Carl Friedrich Gauss, największy matematyk, długo się wahał, wybierając między filozofią a matematyką. Być może to właśnie ten sposób myślenia pozwolił mu stworzyć tak zauważalne „dziedzictwo” w światowej nauce. W szczególności tworząc „metodę Gaussa”…
Przez prawie 4 lata artykuły na tym portalu zajmowały się edukacją szkolną, głównie z punktu widzenia filozofii, zasad (nie)porozumienia wprowadzanych do umysłów dzieci. Nadchodzi czas na więcej konkretów, przykładów i metod... Uważam, że to jest właśnie podejście do tego, co znane, zagmatwane i ważny obszarach życia daje lepsze rezultaty.
My, ludzie, jesteśmy tak skonstruowani, że nieważne, o czym mówimy myślenie abstrakcyjne, Ale zrozumienie Zawsze dzieje się poprzez przykłady. Jeśli nie ma przykładów, nie da się pojąć zasad... Tak jak na szczyt góry nie można dostać się inaczej, jak tylko przechodząc całe zbocze od stóp.
To samo ze szkołą: na razie żywe historie Nie wystarczy, że instynktownie nadal postrzegamy to miejsce jako miejsce, w którym dzieci uczą się rozumieć.
Na przykład nauczanie metody Gaussa...
Metoda Gaussa w klasie V
Od razu zrobię zastrzeżenie: metoda Gaussa ma znacznie szersze zastosowanie, na przykład przy rozwiązywaniu układy równań liniowych. To, o czym będziemy rozmawiać, będzie miało miejsce w piątej klasie. Ten Rozpoczęty, po zrozumieniu tego, znacznie łatwiej jest zrozumieć bardziej „zaawansowane opcje”. W tym artykule mówimy Metoda (metoda) Gaussa znajdowania sumy szeregu
Oto przykład, który przywiózł ze szkoły mój najmłodszy syn, który uczęszcza do 5. klasy moskiewskiego gimnazjum.
Szkolna demonstracja metody Gaussa
Nauczyciel matematyki za pomocą tablicy interaktywnej (nowoczesne metody nauczania) pokazał dzieciom historię „powstania metody” przez małego Gaussa.
Nauczyciel chłostał małego Karla (przestarzała metoda, obecnie nie stosowana w szkołach), ponieważ on
zamiast kolejno dodawać liczby od 1 do 100, znajdź ich sumę zauważonyże pary liczb w równych odstępach od krawędzi ciągu arytmetycznego dają w sumie tę samą liczbę. na przykład 100 i 1, 99 i 2. Po policzeniu liczby takich par mały Gauss niemal natychmiast rozwiązał problem zaproponowany przez nauczyciela. Za co został stracony na oczach zdumionej publiczności. Aby inni oderwali się od myślenia.
Co zrobił mały Gauss? rozwinięty zmysł liczbowy? Zauważony jakaś funkcja szeregi liczbowe ze stałym krokiem (postęp arytmetyczny). I Dokładnie to później uczynił go wielkim naukowcem, ci, którzy wiedzą, jak to zauważyć, mając uczucie, instynkt zrozumienia.
Dlatego matematyka jest wartościowa i rozwijająca zdolność widzenia ogólnie w szczególności - myślenie abstrakcyjne. Dlatego większość rodziców i pracodawców instynktownie uważają matematykę za ważną dyscyplinę ...
„W takim razie musisz uczyć się matematyki, bo to porządkuje umysł.
M.V.Łomonosow”.
Jednak zwolennicy tych, którzy chłostali przyszłych geniuszy rózgami, zamienili Metodę w coś przeciwnego. Jak powiedział mój przełożony 35 lat temu: „Wyuczyliśmy się tego pytania”. Albo jak mój najmłodszy syn powiedział wczoraj o metodzie Gaussa: „Może nie warto robić z tego wielkiej nauki, co?”
Konsekwencje kreatywności „naukowców” widoczne są w poziomie aktualnej matematyki szkolnej, poziomie jej nauczania i rozumieniu „Królowej Nauk” przez większość.
Kontynuujmy jednak...
Metody wyjaśniania metody Gaussa w V klasie szkoły podstawowej
Zadanie to skomplikował nauczyciel matematyki w moskiewskim gimnazjum, objaśniający metodę Gaussa według Vilenkina.
A co jeśli różnica (krok) ciągu arytmetycznego nie jest jedną, ale inną liczbą? Na przykład 20.
Problem, który dał piątoklasistom:
20+40+60+80+ ... +460+480+500
Zanim zapoznamy się z metodą gimnazjalną, zajrzyjmy do Internetu: jak to robią nauczyciele i korepetytorzy matematyki?..
Metoda Gaussa: wyjaśnienie nr 1
Znany korepetytor na swoim kanale YOUTUBE podaje następujące rozumowanie:
„Zapiszmy liczby od 1 do 100 w następujący sposób:
najpierw ciąg liczb od 1 do 50, a dokładnie pod nim kolejny ciąg liczb od 50 do 100, ale w odwrotnej kolejności”
1, 2, 3, ... 48, 49, 50
100, 99, 98 ... 53, 52, 51
„Uwaga: suma każdej pary liczb z górnego i dolnego wiersza jest taka sama i wynosi 101! Obliczmy liczbę par, wynosi 50 i pomnóż sumę jednej pary przez liczbę par! Voila: odpowiedź jest gotowa!”
„Jeśli nie rozumiesz, nie denerwuj się!” – powtórzył nauczyciel trzykrotnie podczas wyjaśnień. „Wykorzystasz tę metodę w 9 klasie!”
Metoda Gaussa: wyjaśnienie nr 2
Inny korepetytor, mniej znany (sądząc po liczbie wyświetleń), przyjmuje podejście bardziej naukowe, oferując algorytm rozwiązania składający się z 5 punktów, które należy wypełnić sekwencyjnie.
Dla niewtajemniczonych 5 to jedna z liczb Fibonacciego tradycyjnie uważana za magiczną. Na przykład metoda 5-etapowa jest zawsze bardziej naukowa niż metoda 6-etapowa. ...I nie jest to przypadek, najprawdopodobniej Autor jest ukrytym zwolennikiem teorii Fibonacciego
Biorąc pod uwagę postęp arytmetyczny: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .
Algorytm znajdowania sumy liczb w szeregu metodą Gaussa:
4, 10, 16 ... 244, 250, 256
256, 250, 244 ... 16, 10, 4
Jednocześnie trzeba pamiętać plus jedna zasada : do otrzymanego ilorazu musimy dodać jeden: w przeciwnym razie otrzymamy wynik o jeden mniejszy od rzeczywistej liczby par: 42 + 1 = 43.
Jest to wymagana suma postępu arytmetycznego od 4 do 256 z różnicą 6!
Metoda Gaussa: wyjaśnienie w piątej klasie gimnazjum w Moskwie
Oto jak rozwiązać problem znalezienia sumy szeregu:
20+40+60+ ... +460+480+500
w piątej klasie moskiewskiego gimnazjum podręcznik Vilenkina (według mojego syna).
Po pokazaniu prezentacji nauczyciel matematyki pokazał kilka przykładów wykorzystujących metodę Gaussa i dał klasie zadanie znalezienia sumy liczb w szeregu w odstępach co 20.
Wymagało to:
Jak widać, jest to bardziej zwarta i skuteczna technika: liczba 3 również należy do ciągu Fibonacciego
Moje uwagi na temat szkolnej wersji metody Gaussa
Wielki matematyk z pewnością wybrałby filozofię, gdyby przewidział, w jaką formę jego „metoda” zamienią się jego zwolennicy nauczyciel niemieckiego, który chłostał Karla rózgami. Widziałby symbolikę, spiralę dialektyczną i dozgonną głupotę „nauczycieli”, próbując zmierzyć harmonię żywej myśli matematycznej z algebrą nieporozumień ....
Swoją drogą: czy wiedziałeś. że nasz system edukacji ma swoje korzenie w szkole niemieckiej XVIII i XIX wieku?
Ale Gauss wybrał matematykę.
Jaka jest istota jego metody?
W uproszczenie. W obserwując i chwytając proste wzory liczb. W zamieniając arytmetykę suchej szkoły w interesująca i ekscytująca aktywność , aktywując w mózgu chęć kontynuowania, zamiast blokować kosztowną aktywność umysłową.
Czy można zastosować jedną z podanych „modyfikacji metody Gaussa” do obliczenia sumy liczb ciągu arytmetycznego prawie natychmiast? Według „algorytmów” mały Karl miałby gwarancję uniknięcia klapsów, rozwinięcia w sobie niechęci do matematyki i stłumienia w zarodku swoich twórczych impulsów.
Dlaczego wychowawca tak uparcie radził piątoklasistom, aby „nie bali się niezrozumienia” metody, przekonując, że „takie” problemy rozwiążą już w dziewiątej klasie? Zachowanie analfabetyzmu psychologicznego. Warto to odnotować i było to dobre posunięcie: "Do zobaczenia już w 5 klasie możesz rozwiązuj problemy, które rozwiążesz dopiero za 4 lata! Jaki z ciebie wspaniały człowiek!”
Aby zastosować metodę Gaussa, wystarczy poziom klasy 3, kiedy normalne dzieci już wiedzą, jak dodawać, mnożyć i dzielić liczby 2-3-cyfrowe. Problemy pojawiają się w związku z nieumiejętnością „oderwanych od zmysłów” dorosłych nauczycieli, którzy potrafią wytłumaczyć najprostsze rzeczy normalnym ludzkim językiem, nie mówiąc już o matematyce... Nie potrafią zainteresować ludzi matematyką i całkowicie zniechęcają nawet tych, którzy „ zdolny."
Lub, jak to skomentował mój syn: „zrobić z tego wielką naukę”.
Metoda Gaussa, moje wyjaśnienia
Wydaje się, że moja żona i ja wyjaśniliśmy tę „metodę” naszemu dziecku jeszcze przed pójściem do szkoły…
Prostota zamiast złożoności, czyli gra pytań i odpowiedzi
„Spójrz, tu są liczby od 1 do 100. Co widzisz?”
Nie chodzi o to, co dokładnie dziecko widzi. Sztuka polega na tym, żeby nakłonić go do spojrzenia.
