Jak znaleźć określone przykłady całkowe. Określona całka

Aby nauczyć się rozwiązywać całki oznaczone należy:

1) Być w stanie znajdować Całki nieoznaczone.

2) Być w stanie Oblicz określona całka.

Jak widać, aby opanować całkę oznaczoną, trzeba dość dobrze rozumieć „zwykłe” całki nieoznaczone. Dlatego jeśli dopiero zaczynasz zagłębiać się w rachunek całkowy, a czajnik jeszcze się w ogóle nie zagotował, lepiej zacząć od lekcji Całka nieoznaczona. Przykłady rozwiązań.

W ogólnej formie całkę oznaczoną zapisuje się w następujący sposób:

Co jest dodawane w porównaniu do całki nieoznaczonej? Więcej granice integracji.

Dolna granica całkowania
Górna granica całkowania jest standardowo oznaczane literą .
Odcinek nazywa się segment integracji.

Zanim przejdziemy do praktycznych przykładów, trochę „pojebania” o całce oznaczonej.

Co to jest całka oznaczona? Mógłbym opowiedzieć o średnicy odcinka, granicy sum całkowitych itp., ale lekcja ma charakter praktyczny. Dlatego powiem, że całka oznaczona jest LICZBĄ. Tak, tak, najzwyklejsza liczba.

Czy całka oznaczona ma znaczenie geometryczne? Jeść. I bardzo dobrze. Najpopularniejszym zadaniem jest obliczanie powierzchni za pomocą całki oznaczonej.

Co to znaczy rozwiązać całkę oznaczoną? Rozwiązanie całki oznaczonej oznacza znalezienie liczby.

Jak rozwiązać całkę oznaczoną? Korzystając ze znanego ze szkoły wzoru Newtona-Leibniza:

Lepiej przepisać formułę na osobnej kartce papieru, powinna ona znajdować się przed oczami przez całą lekcję.

Etapy rozwiązywania całki oznaczonej są następujące:

1) Najpierw znajdujemy funkcję pierwotną (całkę nieoznaczoną). Zauważ, że stała w całce oznaczonej nigdy nie dodano. Oznaczenie ma charakter czysto techniczny, a pionowy drążek nie ma żadnego znaczenia matematycznego, w rzeczywistości jest to tylko oznaczenie. Dlaczego samo nagranie jest potrzebne? Preparat do stosowania wzoru Newtona-Leibniza.

2) Podstaw wartość górnej granicy do funkcji pierwotnej: .

3) Podstaw wartość dolnej granicy do funkcji pierwotnej: .

4) Obliczamy (bez błędów!) różnicę, czyli znajdujemy liczbę.

Czy całka oznaczona zawsze istnieje? Nie, nie zawsze.

Przykładowo całka nie istnieje, ponieważ segment całkowania nie wchodzi w zakres definicji całki (wartości pod pierwiastkiem kwadratowym nie mogą być ujemne). Oto mniej oczywisty przykład: . Taka całka również nie istnieje, ponieważ w punktach odcinka nie ma stycznej. Swoją drogą, kto jeszcze nie zapoznał się z materiałami dydaktycznymi? Wykresy i podstawowe własności funkcji elementarnych– najwyższy czas to zrobić. Świetnie będzie służyć pomocą w trakcie nauki matematyki wyższej.

Aby całka oznaczona w ogóle istniała, konieczne jest, aby funkcja całki była ciągła na przedziale całkowania.

Z powyższego wynika pierwsze ważne zalecenie: zanim zaczniesz rozwiązywać DOWOLNĄ całkę oznaczoną, musisz upewnić się, że funkcja całki jest ciągła na przedziale całkowania. Będąc studentem, wielokrotnie miałem taki przypadek, że długo zmagałem się ze znalezieniem trudnej funkcji pierwotnej, a gdy w końcu ją znalazłem, zaprzątałem sobie głowę kolejnym pytaniem: „Co to za bzdura okazała się ?” W uproszczonej wersji sytuacja wygląda mniej więcej tak:

???!!!

Nie możesz podstawiać liczb ujemnych pod pierwiastek!

Jeśli dla rozwiązania (w teście, teście, egzaminie) zaoferowana zostanie nieistniejąca całka, np

to należy odpowiedzieć, że całka nie istnieje i uzasadnić dlaczego.

Czy całka oznaczona może być równa liczbie ujemnej? Może. I liczba ujemna. I zero. Może się nawet okazać, że będzie to nieskończoność, ale już tak będzie Niewłaściwa integralność, którym poświęcony jest odrębny wykład.

