అంకగణితం మరియు రేఖాగణిత పురోగతి. రేఖాగణిత పురోగతి

అంశంపై పాఠం మరియు ప్రదర్శన: "సంఖ్య శ్రేణులు. రేఖాగణిత పురోగతి"

అదనపు పదార్థాలు
ప్రియమైన వినియోగదారులు, మీ వ్యాఖ్యలు, సమీక్షలు, శుభాకాంక్షలు తెలియజేయడం మర్చిపోవద్దు! అన్ని పదార్థాలు యాంటీ-వైరస్ ప్రోగ్రామ్ ద్వారా తనిఖీ చేయబడ్డాయి.

గ్రేడ్ 9 కోసం ఇంటిగ్రల్ ఆన్‌లైన్ స్టోర్‌లో ఎడ్యుకేషనల్ ఎయిడ్స్ మరియు సిమ్యులేటర్‌లు
అధికారాలు మరియు మూలాలు విధులు మరియు గ్రాఫ్‌లు

గైస్, ఈ రోజు మనం మరొక రకమైన పురోగతితో పరిచయం పొందుతాము.
నేటి పాఠం యొక్క అంశం రేఖాగణిత పురోగతి.

రేఖాగణిత పురోగతి

నిర్వచనం. రెండవ పదం నుండి ప్రారంభమయ్యే ప్రతి పదం మునుపటి దాని యొక్క ఉత్పత్తికి సమానంగా ఉండే సంఖ్యా క్రమాన్ని మరియు కొంత స్థిర సంఖ్యను రేఖాగణిత పురోగతి అంటారు.
మన క్రమాన్ని పునరావృతంగా నిర్వచిద్దాం: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
ఇక్కడ b మరియు q నిర్దిష్ట సంఖ్యలు. q సంఖ్యను పురోగతి యొక్క హారం అంటారు.

ఉదాహరణ. 1,2,4,8,16... జ్యామితీయ పురోగమనంలో మొదటి పదం ఒకదానికి సమానం మరియు $q=2$.

ఉదాహరణ. 8,8,8,8... మొదటి పదం ఎనిమిదికి సమానమైన రేఖాగణిత పురోగతి,
మరియు $q=1$.

ఉదాహరణ. 3,-3,3,-3,3... మొదటి పదం మూడుకి సమానం అయిన రేఖాగణిత పురోగతి,
మరియు $q=-1$.

రేఖాగణిత పురోగమనం ఏకత్వం యొక్క లక్షణాలను కలిగి ఉంటుంది.
అయితే $b_(1)>0$, $q>1$,
అప్పుడు క్రమం పెరుగుతోంది.
$b_(1)>0$, $0 అయితే క్రమం సాధారణంగా రూపంలో సూచించబడుతుంది: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

అంకగణిత పురోగతిలో వలె, రేఖాగణిత పురోగతిలో మూలకాల సంఖ్య పరిమితమైతే, పురోగతిని పరిమిత రేఖాగణిత పురోగతి అంటారు.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
సీక్వెన్స్ ఒక రేఖాగణిత పురోగతి అయితే, నిబంధనల స్క్వేర్‌ల క్రమం కూడా రేఖాగణిత పురోగతి అని గమనించండి. రెండవ క్రమంలో, మొదటి పదం $b_(1)^2$కి సమానం, మరియు హారం $q^2$కి సమానం.

రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క nవ పదం కోసం ఫార్ములా

రేఖాగణిత పురోగతిని విశ్లేషణాత్మక రూపంలో కూడా పేర్కొనవచ్చు. దీన్ని ఎలా చేయాలో చూద్దాం:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
మేము సరళిని సులభంగా గమనించవచ్చు: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
మా సూత్రాన్ని "జ్యామితీయ పురోగతి యొక్క nవ పదం యొక్క సూత్రం" అని పిలుస్తారు.

మన ఉదాహరణలకు తిరిగి వెళ్దాం.

ఉదాహరణ. 1,2,4,8,16... మొదటి పదం ఒకదానికి సమానం అయిన రేఖాగణిత పురోగతి,
మరియు $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

ఉదాహరణ. 16,8,4,2,1,1/2… ఒక రేఖాగణిత పురోగతి, దీనిలో మొదటి పదం పదహారుకి సమానం మరియు $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

ఉదాహరణ. 8,8,8,8... ఒక రేఖాగణిత పురోగతి, దీనిలో మొదటి పదం ఎనిమిదికి సమానం మరియు $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

ఉదాహరణ. 3,-3,3,-3,3... జ్యామితీయ పురోగతి, దీనిలో మొదటి పదం మూడు మరియు $q=-1$కి సమానం.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

ఉదాహరణ. $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $ జ్యామితీయ పురోగతిని అందించారు.
ఎ) $b_(1)=6, q=3$ అని తెలిసింది. $b_(5)$ని కనుగొనండి.
బి) $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$ అని తెలిసింది. కనుగొను n.
c) $q=-2, b_(6)=96$ అని తెలిసింది. $b_(1)$ని కనుగొనండి.
d) $b_(1)=-2, b_(12)=4096$ అని తెలిసింది. qని కనుగొనండి.

పరిష్కారం.
ఎ) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
బి) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, నుండి $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

ఉదాహరణ. రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క ఏడవ మరియు ఐదవ పదాల మధ్య వ్యత్యాసం 192, పురోగతి యొక్క ఐదవ మరియు ఆరవ పదాల మొత్తం 192. ఈ పురోగతి యొక్క పదవ పదాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం.
మాకు ఇది తెలుసు: $b_(7)-b_(5)=192$ మరియు $b_(5)+b_(6)=192$.
మాకు కూడా తెలుసు: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
అప్పుడు:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
మేము సమీకరణాల వ్యవస్థను అందుకున్నాము:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
మన సమీకరణాలను సమం చేయడం ద్వారా మనం పొందుతాము:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
మేము రెండు పరిష్కారాలను పొందాము: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
రెండవ సమీకరణంలో క్రమానుగతంగా ప్రత్యామ్నాయం చేయండి:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ పరిష్కారాలు లేవు.
మాకు ఇది వచ్చింది: $b_(1)=4, q=2$.
పదవ పదాన్ని కనుగొనండి: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

పరిమిత రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క మొత్తం

మాకు పరిమిత రేఖాగణిత పురోగతిని కలిగి ఉండండి. అంకగణిత పురోగతి కోసం, దాని నిబంధనల మొత్తాన్ని గణిద్దాం.

పరిమిత రేఖాగణిత పురోగతిని ఇవ్వనివ్వండి: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
దాని నిబంధనల మొత్తానికి హోదాను పరిచయం చేద్దాం: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
సందర్భంలో $q=1$. రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క అన్ని నిబంధనలు మొదటి పదానికి సమానం, అప్పుడు $S_(n)=n*b_(1)$ అని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది.
ఇప్పుడు కేసు $q≠1$ని పరిశీలిద్దాం.
పై మొత్తాన్ని qతో గుణిద్దాం.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
గమనిక:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

మేము పరిమిత రేఖాగణిత పురోగతి మొత్తానికి సూత్రాన్ని పొందాము.

ఉదాహరణ.
మొదటి పదం 4 మరియు హారం 3 అయిన రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి ఏడు పదాల మొత్తాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

ఉదాహరణ.
తెలిసిన జ్యామితీయ పురోగతి యొక్క ఐదవ పదాన్ని కనుగొనండి: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

పరిష్కారం.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=$1364.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క లక్షణ లక్షణం

గైస్, ఒక రేఖాగణిత పురోగతి ఇవ్వబడింది. దాని మూడు వరుస సభ్యులను చూద్దాం: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
అది మాకు తెలుసు:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
అప్పుడు:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
పురోగతి పరిమితమైతే, ఈ సమానత్వం మొదటి మరియు చివరి నిబంధనలకు తప్ప మిగిలిన అన్ని నిబంధనలకు వర్తిస్తుంది.
సీక్వెన్స్ ఏ రూపాన్ని కలిగి ఉందో ముందుగానే తెలియకపోతే, ఇది తెలిసినది: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
ఇది రేఖాగణిత పురోగతి అని మనం సురక్షితంగా చెప్పగలం.

ప్రతి సభ్యుని యొక్క స్క్వేర్ పురోగతి యొక్క ప్రక్కనే ఉన్న ఇద్దరు సభ్యుల ఉత్పత్తికి సమానంగా ఉన్నప్పుడు మాత్రమే సంఖ్యా శ్రేణి అనేది రేఖాగణిత పురోగతి. పరిమిత పురోగతి కోసం ఈ పరిస్థితి మొదటి మరియు చివరి నిబంధనలకు సంతృప్తి చెందదని మర్చిపోవద్దు.

ఈ గుర్తింపును చూద్దాం: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ని a మరియు b సంఖ్యల రేఖాగణిత సగటు అంటారు.

రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క ఏదైనా పదం యొక్క మాడ్యులస్ దాని ప్రక్కనే ఉన్న రెండు పదాల రేఖాగణిత సగటుకు సమానం.

ఉదాహరణ.
xని కనుగొనండి అంటే $x+2; 2x+2; 3x+3$ అనేది రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క మూడు వరుస పదాలు.

పరిష్కారం.
లక్షణ లక్షణాన్ని ఉపయోగిస్తాము:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ మరియు $x_(2)=-1$.
మన పరిష్కారాలను అసలైన వ్యక్తీకరణలో వరుసగా ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:
$x=2$తో, మేము ఈ క్రమాన్ని పొందాము: 4;6;9 – $q=1.5$తో జ్యామితీయ పురోగతి.
$x=-1$ కోసం, మేము క్రమాన్ని పొందుతాము: 1;0;0.
సమాధానం: $x=2.$

స్వతంత్రంగా పరిష్కరించాల్సిన సమస్యలు

1. రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క ఎనిమిదవ మొదటి పదాన్ని కనుగొనండి 16;-8;4;-2….
2. రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క పదవ పదాన్ని కనుగొనండి 11,22,44….
3. $b_(1)=5, q=3$ అని తెలిసింది. $b_(7)$ని కనుగొనండి.
4. $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$ అని తెలిసింది. కనుగొను n.
5. రేఖాగణిత పురోగతి 3;12;48.... యొక్క మొదటి 11 నిబంధనల మొత్తాన్ని కనుగొనండి.
6. $3x+4 వంటి xని కనుగొనండి; 2x+4; x+5$ అనేది రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క మూడు వరుస పదాలు.

గణితం అంటే ఏమిటిప్రజలు ప్రకృతిని మరియు తమను తాము నియంత్రిస్తారు.

సోవియట్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు, విద్యావేత్త A.N. కోల్మోగోరోవ్

రేఖాగణిత పురోగతి.

గణితంలో ప్రవేశ పరీక్షలలో అంకగణిత పురోగతిపై సమస్యలతో పాటు, రేఖాగణిత పురోగతి భావనకు సంబంధించిన సమస్యలు కూడా సాధారణం. అటువంటి సమస్యలను విజయవంతంగా పరిష్కరించడానికి, మీరు రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క లక్షణాలను తెలుసుకోవాలి మరియు వాటిని ఉపయోగించడంలో మంచి నైపుణ్యాలను కలిగి ఉండాలి.

ఈ వ్యాసం రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాల ప్రదర్శనకు అంకితం చేయబడింది. సాధారణ సమస్యలను పరిష్కరించే ఉదాహరణలు కూడా ఇక్కడ అందించబడ్డాయి., గణితంలో ప్రవేశ పరీక్షల పనుల నుండి అరువు తీసుకోబడింది.

మనం మొదట రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాలను గమనించండి మరియు అత్యంత ముఖ్యమైన సూత్రాలు మరియు ప్రకటనలను గుర్తుచేసుకుందాం, ఈ భావనకు సంబంధించినది.

నిర్వచనం.రెండవ సంఖ్య నుండి ప్రారంభమయ్యే ప్రతి సంఖ్య మునుపటి దానికి సమానంగా ఉంటే, అదే సంఖ్యతో గుణించబడినట్లయితే, ఒక సంఖ్యా క్రమాన్ని రేఖాగణిత పురోగతి అంటారు. సంఖ్యను రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క హారం అంటారు.

రేఖాగణిత పురోగతి కోసంసూత్రాలు చెల్లుతాయి

, (1)

ఎక్కడ . ఫార్ములా (1)ని రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క సాధారణ పదం యొక్క సూత్రం అని పిలుస్తారు మరియు ఫార్ములా (2) రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క ప్రధాన ఆస్తిని సూచిస్తుంది: పురోగతి యొక్క ప్రతి పదం దాని పొరుగు పదాల రేఖాగణిత సగటుతో సమానంగా ఉంటుంది మరియు .

గమనిక, ఈ లక్షణం కారణంగానే ప్రశ్నలోని పురోగతిని "జ్యామితీయ" అని పిలుస్తారు.

పై సూత్రాలు (1) మరియు (2) క్రింది విధంగా సాధారణీకరించబడ్డాయి:

, (3)

మొత్తాన్ని లెక్కించేందుకుప్రధమ రేఖాగణిత పురోగతి సభ్యులుసూత్రం వర్తిస్తుంది

మేము సూచిస్తే, అప్పుడు

ఎక్కడ . నుండి , ఫార్ములా (6) అనేది ఫార్ములా (5) యొక్క సాధారణీకరణ.

సందర్భంలో మరియు ఎప్పుడు రేఖాగణిత పురోగతిఅనంతంగా తగ్గుతోంది. మొత్తాన్ని లెక్కించేందుకుఅనంతంగా తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క అన్ని నిబంధనలలో, ఫార్ములా ఉపయోగించబడుతుంది

. (7)

ఉదాహరణకి , ఫార్ములా (7)ని ఉపయోగించి మనం చూపవచ్చు, ఏమిటి

ఎక్కడ . ఈ సమానతలు ఫార్ములా (7) నుండి , (మొదటి సమానత్వం) మరియు , (రెండవ సమానత్వం) కింద పొందబడతాయి.

