ప్రామాణిక రకం బహుపది నిర్వచనం అంటే ఏమిటి? బహుపది అనే పదానికి అర్థం

లేదా, ఖచ్చితంగా, ఫారమ్ యొక్క పరిమిత అధికారిక మొత్తం

∑ I c I x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n (\displaystyle \sum _(I)c_(I)x_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\ cdots x_(n)^(i_(n))), ఎక్కడ

ప్రత్యేకించి, ఒక వేరియబుల్‌లోని బహుపది అనేది రూపం యొక్క పరిమిత అధికారిక మొత్తం

c 0 + c 1 x 1 + ⋯ + c m x ​​m (\ డిస్ప్లేస్టైల్ c_(0)+c_(1)x^(1)+\చుక్కలు +c_(m)x^(m)), ఎక్కడ

బహుపదిని ఉపయోగించి, "బీజగణిత సమీకరణం" మరియు "బీజగణిత విధి" అనే భావనలు ఉత్పన్నమవుతాయి.

అధ్యయనం మరియు అప్లికేషన్[ | ]

బహుపది సమీకరణాలు మరియు వాటి పరిష్కారాల అధ్యయనం బహుశా "క్లాసికల్ ఆల్జీబ్రా" యొక్క ప్రధాన వస్తువు.

గణితంలో పరివర్తనల యొక్క మొత్తం శ్రేణి బహుపదాల అధ్యయనంతో ముడిపడి ఉంది: సున్నా, ప్రతికూల మరియు ఆపై సంక్లిష్ట సంఖ్యల పరిశీలనలో పరిచయం, అలాగే గణితశాస్త్రంలో ఒక శాఖగా సమూహ సిద్ధాంతం యొక్క ఆవిర్భావం మరియు ప్రత్యేక తరగతుల గుర్తింపు. విశ్లేషణలో విధులు.

సంక్లిష్టమైన విధుల తరగతులతో పోల్చితే బహుపదాలతో అనుబంధించబడిన గణనల సాంకేతిక సరళత, అలాగే యూక్లిడియన్ స్పేస్‌లోని కాంపాక్ట్ ఉపసమితులపై నిరంతర ఫంక్షన్‌ల ప్రదేశంలో బహుపదిల సమితి దట్టంగా ఉండటం (వీర్‌స్ట్రాస్ యొక్క ఉజ్జాయింపు సిద్ధాంతాన్ని చూడండి), దీనికి దోహదపడింది. గణిత విశ్లేషణలో శ్రేణి విస్తరణ మరియు బహుపది విస్తరణ పద్ధతుల అభివృద్ధి.

బీజగణిత జ్యామితిలో బహుపదిలు కూడా కీలక పాత్ర పోషిస్తాయి, దీని వస్తువు బహుపది వ్యవస్థలకు పరిష్కారాలుగా నిర్వచించబడింది.

బహుపదిలను గుణించేటప్పుడు గుణకాలను మార్చే ప్రత్యేక లక్షణాలు బీజగణిత జ్యామితి, బీజగణితం, నాట్ సిద్ధాంతం మరియు గణితశాస్త్రంలోని ఇతర విభాగాలలో బహుపదిలలోని వివిధ వస్తువుల లక్షణాలను ఎన్‌కోడ్ చేయడానికి లేదా వ్యక్తీకరించడానికి ఉపయోగిస్తారు.

సంబంధిత నిర్వచనాలు[ | ]

• రూపం యొక్క బహుపది c x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n (\ displaystyle cx_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\cdots x_(n)^(i_(n)))అని పిలిచారు మోనోమియల్లేదా మోనోమియల్బహుళ-సూచిక I = (i 1 , … , i n) (\ displaystyle I=(i_(1),\dots ,\,i_(n))).
• బహుళ-సూచికకు సంబంధించిన మోనోమియల్ I = (0 , … , 0) (\డిస్ప్లేస్టైల్ I=(0,\చుక్కలు,\,0))అని పిలిచారు ఉచిత సభ్యుడు.
• పూర్తి డిగ్రీ(సున్నా కాని) మోనోమియల్ c I x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n (\ displaystyle c_(I)x_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\cdots x_(n)^(i_ (n)))పూర్ణాంకం అంటారు | నేను | = i 1 + i 2 + ⋯ + i n (\ displaystyle |I|=i_(1)+i_(2)+\dots +i_(n)).
• అనేక బహుళ సూచికలు I, దీని కోసం గుణకాలు c I (\displaystyle c_(I))సున్నా కాని, అని బహుపది యొక్క క్యారియర్, మరియు దాని కుంభాకార పొట్టు న్యూటన్ యొక్క పాలిహెడ్రాన్.
• బహుపది డిగ్రీదాని మోనోమియల్స్ యొక్క గరిష్ట శక్తులు అంటారు. ఒకేలా సున్నా యొక్క డిగ్రీ విలువ ద్వారా మరింత నిర్ణయించబడుతుంది − ∞ (\డిస్ప్లేస్టైల్ -\ఇన్ఫ్టీ ).
• రెండు మోనోమియల్‌ల మొత్తం ఉండే బహుపది అంటారు ద్విపదలేదా ద్విపద,
• మూడు మోనోమియల్‌ల మొత్తం ఉండే బహుపదిని అంటారు త్రిపద.
• బహుపది యొక్క గుణకాలు సాధారణంగా నిర్దిష్ట కమ్యుటేటివ్ రింగ్ నుండి తీసుకోబడతాయి R (\డిస్ప్లేస్టైల్ R)(చాలా తరచుగా ఫీల్డ్‌లు, ఉదాహరణకు, వాస్తవ లేదా సంక్లిష్ట సంఖ్యల ఫీల్డ్‌లు). ఈ సందర్భంలో, సంకలనం మరియు గుణకారం యొక్క కార్యకలాపాలకు సంబంధించి, బహుపదిలు ఒక రింగ్‌ను ఏర్పరుస్తాయి (అంతేకాకుండా, రింగ్‌పై ఒక అనుబంధ-కమ్యుటేటివ్ బీజగణితం R (\డిస్ప్లేస్టైల్ R)సున్నా విభజనలు లేకుండా) ఇది సూచించబడుతుంది R [x 1, x 2,…, x n]. (\డిస్ప్లేస్టైల్ R.)
• బహుపది కోసం p (x) (\డిస్ప్లేస్టైల్ p(x))ఒక వేరియబుల్, సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం p (x) = 0 (\డిస్ప్లేస్టైల్ p(x)=0)దాని మూలం అంటారు.

