సగటు సూత్రాన్ని ఎలా కనుగొనాలి. పంపిణీ యొక్క సగటు, వ్యత్యాసం మరియు ఆకృతిని నిర్ణయించడం

గణితంలో యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ గ్రాడ్యుయేట్లకు అత్యంత కష్టతరమైన పరీక్షలలో ఒకటి. సహజ సంఖ్య యొక్క చివరి అంకెను లెక్కించేటప్పుడు విద్యార్థులు చాలా తరచుగా తప్పులు చేస్తారని చాలా సంవత్సరాల అభ్యాసం చూపించింది. ఈ అంశం చాలా క్లిష్టంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే దీనికి ప్రత్యేక ఖచ్చితత్వం, శ్రద్ధ మరియు అభివృద్ధి చెందిన తార్కిక ఆలోచన అవసరం. ఏవైనా సమస్యలు లేకుండా అటువంటి పనులను ఎదుర్కోవటానికి, అనుకూలమైన ఆన్‌లైన్ సేవ "Shkolkovo" ను ఉపయోగించమని మేము సిఫార్సు చేస్తున్నాము. మా వెబ్‌సైట్‌లో మీరు సంఖ్య యొక్క చివరి సున్నా కాని అంకెను కనుగొనడానికి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి మరియు సంబంధిత అంశాలలో మీ పరిజ్ఞానాన్ని మెరుగుపరచడానికి అవసరమైన ప్రతిదాన్ని కనుగొంటారు.

ష్కోల్కోవోతో అద్భుతమైన మార్కులతో ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్షలో ఉత్తీర్ణత సాధించండి!

మా ఎడ్యుకేషనల్ పోర్టల్ గ్రాడ్యుయేట్‌లు తుది ధృవీకరణ కోసం సిద్ధం కావడానికి వీలైనంత సౌకర్యవంతంగా ఉండే విధంగా నిర్మించబడింది. మొదట, విద్యార్థి "సైద్ధాంతిక సహాయం" విభాగానికి తిరుగుతాడు: సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి నియమాలను గుర్తుంచుకుంటాడు, సంఖ్య యొక్క చివరి అంకెను కనుగొనడంలో సహాయపడే ముఖ్యమైన సూత్రాల జ్ఞాపకశక్తిని రిఫ్రెష్ చేస్తాడు. ఆ తరువాత, అతను "కేటలాగ్స్" కి వెళ్తాడు, అక్కడ అతను వివిధ స్థాయిల సంక్లిష్టత యొక్క అనేక పనులను కనుగొంటాడు. ఏదైనా వ్యాయామంలో మీకు ఏవైనా ఇబ్బందులు ఉంటే, మీరు దానిని "ఇష్టమైనవి"కి తరలించవచ్చు, తద్వారా మీరు దానిని తర్వాత తిరిగి పొందవచ్చు మరియు దానిని మీరే లేదా ఉపాధ్యాయుని సహాయంతో పరిష్కరించుకోవచ్చు.

Shkolkovo నిపుణులు ఈ అంశంపై విషయాలను సేకరించి, క్రమబద్ధీకరించారు మరియు సరళమైన మరియు అత్యంత అర్థమయ్యే రూపంలో సమర్పించారు. అందువలన, తక్కువ సమయంలో పెద్ద మొత్తంలో సమాచారం గ్రహించబడుతుంది. విద్యార్థులు అనేక పరిష్కారాలను సూచించాల్సిన అవసరం ఉన్న వాటితో సహా ఇటీవల వారికి చాలా ఇబ్బందులు కలిగించిన పనులను కూడా పూర్తి చేయగలుగుతారు.

పాఠాలను సాధ్యమైనంత ప్రభావవంతంగా చేయడానికి, సులభమైన ఉదాహరణలతో ప్రారంభించమని మేము సిఫార్సు చేస్తున్నాము. వారు ఎటువంటి ఇబ్బందులు కలిగించకపోతే, సమయాన్ని వృథా చేయకండి - ఇంటర్మీడియట్-స్థాయి పనులకు వెళ్లండి, ఈ విధంగా మీరు మీ బలహీనతలను గుర్తిస్తారు, మీకు చాలా కష్టమైన పనులపై దృష్టి పెట్టండి మరియు ఎక్కువ ఫలితాలను సాధించండి. 1-2 వారాల పాటు రోజువారీ ప్రాక్టీస్ చేసిన తర్వాత, మీరు పై యొక్క చివరి అంకెను కూడా రెండు నిమిషాల్లో పొందగలుగుతారు. గణితంలో యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్‌లో ఈ పని చాలా సాధారణం.

మా పోర్టల్‌లోని వ్యాయామాల డేటాబేస్ నిరంతరం నవీకరించబడుతుంది మరియు విస్తృతమైన అనుభవం ఉన్న ఉపాధ్యాయులచే అనుబంధించబడుతుంది. పాఠశాల పిల్లలు ప్రతిరోజూ పూర్తిగా కొత్త పనులను స్వీకరించడానికి అద్భుతమైన అవకాశాన్ని కలిగి ఉంటారు మరియు అదే ఉదాహరణలతో వేలాడదీయకూడదు, పాఠశాల పాఠ్యపుస్తకం నుండి పునరావృతం చేసేటప్పుడు వారు తరచుగా చేయాల్సి ఉంటుంది.

ఈరోజు Shkolkovo వెబ్‌సైట్‌లో తరగతులను ప్రారంభించండి మరియు ఫలితాలు రావడానికి ఎక్కువ కాలం ఉండవు!

మా పోర్టల్‌లో శిక్షణ అందరికీ అందుబాటులో ఉంటుంది. మీ పురోగతిని ట్రాక్ చేయడానికి మరియు మీ కోసం వ్యక్తిగతంగా సృష్టించబడిన కొత్త టాస్క్‌లను స్వీకరించడానికి, సిస్టమ్‌లో నమోదు చేసుకోండి. మేము మీకు విజయవంతమైన తయారీని కోరుకుంటున్నాము!

కొన్ని పంపిణీ లక్షణాలను ఉపయోగించి అనేక ఆచరణాత్మక సమస్యలను పరిష్కరించవచ్చని మరియు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క ఖచ్చితమైన పంపిణీ ఫంక్షన్ యొక్క జ్ఞానం ఐచ్ఛికంగా మారుతుంది. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క అటువంటి నిర్వచించే లక్షణాలు, ఉదాహరణకు, దాని సగటు మరియు ప్రామాణిక వర్గ విలువలు, అలాగే ప్రామాణిక విచలనం.

మీరు అనుభవం నుండి యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క సగటు విలువలను కనుగొనవచ్చు, అలాగే యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క పంపిణీ ఫంక్షన్లను తెలుసుకోవడం ద్వారా. వివిధ సందర్భాల్లో ఈ సగటులను ఎలా కనుగొనాలో చూద్దాం.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ తీసుకోనివ్వండి: సంభావ్యతతో విలువలు లేదా ఈ విలువ ఒకసారి పడిపోతుంది

సంభావ్యతతో విలువ లేదా ఈ విలువ చివరి నుండి ఒకసారి తగ్గిపోతుంది,

సంభావ్యతతో విలువ లేదా ఈ విలువ నుండి ఒకసారి తగ్గుతుంది

అప్పుడు పరీక్ష సమయంలో యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క విలువల మొత్తం ఉంటుంది:

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సగటు విలువను కనుగొనడానికి, అనగా, ఒక్కో పరీక్షకు విలువ, మీరు మొత్తం పరీక్షల సంఖ్యతో మొత్తాన్ని విభజించాలి:

ఫార్ములా (2.11) ఉపయోగించి మనకు ఒక నిర్దిష్ట సగటు విలువ ఉంటే, సాధారణంగా చెప్పాలంటే, మొత్తం పరీక్షల సంఖ్య యొక్క విభిన్న విలువల కోసం, సగటు విలువ యొక్క విలువలు కూడా భిన్నంగా ఉంటాయి, ఎందుకంటే క్రింద ఉన్న విలువలు పరిశీలనలు యాదృచ్ఛికంగా ఉంటాయి. అయితే, సంఖ్య పెరిగేకొద్దీ, ఇచ్చిన పరిమాణం యొక్క సగటు విలువ ఒక నిర్దిష్ట పరిమితికి మొగ్గు చూపుతుంది a. మరియు ఎక్కువ సంఖ్యలో పరీక్షల సంఖ్య, ఫార్ములా (2.11) ద్వారా నిర్ణయించబడినంత దగ్గరగా ఈ పరిమితి విలువను చేరుకుంటుంది:

చివరి సమానత్వం పెద్ద సంఖ్యల చట్టం లేదా చెబిషెవ్ సిద్ధాంతం అని పిలవబడుతుంది: యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సగటు విలువ చాలా పెద్ద సంఖ్యలో కొలతలపై స్థిరమైన సంఖ్యకు మొగ్గు చూపుతుంది.

కాబట్టి, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సగటు విలువ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క ఉత్పత్తుల మొత్తానికి మరియు దాని సంభవించే సంభావ్యతకు సమానం.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ నిరంతరం మారుతూ ఉంటే, దాని సగటు విలువను ఏకీకరణను ఉపయోగించి కనుగొనవచ్చు:

సగటు విలువలు అనేక ముఖ్యమైన లక్షణాలను కలిగి ఉన్నాయి:

1) స్థిరమైన విలువ యొక్క సగటు విలువ స్థిరమైన విలువకు సమానంగా ఉంటుంది, అనగా.

2) కొన్ని యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సగటు విలువ స్థిరమైన విలువ, అనగా.

3) అనేక యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ మొత్తం యొక్క సగటు విలువ ఈ వేరియబుల్స్ యొక్క సగటు విలువల మొత్తానికి సమానం, అనగా.

4) రెండు పరస్పర స్వతంత్ర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క ఉత్పత్తి యొక్క సగటు విలువ వాటిలో ప్రతి సగటు విలువల ఉత్పత్తికి సమానం, అనగా.

ఈ నియమాన్ని ఎక్కువ సంఖ్యలో స్వతంత్ర పరిమాణాలకు విస్తరించడం, మేము కలిగి ఉన్నాము:

కొన్నిసార్లు, ఒక కారణం లేదా మరొక కారణంగా, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సగటు విలువ యొక్క జ్ఞానం సరిపోదు. అటువంటి సందర్భాలలో, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సగటు విలువ మాత్రమే కాకుండా, ఈ విలువ యొక్క స్క్వేర్ యొక్క సగటు విలువ (చతుర్భుజం). ఈ సందర్భంలో, ఇలాంటి సూత్రాలు వర్తిస్తాయి:

వివిక్త విలువల కోసం మరియు

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క నిరంతర మార్పు విషయంలో.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సగటు వర్గ విలువ ఎల్లప్పుడూ సానుకూలంగా ఉంటుంది మరియు అదృశ్యం కాదు.

తరచుగా యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సగటు విలువలపై మాత్రమే కాకుండా, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క కొన్ని ఫంక్షన్ల సగటు విలువలపై కూడా ఆసక్తి కలిగి ఉండాలి.

ఉదాహరణకు, వేగం ద్వారా అణువుల పంపిణీని బట్టి, మనం సగటు వేగాన్ని కనుగొనవచ్చు. కానీ మనం థర్మల్ మోషన్ యొక్క సగటు గతి శక్తిపై కూడా ఆసక్తి కలిగి ఉండవచ్చు, ఇది వేగం యొక్క చతుర్భుజ విధి. అటువంటి సందర్భాలలో, మీరు వివిక్త పంపిణీ విషయంలో యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క ఏకపక్ష ఫంక్షన్ యొక్క సగటు విలువను నిర్ణయించే క్రింది సాధారణ సూత్రాలను ఉపయోగించవచ్చు.

నిరంతర పంపిణీ విషయంలో

సాధారణీకరించని పంపిణీ ఫంక్షన్‌ని ఉపయోగించి యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ లేదా యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క ఫంక్షన్ యొక్క సగటు విలువలను కనుగొనడానికి, సూత్రాలను ఉపయోగించండి:

ఇక్కడ, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సాధ్యమయ్యే విలువల మొత్తం పరిధిలో ప్రతిచోటా ఏకీకరణ జరుగుతుంది.

సగటు నుండి విచలనం.అనేక సందర్భాల్లో, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సగటు మరియు మూల సగటు వర్గ విలువ యొక్క జ్ఞానం యాదృచ్ఛిక చరరాశిని వర్గీకరించడానికి సరిపోదు. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ దాని సగటు విలువ చుట్టూ పంపిణీ చేయడం కూడా ఆసక్తిని కలిగిస్తుంది. దీన్ని చేయడానికి, సగటు విలువ నుండి యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క విచలనం పరిశీలించబడుతుంది.

అయితే, మనం యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సగటు విచలనాన్ని దాని సగటు విలువ నుండి తీసుకుంటే, అంటే సంఖ్యల సగటు:

అప్పుడు మేము వివిక్త విషయంలో మరియు నిరంతర పంపిణీ విషయంలో సున్నాని పొందుతాము. నిజంగా,

కొన్నిసార్లు సగటు విలువ నుండి యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క వ్యత్యాసాల మాడ్యులస్ యొక్క సగటు విలువను కనుగొనడం సాధ్యమవుతుంది, అనగా విలువ:

అయినప్పటికీ, సంపూర్ణ విలువలతో గణనలు తరచుగా కష్టం మరియు కొన్నిసార్లు అసాధ్యం.

అందువల్ల, చాలా తరచుగా, దాని సగటు విలువ చుట్టూ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ పంపిణీని వర్గీకరించడానికి, ప్రామాణిక విచలనం లేదా సగటు చదరపు విచలనం అని పిలవబడేది ఉపయోగించబడుతుంది. సగటు చతురస్ర విచలనాన్ని యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క వైవిధ్యం అని పిలుస్తారు. వైవిధ్యం సూత్రాల ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది:

ఇవి ఒక రకానికి మార్చబడతాయి (సమస్యలు 5, 9 చూడండి).

ఇక్కడ విలువ దాని సగటు విలువ నుండి యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క విచలనం యొక్క వర్గాన్ని సూచిస్తుంది.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క భేదం యొక్క వర్గమూలాన్ని యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క ప్రామాణిక విచలనం అని పిలుస్తారు మరియు భౌతిక పరిమాణాల కోసం - హెచ్చుతగ్గులు:

కొన్నిసార్లు సాపేక్ష హెచ్చుతగ్గులు ప్రవేశపెట్టబడతాయి, సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది

కాబట్టి, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క పంపిణీ నియమాన్ని తెలుసుకోవడం ద్వారా, మనకు ఆసక్తి ఉన్న యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క అన్ని లక్షణాలను మనం గుర్తించవచ్చు: సగటు విలువ, సగటు చతురస్రం, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క ఏకపక్ష ఫంక్షన్ యొక్క సగటు విలువ, సగటు స్క్వేర్ విచలనం లేదా వ్యాప్తి మరియు హెచ్చుతగ్గులు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్.

అందువల్ల, గణాంక భౌతికశాస్త్రం యొక్క ప్రధాన పని ఏమిటంటే, వివిధ భౌతిక వ్యవస్థలలోని కొన్ని భౌతిక యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ మరియు పారామితుల యొక్క చట్టాలు మరియు పంపిణీ విధులను కనుగొనడం.

చాలా సందర్భాలలో, డేటా కొంత కేంద్ర బిందువు చుట్టూ కేంద్రీకృతమై ఉంటుంది. అందువల్ల, ఏదైనా డేటా సమితిని వివరించడానికి, సగటు విలువను సూచించడానికి సరిపోతుంది. పంపిణీ యొక్క సగటు విలువను అంచనా వేయడానికి ఉపయోగించే మూడు సంఖ్యా లక్షణాలను వరుసగా పరిశీలిద్దాం: అంకగణిత సగటు, మధ్యస్థ మరియు మోడ్.