– Jak można je połączyć? Syn zdał sobie sprawę, że takich pytań nie zadaje się „ot tak”, a na pytanie trzeba spojrzeć „jakoś inaczej, inaczej niż on zwykle to robi”
Nie ma znaczenia, czy dziecko od razu zobaczy rozwiązanie, jest to mało prawdopodobne. Ważne, że on przestał bać się patrzeć, czyli jak to mówię: „przesunął zadanie”. To jest początek podróży do zrozumienia
„Co jest łatwiejsze: dodanie na przykład 5 i 6 czy 5 i 95?” Pytanie wiodące... Ale każde szkolenie sprowadza się do „poprowadzenia” osoby do „odpowiedzi” - w jakikolwiek dla niej akceptowalny sposób.
Na tym etapie mogą już pojawiać się domysły, jak „zaoszczędzić” na obliczeniach.
Jedyne, co zrobiliśmy, to podpowiedź: „frontalna, liniowa” metoda liczenia nie jest jedyną możliwą. Jeśli dziecko to zrozumie, to później wymyśli jeszcze wiele takich metod, ponieważ jest interesujące!!! A na pewno uniknie „niezrozumienia” matematyki i nie poczuje do niej obrzydzenia. Dostał zwycięstwo!
Jeśli odkryło dziecko w takim razie dodanie par liczb dających w sumie setkę to bułka z masłem „postęp arytmetyczny z różnicą 1”- dość ponura i nieciekawa dla dziecka rzecz - nagle znalazł dla niego życie . Z chaosu wyłonił się porządek, a to zawsze budzi entuzjazm: tak jesteśmy stworzeni!
Pytanie, na które należy odpowiedzieć: dlaczego po wglądzie, jakie dziecko otrzymało, ma być ponownie wpychane w ramy suchych algorytmów, które również w tym przypadku są funkcjonalnie bezużyteczne?!
Po co zmuszać do głupich przeróbek? kolejne numery w zeszycie: żeby nawet zdolni nie mieli ani jednej szansy na zrozumienie? Statystycznie oczywiście, ale masowa edukacja nastawiona jest na „statystykę”…
Gdzie podziało się zero?
A jednak dodawanie liczb, które sumują się do 100, jest o wiele bardziej akceptowalne dla umysłu niż dodawanie liczb, które sumują się do 101...
„Metoda szkoły Gaussa” wymaga dokładnie tego: bezmyślnie złożyć pary liczb w równej odległości od środka ciągu, Pomimo wszystko.
A co jeśli spojrzysz?
Jednak zero jest największym wynalazkiem ludzkości, który ma ponad 2000 lat. A nauczyciele matematyki nadal go ignorują.
Dużo łatwiej jest przekształcić serię liczb zaczynającą się od 1 na serię rozpoczynającą się od 0. Suma się nie zmieni, prawda? Trzeba przestać „myśleć podręcznikami” i zacząć szukać… I zobacz, że pary o sumie 101 można całkowicie zastąpić parami o sumie 100!
0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51
Jak znieść zasadę „plus 1”?
Szczerze mówiąc, pierwszy raz usłyszałam o takiej zasadzie od tego korepetytora na YouTubie...
Co mam jeszcze zrobić, gdy muszę określić liczbę elementów szeregu?
Patrzę na sekwencję:
1, 2, 3, .. 8, 9, 10
a kiedy będziesz już całkowicie zmęczony, przejdź do prostszego wiersza:
1, 2, 3, 4, 5
i myślę: jeśli odejmiesz jeden od 5, otrzymasz 4, ale jestem absolutnie jasny Widzę 5 liczb! Dlatego musisz dodać jeden! Zmysł liczb rozwinięty w szkole podstawowej sugeruje: nawet jeśli istnieje całe Google składające się z członków serii (10 do potęgi setnej), wzór pozostanie ten sam.
Jakie do cholery są zasady?..
Żeby za parę, trzy lata móc wypełnić całą przestrzeń między czołem a tyłem głowy i przestać myśleć? Jak zarobić na chleb i masło? Przecież równo szeregami wchodzimy w erę gospodarki cyfrowej!
Więcej o metodzie szkolnej Gaussa: „po co robić z tego naukę?…”
Nie bez powodu zamieściłam zrzut ekranu z notatnika syna...
– Co się wydarzyło na zajęciach?
"No cóż, od razu policzyłem, podniosłem rękę, ale ona nie zapytała. Dlatego podczas gdy inni liczyli, zacząłem odrabiać lekcje po rosyjsku, żeby nie tracić czasu. Potem, gdy inni skończyli pisać (? ??), wezwała mnie do tablicy. Powiedziałem odpowiedź.
„Zgadza się, pokaż mi, jak to rozwiązałeś” – powiedział nauczyciel. Pokazałem to. Powiedziała: „Źle, musisz liczyć tak, jak pokazałam!”
"Dobrze, że nie wystawiła złej oceny. I kazała mi napisać w swoim zeszycie "przebieg rozwiązania" na swój sposób. Po co robić z tego wielką naukę?.."
Główne przestępstwo nauczyciela matematyki
Prawie po ten incydent Carl Gauss żywił duże poczucie szacunku dla swojego szkolnego nauczyciela matematyki. Ale gdyby wiedział jak naśladowców tego nauczyciela zniekształca istotę metody... ryczałby z oburzenia i za pośrednictwem Światowej Organizacji Własności Intelektualnej WIPO osiągnąłby zakaz używania jego dobrego imienia w podręcznikach szkolnych!..
W czym główny błąd szkolnego podejścia? Albo, jak to ująłem, zbrodnia szkolnych nauczycieli matematyki na dzieciach?
Algorytm nieporozumień
Co robią szkolni metodycy, z których zdecydowana większość nie umie myśleć?
Tworzą metody i algorytmy (patrz). Ten reakcja obronna, która chroni nauczycieli przed krytyką („Wszystko zgodnie z...”), a dzieci przed zrozumieniem. A co za tym idzie – z chęci krytykowania nauczycieli!(Druga pochodna biurokratycznej „mądrości”, naukowe podejście do problemu). Osoba, która nie pojmuje znaczenia, będzie raczej winić własne nieporozumienie niż głupotę systemu szkolnego.
Tak się dzieje: rodzice obwiniają swoje dzieci, a nauczyciele... robią to samo z dziećmi, które „nie rozumieją matematyki!”
Jesteś bystry?
Co zrobił mały Karl?
Całkowicie nieszablonowe podejście do formalnego zadania. To jest istota Jego podejścia. Ten najważniejszą rzeczą, której należy uczyć w szkole, jest myślenie nie podręcznikami, ale głową. Oczywiście istnieje również element instrumentalny, którego można użyć... w poszukiwaniu prostsze i skuteczniejsze metody liczenia.
Metoda Gaussa według Vilenkina
W szkole uczą, że metoda Gaussa polega na tym
Co, jeśli liczba elementów szeregu jest nieparzysta, jak w zadaniu, które zostało przypisane mojemu synowi?..
W tym przypadku właśnie na tym polega „haczyk”. powinieneś znaleźć w serii „dodatkowy” numer i dodaj to do sumy par. W naszym przykładzie jest to liczba 260.
Jak wykryć? Kopiowanie wszystkich par liczb do notatnika!(Dlatego nauczyciel kazał dzieciom wykonywać tę głupią robotę, próbując uczyć „kreatywności” za pomocą metody Gaussa… I dlatego takiej „metody” praktycznie nie można zastosować w przypadku dużych serii danych ORAZ dlatego tak jest a nie metoda Gaussa.)
Trochę kreatywności w szkolnej rutynie...
Syn zachował się inaczej.
(20 + 500, 40 + 480 ...).
0+500, 20+480, 40+460 ...
Nie jest to trudne, prawda?
Ale w praktyce jest to jeszcze łatwiejsze, co pozwala wygospodarować 2-3 minuty na teledetekcję w języku rosyjskim, podczas gdy reszta „liczy”. Ponadto zachowano liczbę kroków metody: 5, co nie pozwala na krytykę podejścia jako nienaukowego.
Oczywiście to podejście jest prostsze, szybsze i bardziej uniwersalne, w stylu Metody. Ale... nauczyciel nie tylko nie pochwalił, ale także zmusił mnie do przepisania tego „w odpowiedni sposób” (patrz zrzut ekranu). Oznacza to, że podjęła desperacką próbę stłumienia twórczego impulsu i umiejętności zrozumienia matematyki u podstaw! Podobno po to, żeby później zostać zatrudnioną jako korepetytorka... Zaatakowała niewłaściwą osobę...
Wszystko, co tak długo i żmudnie opisałam, można wytłumaczyć normalnemu dziecku w maksymalnie pół godziny. Wraz z przykładami.
I w taki sposób, żeby nigdy tego nie zapomniał.
I tak będzie krok w stronę zrozumienia...nie tylko matematycy.
Przyznaj się: ile razy w życiu dodawałeś metodą Gaussa? I nigdy nie zrobiłem!
Ale instynkt zrozumienia, która rozwija się (lub zanika) w procesie uczenia się metod matematycznych w szkole... Och!.. To jest naprawdę niezastąpiona rzecz!
Szczególnie w dobie powszechnej cyfryzacji, w którą po cichu weszliśmy pod ścisłym przywództwem Partii i Rządu.
Kilka słów w obronie nauczycieli...
Zrzucanie całej odpowiedzialności za ten styl nauczania wyłącznie na nauczycieli jest niesprawiedliwe i niewłaściwe. System działa.
Niektóre nauczyciele rozumieją absurdalność tego, co się dzieje, ale co robić? Ustawa o oświacie, federalne standardy edukacyjne, metody, scenariusze zajęć... Wszystko musi być zrobione „zgodnie i na podstawie” i wszystko musi być udokumentowane. Odsuń się – stanąłem w kolejce do zwolnienia. Nie bądźmy hipokrytami: pensje moskiewskich nauczycieli są bardzo dobre... Jeśli cię zwolnią, dokąd się udać?...
Dlatego ta strona nie o edukację. On jest o edukacja indywidualna jedyny możliwy sposób na wydostanie się z tłumu pokolenie Z ...
Jednym z najprostszych sposobów rozwiązania układu równań liniowych jest technika oparta na obliczaniu wyznaczników ( Reguła Cramera). Jego zaletą jest to, że pozwala na natychmiastowe zarejestrowanie rozwiązania, jest to szczególnie wygodne w przypadkach, gdy współczynnikami układu nie są liczby, ale jakieś parametry. Jej wadą jest uciążliwość obliczeń w przypadku dużej liczby równań, ponadto reguła Cramera nie ma bezpośredniego zastosowania do układów, w których liczba równań nie pokrywa się z liczbą niewiadomych. W takich przypadkach zwykle się go stosuje Metoda Gaussa.
