Liniowe układy różniczkowe równania.
Nazywa się układ równań różniczkowych liniowy, jeśli jest liniowy względem nieznanych funkcji i ich pochodnych. system N-równania liniowe I rzędu zapisuje się w postaci:
Współczynniki systemu są stałe.
Wygodnie jest zapisać ten układ w postaci macierzowej: ,
gdzie jest wektorem kolumnowym nieznanych funkcji zależnych od jednego argumentu.
Wektor kolumnowy pochodnych tych funkcji.
Wektor kolumnowy wolnych członków.
Macierz współczynników.
Twierdzenie 1: Jeśli wszystkie współczynniki macierzy A są ciągłe w pewnym przedziale, a następnie w pewnym sąsiedztwie każdego m. 
Warunki TS&E są spełnione. W rezultacie przez każdy taki punkt przechodzi pojedyncza krzywa całkowa.
Rzeczywiście, w tym przypadku prawe strony układu są ciągłe pod względem zbioru argumentów, a ich pochodne cząstkowe względem (równego współczynnikom macierzy A) są ograniczone ze względu na ciągłość na przedziale domkniętym.
Metody rozwiązywania SLD
1. Układ równań różniczkowych można sprowadzić do jednego równania poprzez wyeliminowanie niewiadomych.
Przykład: Rozwiąż układ równań: 
(1)
Rozwiązanie: wykluczać z z tych równań. Z pierwszego równania mamy . Podstawiając do drugiego równania, 
po uproszczeniu otrzymujemy: 
.
Ten układ równań (1) zredukowane do jednego równania drugiego rzędu. Po znalezieniu z tego równania y, powinien się znaleźć z, stosując równość.
2. Rozwiązując układ równań poprzez eliminację niewiadomych, zwykle otrzymuje się równanie wyższego rzędu, dlatego w wielu przypadkach wygodniej jest rozwiązać układ poprzez znalezienie zintegrowane kombinacje.
Ciąg dalszy 27b
Przykład: Rozwiąż system 
Rozwiązanie:
Rozwiążmy ten układ metodą Eulera. Zapiszmy wyznacznik do znalezienia cechy
równanie: , (ponieważ układ jest jednorodny, aby miał rozwiązanie nietrywialne, wyznacznik ten musi być równy zeru). Otrzymujemy równanie charakterystyczne i znajdujemy jego pierwiastki: 
Ogólne rozwiązanie to: 
;
- wektor własny.
Zapisujemy rozwiązanie dla: 
;
- wektor własny.
Zapisujemy rozwiązanie dla: 
;
Otrzymujemy rozwiązanie ogólne: 
.
Sprawdźmy:
znajdźmy : i podstawmy do pierwszego równania tego układu, tj. .
Otrzymujemy:
- prawdziwa równość.
Różnica liniowa równania n-tego rzędu. Twierdzenie o ogólnym rozwiązaniu niejednorodnego równania liniowego n-tego rzędu.
Liniowe równanie różniczkowe n-tego rzędu jest równaniem postaci: (1)
Jeśli to równanie ma współczynnik, to dzieląc przez niego, otrzymujemy równanie: (2) .
Zwykle równania typu (2). Załóżmy, że w ur-i (2) wszystkie szanse, jak również k(x) ciągły w pewnym przedziale (a, b). Następnie, zgodnie z TS&E, równanie (2) ma unikalne rozwiązanie spełniające warunki początkowe: , , …, dla . Tutaj - dowolny punkt z przedziału (a, b), i wszystko - dowolne podane liczby. Równanie (2) spełnia wymagania TC&E , dlatego nie ma specjalne rozwiązania.
def.: specjalny punkty to te, w których =0.
Właściwości równania liniowego:
- Równanie liniowe pozostaje takie dla każdej zmiany zmiennej niezależnej.
- Równanie liniowe pozostaje takie dla każdej liniowej zmiany pożądanej funkcji.
def: jeśli w równaniu (2) umieścić f(x)=0, wówczas otrzymujemy równanie postaci: (3) , który jest nazywany równanie jednorodne względem równania niejednorodnego (2).