బహుపది విధులు[ | ]

వీలు A (\ displaystyle A)ఒక ఉంగరం మీద బీజగణితం ఉంది R (\డిస్ప్లేస్టైల్ R). ఏకపక్ష బహుపది p (x) ∈ R [ x 1 , x 2 , … , x n ] (\ displaystyle p(x)\in R)బహుపది విధిని నిర్వచిస్తుంది

p R: A → A (\ displaystyle p_(R):A\ to A).

అత్యంత తరచుగా పరిగణించబడే కేసు A = R (\ displaystyle A=R).

ఉంటే R (\డిస్ప్లేస్టైల్ R)వాస్తవ లేదా సంక్లిష్ట సంఖ్యల ఫీల్డ్ (అలాగే అనంతమైన మూలకాలతో ఏదైనా ఇతర ఫీల్డ్), ఫంక్షన్ f p: R n → R (\ displaystyle f_(p):R^(n)\to R)బహుపది pని పూర్తిగా నిర్వచిస్తుంది. అయితే, సాధారణంగా ఇది నిజం కాదు, ఉదాహరణకు: బహుపదిలు p 1 (x) ≡ x (\డిస్ప్లేస్టైల్ p_(1)(x)\equiv x)మరియు p 2 (x) ≡ x 2 (\డిస్ప్లేస్టైల్ p_(2)(x)\equiv x^(2))నుండి Z 2 [x ] (\డిస్ప్లేస్టైల్ \mathbb (Z)_(2)[x])ఒకేలా సమానమైన విధులను నిర్వచించండి Z 2 → Z 2 (\displaystyle \mathbb (Z) _(2)\to \mathbb (Z) _(2)).

ఒక నిజమైన వేరియబుల్ యొక్క బహుపది ఫంక్షన్‌ను మొత్తం హేతుబద్ధమైన ఫంక్షన్ అంటారు.

బహుపది రకాలు[ | ]

లక్షణాలు [ | ]

భాగము [ | ]

బహుపది రింగ్‌లో తగ్గించలేని బహుపదిల పాత్ర పూర్ణాంకాల రింగ్‌లోని ప్రధాన సంఖ్యల పాత్రను పోలి ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, సిద్ధాంతం నిజం: బహుపదాల ఉత్పత్తి అయితే p q (\ డిస్ప్లేస్టైల్ pq)అది తగ్గించలేని బహుపదితో భాగించబడుతుంది pలేదా qభాగించబడిన λ (\డిస్ప్లేస్టైల్ \లంబ్డా). సున్నా కంటే ఎక్కువ డిగ్రీ ఉన్న ప్రతి బహుపది, ఇచ్చిన ఫీల్డ్‌లో ఒక ప్రత్యేకమైన మార్గంలో (డిగ్రీ సున్నా కారకాల వరకు) తగ్గించలేని కారకాల ఉత్పత్తిగా కుళ్ళిపోతుంది.

ఉదాహరణకు, బహుపది x 4 - 2 (\డిస్ప్లేస్టైల్ x^(4)-2), హేతుబద్ధ సంఖ్యల రంగంలో తగ్గించలేనిది, వాస్తవ సంఖ్యల రంగంలో మూడు కారకాలుగా మరియు సంక్లిష్ట సంఖ్యల రంగంలో నాలుగు కారకాలుగా కుళ్ళిపోతుంది.

సాధారణంగా, ప్రతి బహుపది ఒక వేరియబుల్‌లో ఉంటుంది x (\డిస్ప్లేస్టైల్ x)వాస్తవ సంఖ్యల రంగంలో మొదటి మరియు రెండవ డిగ్రీ కారకాలుగా, సంక్లిష్ట సంఖ్యల రంగంలో మొదటి డిగ్రీ కారకాలుగా (బీజగణితం యొక్క ప్రాథమిక సిద్ధాంతం) కుళ్ళిపోతుంది.

రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ వేరియబుల్స్ కోసం ఇది ఇకపై చెప్పబడదు. ఎవరికైనా ఏ రంగం పైన n > 2 (\displaystyle n>2)నుండి బహుపదాలు ఉన్నాయి n (\ displaystyle n)ఈ ఫీల్డ్ యొక్క ఏదైనా పొడిగింపులో తగ్గించలేని వేరియబుల్స్. ఇటువంటి బహుపదిలను ఖచ్చితంగా తగ్గించలేనివి అంటారు.

బహుపది భావన

బహుపది యొక్క నిర్వచనం: బహుపది అనేది మోనోమియల్‌ల మొత్తం. బహుపది ఉదాహరణ:

ఇక్కడ మనం రెండు మోనోమియల్‌ల మొత్తాన్ని చూస్తాము మరియు ఇది బహుపది, అనగా. మోనోమియల్స్ మొత్తం.

బహుపదిని రూపొందించే పదాలను బహుపది పదాలు అంటారు.

