Kutatua mifumo ya milinganyo ya mstari kwa kutumia mbinu ya Gaussian. Mpango wa mgawanyiko mmoja

Wakati wa kutatua mfumo wa equations

Toleo rahisi zaidi la njia ya Gaussian husababisha makosa makubwa. Sababu ni kuonekana kwa coefficients kubwa, mzunguko wa ambayo husababisha kosa kubwa kabisa D ~ 0.5. Kwa upande wake, coefficients kubwa hupatikana baada ya kugawanya kwa mgawo mdogo wa kuongoza .

Hitimisho: Ili kupunguza athari za makosa ya kuzunguka, unahitaji kuchagua kipengele kinachoongoza ambacho sio tofauti tu na 0, lakini pia kikubwa cha kutosha.

Marekebisho ya kwanza ya njia ya Gauss- tafuta kwa masharti. Katika algorithm, kipengele kinachoongoza lazima kichaguliwe kutoka kwa hali hiyo.

Ukosefu wa marekebisho. Tuseme x i hupatikana kwa hitilafu ya D. Kisha, wakati wa kutafuta x s yoyote, ni muhimu, kwa mujibu wa formula inverse, kuzidisha. Katika kesi hii, kosa D pia litazidishwa na . Ikiwa thamani ni kubwa, kosa litaongezeka.

Hitimisho: ni muhimu kuhakikisha kuwa kipengele kinachoongoza sio kikubwa tu, lakini modulo kubwa zaidi katika mstari wake. Halafu, wakati wa kurekebisha laini inayoongoza, coefficients zingine zote, kulingana na formula (5), zitakuwa chini ya 1 kwa dhamana kamili, na makosa yatakuwa. kupungua.

Marekebisho ya pili ya njia ya Gauss- tafuta kwa safu. Sharti hili linaweza kufikiwa ikiwa zisizojulikana x i zimetengwa kwa mpangilio nasibu, na mstari unaoongoza ukitafutwa , ukitoa . Hii itakuwa kipengele kinachofuata kinachoongoza. Baada ya kuamua kipengele cha kuongoza, badilisha k-th na r-th nguzo.

Tahadhari. Kwa uingizwaji kama huo, nambari za zisizojulikana x i hubadilika. Ili kuhakikisha uingizwaji huo, ni muhimu kuingiza safu p 1 ,…p n na nambari halisi za haijulikani wakati wa programu. Mwanzoni mwa kiharusi cha mbele, wote p i = i ni nambari za kawaida. Baada ya kupata kipengele kinachoongoza, ubadilishane p k na p r. Wakati wa kiharusi cha nyuma, x i iliyohesabiwa tena huhesabiwa kwa kutumia fomula (7). Baada ya kuhesabu yote haijulikani, lazima tuweke y]:=x[i], na safu y[i] itakuwa suluhisho la mwisho kwa tatizo.

Marekebisho ya tatu ya njia ya Gauss- utafutaji kamili. Kipengele cha kuwasilisha kinachaguliwa kama kiongozi. Katika kesi hii, safu za k-th na r-th, p k na p r, pamoja na safu za m-th na k-th zinabadilishwa. Marekebisho haya hutoa usahihi wa juu, lakini pia ni ngumu zaidi.

Utumiaji wa njia ya Gauss kutatua shida mbali mbali za aljebra za mstari

1. Inversion ya Matrix. Hebu iwe ni muhimu kuhesabu matrix inverse ya matrix ya mraba A. Hebu tuonyeshe X = A -1. Kama unavyojua, AX = mimi, ambapo mimi ni matrix ya kitambulisho, ambayo 1s ziko kando ya diagonal, na vipengele vilivyobaki ni 0. Kwa maneno mengine, safu ya i-th ya matrix mimi ni sawa na

(1 iko mahali pa i-th). Acha x (i) iwe safu ya i-th ya matrix X. Kisha, kwa mujibu wa kanuni ya kuzidisha matrix (safu mlalo inazidishwa na safu), tuna A x (i) = e (i). Hii inamaanisha kuwa kugeuza matrix tunayohitaji kutatua n mifumo ya milinganyo ya mstari na matiti zinazofanana na pande tofauti za mkono wa kulia:

Oh = e (1) ; Oh = e (2) ; …; Oh = e (n) . (2.1)

Baada ya kusuluhisha mifumo hii, tunapata kwamba suluhu zilizopatikana x (1), x (2), ..., x (n) ni safu wima za matrix A -1.

2. Uhesabuji wa viambishi. Katika mchakato wa kubadilisha matrix A kuwa fomu ya pembetatu kwa kutumia njia ya Gaussian, tulifanya nayo vitendo vifuatavyo:

1) safu zilizopangwa upya au safu kulingana na urekebishaji wa njia;

2) kugawanya mstari wa kuongoza na kipengele kisichoongoza cha sifuri;

3) safu ya mbele iliyozidishwa na nambari fulani iliongezwa kwenye safu za matrix.

Kama inavyojulikana, wakati wa mabadiliko kama haya, kiashiria cha matrix hupitia mabadiliko yanayolingana:

1) ishara ya mabadiliko;

2) imegawanywa na kipengele sawa;

3) haibadilika.

Baada ya kusonga mbele, matrix A itapunguzwa hadi fomu ya pembetatu ya juu na zile zilizo kwenye diagonal kuu. Kiamuzi cha matrix kama hiyo ni dhahiri sawa na 1. Kwa kuzingatia mabadiliko ambayo kibainishi cha matrix A kilipitia wakati wa mchakato wa mabadiliko, tuna fomula ifuatayo:

det A = (–1) s × a 11 × a 22 ×…× a n n ,

ambapo j j ni vipengele vinavyoongoza, s ni idadi ya vibali vya safu mlalo na/au safu wima wakati wa kutafuta vipengele vinavyoongoza.

MASWALI YA MTIHANI NA KAZI

1. Kwa mikono tumia njia ya Gaussian (na utaftaji katika safu, safu wima, kwenye tumbo lote - kulingana na chaguo la kazi) kwa mfumo fulani wa hesabu.

na kukamilisha kazi zifuatazo

1) Tatua mfumo huu wa milinganyo

2) Kokotoa kibainishi cha matrix ya mfumo huu ( Njia ya Gaussian-tazama uk 2 ).

3) Geuza matrix ya mfumo huu ( Njia ya Gaussian-tazama uk 1 ).

Katika siku zijazo, tumia matokeo ya kutatua tatizo hili kama mfano wa mtihani.

2. Unda programu ya kutatua mfumo wa mstari kwa kutumia njia ya Gaussian (na utafutaji katika safu, safu, kwenye tumbo lote - kulingana na toleo la kazi) na ufanyie ubadilishaji wa matrix kwa kutumia programu hii.

Tunaendelea kuzingatia mifumo ya milinganyo ya mstari. Somo hili ni la tatu kwenye mada. Ikiwa una wazo lisilo wazi la mfumo wa equations za mstari ni nini kwa ujumla, ikiwa unahisi kama teapot, basi ninapendekeza kuanza na misingi kwenye ukurasa unaofuata, ni muhimu kujifunza somo.

Njia ya Gaussian ni rahisi! Kwa nini? Mwanahisabati maarufu wa Ujerumani Johann Carl Friedrich Gauss, wakati wa uhai wake, alipokea kutambuliwa kama mwanahisabati mkuu wa wakati wote, fikra, na hata jina la utani "Mfalme wa Hisabati." Na kila kitu cha busara, kama unavyojua, ni rahisi! Kwa njia, sio wanyonyaji tu wanaopata pesa, lakini pia wajanja - picha ya Gauss ilikuwa kwenye noti 10 ya Deutschmark (kabla ya kuanzishwa kwa euro), na Gauss bado anatabasamu kwa kushangaza kwa Wajerumani kutoka kwa stempu za kawaida za posta.

Mbinu ya Gauss ni rahisi kwa kuwa ELIMU YA MWANAFUNZI WA DARASA LA TANO INATOSHA kuimudu. Lazima ujue jinsi ya kuongeza na kuzidisha! Sio sadfa kwamba walimu mara nyingi huzingatia mbinu ya kutojumuisha kwa mfuatano mambo yasiyojulikana katika uteuzi wa hisabati shuleni. Ni kitendawili, lakini wanafunzi wanaona njia ya Gaussian kuwa ngumu zaidi. Hakuna kitu cha kushangaza - yote ni juu ya mbinu, na nitajaribu kuzungumza juu ya algorithm ya njia katika fomu inayoweza kupatikana.

Kwanza, wacha tupange maarifa kidogo juu ya mifumo ya milinganyo ya mstari. Mfumo wa milinganyo ya mstari unaweza:

1) Kuwa na suluhisho la kipekee. 2) Kuwa na suluhisho nyingi sana. 3) Huna suluhu (kuwa yasiyo ya pamoja).

Njia ya Gauss ndio zana yenye nguvu zaidi na ya ulimwengu wote ya kutafuta suluhisho yoyote mifumo ya milinganyo ya mstari. Kama tunavyokumbuka, Utawala wa Cramer na njia ya matrix hazifai katika hali ambapo mfumo una masuluhisho mengi sana au hauendani. Na njia ya kuondoa mlolongo wa haijulikani Hata hivyo itatuongoza kwenye jibu! Katika somo hili, tutazingatia tena njia ya Gauss kwa kesi No. Ninaona kuwa algorithm ya njia yenyewe inafanya kazi sawa katika kesi zote tatu.

Wacha turudi kwenye mfumo rahisi zaidi kutoka kwa somo Jinsi ya kutatua mfumo wa equations za mstari? na kuitatua kwa kutumia njia ya Gaussian.

Hatua ya kwanza ni kuandika matrix ya mfumo uliopanuliwa:. Nadhani kila mtu anaweza kuona kwa kanuni gani coefficients imeandikwa. Mstari wa wima ndani ya tumbo hauna maana yoyote ya kihisabati - ni upitishaji kwa urahisi wa muundo.

Rejea : Ninapendekeza ukumbuke masharti algebra ya mstari. Matrix ya Mfumo ni matrix inayoundwa tu na coefficients kwa haijulikani, katika mfano huu matrix ya mfumo: . Matrix ya Mfumo Uliopanuliwa - hii ni matrix sawa ya mfumo pamoja na safu ya maneno ya bure, katika kesi hii: . Kwa ufupi, yoyote ya matrices inaweza kuitwa tu matrix.

