Katika makala hii tutaangalia kwa kina sheria za msingi za mada muhimu kama hii katika kozi ya hisabati kama kufungua mabano. Unahitaji kujua sheria za kufungua mabano ili kusuluhisha kwa usahihi hesabu ambazo hutumiwa.
Jinsi ya kufungua mabano kwa usahihi wakati wa kuongeza
Panua mabano yaliyotanguliwa na ishara "+".
Hii ndiyo kesi rahisi zaidi, kwa sababu ikiwa kuna ishara ya kuongeza mbele ya mabano, ishara ndani yao hazibadilika wakati mabano yanafunguliwa. Mfano:
(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.
Jinsi ya kupanua mabano yaliyotanguliwa na ishara "-".
Katika kesi hii, unahitaji kuandika tena maneno yote bila mabano, lakini wakati huo huo ubadilishe ishara zote ndani yao kwa zile tofauti. Ishara hubadilika tu kwa masharti kutoka kwa mabano hayo ambayo yalitanguliwa na ishara "-". Mfano:
(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.
Jinsi ya kufungua mabano wakati wa kuzidisha
Kabla ya mabano kuna nambari ya kuzidisha
Katika kesi hii, unahitaji kuzidisha kila neno kwa sababu na kufungua mabano bila kubadilisha ishara. Ikiwa mzidishaji ana ishara "-", basi wakati wa kuzidisha ishara za maneno zinabadilishwa. Mfano:
3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.
Jinsi ya kufungua mabano mawili na ishara ya kuzidisha kati yao
Katika kesi hii, unahitaji kuzidisha kila neno kutoka kwa mabano ya kwanza na kila neno kutoka kwa mabano ya pili na kisha kuongeza matokeo. Mfano:
(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.
Jinsi ya kufungua mabano katika mraba
Ikiwa jumla au tofauti ya maneno mawili ni ya mraba, mabano yanapaswa kufunguliwa kulingana na fomula ifuatayo:
(x + y)^2 = x^2 + 2 * x * y + y^2.
Katika kesi ya minus ndani ya mabano, formula haibadilika. Mfano:
(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.
Jinsi ya kupanua mabano hadi digrii nyingine
Ikiwa jumla au tofauti ya maneno hufufuliwa, kwa mfano, kwa nguvu ya 3 au ya 4, basi unahitaji tu kuvunja nguvu ya bracket katika "mraba". Nguvu za mambo sawa huongezwa, na wakati wa kugawanya, nguvu ya mgawanyiko hutolewa kutoka kwa nguvu ya gawio. Mfano:
(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.
Jinsi ya kufungua mabano 3
Kuna milinganyo ambayo mabano 3 yanazidishwa mara moja. Katika kesi hii, lazima kwanza uzidishe masharti ya mabano mawili ya kwanza pamoja, na kisha kuzidisha jumla ya kuzidisha huku kwa masharti ya mabano ya tatu. Mfano:
(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.
Sheria hizi za kufungua mabano hutumika kwa usawa katika kutatua milinganyo ya mstari na trigonometriki.
Kupanua mabano ni aina ya mabadiliko ya usemi. Katika sehemu hii tutaelezea sheria za kufungua mabano, na pia angalia mifano ya kawaida ya matatizo.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Kufungua mabano ni nini?
Mabano hutumiwa kuonyesha mpangilio ambao vitendo hufanywa kwa maneno ya nambari, halisi na tofauti. Ni rahisi kuhama kutoka kwa usemi ulio na mabano hadi usemi sawa bila mabano. Kwa mfano, badilisha usemi 2 · (3 + 4) na usemi wa fomu 2 3 + 2 4 bila mabano. Mbinu hii inaitwa kufungua mabano.
Ufafanuzi 1
Kupanua mabano hurejelea mbinu za kuondoa mabano na kwa kawaida huzingatiwa kuhusiana na misemo ambayo inaweza kuwa na:
- ishara "+" au "-" kabla ya mabano yenye hesabu au tofauti;
- bidhaa ya nambari, barua au barua kadhaa na jumla au tofauti, ambayo huwekwa kwenye mabano.
Hivi ndivyo tumezoea kutazama mchakato wa kufungua mabano katika mtaala wa shule. Walakini, hakuna anayetuzuia kutazama hatua hii kwa upana zaidi. Tunaweza kuita mabano yanayofungua mpito kutoka kwa usemi ulio na nambari hasi kwenye mabano hadi usemi ambao hauna mabano. Kwa mfano, tunaweza kutoka 5 + (− 3) − (− 7) hadi 5 - 3 + 7. Kwa kweli, hii pia ni ufunguzi wa mabano.
Kwa njia hiyo hiyo, tunaweza kuchukua nafasi ya bidhaa ya maneno katika mabano ya fomu (a + b) · (c + d) na jumla a · c + a · d + b · c + b · d. Mbinu hii pia haipingani na maana ya kufungua mabano.
Hapa kuna mfano mwingine. Tunaweza kudhani kuwa misemo yoyote inaweza kutumika badala ya nambari na viambishi katika misemo. Kwa mfano, usemi x 2 · 1 a - x + dhambi (b) utalingana na usemi usio na mabano ya fomu x 2 · 1 a - x 2 · x + x 2 · dhambi (b).
