Lekcja o względnym położeniu prostej i okręgu. Arkusz geometrii „Względne położenie prostej i okręgu”

Aby skorzystać z podglądu prezentacji utwórz konto Google i zaloguj się na nie: https://accounts.google.com


Podpisy slajdów:

WZGLĘDNE POŁOŻENIE GEOMETRII PROSTEJ I KOŁOWEJ Klasa 8 według podręcznika L.A. Atanasyana

Jak myślisz, ile punktów wspólnych może mieć linia prosta i okrąg? O

O Na początek przypomnijmy sobie jak zdefiniować okrąg Okrąg (O, r) r – promień r A B AB – cięciwa C D CD – średnica

Zbadajmy względne położenie prostej i okręgu w pierwszym przypadku: d jest odległością środka okręgu od prostej O A B N d

Przypadek drugi: O N r jeden punkt wspólny d = r d – odległość środka okręgu od prostej d

Przypadek trzeci: O H d r d > r d – odległość od środka okręgu do prostej nie ma punktów wspólnych

Ile punktów wspólnych mogą mieć ze sobą prosta i okrąg? d r dwa punkty wspólne jeden punkt wspólny nie ma punktów wspólnych Jeżeli odległość od środka okręgu do prostej jest mniejsza niż promień okręgu, to prosta i okrąg mają dwa punkty wspólne. Jeżeli odległość środka okręgu od prostej jest równa promieniowi okręgu, to prosta i okrąg mają tylko jeden punkt wspólny. Jeżeli odległość środka okręgu od prostej jest większa niż promień okręgu, to prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych.

Styczna do okręgu Definicja: Prostą, która ma tylko jeden punkt wspólny z okręgiem, nazywamy styczną do okręgu, a ich wspólny punkt nazywamy punktem stycznym tej prostej i okręgu. O s = r M m

Znajdź względne położenie prostej i okręgu, jeśli: r = 15 cm, s = 11 cm r = 6 cm, s = 5,2 cm r = 3,2 m, s = 4,7 m r = 7 cm, s = 0,5 dm r = 4 cm, s = 4 0 mm prosta - sieczna - sieczna brak punktów wspólnych linia prosta - sieczna - styczna

Właściwość stycznej: Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia narysowanego do punktu styczności. m – styczna do okręgu o środku O M – punkt styku OM - promień O M m

Własność stycznych przechodzących przez jeden punkt: ▼ Przez własność stycznych ∆ ABO, ∆ ACO – prostokąt ∆ ABO= ∆ ACO – przez przeciwprostokątną i ramię: OA – ogólne, OB=OS – promienie AB=AC i ▲ O BCA A 1 2 3 4 Odcinki stycznych do okręgu wyprowadzone z jednego punktu są równe i tworzą równe kąty z prostą przechodzącą przez ten punkt i środek okręgu.

Znak stycznej: Jeżeli prosta przechodzi przez koniec promienia leżącego na okręgu i jest prostopadła do promienia, to jest styczna. okrąg o środku O promienia OM m – prosta przechodząca przez punkt M i m – styczna O M m

Rozwiąż zadanie nr 633. Dane: OABC- kwadrat AB = 6 cm Okrąg o środku O o promieniu 5 cm Znajdź: sieczne prostych OA, AB, BC, AC O A B C O

Rozwiąż nr 638, 640. d/z: naucz się notatek, nr 631, 635


Na temat: rozwój metodologiczny, prezentacje i notatki

Cel: ugruntowanie umiejętności określania względnego położenia linii prostej i płaszczyzny, sprawdzenie umiejętności rozwiązywania problemów i kultywowanie poczucia pracy zespołowej. ...

względne położenie linii i okręgu. 8 klasa.

Prezentacja zawiera cztery zadania ustne rozwiązane przy pomocy gotowych rysunków. Cel: przygotować uczniów do nauki nowego materiału....

Względne położenie prostej i okręgu. Względne położenie dwóch okręgów.

Podsumowanie i prezentacja lekcji na temat „Względne położenie linii i okręgu. Względne położenie dwóch okręgów”. Lekcja w klasie VI z wykorzystaniem podręcznika „Matematyka – 6” wyd. G.V. Dorofiejew, ja...

