Skonstruuj trójkąt symetryczny do danego. Osie symetrii

Jeśli pomyślisz przez chwilę i wyobrazisz sobie w umyśle dowolny obiekt, to w 99% przypadków postać, która przyjdzie Ci do głowy, będzie miała prawidłowy kształt. Tylko 1% ludzi, a raczej ich wyobraźnia, narysuje skomplikowany obiekt, który wygląda zupełnie błędnie lub nieproporcjonalnie. Jest to raczej wyjątek od reguły i dotyczy nieszablonowo myślących jednostek, mających szczególne spojrzenie na sprawy. Wracając jednak do bezwzględnej większości, warto powiedzieć, że nadal przeważa znaczna część pozycji poprawnych. Artykuł będzie mówił wyłącznie o nich, a mianowicie o ich symetrycznym rysowaniu.

Rysowanie właściwych obiektów: tylko kilka kroków do gotowego rysunku

Zanim zaczniesz rysować obiekt symetryczny, musisz go wybrać. W naszej wersji będzie to wazon, ale nawet jeśli w żaden sposób nie przypomina tego, co zdecydowałeś się przedstawić, nie rozpaczaj: wszystkie kroki są absolutnie identyczne. Postępuj zgodnie z sekwencją, a wszystko się ułoży:

  1. Wszystkie obiekty o regularnych kształtach posiadają tzw. oś środkową, co zdecydowanie należy podkreślić przy rysowaniu symetrycznym. Aby to zrobić, możesz nawet użyć linijki i narysować prostą linię przez środek arkusza poziomego.
  2. Następnie przyjrzyj się uważnie wybranemu przedmiotowi i spróbuj przenieść jego proporcje na kartkę papieru. Nie jest to trudne, jeśli po obu stronach narysowanej wcześniej linii zaznaczysz lekkie pociągnięcia, które później staną się konturami rysowanego obiektu. W przypadku wazonu konieczne jest podkreślenie szyi, dołu i najszerszej części ciała.
  3. Nie zapominaj, że rysunek symetryczny nie toleruje niedokładności, więc jeśli masz wątpliwości co do zamierzonych pociągnięć lub nie jesteś pewien poprawności własnego oka, sprawdź dwukrotnie wyznaczone odległości za pomocą linijki.
  4. Ostatnim krokiem jest połączenie wszystkich linii w całość.

Rysunek symetryczny jest dostępny dla użytkowników komputerów

Z uwagi na to, że większość otaczających nas obiektów ma odpowiednie proporcje, czyli jest symetryczna, twórcy aplikacji komputerowych stworzyli programy, w których z łatwością można narysować absolutnie wszystko. Wystarczy je pobrać i cieszyć się procesem twórczym. Pamiętaj jednak, że maszyna nigdy nie zastąpi zaostrzonego ołówka i szkicownika.





























Powrót do przodu

Uwaga! Podglądy slajdów służą wyłącznie celom informacyjnym i mogą nie odzwierciedlać wszystkich funkcji prezentacji. Jeśli jesteś zainteresowany tą pracą, pobierz pełną wersję.

Typ lekcji:łączny.

Cele Lekcji:

  • Rozważ symetrie osiowe, centralne i lustrzane jako właściwości niektórych figur geometrycznych.
  • Nauczyć konstruować punkty symetryczne i rozpoznawać figury o symetrii osiowej i symetrii centralnej.
  • Popraw umiejętności rozwiązywania problemów.

Cele Lekcji:

  • Tworzenie reprezentacji przestrzennych uczniów.
  • Rozwijanie umiejętności obserwacji i rozumowania; rozwijanie zainteresowań tematyką poprzez wykorzystanie technologii informatycznych.
  • Wychować człowieka, który potrafi docenić piękno.

Wyposażenie lekcji:

  • Wykorzystanie technologii informatycznych (prezentacja).
  • Rysunki.
  • Karty pracy domowej.

Podczas zajęć

I. Moment organizacyjny.

Poinformuj o temacie lekcji, sformułuj cele lekcji.

II. Wstęp.

Co to jest symetria?

Wybitny matematyk Hermann Weyl wysoko cenił rolę symetrii we współczesnej nauce: „Symetria, niezależnie od tego, jak szeroko lub wąsko rozumiemy to słowo, jest ideą, za pomocą której człowiek próbował wyjaśnić i stworzyć porządek, piękno i doskonałość”.

Żyjemy w bardzo pięknym i harmonijnym świecie. Otaczamy się przedmiotami, które cieszą oko. Na przykład motyl, liść klonu, płatek śniegu. Spójrz, jakie są piękne. Czy zwróciłeś na nie uwagę? Dziś poruszymy to cudowne zjawisko matematyczne – symetrię. Zapoznajmy się z koncepcją osiową, symetrie centralne i lustrzane. Nauczymy się budować i identyfikować figury symetryczne względem osi, środka i płaszczyzny.

Słowo „symetria” przetłumaczone z języka greckiego brzmi jak „harmonia”, co oznacza piękno, proporcjonalność, proporcjonalność, jednolitość w układzie części. Człowiek od dawna stosuje symetrię w architekturze. Nadaje harmonię i kompletność starożytnym świątyniom, wieżom średniowiecznych zamków i nowoczesnym budynkom.