Czy dolna granica całkowania może być większa od górnej granicy całkowania? Być może taka sytuacja faktycznie ma miejsce w praktyce.

– całkę można łatwo obliczyć ze wzoru Newtona-Leibniza.

Co jest niezbędne w wyższej matematyce? Oczywiście bez wszelkiego rodzaju właściwości. Rozważmy zatem niektóre właściwości całki oznaczonej.

W całce oznaczonej można przestawić górną i dolną granicę, zmieniając znak:

Przykładowo w całce oznaczonej przed całkowaniem zaleca się zmianę granic całkowania do „zwykłej” kolejności:

– w takiej formie integracja jest dużo wygodniejsza.

Podobnie jak całka nieoznaczona, całka oznaczona ma właściwości liniowe:

– dotyczy to nie tylko dwóch, ale także dowolnej liczby funkcji.

W całce oznaczonej można przeprowadzić zastąpienie zmiennej całkującej, jednak w porównaniu z całką nieoznaczoną ma to swoją specyfikę, o której porozmawiamy później.

Dla całki oznaczonej prawdziwe jest stwierdzenie: całkowanie według wzoru na części:

Przykład 1

Rozwiązanie:

(1) Wyjmujemy stałą ze znaku całki.

(2) Zintegruj przy stole, korzystając z najpopularniejszej formuły . Wskazane jest oddzielenie powstającej stałej od i umieszczenie jej poza nawiasem. Nie jest to konieczne, ale wskazane – po co dodatkowe obliczenia?

(3) Korzystamy ze wzoru Newtona-Leibniza

Najpierw podstawiamy górną granicę, potem dolną. Przeprowadzamy dalsze obliczenia i otrzymujemy ostateczną odpowiedź.

Przykład 2

Oblicz całkę oznaczoną

To jest przykład do samodzielnego rozwiązania, rozwiązanie i odpowiedź znajdują się na końcu lekcji.

Skomplikujmy trochę zadanie:

Przykład 3

Oblicz całkę oznaczoną

Rozwiązanie:

(1) Korzystamy z własności liniowości całki oznaczonej.

(2) Całkujemy zgodnie z tabelą, usuwając wszystkie stałe - nie będą one brały udziału w podstawieniu granicy górnej i dolnej.

– pierwsze miejsce na liście przebojów błędów wynikających z nieuwagi, bardzo często zapisują się automatycznie

(zwłaszcza gdy zamiana górnej i dolnej granicy odbywa się ustnie i nie jest tak szczegółowo spisana). Jeszcze raz dokładnie przestudiuj powyższy przykład.

Należy zaznaczyć, że rozważana metoda rozwiązania całki oznaczonej nie jest jedyną. Przy pewnym doświadczeniu rozwiązanie można znacznie zmniejszyć. Na przykład sam jestem przyzwyczajony do rozwiązywania takich całek w następujący sposób:

Tutaj zastosowałem werbalnie zasady liniowości i zintegrowałem werbalnie za pomocą tabeli. Skończyło się na jednym nawiasie z zaznaczonymi granicami:

(w przeciwieństwie do trzech nawiasów w pierwszej metodzie). A do „całej” funkcji pierwotnej najpierw podstawiłem 4, potem –2, ponownie wykonując wszystkie czynności, które zaplanowałem.

Jakie są wady krótkiego rozwiązania? Wszystko tutaj nie jest zbyt dobre z punktu widzenia racjonalności obliczeń, ale mnie to osobiście nie obchodzi - ułamki zwykłe obliczam na kalkulatorze.
Ponadto istnieje zwiększone ryzyko popełnienia błędu w obliczeniach, dlatego lepiej, aby uczeń herbaty zastosował pierwszą metodę, przy „mojej” metodzie rozwiązywania znak na pewno gdzieś zaginie.

Niewątpliwymi zaletami drugiej metody są szybkość rozwiązania, zwartość zapisu oraz fakt, że funkcja pierwotna

jest w jednym nawiasie.

Proces rozwiązywania całek w nauce zwanej matematyką nazywa się integracją. Korzystając z integracji, możesz znaleźć pewne wielkości fizyczne: powierzchnię, objętość, masę ciał i wiele innych.

