Transpozycja macierzy

Transpozycja macierzy nazywa się zastępowaniem wierszy macierzy jej kolumnami z zachowaniem ich kolejności (lub, co jest tym samym, zastępowaniem kolumn macierzy jej wierszami).

Niech zostanie podana macierz pierwotna A:

Następnie z definicji transponowana macierz A" ma postać:

Skrócona forma zapisu operacji transpozycji macierzy: Często oznacza się transponowaną macierz

Przykład 3. Niech zostaną dane macierze A i B:

Wówczas odpowiednie transponowane macierze mają postać:

Łatwo zauważyć dwa wzorce operacji transpozycji macierzy.

1. Dwukrotnie transponowana macierz jest równa macierzy oryginalnej:

2. Podczas transpozycji macierzy kwadratowych elementy znajdujące się na głównej przekątnej nie zmieniają swojego położenia, tj. Główna przekątna macierzy kwadratowej nie zmienia się podczas transpozycji.

Mnożenie macierzy

Mnożenie macierzy jest specyficzną operacją stanowiącą podstawę algebry macierzy. Wiersze i kolumny macierzy można traktować jako wektory wierszowe i kolumnowe o odpowiednich wymiarach; innymi słowy, dowolną macierz można interpretować jako zbiór wektorów wierszowych lub wektorów kolumnowych.

Niech zostaną dane dwie macierze: A- rozmiar T X P I W- rozmiar p x k. Rozważymy macierz A jako całość T wektory wierszowe A) wymiary P każdy i macierz W - jako całość Do wektory kolumnowe b Jt zawierające każdy P współrzędne każdego:

Wektory wierszy macierzy A i wektory kolumnowe macierzy W są pokazane w zapisie tych macierzy (2.7). Długość wiersza macierzy A równa wysokości kolumny macierzy W, a zatem iloczyn skalarny tych wektorów ma sens.

Definicja 3. Iloczyn macierzy A I W nazywa się macierzą C, której elementy Su są równe iloczynom skalarnym wektorów wierszowych A ( matryce A na wektory kolumnowe bj matryce W:

Iloczyn macierzy A I W- macierz C - ma rozmiar T X Do, ponieważ długość l wektorów wierszowych i wektorów kolumnowych znika podczas sumowania iloczynów współrzędnych tych wektorów w ich iloczynach skalarnych, jak pokazano we wzorach (2.8). Zatem do obliczenia elementów pierwszego rzędu macierzy C należy po kolei otrzymać iloczyny skalarne pierwszego rzędu macierzy A do wszystkich kolumn macierzy W drugi rząd macierzy C otrzymuje się jako iloczyn skalarny wektora drugiego rzędu macierzy A do wszystkich wektorów kolumnowych macierzy W, i tak dalej. Dla wygody zapamiętania wielkości iloczynu macierzy należy podzielić iloczyny rozmiarów macierzy czynnikowych: - , następnie pozostałe liczby w stosunku dają wielkość iloczynu Do

dsnia, t.s. rozmiar macierzy C jest równy T X Do.

Operacja mnożenia macierzy ma charakterystyczną cechę: iloczyn macierzy A I W ma sens, jeśli liczba kolumn w A równa liczbie linii w W. A następnie, jeśli A i B - macierze prostokątne, a następnie iloczyn W I A nie będzie już miało sensu, gdyż iloczyny skalarne tworzące elementy odpowiedniej macierzy muszą obejmować wektory o tej samej liczbie współrzędnych.

Jeśli macierze A I W kwadrat o wymiarach l x l ma sens jako iloczyn macierzy AB, i iloczyn macierzy VA, a rozmiar tych macierzy jest taki sam jak rozmiar pierwotnych czynników. W tym przypadku w ogólnym przypadku mnożenia macierzy nie jest przestrzegana zasada permutacji (przemienności), tj. AB * VA.

Spójrzmy na przykłady mnożenia macierzy.

Ponieważ liczba kolumn macierzy A równa liczbie wierszy macierzy W, iloczyn macierzy AB ma znaczenie. Korzystając ze wzorów (2.8) otrzymujemy macierz o wymiarach 3x2 w iloczynie:

Praca VA nie ma sensu, ponieważ liczba kolumn macierzy W nie odpowiada liczbie wierszy macierzy A.

Tutaj znajdziemy produkty macierzowe AB I VA:

Jak widać z wyników, macierz iloczynu zależy od kolejności macierzy w iloczynie. W obu przypadkach iloczyny macierzy mają taki sam rozmiar jak czynniki pierwotne: 2x2.