Hoja moja zaidi inastahili tahadhari maalum, ambayo inahusu upekee wa maamuzi ya kurekodi wakati wa kufungua mabano. Tunaweza kuandika usemi wa awali na mabano na matokeo yaliyopatikana baada ya kufungua mabano kama usawa. Kwa mfano, baada ya kupanua mabano badala ya usemi 3 − (5 − 7) tunapata usemi 3 − 5 + 7 . Tunaweza kuandika semi hizi zote mbili kama usawa 3 − (5 − 7) = 3 - 5 + 7.
Kufanya vitendo kwa maneno magumu kunaweza kuhitaji kurekodi matokeo ya kati. Kisha suluhisho litakuwa na fomu ya mlolongo wa usawa. Kwa mfano, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 au 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .
Sheria za kufungua mabano, mifano
Hebu tuanze kuangalia sheria za kufungua mabano.
Kwa nambari moja kwenye mabano
Nambari hasi kwenye mabano mara nyingi hupatikana katika misemo. Kwa mfano, (− 4) na 3 + (− 4) . Nambari chanya kwenye mabano pia zina nafasi.
Wacha tutengeneze sheria ya kufungua mabano yaliyo na nambari moja chanya. Wacha tuchukue kuwa a ni nambari yoyote chanya. Kisha tunaweza kubadilisha (a) na a, + (a) na + a, - (a) na - a. Ikiwa badala ya a tunachukua nambari maalum, basi kulingana na sheria: nambari (5) itaandikwa kama 5 , usemi 3 + (5) bila mabano utachukua fomu 3 + 5 , kwani + (5) inabadilishwa na + 5 , na usemi 3 + (− 5) ni sawa na usemi huo 3 − 5 , kwa sababu + (− 5) inabadilishwa na − 5 .
Nambari chanya kawaida huandikwa bila kutumia mabano, kwani mabano sio lazima katika kesi hii.
Sasa fikiria sheria ya kufungua mabano ambayo yana nambari moja hasi. + (− a) tunabadilisha na − a, − (− a) inabadilishwa na + a. Ikiwa usemi unaanza na nambari hasi (−a), ambayo imeandikwa katika mabano, basi mabano yameachwa na badala yake (−a) mabaki − a.
Hapa kuna baadhi ya mifano: (− 5) inaweza kuandikwa kama − 5, (− 3) + 0, 5 inakuwa − 3 + 0, 5, 4 + (− 3) inakuwa 4 − 3 , na - (- 4) - (- 3) baada ya kufungua mabano huchukua fomu 4 + 3, kwa kuwa - (- 4) na - (- 3) inabadilishwa na + 4 na + 3 .
Ieleweke kwamba usemi 3 · (− 5) hauwezi kuandikwa kama 3 · − 5. Hili litajadiliwa katika aya zifuatazo.
Wacha tuone ni kanuni gani za kufungua mabano zinategemea.
Kulingana na sheria, tofauti a -b ni sawa na a + (− b) . Kulingana na mali ya vitendo na nambari, tunaweza kuunda mlolongo wa usawa (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = a ambayo itakuwa ya haki. Mlolongo huu wa usawa, kwa mujibu wa maana ya kutoa, unathibitisha kwamba usemi a + (− b) ndio tofauti. a-b.
Kulingana na sifa za nambari tofauti na sheria za kutoa nambari hasi, tunaweza kusema kuwa - (- a) = a, a - (- b) = a + b.
Kuna misemo ambayo imeundwa na nambari, ishara za minus na jozi kadhaa za mabano. Kutumia sheria zilizo hapo juu hukuruhusu kujiondoa kwa mlolongo wa mabano, kusonga kutoka kwa mabano ya ndani hadi ya nje au kwa mwelekeo tofauti. Mfano wa usemi kama huo utakuwa − (− ((−))))) . Wacha tufungue mabano, tukihama kutoka ndani kwenda nje: − (− ((− (5))))) = − (− ((− 5)))) = − (- (− 5))) = − (5) = - 5 . Mfano huu unaweza pia kuchambuliwa kwa mwelekeo tofauti: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .
Chini ya a na b inaweza kueleweka sio tu kama nambari, lakini pia kama usemi wa nambari au herufi zisizo na alama "+" mbele ambazo si hesabu au tofauti. Katika visa hivi vyote, unaweza kutumia sheria kwa njia ile ile kama tulivyotumia kwa nambari moja kwenye mabano.
Kwa mfano, baada ya kufungua mabano usemi − (− 2 x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 x y 2: z) itachukua fomu 2 · x − x 2 - 1 x - 2 · x · y 2: z. Tulifanyaje? Tunajua kwamba − (− 2 x) ni + 2 x, na kwa kuwa usemi huu huja kwanza, basi + 2 x inaweza kuandikwa kama 2 x, − (x 2) = − x 2, + (− 1 x) = − 1 x na − (2 x y 2: z) = − 2 x y 2: z.
Katika bidhaa za nambari mbili
Wacha tuanze na sheria ya kufungua mabano katika bidhaa ya nambari mbili.