Niech na płaszczyźnie zostaną dane okrąg i jakaś prosta. Spuśćmy prostopadłą ze środka okręgu C na tę prostą; oznaczmy przez podstawę tej prostopadłej. Punkt może zajmować trzy możliwe pozycje względem okręgu: a) leżeć na zewnątrz okręgu, b) na okręgu, c) wewnątrz okręgu. W zależności od tego linia prosta zajmie jedno z trzech możliwych różnych położeń względem okręgu, opisanych poniżej.

a) Niech podstawa prostopadłej wypuszczonej ze środka C okręgu do prostej leży poza okręgiem (ryc. 197). Wtedy prosta nie przecina okręgu; wszystkie jej punkty leżą w obszarze zewnętrznym. Rzeczywiście, we wskazanym przypadku, pod warunkiem, jest on usuwany ze środka w odległości większej niż promień). Co więcej, dla dowolnego punktu M na prostej a mamy to znaczy, że każdy punkt na danej prostej leży poza okręgiem.

b) Niech podstawa prostopadłej spadnie na okrąg (ryc. 198). Wtedy prosta a ma dokładnie jeden punkt wspólny z okręgiem. Rzeczywiście, jeśli M jest jakimkolwiek innym punktem prostej, to (nachylone są dłuższe od prostopadłych) punkt M leży w obszarze zewnętrznym. Linię taką, która ma jeden punkt wspólny z okręgiem, nazywa się w tym punkcie styczną do okręgu. Pokażmy, że odwrotnie, jeśli prosta ma jeden punkt wspólny z okręgiem, to promień poprowadzony do tego punktu jest prostopadły do ​​tej prostej. Rzeczywiście, upuśćmy prostopadłą ze środka na tę linię. Jeżeli jej podstawa leżałaby wewnątrz okręgu, to linia prosta miałaby z nią dwa punkty wspólne, jak pokazano na rysunku c). Gdyby leżała poza okręgiem, to na mocy a) prosta nie miałaby punktów wspólnych z okręgiem.

Pozostaje zatem założyć, że prostopadła przypada na wspólny punkt prostej i okręgu – w punkcie ich styczności. Udowodniono, że jest ważny

Twierdzenie. Linia prosta przechodząca przez punkt na okręgu dotyka okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadła do promienia poprowadzonego do tego punktu.

Należy zauważyć, że podana tutaj definicja stycznej do okręgu nie ma zastosowania do innych krzywych. Bardziej ogólna definicja stycznej prostej do krzywej jest związana z pojęciami teorii granic i jest szczegółowo omawiana w toku matematyki wyższej. Tutaj podamy jedynie ogólne pojęcie na ten temat. Niech będzie dany okrąg i punkt A na nim (ryc. 199).

Weźmy kolejny punkt A na okręgu i połączmy oba punkty prostej AA. Niech punkt A poruszając się po okręgu zajmuje szereg nowych pozycji, coraz bardziej zbliżając się do punktu A. Prosta AA, obracając się wokół A, przyjmuje kilka położeń: w tym przypadku w miarę zbliżania się punktu A do punktu A , linia prosta ma tendencję do pokrywania się ze styczną AT. Dlatego o stycznej można mówić jako o granicznym położeniu siecznej przechodzącej przez dany punkt i punkt na krzywej, który zbliża się do niej bez ograniczeń. W tej formie definicja stycznej ma zastosowanie do krzywych o bardzo ogólnej postaci (ryc. 200).

c) Na koniec niech punkt leży wewnątrz okręgu (ryc. 201). Następnie . Rozważymy ukośne okręgi narysowane na linii prostej a od środka C, których podstawy oddalają się od punktu w dowolnym z dwóch możliwych kierunków. Długość nachylonej będzie wzrastać monotonicznie w miarę oddalania się jej podstawy od punktu; to zwiększanie długości nachylonej następuje stopniowo („w sposób ciągły”) od wartości bliskich do wartości dowolnie dużych, dlatego wydaje się jasne, że w pewnym położeniu nachylonych podstaw ich długość będzie dokładnie równa odpowiednim punktom K i L linii będą leżeć na okręgu.

