Njia ya angalau miraba ya milinganyo ya mstari. Kutafuta vigezo vya mstari wa regression

Jedwali 4

x n

y n

Jedwali 5

y i

0,705

0,495

0,426

0,357

0,368

0,406

0,549

0,768

Jedwali 6

№0

x

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

y

3,030

3,142

3,358

3,463

3,772

3,251

3,170

3,665

№ 1

3,314

3,278

3,262

3,292

3,332

3,397

3,487

3,563

№ 2

1,045

1,162

1,264

1,172

1,070

0,898

0,656

0,344

№ 3

6,715

6,735

6,750

6,741

6,645

6,639

6,647

6,612

№ 4

2,325

2,515

2,638

2,700

2,696

2,626

2,491

2,291

№ 5

1.752

1,762

1,777

1,797

1,821

1,850

1,884

1,944

№ 6

1,924

1,710

1,525

1,370

1,264

1,190

1,148

1,127

№ 7

1,025

1,144

1,336

1,419

1,479

1,530

1,568

1,248

№ 8

5,785

5,685

5,605

5,545

5,505

5,480

5,495

5,510

№ 9

4,052

4,092

4,152

4,234

4,338

4,468

4,599

Baada ya kusawazisha, tunapata kazi ya fomu ifuatayo: g (x) = x + 1 3 + 1 .

Tunaweza kukadiria data hii kwa kutumia uhusiano wa mstari y = a x + b kwa kuhesabu vigezo vinavyolingana. Ili kufanya hivyo, tutahitaji kutumia njia inayoitwa angalau mraba. Pia utahitaji kutengeneza mchoro ili kuangalia ni mstari upi utakaosawazisha data ya majaribio vyema.

Yandex.RTB R-A-339285-1

OLS ni nini (njia ya angalau mraba)

Jambo kuu tunalohitaji kufanya ni kupata mgawo kama huo wa utegemezi wa mstari ambao thamani ya kazi ya vigezo viwili F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 itakuwa ndogo zaidi. Kwa maneno mengine, kwa maadili fulani ya a na b, jumla ya upungufu wa mraba wa data iliyowasilishwa kutoka kwa mstari wa moja kwa moja unaosababishwa utakuwa na thamani ya chini. Hii ndiyo maana ya mbinu ya angalau miraba. Tunachohitaji kufanya ili kutatua mfano ni kupata upeo wa kazi ya vigezo viwili.

Jinsi ya kupata fomula za kuhesabu coefficients

Ili kupata fomula za kuhesabu coefficients, unahitaji kuunda na kutatua mfumo wa equations na vigezo viwili. Ili kufanya hivyo, tunahesabu derivatives ya sehemu ya usemi F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 kwa heshima na a na b na kuzilinganisha na 0.

δ F (a , b) δ a = 0 δ F (a , b) δ b = 0 ⇔ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) x i = 0 - 2 ∑ i = 1 n ( y i - (a x i + b)) = 0 ⇔ a ∑ i = 1 n x i 2 + b ∑ i = 1 n x i = ∑ i = 1 n x i y i a ∑ i = 1 n x i + ∑ i = 1 n b = ∑ i = 1 n ay ∑ i = 1 n x i 2 + b ∑ i = 1 n x i = ∑ i = 1 n x i y i a ∑ i = 1 n x i + n b = ∑ i = 1 n y i

Ili kutatua mfumo wa equations, unaweza kutumia njia yoyote, kwa mfano, mbadala au njia ya Cramer. Kwa hivyo, tunapaswa kuwa na fomula zinazoweza kutumiwa kukokotoa vigawo kwa kutumia mbinu ya angalau miraba.

n ∑ i = 1 n x i y i - ∑ i = 1 n x i ∑ i = 1 n y i n ∑ i = 1 n - ∑ i = 1 n x i 2 b = ∑ i = 1 n y i - a ∑ i = 1 n x i n

Tumekokotoa thamani za viambajengo ambamo chaguo la kukokotoa
F (a , b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 itachukua thamani ya chini. Katika aya ya tatu tutathibitisha kwa nini iko hivi hasa.

Huu ni utumiaji wa njia ya miraba ndogo katika mazoezi. Fomula yake, ambayo hutumika kupata kigezo a, inajumuisha ∑ i = 1 n x i, ∑ i = 1 n y i, ∑ i = 1 n x i y i, ∑ i = 1 n x i 2, pamoja na parameta.
n - inaashiria kiasi cha data ya majaribio. Tunakushauri kuhesabu kila kiasi tofauti. Thamani ya mgawo b huhesabiwa mara baada ya a.

Hebu turudi kwenye mfano wa awali.

Mfano 1

Hapa tuna n sawa na tano. Ili iwe rahisi zaidi kuhesabu kiasi kinachohitajika kilichojumuishwa katika fomula za mgawo, hebu tujaze meza.

Suluhisho

Safu ya nne ni pamoja na data iliyopatikana kwa kuzidisha maadili kutoka safu ya pili na maadili ya tatu kwa kila mtu i. Mstari wa tano una data kutoka kwa pili, mraba. Safu wima ya mwisho inaonyesha jumla ya maadili ya safu mlalo mahususi.