Hebu kujifanya hivyo a na b ni nambari mbili chanya. Katika kesi hii, bidhaa ya nambari mbili hasi − a na − b ya umbo (- a) · (− b) tunaweza kubadilisha na (a · b) , na bidhaa za nambari mbili zenye ishara tofauti za fomu (- a) · b na a · (- b) inaweza kubadilishwa na (− a b). Kuzidisha minus kwa minus kunatoa jumlisha, na kuzidisha minus kwa jumlisha, kama vile kuzidisha jumlisha kwa minus kunatoa minus.
Usahihi wa sehemu ya kwanza ya sheria iliyoandikwa inathibitishwa na sheria ya kuzidisha nambari hasi. Ili kudhibitisha sehemu ya pili ya sheria, tunaweza kutumia sheria za kuzidisha nambari na ishara tofauti.
Hebu tuangalie mifano michache.
Mfano 1
Hebu fikiria algorithm ya kufungua mabano katika bidhaa ya namba mbili hasi - 4 3 5 na - 2, ya fomu (- 2) · - 4 3 5. Ili kufanya hivyo, badilisha usemi asilia na 2 · 4 3 5 . Hebu tufungue mabano na tupate 2 · 4 3 5 .
Na ikiwa tutachukua mgawo wa nambari hasi (- 4) : (- 2), basi kiingilio baada ya kufungua mabano kitaonekana kama 4: 2.
Badala ya nambari hasi − a na - b inaweza kuwa maneno yoyote yenye ishara ya kutoa mbele ambayo si hesabu au tofauti. Kwa mfano, hizi zinaweza kuwa bidhaa, quotients, sehemu, nguvu, mizizi, logarithms, kazi za trigonometric, nk.
Hebu tufungue mabano katika usemi - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) . Kulingana na sheria, tunaweza kufanya mabadiliko yafuatayo: - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5.
Kujieleza (− 3) 2 inaweza kugeuzwa kuwa usemi (- 3 2) . Baada ya hayo, unaweza kupanua mabano: − 3 2.
2 3 · - 4 5 = - 2 3 · 4 5 = - 2 3 · 4 5
Kugawanya nambari zilizo na ishara tofauti kunaweza pia kuhitaji upanuzi wa awali wa mabano: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 na 2 3 4: (- 3, 5) = - 2 3 4: 3, 5 = - 2 3 4: 3, 5.
Sheria inaweza kutumika kufanya kuzidisha na mgawanyiko wa maneno na ishara tofauti. Hebu tutoe mifano miwili.
1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3
dhambi (x) (- x 2) = (- dhambi (x) x 2) = - dhambi (x) x 2
Katika bidhaa za nambari tatu au zaidi
Hebu tuendelee kwenye bidhaa na quotients, ambazo zina idadi kubwa ya nambari. Ili kufungua mabano, sheria ifuatayo itatumika hapa. Ikiwa kuna idadi sawa ya nambari hasi, unaweza kuacha mabano na kuchukua nafasi ya nambari na wapinzani wao. Baada ya hayo, unahitaji kuambatanisha usemi unaosababisha katika mabano mapya. Ikiwa kuna nambari isiyo ya kawaida ya nambari hasi, ondoa mabano na ubadilishe nambari na vinyume vyake. Baada ya hayo, usemi unaosababishwa lazima uweke kwenye mabano mapya na ishara ya minus lazima iwekwe mbele yake.
Mfano 2
Kwa mfano, chukua usemi 5 · (− 3) · (− 2) , ambao ni zao la nambari tatu. Kuna nambari mbili hasi, kwa hivyo tunaweza kuandika usemi kama (5 · 3 · 2) na hatimaye kufungua mabano, kupata usemi 5 · 3 · 2.
Katika bidhaa (− 2, 5) · (− 3) : (- 2) · 4: (- 1, 25) : (- 1) nambari tano ni hasi. kwa hiyo (− 2, 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (- 1, 25) : (- 1) = (- 2, 5 · 3: 2 · 4: 1, 25: 1) . Baada ya kufungua mabano, tunapata −2.5 3:2 4:1.25:1.
Sheria hapo juu inaweza kuhesabiwa haki kama ifuatavyo. Kwanza, tunaweza kuandika upya misemo kama bidhaa, tukibadilisha mgawanyiko kwa kuzidisha kwa nambari inayolingana. Tunawakilisha kila nambari hasi kama bidhaa ya nambari inayozidisha na - 1 au - 1 inabadilishwa na (− 1) a.
Kwa kutumia sifa ya kubadilisha ya kuzidisha, tunabadilisha vipengele na kuhamisha vipengele vyote sawa na − 1 , hadi mwanzo wa usemi. Bidhaa ya nambari sawa kutoa moja ni sawa na 1, na bidhaa ya nambari isiyo ya kawaida ni sawa na − 1 , ambayo huturuhusu kutumia ishara ya kutoa.