Całki mogą być nieokreślone lub określone. Rozważmy postać całki oznaczonej i spróbujmy zrozumieć jej fizyczne znaczenie. Jest reprezentowany w postaci: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. Charakterystyczną cechą pisania całki oznaczonej z całki nieoznaczonej jest to, że istnieją granice całkowania a i b. Teraz dowiemy się, dlaczego są potrzebne i co właściwie oznacza całka oznaczona. W sensie geometrycznym taka całka jest równa polu figury ograniczonej krzywą f(x), liniami a i b oraz osią Wółu.

Z ryc. 1 jasno wynika, że całką oznaczoną jest ten sam obszar, który jest zacieniowany na szaro. Sprawdźmy to na prostym przykładzie. Znajdźmy obszar figury na obrazku poniżej za pomocą całkowania, a następnie obliczmy go w zwykły sposób, mnożąc długość przez szerokość.

Z rys. 2 jasno wynika, że $ y=f(x)=3 $, $ a=1, b=2 $. Teraz podstawimy je do definicji całki i otrzymamy, że $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2 =(3 \ cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text(units)^2 $$ Sprawdźmy to w zwykły sposób. W naszym przypadku długość = 3, szerokość figury = 1. $$ S = \text(length) \cdot \text(width) = 3 \cdot 1 = 3 \text(units)^2 $$ Jak możesz widzisz, wszystko pasuje idealnie.

Powstaje pytanie: jak rozwiązywać całki nieoznaczone i jakie jest ich znaczenie? Rozwiązywanie takich całek polega na znajdowaniu funkcji pierwotnych. Proces ten jest przeciwieństwem znajdowania pochodnej. Aby znaleźć funkcję pierwotną, możesz skorzystać z naszej pomocy przy rozwiązywaniu problemów matematycznych lub musisz samodzielnie zapamiętać własności całek i tablicę całkowania najprostszych funkcji elementarnych. Wynik wygląda następująco: $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text(where) F(x) $ jest funkcją pierwotną $ f(x), C = const $.

Aby rozwiązać całkę, należy całkować funkcję $ f(x) $ po zmiennej. Jeśli funkcja jest tabelaryczna, odpowiedź jest zapisywana w odpowiedniej formie. Jeśli nie, to proces sprowadza się do uzyskania funkcji tabelarycznej z funkcji $ f(x) $ poprzez skomplikowane przekształcenia matematyczne. Istnieją różne metody i właściwości, które omówimy dalej.

Stwórzmy teraz algorytm rozwiązywania całek dla manekinów?

Algorytm obliczania całek

Dowiedzmy się o całce oznaczonej, czy nie.
Jeśli nie jest zdefiniowany, należy znaleźć funkcję pierwotną $ F(x) $ całki $ f(x) $, stosując przekształcenia matematyczne prowadzące do postaci tabelarycznej funkcji $ f(x) $.
Jeśli zdefiniowano, należy wykonać krok 2, a następnie podstawić granice $ a $ i $ b $ do funkcji pierwotnej $ F(x) $. Jakiego wzoru użyć, aby to zrobić, dowiesz się z artykułu „Wzór Newtona-Leibniza”.

Przykłady rozwiązań

Nauczyłeś się więc rozwiązywać całki dla manekinów, uporządkowano przykłady rozwiązywania całek. Poznaliśmy ich znaczenie fizyczne i geometryczne. Metody rozwiązania zostaną opisane w innych artykułach.

W każdym rozdziale znajdą się zadania do samodzielnego rozwiązania, na które można zobaczyć odpowiedzi.

Pojęcie całki oznaczonej i wzór Newtona-Leibniza

Przez całkę oznaczoną z funkcji ciągłej F(X) w ostatnim segmencie [ A, B] (gdzie ) nazywa się przyrostem części funkcja pierwotna na tym segmencie. (Ogólnie rzecz biorąc, zrozumienie będzie znacznie łatwiejsze, jeśli powtórzysz temat Całka nieoznaczona) W tym przypadku używana jest notacja

Jak widać na poniższych wykresach (przyrost funkcji pierwotnej jest oznaczony przez ), całka oznaczona może być liczbą dodatnią lub ujemną(Oblicza się ją jako różnicę pomiędzy wartością funkcji pierwotnej w górnej granicy a jej wartością w dolnej granicy, tj. jako F(B) - F(A)).

Liczby A I B nazywane są odpowiednio dolną i górną granicą całkowania oraz segmentem [ A, B] – segment integracji.