W tym przypadku macierz W jest wektorem kolumnowym, tj. macierz z trzema wierszami i jedną kolumną. Ogólnie rzecz biorąc, wektory są szczególnymi przypadkami macierzy: wektorem wierszowym długości P jest macierzą z jednym wierszem i P kolumny i wektor kolumny wysokości P- matryca z P wiersze i jedna kolumna. Rozmiary podanych macierzy wynoszą odpowiednio 2 x 3 i 3 x I, zatem iloczyn tych macierzy jest określony. Mamy

Produkt tworzy macierz o rozmiarze 2 x 1 lub wektor kolumnowy o wysokości 2.

Mnożąc kolejno macierze, otrzymujemy:

Własności iloczynu macierzy. Pozwalać A, B i C są macierzami o odpowiednich rozmiarach (aby można było wyznaczyć iloczyny macierzy), a a jest liczbą rzeczywistą. Wtedy zachodzą następujące własności iloczynu macierzy:

• 1) (AB)C = A(BC);
• 2) C A + B)C = AC + BC
• 3) A (B+ C) = AB + AC;
• 4) (AB) = (aA)B = A(aB).

Pojęcie macierzy tożsamości mi wprowadzono w punkcie 2.1.1. Łatwo zauważyć, że w algebrze macierzy pełni ona rolę jednostki, tj. Po lewej i prawej stronie możemy zauważyć jeszcze dwie właściwości związane z mnożeniem przez tę macierz:

• 5 )AE=A;
• 6) EA = A.

Innymi słowy, iloczyn dowolnej macierzy przez macierz jednostkową, jeśli ma to sens, nie zmienia macierzy pierwotnej.

Podczas pracy z macierzami czasami trzeba je transponować, czyli w prostych słowach odwrócić. Oczywiście możesz wprowadzić dane ręcznie, ale Excel oferuje kilka sposobów, aby zrobić to łatwiej i szybciej. Przyjrzyjmy się im szczegółowo.

Transpozycja macierzy to proces zamiany kolumn i wierszy. Excel ma dwie możliwości transpozycji: użycie funkcji TRANSSP i za pomocą specjalnego narzędzia do wkładania. Przyjrzyjmy się każdej z tych opcji bardziej szczegółowo.

Metoda 1: Operator TRANSPOZYCJI

Funkcjonować TRANSSP należy do kategorii operatorów „Łącza i tablice”. Osobliwością jest to, że podobnie jak inne funkcje działające z tablicami, wynikiem wyjściowym nie jest zawartość komórki, ale cała tablica danych. Składnia funkcji jest dość prosta i wygląda następująco:

TRANSP(tablica)

Oznacza to, że jedynym argumentem tego operatora jest odwołanie do tablicy, w naszym przypadku macierzy, która ma zostać przekonwertowana.

Zobaczmy, jak można zastosować tę funkcję na przykładzie prawdziwej macierzy.

1. Wybieramy pustą komórkę na arkuszu, którą planujemy uczynić najwyższą lewą komórką przekształconej macierzy. Następnie kliknij ikonę „Wstaw funkcję”, który znajduje się w pobliżu paska formuły.



2. Uruchomienie w toku Kreatorzy funkcji. Otwórz w nim kategorię „Łącza i tablice” Lub „Pełna lista alfabetyczna”. Po znalezieniu nazwy „TRANSP”, wybierz go i kliknij przycisk "OK".



3. Otworzy się okno argumentów funkcji TRANSSP. Jedyny argument tego operatora odpowiada polu "Szyk". Musisz wprowadzić współrzędne macierzy, którą należy odwrócić. W tym celu należy umieścić kursor w polu i przytrzymując lewy przycisk myszy zaznaczyć cały zakres macierzy na arkuszu. Po wyświetleniu adresu obszaru w oknie argumentów kliknij przycisk "OK".