Układy równań liniowych mające ten sam zbiór rozwiązań nazywane są równowartość. Oczywiście zbiór rozwiązań układu liniowego nie ulegnie zmianie, jeśli zamienimy jakieś równania, pomnożymy jedno z równań przez jakąś liczbę niezerową lub dodamy jedno równanie do drugiego.
Metoda Gaussa (metoda sekwencyjnej eliminacji niewiadomych) polega na tym, że za pomocą przekształceń elementarnych system sprowadza się do układu równoważnego typu schodkowego. Najpierw, korzystając z pierwszego równania, eliminujemy X 1 wszystkich kolejnych równań układu. Następnie, korzystając z drugiego równania, eliminujemy X 2 z trzeciego i wszystkich kolejnych równań. Proces ten, tzw bezpośrednia metoda Gaussa, trwa tak długo, aż po lewej stronie ostatniego równania pozostanie tylko jedna niewiadoma x rz. Po tym jest to zrobione odwrotność metody Gaussa– rozwiązując ostatnie równanie, znajdujemy x rz; następnie, używając tej wartości, z przedostatniego równania, które obliczamy x rz–1 itd. Znajdujemy ostatni X 1 z pierwszego równania.
Wygodnie jest przeprowadzać transformacje Gaussa, wykonując transformacje nie za pomocą samych równań, ale za pomocą macierzy ich współczynników. Rozważmy macierz:
zwany rozbudowana matryca systemu, ponieważ oprócz głównej matrycy systemu zawiera kolumnę terminów dowolnych. Metoda Gaussa polega na sprowadzeniu macierzy głównej układu do postaci trójkątnej (lub trapezowej w przypadku układów niekwadratowych) za pomocą elementarnych przekształceń wierszowych (!) rozszerzonej macierzy układu.
Przykład 5.1. Rozwiąż układ metodą Gaussa:
Rozwiązanie. Wypiszmy rozszerzoną macierz układu i korzystając z pierwszego wiersza zresetujmy następnie pozostałe elementy:
otrzymujemy zera w 2., 3. i 4. rzędzie pierwszej kolumny:
Teraz potrzebujemy, aby wszystkie elementy w drugiej kolumnie poniżej drugiego wiersza były równe zero. Aby to zrobić, możesz pomnożyć drugą linię przez –4/7 i dodać ją do trzeciej linii. Aby jednak nie zajmować się ułamkami utwórzmy jednostkę w 2 rzędzie drugiej kolumny i tylko
Teraz, aby uzyskać macierz trójkątną, musisz zresetować element czwartego wiersza trzeciej kolumny, w tym celu możesz pomnożyć trzeci wiersz przez 8/54 i dodać go do czwartego. Aby jednak nie zajmować się ułamkami, zamienimy 3. i 4. wiersz oraz 3. i 4. kolumnę i dopiero potem zresetujemy określony element. Należy pamiętać, że podczas zmiany układu kolumn odpowiednie zmienne zamieniają się miejscami i należy o tym pamiętać; innych elementarnych przekształceń z kolumnami (dodawanie i mnożenie przez liczbę) nie można wykonywać!
Ostatnia uproszczona macierz odpowiada układowi równań równoważnemu pierwotnemu:
Stąd, stosując odwrotność metody Gaussa, znajdujemy z czwartego równania X 3 = –1; z trzeciego X 4 = –2, od drugiego X 2 = 2 i z pierwszego równania X 1 = 1. W formie macierzowej odpowiedź zapisuje się jako
Rozważaliśmy przypadek, gdy układ jest określony, tj. gdy jest tylko jedno rozwiązanie. Zobaczmy, co się stanie, jeśli system będzie niespójny lub niepewny.
Przykład 5.2. Zbadaj system za pomocą metody Gaussa:
Rozwiązanie. Wypisujemy i przekształcamy rozszerzoną macierz układu
Piszemy uproszczony układ równań:
Tutaj w ostatnim równaniu okazuje się, że 0=4, tj. sprzeczność. W rezultacie układ nie ma rozwiązania, tj. ona niekompatybilny. à
Przykład 5.3. Zbadaj i rozwiąż układ za pomocą metody Gaussa:
Rozwiązanie. Wypisujemy i przekształcamy rozszerzoną macierz układu:
W wyniku przekształceń w ostatnim wierszu znajdują się same zera. Oznacza to, że liczba równań zmniejszyła się o jeden:
Zatem po uproszczeniu zostają dwa równania i cztery niewiadome, czyli: dwa nieznane „dodatkowe”. Niech będą „zbędne” lub, jak mówią, wolne zmienne, będzie X 3 i X 4. Następnie
Wierzyć X 3 = 2A I X 4 = B, otrzymujemy X 2 = 1–A I X 1 = 2B–A; lub w formie macierzowej
Rozwiązanie zapisane w ten sposób nazywa się ogólny, ponieważ, podając parametry A I B różne wartości, można opisać wszystkie możliwe rozwiązania układu. A
Kontynuujemy rozważanie układów równań liniowych. Ta lekcja jest trzecią na ten temat. Jeśli masz niejasne pojęcie o tym, czym ogólnie jest układ równań liniowych, jeśli czujesz się jak czajniczek, polecam zacząć od podstaw na stronie Dalej, warto przestudiować lekcję.
Metoda Gaussa jest łatwa! Dlaczego? Słynny niemiecki matematyk Johann Carl Friedrich Gauss już za życia zyskał uznanie jako największy matematyk wszechczasów, geniusz, a nawet przydomek „Króla matematyki”. A wszystko genialne, jak wiadomo, jest proste! Swoją drogą pieniądze dostają nie tylko frajerzy, ale i geniusze – portret Gaussa widniał na banknocie 10 marek niemieckich (przed wprowadzeniem euro), a Gauss do dziś uśmiecha się tajemniczo do Niemców ze zwykłych znaczków pocztowych.
Metoda Gaussa jest o tyle prosta, że do jej opanowania wystarczy WIEDZA UCZNIA PIĄTEJ KLASY. Musisz umieć dodawać i mnożyć! To nie przypadek, że nauczyciele często rozważają metodę sekwencyjnego wykluczania niewiadomych w szkolnych przedmiotach do wyboru z matematyki. To paradoks, ale uczniowie uważają, że metoda Gaussa jest najtrudniejsza. Nic dziwnego – chodzi o metodologię, a o algorytmie metody postaram się w przystępnej formie opowiedzieć.
Na początek usystematyzujmy trochę wiedzy o układach równań liniowych. Układ równań liniowych może:
1) Mieć unikalne rozwiązanie. 2) Mają nieskończenie wiele rozwiązań. 3) Nie mają rozwiązań (być nie wspólne).
Metoda Gaussa jest najpotężniejszym i najbardziej uniwersalnym narzędziem do znalezienia rozwiązania każdy układy równań liniowych. Jak pamiętamy, Reguła Cramera i metoda macierzowa są nieodpowiednie w przypadkach, gdy układ ma nieskończenie wiele rozwiązań lub jest niespójny. Oraz metoda sekwencyjnej eliminacji niewiadomych W każdym razie doprowadzi nas do odpowiedzi! W tej lekcji ponownie rozważymy metodę Gaussa dla przypadku nr 1 (jedyne rozwiązanie układu), artykuł poświęcony jest sytuacjom z punktów nr 2-3. Zwracam uwagę, że algorytm samej metody działa tak samo we wszystkich trzech przypadkach.
Wróćmy do najprostszego systemu z lekcji Jak rozwiązać układ równań liniowych? i rozwiązać go metodą Gaussa.
Pierwszym krokiem jest zapisanie rozbudowana matryca systemu: . Myślę, że każdy może zobaczyć, według jakiej zasady zapisywane są współczynniki. Pionowa linia wewnątrz matrycy nie ma żadnego znaczenia matematycznego – jest po prostu przekreśleniem dla ułatwienia projektowania.
Odniesienie : Polecam pamiętać warunki algebra liniowa. Matryca systemu jest macierzą złożoną wyłącznie ze współczynników niewiadomych, w tym przykładzie macierzą układu: . Rozszerzona matryca systemu – jest to ta sama macierz układu plus kolumna wolnych terminów, w tym przypadku: . Dla uproszczenia każdą z macierzy można po prostu nazwać macierzą.
Po napisaniu rozszerzonej macierzy systemu należy wykonać z nią pewne działania, które są również nazywane elementarne przemiany.
Istnieją następujące przekształcenia elementarne:
1) Smyczki matryce Móc przemieniać w niektórych miejscach. Na przykład w rozważanej macierzy możesz bezboleśnie zmienić układ pierwszego i drugiego wiersza: 
2) Jeżeli w macierzy są (lub pojawiły się) proporcjonalne (w szczególnym przypadku - identyczne) wiersze, to należy usuwać z macierzy wszystkie te wiersze z wyjątkiem jednego. Rozważmy na przykład macierz 
. W tej macierzy ostatnie trzy wiersze są proporcjonalne, dlatego wystarczy pozostawić tylko jeden z nich: 
.
3) Jeżeli podczas przekształceń w macierzy pojawia się wiersz zerowy, to też powinien tak być usuwać. Nie będę oczywiście rysować, linia zerowa to linia, w której wszystkie zera.
4) Wiersz macierzy może być mnożyć (dzielić) na dowolny numer niezerowy. Rozważmy na przykład macierz . W tym przypadku wskazane jest podzielenie pierwszej linii przez –3 i pomnożenie drugiej linii przez 2: 
. Akcja ta jest bardzo przydatna, gdyż ułatwia dalsze przekształcenia macierzy.
5) Ta transformacja sprawia najwięcej trudności, ale tak naprawdę nie ma też nic skomplikowanego. Do rzędu macierzy można dodaj kolejny ciąg pomnożony przez liczbę, różny od zera. Spójrzmy na naszą macierz na praktycznym przykładzie: . Najpierw opiszę bardzo szczegółowo transformację. Pomnóż pierwszą linię przez –2: 
, I do drugiej linii dodajemy pierwszą linię pomnożoną przez –2: 
. Teraz pierwszą linię można podzielić „wstecz” przez –2: . Jak widać, linia, która jest DODANA LI – nie uległo zmianie. Zawsze zmienia się linia DO KTÓREGO JEST DODAWANA UT.