Zatem jeśli F(X) – pewna funkcja pierwotna dla F(X), to zgodnie z definicją

(38)

Równość (38) nazywa się Wzór Newtona-Leibniza . Różnica F(B) – F(A) jest w skrócie zapisany w następujący sposób:

Dlatego zapiszemy wzór Newtona-Leibniza w następujący sposób:

(39)

Udowodnimy, że całka oznaczona nie zależy od tego, jaką pierwotną pochodną całki przyjmujemy przy jej obliczaniu. Pozwalać F(X) i F( X) są dowolnymi funkcjami pierwotnymi całki. Ponieważ są to funkcje pierwotne tej samej funkcji, różnią się one stałym wyrazem: Ф( X) = F(X) + C. Dlatego

Ustala to, że w segmencie [ A, B] przyrosty wszystkich funkcji pierwotnych funkcji F(X) pasują.

Zatem, aby obliczyć całkę oznaczoną, należy znaleźć dowolną funkcję pierwotną całki, tj. Najpierw musisz znaleźć całkę nieoznaczoną. Stały Z wyłączone z dalszych obliczeń. Następnie stosuje się wzór Newtona-Leibniza: wartość górnej granicy podstawiamy do funkcji pierwotnej B , dalej - wartość dolnej granicy A i oblicza się różnicę F(b) - F(a) . Wynikowa liczba będzie całką oznaczoną..

Na A = B z definicji akceptowane

Przykład 1.

Rozwiązanie. Najpierw znajdźmy całkę nieoznaczoną:

Zastosowanie wzoru Newtona-Leibniza do funkcji pierwotnej

(Na Z= 0), otrzymujemy

Jednak przy obliczaniu całki oznaczonej lepiej nie znajdować funkcji pierwotnej osobno, ale od razu zapisać całkę w postaci (39).

Przykład 2. Oblicz całkę oznaczoną

Rozwiązanie. Korzystanie z formuły

Znajdź samodzielnie całkę oznaczoną, a następnie spójrz na rozwiązanie

Własności całki oznaczonej

Twierdzenie 2.Wartość całki oznaczonej nie zależy od oznaczenia zmiennej całkującej, tj.

(40)

Pozwalać F(X) – funkcja pierwotna dla F(X). Dla F(T) funkcja pierwotna jest tą samą funkcją F(T), w którym zmienna niezależna jest tylko inaczej oznaczona. Stąd,

Ze wzoru (39) ostatnia równość oznacza równość całek

Twierdzenie 3.Stały współczynnik można odjąć od znaku całki oznaczonej, tj.

(41)

Twierdzenie 4.Całka oznaczona sumy algebraicznej skończonej liczby funkcji jest równa sumie algebraicznej całek oznaczonych tych funkcji, tj.

(42)

Twierdzenie 5.Jeśli odcinek całkowania dzielimy na części, to całka oznaczona po całym odcinku jest równa sumie całek oznaczonych po jego częściach, tj. Jeśli

(43)

Twierdzenie 6.Przy zmianie granic całkowania wartość bezwzględna całki oznaczonej nie zmienia się, zmienia się jedynie jej znak, tj.

(44)

Twierdzenie 7(twierdzenie o wartości średniej). Całka oznaczona jest równa iloczynowi długości odcinka całkowego i wartości całki w pewnym punkcie wewnątrz niego, tj.

(45)

Twierdzenie 8.Jeśli górna granica całkowania jest większa od dolnej, a całka jest nieujemna (dodatnia), to całka oznaczona również jest nieujemna (dodatnia), tj. Jeśli

Twierdzenie 9.Jeżeli górna granica całkowania jest większa od dolnej, a funkcje i są ciągłe, to zachodzi nierówność

można zintegrować termin po terminie, tj.

(46)

Właściwości całki oznaczonej pozwalają uprościć bezpośrednie obliczanie całek.

Przykład 5. Oblicz całkę oznaczoną

Używając twierdzeń 4 i 3 oraz szukając funkcji pierwotnych - Całki tabelaryczne(7) i (6) otrzymujemy

Całka oznaczona ze zmienną górną granicą

Pozwalać F(X) – ciągły na odcinku [ A, B] funkcja i F(X) jest jego funkcją pierwotną. Rozważmy całkę oznaczoną

(47)

i przez T zmienną całkującą wyznacza się tak, aby nie mylić jej z górną granicą. Kiedy to się zmienia X całka oznaczona (47) również się zmienia, tj. jest to funkcja górnej granicy całkowania X, które oznaczamy przez F(X), tj.