Baada ya matrix ya mfumo uliopanuliwa kuandikwa, ni muhimu kufanya vitendo kadhaa nayo, ambayo pia huitwa mabadiliko ya msingi.

Kuna mabadiliko yafuatayo ya kimsingi:

1) Kamba matrices Je! panga upya katika baadhi ya maeneo. Kwa mfano, kwenye tumbo linalozingatiwa, unaweza kupanga upya safu za kwanza na za pili bila maumivu:

2) Ikiwa kuna (au imeonekana) safu sawia (kama kesi maalum - sawa) kwenye tumbo, basi unapaswa kufuta Safu hizi zote ni kutoka kwa matrix isipokuwa moja. Fikiria, kwa mfano, tumbo . Katika tumbo hili, safu tatu za mwisho ni sawia, kwa hivyo inatosha kuacha moja tu kati yao: .

3) Ikiwa safu ya sifuri inaonekana kwenye tumbo wakati wa mabadiliko, basi inapaswa pia kuwa kufuta. Sitachora, bila shaka, mstari wa sifuri ni mstari ambao sufuri zote.

4) safu ya matrix inaweza kuwa zidisha (gawanya) kwa nambari yoyote isiyo ya sifuri. Fikiria, kwa mfano, matrix. Hapa inashauriwa kugawa mstari wa kwanza na -3, na kuzidisha mstari wa pili na 2: . Kitendo hiki ni muhimu sana kwa sababu hurahisisha mabadiliko zaidi ya matrix.

5) Mabadiliko haya husababisha ugumu zaidi, lakini kwa kweli hakuna chochote ngumu. Kwa safu ya matrix unaweza ongeza mfuatano mwingine uliozidishwa na nambari, tofauti na sifuri. Wacha tuangalie matrix yetu kutoka kwa mfano wa vitendo: . Kwanza nitaelezea mabadiliko kwa undani sana. Zidisha mstari wa kwanza kwa -2: , Na kwa mstari wa pili tunaongeza mstari wa kwanza uliozidishwa na -2: . Sasa mstari wa kwanza unaweza kugawanywa "nyuma" na -2:. Kama unaweza kuona, mstari ambao umeongezwa LI – haijabadilika. Kila mara mstari AMBAO UMEONGEZWA hubadilika UT.

Kwa mazoezi, kwa kweli, hawaiandiki kwa undani kama hii, lakini iandike kwa ufupi: Kwa mara nyingine tena: kwa mstari wa pili aliongeza mstari wa kwanza ukizidishwa na -2. Mstari kwa kawaida huzidishwa kwa mdomo au kwenye rasimu, huku mchakato wa kukokotoa kiakili ukienda hivi:

"Ninaandika tena matrix na kuandika tena mstari wa kwanza: »

"Safu ya kwanza. Chini ninahitaji kupata sifuri. Kwa hiyo, ninazidisha moja ya juu kwa -2:, na kuongeza ya kwanza kwenye mstari wa pili: 2 + (–2) = 0. Ninaandika matokeo katika mstari wa pili: »

“Sasa safu ya pili. Hapo juu, ninazidisha -1 kwa -2: . Ninaongeza ya kwanza kwa mstari wa pili: 1 + 2 = 3. Ninaandika matokeo katika mstari wa pili: »

"Na safu ya tatu. Kwa juu ninazidisha -5 kwa -2: . Ninaongeza wa kwanza kwa mstari wa pili: -7 + 10 = 3. Ninaandika matokeo katika mstari wa pili: »

Tafadhali elewa kwa uangalifu mfano huu na uelewe algorithm ya hesabu ya mpangilio, ikiwa unaelewa hii, basi njia ya Gaussian iko kwenye mfuko wako. Lakini, bila shaka, bado tutafanya kazi kwenye mabadiliko haya.

Mabadiliko ya kimsingi hayabadilishi suluhisho la mfumo wa milinganyo

! TAZAMA: ghiliba zinazozingatiwa haiwezi kutumia, ikiwa umepewa kazi ambapo matrices hupewa "penyewe." Kwa mfano, na "classical" shughuli na matrices Kwa hali yoyote unapaswa kupanga tena kitu chochote ndani ya matrices! Turudi kwenye mfumo wetu. Inachukuliwa vipande vipande.

Wacha tuandike matrix iliyopanuliwa ya mfumo na, kwa kutumia mabadiliko ya kimsingi, tupunguze mtazamo wa kupitiwa:

(1) Mstari wa kwanza uliongezwa kwenye mstari wa pili, ukizidishwa na -2. Na tena: kwa nini tunazidisha mstari wa kwanza kwa -2? Ili kupata sifuri chini, ambayo inamaanisha kuondoa tofauti moja kwenye mstari wa pili.

(2) Gawa mstari wa pili na 3.

Kusudi la mabadiliko ya kimsingi – punguza matrix kwa fomu ya hatua kwa hatua: . Katika muundo wa kazi hiyo, huweka alama tu "ngazi" na penseli rahisi, na pia duru nambari ambazo ziko kwenye "hatua". Neno "mtazamo wa hatua" yenyewe sio kinadharia kabisa katika fasihi ya kisayansi na elimu mara nyingi huitwa mtazamo wa trapezoidal au mtazamo wa pembe tatu.

Kama matokeo ya mabadiliko ya kimsingi, tulipata sawa mfumo wa awali wa equations:

Sasa mfumo unahitaji "kufunguliwa" kwa mwelekeo tofauti - kutoka chini hadi juu, mchakato huu unaitwa kinyume cha njia ya Gaussian.

Katika equation ya chini tayari tuna matokeo tayari:.

Wacha tuchunguze equation ya kwanza ya mfumo na tubadilishe thamani inayojulikana ya "y" ndani yake:

Hebu fikiria hali ya kawaida, wakati njia ya Gaussian inahitaji kutatua mfumo wa equations tatu za mstari na tatu zisizojulikana.

Mfano 1

Tatua mfumo wa hesabu kwa kutumia njia ya Gauss:

Wacha tuandike matrix iliyopanuliwa ya mfumo:

Sasa nitatoa mara moja matokeo ambayo tutakuja wakati wa suluhisho: Na narudia, lengo letu ni kuleta matrix kwa fomu ya hatua kwa kutumia mabadiliko ya kimsingi. Wapi kuanza?

Kwanza, angalia nambari ya juu kushoto: Inapaswa kuwa karibu kila wakati kitengo. Kwa ujumla, -1 (na wakati mwingine nambari zingine) zitafanya, lakini kwa njia fulani imetokea jadi kwamba mtu huwekwa hapo. Jinsi ya kupanga kitengo? Tunaangalia safu ya kwanza - tuna kitengo cha kumaliza! Mabadiliko ya kwanza: badilisha mistari ya kwanza na ya tatu:

Sasa mstari wa kwanza utabaki bila kubadilika hadi mwisho wa suluhisho. Sasa sawa.

Kitengo kilicho kwenye kona ya juu kushoto kimepangwa. Sasa unahitaji kupata zero katika maeneo haya:

Tunapata zero kwa kutumia mabadiliko "ngumu". Kwanza tunashughulika na mstari wa pili (2, -1, 3, 13). Ni nini kinachohitajika kufanywa ili kupata sifuri katika nafasi ya kwanza? Haja ya kwenye mstari wa pili ongeza mstari wa kwanza ukizidishwa na -2. Kiakili au kwenye rasimu, zidisha mstari wa kwanza kwa -2: (-2, -4, 2, -18). Na tunatekeleza (tena kiakili au kwa rasimu) mara kwa mara, kwa mstari wa pili tunaongeza mstari wa kwanza, tayari umeongezeka kwa -2:

Tunaandika matokeo katika mstari wa pili:

Tunashughulikia mstari wa tatu kwa njia ile ile (3, 2, -5, -1). Ili kupata sifuri katika nafasi ya kwanza, unahitaji kwenye mstari wa tatu ongeza mstari wa kwanza ukizidishwa na -3. Kwa akili au kwenye rasimu, zidisha mstari wa kwanza kwa -3: (-3, -6, 3, -27). NA kwa mstari wa tatu tunaongeza mstari wa kwanza unaozidishwa na -3:

Tunaandika matokeo katika mstari wa tatu:

Kwa mazoezi, vitendo hivi kawaida hufanywa kwa mdomo na kuandikwa kwa hatua moja:

Hakuna haja ya kuhesabu kila kitu mara moja na kwa wakati mmoja. Utaratibu wa mahesabu na "kuandika" matokeo thabiti na kawaida ni kama hii: kwanza tunaandika tena mstari wa kwanza, na polepole tunajivuna - CONSISTENTLY na KWA MAKINI:
Na tayari nimejadili mchakato wa kiakili wa mahesabu yenyewe hapo juu.

Katika mfano huu, hii ni rahisi kufanya, tunagawanya mstari wa pili kwa -5 (kwa kuwa nambari zote zinapatikana kwa 5 bila salio). Wakati huo huo, tunagawanya mstari wa tatu na -2, kwa sababu nambari ndogo, suluhisho rahisi zaidi:

Katika hatua ya mwisho ya mabadiliko ya kimsingi, unahitaji kupata sifuri nyingine hapa:

Kwa hii; kwa hili kwa mstari wa tatu tunaongeza mstari wa pili unaozidishwa na -2:
Jaribu kubaini kitendo hiki mwenyewe - kiakili zidisha mstari wa pili kwa -2 na uongeze.

Kitendo cha mwisho kilichofanywa ni mtindo wa nywele wa matokeo, gawanya mstari wa tatu na 3.

Kama matokeo ya mabadiliko ya kimsingi, mfumo sawa wa hesabu za mstari ulipatikana: Baridi.

Sasa kinyume cha njia ya Gaussian inaanza kutumika. Milinganyo "hupunguza" kutoka chini kwenda juu.