Wacha tutumie njia ya miraba ndogo zaidi kukokotoa mgawo a na b tunayohitaji. Ili kufanya hivyo, badilisha maadili yanayotakiwa kutoka kwa safu ya mwisho na uhesabu kiasi:

n ∑ i = 1 n x i y i - ∑ i = 1 n x i ∑ i = 1 n y i n ∑ i = 1 n - ∑ i = 1 n x i 2 b = ∑ i = 1 n y i - a ∑ i = 1 n x i n ⇒ 3 a = 8 . - 12 12, 9 5 46 - 12 2 b = 12, 9 - a 12 5 ⇒ a ≈ 0, 165 b ≈ 2, 184

Inabadilika kuwa mstari wa moja kwa moja unaokaribia unaohitajika utaonekana kama y = 0, 165 x + 2, 184. Sasa tunahitaji kuamua ni mstari gani utakaokadiria data vizuri zaidi - g (x) = x + 1 3 + 1 au 0, 165 x + 2, 184. Wacha tukadirie kwa kutumia njia ya miraba kidogo zaidi.

Ili kuhesabu kosa, tunahitaji kupata jumla ya kupotoka kwa mraba wa data kutoka kwa mistari ya moja kwa moja σ 1 = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b i)) 2 na σ 2 = ∑ i = 1 n (y i) - g (x i)) 2, thamani ya chini itafanana na mstari unaofaa zaidi.

σ 1 = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b i)) 2 = = ∑ i = 1 5 (y i - (0, 165 x i + 2, 184)) 2 ≈ 0, 019 σ 2 = ∑ i = 1 n (y i - g (x i)) 2 = = ∑ i = 1 5 (y i - (x i + 1 3 + 1)) 2 ≈ 0.096

Jibu: tangu σ 1< σ 2 , то прямой, наилучшим образом аппроксимирующей исходные данные, будет
y = 0.165 x + 2.184.

Njia ya miraba ndogo inaonyeshwa wazi katika mchoro wa picha. Mstari mwekundu unaashiria mstari wa moja kwa moja g (x) = x + 1 3 + 1, mstari wa bluu alama y = 0, 165 x + 2, 184. Data ya awali inaonyeshwa na dots pink.

Hebu tueleze ni kwa nini hasa makadirio ya aina hii yanahitajika.

Zinaweza kutumika katika kazi zinazohitaji kulainisha data, na vile vile katika zile ambapo data lazima iingizwe au kuongezwa. Kwa mfano, katika tatizo lililojadiliwa hapo juu, mtu anaweza kupata thamani ya kiasi kinachozingatiwa y kwa x = 3 au kwa x = 6. Tumetoa nakala tofauti kwa mifano kama hii.

Uthibitisho wa njia ya OLS

Ili kazi kuchukua thamani ya chini wakati a na b zinahesabiwa, ni muhimu kwamba katika hatua fulani matrix ya fomu ya quadratic ya tofauti ya kazi ya fomu F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 ni chanya uhakika. Hebu tuonyeshe jinsi inapaswa kuonekana.

Mfano 2

Tuna tofauti ya mpangilio wa pili wa fomu ifuatayo:

d 2 F (a ; b) = δ 2 F (a ; b) δ a 2 d 2 a + 2 δ 2 F (a ; b) δ a δ b d a d b + δ 2 F (a ; b) δ b 2 d 2 b

Suluhisho

δ 2 F (a ; b) δ a 2 = δ δ F (a ; b) δ a δ a = = δ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) x i δ a = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 δ 2 F (a; b) δ a δ b = δ δ F (a; b) δ a δ b = = δ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b) ) x i δ b = 2 ∑ i = 1 n x i δ 2 F (a; b) δ b 2 = δ δ F (a ; b) δ b δ b = δ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) δ b = 2 ∑ i = 1 n (1) = 2 n

Kwa maneno mengine, tunaweza kuiandika hivi: d 2 F (a ; b) = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 d 2 a + 2 2 ∑ x i i = 1 n d a d b + (2 n) d 2 b.

Tulipata matrix ya fomu ya quadratic M = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 2 ∑ i = 1 n x i 2 ∑ i = 1 n x i 2 n.

Katika kesi hii, maadili ya vitu vya mtu binafsi hayatabadilika kulingana na a na b . Je! tumbo hili ni chanya? Ili kujibu swali hili, hebu tuangalie ikiwa watoto wake wa angular ni chanya.

Tunahesabu ndogo ya angular ya utaratibu wa kwanza: 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 > 0. Kwa kuwa pointi x silingani, ukosefu wa usawa ni mkali. Tutazingatia hili katika mahesabu zaidi.

Tunahesabu agizo la pili la angular:

d e t (M) = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 2 ∑ i = 1 n x i 2 ∑ i = 1 n x i 2 n = 4 n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2

Baada ya hayo, tunaendelea kuthibitisha ukosefu wa usawa n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 > 0 kwa kutumia uingizaji wa hisabati.

1. Wacha tuangalie ikiwa ukosefu huu wa usawa ni halali kwa n kiholela. Wacha tuchukue 2 na tuhesabu:

2 ∑ i = 1 2 (x i) 2 - ∑ i = 1 2 x i 2 = 2 x 1 2 + x 2 2 - x 1 + x 2 2 = = x 1 2 - 2 x 1 x 2 + x 2 2 = x 1 + x 2 2 > 0

Tumepata usawa sahihi (ikiwa thamani x 1 na x 2 hazilingani).

1. Hebu tufanye dhana kwamba usawa huu utakuwa wa kweli kwa n, i.e. n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 > 0 - kweli.
2. Sasa tutathibitisha uhalali wa n + 1, i.e. kwamba (n + 1) ∑ i = 1 n + 1 (x i) 2 - ∑ i = 1 n + 1 x i 2 > 0, ikiwa n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 > 0 .