(48)

Udowodnimy, że funkcja F(X) jest funkcją pierwotną dla F(X) = F(T). Faktycznie, różnicowanie F(X), otrzymujemy

ponieważ F(X) – funkcja pierwotna dla F(X), A F(A) jest wartością stałą.

Funkcjonować F(X) – jedna z nieskończonej liczby funkcji pierwotnych dla F(X), a mianowicie ten, który X = A idzie do zera. To stwierdzenie otrzymujemy, jeśli w równości (48) umieścimy X = A i skorzystaj z Twierdzenia 1 z poprzedniego akapitu.

Obliczanie całek oznaczonych metodą całkowania przez części i metodą zmiany zmiennej

gdzie z definicji F(X) – funkcja pierwotna dla F(X). Jeśli zmienimy zmienną w całce

wówczas zgodnie ze wzorem (16) możemy pisać

W tym wyrażeniu

funkcja pierwotna dla

W istocie jego pochodna, wg zasada różniczkowania funkcji złożonych, jest równy

Niech α i β będą wartościami zmiennej T, dla której funkcja

przyjmuje odpowiednio wartości A I B, tj.

Ale zgodnie ze wzorem Newtona-Leibniza różnica F(B) – F(A) Jest

Określona całka. Przykłady rozwiązań

Witam ponownie. Na tej lekcji szczegółowo zbadamy tak cudowną rzecz, jak całka oznaczona. Tym razem wprowadzenie będzie krótkie. Wszystko. Bo za oknem śnieżyca.

Aby nauczyć się rozwiązywać całki oznaczone należy:

1) Być w stanie znajdować Całki nieoznaczone.

2) Być w stanie Oblicz określona całka.

W ogólnej formie całkę oznaczoną zapisuje się w następujący sposób:

Co jest dodawane w porównaniu do całki nieoznaczonej? Więcej granice integracji.

Dolna granica całkowania
Górna granica całkowania jest standardowo oznaczane literą .
Odcinek nazywa się segment integracji.

Zanim przejdziemy do praktycznych przykładów, krótkie FAQ na temat całki oznaczonej.

Co to znaczy rozwiązać całkę oznaczoną? Rozwiązanie całki oznaczonej oznacza znalezienie liczby.

Jak rozwiązać całkę oznaczoną? Korzystając ze znanego ze szkoły wzoru Newtona-Leibniza:

Lepiej przepisać formułę na osobnej kartce papieru, powinna ona znajdować się przed oczami przez całą lekcję.

Etapy rozwiązywania całki oznaczonej są następujące:

1) Najpierw znajdujemy funkcję pierwotną (całkę nieoznaczoną). Zauważ, że stała w całce oznaczonej nie dodany. Oznaczenie ma charakter czysto techniczny, a pionowy drążek nie ma żadnego znaczenia matematycznego, w rzeczywistości jest to tylko oznaczenie. Dlaczego samo nagranie jest potrzebne? Preparat do stosowania wzoru Newtona-Leibniza.

2) Podstaw wartość górnej granicy do funkcji pierwotnej: .

3) Podstaw wartość dolnej granicy do funkcji pierwotnej: .

4) Obliczamy (bez błędów!) różnicę, czyli znajdujemy liczbę.

Czy całka oznaczona zawsze istnieje? Nie, nie zawsze.

Przykładowo całka nie istnieje, ponieważ segment całkowania nie wchodzi w zakres definicji całki (wartości pod pierwiastkiem kwadratowym nie mogą być ujemne). Oto mniej oczywisty przykład: . Tutaj w przedziale całkowania tangens wytrzymuje niekończące się przerwy w punktach , , a zatem taka całka oznaczona również nie istnieje. Swoją drogą, kto jeszcze nie zapoznał się z materiałami dydaktycznymi? Wykresy i podstawowe własności funkcji elementarnych– najwyższy czas to zrobić. Świetnie będzie służyć pomocą w trakcie nauki matematyki wyższej.

Za to aby całka oznaczona w ogóle istniała, wystarczy, że całka jest ciągła na przedziale całkowania.

???! Nie możesz podstawiać liczb ujemnych pod pierwiastek! Co to do diabła jest?! Początkowa nieuwaga.

Jeżeli do rozwiązania (na teście, teście, egzaminie) zaproponowano Ci całkę typu lub , to musisz odpowiedzieć, że ta całka oznaczona nie istnieje i uzasadnić dlaczego.

! Notatka : w tym drugim przypadku nie można pominąć słowa „pewne”, ponieważ całkę z nieciągłościami punktowymi dzieli się na kilka, w tym przypadku na 3 całki niewłaściwe, a sformułowanie „ta całka nie istnieje” staje się błędne.