W najbardziej ogólnej formie przez „symetrię” w matematyce rozumie się takie przekształcenie przestrzeni (płaszczyzny), w którym każdy punkt M przechodzi do innego punktu M” względem jakiejś płaszczyzny (lub linii) a, gdy odcinek MM” jest prostopadle do płaszczyzny (lub linii) a i dzieli ją na pół. Płaszczyzna (prosta) a nazywana jest płaszczyzną (lub osią) symetrii. Podstawowe pojęcia symetrii obejmują płaszczyznę symetrii, oś symetrii, środek symetrii. Płaszczyzna symetrii P to płaszczyzna dzieląca figurę na dwie lustrzanie równe części, położone względem siebie w taki sam sposób, jak przedmiot i jego lustrzane odbicie.

III. Głównym elementem. Rodzaje symetrii.

Centralna symetria

Symetria względem punktu lub symetria centralna jest właściwością figury geometrycznej, gdy dowolny punkt znajdujący się po jednej stronie środka symetrii odpowiada innemu punktowi znajdującemu się po drugiej stronie środka. W tym przypadku punkty znajdują się na odcinku linii prostej przechodzącej przez środek, dzieląc odcinek na pół.

Zadanie praktyczne.

  1. Punkty są przyznawane A, W I M M względem środka segmentu AB.
  2. Które z poniższych liter mają środek symetrii: A, O, M, X, K?
  3. Czy mają środek symetrii: a) odcinek; b) belka; c) para przecinających się linii; d) kwadratowy?

Symetria osiowa

Symetria względem prostej (lub symetria osiowa) to właściwość figury geometrycznej, gdy dowolnemu punktowi znajdującemu się po jednej stronie linii zawsze będzie odpowiadać punkt znajdujący się po drugiej stronie linii, a odcinki łączące te punkty będą prostopadłe do osi symetrii i podzieloną przez nią na pół.

Zadanie praktyczne.

  1. Biorąc pod uwagę dwa punkty A I W, symetryczny względem jakiejś linii i punktu M. Skonstruuj punkt symetryczny do tego punktu M względem tej samej linii.
  2. Które z poniższych liter mają oś symetrii: A, B, D, E, O?
  3. Ile osi symetrii ma: a) odcinek? b) proste; c) belka?
  4. Ile osi symetrii ma rysunek? (patrz rys. 1)

Symetria lustrzana

Zwrotnica A I W nazywane są symetrycznymi względem płaszczyzny α (płaszczyzny symetrii), jeśli płaszczyzna α przechodzi przez środek odcinka AB i prostopadle do tego odcinka. Każdy punkt płaszczyzny α uważa się za symetryczny względem siebie.

Zadanie praktyczne.

  1. Znajdź współrzędne punktów, do których idą punkty A (0; 1; 2), B (3; -1; 4), C (1; 0; -2), gdy: a) symetria centralna względem początku układu współrzędnych; b) symetria osiowa względem osi współrzędnych; c) symetria lustrzana względem płaszczyzn współrzędnych.
  2. Czy prawa rękawiczka wchodzi w prawą czy lewą rękawiczkę w lustrzanej symetrii? symetria osiowa? centralna symetria?
  3. Rysunek pokazuje, jak liczba 4 odbija się w dwóch lustrach. Co będzie widoczne w miejscu znaku zapytania, jeśli to samo zrobimy z cyfrą 5? (patrz rys. 2)
  4. Na zdjęciu widać odbicie słowa KANGAROO w dwóch lustrach. Co się stanie, jeśli zrobisz to samo z liczbą 2011? (patrz rys. 3)


Ryż. 2

To jest interesujące.

Symetria w przyrodzie żywej.

Prawie wszystkie żywe istoty zbudowane są zgodnie z prawami symetrii; nie bez powodu słowo „symetria” w tłumaczeniu z języka greckiego oznacza „proporcjonalność”.

Na przykład wśród kwiatów występuje symetria obrotowa. Wiele kwiatów można obracać tak, aby każdy płatek zajął pozycję sąsiada, kwiat wyrównał się ze sobą. Minimalny kąt takiego obrotu nie jest taki sam dla różnych kolorów. Dla irysa jest to 120°, dla dzwonka – 72°, dla narcyza – 60°.

W ułożeniu liści na łodygach roślin występuje symetria spiralna. Liście, umieszczone na łodydze niczym śruba, zdają się rozprzestrzeniać w różnych kierunkach i nie zasłaniają się nawzajem przed światłem, chociaż same liście również mają oś symetrii. Rozważając ogólny plan budowy każdego zwierzęcia, zwykle zauważamy pewną prawidłowość w rozmieszczeniu części ciała lub narządów, które powtarzają się wokół określonej osi lub zajmują to samo położenie względem określonej płaszczyzny. Ta prawidłowość nazywa się symetrią ciała. Zjawiska symetrii są tak powszechne w świecie zwierząt, że bardzo trudno wskazać grupę, w której nie można zauważyć symetrii ciała. Zarówno małe owady, jak i duże zwierzęta mają symetrię.

Symetria w przyrodzie nieożywionej.