Tunahesabu:

(n + 1) ∑ i = 1 n + 1 (x i) 2 - ∑ i = 1 n + 1 x i 2 = = (n + 1) ∑ i = 1 n (x i) 2 + x n + 1 2 - ∑ i = 1 n x i + x n + 1 2 = = n ∑ i = 1 n (x i) 2 + n x n + 1 2 + ∑ i = 1 n (x i) 2 + x n + 1 2 - - ∑ i = 1 n x i 2 + 2 x n + 1 ∑ i = 1 n x i + x n + 1 2 = = ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + n x n + 1 2 - x n + 1 ∑ i = 1 n x i + ∑ i = 1 n (x i) 2 = = ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 1 + x 1 2 + + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 2 + x 2 2 + . . . + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 1 + x n 2 = = n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + + + (x n + 1 - x 1) 2 + (x n + 1) - x 2) 2 + . . . + (x n - 1 - x n) 2 > 0

Usemi ulioambatanishwa katika viunga vya curly utakuwa mkubwa kuliko 0 (kulingana na kile tulichofikiri katika hatua ya 2), na maneno yaliyobaki yatakuwa makubwa kuliko 0, kwa kuwa yote ni miraba ya nambari. Tumethibitisha ukosefu wa usawa.

Jibu: kupatikana a na b italingana na thamani ndogo zaidi ya kazi F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2, ambayo ina maana kwamba ni vigezo vinavyohitajika vya mbinu ya angalau mraba. (LSM).

Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter

Inatumika sana katika uchumi kwa namna ya tafsiri ya wazi ya kiuchumi ya vigezo vyake.

Urejeshaji wa mstari huja chini kupata mlingano wa fomu

au

Mlinganyo wa fomu inaruhusu kulingana na maadili maalum ya parameta X kuwa na maadili ya kinadharia ya tabia ya matokeo, ikibadilisha maadili halisi ya jambo hilo ndani yake. X.

Ujenzi wa urejeshaji wa mstari unakuja chini kwa kukadiria vigezo vyake - A Na V. Makadirio ya parameta ya urejeshaji wa mstari yanaweza kupatikana kwa kutumia mbinu tofauti.

Mbinu ya kitamaduni ya kukadiria vigezo vya rejista ya mstari inategemea njia ya angalau mraba(MNC).

Njia ya angalau miraba huturuhusu kupata makadirio kama haya ya vigezo A Na V, ambapo jumla ya mikengeuko ya mraba ya maadili halisi ya sifa ya matokeo (y) kutoka kwa mahesabu (kinadharia) kiwango cha chini:

Ili kupata kiwango cha chini cha chaguo za kukokotoa, unahitaji kuhesabu sehemu ya sehemu kwa kila kigezo A Na b na kuziweka sawa na sifuri.

Hebu kuashiria kupitia S, kisha:

Kubadilisha fomula, tunapata mfumo ufuatao wa milinganyo ya kawaida ya kukadiria vigezo A Na V:

Kutatua mfumo wa hesabu za kawaida (3.5) ama kwa njia ya uondoaji wa mlolongo wa vigezo au kwa njia ya viashiria, tunapata makadirio yanayotakiwa ya vigezo. A Na V.

Kigezo V inayoitwa mgawo wa urejeshaji. Thamani yake inaonyesha mabadiliko ya wastani katika matokeo na mabadiliko ya kipengele kwa kitengo kimoja.

Equation ya regression daima huongezewa na kiashiria cha ukaribu wa muunganisho. Wakati wa kutumia urejeshaji wa mstari, kiashiria kama hicho ni mgawo wa uunganisho wa mstari. Kuna marekebisho tofauti ya fomula ya mgawo wa uunganisho wa mstari. Baadhi yao wamepewa hapa chini:

Kama inavyojulikana, mgawo wa uunganisho wa mstari uko ndani ya mipaka: -1 ≤ ≤ 1.

Ili kutathmini ubora wa uteuzi wa kazi ya mstari, mraba huhesabiwa

Mgawo wa uunganisho wa mstari unaoitwa mgawo wa uamuzi. Mgawo wa uamuzi ni sifa ya uwiano wa kutofautiana kwa sifa inayotokana y, iliyoelezewa na rejista, katika tofauti ya jumla ya sifa inayosababishwa:

Ipasavyo, thamani 1 inaashiria sehemu ya tofauti y, unasababishwa na ushawishi wa mambo mengine ambayo hayajazingatiwa katika mfano.

Maswali ya kujidhibiti

1. Kiini cha mbinu ya angalau miraba?

2. Je, urejeshaji rejea wa jozi hutoa vigeu vingapi?

3. Ni mgawo gani huamua ukaribu wa uhusiano kati ya mabadiliko?

4. Ndani ya mipaka gani mgawo wa uamuzi umeamua?

5. Makadirio ya parameta b katika uchanganuzi wa urejeleaji wa uunganisho?

1. Christopher Dougherty. Utangulizi wa uchumi. - M.: INFRA - M, 2001 - 402 p.

2. S.A. Borodich. Uchumi. Minsk LLC "Maarifa Mpya" 2001.

3. R.U. Rakhmetova Kozi fupi katika uchumi. Mafunzo. Almaty. 2004. -78p.

4. I.I. Eliseeva. - M.: "Fedha na Takwimu", 2002

5. Taarifa za kila mwezi na gazeti la uchambuzi.

Mifano ya kiuchumi isiyo ya mstari. Miundo ya urejeshaji isiyo ya mstari. Mabadiliko ya vigezo.

Miundo ya kiuchumi isiyo ya mstari..

Mabadiliko ya vigezo.

Mgawo wa elasticity.