Przedstawmy liniowy operator różniczkowy: (4). Za pomocą tego operatora można w skrócie przepisać równanie (2) I (3): L(y)=f(x), L(y)=0. Operator (4) ma następujące proste właściwości:
Z tych dwóch właściwości można wywnioskować wniosek: .
Funkcjonować y=y(x) jest rozwiązaniem równania niejednorodnego (2), Jeśli L(y(x))=f(x), Następnie k(x) zwane rozwiązaniem równania. Zatem rozwiązanie równania (3) nazywaną funkcją y(x), Jeśli L(y(x))=0 w rozważanych przedziałach.
Rozważać niejednorodne równanie liniowe: , L(y)=f(x).
Załóżmy, że w jakiś sposób znaleźliśmy konkretne rozwiązanie.
Wprowadźmy nową nieznaną funkcję z według wzoru: , gdzie jest rozwiązaniem szczególnym.
Podstawiamy to do równania: , otwieramy nawiasy i otrzymujemy: .
Otrzymane równanie można przepisać jako: 
Ponieważ jest szczególnym rozwiązaniem pierwotnego równania, to .
W ten sposób otrzymaliśmy jednorodne równanie ze względu na z. Rozwiązaniem ogólnym tego równania jednorodnego jest kombinacja liniowa: , gdzie funkcje - stanowią podstawowy układ rozwiązań równania jednorodnego. Zastępowanie z do wzoru zastępczego otrzymujemy: 
(*) dla funkcji y– nieznana funkcja pierwotnego równania. Wszystkie rozwiązania pierwotnego równania będą zawarte w (*).
Zatem ogólne rozwiązanie linii niejednorodnej. równanie jest reprezentowane jako suma ogólnego rozwiązania jednorodnego równania liniowego i pewnego szczególnego rozwiązania niejednorodnego równania.
(ciąg dalszy po drugiej stronie)
30. Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania różniczki. równania
Twierdzenie: Jeśli prawa strona równania jest ciągła w prostokącie 
i jest ograniczona, a także spełnia warunek Lipschitza: , N=const, wówczas istnieje jednoznaczne rozwiązanie spełniające warunki początkowe i określone na odcinku 
, Gdzie .
Dowód:
Rozważmy całą przestrzeń metryczną Z, którego punkty są wszystkimi możliwymi funkcjami ciągłymi y(x) określonymi na przedziale , których wykresy leżą wewnątrz prostokąta, a odległość wyznacza równość: 
. Przestrzeń ta jest często wykorzystywana w analizie matematycznej i nazywa się ją przestrzeń jednorodnej zbieżności, gdyż zbieżność metryki tej przestrzeni jest jednostajna.
Wymieńmy mechanizm różnicowy. równanie z podanymi warunkami początkowymi do równoważnego równania całkowego: 
i rozważ operatora A(y), równy prawej stronie tego równania: 
. Operator ten przypisuje każdej funkcji ciągłej
Korzystając z nierówności Lipschitza możemy zapisać, że odległość . Wybierzmy teraz taki, dla którego zachodziłaby nierówność: .
Należy tak dobrać, aby wtedy . W ten sposób to pokazaliśmy.
Zgodnie z zasadą odwzorowań skróconych istnieje jeden punkt, czyli jedna funkcja - rozwiązanie równania różniczkowego spełniające zadane warunki początkowe.
Równania rozwiązywane metodą całkowania bezpośredniego
Rozważmy następujące równanie różniczkowe:
.
Całkujemy n razy.
;
;
i tak dalej. Możesz także skorzystać ze wzoru:
.
Zobacz Równania różniczkowe, które można rozwiązać bezpośrednio integracja > > >
Równania, które nie zawierają jawnie zmiennej zależnej y
Podstawienie obniża rząd równania o jeden. Oto funkcja z .
Zobacz Równania różniczkowe wyższych rzędów, które nie zawierają jawnie funkcji > > >
Równania, które nie zawierają jawnie zmiennej niezależnej x
.
Uważamy, że jest to funkcja . Następnie
.
Podobnie dla innych instrumentów pochodnych. W rezultacie rząd równania zmniejsza się o jeden.