సగటు

అంకగణిత సగటు (తరచుగా సగటు అని పిలుస్తారు) అనేది పంపిణీ యొక్క సగటు యొక్క అత్యంత సాధారణ అంచనా. ఇది గమనించిన అన్ని సంఖ్యా విలువల మొత్తాన్ని వాటి సంఖ్యతో విభజించిన ఫలితం. సంఖ్యలతో కూడిన నమూనా కోసం X 1, X 2, ..., Xn, నమూనా సగటు (దీనిచే సూచించబడుతుంది ) సమానం = (X 1 + X 2 + … + Xn) / n, లేదా

నమూనా సగటు ఎక్కడ ఉంది, n- నమూనా పరిమాణం, Xi- నమూనా యొక్క i-వ మూలకం.

నోట్‌ని డౌన్‌లోడ్ చేయండి లేదా ఫార్మాట్‌లో, ఉదాహరణలు ఫార్మాట్‌లో

15 అధిక-రిస్క్ మ్యూచువల్ ఫండ్స్ (మూర్తి 1) యొక్క ఐదు సంవత్సరాల సగటు వార్షిక రాబడి యొక్క అంకగణిత సగటును గణించడాన్ని పరిగణించండి.

అన్నం. 1. 15 అధిక-రిస్క్ మ్యూచువల్ ఫండ్స్ యొక్క సగటు వార్షిక రాబడి

నమూనా సగటు ఈ క్రింది విధంగా లెక్కించబడుతుంది:

ప్రత్యేకించి అదే సమయంలో బ్యాంక్ లేదా క్రెడిట్ యూనియన్ డిపాజిటర్లు పొందిన 3-4% రాబడితో పోలిస్తే ఇది మంచి రాబడి. మేము రిటర్న్‌లను క్రమబద్ధీకరించినట్లయితే, ఎనిమిది ఫండ్‌లు సగటు కంటే ఎక్కువ మరియు ఏడు సగటు కంటే తక్కువ రాబడిని కలిగి ఉన్నాయని సులభంగా చూడవచ్చు. అంకగణిత సగటు సమతౌల్య బిందువుగా పనిచేస్తుంది, తద్వారా తక్కువ రాబడి ఉన్న ఫండ్‌లు అధిక రాబడి ఉన్న ఫండ్‌లను బ్యాలెన్స్ చేస్తాయి. నమూనా యొక్క అన్ని అంశాలు సగటును లెక్కించడంలో పాల్గొంటాయి. పంపిణీ సగటు యొక్క ఇతర అంచనాలు ఏవీ ఈ ఆస్తిని కలిగి లేవు.

మీరు అంకగణిత సగటును ఎప్పుడు లెక్కించాలి?అంకగణిత సగటు నమూనాలోని అన్ని అంశాలపై ఆధారపడి ఉంటుంది కాబట్టి, విపరీతమైన విలువల ఉనికి ఫలితాన్ని గణనీయంగా ప్రభావితం చేస్తుంది. అటువంటి పరిస్థితులలో, అంకగణిత సగటు సంఖ్యా డేటా యొక్క అర్ధాన్ని వక్రీకరించవచ్చు. అందువల్ల, విపరీతమైన విలువలను కలిగి ఉన్న డేటా సెట్‌ను వివరించేటప్పుడు, మధ్యస్థ లేదా అంకగణిత సగటు మరియు మధ్యస్థాన్ని సూచించడం అవసరం. ఉదాహరణకు, మేము నమూనా నుండి RS ఎమర్జింగ్ గ్రోత్ ఫండ్ యొక్క రాబడిని తీసివేస్తే, 14 ఫండ్‌ల రాబడి యొక్క నమూనా సగటు దాదాపు 1% నుండి 5.19% వరకు తగ్గుతుంది.

మధ్యస్థ

మధ్యస్థం అనేది ఆర్డర్ చేయబడిన సంఖ్యల శ్రేణి యొక్క మధ్య విలువను సూచిస్తుంది. శ్రేణి పునరావృత సంఖ్యలను కలిగి ఉండకపోతే, దాని మూలకాలలో సగం కంటే తక్కువగా ఉంటుంది మరియు సగం మధ్యస్థం కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది. నమూనా విపరీతమైన విలువలను కలిగి ఉన్నట్లయితే, సగటును అంచనా వేయడానికి అంకగణిత సగటు కంటే మధ్యస్థాన్ని ఉపయోగించడం ఉత్తమం. నమూనా యొక్క మధ్యస్థాన్ని లెక్కించడానికి, దానిని ముందుగా ఆదేశించాలి.

ఈ ఫార్ములా అస్పష్టంగా ఉంది. దాని ఫలితం సంఖ్య సరి లేదా బేసి అనే దానిపై ఆధారపడి ఉంటుంది n:

• నమూనా బేసి సంఖ్యలో మూలకాలను కలిగి ఉంటే, మధ్యస్థం (n+1)/2-వ మూలకం.
• నమూనా మూలకాల సంఖ్యను కలిగి ఉన్నట్లయితే, మధ్యస్థం నమూనా యొక్క రెండు మధ్య మూలకాల మధ్య ఉంటుంది మరియు ఈ రెండు మూలకాలపై లెక్కించిన అంకగణిత సగటుకు సమానంగా ఉంటుంది.

15 అధిక-రిస్క్ మ్యూచువల్ ఫండ్‌ల రాబడిని కలిగి ఉన్న నమూనా యొక్క మధ్యస్థాన్ని లెక్కించడానికి, మీరు ముందుగా ముడి డేటాను క్రమబద్ధీకరించాలి (మూర్తి 2). అప్పుడు మధ్యస్థం నమూనా యొక్క మధ్య మూలకం సంఖ్యకు ఎదురుగా ఉంటుంది; మా ఉదాహరణ నం. 8లో. Excel ఒక ప్రత్యేక ఫంక్షన్ =MEDIAN()ని కలిగి ఉంది, అది క్రమం లేని శ్రేణులతో కూడా పనిచేస్తుంది.

అన్నం. 2. మధ్యస్థ 15 నిధులు

అందువలన, మధ్యస్థం 6.5. అంటే చాలా ఎక్కువ రిస్క్ ఉన్న ఫండ్స్‌లో ఒక సగం రాబడి 6.5కి మించదు మరియు మిగిలిన సగం రిటర్న్ అది మించిపోయింది. 6.5 మధ్యస్థం 6.08 కంటే పెద్దది కాదని గమనించండి.

మేము నమూనా నుండి RS ఎమర్జింగ్ గ్రోత్ ఫండ్ యొక్క రిటర్న్‌ను తీసివేస్తే, మిగిలిన 14 ఫండ్‌ల మధ్యస్థం 6.2%కి తగ్గుతుంది, అంటే అంకగణిత సగటు (మూర్తి 3) వలె గణనీయంగా ఉండదు.

అన్నం. 3. మధ్యస్థ 14 నిధులు

ఫ్యాషన్

ఈ పదాన్ని మొదటిసారిగా 1894లో పియర్సన్ రూపొందించారు. ఫ్యాషన్ అనేది నమూనాలో చాలా తరచుగా కనిపించే సంఖ్య (అత్యంత ఫ్యాషన్). ఫ్యాషన్ బాగా వివరిస్తుంది, ఉదాహరణకు, కదలకుండా ఆపడానికి ట్రాఫిక్ లైట్ సిగ్నల్‌కు డ్రైవర్ల యొక్క సాధారణ ప్రతిచర్య. ఫ్యాషన్ ఉపయోగం యొక్క ఒక క్లాసిక్ ఉదాహరణ షూ పరిమాణం లేదా వాల్పేపర్ రంగు ఎంపిక. పంపిణీకి అనేక మోడ్‌లు ఉంటే, అది మల్టీమోడల్ లేదా మల్టీమోడల్ అని చెప్పబడుతుంది (రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ "శిఖరాలు" కలిగి ఉంటుంది). పంపిణీ యొక్క మల్టీమోడాలిటీ అధ్యయనం చేయబడుతున్న వేరియబుల్ యొక్క స్వభావం గురించి ముఖ్యమైన సమాచారాన్ని అందిస్తుంది. ఉదాహరణకు, సామాజిక శాస్త్ర సర్వేలలో, వేరియబుల్ ఏదైనా పట్ల ప్రాధాన్యత లేదా వైఖరిని సూచిస్తే, మల్టీమోడాలిటీ అంటే అనేక విభిన్న అభిప్రాయాలు ఉన్నాయని అర్థం. మల్టీమోడాలిటీ కూడా నమూనా సజాతీయమైనది కాదని సూచికగా పనిచేస్తుంది మరియు పరిశీలనలు రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ "అతివ్యాప్తి చెందుతున్న" పంపిణీల ద్వారా రూపొందించబడవచ్చు. అంకగణిత సగటు వలె కాకుండా, అవుట్‌లియర్‌లు మోడ్‌ను ప్రభావితం చేయవు. మ్యూచువల్ ఫండ్ల సగటు వార్షిక రాబడి వంటి నిరంతరంగా పంపిణీ చేయబడిన యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ కోసం, మోడ్ కొన్నిసార్లు ఉనికిలో ఉండదు (లేదా అర్ధమే లేదు). ఈ సూచికలు చాలా భిన్నమైన విలువలను తీసుకోగలవు కాబట్టి, పునరావృతమయ్యే విలువలు చాలా అరుదు.

క్వార్టైల్స్

క్వార్టైల్‌లు పెద్ద సంఖ్యా నమూనాల లక్షణాలను వివరించేటప్పుడు డేటా పంపిణీని మూల్యాంకనం చేయడానికి తరచుగా ఉపయోగించే కొలమానాలు. మధ్యస్థం ఆర్డర్ చేసిన శ్రేణిని సగానికి విభజిస్తుంది (50% శ్రేణి యొక్క మూలకాలు మధ్యస్థం కంటే తక్కువ మరియు 50% ఎక్కువ), క్వార్టైల్స్ ఆర్డర్ చేసిన డేటా సెట్‌ను నాలుగు భాగాలుగా విభజిస్తాయి. Q 1 , మధ్యస్థ మరియు Q 3 విలువలు వరుసగా 25వ, 50వ మరియు 75వ శాతాలు. మొదటి క్వార్టైల్ Q 1 అనేది నమూనాను రెండు భాగాలుగా విభజించే సంఖ్య: 25% మూలకాలు మొదటి క్వార్టైల్ కంటే తక్కువ మరియు 75% ఎక్కువ.

మూడవ క్వార్టైల్ Q 3 అనేది నమూనాను రెండు భాగాలుగా విభజించే సంఖ్య: 75% మూలకాలు మూడవ క్వార్టైల్ కంటే తక్కువగా ఉంటాయి మరియు 25% ఎక్కువ.

2007కి ముందు Excel సంస్కరణల్లో క్వార్టైల్‌లను లెక్కించేందుకు, =QUARTILE(array,part) ఫంక్షన్‌ని ఉపయోగించండి. Excel 2010 నుండి ప్రారంభించి, రెండు విధులు ఉపయోగించబడతాయి:

• =QUARTILE.ON(శ్రేణి, భాగం)
• =QUARTILE.EXC(శ్రేణి, భాగం)

ఈ రెండు విధులు కొద్దిగా భిన్నమైన విలువలను ఇస్తాయి (మూర్తి 4). ఉదాహరణకు, 15 అధిక-రిస్క్ మ్యూచువల్ ఫండ్‌ల సగటు వార్షిక రాబడిని కలిగి ఉన్న నమూనా యొక్క క్వార్టైల్‌లను లెక్కించేటప్పుడు, వరుసగా QUARTILE.IN మరియు QUARTILE.EX కోసం Q 1 = 1.8 లేదా –0.7. మార్గం ద్వారా, మునుపు ఉపయోగించిన QUARTILE ఫంక్షన్, ఆధునిక QUARTILE.ON ఫంక్షన్‌కు అనుగుణంగా ఉంటుంది. పై సూత్రాలను ఉపయోగించి Excelలో క్వార్టైల్‌లను లెక్కించడానికి, డేటా శ్రేణిని ఆర్డర్ చేయవలసిన అవసరం లేదు.

అన్నం. 4. ఎక్సెల్‌లో క్వార్టైల్‌లను లెక్కించడం

మనం మళ్ళీ నొక్కి చెబుతాము. Excel ఏకరూపం కోసం క్వార్టైల్‌లను లెక్కించగలదు వివిక్త సిరీస్, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క విలువలను కలిగి ఉంటుంది. ఫ్రీక్వెన్సీ-ఆధారిత పంపిణీ కోసం క్వార్టైల్‌ల గణన విభాగంలో క్రింద ఇవ్వబడింది.

రేఖాగణిత సగటు

అంకగణిత సగటు వలె కాకుండా, రేఖాగణిత సగటు కాలక్రమేణా వేరియబుల్‌లో మార్పు స్థాయిని అంచనా వేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. రేఖాగణిత సగటు మూలం nపని నుండి వ డిగ్రీ nపరిమాణాలు (Excelలో =SRGEOM ఫంక్షన్ ఉపయోగించబడుతుంది):

జి= (X 1 * X 2 * … * X n) 1/n

ఇదే విధమైన పరామితి - లాభం రేటు యొక్క రేఖాగణిత సగటు విలువ - సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది:

G = [(1 + R 1) * (1 + R 2) * … * (1 + R n)] 1/n – 1,

ఎక్కడ ఆర్ ఐ- కోసం లాభం రేటు iవ కాల వ్యవధి.

ఉదాహరణకు, ప్రారంభ పెట్టుబడి $100,000 అనుకుందాం. మొదటి సంవత్సరం ముగిసే సమయానికి, అది $50,000కి పడిపోతుంది మరియు రెండవ సంవత్సరం చివరి నాటికి అది $100,000 ప్రారంభ స్థాయికి తిరిగి వస్తుంది. ఈ పెట్టుబడి యొక్క రాబడి రేటు రెండు కంటే ఎక్కువ -సంవత్సరం కాలం 0కి సమానం, ఎందుకంటే ఫండ్‌ల ప్రారంభ మరియు చివరి మొత్తాలు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటాయి. అయితే, మొదటి సంవత్సరంలో రాబడి రేటు R 1 = (50,000 – 100,000) / 100,000 = –0.5 , కాబట్టి, వార్షిక రాబడి రేట్ల అంకగణిత సగటు = (–0.5 + 1) / 2 = 0.25 లేదా 25% , మరియు రెండవ R 2 = (100,000 – 50,000) / 50,000 = 1. అదే సమయంలో, రెండు సంవత్సరాలలో లాభం రేటు యొక్క రేఖాగణిత సగటు విలువ దీనికి సమానంగా ఉంటుంది: G = [(1–0.5) * (1+ 1 )] 1/2 – 1 = ½ – 1 = 1 – 1 = 0. కాబట్టి, రేఖాగణిత సగటు రెండు సంవత్సరాల వ్యవధి కంటే పెట్టుబడి పరిమాణంలో మార్పును (మరింత ఖచ్చితంగా, మార్పులు లేకపోవడం) ప్రతిబింబిస్తుంది. అంకగణిత సగటు.