సిద్ధాంతం.ఉంటే, అప్పుడు

రుజువు. ఉంటే, అప్పుడు

సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

"జ్యామితీయ పురోగతి" అనే అంశంపై సమస్యలను పరిష్కరించే ఉదాహరణలను పరిశీలిద్దాం.

ఉదాహరణ 1.ఇవ్వబడింది: , మరియు . కనుగొనండి.

పరిష్కారం.మేము ఫార్ములా (5) వర్తింపజేస్తే, అప్పుడు

సమాధానం: .

ఉదాహరణ 2.అలా ఉండనివ్వండి. కనుగొనండి.

పరిష్కారం.నుండి మరియు , మేము సూత్రాలను (5), (6) ఉపయోగిస్తాము మరియు సమీకరణాల వ్యవస్థను పొందుతాము

సిస్టమ్ యొక్క రెండవ సమీకరణం (9) మొదటిదానితో భాగించబడితే, అప్పుడు లేదా . దీని నుండి ఇది అనుసరిస్తుంది . రెండు సందర్భాలను పరిశీలిద్దాం.

1. ఒకవేళ, అప్పుడు సిస్టమ్ (9) యొక్క మొదటి సమీకరణం నుండి మనకు ఉంటుంది.

2. అయితే , అప్పుడు .

ఉదాహరణ 3.లెట్ , మరియు . కనుగొనండి.

పరిష్కారం.ఫార్ములా (2) నుండి అది అనుసరిస్తుంది లేదా . నుండి , అప్పటి నుండి లేదా .

షరతు ప్రకారం. అయితే, అందువలన. నుండి మరియు ఇక్కడ మనకు సమీకరణాల వ్యవస్థ ఉంది

సిస్టమ్ యొక్క రెండవ సమీకరణాన్ని మొదటి దానితో విభజించినట్లయితే, లేదా .

కాబట్టి, సమీకరణం ఒక ప్రత్యేకమైన సరిఅయిన మూలాన్ని కలిగి ఉంది. ఈ సందర్భంలో, ఇది సిస్టమ్ యొక్క మొదటి సమీకరణం నుండి అనుసరిస్తుంది.

ఖాతా ఫార్ములా (7) లోకి తీసుకొని, మేము పొందుతాము.

సమాధానం: .

ఉదాహరణ 4.ఇవ్వబడింది: మరియు . కనుగొనండి.

పరిష్కారం.అప్పటి నుండి.

నుండి , అప్పుడు లేదా

ఫార్ములా (2) ప్రకారం మనకు . ఈ విషయంలో, సమానత్వం (10) నుండి మనం పొందుతాము లేదా .

అయితే, షరతు ప్రకారం, కాబట్టి.

ఉదాహరణ 5.అని తెలిసింది . కనుగొనండి.

పరిష్కారం. సిద్ధాంతం ప్రకారం, మనకు రెండు సమానత్వాలు ఉన్నాయి

నుండి , అప్పటి నుండి లేదా . ఎందుకంటే , అప్పుడు.

సమాధానం: .

ఉదాహరణ 6.ఇవ్వబడింది: మరియు . కనుగొనండి.

పరిష్కారం.ఖాతా ఫార్ములా (5) లోకి తీసుకొని, మేము పొందుతాము

అప్పటి నుండి. అప్పటి నుండి , మరియు .

ఉదాహరణ 7.అలా ఉండనివ్వండి. కనుగొనండి.

పరిష్కారం.ఫార్ములా (1) ప్రకారం మనం వ్రాయవచ్చు

అందువల్ల, మనకు లేదా . ఇది తెలిసినది మరియు , అందువలన మరియు .

సమాధానం: .

ఉదాహరణ 8.ఉంటే అనంతం తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క హారం కనుగొనండి

మరియు .

పరిష్కారం. ఫార్ములా (7) నుండి ఇది అనుసరిస్తుందిమరియు . ఇక్కడ నుండి మరియు సమస్య యొక్క పరిస్థితుల నుండి మేము సమీకరణాల వ్యవస్థను పొందుతాము

సిస్టమ్ యొక్క మొదటి సమీకరణం స్క్వేర్ చేయబడితే, ఆపై ఫలిత సమీకరణాన్ని రెండవ సమీకరణంతో విభజించండి, అప్పుడు మనకు లభిస్తుంది

లేదా .

సమాధానం: .

ఉదాహరణ 9.సీక్వెన్స్ , , రేఖాగణిత పురోగతికి సంబంధించిన అన్ని విలువలను కనుగొనండి.

పరిష్కారం.లెట్ , మరియు . రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క ప్రధాన ఆస్తిని నిర్వచించే ఫార్ములా (2) ప్రకారం, మనం వ్రాయవచ్చు లేదా .

ఇక్కడ నుండి మనం చతురస్రాకార సమీకరణాన్ని పొందుతాము, వీరి మూలాలుమరియు .

తనిఖీ చేద్దాం: ఉంటే, అప్పుడు , మరియు ; ఉంటే , అప్పుడు , మరియు .

మొదటి సందర్భంలో మనకు ఉందిమరియు , మరియు రెండవ లో – మరియు .

సమాధానం: , .

ఉదాహరణ 10.సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

, (11)

ఎక్కడ మరియు.

పరిష్కారం. సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు (11) అనేది అనంతం తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క మొత్తం, దీనిలో మరియు , దీనికి లోబడి: మరియు .

ఫార్ములా (7) నుండి ఇది అనుసరిస్తుంది, ఏమిటి . ఈ విషయంలో, సమీకరణం (11) రూపాన్ని తీసుకుంటుందిలేదా . తగిన రూట్ వర్గ సమీకరణం

సమాధానం: .

ఉదాహరణ 11.పి సానుకూల సంఖ్యల క్రమంఅంకగణిత పురోగతిని ఏర్పరుస్తుంది, ఎ - రేఖాగణిత పురోగతి, దానికి ఏమి సంబంధం . కనుగొనండి.

పరిష్కారం.ఎందుకంటే అంకగణిత క్రమం, ఆ (అంకగణిత పురోగతి యొక్క ప్రధాన లక్షణం). ఎందుకంటే, అప్పుడు లేదా . ఇది సూచిస్తుంది , రేఖాగణిత పురోగతికి రూపం ఉంది. సూత్రం ప్రకారం (2), అప్పుడు మేము దానిని వ్రాస్తాము.

నుండి మరియు , అప్పుడు . ఈ సందర్భంలో, వ్యక్తీకరణరూపం తీసుకుంటుంది లేదా . షరతు ప్రకారం, కాబట్టి Eq నుండి.మేము పరిశీలనలో ఉన్న సమస్యకు ప్రత్యేకమైన పరిష్కారాన్ని పొందుతాము, అనగా .

సమాధానం: .

ఉదాహరణ 12.మొత్తాన్ని లెక్కించండి

. (12)

పరిష్కారం. సమానత్వం యొక్క రెండు వైపులా (12) 5 ద్వారా గుణించండి మరియు పొందండి

ఫలిత వ్యక్తీకరణ నుండి మనం (12) తీసివేస్తే, ఆ

లేదా .

లెక్కించేందుకు, మేము విలువలను ఫార్ములా (7)లో ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము మరియు పొందండి . అప్పటి నుండి.

సమాధానం: .

ప్రవేశ పరీక్షలకు సిద్ధమవుతున్నప్పుడు ఇక్కడ ఇవ్వబడిన సమస్య పరిష్కార ఉదాహరణలు దరఖాస్తుదారులకు ఉపయోగకరంగా ఉంటాయి. సమస్య పరిష్కార పద్ధతుల యొక్క లోతైన అధ్యయనం కోసం, రేఖాగణిత పురోగతికి సంబంధించినది, మీరు సిఫార్సు చేయబడిన సాహిత్యాల జాబితా నుండి ట్యుటోరియల్‌లను ఉపయోగించవచ్చు.

1. కళాశాలలకు దరఖాస్తుదారులకు గణితంలో సమస్యల సేకరణ / Ed. M.I. స్కానవి. – M.: మీర్ అండ్ ఎడ్యుకేషన్, 2013. – 608 p.

2. సుప్రన్ V.P. హైస్కూల్ విద్యార్థుల కోసం గణితం: పాఠశాల పాఠ్యాంశాల్లోని అదనపు విభాగాలు. – M.: లెనాండ్ / URSS, 2014. – 216 పే.

3. మెడిన్స్కీ M.M. సమస్యలు మరియు వ్యాయామాలలో ప్రాథమిక గణితం యొక్క పూర్తి కోర్సు. పుస్తకం 2: సంఖ్యా క్రమాలు మరియు పురోగతి. - M.: ఎడిటస్, 2015. – 208 పే.

ఇంకా ప్రశ్నలు ఉన్నాయా?

ట్యూటర్ నుండి సహాయం పొందడానికి, నమోదు చేసుకోండి.

వెబ్‌సైట్, మెటీరియల్‌ని పూర్తిగా లేదా పాక్షికంగా కాపీ చేస్తున్నప్పుడు, మూలానికి లింక్ అవసరం.

ఒక నిర్దిష్ట శ్రేణిని పరిశీలిద్దాం.

7 28 112 448 1792...

దానిలోని ఏదైనా మూలకాల విలువ మునుపటి కంటే సరిగ్గా నాలుగు రెట్లు ఎక్కువ అని ఖచ్చితంగా స్పష్టమవుతుంది. దీని అర్థం ఈ సిరీస్ పురోగతి.

రేఖాగణిత పురోగతి అనేది అనంతమైన సంఖ్యల క్రమం, దీని ప్రధాన లక్షణం ఏమిటంటే, నిర్దిష్ట సంఖ్యతో గుణించడం ద్వారా మునుపటి సంఖ్య నుండి తదుపరి సంఖ్యను పొందడం. ఇది క్రింది సూత్రం ద్వారా వ్యక్తీకరించబడింది.

a z +1 =a z ·q, ఇక్కడ z అనేది ఎంచుకున్న మూలకం యొక్క సంఖ్య.

దీని ప్రకారం, z ∈ N.

పాఠశాలలో రేఖాగణిత పురోగతిని అధ్యయనం చేసే కాలం 9వ తరగతి. భావనను అర్థం చేసుకోవడానికి ఉదాహరణలు మీకు సహాయపడతాయి:

0.25 0.125 0.0625...

ఈ సూత్రం ఆధారంగా, పురోగతి యొక్క హారం క్రింది విధంగా కనుగొనవచ్చు:

q లేదా b z రెండూ సున్నా కావు. అలాగే, పురోగతి యొక్క ప్రతి మూలకం సున్నాకి సమానంగా ఉండకూడదు.

దీని ప్రకారం, సిరీస్‌లోని తదుపరి సంఖ్యను కనుగొనడానికి, మీరు చివరి సంఖ్యను qతో గుణించాలి.

ఈ పురోగతిని సెట్ చేయడానికి, మీరు దాని మొదటి మూలకం మరియు హారంను తప్పనిసరిగా పేర్కొనాలి. దీని తర్వాత, తదుపరి నిబంధనలు మరియు వాటి మొత్తాన్ని కనుగొనడం సాధ్యమవుతుంది.

రకాలు

q మరియు a 1పై ఆధారపడి, ఈ పురోగతి అనేక రకాలుగా విభజించబడింది:

1 మరియు q రెండూ ఒకటి కంటే ఎక్కువగా ఉంటే, అటువంటి క్రమం ప్రతి తదుపరి మూలకంతో పెరుగుతున్న రేఖాగణిత పురోగతి. దీనికి ఉదాహరణ క్రింద ఇవ్వబడింది.

ఉదాహరణ: a 1 =3, q=2 - రెండు పరామితులు ఒకటి కంటే ఎక్కువ.

అప్పుడు సంఖ్యల క్రమాన్ని ఇలా వ్రాయవచ్చు:

3 6 12 24 48 ...

అయితే |q| ఒకటి కంటే తక్కువగా ఉంటుంది, అంటే, దాని ద్వారా గుణించడం అనేది భాగహారానికి సమానం, అప్పుడు సారూప్య పరిస్థితులతో కూడిన పురోగతి తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగతి. దీనికి ఉదాహరణ క్రింద ఇవ్వబడింది.

ఉదాహరణ: a 1 =6, q=1/3 - a 1 ఒకటి కంటే ఎక్కువ, q తక్కువ.

అప్పుడు సంఖ్యల క్రమాన్ని ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు:

6 2 2/3 ... - ఏదైనా మూలకం దానిని అనుసరించే మూలకం కంటే 3 రెట్లు పెద్దది.

ప్రత్యామ్నాయ సంకేతం. ఒకవేళ q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

ఉదాహరణ: a 1 = -3, q = -2 - రెండు పారామితులు సున్నా కంటే తక్కువగా ఉంటాయి.

అప్పుడు సంఖ్యల క్రమాన్ని ఇలా వ్రాయవచ్చు:

3, 6, -12, 24,...

సూత్రాలు

రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క అనుకూలమైన ఉపయోగం కోసం అనేక సూత్రాలు ఉన్నాయి:

Z-టర్మ్ ఫార్ములా. మునుపటి సంఖ్యలను లెక్కించకుండా నిర్దిష్ట సంఖ్యలో మూలకాన్ని లెక్కించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.

ఉదాహరణ:q = 3, a 1 = 4. పురోగతి యొక్క నాల్గవ మూలకాన్ని లెక్కించడం అవసరం.

పరిష్కారం:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

పరిమాణానికి సమానమైన మొదటి మూలకాల మొత్తం z. వరకు శ్రేణిలోని అన్ని మూలకాల మొత్తాన్ని లెక్కించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుందిఒక zకలుపుకొని.

నుండి (1-q) హారంలో ఉంది, ఆపై (1 - q)≠ 0, కాబట్టి q 1కి సమానం కాదు.

