువ వరుస అనేది a సంఖ్యను పెంచే శక్తి c యొక్క విలువ. ఖండన వద్ద, కణాలు సమాధానం (a c =b) అనే సంఖ్య విలువలను కలిగి ఉంటాయి. ఉదాహరణకు, 10 వ సంఖ్యతో ఉన్న మొదటి సెల్‌ను తీసుకుందాం మరియు దానిని స్క్వేర్ చేస్తే, మనకు 100 విలువ వస్తుంది, ఇది మన రెండు కణాల ఖండన వద్ద సూచించబడుతుంది. ప్రతిదీ చాలా సులభం మరియు చాలా సులభం, నిజమైన మానవతావాది కూడా అర్థం చేసుకుంటారు!
సమీకరణాలు మరియు అసమానతలు
కొన్ని పరిస్థితులలో ఘాతాంకం లాగరిథమ్ అని తేలింది. అందువల్ల, ఏదైనా గణిత సంఖ్యా వ్యక్తీకరణలను సంవర్గమాన సమానత్వంగా వ్రాయవచ్చు. ఉదాహరణకు, 3 4 =81 అనేది నాలుగుకి సమానమైన 81 యొక్క బేస్ 3 సంవర్గమానంగా వ్రాయవచ్చు (లాగ్ 3 81 = 4). ప్రతికూల శక్తుల కోసం నియమాలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి: 2 -5 = 1/32 మేము దానిని సంవర్గమానంగా వ్రాస్తాము, మనకు లాగ్ 2 (1/32) = -5 లభిస్తుంది. గణితశాస్త్రంలోని అత్యంత ఆకర్షణీయమైన విభాగాలలో ఒకటి "లాగరిథమ్స్" అంశం. మేము వాటి లక్షణాలను అధ్యయనం చేసిన వెంటనే, దిగువ సమీకరణాల ఉదాహరణలు మరియు పరిష్కారాలను పరిశీలిస్తాము. ఇప్పుడు అసమానతలు ఎలా ఉంటాయో మరియు వాటిని సమీకరణాల నుండి ఎలా వేరు చేయాలో చూద్దాం.
కింది వ్యక్తీకరణ ఇవ్వబడింది: లాగ్ 2 (x-1) > 3 - ఇది సంవర్గమాన అసమానత, తెలియని విలువ “x” సంవర్గమాన సంకేతం క్రింద ఉంది. మరియు వ్యక్తీకరణలో రెండు పరిమాణాలు పోల్చబడ్డాయి: ఆధారం రెండుకి కావలసిన సంఖ్య యొక్క లాగరిథమ్ సంఖ్య మూడు కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది.
సంవర్గమాన సమీకరణాలు మరియు అసమానతల మధ్య అత్యంత ముఖ్యమైన వ్యత్యాసం ఏమిటంటే, లాగరిథమ్‌లతో సమీకరణాలు (ఉదాహరణకు, సంవర్గమానం 2 x = √9) సమాధానంలో ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ నిర్దిష్ట సంఖ్యా విలువలను సూచిస్తాయి, అయితే అసమానతను పరిష్కరించేటప్పుడు, ఆమోదయోగ్యమైన పరిధి రెండూ ఉంటాయి. విలువలు మరియు పాయింట్లు ఈ ఫంక్షన్‌ను విచ్ఛిన్నం చేస్తూ నిర్ణయించబడతాయి. పర్యవసానంగా, సమాధానం అనేది ఒక సమీకరణానికి సమాధానం వలె వ్యక్తిగత సంఖ్యల సాధారణ సెట్ కాదు, కానీ నిరంతర శ్రేణి లేదా సంఖ్యల సమితి.
సంవర్గమానాల గురించి ప్రాథమిక సిద్ధాంతాలు
సంవర్గమానం యొక్క విలువలను కనుగొనే ఆదిమ పనులను పరిష్కరించేటప్పుడు, దాని లక్షణాలు తెలియకపోవచ్చు. అయితే, లాగరిథమిక్ సమీకరణాలు లేదా అసమానతల విషయానికి వస్తే, మొదటగా, లాగరిథమ్‌ల యొక్క అన్ని ప్రాథమిక లక్షణాలను స్పష్టంగా అర్థం చేసుకోవడం మరియు ఆచరణలో ఉపయోగించడం అవసరం. మేము తరువాత సమీకరణాల ఉదాహరణలను పరిశీలిస్తాము; మొదట ప్రతి ఆస్తిని మరింత వివరంగా చూద్దాం.
- ప్రధాన గుర్తింపు ఇలా కనిపిస్తుంది: a logaB =B. a 0 కంటే ఎక్కువ, ఒకదానికి సమానం కానప్పుడు మరియు B సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉన్నప్పుడు మాత్రమే ఇది వర్తిస్తుంది.
- ఉత్పత్తి యొక్క సంవర్గమానం క్రింది సూత్రంలో సూచించబడుతుంది: లాగ్ d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. ఈ సందర్భంలో, తప్పనిసరి పరిస్థితి: d, s 1 మరియు s 2 > 0; a≠1. మీరు ఈ సంవర్గమాన సూత్రానికి ఉదాహరణలు మరియు పరిష్కారంతో రుజువు ఇవ్వవచ్చు. a s 1 = f 1ని లాగ్ చేసి, a s 2 = f 2ని లాగ్ చేద్దాం, ఆపై a f1 = s 1, a f2 = s 2. మేము s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (గుణాలు డిగ్రీలు ), ఆపై నిర్వచనం ప్రకారం: లాగ్ a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, ఇది నిరూపించాల్సిన అవసరం ఉంది.
- గుణకం యొక్క సంవర్గమానం ఇలా కనిపిస్తుంది: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- ఫార్ములా రూపంలోని సిద్ధాంతం క్రింది రూపాన్ని తీసుకుంటుంది: లాగ్ a q b n = n/q log a b.
ఈ సూత్రాన్ని "లాగరిథం డిగ్రీ యొక్క ఆస్తి" అని పిలుస్తారు. ఇది సాధారణ డిగ్రీల లక్షణాలను పోలి ఉంటుంది మరియు ఇది ఆశ్చర్యం కలిగించదు, ఎందుకంటే అన్ని గణితాలు సహజమైన పోస్టులేట్‌లపై ఆధారపడి ఉంటాయి. రుజువు చూద్దాం.
a b = tని లాగ్ చేయనివ్వండి, అది t =b గా మారుతుంది. మేము రెండు భాగాలను శక్తికి పెంచినట్లయితే m: a tn = b n ;
అయితే a tn = (a q) nt/q = b n, కాబట్టి a q b n = (n*t)/tని లాగ్ చేయండి, ఆపై a q b n = n/q లాగ్ a bని లాగ్ చేయండి. సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.
సమస్యలు మరియు అసమానతల ఉదాహరణలు
లాగరిథమ్‌లపై అత్యంత సాధారణ రకాల సమస్యలు సమీకరణాలు మరియు అసమానతలకు ఉదాహరణలు. అవి దాదాపు అన్ని సమస్య పుస్తకాలలో కనిపిస్తాయి మరియు గణిత పరీక్షలలో అవసరమైన భాగం కూడా. విశ్వవిద్యాలయంలోకి ప్రవేశించడానికి లేదా గణితంలో ప్రవేశ పరీక్షలలో ఉత్తీర్ణత సాధించడానికి, అటువంటి పనులను ఎలా సరిగ్గా పరిష్కరించాలో మీరు తెలుసుకోవాలి.
దురదృష్టవశాత్తూ, సంవర్గమానం యొక్క తెలియని విలువను పరిష్కరించడానికి మరియు నిర్ణయించడానికి ఒకే ప్రణాళిక లేదా పథకం లేదు, కానీ ప్రతి గణిత అసమానత లేదా సంవర్గమాన సమీకరణానికి కొన్ని నియమాలు వర్తించవచ్చు. అన్నింటిలో మొదటిది, వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయవచ్చో లేదా సాధారణ రూపానికి తగ్గించవచ్చో మీరు కనుగొనాలి. మీరు వాటి లక్షణాలను సరిగ్గా ఉపయోగిస్తే మీరు పొడవైన లాగరిథమిక్ వ్యక్తీకరణలను సరళీకృతం చేయవచ్చు. వాటిని త్వరగా తెలుసుకుందాం.
సంవర్గమాన సమీకరణాలను పరిష్కరిస్తున్నప్పుడు, మనకు ఏ రకమైన సంవర్గమానం ఉందో మనం తప్పనిసరిగా గుర్తించాలి: ఉదాహరణ వ్యక్తీకరణలో సహజ సంవర్గమానం లేదా దశాంశం ఉండవచ్చు.