మోనోమియల్‌ల భేదం బహుపదమా? అవును, ఇది, ఎందుకంటే వ్యత్యాసం సులభంగా మొత్తానికి తగ్గించబడుతుంది, ఉదాహరణకు: 5a - 2b = 5a + (-2b).

మోనోమియల్‌లను కూడా బహుపదిలుగా పరిగణిస్తారు. కానీ మోనోమియల్‌కు మొత్తం ఉండదు, అయితే అది బహుపది అని ఎందుకు పరిగణించబడుతుంది? మరియు మీరు దానికి సున్నాని జోడించి దాని మొత్తాన్ని సున్నా మోనోమియల్‌తో పొందవచ్చు. కాబట్టి, మోనోమియల్ అనేది బహుపది యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం; ఇది ఒక పదాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

సున్నా సంఖ్య సున్నా బహుపది.

బహుపది యొక్క ప్రామాణిక రూపం

ప్రామాణిక రూపం యొక్క బహుపది అంటే ఏమిటి? బహుపది అనేది మోనోమియల్‌ల మొత్తం, మరియు బహుపదిని రూపొందించే ఈ మోనోమియల్‌లన్నీ ప్రామాణిక రూపంలో వ్రాయబడి, వాటిలో సారూప్యమైనవి ఉండకూడదు, అప్పుడు బహుపది ప్రామాణిక రూపంలో వ్రాయబడుతుంది.

ప్రామాణిక రూపంలో బహుపది యొక్క ఉదాహరణ:

ఇక్కడ బహుపది 2 మోనోమియల్‌లను కలిగి ఉంటుంది, వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి ప్రామాణిక రూపాన్ని కలిగి ఉంటాయి;

ఇప్పుడు ప్రామాణిక రూపం లేని బహుపదికి ఉదాహరణ:

ఇక్కడ రెండు మోనోమియల్‌లు: 2a మరియు 4a ఒకేలా ఉంటాయి. మీరు వాటిని జోడించాలి, అప్పుడు బహుపది ప్రామాణిక రూపాన్ని తీసుకుంటుంది:

మరొక ఉదాహరణ:

ఈ బహుపది ప్రామాణిక రూపానికి తగ్గించబడిందా? లేదు, అతని రెండవ పదం ప్రామాణిక రూపంలో వ్రాయబడలేదు. దీన్ని ప్రామాణిక రూపంలో వ్రాయడం, మేము ప్రామాణిక రూపం యొక్క బహుపదిని పొందుతాము:

బహుపది డిగ్రీ

బహుపది యొక్క డిగ్రీ ఎంత?

బహుపది డిగ్రీ నిర్వచనం:

బహుపది యొక్క డిగ్రీ అనేది ప్రామాణిక రూపం యొక్క ఇచ్చిన బహుపదిని రూపొందించే మోనోమియల్‌లు కలిగి ఉన్న అత్యధిక డిగ్రీ.

ఉదాహరణ. బహుపది 5h యొక్క డిగ్రీ ఎంత? బహుపది 5h యొక్క డిగ్రీ ఒకదానికి సమానం, ఎందుకంటే ఈ బహుపదిలో ఒక మోనోమియల్ మాత్రమే ఉంటుంది మరియు దాని డిగ్రీ ఒకదానికి సమానం.

మరొక ఉదాహరణ. బహుపది 5a 2 h 3 s 4 +1 డిగ్రీ ఎంత? బహుపది 5a 2 h 3 s 4 + 1 యొక్క డిగ్రీ తొమ్మిదికి సమానం, ఎందుకంటే ఈ బహుపది రెండు మోనోమియల్‌లను కలిగి ఉంటుంది, మొదటి మోనోమియల్ 5a 2 h 3 s 4 అత్యధిక డిగ్రీని కలిగి ఉంటుంది మరియు దాని డిగ్రీ 9.

మరొక ఉదాహరణ. బహుపది 5 యొక్క డిగ్రీ ఎంత? బహుపది 5 యొక్క డిగ్రీ సున్నా. కాబట్టి, ఒక సంఖ్యను మాత్రమే కలిగి ఉండే బహుపది యొక్క డిగ్రీ, అనగా. అక్షరాలు లేకుండా, సున్నాకి సమానం.

చివరి ఉదాహరణ. సున్నా బహుపది యొక్క డిగ్రీ ఏమిటి, అనగా. సున్నా? సున్నా బహుపది యొక్క డిగ్రీ నిర్వచించబడలేదు.

బహుపది, రూపం యొక్క వ్యక్తీకరణ

Axkyl┘..wm + Bxnyp┘..wq + ┘┘ + Dxrts┘..wt,

ఇక్కడ x, y, ..., w ≈ వేరియబుల్స్, మరియు A, B, ..., D (M కోఎఫీషియంట్స్) మరియు k, l, ..., t (ఘాతాంకాలు ≈ నాన్-నెగటివ్ పూర్ణాంకాలు) ≈ స్థిరాంకాలు. Ахkyl┘..wm రూపం యొక్క వ్యక్తిగత నిబంధనలను M యొక్క నిబంధనలు అంటారు. నిబంధనల క్రమం, అలాగే ప్రతి పదంలోని కారకాల క్రమాన్ని ఏకపక్షంగా మార్చవచ్చు; అదే విధంగా, మీరు సున్నా గుణకాలతో నిబంధనలను ప్రవేశపెట్టవచ్చు లేదా వదిలివేయవచ్చు మరియు ప్రతి ఒక్క పదంలో ≈ సున్నా గుణకాలతో అధికారాలు ఉంటాయి. ఒక నిర్మాణంలో ఒకటి, ఇద్దరు లేదా ముగ్గురు సభ్యులు ఉన్నప్పుడు, దానిని మోనోమియల్, బైనామియల్ లేదా ట్రినోమియల్ అంటారు. ఒకే విధమైన వేరియబుల్స్ కోసం వాటి ఘాతాంకాలు జతగా సమానంగా ఉంటే సమీకరణం యొక్క రెండు పదాలను సారూప్యత అంటారు. ఇలాంటి సభ్యులు

