Pojęcie kąta dwuściennego
Aby wprowadzić pojęcie kąta dwuściennego, przypomnijmy najpierw jeden z aksjomatów stereometrii.
Każdą płaszczyznę można podzielić na dwie półpłaszczyzny prostej $a$ leżącej w tej płaszczyźnie. W tym przypadku punkty leżące w tej samej półpłaszczyźnie znajdują się po jednej stronie prostej $a$, a punkty leżące w różnych półpłaszczyznach po przeciwnych stronach prostej $a$ (rys. 1).
Obrazek 1.
Na tym aksjomacie opiera się zasada konstruowania kąta dwuściennego.
Definicja 1
Postać nazywa się kąt dwuścienny, jeżeli składa się z prostej i dwóch półpłaszczyzn tej prostej, które nie należą do tej samej płaszczyzny.
W tym przypadku nazywane są półpłaszczyznami kąta dwuściennego krawędzie, a linia prosta oddzielająca półpłaszczyzny to krawędź dwuścienna(ryc. 1).
Rysunek 2. Kąt dwuścienny
Stopień miary kąta dwuściennego
Definicja 2
Wybierzmy dowolny punkt $A$ na krawędzi. Kąt między dwiema prostymi leżącymi w różnych półpłaszczyznach, prostopadłymi do krawędzi i przecinającymi się w punkcie $A$, nazywa się liniowy kąt dwuścienny(ryc. 3).
Rysunek 3.
Oczywiście każdy kąt dwuścienny ma nieskończoną liczbę kątów liniowych.
Twierdzenie 1
Wszystkie kąty liniowe jednego kąta dwuściennego są sobie równe.
Dowód.
Rozważmy dwa kąty liniowe $AOB$ i $A_1(OB)_1$ (rys. 4).
Rysunek 4.
Ponieważ promienie $OA$ i $(OA)_1$ leżą w tej samej półpłaszczyźnie $\alpha $ i są prostopadłe do tej samej prostej, to są one współkierunkowe. Ponieważ promienie $OB$ i $(OB)_1$ leżą w tej samej półpłaszczyźnie $\beta $ i są prostopadłe do tej samej prostej, to są one współkierunkowe. Stąd
\[\kąt AOB=\kąt A_1(OB)_1\]
Ze względu na dowolność wyboru kątów liniowych. Wszystkie kąty liniowe jednego kąta dwuściennego są sobie równe.
Twierdzenie zostało udowodnione.
Definicja 3
Miara stopnia kąta dwuściennego jest miarą stopnia kąta liniowego kąta dwuściennego.
Przykładowe problemy
Przykład 1
Dano nam dwie nieprostopadłe płaszczyzny $\alpha $ i $\beta $, które przecinają się na prostej $m$. Punkt $A$ należy do płaszczyzny $\beta$. $AB$ jest prostopadłe do prostej $m$. $AC$ jest prostopadłe do płaszczyzny $\alpha $ (punkt $C$ należy do $\alpha $). Udowodnić, że kąt $ABC$ jest kątem liniowym kąta dwuściennego.
Dowód.
Narysujmy obraz zgodnie z warunkami problemu (ryc. 5).
Rysunek 5.
Aby to udowodnić, przypomnijmy sobie następujące twierdzenie
Twierdzenie 2: Linia prosta przechodząca przez podstawę pochyłej jest do niej prostopadła, prostopadła do jej rzutu.
Ponieważ $AC$ jest prostopadłe do płaszczyzny $\alpha $, to punkt $C$ jest rzutem punktu $A$ na płaszczyznę $\alpha $. Dlatego $BC$ jest rzutem skośnego $AB$. Zgodnie z Twierdzeniem 2, $BC$ jest prostopadłe do krawędzi kąta dwuściennego.
Wówczas kąt $ABC$ spełnia wszystkie warunki definicji liniowego kąta dwuściennego.
Przykład 2
Kąt dwuścienny wynosi $30^\circ$. Na jednej ze ścian leży punkt $A$, który znajduje się w odległości $4$ cm od drugiej ściany.Wyznacz odległość punktu $A$ od krawędzi kąta dwuściennego.
Rozwiązanie.
Spójrzmy na rysunek 5.
Według warunku mamy $AC=4\cm$.
Z definicji miary stopnia kąta dwuściennego wynika, że kąt $ABC$ jest równy $30^\circ$.
Trójkąt $ABC$ jest trójkątem prostokątnym. Z definicji sinusa kąta ostrego
\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \
TRANSKRYPT TEKSTOWY LEKCJI:
W planimetrii głównymi obiektami są linie, odcinki, półproste i punkty. Promienie wychodzące z jednego punktu tworzą jeden ze swoich geometrycznych kształtów - kąt.
Wiemy, że kąt liniowy mierzy się w stopniach i radianach.
W stereometrii do obiektów dodaje się płaszczyznę. Figura utworzona przez linię prostą a i dwie półpłaszczyzny o wspólnej granicy a, które w geometrii nie należą do tej samej płaszczyzny, nazywa się kątem dwuściennym. Półpłaszczyzny są ścianami kąta dwuściennego. Linia prosta a jest krawędzią kąta dwuściennego.
Kąt dwuścienny, podobnie jak kąt liniowy, można nazwać, zmierzyć i skonstruować. Tego właśnie musimy się dowiedzieć na tej lekcji.
Znajdźmy kąt dwuścienny w modelu czworościanu ABCD.
Kąt dwuścienny o krawędzi AB nazywa się CABD, gdzie punkty C i D należą do różnych ścian kąta, a krawędź AB nazywa się środkiem
Wokół nas znajduje się całkiem sporo obiektów z elementami w postaci kąta dwuściennego.