Czy dolna granica całkowania może być większa od górnej granicy całkowania? Być może taka sytuacja faktycznie ma miejsce w praktyce.

– całkę można łatwo obliczyć ze wzoru Newtona-Leibniza.

Co jest niezbędne w wyższej matematyce? Oczywiście bez wszelkiego rodzaju właściwości. Dlatego rozważmy niektóre właściwości całki oznaczonej.

W całce oznaczonej możesz zmienić położenie górnej i dolnej granicy, zmieniając znak:

Przykładowo w całce oznaczonej przed całkowaniem zaleca się zmianę granic całkowania do „zwykłej” kolejności:

– w takiej formie integracja jest dużo wygodniejsza.

– dotyczy to nie tylko dwóch, ale także dowolnej liczby funkcji.

W całce oznaczonej można przeprowadzić zastąpienie zmiennej całkującej, jednak w porównaniu z całką nieoznaczoną ma to swoją specyfikę, o której porozmawiamy później.

Dla całki oznaczonej prawdziwe jest stwierdzenie: całkowanie według wzoru na części:

Przykład 1

Rozwiązanie:

(1) Wyjmujemy stałą ze znaku całki.

. Najpierw podstawiamy górną granicę, potem dolną. Przeprowadzamy dalsze obliczenia i otrzymujemy ostateczną odpowiedź.

Przykład 2

Oblicz całkę oznaczoną

To jest przykład do samodzielnego rozwiązania, rozwiązanie i odpowiedź znajdują się na końcu lekcji.

Skomplikujmy trochę zadanie:

Przykład 3

Oblicz całkę oznaczoną

Rozwiązanie:

(1) Korzystamy z własności liniowości całki oznaczonej.

(2) Całkujemy zgodnie z tabelą, usuwając wszystkie stałe - nie będą one brały udziału w podstawieniu granicy górnej i dolnej.

(3) Dla każdego z trzech wyrazów stosujemy wzór Newtona-Leibniza:

SŁABYM Ogniwem całki oznaczonej są błędy obliczeniowe i powszechne POMYLENIE ZNAKÓW. Bądź ostrożny! Szczególną uwagę zwracam na termin trzeci: – pierwsze miejsce na liście przebojów błędów wynikających z nieuwagi, bardzo często zapisują się automatycznie (zwłaszcza gdy zamiana górnej i dolnej granicy odbywa się ustnie i nie jest tak szczegółowo spisana). Jeszcze raz dokładnie przestudiuj powyższy przykład.

Tutaj zastosowałem werbalnie zasady liniowości i zintegrowałem werbalnie za pomocą tabeli. Skończyło się na jednym nawiasie z zaznaczonymi granicami: (w przeciwieństwie do trzech nawiasów w pierwszej metodzie). A do „całej” funkcji pierwotnej najpierw podstawiłem 4, potem –2, ponownie wykonując wszystkie czynności, które zaplanowałem.

Jednak niewątpliwymi zaletami drugiej metody jest szybkość rozwiązania, zwartość zapisu i fakt, że funkcja pierwotna jest w jednym nawiasie.

Rada: przed użyciem wzoru Newtona-Leibniza warto sprawdzić: czy poprawnie została znaleziona funkcja pierwotna?

Zatem w nawiązaniu do rozpatrywanego przykładu: przed podstawieniem górnej i dolnej granicy do funkcji pierwotnej warto sprawdzić na projekcie, czy całka nieoznaczona została znaleziona poprawnie? Rozróżnijmy:

Otrzymano pierwotną funkcję całki, co oznacza, że całka nieoznaczona została znaleziona poprawnie. Teraz możemy zastosować wzór Newtona-Leibniza.

Taka kontrola nie będzie zbędna przy obliczaniu dowolnej całki oznaczonej.

Przykład 4

Oblicz całkę oznaczoną

To jest przykład, który możesz sam rozwiązać. Spróbuj rozwiązać to w krótki i szczegółowy sposób.

Zmiana zmiennej w całce oznaczonej

W przypadku całki oznaczonej obowiązują wszystkie rodzaje podstawień, jak w przypadku całki nieoznaczonej. Jeśli więc nie jesteś dobry w zastępowaniu, powinieneś uważnie przeczytać lekcję Metoda podstawieniowa w całce nieoznaczonej.

W tym akapicie nie ma nic strasznego ani trudnego. Nowość polega na pytaniu jak zmienić granice całkowania podczas zastępowania.