Wśród nieskończonej różnorodności form przyrody nieożywionej znajduje się mnóstwo takich doskonałych obrazów, których wygląd niezmiennie przyciąga naszą uwagę. Obserwując piękno natury, można zauważyć, że gdy przedmioty odbijają się w kałużach i jeziorach, pojawia się lustrzana symetria (patrz ryc. 4).

Kryształy wnoszą urok symetrii do świata przyrody nieożywionej. Każdy płatek śniegu to mały kryształ zamarzniętej wody. Kształt płatków śniegu może być bardzo różnorodny, ale wszystkie mają symetrię obrotową, a ponadto symetrię lustrzaną.

Nie można nie zauważyć symetrii w fasetowanych kamieniach szlachetnych. Wielu szlifierek stara się nadać diamentom kształt czworościanu, sześcianu, oktaedru lub dwudziestościanu. Ponieważ granat zawiera te same elementy co sześcian, jest wysoko ceniony przez koneserów kamieni szlachetnych. Artystyczne przedmioty wykonane z granatów odkryto w grobach starożytnego Egiptu z okresu przeddynastycznego (ponad dwa tysiące lat p.n.e.) (patrz ryc. 5).

W zbiorach Ermitażu szczególną uwagę zwraca się na złotą biżuterię starożytnych Scytów. Artystyczne dzieło składające się ze złotych wieńców, diademów, drewna i ozdobionych szlachetnymi czerwono-fioletowymi granatami jest niezwykle piękne.

Jednym z najbardziej oczywistych zastosowań praw symetrii w życiu są konstrukcje architektoniczne. To właśnie widzimy najczęściej. W architekturze osie symetrii służą do wyrażania projektu architektonicznego (patrz ryc. 6). W większości przypadków wzory na dywanach, tkaninach i tapetach wewnętrznych są symetryczne względem osi lub środka.

Kolejnym przykładem osoby wykorzystującej symetrię w swojej praktyce jest technologia. W inżynierii osie symetrii są najwyraźniej wyznaczane tam, gdzie konieczne jest oszacowanie odchylenia od położenia zerowego, na przykład na kierownicy ciężarówki lub na kierownicy statku. Albo jednym z najważniejszych wynalazków ludzkości, który ma środek symetrii, jest koło; śmigło i inne środki techniczne również mają środek symetrii.

"Spojrz w lustro!"

Czy powinniśmy myśleć, że widzimy siebie tylko w „lustrzanym odbiciu”? A może w najlepszym przypadku możemy przekonać się jedynie na zdjęciach i filmach, jak „naprawdę” wyglądamy? Oczywiście, że nie: wystarczy po raz drugi odbić lustrzane odbicie w lustrze, aby zobaczyć swoje prawdziwe oblicze. Trellis przychodzą na ratunek. Mają jedno duże lustro główne pośrodku i dwa mniejsze lustra po bokach. Jeśli umieścisz takie lusterko boczne pod kątem prostym do środkowego, będziesz mógł zobaczyć siebie dokładnie w takiej formie, w jakiej widzą Cię inni. Zamknij lewe oko, a odbicie w drugim lustrze powtórzy ruch lewym okiem. Przed kratą możesz wybrać, czy chcesz zobaczyć siebie w odbiciu lustrzanym, czy w odbiciu bezpośrednim.

Łatwo sobie wyobrazić, jaki zamęt panowałby na Ziemi, gdyby naruszona została symetria w przyrodzie!

Ryż. 4 Ryż. 5 Ryż. 6

IV. Minuta wychowania fizycznego.

  • « Leniwe ósemki» – aktywują struktury zapewniające zapamiętywanie, zwiększają stabilność uwagi.
    Narysuj trzy razy w powietrzu w płaszczyźnie poziomej cyfrę, najpierw jedną ręką, a następnie obiema rękami jednocześnie.
  • « Symetryczne rysunki » – usprawniają koordynację wzrokowo-ruchową i ułatwiają proces pisania.
    Obiema rękami narysuj w powietrzu symetryczne wzory.

V. Niezależne prace testowe.

Ι opcja

Opcja ΙΙ

  1. W prostokącie MPKH O jest punktem przecięcia przekątnych, RA i BH są prostopadłymi poprowadzonymi z wierzchołków P i H do prostej MK. Wiadomo, że MA = OB. Znajdź kąt POM.
  2. W rombie MPKH przekątne przecinają się w punkcie O. Po bokach MK, KH, PH punkty A, B, C są brane odpowiednio AK = KV = RS. Udowodnić, że OA = OB i znaleźć sumę kątów POC i MOA.
  3. Skonstruuj kwadrat wzdłuż danej przekątnej tak, aby dwa przeciwległe wierzchołki tego kwadratu leżały po przeciwnych stronach danego kąta ostrego.

VI. Podsumowanie lekcji. Ocena.

  • O jakich rodzajach symetrii dowiedziałeś się na zajęciach?
  • Które dwa punkty nazywamy symetrycznymi względem danej linii?
  • Którą figurę nazywamy symetryczną względem danej linii?
  • Które dwa punkty nazywamy symetrycznymi względem danego punktu?
  • Którą figurę nazywamy symetryczną względem danego punktu?
  • Co to jest symetria lustrzana?
  • Podaj przykłady figur, które mają: a) symetrię osiową; b) symetria centralna; c) symetria osiowa i centralna.
  • Podaj przykłady symetrii w przyrodzie żywej i nieożywionej.