ఆసక్తికరమైన నిజాలు.ముందుగా, రేఖాగణిత సగటు ఎల్లప్పుడూ అదే సంఖ్యల అంకగణిత సగటు కంటే తక్కువగా ఉంటుంది. తీసుకున్న అన్ని సంఖ్యలు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉన్నప్పుడు మినహా. రెండవది, లంబ త్రిభుజం యొక్క లక్షణాలను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం ద్వారా, సగటును రేఖాగణితం అని ఎందుకు పిలుస్తారో మీరు అర్థం చేసుకోవచ్చు. కుడి త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు, హైపోటెన్యూస్‌కు తగ్గించబడుతుంది, ఇది హైపోటెన్యూస్‌పై కాళ్ల అంచనాల మధ్య సగటు అనుపాతం, మరియు ప్రతి కాలు హైపోటెన్యూస్ మరియు హైపోటెన్యూస్‌పై దాని ప్రొజెక్షన్ మధ్య సగటు అనుపాతం (Fig. 5). ఇది రెండు (పొడవుల) విభాగాల రేఖాగణిత సగటును నిర్మించడానికి ఒక రేఖాగణిత మార్గాన్ని ఇస్తుంది: మీరు ఈ రెండు విభాగాల మొత్తంపై ఒక వ్యాసంగా ఒక వృత్తాన్ని నిర్మించాలి, ఆపై వాటి కనెక్షన్ పాయింట్ నుండి సర్కిల్‌తో ఖండనకు ఎత్తు పునరుద్ధరించబడుతుంది. కావలసిన విలువను ఇస్తుంది:

అన్నం. 5. రేఖాగణిత సగటు యొక్క రేఖాగణిత స్వభావం (వికీపీడియా నుండి చిత్రం)

సంఖ్యా డేటా యొక్క రెండవ ముఖ్యమైన ఆస్తి వారిది వైవిధ్యం, డేటా వ్యాప్తి స్థాయిని వర్గీకరిస్తుంది. రెండు వేర్వేరు నమూనాలు సాధనాలు మరియు వ్యత్యాసాలు రెండింటిలోనూ విభిన్నంగా ఉండవచ్చు. అయితే, అంజీర్‌లో చూపిన విధంగా. 6 మరియు 7, రెండు నమూనాలు ఒకే విధమైన వైవిధ్యాలను కలిగి ఉండవచ్చు కానీ వేర్వేరు మార్గాలను కలిగి ఉండవచ్చు లేదా అదే సాధనాలు మరియు పూర్తిగా భిన్నమైన వైవిధ్యాలు. అంజీర్‌లోని బహుభుజి Bకి అనుగుణంగా ఉన్న డేటా. 7, బహుభుజి A నిర్మించబడిన డేటా కంటే చాలా తక్కువగా మార్చండి.

అన్నం. 6. ఒకే స్ప్రెడ్ మరియు విభిన్న సగటు విలువలతో రెండు సుష్ట బెల్-ఆకారపు పంపిణీలు

అన్నం. 7. ఒకే సగటు విలువలు మరియు విభిన్న స్ప్రెడ్‌లతో రెండు సుష్ట బెల్-ఆకారపు పంపిణీలు

డేటా వైవిధ్యానికి ఐదు అంచనాలు ఉన్నాయి:

• పరిధి,
• ఇంటర్‌క్వార్టైల్ పరిధి,
• చెదరగొట్టడం,
• ప్రామాణిక విచలనం,
• వైవిధ్యం యొక్క గుణకం.

పరిధి

పరిధి అనేది నమూనా యొక్క అతి పెద్ద మరియు చిన్న మూలకాల మధ్య వ్యత్యాసం:

పరిధి = Xగరిష్టం - Xకనిష్ట

15 అధిక-రిస్క్ మ్యూచువల్ ఫండ్‌ల సగటు వార్షిక రాబడిని కలిగి ఉన్న నమూనా పరిధిని ఆర్డర్ చేసిన శ్రేణిని ఉపయోగించి లెక్కించవచ్చు (మూర్తి 4 చూడండి): రేంజ్ = 18.5 – (–6.1) = 24.6. అంటే చాలా ఎక్కువ రిస్క్ ఫండ్స్ యొక్క అత్యధిక మరియు అత్యల్ప సగటు వార్షిక రాబడి మధ్య వ్యత్యాసం 24.6%.

పరిధి మొత్తం డేటా వ్యాప్తిని కొలుస్తుంది. నమూనా పరిధి డేటా యొక్క మొత్తం వ్యాప్తికి చాలా సులభమైన అంచనా అయినప్పటికీ, దాని బలహీనత ఏమిటంటే, కనిష్ట మరియు గరిష్ట మూలకాల మధ్య డేటా ఎలా పంపిణీ చేయబడుతుందో ఖచ్చితంగా పరిగణనలోకి తీసుకోదు. ఈ ప్రభావం అంజీర్‌లో స్పష్టంగా కనిపిస్తుంది. 8, ఇది ఒకే పరిధిని కలిగి ఉన్న నమూనాలను వివరిస్తుంది. స్కేల్ B ఒక నమూనా కనీసం ఒక విపరీతమైన విలువను కలిగి ఉన్నట్లయితే, నమూనా పరిధి డేటా వ్యాప్తికి సంబంధించిన చాలా ఖచ్చితమైన అంచనా.

అన్నం. 8. ఒకే శ్రేణితో మూడు నమూనాల పోలిక; త్రిభుజం స్కేల్ యొక్క మద్దతును సూచిస్తుంది మరియు దాని స్థానం నమూనా సగటుకు అనుగుణంగా ఉంటుంది

ఇంటర్‌క్వార్టైల్ పరిధి

ఇంటర్‌క్వార్టైల్ లేదా సగటు పరిధి అనేది నమూనా యొక్క మూడవ మరియు మొదటి క్వార్టైల్‌ల మధ్య వ్యత్యాసం:

ఇంటర్‌క్వార్టైల్ పరిధి = Q 3 – Q 1

ఈ విలువ 50% మూలకాల యొక్క స్కాటర్‌ను అంచనా వేయడానికి అనుమతిస్తుంది మరియు తీవ్రమైన మూలకాల ప్రభావాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకోదు. 15 అధిక-రిస్క్ మ్యూచువల్ ఫండ్‌ల సగటు వార్షిక రాబడిని కలిగి ఉన్న నమూనా యొక్క ఇంటర్‌క్వార్టైల్ పరిధిని అంజీర్‌లోని డేటాను ఉపయోగించి లెక్కించవచ్చు. 4 (ఉదాహరణకు, QUARTILE.EXC ఫంక్షన్ కోసం): ఇంటర్‌క్వార్టైల్ పరిధి = 9.8 – (–0.7) = 10.5. 9.8 మరియు -0.7 సంఖ్యలచే పరిమితం చేయబడిన విరామాన్ని తరచుగా మధ్య సగం అని పిలుస్తారు.

Q 1 మరియు Q 3 యొక్క విలువలు మరియు అందువల్ల ఇంటర్‌క్వార్టైల్ పరిధి, అవుట్‌లయర్‌ల ఉనికిపై ఆధారపడి ఉండదని గమనించాలి, ఎందుకంటే వాటి గణన Q 1 కంటే తక్కువ లేదా అంతకంటే ఎక్కువ ఉండే ఏ విలువను పరిగణనలోకి తీసుకోదు. Q 3 కంటే. మధ్యస్థ, మొదటి మరియు మూడవ త్రైమాసికాలు మరియు అంతర్‌క్వార్టైల్ పరిధి వంటి సారాంశ కొలతలు బయటివారిచే ప్రభావితం చేయబడని వాటిని బలమైన చర్యలు అంటారు.

పరిధి మరియు ఇంటర్‌క్వార్టైల్ పరిధి వరుసగా ఒక నమూనా యొక్క మొత్తం మరియు సగటు వ్యాప్తి యొక్క అంచనాలను అందించినప్పటికీ, ఈ అంచనాలు ఏవీ డేటా ఎలా పంపిణీ చేయబడతాయో పరిగణనలోకి తీసుకోలేదు. వైవిధ్యం మరియు ప్రామాణిక విచలనంఈ లోపం లేనివి. ఈ సూచికలు సగటు విలువ చుట్టూ డేటా హెచ్చుతగ్గుల స్థాయిని అంచనా వేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తాయి. నమూనా వైవిధ్యంప్రతి నమూనా మూలకం మరియు నమూనా సగటు మధ్య వ్యత్యాసాల చతురస్రాల నుండి లెక్కించబడిన అంకగణిత సగటు యొక్క ఉజ్జాయింపు. నమూనా X 1, X 2, ... X n కోసం, నమూనా వ్యత్యాసం (S 2 గుర్తుతో సూచించబడుతుంది, ఇది క్రింది ఫార్ములా ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది:

సాధారణంగా, నమూనా వ్యత్యాసం అనేది నమూనా మూలకాలు మరియు నమూనా సగటు మధ్య వ్యత్యాసాల చతురస్రాల మొత్తం, నమూనా పరిమాణం మైనస్ ఒకటికి సమానమైన విలువతో విభజించబడింది:

ఎక్కడ - అంకగణిత సగటు, n- నమూనా పరిమాణం, X i - iవ ఎంపిక మూలకం X. వెర్షన్ 2007కి ముందు Excelలో, నమూనా వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించడానికి =VARIN() ఫంక్షన్ ఉపయోగించబడింది; వెర్షన్ 2010 నుండి, =VARIAN() ఫంక్షన్ ఉపయోగించబడుతుంది.

డేటా వ్యాప్తికి సంబంధించిన అత్యంత ఆచరణాత్మకమైన మరియు విస్తృతంగా ఆమోదించబడిన అంచనా నమూనా ప్రామాణిక విచలనం. ఈ సూచిక S గుర్తుతో సూచించబడుతుంది మరియు నమూనా వ్యత్యాసం యొక్క వర్గమూలానికి సమానం:

వెర్షన్ 2007కి ముందు Excelలో, ప్రామాణిక నమూనా విచలనాన్ని లెక్కించడానికి ఫంక్షన్ =STDEV.() ఉపయోగించబడింది; వెర్షన్ 2010 నుండి, ఫంక్షన్ =STDEV.V() ఉపయోగించబడుతుంది. ఈ ఫంక్షన్‌లను గణించడానికి, డేటా శ్రేణి క్రమం లేకుండా ఉండవచ్చు.

నమూనా వ్యత్యాసం లేదా నమూనా ప్రామాణిక విచలనం ప్రతికూలంగా ఉండకూడదు. నమూనాలోని అన్ని అంశాలు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటే, S 2 మరియు S సూచికలు సున్నాగా ఉండే ఏకైక పరిస్థితి. పూర్తిగా అసంభవమైన ఈ సందర్భంలో, పరిధి మరియు ఇంటర్‌క్వార్టైల్ పరిధి కూడా సున్నా.

సంఖ్యా డేటా అంతర్గతంగా వేరియబుల్. ఏదైనా వేరియబుల్ అనేక విభిన్న విలువలను తీసుకోవచ్చు. ఉదాహరణకు, వివిధ మ్యూచువల్ ఫండ్‌లు వేర్వేరు రాబడి మరియు నష్టాలను కలిగి ఉంటాయి. సంఖ్యా డేటా యొక్క వైవిధ్యం కారణంగా, ప్రకృతిలో సారాంశం ఉన్న సగటు యొక్క అంచనాలను మాత్రమే కాకుండా, డేటా యొక్క వ్యాప్తిని వర్గీకరించే వ్యత్యాసం యొక్క అంచనాలను కూడా అధ్యయనం చేయడం చాలా ముఖ్యం.

చెదరగొట్టడం మరియు ప్రామాణిక విచలనం సగటు విలువ చుట్టూ డేటా వ్యాప్తిని అంచనా వేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తాయి, మరో మాటలో చెప్పాలంటే, సగటు కంటే ఎన్ని నమూనా అంశాలు తక్కువగా ఉన్నాయి మరియు ఎన్ని ఎక్కువ ఉన్నాయో నిర్ణయించండి. విక్షేపణ కొన్ని విలువైన గణిత లక్షణాలను కలిగి ఉంది. అయితే, దాని విలువ కొలత యూనిట్ యొక్క స్క్వేర్ - చదరపు శాతం, చదరపు డాలర్, చదరపు అంగుళం మొదలైనవి. అందువల్ల, వ్యాప్తి యొక్క సహజ కొలత ప్రామాణిక విచలనం, ఇది ఆదాయ శాతం, డాలర్లు లేదా అంగుళాల సాధారణ యూనిట్లలో వ్యక్తీకరించబడుతుంది.

ప్రామాణిక విచలనం సగటు విలువ చుట్టూ నమూనా మూలకాల యొక్క వైవిధ్యం మొత్తాన్ని అంచనా వేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. దాదాపు అన్ని పరిస్థితులలో, గమనించిన చాలా విలువలు సగటు నుండి ప్లస్ లేదా మైనస్ వన్ ప్రామాణిక విచలనం పరిధిలో ఉంటాయి. పర్యవసానంగా, నమూనా మూలకాల యొక్క అంకగణిత సగటు మరియు ప్రామాణిక నమూనా విచలనాన్ని తెలుసుకోవడం, డేటాలో ఎక్కువ భాగం చెందిన విరామాన్ని నిర్ణయించడం సాధ్యమవుతుంది.

15 అధిక-రిస్క్ మ్యూచువల్ ఫండ్‌లకు రాబడి యొక్క ప్రామాణిక విచలనం 6.6 (మూర్తి 9). దీనర్థం నిధులలో ఎక్కువ భాగం యొక్క లాభదాయకత సగటు విలువ నుండి 6.6% కంటే ఎక్కువ తేడా లేకుండా ఉంటుంది (అనగా, ఇది నుండి పరిధిలో హెచ్చుతగ్గులకు గురవుతుంది – ఎస్= 6.2 – 6.6 = –0.4 వరకు +S= 12.8). వాస్తవానికి, ఐదు సంవత్సరాల సగటు వార్షిక రాబడి 53.3% (15లో 8) ఈ పరిధిలోనే ఉంటుంది.

అన్నం. 9. నమూనా ప్రామాణిక విచలనం

స్క్వేర్డ్ భేదాలను సంగ్రహిస్తున్నప్పుడు, సగటు నుండి మరింత దూరంగా ఉన్న నమూనా అంశాలు సగటుకు దగ్గరగా ఉన్న అంశాల కంటే ఎక్కువ బరువు కలిగి ఉన్నాయని గమనించండి. పంపిణీ యొక్క సగటును అంచనా వేయడానికి అంకగణిత సగటు ఎక్కువగా ఉపయోగించబడటానికి ఈ లక్షణం ప్రధాన కారణం.

వైవిధ్యం యొక్క గుణకం

స్కాటర్ యొక్క మునుపటి అంచనాల వలె కాకుండా, వైవిధ్యం యొక్క గుణకం సాపేక్ష అంచనా. ఇది ఎల్లప్పుడూ శాతంగా కొలుస్తారు మరియు అసలు డేటా యూనిట్లలో కాదు. వైవిధ్యం యొక్క గుణకం, CV చిహ్నాలచే సూచించబడుతుంది, సగటు చుట్టూ ఉన్న డేటా యొక్క వ్యాప్తిని కొలుస్తుంది. వైవిధ్యం యొక్క గుణకం ప్రామాణిక విచలనానికి సమానం, ఇది అంకగణిత సగటుతో విభజించబడింది మరియు 100% గుణించబడుతుంది:

ఎక్కడ ఎస్- ప్రామాణిక నమూనా విచలనం, - నమూనా సగటు.

వైవిధ్యం యొక్క గుణకం రెండు నమూనాలను పోల్చడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది, దీని మూలకాలు వేర్వేరు కొలత యూనిట్లలో వ్యక్తీకరించబడతాయి. ఉదాహరణకు, మెయిల్ డెలివరీ సర్వీస్ మేనేజర్ తన ట్రక్కుల సముదాయాన్ని పునరుద్ధరించాలని భావిస్తాడు. ప్యాకేజీలను లోడ్ చేస్తున్నప్పుడు, పరిగణించవలసిన రెండు పరిమితులు ఉన్నాయి: ప్రతి ప్యాకేజీ యొక్క బరువు (పౌండ్లలో) మరియు వాల్యూమ్ (క్యూబిక్ అడుగులలో). 200 బ్యాగ్‌లను కలిగి ఉన్న నమూనాలో, సగటు బరువు 26.0 పౌండ్లు, బరువు యొక్క ప్రామాణిక విచలనం 3.9 పౌండ్లు, సగటు బ్యాగ్ వాల్యూమ్ 8.8 క్యూబిక్ అడుగులు మరియు వాల్యూమ్ యొక్క ప్రామాణిక విచలనం 2.2 క్యూబిక్ అడుగులు అని అనుకుందాం. ప్యాకేజీల బరువు మరియు వాల్యూమ్‌లో వైవిధ్యాన్ని ఎలా పోల్చాలి?

