తో పని చేద్దాం వర్గ సమీకరణాలు. ఇవి చాలా ప్రజాదరణ పొందిన సమీకరణాలు! దాని అత్యంత సాధారణ రూపంలో, ఒక వర్గ సమీకరణం ఇలా కనిపిస్తుంది:
ఉదాహరణకి:
ఇక్కడ ఎ =1; బి = 3; సి = -4
ఇక్కడ ఎ =2; బి = -0,5; సి = 2,2
ఇక్కడ ఎ =-3; బి = 6; సి = -18
బాగా, మీకు అర్థమైంది ...
వర్గ సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలి?మీరు ఈ రూపంలో మీ ముందు చతురస్రాకార సమీకరణాన్ని కలిగి ఉంటే, అప్పుడు ప్రతిదీ సులభం. మేజిక్ పదాన్ని గుర్తుంచుకోండి వివక్షత . చాలా అరుదుగా హైస్కూల్ విద్యార్థి ఈ మాట వినలేదు! "మేము వివక్షతతో పరిష్కరించుకుంటాము" అనే పదబంధం విశ్వాసం మరియు భరోసాను ప్రేరేపిస్తుంది. ఎందుకంటే వివక్ష చూపేవారి నుంచి మాయలు ఆశించాల్సిన అవసరం లేదు! ఇది ఉపయోగించడానికి సులభమైనది మరియు ఇబ్బంది లేనిది. కాబట్టి, వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనే సూత్రం ఇలా కనిపిస్తుంది:
మూలం యొక్క సంకేతం క్రింద ఉన్న వ్యక్తీకరణ ఒకటి వివక్షత. మీరు చూడగలిగినట్లుగా, Xని కనుగొనడానికి, మేము ఉపయోగిస్తాము a, b మరియు c మాత్రమే. ఆ. క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం నుండి గుణకాలు. విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రత్యామ్నాయం చేయండి a, b మరియు cఇది మేము లెక్కించే ఫార్ములా. ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం మీ స్వంత సంకేతాలతో! ఉదాహరణకు, మొదటి సమీకరణం కోసం ఎ =1; బి = 3; సి= -4. ఇక్కడ మేము వ్రాస్తాము:
ఉదాహరణ దాదాపుగా పరిష్కరించబడింది:
అంతే.
ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగించినప్పుడు ఏ సందర్భాలలో సాధ్యమవుతుంది? మూడు కేసులు మాత్రమే ఉన్నాయి.
1. వివక్షత సానుకూలంగా ఉంటుంది. దీని అర్థం దాని నుండి మూలాన్ని తీయవచ్చు. రూట్ బాగా లేదా పేలవంగా సంగ్రహించబడిందా అనేది మరొక ప్రశ్న. సూత్రప్రాయంగా సంగ్రహించబడినది ముఖ్యమైనది. అప్పుడు మీ వర్గ సమీకరణానికి రెండు మూలాలు ఉంటాయి. రెండు వేర్వేరు పరిష్కారాలు.
2. వివక్షత సున్నా. అప్పుడు మీకు ఒక పరిష్కారం ఉంది. ఖచ్చితంగా చెప్పాలంటే, ఇది ఒక మూలం కాదు, కానీ రెండు ఒకేలా. కానీ ఇది అసమానతలలో పాత్ర పోషిస్తుంది, ఇక్కడ మేము సమస్యను మరింత వివరంగా అధ్యయనం చేస్తాము.
3. వివక్షత ప్రతికూలమైనది. ప్రతికూల సంఖ్య యొక్క వర్గమూలం తీసుకోబడదు. సరే, సరే. దీని అర్థం పరిష్కారాలు లేవు.
ప్రతిదీ చాలా సులభం. మరియు ఏమి, తప్పు చేయడం అసాధ్యం అని మీరు అనుకుంటున్నారా? బాగా, అవును, ఎలా ...
అత్యంత సాధారణ తప్పులు సంకేత విలువలతో గందరగోళం a, b మరియు c. లేదా బదులుగా, వారి సంకేతాలతో కాదు (ఎక్కడ గందరగోళం చెందాలి?), కానీ ప్రతికూల విలువలను మూలాలను లెక్కించే సూత్రంలోకి మార్చడం ద్వారా. నిర్దిష్ట సంఖ్యలతో ఫార్ములా యొక్క వివరణాత్మక రికార్డింగ్ ఇక్కడ సహాయపడుతుంది. లెక్కల విషయంలో సమస్యలుంటే.. అది చెయ్యి!
మేము ఈ క్రింది ఉదాహరణను పరిష్కరించాల్సిన అవసరం ఉందని అనుకుందాం:
ఇక్కడ a = -6; b = -5; c = -1
మీరు మొదటిసారి సమాధానాలు చాలా అరుదుగా పొందుతారని మీకు తెలుసని అనుకుందాం.
బాగా, సోమరితనం లేదు. అదనపు పంక్తిని వ్రాయడానికి దాదాపు 30 సెకన్లు పడుతుంది. మరియు ఎర్రర్‌ల సంఖ్య బాగా తగ్గుతుంది. కాబట్టి మేము అన్ని బ్రాకెట్లు మరియు సంకేతాలతో వివరంగా వ్రాస్తాము:
అంత జాగ్రత్తగా రాయడం చాలా కష్టంగా అనిపిస్తుంది. కానీ అది మాత్రమే అనిపిస్తుంది. దీనిని ఒకసారి ప్రయత్నించండి. బాగా, లేదా ఎంచుకోండి. ఏది మంచిది, వేగవంతమైనది లేదా సరైనది? అంతేకాకుండా, నేను మిమ్మల్ని సంతోషపరుస్తాను. కొంతకాలం తర్వాత, ప్రతిదీ చాలా జాగ్రత్తగా రాయాల్సిన అవసరం ఉండదు. ఇది దానంతట అదే పని చేస్తుంది. ముఖ్యంగా మీరు క్రింద వివరించిన ఆచరణాత్మక పద్ధతులను ఉపయోగిస్తే. మైనస్‌ల సమూహంతో ఈ చెడు ఉదాహరణ సులభంగా మరియు లోపాలు లేకుండా పరిష్కరించబడుతుంది!
కాబట్టి, క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలివివక్షత ద్వారా మేము జ్ఞాపకం చేసుకున్నాము. లేదా వారు నేర్చుకున్నారు, ఇది కూడా మంచిది. సరిగ్గా ఎలా నిర్ణయించాలో మీకు తెలుసు a, b మరియు c. నీకు ఎలాగో తెల్సా? శ్రద్ధగావాటిని రూట్ ఫార్ములాలో ప్రత్యామ్నాయం చేయండి మరియు శ్రద్ధగాఫలితాన్ని లెక్కించండి. ఇక్కడ కీలక పదం అని మీరు అర్థం చేసుకున్నారు శ్రద్ధగా?
అయితే, వర్గ సమీకరణాలు తరచుగా కొద్దిగా భిన్నంగా కనిపిస్తాయి. ఉదాహరణకు, ఇలా:
ఈ అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలు . వాటిని వివక్షత ద్వారా కూడా పరిష్కరించవచ్చు. అవి ఇక్కడ దేనికి సమానమో మీరు సరిగ్గా అర్థం చేసుకోవాలి. a, b మరియు c.
మీరు దాన్ని కనుగొన్నారా? మొదటి ఉదాహరణలో a = 1; బి = -4;ఎ సి? అది అస్సలు లేదు! అవును, అది నిజమే. గణితంలో దీని అర్థం c = 0 ! అంతే. బదులుగా ఫార్ములాలో సున్నాని ప్రత్యామ్నాయం చేయండి c,మరియు మేము విజయం సాధిస్తాము. రెండవ ఉదాహరణతో అదే. ఇక్కడ మనకు మాత్రమే సున్నా లేదు తో, ఎ బి !
కానీ అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలను చాలా సరళంగా పరిష్కరించవచ్చు. ఎలాంటి వివక్ష లేకుండా. మొదటి అసంపూర్ణ సమీకరణాన్ని పరిశీలిద్దాం. మీరు ఎడమ వైపు ఏమి చేయవచ్చు? మీరు X బ్రాకెట్ల నుండి తీయవచ్చు! బయటకు తీసుకుందాం.
మరియు దీని నుండి ఏమిటి? మరియు ఏదైనా కారకాలు సున్నాకి సమానం అయితే మాత్రమే ఉత్పత్తి సున్నాకి సమానం! నన్ను నమ్మలేదా? సరే, రెండు సున్నా కాని సంఖ్యలతో రండి, గుణించినప్పుడు సున్నా వస్తుంది!
పని చేయదు? అంతే...
కాబట్టి, మేము నమ్మకంగా వ్రాయవచ్చు: x = 0, లేదా x = 4
అన్నీ. ఇవి మన సమీకరణానికి మూలాలుగా ఉంటాయి. రెండూ సరిపోతాయి. వాటిలో దేనినైనా అసలు సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేసినప్పుడు, మనకు సరైన గుర్తింపు 0 = 0 వస్తుంది. మీరు చూడగలిగినట్లుగా, వివక్షను ఉపయోగించడం కంటే పరిష్కారం చాలా సులభం.
రెండవ సమీకరణాన్ని కూడా సరళంగా పరిష్కరించవచ్చు. 9ని కుడి వైపుకు తరలించండి. మాకు దొరికింది:
9 నుండి మూలాన్ని సంగ్రహించడం మాత్రమే మిగిలి ఉంది మరియు అంతే. ఇది మారుతుంది:
అలాగే రెండు మూలాలు . x = +3 మరియు x = -3.
ఈ విధంగా అన్ని అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలు పరిష్కరించబడతాయి. బ్రాకెట్ల నుండి Xని ఉంచడం ద్వారా లేదా సంఖ్యను కుడివైపుకి తరలించి, ఆపై మూలాన్ని సంగ్రహించడం ద్వారా.
ఈ పద్ధతులను గందరగోళానికి గురిచేయడం చాలా కష్టం. ఎందుకంటే మొదటి సందర్భంలో మీరు X యొక్క మూలాన్ని తీయవలసి ఉంటుంది, ఇది ఏదో ఒకవిధంగా అపారమయినది, మరియు రెండవ సందర్భంలో బ్రాకెట్ల నుండి తీయడానికి ఏమీ లేదు...
ఇప్పుడు లోపాల సంఖ్యను నాటకీయంగా తగ్గించే ఆచరణాత్మక పద్ధతులను గమనించండి. అజాగ్రత్త కారణంగా అవే... తర్వాత అది బాధాకరంగా, అభ్యంతరకరంగా మారుతుంది...
మొదటి నియామకం. వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించే ముందు సోమరితనంతో ఉండకండి మరియు దానిని ప్రామాణిక రూపానికి తీసుకురండి. దీని అర్థం ఏమిటి?
అన్ని పరివర్తనల తర్వాత మీరు ఈ క్రింది సమీకరణాన్ని పొందుతారని చెప్పండి:
మూల సూత్రాన్ని వ్రాయడానికి తొందరపడకండి! మీరు దాదాపు ఖచ్చితంగా అసమానతలను మిళితం చేస్తారు a, b మరియు c.ఉదాహరణను సరిగ్గా రూపొందించండి. మొదట, X స్క్వేర్డ్, తర్వాత స్క్వేర్ లేకుండా, తర్వాత ఫ్రీ టర్మ్. ఇలా:
మరలా, తొందరపడకండి! X స్క్వేర్డ్ ముందు ఉన్న మైనస్ మిమ్మల్ని కలవరపెడుతుంది. మర్చిపోవడం తేలికే... మైనస్‌ని వదిలించుకోండి. ఎలా? అవును, మునుపటి అంశంలో బోధించినట్లుగా! మేము మొత్తం సమీకరణాన్ని -1 ద్వారా గుణించాలి. మాకు దొరికింది:
కానీ ఇప్పుడు మీరు మూలాల కోసం సూత్రాన్ని సురక్షితంగా వ్రాసి, వివక్షను లెక్కించవచ్చు మరియు ఉదాహరణను పరిష్కరించడం ముగించవచ్చు. మీరే నిర్ణయించుకోండి. మీరు ఇప్పుడు 2 మరియు -1 మూలాలను కలిగి ఉండాలి.
రిసెప్షన్ రెండవది.మూలాలను తనిఖీ చేయండి! వియెటా సిద్ధాంతం ప్రకారం. భయపడవద్దు, నేను ప్రతిదీ వివరిస్తాను! తనిఖీ చేస్తోంది చివరి విషయంసమీకరణం. ఆ. మేము మూల సూత్రాన్ని వ్రాసేందుకు ఉపయోగించేది. ఒకవేళ (ఈ ఉదాహరణలో వలె) గుణకం a = 1, మూలాలను తనిఖీ చేయడం సులభం. వాటిని గుణిస్తే సరిపోతుంది. ఫలితం ఉచిత సభ్యుడు అయి ఉండాలి, అనగా. మా విషయంలో -2. దయచేసి గమనించండి, 2 కాదు, కానీ -2! ఉచిత సభ్యుడు మీ గుర్తుతో
. అది పని చేయకపోతే, వారు ఇప్పటికే ఎక్కడో చిక్కుకున్నారని అర్థం. లోపం కోసం చూడండి. ఇది పని చేస్తే, మీరు మూలాలను జోడించాలి. చివరి మరియు చివరి తనిఖీ. గుణకం ఉండాలి బితో ఎదురుగా
తెలిసిన. మా విషయంలో -1+2 = +1. ఒక గుణకం బి, ఇది X కి ముందు, -1కి సమానం. కాబట్టి, ప్రతిదీ సరైనది!
గుణకంతో x స్క్వేర్డ్ స్వచ్ఛంగా ఉన్న ఉదాహరణలకు మాత్రమే ఇది చాలా సులభం కావడం విచారకరం a = 1.అయితే కనీసం అలాంటి సమీకరణలనైనా తనిఖీ చేయండి! తక్కువ మరియు తక్కువ లోపాలు ఉంటాయి.