ఇక్కడ ఉదాహరణలు ln100, ln1026. బేస్ 10 వరుసగా 100 మరియు 1026కి సమానంగా ఉండే శక్తిని వారు నిర్ణయించాల్సిన అవసరం ఉందని వారి పరిష్కారం దిమ్మదిరిగింది. సహజ లాగరిథమ్‌లను పరిష్కరించడానికి, మీరు లాగరిథమిక్ గుర్తింపులు లేదా వాటి లక్షణాలను వర్తింపజేయాలి. వివిధ రకాల లాగరిథమిక్ సమస్యలను పరిష్కరించే ఉదాహరణలను చూద్దాం.
లాగరిథమ్ ఫార్ములాలను ఎలా ఉపయోగించాలి: ఉదాహరణలు మరియు పరిష్కారాలతో
కాబట్టి, లాగరిథమ్‌ల గురించి ప్రాథమిక సిద్ధాంతాలను ఉపయోగించే ఉదాహరణలను చూద్దాం.
- ఒక ఉత్పత్తి యొక్క సంవర్గమానం యొక్క ఆస్తిని బి సంఖ్య యొక్క పెద్ద విలువను సరళమైన కారకాలుగా విడదీయడానికి అవసరమైన పనులలో ఉపయోగించవచ్చు. ఉదాహరణకు, లాగ్ 2 4 + లాగ్ 2 128 = లాగ్ 2 (4*128) = లాగ్ 2 512. సమాధానం 9.
- లాగ్ 4 8 = లాగ్ 2 2 2 3 = 3/2 లాగ్ 2 2 = 1.5 - మీరు చూడగలిగినట్లుగా, లాగరిథమ్ పవర్ యొక్క నాల్గవ ఆస్తిని ఉపయోగించి, మేము సంక్లిష్టంగా మరియు పరిష్కరించలేని వ్యక్తీకరణను పరిష్కరించగలిగాము. మీరు బేస్‌ను కారకం చేసి, ఆపై లాగరిథమ్ గుర్తు నుండి ఘాతాంక విలువలను తీసుకోవాలి.
యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ నుండి అసైన్‌మెంట్‌లు
లాగరిథమ్‌లు తరచుగా ప్రవేశ పరీక్షలలో కనిపిస్తాయి, ప్రత్యేకించి యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌లో చాలా లాగరిథమిక్ సమస్యలు (అన్ని పాఠశాల గ్రాడ్యుయేట్‌లకు రాష్ట్ర పరీక్ష). సాధారణంగా, ఈ పనులు పార్ట్ A (పరీక్షలో సులభమైన పరీక్ష భాగం)లో మాత్రమే కాకుండా, పార్ట్ C (అత్యంత సంక్లిష్టమైన మరియు భారీ పనులు) కూడా ఉంటాయి. పరీక్షకు "సహజ సంవర్గమానాలు" అనే అంశంపై ఖచ్చితమైన మరియు ఖచ్చితమైన జ్ఞానం అవసరం.
సమస్యలకు ఉదాహరణలు మరియు పరిష్కారాలు యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ యొక్క అధికారిక సంస్కరణల నుండి తీసుకోబడ్డాయి. అటువంటి పనులను ఎలా పరిష్కరించాలో చూద్దాం.
ఇచ్చిన లాగ్ 2 (2x-1) = 4. పరిష్కారం:
వ్యక్తీకరణను తిరిగి వ్రాద్దాం, దానిని కొద్దిగా లాగ్ 2 (2x-1) = 2 2 సులభతరం చేద్దాం, సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం ప్రకారం మనకు 2x-1 = 2 4, కాబట్టి 2x = 17; x = 8.5.
- అన్ని లాగరిథమ్‌లను ఒకే స్థావరానికి తగ్గించడం ఉత్తమం, తద్వారా పరిష్కారం గజిబిజిగా మరియు గందరగోళంగా ఉండదు.
- సంవర్గమాన సంకేతం క్రింద ఉన్న అన్ని వ్యక్తీకరణలు సానుకూలంగా సూచించబడతాయి, కాబట్టి, సంవర్గమాన చిహ్నం క్రింద ఉన్న వ్యక్తీకరణ యొక్క ఘాతాంకం మరియు దాని ఆధారాన్ని గుణకారంగా తీసుకున్నప్పుడు, సంవర్గమానం క్రింద మిగిలి ఉన్న వ్యక్తీకరణ తప్పనిసరిగా సానుకూలంగా ఉండాలి.
లాగరిథమిక్ వ్యక్తీకరణలు, పరిష్కార ఉదాహరణలు. ఈ వ్యాసంలో మేము లాగరిథమ్‌లను పరిష్కరించడానికి సంబంధించిన సమస్యలను పరిశీలిస్తాము. పనులు వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్ధాన్ని కనుగొనే ప్రశ్నను అడుగుతాయి. సంవర్గమానం యొక్క భావన అనేక పనులలో ఉపయోగించబడుతుందని మరియు దాని అర్థాన్ని అర్థం చేసుకోవడం చాలా ముఖ్యం అని గమనించాలి. యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ విషయానికొస్తే, సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు, అనువర్తిత సమస్యలలో మరియు ఫంక్షన్ల అధ్యయనానికి సంబంధించిన పనులలో కూడా లాగరిథమ్ ఉపయోగించబడుతుంది.
సంవర్గమానం యొక్క అర్థాన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి ఉదాహరణలను ఇద్దాం:
ప్రాథమిక లాగరిథమిక్ గుర్తింపు:
ఎల్లప్పుడూ గుర్తుంచుకోవలసిన లాగరిథమ్‌ల లక్షణాలు:
*ఉత్పత్తి సంవర్గమానం కారకాల సంవర్గమానాల మొత్తానికి సమానం.
* * *
*ఒక గుణకం (భిన్నం) యొక్క సంవర్గమానం కారకాల యొక్క లాగరిథమ్‌ల మధ్య వ్యత్యాసానికి సమానం.
* * *
*ఘాతాంకం యొక్క సంవర్గమానం ఘాతాంకం యొక్క సంవర్గమానం మరియు దాని బేస్ యొక్క సంవర్గమానానికి సమానం.
* * *
*కొత్త పునాదికి మార్పు
* * *
మరిన్ని లక్షణాలు:
* * *
లాగరిథమ్‌ల గణన అనేది ఘాతాంకాల లక్షణాల వినియోగానికి దగ్గరి సంబంధం కలిగి ఉంటుంది.
వాటిలో కొన్నింటిని జాబితా చేద్దాం:
ఈ ఆస్తి యొక్క సారాంశం ఏమిటంటే, న్యూమరేటర్ హారంకు మరియు వైస్ వెర్సాకు బదిలీ చేయబడినప్పుడు, ఘాతాంకం యొక్క సంకేతం వ్యతిరేకానికి మారుతుంది. ఉదాహరణకి:
ఈ ఆస్తి నుండి ఒక ఫలితం:
* * *
శక్తిని శక్తికి పెంచేటప్పుడు, ఆధారం అలాగే ఉంటుంది, కానీ ఘాతాంకాలు గుణించబడతాయి.
* * *
మీరు చూసినట్లుగా, సంవర్గమానం యొక్క భావన చాలా సులభం. ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే మీకు మంచి అభ్యాసం అవసరం, ఇది మీకు ఒక నిర్దిష్ట నైపుణ్యాన్ని ఇస్తుంది. వాస్తవానికి, సూత్రాల పరిజ్ఞానం అవసరం. ప్రాథమిక లాగరిథమ్‌లను మార్చడంలో నైపుణ్యం అభివృద్ధి చేయకపోతే, సాధారణ పనులను పరిష్కరించేటప్పుడు మీరు సులభంగా పొరపాటు చేయవచ్చు.
ప్రాక్టీస్ చేయండి, మొదట గణిత కోర్సు నుండి సరళమైన ఉదాహరణలను పరిష్కరించండి, ఆపై మరింత క్లిష్టమైన వాటికి వెళ్లండి. భవిష్యత్తులో, "అగ్లీ" లాగరిథమ్‌లు ఎలా పరిష్కరించబడతాయో నేను ఖచ్చితంగా చూపిస్తాను; ఇవి యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్‌లో కనిపించవు, కానీ అవి ఆసక్తిని కలిగి ఉన్నాయి, వాటిని మిస్ చేయవద్దు!
అంతే! శుభస్య శీగ్రం!
భవదీయులు, అలెగ్జాండర్ క్రుటిట్స్కిఖ్
P.S: మీరు సోషల్ నెట్‌వర్క్‌లలో సైట్ గురించి నాకు చెబితే నేను కృతజ్ఞుడను.
మీ గోప్యతను కాపాడుకోవడం మాకు ముఖ్యం. ఈ కారణంగా, మేము మీ సమాచారాన్ని ఎలా ఉపయోగిస్తాము మరియు నిల్వ చేస్తాము అని వివరించే గోప్యతా విధానాన్ని మేము అభివృద్ధి చేసాము. దయచేసి మా గోప్యతా పద్ధతులను సమీక్షించండి మరియు మీకు ఏవైనా ప్రశ్నలు ఉంటే మాకు తెలియజేయండి.