VII. Praca domowa.

1. Indywidualnie: uzupełnij konstrukcję, stosując symetrię osiową (patrz ryc. 7).


Ryż. 7

2. Konstruować figurę symetryczną do zadanej względem: a) punktu; b) proste (patrz ryc. 8, 9).

Ryż. 8 Ryż. 9

3. Zadanie twórcze: „W świecie zwierząt”. Narysuj przedstawiciela świata zwierząt i pokaż oś symetrii.

VIII. Odbicie.

  • Co ci się podobało na lekcji?
  • Jaki materiał był najciekawszy?
  • Jakie trudności napotkałeś podczas wykonywania tego lub innego zadania?
  • Co byś zmienił podczas lekcji?

Będziesz potrzebować

  • - właściwości punktów symetrycznych;
  • - właściwości figur symetrycznych;
  • - linijka;
  • - kwadrat;
  • - kompas;
  • - ołówek;
  • - papier;
  • - komputer z edytorem graficznym.

Instrukcje

Narysuj linię prostą a, która będzie osią symetrii. Jeśli jego współrzędne nie są określone, narysuj go dowolnie. Po jednej stronie tej prostej umieść dowolny punkt A. Musisz znaleźć punkt symetryczny.

Pomocna rada

Właściwości symetrii są stale używane w programie AutoCAD. Aby to zrobić, użyj opcji Lustro. Aby skonstruować trójkąt równoramienny lub trapez równoramienny, wystarczy narysować dolną podstawę i kąt między nią a bokiem. Odbij je za pomocą określonego polecenia i rozciągnij boki do wymaganego rozmiaru. W przypadku trójkąta będzie to punkt ich przecięcia, a dla trapezu będzie to podana wartość.

Ciągle spotykasz się z symetrią w edytorach graficznych, gdy używasz opcji „odwróć w pionie/poziomie”. W tym przypadku za oś symetrii przyjmuje się linię prostą odpowiadającą jednemu z pionowych lub poziomych boków ramy obrazu.

Źródła:

  • jak narysować centralną symetrię

Skonstruowanie przekroju stożka nie jest zadaniem trudnym. Najważniejsze jest przestrzeganie ścisłej sekwencji działań. Wtedy to zadanie będzie łatwe do wykonania i nie będzie wymagało od ciebie dużego wysiłku.

Będziesz potrzebować

  • - papier;
  • - długopis;
  • - koło;
  • - linijka.

Instrukcje

Odpowiadając na to pytanie, należy najpierw zdecydować, jakie parametry definiują przekrój.
Niech będzie to prosta przecięcia płaszczyzny l z płaszczyzną i punktem O, będącym przecięciem jej przekroju.

Konstrukcję pokazano na rys. 1. Pierwszym krokiem w konstruowaniu przekroju jest przejście przez środek przekroju jego średnicy, przedłużonego do l prostopadle do tej linii. Rezultatem jest punkt L. Następnie narysuj linię prostą LW przez punkt O i skonstruuj dwa stożki prowadzące leżące w głównych odcinkach O2M i O2C. Na przecięciu tych prowadnic leży punkt Q, a także pokazany już punkt W. Są to pierwsze dwa punkty żądanego odcinka.

Teraz narysuj prostopadłą MS u podstawy stożka BB1 ​​i skonstruuj tworzące odcinki prostopadłe O2B i O2B1. Na tym odcinku przez punkt O poprowadź linię prostą RG równoległą do BB1. Т.R i Т.G to kolejne dwa punkty żądanego odcinka. Gdyby znany był przekrój kuli, można by ją zbudować już na tym etapie. Nie jest to jednak wcale elipsa, ale coś eliptycznego, które ma symetrię względem odcinka QW. Dlatego należy zbudować jak najwięcej punktów przekroju, aby później połączyć je gładką krzywą, aby uzyskać jak najbardziej wiarygodny szkic.

Skonstruuj dowolny punkt przekroju. Aby to zrobić, narysuj dowolną średnicę AN u podstawy stożka i skonstruuj odpowiednie prowadnice O2A i O2N. Przez t.O narysuj linię prostą przechodzącą przez PQ i WG, aż przetnie się z nowo skonstruowanymi prowadnicami w punktach P i E. Są to kolejne dwa punkty pożądanego odcinka. Kontynuując w ten sam sposób, możesz znaleźć dowolną liczbę punktów.

To prawda, że ​​\u200b\u200bprocedurę ich uzyskania można nieco uprościć, stosując symetrię względem QW. Aby to zrobić, możesz narysować linie proste SS’ w płaszczyźnie żądanego przekroju, równolegle do RG, aż przetną się z powierzchnią stożka. Konstrukcję kończy się zaokrągleniem zbudowanej polilinii z pasów. Wystarczy zbudować połowę pożądanego przekroju ze względu na wspomnianą już symetrię względem QW.

Wideo na ten temat

Wskazówka 3: Jak wykreślić funkcję trygonometryczną

Musisz narysować harmonogram trygonometryczny Funkcje? Opanuj algorytm działań na przykładzie konstrukcji sinusoidy. Aby rozwiązać problem, użyj metody badawczej.

