MODELE MATEMATYCZNE W BIOLOGII
T.I. Wołynkina
Studentka D. Skripnikova
Federalna Państwowa Instytucja Edukacyjna Wyższego Kształcenia Zawodowego „Państwowy Uniwersytet Rolniczy w Orle”
Biologia matematyczna to teoria modeli matematycznych procesów i zjawisk biologicznych. Biologia matematyczna nawiązuje do matematyki stosowanej i aktywnie wykorzystuje jej metody. Kryterium prawdziwości jest w nim dowód matematyczny, najważniejszą rolę odgrywa modelowanie matematyczne za pomocą komputerów. W przeciwieństwie do nauk czysto matematycznych, w biologii matematycznej problemy i problemy czysto biologiczne są badane metodami współczesnej matematyki, a wyniki mają interpretację biologiczną. Zadaniami biologii matematycznej jest opisywanie praw natury na poziomie biologii, a głównym zadaniem jest interpretacja wyników uzyskanych w trakcie badań. Przykładem jest prawo Hardy’ego-Weinberga, które dowodzi, że na podstawie tego prawa można przewidzieć układ populacji. W oparciu o to prawo populacja to grupa samowystarczalnych alleli, których podstawą jest dobór naturalny. Sam dobór naturalny jest z matematycznego punktu widzenia zmienną niezależną, a populacja jest zmienną zależną, a populację uważa się za liczbę zmiennych, które na siebie wpływają. Jest to liczba osobników, liczba alleli, gęstość alleli, stosunek gęstości alleli dominujących do gęstości alleli recesywnych itp. W ciągu ostatnich dziesięcioleci nastąpił znaczny postęp w ilościowym (matematycznym) opisie funkcji różnych biosystemów na różnych poziomach organizacji życia: molekularnym, komórkowym, narządowym, organizmowym, populacyjnym, biogeocenologicznym. Życie jest zdeterminowane wieloma różnymi cechami tych biosystemów oraz procesami zachodzącymi na odpowiednich poziomach organizacji systemu i integrowanymi w jedną całość podczas funkcjonowania systemu.
Budowa modeli matematycznych układów biologicznych stała się możliwa dzięki wyjątkowo intensywnej pracy analitycznej eksperymentatorów: morfologów, biochemików, fizjologów, specjalistów biologii molekularnej itp. W wyniku tych prac skrystalizowały się schematy morfofunkcjonalne różnych komórek, w obrębie w których różne procesy fizykochemiczne zachodzą w sposób uporządkowany w przestrzeni i czasie oraz procesy biochemiczne, które tworzą bardzo złożone sploty.
Drugą okolicznością przyczyniającą się do zaangażowania aparatu matematycznego w biologię jest dokładne eksperymentalne określenie stałych szybkości licznych reakcji wewnątrzkomórkowych, które determinują funkcje komórki i odpowiadającego jej biosystemu. Bez znajomości takich stałych niemożliwy jest formalny matematyczny opis procesów wewnątrzkomórkowych.
Trzecim warunkiem, który zadecydował o powodzeniu modelowania matematycznego w biologii, było opracowanie potężnych narzędzi obliczeniowych w postaci komputerów osobistych i superkomputerów. Dzieje się tak dlatego, że zazwyczaj procesy sterujące określoną funkcją komórek lub narządów są liczne, objęte pętlami sprzężenia zwrotnego i sprzężenia zwrotnego, a zatem opisywane układami równań nieliniowych. Takich równań nie można rozwiązać analitycznie, ale można je rozwiązać numerycznie za pomocą komputera.
Eksperymenty numeryczne na modelach zdolnych do odtworzenia szerokiej klasy zjawisk zachodzących w komórkach, narządach i organizmie pozwalają ocenić poprawność założeń przyjętych przy konstruowaniu modeli. Fakty eksperymentalne służą jako postulaty modeli, a potrzeba pewnych założeń i założeń jest ważnym elementem teoretycznym modelowania. Te założenia i założenia są hipotezami, które można przetestować eksperymentalnie. Modele stają się zatem źródłem hipotez, w dodatku weryfikowalnych eksperymentalnie. Eksperyment mający na celu sprawdzenie danej hipotezy może ją obalić lub potwierdzić, a tym samym pomóc w udoskonaleniu modelu. Ta interakcja pomiędzy modelowaniem a eksperymentem zachodzi w sposób ciągły, prowadząc do głębszego i dokładniejszego zrozumienia zjawiska: eksperyment udoskonala model, nowy model stawia nowe hipotezy, eksperyment udoskonala nowy model i tak dalej.