వ్యక్తిగత సమాచారం యొక్క సేకరణ మరియు ఉపయోగం
వ్యక్తిగత సమాచారం అనేది నిర్దిష్ట వ్యక్తిని గుర్తించడానికి లేదా సంప్రదించడానికి ఉపయోగించే డేటాను సూచిస్తుంది.
మీరు మమ్మల్ని సంప్రదించినప్పుడు ఎప్పుడైనా మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని అందించమని మిమ్మల్ని అడగవచ్చు.
మేము సేకరించే వ్యక్తిగత సమాచార రకాలు మరియు అటువంటి సమాచారాన్ని మేము ఎలా ఉపయోగించవచ్చో కొన్ని ఉదాహరణలు క్రింద ఉన్నాయి.
మేము ఏ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని సేకరిస్తాము:
- మీరు సైట్‌లో దరఖాస్తును సమర్పించినప్పుడు, మేము మీ పేరు, ఫోన్ నంబర్, ఇమెయిల్ చిరునామా మొదలైన వాటితో సహా వివిధ సమాచారాన్ని సేకరించవచ్చు.
మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని ఎలా ఉపయోగిస్తాము:
- మేము సేకరించే వ్యక్తిగత సమాచారం ప్రత్యేక ఆఫర్‌లు, ప్రమోషన్‌లు మరియు ఇతర ఈవెంట్‌లు మరియు రాబోయే ఈవెంట్‌లతో మిమ్మల్ని సంప్రదించడానికి మమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.
- ఎప్పటికప్పుడు, ముఖ్యమైన నోటీసులు మరియు కమ్యూనికేషన్‌లను పంపడానికి మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని ఉపయోగించవచ్చు.
- మేము అందించే సేవలను మెరుగుపరచడానికి మరియు మా సేవలకు సంబంధించి మీకు సిఫార్సులను అందించడానికి ఆడిట్‌లు, డేటా విశ్లేషణ మరియు వివిధ పరిశోధనలను నిర్వహించడం వంటి అంతర్గత ప్రయోజనాల కోసం మేము వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని కూడా ఉపయోగించవచ్చు.
- మీరు బహుమతి డ్రా, పోటీ లేదా ఇలాంటి ప్రమోషన్‌లో పాల్గొంటే, అటువంటి ప్రోగ్రామ్‌లను నిర్వహించడానికి మీరు అందించే సమాచారాన్ని మేము ఉపయోగించవచ్చు.
మూడవ పార్టీలకు సమాచారాన్ని బహిర్గతం చేయడం
మేము మీ నుండి స్వీకరించిన సమాచారాన్ని మూడవ పక్షాలకు బహిర్గతం చేయము.
మినహాయింపులు:
- అవసరమైతే - చట్టం, న్యాయ ప్రక్రియ, చట్టపరమైన చర్యలలో మరియు/లేదా రష్యన్ ఫెడరేషన్‌లోని ప్రభుత్వ సంస్థల నుండి పబ్లిక్ అభ్యర్థనలు లేదా అభ్యర్థనల ఆధారంగా - మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని బహిర్గతం చేయడానికి. భద్రత, చట్టాన్ని అమలు చేయడం లేదా ఇతర ప్రజా ప్రాముఖ్యత ప్రయోజనాల కోసం అటువంటి బహిర్గతం అవసరమని లేదా సముచితమని మేము నిర్ధారిస్తే మీ గురించిన సమాచారాన్ని కూడా మేము బహిర్గతం చేయవచ్చు.
- పునర్వ్యవస్థీకరణ, విలీనం లేదా విక్రయం జరిగినప్పుడు, మేము సేకరించే వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని వర్తించే మూడవ పక్షానికి బదిలీ చేయవచ్చు.
వ్యక్తిగత సమాచారం యొక్క రక్షణ
మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని నష్టం, దొంగతనం మరియు దుర్వినియోగం నుండి అలాగే అనధికారిక యాక్సెస్, బహిర్గతం, మార్పులు మరియు విధ్వంసం నుండి రక్షించడానికి - అడ్మినిస్ట్రేటివ్, టెక్నికల్ మరియు ఫిజికల్‌తో సహా జాగ్రత్తలు తీసుకుంటాము.
కంపెనీ స్థాయిలో మీ గోప్యతను గౌరవించడం
మీ వ్యక్తిగత సమాచారం సురక్షితంగా ఉందని నిర్ధారించుకోవడానికి, మేము మా ఉద్యోగులకు గోప్యత మరియు భద్రతా ప్రమాణాలను తెలియజేస్తాము మరియు గోప్యతా పద్ధతులను ఖచ్చితంగా అమలు చేస్తాము.
సూచనలు
ఇచ్చిన లాగరిథమిక్ వ్యక్తీకరణను వ్రాయండి. వ్యక్తీకరణ 10 యొక్క సంవర్గమానాన్ని ఉపయోగిస్తే, దాని సంజ్ఞామానం కుదించబడుతుంది మరియు ఇలా కనిపిస్తుంది: lg b అనేది దశాంశ సంవర్గమానం. సంవర్గమానం e సంఖ్యను బేస్‌గా కలిగి ఉంటే, వ్యక్తీకరణను వ్రాయండి: ln b - సహజ సంవర్గమానం. బి సంఖ్యను పొందాలంటే ఆధార సంఖ్యను పెంచాల్సిన శక్తి ఏదైనా ఫలితం అని అర్థం అవుతుంది.
రెండు ఫంక్షన్ల మొత్తాన్ని కనుగొన్నప్పుడు, మీరు వాటిని ఒక్కొక్కటిగా వేరు చేసి ఫలితాలను జోడించాలి: (u+v)" = u"+v";
రెండు ఫంక్షన్ల ఉత్పత్తి యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనేటప్పుడు, మొదటి ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని రెండవ దానితో గుణించడం అవసరం మరియు రెండవ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని మొదటి ఫంక్షన్ ద్వారా గుణించడం అవసరం: (u*v)" = u"*v +v"*u;
రెండు ఫంక్షన్ల యొక్క గుణకం యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనడానికి, డివిడెండ్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క ఉత్పత్తి నుండి డివిడెండ్ ఫంక్షన్ ద్వారా గుణించబడిన డివిడెండ్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క ఉత్పత్తిని డివిడెండ్ యొక్క ఫంక్షన్ ద్వారా గుణిస్తే, మరియు విభజించడం అవసరం. డివైజర్ ఫంక్షన్ స్క్వేర్డ్ ద్వారా ఇవన్నీ. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
సంక్లిష్టమైన ఫంక్షన్ ఇవ్వబడితే, అంతర్గత ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం మరియు బాహ్యమైన దాని ఉత్పన్నాన్ని గుణించడం అవసరం. y=u(v(x)), ఆపై y"(x)=y"(u)*v"(x) అని చెప్పండి.
పైన పొందిన ఫలితాలను ఉపయోగించి, మీరు దాదాపు ఏదైనా ఫంక్షన్‌ను వేరు చేయవచ్చు. కాబట్టి కొన్ని ఉదాహరణలను చూద్దాం:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
ఒక పాయింట్ వద్ద ఉత్పన్నాన్ని లెక్కించడంలో సమస్యలు కూడా ఉన్నాయి. ఫంక్షన్ y=e^(x^2+6x+5) ఇవ్వబడనివ్వండి, మీరు x=1 పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ విలువను కనుగొనాలి.
1) ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) ఇచ్చిన పాయింట్ y"(1)=8*e^0=8 వద్ద ఫంక్షన్ విలువను లెక్కించండి
అంశంపై వీడియో
ఉపయోగకరమైన సలహా
ప్రాథమిక ఉత్పన్నాల పట్టికను తెలుసుకోండి. ఇది గణనీయంగా సమయాన్ని ఆదా చేస్తుంది.
మూలాలు:
- స్థిరాంకం యొక్క ఉత్పన్నం
కాబట్టి, అహేతుక సమీకరణం మరియు హేతుబద్ధమైన సమీకరణం మధ్య తేడా ఏమిటి? తెలియని వేరియబుల్ వర్గమూలం గుర్తు క్రింద ఉంటే, అప్పుడు సమీకరణం అహేతుకంగా పరిగణించబడుతుంది.