A"хkyl┘..wm, B"xkyl┘..wm, ┘.., D"xkyl┘..wm

ఒకటి ద్వారా భర్తీ చేయవచ్చు (ఇలాంటి నిబంధనలను తీసుకురావడం). సారూప్యమైన వాటిని తగ్గించిన తర్వాత, సున్నా కాని గుణకాలతో ఉన్న అన్ని పదాలు జతగా ఒకేలా మారినట్లయితే (కానీ బహుశా వేరే క్రమంలో వ్రాయబడి ఉండవచ్చు) మరియు ఈ మోడల్‌ల యొక్క అన్ని గుణకాలు సమానంగా మారినట్లయితే రెండు నమూనాలను సమానం అంటారు. సున్నా. తరువాతి సందర్భంలో, పరిమాణాన్ని ఒకేలా సున్నా అని పిలుస్తారు మరియు 0 గుర్తుతో సూచించబడుతుంది. ఒక వేరియబుల్ x యొక్క పరిమాణాన్ని ఎల్లప్పుడూ రూపంలో వ్రాయవచ్చు

P(x) = a0xn+ a1xn-1 + ... + an-1x+ an,

ఇక్కడ a0, a1,..., an ≈ గుణకాలు.

మోడల్‌లోని ఏదైనా సభ్యుని ఘాతాంకాల మొత్తాన్ని ఆ సభ్యుని డిగ్రీ అంటారు. M ఒకేలా సున్నా కాకపోతే, నాన్‌జీరో కోఎఫీషియంట్స్‌తో ఉన్న నిబంధనలలో (అటువంటి నిబంధనలన్నీ ఇవ్వబడినట్లు భావించబడుతుంది) అత్యధిక డిగ్రీలో ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ ఉన్నాయి; ఈ గొప్ప డిగ్రీని M డిగ్రీ అంటారు. ఒకేలాంటి సున్నాకి డిగ్రీ ఉండదు. సున్నా డిగ్రీ యొక్క M. ఒక పదం Aకి తగ్గించబడింది (స్థిరమైనది, సున్నాకి సమానం కాదు). ఉదాహరణలు: xyz + x + y + z అనేది మూడవ డిగ్రీ యొక్క బహుపది, 2x + y ≈ z + 1 అనేది మొదటి డిగ్రీ (లీనియర్ M) యొక్క బహుపది, 5x2 ≈ 2x2 ≈ 3x2 డిగ్రీని కలిగి ఉండదు, ఎందుకంటే ఇది సున్నాకి సమానంగా ఉంటుంది. . ఒక మోడల్, సభ్యులందరూ ఒకే స్థాయిలో ఉన్నారని, దీనిని సజాతీయ నమూనా లేదా రూపం అంటారు; మొదటి, రెండవ మరియు మూడవ డిగ్రీల రూపాలను లీనియర్, క్వాడ్రాటిక్, క్యూబిక్ అని పిలుస్తారు మరియు వేరియబుల్స్ (రెండు, మూడు) బైనరీ (బైనరీ), ట్రైజెమినల్ (టెర్నరీ) (ఉదాహరణకు, x2 + y2 + z2 ≈ xy ≈) yz ≈ xz ఒక త్రిభుజాకార చతుర్భుజ రూపం ).

గణితం యొక్క కోఎఫీషియంట్‌లకు సంబంధించి, అవి ఒక నిర్దిష్ట క్షేత్రానికి చెందినవని భావించబడుతుంది (బీజగణిత క్షేత్రాన్ని చూడండి), ఉదాహరణకు, హేతుబద్ధమైన, వాస్తవమైన లేదా సంక్లిష్ట సంఖ్యల క్షేత్రం. కమ్యుటేటివ్, కాంబినేషనల్ మరియు డిస్ట్రిబ్యూటివ్ చట్టాల ఆధారంగా ఒక మోడల్‌పై కూడిక, తీసివేత మరియు గుణకారం యొక్క కార్యకలాపాలను చేయడం ద్వారా, ఒక వ్యక్తి మళ్లీ ఒక మోడల్‌ను పొందుతాడు, ఈ విధంగా, ఇచ్చిన ఫీల్డ్ నుండి గుణకాలతో కూడిన అన్ని మోడళ్ల సమితి రింగ్‌ను ఏర్పరుస్తుంది (బీజగణితం చూడండి రింగ్) ≈ ఇచ్చిన ఫీల్డ్‌పై బహుపదాల రింగ్; ఈ రింగ్‌లో సున్నా భాగహారాలు లేవు, అంటే 0కి సమానం కాని సంఖ్యల ఉత్పత్తి 0ని ఇవ్వదు.

P(x) మరియు Q(x) అనే రెండు బహుపదాలకు P = QR అనే బహుపది R(x)ని కనుగొనడం సాధ్యమైతే, Pని Qతో భాగించవచ్చు; Qని డివైజర్ అంటారు మరియు R ≈ గుణకం. P అనేది Qతో భాగించబడకపోతే, P = QR + S అనే బహుపదాలను P(x) మరియు S(x) కనుగొనవచ్చు మరియు S(x) డిగ్రీ Q(x) డిగ్రీ కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.

