రెండు సంపూర్ణ మృదువైన విమానాలు డైహెడ్రల్ కోణాన్ని ఏర్పరుస్తాయి. పాఠం "డైహెడ్రల్ యాంగిల్"

ఈ పాఠం "డైహెడ్రల్ యాంగిల్" అనే అంశం యొక్క స్వతంత్ర అధ్యయనం కోసం ఉద్దేశించబడింది. ఈ పాఠంలో, విద్యార్థులు చాలా ముఖ్యమైన రేఖాగణిత ఆకృతులలో ఒకటైన డైహెడ్రల్ కోణంతో సుపరిచితులు అవుతారు. ప్రశ్నలోని రేఖాగణిత బొమ్మ యొక్క సరళ కోణాన్ని ఎలా నిర్ణయించాలో మరియు ఫిగర్ యొక్క బేస్ వద్ద డైహెడ్రల్ కోణం ఏమిటో కూడా పాఠంలో మనం నేర్చుకుంటాము.

విమానంలో కోణం అంటే ఏమిటి మరియు దానిని ఎలా కొలుస్తారో పునరావృతం చేద్దాం.

అన్నం. 1. విమానం

విమానం α (Fig. 1) ను పరిశీలిద్దాం. పాయింట్ నుండి గురించిరెండు కిరణాలు ప్రసరిస్తాయి - OBమరియు ఓ ఏ.

నిర్వచనం. ఒక బిందువు నుండి వెలువడే రెండు కిరణాల ద్వారా ఏర్పడిన బొమ్మను కోణం అంటారు.

కోణం డిగ్రీలు మరియు రేడియన్‌లలో కొలుస్తారు.

రేడియన్ అంటే ఏమిటో గుర్తు చేసుకుందాం.

అన్నం. 2. రేడియన్

ఆర్క్ పొడవు వ్యాసార్థానికి సమానమైన కేంద్ర కోణాన్ని కలిగి ఉంటే, అటువంటి కేంద్ర కోణాన్ని 1 రేడియన్ కోణం అంటారు. ,∠ AOB= 1 రాడ్ (Fig. 2).

రేడియన్లు మరియు డిగ్రీల మధ్య సంబంధం.

సంతోషం.

మేము దానిని పొందాము, నేను సంతోషిస్తున్నాను. (). అప్పుడు,

నిర్వచనం. డైహెడ్రల్ కోణంసరళ రేఖ ద్వారా ఏర్పడిన బొమ్మను అంటారు ఎమరియు సాధారణ సరిహద్దుతో రెండు అర్ధ-విమానాలు ఎ, ఒకే విమానానికి చెందినది కాదు.

అన్నం. 3. అర్ధ-విమానాలు

రెండు అర్ధ-విమానాలను α మరియు β (Fig. 3) పరిశీలిద్దాం. వారి ఉమ్మడి సరిహద్దు ఎ. ఈ సంఖ్యను డైహెడ్రల్ కోణం అంటారు.

పరిభాష

హాఫ్-ప్లేన్‌లు α మరియు β డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క ముఖాలు.

నేరుగా ఎడైహెడ్రల్ కోణం యొక్క అంచు.

ఒక సాధారణ అంచున ఎడైహెడ్రల్ కోణం, ఏకపక్ష బిందువును ఎంచుకోండి గురించి(Fig. 4). పాయింట్ నుండి సగం-విమానంలో α గురించిలంబంగా పునరుద్ధరించండి ఓ ఏసరళ రేఖకు ఎ. అదే పాయింట్ నుండి గురించిరెండవ సగం-విమానం β లో మేము లంబంగా నిర్మిస్తాము OBఅంచు వరకు ఎ. ఒక కోణం వచ్చింది AOB, దీనిని డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క సరళ కోణం అని పిలుస్తారు.

అన్నం. 4. డైహెడ్రల్ కోణం కొలత

ఇచ్చిన డైహెడ్రల్ కోణం కోసం అన్ని సరళ కోణాల సమానత్వాన్ని నిరూపిద్దాం.

మాకు డైహెడ్రల్ కోణం (Fig. 5) కలిగి ఉండండి. ఒక పాయింట్ ఎంచుకుందాం గురించిమరియు కాలం O 1సరళ రేఖపై ఎ. పాయింట్‌కి అనుగుణంగా సరళ కోణాన్ని నిర్మిస్తాము గురించి, అంటే మేము రెండు లంబాలను గీస్తాము ఓ ఏమరియు OBవిమానాలలో α మరియు β వరుసగా అంచు వరకు ఎ. మేము కోణం పొందుతాము AOB- డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క సరళ కోణం.

అన్నం. 5. రుజువు యొక్క ఉదాహరణ

పాయింట్ నుండి O 1రెండు లంబాలను గీయండి OA 1మరియు OB 1అంచు వరకు ఎవిమానాలలో వరుసగా α మరియు β మరియు మేము రెండవ సరళ కోణాన్ని పొందుతాము A 1 O 1 B 1.

కిరణాలు O 1 A 1మరియు ఓ ఏకోడైరెక్షనల్, ఎందుకంటే అవి ఒకే అర్ధ-తలంలో ఉంటాయి మరియు ఒకే రేఖకు రెండు లంబంగా ఒకదానికొకటి సమాంతరంగా ఉంటాయి ఎ.

అలాగే, కిరణాలు దాదాపు 1 లో 1మరియు OBసహ-దర్శకత్వం వహించారు, అంటే ∠ AOB =∠ A 1 O 1 B 1కోడైరెక్షనల్ వైపులా కోణాలుగా, ఇది నిరూపించాల్సిన అవసరం ఉంది.