రిసెప్షన్ మూడవది. మీ సమీకరణంలో పాక్షిక గుణకాలు ఉంటే, భిన్నాలను వదిలించుకోండి! మునుపటి విభాగంలో వివరించిన విధంగా సమీకరణాన్ని సాధారణ హారం ద్వారా గుణించండి. భిన్నాలతో పని చేస్తున్నప్పుడు, కొన్ని కారణాల వల్ల లోపాలు పెరుగుతూనే ఉంటాయి...
మార్గం ద్వారా, నేను మైనస్‌ల సమూహంతో చెడు ఉదాహరణను సరళీకృతం చేస్తానని వాగ్దానం చేసాను. దయచేసి! ఇక్కడ అతను ఉన్నాడు.
మైనస్‌ల ద్వారా గందరగోళం చెందకుండా ఉండటానికి, మేము సమీకరణాన్ని -1 ద్వారా గుణిస్తాము. మాకు దొరికింది:
అంతే! పరిష్కరించడం ఆనందంగా ఉంది!
కాబట్టి, అంశాన్ని సంగ్రహిద్దాం.
ఆచరణాత్మక చిట్కాలు:
1. పరిష్కరించడానికి ముందు, మేము చతురస్రాకార సమీకరణాన్ని ప్రామాణిక రూపానికి తీసుకువస్తాము మరియు దానిని నిర్మిస్తాము కుడి.
2. X స్క్వేర్డ్ ముందు ప్రతికూల గుణకం ఉన్నట్లయితే, మేము మొత్తం సమీకరణాన్ని -1 ద్వారా గుణించడం ద్వారా దాన్ని తొలగిస్తాము.
3. గుణకాలు పాక్షికంగా ఉంటే, మేము మొత్తం సమీకరణాన్ని సంబంధిత కారకం ద్వారా గుణించడం ద్వారా భిన్నాలను తొలగిస్తాము.
4. x స్క్వేర్డ్ స్వచ్ఛంగా ఉంటే, దాని గుణకం ఒకదానికి సమానంగా ఉంటుంది, వియెటా సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి పరిష్కారాన్ని సులభంగా ధృవీకరించవచ్చు. చేయి!
భిన్న సమీకరణాలు. ODZ.
మేము సమీకరణాలపై పట్టు కొనసాగిస్తాము. లీనియర్ మరియు క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణాలతో ఎలా పని చేయాలో మనకు ఇప్పటికే తెలుసు. మిగిలి ఉన్న చివరి వీక్షణ - పాక్షిక సమీకరణాలు. లేదా వారిని మరింత గౌరవప్రదంగా కూడా పిలుస్తారు - పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాలు. ఇది అదే.
భిన్న సమీకరణాలు.
పేరు సూచించినట్లుగా, ఈ సమీకరణాలు తప్పనిసరిగా భిన్నాలను కలిగి ఉంటాయి. కానీ భిన్నాలు మాత్రమే కాదు, కలిగి ఉన్న భిన్నాలు హారంలో తెలియదు. కనీసం ఒకదానిలో. ఉదాహరణకి:
హారం మాత్రమే ఉంటే నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను సంఖ్యలు, ఇవి సరళ సమీకరణాలు.
ఎలా నిర్ణయించుకోవాలి పాక్షిక సమీకరణాలు? అన్నింటిలో మొదటిది, భిన్నాలను వదిలించుకోండి! దీని తరువాత, సమీకరణం చాలా తరచుగా సరళ లేదా చతుర్భుజంగా మారుతుంది. ఆపై ఏమి చేయాలో మనకు తెలుసు... కొన్ని సందర్భాల్లో ఇది 5=5 లేదా 7=2 వంటి తప్పు వ్యక్తీకరణ వంటి గుర్తింపుగా మారవచ్చు. కానీ ఇది చాలా అరుదుగా జరుగుతుంది. నేను ఈ క్రింద ప్రస్తావిస్తాను.
అయితే భిన్నాలను ఎలా వదిలించుకోవాలి!? చాలా సింపుల్. ఒకే విధమైన పరివర్తనలను వర్తింపజేయడం.
మేము మొత్తం సమీకరణాన్ని ఒకే వ్యక్తీకరణతో గుణించాలి. తద్వారా అన్ని హారం తగ్గింది! ప్రతిదీ వెంటనే సులభం అవుతుంది. ఒక ఉదాహరణతో వివరిస్తాను. మనం సమీకరణాన్ని పరిష్కరించాలి:
మీరు ప్రాథమిక పాఠశాలలో ఎలా బోధించారు? మేము అన్నింటినీ ఒక వైపుకు తరలిస్తాము, దానిని సాధారణ హారంలోకి తీసుకువస్తాము, మొదలైనవి. చెడ్డ కలలా మరచిపో! మీరు భిన్నాలను జోడించినప్పుడు లేదా తీసివేసినప్పుడు మీరు చేయాల్సింది ఇదే. లేదా మీరు అసమానతలతో పని చేస్తారు. మరియు సమీకరణాలలో, మేము అన్ని హారంలను (అంటే, సారాంశంలో, ఒక సాధారణ హారం ద్వారా) తగ్గించే అవకాశాన్ని అందించే వ్యక్తీకరణ ద్వారా వెంటనే రెండు వైపులా గుణిస్తాము. మరియు ఈ వ్యక్తీకరణ ఏమిటి?
ఎడమ వైపున, హారం తగ్గించడం ద్వారా గుణించడం అవసరం x+2. మరియు కుడి వైపున, 2 ద్వారా గుణించడం అవసరం. అంటే సమీకరణాన్ని గుణించాలి 2(x+2). గుణించండి:
ఇది భిన్నాల యొక్క సాధారణ గుణకారం, కానీ నేను దానిని వివరంగా వివరిస్తాను:
నేను ఇంకా బ్రాకెట్‌ను తెరవడం లేదని దయచేసి గమనించండి (x + 2)! కాబట్టి, నేను పూర్తిగా వ్రాస్తాను:
ఎడమ వైపున అది పూర్తిగా కుదించబడుతుంది (x+2), మరియు కుడివైపు 2. ఏది అవసరమో! తగ్గింపు తర్వాత మనకు లభిస్తుంది సరళసమీకరణం:
మరియు ప్రతి ఒక్కరూ ఈ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించగలరు! x = 2.
మరొక ఉదాహరణను పరిష్కరిద్దాం, కొంచెం క్లిష్టంగా ఉంటుంది:
మేము 3 = 3/1 అని గుర్తుంచుకుంటే, మరియు 2x = 2x/ 1, మనం వ్రాయవచ్చు:
మళ్ళీ మనం నిజంగా ఇష్టపడని వాటిని వదిలించుకుంటాము - భిన్నాలు.
X తో హారం తగ్గించడానికి, మేము భిన్నాన్ని గుణించాలి (x - 2). మరియు కొన్ని మాకు అడ్డంకి కాదు. సరే, గుణిద్దాం. అన్నీఎడమ వైపు మరియు అన్నికుడి వైపు:
మళ్ళీ కుండలీకరణాలు (x - 2)నేను వెల్లడించడం లేదు. నేను బ్రాకెట్‌తో ఒక సంఖ్య వలె పని చేస్తున్నాను! ఇది ఎల్లప్పుడూ చేయాలి, లేకుంటే ఏమీ తగ్గించబడదు.
లోతైన సంతృప్తి భావనతో మేము తగ్గిస్తాము (x - 2)మరియు మేము ఎటువంటి భిన్నాలు లేకుండా, పాలకుడితో సమీకరణాన్ని పొందుతాము!
ఇప్పుడు బ్రాకెట్లను తెరవండి:
మేము ఇలాంటి వాటిని తీసుకువస్తాము, ప్రతిదీ ఎడమ వైపుకు తరలించి, పొందండి:
క్లాసిక్ క్వాడ్రాటిక్ ఈక్వేషన్. కానీ ముందున్న మైనస్ మంచిది కాదు. -1తో గుణించడం లేదా భాగించడం ద్వారా మీరు దీన్ని ఎల్లప్పుడూ వదిలించుకోవచ్చు. కానీ మీరు ఉదాహరణను నిశితంగా పరిశీలిస్తే, ఈ సమీకరణాన్ని -2 ద్వారా విభజించడం ఉత్తమమని మీరు గమనించవచ్చు! ఒక్కసారిగా, మైనస్ అదృశ్యమవుతుంది మరియు అసమానత మరింత ఆకర్షణీయంగా మారుతుంది! -2 ద్వారా భాగించండి. ఎడమ వైపున - పదం ద్వారా పదం, మరియు కుడి వైపున - సున్నాని -2, సున్నాతో విభజించండి మరియు మనం పొందుతాము:
మేము వివక్షత ద్వారా పరిష్కరిస్తాము మరియు వియెటా సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి తనిఖీ చేస్తాము. మాకు దొరికింది x = 1 మరియు x = 3. రెండు మూలాలు.
మీరు చూడగలిగినట్లుగా, మొదటి సందర్భంలో పరివర్తన తర్వాత సమీకరణం సరళంగా మారింది, కానీ ఇక్కడ అది చతురస్రాకారంగా మారుతుంది. భిన్నాలను వదిలించుకున్న తర్వాత, అన్ని X లు తగ్గుతాయి. 5=5 లాగా ఏదో మిగిలి ఉంది. దాని అర్థం ఏమిటంటే x ఏదైనా కావచ్చు. ఏది ఏమైనా ఇంకా తగ్గుతుంది. మరియు అది స్వచ్ఛమైన సత్యంగా మారుతుంది, 5=5. కానీ, భిన్నాలను తొలగించిన తర్వాత, అది 2=7 లాగా పూర్తిగా అవాస్తవంగా మారవచ్చు. మరియు దీని అర్థం పరిష్కారాలు లేవు! ఏదైనా X అవాస్తవమని తేలింది.
ప్రధాన పరిష్కారాన్ని గ్రహించారు పాక్షిక సమీకరణాలు? ఇది సరళమైనది మరియు తార్కికం. మేము అసలు వ్యక్తీకరణను మారుస్తాము, తద్వారా మనకు నచ్చని ప్రతిదీ అదృశ్యమవుతుంది. లేదా అది జోక్యం చేసుకుంటుంది. ఈ సందర్భంలో, ఇవి భిన్నాలు. మేము లాగరిథమ్‌లు, సైన్స్ మరియు ఇతర భయానక అంశాలతో కూడిన అన్ని రకాల సంక్లిష్ట ఉదాహరణలతో కూడా అదే చేస్తాము. మేము ఎల్లప్పుడూవీటన్నింటిని వదిలించుకుందాం.
అయితే, అసలు వ్యక్తీకరణను మనకు అవసరమైన దిశలో మార్చాలి నిబంధనల ప్రకారం, అవును... గణితంలో యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌కు సన్నద్ధం కావడం దీని నైపుణ్యం. కాబట్టి మేము దానిపై పట్టు సాధిస్తున్నాము.
ఇప్పుడు మనం ఒకదానిని ఎలా దాటవేయాలో నేర్చుకుంటాము ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్షలో ప్రధాన ఆకస్మిక దాడులు! అయితే మొదట, మీరు దానిలో పడతారో లేదో చూద్దాం?
ఒక సాధారణ ఉదాహరణ చూద్దాం:
విషయం ఇప్పటికే తెలిసినది, మేము రెండు వైపులా గుణిస్తాము (x - 2), మాకు దొరికింది:
బ్రాకెట్లతో నేను మీకు గుర్తు చేస్తున్నాను (x - 2)మేము ఒకదానితో ఒకటి, సమగ్ర వ్యక్తీకరణతో పని చేస్తాము!
ఇక్కడ నేను ఇకపై హారంలో ఒకటి వ్రాయలేదు, అది గౌరవప్రదమైనది కాదు... మరియు నేను హారంలో బ్రాకెట్లను గీయలేదు, తప్ప x - 2ఏమీ లేదు, మీరు డ్రా చేయవలసిన అవసరం లేదు. కుదించుదాం:
కుండలీకరణాలను తెరిచి, అన్నింటినీ ఎడమవైపుకి తరలించి, ఇలాంటి వాటిని ఇవ్వండి:
మేము పరిష్కరిస్తాము, తనిఖీ చేస్తాము, మనకు రెండు మూలాలు లభిస్తాయి. x = 2మరియు x = 3. గొప్ప.
అసైన్‌మెంట్‌లో రూట్‌ను వ్రాయమని లేదా ఒకటి కంటే ఎక్కువ రూట్‌లు ఉంటే వాటి మొత్తాన్ని రాయమని చెప్పండి. మనం ఏమి వ్రాయబోతున్నాం?
మీరు సమాధానం 5 అని నిర్ణయించుకుంటే, మీరు మెరుపుదాడి చేశారు. మరియు పని మీకు క్రెడిట్ చేయబడదు. ఫలించలేదు... సరైన సమాధానం 3.
ఏంటి విషయం?! మరియు మీరు చెక్ చేయడానికి ప్రయత్నించండి. తెలియని వాటి విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి అసలుఉదాహరణ. మరియు వద్ద ఉంటే x = 3ప్రతిదీ కలిసి అద్భుతంగా పెరుగుతుంది, మనకు 9 = 9 వస్తుంది, అప్పుడు ఎప్పుడు x = 2ఇది సున్నా ద్వారా భాగించబడుతుంది! మీరు ఖచ్చితంగా ఏమి చేయలేరు. అర్థం x = 2అనేది పరిష్కారం కాదు మరియు సమాధానంలో పరిగణనలోకి తీసుకోబడదు. ఇది అదనపు లేదా అదనపు మూలం అని పిలవబడేది. మేము దానిని విస్మరిస్తాము. చివరి రూట్ ఒకటి. x = 3.
