Równanie różnic całkowitych. Równania różniczkowe w różniczkach całkowitych Całka ogólna równania różniczkowego w różniczkach całkowitych

Mechanizm różnicowy zwane równaniem postaci

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 ,

gdzie lewa strona jest całkowitą różnicą dowolnej funkcji dwóch zmiennych.

Oznaczmy nieznaną funkcję dwóch zmiennych (to właśnie należy znaleźć przy rozwiązywaniu równań w różniczkach całkowitych) przez F i wkrótce do tego wrócimy.

Pierwszą rzeczą, na którą należy zwrócić uwagę, jest to, że po prawej stronie równania musi znajdować się zero, a znak łączący oba wyrazy po lewej stronie musi być plusem.

Po drugie, należy zachować pewną równość, która potwierdza, że to równanie różniczkowe jest równaniem w różniczkach całkowitych. To sprawdzenie jest obowiązkową częścią algorytmu rozwiązywania równań w całkowitych różnicach (znajduje się w drugim akapicie tej lekcji), więc proces znajdowania funkcji F dość pracochłonne i już na początkowym etapie warto zadbać o to, aby nie tracić czasu.

Zatem nieznana funkcja, którą należy znaleźć, jest oznaczona przez F. Suma różnic cząstkowych wszystkich zmiennych niezależnych daje różnicę całkowitą. Dlatego jeśli równanie jest równaniem różniczkowym całkowitym, lewa strona równania jest sumą różnic cząstkowych. Wtedy z definicji

dF = P(x, y)dx + Q(x, y)dy .

Przypomnijmy sobie wzór na obliczenie całkowitej różniczki funkcji dwóch zmiennych:

Rozwiązując dwie ostatnie równości, możemy napisać

Pierwszą równość różniczkujemy ze względu na zmienną „y”, drugą – ze względu na zmienną „x”:

co jest warunkiem, aby dane równanie różniczkowe było rzeczywiście równaniem różniczkowym całkowitym.

Algorytm rozwiązywania równań różniczkowych w różniczkach całkowitych

Krok 1. Upewnij się, że równanie jest całkowitym równaniem różniczkowym. W celu wyrażenia była całkowitą różniczką jakiejś funkcji F(x, y) jest konieczne i wystarczające, aby . Innymi słowy, musisz wziąć pochodną cząstkową względem X i pochodna cząstkowa względem y inny wyraz i jeśli te pochodne są równe, to równanie jest całkowitym równaniem różniczkowym.

Krok 2. Zapisz układ równań różniczkowych cząstkowych tworzących tę funkcję F:

Krok 3. Całkuj pierwsze równanie układu - wg X (y F:

,
y.

Alternatywną opcją (jeśli w ten sposób łatwiej jest znaleźć całkę) jest całkowanie drugiego równania układu - wg y (X pozostaje stała i jest usuwana ze znaku całki). W ten sposób przywracana jest również funkcja F:

,
gdzie jest jeszcze nieznaną funkcją X.

Krok 4. Wynik kroku 3 (znaleziona całka ogólna) jest różniczkowany przez y(alternatywnie – wg X) i przyrównać do drugiego równania układu:

oraz w wersji alternatywnej - do pierwszego równania układu:

Z otrzymanego równania wyznaczamy (alternatywnie)

Krok 5. Wynikiem kroku 4 jest całkowanie i znalezienie (alternatywnie znalezienie ).

Krok 6. Zastąp wynik kroku 5 wynikiem kroku 3 - do funkcji przywróconej przez częściowe całkowanie F. Dowolna stała C często zapisywany po znaku równości - po prawej stronie równania. W ten sposób otrzymujemy ogólne rozwiązanie równania różniczkowego w różniczkach całkowitych. Jak już wspomniano, ma formę F(x, y) = C.

Przykłady rozwiązań równań różniczkowych w różniczkach całkowitych

Przykład 1.

Krok 1. równanie różnic całkowitych X jeden termin po lewej stronie wyrażenia

i pochodna cząstkowa względem y inny termin
równanie różnic całkowitych .

Krok 2. F:

Krok 3. Przez X (y pozostaje stała i jest usuwana ze znaku całki). W ten sposób przywracamy funkcję F:

gdzie jest jeszcze nieznaną funkcją y.

Krok 4. y

Krok 5.