Względne położenie prostej i okręgu Przekonajmy się, ile punktów wspólnych może mieć prosta i okrąg, w zależności od ich względnego położenia. Oczywiste jest, że jeśli linia prosta przechodzi przez środek koła, to przecina okrąg na dwóch końcach leżącej na nim średnicy. ta prima.

Niech będzie prosto R nie przechodzi przez środek okręgu promieniowego R. Narysujmy prostopadłą ON do linii prostej R i oznaczyć literą D długość tej prostopadłej, czyli odległość od środka tego okręgu do prostej (ryc. 1 ). Badamy względne położenie linii i okręgu w zależności od relacji pomiędzy nimi D I R. Istnieją trzy możliwe przypadki.

1) d R z punktu N odłóż dwa segmenty NA I NV, długości równe (ryc. 1) Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa OA=,

0 B= Zatem punkty A I W leżą na okręgu i dlatego są punktami wspólnymi prostej R i podane koło.

Udowodnimy, że linia R i ten okrąg nie ma innych punktów wspólnych. Załóżmy, że mają jeszcze jeden wspólny punkt C. Następnie medianę OD Trójkąt równoramienny OAS. przeniesiony do bazy klimatyzacja, jest wysokością tego trójkąta, więc ODP. Segmenty OD I ON nie pasuje

od środka D człon AC nie pasuje do kropki N -środek odcinka , AB. Stwierdziliśmy, że z punktu O wyprowadzono dwie prostopadłe: ON I OD- do linii prostej R, co jest niemożliwe. Więc Jeśli dystans odległość środka okręgu od prostej jest mniejsza niż promień okręgu (D< р), To linia prosta i okrągIstnieją dwa punkty wspólne. W tym przypadku linia jest wywoływana sieczna w stosunku do okręgu.

2) d=R. W tym przypadku ON=R, tj. punkt N leży na okręgu i dlatego jest punktem wspólnym prostej i okręgu (ryc. 1, B). Prosty R i okrąg nie mają innych punktów wspólnych, ponieważ dla dowolnego punktu M prosty R. różni się od tematu N, OM>OH= R(skośny OM bardziej prostopadłe ON), i dlatego , punkt M nie leży na okręgu. Więc jeśli wyścigiOdległość środka okręgu od prostej jest równa promieniowi, wówczas linia prosta i okrąg mają tylko jeden punkt wspólny.

3) d>R W tym przypadku -OH> R Dlatego . dla dowolnego punktu M prosty p 0PON.>R( Ryż . 1,A) Zatem punkt M nie leży na okręgu. Więc, .jeśli odległość od środka okręguJeżeli odległość do prostej jest większa niż promień okręgu, to prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych.

Udowodniliśmy, że linia i okrąg mogą mieć jeden lub dwa punkty wspólne i mogą nie mieć żadnych punktów wspólnych. Linia prosta z okręgiem tylko jeden punkt wspólny nazywa się styczną do okręgu, i ich punkt wspólny nazywany jest punktem styczności prostej i okręgu. Na rysunku 2 widać linię prostą R- styczna do okręgu o środku O, A- punktem kontaktowym.

Udowodnijmy twierdzenie o własności stycznej.

Twierdzenie. Styczna do okręgu jest prostopadła Do promień narysowany do punktu styku.

Dowód. Pozwalać R- styczna do okręgu o środku O. A- punkt styku (patrz rys. 2). Udowodnijmy to. jaka jest tangens R prostopadle do promienia OA.

Załóżmy, że tak nie jest. Następnie promień: OA jest nachylony do linii prostej R. Ponieważ prostopadła poprowadzona z punktu O do linii prostej R, mniej skłonny OA, a następnie odległości od środka O okrąg do linii prostej R mniejszy niż promień. Dlatego prosto R i okrąg mają dwa punkty wspólne. Ale to jest sprzeczne z warunkiem; prosty R- styczna. Zatem prosto R prostopadle do promienia OA. Twierdzenie zostało udowodnione.

Rozważmy dwie styczne do okręgu o środku O, przechodząc przez punkt A i dotykając okręgu w punktach W i C (ryc. 3). Segmenty AB I AC zadzwońmy segmenty stycznenyh, narysowane z punktu A. Mają następującą właściwość, która wynika ze sprawdzonego twierdzenia:

Odcinki stycznych do okręgu wyprowadzone z jednego punktu są równe i tworzą równe kąty z linią prostą przechodzącą przez ten punkt i środek okręgu.