Katika equation ya tatu tayari tunayo matokeo tayari:

Wacha tuangalie mlingano wa pili:. Maana ya "zet" tayari inajulikana, kwa hivyo:

Na hatimaye, equation ya kwanza:. "Igrek" na "zet" zinajulikana, ni suala la mambo madogo tu:

Jibu:

Kama ilivyoelezwa tayari mara kadhaa, kwa mfumo wowote wa equations inawezekana na ni muhimu kuangalia suluhisho lililopatikana, kwa bahati nzuri, hii ni rahisi na ya haraka.

Mfano 2

Huu ni mfano wa suluhisho la kujitegemea, sampuli ya muundo wa mwisho na jibu mwishoni mwa somo.

Ikumbukwe kwamba yako maendeleo ya uamuzi inaweza isiendane na mchakato wangu wa uamuzi, na hii ni kipengele cha njia ya Gauss. Lakini majibu lazima yawe sawa!

Mfano 3

Tatua mfumo wa milinganyo ya mstari kwa kutumia mbinu ya Gauss

Tunaangalia "hatua" ya juu kushoto. Tunapaswa kuwa na moja hapo. Shida ni kwamba hakuna vitengo kwenye safu ya kwanza kabisa, kwa hivyo kupanga tena safu hakutatua chochote. Katika hali kama hizi, kitengo lazima kipangwa kwa kutumia mabadiliko ya kimsingi. Hii inaweza kawaida kufanywa kwa njia kadhaa. Nilifanya hivi: (1) Kwa mstari wa kwanza tunaongeza mstari wa pili, unaozidishwa na -1. Hiyo ni, tulizidisha kiakili mstari wa pili kwa -1 na kuongeza mstari wa kwanza na wa pili, wakati mstari wa pili haukubadilika.

Sasa juu kushoto kuna "minus moja", ambayo inatufaa kabisa. Yeyote anayetaka kupata +1 anaweza kufanya harakati ya ziada: zidisha mstari wa kwanza kwa -1 (badilisha ishara yake).

(2) Mstari wa kwanza uliozidishwa na 5 uliongezwa kwa mstari wa pili.

(3) Mstari wa kwanza ulizidishwa na -1, kimsingi, hii ni kwa uzuri. Ishara ya mstari wa tatu pia ilibadilishwa na ikahamishwa hadi nafasi ya pili, ili kwenye "hatua" ya pili tulikuwa na kitengo kinachohitajika.

(4) Mstari wa pili uliongezwa kwa mstari wa tatu, ukizidishwa na 2.

(5) Mstari wa tatu uligawanywa na 3.

Ishara mbaya ambayo inaonyesha hitilafu katika mahesabu (zaidi mara chache, typo) ni mstari wa chini "mbaya". Hiyo ni, ikiwa tutapata kitu kama, chini, na, ipasavyo, , basi kwa kiwango cha juu cha uwezekano tunaweza kusema kwamba kosa lilifanywa wakati wa mabadiliko ya msingi.

Tunatoza kinyume, katika muundo wa mifano mara nyingi hawaandiki tena mfumo wenyewe, lakini milinganyo "huchukuliwa moja kwa moja kutoka kwa matrix iliyotolewa." Kiharusi cha nyuma, nakukumbusha, hufanya kazi kutoka chini hadi juu. Ndiyo, hapa kuna zawadi:

Jibu: .

Mfano 4

Tatua mfumo wa milinganyo ya mstari kwa kutumia mbinu ya Gauss

Huu ni mfano kwako kutatua peke yako, ni ngumu zaidi. Ni sawa ikiwa mtu atachanganyikiwa. Suluhisho kamili na muundo wa sampuli mwishoni mwa somo. Suluhisho lako linaweza kuwa tofauti na suluhisho langu.

Katika sehemu ya mwisho tutaangalia baadhi ya vipengele vya algorithm ya Gaussian. Kipengele cha kwanza ni kwamba wakati mwingine vigeu vingine havipo kwenye hesabu za mfumo, kwa mfano: Jinsi ya kuandika kwa usahihi matrix ya mfumo uliopanuliwa? Tayari nilizungumza juu ya hatua hii darasani. Utawala wa Cramer. Mbinu ya Matrix. Katika matrix iliyopanuliwa ya mfumo, tunaweka sifuri badala ya vigeu vilivyokosekana: Kwa njia, huu ni mfano rahisi, kwani safu ya kwanza tayari ina sifuri moja, na kuna mabadiliko machache ya kimsingi ya kufanya.

Sifa ya pili ni hii. Katika mifano yote iliyozingatiwa, tuliweka ama -1 au +1 kwenye "hatua". Kunaweza kuwa na nambari zingine hapo? Katika baadhi ya matukio wanaweza. Fikiria mfumo: .

Hapa kwenye "hatua" ya juu kushoto tunayo mbili. Lakini tunaona ukweli kwamba nambari zote kwenye safu ya kwanza zinaweza kugawanywa na 2 bila salio - na nyingine ni mbili na sita. Na hao wawili walio juu kushoto watatufaa! Katika hatua ya kwanza, unahitaji kufanya mabadiliko yafuatayo: ongeza mstari wa kwanza uliozidishwa na -1 hadi mstari wa pili; kwenye mstari wa tatu ongeza mstari wa kwanza ukizidishwa na -3. Kwa njia hii tutapata zero zinazohitajika kwenye safu ya kwanza.

Au mfano mwingine wa kawaida: . Hapa tatu kwenye "hatua" ya pili pia inafaa kwetu, kwa kuwa 12 (mahali ambapo tunahitaji kupata sifuri) imegawanywa na 3 bila salio. Inahitajika kutekeleza mabadiliko yafuatayo: ongeza mstari wa pili kwenye mstari wa tatu, ukizidishwa na -4, kama matokeo ambayo sifuri tunayohitaji itapatikana.

Njia ya Gauss ni ya ulimwengu wote, lakini kuna upekee mmoja. Unaweza kujifunza kwa ujasiri kutatua mifumo kwa kutumia njia zingine (njia ya Cramer, njia ya matrix) mara ya kwanza - wana algorithm kali sana. Lakini ili kujisikia ujasiri katika njia ya Gaussian, unapaswa "kupata meno yako" na kutatua angalau mifumo 5-10 kumi. Kwa hiyo, kwa mara ya kwanza kunaweza kuwa na machafuko na makosa katika mahesabu, na hakuna kitu cha kawaida au cha kusikitisha kuhusu hili.

Hali ya hewa ya vuli ya mvua nje ya dirisha .... Kwa hivyo, kwa kila mtu ambaye anataka mfano ngumu zaidi kutatua peke yake:

Mfano 5

Tatua mfumo wa milinganyo 4 ya mstari na zisizojulikana nne kwa kutumia mbinu ya Gauss.

Kazi kama hiyo sio nadra sana katika mazoezi. Nadhani hata teapot ambaye amesoma kwa undani ukurasa huu ataelewa algorithm ya kutatua mfumo kama huo kwa angavu. Kimsingi, kila kitu ni sawa - kuna vitendo zaidi.

Kesi ambazo mfumo hauna suluhu (zisizoendana) au una masuluhisho mengi sana hujadiliwa katika somo. Mifumo na mifumo isiyokubaliana na suluhisho la kawaida. Huko unaweza kurekebisha algorithm inayozingatiwa ya njia ya Gaussian.

Nakutakia mafanikio!

Suluhisho na majibu:

Mfano 2: Suluhisho : Wacha tuandike matrix iliyopanuliwa ya mfumo na, kwa kutumia mabadiliko ya kimsingi, tulete kwa fomu ya hatua.
Mabadiliko ya kimsingi yamefanywa: (1) Mstari wa kwanza uliongezwa kwenye mstari wa pili, ukizidishwa na -2. Mstari wa kwanza uliongezwa kwenye mstari wa tatu, ukizidishwa na -1. Makini! Hapa unaweza kujaribiwa kuondoa kwanza kutoka kwa mstari wa tatu ninapendekeza sana usiiondoe - hatari ya makosa huongezeka sana. Ikunja tu! (2) Ishara ya mstari wa pili ilibadilishwa (iliyozidishwa na -1). Mstari wa pili na wa tatu umebadilishwa. Kumbuka , kwamba kwenye "hatua" hatujaridhika na moja tu, bali pia -1, ambayo ni rahisi zaidi. (3) Mstari wa pili uliongezwa kwa mstari wa tatu, ukizidishwa na 5. (4) Ishara ya mstari wa pili ilibadilishwa (iliyozidishwa na -1). Mstari wa tatu uligawanywa na 14.

Nyuma:

Jibu : .

Mfano 4: Suluhisho : Wacha tuandike matrix iliyopanuliwa ya mfumo na, kwa kutumia mabadiliko ya kimsingi, tulete kwa njia ya hatua:

Uongofu ulifanywa: (1) Mstari wa pili uliongezwa kwenye mstari wa kwanza. Kwa hivyo, kitengo kinachohitajika kinapangwa kwenye "hatua" ya juu kushoto. (2) Mstari wa kwanza uliozidishwa na 7 uliongezwa kwa mstari wa pili.

Kwa "hatua" ya pili kila kitu kinakuwa mbaya zaidi , "wagombea" wake ni nambari 17 na 23, na tunahitaji moja au -1. Mabadiliko (3) na (4) yatalenga kupata kitengo kinachohitajika (3) Mstari wa pili uliongezwa kwenye mstari wa tatu, ukizidishwa na -1. (4) Mstari wa tatu uliongezwa kwenye mstari wa pili, ukizidishwa na -3. Kipengee kinachohitajika kwenye hatua ya pili kimepokelewa. . (5) Mstari wa pili uliongezwa kwa mstari wa tatu, ukizidishwa na 6. (6) Mstari wa pili ulizidishwa na -1, mstari wa tatu uligawanywa na -83.

Nyuma:

Jibu :

Mfano 5: Suluhisho : Wacha tuandike matrix ya mfumo na, kwa kutumia mabadiliko ya kimsingi, tulete kwa njia ya hatua:

Uongofu ulifanywa: (1) Mstari wa kwanza na wa pili umebadilishwa. (2) Mstari wa kwanza uliongezwa kwenye mstari wa pili, ukizidishwa na -2. Mstari wa kwanza uliongezwa kwenye mstari wa tatu, ukizidishwa na -2. Mstari wa kwanza uliongezwa kwenye mstari wa nne, ukizidishwa na -3. (3) Mstari wa pili uliongezwa kwenye mstari wa tatu, ulizidishwa na 4. Mstari wa pili uliongezwa kwenye mstari wa nne, ukiongezeka kwa -1. (4) Ishara ya mstari wa pili ilibadilishwa. Mstari wa nne uligawanywa na 3 na kuwekwa mahali pa mstari wa tatu. (5) Mstari wa tatu uliongezwa kwenye mstari wa nne, ukizidishwa na -5.