Ikiwa hatukutumia sheria, basi mlolongo wa vitendo kufungua mabano katika usemi - 2 3: (- 2) · 4: - 6 7 ingeonekana kama hii:
2 3: (- 2) 4: - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1 ) · 7 6 = = (- 1) ) · (- 1) · (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6
Sheria iliyo hapo juu inaweza kutumika wakati wa kufungua mabano katika semi zinazowakilisha bidhaa na nukuu zenye ishara ya kutoa ambayo si hesabu au tofauti. Hebu tuchukue kwa mfano usemi
x 2 · (- x) : (- 1 x) · x - 3: 2 .
Inaweza kupunguzwa hadi usemi bila mabano x 2 · x: 1 x · x - 3: 2.
Kupanua mabano yanayotanguliwa na ishara +
Fikiria sheria inayoweza kutumika kupanua mabano ambayo hutanguliwa na ishara ya kuongeza, na "yaliyomo" ya mabano hayo hayazidishiwi au kugawanywa na nambari au usemi wowote.
Kwa mujibu wa sheria, mabano, pamoja na ishara mbele yao, huachwa, wakati ishara za maneno yote kwenye mabano zimehifadhiwa. Ikiwa hakuna ishara kabla ya muda wa kwanza katika mabano, basi unahitaji kuweka ishara ya kuongeza.
Mfano 3
Kwa mfano, tunatoa usemi (12 − 3 , 5) − 7 . Kwa kuacha mabano, tunaweka alama za maneno kwenye mabano na kuweka alama ya kujumlisha mbele ya muhula wa kwanza. Ingizo litaonekana kama (12 -3, 5) - 7 = + 12 - 3, 5 - 7. Katika mfano uliotolewa, si lazima kuweka ishara mbele ya muda wa kwanza, kwani + 12 - 3, 5 - 7 = 12 - 3, 5 - 7.
Mfano 4
Hebu tuangalie mfano mwingine. Wacha tuchukue usemi x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x na tufanye vitendo nayo x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x
Hapa kuna mfano mwingine wa kupanua mabano:
Mfano 5
2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x 2
Je, mabano hutanguliwa na alama ya minus hupanuliwa vipi?
Hebu tuzingatie hali ambapo kuna ishara ya kuondoa mbele ya mabano, na ambayo haijazidishwa (au kugawanywa) na nambari yoyote au usemi. Kwa mujibu wa sheria ya kufungua mabano yaliyotanguliwa na ishara "-", mabano yenye ishara "-" yameachwa, na ishara za maneno yote ndani ya mabano yanabadilishwa.
Mfano 6
Mfano:
1 2 = 1 2 , - 1 x + 1 = - 1 x + 1 , - (- x 2) = x 2
Vielezi vilivyo na vigezo vinaweza kubadilishwa kwa kutumia kanuni sawa:
X + x 3 - 3 - - 2 x 2 + 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2,
tunapata x - x 3 - 3 + 2 · x 2 - 3 · x 3 · x + 1 x - 1 - x + 2.
Kufungua mabano wakati wa kuzidisha nambari kwa mabano, misemo kwa mabano
Hapa tutaangalia hali ambapo unahitaji kupanua mabano ambayo yanazidishwa au kugawanywa na nambari fulani au usemi. Miundo ya umbo (a 1 ± a 2 ± … ± a n) b = (a 1 b ± a 2 b ± … ± a n b) au b · (a 1 ± a 2 ± … ± a n) = (b · a 1 ± b · a 2 ± … ± b · a n), wapi a 1 , a 2 , … , a n na b ni baadhi ya nambari au misemo.
Mfano 7
Kwa mfano, tupanue mabano katika usemi (3 − 7) 2. Kwa mujibu wa sheria, tunaweza kutekeleza mabadiliko yafuatayo: (3 - 7) · 2 = (3 · 2 - 7 · 2) . Tunapata 3 · 2 - 7 · 2 .
Kufungua mabano katika usemi 3 x 2 1 - x + 1 x + 2, tunapata 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2.
Kuzidisha mabano kwa mabano
Fikiria bidhaa za mabano mawili ya fomu (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) . Hii itatusaidia kupata sheria ya kufungua mabano wakati wa kuzidisha mabano kwa mabano.
Ili kutatua mfano uliopewa, tunaashiria usemi (b 1 + b 2) kama b. Hii itaturuhusu kutumia kanuni ya kuzidisha mabano kwa usemi. Tunapata (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) · b = (a 1 · b + a 2 · b) = a 1 · b + a 2 · b. Kwa kufanya uingizwaji wa kinyume b kwa (b 1 + b 2), tena tumia kanuni ya kuzidisha usemi kwa mabano: a 1 b + a 2 b = = a 1 (b 1 + b 2) + a 2 (b 1 + b 2) = = (a 1 b 1 + a 1 b 2) + (a 2 b 1 + a 2 b 2) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 2 b 2
Shukrani kwa idadi ya mbinu rahisi, tunaweza kufikia jumla ya bidhaa za kila neno kutoka kwa mabano ya kwanza kwa kila neno kutoka kwa mabano ya pili. Sheria inaweza kupanuliwa kwa idadi yoyote ya masharti ndani ya mabano.
Wacha tuunda sheria za kuzidisha mabano kwa mabano: kuzidisha hesabu mbili pamoja, unahitaji kuzidisha kila masharti ya jumla ya kwanza kwa kila masharti ya jumla ya pili na kuongeza matokeo.