4. Ale, jak widzimy, w komórce, która ma wyświetlić wynik, wyświetlana jest niepoprawna wartość w postaci błędu "#WARTOŚĆ!". Wynika to ze sposobu działania operatorów tablicowych. Aby poprawić ten błąd, należy zaznaczyć zakres komórek, w którym liczba wierszy powinna być równa liczbie kolumn macierzy oryginalnej, a liczba kolumn powinna być równa liczbie wierszy. Taka zgodność jest bardzo istotna dla prawidłowego wyświetlenia wyniku. W tym przypadku komórka zawierająca wyrażenie "#WARTOŚĆ!" powinna być lewą górną komórką wybranej tablicy i to właśnie z tej komórki należy rozpocząć procedurę selekcji przytrzymując lewy przycisk myszy. Po dokonaniu wyboru umieść kursor na pasku formuły bezpośrednio za wyrażeniem operatora TRANSSP, które powinny się w nim pojawić. Następnie, aby wykonać obliczenia, należy nacisnąć przycisk Wchodzić, jak to zwykle bywa w konwencjonalnych formułach, i wybierz kombinację Ctrl+Shift+Enter.



5. Po tych działaniach matryca została wyświetlona tak jak potrzebowaliśmy, czyli w formie transponowanej. Ale jest jeszcze inny problem. Faktem jest, że teraz nowa macierz jest tablicą połączoną formułą, której nie można zmienić. Przy próbie dokonania jakiejkolwiek zmiany w zawartości macierzy wyskakuje błąd. Niektórzy użytkownicy są całkiem zadowoleni z takiego stanu rzeczy, ponieważ nie zamierzają wprowadzać zmian w tablicy, ale inni potrzebują matrycy, z którą będą mogli w pełni pracować.

   Aby rozwiązać ten problem, wybieramy cały transponowany zakres. Przejście do zakładki "Dom" kliknij ikonę "Kopiuj", który znajduje się na wstążce w grupie „Schowek”. Zamiast określonej akcji, po wybraniu, możesz ustawić standardowy skrót klawiaturowy do kopiowania Ctrl+C.



6. Następnie, nie usuwając zaznaczenia z transponowanego zakresu, kliknij go prawym przyciskiem myszy. W menu kontekstowym w grupie „Opcje wstawiania” kliknij ikonę „Wartości”, który wygląda jak piktogram przedstawiający liczby.

   

   Następnie formuła tablicowa TRANSSP zostaną usunięte, a w komórkach pozostanie tylko jedna wartość, z którą można pracować w taki sam sposób, jak z oryginalną macierzą.

Metoda 2: Transpozycja macierzy za pomocą specjalnego wklejania

Dodatkowo macierz można transponować za pomocą jednej pozycji menu kontekstowego zwanej „Wstaw specjalne”.

Po wykonaniu tych kroków na arkuszu pozostanie jedynie przekształcona macierz.

Za pomocą tych samych dwóch metod omówionych powyżej możesz transponować do Excela nie tylko macierze, ale także pełnoprawne tabele. Procedura będzie prawie identyczna.

Dowiedzieliśmy się więc, że w Excelu macierz można transponować, czyli odwracać, zamieniając kolumny i wiersze, na dwa sposoby. Pierwsza opcja polega na użyciu funkcji TRANSSP, a drugi to Wklej narzędzia specjalne. W zasadzie ostateczny wynik uzyskany przy zastosowaniu obu tych metod nie różni się od siebie. Obie metody sprawdzają się niemal w każdej sytuacji. Wybierając więc opcję konwersji, na pierwszy plan wysuwają się osobiste preferencje konkretnego użytkownika. Oznacza to, która z tych metod jest dla Ciebie wygodniejsza, użyj tej.

W wyższej matematyce bada się taką koncepcję, jak macierz transponowana. Należy zauważyć: wiele osób uważa, że ​​​​jest to dość złożony temat, którego nie da się opanować. Jednak tak nie jest. Aby dokładnie zrozumieć, jak przebiega tak łatwa operacja, wystarczy trochę zapoznać się z podstawowym pojęciem - matrycą. Każdy uczeń może zrozumieć temat, jeśli poświęci czas na jego przestudiowanie.

Co to jest matryca?

Macierze są dość powszechne w matematyce. Warto zaznaczyć, że spotyka się je także w informatyce. Dzięki nim i przy ich pomocy łatwo jest programować i tworzyć oprogramowanie.

Co to jest matryca? Jest to tabela, w której umieszczone są elementy. Musi mieć prostokątny wygląd. Najprościej mówiąc, macierz to tabela liczb. Jest oznaczony kilkoma dużymi literami łacińskimi. Może być prostokątny lub kwadratowy. Istnieją również osobne wiersze i kolumny, które nazywane są wektorami. Takie macierze otrzymują tylko jedną linię liczb. Aby zrozumieć, jak duża jest tabela, należy zwrócić uwagę na liczbę wierszy i kolumn. Pierwsza oznaczona jest literą m, a druga literą n.