గమనిక: q=1 అయితే, పురోగతి అనంతంగా పునరావృతమయ్యే సంఖ్యల శ్రేణిగా ఉంటుంది.

రేఖాగణిత పురోగతి మొత్తం, ఉదాహరణలు:a 1 = 2, q= -2. S5ని లెక్కించండి.

పరిష్కారం:ఎస్ 5 = 22 - సూత్రాన్ని ఉపయోగించి గణన.

ఉంటే మొత్తం |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

ఉదాహరణ:a 1 = 2 , q= 0.5. మొత్తాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం:S z = 2 · = 4

S z = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

కొన్ని లక్షణాలు:

లక్షణ లక్షణం. కింది పరిస్థితి ఉంటే ఏదైనా పని చేస్తుందిz, అప్పుడు ఇవ్వబడిన సంఖ్యల శ్రేణి ఒక రేఖాగణిత పురోగతి:

ఒక z 2 = ఒక z -1 · az+1

అలాగే, రేఖాగణిత పురోగమనంలోని ఏదైనా సంఖ్య యొక్క వర్గాన్ని ఈ మూలకం నుండి సమాన దూరంలో ఉన్నట్లయితే, ఇచ్చిన శ్రేణిలోని ఏవైనా ఇతర రెండు సంఖ్యల వర్గాలను జోడించడం ద్వారా కనుగొనబడుతుంది.

ఒక z 2 = ఒక z - t 2 + ఒక z + t 2 , ఎక్కడt- ఈ సంఖ్యల మధ్య దూరం.

మూలకాలుqలో తేడా ఉంటుందిఒకసారి.
పురోగతి యొక్క మూలకాల యొక్క లాగరిథమ్‌లు కూడా పురోగతిని ఏర్పరుస్తాయి, అయితే ఒక అంకగణితం, అంటే వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి నిర్దిష్ట సంఖ్యలో మునుపటి కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది.

కొన్ని క్లాసిక్ సమస్యల ఉదాహరణలు

రేఖాగణిత పురోగతి అంటే ఏమిటో బాగా అర్థం చేసుకోవడానికి, 9వ తరగతికి పరిష్కారాలతో ఉదాహరణలు సహాయపడతాయి.

షరతులు:a 1 = 3, a 3 = 48. కనుగొనుq.

పరిష్కారం: ప్రతి తదుపరి మూలకం మునుపటి దాని కంటే ఎక్కువగా ఉంటుందిq ఒకసారి.హారం ఉపయోగించి కొన్ని అంశాలను ఇతరుల పరంగా వ్యక్తీకరించడం అవసరం.

అందుకే,a 3 = q 2 · a 1

ప్రత్యామ్నాయం చేసినప్పుడుq= 4

షరతులు:a 2 = 6, a 3 = 12. S 6ని లెక్కించండి.

పరిష్కారం:దీన్ని చేయడానికి, మొదటి మూలకం qని కనుగొని దానిని ఫార్ములాలో ప్రత్యామ్నాయం చేయండి.

a 3 = q· a 2 , అందుకే,q= 2

a 2 = q · ఒక 1,అందుకే a 1 = 3

S 6 = 189

· a 1 = 10, q= -2. పురోగతి యొక్క నాల్గవ మూలకాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం: దీన్ని చేయడానికి, నాల్గవ మూలకాన్ని మొదటి మరియు హారం ద్వారా వ్యక్తీకరించడానికి సరిపోతుంది.

a 4 = q 3· a 1 = -80

అప్లికేషన్ ఉదాహరణ:

ఒక బ్యాంకు క్లయింట్ 10,000 రూబిళ్లు మొత్తంలో డిపాజిట్ చేసాడు, దీని ప్రకారం ప్రతి సంవత్సరం క్లయింట్ దానిలో 6% ప్రధాన మొత్తానికి జోడించబడతాడు. 4 సంవత్సరాల తర్వాత ఖాతాలో ఎంత డబ్బు ఉంటుంది?

పరిష్కారం: ప్రారంభ మొత్తం 10 వేల రూబిళ్లు. అంటే పెట్టుబడి పెట్టిన ఒక సంవత్సరం తర్వాత ఖాతాలో 10,000 + 10,000కి సమానమైన మొత్తం ఉంటుంది · 0.06 = 10000 1.06

దీని ప్రకారం, మరొక సంవత్సరం తర్వాత ఖాతాలోని మొత్తం క్రింది విధంగా వ్యక్తీకరించబడుతుంది:

(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000

అంటే, ప్రతి సంవత్సరం మొత్తం 1.06 రెట్లు పెరుగుతుంది. దీని అర్థం 4 సంవత్సరాల తర్వాత ఖాతాలోని నిధుల మొత్తాన్ని కనుగొనడానికి, పురోగతి యొక్క నాల్గవ మూలకాన్ని కనుగొనడానికి సరిపోతుంది, ఇది మొదటి మూలకం 10 వేలకు సమానం మరియు 1.06కి సమానమైన హారం ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది.

S = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625

మొత్తం గణన సమస్యల ఉదాహరణలు:

వివిధ సమస్యలలో రేఖాగణిత పురోగతి ఉపయోగించబడుతుంది. మొత్తాన్ని కనుగొనడానికి ఒక ఉదాహరణ క్రింది విధంగా ఇవ్వవచ్చు:

a 1 = 4, q= 2, లెక్కించుS 5.

పరిష్కారం: గణనకు అవసరమైన మొత్తం డేటా తెలుసు, మీరు వాటిని ఫార్ములాలో ప్రత్యామ్నాయం చేయాలి.

ఎస్ 5 = 124

a 2 = 6, a 3 = 18. మొదటి ఆరు మూలకాల మొత్తాన్ని లెక్కించండి.

పరిష్కారం:

జియోమ్‌లో. పురోగతి, ప్రతి తదుపరి మూలకం మునుపటి కంటే q రెట్లు ఎక్కువ, అంటే, మీరు మూలకాన్ని తెలుసుకోవలసిన మొత్తాన్ని లెక్కించేందుకుa 1 మరియు హారంq.

a 2 · q = a 3

q = 3

అదేవిధంగా, మీరు కనుగొనవలసి ఉంటుందిa 1 , తెలుసుకోవడంa 2 మరియుq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

ఎస్ 6 = 728.

22.09.2018 22:00

గణిత పురోగతితో పాటు రేఖాగణిత పురోగతి, 9వ తరగతిలో పాఠశాల ఆల్జీబ్రా కోర్సులో అధ్యయనం చేయబడిన ముఖ్యమైన సంఖ్యల శ్రేణి. ఈ కథనంలో మేము రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క హారం మరియు దాని విలువ దాని లక్షణాలను ఎలా ప్రభావితం చేస్తుందో చూద్దాం.

రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క నిర్వచనం

ముందుగా, ఈ సంఖ్యల శ్రేణికి నిర్వచనం ఇద్దాం. రేఖాగణిత పురోగతి అనేది హేతుబద్ధ సంఖ్యల శ్రేణి, ఇది దాని మొదటి మూలకాన్ని హారం అని పిలువబడే స్థిరమైన సంఖ్యతో వరుసగా గుణించడం ద్వారా ఏర్పడుతుంది.

ఉదాహరణకు, 3, 6, 12, 24, ... సిరీస్‌లోని సంఖ్యలు రేఖాగణిత పురోగతి, ఎందుకంటే మీరు 3 (మొదటి మూలకం)ని 2తో గుణిస్తే, మీకు 6 వస్తుంది. మీరు 6ని 2తో గుణిస్తే, మీకు లభిస్తుంది 12, మరియు మొదలైనవి.

పరిశీలనలో ఉన్న సీక్వెన్స్‌లోని సభ్యులు సాధారణంగా ai చిహ్నంతో సూచించబడతారు, ఇక్కడ i అనేది సిరీస్‌లోని మూలకం సంఖ్యను సూచించే పూర్ణాంకం.

పురోగతి యొక్క పై నిర్వచనాన్ని గణిత భాషలో ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు: an = bn-1 * a1, ఇక్కడ b అనేది హారం. ఈ సూత్రాన్ని తనిఖీ చేయడం సులభం: n = 1 అయితే, b1-1 = 1, మరియు మేము a1 = a1ని పొందుతాము. n = 2 అయితే, అప్పుడు an = b * a1, మరియు మేము మళ్లీ ప్రశ్నలోని సంఖ్యల శ్రేణి యొక్క నిర్వచనానికి వస్తాము. n యొక్క పెద్ద విలువలకు ఇలాంటి తార్కికం కొనసాగించవచ్చు.

రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క హారం

మొత్తం సంఖ్య శ్రేణిలో ఏ పాత్ర ఉంటుందో బి సంఖ్య పూర్తిగా నిర్ణయిస్తుంది. హారం b సానుకూలంగా, ప్రతికూలంగా ఉండవచ్చు లేదా ఒకటి కంటే ఎక్కువ లేదా తక్కువ కావచ్చు. పైన పేర్కొన్న అన్ని ఎంపికలు విభిన్న శ్రేణులకు దారితీస్తాయి:

b > 1. హేతుబద్ధ సంఖ్యల శ్రేణి పెరుగుతోంది. ఉదాహరణకు, 1, 2, 4, 8, ... మూలకం a1 ప్రతికూలంగా ఉంటే, మొత్తం క్రమం సంపూర్ణ విలువలో మాత్రమే పెరుగుతుంది, కానీ సంఖ్యల గుర్తుపై ఆధారపడి తగ్గుతుంది.
b = 1. ఒకే విధమైన హేతుబద్ధ సంఖ్యల సాధారణ శ్రేణి ఉన్నందున తరచుగా ఈ సందర్భాన్ని పురోగతి అని పిలవరు. ఉదాహరణకు, -4, -4, -4.

మొత్తానికి ఫార్ములా

పరిశీలనలో ఉన్న పురోగతి రకం యొక్క హారం ఉపయోగించి నిర్దిష్ట సమస్యల పరిశీలనకు వెళ్లే ముందు, దాని మొదటి n మూలకాల మొత్తానికి ఒక ముఖ్యమైన సూత్రం ఇవ్వాలి. సూత్రం ఇలా కనిపిస్తుంది: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

మీరు పురోగతి యొక్క పునరావృత క్రమాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే ఈ వ్యక్తీకరణను మీరే పొందవచ్చు. పైన పేర్కొన్న సూత్రంలో ఏకపక్ష పదాల సంఖ్య మొత్తాన్ని కనుగొనడానికి మొదటి మూలకం మరియు హారం మాత్రమే తెలుసుకోవడం సరిపోతుందని కూడా గమనించండి.

అనంతంగా తగ్గుతున్న క్రమం

అది ఏమిటో పైన వివరణ ఇవ్వబడింది. ఇప్పుడు, Sn కోసం ఫార్ములా తెలుసుకొని, దానిని ఈ సంఖ్య శ్రేణికి వర్తింపజేద్దాం. మాడ్యులస్ 1ని మించని ఏ సంఖ్య అయినా పెద్ద శక్తులకు పెంచబడినప్పుడు సున్నాకి మారుతుంది కాబట్టి, b∞ => 0 అయితే -1

హారం యొక్క విలువతో సంబంధం లేకుండా వ్యత్యాసం (1 - బి) ఎల్లప్పుడూ సానుకూలంగా ఉంటుంది కాబట్టి, అనంతంగా తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగతి S∞ మొత్తం యొక్క సంకేతం దాని మొదటి మూలకం a1 యొక్క సంకేతం ద్వారా ప్రత్యేకంగా నిర్ణయించబడుతుంది.

ఇప్పుడు నిర్దిష్ట సంఖ్యలపై సంపాదించిన జ్ఞానాన్ని ఎలా ఉపయోగించాలో చూపించే అనేక సమస్యలను చూద్దాం.

పని సంఖ్య 1. పురోగతి మరియు మొత్తం యొక్క తెలియని అంశాల గణన

రేఖాగణిత పురోగతిని బట్టి, పురోగతి యొక్క హారం 2, మరియు దాని మొదటి మూలకం 3. దాని 7వ మరియు 10వ నిబంధనలు దేనికి సమానంగా ఉంటాయి మరియు దాని ఏడు ప్రారంభ మూలకాల మొత్తం ఎంత?

సమస్య యొక్క పరిస్థితి చాలా సులభం మరియు పై సూత్రాల యొక్క ప్రత్యక్ష వినియోగాన్ని కలిగి ఉంటుంది. కాబట్టి, మూలకం సంఖ్య n ను లెక్కించడానికి, మేము an = bn-1 * a1 అనే వ్యక్తీకరణను ఉపయోగిస్తాము. 7వ మూలకం కోసం మనము కలిగి ఉన్నాము: a7 = b6 * a1, తెలిసిన డేటాను భర్తీ చేయడం ద్వారా, మనకు లభిస్తుంది: a7 = 26 * 3 = 192. మేము 10వ పదం కోసం అదే చేస్తాము: a10 = 29 * 3 = 1536.

మొత్తానికి బాగా తెలిసిన ఫార్ములాను ఉపయోగిస్తాము మరియు సిరీస్‌లోని మొదటి 7 మూలకాల కోసం ఈ విలువను నిర్ణయించండి. మనకు ఉన్నాయి: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

సమస్య సంఖ్య 2. పురోగతి యొక్క ఏకపక్ష మూలకాల మొత్తాన్ని నిర్ణయించడం

-2 అనేది జ్యామితీయ పురోగమనం bn-1 * 4 యొక్క హారంతో సమానంగా ఉండనివ్వండి, ఇక్కడ n అనేది పూర్ణాంకం. ఈ శ్రేణిలోని 5వ నుండి 10వ మూలకం వరకు కలిపి, మొత్తాన్ని నిర్ణయించడం అవసరం.