Formula itaonekana kama hii:
(a 1 + a 2 + . . . + a m) · (b 1 + b 2 + . . . + b n) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 +. . . + a 2 b n + + . . . + + a m b 1 + a m b 1 + . . . m b n
Hebu tupanue mabano katika usemi (1 + x) · (x 2 + x + 6) Ni bidhaa ya hesabu mbili. Hebu tuandike suluhisho: (1 + x) · (x 2 + x + 6) = = (1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6) = = 1 · x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6
Inafaa kutaja kando kesi hizo ambapo kuna ishara ya minus kwenye mabano pamoja na ishara zaidi. Kwa mfano, chukua usemi (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) .
Kwanza, wacha tuwasilishe misemo kwenye mabano kama hesabu: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)). Sasa tunaweza kutumia kanuni: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)) = = (1 · 3 · x · y + 1 · (− 2 ·) x · y 3) + (− x) · 3 · x · y + (− x) · (− 2 · x · y 3))
Hebu tufungue mabano: 1 · 3 · x · y - 1 · 2 · x · y 3 − x · 3 · x · y + x · 2 · x · y 3 · 2 · x · y 3 · 3 · x · y .
Kupanua mabano katika bidhaa za mabano mengi na misemo
Ikiwa kuna maneno matatu au zaidi katika mabano katika usemi, mabano lazima yafunguliwe kwa kufuatana. Unahitaji kuanza mabadiliko kwa kuweka mambo mawili ya kwanza kwenye mabano. Ndani ya mabano haya tunaweza kufanya mabadiliko kulingana na sheria zilizojadiliwa hapo juu. Kwa mfano, mabano katika usemi (2 + 4) · 3 · (5 + 7 · 8) .
Usemi huo una mambo matatu kwa wakati mmoja (2 + 4) , 3 na (5 + 7 8) . Tutafungua mabano kwa mlolongo. Wacha tuambatanishe mambo mawili ya kwanza kwenye mabano mengine, ambayo tutafanya nyekundu kwa uwazi: (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).
Kwa mujibu wa sheria ya kuzidisha mabano kwa nambari, tunaweza kufanya vitendo vifuatavyo: ((2 + 4) · 3) · (5 + 7 · 8) = (2 · 3 + 4 · 3) · ( 5 + 7 · 8) .
Kuzidisha mabano kwa mabano: (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8 .
Bracket kwa aina
Digrii, misingi ambayo ni baadhi ya misemo iliyoandikwa kwenye mabano, yenye vielelezo asilia inaweza kuzingatiwa kama bidhaa ya mabano kadhaa. Aidha, kwa mujibu wa sheria kutoka kwa aya mbili zilizopita, zinaweza kuandikwa bila mabano haya.
Fikiria mchakato wa kubadilisha usemi (a + b + c) 2 . Inaweza kuandikwa kama bidhaa ya mabano mawili (a + b + c) · (a + b + c). Hebu tuzidishe mabano kwa mabano na tupate a · a + a · b + a · c + b · a + b · b + b · c + c · a + c · b + c · c.
Hebu tuangalie mfano mwingine:
Mfano 8
1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x · 1 x · 1 x + 1 x · 2 · 1 x + 2 · 1 x · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 1 x · 1 x · 2 + + 1 x 2 · 2 + 2 · 1 x · 2 + 2 2 2
Kugawanya mabano kwa nambari na mabano kwa mabano
Kugawanya mabano kwa nambari kunahitaji masharti yote yaliyoambatanishwa kwenye mabano yagawanywe kwa nambari. Kwa mfano, (x 2 - x) : 4 = x 2: 4 - x: 4 .
Mgawanyiko unaweza kwanza kubadilishwa na kuzidisha, baada ya hapo unaweza kutumia sheria inayofaa kwa kufungua mabano kwenye bidhaa. Sheria hiyo hiyo inatumika wakati wa kugawanya mabano kwa mabano.
Kwa mfano, tunahitaji kufungua mabano katika usemi (x + 2) : 2 3 . Ili kufanya hivyo, kwanza badilisha mgawanyiko kwa kuzidisha kwa nambari ya kubadilishana (x + 2): 2 3 = (x + 2) · 2 3. Zidisha mabano kwa nambari (x + 2) · 2 3 = x · 2 3 + 2 · 2 3 .
Hapa kuna mfano mwingine wa mgawanyiko kwa mabano:
Mfano 9
1 x + x + 1: (x + 2) .
Wacha tubadilishe mgawanyiko na kuzidisha: 1 x + x + 1 · 1 x + 2.
Wacha tufanye kuzidisha: 1 x + x + 1 · 1 x + 2 = 1 x · 1 x + 2 + x · 1 x + 2 + 1 · 1 x + 2 .
Agizo la kufungua mabano
Sasa hebu fikiria utaratibu wa matumizi ya sheria zilizojadiliwa hapo juu kwa maneno ya jumla, i.e. kwa maneno ambayo yana jumla na tofauti, bidhaa zilizo na quotients, mabano kwa kiwango cha asili.