సూచనలు
అటువంటి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ప్రధాన పద్ధతి రెండు వైపులా నిర్మించే పద్ధతి సమీకరణాలుఒక చతురస్రాకారంలోకి. అయితే. ఇది సహజమైనది, మీరు చేయవలసిన మొదటి విషయం గుర్తును వదిలించుకోవడమే. ఈ పద్ధతి సాంకేతికంగా కష్టం కాదు, కానీ కొన్నిసార్లు ఇది ఇబ్బందికి దారి తీస్తుంది. ఉదాహరణకు, సమీకరణం v(2x-5)=v(4x-7). రెండు వైపులా స్క్వేర్ చేయడం ద్వారా మీరు 2x-5=4x-7 పొందుతారు. అటువంటి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కష్టం కాదు; x=1. కానీ నంబర్ 1 ఇవ్వబడదు సమీకరణాలు. ఎందుకు? x విలువకు బదులుగా సమీకరణంలో ఒకదానిని ప్రత్యామ్నాయం చేయండి మరియు కుడి మరియు ఎడమ వైపులా అర్థం లేని వ్యక్తీకరణలు ఉంటాయి, అనగా. వర్గమూలానికి ఈ విలువ చెల్లదు. కాబట్టి, 1 అనేది అదనపు మూలం, కాబట్టి ఈ సమీకరణానికి మూలాలు లేవు.
కాబట్టి, ఒక అహేతుక సమీకరణం దాని రెండు వైపులా స్క్వేర్ చేసే పద్ధతిని ఉపయోగించి పరిష్కరించబడుతుంది. మరియు సమీకరణాన్ని పరిష్కరించిన తరువాత, అదనపు మూలాలను కత్తిరించడం అవసరం. దీన్ని చేయడానికి, కనుగొన్న మూలాలను అసలు సమీకరణంలోకి మార్చండి.
మరొకటి పరిగణించండి.
2х+vx-3=0
వాస్తవానికి, ఈ సమీకరణాన్ని మునుపటి మాదిరిగానే అదే సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి పరిష్కరించవచ్చు. సమ్మేళనాలను తరలించండి సమీకరణాలు, వర్గమూలం లేని, కుడి వైపుకు ఆపై స్క్వేర్ పద్ధతిని ఉపయోగించండి. ఫలిత హేతుబద్ధ సమీకరణం మరియు మూలాలను పరిష్కరించండి. కానీ మరొకటి, మరింత సొగసైనది. కొత్త వేరియబుల్‌ని నమోదు చేయండి; vх=y. దీని ప్రకారం, మీరు 2y2+y-3=0 ఫారమ్ యొక్క సమీకరణాన్ని అందుకుంటారు. అంటే, ఒక సాధారణ వర్గ సమీకరణం. దాని మూలాలను కనుగొనండి; y1=1 మరియు y2=-3/2. తరువాత, రెండు పరిష్కరించండి సమీకరణాలు vх=1; vх=-3/2. రెండవ సమీకరణానికి మూలాలు లేవు; మొదటి నుండి మనం x=1 అని కనుగొంటాము. మూలాలను తనిఖీ చేయడం మర్చిపోవద్దు.
గుర్తింపులను పరిష్కరించడం చాలా సులభం. ఇది చేయుటకు, నిర్ణీత లక్ష్యాన్ని సాధించే వరకు ఒకే విధమైన పరివర్తనలను నిర్వహించడం అవసరం. అందువలన, సాధారణ అంకగణిత ఆపరేషన్ల సహాయంతో, ఎదురయ్యే సమస్య పరిష్కరించబడుతుంది.
నీకు అవసరం అవుతుంది
- - కాగితం;
- - పెన్.
సూచనలు
అటువంటి పరివర్తనలలో సరళమైనది బీజగణిత సంక్షిప్త గుణకారాలు (మొత్తం యొక్క వర్గము (తేడా), చతురస్రాల వ్యత్యాసం, మొత్తం (తేడా), మొత్తం యొక్క ఘనం (తేడా) వంటివి. అదనంగా, అనేక త్రికోణమితి సూత్రాలు ఉన్నాయి, ఇవి తప్పనిసరిగా ఒకే గుర్తింపులు.
నిజానికి, రెండు పదాల మొత్తం యొక్క స్క్వేర్ మొదటి స్క్వేర్‌కి సమానం ప్లస్ మొదటి దాని నుండి రెండవ దాని నుండి రెండింతలు మరియు రెండవ దాని స్క్వేర్‌తో కలిపి ఉంటుంది, అంటే (a+b)^2= (a+ బి)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.
రెండింటినీ సరళీకృతం చేయండి
పరిష్కారం యొక్క సాధారణ సూత్రాలు
గణిత శాస్త్ర విశ్లేషణ లేదా ఉన్నత గణితంలో ఒక పాఠ్యపుస్తకం నుండి ఖచ్చితమైన సమగ్రత ఏమిటో పునరావృతం చేయండి. తెలిసినట్లుగా, ఖచ్చితమైన సమగ్రానికి పరిష్కారం అనేది ఒక ఫంక్షన్, దీని ఉత్పన్నం సమగ్రతను ఇస్తుంది. ఈ ఫంక్షన్‌ను యాంటీడెరివేటివ్ అంటారు. ఈ సూత్రం ఆధారంగా, ప్రధాన సమగ్రతలు నిర్మించబడ్డాయి.ఈ సందర్భంలో ఏ టేబుల్ ఇంటిగ్రల్స్ అనుకూలంగా ఉందో ఇంటిగ్రండ్ రకం ద్వారా నిర్ణయించండి. దీన్ని వెంటనే గుర్తించడం ఎల్లప్పుడూ సాధ్యం కాదు. తరచుగా, సమగ్రతను సరళీకృతం చేయడానికి అనేక రూపాంతరాల తర్వాత మాత్రమే పట్టిక రూపం గుర్తించదగినదిగా మారుతుంది.
వేరియబుల్ రీప్లేస్‌మెంట్ మెథడ్
సమగ్రత అనేది త్రికోణమితి ఫంక్షన్ అయితే, దీని వాదన బహుపది అయినట్లయితే, వేరియబుల్స్ యొక్క మార్పు పద్ధతిని ఉపయోగించి ప్రయత్నించండి. దీన్ని చేయడానికి, సమగ్రత యొక్క ఆర్గ్యుమెంట్‌లోని బహుపదిని కొన్ని కొత్త వేరియబుల్‌తో భర్తీ చేయండి. కొత్త మరియు పాత వేరియబుల్స్ మధ్య సంబంధం ఆధారంగా, ఏకీకరణ యొక్క కొత్త పరిమితులను నిర్ణయించండి. ఈ వ్యక్తీకరణను వేరు చేయడం ద్వారా, లో కొత్త అవకలనాన్ని కనుగొనండి. అందువలన, మీరు మునుపటి సమగ్ర, దగ్గరగా లేదా కొన్ని పట్టికకు సంబంధించిన కొత్త రూపాన్ని పొందుతారు.రెండవ రకమైన సమగ్రాలను పరిష్కరించడం
సమగ్రత అనేది రెండవ రకానికి చెందిన సమగ్రం అయితే, సమగ్రత యొక్క వెక్టార్ రూపం, అప్పుడు మీరు ఈ ఇంటిగ్రల్స్ నుండి స్కేలార్ వాటికి మారడానికి నియమాలను ఉపయోగించాల్సి ఉంటుంది. అటువంటి నియమాలలో ఒకటి ఆస్ట్రోగ్రాడ్‌స్కీ-గాస్ సంబంధం. ఒక నిర్దిష్ట వెక్టర్ ఫంక్షన్ యొక్క రోటర్ ఫ్లక్స్ నుండి ఇచ్చిన వెక్టార్ ఫీల్డ్ యొక్క డైవర్జెన్స్‌పై ట్రిపుల్ ఇంటిగ్రల్‌కు తరలించడానికి ఈ చట్టం అనుమతిస్తుంది.ఏకీకరణ పరిమితుల ప్రత్యామ్నాయం
యాంటీడెరివేటివ్‌ను కనుగొన్న తర్వాత, ఏకీకరణ యొక్క పరిమితులను ప్రత్యామ్నాయం చేయడం అవసరం. ముందుగా, ఎగువ పరిమితి విలువను యాంటీడెరివేటివ్ కోసం వ్యక్తీకరణలో ప్రత్యామ్నాయం చేయండి. మీకు కొంత సంఖ్య వస్తుంది. తరువాత, ఫలిత సంఖ్య నుండి తక్కువ పరిమితి నుండి పొందిన మరొక సంఖ్యను యాంటీడెరివేటివ్‌లోకి తీసివేయండి. ఏకీకరణ యొక్క పరిమితుల్లో ఒకటి అనంతం అయితే, దానిని యాంటీడెరివేటివ్ ఫంక్షన్‌లో ప్రత్యామ్నాయం చేసేటప్పుడు, పరిమితికి వెళ్లి వ్యక్తీకరణ ఏమి చేస్తుందో కనుగొనడం అవసరం.సమగ్రం రెండు డైమెన్షనల్ లేదా త్రిమితీయ అయితే, సమగ్రతను ఎలా మూల్యాంకనం చేయాలో అర్థం చేసుకోవడానికి మీరు జ్యామితీయంగా ఏకీకరణ యొక్క పరిమితులను సూచించాలి. నిజానికి, చెప్పాలంటే, త్రిమితీయ సమగ్రత విషయంలో, ఏకీకరణ యొక్క పరిమితులు మొత్తం సమతలంగా ఉంటాయి, ఇవి ఏకీకృతమయ్యే వాల్యూమ్‌ను పరిమితం చేస్తాయి.