W praktyce oczywiście nie piszą tego tak szczegółowo, ale piszą krótko: 
Jeszcze raz: do drugiej linii dodano pierwszą linię pomnożoną przez –2. Wiersz jest zwykle mnożony ustnie lub w wersji roboczej, a proces obliczeń w myślach przebiega mniej więcej tak:
„Przepisuję macierz i przepisuję pierwszą linijkę: 
»
"Pierwsza kolumna. Na dole muszę uzyskać zero. Dlatego mnożę tę na górze przez –2: , a pierwszą dodaję do drugiej linii: 2 + (–2) = 0. Wynik zapisuję w drugiej linii: 
»
„Teraz druga kolumna. Na górze mnożę -1 przez -2: . Pierwszy dodaję do drugiej linii: 1 + 2 = 3. Wynik zapisuję w drugiej linii: 
»
„I trzecia kolumna. Na górze mnożę -5 przez -2: . Pierwszy dodaję do drugiego wiersza: –7 + 10 = 3. Wynik zapisuję w drugim wierszu: 
»
Proszę dokładnie zrozumieć ten przykład i zrozumieć algorytm obliczeń sekwencyjnych, jeśli to rozumiesz, to metoda Gaussa jest praktycznie w twojej kieszeni. Ale oczywiście nadal będziemy pracować nad tą transformacją.
Przekształcenia elementarne nie zmieniają rozwiązania układu równań
! UWAGA: uważane za manipulacje nie można użyć, jeśli zaproponowano ci zadanie, w którym macierze są podawane „same w sobie”. Na przykład w przypadku „klasycznego” operacje na macierzach W żadnym wypadku nie należy przestawiać czegokolwiek wewnątrz macierzy! Wróćmy do naszego systemu. Jest praktycznie rozebrany na kawałki.
Zapiszmy rozszerzoną macierz układu i korzystając z przekształceń elementarnych sprowadźmy ją do postaci widok schodkowy:
(1) Pierwsza linia została dodana do drugiej linii, pomnożona przez –2. I jeszcze raz: dlaczego mnożymy pierwszą linię przez –2? Aby uzyskać zero na dole, co oznacza pozbycie się jednej zmiennej w drugiej linii.
(2) Podziel drugą linię przez 3.
Cel przekształceń elementarnych
–
sprowadź macierz do postaci krokowej: 
. Projektując zadanie, po prostu zaznaczają „schody” prostym ołówkiem, a także zakreślają liczby znajdujące się na „stopniach”. Sam termin „widok schodkowy” nie jest całkowicie teoretyczny; w literaturze naukowej i edukacyjnej jest często nazywany widok trapezowy Lub widok trójkątny.
W wyniku elementarnych przekształceń otrzymaliśmy równowartość oryginalny układ równań:
Teraz system należy „rozwinąć” w przeciwnym kierunku - proces ten nazywa się od dołu do góry odwrotność metody Gaussa.
W dolnym równaniu mamy już gotowy wynik: .
Rozważmy pierwsze równanie układu i podstawmy do niego znaną już wartość „y”:
Rozważmy najczęstszą sytuację, gdy metoda Gaussa wymaga rozwiązania układu trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi.
Przykład 1
Rozwiąż układ równań metodą Gaussa: 
Napiszmy rozszerzoną macierz układu: 
Teraz od razu narysuję wynik, do którego dojdziemy podczas rozwiązania: 
I powtarzam, naszym celem jest doprowadzenie macierzy do postaci krokowej za pomocą elementarnych przekształceń. Gdzie zacząć?
Najpierw spójrz na liczbę w lewym górnym rogu: 
Powinien prawie zawsze tu być jednostka. Ogólnie rzecz biorąc, wystarczy –1 (a czasami inne liczby), ale jakoś tradycyjnie tak się złożyło, że zwykle umieszczano je w tym miejscu. Jak zorganizować jednostkę? Patrzymy na pierwszą kolumnę - mamy gotową jednostkę! Transformacja pierwsza: zamień pierwszą i trzecią linię: 
Teraz pierwsza linia pozostanie niezmieniona aż do końca rozwiązania. Teraz dobrze.
Jednostka w lewym górnym rogu jest zorganizowana. Teraz musisz uzyskać zera w tych miejscach: 
Zera otrzymujemy stosując „trudną” transformację. Najpierw zajmujemy się drugą linią (2, –1, 3, 13). Co należy zrobić, aby na pierwszym miejscu pojawiło się zero? Potrzebować do drugiej linii dodaj pierwszą linię pomnożoną przez –2. W myślach lub w szkicu pomnóż pierwszą linię przez –2: (–2, –4, 2, –18). I konsekwentnie przeprowadzamy (znowu w myślach lub na szkicu) dodawanie, do drugiej linii dodajemy pierwszą linię, już pomnożoną przez –2:
Wynik zapisujemy w drugiej linii: 
W ten sam sposób postępujemy z trzecią linią (3, 2, –5, –1). Aby uzyskać zero na pierwszej pozycji, potrzebujesz do trzeciej linii dodaj pierwszą linię pomnożoną przez –3. W myślach lub w szkicu pomnóż pierwszą linię przez –3: (–3, –6, 3, –27). I do trzeciej linii dodajemy pierwszą linię pomnożoną przez –3:
Wynik zapisujemy w trzeciej linii:
W praktyce czynności te najczęściej wykonywane są ustnie i spisywane w jednym kroku: 
Nie trzeba liczyć wszystkiego na raz i w tym samym czasie. Kolejność obliczeń i „wpisywania” wyników spójny i zwykle jest tak: najpierw przepisujemy pierwszą linijkę i powoli się zaciągamy - KONSEKWENCJONALNIE i UWAŻNIE:
Omówiłem już proces mentalny samych obliczeń powyżej.
W tym przykładzie jest to łatwe do zrobienia; dzielimy drugą linię przez –5 (ponieważ wszystkie liczby w niej są podzielne przez 5 bez reszty). Jednocześnie dzielimy trzecią linię przez –2, bo im mniejsze liczby, tym prostsze rozwiązanie:
Na ostatnim etapie elementarnych przekształceń musisz tutaj uzyskać kolejne zero: 
Dla tego do trzeciej linii dodajemy drugą linię pomnożoną przez –2:
Spróbuj sam wymyślić tę akcję - pomnóż w myślach drugą linię przez –2 i wykonaj dodawanie.
Ostatnią wykonaną akcją jest fryzura wyniku, podziel trzecią linię przez 3.
W wyniku elementarnych przekształceń otrzymano równoważny układ równań liniowych: 
Fajny.
Teraz wchodzi w grę odwrotność metody Gaussa. Równania „rozwijają się” od dołu do góry.
W trzecim równaniu mamy już gotowy wynik:
Spójrzmy na drugie równanie: . Znaczenie słowa „zet” jest już znane, a zatem:
I na koniec pierwsze równanie: . „Igrek” i „zet” są znane, to tylko kwestia drobiazgów:
Odpowiedź: 
Jak już kilkukrotnie zauważono, dla każdego układu równań możliwe i konieczne jest sprawdzenie znalezionego rozwiązania, na szczęście jest to łatwe i szybkie.
Przykład 2
To jest przykład samodzielnego rozwiązania, próbka finalnego projektu i odpowiedź na koniec lekcji.
Warto zauważyć, że Twój postęp decyzji może nie pokrywać się z moim procesem decyzyjnym, i jest to cecha metody Gaussa. Ale odpowiedzi muszą być takie same!
Przykład 3
Rozwiązać układ równań liniowych metodą Gaussa 
Patrzymy na lewy górny „krok”. Powinniśmy go tam mieć. Problem polega na tym, że w pierwszej kolumnie w ogóle nie ma jednostek, więc zmiana kolejności wierszy niczego nie rozwiąże. W takich przypadkach jednostka musi być zorganizowana przy użyciu transformacji elementarnej. Zwykle można to zrobić na kilka sposobów. Zrobiłem to: (1) Do pierwszej linii dodajemy drugą linię pomnożoną przez –1. Oznacza to, że mentalnie pomnożyliśmy drugą linię przez –1 i dodaliśmy pierwszą i drugą linię, podczas gdy druga linia się nie zmieniła.
Teraz w lewym górnym rogu znajduje się „minus jeden”, co nam całkiem odpowiada. Każdy, kto chce otrzymać +1, może wykonać dodatkowy ruch: pomnożyć pierwszą linię przez –1 (zmienić jej znak).
(2) Do drugiej linii dodano pierwszą linię pomnożoną przez 5. Pierwszą linię pomnożoną przez 3 dodano do trzeciej linii.
(3) Pierwsza linia została pomnożona przez –1, w zasadzie dotyczy to piękna. Zmieniono także znak trzeciej linii i przesunięto go na drugie miejsce, dzięki czemu na drugim „kroku” mieliśmy już wymaganą jednostkę.
(4) Druga linia została dodana do trzeciej linii, pomnożona przez 2.
(5) Trzecia linia została podzielona przez 3.
Zły znak wskazujący na błąd w obliczeniach (rzadziej literówkę) to „zły” wynik końcowy. To znaczy, jeśli mamy coś takiego jak poniżej i odpowiednio 
, to z dużym prawdopodobieństwem można powiedzieć, że przy przekształceniach elementarnych popełniono błąd.
My obciążamy odwrotnie, przy projektowaniu przykładów często nie przepisuje się samego układu, lecz równania „bierze się bezpośrednio z danej macierzy”. Przypominam, że odwrotny skok działa od dołu do góry. Tak, oto prezent:
Odpowiedź: 
.
Przykład 4
Rozwiązać układ równań liniowych metodą Gaussa 
To jest przykład do samodzielnego rozwiązania, jest nieco bardziej skomplikowany. Nie ma problemu, jeśli ktoś się pomyli. Pełne rozwiązanie i przykładowy projekt na końcu lekcji. Twoje rozwiązanie może różnić się od mojego.
W ostatniej części przyjrzymy się niektórym cechom algorytmu Gaussa. Pierwszą cechą jest to, że czasami w równaniach układu brakuje niektórych zmiennych, na przykład: 
Jak poprawnie napisać rozszerzoną macierz systemu? Mówiłem już o tym punkcie na zajęciach. Reguła Cramera. Metoda matrycowa. W rozszerzonej macierzy systemu w miejsce brakujących zmiennych wstawiamy zera: 
Nawiasem mówiąc, jest to dość łatwy przykład, ponieważ pierwsza kolumna ma już jedno zero, a do wykonania jest mniej elementarnych transformacji.
Druga cecha jest taka. We wszystkich rozważanych przykładach umieściliśmy „kroki” albo –1, albo +1. Czy mogą być tam inne numery? W niektórych przypadkach mogą. Rozważ system: 
.