Ikiwa kuna uhusiano usio na mstari kati ya matukio ya kiuchumi, basi huonyeshwa kwa kutumia kazi zinazofanana zisizo za mstari: kwa mfano, hyperbola ya usawa. , parabolas ya shahada ya pili na nk.

Kuna aina mbili za rejista zisizo za mstari:

1. Marekebisho ambayo hayana mstari kuhusiana na vigezo vya maelezo vilivyojumuishwa katika uchanganuzi, lakini vinafuatana kwa kuzingatia vigezo vilivyokadiriwa, kwa mfano:

Polynomials za digrii mbalimbali - , ;

Hyperbola ya usawa -;

Kazi ya semilogarithmic -.

2. Marekebisho ambayo hayana mstari katika vigezo vinavyokadiriwa, kwa mfano:

Nguvu -;

Kuonyesha -;

Kielelezo -.

Jumla ya mikengeuko ya mraba ya maadili ya mtu binafsi ya tabia inayosababisha katika kutoka kwa thamani ya wastani husababishwa na ushawishi wa sababu nyingi. Wacha tugawanye kwa masharti seti nzima ya sababu katika vikundi viwili: kipengele chini ya utafiti x Na mambo mengine.

Ikiwa sababu haiathiri matokeo, basi mstari wa rejista kwenye grafu ni sambamba na mhimili. Oh Na

Kisha tofauti nzima ya tabia inayotokana ni kutokana na ushawishi wa mambo mengine na jumla ya jumla ya kupotoka kwa mraba itafanana na mabaki. Ikiwa mambo mengine hayaathiri matokeo, basi y amefungwa Na X kiutendaji na jumla iliyobaki ya miraba ni sifuri. Katika kesi hii, jumla ya mikengeuko ya mraba iliyoelezewa na urejeshaji ni sawa na jumla ya miraba.

Kwa kuwa sio alama zote za uwanja wa uunganisho ziko kwenye mstari wa rejista, kutawanya kwao kila wakati hufanyika kama matokeo ya ushawishi wa sababu. X, yaani kurudi nyuma katika Na X, na kusababishwa na sababu nyingine (tofauti isiyoelezeka). Utoshelevu wa safu ya rejista kwa utabiri inategemea ni sehemu gani ya tofauti ya jumla ya sifa katika akaunti kwa tofauti iliyoelezwa

Ni wazi, ikiwa jumla ya mikengeuko ya mraba kwa sababu ya kurudi nyuma ni kubwa kuliko jumla iliyobaki ya miraba, basi mlinganyo wa rejista ni muhimu kitakwimu na sababu X ina athari kubwa kwa matokeo u.

, yaani, na idadi ya uhuru wa tofauti huru ya sifa. Idadi ya digrii za uhuru inahusiana na idadi ya vitengo vya idadi ya watu n na idadi ya viwango vilivyoamuliwa kutoka kwayo. Kuhusiana na shida inayochunguzwa, idadi ya digrii za uhuru inapaswa kuonyesha ni mikengeuko mingapi ya kujitegemea kutoka P

Tathmini ya umuhimu wa mlinganyo wa kurejesha kwa ujumla hutolewa kwa kutumia F-Kigezo cha wavuvi. Katika kesi hii, hypothesis isiyofaa inawekwa mbele kwamba mgawo wa regression ni sawa na sifuri, i.e. b = 0, na kwa hivyo sababu X haiathiri matokeo u.

Hesabu ya haraka ya jaribio la F hutanguliwa na uchanganuzi wa tofauti. Mahali pa kati ndani yake huchukuliwa na mtengano wa jumla ya upungufu wa mraba wa kutofautisha. katika kutoka kwa thamani ya wastani katika katika sehemu mbili - "iliyoelezewa" na "isiyoelezewa":

- jumla ya kupotoka kwa mraba;

- jumla ya kupotoka kwa mraba iliyoelezewa na regression;

- Jumla ya mabaki ya mikengeuko ya mraba.

Jumla ya mikengeuko ya mraba inahusiana na idadi ya digrii za uhuru , yaani, na idadi ya uhuru wa tofauti huru ya sifa. Idadi ya digrii za uhuru inahusiana na idadi ya vitengo vya idadi ya watu n na kwa idadi ya viunga vilivyoamuliwa kutoka kwayo. Kuhusiana na shida inayochunguzwa, idadi ya digrii za uhuru inapaswa kuonyesha ni mikengeuko mingapi ya kujitegemea kutoka P iwezekanavyo inahitajika kuunda jumla fulani ya mraba.

Mtawanyiko kwa kiwango cha uhuruD.

Uwiano wa F (Jaribio la F):

Ikiwa nadharia tupu ni kweli, basi sababu na tofauti za mabaki hazitofautiani kutoka kwa kila mmoja. Kwa H 0, kukanusha ni muhimu ili mtawanyiko wa sababu uzidi utawanyiko wa mabaki mara kadhaa. Mtaalamu wa takwimu wa Kiingereza Snedekor alitengeneza majedwali ya maadili muhimu F-mahusiano katika viwango tofauti vya umuhimu wa nadharia tupu na idadi tofauti ya digrii za uhuru. Thamani ya jedwali F-kigezo ni thamani ya juu zaidi ya uwiano wa tofauti zinazoweza kutokea katika kesi ya mseto wa nasibu kwa kiwango fulani cha uwezekano wa kuwepo kwa dhana potofu. Thamani iliyohesabiwa F-mahusiano huchukuliwa kuwa ya kuaminika ikiwa o ni kubwa kuliko jedwali.

Katika kesi hii, dhana potofu juu ya kukosekana kwa uhusiano kati ya ishara inakataliwa na hitimisho linatolewa juu ya umuhimu wa uhusiano huu: F ukweli > F jedwali H 0 imekataliwa.