బరువు మరియు వాల్యూమ్ యొక్క కొలత యూనిట్లు ఒకదానికొకటి భిన్నంగా ఉంటాయి కాబట్టి, మేనేజర్ ఈ పరిమాణాల సాపేక్ష వ్యాప్తిని సరిపోల్చాలి. బరువు యొక్క వైవిధ్యం యొక్క గుణకం CV W = 3.9 / 26.0 * 100% = 15%, మరియు వాల్యూమ్ యొక్క వైవిధ్యం యొక్క గుణకం CV V = 2.2 / 8.8 * 100% = 25%. అందువల్ల, ప్యాకెట్ల పరిమాణంలో సాపేక్ష వైవిధ్యం వాటి బరువులో సాపేక్ష వైవిధ్యం కంటే చాలా ఎక్కువగా ఉంటుంది.

పంపిణీ రూపం

నమూనా యొక్క మూడవ ముఖ్యమైన లక్షణం దాని పంపిణీ ఆకారం. ఈ పంపిణీ సుష్ట లేదా అసమానంగా ఉండవచ్చు. పంపిణీ ఆకారాన్ని వివరించడానికి, దాని సగటు మరియు మధ్యస్థాన్ని లెక్కించడం అవసరం. రెండూ ఒకేలా ఉంటే, వేరియబుల్ సుష్టంగా పంపిణీ చేయబడినదిగా పరిగణించబడుతుంది. వేరియబుల్ యొక్క సగటు విలువ మధ్యస్థం కంటే ఎక్కువగా ఉంటే, దాని పంపిణీ సానుకూల వక్రతను కలిగి ఉంటుంది (Fig. 10). మధ్యస్థం సగటు కంటే ఎక్కువగా ఉంటే, వేరియబుల్ పంపిణీ ప్రతికూలంగా వక్రంగా ఉంటుంది. సగటు అసాధారణంగా అధిక విలువలకు పెరిగినప్పుడు సానుకూల వక్రత ఏర్పడుతుంది. సగటు అసాధారణంగా చిన్న విలువలకు తగ్గినప్పుడు ప్రతికూల వక్రత ఏర్పడుతుంది. వేరియబుల్ ఇరువైపులా ఎటువంటి విపరీతమైన విలువలను తీసుకోనట్లయితే అది సుష్టంగా పంపిణీ చేయబడుతుంది, తద్వారా వేరియబుల్ యొక్క పెద్ద మరియు చిన్న విలువలు ఒకదానికొకటి రద్దు చేయబడతాయి.

అన్నం. 10. మూడు రకాల పంపిణీలు

A స్కేల్‌పై చూపబడిన డేటా ప్రతికూలంగా వక్రీకరించబడింది. ఈ సంఖ్య అసాధారణంగా చిన్న విలువలు ఉండటం వల్ల పొడవాటి తోక మరియు ఎడమవైపు వక్రతను చూపుతుంది. ఈ చాలా చిన్న విలువలు సగటు విలువను ఎడమవైపుకు మారుస్తాయి, ఇది మధ్యస్థం కంటే తక్కువగా ఉంటుంది. స్కేల్ Bపై చూపబడిన డేటా సుష్టంగా పంపిణీ చేయబడుతుంది. పంపిణీ యొక్క ఎడమ మరియు కుడి భాగాలు తమకు తాము ప్రతిబింబించే ప్రతిబింబాలు. పెద్ద మరియు చిన్న విలువలు ఒకదానికొకటి సమతుల్యం చేస్తాయి మరియు సగటు మరియు మధ్యస్థం సమానంగా ఉంటాయి. స్కేల్ Bపై చూపబడిన డేటా సానుకూలంగా వక్రంగా ఉంది. ఈ సంఖ్య అసాధారణంగా అధిక విలువలు ఉండటం వల్ల పొడవాటి తోక మరియు కుడి వైపున వక్రంగా చూపిస్తుంది. ఈ చాలా పెద్ద విలువలు సగటును కుడివైపుకి మారుస్తాయి, ఇది మధ్యస్థం కంటే పెద్దదిగా చేస్తుంది.

Excelలో, యాడ్-ఇన్ ఉపయోగించి వివరణాత్మక గణాంకాలను పొందవచ్చు విశ్లేషణ ప్యాకేజీ. మెను ద్వారా వెళ్ళండి సమాచారం → డేటా విశ్లేషణ, తెరుచుకునే విండోలో, లైన్ ఎంచుకోండి వివరణాత్మక గణాంకాలుమరియు క్లిక్ చేయండి అలాగే. కిటికీలో వివరణాత్మక గణాంకాలుతప్పకుండా సూచించండి ఇన్పుట్ విరామం(Fig. 11). మీరు అసలు డేటా వలె అదే షీట్‌లో వివరణాత్మక గణాంకాలను చూడాలనుకుంటే, రేడియో బటన్‌ను ఎంచుకోండి అవుట్‌పుట్ విరామంమరియు ప్రదర్శించబడే గణాంకాల యొక్క ఎగువ ఎడమ మూలలో ఉంచవలసిన సెల్‌ను పేర్కొనండి (మా ఉదాహరణలో, $C$1). మీరు కొత్త షీట్ లేదా కొత్త వర్క్‌బుక్‌కి డేటాను అవుట్‌పుట్ చేయాలనుకుంటే, మీరు తగిన రేడియో బటన్‌ను ఎంచుకోవాలి. పక్కన ఉన్న పెట్టెను చెక్ చేయండి సారాంశం గణాంకాలు. కావాలనుకుంటే, మీరు కూడా ఎంచుకోవచ్చు కష్టం స్థాయి,kth చిన్నది మరియుkth అతిపెద్ద.

డిపాజిట్‌లో ఉంటే సమాచారంప్రాంతంలో విశ్లేషణమీకు చిహ్నం కనిపించదు డేటా విశ్లేషణ, మీరు ముందుగా యాడ్-ఆన్‌ని ఇన్‌స్టాల్ చేయాలి విశ్లేషణ ప్యాకేజీ(చూడండి, ఉదాహరణకు,).

అన్నం. 11. యాడ్-ఇన్ ఉపయోగించి గణించబడిన చాలా ఎక్కువ స్థాయి రిస్క్ ఉన్న నిధుల యొక్క ఐదు సంవత్సరాల సగటు వార్షిక రాబడి యొక్క వివరణాత్మక గణాంకాలు డేటా విశ్లేషణఎక్సెల్ ప్రోగ్రామ్‌లు

Excel పైన చర్చించిన అనేక గణాంకాలను గణిస్తుంది: సగటు, మధ్యస్థ, మోడ్, ప్రామాణిక విచలనం, వ్యత్యాసం, పరిధి ( విరామం), కనిష్ట, గరిష్ట మరియు నమూనా పరిమాణం ( తనిఖీ) Excel మనకు కొత్తగా ఉన్న కొన్ని గణాంకాలను కూడా లెక్కిస్తుంది: ప్రామాణిక లోపం, కుర్టోసిస్ మరియు వక్రత. ప్రామాణిక లోపంనమూనా పరిమాణం యొక్క వర్గమూలంతో విభజించబడిన ప్రామాణిక విచలనానికి సమానం. అసమానతపంపిణీ యొక్క సమరూపత నుండి విచలనాన్ని వర్ణిస్తుంది మరియు ఇది నమూనా మూలకాలు మరియు సగటు విలువ మధ్య వ్యత్యాసాల క్యూబ్‌పై ఆధారపడి ఉండే ఫంక్షన్. కర్టోసిస్ అనేది పంపిణీ యొక్క టెయిల్‌లతో పోలిస్తే సగటు చుట్టూ ఉన్న డేటా యొక్క సాపేక్ష సాంద్రత యొక్క కొలత మరియు నమూనా మూలకాలు మరియు నాల్గవ శక్తికి పెంచబడిన సగటు మధ్య తేడాలపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

జనాభా కోసం వివరణాత్మక గణాంకాలను గణించడం

పైన చర్చించిన పంపిణీ యొక్క సగటు, వ్యాప్తి మరియు ఆకృతి నమూనా నుండి నిర్ణయించబడిన లక్షణాలు. అయినప్పటికీ, డేటా సెట్ మొత్తం జనాభా యొక్క సంఖ్యా కొలతలను కలిగి ఉంటే, దాని పారామితులను లెక్కించవచ్చు. ఇటువంటి పారామితులలో జనాభా యొక్క అంచనా విలువ, వ్యాప్తి మరియు ప్రామాణిక విచలనం ఉన్నాయి.

ఆశించిన విలువజనాభా పరిమాణంతో భాగించబడిన జనాభాలోని అన్ని విలువల మొత్తానికి సమానం:

ఎక్కడ µ - అంచనా విలువ, Xi- iవేరియబుల్ యొక్క పరిశీలన X, ఎన్- సాధారణ జనాభా పరిమాణం. Excelలో, గణిత నిరీక్షణను లెక్కించడానికి, అంకగణిత సగటు కోసం అదే ఫంక్షన్ ఉపయోగించబడుతుంది: = AVERAGE().

జనాభా వ్యత్యాసంసాధారణ జనాభా మరియు మత్ మూలకాల మధ్య వ్యత్యాసాల చతురస్రాల మొత్తానికి సమానం. అంచనా జనాభా పరిమాణంతో విభజించబడింది:

ఎక్కడ σ 2- సాధారణ జనాభా చెదరగొట్టడం. వెర్షన్ 2007కి ముందు Excelలో, వెర్షన్ 2010 =VARP()తో ప్రారంభించి, జనాభా యొక్క వ్యత్యాసాన్ని గణించడానికి ఫంక్షన్ =VARP() ఉపయోగించబడుతుంది.

జనాభా ప్రామాణిక విచలనంజనాభా వ్యత్యాసం యొక్క వర్గమూలానికి సమానం:

వెర్షన్ 2007కి ముందు Excelలో, జనాభా యొక్క ప్రామాణిక విచలనాన్ని లెక్కించేందుకు =STDEV() ఫంక్షన్ ఉపయోగించబడుతుంది, ఇది వెర్షన్ 2010 =STDEV.Y()తో ప్రారంభమవుతుంది. జనాభా వ్యత్యాసం మరియు ప్రామాణిక విచలనం యొక్క సూత్రాలు నమూనా వ్యత్యాసం మరియు ప్రామాణిక విచలనాన్ని లెక్కించే సూత్రాల నుండి భిన్నంగా ఉన్నాయని గమనించండి. నమూనా గణాంకాలను లెక్కించేటప్పుడు S 2మరియు ఎస్భిన్నం యొక్క హారం n – 1, మరియు పారామితులను లెక్కించేటప్పుడు σ 2మరియు σ - సాధారణ జనాభా పరిమాణం ఎన్.

ముఖ్యనియమంగా

చాలా సందర్భాలలో, పెద్ద సంఖ్యలో పరిశీలనలు మధ్యస్థం చుట్టూ కేంద్రీకృతమై, క్లస్టర్‌గా ఏర్పడతాయి. సానుకూల వక్రతతో ఉన్న డేటా సెట్‌లలో, ఈ క్లస్టర్ గణిత నిరీక్షణకు ఎడమవైపు (అనగా, దిగువన) ఉంటుంది మరియు ప్రతికూల వక్రత ఉన్న సెట్‌లలో, ఈ క్లస్టర్ గణిత నిరీక్షణకు కుడి వైపున (అంటే, పైన) ఉంటుంది. సిమెట్రిక్ డేటా కోసం, సగటు మరియు మధ్యస్థం ఒకేలా ఉంటాయి మరియు సగటు చుట్టూ పరిశీలనల సమూహం, గంట ఆకారపు పంపిణీని ఏర్పరుస్తుంది. పంపిణీ స్పష్టంగా వక్రీకరించబడకపోతే మరియు డేటా గురుత్వాకర్షణ కేంద్రం చుట్టూ కేంద్రీకృతమై ఉంటే, వేరియబిలిటీని అంచనా వేయడానికి ఉపయోగించే ప్రాథమిక నియమం ఏమిటంటే, డేటా బెల్ ఆకారపు పంపిణీని కలిగి ఉంటే, సుమారుగా 68% పరిశీలనలు లోపలే ఉంటాయి. అంచనా విలువ యొక్క ఒక ప్రామాణిక విచలనం.సుమారుగా 95% పరిశీలనలు గణిత నిరీక్షణ నుండి రెండు ప్రామాణిక విచలనాల కంటే ఎక్కువ దూరంలో లేవు మరియు 99.7% పరిశీలనలు గణిత నిరీక్షణ నుండి మూడు ప్రామాణిక విచలనాల కంటే ఎక్కువ దూరంలో లేవు.

అందువలన, ప్రామాణిక విచలనం, ఇది అంచనా విలువ చుట్టూ సగటు వైవిధ్యం యొక్క అంచనా, పరిశీలనలు ఎలా పంపిణీ చేయబడతాయో అర్థం చేసుకోవడానికి మరియు అవుట్‌లయర్‌లను గుర్తించడానికి సహాయపడుతుంది. బొటనవేలు నియమం ఏమిటంటే, బెల్-ఆకారపు పంపిణీల కోసం, ఇరవైలో ఒక విలువ మాత్రమే గణిత అంచనా నుండి రెండు కంటే ఎక్కువ ప్రామాణిక విచలనాల ద్వారా భిన్నంగా ఉంటుంది. అందువలన, విరామం వెలుపల విలువలు µ ± 2σ, అవుట్‌లెర్స్‌గా పరిగణించవచ్చు. అదనంగా, 1000 పరిశీలనలలో మూడు మాత్రమే గణిత అంచనా నుండి మూడు కంటే ఎక్కువ ప్రామాణిక విచలనాల ద్వారా భిన్నంగా ఉంటాయి. అందువలన, విరామం వెలుపల విలువలు µ ± 3σదాదాపు ఎల్లప్పుడూ బయటి వ్యక్తులు. బాగా వక్రంగా ఉన్న లేదా బెల్ ఆకారంలో లేని పంపిణీల కోసం, Bienamay-Chebishev సూత్రం వర్తించవచ్చు.

వంద సంవత్సరాల క్రితం, గణిత శాస్త్రజ్ఞులు Bienamay మరియు Chebyshev స్వతంత్రంగా ప్రామాణిక విచలనం యొక్క ఉపయోగకరమైన ఆస్తిని కనుగొన్నారు. పంపిణీ ఆకారంతో సంబంధం లేకుండా, ఏదైనా డేటా సెట్ కోసం, దూరం లోపల ఉండే పరిశీలనల శాతం అని వారు కనుగొన్నారు కెగణిత నిరీక్షణ నుండి ప్రామాణిక విచలనాలు, తక్కువ కాదు (1 – 1/ k 2)*100%.

ఉదాహరణకు, ఉంటే కె= 2, Bienname-Chebishev నియమం ప్రకారం కనీసం (1 – (1/2) 2) x 100% = 75% పరిశీలనలు తప్పనిసరిగా విరామంలో ఉండాలి µ ± 2σ. ఈ నియమం ఎవరికైనా వర్తిస్తుంది కె, ఒకటి మించిపోయింది. Bienamay-Chebishev నియమం చాలా సాధారణమైనది మరియు ఏ రకమైన పంపిణీకి అయినా చెల్లుబాటు అవుతుంది. ఇది కనీస పరిశీలనల సంఖ్యను నిర్దేశిస్తుంది, దీని నుండి గణిత అంచనాకు దూరం పేర్కొన్న విలువను మించదు. అయినప్పటికీ, పంపిణీ గంట ఆకారంలో ఉంటే, అంచనా విలువ చుట్టూ ఉన్న డేటా ఏకాగ్రతను బొటనవేలు నియమం మరింత ఖచ్చితంగా అంచనా వేస్తుంది.