తెలిసిన ఫార్ములాలను ఉపయోగించి ఎదురయ్యే సమస్య నేరుగా పరిష్కరించబడదు. ఇది 2 విభిన్న పద్ధతులను ఉపయోగించి పరిష్కరించబడుతుంది. టాపిక్ యొక్క సంపూర్ణత కోసం, మేము రెండింటినీ ప్రదర్శిస్తాము.

విధానం 1. ఆలోచన సులభం: మీరు మొదటి నిబంధనల యొక్క రెండు సంబంధిత మొత్తాలను లెక్కించాలి, ఆపై ఒకదాని నుండి మరొకదాన్ని తీసివేయండి. మేము చిన్న మొత్తాన్ని గణిస్తాము: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. ఇప్పుడు మనం పెద్ద మొత్తాన్ని లెక్కిస్తాము: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. సమస్య యొక్క పరిస్థితులకు అనుగుణంగా లెక్కించాల్సిన మొత్తంలో 5వది ఇప్పటికే చేర్చబడినందున, చివరి వ్యక్తీకరణలో 4 పదాలు మాత్రమే సంగ్రహించబడ్డాయి. చివరగా, మేము వ్యత్యాసాన్ని తీసుకుంటాము: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

విధానం 2. సంఖ్యలను ప్రత్యామ్నాయం చేయడానికి మరియు లెక్కించడానికి ముందు, మీరు ప్రశ్నలోని శ్రేణి యొక్క m మరియు n నిబంధనల మధ్య మొత్తానికి సూత్రాన్ని పొందవచ్చు. మేము పద్దతి 1లో వలె సరిగ్గా అదే చేస్తాము, మొత్తానికి ప్రతీకాత్మక ప్రాతినిధ్యంతో మాత్రమే మేము మొదట పని చేస్తాము. మేము కలిగి ఉన్నాము: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . మీరు ఫలిత వ్యక్తీకరణలో తెలిసిన సంఖ్యలను భర్తీ చేయవచ్చు మరియు తుది ఫలితాన్ని లెక్కించవచ్చు: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

సమస్య సంఖ్య 3. హారం అంటే ఏమిటి?

a1 = 2, రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క హారం కనుగొనండి, దాని అనంతమైన మొత్తం 3 అని అందించబడింది మరియు ఇది సంఖ్యల తగ్గుదల శ్రేణి అని తెలుస్తుంది.

సమస్య యొక్క పరిస్థితుల ఆధారంగా, దాన్ని పరిష్కరించడానికి ఏ సూత్రాన్ని ఉపయోగించాలో ఊహించడం కష్టం కాదు. వాస్తవానికి, పురోగతి యొక్క మొత్తానికి అనంతంగా తగ్గుతోంది. మేము కలిగి ఉన్నాము: S∞ = a1 / (1 - b). మేము హారంను ఎక్కడ నుండి వ్యక్తపరుస్తాము: b = 1 - a1 / S∞. తెలిసిన విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేయడానికి మరియు అవసరమైన సంఖ్యను పొందడానికి ఇది మిగిలి ఉంది: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 లేదా -0.333(3). ఈ రకమైన సీక్వెన్స్ కోసం మాడ్యులస్ b 1ని మించి ఉండకూడదని మనం గుర్తుంచుకుంటే మేము ఈ ఫలితాన్ని గుణాత్మకంగా తనిఖీ చేయవచ్చు. చూడవచ్చు, |-1 / 3|

పని సంఖ్య 4. సంఖ్యల శ్రేణిని పునరుద్ధరించడం

సంఖ్యా శ్రేణిలోని 2 మూలకాలను ఇవ్వనివ్వండి, ఉదాహరణకు, 5వది 30కి సమానం మరియు 10వది 60కి సమానం. ఈ డేటా నుండి మొత్తం శ్రేణిని పునర్నిర్మించడం అవసరం, ఇది రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క లక్షణాలను సంతృప్తిపరుస్తుందని తెలుసుకోవడం.

సమస్యను పరిష్కరించడానికి, మీరు ముందుగా ప్రతి తెలిసిన పదానికి సంబంధిత వ్యక్తీకరణను వ్రాయాలి. మనకు ఉన్నాయి: a5 = b4 * a1 మరియు a10 = b9 * a1. ఇప్పుడు రెండవ వ్యక్తీకరణను మొదటి దానితో విభజించండి, మనకు లభిస్తుంది: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. ఇక్కడ నుండి మేము సమస్య ప్రకటన, b = 1.148698 నుండి తెలిసిన నిబంధనల నిష్పత్తి యొక్క ఐదవ మూలాన్ని తీసుకోవడం ద్వారా హారంను నిర్ణయిస్తాము. మేము ఫలిత సంఖ్యను తెలిసిన మూలకం కోసం వ్యక్తీకరణలలో ఒకటిగా మారుస్తాము, మనకు లభిస్తుంది: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

ఈ విధంగా, మేము పురోగతి bn యొక్క హారం మరియు రేఖాగణిత పురోగతి bn-1 * 17.2304966 = an, ఇక్కడ b = 1.148698ని కనుగొన్నాము.

రేఖాగణిత పురోగమనాలు ఎక్కడ ఉపయోగించబడతాయి?

ఈ సంఖ్యల శ్రేణి యొక్క ఆచరణాత్మక అనువర్తనం లేకుంటే, దాని అధ్యయనం పూర్తిగా సైద్ధాంతిక ఆసక్తికి తగ్గించబడుతుంది. కానీ అలాంటి అప్లికేషన్ ఉంది.

క్రింద ఉన్న 3 అత్యంత ప్రసిద్ధ ఉదాహరణలు:

జెనో యొక్క వైరుధ్యం, దీనిలో అతి చురుకైన అకిలెస్ నెమ్మదిగా తాబేలుతో పట్టుకోలేడు, సంఖ్యల యొక్క అనంతంగా తగ్గుతున్న క్రమం అనే భావనను ఉపయోగించి పరిష్కరించబడుతుంది.
మీరు చెస్‌బోర్డ్ యొక్క ప్రతి చతురస్రంలో గోధుమ గింజలను ఉంచినట్లయితే, మీరు 1 వ చదరపులో 1 ధాన్యాన్ని, 2 వ - 2, 3 వ - 3, మరియు మొదలైనవి ఉంచినట్లయితే, అప్పుడు బోర్డు యొక్క అన్ని చతురస్రాలను పూరించడానికి మీకు అవసరం. 18446744073709551615 గింజలు!
"టవర్ ఆఫ్ హనోయి" గేమ్‌లో, డిస్క్‌లను ఒక రాడ్ నుండి మరొక రాడ్‌కు తరలించడానికి, 2n - 1 కార్యకలాపాలను నిర్వహించడం అవసరం, అంటే, ఉపయోగించిన డిస్క్‌ల సంఖ్య nతో వాటి సంఖ్య విపరీతంగా పెరుగుతుంది.

కీవియన్ స్ట్రీట్, 16 0016 అర్మేనియా, యెరెవాన్ +374 11 233 255

రేఖాగణిత పురోగతి అనేది మనం పరిచయం చేసుకోబోతున్న కొత్త రకం సంఖ్యా క్రమం. విజయవంతమైన డేటింగ్ కోసం, కనీసం తెలుసుకోవడం మరియు అర్థం చేసుకోవడం బాధించదు. అప్పుడు రేఖాగణిత పురోగతితో సమస్యలు ఉండవు.)

రేఖాగణిత పురోగతి అంటే ఏమిటి? రేఖాగణిత పురోగతి భావన.

మేము ఎప్పటిలాగే, ప్రాథమిక అంశాలతో పర్యటనను ప్రారంభిస్తాము. నేను సంఖ్యల అసంపూర్ణ క్రమాన్ని వ్రాస్తాను:

1, 10, 100, 1000, 10000, …

మీరు నమూనాను గుర్తించి, తదుపరి ఏ సంఖ్యలు వస్తాయో చెప్పగలరా? మిరియాలు స్పష్టంగా ఉన్నాయి, అప్పుడు 100,000, 1,000,000 మరియు మొదలైన సంఖ్యలు అనుసరించబడతాయి. ఎక్కువ మానసిక ప్రయత్నం లేకుండా, ప్రతిదీ స్పష్టంగా ఉంది, సరియైనదా?)

అలాగే. మరొక ఉదాహరణ. నేను ఈ క్రమాన్ని వ్రాస్తాను:

1, 2, 4, 8, 16, …

సంఖ్య 16 మరియు పేరును అనుసరించి తదుపరి ఏ సంఖ్యలు వస్తాయో మీరు చెప్పగలరా ఎనిమిదవదిసీక్వెన్స్ మెంబర్? ఇది 128 సంఖ్య అని మీరు కనుగొన్నట్లయితే, చాలా మంచిది. కాబట్టి, సగం యుద్ధం అవగాహనలో ఉంది అర్థంమరియు ప్రధానాంశాలురేఖాగణిత పురోగతి ఇప్పటికే జరిగింది. మీరు మరింత పెరగవచ్చు.)

ఇప్పుడు మనం సంచలనాల నుండి కఠినమైన గణితానికి మళ్లీ వెళ్తాము.

రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క ముఖ్య అంశాలు.

కీ పాయింట్ #1

రేఖాగణిత పురోగతి సంఖ్యల క్రమం.అలాగే పురోగతి కూడా. ఫాన్సీ ఏమీ లేదు. ఈ క్రమం మాత్రమే ఏర్పాటు చేయబడింది భిన్నంగా.కాబట్టి, సహజంగా, దీనికి వేరే పేరు ఉంది, అవును...

కీ పాయింట్ #2

రెండవ కీలకాంశంతో, ప్రశ్న గమ్మత్తుగా ఉంటుంది. కొంచెం వెనక్కి వెళ్లి, అంకగణిత పురోగతి యొక్క ముఖ్య లక్షణాన్ని గుర్తుంచుకోండి. ఇది ఇక్కడ ఉంది: ప్రతి సభ్యుడు మునుపటి నుండి భిన్నంగా ఉంటారు అదే మొత్తంలో.

రేఖాగణిత పురోగమనం కోసం ఇదే కీలకమైన ఆస్తిని రూపొందించడం సాధ్యమేనా? కొంచెం ఆలోచించండి... ఇచ్చిన ఉదాహరణలను నిశితంగా పరిశీలించండి. మీరు ఊహించారా? అవును! రేఖాగణిత పురోగతిలో (ఏదైనా!) దానిలోని ప్రతి సభ్యులు మునుపటి దాని నుండి భిన్నంగా ఉంటారు అదే సంఖ్యలో సార్లు.ఎల్లప్పుడూ!

మొదటి ఉదాహరణలో, ఈ సంఖ్య పది. మీరు సీక్వెన్స్‌లో ఏ సభ్యుడు తీసుకున్నా, అది మునుపటి కంటే ఎక్కువ పదింతలు.

రెండవ ఉదాహరణలో ఇది రెండు: ప్రతి పదం మునుపటి కంటే ఎక్కువ రెండుసార్లు.

రేఖాగణిత పురోగమనం అంకగణిత పురోగతికి భిన్నంగా ఉండటం ఈ కీలకాంశం. అంకగణిత పురోగతిలో, ప్రతి తదుపరి పదం పొందబడుతుంది కలిపితేమునుపటి పదానికి అదే విలువ. మరియు ఇక్కడ - గుణకారంమునుపటి పదం అదే మొత్తంలో. అంతే తేడా.)

కీ పాయింట్ #3

ఈ కీలక అంశం అంకగణిత పురోగతికి పూర్తిగా సమానంగా ఉంటుంది. అవి: రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క ప్రతి సభ్యుడు దాని స్థానంలో నిలుస్తాడు.అంకగణిత పురోగతిలో ప్రతిదీ సరిగ్గా అదే విధంగా ఉంటుంది మరియు వ్యాఖ్యలు అనవసరం అని నేను అనుకుంటున్నాను. మొదటి పదం ఉంది, వంద మరియు మొదటిది మొదలైనవి. కనీసం రెండు పదాలను మార్చుకుందాం - నమూనా (మరియు దానితో రేఖాగణిత పురోగతి) అదృశ్యమవుతుంది. లాజిక్ లేకుండా కేవలం సంఖ్యల శ్రేణి మాత్రమే మిగిలి ఉంటుంది.

అంతే. ఇది రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క మొత్తం పాయింట్.

నిబంధనలు మరియు హోదాలు.

కానీ ఇప్పుడు, రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క అర్థం మరియు ముఖ్య అంశాలను అర్థం చేసుకున్న తరువాత, మేము సిద్ధాంతానికి వెళ్లవచ్చు. లేకపోతే, అర్థం అర్థం చేసుకోని సిద్ధాంతం ఏమిటి?

రేఖాగణిత పురోగతిని ఎలా సూచించాలి?

రేఖాగణిత పురోగతి సాధారణ రూపంలో ఎలా వ్రాయబడుతుంది? ఏమి ఇబ్బంది లేదు! పురోగతి యొక్క ప్రతి పదం కూడా ఒక లేఖగా వ్రాయబడుతుంది. అంకగణిత పురోగతికి మాత్రమే, సాధారణంగా అక్షరం ఉపయోగించబడుతుంది "ఎ", రేఖాగణితానికి – అక్షరం "బి". సభ్యుల సంఖ్య, ఎప్పటిలాగే, సూచించబడింది దిగువ కుడివైపున సూచిక. మేము కామాలు లేదా సెమికోలన్‌లతో వేరు చేయబడిన ప్రోగ్రెషన్‌లోని సభ్యులను జాబితా చేస్తాము.

ఇలా:

బి 1,బి 2 , బి 3 , బి 4 , బి 5 , బి 6 , …

క్లుప్తంగా, ఈ పురోగతి ఇలా వ్రాయబడింది: (b n) .

లేదా ఇలా, పరిమిత పురోగతి కోసం:

బి 1, బి 2, బి 3, బి 4, బి 5, బి 6.

బి 1, బి 2, ..., బి 29, బి 30.

లేదా, సంక్షిప్తంగా:

(b n), n=30 .