ప్రధాన లక్షణాలు.
- లోగాక్స్ + లోగే = లోగా(x y);
- logax − logay = లోగా (x: y).
ఒకే మైదానాలు
లాగ్ 6 4 + లాగ్ 6 9.
ఇప్పుడు పనిని కొద్దిగా క్లిష్టతరం చేద్దాం.
లాగరిథమ్‌లను పరిష్కరించే ఉదాహరణలు
సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం లేదా వాదన శక్తి అయితే? అప్పుడు ఈ డిగ్రీ యొక్క ఘాతాంక క్రింది నియమాల ప్రకారం సంవర్గమానం యొక్క సంకేతం నుండి తీసుకోవచ్చు:
వాస్తవానికి, లాగరిథమ్ యొక్క ODZ గమనించినట్లయితే ఈ నియమాలన్నీ అర్ధవంతంగా ఉంటాయి: a > 0, a ≠ 1, x >
టాస్క్. వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థం కనుగొనండి:
కొత్త పునాదికి మార్పు
లాగరిథమ్ logax ఇవ్వబడనివ్వండి. అప్పుడు c > 0 మరియు c ≠ 1 వంటి ఏదైనా సంఖ్య cకి, సమానత్వం నిజం:
టాస్క్. వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థం కనుగొనండి:
ఇది కూడ చూడు:
సంవర్గమానం యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాలు
1.
2.
3.
4.
5. 
6.
7.
8.
9.
10.
11. 
12.
13.
14. 
15.
ఘాతాంకం 2.718281828…. ఘాతాంకాన్ని గుర్తుంచుకోవడానికి, మీరు నియమాన్ని అధ్యయనం చేయవచ్చు: ఘాతాంకం 2.7కి సమానం మరియు లియో నికోలెవిచ్ టాల్‌స్టాయ్ పుట్టిన సంవత్సరానికి రెండుసార్లు.
లాగరిథమ్స్ యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాలు
ఈ నియమాన్ని తెలుసుకోవడం, మీరు ఘాతాంకం యొక్క ఖచ్చితమైన విలువ మరియు లియో టాల్‌స్టాయ్ పుట్టిన తేదీ రెండింటినీ తెలుసుకుంటారు.
లాగరిథమ్‌లకు ఉదాహరణలు
లాగరిథమ్ వ్యక్తీకరణలు
ఉదాహరణ 1.
ఎ) x=10ac^2 (a>0,c>0).
లక్షణాలు 3.5 ఉపయోగించి మేము లెక్కిస్తాము 
2.
3. 
4. 
ఎక్కడ 
.
ఉదాహరణ 2. ఉంటే xని కనుగొనండి
ఉదాహరణ 3. లాగరిథమ్‌ల విలువను తెలియజేయండి
ఉంటే లాగ్ (x)ని లెక్కించండి
లాగరిథమ్స్ యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాలు
లాగరిథమ్‌లు, ఏదైనా సంఖ్యల వలె, ప్రతి విధంగా జోడించబడతాయి, తీసివేయబడతాయి మరియు రూపాంతరం చెందుతాయి. కానీ లాగరిథమ్‌లు ఖచ్చితంగా సాధారణ సంఖ్యలు కానందున, ఇక్కడ నియమాలు ఉన్నాయి, వీటిని పిలుస్తారు ప్రధాన లక్షణాలు.
మీరు ఖచ్చితంగా ఈ నియమాలను తెలుసుకోవాలి - అవి లేకుండా, ఒక్క తీవ్రమైన లాగరిథమిక్ సమస్య కూడా పరిష్కరించబడదు. అదనంగా, వాటిలో చాలా తక్కువ ఉన్నాయి - మీరు ఒక రోజులో ప్రతిదీ నేర్చుకోవచ్చు. కాబట్టి ప్రారంభిద్దాం.
లాగరిథమ్‌లను జోడించడం మరియు తీసివేయడం
ఒకే స్థావరాలతో రెండు లాగరిథమ్‌లను పరిగణించండి: లోగాక్స్ మరియు లోగే. అప్పుడు వాటిని జోడించవచ్చు మరియు తీసివేయవచ్చు మరియు:
- లోగాక్స్ + లోగే = లోగా(x y);
- logax − logay = లోగా (x: y).
కాబట్టి, సంవర్గమానాల మొత్తం ఉత్పత్తి యొక్క సంవర్గమానానికి సమానం మరియు వ్యత్యాసం గుణకం యొక్క లాగరిథమ్‌కు సమానం. దయచేసి గమనించండి: ఇక్కడ ప్రధాన విషయం ఒకే మైదానాలు. కారణాలు భిన్నంగా ఉంటే, ఈ నియమాలు పని చేయవు!
ఈ సూత్రాలు సంవర్గమాన వ్యక్తీకరణను దాని వ్యక్తిగత భాగాలు పరిగణించబడనప్పుడు కూడా లెక్కించడంలో మీకు సహాయపడతాయి ("సంవర్గమానం అంటే ఏమిటి" అనే పాఠాన్ని చూడండి). ఉదాహరణలను పరిశీలించి చూడండి:
లాగరిథమ్‌లు ఒకే బేస్‌లను కలిగి ఉన్నందున, మేము మొత్తం సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.
టాస్క్. వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనండి: log2 48 - log2 3.
స్థావరాలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి, మేము వ్యత్యాస సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.
టాస్క్. వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనండి: log3 135 - log3 5.
మళ్ళీ స్థావరాలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి, కాబట్టి మనకు ఇవి ఉన్నాయి:
లాగ్3 135 - లాగ్3 5 = లాగ్3 (135: 5) = లాగ్3 27 = 3.
మీరు చూడగలిగినట్లుగా, అసలు వ్యక్తీకరణలు "చెడు" లాగరిథమ్‌లతో రూపొందించబడ్డాయి, అవి విడిగా లెక్కించబడవు. కానీ రూపాంతరాల తర్వాత, పూర్తిగా సాధారణ సంఖ్యలు పొందబడతాయి. అనేక పరీక్షలు ఈ వాస్తవం ఆధారంగా ఉంటాయి. అవును, యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్‌లో అన్ని గంభీరంగా (కొన్నిసార్లు వాస్తవంగా ఎటువంటి మార్పులు లేకుండా) పరీక్ష లాంటి వ్యక్తీకరణలు అందించబడతాయి.
సంవర్గమానం నుండి ఘాతాంకాన్ని సంగ్రహించడం
చివరి నియమం మొదటి రెండింటిని అనుసరిస్తుందని చూడటం సులభం. కానీ ఏమైనప్పటికీ గుర్తుంచుకోవడం మంచిది - కొన్ని సందర్భాల్లో ఇది గణనల మొత్తాన్ని గణనీయంగా తగ్గిస్తుంది.
వాస్తవానికి, లాగరిథమ్ యొక్క ODZ గమనించినట్లయితే ఈ నియమాలన్నీ అర్ధవంతంగా ఉంటాయి: a > 0, a ≠ 1, x > 0. మరియు మరొక విషయం: అన్ని సూత్రాలను ఎడమ నుండి కుడికి మాత్రమే కాకుండా, వైస్ వెర్సా కూడా వర్తింపజేయడం నేర్చుకోండి. , అనగా మీరు సంవర్గమాన సంకేతానికి ముందు సంఖ్యలను లాగరిథమ్‌లోనే నమోదు చేయవచ్చు. ఇది చాలా తరచుగా అవసరం.
టాస్క్. వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనండి: log7 496.
మొదటి సూత్రాన్ని ఉపయోగించి వాదనలోని డిగ్రీని వదిలించుకుందాం:
లాగ్7 496 = 6 లాగ్7 49 = 6 2 = 12
టాస్క్. వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థం కనుగొనండి:
హారం ఒక సంవర్గమానాన్ని కలిగి ఉందని గమనించండి, దీని యొక్క ఆధారం మరియు వాదన ఖచ్చితమైన అధికారాలు: 16 = 24; 49 = 72. మనకు ఉన్నాయి:
చివరి ఉదాహరణకి కొంత స్పష్టత అవసరమని నేను భావిస్తున్నాను. లాగరిథమ్‌లు ఎక్కడికి పోయాయి? చివరి క్షణం వరకు మేము హారంతో మాత్రమే పని చేస్తాము.
లాగరిథమ్ సూత్రాలు. లాగరిథమ్స్ ఉదాహరణలు పరిష్కారాలు.
మేము అక్కడ నిలబడి ఉన్న లాగరిథమ్ యొక్క బేస్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్‌ను శక్తుల రూపంలో అందించాము మరియు ఘాతాంకాలను తీసివేసాము - మాకు “మూడు-అంతస్తుల” భిన్నం వచ్చింది.