Nyuma:

Jibu :

Njia ya Gauss kamili kwa ajili ya kutatua mifumo ya milinganyo ya aljebra ya mstari (SLAEs). Inayo faida kadhaa ikilinganishwa na njia zingine:

kwanza, hakuna haja ya kuchunguza kwanza mfumo wa equations kwa uthabiti;
pili, njia ya Gauss inaweza kutatua sio tu SLAEs ambayo idadi ya equations inalingana na idadi ya vigezo visivyojulikana na matrix kuu ya mfumo sio umoja, lakini pia mifumo ya equations ambayo idadi ya equations hailingani na. idadi ya vigezo visivyojulikana au kiashiria cha tumbo kuu ni sawa na sifuri;
tatu, njia ya Gaussian inaongoza kwa matokeo na idadi ndogo ya shughuli za computational.

Muhtasari mfupi wa makala.

Kwanza, tunatoa ufafanuzi muhimu na utangulizi wa vidokezo.

Ifuatayo, tutaelezea algorithm ya njia ya Gauss kwa kesi rahisi zaidi, ambayo ni, kwa mifumo ya equations za algebraic, idadi ya equations ambayo inaambatana na idadi ya vigezo visivyojulikana na kiashiria cha matrix kuu ya mfumo. si sawa na sifuri. Wakati wa kutatua mifumo hiyo ya equations, kiini cha njia ya Gauss inaonekana wazi zaidi, ambayo ni uondoaji wa mfululizo wa vigezo visivyojulikana. Kwa hiyo, njia ya Gaussian pia inaitwa njia ya kuondokana na mlolongo wa haijulikani. Tutaonyesha ufumbuzi wa kina wa mifano kadhaa.

Kwa kumalizia, tutazingatia suluhisho kwa njia ya Gauss ya mifumo ya usawa wa algebraic, matrix kuu ambayo ni ya mstatili au umoja. Suluhisho la mifumo hiyo ina baadhi ya vipengele, ambavyo tutachunguza kwa undani kwa kutumia mifano.

Urambazaji wa ukurasa.

Ufafanuzi wa kimsingi na nukuu.

Fikiria mfumo wa milinganyo ya p na n zisizojulikana (p inaweza kuwa sawa na n):

Ambapo ni vigezo visivyojulikana, ni nambari (halisi au ngumu), na ni maneno ya bure.

Kama , basi mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari unaitwa zenye homogeneous, vinginevyo - tofauti.

Seti ya maadili ya anuwai zisizojulikana ambazo hesabu zote za mfumo huwa kitambulisho huitwa uamuzi wa SLAU.

Ikiwa kuna angalau suluhisho moja kwa mfumo wa usawa wa algebraic, basi inaitwa pamoja, vinginevyo - yasiyo ya pamoja.

Ikiwa SLAE ina suluhisho la kipekee, basi inaitwa fulani. Ikiwa kuna suluhisho zaidi ya moja, basi mfumo unaitwa kutokuwa na uhakika.

Wanasema kwamba mfumo umeandikwa ndani kuratibu fomu, ikiwa ina fomu
.

Mfumo huu katika fomu ya matrix rekodi zina fomu, wapi - tumbo kuu la SLAE, - matrix ya safu ya vigezo visivyojulikana, - matrix ya maneno ya bure.

Ikiwa tutaongeza safu-wima ya maneno bila malipo kwenye matrix A kama safu wima ya (n+1), tunapata kinachojulikana kama safu wima. matrix iliyopanuliwa mifumo ya milinganyo ya mstari. Kawaida, matrix iliyopanuliwa inaonyeshwa na herufi T, na safu ya maneno ya bure hutenganishwa na safu wima kutoka kwa safu zilizobaki, ambayo ni,

Matrix ya mraba A inaitwa kuzorota, ikiwa kibainishi chake ni sifuri. Ikiwa , basi matrix A inaitwa yasiyo ya kuzorota.

Jambo linalofuata linapaswa kuzingatiwa.

Ikiwa utafanya vitendo vifuatavyo na mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari

badilisha milinganyo miwili,
zidisha pande zote mbili za mlingano wowote kwa nambari ya kiholela na isiyo ya sufuri halisi (au changamano) k,
kwa pande zote mbili za mlinganyo wowote ongeza sehemu zinazolingana za mlingano mwingine, unaozidishwa na nambari ya kiholela k,

basi unapata mfumo sawa ambao una suluhisho sawa (au, kama ule wa asili, hauna suluhisho).

Kwa matriki iliyopanuliwa ya mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari, vitendo hivi vitamaanisha kufanya mabadiliko ya kimsingi na safu mlalo:

kubadilisha mistari miwili,
kuzidisha vitu vyote vya safu yoyote ya matrix T kwa nambari isiyo ya kawaida k,
kuongeza vipengele vya safu mlalo yoyote ya matriki vipengele vinavyolingana vya safu mlalo nyingine, ikizidishwa na nambari ya kiholela k.

Sasa tunaweza kuendelea na maelezo ya njia ya Gauss.

Mifumo ya utatuzi ya milinganyo ya aljebra ya mstari, ambayo idadi ya milinganyo ni sawa na idadi ya zisizojulikana na tumbo kuu la mfumo sio umoja, kwa kutumia njia ya Gauss.

Tungefanya nini shuleni ikiwa tungepewa jukumu la kutafuta suluhisho la mfumo wa milinganyo? .

Wengine wangefanya hivyo.

Kumbuka kuwa kwa kuongeza upande wa kushoto wa kwanza hadi upande wa kushoto wa equation ya pili, na upande wa kulia kwa upande wa kulia, unaweza kuondoa vijiti visivyojulikana x 2 na x 3 na upate mara moja x 1:

Tunabadilisha thamani iliyopatikana x 1 =1 kwenye milinganyo ya kwanza na ya tatu ya mfumo:

Ikiwa tutazidisha pande zote mbili za equation ya tatu ya mfumo kwa -1 na kuziongeza kwa sehemu zinazolingana za equation ya kwanza, tunaondoa tofauti isiyojulikana x 3 na tunaweza kupata x 2:

Tunabadilisha thamani inayotokana x 2 = 2 kwenye equation ya tatu na kupata tofauti iliyobaki isiyojulikana x 3:

Wengine wangefanya tofauti.

Wacha tusuluhishe mlingano wa kwanza wa mfumo kwa heshima na kigezo kisichojulikana x 1 na tubadilishe usemi unaotokana na milinganyo ya pili na ya tatu ya mfumo ili kuwatenga tofauti hii kutoka kwao:

Sasa hebu tusuluhishe equation ya pili ya mfumo wa x 2 na ubadilishe matokeo yaliyopatikana kwenye equation ya tatu ili kuondoa tofauti isiyojulikana x 2 kutoka kwake:

Kutoka kwa equation ya tatu ya mfumo ni wazi kwamba x 3 =3. Kutoka kwa equation ya pili tunapata , na kutoka kwa mlinganyo wa kwanza tunapata.

Suluhisho zinazojulikana, sawa?

Jambo la kufurahisha zaidi hapa ni kwamba njia ya pili ya suluhisho kimsingi ni njia ya kuondoa kwa mlolongo wa haijulikani, ambayo ni, njia ya Gaussian. Tulipoelezea vigeu visivyojulikana (kwanza x 1, katika hatua inayofuata x 2) na kuziweka katika milinganyo iliyobaki ya mfumo, kwa hivyo tulizitenga. Tulifanya uondoaji hadi kukawa na kigezo kimoja tu kisichojulikana kilichosalia katika mlinganyo wa mwisho. Mchakato wa kuondoa mlolongo usiojulikana unaitwa njia ya moja kwa moja ya Gaussian. Baada ya kukamilisha kusonga mbele, tunayo fursa ya kuhesabu kigezo kisichojulikana kilichopatikana katika mlinganyo wa mwisho. Kwa msaada wake, tunapata tofauti inayofuata isiyojulikana kutoka kwa equation ya mwisho, na kadhalika. Mchakato wa kutafuta mlolongo wa vigezo visivyojulikana wakati wa kusonga kutoka kwa equation ya mwisho hadi ya kwanza inaitwa kinyume cha njia ya Gaussian.

Ikumbukwe kwamba tunapoelezea x 1 kwa suala la x 2 na x 3 katika equation ya kwanza, na kisha kubadilisha usemi unaosababishwa katika equation ya pili na ya tatu, vitendo vifuatavyo husababisha matokeo sawa:

Hakika, utaratibu kama huo pia hufanya iwezekanavyo kuondoa tofauti isiyojulikana x 1 kutoka kwa hesabu ya pili na ya tatu ya mfumo:

Nuances na uondoaji wa vigeu visivyojulikana kwa kutumia njia ya Gaussian hutokea wakati milinganyo ya mfumo haina baadhi ya vigezo.

Kwa mfano, katika SLAU katika equation ya kwanza hakuna variable haijulikani x 1 (kwa maneno mengine, mgawo mbele yake ni sifuri). Kwa hivyo, hatuwezi kutatua equation ya kwanza ya mfumo kwa x 1 ili kuondoa tofauti hii isiyojulikana kutoka kwa milinganyo iliyobaki. Njia ya nje ya hali hii ni kubadilishana milinganyo ya mfumo. Kwa kuwa tunazingatia mifumo ya milinganyo ya mstari ambayo viambatisho vya hesabu kuu ni tofauti na sifuri, daima kuna mlinganyo ambapo kigezo tunachohitaji kipo, na tunaweza kupanga upya mlingano huu kwa nafasi tunayohitaji. Kwa mfano wetu, inatosha kubadilishana equations ya kwanza na ya pili ya mfumo , basi unaweza kutatua equation ya kwanza ya x 1 na kuitenga kutoka kwa milinganyo iliyobaki ya mfumo (ingawa x 1 haipo tena katika mlinganyo wa pili).