ఈ ఆపరేషన్‌ని పదే పదే వర్తింపజేయడం ద్వారా, P మరియు Q యొక్క గొప్ప సాధారణ విభజనను కనుగొనవచ్చు, అంటే, ఈ బహుపదాల యొక్క ఏదైనా సాధారణ విభజన ద్వారా విభజించబడే P మరియు Q యొక్క విభజన (యూక్లిడియన్ అల్గోరిథం చూడండి). ఇచ్చిన ఫీల్డ్ నుండి కోఎఫీషియంట్స్‌తో తక్కువ డిగ్రీల మాతృక యొక్క ఉత్పత్తిగా సూచించబడే మాతృకను తగ్గించదగినది (ఇచ్చిన ఫీల్డ్‌లో) అంటారు, లేకుంటే దానిని ఇర్రెడ్యూసిబుల్ అంటారు. పూర్ణాంకాల సిద్ధాంతంలో ప్రధాన సంఖ్యల మాదిరిగానే సంఖ్యల రింగ్‌లో తగ్గించలేని సంఖ్యలు పాత్ర పోషిస్తాయి. కాబట్టి, ఉదాహరణకు, సిద్ధాంతం నిజం: PQ ఉత్పత్తిని తగ్గించలేని బహుపది R ద్వారా భాగించబడితే, P Rతో భాగించబడకపోతే, Q తప్పనిసరిగా Rతో భాగించబడాలి. సున్నా కంటే ఎక్కువ ఉన్న ప్రతి M డిగ్రీని a లో కుళ్ళిపోవచ్చు ఒక ప్రత్యేకమైన మార్గంలో (సున్నా డిగ్రీ కారకాల వరకు) తగ్గించలేని కారకాల ఉత్పత్తికి ఫీల్డ్ ఇవ్వబడింది. ఉదాహరణకు, హేతుబద్ధ సంఖ్యల రంగంలో తగ్గించలేని బహుపది x4 + 1, కారకం చేయబడింది

వాస్తవ సంఖ్యల రంగంలో మరియు నాలుగు కారకాల ద్వారా ═సంక్లిష్ట సంఖ్యల రంగంలో. సాధారణంగా, ఒక వేరియబుల్ x యొక్క ప్రతి మోడల్ వాస్తవ సంఖ్యల రంగంలో మొదటి మరియు రెండవ డిగ్రీ కారకాలుగా మరియు సంక్లిష్ట సంఖ్యల రంగంలో మొదటి డిగ్రీ (బీజగణితం యొక్క ప్రాథమిక సిద్ధాంతం) కారకాలుగా కుళ్ళిపోతుంది. రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ వేరియబుల్స్ కోసం ఇది ఇకపై చెప్పబడదు; ఉదాహరణకు, బహుపది x3 + yz2 + z3 ఏ సంఖ్య ఫీల్డ్‌లోనైనా తగ్గించబడదు.

x, y, ..., w అనే వేరియబుల్స్‌కు నిర్దిష్ట సంఖ్యా విలువలు (ఉదాహరణకు, నిజమైన లేదా సంక్లిష్టమైనవి) ఇచ్చినట్లయితే, M కూడా నిర్దిష్ట సంఖ్యా విలువను పొందుతుంది. ప్రతి మోడల్‌ను సంబంధిత వేరియబుల్స్ యొక్క ఫంక్షన్‌గా పరిగణించవచ్చని ఇది అనుసరిస్తుంది. ఈ ఫంక్షన్ వేరియబుల్స్ యొక్క ఏదైనా విలువలకు నిరంతరంగా మరియు భేదకరంగా ఉంటుంది; ఇది మొత్తం హేతుబద్ధమైన ఫంక్షన్‌గా వర్గీకరించబడుతుంది, అనగా వేరియబుల్స్ మరియు కొన్ని స్థిరాంకాల (గుణకాలు) నుండి సంకలనం, వ్యవకలనం మరియు గుణకారం ద్వారా నిర్దిష్ట క్రమంలో నిర్వహించబడే ఒక ఫంక్షన్. మొత్తం హేతుబద్ధమైన విధులు హేతుబద్ధమైన ఫంక్షన్‌ల యొక్క విస్తృత తరగతిలో చేర్చబడ్డాయి, ఇక్కడ జాబితా చేయబడిన చర్యలకు విభజన జోడించబడుతుంది: ఏదైనా హేతుబద్ధమైన ఫంక్షన్‌ను రెండు M యొక్క గుణకం వలె సూచించవచ్చు. చివరగా, హేతుబద్ధమైన విధులు బీజగణిత ఫంక్షన్‌ల తరగతిలో ఉంటాయి.

గణితశాస్త్రం యొక్క అతి ముఖ్యమైన లక్షణాలలో ఒకటి, ఏదైనా నిరంతర ఫంక్షన్‌ను గణితం ద్వారా ఏకపక్షంగా చిన్న లోపంతో భర్తీ చేయవచ్చు (వీర్‌స్ట్రాస్ సిద్ధాంతం; దాని ఖచ్చితమైన సూత్రీకరణకు ఇచ్చిన ఫంక్షన్ కొన్ని పరిమిత, క్లోజ్డ్ పాయింట్‌ల సెట్‌పై నిరంతరంగా ఉండాలి, ఉదాహరణకు, ఆన్ నిజమైన అక్షం యొక్క ఒక విభాగం ). ఈ వాస్తవం, గణిత విశ్లేషణ ద్వారా నిరూపించబడింది, సహజ శాస్త్రం మరియు సాంకేతికత యొక్క ఏదైనా సంచికలో అధ్యయనం చేయబడిన పరిమాణాల మధ్య ఏదైనా సంబంధాన్ని గణితశాస్త్రపరంగా వ్యక్తీకరించడం సాధ్యమవుతుంది. అటువంటి వ్యక్తీకరణకు సంబంధించిన పద్ధతులు గణితశాస్త్రంలోని ప్రత్యేక విభాగాలలో అధ్యయనం చేయబడతాయి ( ఫంక్షన్ల ఉజ్జాయింపు మరియు ఇంటర్‌పోలేషన్, తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతి చూడండి).