నిజానికి, అది అన్ని హోదా. ప్రతిదీ ఒకే విధంగా ఉంటుంది, అక్షరం మాత్రమే భిన్నంగా ఉంటుంది, అవును.) మరియు ఇప్పుడు మనం నేరుగా నిర్వచనానికి వెళ్తాము.

రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క నిర్వచనం.

రేఖాగణిత పురోగతి అనేది ఒక సంఖ్యా శ్రేణి, దీనిలో మొదటి పదం సున్నా కానిది మరియు ప్రతి తదుపరి పదం అదే సున్నా కాని సంఖ్యతో గుణించబడిన మునుపటి పదానికి సమానం.

అది మొత్తం నిర్వచనం. చాలా పదాలు మరియు పదబంధాలు మీకు స్పష్టంగా మరియు సుపరిచితమైనవి. అయితే, మీరు "మీ వేళ్లపై" మరియు సాధారణంగా రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క అర్ధాన్ని అర్థం చేసుకుంటే. కానీ నేను ప్రత్యేక శ్రద్ధ వహించాలనుకుంటున్న కొన్ని కొత్త పదబంధాలు కూడా ఉన్నాయి.

మొదట, పదాలు: "ఇందులో మొదటి సభ్యుడు సున్నా కాని".

మొదటి పదంపై ఈ పరిమితి యాదృచ్ఛికంగా ప్రవేశపెట్టబడలేదు. మొదటి సభ్యుడైతే ఏం జరుగుతుందని అనుకుంటున్నారు బి 1 సున్నాకి సమానంగా ఉంటుందా? ప్రతి పదం మునుపటి కంటే ఎక్కువగా ఉంటే రెండవ పదం దేనికి సమానంగా ఉంటుంది? అదే సంఖ్యలో సార్లు?మూడుసార్లు చెప్పాలా? చూద్దాం... మొదటి పదాన్ని (అంటే 0) 3తో గుణించి... సున్నా పొందండి! మూడవ సభ్యుడు గురించి ఏమిటి? అలాగే సున్నా! మరియు నాల్గవ పదం కూడా సున్నా! మరియు అందువలన న…

మేము కేవలం బేగెల్స్ యొక్క బ్యాగ్‌ని పొందుతాము, సున్నాల శ్రేణి:

0, 0, 0, 0, …

వాస్తవానికి, అటువంటి క్రమానికి జీవించే హక్కు ఉంది, కానీ ఇది ఆచరణాత్మక ఆసక్తిని కలిగి ఉండదు. అంతా స్పష్టంగా ఉంది. అందులో ఏ సభ్యుడైనా సున్నా. ఎన్ని పదాల మొత్తం కూడా సున్నా... దానితో మీరు ఎలాంటి ఆసక్తికరమైన విషయాలు చేయవచ్చు? ఏమిలేదు…

కింది కీలకపదాలు: "అదే సున్నా కాని సంఖ్యతో గుణించబడింది."

ఇదే సంఖ్యకు దాని స్వంత ప్రత్యేక పేరు కూడా ఉంది - రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క హారం. పరిచయం చేసుకోవడం ప్రారంభిద్దాం.)

రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క హారం.

ప్రతిదీ షెల్లింగ్ బేరి వలె సులభం.

రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క హారం సున్నా కాని సంఖ్య (లేదా పరిమాణం) సూచిస్తుందిఎన్ని సార్లుపురోగతి యొక్క ప్రతి పదం మునుపటి కంటే ఎక్కువ.

మళ్ళీ, అంకగణిత పురోగతికి సమానంగా, ఈ నిర్వచనంలో చూడవలసిన ముఖ్య పదం పదం "మరింత". రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క ప్రతి పదం పొందబడిందని దీని అర్థం గుణకారంఈ చాలా హారం మునుపటి సభ్యుడు.

నన్ను వివిరించనివ్వండి.

లెక్కించేందుకు, చెప్పండి రెండవడిక్, తీసుకోవాలి ప్రధమసభ్యుడు మరియు గుణించాలిఅది హారం. గణన కోసం పదవడిక్, తీసుకోవాలి తొమ్మిదవసభ్యుడు మరియు గుణించాలిఅది హారం.

రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క హారం ఏదైనా కావచ్చు. ఖచ్చితంగా ఎవరైనా! సంపూర్ణం, భిన్నం, సానుకూలం, ప్రతికూలం, అహేతుకం - అన్నీ. సున్నా తప్ప. నిర్వచనంలోని “సున్నా కానిది” అనే పదం మనకు చెప్పేది ఇదే. ఈ పదం ఇక్కడ ఎందుకు అవసరం - దాని గురించి మరింత తరువాత.

రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క హారంచాలా తరచుగా లేఖ ద్వారా సూచించబడుతుంది q.

దాన్ని ఎలా కనుగొనాలి q? ఏమి ఇబ్బంది లేదు! మేము పురోగతి యొక్క ఏదైనా పదం తీసుకోవాలి మరియు మునుపటి పదం ద్వారా విభజించండి. విభజన ఉంది భిన్నం. అందుకే పేరు - "ప్రగతి హారం". హారం, ఇది సాధారణంగా భిన్నంలో ఉంటుంది, అవును...) అయినప్పటికీ, తార్కికంగా, విలువ qఅని పిలవాలి ప్రైవేట్రేఖాగణిత పురోగతి, పోలి తేడాఅంకగణిత పురోగతి కోసం. కానీ మేము కాల్ చేయడానికి అంగీకరించాము హారం. మరియు మేము చక్రాన్ని తిరిగి ఆవిష్కరించము.)

ఉదాహరణకు, పరిమాణాన్ని నిర్వచిద్దాం qఈ రేఖాగణిత పురోగతి కోసం:

2, 6, 18, 54, …

ప్రతిదీ ప్రాథమికమైనది. తీసుకుందాం ఏదైనాక్రమం సంఖ్య. ఏది కావాలంటే అది తీసుకుంటాం. మొదటిది తప్ప. ఉదాహరణకు, 18. మరియు విభజించండి మునుపటి సంఖ్య. అంటే, 6 వద్ద.

మాకు దొరికింది:

q = 18/6 = 3

అంతే. ఇది సరైన సమాధానం. ఈ రేఖాగణిత పురోగతికి, హారం మూడు.

ఇప్పుడు హారం కనుగొనండి qమరొక రేఖాగణిత పురోగతి కోసం. ఉదాహరణకు, ఇది:

1, -2, 4, -8, 16, …

ఒకే. సభ్యులకు ఎలాంటి సంకేతాలు ఉన్నా, మేము ఇంకా తీసుకుంటాము ఏదైనాక్రమం యొక్క సంఖ్య (ఉదాహరణకు, 16) మరియు విభజించండి మునుపటి సంఖ్య(అంటే -8).

మాకు దొరికింది:

డి = 16/(-8) = -2

అంతే.) ఈసారి పురోగతి యొక్క హారం ప్రతికూలంగా మారింది. మైనస్ రెండు. జరుగుతుంది.)

ఇప్పుడు ఈ పురోగతిని తీసుకుందాం:

1, 1/3, 1/9, 1/27, …

మళ్లీ, క్రమంలో సంఖ్యల రకంతో సంబంధం లేకుండా (పూర్ణాంకాలు, భిన్నాలు కూడా, ప్రతికూలమైనా, అహేతుకం అయినా), మనం ఏదైనా సంఖ్యను (ఉదాహరణకు, 1/9) తీసుకుంటాము మరియు మునుపటి సంఖ్య (1/3) ద్వారా భాగిస్తాము. భిన్నాలతో పని చేయడానికి నియమాల ప్రకారం, కోర్సు.

మాకు దొరికింది:

అంతే.) ఇక్కడ హారం పాక్షికంగా మారింది: q = 1/3.

ఈ "ప్రగతి" గురించి మీరు ఏమనుకుంటున్నారు?

3, 3, 3, 3, 3, …

స్పష్టంగా ఇక్కడ q = 1 . అధికారికంగా, ఇది కూడా రేఖాగణిత పురోగతి, దీనితో మాత్రమే ఒకేలాంటి సభ్యులు.) కానీ అలాంటి పురోగతులు అధ్యయనం మరియు ఆచరణాత్మక అనువర్తనానికి ఆసక్తికరంగా లేవు. ఘన సున్నాలు ఉన్న పురోగతులు అదే. కాబట్టి, మేము వాటిని పరిగణించము.

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, పురోగతి యొక్క హారం ఏదైనా కావచ్చు - పూర్ణాంకం, భిన్నం, సానుకూలం, ప్రతికూలం - ఏదైనా కావచ్చు! ఇది కేవలం సున్నా కాకూడదు. ఎందుకో ఊహించలేకపోతున్నారా?

సరే, మనం హారంగా తీసుకుంటే ఏమి జరుగుతుందో తెలుసుకోవడానికి కొన్ని నిర్దిష్ట ఉదాహరణలను ఉపయోగించుకుందాం qసున్నా.) ఉదాహరణకు, కలిగి ఉండనివ్వండి బి 1 = 2 , ఎ q = 0 . అప్పుడు రెండవ పదం దేనికి సమానంగా ఉంటుంది?

మేము లెక్కిస్తాము:

బి 2 = బి 1 · q= 2 0 = 0

మూడవ సభ్యుడు గురించి ఏమిటి?

బి 3 = బి 2 · q= 0 0 = 0

రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క రకాలు మరియు ప్రవర్తన.

ప్రతిదీ ఎక్కువ లేదా తక్కువ స్పష్టంగా ఉంది: పురోగతి తేడా ఉంటే డిసానుకూలంగా ఉంటుంది, అప్పుడు పురోగతి పెరుగుతుంది. వ్యత్యాసం ప్రతికూలంగా ఉంటే, అప్పుడు పురోగతి తగ్గుతుంది. రెండు ఎంపికలు మాత్రమే ఉన్నాయి. మూడవది లేదు.)

కానీ రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క ప్రవర్తనతో, ప్రతిదీ చాలా ఆసక్తికరంగా మరియు వైవిధ్యంగా ఉంటుంది!)

నిబంధనలు ఇక్కడ ఎలా ప్రవర్తించినా: అవి పెరుగుతాయి మరియు తగ్గుతాయి మరియు నిరవధికంగా సున్నాకి చేరుకుంటాయి మరియు సంకేతాలను కూడా మారుస్తాయి, ప్రత్యామ్నాయంగా తమను తాము "ప్లస్" లోకి మరియు తరువాత "మైనస్"లోకి విసిరివేస్తాయి! మరియు ఈ వైవిధ్యంలో మీరు బాగా అర్థం చేసుకోగలగాలి, అవును...

దానిని గుర్తించుదామా?) సరళమైన కేసుతో ప్రారంభిద్దాం.

హారం సానుకూలంగా ఉంది ( q >0)

సానుకూల హారంతో, ముందుగా, రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనలు వెళ్ళవచ్చు ప్లస్ అనంతం(అనగా పరిమితి లేకుండా పెంచండి) మరియు లోకి వెళ్ళవచ్చు మైనస్ అనంతం(అనగా, పరిమితి లేకుండా తగ్గుతుంది). మేము ఇప్పటికే పురోగతి యొక్క ఈ ప్రవర్తనకు అలవాటు పడ్డాము.

ఉదాహరణకి:

(b n): 1, 2, 4, 8, 16, …

ఇక్కడ ప్రతిదీ సులభం. పురోగతి యొక్క ప్రతి పదం పొందబడుతుంది మునుపటి కంటే ఎక్కువ. అంతేకాక, ప్రతి పదం మారుతుంది గుణకారంన మునుపటి సభ్యుడు అనుకూలసంఖ్య +2 (అనగా q = 2 ) అటువంటి పురోగతి యొక్క ప్రవర్తన స్పష్టంగా ఉంది: పురోగతిలోని సభ్యులందరూ పరిమితి లేకుండా పెరుగుతారు, అంతరిక్షంలోకి వెళతారు. ప్లస్ అనంతం...

మరియు ఇప్పుడు ఇక్కడ పురోగతి ఉంది:

(b n): -1, -2, -4, -8, -16, …

ఇక్కడ కూడా, పురోగతి యొక్క ప్రతి పదం పొందబడుతుంది గుణకారంన మునుపటి సభ్యుడు అనుకూలసంఖ్య +2. కానీ అటువంటి పురోగతి యొక్క ప్రవర్తన సరిగ్గా వ్యతిరేకం: పురోగతి యొక్క ప్రతి పదం పొందబడుతుంది మునుపటి కంటే తక్కువ, మరియు దాని నిబంధనలన్నీ పరిమితి లేకుండా తగ్గుతాయి, మైనస్ అనంతానికి వెళతాయి.

ఇప్పుడు ఆలోచిద్దాం: ఈ రెండు పురోగతులు ఉమ్మడిగా ఏమి ఉన్నాయి? అది నిజమే, హారం! ఇక్కడ అక్కడ q = +2 . సానుకూల సంఖ్య.రెండు. మరియు ఇక్కడ ప్రవర్తనఈ రెండు పురోగతులు ప్రాథమికంగా భిన్నమైనవి! ఎందుకో ఊహించలేకపోతున్నారా? అవును! ఇది అన్ని గురించి మొదటి సభ్యుడు!వారు చెప్పినట్లుగా, అతను ట్యూన్‌ని పిలుస్తాడు.) మీరే చూడండి.

మొదటి సందర్భంలో, పురోగతి యొక్క మొదటి పదం అనుకూల(+1) మరియు, కాబట్టి, గుణించడం ద్వారా పొందిన అన్ని తదుపరి నిబంధనలు అనుకూలహారం q = +2 , కూడా ఉంటుంది అనుకూల.