Na przykładach postaram się podać rodzaje zamienników, których jeszcze nigdzie na serwisie nie znaleziono.

Przykład 5

Oblicz całkę oznaczoną

Głównym pytaniem tutaj nie jest całka oznaczona, ale to, jak poprawnie przeprowadzić zamianę. Spójrzmy na tabela całek i dowiedzieć się, jak najbardziej wygląda nasza funkcja całkowa? Oczywiście dla długiego logarytmu: . Ale jest jedna rozbieżność w tabeli całkowej pod pierwiastkiem, a w naszej - „x” do czwartej potęgi. Z rozumowania wynika także idea zamiany – fajnie byłoby w jakiś sposób zamienić naszą czwartą potęgę na kwadrat. To jest prawdziwe.

Najpierw przygotowujemy naszą całkę do wymiany:

Z powyższych rozważań wynika całkiem naturalnie zastąpienie:
Zatem wszystko będzie dobrze w mianowniku: .
Dowiadujemy się, w co zamieni się pozostała część całki, w tym celu znajdujemy różnicę:

W porównaniu do zamiany w całce nieoznaczonej dodajemy dodatkowy krok.

Znalezienie nowych granic integracji.

To całkiem proste. Przyjrzyjmy się naszemu zastąpieniu i starym granicom integracji, .

Najpierw podstawiamy dolną granicę całkowania, czyli zero, do wyrażenia zastępującego:

Następnie podstawiamy górną granicę całkowania do wyrażenia zastępującego, czyli pierwiastek z trzech:

Gotowy. I tylko...

Kontynuujmy rozwiązanie.

(1) Według zamiennika napisać nową całkę z nowymi granicami całkowania.

(2) To najprostsza całka stołowa, którą całkujemy po stole. Lepiej pozostawić stałą poza nawiasami (nie jest to konieczne), aby nie przeszkadzała w dalszych obliczeniach. Po prawej stronie rysujemy linię wskazującą nowe granice całkowania - jest to przygotowanie do zastosowania wzoru Newtona-Leibniza.

(3) Korzystamy ze wzoru Newtona-Leibniza .

Staramy się zapisać odpowiedź w jak najbardziej zwartej formie, tutaj wykorzystałem własności logarytmów.

Inna różnica w stosunku do całki nieoznaczonej polega na tym, że po dokonaniu podstawienia nie ma potrzeby dokonywania jakichkolwiek wymian odwrotnych.

A teraz kilka przykładów, abyś mógł sam zdecydować. Jakie zamienniki zrobić - spróbuj zgadnąć samodzielnie.

Przykład 6

Oblicz całkę oznaczoną

Przykład 7

Oblicz całkę oznaczoną

To są przykłady, które możesz rozwiązać samodzielnie. Rozwiązania i odpowiedzi na końcu lekcji.

Na końcu akapitu kilka ważnych punktów, których analiza pojawiła się dzięki odwiedzającym witrynę. Pierwsza dotyczy legalność wymiany. W niektórych przypadkach nie da się tego zrobić! Wydaje się zatem, że przykład 6 można rozwiązać za pomocą uniwersalne podstawienie trygonometryczne jednak górna granica całkowania ("Liczba Pi") nieuwzględnione w domena ta styczna i dlatego to podstawienie jest nielegalne! Zatem, funkcja „zastępowania” musi mieć charakter ciągły we wszystkim punkty segmentu integracji.

W innym e-mailu otrzymano pytanie: „Czy musimy zmieniać granice całkowania, gdy podciągamy funkcję pod znak różniczkowy?” Na początku chciałem „odrzucić bzdury” i automatycznie odpowiedzieć „oczywiście, że nie”, ale potem pomyślałem o powodzie takiego pytania i nagle odkryłem, że nie ma informacji brakuje. Ale to, choć oczywiste, jest bardzo ważne:

Jeśli podciągniemy funkcję pod znak różniczkowy, to nie ma potrzeby zmiany granic całkowania! Dlaczego? Ponieważ w tym przypadku brak faktycznego przejścia na nową zmienną. Na przykład:

I tutaj podsumowanie jest znacznie wygodniejsze niż akademickie zastąpienie późniejszym „malowaniem” nowych granic integracji. Zatem, jeśli całka oznaczona nie jest bardzo skomplikowana, to zawsze staraj się umieścić funkcję pod znakiem różniczkowym! Jest szybszy, bardziej kompaktowy i powszechny - jak zobaczysz dziesiątki razy!