ఫ్రీక్వెన్సీ-బేస్డ్ డిస్ట్రిబ్యూషన్ కోసం వివరణాత్మక గణాంకాలను గణించడం

అసలు డేటా అందుబాటులో లేకుంటే, ఫ్రీక్వెన్సీ పంపిణీ మాత్రమే సమాచార వనరుగా మారుతుంది. అటువంటి పరిస్థితులలో, అంకగణిత సగటు, ప్రామాణిక విచలనం మరియు క్వార్టైల్స్ వంటి పంపిణీ యొక్క పరిమాణాత్మక సూచికల యొక్క సుమారు విలువలను లెక్కించడం సాధ్యమవుతుంది.

నమూనా డేటా ఫ్రీక్వెన్సీ పంపిణీగా సూచించబడితే, ప్రతి తరగతిలోని అన్ని విలువలు తరగతి మధ్య బిందువు వద్ద కేంద్రీకృతమై ఉన్నాయని భావించడం ద్వారా అంకగణిత సగటు యొక్క ఉజ్జాయింపును లెక్కించవచ్చు:

ఎక్కడ - నమూనా సగటు, n- పరిశీలనల సంఖ్య, లేదా నమూనా పరిమాణం, తో- ఫ్రీక్వెన్సీ పంపిణీలో తరగతుల సంఖ్య, m j- మధ్య బిందువు జెవ తరగతి, fజె- ఫ్రీక్వెన్సీ సంబంధిత జె-వ తరగతి.

ఫ్రీక్వెన్సీ పంపిణీ నుండి ప్రామాణిక విచలనాన్ని లెక్కించడానికి, ప్రతి తరగతిలోని అన్ని విలువలు తరగతి మధ్య బిందువు వద్ద కేంద్రీకృతమై ఉన్నాయని కూడా భావించబడుతుంది.

పౌనఃపున్యాల ఆధారంగా శ్రేణి యొక్క క్వార్టైల్‌లు ఎలా నిర్ణయించబడతాయో అర్థం చేసుకోవడానికి, సగటు తలసరి ద్రవ్య ఆదాయం (Fig. 12) ద్వారా రష్యన్ జనాభా పంపిణీపై 2013కి సంబంధించిన డేటా ఆధారంగా తక్కువ క్వార్టైల్ యొక్క గణనను పరిగణించండి.

అన్నం. 12. నెలకు సగటు తలసరి నగదు ఆదాయంతో రష్యన్ జనాభా వాటా, రూబిళ్లు

విరామ వైవిధ్య శ్రేణి యొక్క మొదటి క్వార్టైల్‌ను లెక్కించడానికి, మీరు సూత్రాన్ని ఉపయోగించవచ్చు:

ఇక్కడ Q1 అనేది మొదటి త్రైమాసికం యొక్క విలువ, xQ1 అనేది మొదటి క్వార్టైల్‌ను కలిగి ఉన్న విరామం యొక్క దిగువ పరిమితి (విరామం మొదట 25% కంటే ఎక్కువ సంచిత పౌనఃపున్యం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది); i - విరామం విలువ; Σf - మొత్తం నమూనా యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీల మొత్తం; బహుశా ఎల్లప్పుడూ 100%కి సమానం; SQ1-1 - తక్కువ క్వార్టైల్ కలిగి ఉన్న విరామానికి ముందు విరామం యొక్క సంచిత ఫ్రీక్వెన్సీ; fQ1 - తక్కువ క్వార్టైల్ కలిగి ఉన్న విరామం యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీ. మూడవ త్రైమాసికం యొక్క సూత్రం భిన్నంగా ఉంటుంది, అన్ని ప్రదేశాలలో మీరు Q1కి బదులుగా Q3ని ఉపయోగించాలి మరియు ¼కి బదులుగా ¾ని ప్రత్యామ్నాయం చేయాలి.

మా ఉదాహరణలో (Fig. 12), దిగువ క్వార్టైల్ 7000.1 - 10,000 పరిధిలో ఉంటుంది, దీని యొక్క సంచిత ఫ్రీక్వెన్సీ 26.4%. ఈ విరామం యొక్క దిగువ పరిమితి 7000 రూబిళ్లు, విరామం యొక్క విలువ 3000 రూబిళ్లు, తక్కువ క్వార్టైల్‌ను కలిగి ఉన్న విరామం కంటే ముందు ఉన్న విరామం యొక్క సంచిత ఫ్రీక్వెన్సీ 13.4%, తక్కువ క్వార్టైల్‌ను కలిగి ఉన్న విరామం యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీ 13.0%. అందువలన: Q1 = 7000 + 3000 * (¼ * 100 - 13.4) / 13 = 9677 రబ్.

వివరణాత్మక గణాంకాలతో అనుబంధించబడిన ఆపదలు

ఈ పోస్ట్‌లో, డేటా సెట్‌ని దాని సగటు, వ్యాప్తి మరియు పంపిణీని అంచనా వేసే వివిధ గణాంకాలను ఉపయోగించి ఎలా వివరించాలో మేము చూశాము. తదుపరి దశ డేటా విశ్లేషణ మరియు వివరణ. ఇప్పటి వరకు, మేము డేటా యొక్క ఆబ్జెక్టివ్ లక్షణాలను అధ్యయనం చేసాము మరియు ఇప్పుడు మేము వారి ఆత్మాశ్రయ వివరణకు వెళ్తాము. పరిశోధకుడు రెండు తప్పులను ఎదుర్కొంటాడు: తప్పుగా ఎంచుకున్న విశ్లేషణ విషయం మరియు ఫలితాల యొక్క తప్పు వివరణ.

15 అధిక-రిస్క్ మ్యూచువల్ ఫండ్స్ యొక్క రాబడి యొక్క విశ్లేషణ చాలా నిష్పాక్షికమైనది. అతను పూర్తిగా ఆబ్జెక్టివ్ ముగింపులకు దారితీసాడు: అన్ని మ్యూచువల్ ఫండ్‌లు వేర్వేరు రాబడిని కలిగి ఉంటాయి, ఫండ్ రిటర్న్‌ల వ్యాప్తి -6.1 నుండి 18.5 వరకు ఉంటుంది మరియు సగటు రాబడి 6.08. పంపిణీ యొక్క సారాంశ పరిమాణాత్మక సూచికల సరైన ఎంపిక ద్వారా డేటా విశ్లేషణ యొక్క నిష్పాక్షికత నిర్ధారించబడుతుంది. డేటా యొక్క సగటు మరియు స్కాటర్‌ను అంచనా వేయడానికి అనేక పద్ధతులు పరిగణించబడ్డాయి మరియు వాటి ప్రయోజనాలు మరియు అప్రయోజనాలు సూచించబడ్డాయి. లక్ష్యం మరియు నిష్పాక్షిక విశ్లేషణను అందించడానికి మీరు సరైన గణాంకాలను ఎలా ఎంచుకుంటారు? డేటా పంపిణీ కొద్దిగా వక్రంగా ఉంటే, మీరు సగటు కంటే మధ్యస్థాన్ని ఎంచుకోవాలా? డేటా వ్యాప్తిని ఏ సూచిక మరింత ఖచ్చితంగా వర్ణిస్తుంది: ప్రామాణిక విచలనం లేదా పరిధి? పంపిణీ సానుకూలంగా వక్రంగా ఉందని మేము ఎత్తి చూపాలా?

మరోవైపు, డేటా ఇంటర్‌ప్రెటేషన్ అనేది ఆత్మాశ్రయ ప్రక్రియ. ఒకే ఫలితాలను వివరించేటప్పుడు వేర్వేరు వ్యక్తులు వేర్వేరు నిర్ధారణలకు వస్తారు. ప్రతి ఒక్కరికి వారి స్వంత దృక్కోణం ఉంటుంది. ఎవరైనా చాలా ఎక్కువ రిస్క్‌తో 15 ఫండ్‌ల మొత్తం సగటు వార్షిక రాబడిని మంచిగా భావిస్తారు మరియు అందుకున్న ఆదాయంతో చాలా సంతృప్తి చెందారు. ఈ ఫండ్స్ చాలా తక్కువ రాబడిని కలిగి ఉన్నాయని ఇతరులు భావించవచ్చు. అందువల్ల, ఆత్మాశ్రయత నిజాయితీ, తటస్థత మరియు ముగింపుల స్పష్టత ద్వారా భర్తీ చేయబడాలి.

నైతిక సమస్యలు

డేటా విశ్లేషణ నైతిక సమస్యలతో విడదీయరాని విధంగా ముడిపడి ఉంది. వార్తాపత్రికలు, రేడియో, టెలివిజన్ మరియు ఇంటర్నెట్ ద్వారా ప్రసారం చేయబడిన సమాచారాన్ని మీరు విమర్శించాలి. కాలక్రమేణా, మీరు ఫలితాలపై మాత్రమే కాకుండా, పరిశోధన యొక్క లక్ష్యాలు, విషయం మరియు నిష్పాక్షికతపై కూడా సందేహాస్పదంగా ఉండటం నేర్చుకుంటారు. ప్రసిద్ధ బ్రిటీష్ రాజకీయవేత్త బెంజమిన్ డిస్రేలీ ఇలా అన్నాడు: "మూడు రకాల అబద్ధాలు ఉన్నాయి: అబద్ధాలు, హేయమైన అబద్ధాలు మరియు గణాంకాలు."

నోట్‌లో పేర్కొన్నట్లుగా, నివేదికలో సమర్పించాల్సిన ఫలితాలను ఎంచుకునేటప్పుడు నైతిక సమస్యలు తలెత్తుతాయి. సానుకూల మరియు ప్రతికూల ఫలితాలు రెండూ ప్రచురించబడాలి. అదనంగా, నివేదిక లేదా వ్రాతపూర్వక నివేదికను రూపొందించేటప్పుడు, ఫలితాలను నిజాయితీగా, తటస్థంగా మరియు నిష్పాక్షికంగా సమర్పించాలి. విజయవంతం కాని మరియు నిజాయితీ లేని ప్రెజెంటేషన్‌ల మధ్య వ్యత్యాసం ఉంటుంది. దీన్ని చేయడానికి, స్పీకర్ యొక్క ఉద్దేశాలు ఏమిటో గుర్తించడం అవసరం. కొన్నిసార్లు స్పీకర్ అజ్ఞానం కారణంగా ముఖ్యమైన సమాచారాన్ని విస్మరిస్తాడు మరియు కొన్నిసార్లు అది ఉద్దేశపూర్వకంగా ఉంటుంది (ఉదాహరణకు, అతను ఆశించిన ఫలితాన్ని పొందడానికి స్పష్టంగా వక్రీకరించిన డేటా సగటును అంచనా వేయడానికి అంకగణిత సగటును ఉపయోగిస్తే). పరిశోధకుడి దృక్కోణానికి అనుగుణంగా లేని ఫలితాలను అణచివేయడం కూడా నిజాయితీ లేనిది.

లెవిన్ మరియు ఇతరులు పుస్తకంలోని మెటీరియల్‌లు. మేనేజర్‌ల కోసం గణాంకాలు ఉపయోగించబడతాయి. – M.: విలియమ్స్, 2004. – p. 178–209

Excel యొక్క మునుపటి సంస్కరణలతో అనుకూలత కోసం QUARTILE ఫంక్షన్ అలాగే ఉంచబడింది.

గణితంలో, సంఖ్యల యొక్క అంకగణిత సగటు (లేదా కేవలం సగటు) అనేది ఇచ్చిన సెట్‌లోని అన్ని సంఖ్యల మొత్తం సంఖ్యల సంఖ్యతో భాగించబడుతుంది. ఇది సగటు విలువ యొక్క అత్యంత సాధారణీకరించబడిన మరియు విస్తృతమైన భావన. మీరు ఇప్పటికే అర్థం చేసుకున్నట్లుగా, సగటును కనుగొనడానికి, మీరు మీకు ఇచ్చిన అన్ని సంఖ్యలను సంగ్రహించాలి మరియు ఫలిత ఫలితాన్ని నిబంధనల సంఖ్యతో విభజించాలి.

అంకగణితం అంటే ఏమిటి?

ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం.

ఉదాహరణ 1. ఇవ్వబడిన సంఖ్యలు: 6, 7, 11. మీరు వాటి సగటు విలువను కనుగొనాలి.

పరిష్కారం.

ముందుగా, ఈ సంఖ్యల మొత్తాన్ని కనుగొనండి.

ఇప్పుడు ఫలిత మొత్తాన్ని పదాల సంఖ్యతో భాగించండి. మనకు మూడు పదాలు ఉన్నందున, మేము మూడు ద్వారా భాగిస్తాము.

కాబట్టి, 6, 7 మరియు 11 సంఖ్యల సగటు 8. ఎందుకు 8? అవును, ఎందుకంటే 6, 7 మరియు 11 మొత్తం మూడు ఎనిమిదికి సమానంగా ఉంటుంది. ఇది దృష్టాంతంలో స్పష్టంగా చూడవచ్చు.

సగటు సంఖ్యల శ్రేణి "ఈవినింగ్ అవుట్" లాగా ఉంటుంది. మీరు గమనిస్తే, పెన్సిళ్ల కుప్పలు అదే స్థాయిలో మారాయి.

పొందిన జ్ఞానాన్ని ఏకీకృతం చేయడానికి మరొక ఉదాహరణను చూద్దాం.

ఉదాహరణ 2.అందించిన సంఖ్యలు: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. మీరు వాటి అంకగణిత సగటును కనుగొనాలి.

పరిష్కారం.

మొత్తాన్ని కనుగొనండి.

3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330

నిబంధనల సంఖ్యతో విభజించండి (ఈ సందర్భంలో - 15).

కాబట్టి, ఈ సంఖ్యల శ్రేణి యొక్క సగటు విలువ 22.

ఇప్పుడు ప్రతికూల సంఖ్యలను చూద్దాం. వాటిని ఎలా సంగ్రహించాలో గుర్తుంచుకోండి. ఉదాహరణకు, మీకు 1 మరియు -4 అనే రెండు సంఖ్యలు ఉన్నాయి. వాటి మొత్తాన్ని కనుక్కోండి.

1 + (-4) = 1 – 4 = -3

ఇది తెలిసి, మరొక ఉదాహరణ చూద్దాం.

ఉదాహరణ 3.సంఖ్యల శ్రేణి యొక్క సగటు విలువను కనుగొనండి: 3, -7, 5, 13, -2.

పరిష్కారం.

సంఖ్యల మొత్తాన్ని కనుగొనండి.

3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12

5 నిబంధనలు ఉన్నందున, ఫలిత మొత్తాన్ని 5తో భాగించండి.

కాబట్టి, 3, -7, 5, 13, -2 సంఖ్యల అంకగణిత సగటు 2.4.

మా సాంకేతిక పురోగతి సమయంలో, సగటు విలువను కనుగొనడానికి కంప్యూటర్ ప్రోగ్రామ్‌లను ఉపయోగించడం చాలా సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. వాటిలో మైక్రోసాఫ్ట్ ఆఫీస్ ఎక్సెల్ ఒకటి. Excelలో సగటును కనుగొనడం త్వరగా మరియు సులభం. అంతేకాకుండా, ఈ ప్రోగ్రామ్ మైక్రోసాఫ్ట్ ఆఫీస్ సాఫ్ట్‌వేర్ ప్యాకేజీలో చేర్చబడింది. ఈ ప్రోగ్రామ్‌ను ఉపయోగించి అంకగణిత సగటును ఎలా కనుగొనాలో సంక్షిప్త సూచనను చూద్దాం.