Zobacz Równania różniczkowe wyższych rzędów, które nie zawierają jawnej zmiennej > > >
Równania jednorodne pod względem y, y′, y′′, ...
Aby rozwiązać to równanie, dokonujemy podstawienia
,
gdzie jest funkcją . Następnie
.
Podobnie przekształcamy pochodne itp. W rezultacie rząd równania zmniejsza się o jeden.
Zobacz Równania różniczkowe wyższego rzędu, które są jednorodne pod względem funkcji i jej pochodnych > > >
Liniowe równania różniczkowe wyższych rzędów
Rozważmy liniowe jednorodne równanie różniczkowe n-tego rzędu:
(1)
,
gdzie są funkcjami zmiennej niezależnej. Niech będzie n liniowo niezależnych rozwiązań tego równania. Wówczas ogólne rozwiązanie równania (1) ma postać:
(2)
,
gdzie są dowolnymi stałymi. Same funkcje tworzą podstawowy system rozwiązań.
Podstawowy system rozwiązań liniowego jednorodnego równania n-tego rzędu jest n liniowo niezależnych rozwiązań tego równania.
Rozważmy liniowe niejednorodne równanie różniczkowe n-tego rzędu:
.
Niech istnieje szczególne (dowolne) rozwiązanie tego równania. Wtedy ogólne rozwiązanie ma postać:
,
gdzie jest ogólnym rozwiązaniem równania jednorodnego (1).
Liniowe równania różniczkowe o stałych współczynnikach i sprowadzalne do nich
Liniowe równania jednorodne o stałych współczynnikach
Są to równania postaci:
(3)
.
Oto liczby rzeczywiste. Aby znaleźć ogólne rozwiązanie tego równania, musimy znaleźć n liniowo niezależnych rozwiązań, które tworzą podstawowy układ rozwiązań. Następnie rozwiązanie ogólne określa wzór (2):
(2)
.
Szukamy rozwiązania w postaci . Dostajemy równanie charakterystyczne:
(4)
.
Jeśli to równanie ma różne korzenie, to podstawowy układ rozwiązań ma postać:
.
Jeśli możliwe złożony korzeń
,
wówczas istnieje również złożony korzeń sprzężony. Te dwa pierwiastki odpowiadają rozwiązaniom i , które uwzględniamy w systemie podstawowym zamiast rozwiązań złożonych i .
Wielość korzeni krotności odpowiadają liniowo niezależnym rozwiązaniom: .
Wiele złożonych korzeni krotności i ich złożone wartości sprzężone odpowiadają liniowo niezależnym rozwiązaniom:
.
Równania liniowe niejednorodne ze specjalną częścią niejednorodną
Rozważmy równanie postaci
,
gdzie są wielomiany stopni s 1
i s 2
; - stały.
Najpierw szukamy ogólnego rozwiązania jednorodnego równania (3). Jeżeli równanie charakterystyczne (4) nie zawiera korzenia, to szukamy konkretnego rozwiązania w postaci:
,
Gdzie
;
;
s - największy z s 1
i s 2
.
Jeżeli równanie charakterystyczne (4) ma korzeń krotność, wówczas szukamy konkretnego rozwiązania w postaci:
.
Po tym otrzymujemy ogólne rozwiązanie:
.
Równania liniowe niejednorodne o stałych współczynnikach
Istnieją tutaj trzy możliwe rozwiązania.
1)
Metoda Bernoulliego.
Najpierw znajdujemy dowolne niezerowe rozwiązanie równania jednorodnego
.
Następnie dokonujemy podstawienia
,
gdzie jest funkcją zmiennej x. Otrzymujemy równanie różniczkowe dla u, które zawiera tylko pochodne u względem x. Dokonując podstawienia otrzymujemy równanie n - 1
- to zamówienie.
2)
Liniowa metoda podstawienia.
Dokonajmy zamiany
,
gdzie jest jednym z pierwiastków równania charakterystycznego (4). W efekcie otrzymujemy liniowe równanie niejednorodne o stałych współczynnikach rzędu. Konsekwentnie stosując to podstawienie, redukujemy pierwotne równanie do równania pierwszego rzędu.
3)
Metoda wariacji stałych Lagrange'a.