Obecnie biologia matematyczna, obejmująca matematyczne teorie różnych układów i procesów biologicznych, jest z jednej strony już wystarczająco ugruntowaną dyscypliną naukową, a z drugiej strony jedną z najszybciej rozwijających się dyscyplin naukowych, łączącą wysiłki specjalistów z różnych dziedzin wiedzy - matematycy, biolodzy, fizycy, chemicy i informatyki. Powstało szereg dyscyplin biologii matematycznej: genetyka matematyczna, immunologia, epidemiologia, ekologia, szereg działów fizjologii matematycznej, w szczególności fizjologia matematyczna układu sercowo-naczyniowego.
Jak każda dyscyplina naukowa, biologia matematyczna ma swój przedmiot, metody, metody i procedury badawcze. Jako przedmiot badań powstają matematyczne (komputerowe) modele procesów biologicznych, które jednocześnie stanowią zarówno przedmiot badań, jak i narzędzie do badania samych układów biologicznych. W związku z tą podwójną istotą modeli biomatematycznych implikują one wykorzystanie istniejących i rozwój nowych metod analizy obiektów matematycznych (teorii i metod odpowiednich działów matematyki) w celu badania właściwości samego modelu jako obiektu matematycznego , a także wykorzystanie modelu do odtwarzania i analizy danych eksperymentalnych uzyskanych w eksperymentach biologicznych. Jednocześnie jednym z najważniejszych celów modeli matematycznych (i w ogóle biologii matematycznej) jest możliwość przewidywania zjawisk biologicznych i scenariuszy zachowania biosystemu w określonych warunkach oraz ich teoretyczne uzasadnienie przed (a nawet zamiast) przeprowadzanie odpowiednich eksperymentów biologicznych.
Główną metodą badania i stosowania złożonych modeli układów biologicznych jest obliczeniowy eksperyment komputerowy, który wymaga zastosowania odpowiednich metod obliczeniowych dla odpowiednich układów matematycznych, algorytmów obliczeniowych, technologii opracowywania i wdrażania programów komputerowych, przechowywania i przetwarzania wyników obliczeń komputerowych modelowanie. Wymagania te implikują rozwój teorii, metod, algorytmów i technologii modelowania komputerowego w różnych obszarach biomatematyki.
Wreszcie, w związku z głównym celem wykorzystania modeli biomatematycznych do zrozumienia praw funkcjonowania układów biologicznych, wszystkie etapy rozwoju i stosowania modeli matematycznych wymagają obowiązkowego oparcia się na teorii i praktyce nauk biologicznych.
Mało który biolog zaprzecza konieczności stosowania metod matematycznych w badaniach biologicznych, zwłaszcza w przypadku innych analiz populacyjnych. Jednak w zrozumieniu miejsca analizy matematycznej w biologii istnieją różne, czasem przeciwstawne punkty widzenia. Niektórzy uważają, że najważniejszym zadaniem jest „znajomość zachowania populacji jako agregatu statystycznego” (Beverton i Holt, 1957; Graham, 1956). Zgodnie z tym punktem widzenia zadanie biologa sprowadza się do analizy statystycznej i ogranicza się do ustalenia różnych korelacyjnych powiązań. Teoretyczną podstawą tego punktu widzenia jest stwierdzenie Bertranda Russella, że „prawa biologiczne... podobnie jak prawa teorii kwantowej są prawami dyskretnymi i statystycznymi” (Russell, 1957, s. 69).
Inni wychodzą z tego, że analiza matematyczna w biologii, w tym w badaniach populacyjnych, jest konieczna, ale jedynie jako etap pośredni, a nie końcowy. Ten drugi punkt widzenia opiera się na idei specyfiki form ruchu materii. W analizie populacyjnej kierunek ten widzi ostateczne zadanie badawcze w identyfikacji istoty adaptacyjnej i zrozumieniu przyczyn zjawiska biologicznego. Z tych stanowisk podchodzimy do stosowania modeli matematycznych przy badaniu wzorców dynamiki populacji.
Modelowanie matematyczne to metoda, dzięki której można zidentyfikować mechanizm procesu i zrozumieć jego cechy strukturalne - ustalić parametry analizowanej populacji. Modelowanie matematyczne w obecności dużego materiału cyfrowego pozwala na wykorzystanie urządzeń obliczeniowych i modelujących w celu szybszego i bardziej niezawodnego przetwarzania materiału oraz bardziej kompleksowej i obiektywnej analizy zebranych danych.