అది ఎలా?! - నేను కోపంతో కూడిన ఆశ్చర్యార్థకాలు వింటాను. ఒక సమీకరణాన్ని వ్యక్తీకరణ ద్వారా గుణించవచ్చని మేము బోధించాము! ఇది ఒకేలా పరివర్తన!
అవును, ఒకేలా. చిన్న స్థితిలో - మనం గుణించే (విభజించే) వ్యక్తీకరణ - సున్నా నుండి భిన్నమైనది. ఎ x - 2వద్ద x = 2సున్నాకి సమానం! కాబట్టి ప్రతిదీ న్యాయంగా ఉంటుంది.
మరియు ఇప్పుడు నేను ఏమి చేయగలను?! వ్యక్తీకరణ ద్వారా గుణించకూడదా? నేను ప్రతిసారీ తనిఖీ చేయాలా? మళ్ళీ అస్పష్టంగా ఉంది!
ప్రశాంతంగా! ఆందోళన పడకండి!
ఈ క్లిష్ట పరిస్థితిలో, మూడు మేజిక్ అక్షరాలు మనలను కాపాడతాయి. నువ్వు ఏం ఆలోచిస్తున్నావో నాకు తెలుసు. నిజమే! ఈ ODZ . ఆమోదయోగ్యమైన విలువల ప్రాంతం.
ఆధునిక సమాజంలో, స్క్వేర్డ్ వేరియబుల్‌ను కలిగి ఉన్న సమీకరణాలతో కార్యకలాపాలను నిర్వహించగల సామర్థ్యం అనేక కార్యకలాపాలలో ఉపయోగపడుతుంది మరియు శాస్త్రీయ మరియు సాంకేతిక పరిణామాలలో ఆచరణలో విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది. సముద్ర మరియు నదీ నాళాలు, విమానాలు మరియు క్షిపణుల రూపకల్పనలో దీనికి సాక్ష్యం లభిస్తుంది. అటువంటి గణనలను ఉపయోగించి, అంతరిక్ష వస్తువులతో సహా అనేక రకాల శరీరాల కదలికల పథాలు నిర్ణయించబడతాయి. వర్గ సమీకరణాల పరిష్కారంతో ఉదాహరణలు ఆర్థిక అంచనాలో, భవనాల రూపకల్పన మరియు నిర్మాణంలో మాత్రమే కాకుండా, అత్యంత సాధారణ రోజువారీ పరిస్థితులలో కూడా ఉపయోగించబడతాయి. హైకింగ్ ట్రిప్స్‌లో, స్పోర్ట్స్ ఈవెంట్‌లలో, కొనుగోళ్లు చేసేటప్పుడు స్టోర్‌లలో మరియు ఇతర చాలా సాధారణ పరిస్థితులలో అవి అవసరం కావచ్చు.
వ్యక్తీకరణను దాని కాంపోనెంట్ ఫ్యాక్టర్‌లుగా విడదీద్దాం
సమీకరణం యొక్క డిగ్రీ వ్యక్తీకరణ కలిగి ఉన్న వేరియబుల్ యొక్క డిగ్రీ గరిష్ట విలువ ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. ఇది 2కి సమానం అయితే, అటువంటి సమీకరణాన్ని చతుర్భుజం అంటారు.
మేము సూత్రాల భాషలో మాట్లాడినట్లయితే, సూచించిన వ్యక్తీకరణలు, అవి ఎలా కనిపించినా, వ్యక్తీకరణ యొక్క ఎడమ వైపు మూడు పదాలను కలిగి ఉన్నప్పుడు ఎల్లప్పుడూ రూపానికి తీసుకురావచ్చు. వాటిలో: గొడ్డలి 2 (అనగా, దాని గుణకంతో కూడిన వేరియబుల్), bx (దాని గుణకంతో చదరపు లేకుండా తెలియనిది) మరియు c (ఉచిత భాగం, అంటే సాధారణ సంఖ్య). కుడి వైపున ఉన్న ఇవన్నీ 0కి సమానం. అటువంటి బహుపదిలో గొడ్డలి 2 మినహా దానిలోని ఒక పదం లేనప్పుడు, దానిని అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణం అంటారు. అటువంటి సమస్యల పరిష్కారంతో ఉదాహరణలు, సులభంగా కనుగొనగలిగే వేరియబుల్స్ యొక్క విలువలను ముందుగా పరిగణించాలి.
వ్యక్తీకరణకు కుడి వైపున రెండు పదాలు ఉన్నట్లు కనిపిస్తే, మరింత ఖచ్చితంగా గొడ్డలి 2 మరియు bx, బ్రాకెట్ల నుండి వేరియబుల్‌ను ఉంచడం ద్వారా xని కనుగొనడం సులభమయిన మార్గం. ఇప్పుడు మన సమీకరణం ఇలా ఉంటుంది: x(ax+b). తరువాత, x=0, లేదా సమస్య క్రింది వ్యక్తీకరణ నుండి వేరియబుల్‌ను కనుగొనడంలో క్రిందికి వస్తుంది: ax+b=0. ఇది గుణకారం యొక్క లక్షణాలలో ఒకటి ద్వారా నిర్దేశించబడుతుంది. నియమం ప్రకారం, రెండు కారకాల యొక్క ఉత్పత్తి వాటిలో ఒకటి సున్నా అయితే మాత్రమే 0 వస్తుంది.
ఉదాహరణ
x=0 లేదా 8x - 3 = 0
ఫలితంగా, మేము సమీకరణం యొక్క రెండు మూలాలను పొందుతాము: 0 మరియు 0.375.
ఈ రకమైన సమీకరణాలు గురుత్వాకర్షణ ప్రభావంతో శరీరాల కదలికను వివరించగలవు, ఇది కోఆర్డినేట్‌ల మూలంగా తీసుకోబడిన ఒక నిర్దిష్ట పాయింట్ నుండి కదలడం ప్రారంభించింది. ఇక్కడ గణిత సంజ్ఞామానం క్రింది రూపాన్ని తీసుకుంటుంది: y = v 0 t + gt 2/2. అవసరమైన విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేయడం ద్వారా, కుడి వైపును 0కి సమం చేయడం మరియు సాధ్యం తెలియని వాటిని కనుగొనడం ద్వారా, శరీరం పైకి లేచిన క్షణం నుండి అది పడిపోయే వరకు గడిచే సమయాన్ని, అలాగే అనేక ఇతర పరిమాణాలను మీరు కనుగొనవచ్చు. కానీ మేము దీని గురించి తరువాత మాట్లాడుతాము.
ఒక వ్యక్తీకరణ కారకం
పైన వివరించిన నియమం మరింత సంక్లిష్ట సందర్భాలలో ఈ సమస్యలను పరిష్కరించడం సాధ్యం చేస్తుంది. ఈ రకమైన వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించే ఉదాహరణలను చూద్దాం.
X 2 - 33x + 200 = 0
ఈ చతుర్భుజ త్రికోణం పూర్తయింది. ముందుగా, వ్యక్తీకరణను మార్చండి మరియు దానిని కారకం చేద్దాం. వాటిలో రెండు ఉన్నాయి: (x-8) మరియు (x-25) = 0. ఫలితంగా, మనకు 8 మరియు 25 అనే రెండు మూలాలు ఉన్నాయి.
గ్రేడ్ 9లో వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించే ఉదాహరణలు ఈ పద్ధతిని రెండవది మాత్రమే కాకుండా, మూడవ మరియు నాల్గవ ఆర్డర్‌లలో కూడా వ్యక్తీకరణలలో వేరియబుల్‌ను కనుగొనడానికి అనుమతిస్తాయి.
ఉదాహరణకు: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. వేరియబుల్‌తో కుడి వైపును కారకాలుగా మార్చినప్పుడు, వాటిలో మూడు ఉన్నాయి, అంటే (x+1), (x-3) మరియు (x+ 3)
ఫలితంగా, ఈ సమీకరణానికి మూడు మూలాలు ఉన్నాయని స్పష్టమవుతుంది: -3; -1; 3.
వర్గమూలం
అసంపూర్తిగా ఉన్న రెండవ-ఆర్డర్ సమీకరణం యొక్క మరొక సందర్భం అక్షర భాషలో ప్రాతినిధ్యం వహించే వ్యక్తీకరణ, ఆ విధంగా కుడి వైపు భాగం గొడ్డలి 2 మరియు c భాగాల నుండి నిర్మించబడుతుంది. ఇక్కడ, వేరియబుల్ యొక్క విలువను పొందడానికి, ఉచిత పదం కుడి వైపుకు బదిలీ చేయబడుతుంది మరియు ఆ తర్వాత సమానత్వం యొక్క రెండు వైపుల నుండి వర్గమూలం సంగ్రహించబడుతుంది. ఈ సందర్భంలో సాధారణంగా సమీకరణం యొక్క రెండు మూలాలు ఉన్నాయని గమనించాలి. వేరియబుల్ సున్నాకి సమానం అనే పదాన్ని కలిగి ఉండని సమానత్వాలు మాత్రమే మినహాయింపులు, అలాగే కుడి వైపు ప్రతికూలంగా మారినప్పుడు వ్యక్తీకరణల వైవిధ్యాలు. తరువాతి సందర్భంలో, పై చర్యలను మూలాలతో నిర్వహించలేనందున, ఎటువంటి పరిష్కారాలు లేవు. ఈ రకమైన వర్గ సమీకరణాలకు పరిష్కారాల ఉదాహరణలను పరిగణించాలి.
ఈ సందర్భంలో, సమీకరణం యొక్క మూలాలు సంఖ్యలు -4 మరియు 4గా ఉంటాయి.
భూభాగం యొక్క గణన
ఈ రకమైన గణనల అవసరం పురాతన కాలంలో కనిపించింది, ఎందుకంటే ఆ సుదూర కాలంలో గణితశాస్త్రం యొక్క అభివృద్ధి ఎక్కువగా భూమి ప్లాట్లు యొక్క ప్రాంతాలు మరియు చుట్టుకొలతలను గొప్ప ఖచ్చితత్వంతో నిర్ణయించాల్సిన అవసరం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది.
ఈ రకమైన సమస్యల ఆధారంగా వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించే ఉదాహరణలను కూడా మనం పరిగణించాలి.
కాబట్టి, ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార భూమి ఉందని అనుకుందాం, దీని పొడవు వెడల్పు కంటే 16 మీటర్లు ఎక్కువ. మీరు దాని ప్రాంతం 612 m2 అని మీకు తెలిస్తే, మీరు సైట్ యొక్క పొడవు, వెడల్పు మరియు చుట్టుకొలతను కనుగొనాలి.
ప్రారంభించడానికి, ముందుగా అవసరమైన సమీకరణాన్ని క్రియేట్ చేద్దాం. ప్రాంతం యొక్క వెడల్పును xతో సూచిస్తాము, అప్పుడు దాని పొడవు (x+16) అవుతుంది. వ్రాసిన దాని ప్రకారం, ప్రాంతం x(x+16) అనే వ్యక్తీకరణ ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది, ఇది మన సమస్య యొక్క పరిస్థితుల ప్రకారం, 612. దీని అర్థం x(x+16) = 612.
పూర్తి వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం, మరియు ఈ వ్యక్తీకరణ సరిగ్గా అదే విధంగా చేయలేము. ఎందుకు? ఎడమ వైపు ఇప్పటికీ రెండు కారకాలు ఉన్నప్పటికీ, వాటి ఉత్పత్తి 0కి సమానం కాదు, కాబట్టి ఇక్కడ వేర్వేరు పద్ధతులు ఉపయోగించబడతాయి.
వివక్షత
అన్నింటిలో మొదటిది, మేము అవసరమైన పరివర్తనలను చేస్తాము, అప్పుడు ఈ వ్యక్తీకరణ యొక్క రూపాన్ని ఇలా కనిపిస్తుంది: x 2 + 16x - 612 = 0. దీని అర్థం మేము గతంలో పేర్కొన్న ప్రమాణానికి అనుగుణంగా వ్యక్తీకరణను స్వీకరించాము, ఇక్కడ a=1, b=16, c= -612.
వివక్షను ఉపయోగించి వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ఇది ఒక ఉదాహరణ కావచ్చు. ఇక్కడ పథకం ప్రకారం అవసరమైన లెక్కలు తయారు చేయబడతాయి: D = b 2 - 4ac. ఈ సహాయక పరిమాణం రెండవ-ఆర్డర్ సమీకరణంలో అవసరమైన పరిమాణాలను కనుగొనడం సాధ్యం చేయడమే కాకుండా, సాధ్యమయ్యే ఎంపికల సంఖ్యను నిర్ణయిస్తుంది. D>0 అయితే, వాటిలో రెండు ఉన్నాయి; D=0 కోసం ఒక రూట్ ఉంది. ఒకవేళ డి<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.
మూలాలు మరియు వాటి ఫార్ములా గురించి
మా విషయంలో, వివక్షత సమానం: 256 - 4(-612) = 2704. ఇది మా సమస్యకు సమాధానం ఉందని సూచిస్తుంది. మీకు k తెలిస్తే, చతురస్రాకార సమీకరణాల పరిష్కారం క్రింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించి కొనసాగించాలి. ఇది మూలాలను లెక్కించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.
అంటే సమర్పించబడిన సందర్భంలో: x 1 =18, x 2 =-34. ఈ గందరగోళంలో రెండవ ఎంపిక పరిష్కారం కాదు, ఎందుకంటే భూమి ప్లాట్ యొక్క కొలతలు ప్రతికూల పరిమాణంలో కొలవబడవు, అంటే x (అంటే ప్లాట్ యొక్క వెడల్పు) 18 మీ. ఇక్కడ నుండి మనం పొడవును లెక్కిస్తాము: 18 +16=34, మరియు చుట్టుకొలత 2(34+ 18)=104(మీ2).