Ikiwa thamani ni chini ya jedwali F ukweli ‹, F jedwali, basi uwezekano wa nadharia tupu ni ya juu kuliko kiwango maalum na haiwezi kukataliwa bila hatari kubwa ya kutoa hitimisho lisilo sahihi kuhusu uwepo wa uhusiano. Katika kesi hii, equation ya regression inachukuliwa kuwa isiyo na maana kitakwimu. Lakini yeye hageuki.

Hitilafu ya kawaida ya mgawo wa kurejesha

Ili kutathmini umuhimu wa mgawo wa urekebishaji, thamani yake inalinganishwa na hitilafu yake ya kawaida, i.e. thamani halisi imedhamiriwa t- Mtihani wa mwanafunzi: ambayo basi inalinganishwa na thamani ya jedwali katika kiwango fulani cha umuhimu na idadi ya digrii za uhuru ( n- 2).

Hitilafu ya kigezo cha kawaida A:

Umuhimu wa mgawo wa uunganisho wa mstari huangaliwa kulingana na ukubwa wa hitilafu. mgawo wa uwiano t r:

Tofauti ya jumla ya sifa X:

Urejeshaji wa Mistari Nyingi

Jengo la mfano

Rejea nyingi inawakilisha mrejesho wa sifa faafu yenye vipengele viwili au zaidi, yaani kielelezo cha umbo

Kurudi nyuma kunaweza kutoa matokeo mazuri katika uundaji wa mfano ikiwa ushawishi wa mambo mengine yanayoathiri kitu cha utafiti unaweza kupuuzwa. Tabia ya vigezo vya kiuchumi vya mtu binafsi haiwezi kudhibitiwa, i.e. haiwezekani kuhakikisha usawa wa hali zingine zote za kutathmini ushawishi wa jambo moja chini ya utafiti. Katika kesi hii, unapaswa kujaribu kutambua ushawishi wa mambo mengine kwa kuwaanzisha katika mfano, i.e., kuunda equation nyingi za rejista: y = a+b 1 x 1 +b 2 +…+b p x p + .

Lengo kuu la regression nyingi ni kujenga mfano na idadi kubwa ya mambo, wakati wa kuamua ushawishi wa kila mmoja wao tofauti, pamoja na athari zao za pamoja kwenye kiashiria cha mfano. Uainishaji wa modeli ni pamoja na safu mbili za maswala: uteuzi wa sababu na uchaguzi wa aina ya mlinganyo wa rejista.

Njia ya mraba mdogo (OLS) hukuruhusu kukadiria idadi tofauti kwa kutumia matokeo ya vipimo vingi vyenye makosa ya nasibu.

Tabia za MNEs

Wazo kuu la njia hii ni kwamba jumla ya makosa ya mraba inachukuliwa kuwa kigezo cha usahihi wa kutatua shida, ambayo wanajitahidi kuipunguza. Wakati wa kutumia njia hii, mbinu zote za nambari na za uchambuzi zinaweza kutumika.

Hasa, kama utekelezaji wa nambari, mbinu ya miraba ndogo inahusisha kuchukua vipimo vingi iwezekanavyo vya tofauti isiyojulikana isiyojulikana. Aidha, mahesabu zaidi, suluhisho litakuwa sahihi zaidi. Kulingana na seti hii ya mahesabu (data ya awali), seti nyingine ya ufumbuzi wa makadirio hupatikana, ambayo bora zaidi huchaguliwa kisha. Ikiwa seti ya ufumbuzi ni parameterized, basi njia ya mraba ndogo itapunguzwa ili kupata thamani mojawapo ya vigezo.

Kama njia ya uchambuzi ya utekelezaji wa LSM kwenye seti ya data ya awali (vipimo) na seti inayotarajiwa ya suluhisho, moja (ya kazi) imedhamiriwa, ambayo inaweza kuonyeshwa na fomula iliyopatikana kama nadharia fulani ambayo inahitaji uthibitisho. Katika kesi hii, mbinu ya angalau miraba inakuja ili kupata kiwango cha chini zaidi cha utendakazi huu kwenye seti ya makosa ya mraba ya data asili.

Tafadhali kumbuka kuwa sio makosa yenyewe, lakini miraba ya makosa. Kwa nini? Ukweli ni kwamba mara nyingi kupotoka kwa vipimo kutoka kwa thamani halisi ni chanya na hasi. Wakati wa kuamua wastani, muhtasari rahisi unaweza kusababisha hitimisho lisilo sahihi juu ya ubora wa makadirio, kwani kufutwa kwa maadili chanya na hasi kutapunguza nguvu ya sampuli za vipimo vingi. Na, kwa hiyo, usahihi wa tathmini.

Ili kuzuia hili kutokea, mikengeuko ya mraba imefupishwa. Zaidi ya hayo, ili kusawazisha kipimo cha thamani iliyopimwa na makadirio ya mwisho, jumla ya makosa ya mraba hutolewa.

Baadhi ya maombi ya MNC

MNC inatumika sana katika nyanja mbalimbali. Kwa mfano, katika nadharia ya uwezekano na takwimu za hisabati, njia hutumiwa kuamua sifa kama hiyo ya kutofautisha bila mpangilio kama kupotoka kwa kawaida, ambayo huamua upana wa anuwai ya maadili ya anuwai ya nasibu.