ప్రాథమిక బీజగణితంలో, బహుపదిని కొన్నిసార్లు బీజగణిత వ్యక్తీకరణ అని పిలుస్తారు, దీనిలో చివరి చర్య సంకలనం లేదా తీసివేత, ఉదాహరణకు

లిట్. : కురోష్ A.G., కోర్స్ ఆఫ్ హయ్యర్ ఆల్జీబ్రా, 9వ ఎడిషన్., M., 1968; మిషినా A.P., ప్రోస్కుర్యాకోవ్ I.V., హయ్యర్ ఆల్జీబ్రా, 2వ ed., M., 1965.

మోనోమియల్‌లను అధ్యయనం చేసిన తర్వాత, మేము బహుపదిలకు వెళ్తాము. వాటిపై చర్యలను నిర్వహించడానికి అవసరమైన అన్ని సమాచారం గురించి ఈ వ్యాసం మీకు తెలియజేస్తుంది. మేము బహుపది పదం యొక్క నిర్వచనాలతో కూడిన బహుపదిని నిర్వచిస్తాము, అంటే ఉచితమైన మరియు సారూప్యమైన, ప్రామాణిక రూపమైన బహుపదిని పరిగణించి, డిగ్రీని పరిచయం చేసి, దానిని ఎలా కనుగొనాలో మరియు దాని గుణకాలతో పని చేయడం ఎలాగో నేర్చుకుంటాము.

Yandex.RTB R-A-339285-1

బహుపది మరియు దాని నిబంధనలు - నిర్వచనాలు మరియు ఉదాహరణలు

బహుపది యొక్క నిర్వచనం తిరిగి అవసరం 7 మోనోమియల్స్ చదివిన తర్వాత తరగతి. దాని పూర్తి నిర్వచనం చూద్దాం.

నిర్వచనం 1

బహుపదిమోనోమియల్స్ మొత్తం లెక్కించబడుతుంది మరియు మోనోమియల్ అనేది బహుపది యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం.

నిర్వచనం నుండి, బహుపదాల ఉదాహరణలు భిన్నంగా ఉండవచ్చు: 5 , 0 , − 1 , x, 5 a b 3, x 2 · 0 , 6 · x · (− 2) · y 12 , - 2 13 · x · y 2 · 3 2 3 · x · x 3 · y · z మరియు మొదలైనవి. నిర్వచనం నుండి మనకు అది ఉంది 1+x, a 2 + b 2 మరియు వ్యక్తీకరణ x 2 - 2 x y + 2 5 x 2 + y 2 + 5, 2 y x బహుపదాలు.

మరికొన్ని నిర్వచనాలను చూద్దాం.

నిర్వచనం 2

బహుపది సభ్యులుదాని రాజ్యాంగ మోనోమియల్స్ అంటారు.

3 x 4, − 2 x y, 3 మరియు - వై 3. అటువంటి మోనోమియల్‌ను బహుపదిగా పరిగణించవచ్చు, ఇందులో ఒక పదం ఉంటుంది.

నిర్వచనం 3

2, 3 త్రిపదాలను కలిగి ఉన్న బహుపదిలు సంబంధిత పేరును కలిగి ఉంటాయి - ద్విపదమరియు త్రిపద.

ఇది రూపం యొక్క వ్యక్తీకరణను అనుసరిస్తుంది x+y– ద్విపద, మరియు వ్యక్తీకరణ 2 x 3 q - q x x x + 7 b ఒక త్రికోణం.

పాఠశాల పాఠ్యాంశాల ప్రకారం, మేము a · x + b రూపంలోని సరళ ద్విపదతో పని చేసాము, ఇక్కడ a మరియు b కొన్ని సంఖ్యలు మరియు x అనేది వేరియబుల్. ఫారమ్ యొక్క సరళ ద్విపదల ఉదాహరణలను పరిశీలిద్దాం: x + 1, x · 7, 2 - 4 స్క్వేర్ ట్రినోమియల్స్ x 2 + 3 · x - 5 మరియు 2 5 · x 2 - 3 x + 11 ఉదాహరణలతో.

రూపాంతరం చెందడానికి మరియు పరిష్కరించడానికి, ఇలాంటి నిబంధనలను కనుగొని తీసుకురావడం అవసరం. ఉదాహరణకు, 1 + 5 x - 3 + y + 2 x రూపం యొక్క బహుపది 1 మరియు - 3, 5 x మరియు 2 x సారూప్య పదాలను కలిగి ఉంటుంది. వారు బహుపది యొక్క సారూప్య సభ్యులు అని పిలువబడే ప్రత్యేక సమూహంగా విభజించబడ్డారు.

నిర్వచనం 4

బహుపది యొక్క సారూప్య నిబంధనలుబహుపదిలో కనిపించే సారూప్య పదాలు.

పై ఉదాహరణలో, మనకు 1 మరియు - 3, 5 x మరియు 2 x అనేవి బహుపది లేదా సారూప్య పదాల సారూప్య పదాలు. వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయడానికి, సారూప్య పదాలను కనుగొని తగ్గించండి.

ప్రామాణిక రూపం యొక్క బహుపది

అన్ని మోనోమియల్‌లు మరియు బహుపదిలు వాటి స్వంత నిర్దిష్ట పేర్లను కలిగి ఉంటాయి.