కానీ రెండవ సందర్భంలో, మొదటి పదం ప్రతికూల(-1) అందువల్ల, పురోగతి యొక్క అన్ని తదుపరి నిబంధనలు, ద్వారా గుణించడం ద్వారా పొందబడతాయి అనుకూల q = +2 , కూడా పొందుతారు ప్రతికూల.ఎందుకంటే “మైనస్” నుండి “ప్లస్” ఎల్లప్పుడూ “మైనస్” ఇస్తుంది, అవును.)

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, అంకగణిత పురోగతి వలె కాకుండా, రేఖాగణిత పురోగతి ఆధారపడి మాత్రమే కాకుండా పూర్తిగా భిన్నంగా ప్రవర్తిస్తుంది హారం నుండిq, కానీ కూడా ఆధారపడి ఉంటుంది మొదటి సభ్యుడు నుండి, అవును.)

గుర్తుంచుకోండి: రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క ప్రవర్తన దాని మొదటి పదం ద్వారా ప్రత్యేకంగా నిర్ణయించబడుతుంది బి 1 మరియు హారంq .

ఇప్పుడు మేము తక్కువ తెలిసిన, కానీ చాలా ఆసక్తికరమైన కేసులను విశ్లేషించడం ప్రారంభిస్తాము!

ఉదాహరణకు, ఈ క్రమాన్ని తీసుకుందాం:

(b n): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

ఈ క్రమం కూడా ఒక రేఖాగణిత పురోగతి! ఈ పురోగతి యొక్క ప్రతి పదం కూడా మారుతుంది గుణకారంమునుపటి సభ్యుడు, అదే సంఖ్యతో. ఇది ఒక సంఖ్య మాత్రమే - భిన్నం: q = +1/2 . లేదా +0,5 . అంతేకాకుండా (ముఖ్యమైనది!) సంఖ్య ఒకటి కంటే తక్కువ:q = 1/2<1.

ఈ రేఖాగణిత పురోగతి ఎందుకు ఆసక్తికరంగా ఉంది? దాని సభ్యులు ఎక్కడికి వెళుతున్నారు? చూద్దాం:

1/2 = 0,5;

1/4 = 0,25;

1/8 = 0,125;

1/16 = 0,0625;

…….

మీరు ఇక్కడ ఏ ఆసక్తికరమైన విషయాలను గమనించగలరు? మొదట, పురోగతి పరంగా తగ్గుదల వెంటనే గమనించవచ్చు: దానిలోని ప్రతి సభ్యులు తక్కువసరిగ్గా మునుపటిది 2 సార్లు.లేదా, రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క నిర్వచనం ప్రకారం, ప్రతి పదం మరింతమునుపటి 1/2 సార్లు, ఎందుకంటే పురోగతి హారం q = 1/2 . మరియు ఒకటి కంటే తక్కువ సానుకూల సంఖ్యతో గుణించినప్పుడు, ఫలితం సాధారణంగా తగ్గుతుంది, అవును...

ఏమిటి మరింతఈ పురోగతి యొక్క ప్రవర్తనలో చూడవచ్చు? దాని సభ్యులు తగ్గిపోతున్నారా? అపరిమిత, మైనస్ అనంతానికి వెళుతుందా? లేదు! వారు ఒక ప్రత్యేక మార్గంలో అదృశ్యం. మొదట అవి చాలా త్వరగా తగ్గుతాయి, ఆపై మరింత నెమ్మదిగా తగ్గుతాయి. మరియు అన్ని సమయాలలో మిగిలి ఉండగా అనుకూల. చాలా చాలా చిన్నది అయినప్పటికీ. మరియు వారు తాము దేని కోసం ప్రయత్నిస్తున్నారు? మీరు ఊహించలేదా? అవును! వారు సున్నా వైపు ప్రయత్నిస్తారు!) అంతేకాకుండా, శ్రద్ధ వహించండి, మా పురోగతి సభ్యులు సున్నా నుండి చేరుకోవద్దు!మాత్రమే అతనికి అనంతంగా దగ్గరవుతోంది. ఇది చాలా ముఖ్యం.)

కింది పురోగతిలో ఇదే విధమైన పరిస్థితి ఏర్పడుతుంది:

(b n): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …

ఇక్కడ బి 1 = -1 , ఎ q = 1/2 . ప్రతిదీ ఒకేలా ఉంది, ఇప్పుడు మాత్రమే నిబంధనలు దిగువ నుండి మరొక వైపు నుండి సున్నాకి చేరుకుంటాయి. అన్ని వేళలా ఉంటున్నారు ప్రతికూల.)

అటువంటి రేఖాగణిత పురోగతి, దీని నిబంధనలు పరిమితి లేకుండా సున్నాకి చేరుకోండి(అనుకూల లేదా ప్రతికూల వైపు నుండి సంబంధం లేకుండా), గణితంలో ఒక ప్రత్యేక పేరు ఉంది - రేఖాగణిత పురోగతిని అనంతంగా తగ్గించడం.ఈ పురోగతి చాలా ఆసక్తికరంగా మరియు అసాధారణంగా ఉంది, అది కూడా చర్చించబడుతుంది ప్రత్యేక పాఠం .)

కాబట్టి, మేము అన్ని సాధ్యమేనని భావించాము అనుకూలహారం పెద్దవి మరియు చిన్నవి రెండూ. పైన పేర్కొన్న కారణాల వల్ల మేము యూనిట్‌ను హారంగా పరిగణించము (ముగ్గుల శ్రేణితో ఉదాహరణను గుర్తుంచుకోండి...)

సారాంశం చేద్దాం:

అనుకూలమరియు ఒకటి కంటే ఎక్కువ (q>1), ఆపై పురోగతి యొక్క నిబంధనలు:

aపరిమితి లేకుండా పెంచండి (ఉంటేబి 1 >0);

బి) పరిమితి లేకుండా తగ్గుదల (ఉంటేబి 1 <0).

రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క హారం అయితే అనుకూల మరియు ఒకటి కంటే తక్కువ (0< q<1), то члены прогрессии:

ఎ) సున్నాకి అనంతంగా దగ్గరగా ఉంటుంది పైన(ఉంటేబి 1 >0);

బి) సున్నాకి అనంతమైన దగ్గరగా చేరుకుంటుంది కింద నుంచి(ఉంటేబి 1 <0).

ఇప్పుడు కేసును పరిగణనలోకి తీసుకోవడం మిగిలి ఉంది ప్రతికూల హారం.

హారం ప్రతికూలంగా ఉంది ( q <0)

మేము ఒక ఉదాహరణ కోసం చాలా దూరం వెళ్ళము. ఎందుకు, సరిగ్గా, శాగ్గి బామ్మ?!) ఉదాహరణకు, పురోగతి యొక్క మొదటి పదం బి 1 = 1 , మరియు హారం తీసుకుందాం q = -2.

మేము ఈ క్రింది క్రమాన్ని పొందుతాము:

(b n): 1, -2, 4, -8, 16, …

మరియు అందువలన న.) పురోగతి యొక్క ప్రతి పదం పొందబడుతుంది గుణకారంన మునుపటి సభ్యుడు ప్రతికూల సంఖ్య-2. ఈ సందర్భంలో, సభ్యులందరూ బేసి స్థానాల్లో (మొదటి, మూడవ, ఐదవ, మొదలైనవి) నిలబడతారు అనుకూల, మరియు సరి స్థానాల్లో (రెండవ, నాల్గవ, మొదలైనవి) - ప్రతికూల.సంకేతాలు ఖచ్చితంగా ప్రత్యామ్నాయంగా ఉంటాయి. ప్లస్-మైనస్-ప్లస్-మైనస్... ఈ రేఖాగణిత పురోగతిని అంటారు - పెరుగుతున్న సంకేతం ప్రత్యామ్నాయం.

దాని సభ్యులు ఎక్కడికి వెళుతున్నారు? కానీ ఎక్కడా లేదు.) అవును, సంపూర్ణ విలువలో (అనగా మాడ్యులో)మా పురోగతి సభ్యులు పరిమితి లేకుండా పెరుగుతారు (అందుకే "పెరుగుతున్న" పేరు). కానీ అదే సమయంలో, పురోగతి యొక్క ప్రతి సభ్యుడు ప్రత్యామ్నాయంగా మిమ్మల్ని వేడిలోకి, తరువాత చలిలోకి విసిరివేస్తారు. "ప్లస్" లేదా "మైనస్". మన పురోగమనం ఊగిసలాడుతోంది... పైగా ఒక్కో అడుగుకు హెచ్చుతగ్గుల పరిధి వేగంగా పెరుగుతోంది అవును.) అందుకే అభ్యుదయ సభ్యుల ఆకాంక్షలు ఎక్కడికో వెళ్లిపోతున్నాయి. ప్రత్యేకంగాఇక్కడ నం.ప్లస్ ఇన్ఫినిటీకి, లేదా మైనస్ ఇన్ఫినిటీకి లేదా సున్నాకి కాదు - ఎక్కడా లేదు.

ఇప్పుడు సున్నా మరియు మైనస్ ఒకటి మధ్య కొంత భిన్నమైన హారంను పరిశీలిద్దాం.

ఉదాహరణకు, అది ఉండనివ్వండి బి 1 = 1 , ఎ q = -1/2.

అప్పుడు మేము పురోగతిని పొందుతాము:

(b n): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …

మరియు మళ్ళీ మనకు సంకేతాల ప్రత్యామ్నాయం ఉంది! కానీ, మునుపటి ఉదాహరణ వలె కాకుండా, ఇక్కడ నిబంధనలు సున్నాకి చేరుకోవడానికి ఇప్పటికే స్పష్టమైన ధోరణి ఉంది.) ఈసారి మాత్రమే మా నిబంధనలు సున్నాకి చేరుకుంటాయి, పై నుండి లేదా దిగువ నుండి ఖచ్చితంగా కాదు, కానీ మళ్లీ తడబడుతోంది. ప్రత్యామ్నాయంగా సానుకూల మరియు ప్రతికూల విలువలను తీసుకోవడం. కానీ అదే సమయంలో వారు మాడ్యూల్స్ప్రతిష్టాత్మకమైన సున్నాకి దగ్గరగా మరియు దగ్గరగా ఉంటాయి.)

ఈ రేఖాగణిత పురోగతిని అంటారు అనంతంగా తగ్గుతున్న సంకేతం, ప్రత్యామ్నాయం.

ఈ రెండు ఉదాహరణలు ఎందుకు ఆసక్తికరంగా ఉన్నాయి? మరియు రెండు సందర్భాలలో జరుగుతుంది వాస్తవం సంకేతాల ప్రత్యామ్నాయం!ఈ ట్రిక్ ప్రతికూల హారంతో పురోగతికి మాత్రమే విలక్షణమైనది, అవును.) కాబట్టి, ఏదైనా పనిలో మీరు ప్రత్యామ్నాయ నిబంధనలతో జ్యామితీయ పురోగతిని చూసినట్లయితే, దాని హారం 100% ప్రతికూలంగా ఉందని మీరు ఇప్పటికే ఖచ్చితంగా తెలుసుకుంటారు మరియు మీరు పొరపాటు చేయరు. గుర్తులో.)

మార్గం ద్వారా, ప్రతికూల హారం విషయంలో, మొదటి పదం యొక్క సంకేతం పురోగతి యొక్క ప్రవర్తనను అస్సలు ప్రభావితం చేయదు. పురోగతి యొక్క మొదటి పదం యొక్క సంకేతంతో సంబంధం లేకుండా, ఏదైనా సందర్భంలో నిబంధనల సంకేతం గమనించబడుతుంది. ఒక్కటే ప్రశ్న, ఏ ప్రదేశాలలో(సరి లేదా బేసి) నిర్దిష్ట సంకేతాలతో సభ్యులు ఉంటారు.

గుర్తుంచుకో:

రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క హారం అయితే ప్రతికూల , అప్పుడు పురోగతి యొక్క నిబంధనల సంకేతాలు ఎల్లప్పుడూ ఉంటాయి ప్రత్యామ్నాయ.

అదే సమయంలో, సభ్యులు స్వయంగా:

ఎ) పరిమితి లేకుండా పెంచండిమాడ్యులో, ఉంటేq<-1;

బి) -1 అయితే అనంతంగా సున్నాకి చేరుకోండి< q<0 (прогрессия бесконечно убывающая).

అంతే. అన్ని సాధారణ కేసులు విశ్లేషించబడ్డాయి.)

రేఖాగణిత పురోగతికి సంబంధించిన వివిధ ఉదాహరణలను విశ్లేషించే ప్రక్రియలో, నేను క్రమానుగతంగా పదాలను ఉపయోగించాను: "సున్నాకి మొగ్గు చూపుతుంది", "అనంతంతో కూడుకున్నది", "మైనస్ అనంతం వైపు మొగ్గు చూపుతుంది"... ఇది ఫర్వాలేదు.) ఈ ప్రసంగం యొక్క బొమ్మలు (మరియు నిర్దిష్ట ఉదాహరణలు) కేవలం ప్రారంభ పరిచయం మాత్రమే ప్రవర్తనవివిధ సంఖ్యా శ్రేణులు. రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క ఉదాహరణను ఉపయోగించడం.

పురోగతి యొక్క ప్రవర్తనను మనం ఎందుకు తెలుసుకోవాలి? ఆమె ఎక్కడికి వెళ్లినా తేడా ఏమిటి? సున్నా వైపు, ప్లస్ అనంతం, మైనస్ అనంతం... అది మనకు ఏమి చేస్తుంది?