Będziesz potrzebować

  • - linijka;
  • - ołówek;
  • - znajomość podstaw trygonometrii.

Instrukcje

Wideo na ten temat

notatka

Jeżeli dwie półosie hiperboloidy jednopasmowej są równe, wówczas figurę można uzyskać obracając hiperbolę z półosiami, z których jedna jest powyższa, a druga, różna od dwóch równych, wokół wyimaginowana oś.

Pomocna rada

Badając tę ​​figurę w odniesieniu do osi Oxz i Oyz, jasne jest, że jej głównymi sekcjami są hiperbole. A kiedy tę przestrzenną figurę obrotu przecina płaszczyzna Oxy, jej przekrój jest elipsą. Elipsa szyi jednopasmowego hiperboloidu przechodzi przez początek współrzędnych, ponieważ z=0.

Elipsę gardzieli opisuje równanie x²/a² +y²/b²=1, a pozostałe elipsy opisuje równanie x²/a² +y²/b²=1+h²/c².

Źródła:

  • Elipsoidy, paraboloidy, hiperboloidy. Generatory prostoliniowe

Kształt pięcioramiennej gwiazdy był szeroko stosowany przez człowieka od czasów starożytnych. Uważamy jego kształt za piękny, ponieważ nieświadomie rozpoznajemy w nim relacje złotego podziału, tj. piękno pięcioramiennej gwiazdy jest uzasadnione matematycznie. Euklides jako pierwszy opisał budowę gwiazdy pięcioramiennej w swoich Elementach. Dołączmy się do jego doświadczenia.

Będziesz potrzebować

  • linijka;
  • ołówek;
  • kompas;
  • kątomierz.

Instrukcje

Budowa gwiazdy sprowadza się do zbudowania i późniejszego połączenia jej wierzchołków ze sobą sekwencyjnie poprzez jeden. Aby zbudować właściwy, musisz podzielić okrąg na pięć.
Zbuduj dowolny okrąg za pomocą kompasu. Zaznacz jego środek punktem O.

Zaznacz punkt A i za pomocą linijki narysuj odcinek OA. Teraz należy podzielić odcinek OA na pół, w tym celu z punktu A narysuj łuk o promieniu OA, aż przetnie on okrąg w dwóch punktach M i N. Skonstruuj odcinek MN. Punkt E, w którym MN przecina OA, przetnie odcinek OA na pół.

Przywróć prostopadłość OD do promienia OA i połącz punkty D i E. Wykonaj nacięcie B na OA od punktu E o promieniu ED.

Teraz za pomocą odcinka DB zaznacz okrąg na pięć równych części. Oznacz wierzchołki pięciokąta foremnego kolejno liczbami od 1 do 5. Połącz kropki w następującej kolejności: 1 z 3, 2 z 4, 3 z 5, 4 z 1, 5 z 2. Oto zwykły pięcioramienny gwiazdę, w foremny pięciokąt. Dokładnie tak to zbudowałem

I . Symetria w matematyce :

    Podstawowe pojęcia i definicje.

    Symetria osiowa (definicje, plan konstrukcyjny, przykłady)

    Symetria centralna (definicje, plan budowy, kiedyśrodki)

    Tabela podsumowująca (wszystkie właściwości, cechy)

II . Zastosowania symetrii:

1) w matematyce

2) w chemii

3) z biologii, botaniki i zoologii

4) w sztuce, literaturze i architekturze

    /dict/bse/article/00071/07200.htm

    /html/simmetr/index.html

    /sim/sim.ht

    /indeks.html

1. Podstawowe pojęcia symetrii i jej rodzaje.

Pojęcie symetrii R sięga całej historii ludzkości. Można ją znaleźć już u początków wiedzy ludzkiej. Powstał w związku z badaniem żywego organizmu, a mianowicie człowieka. I był używany przez rzeźbiarzy już w V wieku p.n.e. mi. Słowo „symetria” pochodzi z języka greckiego i oznacza „proporcjonalność, proporcjonalność, identyczność układu części”. Jest szeroko stosowany we wszystkich obszarach współczesnej nauki bez wyjątku. Wiele wspaniałych osób myślało o tym wzorze. Na przykład L.N. Tołstoj powiedział: „Stojąc przed czarną tablicą i rysując na niej kredą różne figury, nagle uderzyła mnie myśl: dlaczego symetria jest wyraźna dla oka? Co to jest symetria? To wrodzone uczucie, odpowiedziałem sobie. Na czym to bazuje?" Symetria jest naprawdę przyjemna dla oka. Któż nie zachwycał się symetrią stworzeń natury: liści, kwiatów, ptaków, zwierząt; czyli wytwory człowieka: budynki, technologia, wszystko, co nas otacza od dzieciństwa, wszystko, co dąży do piękna i harmonii. Hermann Weyl powiedział: „Symetria to idea, dzięki której człowiek na przestrzeni wieków próbował zrozumieć i stworzyć porządek, piękno i doskonałość”. Hermann Weyl jest niemieckim matematykiem. Jego działalność obejmuje pierwszą połowę XX wieku. To on sformułował definicję symetrii, ustalającą, według jakich kryteriów można określić obecność lub odwrotnie brak symetrii w danym przypadku. Zatem matematycznie rygorystyczna koncepcja powstała stosunkowo niedawno - na początku XX wieku. To dość skomplikowane. Odwróćmy się i jeszcze raz przypomnijmy sobie definicje, które podano nam w podręczniku.