నిర్వచనం 5

ప్రామాణిక రూపం యొక్క బహుపదిఒక బహుపది, దీనిలో చేర్చబడిన ప్రతి పదం ప్రామాణిక రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది మరియు సారూప్య పదాలను కలిగి ఉండదు.

నిర్వచనం నుండి, ప్రామాణిక రూపం యొక్క బహుపదిలను తగ్గించడం సాధ్యమవుతుందని స్పష్టమవుతుంది, ఉదాహరణకు, 3 x 2 - x y + 1 మరియు __ఫార్ములా__, మరియు ప్రవేశం ప్రామాణిక రూపంలో ఉంటుంది. వ్యక్తీకరణలు 5 + 3 · x 2 - x 2 + 2 · x · z మరియు 5 + 3 · x 2 - x 2 + 2 · x · z ప్రామాణిక రూపంలో బహుపదాలు కావు, ఎందుకంటే వాటిలో మొదటిది ఒకే విధమైన పదాలను కలిగి ఉంటుంది ఫారమ్ 3 · x 2 మరియు − x 2, మరియు రెండవది x · y 3 · x · z 2 రూపం యొక్క మోనోమియల్‌ను కలిగి ఉంది, ఇది ప్రామాణిక బహుపది నుండి భిన్నంగా ఉంటుంది.

పరిస్థితులు అవసరమైతే, కొన్నిసార్లు బహుపది ప్రామాణిక రూపానికి తగ్గించబడుతుంది. బహుపది యొక్క ఉచిత పదం యొక్క భావన కూడా ప్రామాణిక రూపం యొక్క బహుపదిగా పరిగణించబడుతుంది.

నిర్వచనం 6

బహుపది యొక్క ఉచిత పదంఅక్షరార్థ భాగాన్ని కలిగి లేని ప్రామాణిక రూపం యొక్క బహుపది.

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ప్రామాణిక రూపంలో ఉన్న బహుపది సంఖ్యను కలిగి ఉన్నప్పుడు, దానిని ఉచిత సభ్యుడు అంటారు. అప్పుడు సంఖ్య 5 అనేది బహుపది x 2 z + 5 యొక్క ఉచిత పదం, మరియు బహుపది 7 a + 4 a b + b 3కి ఉచిత పదం లేదు.

బహుపది యొక్క డిగ్రీ - దానిని ఎలా కనుగొనాలి?

బహుపది యొక్క డిగ్రీ యొక్క నిర్వచనం ప్రామాణిక రూపం బహుపది యొక్క నిర్వచనం మరియు దాని భాగాలుగా ఉన్న మోనోమియల్‌ల డిగ్రీలపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

నిర్వచనం 7

ప్రామాణిక రూపం యొక్క బహుపది యొక్క డిగ్రీదాని సంజ్ఞామానంలో చేర్చబడిన డిగ్రీలలో అతిపెద్దదిగా పిలువబడుతుంది.

ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం. బహుపది 5 x 3 - 4 యొక్క డిగ్రీ 3కి సమానం, ఎందుకంటే దాని కూర్పులో చేర్చబడిన మోనోమియల్‌లు డిగ్రీలు 3 మరియు 0ని కలిగి ఉంటాయి మరియు వాటిలో పెద్దవి వరుసగా 3. బహుపది 4 x 2 y 3 - 5 x 4 y + 6 x నుండి డిగ్రీ యొక్క నిర్వచనం అతిపెద్ద సంఖ్యలకు సమానం, అంటే 2 + 3 = 5, 4 + 1 = 5 మరియు 1, అంటే 5 .

డిగ్రీ కూడా ఎలా దొరుకుతుందో తెలుసుకోవడం అవసరం.

నిర్వచనం 8

ఏకపక్ష సంఖ్య యొక్క బహుపది యొక్క డిగ్రీప్రామాణిక రూపంలో సంబంధిత బహుపది యొక్క డిగ్రీ.

ఒక బహుపది ప్రామాణిక రూపంలో వ్రాయబడనప్పుడు, కానీ మీరు దాని డిగ్రీని కనుగొనవలసి ఉంటుంది, మీరు దానిని ప్రామాణిక రూపానికి తగ్గించి, ఆపై అవసరమైన డిగ్రీని కనుగొనాలి.

ఉదాహరణ 1

బహుపది యొక్క డిగ్రీని కనుగొనండి 3 a 12 - 2 a b c c a c b + y 2 z 2 - 2 a 12 - a 12.

పరిష్కారం

ముందుగా, ప్రామాణిక రూపంలో బహుపదిని అందజేద్దాం. మేము రూపం యొక్క వ్యక్తీకరణను పొందుతాము:

3 a 12 - 2 a b c c a c b + y 2 z 2 - 2 a 12 - a 12 = = (3 a 12 - 2 a 12 - a 12) − 2 · (a · a) · (b · b) · (c · a) · (c · b) c) + y 2 · z 2 = = - 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2

ప్రామాణిక రూపం యొక్క బహుపదిని పొందినప్పుడు, వాటిలో రెండు స్పష్టంగా నిలుస్తాయని మేము కనుగొన్నాము - 2 · a 2 · b 2 · c 2 మరియు y 2 · z 2 . డిగ్రీలను కనుగొనడానికి, మేము 2 + 2 + 2 = 6 మరియు 2 + 2 = 4 అని లెక్కించి, కనుగొంటాము. వాటిలో అతిపెద్దది 6 అని చూడవచ్చు. నిర్వచనం నుండి 6 అనేది బహుపది − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2 యొక్క డిగ్రీ, అందువలన అసలు విలువ.

సమాధానం: 6 .