విషయం ఏమిటంటే, ఇప్పటికే విశ్వవిద్యాలయంలో, ఉన్నత గణిత శాస్త్ర కోర్సులో, మీకు అనేక రకాల సంఖ్యా శ్రేణులతో (ఏదైనా, కేవలం పురోగమనాలతో కాదు!) పని చేయగల సామర్థ్యం మరియు సరిగ్గా ఈ లేదా ఆ క్రమం ఎలా ఉంటుందో ఊహించగల సామర్థ్యం అవసరం. ప్రవర్తిస్తుంది - అది అపరిమితంగా తగ్గినా, అది ఒక నిర్దిష్ట సంఖ్యకు మొగ్గు చూపినా (మరియు తప్పనిసరిగా సున్నాకి కాదు), లేదా దేనికీ మొగ్గు చూపకపోయినా... గణిత శాస్త్రంలో మొత్తం విభాగం ఈ అంశానికి అంకితం చేయబడింది. విశ్లేషణ - పరిమితుల సిద్ధాంతం.మరియు కొంచెం ప్రత్యేకంగా - భావన సంఖ్య క్రమం యొక్క పరిమితి.చాలా ఆసక్తికరమైన అంశం! కాలేజీకి వెళ్లి దాన్ని గుర్తించడం అర్ధమే.)

ఈ విభాగం నుండి కొన్ని ఉదాహరణలు (పరిమితిని కలిగి ఉన్న సీక్వెన్సులు) మరియు ముఖ్యంగా, అనంతంగా తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగతివారు పాఠశాలలో అలవాటుపడటం ప్రారంభిస్తారు. మేము అలవాటు పడుతున్నాము.)

అంతేకాకుండా, సన్నివేశాల ప్రవర్తనను బాగా అధ్యయనం చేయగల సామర్థ్యం భవిష్యత్తులో మీకు ఎంతో ప్రయోజనం చేకూరుస్తుంది మరియు ఇందులో చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది ఫంక్షన్ పరిశోధన.అత్యంత వైవిధ్యమైనది. కానీ ఫంక్షన్‌లతో సమర్థవంతంగా పని చేసే సామర్థ్యం (డెరివేటివ్‌లను లెక్కించండి, వాటిని పూర్తిగా అధ్యయనం చేయండి, వాటి గ్రాఫ్‌లను రూపొందించండి) ఇప్పటికే మీ గణిత స్థాయిని నాటకీయంగా పెంచుతుంది! మీకు ఏమైనా సందేహాలు ఉన్నాయా? అవసరం లేదు. నా మాటలు కూడా గుర్తుంచుకో.)

జీవితంలో రేఖాగణిత పురోగతిని చూద్దాం?

మన చుట్టూ ఉన్న జీవితంలో, మేము చాలా తరచుగా రేఖాగణిత పురోగతిని ఎదుర్కొంటాము. అది కూడా తెలియకుండానే.)

ఉదాహరణకు, ప్రతిచోటా భారీ పరిమాణంలో మన చుట్టూ ఉండే మరియు సూక్ష్మదర్శిని లేకుండా మనం చూడలేని వివిధ సూక్ష్మజీవులు రేఖాగణిత పురోగతిలో ఖచ్చితంగా గుణించబడతాయి.

ఒక బాక్టీరియం సగానికి విభజించడం ద్వారా పునరుత్పత్తి చేసి, సంతానాన్ని 2 బ్యాక్టీరియాగా ఇస్తుందని అనుకుందాం. ప్రతిగా, వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి, గుణించేటప్పుడు, సగానికి విభజిస్తుంది, 4 బ్యాక్టీరియా యొక్క సాధారణ సంతానం ఇస్తుంది. తరువాతి తరం 8 బ్యాక్టీరియాను ఉత్పత్తి చేస్తుంది, ఆపై 16 బ్యాక్టీరియా, 32, 64 మరియు మొదలైనవి. ప్రతి తదుపరి తరంతో, బ్యాక్టీరియా సంఖ్య రెట్టింపు అవుతుంది. రేఖాగణిత పురోగతికి ఒక సాధారణ ఉదాహరణ.)

అలాగే, కొన్ని కీటకాలు - అఫిడ్స్ మరియు ఫ్లైస్ - విపరీతంగా గుణిస్తారు. మరియు కొన్నిసార్లు కుందేళ్ళు కూడా.)

రేఖాగణిత పురోగతికి మరొక ఉదాహరణ, రోజువారీ జీవితానికి దగ్గరగా, పిలవబడేది చక్రవడ్డీ.ఈ ఆసక్తికరమైన దృగ్విషయం తరచుగా బ్యాంకు డిపాజిట్లలో కనుగొనబడుతుంది మరియు దీనిని పిలుస్తారు వడ్డీ క్యాపిటలైజేషన్.అదేంటి?

మీరే ఇప్పటికీ, వాస్తవానికి, యువకులు. మీరు పాఠశాలలో చదువుతారు, మీరు బ్యాంకులకు వెళ్లరు. కానీ మీ తల్లిదండ్రులు ఇప్పటికే పెద్దలు మరియు స్వతంత్ర వ్యక్తులు. వారు పనికి వెళతారు, వారి రోజువారీ రొట్టె కోసం డబ్బు సంపాదిస్తారు మరియు డబ్బులో కొంత భాగాన్ని బ్యాంకులో ఉంచారు, పొదుపు చేస్తారు.)

మీ నాన్న టర్కీలో కుటుంబ విహారయాత్ర కోసం కొంత మొత్తాన్ని ఆదా చేయాలనుకుంటున్నారని మరియు మూడేళ్ల కాలానికి 50,000 రూబిళ్లు సంవత్సరానికి 10% చొప్పున బ్యాంకులో పెట్టాలని అనుకుందాం. వార్షిక వడ్డీ క్యాపిటలైజేషన్‌తో.అంతేకాకుండా, ఈ మొత్తం వ్యవధిలో డిపాజిట్‌తో ఏమీ చేయలేము. మీరు డిపాజిట్‌ని పూరించలేరు లేదా ఖాతా నుండి డబ్బు తీసుకోలేరు. ఈ మూడేళ్ల తర్వాత అతనికి ఎంత లాభం?

సరే, మొదటగా, సంవత్సరానికి 10% అంటే ఏమిటో మనం గుర్తించాలి. దాని అర్థం ఏమిటంటే ఒక సంవత్సరం లోబ్యాంక్ ప్రారంభ డిపాజిట్ మొత్తానికి 10% జోడిస్తుంది. దేని నుంచి? వాస్తవానికి, నుండి ప్రారంభ డిపాజిట్ మొత్తం.

మేము ఒక సంవత్సరం తర్వాత ఖాతా పరిమాణాన్ని లెక్కిస్తాము. ప్రారంభ డిపాజిట్ మొత్తం 50,000 రూబిళ్లు (అంటే 100%) అయితే, ఒక సంవత్సరం తర్వాత ఖాతాపై ఎంత వడ్డీ ఉంటుంది? అది నిజం, 110%! 50,000 రూబిళ్లు నుండి.

కాబట్టి మేము 50,000 రూబిళ్లు 110% లెక్కిస్తాము:

50000 · 1.1 = 55000 రూబిళ్లు.

110% విలువను కనుగొనడం అంటే ఆ విలువను 1.1 సంఖ్యతో గుణించడం అని మీరు అర్థం చేసుకున్నారని నేను ఆశిస్తున్నాను? ఇది ఎందుకు అని మీకు అర్థం కాకపోతే, ఐదవ మరియు ఆరవ తరగతులను గుర్తుంచుకోండి. అవి - శాతాలు మరియు భిన్నాలు మరియు భాగాల మధ్య కనెక్షన్.)

అందువలన, మొదటి సంవత్సరం పెరుగుదల 5,000 రూబిళ్లు ఉంటుంది.

రెండేళ్లలో ఖాతాలో ఎంత డబ్బు ఉంటుంది? 60,000 రూబిళ్లు? దురదృష్టవశాత్తు (లేదా బదులుగా, అదృష్టవశాత్తూ), ప్రతిదీ అంత సులభం కాదు. వడ్డీ క్యాపిటలైజేషన్ యొక్క మొత్తం ట్రిక్ ఏమిటంటే, ప్రతి కొత్త వడ్డీ సేకరణతో, ఇదే ఆసక్తులు ఇప్పటికే పరిగణించబడతాయి కొత్త మొత్తం నుండి!ఎవరు నుండి ఇప్పటికేఖాతాలో ఉంది ప్రస్తుతానికి.మరియు మునుపటి కాలానికి వచ్చిన వడ్డీ అసలు డిపాజిట్ మొత్తానికి జోడించబడుతుంది మరియు తద్వారా కొత్త వడ్డీని లెక్కించడంలో పాల్గొంటుంది! అంటే, వారు మొత్తం ఖాతాలో పూర్తి భాగం అవుతారు. లేదా సాధారణ రాజధాని.అందుకే పేరు - వడ్డీ క్యాపిటలైజేషన్.

ఇది ఆర్థికశాస్త్రంలో ఉంది. మరియు గణితంలో అటువంటి శాతాలు అంటారు చక్రవడ్డీ.లేదా వడ్డీ శాతం.) వారి ట్రిక్ ఏంటంటే, సీక్వెన్షియల్‌గా లెక్కించేటప్పుడు, ప్రతిసారీ శాతాలు లెక్కించబడతాయి కొత్త విలువ నుండి.మరియు అసలు నుండి కాదు ...

అందువలన, ద్వారా మొత్తం లెక్కించేందుకు రెండు సంవత్సరాలు, మేము ఖాతాలో ఉన్న మొత్తంలో 110% లెక్కించాలి ఒక సంవత్సరం లో.అంటే, ఇప్పటికే 55,000 రూబిళ్లు నుండి.

మేము 55,000 రూబిళ్లు 110% లెక్కిస్తాము:

55000 · 1.1 = 60500 రూబిళ్లు.

దీని అర్థం రెండవ సంవత్సరానికి శాతం పెరుగుదల 5,500 రూబిళ్లు, మరియు రెండు సంవత్సరాలు - 10,500 రూబిళ్లు.

ఇప్పుడు మీరు ఇప్పటికే మూడు సంవత్సరాల తర్వాత ఖాతాలో మొత్తం 60,500 రూబిళ్లు 110% ఉంటుంది అని ఊహించవచ్చు. అంటే మళ్లీ 110% మునుపటి నుండి (గత సంవత్సరం)మొత్తాలు.

ఇక్కడ మనం ఆలోచిస్తాము:

60500 · 1.1 = 66550 రూబిళ్లు.

ఇప్పుడు మేము మా ద్రవ్య మొత్తాలను ఏడాది వారీగా క్రమం చేస్తాము:

50000;

55000 = 50000 1.1;

60500 = 55000 1.1 = (50000 1.1) 1.1;

66550 = 60500 1.1 = ((50000 1.1) 1.1) 1.1

ఐతే ఎలా ఉంది? రేఖాగణిత పురోగతి ఎందుకు కాదు? మొదటి సభ్యుడు బి 1 = 50000 , మరియు హారం q = 1,1 . ప్రతి పదం మునుపటి కంటే ఖచ్చితంగా 1.1 రెట్లు పెద్దది. ప్రతిదీ ఖచ్చితంగా నిర్వచనానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది.)

మరియు మీ నాన్న తన 50,000 రూబిళ్లు మూడు సంవత్సరాలుగా తన బ్యాంకు ఖాతాలో పడి ఉండగా, ఎన్ని అదనపు వడ్డీ బోనస్‌లను "పేరు చేసుకుంటాడు"?

మేము లెక్కిస్తాము:

66550 - 50000 = 16550 రూబిళ్లు

చాలా కాదు, కోర్సు. కానీ ప్రారంభ డిపాజిట్ మొత్తం చిన్నది అయితే ఇది. ఇంకా ఎక్కువ ఉంటే? 50 కాదు, 200 వేల రూబిళ్లు అని చెప్పండి? అప్పుడు మూడు సంవత్సరాలలో పెరుగుదల 66,200 రూబిళ్లు (మీరు గణితాన్ని చేస్తే). ఇది ఇప్పటికే చాలా బాగుంది.) సహకారం ఇంకా ఎక్కువగా ఉంటే? అంతే...

ముగింపు: ప్రారంభ డిపాజిట్ ఎక్కువ, వడ్డీ క్యాపిటలైజేషన్ మరింత లాభదాయకంగా మారుతుంది. అందుకే వడ్డీ క్యాపిటలైజేషన్‌తో కూడిన డిపాజిట్‌లను బ్యాంకులు ఎక్కువ కాలం పాటు అందజేస్తాయి. ఐదేళ్లు అనుకుందాం.

అలాగే, ఇన్‌ఫ్లుఎంజా, మీజిల్స్ మరియు మరింత భయంకరమైన వ్యాధులు (2000ల ప్రారంభంలో అదే SARS లేదా మధ్య యుగాలలో ప్లేగు) వంటి అన్ని రకాల చెడు వ్యాధులు విపరీతంగా వ్యాప్తి చెందడానికి ఇష్టపడతాయి. అందువల్ల అంటువ్యాధుల స్థాయి, అవును...) మరియు జ్యామితీయ పురోగతి వాస్తవం కారణంగా మొత్తం సానుకూల హారం (q>1) - చాలా త్వరగా పెరిగే విషయం! బ్యాక్టీరియా యొక్క పునరుత్పత్తిని గుర్తుంచుకోండి: ఒక బ్యాక్టీరియా నుండి రెండు పొందబడతాయి, రెండు - నాలుగు, నాలుగు - ఎనిమిది మరియు మొదలైనవి... ఏదైనా ఇన్ఫెక్షన్ వ్యాప్తికి ఇది సమానంగా ఉంటుంది.)

రేఖాగణిత పురోగతిపై సరళమైన సమస్యలు.

ఎప్పటిలాగే, ఒక సాధారణ సమస్యతో ప్రారంభిద్దాం. అర్థాన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి పూర్తిగా.

1. రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క రెండవ పదం 6కి సమానం మరియు హారం -0.5కి సమానం అని తెలుసు. మొదటి, మూడవ మరియు నాల్గవ పదాలను కనుగొనండి.

కాబట్టి మాకు ఇవ్వబడింది అంతులేనిరేఖాగణిత పురోగతి, కానీ తెలిసినది రెండవ పదంఈ పురోగతి:

బి 2 = 6

అదనంగా, మాకు కూడా తెలుసు పురోగతి హారం:

q = -0.5

మరియు మీరు కనుగొనవలసి ఉంటుంది మొదటి, మూడవమరియు నాల్గవదిఈ పురోగతి సభ్యులు.