Aby udowodnić to stwierdzenie, przejdźmy do rysunku 3. Zgodnie z twierdzeniem o własności stycznej, kąty 1 i 2 są kątami prostymi, a zatem trójkąty ABW I ASO prostokątny. Są równe, ponieważ mają wspólną przeciwprostokątną OA i równe nogi OB I system operacyjny. Stąd, AB=AC i 3=https://pandia.ru/text/78/143/images/image007_40.jpg" szerokość="432 wysokość=163" wysokość="163">

Ryż. 2 rys. 3

https://pandia.ru/text/78/143/images/image010_57.gif" szerokość="101" wysokość="19 src=">.

Rysowanie średnicy przez punkt styku JA, będzie miał: ; Dlatego

Ryż. 1 rys. 2

https://pandia.ru/text/78/143/images/image014_12.jpg" szerokość="191 wysokość=177" wysokość="177">.jpg" szerokość="227 wysokość=197" wysokość="197" >

Zależność łuków, cięciw i odległości cięciw od środka.

Twierdzenia. W jednym kręgu lub V równe koła :

1) jeśli łuki są równe, to leżące na nich cięciwy są równe i jednakowo oddalone od środka;

2) jeśli dwa łuki mniejsze od półkola nie są równe, to większy z nich opiera się na cięciwie większej i z obu cięciwów większy znajduje się bliżej środka .

1) Niech łuk AB równy łukowi płyta CD(Rys. 1) należy udowodnić, że akordy AB i płyta CD równe, a także równe i prostopadłe OE I Z, obniżony od środka do akordów.

Obróćmy sektor OAJB wokół centrum O w kierunku wskazanym strzałką tak bardzo, jak promień O zbiegło się to z system operacyjny. Następnie łuk VA. pójdzie po łuku płyta CD i ze względu na ich równość łuki te będą się nakładać. Oznacza to, że akord AS pokrywa się z akordem płyta CD i prostopadłe OE zbiegnie się z Z(z jednego punktu można sprowadzić tylko jedną prostopadłą na linię prostą), tj. AB=płyta CD I OE=Z.

2) Niech łuk AB(ryc. 2) mniejszy łuk PŁYTA CD, a ponadto oba łuki są mniejsze niż półkole; wymagane jest udowodnienie, że akord AB mniej akordu PŁYTA CD, i prostopadłe OE bardziej prostopadłe Z. Połóżmy to na łuku płyta CDłuk SK, równy AB, i narysuj akord pomocniczy SK, co zgodnie z tym, co zostało udowodnione, jest równe akordowi AB i równie odległe od centrum. Na trójkątach DORSZ. I SOK dwa boki jednego są równe dwóm bokom drugiego (jak promienie), ale kąty zawarte między tymi bokami nie są równe; w tym przypadku, jak wiemy, pod większym z kątów, tj. COD, większy bok musi leżeć, co oznacza płyta>CK, i własnie dlatego płyta>AB.

Aby to udowodnić OE>Z, przeprowadzimy OLXCK i wziąć pod uwagę, że zgodnie z tym, co zostało udowodnione, OE=OL; dlatego wystarczy nam porównanie Z Z OL. W trójkącie prostokątnym 0 FM(zaznaczone na rysunku myślnikami) przeciwprostokątna OM więcej nogi Z; Ale OL>OM; to znaczy tym bardziej OL>Z. i własnie dlatego OE>Z.

Twierdzenie, które udowodniliśmy dla jednego okręgu, pozostaje prawdziwe dla okręgów równych, ponieważ okręgi te różnią się między sobą jedynie położeniem.

Twierdzenia odwrotne. Ponieważ w poprzednim akapicie rozpatrzono wszelkiego rodzaju wzajemnie wykluczające się przypadki dotyczące porównawczej wielkości dwóch łuków o tym samym promieniu i uzyskano wzajemnie wykluczające się wnioski dotyczące porównawczej wielkości cięciw i ich odległości od środka, to twierdzenia odwrotne muszą zostać prawda, C. Dokładnie:

W jedno koło lub równe koła:

1) równe cięciwy są jednakowo oddalone od środka i opierają się na równych łukach;

2) cięciwy jednakowo oddalone od środka są równe i opierają się na równych łukach;

3) z dwóch nierównych cięciw, większy znajduje się bliżej środka i leży naprzeciw większego łuku;

4) dwóch akordów nierównomiernie odległych od środka, która jest bliżej środka, jest większa i leży na większym łuku.