సంఖ్యల శ్రేణి యొక్క సగటు విలువను లెక్కించడానికి, మీరు తప్పనిసరిగా AVERAGE ఫంక్షన్‌ని ఉపయోగించాలి. ఈ ఫంక్షన్ కోసం వాక్యనిర్మాణం:
= సగటు(వాదన1, వాదన2, ... వాదన255)
ఆర్గ్యుమెంట్1, ఆర్గ్యుమెంట్2, ... ఆర్గ్యుమెంట్255 అనేవి సంఖ్యలు లేదా సెల్ రిఫరెన్స్‌లు (సెల్‌ల ద్వారా మనం పరిధులు మరియు శ్రేణులు అని అర్థం).

మరింత స్పష్టంగా చెప్పడానికి, మనం పొందిన జ్ఞానాన్ని ప్రయత్నిద్దాం.

1. C1 - C6 కణాలలో 11, 12, 13, 14, 15, 16 సంఖ్యలను నమోదు చేయండి.
2. దానిపై క్లిక్ చేయడం ద్వారా సెల్ C7ని ఎంచుకోండి. ఈ సెల్‌లో మనం సగటు విలువను ప్రదర్శిస్తాము.
3. ఫార్ములాల ట్యాబ్‌పై క్లిక్ చేయండి.
4. డ్రాప్-డౌన్ జాబితాను తెరవడానికి మరిన్ని విధులు > గణాంకాలను ఎంచుకోండి.
5. AVERAGE ఎంచుకోండి. దీని తరువాత, ఒక డైలాగ్ బాక్స్ తెరవాలి.
6. డైలాగ్ బాక్స్‌లో పరిధిని సెట్ చేయడానికి C1 నుండి C6 సెల్‌లను ఎంచుకుని, లాగండి.
7. "సరే" బటన్‌తో మీ చర్యలను నిర్ధారించండి.
8. మీరు ప్రతిదీ సరిగ్గా చేస్తే, మీరు సెల్ C7 - 13.7లో సమాధానం కలిగి ఉండాలి. మీరు సెల్ C7పై క్లిక్ చేసినప్పుడు, ఫార్ములా బార్‌లో ఫంక్షన్ (=సగటు(C1:C6)) కనిపిస్తుంది.

ఈ ఫీచర్ అకౌంటింగ్, ఇన్‌వాయిస్‌లు లేదా మీరు చాలా పెద్ద వరుస సంఖ్యల సగటును కనుగొనవలసి వచ్చినప్పుడు చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. అందువలన, ఇది తరచుగా కార్యాలయాలు మరియు పెద్ద కంపెనీలలో ఉపయోగించబడుతుంది. ఇది మీ రికార్డులలో క్రమాన్ని నిర్వహించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది మరియు ఏదైనా త్వరగా లెక్కించడాన్ని సాధ్యం చేస్తుంది (ఉదాహరణకు, సగటు నెలవారీ ఆదాయం). మీరు ఫంక్షన్ యొక్క సగటు విలువను కనుగొనడానికి Excelని కూడా ఉపయోగించవచ్చు.

సగటు

ఈ పదానికి ఇతర అర్థాలు ఉన్నాయి, సగటు అర్థాన్ని చూడండి.

సగటు(గణితం మరియు గణాంకాలలో) సంఖ్యల సెట్లు - అన్ని సంఖ్యల మొత్తం వాటి సంఖ్యతో భాగించబడుతుంది. ఇది కేంద్ర ధోరణి యొక్క అత్యంత సాధారణ చర్యలలో ఒకటి.

ఇది పైథాగరియన్లచే (జ్యామితీయ సగటు మరియు హార్మోనిక్ సగటుతో పాటు) ప్రతిపాదించబడింది.

అంకగణిత సగటు యొక్క ప్రత్యేక సందర్భాలు సగటు (సాధారణ జనాభా) మరియు నమూనా సగటు (నమూనా).

పరిచయం

మేము డేటా సమితిని సూచిస్తాము X = (x 1 , x 2 , …, x n), అప్పుడు నమూనా సగటు సాధారణంగా వేరియబుల్ (x ¯ (\ displaystyle (\bar (x)))పై క్షితిజ సమాంతర పట్టీ ద్వారా సూచించబడుతుంది, ఉచ్ఛరిస్తారు " xఒక లైన్ తో").

మొత్తం జనాభా యొక్క అంకగణిత సగటును సూచించడానికి గ్రీకు అక్షరం μ ఉపయోగించబడుతుంది. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ కోసం సగటు విలువ నిర్ణయించబడుతుంది, μ సంభావ్య సగటులేదా యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత నిరీక్షణ. సెట్ అయితే Xసంభావ్య సగటు μతో యాదృచ్ఛిక సంఖ్యల సమాహారం, ఆపై ఏదైనా నమూనా కోసం x iఈ సెట్ నుండి μ = E( x i) అనేది ఈ నమూనా యొక్క గణిత నిరీక్షణ.

ఆచరణలో, μ మరియు x ¯ (\ డిస్ప్లేస్టైల్ (\bar (x))) మధ్య వ్యత్యాసం ఏమిటంటే, μ అనేది ఒక సాధారణ వేరియబుల్, ఎందుకంటే మీరు మొత్తం జనాభా కంటే నమూనాను చూడగలరు. కాబట్టి, నమూనా యాదృచ్ఛికంగా (సంభావ్యత సిద్ధాంతం పరంగా) ప్రాతినిధ్యం వహిస్తే, అప్పుడు x ¯ (\డిస్ప్లేస్టైల్ (\bar (x))) (కానీ μ కాదు) నమూనాపై సంభావ్యత పంపిణీని కలిగి ఉన్న యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్‌గా పరిగణించబడుతుంది ( సగటు యొక్క సంభావ్యత పంపిణీ).

ఈ రెండు పరిమాణాలు ఒకే విధంగా లెక్కించబడతాయి:

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

ఉంటే Xఅనేది యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్, తర్వాత గణిత నిరీక్షణ Xపరిమాణం యొక్క పునరావృత కొలతలలో విలువల యొక్క అంకగణిత సగటుగా పరిగణించబడుతుంది X. ఇది పెద్ద సంఖ్యల చట్టం యొక్క అభివ్యక్తి. కాబట్టి, తెలియని అంచనా విలువను అంచనా వేయడానికి నమూనా సగటు ఉపయోగించబడుతుంది.

ప్రాథమిక బీజగణితంలో సగటు అని నిరూపించబడింది nసగటు కంటే + 1 సంఖ్యలు nకొత్త సంఖ్య పాత సగటు కంటే ఎక్కువగా ఉన్నట్లయితే మరియు మాత్రమే సంఖ్యలు, కొత్త సంఖ్య సగటు కంటే తక్కువగా ఉంటే మాత్రమే మరియు కొత్త సంఖ్య సగటుకు సమానంగా ఉంటే మాత్రమే మారదు. మరింత n, కొత్త మరియు పాత సగటుల మధ్య చిన్న వ్యత్యాసం.

పవర్ మీన్, కోల్మోగోరోవ్ మీన్, హార్మోనిక్ మీన్, అంకగణిత-జ్యామితీయ మీన్ మరియు వివిధ వెయిటెడ్ సగటులు (ఉదా., వెయిటెడ్ అరిథ్‌మెటిక్ మీన్, వెయిటెడ్ జ్యామితీయ మీన్, వెయిటెడ్ హార్మోనిక్ మీన్)తో సహా అనేక ఇతర "సగటులు" అందుబాటులో ఉన్నాయని గమనించండి.

ఉదాహరణలు

• మూడు సంఖ్యల కోసం, మీరు వాటిని జోడించి 3 ద్వారా విభజించాలి:

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\ప్రదర్శన శైలి (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)

• నాలుగు సంఖ్యల కోసం, మీరు వాటిని జోడించి 4 ద్వారా విభజించాలి:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\ప్రదర్శన శైలి (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

లేదా సరళమైన 5+5=10, 10:2. మేము 2 సంఖ్యలను జోడిస్తున్నాము, అంటే మనం ఎన్ని సంఖ్యలను జోడిస్తాము, మనం దానితో భాగిస్తాము.

నిరంతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్

నిరంతరం పంపిణీ చేయబడిన పరిమాణం f (x) (\డిస్ప్లేస్టైల్ f(x)), విరామంలో అంకగణిత సగటు [ a ; b ] (\displaystyle ) ఒక ఖచ్చితమైన సమగ్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది:

F (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b - a ∫ a b f (x) d x (\ displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

సగటును ఉపయోగించడంలో కొన్ని సమస్యలు

దృఢత్వం లేకపోవడం

ప్రధాన వ్యాసం: గణాంకాలలో దృఢత్వం

అంకగణిత సాధనాలు తరచుగా సగటులు లేదా కేంద్ర ధోరణులుగా ఉపయోగించబడుతున్నప్పటికీ, ఈ భావన బలమైన గణాంకం కాదు, అంటే అంకగణిత సగటు "పెద్ద విచలనాల" ద్వారా ఎక్కువగా ప్రభావితమవుతుంది. వక్రత యొక్క పెద్ద గుణకం ఉన్న పంపిణీల కోసం, అంకగణిత సగటు "సగటు" అనే భావనకు అనుగుణంగా ఉండకపోవచ్చు మరియు బలమైన గణాంకాల నుండి సగటు విలువలు (ఉదాహరణకు, మధ్యస్థం) కేంద్రాన్ని బాగా వివరించవచ్చు. ధోరణి.

ఒక క్లాసిక్ ఉదాహరణ సగటు ఆదాయాన్ని లెక్కించడం. అంకగణిత సగటును మధ్యస్థంగా తప్పుగా అన్వయించవచ్చు, ఇది వాస్తవంగా ఉన్నవారి కంటే అధిక ఆదాయాలు కలిగిన వ్యక్తులు ఎక్కువగా ఉన్నారని నిర్ధారణకు దారితీయవచ్చు. "సగటు" ఆదాయం చాలా మందికి ఈ సంఖ్య చుట్టూ ఆదాయం ఉందని అర్థం. ఈ "సగటు" (అంకగణిత సగటు యొక్క అర్థంలో) ఆదాయం చాలా మంది వ్యక్తుల ఆదాయాల కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే సగటు నుండి పెద్ద విచలనం ఉన్న అధిక ఆదాయం అంకగణిత సగటును చాలా వక్రంగా చేస్తుంది (దీనికి విరుద్ధంగా, మధ్యస్థ సగటు ఆదాయం అటువంటి వక్రతను "నిరోధకత"). అయితే, ఈ "సగటు" ఆదాయం మధ్యస్థ ఆదాయానికి సమీపంలో ఉన్న వ్యక్తుల సంఖ్య గురించి ఏమీ చెప్పదు (మరియు మోడల్ ఆదాయానికి సమీపంలో ఉన్న వ్యక్తుల సంఖ్య గురించి ఏమీ చెప్పలేదు). అయితే, మీరు "సగటు" మరియు "చాలా మంది వ్యక్తులు" అనే భావనలను తేలికగా తీసుకుంటే, చాలా మంది వ్యక్తులు వాస్తవానికి కంటే ఎక్కువ ఆదాయాన్ని కలిగి ఉన్నారని మీరు తప్పుగా నిర్ధారించవచ్చు. ఉదాహరణకు, వాషింగ్టన్‌లోని మదీనాలో "సగటు" నికర ఆదాయం యొక్క నివేదిక, నివాసితుల యొక్క అన్ని వార్షిక నికర ఆదాయాల యొక్క అంకగణిత సగటుగా లెక్కించబడుతుంది, బిల్ గేట్స్ కారణంగా ఆశ్చర్యకరంగా పెద్ద సంఖ్యను అందిస్తుంది. నమూనాను పరిగణించండి (1, 2, 2, 2, 3, 9). అంకగణిత సగటు 3.17, కానీ ఆరు విలువలలో ఐదు ఈ సగటు కంటే తక్కువగా ఉన్నాయి.

చక్రవడ్డీ

ప్రధాన వ్యాసం: పెట్టుబడి పై రాబడి

సంఖ్యలు ఉంటే గుణించాలి, కాని కాదు రెట్లు, మీరు రేఖాగణిత సగటును ఉపయోగించాలి, అంకగణిత సగటు కాదు. ఫైనాన్స్‌లో పెట్టుబడిపై రాబడిని లెక్కించేటప్పుడు చాలా తరచుగా ఈ సంఘటన జరుగుతుంది.

ఉదాహరణకు, ఒక స్టాక్ మొదటి సంవత్సరంలో 10% పడిపోయి, రెండవ సంవత్సరంలో 30% పెరిగితే, ఆ రెండు సంవత్సరాలలో “సగటు” పెరుగుదలను అంకగణిత సగటు (−10% + 30%) / 2గా లెక్కించడం సరికాదు. = 10%; ఈ సందర్భంలో సరైన సగటు సమ్మేళనం వార్షిక వృద్ధి రేటు ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది, ఇది వార్షిక వృద్ధి రేటు 8.16653826392% ≈ 8.2% మాత్రమే ఇస్తుంది.

దీనికి కారణం శాతాలు ప్రతిసారీ కొత్త ప్రారంభ స్థానం కలిగి ఉంటాయి: 30% అంటే 30% మొదటి సంవత్సరం ప్రారంభంలో ధర కంటే తక్కువ సంఖ్య నుండి:ఒక స్టాక్ $30 వద్ద ప్రారంభమై 10% పడిపోయినట్లయితే, రెండవ సంవత్సరం ప్రారంభంలో దాని విలువ $27 అవుతుంది. స్టాక్ 30% పెరిగితే, రెండవ సంవత్సరం చివరిలో దాని విలువ $35.1 అవుతుంది. ఈ వృద్ధి యొక్క అంకగణిత సగటు 10%, అయితే స్టాక్ 2 సంవత్సరాలలో $5.1 మాత్రమే పెరిగింది కాబట్టి, 8.2% సగటు వృద్ధి $35.1 తుది ఫలితాన్ని ఇస్తుంది:

[$30 (1 - 0.1) (1 + 0.3) = $30 (1 + 0.082) (1 + 0.082) = $35.1]. మనం అదే విధంగా 10% అంకగణిత సగటును ఉపయోగిస్తే, మనకు అసలు విలువ లభించదు: [$30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $36.3].

2 సంవత్సరాల ముగింపులో సమ్మేళనం వడ్డీ: 90% * 130% = 117%, అంటే, మొత్తం పెరుగుదల 17%, మరియు సగటు వార్షిక సమ్మేళనం వడ్డీ 117% ≈ 108.2% (\ప్రదర్శిత శైలి (\sqrt (117\%) ))\సుమారు 108.2\%) , అంటే సగటు వార్షిక పెరుగుదల 8.2%.

దిశలు

ప్రధాన వ్యాసం: గమ్యం గణాంకాలు

చక్రీయంగా మారే కొన్ని వేరియబుల్ యొక్క అంకగణిత సగటును లెక్కించేటప్పుడు (దశ లేదా కోణం వంటివి), ప్రత్యేక శ్రద్ధ తీసుకోవాలి. ఉదాహరణకు, 1° మరియు 359° సగటు 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°. రెండు కారణాల వల్ల ఈ సంఖ్య తప్పు.

• మొదట, కోణీయ కొలతలు 0° నుండి 360° వరకు (లేదా రేడియన్లలో కొలిచినప్పుడు 0 నుండి 2π వరకు) మాత్రమే నిర్వచించబడతాయి. కాబట్టి ఒకే జత సంఖ్యలను (1° మరియు −1°) లేదా (1° మరియు 719°) గా వ్రాయవచ్చు. ప్రతి జత యొక్క సగటు విలువలు భిన్నంగా ఉంటాయి: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2 ))=0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\ displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\ సర్క్ )) .
• రెండవది, ఈ సందర్భంలో, 0° (360°కి సమానం) విలువ జ్యామితీయంగా మెరుగైన సగటు విలువ అవుతుంది, ఎందుకంటే సంఖ్యలు ఇతర విలువల కంటే 0° నుండి తక్కువగా మారతాయి (విలువ 0° అతి చిన్న వ్యత్యాసాన్ని కలిగి ఉంటుంది). సరిపోల్చండి:
  • సంఖ్య 1° 0° నుండి 1° మాత్రమే మారుతుంది;
  • 1° సంఖ్య 180° యొక్క లెక్కించబడిన సగటు నుండి 179°కి భిన్నంగా ఉంటుంది.