సరళ కోణం యొక్క విమానం డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క అంచుకు లంబంగా ఉంటుంది.

నిరూపించండి: ఎ ⊥ AOB.

అన్నం. 6. రుజువు యొక్క ఉదాహరణ

రుజువు:

ఓ ఏ ⊥ ఎనిర్మాణం ద్వారా, OB ⊥ ఎనిర్మాణం ద్వారా (Fig. 6).

మేము లైన్ కనుగొన్నాము ఎరెండు ఖండన రేఖలకు లంబంగా ఓ ఏమరియు OBవిమానం వెలుపల AOB, అంటే ఇది సూటిగా ఉంటుంది ఎవిమానానికి లంబంగా OAV, ఇది నిరూపించాల్సిన అవసరం ఉంది.

డైహెడ్రల్ కోణం దాని సరళ కోణంతో కొలుస్తారు. దీనర్థం అనేక డిగ్రీల రేడియన్‌లు సరళ కోణంలో ఉంటాయి, అదే సంఖ్యలో డిగ్రీ రేడియన్‌లు దాని డైహెడ్రల్ కోణంలో ఉంటాయి. దీనికి అనుగుణంగా, క్రింది రకాల డైహెడ్రల్ కోణాలు ప్రత్యేకించబడ్డాయి.

తీవ్రమైన (Fig. 6)

ఒక డైహెడ్రల్ కోణం దాని రేఖీయ కోణం తీవ్రంగా ఉంటే అది తీవ్రంగా ఉంటుంది, అనగా. .

స్ట్రెయిట్ (Fig. 7)

డైహెడ్రల్ కోణం దాని రేఖీయ కోణం 90° ఉన్నప్పుడు సరిగ్గా ఉంటుంది - అబ్ట్యుస్ (Fig. 8)

డైహెడ్రల్ కోణం దాని రేఖీయ కోణం మందంగా ఉన్నప్పుడు మందంగా ఉంటుంది, అనగా. .

అన్నం. 7. లంబ కోణం

అన్నం. 8. మందమైన కోణం

వాస్తవ బొమ్మలలో సరళ కోణాలను నిర్మించడానికి ఉదాహరణలు

ABCడి- టెట్రాహెడ్రాన్.

1. అంచుతో డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క సరళ కోణాన్ని నిర్మించండి AB.

అన్నం. 9. సమస్యకు ఉదాహరణ

నిర్మాణం:

మేము అంచు ద్వారా ఏర్పడిన డైహెడ్రల్ కోణం గురించి మాట్లాడుతున్నాము ABమరియు అంచులు ABడిమరియు ABC(Fig. 9).

డైరెక్ట్ చేద్దాం డిఎన్విమానానికి లంబంగా ABC, ఎన్- లంబంగా ఆధారం. యొక్క వంపుతిరిగిన డ్రా లెట్ డిఎంసరళ రేఖకు లంబంగా AB,ఎం- వంపుతిరిగిన బేస్. మూడు లంబాల సిద్ధాంతం ద్వారా మనం ఏటవాలు యొక్క ప్రొజెక్షన్ అని నిర్ధారించాము NMరేఖకు లంబంగా కూడా ఉంటుంది AB.

అంటే, పాయింట్ నుండి ఎంఅంచుకు రెండు లంబాలు పునరుద్ధరించబడతాయి ABరెండు వైపులా ABడిమరియు ABC. మేము సరళ కోణం పొందాము డిMN.

గమనించండి, అది AB, డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క అంచు, సరళ కోణం యొక్క సమతలానికి లంబంగా ఉంటుంది, అనగా, విమానం డిMN. సమస్య పరిష్కారమైంది.

వ్యాఖ్య. డైహెడ్రల్ కోణాన్ని ఈ క్రింది విధంగా సూచించవచ్చు: డిABC, ఎక్కడ

AB- అంచు, మరియు పాయింట్లు డిమరియు తోకోణం యొక్క వివిధ వైపులా ఉంటాయి.

2. ఒక అంచుతో డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క సరళ కోణాన్ని నిర్మించండి AC.

లంబంగా గీయండి డిఎన్విమానానికి ABCమరియు వంపుతిరిగిన డిఎన్సరళ రేఖకు లంబంగా AC.మూడు లంబ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి, మేము దానిని కనుగొంటాము ఎన్.ఎన్- ఏటవాలు ప్రొజెక్షన్ డిఎన్విమానానికి ABC,రేఖకు లంబంగా కూడా ఉంటుంది AC.డిNH- అంచుతో డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క సరళ కోణం AC.

టెట్రాహెడ్రాన్‌లో డిABCఅన్ని అంచులు సమానంగా ఉంటాయి. చుక్క ఎం- పక్కటెముక మధ్యలో AC. కోణం అని నిరూపించండి డిMV- లీనియర్ డైహెడ్రల్ కోణం మీరుడి, అంటే అంచుతో కూడిన డైహెడ్రల్ కోణం AC. దాని ముఖాలలో ఒకటి ACడి, రెండవ - DIA(Fig. 10).

అన్నం. 10. సమస్యకు ఉదాహరణ

పరిష్కారం:

త్రిభుజం ADC- సమబాహు, DM- మధ్యస్థ, అందువలన ఎత్తు. అంటే, డిఎం ⊥ AC.అదేవిధంగా, త్రిభుజం ఎINసి- సమబాహు, INఎం- మధ్యస్థ, అందువలన ఎత్తు. అంటే, VM ⊥ AC.