Twierdzenia te można łatwo udowodnić poprzez sprzeczność. Na przykład, aby udowodnić pierwsze z nich, rozumujemy w następujący sposób: gdyby te cięciwy opierały się na nierównych łukach, to zgodnie z twierdzeniem bezpośrednim nie byłyby równe, co jest sprzeczne z warunkiem; oznacza to, że równe cięciwy muszą opierać się na równych łukach; a jeśli łuki są równe, to zgodnie z twierdzeniem bezpośrednim, leżące na nich cięciwy są jednakowo odległe od środka.

Twierdzenie. Średnica jest największym z cięciw .

Jeśli połączymy się z centrum O końce jakiegoś akordu, który nie przechodzi przez środek, na przykład akord AB(ryc. 3) wtedy otrzymujemy trójkąt AOB, w którym jeden bok jest tą cięciwą, a dwa pozostałe są promieniami. Ale w trójkącie każdy bok jest mniejszy niż suma pozostałych dwóch boków; dlatego akord AB mniej niż suma dwóch promieni; natomiast każda średnica płyta CD równa sumie dwóch promieni. Oznacza to, że średnica jest większa niż jakikolwiek cięciw, który nie przechodzi przez środek. Ale ponieważ średnica jest również cięciwą, możemy powiedzieć, że średnica jest największą z cięciw.

Ryż. 1 rys. 2

Twierdzenie styczne.

Jak już wspomniano, odcinki styczne poprowadzone do okręgu z jednego punktu mają tę samą długość. Ta długość nazywa się odległość styczna od punktu do okręgu.

Bez twierdzenia o stycznej nie da się rozwiązać więcej niż jednego zadania dotyczącego okręgów wpisanych, czyli okręgów stykających się bokami wielokąta.

Odległości styczne w trójkącie.

Znajdź długości odcinków, dla których boki trójkąta ABC są podzielone punktami styczności z wpisanym w nie okręgiem (ryc. 1,a), na przykład odległość styczna ta z punktu A do kręgu. Dodajmy boki B I C, a następnie odejmij bok od sumy A. Uwzględniając równość stycznych wyprowadzonych z jednego wierzchołka, otrzymujemy 2 ta. Więc,

ta=(b+C-A)/ 2=P-A,

Gdzie p=(+b+C)/ 2 to półobwód tego trójkąta. Długość odcinków bocznych przylegających do wierzchołków W I Z, są odpowiednio równe P-B I P-C.

Podobnie dla okręgu trójkąta stycznego do (na zewnątrz) boku A(ryc. 1, b), odległości styczne od W I Z są odpowiednio równe P-C I P-B i od góry A- Tylko P.

Należy pamiętać, że te wzory można również stosować w odwrotnym kierunku.

Niech pójdzie do rogu TY wpisano okrąg, a odległość stycznej od wierzchołka kąta do okręgu jest równaP LubP- A, GdzieP– półobwód trójkąta ABC, A a=BC. Następnie okrąg dotyka linii Słońce(odpowiednio na zewnątrz lub wewnątrz trójkąta).

W rzeczywistości niech na przykład odległość styczna będzie równa P-A. Następnie nasze okręgi stykają się z bokami kąta w tych samych punktach, co okrąg trójkąta ABC, co oznacza, że ​​pokrywa się z nim. Dlatego dotyka linii Słońce.

Opisany czworobok. Z twierdzenia o równości stycznych wynika bezpośrednio (ryc. 2a), że

Jeżeli w czworokąt można wpisać okrąg, to sumy jego przeciwległych boków są równe:

AD+ BC= AB+ płyta CD

Należy zauważyć, że opisany czworobok jest z konieczności wypukły. Prawdą jest również coś odwrotnego:

Jeżeli czworokąt jest wypukły i sumy jego przeciwległych boków są równe, to można w niego wpisać okrąg.