Tunatumai umepata kiini.

Hebu tueleze Algorithm ya njia ya Gaussian.

Tuseme tunahitaji kusuluhisha mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari na n vijiumbe visivyojulikana vya fomu. , na acha kibainishi cha matrix yake kuu kiwe tofauti na sifuri.

Tutadhani kwamba, kwa kuwa tunaweza kufikia hili kila wakati kwa kupanga upya milinganyo ya mfumo. Wacha tuondoe tofauti isiyojulikana x 1 kutoka kwa hesabu zote za mfumo, kuanzia na ya pili. Ili kufanya hivyo, kwa equation ya pili ya mfumo tunaongeza ya kwanza, imeongezeka kwa , kwa equation ya tatu tunaongeza ya kwanza, iliyozidishwa na , na kadhalika, kwa equation ya nth tunaongeza ya kwanza, iliyozidishwa na . Mfumo wa equations baada ya mabadiliko hayo utachukua fomu

wapi na .

Tungefikia matokeo sawa ikiwa tungeonyesha x 1 kulingana na vigeu vingine visivyojulikana katika mlingano wa kwanza wa mfumo na kubadilisha usemi unaotokana na milinganyo mingine yote. Kwa hivyo, tofauti x 1 haijajumuishwa kutoka kwa milinganyo yote, kuanzia ya pili.

Ifuatayo, tunaendelea kwa njia ile ile, lakini tu na sehemu ya mfumo unaosababishwa, ambao umewekwa alama kwenye takwimu

Ili kufanya hivyo, kwa equation ya tatu ya mfumo tunaongeza pili, kuzidishwa na , kwa equation ya nne tunaongeza pili, kuzidishwa na , na kadhalika, kwa equation ya nth tunaongeza pili, kuongezeka kwa . Mfumo wa equations baada ya mabadiliko hayo utachukua fomu

wapi na . Kwa hivyo, tofauti x 2 haijajumuishwa kutoka kwa milinganyo yote, kuanzia ya tatu.

Ifuatayo, tunaendelea na kuondoa haijulikani x 3, wakati tunafanya vivyo hivyo na sehemu ya mfumo iliyowekwa kwenye takwimu.

Kwa hivyo tunaendelea maendeleo ya moja kwa moja ya njia ya Gaussian hadi mfumo uchukue fomu

Kuanzia wakati huu tunaanza kinyume cha njia ya Gaussian: tunahesabu x n kutoka kwa equation ya mwisho kama , kwa kutumia thamani iliyopatikana ya x n tunapata x n-1 kutoka kwa equation ya penultimate, na kadhalika, tunapata x 1 kutoka kwa equation ya kwanza. .

Wacha tuangalie algorithm kwa kutumia mfano.

Mfano.

Njia ya Gauss.

Suluhisho.

Mgawo wa 11 sio sifuri, kwa hivyo hebu tuendelee kwenye uendelezaji wa moja kwa moja wa njia ya Gaussian, ambayo ni, kwa kuwatenga tofauti isiyojulikana x 1 kutoka kwa milinganyo yote ya mfumo isipokuwa ya kwanza. Ili kufanya hivyo, kwa upande wa kushoto na wa kulia wa equations ya pili, ya tatu na ya nne, ongeza pande za kushoto na za kulia za equation ya kwanza, iliyozidishwa na, kwa mtiririko huo. Na:

Tofauti isiyojulikana x 1 imeondolewa, wacha tuendelee kuondoa x 2 . Kwa pande za kushoto na kulia za equation ya tatu na ya nne ya mfumo tunaongeza pande za kushoto na za kulia za equation ya pili, ikizidishwa kwa mtiririko huo. Na :

Ili kukamilisha uendelezaji wa njia ya Gaussian, tunahitaji kuondoa tofauti isiyojulikana x 3 kutoka kwa mlingano wa mwisho wa mfumo. Wacha tuongeze kwa pande za kushoto na kulia za equation ya nne, mtawaliwa, pande za kushoto na kulia za equation ya tatu, iliyozidishwa na :

Unaweza kuanza kinyume cha njia ya Gaussian.

Kutoka kwa equation ya mwisho tunayo ,
kutoka kwa equation ya tatu tunapata,
kutoka kwa pili,
kutoka kwa wa kwanza.

Ili kuangalia, unaweza kubadilisha maadili yaliyopatikana ya vijiti visivyojulikana kwenye mfumo wa asili wa hesabu. Equations zote zinageuka kuwa utambulisho, ambayo inaonyesha kuwa suluhisho kwa kutumia njia ya Gauss ilipatikana kwa usahihi.

Jibu:

Sasa hebu tutoe suluhisho kwa mfano huo kwa kutumia njia ya Gaussian katika nukuu ya matrix.

Mfano.

Pata suluhisho la mfumo wa equations Njia ya Gauss.

Suluhisho.

Matrix iliyopanuliwa ya mfumo ina fomu . Juu ya kila safu kuna vigeu visivyojulikana vinavyoendana na vipengele vya matrix.

Njia ya moja kwa moja ya njia ya Gaussian hapa inahusisha kupunguza matrix iliyopanuliwa ya mfumo kwa fomu ya trapezoidal kwa kutumia mabadiliko ya msingi. Utaratibu huu ni sawa na uondoaji wa vigezo visivyojulikana ambavyo tulifanya na mfumo katika fomu ya kuratibu. Sasa utaona hii.

Wacha tubadilishe matrix ili vitu vyote kwenye safu ya kwanza, kuanzia ya pili, ziwe sifuri. Ili kufanya hivyo, kwa vipengele vya mstari wa pili, wa tatu na wa nne tunaongeza vipengele vinavyolingana vya mstari wa kwanza uliozidishwa na , na ipasavyo:

Ifuatayo, tunabadilisha matrix inayosababisha ili kwenye safu ya pili vitu vyote, kuanzia ya tatu, ziwe sifuri. Hii inaweza kuendana na kuondoa tofauti isiyojulikana x 2 . Ili kufanya hivyo, kwa vipengele vya safu ya tatu na ya nne tunaongeza vipengele vinavyolingana vya safu ya kwanza ya matrix, iliyozidishwa kwa mtiririko huo. Na :

Inabakia kuwatenga tofauti isiyojulikana x 3 kutoka kwa equation ya mwisho ya mfumo. Ili kufanya hivyo, kwa vipengele vya safu ya mwisho ya matrix inayosababisha tunaongeza vipengele vinavyolingana vya safu ya mwisho, iliyozidishwa na. :

Ikumbukwe kwamba matrix hii inalingana na mfumo wa usawa wa mstari

ambayo ilipatikana mapema baada ya kusonga mbele.

Ni wakati wa kugeuka nyuma. Katika nukuu ya matrix, kinyume cha njia ya Gaussian inahusisha kubadilisha matrix inayosababisha ili matrix iliyowekwa alama kwenye takwimu.

akawa diagonal, yaani, alichukua fomu

nambari ziko wapi.

Mabadiliko haya ni sawa na mabadiliko ya mbele ya njia ya Gaussian, lakini hayafanyiki kutoka kwa mstari wa kwanza hadi wa mwisho, lakini kutoka kwa mwisho hadi wa kwanza.

Ongeza kwa vipengele vya mstari wa tatu, wa pili na wa kwanza vipengele vinavyolingana vya mstari wa mwisho, unaozidishwa na , na kuendelea kwa mtiririko huo:

Sasa ongeza kwa vipengele vya mstari wa pili na wa kwanza vipengele vinavyolingana vya mstari wa tatu, unaozidishwa na na kwa, kwa mtiririko huo:

Katika hatua ya mwisho ya njia ya nyuma ya Gaussian, kwa vitu vya safu ya kwanza tunaongeza vitu vinavyolingana vya safu ya pili, ikizidishwa na:

Matrix inayotokana inalingana na mfumo wa equations , kutoka ambapo tunapata vigezo visivyojulikana.

Jibu:

KUMBUKA.

Unapotumia njia ya Gauss kutatua mifumo ya milinganyo ya algebra ya mstari, mahesabu ya takriban yanapaswa kuepukwa, kwani hii inaweza kusababisha matokeo yasiyo sahihi kabisa. Tunapendekeza kutozungusha desimali. Ni bora kuhama kutoka kwa sehemu za decimal kwenda kwa sehemu za kawaida.

Mfano.

Tatua mfumo wa milinganyo mitatu kwa kutumia mbinu ya Gauss .

Suluhisho.

Kumbuka kwamba katika mfano huu vigezo visivyojulikana vina sifa tofauti (si x 1, x 2, x 3, lakini x, y, z). Wacha tuendelee kwenye sehemu za kawaida:

Wacha tuondoe x isiyojulikana kutoka kwa hesabu za pili na tatu za mfumo:

Katika mfumo unaosababisha, tofauti isiyojulikana y haipo katika equation ya pili, lakini y iko katika equation ya tatu, kwa hiyo, hebu tubadilishane hesabu za pili na tatu:

Hii inakamilisha uendelezaji wa moja kwa moja wa njia ya Gauss (hakuna haja ya kuwatenga y kutoka kwa mlinganyo wa tatu, kwani utofauti huu usiojulikana haupo tena).

Wacha tuanze harakati ya kurudi nyuma.

Kutoka kwa equation ya mwisho tunapata ,
kutoka mwisho

kutoka kwa mlinganyo wa kwanza tulionao

Jibu:

X = 10, y = 5, z = -20.

Mifumo ya utatuzi ya milinganyo ya aljebra ya mstari ambayo idadi ya milinganyo haiwiani na idadi ya zisizojulikana au matriki kuu ya mfumo ni ya umoja, kwa kutumia mbinu ya Gauss.

Mifumo ya milinganyo, matrix kuu ambayo ni mstatili au umoja wa mraba, inaweza kuwa haina suluhu, inaweza kuwa na suluhisho moja, au inaweza kuwa na idadi isiyo na kikomo ya suluhisho.

Sasa tutaelewa jinsi njia ya Gauss inaruhusu sisi kuanzisha utangamano au kutofautiana kwa mfumo wa equations linear, na katika kesi ya utangamano wake, kuamua ufumbuzi wote (au suluhisho moja).