కాబట్టి మేము వ్యవహరిస్తాము. సమస్య యొక్క పరిస్థితులకు అనుగుణంగా మేము క్రమాన్ని వ్రాస్తాము. నేరుగా సాధారణ రూపంలో, రెండవ పదం ఆరు:

బి 1, 6,బి 3 , బి 4 , …

ఇప్పుడు వెతకడం ప్రారంభిద్దాం. మేము ఎప్పటిలాగే సరళమైన వాటితో ప్రారంభిస్తాము. మీరు లెక్కించవచ్చు, ఉదాహరణకు, మూడవ పదం బి 3? చెయ్యవచ్చు! మీకు మరియు నాకు ఇప్పటికే తెలుసు (నేరుగా రేఖాగణిత పురోగతి అర్థంలో) మూడవ పదం (బి 3)రెండవదాని కంటే ఎక్కువ (బి 2 ) వి "q"ఒకసారి!

కాబట్టి మేము వ్రాస్తాము:

బి 3 =బి 2 · q

మేము ఈ వ్యక్తీకరణకు బదులుగా ఆరుని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము బి 2మరియు బదులుగా -0.5 qమరియు మేము లెక్కిస్తాము. మరియు మేము మైనస్‌ని కూడా విస్మరించము, అయితే...

b 3 = 6·(-0.5) = -3

ఇలా. మూడో టర్మ్ ప్రతికూలంగా మారింది. ఆశ్చర్యపోనవసరం లేదు: మా హారం q- ప్రతికూల. మరియు ప్లస్‌ని మైనస్‌తో గుణిస్తే, అది మైనస్ అవుతుంది.)

ఇప్పుడు మేము పురోగతి యొక్క తదుపరి, నాల్గవ పదాన్ని గణిస్తాము:

బి 4 =బి 3 · q

b 4 = -3·(-0.5) = 1.5

నాల్గవ పదం మళ్లీ ప్లస్‌తో ఉంది. ఐదవ పదం మళ్లీ మైనస్ అవుతుంది, ఆరవది ప్లస్ అవుతుంది మరియు మొదలైనవి. సంకేతాలు ప్రత్యామ్నాయం!

కాబట్టి, మూడవ మరియు నాల్గవ నిబంధనలు కనుగొనబడ్డాయి. ఫలితం క్రింది క్రమం:

బి 1 ; 6; -3; 1.5; ...

ఇప్పుడు మిగిలి ఉన్నది మొదటి పదాన్ని కనుగొనడమే బి 1బాగా తెలిసిన రెండవ ప్రకారం. దీన్ని చేయడానికి, మేము ఇతర దిశలో, ఎడమ వైపుకు అడుగుపెడతాము. దీనర్థం, ఈ సందర్భంలో మనం పురోగతి యొక్క రెండవ పదాన్ని హారం ద్వారా గుణించాల్సిన అవసరం లేదు, కానీ విభజించు.

మేము విభజించి పొందుతాము:

అంతే.) సమస్యకు సమాధానం ఇలా ఉంటుంది:

-12; 6; -3; 1,5; …

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, పరిష్కార సూత్రం లో వలె ఉంటుంది. మాకు తెలుసు ఏదైనాసభ్యుడు మరియు హారంరేఖాగణిత పురోగతి - మనం దానిలోని ఇతర సభ్యులను కనుగొనవచ్చు. మనకు కావలసిన దానిని మేము కనుగొంటాము.) ఒకే తేడా ఏమిటంటే కూడిక/వ్యవకలనం గుణకారం/భాగహారంతో భర్తీ చేయబడుతుంది.

గుర్తుంచుకోండి: మనకు కనీసం ఒక సభ్యుడు మరియు రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క హారం తెలిస్తే, ఈ పురోగతికి సంబంధించిన ఇతర సభ్యులను మనం ఎల్లప్పుడూ కనుగొనవచ్చు.

కింది సమస్య, సంప్రదాయం ప్రకారం, OGE యొక్క నిజమైన వెర్షన్ నుండి వచ్చింది:

...; 150; X; 6; 1.2; ...

ఐతే ఎలా ఉంది? ఈసారి మొదటి టర్మ్ లేదు, హారం లేదు q, కేవలం సంఖ్యల శ్రేణి ఇవ్వబడింది... ఇప్పటికే తెలిసినది, సరియైనదా? అవును! అంకగణిత పురోగతిలో ఇలాంటి సమస్య ఇప్పటికే పరిష్కరించబడింది!

కాబట్టి మేము భయపడము. ఒకే. మన తలలను ఆన్ చేసి, రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క ప్రాథమిక అర్థాన్ని గుర్తుంచుకోండి. మేము మా క్రమాన్ని జాగ్రత్తగా పరిశీలిస్తాము మరియు మూడు ప్రధాన వాటి (మొదటి పదం, హారం, పదం సంఖ్య) యొక్క రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క ఏ పారామితులు దాగి ఉన్నాయో గుర్తించండి.

సభ్యుల సంఖ్యలు? సభ్యత్వం సంఖ్యలు లేవు, అవును.. కానీ నాలుగు ఉన్నాయి వరుసగాసంఖ్యలు. ఈ దశలో ఈ పదానికి అర్థం ఏమిటో వివరించడంలో నాకు ఎటువంటి ప్రయోజనం కనిపించడం లేదు.) రెండు ఉన్నాయా పొరుగు తెలిసిన సంఖ్యలు?తినండి! ఇవి 6 మరియు 1.2. కాబట్టి మనం కనుగొనవచ్చు పురోగతి హారం.కాబట్టి మేము 1.2 సంఖ్యను తీసుకొని విభజించాము మునుపటి సంఖ్యకు.ఆరు వరకు.

మాకు దొరికింది:

x= 150·0.2 = 30

సమాధానం: x = 30 .

మీరు గమనిస్తే, ప్రతిదీ చాలా సులభం. ప్రధాన కష్టం గణనలలో మాత్రమే. ప్రతికూల మరియు పాక్షిక హారం విషయంలో ఇది చాలా కష్టం. కాబట్టి సమస్యలు ఉన్నవారు, అంకగణితాన్ని పునరావృతం చేయండి! భిన్నాలతో ఎలా పని చేయాలి, ప్రతికూల సంఖ్యలతో ఎలా పని చేయాలి మరియు మొదలైనవి... లేకపోతే, మీరు ఇక్కడ కనికరం లేకుండా నెమ్మదిస్తారు.

ఇప్పుడు సమస్యను కొద్దిగా సవరిద్దాం. ఇప్పుడు అది ఆసక్తికరంగా మారబోతోంది! దాని నుండి చివరి సంఖ్య 1.2ని తీసివేద్దాం. ఇప్పుడు ఈ సమస్యను పరిష్కరిద్దాం:

3. రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క అనేక వరుస నిబంధనలు వ్రాయబడ్డాయి:

...; 150; X; 6; ...

x అక్షరం ద్వారా సూచించబడిన పురోగతి యొక్క పదాన్ని కనుగొనండి.

అంతా ఒకటే, రెండు ప్రక్కనే ఉన్నాయి ప్రసిద్ధిమాకు ఇప్పుడు పురోగతిలో సభ్యులు లేరు. ఇది ప్రధాన సమస్య. ఎందుకంటే పరిమాణం qరెండు పొరుగు పదాల ద్వారా మనం సులభంగా గుర్తించవచ్చు మనం చేయలేము.పనిని ఎదుర్కోవటానికి మనకు అవకాశం ఉందా? ఖచ్చితంగా!

తెలియని పదాన్ని వ్రాసుకుందాం " x"నేరుగా రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క అర్థం లోపల! సాధారణ పరంగా.

అవును అవును! సరిగ్గా తెలియని హారంతో!

ఒక వైపు, X కోసం మనం ఈ క్రింది నిష్పత్తిని వ్రాయవచ్చు:

x= 150·q

మరోవైపు, ఇదే Xని వివరించే హక్కు మాకు ఉంది తరువాతసభ్యుడు, ఆరు ద్వారా! ఆరింటిని హారంతో భాగించండి.

ఇలా:

x = 6/ q

సహజంగానే, ఇప్పుడు మనం ఈ రెండు నిష్పత్తులను సమం చేయవచ్చు. మేము వ్యక్తం చేస్తున్నాము కాబట్టి అదేపరిమాణం (x), కానీ రెండు వివిధ మార్గాలు.

మేము సమీకరణాన్ని పొందుతాము:

ప్రతిదీ ద్వారా గుణించడం q, సరళీకృతం చేయడం మరియు తగ్గించడం, మేము సమీకరణాన్ని పొందుతాము:

q2 = 1/25

మేము పరిష్కరిస్తాము మరియు పొందుతాము:

q = ± 1/5 = ± 0.2

అయ్యో! హారం రెట్టింపు అయింది! +0.2 మరియు -0.2. మరియు మీరు ఏది ఎంచుకోవాలి? వీధి చివర?

ప్రశాంతత! అవును, సమస్య నిజంగా ఉంది రెండు పరిష్కారాలు!అందులో తప్పేమీ లేదు. ఇది జరుగుతుంది.) ఉదాహరణకు, సాధారణ సమస్యను పరిష్కరించేటప్పుడు మీకు రెండు మూలాలు వచ్చినప్పుడు మీరు ఆశ్చర్యపోలేదా? ఇక్కడ కూడా అదే కథ.)

కోసం q = +0.2మేము పొందుతాము:

X = 150 0.2 = 30

మరియు కోసం q = -0,2 ఉంటుంది:

X = 150·(-0.2) = -30

మేము డబుల్ సమాధానం పొందుతాము: x = 30; x = -30.

ఈ ఆసక్తికరమైన వాస్తవం అర్థం ఏమిటి? మరియు ఏమి ఉంది రెండు పురోగతులు, సమస్య యొక్క పరిస్థితులను సంతృప్తి పరచడం!

ఇలాంటివి:

…; 150; 30; 6; …

…; 150; -30; 6; …

రెండూ సరిపోతాయి.) సమాధానాలలో మాకు విభజన ఉందని మీరు ఎందుకు అనుకుంటున్నారు? కేవలం ఆరు తర్వాత వచ్చే పురోగతి (1,2) యొక్క నిర్దిష్ట సభ్యుని తొలగింపు కారణంగా. మరియు రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క మునుపటి (n-1)వ మరియు తదుపరి (n+1)వ నిబంధనలను మాత్రమే తెలుసుకోవడం వలన, వాటి మధ్య ఉన్న nవ పదం గురించి మనం నిస్సందేహంగా ఏమీ చెప్పలేము. రెండు ఎంపికలు ఉన్నాయి - ప్లస్ మరియు మైనస్‌తో.

కానీ సమస్య లేదు. నియమం ప్రకారం, రేఖాగణిత పురోగతి పనులలో స్పష్టమైన సమాధానం ఇచ్చే అదనపు సమాచారం ఉంది. పదాలు చెప్పండి: "ప్రత్యామ్నాయ పురోగతి"లేదా "సానుకూల హారంతో పురోగతి"మరియు మొదలైనవి... ఈ పదాలే తుది సమాధానాన్ని సిద్ధం చేసేటప్పుడు ఏ గుర్తును ప్లస్ లేదా మైనస్‌ని ఎంచుకోవాలి అనేదానికి క్లూగా ఉపయోగపడుతుంది. అటువంటి సమాచారం లేకపోతే, అవును, పని ఉంటుంది రెండు పరిష్కారాలు.)

ఇప్పుడు మనమే నిర్ణయించుకుంటాం.

4. సంఖ్య 20 రేఖాగణిత పురోగతిలో సభ్యునిగా ఉందో లేదో నిర్ణయించండి:

4 ; 6; 9; …

5. ప్రత్యామ్నాయ రేఖాగణిత పురోగతికి సంకేతం ఇవ్వబడింది:

…; 5; x ; 45; …

అక్షరం ద్వారా సూచించబడిన పురోగతి యొక్క పదాన్ని కనుగొనండి x .

6. రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క నాల్గవ సానుకూల పదాన్ని కనుగొనండి:

625; -250; 100; …

7. రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క రెండవ పదం -360కి సమానం, మరియు దాని ఐదవ పదం 23.04కి సమానం. ఈ పురోగతి యొక్క మొదటి పదాన్ని కనుగొనండి.

సమాధానాలు (అక్రమంలో): -15; 900; కాదు; 2.56.

ప్రతిదీ పని చేస్తే అభినందనలు!

ఏదో సరిపోలేదా? ఎక్కడో రెట్టింపు సమాధానం వచ్చిందా? అసైన్‌మెంట్ నిబంధనలను జాగ్రత్తగా చదవండి!

చివరి సమస్య పని చేయలేదా? అక్కడ సంక్లిష్టంగా ఏమీ లేదు.) మేము రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క అర్థం ప్రకారం నేరుగా పని చేస్తాము. బాగా, మీరు చిత్రాన్ని గీయవచ్చు. ఇది సహాయపడుతుంది.)

మీరు గమనిస్తే, ప్రతిదీ ప్రాథమికమైనది. పురోగతి తక్కువగా ఉంటే. ఇది పొడవుగా ఉంటే? లేదా అవసరమైన సభ్యుల సంఖ్య చాలా పెద్దదా? నేను అంకగణిత పురోగతితో సారూప్యతతో, ఏదో ఒకవిధంగా ఒక అనుకూలమైన సూత్రాన్ని పొందాలనుకుంటున్నాను, అది సులభంగా కనుగొనేలా చేస్తుంది ఏదైనాఏదైనా రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క పదం అతని నంబర్ ద్వారా.అనేక, అనేక రెట్లు గుణించకుండా q. మరియు అటువంటి సూత్రం ఉంది!) వివరాలు తదుపరి పాఠంలో ఉన్నాయి.