ఉదాహరణలు మరియు పనులు
మేము చతుర్భుజ సమీకరణాల అధ్యయనాన్ని కొనసాగిస్తాము. వాటిలో అనేక ఉదాహరణలు మరియు వివరణాత్మక పరిష్కారాలు క్రింద ఇవ్వబడతాయి.
1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1
సమానత్వం యొక్క ఎడమ వైపుకు ప్రతిదానిని తరలించి, పరివర్తన చేయండి, అనగా, మేము సాధారణంగా ప్రామాణికం అని పిలువబడే సమీకరణ రకాన్ని పొందుతాము మరియు దానిని సున్నాకి సమం చేస్తాము.
15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0
సారూప్యమైన వాటిని జోడించడం ద్వారా, మేము వివక్షను నిర్ణయిస్తాము: D = 49 - 48 = 1. దీని అర్థం మన సమీకరణానికి రెండు మూలాలు ఉంటాయి. పై సూత్రం ప్రకారం వాటిని గణిద్దాం, అంటే వాటిలో మొదటిది 4/3కి మరియు రెండవది 1కి సమానంగా ఉంటుంది.
2) ఇప్పుడు వేరే రకమైన రహస్యాలను ఛేదిద్దాం.
ఇక్కడ x 2 - 4x + 5 = 1 మూలాలు ఉన్నాయో లేదో తెలుసుకుందాం? సమగ్ర సమాధానాన్ని పొందడానికి, బహుపదిని సంబంధిత సాధారణ రూపానికి తగ్గించి, వివక్షను గణిద్దాం. పై ఉదాహరణలో, వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించాల్సిన అవసరం లేదు, ఎందుకంటే ఇది సమస్య యొక్క సారాంశం కాదు. ఈ సందర్భంలో, D = 16 - 20 = -4, అంటే నిజంగా మూలాలు లేవు.
వియెటా సిద్ధాంతం
వర్గమూలం తరువాతి విలువ నుండి తీసుకున్నప్పుడు, పై సూత్రాలు మరియు వివక్షను ఉపయోగించి వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది. కానీ ఇది ఎల్లప్పుడూ జరగదు. అయితే, ఈ సందర్భంలో వేరియబుల్స్ విలువలను పొందేందుకు అనేక మార్గాలు ఉన్నాయి. ఉదాహరణ: వియెటా సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం. 16వ శతాబ్దంలో ఫ్రాన్స్‌లో నివసించిన ఆమె పేరు పెట్టబడింది మరియు అతని గణిత ప్రతిభ మరియు కోర్టులో ఉన్న సంబంధాలకు ధన్యవాదాలు. అతని చిత్రపటాన్ని వ్యాసంలో చూడవచ్చు.
ప్రసిద్ధ ఫ్రెంచ్ వ్యక్తి గమనించిన నమూనా ఈ క్రింది విధంగా ఉంది. సమీకరణం యొక్క మూలాలు సంఖ్యాపరంగా -p=b/aకి జోడిస్తాయని మరియు వాటి ఉత్పత్తి q=c/aకి అనుగుణంగా ఉంటుందని అతను నిరూపించాడు.
ఇప్పుడు నిర్దిష్ట పనులను చూద్దాం.
3x 2 + 21x - 54 = 0
సరళత కోసం, వ్యక్తీకరణను మారుద్దాం:
x 2 + 7x - 18 = 0
Vieta సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించుకుందాం, ఇది మనకు క్రింది వాటిని ఇస్తుంది: మూలాల మొత్తం -7, మరియు వాటి ఉత్పత్తి -18. ఇక్కడ నుండి సమీకరణం యొక్క మూలాలు -9 మరియు 2 సంఖ్యలు అని మేము పొందుతాము. తనిఖీ చేసిన తర్వాత, ఈ వేరియబుల్ విలువలు వ్యక్తీకరణకు నిజంగా సరిపోతాయని మేము నిర్ధారిస్తాము.
పారాబొలా గ్రాఫ్ మరియు సమీకరణం
క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్ మరియు క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణాల భావనలు దగ్గరి సంబంధం కలిగి ఉంటాయి. దీనికి ఉదాహరణలు ఇంతకు ముందు ఇవ్వబడ్డాయి. ఇప్పుడు కొన్ని గణిత చిక్కులను కొంచెం వివరంగా చూద్దాం. వివరించిన రకం యొక్క ఏదైనా సమీకరణం దృశ్యమానంగా సూచించబడుతుంది. అటువంటి సంబంధాన్ని గ్రాఫ్‌గా గీస్తే, దానిని పారాబొలా అంటారు. దాని వివిధ రకాలు క్రింది చిత్రంలో ప్రదర్శించబడ్డాయి.
ఏదైనా పారాబొలా ఒక శీర్షాన్ని కలిగి ఉంటుంది, అంటే దాని శాఖలు ఉద్భవించే బిందువు. a>0 అయితే, అవి అనంతానికి ఎత్తుకు వెళ్తాయి మరియు ఎప్పుడు a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.
ఫంక్షన్ల యొక్క విజువల్ ప్రాతినిధ్యాలు చతురస్రాకార వాటితో సహా ఏదైనా సమీకరణాలను పరిష్కరించడంలో సహాయపడతాయి. ఈ పద్ధతిని గ్రాఫికల్ అంటారు. మరియు x వేరియబుల్ యొక్క విలువ గ్రాఫ్ లైన్ 0xతో కలిసే పాయింట్ల వద్ద అబ్సిస్సా కోఆర్డినేట్. x 0 = -b/2a ఇచ్చిన సూత్రాన్ని ఉపయోగించి శీర్షం యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనవచ్చు. మరియు ఫలిత విలువను ఫంక్షన్ యొక్క అసలైన సమీకరణంలోకి మార్చడం ద్వారా, మీరు y 0ని కనుగొనవచ్చు, అనగా పారాబొలా యొక్క శీర్షం యొక్క రెండవ కోఆర్డినేట్, ఇది ఆర్డినేట్ అక్షానికి చెందినది.
అబ్సిస్సా అక్షంతో పారాబొలా యొక్క శాఖల ఖండన
వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి చాలా ఉదాహరణలు ఉన్నాయి, కానీ సాధారణ నమూనాలు కూడా ఉన్నాయి. వాటిని చూద్దాం. a>0 కోసం 0x అక్షంతో గ్రాఫ్ యొక్క ఖండన 0 ప్రతికూల విలువలను తీసుకుంటేనే సాధ్యమవుతుందని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది. మరియు ఒక కోసం<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. లేకపోతే డి<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.
పారాబొలా యొక్క గ్రాఫ్ నుండి మీరు మూలాలను కూడా నిర్ణయించవచ్చు. వ్యతిరేకం కూడా నిజం. అంటే, క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్ యొక్క దృశ్యమాన ప్రాతినిధ్యాన్ని పొందడం సులభం కానట్లయితే, మీరు వ్యక్తీకరణ యొక్క కుడి వైపును 0కి సమం చేయవచ్చు మరియు ఫలిత సమీకరణాన్ని పరిష్కరించవచ్చు. మరియు 0x అక్షంతో ఖండన పాయింట్లను తెలుసుకోవడం, గ్రాఫ్‌ను నిర్మించడం సులభం.
చరిత్ర నుండి
స్క్వేర్డ్ వేరియబుల్ కలిగి ఉన్న సమీకరణాలను ఉపయోగించి, పాత రోజుల్లో వారు గణిత గణనలను మాత్రమే చేయరు మరియు రేఖాగణిత బొమ్మల ప్రాంతాలను నిర్ణయించారు. భౌతిక శాస్త్రం మరియు ఖగోళ శాస్త్ర రంగాలలో గొప్ప ఆవిష్కరణలకు, అలాగే జ్యోతిషశాస్త్ర సూచనలను రూపొందించడానికి ప్రాచీనులకు ఇటువంటి గణనలు అవసరం.
ఆధునిక శాస్త్రవేత్తలు సూచించినట్లుగా, బాబిలోన్ నివాసులు చతురస్రాకార సమీకరణాలను పరిష్కరించిన వారిలో మొదటివారు. ఇది మన యుగానికి నాలుగు శతాబ్దాల ముందు జరిగింది. వాస్తవానికి, వారి లెక్కలు ప్రస్తుతం ఆమోదించబడిన వాటి నుండి పూర్తిగా భిన్నంగా ఉన్నాయి మరియు చాలా ప్రాచీనమైనవిగా మారాయి. ఉదాహరణకు, మెసొపొటేమియా గణిత శాస్త్రవేత్తలకు ప్రతికూల సంఖ్యల ఉనికి గురించి తెలియదు. ఏ ఆధునిక పాఠశాల పిల్లలకు తెలిసిన ఇతర సూక్ష్మ నైపుణ్యాలు కూడా వారికి తెలియవు.
బహుశా బాబిలోన్ శాస్త్రవేత్తల కంటే ముందే, భారతదేశానికి చెందిన బౌధయామ ఋషి వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం ప్రారంభించాడు. ఇది క్రీస్తు శకానికి ఎనిమిది శతాబ్దాల ముందు జరిగింది. నిజమే, అతను ఇచ్చిన రెండవ-ఆర్డర్ సమీకరణాలు, పరిష్కరించే పద్ధతులు చాలా సరళమైనవి. అతనితో పాటు, చైనీస్ గణిత శాస్త్రవేత్తలు కూడా పాత రోజుల్లో ఇలాంటి ప్రశ్నలపై ఆసక్తి కలిగి ఉన్నారు. ఐరోపాలో, చతురస్రాకార సమీకరణాలు 13 వ శతాబ్దం ప్రారంభంలో మాత్రమే పరిష్కరించడం ప్రారంభించాయి, అయితే తరువాత వాటిని న్యూటన్, డెస్కార్టెస్ మరియు అనేక ఇతర గొప్ప శాస్త్రవేత్తలు వారి రచనలలో ఉపయోగించారు.
చతుర్భుజ సమీకరణం - పరిష్కరించడం సులభం! *ఇకపై "KU" గా సూచిస్తారు.మిత్రులారా, గణితంలో అటువంటి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కంటే సరళమైనది మరొకటి ఉండదని అనిపిస్తుంది. కానీ అతనితో చాలా మందికి సమస్యలు ఉన్నాయని ఏదో నాకు చెప్పారు. Yandex నెలకు ఎన్ని ఆన్-డిమాండ్ ఇంప్రెషన్‌లను ఇస్తుందో చూడాలని నేను నిర్ణయించుకున్నాను. ఇక్కడ ఏమి జరిగింది, చూడండి:
దాని అర్థం ఏమిటి? దీని అర్థం నెలకు 70,000 మంది వ్యక్తులు ఈ సమాచారం కోసం చూస్తున్నారు, మరియు ఇది వేసవి, మరియు విద్యా సంవత్సరంలో ఏమి జరుగుతుంది - రెండు రెట్లు ఎక్కువ అభ్యర్థనలు ఉంటాయి. ఇది ఆశ్చర్యం కలిగించదు, ఎందుకంటే చాలా కాలం క్రితం పాఠశాల నుండి పట్టభద్రులైన మరియు యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌కు సిద్ధమవుతున్న అబ్బాయిలు మరియు బాలికలు ఈ సమాచారం కోసం వెతుకుతున్నారు మరియు పాఠశాల పిల్లలు కూడా వారి జ్ఞాపకశక్తిని రిఫ్రెష్ చేయడానికి ప్రయత్నిస్తారు.
ఈ సమీకరణాన్ని ఎలా పరిష్కరించాలో మీకు చెప్పే సైట్‌లు చాలా ఉన్నప్పటికీ, నేను మెటీరియల్‌ను అందించి ప్రచురించాలని నిర్ణయించుకున్నాను. ముందుగా, ఈ అభ్యర్థన ఆధారంగా సందర్శకులు నా సైట్‌కి రావాలని నేను కోరుకుంటున్నాను; రెండవది, ఇతర కథనాలలో, “KU” అంశం వచ్చినప్పుడు, నేను ఈ వ్యాసానికి లింక్‌ను అందిస్తాను; మూడవదిగా, ఇతర సైట్‌లలో సాధారణంగా పేర్కొన్న దానికంటే అతని పరిష్కారం గురించి కొంచెం ఎక్కువ చెబుతాను. ప్రారంభిద్దాం!వ్యాసం యొక్క కంటెంట్:
చతురస్రాకార సమీకరణం రూపం యొక్క సమీకరణం:
ఇక్కడ గుణకాలు a,బిమరియు c అనేవి a≠0తో ఏకపక్ష సంఖ్యలు.
పాఠశాల కోర్సులో, పదార్థం క్రింది రూపంలో ఇవ్వబడింది - సమీకరణాలు మూడు తరగతులుగా విభజించబడ్డాయి:
1. వాటికి రెండు మూలాలు ఉన్నాయి.
2. *ఒకే రూట్ కలిగి ఉండండి.
3. వాటికి మూలాలు లేవు. వారికి నిజమైన మూలాలు లేవని ఇక్కడ ప్రత్యేకంగా గమనించాలి
మూలాలు ఎలా లెక్కించబడతాయి? కేవలం!
మేము వివక్షను లెక్కిస్తాము. ఈ "భయంకరమైన" పదం కింద చాలా సులభమైన సూత్రం ఉంది:
మూల సూత్రాలు క్రింది విధంగా ఉన్నాయి:
*మీరు ఈ సూత్రాలను హృదయపూర్వకంగా తెలుసుకోవాలి.
మీరు వెంటనే వ్రాసి పరిష్కరించవచ్చు:
ఉదాహరణ:
1. D > 0 అయితే, సమీకరణానికి రెండు మూలాలు ఉంటాయి.
2. D = 0 అయితే, సమీకరణం ఒక మూలాన్ని కలిగి ఉంటుంది.
3. ఒకవేళ D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.
సమీకరణాన్ని చూద్దాం:
ఈ విషయంలో, వివక్షత సున్నాకి సమానం అయినప్పుడు, పాఠశాల కోర్సు ఒక రూట్ పొందిందని చెబుతుంది, ఇక్కడ అది తొమ్మిదికి సమానం. అంతా సరిగ్గా ఉంది, అది అలా ఉంది, కానీ ...