Kimsingi, mchakato wa kuondoa vigezo visivyojulikana katika kesi ya SLAEs vile unabaki sawa. Walakini, inafaa kwenda kwa undani juu ya hali zingine ambazo zinaweza kutokea.

Wacha tuendelee kwenye hatua muhimu zaidi.

Kwa hivyo, wacha tufikirie kuwa mfumo wa milinganyo ya algebraic ya mstari, baada ya kukamilisha uendelezaji wa njia ya Gauss, inachukua fomu. na hakuna equation moja iliyopunguzwa hadi (katika kesi hii tungehitimisha kuwa mfumo hauendani). Swali la kimantiki linatokea: "Nini cha kufanya baadaye"?

Wacha tuandike vijiti visivyojulikana ambavyo huja kwanza katika hesabu zote za mfumo unaosababishwa:

Katika mfano wetu hizi ni x 1, x 4 na x 5. Kwenye pande za kushoto za equations za mfumo tunaacha maneno hayo tu ambayo yana vijiti visivyojulikana x 1, x 4 na x 5, maneno yaliyobaki huhamishiwa upande wa kulia wa hesabu na ishara tofauti:

Wacha tupe vijiti visivyojulikana ambavyo viko kwenye pande za kulia za maadili ya kiholela, ambapo - nambari za kiholela:

Baada ya hayo, pande za kulia za milinganyo yote ya SLAE yetu ina nambari na tunaweza kuendelea kinyume cha njia ya Gaussian.

Kutoka kwa equation ya mwisho ya mfumo tunayo, kutoka kwa equation ya mwisho tunayopata, kutoka kwa equation ya kwanza tunayopata.

Suluhisho la mfumo wa equations ni seti ya maadili ya vigezo visivyojulikana

Kutoa Nambari maadili tofauti, tutapata suluhisho tofauti kwa mfumo wa milinganyo. Hiyo ni, mfumo wetu wa milinganyo una masuluhisho mengi sana.

Jibu:

Wapi - nambari za kiholela.

Ili kuunganisha nyenzo, tutachambua kwa undani ufumbuzi wa mifano kadhaa zaidi.

Mfano.

Tatua mfumo wa usawa wa milinganyo ya aljebra ya mstari Njia ya Gauss.

Suluhisho.

Wacha tuwatenge tofauti isiyojulikana x kutoka kwa milinganyo ya pili na ya tatu ya mfumo. Ili kufanya hivyo, kwa upande wa kushoto na kulia wa equation ya pili, tunaongeza, kwa mtiririko huo, pande za kushoto na za kulia za equation ya kwanza, iliyozidishwa na , na kwa upande wa kushoto na wa kulia wa equation ya tatu, tunaongeza kushoto na kushoto. pande za kulia za mlingano wa kwanza, zikizidishwa na:

Sasa hebu tuondoe y kutoka kwa equation ya tatu ya mfumo unaosababisha wa equations:

SLAE inayotokana ni sawa na mfumo .

Tunaacha upande wa kushoto wa milinganyo ya mfumo tu masharti yaliyo na vigezo visivyojulikana x na y, na kusonga masharti na kutofautiana haijulikani z kwa upande wa kulia:

Njia ya Gaussian, pia inaitwa njia ya kuondoa kwa mlolongo wa haijulikani, ni kama ifuatavyo. Kutumia mabadiliko ya kimsingi, mfumo wa hesabu za mstari huletwa kwa fomu ambayo matrix yake ya mgawo inageuka kuwa. trapezoidal (sawa na triangular au kupitiwa) au karibu na trapezoidal (kiharusi cha moja kwa moja cha njia ya Gaussian, baada ya hapo - kiharusi cha moja kwa moja). Mfano wa mfumo huo na ufumbuzi wake ni katika takwimu hapo juu.

Katika mfumo kama huo, mlinganyo wa mwisho una kigezo kimoja tu na thamani yake inaweza kupatikana bila utata. Thamani ya utaftaji huu basi inabadilishwa kuwa equation iliyotangulia ( kinyume cha njia ya Gaussian , basi tu kinyume chake), ambayo tofauti ya awali inapatikana, na kadhalika.

Katika mfumo wa trapezoidal (triangular), kama tunavyoona, equation ya tatu haina tena vigezo. y Na x, na equation ya pili ni kutofautiana x .

Baada ya matrix ya mfumo imechukua sura ya trapezoidal, si vigumu tena kuelewa suala la utangamano wa mfumo, kuamua idadi ya ufumbuzi na kupata ufumbuzi wenyewe.

Faida za mbinu:

wakati wa kusuluhisha mifumo ya milinganyo ya mstari yenye zaidi ya milinganyo mitatu na isiyojulikana, njia ya Gauss si ngumu kama mbinu ya Cramer, kwani kusuluhisha kwa njia ya Gauss kunahitaji mahesabu machache;
njia ya Gauss inaweza kutatua mifumo isiyojulikana ya equations za mstari, yaani, kuwa na suluhisho la jumla (na tutachambua katika somo hili), na kwa kutumia njia ya Cramer, tunaweza kusema tu kwamba mfumo haujajulikana;
unaweza kutatua mifumo ya milinganyo ya mstari ambayo idadi ya haijulikani si sawa na idadi ya equations (tutazichambua pia katika somo hili);
Njia hiyo inategemea njia za msingi (shule) - njia ya kubadilisha haijulikani na njia ya kuongeza hesabu, ambayo tuligusa katika nakala inayolingana.

Ili kila mtu aelewe unyenyekevu ambao mifumo ya trapezoidal (pembe tatu, hatua) ya milinganyo ya mstari hutatuliwa, tunawasilisha suluhisho kwa mfumo kama huo kwa kutumia mwendo wa nyuma. Suluhisho la haraka la mfumo huu lilionyeshwa kwenye picha mwanzoni mwa somo.

Mfano 1. Tatua mfumo wa milinganyo ya mstari kwa kutumia kinyume:

Suluhisho. Katika mfumo huu wa trapezoidal kutofautiana z inaweza kupatikana kwa njia ya kipekee kutoka kwa mlinganyo wa tatu. Tunabadilisha thamani yake katika equation ya pili na kupata thamani ya kutofautiana y:

Sasa tunajua maadili ya vigezo viwili - z Na y. Tunazibadilisha katika equation ya kwanza na kupata thamani ya kutofautiana x:

Kutoka kwa hatua zilizopita tunaandika suluhisho la mfumo wa equations:

Ili kupata mfumo kama huu wa trapezoidal wa equations za mstari, ambazo tulitatua kwa urahisi sana, ni muhimu kutumia kiharusi cha mbele kinachohusishwa na mabadiliko ya msingi ya mfumo wa equations za mstari. Pia sio ngumu sana.

Mabadiliko ya kimsingi ya mfumo wa milinganyo ya mstari

Kurudia njia ya shule ya kuongeza hesabu za mfumo kwa algebra, tuligundua kuwa kwa moja ya hesabu za mfumo tunaweza kuongeza equation nyingine ya mfumo, na kila hesabu inaweza kuzidishwa na nambari kadhaa. Kwa hivyo, tunapata mfumo wa milinganyo ya mstari sawa na huu. Ndani yake, equation moja tayari ina tofauti moja tu, ikibadilisha thamani ambayo ndani ya milinganyo mingine, tunapata suluhisho. Nyongeza kama hiyo ni moja wapo ya aina ya mabadiliko ya kimsingi ya mfumo. Wakati wa kutumia njia ya Gaussian, tunaweza kutumia aina kadhaa za mabadiliko.

Uhuishaji hapo juu unaonyesha jinsi mfumo wa milinganyo unageuka hatua kwa hatua kuwa trapezoidal. Hiyo ni, ile ambayo uliona kwenye uhuishaji wa kwanza kabisa na ukajihakikishia kuwa ni rahisi kupata maadili ya yote yasiyojulikana kutoka kwake. Jinsi ya kufanya mabadiliko kama haya na, kwa kweli, mifano itajadiliwa zaidi.

Wakati wa kutatua mifumo ya hesabu za mstari na idadi yoyote ya equations na haijulikani katika mfumo wa equations na katika matrix iliyopanuliwa ya mfumo. Je!:

panga upya mistari (hii ilitajwa mwanzoni mwa kifungu hiki);
ikiwa mabadiliko mengine husababisha safu sawa au za uwiano, zinaweza kufutwa, isipokuwa moja;
ondoa safu za "sifuri" ambapo coefficients zote ni sawa na sifuri;
kuzidisha au kugawanya kamba yoyote kwa nambari fulani;
kwa mstari wowote ongeza mstari mwingine, unaozidishwa na nambari fulani.

Kama matokeo ya mabadiliko, tunapata mfumo wa milinganyo ya mstari sawa na huu.

Algorithm na mifano ya kutatua mfumo wa milinganyo ya mstari na matrix ya mraba ya mfumo kwa kutumia njia ya Gauss.

Wacha kwanza tuzingatie utatuzi wa mifumo ya milinganyo ya mstari ambayo idadi ya haijulikani ni sawa na idadi ya milinganyo. Matrix ya mfumo kama huo ni mraba, ambayo ni, idadi ya safu ndani yake ni sawa na idadi ya safu.

Mfano 2. Tatua mfumo wa milinganyo ya mstari kwa kutumia mbinu ya Gauss

Wakati wa kusuluhisha mifumo ya milinganyo ya mstari kwa kutumia mbinu za shule, tulizidisha neno moja la milinganyo kwa neno na nambari fulani, ili vigawo vya kigezo cha kwanza katika milinganyo miwili viwe nambari kinyume. Wakati wa kuongeza equations, tofauti hii huondolewa. Njia ya Gauss inafanya kazi vivyo hivyo.

Ili kurahisisha kuonekana kwa suluhisho wacha tuunde matrix iliyopanuliwa ya mfumo:

Katika tumbo hili, coefficients ya haijulikani iko upande wa kushoto kabla ya mstari wa wima, na masharti ya bure iko upande wa kulia baada ya mstari wa wima.