Utaratibu:
- hatua ya kwanza ni kuinua mabano kwa nguvu ya asili;
- katika hatua ya pili, ufunguzi wa mabano katika kazi na quotients hufanyika;
- Hatua ya mwisho ni kufungua mabano katika hesabu na tofauti.
Hebu tuchunguze mpangilio wa vitendo kwa kutumia mfano wa usemi (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) . Wacha tubadilishe kutoka kwa misemo 3 · (− 2) : (− 4) na 6 · (− 7) , ambayo inapaswa kuchukua fomu. ( 3 2:4 ) na (− 6 · 7) . Tunapobadilisha matokeo yaliyopatikana kwa usemi asilia, tunapata: (- 5) + 3 · (- 2) : (- 4) - 6 · (- 7) = (- 5) + (3 · 2: 4) - (− 6 · 7) . Fungua mabano: − 5 + 3 · 2: 4 + 6 · 7.
Wakati wa kushughulika na misemo ambayo ina mabano ndani ya mabano, ni rahisi kufanya mabadiliko kwa kufanya kazi kutoka ndani kwenda nje.
Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter
Katika somo lililopita tulishughulika na factorization. Tulifahamu njia mbili: kuweka kipengele cha kawaida kwenye mabano na kuweka kambi. Katika somo hili - njia ifuatayo yenye nguvu: fomula zilizofupishwa za kuzidisha. Kwa kifupi - FSU.
Fomula zilizofupishwa za kuzidisha (jumla na tofauti mraba, jumla na mchemraba tofauti, tofauti ya miraba, jumla na tofauti ya cubes) ni muhimu sana katika matawi yote ya hisabati. Zinatumika katika kurahisisha misemo, kutatua equations, kuzidisha polynomials, kupunguza sehemu, kutatua viunga, nk. Nakadhalika. Kwa kifupi, kuna kila sababu ya kukabiliana nao. Elewa zinatoka wapi, kwa nini zinahitajika, jinsi ya kuzikumbuka na jinsi ya kuzitumia.
Tunaelewa?)
Fomula zilizofupishwa za kuzidisha zinatoka wapi?
Usawa wa 6 na 7 haujaandikwa kwa njia inayojulikana sana. Ni aina ya kinyume. Hii ni kwa makusudi.) Usawa wowote hufanya kazi kutoka kushoto kwenda kulia na kutoka kulia kwenda kushoto. Ingizo hili linaifanya iwe wazi zaidi FSU zinatoka wapi.
Zinachukuliwa kutoka kwa kuzidisha.) Kwa mfano:
(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2
Hiyo ni, hakuna mbinu za kisayansi. Tunazidisha mabano kwa urahisi na kutoa sawa. Hivi ndivyo inavyogeuka fomula zote zilizofupishwa za kuzidisha. Kifupi kuzidisha ni kwa sababu katika fomula zenyewe hakuna kuzidisha mabano na kupunguzwa kwa zile zinazofanana. Kifupi.) Matokeo hutolewa mara moja.
FSU inahitaji kujulikana kwa moyo. Bila tatu za kwanza, huwezi kuota C; bila zingine, huwezi kuota B au A.)
Kwa nini tunahitaji fomula zilizofupishwa za kuzidisha?
Kuna sababu mbili za kujifunza, hata kukariri, kanuni hizi. Ya kwanza ni kwamba jibu lililopangwa tayari hupunguza idadi ya makosa moja kwa moja. Lakini hii sio sababu kuu. Lakini ya pili ...
Ikiwa unapenda tovuti hii ...
Kwa njia, nina tovuti kadhaa za kupendeza kwako.)
Unaweza kufanya mazoezi ya kutatua mifano na kujua kiwango chako. Inajaribu kwa uthibitishaji wa papo hapo. Wacha tujifunze - kwa hamu!)
Unaweza kufahamiana na kazi na derivatives.
Kazi kuu ya mabano ni kubadili utaratibu wa vitendo wakati wa kuhesabu maadili. Kwa mfano, katika usemi wa nambari \(5·3+7\) kuzidisha kutahesabiwa kwanza, na kisha kuongeza: \(5·3+7 =15+7=22\). Lakini katika usemi \(5·(3+7)\) nyongeza katika mabano itahesabiwa kwanza, na kisha tu kuzidisha: \(5·(3+7)=5·10=50\).
Mfano.
Panua mabano: \(-(4m+3)\).
Suluhisho
: \(-(4m+3)=-4m-3\).
Mfano.
Fungua mabano na utoe masharti sawa \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Suluhisho
: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
Mfano.
Panua mabano \(5(3-x)\).
Suluhisho
: Katika mabano tuna \(3\) na \(-x\), na kabla ya bracket kuna tano. Hii ina maana kwamba kila mwanachama wa mabano huzidishwa na \(5\) - nakukumbusha kwamba Alama ya kuzidisha kati ya nambari na mabano haijaandikwa katika hisabati ili kupunguza ukubwa wa maingizo..
Mfano.
Panua mabano \(-2(-3x+5)\).
Suluhisho
: Kama katika mfano uliopita, \(-3x\) na \(5\) kwenye mabano yanazidishwa na \(-2\).