బహుపది పదాల గుణకాలు

నిర్వచనం 9

బహుపది యొక్క అన్ని పదాలు ప్రామాణిక రూపం యొక్క మోనోమియల్స్ అయినప్పుడు, ఈ సందర్భంలో వాటికి పేరు ఉంటుంది బహుపది పదాల గుణకాలు.మరో మాటలో చెప్పాలంటే, వాటిని బహుపది యొక్క గుణకాలు అని పిలుస్తారు.

ఉదాహరణను పరిశీలిస్తున్నప్పుడు, 2 x - 0, 5 x y + 3 x + 7 రూపం యొక్క బహుపది 4 బహుపదిలను కలిగి ఉందని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది: 2 x, - 0, 5 x y, 3 x మరియు 7 వాటి సంబంధిత గుణకాలు 2, - 0, 5, 3 మరియు 7. దీనర్థం 2, - 0, 5, 3 మరియు 7 2 x - 0, 5 x y + 3 x + 7 రూపంలో ఇచ్చిన బహుపది యొక్క పదాల గుణకాలుగా పరిగణించబడతాయి. మార్చేటప్పుడు, వేరియబుల్స్ ముందు ఉన్న కోఎఫీషియంట్‌లకు శ్రద్ధ చూపడం చాలా ముఖ్యం.

మీరు టెక్స్ట్‌లో లోపాన్ని గమనించినట్లయితే, దయచేసి దాన్ని హైలైట్ చేసి, Ctrl+Enter నొక్కండి

నిర్వచనం ప్రకారం, బహుపది అనేది మోనోమియల్‌ల మొత్తాన్ని సూచించే బీజగణిత వ్యక్తీకరణ.

ఉదాహరణకు: 2*a^2 + 4*a*x^7 - 3*a*b^3 + 4; 6 + 4*b^3 బహుపదిలు, మరియు వ్యక్తీకరణ z/(x - x*y^2 + 4) బహుపది కాదు ఎందుకంటే ఇది మోనోమియల్‌ల మొత్తం కాదు. బహుపదిని కొన్నిసార్లు బహుపది అని కూడా పిలుస్తారు మరియు బహుపదిలో భాగమైన మోనోమియల్‌లు బహుపది లేదా మోనోమియల్స్‌లో సభ్యులు.

బహుపది యొక్క సంక్లిష్ట భావన

ఒక బహుపది రెండు పదాలను కలిగి ఉంటే, అది మూడు పదాలను కలిగి ఉంటే దానిని ద్విపద అంటారు; నాలుగోపది, పంచపదం మరియు ఇతర పేర్లు ఉపయోగించబడవు మరియు అలాంటి సందర్భాలలో అవి బహుపది అని చెప్పవచ్చు. అటువంటి పేర్లు, నిబంధనల సంఖ్యను బట్టి, ప్రతిదీ దాని స్థానంలో ఉంచుతాయి.

మరియు మోనోమియల్ అనే పదం సహజంగా మారుతుంది. గణిత కోణం నుండి, మోనోమియల్ అనేది బహుపది యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం. మోనోమియల్ అనేది ఒక పదాన్ని కలిగి ఉండే బహుపది.

మోనోమియల్ వలె, బహుపది దాని స్వంత ప్రామాణిక రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది. బహుపది యొక్క ప్రామాణిక రూపం బహుపది యొక్క అటువంటి సంజ్ఞామానం, దీనిలో నిబంధనలుగా చేర్చబడిన అన్ని మోనోమియల్‌లు ప్రామాణిక రూపంలో వ్రాయబడతాయి మరియు సారూప్య పదాలు ఇవ్వబడతాయి.

బహుపది యొక్క ప్రామాణిక రూపం

బహుపదిని ప్రామాణిక రూపానికి తగ్గించే విధానం ఏమిటంటే, ప్రతి మోనోమియల్‌లను ప్రామాణిక రూపానికి తగ్గించడం, ఆపై అన్ని సారూప్య మోనోమియల్‌లను కలపడం. బహుపది యొక్క సారూప్య పదాలను చేర్చడాన్ని సారూప్యత యొక్క తగ్గింపు అంటారు.
ఉదాహరణకు, బహుపది 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*bలో సారూప్య పదాలను అందిద్దాం.

4*a*b^2*c^3 మరియు 6*a*b^2*c^3 అనే పదాలు ఇక్కడ సమానంగా ఉంటాయి. ఈ నిబంధనల మొత్తం మోనోమియల్ 10*a*b^2*c^3 అవుతుంది. కాబట్టి, అసలైన బహుపది 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*bని 10*a*b^2*c^3 - a*గా తిరిగి వ్రాయవచ్చు. బి . ఈ ఎంట్రీ బహుపది యొక్క ప్రామాణిక రూపం.

ఏదైనా మోనోమియల్‌ని ప్రామాణిక రూపానికి తగ్గించవచ్చు అనే వాస్తవం నుండి, ఏదైనా బహుపదిని ప్రామాణిక రూపానికి తగ్గించవచ్చని కూడా ఇది అనుసరిస్తుంది.

ఒక బహుపది ప్రామాణిక రూపానికి తగ్గించబడినప్పుడు, మేము బహుపది యొక్క డిగ్రీ వంటి భావన గురించి మాట్లాడవచ్చు. బహుపది యొక్క డిగ్రీ అనేది ఇచ్చిన బహుపదిలో చేర్చబడిన మోనోమియల్ యొక్క అత్యధిక డిగ్రీ.
కాబట్టి, ఉదాహరణకు, 1 + 4*x^3 - 5*x^3*y^2 అనేది ఐదవ డిగ్రీ యొక్క బహుపది, ఎందుకంటే బహుపది (5*x^3*y^)లో మోనోమియల్ యొక్క గరిష్ట డిగ్రీ ఉంటుంది 2) ఐదవది.