ఈ ఆలోచన కొంతవరకు తప్పు. నిజానికి, రెండు మూలాలు ఉన్నాయి. అవును, అవును, ఆశ్చర్యపోకండి, మీరు రెండు సమాన మూలాలను పొందుతారు మరియు గణితశాస్త్రపరంగా ఖచ్చితంగా చెప్పాలంటే, సమాధానం రెండు మూలాలను వ్రాయాలి:
x 1 = 3 x 2 = 3
కానీ ఇది అలా ఉంది - ఒక చిన్న డైగ్రెషన్. పాఠశాలలో మీరు దానిని వ్రాసి ఒక మూలం ఉందని చెప్పవచ్చు.
ఇప్పుడు తదుపరి ఉదాహరణ:
మనకు తెలిసినట్లుగా, ప్రతికూల సంఖ్య యొక్క మూలాన్ని తీసుకోలేము, కాబట్టి ఈ సందర్భంలో పరిష్కారం లేదు.
అది మొత్తం నిర్ణయ ప్రక్రియ.
క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్.
ఇది జ్యామితీయంగా పరిష్కారం ఎలా ఉంటుందో చూపిస్తుంది. ఇది అర్థం చేసుకోవడం చాలా ముఖ్యం (భవిష్యత్తులో, వ్యాసాలలో ఒకదానిలో మేము చతురస్రాకార అసమానతకు పరిష్కారాన్ని వివరంగా విశ్లేషిస్తాము).
ఇది ఫారమ్ యొక్క విధి:
ఇక్కడ x మరియు y వేరియబుల్స్
a, b, c – ఇచ్చిన సంఖ్యలు, ≠ 0తో
గ్రాఫ్ ఒక పారాబొలా:
అంటే, సున్నాకి సమానమైన “y” తో వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం ద్వారా, మేము x అక్షంతో పారాబొలా యొక్క ఖండన బిందువులను కనుగొంటాము. ఈ పాయింట్లలో రెండు ఉండవచ్చు (వివక్షత అనుకూలమైనది), ఒకటి (వివక్షత లేనిది సున్నా) మరియు ఏదీ లేదు (వివక్షత ప్రతికూలమైనది). క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్ గురించిన వివరాలు మీరు వీక్షించవచ్చుఇన్నా ఫెల్డ్‌మాన్ వ్యాసం.
ఉదాహరణలను చూద్దాం:
ఉదాహరణ 1: పరిష్కరించండి 2x 2 +8 x–192=0
a=2 b=8 c= –192
D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600
సమాధానం: x 1 = 8 x 2 = –12
*సమీకరణం యొక్క ఎడమ మరియు కుడి భుజాలను వెంటనే 2 ద్వారా విభజించడం సాధ్యమైంది, అంటే దానిని సరళీకృతం చేయడం. లెక్కలు తేలికవుతాయి.
ఉదాహరణ 2: నిర్ణయించుకోండి x 2–22 x+121 = 0
a=1 b=–22 c=121
D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0
మేము x 1 = 11 మరియు x 2 = 11 అని కనుగొన్నాము
సమాధానంలో x = 11 అని వ్రాయడానికి అనుమతి ఉంది.
సమాధానం: x = 11
ఉదాహరణ 3: నిర్ణయించుకోండి x 2 –8x+72 = 0
a=1 b= –8 c=72
D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224
వివక్షత ప్రతికూలమైనది, వాస్తవ సంఖ్యలలో పరిష్కారం లేదు.
సమాధానం: పరిష్కారం లేదు
వివక్షత ప్రతికూలమైనది. పరిష్కారం ఉంది!
ఇక్కడ మేము ప్రతికూల వివక్షను పొందినప్పుడు సందర్భంలో సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం గురించి మాట్లాడుతాము. సంక్లిష్ట సంఖ్యల గురించి మీకు ఏమైనా తెలుసా? అవి ఎందుకు మరియు ఎక్కడ ఉద్భవించాయి మరియు గణితంలో వారి నిర్దిష్ట పాత్ర మరియు ఆవశ్యకత ఏమిటి అనే దాని గురించి నేను ఇక్కడ వివరంగా చెప్పను; ఇది పెద్ద ప్రత్యేక కథనానికి సంబంధించిన అంశం.
సంక్లిష్ట సంఖ్య యొక్క భావన.
ఒక చిన్న సిద్ధాంతం.
సంక్లిష్ట సంఖ్య z అనేది రూపం యొక్క సంఖ్య
z = a + bi
ఇక్కడ a మరియు b వాస్తవ సంఖ్యలు, i అనేది ఊహాత్మక యూనిట్ అని పిలవబడేది.
a+bi – ఇది సింగిల్ నంబర్, అదనంగా కాదు.
ఊహాత్మక యూనిట్ మైనస్ ఒకటి యొక్క మూలానికి సమానం:
ఇప్పుడు సమీకరణాన్ని పరిగణించండి:
మనకు రెండు సంయోగ మూలాలు లభిస్తాయి.
అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణం.
ప్రత్యేక సందర్భాలను పరిశీలిద్దాం, ఇది గుణకం “బి” లేదా “సి” సున్నాకి సమానం (లేదా రెండూ సున్నాకి సమానం). ఎలాంటి వివక్ష లేకుండా వాటిని సులభంగా పరిష్కరించవచ్చు.
కేసు 1. గుణకం b = 0.
సమీకరణం అవుతుంది:
మారుద్దాం:
ఉదాహరణ:
4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2
కేసు 2. గుణకం c = 0.
సమీకరణం అవుతుంది:
పరివర్తన మరియు కారకం చేద్దాం:
*కనీసం ఒక కారకం సున్నాకి సమానమైనప్పుడు ఉత్పత్తి సున్నాకి సమానం.
ఉదాహరణ:
9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 లేదా x–5 =0
x 1 = 0 x 2 = 5
కేస్ 3. కోఎఫీషియంట్స్ బి = 0 మరియు సి = 0.
సమీకరణానికి పరిష్కారం ఎల్లప్పుడూ x = 0 అని ఇక్కడ స్పష్టంగా ఉంది.
గుణకాల యొక్క ఉపయోగకరమైన లక్షణాలు మరియు నమూనాలు.
పెద్ద గుణకాలతో సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతించే లక్షణాలు ఉన్నాయి.
ఎx 2 + bx+ సి=0 సమానత్వం కలిగి ఉంటుంది
a + బి+ c = 0,ఆ
- సమీకరణం యొక్క కోఎఫీషియంట్స్ కోసం అయితే ఎx 2 + bx+ సి=0 సమానత్వం కలిగి ఉంటుంది
a+ సి =బి, ఆ
ఈ లక్షణాలు ఒక నిర్దిష్ట రకమైన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడంలో సహాయపడతాయి.
ఉదాహరణ 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0
అసమానతల మొత్తం 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, అంటే
ఉదాహరణ 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0
సమానత్వం ఉంటుంది a+ సి =బి, అర్థం
గుణకాల నియమాలు.
1. గొడ్డలి 2 + bx + c = 0 అనే సమీకరణంలో “b” గుణకం (a 2 +1)కి సమానంగా ఉంటే మరియు “c” గుణకం సంఖ్యాపరంగా గుణకం “a”కి సమానం అయితే, దాని మూలాలు సమానంగా ఉంటాయి
ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.
ఉదాహరణ. 6x 2 + 37x + 6 = 0 సమీకరణాన్ని పరిగణించండి.
x 1 = –6 x 2 = –1/6.
2. గొడ్డలి 2 – bx + c = 0 అనే సమీకరణంలో “b” గుణకం (a 2 +1)కి సమానంగా ఉంటే మరియు “c” గుణకం సంఖ్యాపరంగా గుణకం “a”కి సమానం అయితే, దాని మూలాలు సమానంగా ఉంటాయి
గొడ్డలి 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 => x 1 = a x 2 = 1/a.
ఉదాహరణ. 15x 2 –226x +15 = 0 సమీకరణాన్ని పరిగణించండి.
x 1 = 15 x 2 = 1/15.
3. Eq లో ఉంటే. ax 2 + bx – c = 0 గుణకం “b” సమానం (a 2 - 1), మరియు గుణకం "సి" సంఖ్యాపరంగా గుణకం "a"కి సమానం, అప్పుడు దాని మూలాలు సమానంగా ఉంటాయి
ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.
ఉదాహరణ. 17x 2 +288x – 17 = 0 సమీకరణాన్ని పరిగణించండి.
x 1 = – 17 x 2 = 1/17.
4. గొడ్డలి 2 – bx – c = 0 అనే సమీకరణంలో “b” గుణకం (a 2 – 1)కి సమానంగా ఉంటే మరియు c గుణకం సంఖ్యాపరంగా గుణకం “a”కి సమానంగా ఉంటే, దాని మూలాలు సమానంగా ఉంటాయి
గొడ్డలి 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 => x 1 = a x 2 = – 1/a.
ఉదాహరణ. 10x 2 – 99x –10 = 0 సమీకరణాన్ని పరిగణించండి.
x 1 = 10 x 2 = – 1/10
వియెటా సిద్ధాంతం.
వియెటా సిద్ధాంతానికి ప్రసిద్ధ ఫ్రెంచ్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు ఫ్రాంకోయిస్ వియెటా పేరు పెట్టారు. వియెటా సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి, మేము ఏకపక్ష KU యొక్క మూలాల మొత్తం మరియు ఉత్పత్తిని దాని గుణకాల పరంగా వ్యక్తీకరించవచ్చు.
45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.
మొత్తంగా, 14 సంఖ్య 5 మరియు 9 మాత్రమే ఇస్తుంది. ఇవి మూలాలు. ఒక నిర్దిష్ట నైపుణ్యంతో, సమర్పించిన సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి, మీరు అనేక వర్గ సమీకరణాలను మౌఖికంగా వెంటనే పరిష్కరించవచ్చు.
వియెటా సిద్ధాంతం, అదనంగా. సాధారణ మార్గంలో (వివక్షత ద్వారా) వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించిన తర్వాత, ఫలిత మూలాలను తనిఖీ చేయడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది. దీన్ని ఎల్లప్పుడూ చేయాలని నేను సిఫార్సు చేస్తున్నాను.
రవాణా పద్ధతి
ఈ పద్ధతిలో, "a" అనే గుణకం ఉచిత పదంతో గుణించబడుతుంది, దానికి "విసిరినట్లు", అందుకే దీనిని పిలుస్తారు. "బదిలీ" పద్ధతి.వియెటా సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి సమీకరణం యొక్క మూలాలను సులభంగా కనుగొనగలిగినప్పుడు మరియు ముఖ్యంగా, వివక్షత ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు ఈ పద్ధతి ఉపయోగించబడుతుంది.
ఉంటే ఎ± బి+సి≠ 0, అప్పుడు బదిలీ సాంకేతికత ఉపయోగించబడుతుంది, ఉదాహరణకు:
2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)
సమీకరణం (2)లో వియెటా సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి, x 1 = 10 x 2 = 1 అని నిర్ణయించడం సులభం
సమీకరణం యొక్క ఫలిత మూలాలను తప్పనిసరిగా 2 ద్వారా విభజించాలి (రెండు x 2 నుండి “విసివేయబడినవి” కాబట్టి), మనకు లభిస్తుంది
x 1 = 5 x 2 = 0.5.
హేతుబద్ధత ఏమిటి? ఏం జరుగుతుందో చూడు.
సమీకరణాల వివక్షత (1) మరియు (2) సమానం:
మీరు సమీకరణాల మూలాలను చూస్తే, మీరు వేర్వేరు హారంలను మాత్రమే పొందుతారు మరియు ఫలితం x 2 యొక్క గుణకంపై ఖచ్చితంగా ఆధారపడి ఉంటుంది:
రెండవది (సవరించినది) 2 రెట్లు పెద్ద మూలాలను కలిగి ఉంటుంది.
కాబట్టి, మేము ఫలితాన్ని 2 ద్వారా భాగిస్తాము.
*మేము మూడింటిని రీరోల్ చేస్తే, ఫలితాన్ని 3, మొదలైన వాటితో భాగిస్తాము.
సమాధానం: x 1 = 5 x 2 = 0.5
చ. ur-ie మరియు యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్.
దాని ప్రాముఖ్యత గురించి నేను మీకు క్లుప్తంగా చెబుతాను - మీరు త్వరగా మరియు ఆలోచించకుండా నిర్ణయం తీసుకోగలగాలి, మీరు మూలాలు మరియు వివక్షత యొక్క సూత్రాలను హృదయపూర్వకంగా తెలుసుకోవాలి. యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్ టాస్క్‌లలో చేర్చబడిన అనేక సమస్యలు చతురస్రాకార సమీకరణాన్ని (జ్యామితీయ వాటిని కలిగి ఉంటాయి) పరిష్కరించడానికి ఉడకబెట్టబడతాయి.
గమనించదగ్గ విషయం!
1. సమీకరణాన్ని వ్రాసే రూపం "అవ్యక్తమైనది" కావచ్చు. ఉదాహరణకు, కింది ప్రవేశం సాధ్యమే:
15+ 9x 2 - 45x = 0 లేదా 15x+42+9x 2 - 45x=0 లేదా 15 -5x+10x 2 = 0.
మీరు దానిని ప్రామాణిక రూపానికి తీసుకురావాలి (పరిష్కరించేటప్పుడు గందరగోళం చెందకుండా).
2. x అనేది తెలియని పరిమాణం అని గుర్తుంచుకోండి మరియు దానిని ఏదైనా ఇతర అక్షరం ద్వారా సూచించవచ్చు - t, q, p, h మరియు ఇతరులు.