Udowodnijmy to dla czworoboku innego niż równoległobok. Niech na przykład będą dwie przeciwne strony czworoboku AB I DC, jeśli będą kontynuowane, przetną się w jednym punkcie mi(ryc. 2, b). Wpiszmy okrąg w trójkąt ADE. Jego odległość styczna te do momentu mi wyrażone wzorem

te=½ (AE+ED-OGŁOSZENIE).

Ale zgodnie z warunkiem sumy przeciwnych boków czworoboku są równe, co oznacza AD+BC=AB+płyta CD, Lub reklama=AB+PŁYTA CD-PNE.. Podstawiając tę ​​wartość do wyrażenia for te, otrzymujemy

te=½ ((AE-AB)+(ED-CD)+p.n.e.)= ½ (BYĆ+EC+PNE),

a to jest półobwód trójkąta p.n.e.. Z warunku styczności udowodnionego powyżej wynika, że ​​nasz okrąg się styka PNE..

https://pandia.ru/text/78/143/images/image020_13.jpg" szerokość="336" wysokość="198 src=">

Dwie styczne do okręgu poprowadzone z punktu znajdującego się na zewnątrz niego są równe i tworzą równe kąty z prostą łączącą ten punkt ze środkiem, co wynika z równości trójkątów prostokątnych AOB i AOB1


Weźmy dowolny okrąg ze środkiem w punkcie O i linią prostą a.
Jeżeli prosta a przechodzi przez punkt O, to przecina dany okrąg w dwóch punktach K i L, które są końcami średnicy leżącej na prostej a.

Jeżeli prosta a nie przechodzi przez środek O okręgu, wówczas wykonamy konstrukcję pomocniczą i narysujemy linię prostą OH prostopadle do linii prostej A i oznaczają wynikową odległość od środka okręgu do linii prostej A zmienna rasstoyanie. Ustalmy, ile punktów wspólnych będzie miała prosta A i okręgi w zależności od związku między zmienną rasstoyanie a promieniem.
Mogą być 3 opcje:

  1. rasstoyanie < promień. W tym przypadku rzecz H będzie leżeć w środku okręgu ograniczonego danym okręgiem.


Ułóżmy odcinek na linii prostej HD = radius.

W OHD przeciwprostokątna OD więcej nogi HD, Dlatego OD > radius. Dlatego punkt D leży poza okręgiem ograniczonym przez dany okrąg. Oznacza to, że jeden koniec segmentu HD znajduje się w środku okręgu, a drugi poza okręgiem. Zatem na odcinku HD możesz zaznaczyć punkt A, który leży na okręgu, tj OA = radius.

Wydłużmy belkę HA i umieść na nim fragment BH, który jest równy segmentowi JAKIŚ.

Otrzymano 2 trójkąty prostokątne OHA I OB, które są równe na dwóch nogach. Wtedy odpowiadające im boki są równe: OB = OA = r. Stąd, B jest także punktem wspólnym okręgu i prostej. Ponieważ 3 punkty koła nie mogą leżeć na tej samej linii, wówczas inne wspólne punkty tej linii A i kręgi nie istnieją.
Zatem, jeśli odległość między środkiem okręgu a prostą jest mniejsza niż promień okręgu ( rasstoyanie < r adius), to linia i okrąg mają 2 punkty wspólne.

  1. rasstoyanie= radius . Ponieważ OH = radius, a następnie wskaż H należy do okręgu i dlatego jest punktem wspólnym prostej A i kręgi.


Dla pozostałych punktów na linii A(na przykład punkty i M) skośny OM więcej segmentu OH, to jest OM > OH = radius i dlatego o to chodzi M nie należy do danego kręgu.
Dlatego jeśli odległość między środkiem okręgu a prostą jest równa promieniowi okręgu ( rasstoyanie= radius), to prosta i okrąg mają tylko jeden punkt wspólny.

  1. rasstoyanie> radius . Ponieważ OH > promień, to dla dowolnych punktów prostej A(na przykład punkty M) nierówność zachodzi OM > OH > radius. A więc o co chodzi M nie należy do kręgu.