పై సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించిన చక్రీయ వేరియబుల్ యొక్క సగటు విలువ సంఖ్యా పరిధి మధ్యలో ఉన్న వాస్తవ సగటుకు సంబంధించి కృత్రిమంగా మార్చబడుతుంది. దీని కారణంగా, సగటు వేరొక విధంగా గణించబడుతుంది, అనగా, అతి చిన్న వ్యత్యాసం (కేంద్ర బిందువు) ఉన్న సంఖ్య సగటు విలువగా ఎంపిక చేయబడుతుంది. అలాగే, వ్యవకలనానికి బదులుగా, మాడ్యులర్ దూరం (అంటే చుట్టుకొలత దూరం) ఉపయోగించబడుతుంది. ఉదాహరణకు, 1° మరియు 359° మధ్య మాడ్యులర్ దూరం 2°, 358° కాదు (359° మరియు 360°==0° మధ్య వృత్తం మీద - ఒక డిగ్రీ, 0° మరియు 1° మధ్య - కూడా 1°, మొత్తంగా - 2 °).

సగటు బరువు - ఇది ఏమిటి మరియు దానిని ఎలా లెక్కించాలి?

గణితాన్ని అధ్యయనం చేసే ప్రక్రియలో, పాఠశాల పిల్లలు అంకగణిత సగటు భావనతో సుపరిచితులు అవుతారు. తరువాత గణాంకాలు మరియు కొన్ని ఇతర శాస్త్రాలలో, విద్యార్థులు ఇతర సగటు విలువల గణనను ఎదుర్కొంటారు. అవి ఏవి కావచ్చు మరియు అవి ఒకదానికొకటి ఎలా భిన్నంగా ఉంటాయి?

సగటులు: అర్థం మరియు తేడాలు

ఖచ్చితమైన సూచికలు ఎల్లప్పుడూ పరిస్థితి యొక్క అవగాహనను అందించవు. నిర్దిష్ట పరిస్థితిని అంచనా వేయడానికి, కొన్నిసార్లు భారీ సంఖ్యలో బొమ్మలను విశ్లేషించడం అవసరం. ఆపై సగటులు రక్షించటానికి వస్తాయి. వారు మొత్తం పరిస్థితిని అంచనా వేయడానికి మాకు అనుమతిస్తారు.

పాఠశాల రోజుల నుండి, చాలా మంది పెద్దలు అంకగణిత సగటు ఉనికిని గుర్తుంచుకుంటారు. గణించడం చాలా సులభం - n పదాల శ్రేణి మొత్తం nతో భాగించబడుతుంది. అంటే, మీరు 27, 22, 34 మరియు 37 విలువల క్రమంలో అంకగణిత సగటును లెక్కించాల్సిన అవసరం ఉంటే, మీరు 4 విలువల నుండి వ్యక్తీకరణను (27+22+34+37)/4 పరిష్కరించాలి. గణనలలో ఉపయోగించబడతాయి. ఈ సందర్భంలో, అవసరమైన విలువ 30 అవుతుంది.

రేఖాగణిత సగటు తరచుగా పాఠశాల కోర్సులో భాగంగా అధ్యయనం చేయబడుతుంది. ఈ విలువ యొక్క గణన n నిబంధనల ఉత్పత్తి యొక్క nవ మూలాన్ని సంగ్రహించడంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. మేము అదే సంఖ్యలను తీసుకుంటే: 27, 22, 34 మరియు 37, అప్పుడు లెక్కల ఫలితం 29.4కి సమానంగా ఉంటుంది.

హార్మోనిక్ మీన్ సాధారణంగా సెకండరీ పాఠశాలల్లో అధ్యయనానికి సంబంధించిన అంశం కాదు. అయినప్పటికీ, ఇది చాలా తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది. ఈ విలువ అంకగణిత సగటు యొక్క విలోమం మరియు n యొక్క గుణకం - విలువల సంఖ్య మరియు మొత్తం 1/a 1 +1/a 2 +...+1/a n. గణన కోసం మనం మళ్లీ అదే సంఖ్యల శ్రేణిని తీసుకుంటే, హార్మోనిక్ 29.6 అవుతుంది.

సగటు బరువు: లక్షణాలు

అయితే, పైన పేర్కొన్న అన్ని విలువలు ప్రతిచోటా ఉపయోగించబడవు. ఉదాహరణకు, గణాంకాలలో, నిర్దిష్ట సగటులను లెక్కించేటప్పుడు, గణనలలో ఉపయోగించే ప్రతి సంఖ్య యొక్క "బరువు" ఒక ముఖ్యమైన పాత్ర పోషిస్తుంది. ఫలితాలు మరింత సూచనాత్మకమైనవి మరియు సరైనవి ఎందుకంటే అవి మరింత సమాచారాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటాయి. ఈ పరిమాణాల సమూహాన్ని సాధారణంగా "వెయిటెడ్ యావరేజ్" అంటారు. వారు పాఠశాలలో బోధించబడరు, కాబట్టి వాటిని మరింత వివరంగా చూడటం విలువ.

అన్నింటిలో మొదటిది, ఒక నిర్దిష్ట విలువ యొక్క "బరువు" అంటే ఏమిటో చెప్పడం విలువ. ఒక నిర్దిష్ట ఉదాహరణతో దీనిని వివరించడానికి సులభమైన మార్గం. ఆసుపత్రిలో రోజుకు రెండుసార్లు ప్రతి రోగి యొక్క శరీర ఉష్ణోగ్రత కొలుస్తారు. ఆసుపత్రిలోని వివిధ విభాగాలలో 100 మంది రోగులలో, 44 మంది సాధారణ ఉష్ణోగ్రత - 36.6 డిగ్రీలు. మరో 30 పెరిగిన విలువను కలిగి ఉంటుంది - 37.2, 14 - 38, 7 - 38.5, 3 - 39, మరియు మిగిలిన రెండు - 40. మరియు మేము అంకగణిత సగటును తీసుకుంటే, ఆసుపత్రికి సాధారణంగా ఈ విలువ 38 కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది. డిగ్రీలు! కానీ దాదాపు సగం మంది రోగులకు పూర్తిగా సాధారణ ఉష్ణోగ్రత ఉంటుంది. మరియు ఇక్కడ బరువున్న సగటును ఉపయోగించడం మరింత సరైనది మరియు ప్రతి విలువ యొక్క "బరువు" అనేది వ్యక్తుల సంఖ్య. ఈ సందర్భంలో, గణన ఫలితం 37.25 డిగ్రీలు. తేడా స్పష్టంగా ఉంది.

బరువున్న సగటు గణనల విషయంలో, "బరువు" అనేది సరుకుల సంఖ్య, ఇచ్చిన రోజులో పనిచేసే వ్యక్తుల సంఖ్య, సాధారణంగా, కొలవగల మరియు తుది ఫలితాన్ని ప్రభావితం చేసే ఏదైనా తీసుకోవచ్చు.

రకాలు

వెయిటెడ్ యావరేజ్ అనేది వ్యాసం ప్రారంభంలో చర్చించబడిన అంకగణిత సగటుకు సంబంధించినది. అయితే, మొదటి విలువ, ఇప్పటికే చెప్పినట్లుగా, గణనలలో ఉపయోగించిన ప్రతి సంఖ్య యొక్క బరువును కూడా పరిగణనలోకి తీసుకుంటుంది. అదనంగా, బరువున్న రేఖాగణిత మరియు హార్మోనిక్ విలువలు కూడా ఉన్నాయి.

సంఖ్యా శ్రేణిలో మరొక ఆసక్తికరమైన వైవిధ్యం ఉపయోగించబడింది. ఇది వెయిటెడ్ మూవింగ్ యావరేజ్. దీని ఆధారంగానే ట్రెండ్స్‌ను లెక్కిస్తారు. వాటి విలువలు మరియు వాటి బరువుతో పాటు, ఆవర్తన కూడా అక్కడ ఉపయోగించబడుతుంది. మరియు ఏదో ఒక సమయంలో సగటు విలువను లెక్కించేటప్పుడు, మునుపటి కాల వ్యవధుల విలువలు కూడా పరిగణనలోకి తీసుకోబడతాయి.

ఈ అన్ని విలువలను లెక్కించడం అంత కష్టం కాదు, కానీ ఆచరణలో సాధారణంగా సాధారణ బరువున్న సగటు మాత్రమే ఉపయోగించబడుతుంది.

గణన పద్ధతులు

విస్తృతమైన కంప్యూటరీకరణ యుగంలో, బరువున్న సగటును మానవీయంగా లెక్కించాల్సిన అవసరం లేదు. అయితే, గణన సూత్రాన్ని తెలుసుకోవడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది, తద్వారా మీరు తనిఖీ చేయవచ్చు మరియు అవసరమైతే, పొందిన ఫలితాలను సర్దుబాటు చేయవచ్చు.

ఒక నిర్దిష్ట ఉదాహరణను ఉపయోగించి గణనను పరిగణించడం సులభమయిన మార్గం.

ఒకటి లేదా మరొక జీతం పొందుతున్న కార్మికుల సంఖ్యను పరిగణనలోకి తీసుకుని, ఈ సంస్థలో సగటు వేతనం ఎంత ఉందో తెలుసుకోవడం అవసరం.

కాబట్టి, బరువున్న సగటు క్రింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది:

x = (a 1 *w 1 +a 2 *w 2 +...+a n *w n)/(w 1 +w 2 +...+w n)

ఉదాహరణకు, గణన ఇలా ఉంటుంది:

x = (32*20+33*35+34*14+40*6)/(20+35+14+6) = (640+1155+476+240)/75 = 33.48

సహజంగానే, బరువున్న సగటును మాన్యువల్‌గా లెక్కించడంలో ప్రత్యేక కష్టం లేదు. ఫార్ములాలతో అత్యంత జనాదరణ పొందిన అప్లికేషన్‌లలో ఒకదానిలో ఈ విలువను గణించే ఫార్ములా - Excel - SUMPRODUCT (సంఖ్యల శ్రేణి; బరువుల శ్రేణి) / SUM (బరువుల శ్రేణి) ఫంక్షన్ లాగా కనిపిస్తుంది.

ఎక్సెల్‌లో సగటును ఎలా కనుగొనాలి?

ఎక్సెల్‌లో అంకగణిత సగటును ఎలా కనుగొనాలి?

వ్లాదిమిర్09854

పై వంటి సులభం. ఎక్సెల్‌లో సగటును కనుగొనడానికి, మీకు 3 సెల్‌లు మాత్రమే అవసరం. మొదటిదానిలో మనం ఒక సంఖ్యను వ్రాస్తాము, రెండవది - మరొకటి. మరియు మూడవ సెల్‌లో మనం మొదటి మరియు రెండవ సెల్‌ల నుండి ఈ రెండు సంఖ్యల మధ్య సగటు విలువను అందించే సూత్రాన్ని నమోదు చేస్తాము. సెల్ నంబర్ 1ని A1 అని పిలిస్తే, సెల్ నెం. 2ని B1 అని పిలుస్తారు, అప్పుడు ఫార్ములా ఉన్న సెల్‌లో మీరు దీన్ని వ్రాయాలి:

ఈ ఫార్ములా రెండు సంఖ్యల అంకగణిత సగటును గణిస్తుంది.

మా గణనలను మరింత అందంగా చేయడానికి, మేము ప్లేట్ రూపంలో, లైన్లతో కణాలను హైలైట్ చేయవచ్చు.

ఎక్సెల్ లోనే సగటు విలువను నిర్ణయించడానికి ఒక ఫంక్షన్ కూడా ఉంది, కానీ నేను పాత పద్ధతిని ఉపయోగిస్తాను మరియు నాకు అవసరమైన సూత్రాన్ని నమోదు చేసాను. అందువల్ల, ఎక్సెల్ నాకు అవసరమైన విధంగా ఖచ్చితంగా లెక్కిస్తుంది మరియు దాని స్వంత రౌండింగ్‌తో రాదని నేను ఖచ్చితంగా అనుకుంటున్నాను.

M3sergey

డేటా ఇప్పటికే సెల్‌లలోకి ప్రవేశించినట్లయితే ఇది చాలా సులభం. మీకు ఒక సంఖ్యపై ఆసక్తి ఉంటే, కావలసిన పరిధి/పరిధులను ఎంచుకోండి మరియు ఈ సంఖ్యల మొత్తం విలువ, వాటి అంకగణిత సగటు మరియు వాటి సంఖ్య స్థితి పట్టీలో దిగువ కుడివైపున కనిపిస్తాయి.

మీరు ఖాళీ గడిని ఎంచుకోవచ్చు, త్రిభుజం (డ్రాప్-డౌన్ జాబితా) "ఆటోసమ్"పై క్లిక్ చేసి, అక్కడ "సగటు" ఎంచుకోండి, ఆ తర్వాత మీరు గణన కోసం ప్రతిపాదిత పరిధిని అంగీకరిస్తారు లేదా మీ స్వంతంగా ఎంచుకోవచ్చు.

చివరగా, మీరు ఫార్ములా బార్ మరియు సెల్ అడ్రస్ పక్కన ఉన్న "ఫంక్షన్‌ని చొప్పించు" క్లిక్ చేయడం ద్వారా నేరుగా సూత్రాలను ఉపయోగించవచ్చు. AVERAGE ఫంక్షన్ "గణాంక" వర్గంలో ఉంది మరియు సంఖ్యలు మరియు సెల్ సూచనలు మొదలైనవాటిని ఆర్గ్యుమెంట్‌లుగా తీసుకుంటుంది. అక్కడ మీరు మరింత సంక్లిష్టమైన ఎంపికలను కూడా ఎంచుకోవచ్చు, ఉదాహరణకు, AVERAGEIF - షరతు ప్రకారం సగటును గణించడం.

ఎక్సెల్ లో సగటు విలువను కనుగొనండిఅనేది చాలా సులభమైన పని. మీరు ఈ సగటు విలువను కొన్ని సూత్రాలలో ఉపయోగించాలనుకుంటున్నారా లేదా అని ఇక్కడ మీరు అర్థం చేసుకోవాలి.

మీరు విలువను మాత్రమే పొందవలసి వస్తే, అవసరమైన సంఖ్యల శ్రేణిని ఎంచుకోండి, దాని తర్వాత ఎక్సెల్ స్వయంచాలకంగా సగటు విలువను గణిస్తుంది - ఇది స్థితి పట్టీలో, "సగటు" శీర్షికలో ప్రదర్శించబడుతుంది.

మీరు ఫలితాన్ని సూత్రాలలో ఉపయోగించాలనుకున్నప్పుడు, మీరు దీన్ని చేయవచ్చు:

1) SUM ఫంక్షన్‌ని ఉపయోగించి సెల్‌లను సంకలనం చేయండి మరియు అన్నింటినీ సంఖ్యల సంఖ్యతో విభజించండి.

2) AVERAGE అనే ప్రత్యేక ఫంక్షన్‌ని ఉపయోగించడం మరింత సరైన ఎంపిక. ఈ ఫంక్షన్‌కు ఆర్గ్యుమెంట్‌లు వరుసగా పేర్కొనబడిన సంఖ్యలు లేదా సంఖ్యల పరిధి కావచ్చు.

వ్లాదిమిర్ టిఖోనోవ్

గణనలో పాల్గొనే విలువలను సర్కిల్ చేయండి, "ఫార్ములాస్" ట్యాబ్‌ను క్లిక్ చేయండి, అక్కడ మీరు ఎడమ వైపున "ఆటోసమ్" మరియు దాని ప్రక్కన క్రిందికి సూచించే త్రిభుజం కనిపిస్తుంది. ఈ త్రిభుజంపై క్లిక్ చేసి, "మీడియం" ఎంచుకోండి. Voila, పూర్తయింది) కాలమ్ దిగువన మీరు సగటు విలువను చూస్తారు :)

ఎకటెరినా ముతలాపోవా

మొదటి నుండి మరియు క్రమంలో ప్రారంభిద్దాం. సగటు అంటే ఏమిటి?