అందువలన, పాయింట్ నుండి ఎంపక్కటెముకలు ACడైహెడ్రల్ కోణం రెండు లంబాలను పునరుద్ధరించింది DMమరియు VMడైహెడ్రల్ కోణం యొక్క ముఖాలలో ఈ అంచు వరకు.

కాబట్టి, ∠ DMINఅనేది డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క సరళ కోణం, ఇది నిరూపించాల్సిన అవసరం ఉంది.

కాబట్టి మేము డైహెడ్రల్ కోణం, డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క సరళ కోణాన్ని నిర్వచించాము.

తదుపరి పాఠంలో మనం పంక్తులు మరియు విమానాల లంబంగా చూస్తాము, ఆపై బొమ్మల బేస్ వద్ద డైహెడ్రల్ కోణం ఏమిటో నేర్చుకుందాం.

"డైహెడ్రల్ యాంగిల్", "డైహెడ్రల్ యాంగిల్ ఎట్ ది బేస్ ఆఫ్ రేఖాగణిత బొమ్మలు" అనే అంశంపై సూచనల జాబితా

1. జ్యామితి. తరగతులు 10-11: సాధారణ విద్యాసంస్థల కోసం పాఠ్య పుస్తకం / Sharygin I. F. - M.: బస్టర్డ్, 1999. - 208 pp.: అనారోగ్యం.
2. జ్యామితి. 10వ తరగతి: గణితం/E యొక్క లోతైన మరియు ప్రత్యేక అధ్యయనంతో సాధారణ విద్యా సంస్థలకు పాఠ్య పుస్తకం. V. పోటోస్కువ్, L. I. జ్వాలిచ్. - 6వ ఎడిషన్, స్టీరియోటైప్. - M.: బస్టర్డ్, 2008. - 233 p.: అనారోగ్యం.

1. Yaklass.ru ().
2. E-science.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru ().
4. Tutoronline.ru ().

"డైహెడ్రల్ యాంగిల్" అనే అంశంపై హోంవర్క్, బొమ్మల బేస్ వద్ద డైహెడ్రల్ కోణాన్ని నిర్ణయించడం

జ్యామితి. తరగతులు 10-11: సాధారణ విద్యా సంస్థల విద్యార్థులకు పాఠ్య పుస్తకం (ప్రాథమిక మరియు ప్రత్యేక స్థాయిలు) / I. M. స్మిర్నోవా, V. A. స్మిర్నోవ్. - 5వ ఎడిషన్, సరిదిద్దబడింది మరియు విస్తరించబడింది - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 pp.: ill.

టాస్క్‌లు 2, 3 పేజి 67.

లీనియర్ డైహెడ్రల్ యాంగిల్ అంటే ఏమిటి? దీన్ని ఎలా నిర్మించాలి?

ABCడి- టెట్రాహెడ్రాన్. అంచుతో డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క సరళ కోణాన్ని నిర్మించండి:

ఎ) INడిబి) డితో.

ABCడి.ఎ. 1 బి 1 సి 1 డి 1 - క్యూబ్ డైహెడ్రల్ యాంగిల్ యొక్క రేఖీయ కోణాన్ని నిర్మించండి A 1 ABCపక్కటెముకతో AB. దాని డిగ్రీ కొలతను నిర్ణయించండి.

డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క భావన

డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క భావనను పరిచయం చేయడానికి, ముందుగా స్టీరియోమెట్రీ యొక్క సిద్ధాంతాలలో ఒకదాన్ని గుర్తుకు తెచ్చుకుందాం.

ఏదైనా విమానాన్ని ఈ విమానంలో ఉన్న $a$ రేఖ యొక్క రెండు అర్ధ-విమానాలుగా విభజించవచ్చు. ఈ సందర్భంలో, అదే అర్ధ-విమానంలో ఉన్న పాయింట్లు $a$ సరళ రేఖకు ఒక వైపున ఉంటాయి మరియు విభిన్న అర్ధ-విమానాలలో ఉన్న పాయింట్లు $a$ (Fig. 1) సరళ రేఖకు వ్యతిరేక వైపులా ఉంటాయి.

చిత్రం 1.

డైహెడ్రల్ కోణాన్ని నిర్మించే సూత్రం ఈ సిద్ధాంతంపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

నిర్వచనం 1

ఫిగర్ అంటారు డైహెడ్రల్ కోణం, ఇది ఒకే సమతలానికి చెందని ఈ రేఖ యొక్క రేఖ మరియు రెండు అర్ధ-విమానాలను కలిగి ఉంటే.

ఈ సందర్భంలో, డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క సగం-విమానాలు అంటారు అంచులు, మరియు సగం-విమానాలను వేరుచేసే సరళ రేఖ డైహెడ్రల్ అంచు(చిత్రం 1).

మూర్తి 2. డైహెడ్రల్ కోణం

డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క డిగ్రీ కొలత

నిర్వచనం 2

అంచున ఉన్న $A$ని ఏకపక్ష పాయింట్‌ని ఎంచుకుందాం. రెండు సరళ రేఖల మధ్య కోణాన్ని వేర్వేరు అర్ధ-విమానాలలో, ఒక అంచుకు లంబంగా మరియు బిందువు వద్ద ఖండిస్తూ $A$ అంటారు లీనియర్ డైహెడ్రల్ కోణం(Fig. 3).

మూర్తి 3.

సహజంగానే, ప్రతి డైహెడ్రల్ కోణం అనంతమైన సరళ కోణాలను కలిగి ఉంటుంది.