Tutaj, w lewym górnym „kroku”, mamy dwójkę. Ale zauważamy, że wszystkie liczby w pierwszej kolumnie są podzielne przez 2 bez reszty - a druga to dwa i sześć. A te dwa w lewym górnym rogu będą nam odpowiadać! W pierwszym kroku należy wykonać następujące przekształcenia: dodać do drugiej linii pierwszą linię pomnożoną przez –1; do trzeciej linii dodaj pierwszą linię pomnożoną przez –3. W ten sposób uzyskamy wymagane zera w pierwszej kolumnie.
Lub inny konwencjonalny przykład: 
. Tutaj trójka w drugim „kroku” również nam odpowiada, ponieważ 12 (miejsce, w którym musimy uzyskać zero) jest podzielne przez 3 bez reszty. Należy przeprowadzić następującą transformację: dodać drugą linię do trzeciej linii, pomnożoną przez –4, w wyniku czego otrzymamy potrzebne nam zero.
Metoda Gaussa jest uniwersalna, ale ma jedną osobliwość. Rozwiązywania układów innymi metodami (metoda Cramera, metoda macierzowa) można śmiało nauczyć się dosłownie za pierwszym razem – mają one bardzo rygorystyczny algorytm. Ale żeby mieć pewność co do metody Gaussa, należy „wbić zęby” i rozwiązać przynajmniej 5-10 dziesięciu układów. Dlatego na początku może pojawić się zamieszanie i błędy w obliczeniach i nie ma w tym nic niezwykłego ani tragicznego.
Za oknem deszczowa jesienna pogoda.... Dlatego dla każdego, kto ma ochotę na bardziej złożony przykład do samodzielnego rozwiązania:
Przykład 5
Rozwiąż układ 4 równań liniowych z czterema niewiadomymi, stosując metodę Gaussa. 
Takie zadanie nie jest w praktyce tak rzadkie. Myślę, że nawet czajniczek, który dokładnie przestudiował tę stronę, zrozumie algorytm intuicyjnego rozwiązania takiego systemu. Zasadniczo wszystko jest takie samo - jest tylko więcej akcji.
Na lekcji omówione zostaną przypadki, gdy układ nie ma rozwiązań (niespójny) lub ma nieskończenie wiele rozwiązań Niekompatybilne systemy i systemy ze wspólnym rozwiązaniem. Tam możesz naprawić rozważany algorytm metody Gaussa.
Życzę Ci sukcesu!
Rozwiązania i odpowiedzi:
Przykład 2:
Rozwiązanie
:
Zapiszmy rozszerzoną macierz układu i za pomocą elementarnych przekształceń sprowadźmy ją do postaci krokowej.
Wykonane przekształcenia elementarne:
(1) Pierwsza linia została dodana do drugiej linii, pomnożona przez –2. Pierwsza linia została dodana do trzeciej linii, pomnożona przez –1.
Uwaga!
Tutaj możesz pokusić się o odjęcie pierwszej linii od trzeciej linii; zdecydowanie nie radzę tego odejmować – ryzyko błędu znacznie wzrasta. Po prostu złóż!
(2) Zmieniono znak drugiej linii (pomnożony przez –1). Druga i trzecia linia zostały zamienione miejscami.
notatka
, że na „stopniach” zadowalamy się nie tylko jednym, ale także –1, co jest jeszcze wygodniejsze.
(3) Druga linia została dodana do trzeciej linii, pomnożona przez 5.
(4) Zmieniono znak drugiej linii (pomnożony przez –1). Trzecia linia została podzielona przez 14.
Odwracać:
Odpowiedź
:
.
Przykład 4:
Rozwiązanie
:
Zapiszmy rozszerzoną macierz układu i za pomocą elementarnych przekształceń sprowadźmy ją do postaci krokowej:
Wykonane konwersje: (1) Do pierwszego wiersza dodano drugi wiersz. W ten sposób żądana jednostka jest zorganizowana w lewym górnym „kroku”. (2) Do drugiej linii dodano pierwszą linię pomnożoną przez 7. Do trzeciej linii dodano pierwszą linię pomnożoną przez 6.
Z drugim „krokiem” wszystko się pogarsza , „kandydatami” do tego są liczby 17 i 23, a my potrzebujemy albo jednego, albo –1. Transformacje (3) i (4) będą miały na celu uzyskanie pożądanej jednostki (3) Druga linia została dodana do trzeciej linii, pomnożona przez –1. (4) Do drugiej linii dodano trzecią linię pomnożoną przez –3. Otrzymano wymagany przedmiot w drugim kroku. . (5) Druga linia została dodana do trzeciej linii i pomnożona przez 6. (6) Drugą linię pomnożono przez –1, trzecią linię podzielono przez –83.
Odwracać:
Odpowiedź :
Przykład 5:
Rozwiązanie
:
Zapiszmy macierz układu i za pomocą elementarnych przekształceń sprowadźmy ją do postaci krokowej:
Wykonane konwersje: (1) Pierwsza i druga linia zostały zamienione miejscami. (2) Pierwsza linia została dodana do drugiej linii, pomnożona przez –2. Pierwsza linia została dodana do trzeciej linii, pomnożona przez –2. Pierwsza linia została dodana do czwartej linii, pomnożona przez –3. (3) Do trzeciej linii dodano drugą linię, pomnożoną przez 4. Do czwartej linii dodano drugą linię, pomnożoną przez –1. (4) Zmieniono znak drugiej linii. Czwarta linia została podzielona przez 3 i umieszczona w miejscu trzeciej linii. (5) Do czwartej linii dodano trzecią linię, pomnożoną przez –5.
Odwracać:
Odpowiedź :
W artykule metodę tę traktuje się jako metodę rozwiązywania układów równań liniowych (SLAE). Metoda ma charakter analityczny, to znaczy pozwala na napisanie algorytmu rozwiązania w formie ogólnej, a następnie podstawienie tam wartości z konkretnych przykładów. W przeciwieństwie do metody macierzowej czy wzorów Cramera, rozwiązując układ równań liniowych metodą Gaussa, można pracować także z tymi, które mają nieskończoną liczbę rozwiązań. Albo nie mają go w ogóle.
Co to znaczy rozwiązywać metodą Gaussa?
Najpierw musimy zapisać nasz układ równań w następujący sposób. Weź system:
Współczynniki zapisano w formie tabeli, a terminy wolne w osobnej kolumnie po prawej stronie. Dla wygody kolumna z terminami wolnymi została oddzielona, a macierz zawierającą tę kolumnę nazywa się rozszerzoną.
Następnie główną macierz ze współczynnikami należy sprowadzić do postaci górnego trójkąta. To jest główny punkt rozwiązania układu metodą Gaussa. Mówiąc najprościej, po pewnych manipulacjach macierz powinna wyglądać tak, aby jej lewa dolna część zawierała tylko zera:
Następnie, jeśli napiszesz nową macierz ponownie jako układ równań, zauważysz, że ostatni wiersz zawiera już wartość jednego z pierwiastków, który następnie podstawia się do powyższego równania, zostaje znaleziony inny pierwiastek i tak dalej.
Jest to opis rozwiązania metodą Gaussa w najbardziej ogólnym ujęciu. Co się stanie, jeśli nagle system nie będzie miał rozwiązania? A może jest ich nieskończenie wiele? Aby odpowiedzieć na te i wiele innych pytań, należy osobno rozważyć wszystkie elementy stosowane w rozwiązaniu metody Gaussa.
Macierze, ich właściwości
W matrixie nie ma żadnego ukrytego znaczenia. Jest to po prostu wygodny sposób na zapisanie z nim danych do późniejszych operacji. Nawet uczniowie nie muszą się ich bać.
Matryca jest zawsze prostokątna, bo tak jest wygodniej. Nawet w metodzie Gaussa, gdzie wszystko sprowadza się do zbudowania macierzy o postaci trójkątnej, we wpisie pojawia się prostokąt, tylko z zerami w miejscu, w którym nie ma liczb. Zera mogą nie być zapisane, ale są dorozumiane.
Macierz ma rozmiar. Jego „szerokość” to liczba wierszy (m), „długość” to liczba kolumn (n). Wtedy wielkość macierzy A (zwykle do ich oznaczenia używa się wielkich liter łacińskich) będzie oznaczona jako A m×n. Jeśli m=n, to ta macierz jest kwadratowa, a m=n jest jej rządem. Odpowiednio, dowolny element macierzy A można oznaczyć numerami jego wierszy i kolumn: a xy ; x - numer wiersza, zmiany, y - numer kolumny, zmiany.
B nie jest głównym punktem decyzji. W zasadzie wszystkie operacje można wykonać bezpośrednio na samych równaniach, ale zapis będzie znacznie bardziej uciążliwy i znacznie łatwiej będzie się w nim pomylić.
Wyznacznik
Macierz ma również wyznacznik. Jest to bardzo ważna cecha. Nie trzeba już teraz dowiadywać się o jego znaczeniu, wystarczy pokazać, jak jest on obliczany, a następnie powiedzieć, jakie właściwości macierzy wyznacza. Najłatwiej znaleźć wyznacznik poprzez przekątne. W macierzy rysowane są wyimaginowane przekątne; elementy znajdujące się na każdym z nich są mnożone, a następnie dodawane są powstałe iloczyny: przekątne o nachyleniu w prawo - ze znakiem plus, o nachyleniu w lewo - ze znakiem minus.
Niezwykle ważne jest, aby pamiętać, że wyznacznik można obliczyć tylko dla macierzy kwadratowej. W przypadku macierzy prostokątnej można wykonać następującą operację: wybrać najmniejszą z liczby wierszy i liczby kolumn (niech będzie k), a następnie losowo zaznaczyć w macierzy k kolumn i k wierszy. Elementy na przecięciu wybranych kolumn i wierszy utworzą nową macierz kwadratową. Jeżeli wyznacznik takiej macierzy jest liczbą różną od zera, nazywa się ją mollą bazową pierwotnej macierzy prostokątnej.
Zanim zaczniesz rozwiązywać układ równań metodą Gaussa, nie zaszkodzi obliczyć wyznacznik. Jeśli okaże się, że wynosi zero, to od razu możemy powiedzieć, że macierz ma albo nieskończoną liczbę rozwiązań, albo nie ma ich wcale. W tak smutnym przypadku trzeba pójść dalej i dowiedzieć się o randze macierzy.
Klasyfikacja systemu
Istnieje coś takiego jak stopień macierzy. Jest to maksymalny rząd jej niezerowego wyznacznika (jeśli pamiętamy o molowej podstawie, to można powiedzieć, że rząd macierzy jest rzędem molowej podstawy).