Krok 6. F. Dowolna stała C :
.

Jaki błąd najprawdopodobniej tutaj wystąpi? Najczęstsze błędy to wzięcie całki cząstkowej po jednej ze zmiennych w celu zwykłej całki iloczynu funkcji i próba całkowania przez części lub zmienną zastępczą, a także przyjęcie pochodnej cząstkowej dwóch czynników jako pochodnej iloczyn funkcji i poszukaj pochodnej, korzystając z odpowiedniego wzoru.

Należy o tym pamiętać: przy obliczaniu całki cząstkowej po jednej ze zmiennych druga jest stałą i jest usuwana ze znaku całki, a przy obliczaniu pochodnej cząstkowej po jednej ze zmiennych, drugiej jest również stałą, a pochodną wyrażenia oblicza się jako pochodną zmiennej „działającej” pomnożonej przez stałą.

Wśród równania w różniczkach całkowitych Nierzadko można znaleźć przykłady z funkcją wykładniczą. To jest następny przykład. Godne uwagi jest również to, że w jego rozwiązaniu zastosowano alternatywną opcję.

Przykład 2. Rozwiązać równanie różniczkowe

Krok 1. Upewnijmy się, że równanie jest równanie różnic całkowitych . Aby to zrobić, znajdujemy pochodną cząstkową względem X jeden termin po lewej stronie wyrażenia

i pochodna cząstkowa względem y inny termin
. Pochodne te są równe, co oznacza, że równanie jest takie równanie różnic całkowitych .

Krok 2. Napiszmy układ równań różniczkowych cząstkowych tworzących tę funkcję F:

Krok 3. Całkujmy drugie równanie układu - wg y (X pozostaje stała i jest usuwana ze znaku całki). W ten sposób przywracamy funkcję F:

gdzie jest jeszcze nieznaną funkcją X.

Krok 4. Różnimy wynik kroku 3 (znaleziona całka ogólna) względem X

i przyrównać do pierwszego równania układu:

Z otrzymanego równania wyznaczamy:
.

Krok 5. Całkujemy wynik kroku 4 i znajdujemy:
.

Krok 6. Wynik kroku 5 zastępujemy wynikiem kroku 3 - funkcją przywróconą przez całkowanie częściowe F. Dowolna stała C napisz po znaku równości. W ten sposób otrzymujemy całość rozwiązywanie równania różniczkowego w różniczkach całkowitych :
.

W poniższym przykładzie wracamy z opcji alternatywnej do opcji głównej.

Przykład 3. Rozwiązać równanie różniczkowe

Krok 1. Upewnijmy się, że równanie jest równanie różnic całkowitych . Aby to zrobić, znajdujemy pochodną cząstkową względem y jeden termin po lewej stronie wyrażenia

i pochodna cząstkowa względem X inny termin
. Pochodne te są równe, co oznacza, że równanie jest takie równanie różnic całkowitych .

Krok 2. Napiszmy układ równań różniczkowych cząstkowych tworzących tę funkcję F:

Krok 3. Całkujmy pierwsze równanie układu - Przez X (y pozostaje stała i jest usuwana ze znaku całki). W ten sposób przywracamy funkcję F:

gdzie jest jeszcze nieznaną funkcją y.

Krok 4. Różnimy wynik kroku 3 (znaleziona całka ogólna) względem y

i przyrównać do drugiego równania układu:

Z otrzymanego równania wyznaczamy:
.

Krok 5. Całkujemy wynik kroku 4 i znajdujemy:

Przykład 4. Rozwiązać równanie różniczkowe

Krok 2. Napiszmy układ równań różniczkowych cząstkowych tworzących tę funkcję F:

Krok 3. Całkujmy pierwsze równanie układu - Przez X (y pozostaje stała i jest usuwana ze znaku całki). W ten sposób przywracamy funkcję F:

gdzie jest jeszcze nieznaną funkcją y.

Krok 4. Różnimy wynik kroku 3 (znaleziona całka ogólna) względem y

i przyrównać do drugiego równania układu:

Z otrzymanego równania wyznaczamy:
.

Krok 5. Całkujemy wynik kroku 4 i znajdujemy:

Przykład 5. Rozwiązać równanie różniczkowe

W tym temacie przyjrzymy się metodzie rekonstrukcji funkcji na podstawie jej różniczki całkowitej i podamy przykłady problemów wraz z pełną analizą rozwiązania.