Dlatego jeśli odległość między środkiem okręgu a prostą jest większa niż promień okręgu ( rasstoyanie> radius), to linia i okrąg nie mają punktów wspólnych.

Przypomnijmy ważną definicję - definicję okręgu]

Definicja:

Okrąg o środku w punkcie O i promieniu R to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny znajdujących się w odległości R od punktu O.

Zwróćmy uwagę na fakt, że okrąg jest zbiorem wszyscy punkty spełniające opisany warunek. Spójrzmy na przykład:

Punkty A, B, C, D kwadratu są w równej odległości od punktu E, ale nie są okręgiem (ryc. 1).

Ryż. 1. Ilustracja na przykład

W tym przypadku figura jest okręgiem, ponieważ jest to zbiór punktów w jednakowej odległości od środka.

Jeśli połączysz dowolne dwa punkty na okręgu, otrzymasz cięciwę. Cięciwa przechodząca przez środek nazywa się średnicą.

MB - akord; AB - średnica; MnB jest łukiem, jest skurczony przez akord MV;

Kąt nazywa się środkowym.

Punkt O jest środkiem okręgu.

Ryż. 2. Ilustracja na przykład

W ten sposób przypomnieliśmy sobie, czym jest okrąg i jego główne elementy. Przejdźmy teraz do rozważenia względnego położenia okręgu i prostej.

Dany okrąg o środku O i promieniu r. Linia prosta P, odległość od środka do linii prostej, czyli prostopadle do OM, jest równa d.

Zakładamy, że punkt O nie leży na prostej P.

Mając dany okrąg i linię prostą, musimy znaleźć liczbę punktów wspólnych.

Przypadek 1 - odległość środka okręgu od prostej jest mniejsza niż promień okręgu:

W pierwszym przypadku, gdy odległość d jest mniejsza od promienia okręgu r, punkt M leży wewnątrz okręgu. Od tego miejsca narysujemy dwa odcinki - MA i MB, których długość będzie wynosić . Znamy wartości r i d, d jest mniejsze od r, co oznacza, że ​​wyrażenie istnieje i istnieją punkty A i B. Te dwa punkty leżą na linii prostej ze względu na konstrukcję. Sprawdźmy, czy leżą na okręgu. Obliczmy odległość OA i OB korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

Ryż. 3. Ilustracja dla przypadku 1

Odległość od środka do dwóch punktów jest równa promieniowi okręgu, zatem udowodniliśmy, że punkty A i B należą do okręgu.

Zatem punkty A i B należą konstrukcyjnie do prostej, a jak zostało udowodnione, do okręgu - okrąg i prosta mają dwa punkty wspólne. Udowodnimy, że nie ma innych punktów (ryc. 4).

Ryż. 4. Ilustracja dowodowa

Aby to zrobić, weź dowolny punkt C na prostej i załóż, że leży on na okręgu - odległość OS = r. W tym przypadku trójkąt jest równoramienny, a jego środkowa ON, która nie pokrywa się z odcinkiem OM, jest wysokością. Otrzymujemy sprzeczność: z punktu O spadają dwie prostopadłe na linię prostą.

Zatem na prostej P z okręgiem nie ma innych punktów wspólnych. Udowodniliśmy, że w przypadku, gdy odległość d jest mniejsza od promienia okręgu r, prosta i okrąg mają tylko dwa punkty wspólne.

Przypadek drugi - odległość środka okręgu od prostej jest równa promieniowi okręgu (ryc. 5):

Ryż. 5. Ilustracja dla przypadku 2

Przypomnijmy, że odległość punktu od prostej to długość prostopadłej, w tym przypadku OH jest prostopadłą. Ponieważ warunkowo długość OH jest równa promieniowi okręgu, to punkt H należy do okręgu, zatem punkt H jest wspólny prostej i okręgu.

Udowodnijmy, że nie ma innych punktów wspólnych. Dla kontrastu: załóżmy, że punkt C na prostej należy do okręgu. W tym przypadku odległość OS jest równa r, a następnie OS jest równa OH. Ale w trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna OC jest większa niż noga OH. Mamy sprzeczność. Zatem założenie jest fałszywe i nie ma innego punktu niż H, który jest wspólny dla prostej i okręgu. Udowodniliśmy, że w tym przypadku istnieje tylko jeden punkt wspólny.