2. Symetria osiowa.

2.1 Podstawowe definicje

Definicja. Dwa punkty A i A 1 nazywane są symetrycznymi względem prostej a, jeżeli linia ta przechodzi przez środek odcinka AA 1 i jest do niego prostopadła. Każdy punkt linii a jest uważany za symetryczny względem siebie.

Definicja. Mówi się, że figura jest symetryczna względem linii prostej A, jeżeli dla każdego punktu figury istnieje punkt symetryczny względem prostej A również należy do tej postaci. Prosty A zwaną osią symetrii figury. Mówi się również, że figura ma symetrię osiową.

2.2 Plan budowy

I tak, aby skonstruować figurę symetryczną względem prostej, z każdego punktu rysujemy prostopadłą do tej prostej i rozciągamy ją na tę samą odległość, zaznaczamy wynikowy punkt. Robimy to z każdym punktem i otrzymujemy symetryczne wierzchołki nowej figury. Następnie łączymy je szeregowo i otrzymujemy figurę symetryczną danej osi względnej.

2.3 Przykłady figur o symetrii osiowej.


3. Symetria centralna

3.1 Podstawowe definicje

Definicja. Dwa punkty A i A 1 nazywane są symetrycznymi względem punktu O, jeśli O jest środkiem odcinka AA 1. Punkt O jest uważany za symetryczny względem siebie.

Definicja. Figurę nazywamy symetryczną względem punktu O, jeżeli dla każdego punktu tej figury do tej figury należy również punkt symetryczny względem punktu O.

3.2 Plan budowy

Konstrukcja trójkąta symetrycznego do danego względem środka O.

Aby skonstruować punkt symetryczny do punktu A względem punktu O, wystarczy narysować linię prostą OA(ryc. 46 ) i po drugiej stronie punktu O odłóż odcinek równy temu segmentowi OA. Innymi słowy , punkty A i ; W I ; C i symetryczny względem pewnego punktu O. Na ryc. 46 skonstruowany jest trójkąt symetryczny do trójkąta ABC względem punktu O. Te trójkąty są równe.

Budowa punktów symetrycznych względem środka.

Na rysunku punkty M i M 1, N i N 1 są symetryczne względem punktu O, natomiast punkty P i Q nie są symetryczne względem tego punktu.

Ogólnie rzecz biorąc, figury symetryczne względem pewnego punktu są równe .

3.3 Przykłady

Podajmy przykłady figur, które mają centralną symetrię. Najprostsze figury o symetrii centralnej to okrąg i równoległobok.

Punkt O nazywany jest środkiem symetrii figury. W takich przypadkach figura ma centralną symetrię. Środek symetrii okręgu jest środkiem okręgu, a środek symetrii równoległoboku jest punktem przecięcia jego przekątnych.

Linia prosta również ma symetrię środkową, ale w przeciwieństwie do koła i równoległoboku, które mają tylko jeden środek symetrii (punkt O na rysunku), linia prosta ma ich nieskończoną liczbę - jej środkiem jest dowolny punkt na prostej symetrii.

Zdjęcia przedstawiają kąt symetryczny względem wierzchołka, odcinek symetryczny do innego odcinka względem środka A oraz czworobok symetryczny względem wierzchołka M.

Przykładem figury, która nie ma środka symetrii, jest trójkąt.

4. Podsumowanie lekcji

Podsumujmy zdobytą wiedzę. Dzisiaj na zajęciach poznaliśmy dwa główne typy symetrii: centralną i osiową. Spójrzmy na ekran i usystematyzujmy zdobytą wiedzę.

Tabela podsumowań

Symetria osiowa

Centralna symetria

Osobliwość

Wszystkie punkty figury muszą być symetryczne względem jakiejś linii prostej.

Wszystkie punkty figury muszą być symetryczne względem punktu wybranego jako środek symetrii.

Nieruchomości

    1. Punkty symetryczne leżą na prostopadłych do prostej.

    3. Proste linie zamieniają się w linie proste, kąty w równe kąty.

    4. Zachowano rozmiary i kształty figur.

    1. Punkty symetryczne leżą na prostej przechodzącej przez środek i dany punkt figury.

    2. Odległość punktu od prostej jest równa odległości od prostej do punktu symetrycznego.

3. Zachowano rozmiary i kształty figur.

II. Zastosowanie symetrii

Matematyka

Na lekcjach algebry badaliśmy wykresy funkcji y=x i y=x

Rysunki przedstawiają różne obrazy przedstawione za pomocą gałęzi paraboli.

(a) Ośmiościan,

(b) dwunastościan rombowy, (c) ośmiościan sześciokątny.

Język rosyjski

Drukowane litery alfabetu rosyjskiego również mają różne typy symetrii.

W języku rosyjskim są słowa „symetryczne” - palindromy, które można odczytać jednakowo w obu kierunkach.

A D L M P T F W- Oś pionowa

V E Z K S E Y - pozioma oś

F N O X- zarówno w pionie, jak i w poziomie

B G I Y R U C CH SCHY- brak osi

Chata radarowa Alla Anna

Literatura

Zdania mogą być również palindromiczne. Bryusow napisał wiersz „Głos księżyca”, w którym każda linijka jest palindromem.