Bardzo ważnym zadaniem, które umożliwia szerokie zastosowanie modeli matematycznych, jest opracowanie metodologii i przygotowanie prognoz wahań liczebności i możliwych połowów ryb handlowych, a także obliczenie optymalnych reżimów eksploatacji ryb komercyjnych, takich reżimów, które zapewnią z roku na rok regularny odbiór jak największej ilości ryb, produkty najwyższej jakości. Obecnie na realizację tych zadań poświęca się ogromną ilość czasu i wysiłku, zwłaszcza na prognozowaniu ewentualnych połowów poszczególnych ryb handlowych, a wyniki nie zawsze są wystarczająco dokładne. Dlatego niezwykle istotne jest maksymalne uproszczenie i zmechanizowanie procesów sporządzania prognoz i obliczania reżimu eksploatacyjnego komercyjnych stad ryb, przy jednoczesnym zapewnieniu dużej dokładności tych obliczeń.
Zastosowanie szybkich komputerów elektronicznych do celów badawczych pozwala znacznie rozszerzyć zakres badań i zbliżyć się do rozwoju zagadnień ekologii populacji, których rozwiązanie nie było możliwe przed pojawieniem się komputerów.
Metoda modelowania matematycznego
Powszechne wykorzystanie komputerów we wszystkich obszarach badań, w tym ichtiologicznych, pozwala znacznie przyspieszyć badania i uzyskać wysoką dokładność uzyskiwanych wyników.
Aby jednak móc wykorzystać komputery w analizie populacji, konieczne jest stworzenie programów, które poprawnie oddają przebieg interesującego nas procesu. Jest to przede wszystkim zbiór reguł i instrukcji przeliczania interesujących nas wielkości (algorytm procesu), który może uwzględniać zależności zarówno w postaci równań, jak i bezpośrednio w postaci tabel i wykresów. Aby jednak uzyskać „działający” matematyczny model procesu, konieczne jest, aby opierał się on na tych powiązaniach przyczynowych, na tych wewnętrznych sprzecznościach, które odzwierciedlają rzeczywistą istotę rozwoju zjawiska biologicznego, a nie na zewnętrznych przypadkowych powiązaniach, które przestrzegają jedynie praw statystycznych i nie oddają istoty zjawiska. I jest rzeczą naturalną, że zarówno tutaj, jak i za granicą (Regier, 1970) w analizie populacji coraz częściej stosuje się modele, które opierają się na idei populacji jako samoregulującego się systemu otwartego, zbudowanego na zasadzie sprzężenia zwrotnego - plus lub minus interakcja.
Obecność połączeń różnych znaków w zamkniętej pętli pod pewnymi warunkami zapewnia względną stabilność systemu (Menshutkin, 1971).
Przez model matematyczny rozumiem matematyczne wyrażenie ilościowej strony przebiegu określonego procesu lub zjawiska, z uwzględnieniem dynamiki liczebności i biomasy populacji zwierząt. W niemal każdym badaniu biologicznym bezpośrednio lub pośrednio korzystamy z modeli matematycznych. Na przykład numeryczne wyrażenie średniej i amplitudy liczby promieni w płetwie ryby stanowi już najprostszy model matematyczny płetwy. W odniesieniu do matematycznych modeli dynamiki populacji wydaje mi się, że należy rozumieć równania lub układy równań, które odzwierciedlają ilościową stronę procesu dynamiki populacji i pozwalają przewidzieć dalszy przebieg zjawiska. Naturalnie pojawia się pytanie, jakie miejsce powinno zajmować modelowanie matematyczne w badaniu dynamiki populacji i jak przyczynić się do sukcesu badań biologicznych poprzez wykorzystanie modeli matematycznych.
Procesy zachodzące w świecie organicznym, czyli wewnętrzne sprzeczności napędzające rozwój, mają głównie charakter deterministyczny i należą zarówno do grupy procesów działania ciągłego o różnym natężeniu (tj. wielkości i szybkości), jak i do grupy procesów dyskretnych. Są to procesy determinujące przebieg zjawiska. Ale każde zjawisko naturalne jest złożonym splotem sprzeczności wewnętrznych i zewnętrznych; te ostatnie wydają się tworzyć środowisko, w którym zachodzi zjawisko. Jeśli procesy odzwierciedlające wewnętrzną sprzeczność istot żywych należą do kategorii deterministycznych procesów działania dyskretnego lub ciągłego, to wpływy zewnętrzne mają z reguły charakter dyskretny i nie są powiązane z populacją wyraźnym sprzężeniem zwrotnym. Rozpoczynając budowę modelu matematycznego populacji, należy to wszystko wziąć pod uwagę.
Jak wiadomo (Nikolsky, 1959), stosując metodę matematyczną, można zidentyfikować mechanizm zjawiska, ale nie ujawnić jego adaptacyjnej istoty. Jednak znajomość mechanizmu zjawiska biologicznego jest absolutnie niezbędna do zrozumienia jego istoty, a jeśli metoda modelowania matematycznego może pomóc w wyjaśnieniu mechanizmu zjawiska – w naszym przypadku mechanizmu dynamiki populacji – to należy ją wykorzystać do maksymalny.