Przypadek 3 - odległość środka okręgu od prostej jest większa od promienia okręgu:

Odległość punktu od prostej to długość prostopadłej. Rysujemy prostopadłą z punktu O do prostej P, otrzymujemy punkt H, który nie leży na okręgu, ponieważ OH jest pod warunkiem większy niż promień okręgu. Udowodnimy, że żaden inny punkt prostej nie leży na okręgu. Widać to wyraźnie na przykładzie trójkąta prostokątnego, którego przeciwprostokątna OM jest większa od ramienia OH, a zatem większa od promienia okręgu, zatem punkt M nie należy do okręgu, jak każdy inny punkt na prostej. Udowodniliśmy, że w tym przypadku okrąg i prosta nie mają punktów wspólnych (rys. 6).

Ryż. 6. Ilustracja dla przypadku 3

Rozważmy twierdzenie . Załóżmy, że prosta AB ma dwa punkty wspólne z okręgiem (rys. 7).

Ryż. 7. Ilustracja do twierdzenia

Mamy akord AB. Punkt H, zgodnie z umową, jest środkiem cięciwy AB i leży na średnicy CD.

Należy wykazać, że w tym przypadku średnica jest prostopadła do cięciwy.

Dowód:

Rozważmy trójkąt równoramienny OAB, jest to równoramienny, ponieważ .

Punkt H jest umownie środkiem cięciwy, czyli środkiem środkowej AB trójkąta równoramiennego. Wiemy, że środkowa trójkąta równoramiennego jest prostopadła do jego podstawy, czyli jest wysokością: , a zatem dowodzi się, że średnica przechodząca przez środek cięciwy jest do niej prostopadła.

Uczciwe i twierdzenie odwrotne : jeśli średnica jest prostopadła do cięciwy, to przechodzi przez jej środek.

Dany okrąg o środku O, jego średnica CD i cięciwa AB. Wiadomo, że średnica jest prostopadła do cięciwy; należy udowodnić, że przechodzi ona przez jej środek (ryc. 8).

Ryż. 8. Ilustracja do twierdzenia

Dowód:

Rozważmy trójkąt równoramienny OAB, jest to równoramienny, ponieważ . OH, zgodnie z umową, jest wysokością trójkąta, ponieważ średnica jest prostopadła do cięciwy. Wysokość w trójkącie równoramiennym jest jednocześnie medianą, zatem AN = HB, co oznacza, że ​​punkt H jest środkiem cięciwy AB, co oznacza, że ​​udowodniono, że średnica prostopadła do cięciwy przechodzi przez jej środek.

Twierdzenie bezpośrednie i odwrotne można uogólnić w następujący sposób.

Twierdzenie:

Średnica jest prostopadła do cięciwy wtedy i tylko wtedy, gdy przechodzi przez jej środek.

Rozważyliśmy więc wszystkie przypadki względnego położenia linii i okręgu. Na następnej lekcji przyjrzymy się stycznej do okręgu.

Bibliografia

  1. Aleksandrow A.D. itp. Geometria 8. klasa. - M.: Edukacja, 2006.
  2. Butuzow V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometria 8. - M.: Edukacja, 2011.
  3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometria w klasie 8. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.
  1. Edu.glavsprav.ru ().
  2. Webmath.exponenta.ru ().
  3. Fmclass.ru ().

Praca domowa

Zadanie 1. Znajdź długości dwóch odcinków cięciwy, na które dzieli ją średnica koła, jeśli długość cięciwy wynosi 16 cm, a średnica jest do niej prostopadła.

Zadanie 2. Wskaż liczbę punktów wspólnych prostej i okręgu jeżeli:

a) odległość prostej od środka okręgu wynosi 6 cm, a promień okręgu wynosi 6,05 cm;

b) odległość prostej od środka okręgu wynosi 6,05 cm, a promień okręgu wynosi 6 cm;

c) odległość prostej od środka okręgu wynosi 8 cm, a promień okręgu wynosi 16 cm.

Zadanie 3. Znajdź długość cięciwy, jeśli średnica jest do niej prostopadła, a jeden z odcinków odciętych od niej średnicą wynosi 2 cm.