మేము అంశాన్ని అధ్యయనం చేస్తూనే ఉన్నాము " సమీకరణాలను పరిష్కరించడం" మేము ఇప్పటికే సరళ సమీకరణాలతో పరిచయం కలిగి ఉన్నాము మరియు వాటితో పరిచయం పొందడానికి ముందుకు వెళ్తున్నాము వర్గ సమీకరణాలు.
ముందుగా, చతుర్భుజ సమీకరణం అంటే ఏమిటి, అది సాధారణ రూపంలో ఎలా వ్రాయబడింది మరియు సంబంధిత నిర్వచనాలను ఇస్తాము. దీని తరువాత, అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలు ఎలా పరిష్కరించబడతాయో వివరంగా పరిశీలించడానికి మేము ఉదాహరణలను ఉపయోగిస్తాము. తరువాత, మేము పూర్తి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి కొనసాగుతాము, మూల సూత్రాన్ని పొందుతాము, వర్గ సమీకరణం యొక్క వివక్షతతో పరిచయం పొందుతాము మరియు సాధారణ ఉదాహరణలకు పరిష్కారాలను పరిశీలిస్తాము. చివరగా, మూలాలు మరియు కోఎఫీషియంట్స్ మధ్య కనెక్షన్‌లను కనుగొనండి.
పేజీ నావిగేషన్.
చతుర్భుజ సమీకరణం అంటే ఏమిటి? వారి రకాలు
మొదట మీరు క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం అంటే ఏమిటో స్పష్టంగా అర్థం చేసుకోవాలి. అందువల్ల, వర్గ సమీకరణాల నిర్వచనంతో పాటు సంబంధిత నిర్వచనాలతో వర్గ సమీకరణాల గురించి సంభాషణను ప్రారంభించడం తార్కికం. దీని తరువాత, మీరు వర్గ సమీకరణాల యొక్క ప్రధాన రకాలను పరిగణించవచ్చు: తగ్గిన మరియు తగ్గించని, అలాగే పూర్తి మరియు అసంపూర్ణ సమీకరణాలు.
క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణాల నిర్వచనం మరియు ఉదాహరణలు
నిర్వచనం.
చతుర్భుజ సమీకరణంరూపం యొక్క సమీకరణం a x 2 +b x+c=0, ఇక్కడ x అనేది వేరియబుల్, a, b మరియు c కొన్ని సంఖ్యలు మరియు a అనేది సున్నా కాదు.
చతురస్రాకార సమీకరణాలను తరచుగా రెండవ డిగ్రీ సమీకరణాలు అని పిలుస్తారని వెంటనే చెప్పండి. చతుర్భుజ సమీకరణం కావడం దీనికి కారణం బీజగణిత సమీకరణంరెండవ డిగ్రీ.
పేర్కొన్న నిర్వచనం వర్గ సమీకరణాల ఉదాహరణలను ఇవ్వడానికి అనుమతిస్తుంది. కాబట్టి 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0, మొదలైనవి. ఇవి చతుర్భుజ సమీకరణాలు.
నిర్వచనం.
సంఖ్యలు a, b మరియు c అంటారు క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం యొక్క గుణకాలు a·x 2 +b·x+c=0, మరియు గుణకం aని మొదటి, లేదా అత్యధికం లేదా x 2 యొక్క గుణకం అంటారు, b అనేది రెండవ గుణకం లేదా x యొక్క గుణకం, మరియు c అనేది ఉచిత పదం .
ఉదాహరణకు, 5 x 2 -2 x -3=0 రూపం యొక్క వర్గ సమీకరణాన్ని తీసుకుందాం, ఇక్కడ ప్రముఖ గుణకం 5, రెండవ గుణకం −2కి సమానం మరియు ఉచిత పదం −3కి సమానం. గుణకాలు b మరియు/లేదా c ప్రతికూలంగా ఉన్నప్పుడు, ఇప్పుడు ఇచ్చిన ఉదాహరణలో వలె, వర్గ సమీకరణం యొక్క సంక్షిప్త రూపం 5 x 2 +(−2 ) కంటే 5 x 2 -2 x−3=0 అని దయచేసి గమనించండి. ·x+(−3)=0 .
a మరియు/లేదా b గుణకాలు 1 లేదా −1కి సమానం అయినప్పుడు, అవి సాధారణంగా వర్గ సమీకరణంలో స్పష్టంగా ఉండవు, అటువంటి వాటిని వ్రాయడం యొక్క ప్రత్యేకతల కారణంగా ఇది గమనించదగినది. ఉదాహరణకు, y 2 -y+3=0 వర్గ సమీకరణంలో ప్రముఖ గుణకం ఒకటి మరియు y యొక్క గుణకం −1కి సమానం.
తగ్గించబడిన మరియు తగ్గించబడని వర్గ సమీకరణాలు
ప్రముఖ గుణకం యొక్క విలువపై ఆధారపడి, తగ్గించబడిన మరియు తగ్గించని వర్గ సమీకరణాలు వేరు చేయబడతాయి. సంబంధిత నిర్వచనాలను ఇద్దాం.
నిర్వచనం.
లీడింగ్ కోఎఫీషియంట్ 1 ఉన్న చతుర్భుజ సమీకరణాన్ని అంటారు చతుర్భుజ సమీకరణం ఇవ్వబడింది. లేకపోతే చతుర్భుజ సమీకరణం తాకబడలేదు.
ఈ నిర్వచనం ప్రకారం, వర్గ సమీకరణాలు x 2 −3·x+1=0, x 2 -x−2/3=0, మొదలైనవి. – ఇచ్చిన, వాటిలో ప్రతి దానిలో మొదటి గుణకం ఒకదానికి సమానం. A 5 x 2 -x−1=0, మొదలైనవి. - తగ్గించబడని వర్గ సమీకరణాలు, వాటి ప్రముఖ గుణకాలు 1 నుండి భిన్నంగా ఉంటాయి.
ఏదైనా తగ్గని వర్గ సమీకరణం నుండి, రెండు వైపులా ప్రముఖ గుణకం ద్వారా విభజించడం ద్వారా, మీరు తగ్గించిన దానికి వెళ్లవచ్చు. ఈ చర్య సమానమైన పరివర్తన, అంటే, ఈ విధంగా పొందిన తగ్గిన వర్గ సమీకరణం అసలైన తగ్గించబడని వర్గ సమీకరణం వలె అదే మూలాలను కలిగి ఉంటుంది లేదా, దాని వలె, మూలాలు లేవు.
తగ్గించబడని వర్గ సమీకరణం నుండి తగ్గించబడిన ఒకదానికి పరివర్తన ఎలా జరుగుతుందో ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం.
ఉదాహరణ.
3 x 2 +12 x−7=0 సమీకరణం నుండి, సంబంధిత తగ్గిన వర్గ సమీకరణానికి వెళ్లండి.
పరిష్కారం.
మేము కేవలం లీడింగ్ కోఎఫీషియంట్ 3 ద్వారా అసలు సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా విభజించాలి, ఇది సున్నా కాదు, కాబట్టి మేము ఈ చర్యను చేయవచ్చు. మనకు (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, అదే, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, ఆపై (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, ఎక్కడ నుండి . ఈ విధంగా మేము తగ్గించబడిన వర్గ సమీకరణాన్ని పొందాము, ఇది అసలైన దానికి సమానం.
సమాధానం:
పూర్తి మరియు అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలు
వర్గ సమీకరణం యొక్క నిర్వచనం a≠0 షరతును కలిగి ఉంటుంది. ఈ పరిస్థితి అవసరం కాబట్టి a x 2 + b x + c = 0 సమీకరణం చతుర్భుజంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే a = 0 అయినప్పుడు అది నిజానికి b x + c = 0 రూపానికి సరళ సమీకరణం అవుతుంది.
బి మరియు సి గుణకాల కొరకు, అవి వ్యక్తిగతంగా మరియు కలిసి సున్నాకి సమానంగా ఉంటాయి. ఈ సందర్భాలలో, వర్గ సమీకరణాన్ని అసంపూర్ణంగా పిలుస్తారు.
నిర్వచనం.
చతుర్భుజ సమీకరణం a x 2 +b x+c=0 అంటారు అసంపూర్ణమైన, b, c గుణకాలలో కనీసం ఒకటి సున్నాకి సమానం అయితే.
దాని మలుపులో
నిర్వచనం.
పూర్తి చతుర్భుజ సమీకరణంఅన్ని గుణకాలు సున్నాకి భిన్నంగా ఉండే సమీకరణం.
అలాంటి పేర్లు యాదృచ్ఛికంగా ఇవ్వబడలేదు. ఈ క్రింది చర్చల నుండి ఇది స్పష్టమవుతుంది.
గుణకం b సున్నా అయితే, వర్గ సమీకరణం a·x 2 +0·x+c=0 రూపాన్ని తీసుకుంటుంది మరియు ఇది a·x 2 +c=0 సమీకరణానికి సమానం. c=0, అంటే, వర్గ సమీకరణం a·x 2 +b·x+0=0 రూపాన్ని కలిగి ఉంటే, దానిని a·x 2 +b·x=0గా తిరిగి వ్రాయవచ్చు. మరియు b=0 మరియు c=0 లతో మేము a·x 2 =0 వర్గ సమీకరణాన్ని పొందుతాము. ఫలిత సమీకరణాలు పూర్తి చతుర్భుజ సమీకరణం నుండి భిన్నంగా ఉంటాయి, వాటి ఎడమ-భుజాలు వేరియబుల్ x లేదా ఉచిత పదం లేదా రెండింటినీ కలిగి ఉండవు. అందుకే వాటి పేరు - అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలు.
కాబట్టి సమీకరణాలు x 2 +x+1=0 మరియు −2 x 2 -5 x+0.2=0 పూర్తి వర్గ సమీకరణాలకు ఉదాహరణలు, మరియు x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలు.
అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం
మునుపటి పేరాలోని సమాచారం నుండి అది ఉంది అని అనుసరిస్తుంది మూడు రకాల అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలు:
- a·x 2 =0, గుణకాలు b=0 మరియు c=0 దానికి అనుగుణంగా ఉంటాయి;
- a x 2 +c=0 ఉన్నప్పుడు b=0 ;
- మరియు a·x 2 +b·x=0 ఉన్నప్పుడు c=0.
ఈ రకమైన ప్రతి యొక్క అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలు ఎలా పరిష్కరించబడతాయో క్రమంలో పరిశీలిద్దాం.
a x 2 =0
అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం ద్వారా ప్రారంభిద్దాం, దీనిలో గుణకాలు b మరియు c సున్నాకి సమానంగా ఉంటాయి, అంటే a x 2 =0 రూపం యొక్క సమీకరణాలతో. a·x 2 =0 సమీకరణం x 2 =0 సమీకరణానికి సమానం, ఇది రెండు భాగాలను సున్నా కాని సంఖ్యతో విభజించడం ద్వారా అసలు నుండి పొందబడుతుంది. సహజంగానే, x 2 =0 సమీకరణం యొక్క మూలం సున్నా, ఎందుకంటే 0 2 =0. ఈ సమీకరణానికి ఇతర మూలాలు లేవు, ఇది ఏదైనా సున్నా కాని సంఖ్య pకి అసమానత p 2 >0 కలిగి ఉంటుంది, అంటే p≠0కి p 2 =0 సమానత్వం ఎప్పుడూ సాధించబడదు.
కాబట్టి, అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణం a·x 2 =0 ఒకే మూలం x=0ని కలిగి ఉంటుంది.
ఉదాహరణగా, మేము అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణం −4 x 2 =0కి పరిష్కారాన్ని అందిస్తాము. ఇది x 2 =0 సమీకరణానికి సమానం, దాని ఏకైక మూలం x=0, కాబట్టి, అసలు సమీకరణం ఒకే మూల సున్నాని కలిగి ఉంటుంది.
ఈ సందర్భంలో ఒక చిన్న పరిష్కారం క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు:
−4 x 2 =0 ,
x 2 =0,
x=0.
a x 2 +c=0
గుణకం b సున్నా మరియు c≠0 అయిన అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలు ఎలా పరిష్కరించబడతాయో ఇప్పుడు చూద్దాం, అంటే a x 2 +c=0 రూపం యొక్క సమీకరణాలు. సమీకరణం యొక్క ఒక వైపు నుండి మరొక వైపుకు వ్యతిరేక గుర్తుతో ఒక పదాన్ని తరలించడం, అలాగే సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా సున్నా కాని సంఖ్యతో విభజించడం సమానమైన సమీకరణాన్ని ఇస్తుందని మనకు తెలుసు. కాబట్టి, మేము అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణం a x 2 +c=0 యొక్క క్రింది సమానమైన పరివర్తనలను అమలు చేయవచ్చు:
- c ను కుడి వైపుకు తరలించండి, ఇది సమీకరణాన్ని x 2 =-c ఇస్తుంది,
- మరియు రెండు వైపులా a ద్వారా విభజించండి, మనకు లభిస్తుంది .
ఫలిత సమీకరణం దాని మూలాల గురించి తీర్మానాలు చేయడానికి అనుమతిస్తుంది. a మరియు c విలువలపై ఆధారపడి, వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువ ప్రతికూలంగా ఉండవచ్చు (ఉదాహరణకు, a=1 మరియు c=2 అయితే ) లేదా సానుకూలంగా ఉండవచ్చు (ఉదాహరణకు, a=−2 మరియు c=6 అయితే, అప్పుడు ), ఇది సున్నా కాదు , ఎందుకంటే షరతు c≠0. కేసులను విడిగా చూద్దాం.
అయితే, సమీకరణానికి మూలాలు లేవు. ఈ ప్రకటన ఏదైనా సంఖ్య యొక్క వర్గాన్ని ప్రతికూల సంఖ్య అని వాస్తవం నుండి అనుసరిస్తుంది. దీని నుండి ఎప్పుడు , అప్పుడు ఏ సంఖ్య p అయినా సమానత్వం నిజం కాదు.