Varley (1962), wypowiadając się w dyskusji na temat stosowalności modeli matematycznych w badaniach populacyjnych, tak przedstawił miejsce modelu matematycznego w badaniach populacyjnych:
Jednak model teoretyczny może być wykorzystany do celów praktycznych dopiero po przetestowaniu go w celu określenia jego parametrów w przyrodzie i przekształceniu z modelu teoretycznego w działający. Rzeczywisty model teoretyczny w rozumieniu Varleya nie jest modelem matematycznym odzwierciedlającym przebieg zjawiska, ale hipotezą roboczą opartą na wstępnych obserwacjach biologicznych, która pozwala na zorganizowanie badań w celu ustalenia parametrów wyjściowych. Te ostatnie umożliwiają stworzenie roboczego modelu odpowiedniego do przewidywania ilościowej strony przebiegu zjawiska, czyli „model teoretyczny” Varleya to te zasady biologiczne, które powinny stanowić podstawę modelu roboczego.
Bliższy procesowi wykorzystania komputerów i modeli matematycznych w opracowywaniu problemu dynamiki populacji jest schemat zaproponowany przez D.I. Blokhintseva (1964) dla pracy współczesnego fizyka: 1) pomiar (zbiór faktów); 2) przetwarzanie otrzymanych informacji (na komputerze); 3) wnioski (budowanie hipotez roboczych); 4) sprawdzanie ich na maszynach liczących; 5) budowanie teorii (przewidywanie przyszłości).
Uważam, że pomiar (wybór faktów) także powinien być poprzedzony hipotezą opartą na ogólnej metodologii.
W związku z tym bardziej słuszne jest, jak sugeruje D. N. Horafas (1967), rozpoczęcie badań z wykorzystaniem modeli i komputerów od sformułowania problemu. Autor proponuje następującą sekwencję działań: 1) zdefiniowanie problemu; 2) znalezienie głównych zmiennych; 3) określenie zależności pomiędzy tymi zmiennymi a parametrami systemu; 4) sformułowanie hipotezy dotyczącej charakteru badanych warunków; 5) konstrukcja modelu matematycznego lub innego modelu; 6) przeprowadzanie lub planowanie eksperymentów; 7) testowanie hipotez; 8) ocena hipotezy w zależności od wyniku eksperymentów; 9) przyjęcie lub odrzucenie hipotezy i sformułowanie wniosków; 10) prognozowanie dalszego rozwoju systemów z uwzględnieniem ich interakcji; 11) opracowanie kierunku działania; 12) przejście do etapu udoskonalenia modelu, dokonania niezbędnych poprawek.
Schemat D. N. Khorafasa, jak mi się wydaje, jest zbliżony do schematu zaproponowanego przez D. I. Błochintsewa, wprowadza jednak szereg wyjaśnień, które mogą być przydatne w analizie populacji.
Zatem w badaniach z zakresu dynamiki populacji modelowanie matematyczne powinno zapewnić jaśniejsze zrozumienie procesu, głównie jego strony ilościowej. Modelowanie matematyczne powinno uprościć proces długoterminowego prognozowania dynamiki populacji i wreszcie gwarantować wiarygodne obliczenie reżimu funkcjonowania populacji - reżimu zapewniającego największą produktywność populacji. Praktycznym zadaniem postawionym przed biologami i matematykami w zakresie konstruowania modeli matematycznych jest stworzenie modelu, który umożliwiłby automatyzację obsługi prognoz długoterminowych oraz wykorzystanie technologii komputerowej w obliczaniu optymalnych sposobów eksploatacji zwierząt łownych.
Wydaje mi się, że następujący jest przebieg badań biologicznych nad dynamiką populacji i miejscem w nich modelowania matematycznego. Na podstawie zrozumienia dostępnego materiału faktograficznego tworzona jest robocza hipoteza zjawiska; W oparciu o tę roboczą hipotezę budowany jest program badawczy, który dostarcza materiałów ujawniających zarówno przyczyny, jak i mechanizm zjawiska. Materiały te powinny także zapewniać możliwość zbudowania modelu matematycznego przebiegu zjawiska. Zatem istnieją dwa etapy tworzenia modelu matematycznego. Pierwszy (model teoretyczny w schemacie Varleya) – hipoteza robocza oparta na zebranych faktach jest sformalizowana w postaci równania o różnym stopniu złożoności; Zdecydowana większość modeli matematycznych należy do tego typu modeli. Etap drugi – na podstawie sprawdzenia hipotezy roboczej tworzony jest model roboczy, nadający się do praktycznych obliczeń w celach prognostycznych i operacyjnych. Zarówno modele teoretyczne, jak i robocze zawsze opierają się na tym lub innym zestawie pojęć teoretycznych, a im bliższe są te koncepcje teoretyczne prawom działającym w przyrodzie, tym bardziej poprawny i skuteczny będzie stworzony model matematyczny.