ఇప్పుడు ప్రధాన భాగాన్ని చూద్దాం. న్యూమరేటర్ మరియు హారం ఒకే సంఖ్యను కలిగి ఉంటాయి: log2 7. లాగ్2 7 ≠ 0 నుండి, మేము భిన్నాన్ని తగ్గించవచ్చు - 2/4 హారంలో ఉంటుంది. అంకగణిత నియమాల ప్రకారం, నలుగురిని న్యూమరేటర్‌కు బదిలీ చేయవచ్చు, ఇది జరిగింది. ఫలితం సమాధానం: 2.
కొత్త పునాదికి మార్పు
లాగరిథమ్‌లను జోడించడం మరియు తీసివేయడం కోసం నియమాల గురించి మాట్లాడుతూ, అవి ఒకే బేస్‌లతో మాత్రమే పనిచేస్తాయని నేను ప్రత్యేకంగా నొక్కిచెప్పాను. కారణాలు భిన్నంగా ఉంటే ఏమి చేయాలి? అవి ఒకే సంఖ్య యొక్క ఖచ్చితమైన అధికారాలు కాకపోతే ఏమి చేయాలి?
కొత్త పునాదికి పరివర్తన కోసం సూత్రాలు రక్షించటానికి వస్తాయి. వాటిని సిద్ధాంతం రూపంలో రూపొందిద్దాం:
లాగరిథమ్ logax ఇవ్వబడనివ్వండి. అప్పుడు c > 0 మరియు c ≠ 1 వంటి ఏదైనా సంఖ్య cకి, సమానత్వం నిజం:
ప్రత్యేకించి, మనం c = xని సెట్ చేస్తే, మనకు లభిస్తుంది:
రెండవ ఫార్ములా నుండి సంవర్గమానం యొక్క బేస్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్ మార్చుకోవచ్చని ఇది అనుసరిస్తుంది, అయితే ఈ సందర్భంలో మొత్తం వ్యక్తీకరణ "తిరిగిపోయింది", అనగా. సంవర్గమానం హారంలో కనిపిస్తుంది.
ఈ సూత్రాలు సాధారణ సంఖ్యా వ్యక్తీకరణలలో చాలా అరుదుగా కనిపిస్తాయి. సంవర్గమాన సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను పరిష్కరించేటప్పుడు మాత్రమే అవి ఎంత సౌకర్యవంతంగా ఉన్నాయో అంచనా వేయడం సాధ్యమవుతుంది.
అయితే, కొత్త పునాదికి వెళ్లడం మినహా అన్నింటిలోనూ పరిష్కరించలేని సమస్యలు ఉన్నాయి. వీటిలో కొన్నింటిని చూద్దాం:
టాస్క్. వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి: log5 16 log2 25.
రెండు లాగరిథమ్‌ల ఆర్గ్యుమెంట్‌లు ఖచ్చితమైన అధికారాలను కలిగి ఉన్నాయని గమనించండి. సూచికలను తీసుకుందాం: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;
ఇప్పుడు రెండవ సంవర్గమానాన్ని "రివర్స్" చేద్దాం:
కారకాలను పునర్వ్యవస్థీకరించేటప్పుడు ఉత్పత్తి మారదు కాబట్టి, మేము ప్రశాంతంగా నాలుగు మరియు రెండు గుణించి, ఆపై లాగరిథమ్‌లతో వ్యవహరించాము.
టాస్క్. వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనండి: log9 100 lg 3.
మొదటి సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం మరియు వాదన ఖచ్చితమైన అధికారాలు. దీన్ని వ్రాసి, సూచికలను వదిలించుకుందాం:
ఇప్పుడు కొత్త స్థావరానికి వెళ్లడం ద్వారా దశాంశ సంవర్గమానాన్ని వదిలించుకుందాం:
ప్రాథమిక లాగరిథమిక్ గుర్తింపు
తరచుగా పరిష్కార ప్రక్రియలో, ఇచ్చిన స్థావరానికి సంవర్గమానంగా సంఖ్యను సూచించడం అవసరం. ఈ సందర్భంలో, కింది సూత్రాలు మాకు సహాయపడతాయి:
మొదటి సందర్భంలో, సంఖ్య n వాదనలో ఘాతాంకం అవుతుంది. n సంఖ్య ఖచ్చితంగా ఏదైనా కావచ్చు, ఎందుకంటే ఇది కేవలం లాగరిథమ్ విలువ.
రెండవ సూత్రం వాస్తవానికి పారాఫ్రేస్డ్ నిర్వచనం. దానినే అంటారు: .
నిజానికి, b సంఖ్యను అటువంటి శక్తికి పెంచినట్లయితే, ఈ శక్తికి b సంఖ్య a సంఖ్యను ఇస్తుంది? అది నిజం: ఫలితం అదే సంఖ్య a. ఈ పేరాగ్రాఫ్‌ని మళ్లీ జాగ్రత్తగా చదవండి - చాలా మంది దానిలో చిక్కుకుపోతారు.
కొత్త స్థావరానికి వెళ్లడానికి సూత్రాల వలె, ప్రాథమిక సంవర్గమాన గుర్తింపు కొన్నిసార్లు సాధ్యమయ్యే ఏకైక పరిష్కారం.
టాస్క్. వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థం కనుగొనండి:
log25 64 = log5 8 - సంవర్గమానం యొక్క బేస్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్ నుండి చతురస్రాన్ని తీసుకున్నట్లు గమనించండి. ఒకే ఆధారంతో శక్తులను గుణించడం కోసం నియమాలను పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, మేము పొందుతాము:
ఎవరికైనా తెలియకపోతే, ఇది యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ నుండి నిజమైన పని :)
లాగరిథమిక్ యూనిట్ మరియు లాగరిథమిక్ సున్నా
ముగింపులో, నేను రెండు గుర్తింపులను ఇస్తాను, అవి అరుదుగా లక్షణాలు అని పిలవబడతాయి - బదులుగా, అవి లాగరిథమ్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క పరిణామాలు. వారు నిరంతరం సమస్యలలో కనిపిస్తారు మరియు ఆశ్చర్యకరంగా, "అధునాతన" విద్యార్థులకు కూడా సమస్యలను సృష్టిస్తారు.
- లోగా = 1. ఒక్కసారి గుర్తుంచుకోండి: ఆ బేస్ యొక్క ఏదైనా బేస్ aకి సంవర్గమానం ఒకదానికి సమానం.
- లోగా 1 = 0. ఆధారం ఏదైనా కావచ్చు, కానీ ఆర్గ్యుమెంట్‌లో ఒకటి ఉంటే, సంవర్గమానం సున్నాకి సమానం! ఎందుకంటే a0 = 1 అనేది నిర్వచనం యొక్క ప్రత్యక్ష పరిణామం.
ఆస్తులు అంతే. వాటిని ఆచరణలో పెట్టడం తప్పకుండా సాధన చేయండి! పాఠం ప్రారంభంలో చీట్ షీట్‌ను డౌన్‌లోడ్ చేయండి, దాన్ని ప్రింట్ చేయండి మరియు సమస్యలను పరిష్కరించండి.
ఇది కూడ చూడు:
b యొక్క సంవర్గమానం a బేస్ చేయడానికి వ్యక్తీకరణను సూచిస్తుంది. సంవర్గమానాన్ని గణించడం అంటే సమానత్వం సంతృప్తి చెందిన పవర్ x ()ని కనుగొనడం
సంవర్గమానం యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాలు
లాగరిథమ్‌లకు సంబంధించిన దాదాపు అన్ని సమస్యలు మరియు ఉదాహరణలు వాటి ఆధారంగా పరిష్కరించబడతాయి కాబట్టి పై లక్షణాలను తెలుసుకోవడం అవసరం. మిగిలిన అన్యదేశ లక్షణాలను ఈ సూత్రాలతో గణిత మానిప్యులేషన్స్ ద్వారా పొందవచ్చు
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
సంవర్గమానాల మొత్తం మరియు వ్యత్యాసానికి సూత్రాన్ని లెక్కించేటప్పుడు (3.4) మీరు చాలా తరచుగా చూస్తారు. మిగిలినవి కొంత క్లిష్టంగా ఉంటాయి, కానీ అనేక పనులలో సంక్లిష్ట వ్యక్తీకరణలను సరళీకృతం చేయడానికి మరియు వాటి విలువలను లెక్కించడానికి అవి ఎంతో అవసరం.
లాగరిథమ్‌ల యొక్క సాధారణ సందర్భాలు
కొన్ని సాధారణ లాగరిథమ్‌లలో ఆధారం పది, ఘాతాంక లేదా రెండు కూడా ఉంటుంది.
ఆధారం పదికి సంవర్గమానాన్ని సాధారణంగా దశాంశ సంవర్గమానం అంటారు మరియు ఇది కేవలం lg(x)తో సూచించబడుతుంది.