W tej metodzie najpierw rozwiązujemy równanie jednorodne (3). Jego rozwiązanie wygląda następująco:
(2)
.
Zakładamy dalej, że stałe są funkcjami zmiennej x. Wtedy rozwiązanie pierwotnego równania ma postać:
,
gdzie są nieznane funkcje. Podstawiając do pierwotnego równania i narzucając pewne ograniczenia, otrzymujemy równania, z których możemy znaleźć rodzaj funkcji.
Równanie Eulera
Sprowadza się to do równania liniowego ze stałymi współczynnikami przez podstawienie:
.
Aby jednak rozwiązać równanie Eulera, nie ma potrzeby dokonywania takiego podstawienia. Możesz od razu poszukać rozwiązania równania jednorodnego w postaci
.
W rezultacie otrzymujemy te same zasady, co w przypadku równania o stałych współczynnikach, w którym zamiast zmiennej należy podstawić .
Bibliografia:
V.V. Stepanov, Przebieg równań różniczkowych, „LKI”, 2015.
N.M. Gunter, RO Kuźmin, Zbiór problemów matematyki wyższej, „Lan”, 2003.
N-ta kolejność
Twierdzenie. Jeśli y 0- rozwiązanie równania jednorodnego L[y]=0, y 1- rozwiązanie odpowiedniego równania niejednorodnego L[y] = f(x), następnie suma y 0 + y 1 jest rozwiązaniem tego niejednorodnego równania.
Strukturę ogólnego rozwiązania równania niejednorodnego określa następujące twierdzenie.
Twierdzenie. Jeśli Y- szczególne rozwiązanie równania L[y] = f(x) ze współczynnikami ciągłymi, 
- ogólne rozwiązanie odpowiedniego równania jednorodnego L[y] = 0, wówczas ogólne rozwiązanie tego niejednorodnego równania określa wzór
Komentarz. Aby zapisać ogólne rozwiązanie liniowego równania niejednorodnego, konieczne jest znalezienie jakiegoś szczególnego rozwiązania tego równania i ogólnego rozwiązania odpowiedniego równania jednorodnego.
Równania niejednorodne liniowe N
Rozważ liniowe równanie niejednorodne N-ty rząd ze stałymi współczynnikami
Gdzie 1, 2, …, jakiś- liczby rzeczywiste. Zapiszmy odpowiednie równanie jednorodne
Ogólne rozwiązanie równania niejednorodnego określa wzór
Ogólne rozwiązanie równania jednorodnego y 0 możemy znaleźć konkretne rozwiązanie Y można znaleźć metodą współczynników nieokreślonych w następujących prostych przypadkach:
W ogólnym przypadku stosuje się metodę zmieniania dowolnych stałych.
Metoda wariacji dowolnych stałych
Rozważ liniowe równanie niejednorodne N-ty rząd ze zmiennymi współczynnikami
Jeżeli znalezienie konkretnego rozwiązania tego równania okaże się trudne, ale znane jest ogólne rozwiązanie odpowiedniego równania jednorodnego, to można znaleźć rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego metoda zmiany dowolnych stałych.
Niech odpowiednie równanie jednorodne
ma rozwiązanie ogólne
Będziemy szukać ogólnego rozwiązania równania niejednorodnego w postaci
Gdzie y 1 = y 1 (x), y 2 = y 2 (x), …, y n = y n (x) są liniowo niezależnymi rozwiązaniami równania jednorodnego zawartymi w jego rozwiązaniu ogólnym, oraz C 1 (x), C2(x), …, Cn(x)- nieznane funkcje. Aby znaleźć te funkcje, poddajmy je pewnym warunkom.
Znajdźmy pochodną
Wymagamy, aby suma w drugim nawiasie była równa zeru
Znajdźmy drugą pochodną
i tego będziemy wymagać
Kontynuując podobny proces, otrzymujemy
W tym przypadku nie można wymagać, aby suma w drugim nawiasie zniknęła, ponieważ funkcje C 1 (x), C2(x), …, Cn(x) już podporządkowane n-1 warunki, ale nadal musisz spełnić pierwotne niejednorodne równanie.