Mfano.
Rahisisha usemi: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Suluhisho
: \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).
Inabakia kuzingatia hali ya mwisho.
Wakati wa kuzidisha mabano kwa mabano, kila muhula wa mabano ya kwanza huzidishwa kwa kila muhula wa pili:
\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)
Mfano.
Panua mabano \((2-x)(3x-1)\).
Suluhisho
: Tuna bidhaa ya mabano na inaweza kupanuliwa mara moja kwa kutumia fomula iliyo hapo juu. Lakini ili si kuchanganyikiwa, hebu tufanye kila kitu hatua kwa hatua.
Hatua ya 1. Ondoa mabano ya kwanza - zidisha kila masharti yake kwa mabano ya pili:
Hatua ya 2. Panua bidhaa za mabano na kipengele kama ilivyoelezwa hapo juu:
- Mambo ya kwanza kwanza ...
Kisha ya pili.
Hatua ya 3. Sasa tunazidisha na kuwasilisha maneno sawa:
Sio lazima kuelezea mabadiliko yote kwa undani kama hii; unaweza kuzidisha mara moja. Lakini ikiwa unajifunza tu jinsi ya kufungua mabano, andika kwa undani, kutakuwa na nafasi ndogo ya kufanya makosa.
Kumbuka kwa sehemu nzima. Kwa kweli, huna haja ya kukumbuka sheria zote nne, unahitaji kukumbuka moja tu, hii: \(c(a-b)=ca-cb\) . Kwa nini? Kwa sababu ukibadilisha moja badala ya c, unapata sheria \((a-b)=a-b\) . Na tukibadilisha minus moja, tunapata kanuni \(-(a-b)=-a+b\) . Kweli, ikiwa utabadilisha mabano mengine badala ya c, unaweza kupata sheria ya mwisho.
Mabano ndani ya mabano
Wakati mwingine katika mazoezi kuna matatizo na mabano yaliyowekwa ndani ya mabano mengine. Hapa kuna mfano wa kazi kama hiyo: kurahisisha usemi \(7x+2(5-(3x+y))\).
Ili kutatua kazi kama hizo kwa mafanikio, unahitaji:
- kuelewa kwa uangalifu kiota cha mabano - ambayo iko ndani yake;
- fungua mabano sequentially, kuanzia, kwa mfano, na moja ya ndani.
Ni muhimu wakati wa kufungua moja ya mabano usiguse sehemu nyingine ya usemi, kuandika tena kama ilivyo.
Wacha tuangalie kazi iliyoandikwa hapo juu kama mfano.
Mfano.
Fungua mabano na utoe masharti sawa \(7x+2(5-(3x+y))\).
Suluhisho:
Mfano.
Fungua mabano na utoe masharti sawa \(-(x+3(2x-1+(x-5))))\).
Suluhisho
:
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\) |
Kuna viota mara tatu vya mabano hapa. Wacha tuanze na ile ya ndani kabisa (iliyoangaziwa kwa kijani kibichi). Kuna nyongeza mbele ya mabano, kwa hivyo inatoka tu. |
|
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\) |
Sasa unahitaji kufungua bracket ya pili, ya kati. Lakini kabla ya hapo, tutarahisisha usemi wa istilahi kama ghost katika mabano haya ya pili. |
|
|
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\) |
Sasa tunafungua bracket ya pili (iliyoonyeshwa kwa bluu). Kabla ya mabano ni sababu - kwa hivyo kila neno kwenye mabano linazidishwa nayo. |
|
|
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\) |
||
|
Na ufungue bracket ya mwisho. Kuna ishara ya kutoa mbele ya mabano, kwa hivyo ishara zote zimeachwa. |
||
Kupanua mabano ni ujuzi wa msingi katika hisabati. Bila ujuzi huu, haiwezekani kuwa na daraja la juu ya C katika daraja la 8 na la 9. Kwa hivyo, napendekeza uelewe mada hii vizuri.
Wacha sasa tuzingatie mgawanyiko wa binomial na, kwa kutumia maoni ya hesabu, tutazungumza juu ya mraba wa jumla, i.e. (a + b)², na mraba wa tofauti ya nambari mbili, i.e. (a - b) ².
Kwa kuwa (a + b)² = (a + b) ∙ (a + b),
kisha tunapata: (a + b) ∙ (a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b², i.e.
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Ni muhimu kukumbuka matokeo haya katika mfumo wa usawa ulioelezewa hapo juu na kwa maneno: mraba wa jumla ya nambari mbili ni sawa na mraba wa nambari ya kwanza pamoja na bidhaa ya mbili kwa nambari ya kwanza na ya pili. nambari, pamoja na mraba wa nambari ya pili.
Kujua matokeo haya, tunaweza kuandika mara moja, kwa mfano:
(x + y)² = x² + 2xy + y²
(3ab + 1)² = 9a² b² + 6ab + 1
(x n + 4x)² = x 2n + 8x n+1 + 16x 2
Hebu tuangalie ya pili ya mifano hii. Tunahitaji mraba wa jumla ya nambari mbili: nambari ya kwanza ni 3ab, ya pili 1. Matokeo yanapaswa kuwa: 1) mraba wa nambari ya kwanza, yaani (3ab)², ambayo ni sawa na 9a²b²; 2) bidhaa ya mbili kwa nambari ya kwanza na ya pili, yaani 2 ∙ 3ab ∙ 1 = 6ab; 3) mraba wa nambari ya 2, i.e. 1² = 1 - maneno haya yote matatu lazima yaongezwe pamoja.