Dziękuję bardzo za Twoje listy!

Metoda całkowania przez części w całce oznaczonej

Tutaj jest jeszcze mniej nowości. Wszystkie obliczenia artykułu Całkowanie przez części w całce nieoznaczonej są w pełni ważne dla całki oznaczonej.
Na plus jest tylko jeden szczegół; we wzorze na całkowanie przez części dodawane są granice całkowania:

Trzeba tu zastosować wzór Newtona-Leibniza dwukrotnie: dla iloczynu i po przyjęciu całki.

Dla przykładu ponownie wybrałem typ całki, którego nie znaleziono jeszcze nigdzie na stronie. Przykład nie jest najprostszy, ale bardzo, bardzo pouczający.

Przykład 8

Oblicz całkę oznaczoną

Zdecydujmy.

Całkujmy przez części:

Jeśli ktoś ma trudności z całką, niech zapozna się z lekcją Całki funkcji trygonometrycznych, jest tam szczegółowo omówione.

(1) Rozwiązanie zapisujemy zgodnie ze wzorem na całkowanie przez części.

(2) Dla iloczynu stosujemy wzór Newtona-Leibniza. Dla pozostałej całki korzystamy z właściwości liniowości, dzieląc ją na dwie całki. Nie dajcie się zwieść znakom!

(4) Dla dwóch znalezionych funkcji pierwotnych stosujemy wzór Newtona-Leibniza.

Szczerze mówiąc, nie podoba mi się ta formuła. i, jeśli to możliwe, ... w ogóle się bez tego obchodzę! Rozważmy drugie rozwiązanie, z mojego punktu widzenia jest ono bardziej racjonalne.

Oblicz całkę oznaczoną

W pierwszym etapie znajduję całkę nieoznaczoną:

Całkujmy przez części:

Znaleziono funkcję pierwotną. W tym przypadku nie ma sensu dodawać stałej.

Jaka jest zaleta takiej wędrówki? Nie ma potrzeby „nosić” granic integracji; w istocie dziesięciokrotne zapisywanie małych symboli granic integracji może być wyczerpujące

Na drugim etapie sprawdzam(zwykle w wersji roboczej).

Również logiczne. Jeśli błędnie znalazłem funkcję pierwotną, to błędnie rozwiążę całkę oznaczoną. Lepiej dowiedzieć się od razu, różnicujmy odpowiedź:

Otrzymano pierwotną funkcję całkową, co oznacza, że funkcja pierwotna została znaleziona poprawnie.

Trzeci etap to zastosowanie wzoru Newtona-Leibniza:

I tutaj jest znacząca korzyść! W „mojej” metodzie rozwiązywania istnieje znacznie mniejsze ryzyko pomyłki w podstawieniach i obliczeniach – wzór Newtona-Leibniza stosuje się tylko raz. Jeśli czajniczek rozwiązuje podobną całkę za pomocą wzoru (w pierwszym przypadku), to na pewno gdzieś popełni błąd.

Rozważany algorytm rozwiązania można zastosować dla dowolnej całki oznaczonej.

Drogi studencie, wydrukuj i zapisz:

Co zrobić, jeśli podano całkę oznaczoną, która wydaje się skomplikowana lub nie jest od razu jasne, jak ją rozwiązać?

1) Najpierw znajdujemy całkę nieoznaczoną (funkcję pierwotną). Jeśli na pierwszym etapie doszło do wpadki, nie ma sensu dalej mieszać łódki z Newtonem i Leibnizem. Jest tylko jeden sposób - zwiększyć swój poziom wiedzy i umiejętności rozwiązywania problemów Całki nieoznaczone.

2) Znalezioną funkcję pierwotną sprawdzamy przez różniczkowanie. Jeśli zostanie znaleziony błędnie, trzeci krok będzie stratą czasu.

3) Korzystamy ze wzoru Newtona-Leibniza. Wszelkie obliczenia wykonujemy BARDZO STARANNIE – to najsłabszy punkt zadania.

A na przekąskę całka do samodzielnego rozwiązania.

Przykład 9

Oblicz całkę oznaczoną

Rozwiązanie i odpowiedź są gdzieś w pobliżu.

Następną zalecaną lekcją na ten temat jest Jak obliczyć pole figury za pomocą całki oznaczonej?
Całkujmy przez części:

Czy na pewno je rozwiązałeś i otrzymałeś odpowiedzi? ;-) Jest też porno dla starszej kobiety.