W zależności od sytuacji z rangą, SLAE można podzielić na:
- Wspólny. U W układach połączonych stopień macierzy głównej (składającej się wyłącznie ze współczynników) pokrywa się z rzędem macierzy rozszerzonej (z kolumną wolnych terminów). Takie systemy mają rozwiązanie, ale niekoniecznie jedno, dlatego dodatkowo systemy wspólne dzielą się na:
- - niektórzy- posiadanie jednego rozwiązania. W niektórych systemach rząd macierzy i liczba niewiadomych (lub liczba kolumn, co jest tym samym) są równe;
- - nieokreślony - z nieskończoną liczbą rozwiązań. Ranga macierzy w takich układach jest mniejsza niż liczba niewiadomych.
- Niekompatybilny. U W takich układach szeregi macierzy głównej i rozszerzonej nie pokrywają się. Niekompatybilne systemy nie mają rozwiązania.
Metoda Gaussa jest dobra, ponieważ w trakcie rozwiązania pozwala uzyskać albo jednoznaczny dowód niespójności układu (bez obliczania wyznaczników dużych macierzy), albo rozwiązanie w postaci ogólnej dla układu o nieskończonej liczbie rozwiązań.
Transformacje elementarne
Przed przystąpieniem bezpośrednio do rozwiązywania układu można uczynić go mniej uciążliwym i wygodniejszym do obliczeń. Osiąga się to poprzez elementarne przekształcenia - tak, aby ich realizacja w żaden sposób nie zmieniała ostatecznej odpowiedzi. Należy zaznaczyć, że część podanych przekształceń elementarnych obowiązuje tylko dla macierzy, których źródłem był SLAE. Oto lista tych transformacji:
- Przestawianie linii. Oczywiście, jeśli zmienisz kolejność równań w zapisie systemowym, nie będzie to miało żadnego wpływu na rozwiązanie. W związku z tym wiersze w macierzy tego układu również można zamieniać, nie zapominając oczywiście o kolumnie wolnych terminów.
- Mnożenie wszystkich elementów ciągu przez określony współczynnik. Bardzo pomocne! Można go użyć do zmniejszenia dużych liczb w macierzy lub usunięcia zer. Wiele decyzji jak zwykle się nie zmieni, ale dalsze operacje staną się wygodniejsze. Najważniejsze jest to, że współczynnik nie jest równy zero.
- Usuwanie wierszy ze współczynnikami proporcjonalnymi. Częściowo wynika to z poprzedniego akapitu. Jeżeli dwa lub więcej wierszy macierzy ma współczynniki proporcjonalności, to mnożąc/dzieląc jeden z wierszy przez współczynnik proporcjonalności, otrzymujemy dwa (lub więcej) absolutnie identyczne wiersze, a dodatkowe można usunąć, pozostawiając tylko jeden.
- Usuwanie linii zerowej. Jeśli w trakcie transformacji otrzyma się gdzieś wiersz, w którym wszystkie elementy, łącznie z wyrazem wolnym, są równe zeru, to taki wiersz można nazwać zerem i wyrzucić z macierzy.
- Dodanie do elementów jednego wiersza elementów drugiego (w odpowiednich kolumnach), pomnożone przez określony współczynnik. Najbardziej nieoczywista i najważniejsza przemiana ze wszystkich. Warto zastanowić się nad tym bardziej szczegółowo.
Dodanie ciągu pomnożonego przez współczynnik
Dla ułatwienia zrozumienia warto rozłożyć ten proces krok po kroku. Z macierzy pobierane są dwa wiersze:
za 11 za 12 ... za 1n | b1
za 21 za 22 ... za 2n | b 2
Załóżmy, że musisz dodać pierwszy do drugiego, pomnożony przez współczynnik „-2”.
a" 21 = a 21 + -2×a 11
a" 22 = a 22 + -2×a 12
a" 2n = a 2n + -2×a 1n
Następnie drugi wiersz macierzy zostaje zastąpiony nowym, a pierwszy pozostaje niezmieniony.
za 11 za 12 ... za 1n | b1
a" 21 a" 22... a" 2n | b 2
Należy zaznaczyć, że współczynnik mnożenia można tak dobrać, aby w wyniku dodania dwóch wierszy jeden z elementów nowego wiersza był równy zero. W rezultacie możliwe jest otrzymanie równania w układzie, w którym będzie o jedno mniej niewiadome. A jeśli otrzymasz dwa takie równania, operację można wykonać ponownie i otrzymać równanie, które będzie zawierało o dwie niewiadome mniej. A jeśli za każdym razem zamienisz jeden współczynnik wszystkich wierszy znajdujących się poniżej pierwotnego na zero, możesz niczym schody zejść na sam dół macierzy i otrzymać równanie z jedną niewiadomą. Nazywa się to rozwiązywaniem układu metodą Gaussa.
Ogólnie
Niech będzie system. Ma m równań i n nieznanych pierwiastków. Można to zapisać w następujący sposób:
Główna macierz jest kompilowana ze współczynników systemowych. Do rozszerzonej macierzy dodawana jest kolumna wolnych terminów i dla wygody oddzielana linią.
- pierwszy wiersz macierzy mnoży się przez współczynnik k = (-a 21 /a 11);
- dodaje się pierwszy zmodyfikowany wiersz i drugi wiersz macierzy;
- zamiast drugiego wiersza do macierzy wstawiany jest wynik dodania z poprzedniego akapitu;
- teraz pierwszy współczynnik w nowym drugim rzędzie to a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.
Teraz wykonywana jest ta sama seria przekształceń, zaangażowane są tylko pierwszy i trzeci rząd. Odpowiednio na każdym etapie algorytmu element 21 jest zastępowany przez 31. Następnie wszystko powtarza się dla 41, ... m1. Wynikiem jest macierz, w której pierwszym elementem w wierszach jest zero. Teraz musisz zapomnieć o linii numer jeden i wykonać ten sam algorytm, zaczynając od linii drugiej:
- współczynnik k = (-a 32 /a 22);
- druga zmodyfikowana linia jest dodawana do linii „bieżącej”;
- wynik dodawania jest podstawiony do trzeciego, czwartego i tak dalej, podczas gdy pierwszy i drugi pozostają niezmienione;
- w wierszach macierzy dwa pierwsze elementy są już równe zeru.
Algorytm należy powtarzać aż do pojawienia się współczynnika k = (-a m,m-1 /a mm). Oznacza to, że ostatni raz algorytm był wykonywany tylko dla dolnego równania. Teraz matryca wygląda jak trójkąt lub ma kształt schodkowy. W dolnej linii znajduje się równość a mn × x n = b m. Znany jest współczynnik i wyraz wolny, a pierwiastek wyraża się za ich pośrednictwem: x n = b m /a mn. Powstały pierwiastek podstawiamy do górnej linii, aby znaleźć x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. I tak dalej przez analogię: w każdej kolejnej linii znajduje się nowy pierwiastek, a po dotarciu na „szczyt” systemu można znaleźć wiele rozwiązań. To będzie jedyny.
Kiedy nie ma rozwiązań
Jeżeli w jednym z wierszy macierzy wszystkie elementy poza wyrazem wolnym są równe zeru, to równanie odpowiadające temu wierszowi wygląda jak 0 = b. Nie ma rozwiązania. A skoro takie równanie jest zawarte w układzie, to zbiór rozwiązań całego układu jest pusty, czyli zdegenerowany.
Gdy istnieje nieskończona liczba rozwiązań
Może się zdarzyć, że w danej macierzy trójkątnej nie ma wierszy z jednym elementem współczynnikowym równania i jednym wyrazem wolnym. Istnieją tylko linie, które po przepisaniu wyglądałyby jak równanie z dwiema lub więcej zmiennymi. Oznacza to, że układ ma nieskończoną liczbę rozwiązań. W takim przypadku odpowiedź można podać w formie ogólnego rozwiązania. Jak to zrobić?
Wszystkie zmienne w macierzy dzielą się na podstawowe i dowolne. Podstawowe to te, które stoją „na krawędzi” wierszy macierzy schodkowej. Reszta jest bezpłatna. W rozwiązaniu ogólnym zmienne podstawowe zapisywane są poprzez zmienne wolne.
Dla wygody macierz jest najpierw przepisana z powrotem do układu równań. Następnie w ostatnim z nich, gdzie dokładnie pozostaje tylko jedna zmienna podstawowa, pozostaje ona po jednej stronie, a wszystko inne zostaje przeniesione na drugą. Odbywa się to dla każdego równania z jedną zmienną podstawową. Następnie w pozostałych równaniach, gdzie jest to możliwe, zamiast zmiennej podstawowej podstawiamy otrzymane dla niej wyrażenie. Jeśli wynikiem jest ponownie wyrażenie zawierające tylko jedną zmienną podstawową, jest ono ponownie wyrażane od tego miejsca i tak dalej, aż każda zmienna podstawowa zostanie zapisana jako wyrażenie ze zmiennymi wolnymi. Jest to ogólne rozwiązanie SLAE.
Można też znaleźć podstawowe rozwiązanie układu - nadaj zmiennym swobodnym dowolne wartości, a następnie dla tego konkretnego przypadku oblicz wartości zmiennych podstawowych. Istnieje nieskończona liczba rozwiązań szczegółowych, które można podać.
Rozwiązanie na konkretnych przykładach
Oto układ równań.
Dla wygody lepiej od razu utworzyć matrycę
Wiadomo, że po rozwiązaniu metodą Gaussa równanie odpowiadające pierwszemu wierszowi pozostanie niezmienione po zakończeniu przekształceń. Dlatego bardziej opłacalne będzie, jeśli lewy górny element macierzy będzie najmniejszy - wówczas pierwsze elementy pozostałych wierszy po operacjach wyniosą zero. Oznacza to, że w skompilowanej macierzy korzystne będzie umieszczenie drugiego wiersza w miejsce pierwszego.
druga linia: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3
a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0
a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7
a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11
b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24
trzecia linia: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5
a" 3 1 = za 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0
a" 3 2 = za 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9
a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18
b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57
Teraz, aby się nie pomylić, musisz zapisać macierz z pośrednimi wynikami transformacji.
Oczywiście taką matrycę można uczynić wygodniejszą dla percepcji za pomocą pewnych operacji. Na przykład możesz usunąć wszystkie „minusy” z drugiej linii, mnożąc każdy element przez „-1”.