Pomimo różnorodności systemów żywych, wszystkie mają następujące specyficzne cechy, które należy wziąć pod uwagę przy konstruowaniu modeli.
- 1. Systemy złożone. Wszystkie systemy biologiczne są złożone, wieloskładnikowe, ustrukturyzowane przestrzennie, a ich elementy mają indywidualność. Podczas modelowania takich systemów możliwe są dwa podejścia. Pierwsza jest zagregowana, fenomenologiczna. Zgodnie z tym podejściem identyfikuje się definiujące cechy układu (na przykład całkowitą liczbę gatunków) i rozważa się jakościowe właściwości zachowania się tych wielkości w czasie (stabilność stanu stacjonarnego, obecność oscylacji, istnienie heterogeniczności przestrzennej). Podejście to jest historycznie najstarsze i charakterystyczne dla dynamicznej teorii populacji. Innym podejściem jest szczegółowe rozważenie elementów systemu i ich interakcji, zbudowanie modelu symulacyjnego, którego parametry mają jednoznaczne znaczenie fizyczne i biologiczne. Taki model nie pozwala na badania analityczne, ale przy dobrym badaniu eksperymentalnym fragmentów układu może dać ilościowe przewidywanie jego zachowania pod różnymi wpływami zewnętrznymi.
- 2. Systemy odtwarzające (zdolne do autoreprodukcji). Ta najważniejsza właściwość układów żywych określa ich zdolność do przetwarzania materii nieorganicznej i organicznej w celu biosyntezy biologicznych makrocząsteczek, komórek i organizmów. W modelach fenomenologicznych właściwość ta wyraża się w obecności w równaniach terminów autokatalitycznych, które określają możliwość wzrostu (w warunkach nieograniczonych - wykładniczy), możliwość niestabilności stanu stacjonarnego w układach lokalnych (warunek konieczny pojawienia się mod oscylacyjny i quasistochastyczny) oraz niestabilność jednorodnego stanu stacjonarnego w układach rozproszonych przestrzennie (warunek rozkładów przestrzennie niejednorodnych i reżimy autofalowe). Ważną rolę w rozwoju złożonych reżimów czasoprzestrzennych odgrywają procesy interakcji składników (reakcje biochemiczne) oraz procesy transferu, zarówno chaotyczne (dyfuzja), jak i związane z kierunkiem sił zewnętrznych (grawitacja, pola elektromagnetyczne) lub z adaptacyjnym funkcje organizmów żywych (na przykład ruch cytoplazmy w komórkach pod wpływem mikrofilameptów).
- 3. Układy otwarte, które stale umożliwiają przepływ materii i energii. Układy biologiczne są dalekie od równowagi termodynamicznej i dlatego zostały opisane równania nieliniowe. Liniowe relacje Onsagera łączące siły i przepływy obowiązują tylko w pobliżu równowagi termodynamicznej.
- 4. Obiekty biologiczne mają złożoną wielopoziomowość system regulacji. W kinetyce biochemicznej wyraża się to obecnością pętli sprzężenia zwrotnego w obwodach, zarówno dodatnich, jak i ujemnych. W równaniach oddziaływań lokalnych sprzężenia zwrotne opisywane są funkcjami nieliniowymi, których charakter decyduje o możliwości wystąpienia i właściwościach złożonych reżimów kinetycznych, w tym oscylacyjnych i quasistochastycznych. Ten typ nieliniowości, biorąc pod uwagę rozkład przestrzenny i procesy transportu, jest zdeterminowany wzorami struktur stacjonarnych (plamki o różnych kształtach, okresowe struktury rozpraszające) i typami zachowania autofalowego (ruchome fronty, fale biegnące, centra wiodące, fale spiralne itp.).
- 5. Żywe systemy mają złożoną strukturę przestrzenną.Żywa komórka i zawarte w niej organelle mają błony, każdy żywy organizm zawiera ogromną liczbę błon, których łączna powierzchnia wynosi dziesiątki hektarów. Naturalnie środowiska w systemach żywych nie można uznać za jednorodne. Samo pojawienie się takiej struktury przestrzennej i prawa jej powstawania stanowią jeden z problemów biologii teoretycznej. Jednym z podejść do rozwiązania tego problemu jest matematyczna teoria morfogenezy.