సిద్ధాంతం 1

ఒక డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క అన్ని సరళ కోణాలు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటాయి.

రుజువు.

$AOB$ మరియు $A_1(OB)_1$ (Fig. 4) అనే రెండు సరళ కోణాలను పరిశీలిద్దాం.

చిత్రం 4.

$OA$ మరియు $(OA)_1$ కిరణాలు ఒకే హాఫ్-ప్లేన్ $\alpha $లో ఉంటాయి మరియు ఒకే సరళ రేఖకు లంబంగా ఉంటాయి కాబట్టి, అవి కోడైరెక్షనల్‌గా ఉంటాయి. $OB$ మరియు $(OB)_1$ కిరణాలు ఒకే హాఫ్-ప్లేన్ $\beta $లో ఉంటాయి మరియు ఒకే సరళ రేఖకు లంబంగా ఉంటాయి కాబట్టి, అవి కోడైరెక్షనల్‌గా ఉంటాయి. అందుకే

\[\angle AOB=\angle A_1(OB)_1\]

సరళ కోణాల ఎంపిక యొక్క ఏకపక్షం కారణంగా. ఒక డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క అన్ని సరళ కోణాలు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటాయి.

సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

నిర్వచనం 3

డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క డిగ్రీ కొలత అనేది డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క సరళ కోణం యొక్క డిగ్రీ కొలత.

నమూనా సమస్యలు

ఉదాహరణ 1

మాకు $\alpha $ మరియు $\beta $ అనే రెండు నాన్-లంబంగా ఉన్న విమానాలను అందించండి, ఇవి $m$ సరళ రేఖ వెంట కలుస్తాయి. పాయింట్ $A$ $\beta$ విమానానికి చెందినది. $AB$ $m$ పంక్తికి లంబంగా ఉంటుంది. $AC$ $\alpha $కి లంబంగా ఉంటుంది (పాయింట్ $C$ $\alpha $కి చెందినది). కోణం $ABC$ అనేది డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క సరళ కోణం అని నిరూపించండి.

రుజువు.

సమస్య యొక్క పరిస్థితులకు అనుగుణంగా చిత్రాన్ని గీయండి (Fig. 5).

మూర్తి 5.

దానిని నిరూపించడానికి, ఈ క్రింది సిద్ధాంతాన్ని గుర్తుకు తెచ్చుకోండి

సిద్ధాంతం 2:వంపుతిరిగిన ఒక బేస్ గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ దానికి లంబంగా, దాని ప్రొజెక్షన్‌కు లంబంగా ఉంటుంది.

$ AC$ విమానం $\alpha $కి లంబంగా ఉన్నందున, $C$ అనేది $\alpha $ ప్లేన్‌పై $A$ పాయింట్ యొక్క ప్రొజెక్షన్. కాబట్టి, $BC$ అనేది వాలుగా ఉండే $AB$ యొక్క ప్రొజెక్షన్. సిద్ధాంతం 2 ద్వారా, $BC$ డైహెడ్రల్ కోణం అంచుకు లంబంగా ఉంటుంది.

అప్పుడు, $ABC$ కోణం సరళ డైహెడ్రల్ కోణాన్ని నిర్వచించడానికి అన్ని అవసరాలను సంతృప్తిపరుస్తుంది.

ఉదాహరణ 2

డైహెడ్రల్ కోణం $30^\circ$. ముఖాలలో ఒకదానిపై $A$ బిందువు ఉంటుంది, ఇది $A$ బిందువు నుండి డైహెడ్రల్ కోణం అంచు వరకు ఉన్న దూరాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం.

మూర్తి 5ని చూద్దాం.

షరతు ప్రకారం, మాకు $AC=4\cm$ ఉంది.

డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క డిగ్రీ కొలత నిర్వచనం ప్రకారం, $ABC$ కోణం $30^\circ$కి సమానం.

$ABC$ త్రిభుజం ఒక లంబ త్రిభుజం. తీవ్రమైన కోణం యొక్క సైన్ నిర్వచనం ప్రకారం

\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \

పాఠం యొక్క టెక్స్ట్ ట్రాన్స్‌క్రిప్ట్:

ప్లానిమెట్రీలో, ప్రధాన వస్తువులు రేఖలు, విభాగాలు, కిరణాలు మరియు బిందువులు. ఒక బిందువు నుండి వెలువడే కిరణాలు వాటి రేఖాగణిత ఆకృతులలో ఒకదాన్ని ఏర్పరుస్తాయి - ఒక కోణం.

సరళ కోణం డిగ్రీలు మరియు రేడియన్‌లలో కొలవబడుతుందని మనకు తెలుసు.

స్టీరియోమెట్రీలో, వస్తువులకు ఒక విమానం జోడించబడుతుంది. జ్యామితిలో ఒకే సమతలానికి చెందని సాధారణ సరిహద్దు a మరియు రెండు అర్ధ-విమానాల సరళ రేఖతో ఏర్పడిన బొమ్మను డైహెడ్రల్ కోణం అంటారు. అర్ధ-విమానాలు డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క ముఖాలు. స్ట్రెయిట్ లైన్ a అనేది డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క అంచు.

సరళ కోణం వంటి డైహెడ్రల్ కోణాన్ని పేరు పెట్టవచ్చు, కొలవవచ్చు మరియు నిర్మించవచ్చు. ఈ పాఠంలో మనం తెలుసుకోవలసినది ఇదే.

ABCD టెట్రాహెడ్రాన్ మోడల్‌లో డైహెడ్రల్ కోణాన్ని కనుగొనండి.