Pia tunapata fomula ya kugawanya tofauti ya nambari mbili, i.e. kwa (a – b)²:
(a – b)² = (a – b) (a – b) = a² – ab – ab + b² = a² – 2ab + b².
(a – b)² = a² – 2ab + b²,
i.e. mraba wa tofauti ya nambari mbili ni sawa na mraba wa nambari ya kwanza, ukiondoa bidhaa ya mbili kwa nambari ya kwanza na ya pili, pamoja na mraba wa nambari ya pili.
Kujua matokeo haya, tunaweza kufanya mara moja squaring ya binomials, ambayo, kutoka kwa mtazamo wa hesabu, inawakilisha tofauti ya namba mbili.
(m – n)² = m² – 2mn + n²
(5ab 3 – 3a 2 b) 2 = 25a 2 b 6 – 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2 
(a n-1 – a) 2 = a 2n-2 – 2a n + a 2, nk.
Hebu tueleze mfano wa 2. Hapa tuna katika mabano tofauti ya nambari mbili: nambari ya kwanza ni 5ab 3 na nambari ya pili ni 3a 2 b. Matokeo yanapaswa kuwa: 1) mraba wa nambari ya kwanza, i.e. (5ab 3) 2 = 25a 2 b 6, 2) bidhaa ya mbili kwa 1 na nambari ya 2, i.e. 2 ∙ 5ab 3 ∙ 3a 2 b = 30a 3 b 4 na 3) mraba wa nambari ya pili, yaani (3a 2 b) 2 = 9a 4 b 2; Masharti ya kwanza na ya tatu lazima yachukuliwe na kuongeza, na ya 2 na minus, tunapata 25a 2 b 6 - 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2. Ili kuelezea mfano wa 4, tunaona tu kwamba 1) (n-1)2 = 2n-2 ... kielelezo lazima kizidishwe na 2 na 2) bidhaa ya mbili kwa nambari ya 1 na kwa 2 = 2 ∙ a n-1 ∙ a = 2a n.
Ikiwa tunachukua mtazamo wa aljebra, basi usawa zote mbili: 1) (a + b)² = a² + 2ab + b² na 2) (a – b)² = a² – 2ab + b² zinaelezea kitu kimoja, yaani: mraba wa binomial ni sawa na mraba wa muhula wa kwanza, pamoja na bidhaa ya nambari (+2) kwa muhula wa kwanza na wa pili, pamoja na mraba wa muhula wa pili. Hii ni wazi kwa sababu usawa wetu unaweza kuandikwa upya kama:
1) (a + b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (+b) + (+b)²
2) (a – b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (–b) + (–b)²
Katika hali nyingine, ni rahisi kutafsiri usawa unaosababishwa kwa njia hii:
(–4a – 3b)² = (–4a)² + (+2) (–4a) (–3b) + (–3b)²
Hapa tunaweka mraba wa binomial ambao muhula wake wa kwanza = -4a na wa pili = -3b. Kisha tunapata (–4a)² = 16a², (+2) (–4a) (–3b) = +24ab, (–3b)² = 9b² na hatimaye:
(–4a – 3b)² = 6a² + 24ab + 9b²
Pia itawezekana kupata na kukumbuka fomula ya squaring trinomial, quadrinomial, au polynomial yoyote kwa ujumla. Walakini, hatutafanya hivi, kwa sababu sisi mara chache hatuhitaji kutumia fomula hizi, na ikiwa tunahitaji mraba wa polynomial yoyote (isipokuwa binomial), tutapunguza suala hilo kwa kuzidisha. Kwa mfano:
31. Wacha tutumie usawa 3 uliopatikana, ambao ni:
(a + b) (a – b) = a² – b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²
kwa hesabu.
Hebu iwe 41 ∙ 39. Kisha tunaweza kuwakilisha hii kwa fomu (40 + 1) (40 - 1) na kupunguza suala hilo kwa usawa wa kwanza - tunapata 40² - 1 au 1600 - 1 = 1599. Shukrani kwa hili, ni rahisi kuzidisha kama 21 ∙ 19; 22 ∙ 18; 31 ∙ 29; 32 ∙ 28; 71 ∙ 69, nk.
Hebu iwe 41 ∙ 41; ni sawa na 41² au (40 + 1)² = 1600 + 80 + 1 = 1681. Pia 35 ∙ 35 = 35² = (30 + 5)² = 900 + 300 + 25 = 1225. Ikiwa unahitaji 37 ∙ 37, ∙ 37 basi hii ni sawa na (40 - 3)² = 1600 - 240 + 9 = 1369. Kuzidisha vile (au squaring nambari za tarakimu mbili) ni rahisi kufanya, kwa ujuzi fulani, katika kichwa chako.