Błony nie tylko oddzielają różne objętości reakcji żywych komórek, ale także oddzielają żywe od nieożywionych (środowisko). Odgrywają kluczową rolę w metabolizmie, selektywnie przepuszczając przepływ jonów nieorganicznych i cząsteczek organicznych. W błonach chloroplastów zachodzą pierwotne procesy fotosyntezy – magazynujące energię świetlną w postaci energii wysokoenergetycznych związków chemicznych, które następnie wykorzystywane są do syntezy materii organicznej i innych procesów wewnątrzkomórkowych. Kluczowe etapy procesu oddychania skupiają się w błonach mitochondriów, błony komórek nerwowych decydują o ich zdolności do przewodzenia nerwów. Modele matematyczne procesów zachodzących w błonach biologicznych stanowią istotną część biofizyki matematycznej.
Istniejące modele to głównie układy równań różniczkowych. Oczywistym jest jednak, że modele ciągłe nie są w stanie szczegółowo opisać procesów zachodzących w tak indywidualnych i ustrukturyzowanych układach złożonych, jak systemy żywe. W związku z rozwojem możliwości obliczeniowych, graficznych i intelektualnych komputerów, modele symulacyjne budowane w oparciu o matematykę dyskretną, w tym modele automatów komórkowych, odgrywają coraz większą rolę w biofizyce matematycznej.
6. Modele symulacyjne konkretnych złożonych układów żywych z reguły w jak największym stopniu uwzględniają dostępne informacje o obiekcie. Modele symulacyjne służą do opisu obiektów na różnych poziomach organizacji materii żywej – od biomakromolekuł po modele biogeocenoz. W tym drugim przypadku modele powinny zawierać bloki opisujące zarówno elementy żywe, jak i „obojętne”. Klasycznym przykładem modeli symulacyjnych są modele dynamika molekularna, w którym określone są współrzędne i pędy wszystkich atomów tworzących biomakrocząsteczkę oraz prawa ich oddziaływania. Obliczony komputerowo obraz „życia” układu pozwala prześledzić, w jaki sposób prawa fizyczne manifestują się w funkcjonowaniu najprostszych obiektów biologicznych – biomakromolekuł i ich otoczenia. Podobne modele, w których elementami (elementami budulcowymi) nie są już atomy, ale grupy atomów, wykorzystywane są we współczesnej technice komputerowej do projektowania katalizatorów biotechnologicznych i leków działających na określone aktywne grupy błon mikroorganizmów, wirusów lub pełniących funkcję inne ukierunkowane działania.
Modele symulacyjne są tworzone w celu opisu procesy fizjologiczne, zachodzące w ważnych narządach: włóknach nerwowych, sercu, mózgu, przewodzie pokarmowym, krwiobiegu. Grają w „scenariusze” procesów zachodzących normalnie i w różnych patologiach oraz badają wpływ różnych czynników zewnętrznych, w tym leków, na te procesy. Do opisu powszechnie stosuje się modele symulacyjne proces produkcji roślin i służą do opracowania optymalnego reżimu uprawy roślin w celu uzyskania maksymalnego plonu lub uzyskania najbardziej równomiernego dojrzewania owoców w czasie. Takie zmiany są szczególnie ważne w przypadku kosztownych i energochłonnych upraw szklarniowych.
Biologia przez długi czas była nauką opisową, słabo przystosowaną do przewidywania obserwowanych zjawisk. Wraz z rozwojem technologii komputerowej sytuacja uległa zmianie. Początkowo najczęściej stosowanymi metodami w biologii były metody statystyki matematycznej, które umożliwiały prawidłowe przetwarzanie danych eksperymentalnych i ocenę określonego znaczenia dla podejmowania określonych decyzji i wyciągania wniosków. Z czasem, gdy do biologii wkroczyły metody chemii i fizyki, zaczęto stosować złożone modele matematyczne, które umożliwiły przetwarzanie danych z rzeczywistych eksperymentów i przewidywanie przebiegu procesów biologicznych podczas wirtualnych eksperymentów.
Modele w biologii
Modelowanie układów biologicznych to proces tworzenia modeli układów biologicznych z ich charakterystycznymi właściwościami. Obiektem modelowania może być dowolny z układów biologicznych.
Biologia wykorzystuje modelowanie struktur biologicznych, funkcji i procesów na molekularnym, subkomórkowym, komórkowym, narządowo-układowym, organizmowym i populacyjno-biocenotycznym poziomie organizacji organizmów żywych. Modelowanie stosuje się także do różnych zjawisk biologicznych, warunków życia jednostek, populacji i ekosystemów.
Definicja 1
Systemy biologiczne są bardzo złożonymi jednostkami strukturalnymi i funkcjonalnymi.