Kwa urahisi wa kugawanya mgawo kwa anuwai (kupata mgawanyiko kwa umoja) Wacha tubadilishane safu ya kwanza na ya pili ya matrix ya mfumo. Tunapata mfumo sawa na huu, kwa kuwa katika mfumo wa milinganyo ya mstari milinganyo inaweza kubadilishwa:

Kwa kutumia mlingano mpya wa kwanza kuondokana na kutofautiana x kutoka kwa milinganyo ya pili na yote inayofuata. Ili kufanya hivyo, kwa safu ya pili ya matrix tunaongeza safu ya kwanza iliyozidishwa na (kwa upande wetu na ), hadi safu ya tatu - safu ya kwanza iliyozidishwa na (kwa upande wetu na).

Hili linawezekana kwa sababu

Iwapo kungekuwa na zaidi ya milinganyo mitatu katika mfumo wetu, basi tungelazimika kuongeza kwenye milinganyo yote inayofuata mstari wa kwanza, unaozidishwa na uwiano wa migawo inayolingana, iliyochukuliwa kwa ishara ya kutoa.

Kama matokeo, tunapata matrix sawa na mfumo huu wa mfumo mpya wa equations, ambapo milinganyo yote, kuanzia ya pili. usiwe na kigezo x :

Ili kurahisisha safu ya pili ya mfumo unaosababishwa, zidisha na tena pata matrix ya mfumo wa equations sawa na mfumo huu:

Sasa, kuweka equation ya kwanza ya mfumo unaosababishwa bila kubadilika, kwa kutumia equation ya pili tunaondoa kutofautisha y kutoka kwa milinganyo yote inayofuata. Ili kufanya hivyo, kwa safu ya tatu ya matrix ya mfumo tunaongeza safu ya pili, iliyozidishwa na (kwa upande wetu na).

Iwapo kungekuwa na zaidi ya milinganyo mitatu katika mfumo wetu, basi tungelazimika kuongeza mstari wa pili kwa milinganyo yote inayofuata, ikizidishwa na uwiano wa migawo inayolingana iliyochukuliwa kwa ishara ya kutoa.

Kama matokeo, tunapata tena matrix ya mfumo sawa na mfumo huu wa milinganyo ya mstari:

Tumepata mfumo sawa wa trapezoidal wa milinganyo ya mstari:

Ikiwa idadi ya milinganyo na vigeu ni kubwa kuliko katika mfano wetu, basi mchakato wa kuondoa vigeu kwa mpangilio unaendelea hadi matriki ya mfumo inakuwa trapezoidal, kama ilivyo katika mfano wetu wa onyesho.

Tutapata suluhisho "kutoka mwisho" - hoja ya nyuma. Kwa hii; kwa hili kutoka kwa equation ya mwisho tunayoamua z:
.
Kubadilisha thamani hii katika mlinganyo uliopita, tutapata y:

Kutoka kwa equation ya kwanza tutapata x:

Jibu: suluhisho la mfumo huu wa milinganyo ni .

: katika kesi hii jibu sawa litatolewa ikiwa mfumo una suluhisho la kipekee. Ikiwa mfumo una idadi isiyo na kipimo ya ufumbuzi, basi hii itakuwa jibu, na hii ndiyo somo la sehemu ya tano ya somo hili.

Tatua mfumo wa milinganyo ya mstari kwa kutumia njia ya Gaussian mwenyewe, na kisha uangalie suluhisho

Hapa tena tuna mfano wa mfumo thabiti na wa uhakika wa milinganyo ya mstari, ambapo idadi ya milinganyo ni sawa na idadi ya zisizojulikana. Tofauti kutoka kwa mfano wetu wa onyesho kutoka kwa algorithm ni kwamba tayari kuna milinganyo minne na nne zisizojulikana.

Mfano 4. Tatua mfumo wa milinganyo ya mstari kwa kutumia njia ya Gauss:

Sasa unahitaji kutumia equation ya pili ili kuondoa kutofautisha kutoka kwa hesabu zinazofuata. Wacha tufanye kazi ya maandalizi. Ili kuifanya iwe rahisi zaidi na uwiano wa coefficients, unahitaji kupata moja kwenye safu ya pili ya safu ya pili. Ili kufanya hivyo, toa ya tatu kutoka kwa mstari wa pili, na kuzidisha mstari wa pili unaosababishwa na -1.

Hebu sasa tufanye uondoaji halisi wa kutofautiana kutoka kwa equation ya tatu na ya nne. Ili kufanya hivyo, ongeza mstari wa pili, ukizidishwa na , hadi mstari wa tatu, na wa pili, umeongezeka kwa , hadi mstari wa nne.

Sasa, kwa kutumia equation ya tatu, tunaondoa kutofautiana kutoka kwa equation ya nne. Ili kufanya hivyo, ongeza mstari wa tatu kwenye mstari wa nne, ukizidishwa na. Tunapata matrix ya trapezoidal iliyopanuliwa.

Tulipata mfumo wa milinganyo ambao mfumo uliotolewa ni sawa:

Kwa hivyo, mifumo inayotokana na iliyotolewa inaendana na ya uhakika. Tunapata suluhisho la mwisho "kutoka mwisho". Kutoka kwa mlinganyo wa nne tunaweza kueleza moja kwa moja thamani ya kutofautisha "x-nne":

Tunabadilisha thamani hii katika equation ya tatu ya mfumo na kupata

Hatimaye, badala ya thamani

Equation ya kwanza inatoa

tunapata wapi "x kwanza":

Jibu: mfumo huu wa milinganyo una suluhisho la kipekee .

Unaweza pia kuangalia suluhisho la mfumo kwenye calculator kwa kutumia njia ya Cramer: katika kesi hii, jibu sawa litatolewa ikiwa mfumo una ufumbuzi wa pekee.

Kutatua matatizo yaliyotumika kwa kutumia njia ya Gauss kwa kutumia mfano wa tatizo kwenye aloi

Mifumo ya milinganyo ya mstari hutumiwa kuiga vitu halisi katika ulimwengu wa kimwili. Hebu kutatua moja ya matatizo haya - aloi. Shida zinazofanana ni shida kwenye mchanganyiko, gharama au sehemu ya bidhaa za kibinafsi katika kundi la bidhaa, na kadhalika.

Mfano 5. Vipande vitatu vya aloi vina uzito wa kilo 150. Aloi ya kwanza ina 60% ya shaba, ya pili - 30%, ya tatu - 10%. Zaidi ya hayo, katika aloi za pili na za tatu zilizochukuliwa pamoja kuna kilo 28.4 chini ya shaba kuliko katika aloi ya kwanza, na katika aloi ya tatu kuna kilo 6.2 chini ya shaba kuliko ya pili. Pata wingi wa kila kipande cha aloi.

Suluhisho. Tunaunda mfumo wa milinganyo ya mstari:

Tunazidisha milinganyo ya pili na ya tatu kwa 10, tunapata mfumo sawa wa milinganyo ya mstari:

Tunaunda matrix iliyopanuliwa ya mfumo:

Tahadhari, moja kwa moja mbele. Kwa kuongeza (kwa upande wetu, kutoa) safu moja iliyozidishwa na nambari (tunaitumia mara mbili), mabadiliko yafuatayo hufanyika na matrix iliyopanuliwa ya mfumo:

Hatua ya moja kwa moja imekwisha. Tulipata matrix ya trapezoidal iliyopanuliwa.

Tunatumia hoja ya nyuma. Tunapata suluhisho kutoka mwisho. Tunaona hilo.

Kutoka kwa equation ya pili tunapata

Kutoka kwa equation ya tatu -

Unaweza pia kuangalia suluhisho la mfumo kwenye calculator kwa kutumia njia ya Cramer: katika kesi hii, jibu sawa litatolewa ikiwa mfumo una ufumbuzi wa pekee.

Urahisi wa njia ya Gauss inathibitishwa na ukweli kwamba ilimchukua mwanahisabati wa Ujerumani Carl Friedrich Gauss dakika 15 tu kuivumbua. Mbali na njia iliyopewa jina lake, msemo "Hatupaswi kuchanganya kile kinachoonekana kuwa cha kushangaza na kisicho cha asili kwetu na kisichowezekana kabisa" kinajulikana kutoka kwa kazi za Gauss - aina ya maagizo mafupi juu ya uvumbuzi.

Katika matatizo mengi yaliyotumiwa kunaweza kuwa hakuna kizuizi cha tatu, yaani, equation ya tatu, basi unapaswa kutatua mfumo wa equations mbili na haijulikani tatu kwa kutumia njia ya Gaussian, au, kinyume chake, kuna wachache wasiojulikana kuliko equations. Sasa tutaanza kutatua mifumo kama hii ya milinganyo.

Kwa kutumia mbinu ya Gaussian, unaweza kubaini ikiwa mfumo wowote unaafikiana au hauoani n milinganyo ya mstari na n vigezo.

Mbinu ya Gauss na mifumo ya milinganyo ya mstari yenye idadi isiyo na kikomo ya suluhu

Mfano unaofuata ni mfumo thabiti lakini usio na kipimo wa milinganyo ya mstari, yaani, kuwa na idadi isiyo na kikomo ya suluhu.

Baada ya kufanya mabadiliko katika matrix iliyopanuliwa ya mfumo (kupanga upya safu, kuzidisha na kugawanya safu kwa nambari fulani, na kuongeza nyingine kwenye safu moja), safu za fomu zinaweza kuonekana.

Ikiwa katika milinganyo yote ina fomu

Maneno ya bure ni sawa na sifuri, hii ina maana kwamba mfumo ni wa muda usiojulikana, yaani, una idadi isiyo na kipimo ya ufumbuzi, na equations ya aina hii ni "superfluous" na tunawatenga kutoka kwenye mfumo.

Mfano 6.

Suluhisho. Wacha tuunda matrix iliyopanuliwa ya mfumo. Kisha, kwa kutumia equation ya kwanza, tunaondoa kutofautiana kutoka kwa usawa unaofuata. Ili kufanya hivyo, ongeza kwa mstari wa pili, wa tatu na wa nne wa kwanza, ukizidishwa na:

Sasa hebu tuongeze mstari wa pili kwa tatu na nne.