రికార్డింగ్‌లో ప్రాథమిక అంశాలు వ్రాయబడలేదని రికార్డింగ్ నుండి స్పష్టమైంది. ఉదాహరణకి
సహజ సంవర్గమానం అనేది సంవర్గమానం, దీని మూలాధారం ఘాతాంకం (ln(x)చే సూచించబడుతుంది).
ఘాతాంకం 2.718281828…. ఘాతాంకాన్ని గుర్తుంచుకోవడానికి, మీరు నియమాన్ని అధ్యయనం చేయవచ్చు: ఘాతాంకం 2.7కి సమానం మరియు లియో నికోలెవిచ్ టాల్‌స్టాయ్ పుట్టిన సంవత్సరానికి రెండుసార్లు. ఈ నియమాన్ని తెలుసుకోవడం, మీరు ఘాతాంకం యొక్క ఖచ్చితమైన విలువ మరియు లియో టాల్‌స్టాయ్ పుట్టిన తేదీ రెండింటినీ తెలుసుకుంటారు.
మరియు బేస్ టూకి మరొక ముఖ్యమైన సంవర్గమానం ద్వారా సూచించబడుతుంది
ఒక ఫంక్షన్ యొక్క సంవర్గమానం యొక్క ఉత్పన్నం వేరియబుల్ ద్వారా విభజించబడిన ఒకదానికి సమానం
ఇంటిగ్రల్ లేదా యాంటీడెరివేటివ్ లాగరిథమ్ సంబంధం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది
లాగరిథమ్‌లు మరియు లాగరిథమ్‌లకు సంబంధించిన అనేక రకాల సమస్యలను పరిష్కరించడానికి మీరు అందించిన మెటీరియల్ సరిపోతుంది. మెటీరియల్‌ని అర్థం చేసుకోవడంలో మీకు సహాయపడటానికి, నేను పాఠశాల పాఠ్యాంశాలు మరియు విశ్వవిద్యాలయాల నుండి కొన్ని సాధారణ ఉదాహరణలను మాత్రమే ఇస్తాను.
లాగరిథమ్‌లకు ఉదాహరణలు
లాగరిథమ్ వ్యక్తీకరణలు
ఉదాహరణ 1.
ఎ) x=10ac^2 (a>0,c>0).
లక్షణాలు 3.5 ఉపయోగించి మేము లెక్కిస్తాము
2.
మేము కలిగి ఉన్న లాగరిథమ్‌ల వ్యత్యాసం యొక్క లక్షణం ద్వారా
3.
లక్షణాలు 3.5 ఉపయోగించి మేము కనుగొంటాము
4. ఎక్కడ .
సంక్లిష్టంగా కనిపించే వ్యక్తీకరణ అనేక నియమాలను ఉపయోగించి రూపొందించడానికి సరళీకృతం చేయబడింది
సంవర్గమాన విలువలను కనుగొనడం
ఉదాహరణ 2. ఉంటే xని కనుగొనండి
పరిష్కారం. గణన కోసం, మేము చివరి పదం 5 మరియు 13 లక్షణాలకు వర్తింపజేస్తాము
మేము దానిని రికార్డులో ఉంచాము మరియు విచారిస్తున్నాము
స్థావరాలు సమానంగా ఉన్నందున, మేము వ్యక్తీకరణలను సమం చేస్తాము
లాగరిథమ్స్. మొదటి స్థాయి.
లాగరిథమ్‌ల విలువను తెలియజేయండి
ఉంటే లాగ్ (x)ని లెక్కించండి
పరిష్కారం: సంవర్గమానాన్ని దాని నిబంధనల మొత్తం ద్వారా వ్రాయడానికి వేరియబుల్ యొక్క సంవర్గమానాన్ని తీసుకుందాం
ఇది లాగరిథమ్‌లు మరియు వాటి లక్షణాలతో మన పరిచయం యొక్క ప్రారంభం మాత్రమే. గణనలను ప్రాక్టీస్ చేయండి, మీ ఆచరణాత్మక నైపుణ్యాలను మెరుగుపరచండి - సంవర్గమాన సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి మీరు పొందే జ్ఞానం మీకు త్వరలో అవసరం. అటువంటి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ప్రాథమిక పద్ధతులను అధ్యయనం చేసిన తరువాత, మేము మీ జ్ఞానాన్ని మరొక సమానమైన ముఖ్యమైన అంశానికి విస్తరిస్తాము - లాగరిథమిక్ అసమానతలు...
లాగరిథమ్స్ యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాలు
లాగరిథమ్‌లు, ఏదైనా సంఖ్యల వలె, ప్రతి విధంగా జోడించబడతాయి, తీసివేయబడతాయి మరియు రూపాంతరం చెందుతాయి. కానీ లాగరిథమ్‌లు ఖచ్చితంగా సాధారణ సంఖ్యలు కానందున, ఇక్కడ నియమాలు ఉన్నాయి, వీటిని పిలుస్తారు ప్రధాన లక్షణాలు.
మీరు ఖచ్చితంగా ఈ నియమాలను తెలుసుకోవాలి - అవి లేకుండా, ఒక్క తీవ్రమైన లాగరిథమిక్ సమస్య కూడా పరిష్కరించబడదు. అదనంగా, వాటిలో చాలా తక్కువ ఉన్నాయి - మీరు ఒక రోజులో ప్రతిదీ నేర్చుకోవచ్చు. కాబట్టి ప్రారంభిద్దాం.
లాగరిథమ్‌లను జోడించడం మరియు తీసివేయడం
ఒకే స్థావరాలతో రెండు లాగరిథమ్‌లను పరిగణించండి: లోగాక్స్ మరియు లోగే. అప్పుడు వాటిని జోడించవచ్చు మరియు తీసివేయవచ్చు మరియు:
- లోగాక్స్ + లోగే = లోగా(x y);
- logax − logay = లోగా (x: y).
కాబట్టి, సంవర్గమానాల మొత్తం ఉత్పత్తి యొక్క సంవర్గమానానికి సమానం మరియు వ్యత్యాసం గుణకం యొక్క లాగరిథమ్‌కు సమానం. దయచేసి గమనించండి: ఇక్కడ ప్రధాన విషయం ఒకే మైదానాలు. కారణాలు భిన్నంగా ఉంటే, ఈ నియమాలు పని చేయవు!
ఈ సూత్రాలు సంవర్గమాన వ్యక్తీకరణను దాని వ్యక్తిగత భాగాలు పరిగణించబడనప్పుడు కూడా లెక్కించడంలో మీకు సహాయపడతాయి ("సంవర్గమానం అంటే ఏమిటి" అనే పాఠాన్ని చూడండి). ఉదాహరణలను పరిశీలించి చూడండి:
టాస్క్. వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనండి: log6 4 + log6 9.
లాగరిథమ్‌లు ఒకే బేస్‌లను కలిగి ఉన్నందున, మేము మొత్తం సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.
టాస్క్. వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనండి: log2 48 - log2 3.
స్థావరాలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి, మేము వ్యత్యాస సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.
టాస్క్. వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనండి: log3 135 - log3 5.
మళ్ళీ స్థావరాలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి, కాబట్టి మనకు ఇవి ఉన్నాయి:
లాగ్3 135 - లాగ్3 5 = లాగ్3 (135: 5) = లాగ్3 27 = 3.
మీరు చూడగలిగినట్లుగా, అసలు వ్యక్తీకరణలు "చెడు" లాగరిథమ్‌లతో రూపొందించబడ్డాయి, అవి విడిగా లెక్కించబడవు. కానీ రూపాంతరాల తర్వాత, పూర్తిగా సాధారణ సంఖ్యలు పొందబడతాయి. అనేక పరీక్షలు ఈ వాస్తవం ఆధారంగా ఉంటాయి. అవును, యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్‌లో అన్ని గంభీరంగా (కొన్నిసార్లు వాస్తవంగా ఎటువంటి మార్పులు లేకుండా) పరీక్ష లాంటి వ్యక్తీకరణలు అందించబడతాయి.
సంవర్గమానం నుండి ఘాతాంకాన్ని సంగ్రహించడం
ఇప్పుడు పనిని కొద్దిగా క్లిష్టతరం చేద్దాం. సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం లేదా వాదన శక్తి అయితే? అప్పుడు ఈ డిగ్రీ యొక్క ఘాతాంక క్రింది నియమాల ప్రకారం సంవర్గమానం యొక్క సంకేతం నుండి తీసుకోవచ్చు:
చివరి నియమం మొదటి రెండింటిని అనుసరిస్తుందని చూడటం సులభం. కానీ ఏమైనప్పటికీ గుర్తుంచుకోవడం మంచిది - కొన్ని సందర్భాల్లో ఇది గణనల మొత్తాన్ని గణనీయంగా తగ్గిస్తుంది.