Wykorzystuje się komputerowe i wizualne modelowanie składników biologicznych. Istnieje ogromna liczba przykładów takich modeli biologicznych. Oto kilka przykładów modeli biologicznych:
W niemal wszystkich obszarach biologii szybko rośnie znaczenie komputerowych modeli symulacyjnych. Modelowanie komputerowe wykorzystywane jest do analizy obliczonych danych, co obejmuje przetwarzanie obrazu, do analizy sekwencji nukleotydowych kodujących gen i poszczególne białka, do szkoleń komputerowych we współczesnej biologii itp. Prowadząc „wirtualne” eksperymenty na komputerach osobistych, możliwa jest kontrola wszystkich zmiennych i czynników wpływających, co pozwala na analizę układów biologicznych i opracowywanie modeli fizycznych elementów składowych tych układów, czego nie da się przeprowadzić w rzeczywistych eksperymentach .
Główne typy modeli w biologii
Biologiczne laboratoryjne modele zwierzęce odtwarzają pewne stany lub choroby występujące u zwierząt lub ludzi. Ich zastosowanie umożliwia badanie w trakcie eksperymentów mechanizmów powstawania danego stanu chorobowego, jego przebiegu i skutków oraz wpływanie na jego przebieg. Przykładami modeli biologicznych są sztucznie wywołane zaburzenia genetyczne, proces zakaźny, zatrucie, reprodukcja stanów nadciśnieniowych i niedotlenionych, nowotwory złośliwe, nadczynność lub niedoczynność niektórych narządów, nerwice i stany emocjonalne.
Do tworzenia modeli biologicznych wpływa się na aparat genetyczny, wykorzystuje się infekcję drobnoustrojami, wprowadza się toksyny, usuwa się poszczególne narządy itp. Modele fizykochemiczne odtwarzają struktury, funkcje lub procesy biologiczne za pomocą środków chemicznych lub fizycznych i zwykle stanowią bliskie przybliżenie modelowanego zjawiska biologicznego.
Znaczący postęp nastąpił w tworzeniu modeli fizykochemicznych warunków istnienia organizmów żywych, ich narządów i komórek. Wybrano np. roztwory substancji nieorganicznych i organicznych (roztwory Ringera, Locke'a, Tyrode'a itp.), które imitują wewnętrzne środowisko organizmu i wspomagają istnienie izolowanych narządów lub hodowanych komórek wewnątrz organizmu.
Notatka 1
Modelowanie błon biologicznych pozwala na badanie podstaw fizykochemicznych procesów transportu jonów i wpływu na niego różnych czynników. Wykorzystując reakcje chemiczne zachodzące w roztworach w trybie samooscylacyjnym modeluje się procesy oscylacyjne charakterystyczne dla wielu zjawisk biologicznych.
Modele matematyczne (opisy struktury, powiązań i wzorców funkcjonowania systemów żywych) budowane są na podstawie danych eksperymentalnych lub stanowią sformalizowany opis hipotezy, teorii lub otwartego wzorca dowolnego zjawiska biologicznego i wymagają dalszej weryfikacji eksperymentalnej. Różne wersje takich eksperymentów wyznaczają granice wykorzystania modeli matematycznych i dostarczają materiału do ich dalszego dostosowania. Testowanie modelu matematycznego zjawiska biologicznego na komputerze osobistym pozwala przewidzieć charakter zmian w badanym procesie biologicznym w warunkach trudnych do odtworzenia doświadczalnego.
Modele matematyczne pozwalają przewidzieć w indywidualnych przypadkach pewne zjawiska, które wcześniej były nieznane badaczowi. Na przykład model czynności serca zaproponowany przez holenderskich naukowców van der Pola i van der Marka, oparty na teorii oscylacji relaksacyjnych, wykazał możliwość wystąpienia szczególnych zaburzeń rytmu serca, co później odkryto u ludzi. Matematycznym modelem zjawisk fizjologicznych jest także model pobudzenia włókien nerwowych, który opracowali angielscy naukowcy A. Hodgkin i A. Huxley. Istnieją modele logiczne i matematyczne interakcji neuronów, zbudowane w oparciu o teorię sieci nerwowych, które opracowali amerykańscy naukowcy W. McCulloch i W. Pits.
Książka składa się z wykładów na temat matematycznego modelowania procesów biologicznych i została napisana w oparciu o materiał zajęć prowadzonych na Wydziale Biologii Moskiewskiego Uniwersytetu Państwowego. M. V. Łomonosow.
24 wykłady przedstawiają klasyfikację i cechy modelowania układów żywych, podstawy aparatu matematycznego służącego do budowy modeli dynamicznych w biologii, podstawowe modele wzrostu populacji i interakcji gatunków, modele procesów wielostacjonarnych, oscylacyjnych i quasistochastycznych w biologii. Rozważane są metody badania czasoprzestrzennego zachowania układów biologicznych, modele autofalowych reakcji biochemicznych, propagacji impulsu nerwowego, modele barwienia skór zwierzęcych i inne. Szczególną uwagę zwrócono na koncepcję hierarchii czasów, ważną w modelowaniu w biologii, oraz współczesne koncepcje fraktali i dynamicznego chaosu. Najnowsze wykłady poświęcone są nowoczesnym metodom matematycznego i komputerowego modelowania procesów fotosyntezy. Wykłady przeznaczone są dla studentów, doktorantów i specjalistów chcących zapoznać się ze współczesnymi podstawami modelowania matematycznego w biologii.