అంచు ABతో కూడిన డైహెడ్రల్ కోణాన్ని CABD అంటారు, ఇక్కడ పాయింట్లు C మరియు D కోణం యొక్క విభిన్న ముఖాలకు చెందినవి మరియు అంచు ABని మధ్యలో అంటారు.

డైహెడ్రల్ కోణం రూపంలో మూలకాలతో మన చుట్టూ చాలా వస్తువులు ఉన్నాయి.

అనేక నగరాల్లో, పార్కులలో సయోధ్య కోసం ప్రత్యేక బెంచీలు ఏర్పాటు చేయబడ్డాయి. బెంచ్ కేంద్రం వైపు కలుస్తున్న రెండు వంపుతిరిగిన విమానాల రూపంలో తయారు చేయబడింది.

ఇళ్ళు నిర్మించేటప్పుడు, అని పిలవబడే గేబుల్ పైకప్పు తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది. ఈ ఇంటిపై పైకప్పు 90 డిగ్రీల డైహెడ్రల్ కోణం రూపంలో తయారు చేయబడింది.

డైహెడ్రల్ కోణం కూడా డిగ్రీలు లేదా రేడియన్‌లలో కొలుస్తారు, అయితే దానిని ఎలా కొలవాలి.

గృహాల పైకప్పులు తెప్పలపై విశ్రాంతి తీసుకోవడం ఆసక్తికరంగా ఉంటుంది. మరియు తెప్ప షీటింగ్ ఇచ్చిన కోణంలో రెండు పైకప్పు వాలులను ఏర్పరుస్తుంది.

చిత్రాన్ని డ్రాయింగ్‌కు బదిలీ చేద్దాం. డ్రాయింగ్‌లో, డైహెడ్రల్ కోణాన్ని కనుగొనడానికి, పాయింట్ B దాని అంచున గుర్తించబడుతుంది, BA మరియు BC అనే రెండు కిరణాలు కోణం యొక్క అంచుకు లంబంగా ఉంటాయి. ఈ కిరణాల ద్వారా ఏర్పడిన ABC కోణాన్ని లీనియర్ డైహెడ్రల్ కోణం అంటారు.

డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క డిగ్రీ కొలత దాని సరళ కోణం యొక్క డిగ్రీ కొలతకు సమానం.

AOB కోణాన్ని కొలుద్దాం.

ఇచ్చిన డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క డిగ్రీ కొలత అరవై డిగ్రీలు.

డైహెడ్రల్ కోణం కోసం అనంతమైన సరళ కోణాలను గీయవచ్చు, అవన్నీ సమానంగా ఉన్నాయని తెలుసుకోవడం ముఖ్యం.

AOB మరియు A1O1B1 అనే రెండు సరళ కోణాలను పరిశీలిద్దాం. OA మరియు O1A1 కిరణాలు ఒకే ముఖంపై ఉంటాయి మరియు OO1 సరళ రేఖకు లంబంగా ఉంటాయి, కాబట్టి అవి కోడైరెక్షనల్. బీమ్స్ OB మరియు O1B1 కూడా సహ-దర్శకత్వం వహించాయి. కాబట్టి, AOB కోణం A1O1B1 కో-డైరెక్షనల్ వైపులా కోణాలకు సమానం.

కాబట్టి డైహెడ్రల్ కోణం సరళ కోణంతో వర్గీకరించబడుతుంది మరియు సరళ కోణాలు తీవ్రంగా, మందంగా మరియు కుడిగా ఉంటాయి. డైహెడ్రల్ కోణాల నమూనాలను పరిశీలిద్దాం.

దాని రేఖీయ కోణం 90 మరియు 180 డిగ్రీల మధ్య ఉన్నట్లయితే అది మందమైన కోణం.

దాని సరళ కోణం 90 డిగ్రీలు ఉంటే లంబ కోణం.

తీవ్రమైన కోణం, దాని సరళ కోణం 0 నుండి 90 డిగ్రీల వరకు ఉంటే.

సరళ కోణం యొక్క ముఖ్యమైన లక్షణాలలో ఒకదానిని నిరూపిద్దాం.

సరళ కోణం యొక్క విమానం డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క అంచుకు లంబంగా ఉంటుంది.

AOB కోణం ఇచ్చిన డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క సరళ కోణంగా ఉండనివ్వండి. నిర్మాణం ద్వారా, AO మరియు OB కిరణాలు a సరళ రేఖకు లంబంగా ఉంటాయి.

విమానం AOB సిద్ధాంతం ప్రకారం AO మరియు OB అనే రెండు ఖండన రేఖల గుండా వెళుతుంది: ఒక విమానం రెండు ఖండన రేఖల గుండా వెళుతుంది మరియు ఒకటి మాత్రమే.

పంక్తి a ఈ విమానంలో ఉన్న రెండు ఖండన రేఖలకు లంబంగా ఉంటుంది, అంటే, రేఖ మరియు విమానం లంబంగా ఆధారంగా, సరళ రేఖ a అనేది AOB విమానానికి లంబంగా ఉంటుంది.

సమస్యలను పరిష్కరించడానికి, ఇచ్చిన డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క సరళ కోణాన్ని నిర్మించగలగడం ముఖ్యం. టెట్రాహెడ్రాన్ ABCD కోసం అంచు ABతో డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క సరళ కోణాన్ని నిర్మించండి.