అయితే, సమీకరణం యొక్క మూలాలతో పరిస్థితి భిన్నంగా ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో, మనం గురించి గుర్తుంచుకుంటే, సమీకరణం యొక్క మూలం వెంటనే స్పష్టంగా కనిపిస్తుంది; ఇది సంఖ్య, నుండి . సంఖ్య సమీకరణం యొక్క మూలం అని ఊహించడం సులభం, నిజానికి, . ఈ సమీకరణానికి ఇతర మూలాలు లేవు, ఉదాహరణకు, వైరుధ్యం ద్వారా చూపవచ్చు. మనం చేద్దాం.
ఇప్పుడు x 1 మరియు −x 1గా ప్రకటించిన సమీకరణం యొక్క మూలాలను సూచిస్తాము. ఈక్వేషన్‌లో మరో రూట్ x 2 ఉందని అనుకుందాం, ఇది సూచించిన x 1 మరియు −x 1 మూలాలకు భిన్నంగా ఉంటుంది. దాని మూలాలను xకి బదులుగా సమీకరణంలోకి మార్చడం వలన సమీకరణం సరైన సంఖ్యా సమానత్వంగా మారుతుంది. x 1 మరియు −x 1 కొరకు మనము కలిగి ఉన్నాము మరియు x 2 కొరకు మనము కలిగి ఉన్నాము . సంఖ్యా సమానత్వం యొక్క లక్షణాలు సరైన సంఖ్యా సమానత్వం యొక్క పదం-వారీ వ్యవకలనాన్ని నిర్వహించడానికి మాకు అనుమతిస్తాయి, కాబట్టి సమానత్వాల యొక్క సంబంధిత భాగాలను తీసివేయడం x 1 2 -x 2 2 =0 ఇస్తుంది. సంఖ్యలతో కూడిన కార్యకలాపాల లక్షణాలు ఫలిత సమానత్వాన్ని (x 1 -x 2)·(x 1 +x 2)=0గా తిరిగి వ్రాయడానికి అనుమతిస్తాయి. రెండు సంఖ్యల లబ్ధం సున్నాకి సమానం మరియు వాటిలో కనీసం ఒకటి సున్నాకి సమానం అయితే మాత్రమే అని మనకు తెలుసు. అందువల్ల, ఫలిత సమానత్వం నుండి x 1 -x 2 =0 మరియు/లేదా x 1 +x 2 =0, అదే, x 2 =x 1 మరియు/లేదా x 2 =-x 1. కాబట్టి మేము ఒక వైరుధ్యానికి వచ్చాము, ఎందుకంటే x 2 సమీకరణం యొక్క మూలం x 1 మరియు −x 1 నుండి భిన్నంగా ఉంటుందని మేము ప్రారంభంలో చెప్పాము. సమీకరణానికి మరియు తప్ప వేరే మూలాలు లేవని ఇది రుజువు చేస్తుంది.
ఈ పేరాలోని సమాచారాన్ని సంగ్రహిద్దాం. అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణం a x 2 +c=0 సమీకరణానికి సమానం
- ఒకవేళ మూలాలు లేవు,
- రెండు మూలాలను కలిగి ఉంటుంది మరియు , అయితే .
a·x 2 +c=0 రూపం యొక్క అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించే ఉదాహరణలను పరిశీలిద్దాం.
9 x 2 +7=0 వర్గ సమీకరణంతో ప్రారంభిద్దాం. ఉచిత పదాన్ని సమీకరణం యొక్క కుడి వైపుకు తరలించిన తర్వాత, అది 9 x 2 =-7 రూపాన్ని తీసుకుంటుంది. ఫలిత సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 9 ద్వారా విభజించి, మేము చేరుకుంటాము. కుడి వైపు ప్రతికూల సంఖ్యను కలిగి ఉన్నందున, ఈ సమీకరణానికి మూలాలు లేవు, కాబట్టి, అసలు అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణం 9 x 2 +7 = 0కి మూలాలు లేవు.
మరొక అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాన్ని −x 2 +9=0 పరిష్కరిద్దాం. మేము తొమ్మిదిని కుడి వైపుకు తరలిస్తాము: −x 2 =-9. ఇప్పుడు మనం రెండు వైపులా −1తో విభజిస్తాము, మనకు x 2 =9 వస్తుంది. కుడి వైపున సానుకూల సంఖ్య ఉంది, దాని నుండి మేము దానిని ముగించాము లేదా . అప్పుడు మేము తుది సమాధానాన్ని వ్రాస్తాము: అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణం −x 2 +9=0 రెండు మూలాలను కలిగి ఉంటుంది x=3 లేదా x=−3.
a x 2 +b x=0
c=0 కోసం అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాల యొక్క చివరి రకం పరిష్కారంతో వ్యవహరించడానికి ఇది మిగిలి ఉంది. a x 2 + b x = 0 రూపం యొక్క అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలు పరిష్కరించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తాయి కారకం పద్ధతి. సహజంగానే, మేము సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున ఉన్నాము, దీని కోసం బ్రాకెట్ల నుండి సాధారణ కారకం xని తీసుకుంటే సరిపోతుంది. ఇది అసలైన అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణం నుండి x·(a·x+b)=0 రూపానికి సమానమైన సమీకరణానికి తరలించడానికి అనుమతిస్తుంది. మరియు ఈ సమీకరణం x=0 మరియు a·x+b=0 అనే రెండు సమీకరణాల సమితికి సమానం, వీటిలో రెండోది సరళంగా ఉంటుంది మరియు x=−b/a మూలాన్ని కలిగి ఉంటుంది.
కాబట్టి, అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణం a·x 2 +b·x=0కి x=0 మరియు x=−b/a అనే రెండు మూలాలు ఉన్నాయి.
పదార్థాన్ని ఏకీకృతం చేయడానికి, మేము ఒక నిర్దిష్ట ఉదాహరణకి పరిష్కారాన్ని విశ్లేషిస్తాము.
ఉదాహరణ.
సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.
పరిష్కారం.
బ్రాకెట్ల నుండి xని తీసుకుంటే సమీకరణం వస్తుంది. ఇది x=0 మరియు రెండు సమీకరణాలకు సమానం. మేము ఫలిత సరళ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తాము: , మరియు మిశ్రమ సంఖ్యను సాధారణ భిన్నం ద్వారా విభజించడం ద్వారా, మేము కనుగొంటాము. కాబట్టి, అసలు సమీకరణం యొక్క మూలాలు x=0 మరియు .
అవసరమైన అభ్యాసాన్ని పొందిన తరువాత, అటువంటి సమీకరణాలకు పరిష్కారాలను క్లుప్తంగా వ్రాయవచ్చు:
సమాధానం:
x=0 , .
వివక్షత, వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలకు సూత్రం
వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి, ఒక మూల సూత్రం ఉంది. రాసుకుందాం వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాల కోసం సూత్రం: , ఎక్కడ D=b 2 −4 a c- అని పిలవబడే వర్గ సమీకరణం యొక్క వివక్ష. ప్రవేశం తప్పనిసరిగా అర్థం.
మూల సూత్రం ఎలా ఉద్భవించింది మరియు వర్గ సమీకరణాల మూలాలను కనుగొనడంలో ఇది ఎలా ఉపయోగించబడుతుందో తెలుసుకోవడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. దీన్ని గుర్తించండి.
వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాల కోసం సూత్రం యొక్క ఉత్పన్నం
మనం a·x 2 +b·x+c=0 అనే వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించాలి. కొన్ని సమానమైన పరివర్తనలను చేద్దాం:
- మేము ఈ సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా సున్నా కాని సంఖ్య a ద్వారా విభజించవచ్చు, ఫలితంగా క్రింది వర్గ సమీకరణం వస్తుంది.
- ఇప్పుడు పూర్తి చతురస్రాన్ని ఎంచుకోండిదాని ఎడమ వైపున: . దీని తరువాత, సమీకరణం రూపం తీసుకుంటుంది.
- ఈ దశలో, చివరి రెండు పదాలను వ్యతిరేక గుర్తుతో కుడి వైపుకు బదిలీ చేయడం సాధ్యపడుతుంది, మనకు ఉంది .
- మరియు కుడి వైపున ఉన్న వ్యక్తీకరణను కూడా మారుద్దాం: .
ఫలితంగా, మేము అసలైన వర్గ సమీకరణం a·x 2 +b·x+c=0కి సమానమైన సమీకరణానికి చేరుకుంటాము.
మేము పరిశీలించినప్పుడు మునుపటి పేరాల్లోని రూపంలోని సమీకరణాలను ఇప్పటికే పరిష్కరించాము. ఇది సమీకరణం యొక్క మూలాలకు సంబంధించి క్రింది తీర్మానాలను రూపొందించడానికి అనుమతిస్తుంది:
- అయితే, సమీకరణానికి నిజమైన పరిష్కారాలు లేవు;
- అయితే , అప్పుడు సమీకరణం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది , కాబట్టి , దాని నుండి దాని ఏకైక మూలం కనిపిస్తుంది;
- అయితే , అప్పుడు లేదా , అదే లేదా , అంటే సమీకరణానికి రెండు మూలాలు ఉంటాయి.
అందువలన, సమీకరణం యొక్క మూలాల ఉనికి లేదా లేకపోవడం, అందువలన అసలు వర్గ సమీకరణం, కుడి వైపున ఉన్న వ్యక్తీకరణ యొక్క చిహ్నంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. ప్రతిగా, ఈ వ్యక్తీకరణ యొక్క సంకేతం న్యూమరేటర్ యొక్క సంకేతం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది, ఎందుకంటే హారం 4·a 2 ఎల్లప్పుడూ సానుకూలంగా ఉంటుంది, అంటే b 2 −4·a·c వ్యక్తీకరణ యొక్క సంకేతం ద్వారా. ఈ వ్యక్తీకరణ b 2 −4 a c అని పిలువబడింది వర్గ సమీకరణం యొక్క వివక్షమరియు లేఖ ద్వారా నియమించబడినది డి. ఇక్కడ నుండి వివక్షత యొక్క సారాంశం స్పష్టంగా ఉంది - దాని విలువ మరియు సంకేతం ఆధారంగా, వారు వర్గ సమీకరణానికి నిజమైన మూలాలు ఉన్నాయా అని నిర్ధారించారు మరియు అలా అయితే, వాటి సంఖ్య ఏమిటి - ఒకటి లేదా రెండు.
సమీకరణానికి తిరిగి వెళ్దాం మరియు వివక్షతతో కూడిన సంజ్ఞామానాన్ని ఉపయోగించి దాన్ని మళ్లీ వ్రాద్దాం: . మరియు మేము తీర్మానాలు చేస్తాము:
- ఒకవేళ డి<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
- D=0 అయితే, ఈ సమీకరణం ఒకే మూలాన్ని కలిగి ఉంటుంది;
- చివరగా, D>0 అయితే, సమీకరణం రెండు మూలాలను కలిగి ఉంటుంది లేదా, దానిని రూపంలో తిరిగి వ్రాయవచ్చు లేదా, మరియు భిన్నాలను విస్తరించిన తర్వాత మరియు మేము పొందిన ఒక సాధారణ హారంలోకి తీసుకువచ్చిన తర్వాత.
కాబట్టి మేము వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాల కోసం సూత్రాలను పొందాము, అవి , విచక్షణ D ని D=b 2 −4·a·c సూత్రం ద్వారా గణిస్తారు.
వారి సహాయంతో, సానుకూల వివక్షతతో, మీరు వర్గ సమీకరణం యొక్క రెండు వాస్తవ మూలాలను లెక్కించవచ్చు. వివక్షత సున్నాకి సమానమైనప్పుడు, రెండు సూత్రాలు రూట్ యొక్క ఒకే విలువను అందిస్తాయి, వర్గ సమీకరణానికి ప్రత్యేకమైన పరిష్కారానికి అనుగుణంగా ఉంటాయి. మరియు ప్రతికూల వివక్షతతో, చతురస్రాకార సమీకరణం యొక్క మూలాల కోసం సూత్రాన్ని ఉపయోగించడానికి ప్రయత్నిస్తున్నప్పుడు, మేము ప్రతికూల సంఖ్య యొక్క వర్గమూలాన్ని సంగ్రహించడాన్ని ఎదుర్కొంటాము, ఇది పాఠశాల పాఠ్యాంశాల పరిధిని దాటి మమ్మల్ని తీసుకువెళుతుంది. ప్రతికూల వివక్షతో, వర్గ సమీకరణానికి నిజమైన మూలాలు లేవు, కానీ ఒక జత ఉంటుంది సంక్లిష్ట సంయోగంమూలాలు, మేము పొందిన అదే మూల సూత్రాలను ఉపయోగించి కనుగొనవచ్చు.
మూల సూత్రాలను ఉపయోగించి వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి అల్గోరిథం
ఆచరణలో, వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు, మీరు వెంటనే వాటి విలువలను లెక్కించడానికి మూల సూత్రాన్ని ఉపయోగించవచ్చు. కానీ ఇది సంక్లిష్ట మూలాలను కనుగొనడానికి మరింత సంబంధించినది.
అయితే, పాఠశాల బీజగణితం కోర్సులో మనం సాధారణంగా సంక్లిష్టత గురించి కాదు, వర్గ సమీకరణం యొక్క నిజమైన మూలాల గురించి మాట్లాడుతాము. ఈ సందర్భంలో, చతురస్రాకార సమీకరణం యొక్క మూలాల కోసం సూత్రాలను ఉపయోగించే ముందు, మొదట వివక్షతను కనుగొనడం మంచిది, అది ప్రతికూలమైనది కాదని నిర్ధారించుకోండి (లేకపోతే, సమీకరణానికి నిజమైన మూలాలు లేవని మేము నిర్ధారించవచ్చు), మరియు అప్పుడు మాత్రమే మూలాల విలువలను లెక్కించండి.