Dynamika molekularna.
W całej historii nauki zachodniej pojawiało się pytanie, czy znając współrzędne wszystkich atomów i prawa ich oddziaływania, można opisać wszystkie procesy zachodzące we Wszechświecie. Pytanie nie znalazło jednoznacznej odpowiedzi. Mechanika kwantowa ustanowiła koncepcję niepewności na poziomie mikro. W wykładach 10-12 zobaczymy, że istnienie quasi-stochastycznych typów zachowań w systemach deterministycznych sprawia, że prawie niemożliwe jest przewidzenie zachowania niektórych systemów deterministycznych na poziomie makro.
Konsekwencją pierwszego pytania jest pytanie drugie: kwestia „redukowalności”. Czy znając prawa fizyki, czyli prawa ruchu wszystkich atomów tworzących układy biologiczne oraz prawa ich wzajemnego oddziaływania, można opisać zachowanie układów żywych? Zasadniczo na to pytanie można odpowiedzieć za pomocą modelu symulacyjnego, który zawiera współrzędne i prędkości ruchu wszystkich atomów dowolnego żywego układu oraz prawa ich interakcji. Dla każdego żywego układu taki model musi zawierać ogromną liczbę zmiennych i parametrów. Próby modelowania przy pomocy tego podejścia funkcjonowania elementów układów żywych – biomakromolekuł – podejmowane są od lat 70-tych XX wieku.
Treść
Przedmowa do drugiego wydania
Przedmowa do pierwszego wydania
Wykład 1. Wprowadzenie. Modele matematyczne w biologii
Wykład 2. Modele układów biologicznych opisane jednym równaniem różniczkowym pierwszego rzędu
Wykład 3. Modele wzrostu populacji
Wykład 4. Modele opisane układami dwóch autonomicznych równań różniczkowych
Wykład 5. Badanie stabilności stanów stacjonarnych układów nieliniowych drugiego rzędu
Wykład 6. Zagadnienie zmiennych szybkich i wolnych. Twierdzenie Tichonowa. Rodzaje bifurkacji. Katastrofy
Wykład 7. Systemy wielostacjonarne
Wykład 8. Oscylacje w układach biologicznych
Wykład 9. Modele interakcji dwóch typów
Wykład 10. Chaos dynamiczny. Modele zbiorowisk biologicznych
Przykłady zbiorów fraktalnych
Wykład 11. Modelowanie populacji drobnoustrojów
Wykład 12. Model wpływu słabego pola elektrycznego na nieliniowy układ transbłonowego transportu jonów
Wykład 13. Rozproszone systemy biologiczne. Równanie reakcji i dyfuzji
Wykład 14. Rozwiązywanie równania dyfuzji. Stabilność jednorodnych stanów stacjonarnych
Wykład 15. Propagacja fali koncentracyjnej w układach z dyfuzją
Wykład 16. Stabilność jednorodnych rozwiązań stacjonarnych układu dwóch równań typu reakcja-dyfuzja. Struktury rozpraszające
Wykład 17. Reakcja Biełousowa-Żabotyńskiego
Wykład 18. Modele propagacji impulsów nerwowych. Procesy autowave i zaburzenia rytmu serca
Wykład 19. Rozproszone wyzwalacze i morfogeneza. Wzory kolorowania skóry zwierząt
Wykład 20. Przestrzenno-czasowe modele interakcji gatunków
Wykład 21. Wahania i okresowe rozkłady przestrzenne pH i potencjału elektrycznego wzdłuż błony komórkowej algi olbrzymiej Chara corallina
Wykład 22. Modele fotosyntetycznego transportu elektronów. Transfer elektronów w kompleksie multienzymowym
Wykład 23. Modele kinetyczne procesów fotosyntetycznego transportu elektronów
Wykład 24. Bezpośrednie modele komputerowe procesów zachodzących w błonie fotosyntetycznej
Nieliniowe naturalne myślenie naukowe i świadomość ekologiczna
Etapy ewolucji układów złożonych.
Pobierz e-book za darmo w wygodnym formacie, obejrzyj i przeczytaj:
Pobierz książkę Wykłady o modelach matematycznych w biologii, Riznichenko G.Yu., 2011 - fileskachat.com, pobierz szybko i bezpłatnie.