Matokeo yake, tunafika kwenye mfumo

Milinganyo miwili ya mwisho iligeuka kuwa milinganyo ya fomu. Milinganyo hii imeridhika kwa thamani yoyote ya zisizojulikana na inaweza kutupwa.

Ili kukidhi mlinganyo wa pili, tunaweza kuchagua thamani kiholela za na , kisha thamani yake itabainishwa kipekee: . Kutoka kwa equation ya kwanza thamani ya pia inapatikana kwa kipekee: .

Mifumo iliyopewa na ya mwisho ni thabiti, lakini haina uhakika, na fomula

kwa kiholela na kutupa suluhisho zote za mfumo fulani.

Njia ya Gauss na mifumo ya milinganyo ya mstari bila suluhu

Mfano unaofuata ni mfumo usiolingana wa milinganyo ya mstari, yaani, ule ambao hauna suluhu. Jibu la matatizo hayo limeundwa kwa njia hii: mfumo hauna ufumbuzi.

Kama ilivyoelezwa tayari kuhusiana na mfano wa kwanza, baada ya kufanya mabadiliko, safu za fomu zinaweza kuonekana kwenye matrix iliyopanuliwa ya mfumo.

sambamba na mlinganyo wa fomu

Ikiwa kati yao kuna angalau equation moja na neno la bure la nonzero (yaani), basi mfumo huu wa equations haufanani, yaani, hauna ufumbuzi na ufumbuzi wake umekamilika.

Mfano 7. Tatua mfumo wa milinganyo ya mstari kwa kutumia njia ya Gauss:

Suluhisho. Tunaunda matrix iliyopanuliwa ya mfumo. Kwa kutumia equation ya kwanza, tunatenga tofauti kutoka kwa milinganyo inayofuata. Ili kufanya hivyo, ongeza mstari wa kwanza uliozidishwa na mstari wa pili, mstari wa kwanza ulizidishwa na mstari wa tatu, na mstari wa kwanza ukiongezeka kwa mstari wa nne.

Sasa unahitaji kutumia equation ya pili ili kuondoa kutofautisha kutoka kwa hesabu zinazofuata. Ili kupata uwiano kamili wa coefficients, tunabadilisha safu ya pili na ya tatu ya matrix iliyopanuliwa ya mfumo.

Ili kuwatenga milinganyo ya tatu na ya nne, ongeza ya pili iliyozidishwa na , hadi mstari wa tatu, na ya pili ikizidishwa na , hadi mstari wa nne.

Sasa, kwa kutumia equation ya tatu, tunaondoa kutofautiana kutoka kwa equation ya nne. Ili kufanya hivyo, ongeza mstari wa tatu kwenye mstari wa nne, ukizidishwa na.

Kwa hivyo, mfumo uliotolewa ni sawa na ufuatao:

Mfumo unaosababishwa hauendani, kwani equation yake ya mwisho haiwezi kuridhika na maadili yoyote ya haijulikani. Kwa hiyo, mfumo huu hauna ufumbuzi.

2. Marekebisho ya njia ya Gauss

Njia ya Gaussian na uteuzi wa kipengele kikuu. Kizuizi kikuu cha njia ya Gauss ni dhana kwamba vitu vyote ambavyo mgawanyiko hufanywa kwa kila hatua ya mbele sio sawa na sifuri. Vitu hivi huitwa vitu kuu na viko kwenye diagonal kuu ya matrix A.

Ikiwa katika hatua fulani ya kusonga mbele kipengele kikuu = 0, basi ufumbuzi zaidi wa mfumo hauwezekani. Ikiwa kipengele kikuu kina thamani ndogo, karibu na sifuri, basi ongezeko kubwa la kosa linawezekana kutokana na ongezeko kubwa la thamani kamili ya coefficients iliyopatikana kutokana na mgawanyiko. Katika hali kama hizi, njia ya Gaussian inakuwa thabiti.

Njia ya Gauss na uchaguzi wa kipengele kikuu inaruhusu sisi kuwatenga tukio la kesi hizo.

Wazo la njia hii ni kama ifuatavyo. Katika hatua fulani ya kth ya mwendo wa kusonga mbele, si kigezo kifuatacho chenye nambari x k ambacho hakijumuishwi kutoka kwa milinganyo, lakini kigezo ambacho mgawo wake ndio mkubwa zaidi katika thamani kamili. Hii inahakikisha kuwa hakuna mgawanyiko kwa sifuri na kwamba njia inabaki thabiti.

Ikiwa katika hatua ya kth ¹ imechaguliwa kama kipengele kikuu, basi kwenye matrix A¢ safu mlalo zenye nambari k na p na safu wima zenye nambari k na q lazima zibadilishwe.

Kupanga upya safu hakuathiri suluhu, kwani inalingana na kugeuza milinganyo kwenye mfumo, lakini kupanga upya safu kunamaanisha kubadilisha hesabu za vigeu. Kwa hiyo, taarifa kuhusu nguzo zote zilizopangwa upya lazima zihifadhiwe ili baada ya kukamilika kwa hoja ya nyuma, nambari za awali za vigezo zinaweza kurejeshwa.

Kuna marekebisho mawili rahisi ya njia ya Gauss:

Kwa uteuzi wa kipengele kikuu kwa safu;

Kwa uteuzi wa kipengele kikuu kwa mstari.

Katika kesi ya kwanza, kipengele kikubwa zaidi katika thamani kamili ya safu ya kth (kati ya vipengele , i = ) huchaguliwa kama kipengele kikuu. Katika pili - kipengele kikubwa zaidi katika thamani kamili ya safu ya kth (kati ya vipengele, i =). Njia ya kwanza imeenea zaidi, kwani hesabu ya vigeu haibadilika hapa.

Ikumbukwe kwamba marekebisho haya yanatumika tu kwa mwendo wa mbele wa njia ya Gaussian. Hatua ya nyuma inafanywa bila mabadiliko, lakini baada ya kupata suluhisho, inaweza kuwa muhimu kurejesha nambari za awali za vigezo.

mtengano wa LU. Katika programu ya kisasa ya kompyuta, njia ya Gauss inatekelezwa kwa kutumia mtengano wa LU, ambayo inaeleweka kama inawakilisha matrix ya mgawo A kama bidhaa A = LU ya matrices mbili L na U, ambapo L ni matrix ya chini ya triangular, U ni tumbo la juu la triangular.

Ikiwa upanuzi wa LU unapatikana, basi suluhisho la mfumo wa awali wa equations (2) hupunguzwa kwa ufumbuzi wa mfululizo wa mifumo miwili ifuatayo ya equations na matrices ya mgawo wa triangular.

mstari wa mlingano wa aljebra wa nambari

ambapo Y = ni vekta ya viambajengo vya msaidizi.

Njia hii inakuwezesha kutatua mara kwa mara mifumo ya equations ya mstari na pande tofauti za kulia B. Katika kesi hii, sehemu ya kazi kubwa zaidi (mtengano wa LU wa matrix A) unafanywa mara moja tu. Utaratibu huu unalingana na mwendo wa mbele wa njia ya Gaussian na ina makadirio ya utata ya O(n 3). Suluhisho zaidi la mifumo ya equations (6) na (7) inaweza kufanywa mara nyingi (kwa B tofauti), na suluhisho la kila moja yao inalingana na utofauti wa njia ya Gaussian na ina makadirio ya ugumu wa hesabu ya O (n 2). )

Ili kupata mtengano wa LU, unaweza kutumia algorithm ifuatayo.

1. Kwa mfumo wa asili (1), fanya uendelezaji wa mbele wa njia ya Gaussian na upate mfumo wa milinganyo ya pembe tatu (5).

2. Kuamua vipengele vya matrix U kulingana na utawala

u ij = C ij (i =; j =)

3. Kuhesabu vipengele vya matrix L kulingana na sheria

Njia za hesabu za mfumo wa utatuzi (6) zina fomu ifuatayo:

y 1 = b 1 / l 11;

Njia za kuhesabu za mfumo wa utatuzi (7)

(i = n - 1, n - 2, ..., 1).

Wakati huo huo, kupata matrix ya kinyume ni mchakato unaohitaji kazi kubwa na programu yake haiwezi kuitwa kazi ya msingi. Kwa hivyo, katika mazoezi, njia za nambari za kutatua mifumo ya equations za mstari hutumiwa mara nyingi zaidi. Mbinu za nambari za kutatua mifumo ya milinganyo ya mstari ni pamoja na zifuatazo: Njia ya Gauss, Mbinu ya Cramer, njia za kurudia. Kwa njia ya Gauss, kwa mfano, wanafanya kazi ...

35437 x4=0.58554 5 x1=1.3179137 x2=-1.59467 x3=0.35371 x4=0.58462 6 x1=1.3181515 x2=-1.59506 x3=0.35371 x4=0.58462 tofauti ya nambari na uchanganuzi wa nambari 5 ushirikiano 5.1 Mbinu za utofautishaji wa nambari 5.1. 1 Mbinu ya maelezo Hebu tuchukulie kuwa katika kitongoji cha uhakika xi kazi F (x) inaweza kutofautishwa idadi ya kutosha ya nyakati. ...

Katika Turbo Pascal 7.0 kwa ajili ya kutatua mifumo ya milinganyo ya aljebra ya mstari kwa kutumia mbinu rahisi ya kurudia. 1.2 Uundaji wa tatizo la hisabati Acha A iwe matrix isiyo ya umoja na tunahitaji kutatua mfumo ambapo vipengele vya diagonal vya matrix A sio sifuri. 1.3 Mapitio ya mbinu zilizopo za nambari za kutatua tatizo Mbinu ya Gaussian Katika mbinu ya Gaussian, matrix ya SLAE kwa kutumia sawa...

Nambari). Ifuatayo, kwa kutumia fomula (2), xn-1, xn-2,..., x1 hupatikana kwa kufuatana kwa i=n-1, n-2,...,1, mtawalia. Kwa hivyo, suluhisho la milinganyo ya aina (1) inaelezewa na njia inayoitwa njia ya kufagia, ambayo hupunguzwa kwa hesabu kwa kutumia fomula tatu rahisi: kupata kinachojulikana kama mgawo wa kufagia δi, λi kwa kutumia fomula (3) kwa i=1. ,2,…,n (fagia moja kwa moja) na kisha haijulikani xi kwa...