Ambayo hupata matumizi mapana zaidi katika nyanja mbali mbali za sayansi na shughuli za vitendo. Hii inaweza kuwa fizikia, kemia, biolojia, uchumi, sosholojia, saikolojia, na kadhalika na kadhalika. Kwa mapenzi ya hatima, mara nyingi ninalazimika kushughulika na uchumi, na kwa hivyo leo nitakupangia safari ya kwenda nchi ya kushangaza inayoitwa. Uchumi=) ...Usitakeje?! Ni nzuri sana huko - unahitaji tu kufanya uamuzi! ...Lakini unachotaka kwa hakika ni kujifunza jinsi ya kutatua matatizo njia ya angalau mraba. Na hasa wasomaji wenye bidii watajifunza kutatua sio tu kwa usahihi, lakini pia kwa HARAKA SANA ;-) Lakini kwanza. taarifa ya jumla ya tatizo+ mfano unaoandamana:

Tuseme kwamba katika eneo fulani la somo, viashiria ambavyo vina usemi wa kiasi vinasomwa. Wakati huo huo, kuna kila sababu ya kuamini kwamba kiashiria kinategemea kiashiria. Dhana hii inaweza kuwa nadharia ya kisayansi au msingi wa akili ya kawaida. Wacha tuache sayansi kando, hata hivyo, na tuchunguze maeneo ya kupendeza zaidi - ambayo ni, maduka ya mboga. Wacha tuashiria kwa:

- eneo la rejareja la duka la mboga, sq.m.,
- mauzo ya kila mwaka ya duka la mboga, rubles milioni.

Ni wazi kabisa kwamba eneo kubwa la duka, katika hali nyingi mauzo yake yatakuwa.

Tuseme kwamba baada ya kufanya uchunguzi/majaribio/mahesabu/ngoma na matari tunayo data ya nambari:

Na maduka ya mboga, nadhani kila kitu ni wazi: - hii ni eneo la duka la 1, - mauzo yake ya kila mwaka, - eneo la duka la 2, - mauzo yake ya kila mwaka, nk. Kwa njia, sio lazima hata kidogo kupata vifaa vilivyoainishwa - tathmini sahihi ya mauzo ya biashara inaweza kupatikana kwa njia ya takwimu za hisabati. Walakini, tusikengeushwe, kozi ya ujasusi wa kibiashara tayari imelipwa =)

Data ya jedwali pia inaweza kuandikwa kwa namna ya pointi na kuonyeshwa katika fomu inayojulikana Mfumo wa Cartesian .

Hebu tujibu swali muhimu: Ni pointi ngapi zinahitajika kwa ajili ya utafiti wa ubora?

Kubwa, bora zaidi. Seti ya chini inayokubalika ina pointi 5-6. Kwa kuongeza, wakati kiasi cha data ni kidogo, matokeo ya "ajabu" hayawezi kujumuishwa kwenye sampuli. Kwa hiyo, kwa mfano, duka ndogo la wasomi linaweza kupata maagizo ya ukubwa zaidi kuliko "wenzake," na hivyo kupotosha muundo wa jumla ambao unahitaji kupata!

Ili kuiweka kwa urahisi sana, tunahitaji kuchagua kazi, ratiba ambayo hupita karibu iwezekanavyo kwa pointi . Kazi hii inaitwa takriban (makadirio - makadirio) au kazi ya kinadharia . Kwa ujumla, "mshindani" dhahiri anaonekana hapa mara moja - polynomial ya kiwango cha juu, grafu ambayo hupitia alama ZOTE. Lakini chaguo hili ni ngumu na mara nyingi sio sahihi. (kwa kuwa grafu "itazunguka" wakati wote na kuonyesha vibaya mwelekeo kuu).

Kwa hivyo, kazi inayotafutwa lazima iwe rahisi sana na wakati huo huo ionyeshe utegemezi wa kutosha. Kama unavyoweza kudhani, moja ya njia za kupata kazi kama hizo inaitwa njia ya angalau mraba. Kwanza, hebu tuangalie kiini chake kwa maneno ya jumla. Wacha baadhi ya kazi zikadirie data ya majaribio:


Jinsi ya kutathmini usahihi wa makadirio haya? Wacha pia tuhesabu tofauti (mkengeuko) kati ya maadili ya majaribio na utendaji (tunasoma mchoro). Wazo la kwanza linalokuja akilini ni kukadiria jumla ni kubwa, lakini shida ni kwamba tofauti zinaweza kuwa mbaya. (Kwa mfano, ) na mikengeuko kutokana na majumuisho hayo yataghairiana. Kwa hivyo, kama makadirio ya usahihi wa makadirio, inaomba kuchukua jumla. moduli mikengeuko:

au imeporomoka: (ikiwa mtu yeyote hajui: - hii ndio ikoni ya jumla, na - kibadilishaji kisaidizi cha "kaunta", ambacho huchukua maadili kutoka 1 hadi ).

Kwa kukadiria pointi za majaribio na vipengele tofauti vya kukokotoa, tutapata thamani tofauti, na ni wazi, ambapo jumla hii ni ndogo, chaguo hili la kukokotoa ni sahihi zaidi.

Njia kama hiyo ipo na inaitwa njia ndogo ya moduli. Walakini, katika mazoezi imekuwa imeenea zaidi njia ya angalau mraba, ambayo maadili hasi yanawezekana huondolewa sio na moduli, lakini kwa kupunguka kwa kupotoka:

, baada ya hapo juhudi zinalenga kuchagua chaguo za kukokotoa kiasi kwamba jumla ya mikengeuko ya mraba ilikuwa ndogo iwezekanavyo. Kwa kweli, hapa ndipo jina la njia linatoka.