వాస్తవానికి, లాగరిథమ్ యొక్క ODZ గమనించినట్లయితే ఈ నియమాలన్నీ అర్ధవంతంగా ఉంటాయి: a > 0, a ≠ 1, x > 0. మరియు మరొక విషయం: అన్ని సూత్రాలను ఎడమ నుండి కుడికి మాత్రమే కాకుండా, వైస్ వెర్సా కూడా వర్తింపజేయడం నేర్చుకోండి. , అనగా మీరు సంవర్గమాన సంకేతానికి ముందు సంఖ్యలను లాగరిథమ్‌లోనే నమోదు చేయవచ్చు.
లాగరిథమ్‌లను ఎలా పరిష్కరించాలి
ఇది చాలా తరచుగా అవసరం.
టాస్క్. వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనండి: log7 496.
మొదటి సూత్రాన్ని ఉపయోగించి వాదనలోని డిగ్రీని వదిలించుకుందాం:
లాగ్7 496 = 6 లాగ్7 49 = 6 2 = 12
టాస్క్. వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థం కనుగొనండి:
హారం ఒక సంవర్గమానాన్ని కలిగి ఉందని గమనించండి, దీని యొక్క ఆధారం మరియు వాదన ఖచ్చితమైన అధికారాలు: 16 = 24; 49 = 72. మనకు ఉన్నాయి:
చివరి ఉదాహరణకి కొంత స్పష్టత అవసరమని నేను భావిస్తున్నాను. లాగరిథమ్‌లు ఎక్కడికి పోయాయి? చివరి క్షణం వరకు మేము హారంతో మాత్రమే పని చేస్తాము. మేము అక్కడ నిలబడి ఉన్న లాగరిథమ్ యొక్క బేస్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్‌ను శక్తుల రూపంలో అందించాము మరియు ఘాతాంకాలను తీసివేసాము - మాకు “మూడు-అంతస్తుల” భిన్నం వచ్చింది.
ఇప్పుడు ప్రధాన భాగాన్ని చూద్దాం. న్యూమరేటర్ మరియు హారం ఒకే సంఖ్యను కలిగి ఉంటాయి: log2 7. లాగ్2 7 ≠ 0 నుండి, మేము భిన్నాన్ని తగ్గించవచ్చు - 2/4 హారంలో ఉంటుంది. అంకగణిత నియమాల ప్రకారం, నలుగురిని న్యూమరేటర్‌కు బదిలీ చేయవచ్చు, ఇది జరిగింది. ఫలితం సమాధానం: 2.
కొత్త పునాదికి మార్పు
లాగరిథమ్‌లను జోడించడం మరియు తీసివేయడం కోసం నియమాల గురించి మాట్లాడుతూ, అవి ఒకే బేస్‌లతో మాత్రమే పనిచేస్తాయని నేను ప్రత్యేకంగా నొక్కిచెప్పాను. కారణాలు భిన్నంగా ఉంటే ఏమి చేయాలి? అవి ఒకే సంఖ్య యొక్క ఖచ్చితమైన అధికారాలు కాకపోతే ఏమి చేయాలి?
కొత్త పునాదికి పరివర్తన కోసం సూత్రాలు రక్షించటానికి వస్తాయి. వాటిని సిద్ధాంతం రూపంలో రూపొందిద్దాం:
లాగరిథమ్ logax ఇవ్వబడనివ్వండి. అప్పుడు c > 0 మరియు c ≠ 1 వంటి ఏదైనా సంఖ్య cకి, సమానత్వం నిజం:
ప్రత్యేకించి, మనం c = xని సెట్ చేస్తే, మనకు లభిస్తుంది:
రెండవ ఫార్ములా నుండి సంవర్గమానం యొక్క బేస్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్ మార్చుకోవచ్చని ఇది అనుసరిస్తుంది, అయితే ఈ సందర్భంలో మొత్తం వ్యక్తీకరణ "తిరిగిపోయింది", అనగా. సంవర్గమానం హారంలో కనిపిస్తుంది.
ఈ సూత్రాలు సాధారణ సంఖ్యా వ్యక్తీకరణలలో చాలా అరుదుగా కనిపిస్తాయి. సంవర్గమాన సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను పరిష్కరించేటప్పుడు మాత్రమే అవి ఎంత సౌకర్యవంతంగా ఉన్నాయో అంచనా వేయడం సాధ్యమవుతుంది.
అయితే, కొత్త పునాదికి వెళ్లడం మినహా అన్నింటిలోనూ పరిష్కరించలేని సమస్యలు ఉన్నాయి. వీటిలో కొన్నింటిని చూద్దాం:
టాస్క్. వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి: log5 16 log2 25.
రెండు లాగరిథమ్‌ల ఆర్గ్యుమెంట్‌లు ఖచ్చితమైన అధికారాలను కలిగి ఉన్నాయని గమనించండి. సూచికలను తీసుకుందాం: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;
ఇప్పుడు రెండవ సంవర్గమానాన్ని "రివర్స్" చేద్దాం:
కారకాలను పునర్వ్యవస్థీకరించేటప్పుడు ఉత్పత్తి మారదు కాబట్టి, మేము ప్రశాంతంగా నాలుగు మరియు రెండు గుణించి, ఆపై లాగరిథమ్‌లతో వ్యవహరించాము.
టాస్క్. వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనండి: log9 100 lg 3.
మొదటి సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం మరియు వాదన ఖచ్చితమైన అధికారాలు. దీన్ని వ్రాసి, సూచికలను వదిలించుకుందాం:
ఇప్పుడు కొత్త స్థావరానికి వెళ్లడం ద్వారా దశాంశ సంవర్గమానాన్ని వదిలించుకుందాం:
ప్రాథమిక లాగరిథమిక్ గుర్తింపు
తరచుగా పరిష్కార ప్రక్రియలో, ఇచ్చిన స్థావరానికి సంవర్గమానంగా సంఖ్యను సూచించడం అవసరం. ఈ సందర్భంలో, కింది సూత్రాలు మాకు సహాయపడతాయి:
మొదటి సందర్భంలో, సంఖ్య n వాదనలో ఘాతాంకం అవుతుంది. n సంఖ్య ఖచ్చితంగా ఏదైనా కావచ్చు, ఎందుకంటే ఇది కేవలం లాగరిథమ్ విలువ.
రెండవ సూత్రం వాస్తవానికి పారాఫ్రేస్డ్ నిర్వచనం. దానినే అంటారు: .
నిజానికి, b సంఖ్యను అటువంటి శక్తికి పెంచినట్లయితే, ఈ శక్తికి b సంఖ్య a సంఖ్యను ఇస్తుంది? అది నిజం: ఫలితం అదే సంఖ్య a. ఈ పేరాగ్రాఫ్‌ని మళ్లీ జాగ్రత్తగా చదవండి - చాలా మంది దానిలో చిక్కుకుపోతారు.
కొత్త స్థావరానికి వెళ్లడానికి సూత్రాల వలె, ప్రాథమిక సంవర్గమాన గుర్తింపు కొన్నిసార్లు సాధ్యమయ్యే ఏకైక పరిష్కారం.
టాస్క్. వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థం కనుగొనండి:
log25 64 = log5 8 - సంవర్గమానం యొక్క బేస్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్ నుండి చతురస్రాన్ని తీసుకున్నట్లు గమనించండి. ఒకే ఆధారంతో శక్తులను గుణించడం కోసం నియమాలను పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, మేము పొందుతాము:
ఎవరికైనా తెలియకపోతే, ఇది యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ నుండి నిజమైన పని :)
లాగరిథమిక్ యూనిట్ మరియు లాగరిథమిక్ సున్నా
ముగింపులో, నేను రెండు గుర్తింపులను ఇస్తాను, అవి అరుదుగా లక్షణాలు అని పిలవబడతాయి - బదులుగా, అవి లాగరిథమ్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క పరిణామాలు. వారు నిరంతరం సమస్యలలో కనిపిస్తారు మరియు ఆశ్చర్యకరంగా, "అధునాతన" విద్యార్థులకు కూడా సమస్యలను సృష్టిస్తారు.
- లోగా = 1. ఒక్కసారి గుర్తుంచుకోండి: ఆ బేస్ యొక్క ఏదైనా బేస్ aకి సంవర్గమానం ఒకదానికి సమానం.
- లోగా 1 = 0. ఆధారం ఏదైనా కావచ్చు, కానీ ఆర్గ్యుమెంట్‌లో ఒకటి ఉంటే, సంవర్గమానం సున్నాకి సమానం! ఎందుకంటే a0 = 1 అనేది నిర్వచనం యొక్క ప్రత్యక్ష పరిణామం.
ఆస్తులు అంతే. వాటిని ఆచరణలో పెట్టడం తప్పకుండా సాధన చేయండి! పాఠం ప్రారంభంలో చీట్ షీట్‌ను డౌన్‌లోడ్ చేయండి, దాన్ని ప్రింట్ చేయండి మరియు సమస్యలను పరిష్కరించండి.