Spójrz na poczwórne kwadraciki A.S. Puszkina „Jeździec z brązu”. Jeśli narysujemy linię po drugiej linii, zauważymy elementy symetrii osiowej

I róża spadła na łapę Azora.

Przychodzę z mieczem sędziego. (Derzhavin)

„Szukaj taksówki”

„Argentyna przywołuje Murzyna”

„Argentyńczyk docenia czarnego człowieka”

„Lesha znalazła błąd na półce.”

Newa jest ubrana w granit;

Mosty wisiały nad wodami;

Ciemnozielone ogrody

Wyspy to pokryły...

Biologia

Ciało ludzkie zbudowane jest na zasadzie dwustronnej symetrii. Większość z nas postrzega mózg jako pojedynczą strukturę; w rzeczywistości jest on podzielony na dwie połowy. Te dwie części - dwie półkule - ściśle do siebie przylegają. Zgodnie z ogólną symetrią ludzkiego ciała, każda półkula jest niemal dokładnym lustrzanym odbiciem drugiej

Sterowanie podstawowymi ruchami ludzkiego ciała i jego funkcjami sensorycznymi jest równomiernie rozłożone pomiędzy obie półkule mózgu. Lewa półkula kontroluje prawą półkulę mózgu, a prawa półkula kontroluje lewą stronę.

Botanika

Kwiat uważa się za symetryczny, gdy każdy okwiat składa się z równej liczby części. Kwiaty posiadające sparowane części są uważane za kwiaty o podwójnej symetrii itp. Potrójna symetria jest typowa dla roślin jednoliściennych, pięciokrotna dla roślin dwuliściennych. Cechą charakterystyczną budowy roślin i ich rozwoju jest spiralność.

Zwróć uwagę na ułożenie liści na pędach - jest to również swoisty rodzaj spirali - spiralna. Nawet Goethe, który był nie tylko wielkim poetą, ale także przyrodnikiem, uważał spiralność za jedną z charakterystycznych cech wszystkich organizmów, przejaw najgłębszej istoty życia. Wąsy roślin skręcają się spiralnie, wzrost tkanek w pniach drzew następuje spiralnie, nasiona słonecznika są ułożone spiralnie, a podczas wzrostu korzeni i pędów obserwuje się ruchy spiralne.

Cechą charakterystyczną budowy roślin i ich rozwoju jest spiralność.

Spójrz na szyszkę. Łuski na jego powierzchni ułożone są ściśle regularnie - wzdłuż dwóch spiral, które przecinają się mniej więcej pod kątem prostym. Liczba takich spiral w szyszkach wynosi 8 i 13 lub 13 i 21.

Zoologia

Symetria u zwierząt oznacza zgodność wielkości, kształtu i zarysu, a także względne rozmieszczenie części ciała znajdujących się po przeciwnych stronach linii podziału. Przy symetrii promieniowej lub promieniowej korpus ma kształt krótkiego lub długiego cylindra lub naczynia z osią środkową, od której promieniowo odchodzą części korpusu. Są to koelenteraty, szkarłupnie i rozgwiazdy. W przypadku symetrii dwustronnej istnieją trzy osie symetrii, ale tylko jedna para symetrycznych boków. Ponieważ pozostałe dwie strony - brzuszna i grzbietowa - nie są do siebie podobne. Ten typ symetrii jest charakterystyczny dla większości zwierząt, w tym owadów, ryb, płazów, gadów, ptaków i ssaków.

Symetria osiowa

Różne rodzaje symetrii zjawisk fizycznych: symetria pól elektrycznych i magnetycznych (rys. 1)

W płaszczyznach wzajemnie prostopadłych propagacja fal elektromagnetycznych jest symetryczna (rys. 2)


Ryc.1 Ryc.2

Sztuka

W dziełach sztuki często można zaobserwować lustrzaną symetrię. Lustrzana „symetria” jest powszechnie spotykana w dziełach sztuki prymitywnych cywilizacji oraz w starożytnych obrazach. Ten typ symetrii charakteryzuje się także średniowiecznymi obrazami religijnymi.

Jedno z najlepszych wczesnych dzieł Rafaela, „Zaręczyny Maryi”, powstało w 1504 roku. Pod słonecznym, błękitnym niebem leży dolina, na której szczycie znajduje się świątynia z białego kamienia. Na pierwszym planie ceremonia zaręczyn. Arcykapłan łączy ręce Marii i Józefa. Za Marią stoi grupa dziewcząt, za Józefem – grupa młodych mężczyzn. Obie części symetrycznej kompozycji spaja przeciwstawny ruch postaci. Dla współczesnych gustów kompozycja takiego obrazu jest nudna, ponieważ symetria jest zbyt oczywista.



Chemia

Cząsteczka wody ma płaszczyznę symetrii (prosta linia pionowa), a cząsteczki DNA (kwas dezoksyrybonukleinowy) odgrywają niezwykle ważną rolę w świecie żywej przyrody. Jest to dwułańcuchowy polimer wielkocząsteczkowy, którego monomerem są nukleotydy. Cząsteczki DNA mają strukturę podwójnej helisy zbudowaną na zasadzie komplementarności.