పై తార్కికం మనకు వ్రాయడానికి అనుమతిస్తుంది చతుర్భుజ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి అల్గోరిథం. చతురస్రాకార సమీకరణం a x 2 +b x+c=0 పరిష్కరించడానికి, మీరు వీటిని చేయాలి:
- విచక్షణా సూత్రాన్ని ఉపయోగించి D=b 2 −4·a·c, దాని విలువను లెక్కించండి;
- వివక్ష ప్రతికూలంగా ఉంటే వర్గ సమీకరణానికి నిజమైన మూలాలు ఉండవని నిర్ధారించండి;
- D=0 అయితే సూత్రాన్ని ఉపయోగించి సమీకరణం యొక్క ఏకైక మూలాన్ని లెక్కించండి;
- వివక్ష సానుకూలంగా ఉంటే, మూల సూత్రాన్ని ఉపయోగించి వర్గ సమీకరణం యొక్క రెండు వాస్తవ మూలాలను కనుగొనండి.
వివక్షత సున్నాకి సమానం అయితే, మీరు సూత్రాన్ని కూడా ఉపయోగించవచ్చు; ఇది అదే విలువను ఇస్తుంది.
మీరు చతురస్రాకార సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి అల్గారిథమ్‌ను ఉపయోగించే ఉదాహరణలకు వెళ్లవచ్చు.
వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ఉదాహరణలు
సానుకూల, ప్రతికూల మరియు సున్నా వివక్షతో మూడు వర్గ సమీకరణాలకు పరిష్కారాలను పరిశీలిద్దాం. వారి పరిష్కారంతో వ్యవహరించిన తరువాత, సారూప్యత ద్వారా ఏదైనా ఇతర వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యమవుతుంది. ప్రారంభిద్దాం.
ఉదాహరణ.
x 2 +2·x−6=0 సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనండి.
పరిష్కారం.
ఈ సందర్భంలో, మేము వర్గ సమీకరణం యొక్క క్రింది కోఎఫీషియంట్‌లను కలిగి ఉన్నాము: a=1, b=2 మరియు c=−6. అల్గోరిథం ప్రకారం, మీరు మొదట వివక్షను లెక్కించాలి; దీన్ని చేయడానికి, మేము సూచించిన a, b మరియు c లను వివక్షత సూత్రంలోకి మారుస్తాము. D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. 28>0 నుండి, అంటే, వివక్షత సున్నా కంటే ఎక్కువ, వర్గ సమీకరణం రెండు వాస్తవ మూలాలను కలిగి ఉంటుంది. రూట్ ఫార్ములా ఉపయోగించి వాటిని కనుగొనండి, మేము పొందుతాము , ఇక్కడ మీరు చేయడం ద్వారా ఫలిత వ్యక్తీకరణలను సులభతరం చేయవచ్చు మూల సంకేతం దాటి గుణకాన్ని తరలించడంభిన్నం తగ్గింపు తర్వాత:
సమాధానం:
తదుపరి సాధారణ ఉదాహరణకి వెళ్దాం.
ఉదాహరణ.
−4 x 2 +28 x−49=0 వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.
పరిష్కారం.
మేము వివక్షను కనుగొనడం ద్వారా ప్రారంభిస్తాము: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. కాబట్టి, ఈ చతురస్రాకార సమీకరణం ఒకే మూలాన్ని కలిగి ఉంది, దానిని మనం , అంటే,
సమాధానం:
x=3.5.
ప్రతికూల వివక్షతతో వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడాన్ని పరిగణించడం మిగిలి ఉంది.
ఉదాహరణ.
5·y 2 +6·y+2=0 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.
పరిష్కారం.
ఇక్కడ క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం యొక్క గుణకాలు ఉన్నాయి: a=5, b=6 మరియు c=2. మేము ఈ విలువలను వివక్షత సూత్రంలోకి మారుస్తాము D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. వివక్షత ప్రతికూలంగా ఉంటుంది, కాబట్టి, ఈ వర్గ సమీకరణానికి అసలు మూలాలు లేవు.
మీరు సంక్లిష్ట మూలాలను సూచించాల్సిన అవసరం ఉంటే, మేము వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాల కోసం బాగా తెలిసిన సూత్రాన్ని వర్తింపజేస్తాము మరియు అమలు చేస్తాము సంక్లిష్ట సంఖ్యలతో కార్యకలాపాలు:
సమాధానం:
అసలు మూలాలు లేవు, సంక్లిష్ట మూలాలు: .
చతురస్రాకార సమీకరణం యొక్క వివక్ష ప్రతికూలంగా ఉంటే, పాఠశాలలో వారు సాధారణంగా వెంటనే సమాధానాన్ని వ్రాస్తారు, అందులో నిజమైన మూలాలు లేవని మరియు సంక్లిష్ట మూలాలు కనుగొనబడలేదని మరోసారి గమనించండి.
రెండవ కోఎఫీషియంట్స్ కోసం రూట్ ఫార్ములా
వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాల కోసం సూత్రం, ఇక్కడ D=b 2 −4·a·c మిమ్మల్ని మరింత కాంపాక్ట్ ఫారమ్‌ని పొందేందుకు అనుమతిస్తుంది, ఇది x కోసం సరి గుణకంతో వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది (లేదా కేవలం a తో గుణకం రూపం 2·n, ఉదాహరణకు, లేదా 14· ln5=2·7·ln5 ). ఆమెను బయటకు తీద్దాం.
మనం a x 2 +2 n x+c=0 రూపం యొక్క వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించాలని అనుకుందాం. మనకు తెలిసిన సూత్రాన్ని ఉపయోగించి దాని మూలాలను కనుగొనండి. దీన్ని చేయడానికి, మేము వివక్షను లెక్కిస్తాము D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 -4 a c=4 (n 2 -a c), ఆపై మేము మూల సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము:
n 2 −a c అనే వ్యక్తీకరణను D 1గా సూచిస్తాము (కొన్నిసార్లు దీనిని D "అని సూచిస్తారు). అప్పుడు రెండవ గుణకం 2 nతో పరిగణనలోకి తీసుకున్న వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాల సూత్రం రూపాన్ని తీసుకుంటుంది. 
, ఇక్కడ D 1 =n 2 −a·c.
D=4·D 1, లేదా D 1 =D/4 అని చూడటం సులభం. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, D 1 అనేది వివక్షత యొక్క నాల్గవ భాగం. D 1 యొక్క సంకేతం మరియు D యొక్క సంకేతం ఒకటే అని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది. అంటే, సంకేతం D 1 అనేది వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాల ఉనికి లేదా లేకపోవడం యొక్క సూచిక.
కాబట్టి, రెండవ గుణకం 2·nతో చతురస్రాకార సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి, మీకు అవసరం
- D 1 =n 2 −a·cని లెక్కించండి;
- D 1 అయితే<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
- D 1 =0 అయితే, సూత్రాన్ని ఉపయోగించి సమీకరణం యొక్క ఏకైక మూలాన్ని లెక్కించండి;
- D 1 >0 అయితే, సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రెండు నిజమైన మూలాలను కనుగొనండి.
ఈ పేరాలో పొందిన మూల సూత్రాన్ని ఉపయోగించి ఉదాహరణను పరిష్కరించడాన్ని పరిశీలిద్దాం.
ఉదాహరణ.
5 x 2 −6 x -32=0 వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.
పరిష్కారం.
ఈ సమీకరణం యొక్క రెండవ గుణకం 2·(−3) గా సూచించబడుతుంది. అంటే, మీరు అసలు వర్గ సమీకరణాన్ని 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 రూపంలో తిరిగి వ్రాయవచ్చు, ఇక్కడ a=5, n=−3 మరియు c=−32, మరియు నాల్గవ భాగాన్ని లెక్కించవచ్చు వివక్షత: D 1 =n 2 -a·c=(-3) 2 −5·(−32)=9+160=169. దాని విలువ సానుకూలంగా ఉన్నందున, సమీకరణానికి రెండు వాస్తవ మూలాలు ఉన్నాయి. తగిన మూల సూత్రాన్ని ఉపయోగించి వాటిని కనుగొనండి:
క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం యొక్క మూలాల కోసం సాధారణ సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం సాధ్యమవుతుందని గమనించండి, అయితే ఈ సందర్భంలో మరింత గణన పనిని నిర్వహించాల్సి ఉంటుంది.
సమాధానం:
వర్గ సమీకరణాల రూపాన్ని సరళీకృతం చేయడం
కొన్నిసార్లు, సూత్రాలను ఉపయోగించి వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలను లెక్కించడం ప్రారంభించే ముందు, "ఈ సమీకరణం యొక్క రూపాన్ని సరళీకృతం చేయడం సాధ్యమేనా?" అనే ప్రశ్న అడగడం బాధ కలిగించదు. గణనల పరంగా 1100 x 2 -400 x−600=0 కంటే 11 x 2 -4 x−6=0 అనే వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సులభమని అంగీకరించండి.
సాధారణంగా, చతురస్రాకార సమీకరణం యొక్క రూపాన్ని సరళీకృతం చేయడం అనేది నిర్దిష్ట సంఖ్యతో రెండు వైపులా గుణించడం లేదా విభజించడం ద్వారా సాధించబడుతుంది. ఉదాహరణకు, మునుపటి పేరాలో 1100 x 2 -400 x -600=0 సమీకరణాన్ని రెండు వైపులా 100తో విభజించడం ద్వారా సులభతరం చేయడం సాధ్యమైంది.
ఇదే విధమైన పరివర్తన క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణాలతో నిర్వహించబడుతుంది, వీటిలో గుణకాలు కాదు. ఈ సందర్భంలో, సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా సాధారణంగా దాని గుణకాల యొక్క సంపూర్ణ విలువలతో విభజించబడతాయి. ఉదాహరణకు, 12 x 2 −42 x+48=0 అనే వర్గ సమీకరణాన్ని తీసుకుందాం. దాని గుణకాల యొక్క సంపూర్ణ విలువలు: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. అసలు క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 6 ద్వారా భాగిస్తే, మనం సమానమైన వర్గ సమీకరణం 2 x 2 -7 x+8=0 వద్దకు వస్తాము.
మరియు వర్గ సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా గుణించడం సాధారణంగా పాక్షిక గుణకాలను వదిలించుకోవడానికి జరుగుతుంది. ఈ సందర్భంలో, గుణకారం దాని గుణకాల యొక్క హారం ద్వారా నిర్వహించబడుతుంది. ఉదాహరణకు, క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా LCM(6, 3, 1)=6తో గుణిస్తే, అది x 2 +4·x−18=0 అనే సరళమైన రూపాన్ని తీసుకుంటుంది.
ఈ పాయింట్ ముగింపులో, అన్ని పదాల సంకేతాలను మార్చడం ద్వారా క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం యొక్క అత్యధిక గుణకం వద్ద వారు దాదాపు ఎల్లప్పుడూ మైనస్‌ను తొలగిస్తారని మేము గమనించాము, ఇది రెండు వైపులా −1తో గుణించడం (లేదా విభజించడం)కి అనుగుణంగా ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, సాధారణంగా ఒక వర్గ సమీకరణం −2 x 2 -3 x+7=0 నుండి 2 x 2 +3 x−7=0 పరిష్కారానికి వెళుతుంది.
వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలు మరియు గుణకాల మధ్య సంబంధం
క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం యొక్క మూలాల సూత్రం దాని గుణకాల ద్వారా సమీకరణం యొక్క మూలాలను వ్యక్తపరుస్తుంది. మూల సూత్రం ఆధారంగా, మీరు మూలాలు మరియు గుణకాల మధ్య ఇతర సంబంధాలను పొందవచ్చు.
Vieta సిద్ధాంతం నుండి అత్యంత ప్రసిద్ధ మరియు వర్తించే సూత్రాలు రూపం మరియు . ప్రత్యేకించి, ఇచ్చిన వర్గ సమీకరణం కోసం, మూలాల మొత్తం వ్యతిరేక సంకేతంతో రెండవ గుణకంతో సమానంగా ఉంటుంది మరియు మూలాల యొక్క ఉత్పత్తి ఉచిత పదానికి సమానం. ఉదాహరణకు, వర్గ సమీకరణం 3 x 2 -7 x + 22 = 0 రూపాన్ని చూడటం ద్వారా, దాని మూలాల మొత్తం 7/3కి సమానం మరియు మూలాల ఉత్పత్తి 22కి సమానం అని మనం వెంటనే చెప్పగలం. /3.
ఇప్పటికే వ్రాసిన సూత్రాలను ఉపయోగించి, మీరు వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలు మరియు గుణకాల మధ్య అనేక ఇతర కనెక్షన్‌లను పొందవచ్చు. ఉదాహరణకు, మీరు చతుర్భుజ సమీకరణం యొక్క మూలాల చతురస్రాల మొత్తాన్ని దాని గుణకాల ద్వారా వ్యక్తీకరించవచ్చు: .
గ్రంథ పట్టిక.
- బీజగణితం:పాఠ్యపుస్తకం 8వ తరగతి కోసం. సాధారణ విద్య సంస్థలు / [యు. N. మకరిచెవ్, N. G. మిండియుక్, K. I. నెష్కోవ్, S. B. సువోరోవా]; ద్వారా సవరించబడింది S. A. టెల్యకోవ్స్కీ. - 16వ ఎడిషన్. - M.: ఎడ్యుకేషన్, 2008. - 271 p. : అనారోగ్యం. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- మోర్డ్కోవిచ్ A. G.బీజగణితం. 8వ తరగతి. 2 గంటల్లో. పార్ట్ 1. సాధారణ విద్యా సంస్థల విద్యార్థులకు పాఠ్య పుస్తకం / A. G. మోర్డ్కోవిచ్. - 11వ ఎడిషన్, తొలగించబడింది. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: అనారోగ్యం. ISBN 978-5-346-01155-2.