Zdarza się, że równania różniczkowe (DE) postaci P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 mogą zawierać po lewej stronie zupełne różniczki niektórych funkcji. Następnie możemy znaleźć całkę ogólną równania różniczkowego, jeśli najpierw zrekonstruujemy funkcję na podstawie jej całkowitej różniczki.

Przykład 1

Rozważmy równanie P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0. Lewa strona zawiera różniczkę pewnej funkcji U(x, y) = 0. Aby to zrobić, musi być spełniony warunek ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x.

Całkowita różniczka funkcji U (x, y) = 0 ma postać d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y. Uwzględniając warunek ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x otrzymujemy:

P. (x, y) re x + Q (x, y) re y = ∂ U ∂ x re x + ∂ U ∂ y re y

∂ U ∂ x = P (x, y) ∂ U ∂ y = Q (x, y)

Przekształcając pierwsze równanie z otrzymanego układu równań, możemy otrzymać:

U (x, y) = ∫ P (x, y) re x + φ (y)

Funkcję φ (y) możemy znaleźć z drugiego równania otrzymanego wcześniej układu:
∂ U (x, y) ∂ y = ∂ ∫ P (x, y) re x ∂ y + φ y " (y) = Q (x, y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x, y) - ∂ ∫ P (x, y) re x ∂ y re y

W ten sposób znaleźliśmy pożądaną funkcję U (x, y) = 0.

Przykład 2

Znajdź ogólne rozwiązanie równania różniczkowego (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0.

Rozwiązanie

P (x, y) = x 2 - y 2, Q (x, y) = - 2 x y

Sprawdźmy, czy warunek ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x jest spełniony:

∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (- 2 x y) ∂ x = - 2 y

Nasz warunek jest spełniony.

Na podstawie obliczeń możemy stwierdzić, że lewa strona pierwotnego równania różniczkowego jest całkowitą różniczką jakiejś funkcji U (x, y) = 0. Musimy znaleźć tę funkcję.

Ponieważ (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y jest całkowitą różnicą funkcji U (x, y) = 0, to

∂ U ∂ x = x 2 - y 2 ∂ U ∂ y = - 2 x y

Całkujmy pierwsze równanie układu względem x:

U (x, y) = ∫ (x 2 - y 2) re x + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y)

Teraz różniczkujemy wynikowy wynik względem y:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y " (y)

Przekształcając drugie równanie układu otrzymujemy: ∂ U ∂ y = - 2 x y . To znaczy, że
- 2 x y + φ y " (y) = - 2 x y φ y " (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 re x = C

gdzie C jest dowolną stałą.

Otrzymujemy: U (x, y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + C. Całka ogólna pierwotnego równania to x 3 3 - x y 2 + C = 0.

Przyjrzyjmy się innej metodzie znajdowania funkcji przy użyciu znanej różnicy całkowitej. Polega ona na zastosowaniu całki krzywoliniowej od stałego punktu (x 0, y 0) do punktu o zmiennych współrzędnych (x, y):

U (x, y) = ∫ (x 0, y 0) (x, y) P (x, y) re x + Q (x, y) re y + C

W takich przypadkach wartość całki nie zależy w żaden sposób od ścieżki całkowania. Jako ścieżkę integracji możemy przyjąć linię przerywaną, której połączenia są równoległe do osi współrzędnych.

Przykład 3

Znajdź ogólne rozwiązanie równania różniczkowego (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0.

Rozwiązanie

Sprawdźmy, czy warunek ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x jest spełniony:

∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

Okazuje się, że lewą stronę równania różniczkowego reprezentuje całkowita różniczka jakiejś funkcji U (x, y) = 0. Aby znaleźć tę funkcję, należy obliczyć całkę liniową punktu (1 ; 1) zanim (x, y). Za ścieżkę integracji przyjmijmy linię przerywaną, której odcinki będą przebiegać w linii prostej y = 1 od punktu (1, 1) do (x, 1) i następnie od punktu (x, 1) do (x, y):

∫ (1 , 1) (x, y) y - y 2 re x + (x - 2 x y) re y = = ∫ (1 , 1) (x, 1) (y - y 2) re x + (x - 2 x y ) re y + + ∫ (x, 1) (x, y) (y - y 2) re x + (x - 2 x y) re y = = ∫ 1 x (1 - 1 2) re x + ∫ 1 y (x - 2 x y) re y = (x y - x y 2) y 1 = = x y - x y 2 - (x 1 - x 1 2) = x y - x y 2

Otrzymaliśmy ogólne rozwiązanie równania różniczkowego w postaci x y - x y 2 + C = 0.