సగటు అనేది అంకగణిత సగటు అయిన విలువ, అనగా. సంఖ్యల సమితిని జోడించి, ఆపై మొత్తం సంఖ్యల మొత్తాన్ని వాటి సంఖ్యతో భాగించడం ద్వారా లెక్కించబడుతుంది. ఉదాహరణకు, 2, 3, 6, 7, 2 సంఖ్యలకు 4 ఉంటుంది (20 సంఖ్యల మొత్తం వాటి సంఖ్య 5తో భాగించబడుతుంది)

Excel స్ప్రెడ్‌షీట్‌లో, నాకు వ్యక్తిగతంగా, ఫార్ములా = AVERAGEని ఉపయోగించడం సులభమయిన మార్గం. సగటు విలువను లెక్కించడానికి, మీరు పట్టికలో డేటాను నమోదు చేయాలి, డేటా కాలమ్ క్రింద ఫంక్షన్ =AVERAGE()ని వ్రాయండి మరియు బ్రాకెట్లలోని సెల్‌లలోని సంఖ్యల పరిధిని సూచించండి, డేటాతో కాలమ్‌ను హైలైట్ చేస్తుంది. ఆ తర్వాత, ENTER నొక్కండి లేదా ఏదైనా సెల్‌పై ఎడమ క్లిక్ చేయండి. ఫలితం నిలువు వరుస క్రింద ఉన్న సెల్‌లో కనిపిస్తుంది. ఇది అపారమయిన విధంగా వివరించబడింది, కానీ వాస్తవానికి ఇది నిమిషాల విషయం.

సాహసికుడు 2000

ఎక్సెల్ వైవిధ్యమైన ప్రోగ్రామ్, కాబట్టి మీరు సగటులను కనుగొనడానికి అనుమతించే అనేక ఎంపికలు ఉన్నాయి:

మొదటి ఎంపిక. మీరు అన్ని కణాలను సంకలనం చేసి, వాటి సంఖ్యతో విభజించండి;

రెండవ ఎంపిక. ప్రత్యేక ఆదేశాన్ని ఉపయోగించండి, అవసరమైన సెల్‌లో “= సగటు (మరియు ఇక్కడ కణాల పరిధిని సూచించండి)” సూత్రాన్ని వ్రాయండి;

మూడవ ఎంపిక. మీరు అవసరమైన పరిధిని ఎంచుకుంటే, దయచేసి దిగువ పేజీలో, ఈ సెల్‌లలో సగటు విలువ కూడా ప్రదర్శించబడుతుందని గుర్తుంచుకోండి.

అందువల్ల, సగటును కనుగొనడానికి చాలా మార్గాలు ఉన్నాయి, మీరు మీ కోసం ఉత్తమమైనదాన్ని ఎంచుకోవాలి మరియు దానిని నిరంతరం ఉపయోగించాలి.

Excelలో, మీరు సాధారణ అంకగణిత సగటును లెక్కించడానికి AVERAGE ఫంక్షన్‌ని ఉపయోగించవచ్చు. దీన్ని చేయడానికి, మీరు అనేక విలువలను నమోదు చేయాలి. ఈక్వల్‌లను నొక్కండి మరియు వర్గంలో స్టాటిస్టికల్‌ని ఎంచుకోండి, వీటిలో సగటు ఫంక్షన్‌ని ఎంచుకోండి

అలాగే, గణాంక సూత్రాలను ఉపయోగించి, మీరు బరువున్న అంకగణిత సగటును లెక్కించవచ్చు, ఇది మరింత ఖచ్చితమైనదిగా పరిగణించబడుతుంది. దీన్ని లెక్కించడానికి, మాకు సూచిక విలువలు మరియు ఫ్రీక్వెన్సీ అవసరం.

ఎక్సెల్‌లో సగటును ఎలా కనుగొనాలి?

ఇదీ పరిస్థితి. కింది పట్టిక ఉంది:

ఎరుపు రంగులో ఉన్న నిలువు వరుసలు సబ్జెక్టులలోని గ్రేడ్‌ల సంఖ్యా విలువలను కలిగి ఉంటాయి. "సగటు స్కోరు" కాలమ్‌లో, మీరు వారి సగటును లెక్కించాలి.
సమస్య ఇది: మొత్తం 60-70 అంశాలు ఉన్నాయి మరియు వాటిలో కొన్ని మరొక షీట్లో ఉన్నాయి.
నేను మరొక పత్రంలో చూశాను మరియు సగటు ఇప్పటికే లెక్కించబడింది మరియు సెల్‌లో ఒక ఫార్ములా ఉంది
= "షీట్ పేరు"!|E12
కానీ ఇది తొలగించబడిన కొంతమంది ప్రోగ్రామర్ చేత చేయబడింది.
ఇది ఎవరికి అర్థమైందో చెప్పండి.

హెక్టర్

ఫంక్షన్‌ల లైన్‌లో, మీరు ప్రతిపాదిత ఫంక్షన్‌ల నుండి “సగటు” అని చొప్పించండి మరియు ఉదాహరణకు ఇవనోవ్ కోసం (B6:N6) నుండి లెక్కించాల్సిన అవసరం ఉన్న చోట ఎంచుకోండి. ప్రక్కనే ఉన్న షీట్‌ల గురించి నాకు ఖచ్చితంగా తెలియదు, కానీ ఇది ప్రామాణిక Windows సహాయంలో ఉండవచ్చు

వర్డ్‌లో సగటు విలువను ఎలా లెక్కించాలో చెప్పండి

Word లో సగటు విలువను ఎలా లెక్కించాలో దయచేసి నాకు చెప్పండి. అవి, రేటింగ్‌ల సగటు విలువ, మరియు రేటింగ్‌లు పొందిన వ్యక్తుల సంఖ్య కాదు.

యులియా పావ్లోవా

పదం మాక్రోలతో చాలా చేయగలదు. ALT+F11 నొక్కండి మరియు మాక్రో ప్రోగ్రామ్‌ను వ్రాయండి..
అదనంగా, ఇన్సర్ట్-ఆబ్జెక్ట్... వర్డ్ డాక్యుమెంట్ లోపల టేబుల్‌తో షీట్‌ను రూపొందించడానికి ఇతర ప్రోగ్రామ్‌లను ఉపయోగించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది, Excel కూడా.
కానీ ఈ సందర్భంలో, మీరు పట్టిక యొక్క నిలువు వరుసలో మీ సంఖ్యలను వ్రాసి, అదే కాలమ్ యొక్క దిగువ సెల్‌లో సగటును నమోదు చేయాలి, సరియైనదా?
దీన్ని చేయడానికి, దిగువ సెల్‌లో ఫీల్డ్‌ను చొప్పించండి.
ఇన్సర్ట్-ఫీల్డ్... -ఫార్ములా
ఫీల్డ్ కంటెంట్
[=సగటు(ఎగువ)]
పైన ఉన్న కణాల మొత్తం సగటును ఇస్తుంది.
మీరు ఫీల్డ్‌ని ఎంచుకుని, కుడి మౌస్ బటన్‌ను క్లిక్ చేస్తే, సంఖ్యలు మారినట్లయితే మీరు దాన్ని నవీకరించవచ్చు,
ఫీల్డ్ యొక్క కోడ్ లేదా విలువను వీక్షించండి, ఫీల్డ్‌లో నేరుగా కోడ్‌ను మార్చండి.
ఏదైనా తప్పు జరిగితే, సెల్‌లోని మొత్తం ఫీల్డ్‌ను తొలగించి, దాన్ని మళ్లీ సృష్టించండి.
AVERAGE అంటే సగటు, పైన - గురించి, అంటే పైన ఉన్న అనేక కణాల సంఖ్య.
ఇవన్నీ నాకు తెలియవు, కానీ నేను కొంచెం ఆలోచించి HELPలో సులభంగా కనుగొన్నాను.

అరబిక్ సంఖ్యల పేర్లలో, ప్రతి అంకె దాని స్వంత వర్గానికి చెందినది మరియు ప్రతి మూడు అంకెలు ఒక తరగతిని ఏర్పరుస్తాయి. ఈ విధంగా, ఒక సంఖ్యలోని చివరి అంకె దానిలోని యూనిట్ల సంఖ్యను సూచిస్తుంది మరియు తదనుగుణంగా, వాటిని స్థలం అని పిలుస్తారు. చివరి నుండి రెండవది, అంకె పదులను సూచిస్తుంది (పదుల స్థానం), మరియు ముగింపు అంకె నుండి మూడవది సంఖ్యలో వందల సంఖ్యను సూచిస్తుంది - వందల స్థానం. ఇంకా, అంకెలు ప్రతి తరగతిలో ఒకే విధంగా పునరావృతమవుతాయి, ఇప్పటికే యూనిట్లు, పదులు మరియు వందలు వేల, మిలియన్లు మొదలైన తరగతులను సూచిస్తాయి. సంఖ్య తక్కువగా ఉండి, పదులు లేదా వందల అంకెలు లేకుంటే, వాటిని సున్నాగా తీసుకోవడం ఆచారం. తరగతులు మూడు సంఖ్యలలో సమూహ అంకెలు, తరచుగా వాటిని దృశ్యమానంగా వేరు చేయడానికి కంప్యూటింగ్ పరికరాలు లేదా రికార్డులలో తరగతుల మధ్య వ్యవధి లేదా ఖాళీని ఉంచడం. పెద్ద సంఖ్యలను సులభంగా చదవడానికి ఇది జరుగుతుంది. ప్రతి తరగతికి దాని స్వంత పేరు ఉంది: మొదటి మూడు అంకెలు యూనిట్ల తరగతి, తరువాత వేల తరగతి, తర్వాత మిలియన్లు, బిలియన్లు (లేదా బిలియన్లు) మరియు మొదలైనవి.

మేము దశాంశ వ్యవస్థను ఉపయోగిస్తాము కాబట్టి, పరిమాణం యొక్క ప్రాథమిక యూనిట్ పది లేదా 10 1. దీని ప్రకారం, ఒక సంఖ్యలో అంకెల సంఖ్య పెరిగే కొద్దీ, పదుల సంఖ్య కూడా పెరుగుతుంది: 10 2, 10 3, 10 4, మొదలైనవి. పదుల సంఖ్యను తెలుసుకోవడం, మీరు సంఖ్య యొక్క తరగతి మరియు ర్యాంక్‌ను సులభంగా నిర్ణయించవచ్చు, ఉదాహరణకు, 10 16 పదుల క్వాడ్రిలియన్లు మరియు 3 × 10 16 అనేది మూడు పదుల క్వాడ్రిలియన్లు. సంఖ్యలను దశాంశ భాగాలుగా విభజించడం క్రింది విధంగా జరుగుతుంది - ప్రతి అంకె ప్రత్యేక పదంలో ప్రదర్శించబడుతుంది, అవసరమైన గుణకం 10 n ద్వారా గుణించబడుతుంది, ఇక్కడ n అనేది ఎడమ నుండి కుడికి అంకె యొక్క స్థానం.
ఉదాహరణకి: 253 981=2×10 6 +5×10 5 +3×10 4 +9×10 3 +8×10 2 +1×10 1

10 యొక్క శక్తి దశాంశ భిన్నాలను వ్రాయడంలో కూడా ఉపయోగించబడుతుంది: 10 (-1) 0.1 లేదా పదో వంతు. మునుపటి పేరా మాదిరిగానే, మీరు దశాంశ సంఖ్యను కూడా విస్తరించవచ్చు, n ఈ సందర్భంలో దశాంశ బిందువు నుండి కుడి నుండి ఎడమకు అంకెల స్థానాన్ని సూచిస్తుంది, ఉదాహరణకు: 0.347629= 3×10 (-1) +4×10 (-2) +7×10 (-3) +6×10 (-4) +2×10 (-5) +9×10 (-6 )

దశాంశ సంఖ్యల పేర్లు. దశాంశ సంఖ్యలు దశాంశ బిందువు తర్వాత చివరి అంకెతో చదవబడతాయి, ఉదాహరణకు 0.325 - మూడు వందల ఇరవై ఐదు వేల వంతు, ఇక్కడ వెయ్యవది చివరి అంకె 5 యొక్క స్థానం.

పెద్ద సంఖ్యలు, అంకెలు మరియు తరగతుల పేర్ల పట్టిక

1వ తరగతి యూనిట్	యూనిట్ యొక్క 1వ అంకె 2వ అంకె పదులు 3వ స్థానం వందల	1 = 10 0 10 = 10 1 100 = 10 2
2వ తరగతి వెయ్యి	వేల యూనిట్ యొక్క 1వ అంకె 2వ అంకె పదివేలు 3వ వర్గం వందల వేల	1 000 = 10 3 10 000 = 10 4 100 000 = 10 5
3వ తరగతి మిలియన్లు	మిలియన్ల యూనిట్‌లో 1వ అంకె 2వ వర్గం పదిలక్షలు 3వ వర్గం వందల మిలియన్లు	1 000 000 = 10 6 10 000 000 = 10 7 100 000 000 = 10 8
4వ తరగతి బిలియన్లు	బిలియన్ల యూనిట్‌లో 1వ అంకె 2వ కేటగిరీ పదికోట్లు 3వ వర్గం వందల బిలియన్లు	1 000 000 000 = 10 9 10 000 000 000 = 10 10 100 000 000 000 = 10 11
5వ తరగతి ట్రిలియన్లు	ట్రిలియన్ల 1వ అంకె యూనిట్ 2వ వర్గం పదివేల ట్రిలియన్లు 3వ వర్గం వందల ట్రిలియన్లు	1 000 000 000 000 = 10 12 10 000 000 000 000 = 10 13 100 000 000 000 000 = 10 14
6వ తరగతి క్వాడ్రిలియన్లు	క్వాడ్రిలియన్ యొక్క 1వ అంకె యూనిట్ 2వ ర్యాంక్ పదుల క్వాడ్రిలియన్లు 3వ అంకె పదుల క్వాడ్రిలియన్లు	1 000 000 000 000 000 = 10 15 10 000 000 000 000 000 = 10 16 100 000 000 000 000 000 = 10 17
7వ తరగతి క్విన్టిలియన్లు	క్వింటిలియన్ యూనిట్ యొక్క 1వ అంకె 2వ కేటగిరీ పదుల క్వింటిలియన్లు 3వ అంకె వంద క్విన్టిలియన్	1 000 000 000 000 000 000 = 10 18 10 000 000 000 000 000 000 = 10 19 100 000 000 000 000 000 000 = 10 20
8వ తరగతి సెక్స్‌టిలియన్స్	సెక్స్‌టిలియన్ యూనిట్ యొక్క 1వ అంకె 2వ ర్యాంక్ పదుల సెక్స్‌టిలియన్‌లు 3వ ర్యాంక్ వంద సెక్స్‌టిలియన్	1 000 000 000 000 000 000 000 = 10 21 10 000 000 000 000 000 000 000 = 10 22 1 00 000 000 000 000 000 000 000 = 10 23
9వ తరగతి సెప్టిలియన్లు	సెప్టిలియన్ యూనిట్ యొక్క 1వ అంకె 2వ వర్గం పదుల సెప్టిలియన్లు 3వ అంకె వంద సెప్టిలియన్	1 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 24 10 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 25 100 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 26
10వ తరగతి ఆక్టిలియన్	ఆక్టిలియన్ యూనిట్ యొక్క 1వ అంకె 2వ అంకె పదుల ఆక్టిలియన్లు 3వ అంకె వంద ఆక్టిలియన్	1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 27 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 28 100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 29