Na sasa tunarudi kwenye jambo lingine muhimu: kama ilivyoonyeshwa hapo juu, kazi iliyochaguliwa inapaswa kuwa rahisi sana - lakini pia kuna kazi nyingi kama hizo: mstari , hyperbolic, kielelezo, logarithmic, quadratic na kadhalika. Na, kwa kweli, hapa ningependa "kupunguza uwanja wa shughuli." Je, ni aina gani ya kazi ninazopaswa kuchagua kwa ajili ya utafiti? Mbinu ya awali lakini yenye ufanisi:

- Njia rahisi ni kuonyesha alama kwenye mchoro na kuchambua eneo lao. Ikiwa huwa na kukimbia kwa mstari wa moja kwa moja, basi unapaswa kutafuta equation ya mstari na maadili bora na. Kwa maneno mengine, kazi ni kupata coefficients SUCH ili jumla ya mikengeuko ya mraba iwe ndogo zaidi.

Ikiwa pointi ziko, kwa mfano, pamoja hyperboli, basi ni wazi kuwa kazi ya mstari itatoa makadirio duni. Katika kesi hii, tunatafuta hesabu "zinazopendeza" zaidi za mlingano wa hyperbola - zile zinazotoa jumla ya chini ya miraba .

Sasa kumbuka kuwa katika visa vyote viwili tunazungumza kazi za vigezo viwili, ambao hoja zao ni ulitafuta vigezo vya utegemezi:

Na kimsingi tunahitaji kutatua shida ya kawaida - pata kima cha chini cha utendaji wa vigezo viwili.

Wacha tukumbuke mfano wetu: tuseme kwamba sehemu za "duka" huwa ziko kwenye mstari ulionyooka na kuna kila sababu ya kuamini kwamba. utegemezi wa mstari mauzo kutoka kwa rejareja. Hebu tutafute viambajengo vile "a" na "kuwa" hivi kwamba jumla ya mikengeuko ya mraba. ilikuwa ndogo zaidi. Kila kitu ni kama kawaida - kwanza Agizo la 1 sehemu derivatives. Kulingana na kanuni ya mstari Unaweza kutofautisha chini ya ikoni ya jumla:

Ikiwa ungependa kutumia habari hii kwa insha au karatasi ya maneno, nitashukuru sana kwa kiungo katika orodha ya vyanzo utapata hesabu za kina kama hizi katika maeneo machache:

Wacha tuunde mfumo wa kawaida:

Tunapunguza kila equation kwa "mbili" na, kwa kuongeza, "kuvunja" hesabu:

Kumbuka : kuchambua kwa kujitegemea kwa nini "a" na "kuwa" zinaweza kutolewa nje ya ikoni ya jumla. Kwa njia, hii inaweza kufanywa rasmi na jumla

Hebu tuandike upya mfumo katika fomu "iliyotumiwa":

baada ya hapo algorithm ya kutatua shida yetu huanza kuibuka:

Je, tunajua kuratibu za pointi? Tunajua. Kiasi tunaweza kuipata? Kwa urahisi. Wacha tufanye rahisi zaidi mfumo wa milinganyo miwili ya mstari katika mbili zisizojulikana("a" na "kuwa"). Tunatatua mfumo, kwa mfano, Njia ya Cramer, kama matokeo ambayo tunapata hatua ya kusimama. Kuangalia hali ya kutosha kwa hali ya juu, tunaweza kuthibitisha kwamba katika hatua hii chaguo la kukokotoa inafikia hasa kiwango cha chini. Cheki inahusisha mahesabu ya ziada na kwa hiyo tutaiacha nyuma ya pazia (ikiwa ni lazima, sura inayokosekana inaweza kutazamwa). Tunatoa hitimisho la mwisho:

Kazi njia bora (angalau ikilinganishwa na kazi nyingine yoyote ya mstari) huleta pointi za majaribio karibu . Kwa kusema, grafu yake hupita karibu iwezekanavyo kwa pointi hizi. Katika mila uchumi kazi inayokaribia inayotokana pia inaitwa mlingano wa urejeshaji wa mstari uliooanishwa .

Tatizo linalozingatiwa ni la umuhimu mkubwa wa vitendo. Katika hali yetu ya mfano, Eq. hukuruhusu kutabiri mauzo ya biashara ("Igrek") duka litakuwa na thamani moja au nyingine ya eneo la mauzo (maana moja au nyingine ya "x"). Ndio, utabiri unaosababishwa utakuwa utabiri tu, lakini katika hali nyingi utageuka kuwa sahihi kabisa.

Nitachambua shida moja tu na nambari "halisi", kwani hakuna ugumu ndani yake - mahesabu yote yapo katika kiwango cha mtaala wa shule ya darasa la 7-8. Katika asilimia 95 ya kesi, utaulizwa kupata kazi ya mstari tu, lakini mwisho wa kifungu nitaonyesha kuwa sio ngumu zaidi kupata hesabu za hyperbola bora, kielelezo na kazi zingine.

Kwa kweli, yote yaliyobaki ni kusambaza vitu vyema vilivyoahidiwa - ili uweze kujifunza kutatua mifano hiyo si kwa usahihi tu, bali pia kwa haraka. Tunasoma kwa uangalifu kiwango:

Kazi

Kama matokeo ya kusoma uhusiano kati ya viashiria viwili, jozi zifuatazo za nambari zilipatikana:

Kwa kutumia mbinu ya angalau miraba, tafuta kitendakazi cha mstari ambacho kinakadiria zaidi kifani (mzoefu) data. Tengeneza mchoro wa kujenga alama za majaribio na grafu ya utendakazi wa kukadiria katika mfumo wa kuratibu wa mstatili wa Cartesian. . Pata jumla ya mikengeuko ya mraba kati ya thamani za majaribio na za kinadharia. Jua ikiwa kipengele kitakuwa bora zaidi (kutoka kwa mtazamo wa njia ndogo ya mraba) kuleta pointi za majaribio karibu.