Przykład 4

Znajdź ogólne rozwiązanie równania różniczkowego y · cos x re x + sin 2 x re y = 0 .

Rozwiązanie

Sprawdźmy, czy warunek ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x jest spełniony.

Ponieważ ∂ (y · cos x) ∂ y = cos x, ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x · cos x, to warunek nie będzie spełniony. Oznacza to, że lewa strona równania różniczkowego nie jest całkowitą różniczką funkcji. Jest to równanie różniczkowe z rozdzielnymi zmiennymi i do jego rozwiązania nadają się inne rozwiązania.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Definicja 8.4. Równanie różniczkowe postaci

Gdzie
nazywa się całkowitym równaniem różniczkowym.

Należy zauważyć, że lewa strona takiego równania jest całkowitą różnicą jakiejś funkcji
.

Ogólnie równanie (8.4) można przedstawić jako

Zamiast równania (8.5) możemy rozważyć równanie

którego rozwiązaniem jest całka ogólna równania (8.4). Zatem do rozwiązania równania (8.4) należy znaleźć funkcję
. Zgodnie z definicją równania (8.4) mamy

(8.6)

Funkcjonować
będziemy szukać funkcji spełniającej jeden z poniższych warunków (8.6):

Gdzie - dowolna funkcja niezależna od .

Funkcjonować
definiuje się tak, że spełniony jest drugi warunek wyrażenia (8.6).

(8.7)

Z wyrażenia (8.7) wyznacza się funkcję
. Zastępując go w wyrażeniu for
i uzyskaj całkę ogólną pierwotnego równania.

Zadanie 8.3. Całkuj równanie

Tutaj
.

Dlatego równanie to należy do typu równań różniczkowych w różniczkach całkowitych. Funkcjonować
będziemy szukać go w formularzu

Z drugiej strony,

W niektórych przypadkach warunek
może nie zostać spełniony.

Następnie równania takie sprowadza się do rozważanego typu poprzez pomnożenie przez tzw. współczynnik całkujący, który w ogólnym przypadku jest funkcją tylko Lub .

Jeśli jakieś równanie ma czynnik całkujący, który zależy tylko od , to określa się to na podstawie wzoru

gdzie jest związek powinna być tylko funkcją .

Podobnie czynnik całkujący zależy tylko od , określa się ze wzoru

gdzie jest związek
powinna być tylko funkcją .

Brak w danych relacjach w pierwszym przypadku zmiennej , a w drugim - zmienna , są oznaką istnienia czynnika całkującego dla danego równania.

Zadanie 8.4. Sprowadź to równanie do równania różnic całkowitych.

Rozważmy relację:

Temat 8.2. Liniowe równania różniczkowe

Definicja 8.5. Równanie różniczkowe
nazywa się liniowym, jeśli jest liniowy w odniesieniu do żądanej funkcji , jego pochodna i nie zawiera iloczynu pożądanej funkcji i jej pochodnej.

Ogólną postać liniowego równania różniczkowego reprezentuje następująca zależność:

(8.8)

Jeżeli w zależności (8.8) prawa strona
, wówczas takie równanie nazywa się liniowym jednorodnym. W przypadku, gdy prawa strona
, wówczas takie równanie nazywa się liniowym niejednorodnym.

Pokażmy, że równanie (8.8) można całkować w kwadratury.

W pierwszym etapie rozważamy liniowe równanie jednorodne.

Takie równanie jest równaniem z rozłącznymi zmiennymi. Naprawdę,

;

Ostatnia zależność określa ogólne rozwiązanie liniowego równania jednorodnego.

Aby znaleźć ogólne rozwiązanie liniowego równania niejednorodnego, stosuje się metodę różnicowania pochodnej stałej. Ideą tej metody jest to, że ogólne rozwiązanie liniowego równania niejednorodnego ma tę samą postać, co rozwiązanie odpowiedniego równania jednorodnego, ale jest dowolną stałą zastąpiony jakąś funkcją
do ustalenia. Więc mamy:

(8.9)

Podstawiając do relacji (8.8) odpowiednie wyrażenia
I
, otrzymujemy

Podstawiając ostatnie wyrażenie do zależności (8.9) otrzymujemy całkę ogólną liniowego równania niejednorodnego.