Architekultura

Człowiek od dawna stosuje symetrię w architekturze. Starożytni architekci szczególnie błyskotliwie wykorzystywali symetrię w konstrukcjach architektonicznych. Co więcej, starożytni greccy architekci byli przekonani, że w swoich dziełach kierują się prawami rządzącymi naturą. Wybierając formy symetryczne, artysta wyraził w ten sposób swoje rozumienie naturalnej harmonii jako stabilności i równowagi.

Miasto Oslo, stolica Norwegii, może pochwalić się wyrazistym zespołem natury i sztuki. To Frogner Park – zespół rzeźb krajobrazowo-ogrodniczych, który powstawał na przestrzeni 40 lat.


Luwr w Domu Paszkowa (Paryż)

© Sukhacheva Elena Władimirowna, 2008-2009.

Dziś porozmawiamy o zjawisku, z którym każdy z nas nieustannie spotyka się w życiu: symetrii. Co to jest symetria?

Wszyscy z grubsza rozumiemy znaczenie tego terminu. Słownik mówi: symetria to proporcjonalność i pełna zgodność układu części czegoś względem linii prostej lub punktu. Istnieją dwa rodzaje symetrii: osiowa i promieniowa. Przyjrzyjmy się najpierw osiowemu. Jest to, powiedzmy, symetria „lustrzana”, gdy połowa obiektu jest całkowicie identyczna z drugą, ale powtarza się jako odbicie. Spójrz na połówki arkusza. Są lustrzanie symetryczne. Połówki ludzkiego ciała są również symetryczne (widok z przodu) - identyczne ręce i nogi, identyczne oczy. Ale nie dajmy się zwieść, tak naprawdę w organicznym (żywym) świecie nie można znaleźć absolutnej symetrii! Połówki arkusza kopiują się daleko od siebie, to samo dotyczy ludzkiego ciała (przyjrzyj się sobie); To samo dotyczy innych organizmów! Przy okazji warto dodać, że każde symetryczne ciało jest symetryczne względem widza tylko w jednym położeniu. Warto, powiedzmy, odwrócić kartkę papieru, podnieść jedną rękę i co się stanie? – sam widzisz.

Ludzie osiągają prawdziwą symetrię w dziełach swojej pracy (rzeczach) - ubraniach, samochodach... W naturze jest to charakterystyczne dla formacji nieorganicznych, na przykład kryształów.

Ale przejdźmy do praktyki. Nie należy zaczynać od skomplikowanych obiektów, takich jak ludzie i zwierzęta, spróbujmy dokończyć rysowanie lustrzanej połowy arkusza jako pierwsze ćwiczenie w nowym polu.

Rysowanie obiektu symetrycznego - lekcja 1

Dbamy o to, aby wyszło jak najbardziej podobnie. Aby to zrobić, dosłownie zbudujemy naszą bratnią duszę. Nie myśl, że narysowanie linii lustrzanej jednym pociągnięciem, zwłaszcza za pierwszym razem, jest takie proste!

Zaznaczmy kilka punktów odniesienia dla przyszłej linii symetrycznej. Postępujemy w ten sposób: ołówkiem, bez naciskania, rysujemy kilka prostopadłych do osi symetrii - nerwu liścia. Na razie wystarczy cztery, pięć. I na tych prostopadłych mierzymy po prawej stronie taką samą odległość jak po lewej stronie od linii krawędzi liścia. Radzę używać linijki, nie polegać zbytnio na oku. Z reguły mamy tendencję do zmniejszania rysunku - to zaobserwowano z doświadczenia. Nie zalecamy pomiaru odległości palcami: błąd jest zbyt duży.

Połączmy powstałe punkty linią ołówkową:

Przyjrzyjmy się teraz szczegółowo, czy połówki rzeczywiście są takie same. Jeśli wszystko się zgadza, zakreślimy to flamastrem i wyjaśnimy naszą linię:

Liść topoli został ukończony, teraz możesz zamachnąć się liściem dębu.

Narysujmy figurę symetryczną - lekcja 2

W tym przypadku trudność polega na tym, że żyły są zaznaczone i nie są prostopadłe do osi symetrii i trzeba będzie ściśle przestrzegać nie tylko wymiarów, ale i kąta nachylenia. Cóż, trenujmy nasze oko:

Narysowaliśmy więc symetryczny liść dębu, a raczej zbudowaliśmy go według wszystkich zasad:

Jak narysować obiekt symetryczny - lekcja 3

I skonsolidujmy temat - zakończymy rysowanie symetrycznego liścia bzu.

Ma też ciekawy kształt - w kształcie serca i z uszami u nasady, trzeba je zaciągnąć:

Oto co narysowali:

Przyjrzyj się powstałej pracy z daleka i oceń, jak trafnie udało nam się oddać wymagane podobieństwo. Oto wskazówka: spójrz na swoje zdjęcie w lustrze, a ono powie Ci, czy są jakieś błędy. Inny sposób: zegnij obraz dokładnie wzdłuż osi (nauczyliśmy się już, jak prawidłowo go zgiąć) i wytnij liść wzdłuż oryginalnej linii. Spójrz na samą figurę i na wycięty papier.