Tafadhali kumbuka kuwa maana za "x" ni za asili, na hii ina maana ya tabia, ambayo nitazungumzia baadaye kidogo; lakini wao, bila shaka, wanaweza pia kuwa sehemu. Kwa kuongezea, kulingana na yaliyomo katika kazi fulani, maadili ya "X" na "mchezo" yanaweza kuwa hasi kabisa au sehemu. Kweli, tumepewa kazi "isiyo na uso", na tunaanza suluhisho:

Tunapata coefficients ya kazi bora kama suluhisho la mfumo:

Kwa madhumuni ya kurekodi zaidi ya kompakt, kutofautiana kwa "counter" kunaweza kuachwa, kwa kuwa tayari ni wazi kuwa muhtasari unafanywa kutoka 1 hadi .

Ni rahisi zaidi kuhesabu kiasi kinachohitajika katika fomu ya jedwali:


Mahesabu yanaweza kufanywa kwenye microcalculator, lakini ni bora zaidi kutumia Excel - kwa kasi na bila makosa; tazama video fupi:

Kwa hivyo, tunapata zifuatazo mfumo:

Hapa unaweza kuzidisha mlinganyo wa pili kwa 3 na toa ya 2 kutoka muhula wa 1 wa mlingano kwa muhula. Lakini hii ni bahati - kwa mazoezi, mifumo mara nyingi sio zawadi, na katika hali kama hizo huokoa Njia ya Cramer:
, ambayo inamaanisha kuwa mfumo una suluhisho la kipekee.

Hebu tuangalie. Ninaelewa kuwa hutaki, lakini kwa nini uruke makosa ambayo hayawezi kukosekana kabisa? Wacha tubadilishe suluhisho lililopatikana katika upande wa kushoto wa kila equation ya mfumo:

Pande za kulia za equations zinazofanana zinapatikana, ambayo ina maana kwamba mfumo unatatuliwa kwa usahihi.

Kwa hivyo, kitendaji kinachohitajika cha kukadiria: - kutoka kazi zote za mstari Ni yeye anayekadiria data ya majaribio vyema zaidi.

Tofauti moja kwa moja utegemezi wa mauzo ya duka kwenye eneo lake, utegemezi uliopatikana ni kinyume (kanuni "zaidi, chini"), na ukweli huu unafunuliwa mara moja na hasi mteremko. Kazi inatuambia kwamba kwa ongezeko la kiashiria fulani kwa kitengo 1, thamani ya kiashiria tegemezi hupungua wastani kwa vitengo 0.65. Kama wanasema, bei ya juu ya Buckwheat, inauzwa kidogo.

Ili kupanga grafu ya kazi inayokaribia, tunapata maadili yake mawili:

na utekeleze mchoro:


Mstari wa moja kwa moja uliojengwa unaitwa mstari wa mwenendo (yaani, mstari wa mwelekeo wa mstari, i.e. kwa hali ya jumla, mwelekeo sio lazima uwe mstari ulionyooka). Kila mtu anafahamu usemi "kuwa katika mwenendo," na nadhani neno hili halihitaji maoni ya ziada.

Hebu tuhesabu jumla ya mikengeuko ya mraba kati ya maadili ya majaribio na ya kinadharia. Kijiometri, hii ni jumla ya mraba wa urefu wa sehemu za "raspberry". (mbili kati ya hizo ni ndogo sana hata hazionekani).

Wacha tufanye muhtasari wa mahesabu kwenye jedwali:


Tena, zinaweza kufanywa kwa mikono ikiwa tu, nitatoa mfano kwa hatua ya 1:

lakini ni bora zaidi kuifanya kwa njia inayojulikana tayari:

Tunarudia tena: Nini maana ya matokeo yaliyopatikana? Kutoka kazi zote za mstari y kazi kiashiria ni ndogo zaidi, yaani, katika familia yake ni makadirio bora. Na hapa, kwa njia, swali la mwisho la shida sio bahati mbaya: vipi ikiwa kazi ya kielelezo iliyopendekezwa ingekuwa bora kuleta alama za majaribio karibu?

Wacha tupate jumla inayolingana ya kupotoka kwa mraba - kutofautisha, nitaashiria kwa herufi "epsilon". Mbinu ni sawa kabisa:


Na tena, ikiwa tu, mahesabu ya nukta ya 1:

Katika Excel tunatumia kazi ya kawaida EXP (syntax inaweza kupatikana katika Usaidizi wa Excel).

Hitimisho: , ambayo ina maana kwamba kipengele cha kukokotoa kinakadiria pointi za majaribio kuwa mbaya zaidi kuliko mstari ulionyooka .

Lakini hapa inapaswa kuzingatiwa kuwa "mbaya zaidi" ni haimaanishi bado, Tatizo ni nini. Sasa nimeunda grafu ya kazi hii ya kielelezo - na pia inapita karibu na vidokezo - kiasi kwamba bila utafiti wa uchambuzi ni vigumu kusema ni kazi gani sahihi zaidi.

Hii inahitimisha suluhisho, na ninarudi kwa swali la maadili ya asili ya hoja. Katika tafiti mbalimbali, kwa kawaida za kiuchumi au kijamii, "X" za asili hutumiwa kuhesabu miezi, miaka au vipindi vingine vya muda sawa. Fikiria, kwa mfano, tatizo lifuatalo.