Zatem ogólne rozwiązanie liniowego równania niejednorodnego wyznaczają dwie kwadratury: ogólne rozwiązanie liniowego równania jednorodnego i szczególne rozwiązanie liniowego równania niejednorodnego.

Zadanie 8.5. Całkuj równanie

Zatem pierwotne równanie należy do typu liniowych niejednorodnych równań różniczkowych.

W pierwszym etapie znajdziemy ogólne rozwiązanie liniowego równania jednorodnego.

;

W drugim etapie określamy ogólne rozwiązanie liniowego równania niejednorodnego, które znajduje się w postaci

Gdzie
- funkcja do ustalenia.

Więc mamy:

Zastąpienie relacji za I do pierwotnego liniowego niejednorodnego równania otrzymujemy:

;

Ogólne rozwiązanie liniowego równania niejednorodnego będzie miało postać:

Sformułowanie problemu w przypadku dwuwymiarowym

Rekonstrukcja funkcji kilku zmiennych na podstawie jej całkowitej różniczki

9.1. Sformułowanie problemu w przypadku dwuwymiarowym. 72

9.2. Opis rozwiązania. 72

Jest to jedno z zastosowań całki krzywoliniowej drugiego rodzaju.

Podano wyrażenie na całkowitą różnicę funkcji dwóch zmiennych:

Znajdź funkcję.

1. Ponieważ nie każde wyrażenie formy jest całkowitą różniczką jakiejś funkcji U(X,y), to należy sprawdzić poprawność sformułowania problemu, czyli sprawdzić warunek konieczny i wystarczający na różniczkę całkowitą, która dla funkcji 2 zmiennych ma postać . Warunek ten wynika z równoważności stwierdzeń (2) i (3) w twierdzeniu z poprzedniej sekcji. Jeżeli wskazany warunek jest spełniony, to problem ma rozwiązanie, czyli funkcję U(X,y) można przywrócić; jeśli warunek nie jest spełniony, problem nie ma rozwiązania, to znaczy funkcji nie można przywrócić.

2. Funkcję można znaleźć na podstawie jej całkowitej różniczki, np. korzystając z całki krzywoliniowej drugiego rodzaju, obliczając ją wzdłuż prostej łączącej stały punkt ( X 0 ,y 0) i punkt zmienny ( x;y) (Ryż. 18):

Otrzymuje się w ten sposób całkę krzywoliniową drugiego rodzaju różniczki całkowitej du(X,y) jest równa różnicy między wartościami funkcji U(X,y) w punktach końcowych i początkowych linii całkowania.

Znając już ten wynik, musimy dokonać podstawienia du do krzywoliniowego wyrażenia całkowego i oblicz całkę wzdłuż linii łamanej ( ACB), biorąc pod uwagę jego niezależność od kształtu linii całkowania:

NA ( AC): NA ( NE) :

(1)

W ten sposób otrzymano wzór, za pomocą którego przywraca się funkcję 2 zmiennych z jej całkowitej różniczki.

3. Możliwe jest przywrócenie funkcji z jej całkowitej różniczki tylko do członu stałego, ponieważ D(U+ stała) = du. Zatem w wyniku rozwiązania problemu otrzymujemy zbiór funkcji, które różnią się od siebie stałym wyrazem.

Przykłady (rekonstrukcja funkcji dwóch zmiennych z jej całkowitej różniczki)

1. Znajdź U(X,y), Jeśli du = (X 2 – y 2)dx – 2xydy.

Sprawdzamy warunek na całkowitą różniczkę funkcji dwóch zmiennych:

Spełniony jest całkowity warunek różniczkowy, czyli funkcja U(X,y) można przywrócić.

Sprawdź: – poprawnie.

Odpowiedź: U(X,y) = X 3 /3 – xy 2 + C.

2. Znajdź taką funkcję, że

Sprawdzamy warunki konieczne i wystarczające na całkowitą różniczkę funkcji trzech zmiennych: , , , jeśli wyrażenie jest podane.