Warto również zauważyć, że w trzeciej linii wszystkie elementy są wielokrotnościami trójki. Następnie możesz skrócić ciąg o tę liczbę, mnożąc każdy element przez „-1/3” (minus - jednocześnie, aby usunąć wartości ujemne).
Wygląda dużo ładniej. Teraz musimy zostawić pierwszą linię w spokoju i pracować z drugą i trzecią. Zadanie polega na dodaniu drugiej linii do trzeciej linii i pomnożeniu przez taki współczynnik, aby element a 32 stał się równy zero.
k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (jeżeli podczas niektórych przekształceń odpowiedź nie okaże się liczbą całkowitą, zaleca się zachowanie dokładności obliczeń pozostawić to „tak jak jest”, w postaci ułamka zwykłego i dopiero wtedy, gdy otrzymamy odpowiedzi, zadecydujemy, czy zaokrąglić i przekonwertować na inną formę zapisu)
a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0
a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7
b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7
Macierz jest zapisywana ponownie z nowymi wartościami.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Jak widać, otrzymana macierz ma już postać schodkową. Nie są zatem wymagane dalsze transformacje układu metodą Gaussa. Możesz tutaj usunąć ogólny współczynnik „-1/7” z trzeciej linii.
Teraz wszystko jest piękne. Pozostało jeszcze raz zapisać macierz w postaci układu równań i obliczyć pierwiastki
x + 2y + 4z = 12 (1)
7y + 11z = 24 (2)
Algorytm, za pomocą którego zostaną teraz znalezione pierwiastki, nazywa się ruchem odwrotnym w metodzie Gaussa. Równanie (3) zawiera wartość z:
y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9
Pierwsze równanie pozwala nam znaleźć x:
x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3
Mamy prawo nazwać taki system wspólnym, a nawet określonym, czyli posiadającym unikalne rozwiązanie. Odpowiedź jest zapisana w następującej formie:
x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.
Przykład niepewnego systemu
Przeanalizowano wariant rozwiązania pewnego układu metodą Gaussa, obecnie należy rozważyć przypadek, gdy układ jest niepewny, czyli można dla niego znaleźć nieskończenie wiele rozwiązań.
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)
3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)
x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)
5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)
Już sam wygląd układu jest niepokojący, gdyż liczba niewiadomych wynosi n=5, a ranga macierzy układu jest już dokładnie mniejsza od tej liczby, gdyż liczba wierszy wynosi m=4, czyli największy rząd wyznacznika wynosi 4. Oznacza to, że istnieje nieskończona liczba rozwiązań i trzeba szukać ich ogólnego wyglądu. Umożliwia to metoda Gaussa dla równań liniowych.
Najpierw, jak zwykle, kompilowana jest rozszerzona macierz.
Druga linia: współczynnik k = (-a 21 /a 11) = -3. W trzeciej linii pierwszy element jest przed przekształceniami, więc nie trzeba niczego dotykać, trzeba to zostawić tak, jak jest. Czwarta linia: k = (-a 4 1 /a 11) = -5
Mnożąc elementy pierwszego rzędu po kolei przez każdy z ich współczynników i dodając je do wymaganych wierszy, otrzymujemy macierz o postaci:
Jak widać drugi, trzeci i czwarty rząd składają się z elementów proporcjonalnych do siebie. Drugi i czwarty są na ogół identyczne, więc jeden z nich można natychmiast usunąć, a drugi można pomnożyć przez współczynnik „-1” i uzyskać linię nr 3. I znowu z dwóch identycznych linii zostaw jedną.
Rezultatem jest taka macierz. Choć system nie został jeszcze spisany, należy tu wyznaczyć zmienne podstawowe – te stojące przy współczynnikach a 11 = 1 i a 22 = 1 oraz wolne – całą resztę.
W drugim równaniu występuje tylko jedna zmienna podstawowa – x 2. Oznacza to, że można to wyrazić stamtąd, zapisując je poprzez zmienne x 3 , x 4 , x 5 , które są bezpłatne.
Podstawiamy otrzymane wyrażenie do pierwszego równania.
Wynikiem jest równanie, w którym jedyną zmienną podstawową jest x 1 . Zróbmy z tym to samo co z x2.
Wszystkie zmienne podstawowe, których są dwie, wyrażamy w postaci trzech wolnych, teraz możemy zapisać odpowiedź w postaci ogólnej.
Można także wskazać jedno z konkretnych rozwiązań systemu. W takich przypadkach zwykle wybiera się zera jako wartości wolnych zmiennych. Wtedy odpowiedź będzie brzmieć:
16, 23, 0, 0, 0.
Przykład systemu niekooperacyjnego
Najszybsze jest rozwiązywanie niezgodnych układów równań metodą Gaussa. Kończy się natychmiast, gdy tylko na jednym z etapów zostanie uzyskane równanie, które nie ma rozwiązania. Oznacza to, że etap obliczania pierwiastków, który jest dość długi i żmudny, zostaje wyeliminowany. Rozważany jest następujący system:
x + y - z = 0 (1)
2x - y - z = -2 (2)
4x + y - 3z = 5 (3)
Jak zwykle macierz jest kompilowana:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
I sprowadza się to do postaci krokowej:
k 1 = -2 k 2 = -4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Po pierwszym przekształceniu trzecia linia zawiera równanie postaci
bez rozwiązania. W rezultacie system jest niespójny, a odpowiedzią będzie zbiór pusty.
Zalety i wady metody
Jeśli wybierzesz metodę rozwiązywania SLAE na papierze za pomocą pióra, wówczas metoda omówiona w tym artykule wygląda najbardziej atrakcyjnie. O wiele trudniej jest się pogubić w elementarnych transformacjach, niż gdy trzeba ręcznie szukać wyznacznika lub jakiejś skomplikowanej macierzy odwrotnej. Jeśli jednak używasz programów do pracy z danymi tego typu, na przykład arkuszy kalkulacyjnych, okazuje się, że takie programy zawierają już algorytmy do obliczania głównych parametrów macierzy - wyznacznika, drugorzędnych, odwrotności i tak dalej. A jeśli masz pewność, że maszyna sama obliczy te wartości i nie popełni błędów, bardziej wskazane jest skorzystanie z metody macierzowej lub wzorów Cramera, ponieważ ich stosowanie zaczyna się i kończy na obliczeniu wyznaczników i macierzy odwrotnych .
Aplikacja
Ponieważ rozwiązanie Gaussa jest algorytmem, a macierz jest w rzeczywistości tablicą dwuwymiarową, można je wykorzystać w programowaniu. Ponieważ jednak artykuł pozycjonuje się jako przewodnik „dla opornych”, należy powiedzieć, że najłatwiejszym miejscem do wprowadzenia metody są arkusze kalkulacyjne, na przykład Excel. Ponownie, każdy SLAE wprowadzony do tabeli w postaci macierzy będzie traktowany przez Excel jako tablica dwuwymiarowa. A do operacji na nich jest wiele fajnych poleceń: dodawanie (można dodawać tylko macierze o tej samej wielkości!), mnożenie przez liczbę, mnożenie macierzy (również z pewnymi ograniczeniami), znajdowanie macierzy odwrotnych i transponowanych i co najważniejsze , obliczenie wyznacznika. Jeśli to czasochłonne zadanie zastąpimy pojedynczym poleceniem, znacznie szybciej można określić rangę macierzy, a co za tym idzie, ustalić jej zgodność lub niekompatybilność.
Od początku XVI-XVIII wieku matematycy zaczęli intensywnie badać funkcje, dzięki którym tak wiele zmieniło się w naszym życiu. Bez tej wiedzy technologia komputerowa po prostu nie istniałaby. Stworzono różne koncepcje, twierdzenia i techniki rozwiązywania złożonych problemów, równań liniowych i funkcji. Jedną z takich uniwersalnych i racjonalnych metod i technik rozwiązywania równań liniowych i ich układów była metoda Gaussa. Macierze, ich ranga, wyznacznik – wszystko można obliczyć bez stosowania skomplikowanych operacji.
Co to jest SLAU
W matematyce istnieje pojęcie SLAE – układu liniowych równań algebraicznych. Jaka ona jest? Jest to zbiór m równań z wymaganymi n nieznanymi wielkościami, zwykle oznaczanymi jako x, y, z lub x 1, x 2 ... x n lub innymi symbolami. Rozwiązanie danego układu metodą Gaussa polega na znalezieniu wszystkich nieznanych niewiadomych. Jeśli układ ma tę samą liczbę niewiadomych i równań, nazywa się go układem n-tego rzędu.
Najpopularniejsze metody rozwiązywania SLAE
W placówkach edukacyjnych szkół średnich badane są różne metody rozwiązywania takich systemów. Najczęściej są to proste równania składające się z dwóch niewiadomych, więc żadna istniejąca metoda znalezienia na nie odpowiedzi nie zajmie dużo czasu. Może to przypominać metodę podstawienia, gdy z jednego równania wyprowadza się inne i podstawia je do pierwotnego. Lub metoda odejmowania i dodawania wyrazów po wyrazie. Ale metoda Gaussa jest uważana za najłatwiejszą i najbardziej uniwersalną. Umożliwia rozwiązywanie równań z dowolną liczbą niewiadomych. Dlaczego tę konkretną technikę uważa się za racjonalną? To proste. Zaletą metody macierzowej jest to, że nie wymaga ona kilkukrotnego przepisywania niepotrzebnych symboli jako niewiadomych, wystarczy wykonać działania arytmetyczne na współczynnikach - i otrzymamy rzetelny wynik.
Gdzie w praktyce stosuje się SLAE?
Rozwiązaniem SLAE są punkty przecięcia prostych na wykresach funkcji. W naszej epoce zaawansowanych technologii komputerowych osoby ściśle związane z tworzeniem gier i innych programów muszą wiedzieć, jak rozwiązywać takie systemy, co reprezentują i jak sprawdzić poprawność otrzymanego wyniku. Najczęściej programiści opracowują specjalne programy kalkulatora algebry liniowej, które zawierają również układ równań liniowych. Metoda Gaussa pozwala obliczyć wszystkie istniejące rozwiązania. Stosowane są również inne uproszczone formuły i techniki.
Kryterium zgodności SLAU
Taki system można rozwiązać tylko wtedy, gdy jest kompatybilny. Dla przejrzystości przedstawimy SLAE w postaci Ax=b. Ma rozwiązanie, jeśli rang(A) równa się rang(A,b). W tym przypadku (A,b) jest macierzą w postaci rozszerzonej, którą można otrzymać z macierzy A poprzez przepisanie jej na wolne terminy. Okazuje się, że rozwiązywanie równań liniowych metodą Gaussa jest dość łatwe.