Zdecydowanie powinieneś zrozumieć, czym jest przekątna macierzy. Jest strona i główna. Drugi to pasek liczb biegnący od lewej do prawej od pierwszego do ostatniego elementu. W takim przypadku linia boczna będzie przebiegać od prawej do lewej.

Za pomocą macierzy można wykonać prawie wszystkie najprostsze operacje arytmetyczne, czyli dodawać, odejmować, mnożyć między sobą i osobno przez liczby. Można je również transponować.

Proces transpozycji

Transponowana macierz to macierz, w której zamienione są wiersze i kolumny. Odbywa się to tak łatwo, jak to możliwe. Oznaczone jako A z indeksem górnym T (AT). W zasadzie należy stwierdzić, że w matematyce wyższej jest to jedna z najprostszych operacji na macierzach. Rozmiar tabeli zostaje zachowany. Taka macierz nazywa się transponowaną.

Właściwości macierzy transponowanych

Aby poprawnie przeprowadzić proces transpozycji, należy zrozumieć, jakie właściwości tej operacji istnieją.

• Dla każdej transponowanej tabeli musi istnieć oryginalna macierz. Ich wyznaczniki muszą być sobie równe.
• Jeśli istnieje jednostka skalarna, to podczas wykonywania tej operacji można ją wyjąć.
• Kiedy macierz zostanie podwójnie transponowana, będzie równa oryginalnej.
• Jeśli porównamy dwie złożone tabele z zamienionymi kolumnami i wierszami z sumą elementów, na których została wykonana ta operacja, będą one takie same.
• Ostatnia właściwość polega na tym, że jeśli transponujesz tabele pomnożone przez siebie, to wartość musi być równa wynikom uzyskanym poprzez pomnożenie transponowanych macierzy przez siebie w odwrotnej kolejności.

Po co transponować?

Macierz w matematyce jest konieczna, aby rozwiązać z nią pewne problemy. Niektóre z nich wymagają obliczenia tabeli odwrotnej. Aby to zrobić, musisz znaleźć wyznacznik. Następnie obliczane są elementy przyszłej macierzy, a następnie poddawane są transpozycji. Pozostaje tylko znaleźć tabelę bezpośrednio odwrotną. Można powiedzieć, że w takich problemach trzeba znaleźć X, a jest to całkiem łatwe przy pomocy podstawowej wiedzy z teorii równań.

Wyniki

W tym artykule zbadano, czym jest transponowana macierz. Temat ten przyda się przyszłym inżynierom, którzy muszą umieć poprawnie obliczać złożone konstrukcje. Czasami matrix nie jest tak łatwy do rozwiązania, trzeba się namęczyć. Jednak w trakcie matematyki studenckiej operację tę przeprowadza się tak łatwo, jak to możliwe i bez żadnego wysiłku.

Transpozycja macierzy za pomocą tego kalkulatora online nie zajmie Ci dużo czasu, ale szybko da rezultaty i pomoże lepiej zrozumieć sam proces.

Czasami w obliczeniach algebraicznych zachodzi potrzeba zamiany wierszy i kolumn macierzy. Operacja ta nazywana jest transpozycją macierzy. Kolejność wierszy staje się kolumnami, a sama macierz ulega transpozycji. W tych obliczeniach obowiązują pewne zasady i aby je zrozumieć i wizualnie zapoznać się z procesem, skorzystaj z tego kalkulatora online. Ułatwi Ci to zadanie i pozwoli lepiej zrozumieć teorię transpozycji macierzy. Istotną zaletą tego kalkulatora jest demonstracja rozbudowanego i szczegółowego rozwiązania. Zatem jego użycie sprzyja głębszemu i bardziej świadomemu zrozumieniu obliczeń algebraicznych. Dodatkowo za jego pomocą zawsze możesz sprawdzić jak pomyślnie wykonałeś zadanie dokonując ręcznej transpozycji macierzy.

Kalkulator jest bardzo łatwy w obsłudze. Aby znaleźć transponowaną macierz online, należy określić rozmiar macierzy, klikając ikony „+” lub „-”, aż do uzyskania żądanej liczby kolumn i wierszy. Następnie wprowadź wymagane liczby w polach. Poniżej znajduje się przycisk „Oblicz” – po jego kliknięciu wyświetlane jest gotowe rozwiązanie wraz ze szczegółowym objaśnieniem algorytmu.