W rozwiązywanym problemie

wszystkie warunki na różnicę zupełną są spełnione, zatem funkcję można przywrócić (zadanie jest poprawnie sformułowane).

Funkcję przywrócimy za pomocą całki krzywoliniowej drugiego rodzaju, obliczając ją wzdłuż pewnej prostej łączącej punkt stały i punkt zmienny, gdyż

(równość tę wyprowadza się w taki sam sposób, jak w przypadku dwuwymiarowym).

Natomiast całka krzywoliniowa drugiego rodzaju z różniczki całkowitej nie zależy od kształtu linii całkowania, dlatego najłatwiej jest ją obliczyć wzdłuż linii łamanej składającej się z odcinków równoległych do osi współrzędnych. W tym przypadku jako punkt stały można po prostu przyjąć punkt o określonych współrzędnych liczbowych, kontrolując jedynie, czy w tym punkcie i na całej linii całkowania jest spełniony warunek istnienia całki krzywoliniowej (czyli tak, że funkcje , i są ciągłe). Uwzględniając tę uwagę, w tym zadaniu możemy przyjąć np. punkt M 0 jako punkt stały. Następnie na każdym z ogniw linii przerywanej będziemy mieli

10.2. Obliczanie całki powierzchniowej pierwszego rodzaju. 79

10.3. Niektóre zastosowania całki powierzchniowej pierwszego rodzaju. 81

niektóre funkcje. Jeśli przywrócimy funkcję z jej całkowitej różniczki, znajdziemy całkę ogólną równania różniczkowego. Poniżej porozmawiamy o metoda przywracania funkcji z jej całkowitej różniczki.

Lewa strona równania różniczkowego to całkowita różniczka jakiejś funkcji U(x, y) = 0, jeśli warunek jest spełniony.

Ponieważ pełna funkcja różnicowa U(x, y) = 0 Ten , co oznacza, że gdy warunek jest spełniony, stwierdza się, że .

Następnie, .

Z pierwszego równania układu otrzymujemy . Funkcję znajdujemy korzystając z drugiego równania układu:

W ten sposób znajdziemy potrzebną funkcję U(x, y) = 0.

Przykład.

Znajdźmy ogólne rozwiązanie DE .

Rozwiązanie.

W naszym przykładzie. Warunek jest spełniony, ponieważ:

Wtedy lewa strona początkowego równania różniczkowego jest całkowitą różnicą jakiejś funkcji U(x, y) = 0. Musimy znaleźć tę funkcję.

Ponieważ jest całkowitą różniczką funkcji U(x, y) = 0, Oznacza:

Integrujemy przez X 1. równanie układu i różniczkowanie względem y wynik:

Z drugiego równania układu otrzymujemy . Oznacza:

Gdzie Z- dowolna stała.

Zatem całka ogólna danego równania będzie wynosić .

Jest drugi metoda obliczania funkcji z jej całkowitej różniczki. Polega na przyjęciu całki liniowej z punktu stałego (x 0 , y 0) do punktu o zmiennych współrzędnych (x, y): . W tym przypadku wartość całki jest niezależna od ścieżki całkowania. Wygodnie jest przyjąć jako ścieżkę całkowania linię przerywaną, której połączenia są równoległe do osi współrzędnych.

Przykład.

Znajdźmy ogólne rozwiązanie DE .

Rozwiązanie.

Sprawdzamy spełnienie warunku:

Zatem lewa strona równania różniczkowego jest całkowitą różnicą jakiejś funkcji U(x, y) = 0. Znajdźmy tę funkcję, obliczając całkę krzywoliniową punktu (1; 1) zanim (x, y). Jako ścieżkę całkowania przyjmujemy linię łamaną: pierwszy odcinek linii łamanej przebiega po linii prostej y = 1 z punktu (1, 1) zanim (x, 1), drugi odcinek ścieżki rozpoczyna się od odcinka linii prostej od punktu (x, 1) zanim (x, y):

Ogólne rozwiązanie pilota wygląda więc następująco: .

Przykład.

Wyznaczmy rozwiązanie ogólne DE.

Rozwiązanie.

Ponieważ , co oznacza, że warunek nie jest spełniony, to lewa strona równania różniczkowego nie będzie zupełną różniczką funkcji i należy zastosować drugą metodę rozwiązania (równanie to jest równaniem różniczkowym z rozłącznymi zmiennymi).