Być może niektóre symbole nie są do końca jasne, dlatego należy rozważyć wszystko na przykładzie. Powiedzmy, że istnieje system: x+y=1; 2x-3 lata=6. Składa się tylko z dwóch równań, w których są 2 niewiadome. Układ będzie miał rozwiązanie tylko wtedy, gdy rząd jego macierzy będzie równy rządowi rozszerzonej macierzy. Co to jest ranga? Jest to liczba niezależnych linii systemu. W naszym przypadku rząd macierzy wynosi 2. Macierz A będzie składać się ze współczynników znajdujących się w pobliżu niewiadomych, a współczynniki znajdujące się za znakiem „=” również mieszczą się w rozszerzonej macierzy.
Dlaczego SLAE można przedstawić w formie macierzowej?
W oparciu o kryterium zgodności według sprawdzonego twierdzenia Kroneckera-Capelliego układ liniowych równań algebraicznych można przedstawić w postaci macierzowej. Stosując metodę kaskady Gaussa można rozwiązać macierz i uzyskać jedną wiarygodną odpowiedź dla całego układu. Jeśli ranga macierzy zwykłej jest równa rangi jej macierzy rozszerzonej, ale jest mniejsza od liczby niewiadomych, to system ma nieskończoną liczbę odpowiedzi.
Transformacje macierzowe
Zanim przejdziesz do rozwiązywania macierzy, musisz wiedzieć, jakie działania można wykonać na ich elementach. Istnieje kilka elementarnych transformacji:
- Przepisując układ w postaci macierzowej i rozwiązując go, można pomnożyć wszystkie elementy szeregu przez ten sam współczynnik.
- Aby przekształcić macierz do postaci kanonicznej, można zamienić dwa równoległe wiersze. Z formy kanonicznej wynika, że wszystkie elementy macierzy znajdujące się wzdłuż głównej przekątnej stają się jedynkami, a pozostałe zerami.
- Odpowiednie elementy równoległych rzędów macierzy można do siebie dodawać.
Metoda Jordana-Gaussa
Istotą rozwiązywania układów liniowych równań jednorodnych i niejednorodnych metodą Gaussa jest stopniowe eliminowanie niewiadomych. Załóżmy, że mamy układ dwóch równań, w którym są dwie niewiadome. Aby je znaleźć, musisz sprawdzić system pod kątem kompatybilności. Równanie rozwiązuje się bardzo prosto metodą Gaussa. Należy zapisać współczynniki znajdujące się przy każdej niewiadomej w postaci macierzowej. Aby rozwiązać układ, będziesz musiał wypisać rozszerzoną macierz. Jeżeli jedno z równań zawiera mniejszą liczbę niewiadomych, wówczas w miejsce brakującego elementu należy wstawić „0”. Do macierzy stosowane są wszystkie znane metody transformacji: mnożenie, dzielenie przez liczbę, dodawanie do siebie odpowiednich elementów szeregu i inne. Okazuje się, że w każdym wierszu należy pozostawić jedną zmienną o wartości „1”, resztę należy sprowadzić do zera. Aby uzyskać dokładniejsze zrozumienie, należy rozważyć metodę Gaussa na przykładach.
Prosty przykład rozwiązania układu 2x2
Na początek weźmy prosty układ równań algebraicznych, w którym będą 2 niewiadome.
Przepiszmy to na rozszerzoną macierz.
Aby rozwiązać ten układ równań liniowych, potrzebne są tylko dwie operacje. Musimy doprowadzić macierz do postaci kanonicznej, aby były one wzdłuż głównej przekątnej. Zatem przenosząc z postaci macierzowej z powrotem do układu otrzymujemy równania: 1x+0y=b1 i 0x+1y=b2, gdzie b1 i b2 są wynikami w procesie rozwiązania.
- Pierwszą czynnością przy rozwiązywaniu rozszerzonej macierzy będzie następująca: pierwszy wiersz należy pomnożyć przez -7 i dodać odpowiednie elementy do drugiego wiersza, aby pozbyć się niewiadomej w drugim równaniu.
- Ponieważ rozwiązywanie równań metodą Gaussa polega na sprowadzeniu macierzy do postaci kanonicznej, to należy wykonać te same operacje z pierwszym równaniem i usunąć drugą zmienną. Aby to zrobić, odejmujemy drugą linię od pierwszej i otrzymujemy wymaganą odpowiedź - rozwiązanie SLAE. Lub, jak pokazano na rysunku, mnożymy drugi wiersz przez współczynnik -1 i dodajemy elementy drugiego rzędu do pierwszego wiersza. To jest to samo.
Jak widać, nasz układ został rozwiązany metodą Jordana-Gaussa. Zapisujemy to w wymaganej postaci: x=-5, y=7.
Przykład rozwiązania 3x3 SLAE
Załóżmy, że mamy bardziej złożony układ równań liniowych. Metoda Gaussa pozwala obliczyć odpowiedź nawet dla najbardziej pozornie zagmatwanego systemu. Dlatego, aby głębiej zagłębić się w metodologię obliczeń, można przejść do bardziej złożonego przykładu z trzema niewiadomymi.
Podobnie jak w poprzednim przykładzie przepisujemy układ w postaci rozszerzonej macierzy i zaczynamy doprowadzać go do postaci kanonicznej.
Aby rozwiązać ten system, będziesz musiał wykonać znacznie więcej czynności niż w poprzednim przykładzie.
- Najpierw musisz ustawić pierwszą kolumnę jako element jednostkowy, a pozostałe zera. Aby to zrobić, pomnóż pierwsze równanie przez -1 i dodaj do niego drugie równanie. Należy pamiętać, że pierwszą linijkę przepisujemy w oryginalnej formie, a drugą w zmodyfikowanej formie.
- Następnie usuwamy tę samą pierwszą niewiadomą z trzeciego równania. Aby to zrobić, pomnóż elementy pierwszego wiersza przez -2 i dodaj je do trzeciego wiersza. Teraz pierwszy i drugi wiersz zostały przepisane w oryginalnej formie, a trzeci - ze zmianami. Jak widać z wyniku, pierwsze zera otrzymaliśmy na początku głównej przekątnej macierzy, a pozostałe zera. Jeszcze kilka kroków, a układ równań metodą Gaussa zostanie niezawodnie rozwiązany.
- Teraz musisz wykonać operacje na innych elementach wierszy. Trzecią i czwartą akcję można połączyć w jedną. Musimy podzielić drugą i trzecią linię przez -1, aby pozbyć się minusów na przekątnej. Doprowadziliśmy już trzecią linię do wymaganej formy.
- Następnie doprowadzamy drugą linię do postaci kanonicznej. Aby to zrobić, mnożymy elementy trzeciego wiersza przez -3 i dodajemy je do drugiego wiersza macierzy. Z wyniku jasno wynika, że druga linia również zostaje zredukowana do potrzebnej nam formy. Pozostaje wykonać jeszcze kilka operacji i usunąć współczynniki niewiadomych z pierwszej linii.
- Aby uzyskać 0 z drugiego elementu wiersza, należy pomnożyć trzeci wiersz przez -3 i dodać go do pierwszego wiersza.
- Kolejnym decydującym krokiem będzie dodanie niezbędnych elementów drugiego rzędu do pierwszego rzędu. W ten sposób otrzymujemy postać kanoniczną macierzy i, co za tym idzie, odpowiedź.
Jak widać rozwiązywanie równań metodą Gaussa jest dość proste.
Przykład rozwiązania układu równań 4x4
Niektóre bardziej złożone układy równań można rozwiązać metodą Gaussa przy użyciu programów komputerowych. Należy wpisać współczynniki niewiadomych do istniejących pustych komórek, a program sam krok po kroku obliczy wymagany wynik, szczegółowo opisując każdą akcję.
Instrukcje krok po kroku dotyczące rozwiązania takiego przykładu opisano poniżej.
W pierwszym kroku do pustych komórek wprowadzane są wolne współczynniki i liczby dla niewiadomych. Otrzymujemy zatem tę samą rozszerzoną macierz, którą piszemy ręcznie.
I wykonywane są wszystkie niezbędne operacje arytmetyczne, aby doprowadzić rozszerzoną macierz do jej postaci kanonicznej. Należy zrozumieć, że odpowiedzią na układ równań nie zawsze są liczby całkowite. Czasami rozwiązaniem może być liczba ułamkowa.
Sprawdzenie poprawności rozwiązania
Metoda Jordana-Gaussa umożliwia sprawdzenie poprawności wyniku. Aby dowiedzieć się, czy współczynniki zostały obliczone poprawnie, wystarczy wynik podstawić do pierwotnego układu równań. Lewa strona równania musi odpowiadać prawej stronie za znakiem równości. Jeśli odpowiedzi nie są zgodne, to musisz przeliczyć system na nowo lub spróbować zastosować do niego inną znaną Ci metodę rozwiązywania SLAE, taką jak podstawienie lub odejmowanie i dodawanie wyrazów po wyrazie. W końcu matematyka jest nauką, która ma ogromną liczbę różnych metod rozwiązywania. Pamiętaj jednak: wynik powinien być zawsze taki sam, niezależnie od zastosowanej metody rozwiązania.
Metoda Gaussa: najczęstsze błędy przy rozwiązywaniu SLAE
Przy rozwiązywaniu liniowych układów równań najczęściej pojawiają się błędy w postaci nieprawidłowego przeniesienia współczynników do postaci macierzowej. Istnieją układy, w których w jednym z równań brakuje pewnych niewiadomych, wówczas przy przenoszeniu danych do rozszerzonej macierzy mogą one zostać utracone. W rezultacie przy rozwiązywaniu tego układu wynik może nie odpowiadać rzeczywistemu.
Kolejnym poważnym błędem może być błędne zapisanie wyniku końcowego. Konieczne jest jasne zrozumienie, że pierwszy współczynnik będzie odpowiadał pierwszej niewiadomej z systemu, drugi - drugiemu i tak dalej.
Metoda Gaussa szczegółowo opisuje rozwiązanie równań liniowych. Dzięki niemu łatwo jest przeprowadzić niezbędne operacje i znaleźć odpowiedni wynik. Ponadto jest to uniwersalne narzędzie do znajdowania wiarygodnej odpowiedzi na równania o dowolnej złożoności. Może dlatego tak często używa się go przy rozwiązywaniu SLAE.