మేము డైహెడ్రల్ కోణం గురించి మాట్లాడుతున్నాము, ఇది మొదటగా, అంచు AB, ఒక ముఖం ABD మరియు రెండవ ముఖం ABC ద్వారా ఏర్పడుతుంది.

దీన్ని నిర్మించడానికి ఇక్కడ ఒక మార్గం ఉంది.

పాయింట్ D నుండి ప్లేన్ ABCకి లంబంగా గీద్దాం. టెట్రాహెడ్రాన్‌లో లంబంగా ఉన్న ఆధారం టెట్రాహెడ్రాన్ యొక్క బేస్ వద్ద ఉన్న లిఖించబడిన వృత్తం యొక్క కేంద్రంతో సమానంగా ఉంటుందని గుర్తుంచుకోండి.

పాయింట్ D నుండి అంచు ABకి లంబంగా వంపుతిరిగిన రేఖను గీద్దాం, వంపుతిరిగిన రేఖకు ఆధారం పాయింట్ Nని గుర్తించండి.

త్రిభుజం DMNలో, సెగ్మెంట్ NM అనేది ABC విమానంలో వంపుతిరిగిన DN యొక్క ప్రొజెక్షన్. మూడు లంబాల సిద్ధాంతం ప్రకారం, అంచు AB ప్రొజెక్షన్ NMకి లంబంగా ఉంటుంది.

దీనర్థం కోణం DNM యొక్క భుజాలు AB అంచుకు లంబంగా ఉంటాయి, అంటే నిర్మిత కోణం DNM కావలసిన సరళ కోణం.

డైహెడ్రల్ కోణాన్ని లెక్కించే సమస్యను పరిష్కరించడానికి ఒక ఉదాహరణను పరిశీలిద్దాం.

సమద్విబాహు త్రిభుజం ABC మరియు సాధారణ త్రిభుజం ADB ఒకే సమతలంలో ఉండవు. సెగ్మెంట్ CD విమానం ADBకి లంబంగా ఉంటుంది. AC=CB=2 cm, AB= 4 cm అయితే డైహెడ్రల్ కోణం DABCని కనుగొనండి.

DABC యొక్క డైహెడ్రల్ కోణం దాని సరళ కోణానికి సమానం. ఈ కోణాన్ని నిర్మించుకుందాం.

AB అంచుకు లంబంగా వంపుతిరిగిన CMని గీయండి, త్రిభుజం ACB సమద్విబాహు అయినందున, పాయింట్ M AB అంచు మధ్యలో సమానంగా ఉంటుంది.

సరళ రేఖ CD విమానం ADBకి లంబంగా ఉంటుంది, అంటే ఇది ఈ విమానంలో ఉన్న సరళ రేఖ DMకి లంబంగా ఉంటుంది. మరియు సెగ్మెంట్ MD అనేది విమానం ADVలో వంపుతిరిగిన CM యొక్క ప్రొజెక్షన్.

సరళరేఖ AB నిర్మాణం ద్వారా వంపుతిరిగిన CMకి లంబంగా ఉంటుంది, అంటే మూడు లంబాల సిద్ధాంతం ద్వారా, ఇది ప్రొజెక్షన్ MDకి లంబంగా ఉంటుంది.

కాబట్టి, AB అంచుకు CM మరియు DM అనే రెండు లంబాలు కనిపిస్తాయి. దీనర్థం అవి డైహెడ్రల్ కోణం DABC యొక్క సరళ కోణం CMDని ఏర్పరుస్తాయి. మరియు మనం చేయాల్సిందల్లా దానిని కుడి త్రిభుజం CDM నుండి కనుగొనడమే.

కాబట్టి సెగ్మెంట్ SM అనేది మధ్యస్థం మరియు సమద్విబాహు త్రిభుజం ACB యొక్క ఎత్తు, అప్పుడు పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం ప్రకారం, లెగ్ SM 4 సెం.మీ.కి సమానం.

కుడి త్రిభుజం DMB నుండి, పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం ప్రకారం, లెగ్ DM మూడు యొక్క రెండు మూలాలకు సమానం.

కుడి త్రిభుజం నుండి ఒక కోణం యొక్క కొసైన్ ప్రక్కనే ఉన్న లెగ్ MD యొక్క హైపోటెన్యూస్ CM నిష్పత్తికి సమానంగా ఉంటుంది మరియు మూడు రెట్లు రెండు యొక్క మూడు మూలాలకు సమానం. అంటే యాంగిల్ CMD 30 డిగ్రీలు.

ప్రెజెంటేషన్ ప్రివ్యూలను ఉపయోగించడానికి, Google ఖాతాను సృష్టించండి మరియు దానికి లాగిన్ చేయండి: https://accounts.google.com

స్లయిడ్ శీర్షికలు:

డైహెడ్రల్ యాంగిల్ మ్యాథమెటిక్స్ టీచర్ GOU సెకండరీ స్కూల్ నం. 10 ఎరెమెంకో M.A.

పాఠం యొక్క ప్రధాన లక్ష్యాలు: డైహెడ్రల్ కోణం మరియు దాని రేఖీయ కోణం యొక్క భావనను పరిచయం చేయండి ఈ భావనల అప్లికేషన్ కోసం పనులను పరిగణించండి.

నిర్వచనం: డైహెడ్రల్ కోణం అనేది సాధారణ సరిహద్దు సరళ రేఖతో రెండు అర్ధ-విమానాలచే ఏర్పడిన బొమ్మ.

డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క పరిమాణం దాని సరళ కోణం యొక్క పరిమాణం. AF ⊥ CD BF ⊥ CD AFB - లీనియర్ డైహెడ్రల్ యాంగిల్ ACD B

డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క అన్ని సరళ కోణాలు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉన్నాయని నిరూపిద్దాం. AOB మరియు A 1 OB 1 అనే రెండు సరళ కోణాలను పరిశీలిద్దాం. OA మరియు OA 1 కిరణాలు ఒకే ముఖంపై ఉంటాయి మరియు OO 1కి లంబంగా ఉంటాయి కాబట్టి అవి కోడైరెక్షనల్‌గా ఉంటాయి. బీమ్స్ OB మరియు OB 1 కూడా సహ-దర్శకత్వం వహించబడ్డాయి. కాబట్టి, ∠ AOB = ∠ A 1 OB 1 (సహ-దిశాత్మక భుజాలతో కోణాల వంటివి).

డైహెడ్రల్ కోణాల ఉదాహరణలు:

నిర్వచనం: రెండు ఖండన విమానాల మధ్య కోణం ఈ విమానాలచే ఏర్పడిన డైహెడ్రల్ కోణాలలో అతి చిన్నది.

టాస్క్ 1: క్యూబ్ A ... D 1లో, ABC మరియు CDD 1 విమానాల మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి. సమాధానం: 90 ఓ.

సమస్య 2: క్యూబ్ A ... D 1లో, ABC మరియు CDA 1 విమానాల మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి. సమాధానం: 45 ఓ.

సమస్య 3: A ... D 1 క్యూబ్‌లో, ABC మరియు BDD 1 విమానాల మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి. సమాధానం: 90 ఓ.

సమస్య 4: A ... D 1 క్యూబ్‌లో, ACC 1 మరియు BDD 1 విమానాల మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి. సమాధానం: 90 ఓ.

సమస్య 5: A ... D 1 క్యూబ్‌లో, BC 1 D మరియు BA 1 D విమానాల మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి. పరిష్కారం: O అనేది B D. A 1 OC 1 యొక్క మధ్య బిందువుగా ఉండనివ్వండి – డైహెడ్రల్ కోణం A 1 B D C 1 యొక్క సరళ కోణం.

సమస్య 6: టెట్రాహెడ్రాన్ DABCలో అన్ని అంచులు సమానంగా ఉంటాయి, పాయింట్ M అనేది అంచు AC మధ్యలో ఉంటుంది. ∠ DMB అనేది డైహెడ్రల్ కోణం BACD యొక్క సరళ కోణం అని నిరూపించండి.

పరిష్కారం: త్రిభుజాలు ABC మరియు ADC క్రమబద్ధంగా ఉంటాయి, కాబట్టి, BM ⊥ AC మరియు DM ⊥ AC మరియు అందువల్ల ∠ DMB అనేది డైహెడ్రల్ కోణం DACB యొక్క సరళ కోణం.

సమస్య 7: ABC త్రిభుజం యొక్క శీర్షం B నుండి, α సమతలంలో ఉండే వైపు AC, ఈ సమతలానికి లంబంగా ఉన్న BB 1 డ్రా చేయబడింది. AB=2, ∠ВАС=150 0 మరియు డైహెడ్రల్ కోణం ВАСВ 1 45 0కి సమానం అయితే, పాయింట్ B నుండి సరళ రేఖ AC మరియు విమానం α వరకు ఉన్న దూరాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం: ABC అనేది మొద్దుబారిన త్రిభుజం, కాబట్టి ఎత్తు BC యొక్క ఆధారం వైపు AC యొక్క పొడిగింపుపై ఉంటుంది. VC - పాయింట్ B నుండి AC వరకు దూరం. BB 1 - పాయింట్ B నుండి విమానం α వరకు దూరం

2) AC ⊥BK నుండి, ఆపై AC⊥KB 1 (సిద్ధాంతానికి విలోమ సిద్ధాంతం ద్వారా మూడు లంబంగా ఉంటుంది). కాబట్టి, ∠VKV 1 అనేది డైహెడ్రల్ కోణం BASV 1 మరియు ∠VKV 1 =45 0 యొక్క సరళ కోణం. 3) ∆VAK: ∠A=30 0, VK=VA·sin 30 0, VK =1. ∆ВКВ 1: ВВ 1 =ВК· పాపం 45 0 , ВВ 1 =

డైహెడ్రల్ కోణం. లీనియర్ డైహెడ్రల్ కోణం. డైహెడ్రల్ కోణం అనేది ఒకే సమతలానికి చెందని మరియు సాధారణ సరిహద్దును కలిగి ఉండే రెండు అర్ధ-విమానాలచే ఏర్పడిన బొమ్మ - సరళ రేఖ a. డైహెడ్రల్ కోణాన్ని ఏర్పరిచే సగం-విమానాలను దాని ముఖాలు అని పిలుస్తారు మరియు ఈ సగం-విమానాల యొక్క సాధారణ సరిహద్దును డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క అంచు అంటారు. డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క లీనియర్ కోణం అనేది ఒక కోణం, దీని భుజాల కిరణాలు డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క ముఖాలు డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క అంచుకు లంబంగా ఒక విమానం ద్వారా కలుస్తాయి. ప్రతి డైహెడ్రల్ కోణంలో ఎన్ని సరళ కోణాలు ఉంటాయి: ఒక అంచు యొక్క ప్రతి బిందువు ద్వారా ఈ అంచుకు లంబంగా ఒక విమానాన్ని గీయవచ్చు; ఈ విమానం డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క ముఖాలను కలిపే కిరణాలు సరళ కోణాలను ఏర్పరుస్తాయి.

డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క అన్ని సరళ కోణాలు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటాయి. పిరమిడ్ KABC యొక్క బేస్ యొక్క విమానం మరియు దాని పార్శ్వ ముఖాల ప్లేన్‌ల ద్వారా ఏర్పడిన డైహెడ్రల్ కోణాలు సమానంగా ఉంటే, శీర్షం K నుండి గీసిన లంబంగా ఉన్న ఆధారం ABC త్రిభుజంలో లిఖించబడిన వృత్తానికి కేంద్రం అని నిరూపిద్దాం.

రుజువు. అన్నింటిలో మొదటిది, సమాన డైహెడ్రల్ కోణాల సరళ కోణాలను నిర్మిస్తాము. నిర్వచనం ప్రకారం, సరళ కోణం యొక్క విమానం డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క అంచుకు లంబంగా ఉండాలి. కాబట్టి, డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క అంచు తప్పనిసరిగా సరళ కోణం యొక్క భుజాలకు లంబంగా ఉండాలి. KO బేస్ ప్లేన్‌కు లంబంగా ఉంటే, అప్పుడు మనం OR లంబంగా AC, OR లంబ SV, OQ లంబంగా AB లను గీయవచ్చు, ఆపై పాయింట్ Kతో P, Q, R పాయింట్‌లను కనెక్ట్ చేయవచ్చు. ఈ విధంగా, మేము వంపుతిరిగిన RK, QK యొక్క ప్రొజెక్షన్‌ని నిర్మిస్తాము. , RK కాబట్టి AC, NE, AB అంచులు ఈ అంచనాలకు లంబంగా ఉంటాయి. పర్యవసానంగా, ఈ అంచులు వంపుతిరిగిన వాటికి లంబంగా ఉంటాయి. అందువల్ల ROK, QOK, ROK త్రిభుజాల విమానాలు డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క సంబంధిత అంచులకు లంబంగా ఉంటాయి మరియు స్థితిలో పేర్కొన్న సమాన సరళ కోణాలను ఏర్పరుస్తాయి. కుడి త్రిభుజాలు ROK, QOK, ROK సమానంగా ఉంటాయి (వాటికి సాధారణ కాలు OK ఉంది మరియు ఈ కాలుకు వ్యతిరేక కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి). కాబట్టి, OR = OR = OQ. మనం O కేంద్రం మరియు OP వ్యాసార్థంతో ఒక వృత్తాన్ని గీస్తే, ABC త్రిభుజం యొక్క భుజాలు OP, OR మరియు OQ రేడియలకు లంబంగా ఉంటాయి మరియు అందువల్ల ఈ వృత్తానికి టాంజెంట్‌గా ఉంటాయి.

విమానాల లంబంగా. ఆల్ఫా మరియు బీటా విమానాలు వాటి ఖండన వద్ద ఏర్పడిన డైహెడ్రల్ కోణాలలో ఒకదాని యొక్క సరళ కోణం 90కి సమానం అయితే వాటిని లంబంగా పిలుస్తారు." రెండు విమానాల లంబంగా సంకేతాలు రెండు విమానాలలో ఒకటి మరొక సమతలానికి లంబంగా ఉన్న రేఖ గుండా వెళితే, అప్పుడు ఈ విమానాలు లంబంగా ఉంటాయి.

ఫిగర్ దీర్ఘచతురస్రాకార సమాంతర పైప్‌ను చూపుతుంది. దీని స్థావరాలు ABCD మరియు A1B1C1D1 దీర్ఘచతురస్రాలు. మరియు పక్క పక్కటెముకలు AA1 BB1, CC1, DD1 బేస్‌లకు లంబంగా ఉంటాయి. ఇది AA1 ABకి లంబంగా ఉంటుంది, అనగా పక్క ముఖం దీర్ఘచతురస్రం. ఈ విధంగా, దీర్ఘచతురస్రాకార సమాంతర పైప్డ్ యొక్క లక్షణాలను మనం సమర్థించవచ్చు: దీర్ఘచతురస్రాకార సమాంతర పైప్డ్‌లో, మొత్తం ఆరు ముఖాలు దీర్ఘచతురస్రాలే. ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార సమాంతర పైప్‌లో, మొత్తం ఆరు ముఖాలు దీర్ఘచతురస్రాలే. దీర్ఘచతురస్రాకార సమాంతర పైప్డ్ యొక్క అన్ని డైహెడ్రల్ కోణాలు లంబ కోణాలు. దీర్ఘచతురస్రాకార సమాంతర పైప్డ్ యొక్క అన్ని డైహెడ్రల్ కోణాలు లంబ కోణాలు.

సిద్ధాంతం దీర్ఘచతురస్రాకార సమాంతర పైప్డ్ యొక్క వికర్ణం యొక్క చతురస్రం దాని మూడు పరిమాణాల చతురస్రాల మొత్తానికి సమానం. మనం మళ్లీ ఫిగర్‌కి వెళ్లి, AC12 = AB2 + AD2 + AA12 అని నిరూపిద్దాం, అంచు CC1 బేస్ ABCDకి లంబంగా ఉన్నందున, కోణం ACC1 సరైనది. కుడి త్రిభుజం ACC1 నుండి, పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి, మేము AC12 = AC2 + CC12ని పొందుతాము. కానీ AC దీర్ఘచతురస్రం ABCD యొక్క వికర్ణం, కాబట్టి AC2 = AB2 + AD2. అదనంగా, CC1 = AA1. కాబట్టి AC12= AB2+AD2+AA12 సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.