W wielu miastach w parkach instalowane są specjalne ławki do pojednania. Ławka wykonana jest w formie dwóch nachylonych płaszczyzn zbiegających się w kierunku środka.
Przy budowie domów często stosuje się tzw. dach dwuspadowy. W tym domu dach wykonany jest w formie dwuściennego kąta 90 stopni.
Kąt dwuścienny jest również mierzony w stopniach lub radianach, ale jak go zmierzyć.
Ciekawostką jest fakt, że dachy domów opierają się na krokwiach. A poszycie krokwi tworzy dwie połacie dachowe pod danym kątem.
Przenieśmy obraz na rysunek. Na rysunku, aby znaleźć kąt dwuścienny, na jego krawędzi zaznacza się punkt B. Z tego punktu poprowadzono dwa promienie BA i BC prostopadle do krawędzi kąta. Kąt ABC utworzony przez te promienie nazywa się liniowym kątem dwuściennym.
Stopień miary kąta dwuściennego jest równy stopniowi jego kąta liniowego.
Zmierzmy kąt AOB.
Miara stopnia danego kąta dwuściennego wynosi sześćdziesiąt stopni.
Dla kąta dwuściennego można narysować nieskończoną liczbę kątów liniowych; ważne jest, aby wiedzieć, że wszystkie są równe.
Rozważmy dwa kąty liniowe AOB i A1O1B1. Promienie OA i O1A1 leżą na tej samej ścianie i są prostopadłe do prostej OO1, więc są współkierunkowe. Belki OB i O1B1 są również współkierowane. Dlatego kąt AOB jest równy kątowi A1O1B1 jako kąty o bokach współkierunkowych.
Zatem kąt dwuścienny charakteryzuje się kątem liniowym, a kąty liniowe są ostre, rozwarte i proste. Rozważmy modele kątów dwuściennych.
Kąt rozwarty występuje wtedy, gdy jego kąt liniowy wynosi od 90 do 180 stopni.
Kąt prosty, jeśli jego kąt liniowy wynosi 90 stopni.
Kąt ostry, jeśli jego kąt liniowy wynosi od 0 do 90 stopni.
Udowodnimy jedną z ważnych właściwości kąta liniowego.
Płaszczyzna kąta liniowego jest prostopadła do krawędzi kąta dwuściennego.
Niech kąt AOB będzie kątem liniowym danego kąta dwuściennego. Z konstrukcji promienie AO i OB są prostopadłe do prostej a.
Płaszczyzna AOB przechodzi przez dwie przecinające się proste AO i OB zgodnie z twierdzeniem: Płaszczyzna przechodzi przez dwie przecinające się proste i tylko jedną.
Linia a jest prostopadła do dwóch przecinających się linii leżących w tej płaszczyźnie, co oznacza, że biorąc pod uwagę prostopadłość tej linii i płaszczyzny, prosta a jest prostopadła do płaszczyzny AOB.
Aby rozwiązać problemy, ważna jest umiejętność skonstruowania kąta liniowego zadanego kąta dwuściennego. Skonstruuj kąt liniowy kąta dwuściennego z krawędzią AB dla czworościanu ABCD.
Mówimy o kącie dwuściennym, który tworzą najpierw krawędź AB, jedna ściana ABD, a druga ściana ABC.
Oto jeden ze sposobów jego zbudowania.
Narysujmy prostopadłą z punktu D do płaszczyzny ABC.Oznaczmy punkt M jako podstawę prostopadłej. Przypomnijmy, że w czworościanie podstawa prostopadłej pokrywa się ze środkiem okręgu wpisanego u podstawy czworościanu.
Narysujmy linię ukośną od punktu D prostopadle do krawędzi AB, zaznaczmy punkt N jako podstawę linii ukośnej.
W trójkącie DMN odcinek NM będzie rzutem nachylonej DN na płaszczyznę ABC. Zgodnie z twierdzeniem o trzech prostopadłych, krawędź AB będzie prostopadła do rzutu NM.
Oznacza to, że boki kąta DNM są prostopadłe do krawędzi AB, co oznacza, że skonstruowany kąt DNM jest pożądanym kątem liniowym.
Rozważmy przykład rozwiązania problemu obliczania kąta dwuściennego.
Trójkąt równoramienny ABC i trójkąt foremny ADB nie leżą w tej samej płaszczyźnie. Odcinek CD jest prostopadły do płaszczyzny ADB. Znajdź kąt dwuścienny DABC, jeśli AC=CB=2 cm, AB= 4 cm.
Kąt dwuścienny DABC jest równy jego kątowi liniowemu. Zbudujmy ten kąt.
Narysujmy pochyłą CM prostopadle do krawędzi AB, ponieważ trójkąt ACB jest równoramienny, wówczas punkt M będzie pokrywał się ze środkiem krawędzi AB.
Prosta CD jest prostopadła do płaszczyzny ADB, czyli jest prostopadła do prostej DM leżącej w tej płaszczyźnie. Natomiast odcinek MD jest rzutem nachylonego CM na płaszczyznę ADV.
Prosta AB jest konstrukcyjnie prostopadła do nachylonej CM, co oznacza, zgodnie z twierdzeniem o trzech prostopadłych, że jest prostopadła do rzutu MD.
Zatem do krawędzi AB znajdują się dwie prostopadłe CM i DM. Oznacza to, że tworzą kąt liniowy CMD kąta dwuściennego DABC. I wszystko, co musimy zrobić, to znaleźć to z trójkąta prostokątnego CDM.
Zatem odcinek SM to mediana i wysokość trójkąta równoramiennego ACB, to zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa ramię SM wynosi 4 cm.
Z trójkąta prostokątnego DMB, zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa, noga DM jest równa dwóm pierwiastkom z trzech.
Cosinus kąta w trójkącie prostokątnym jest równy stosunkowi sąsiedniej nogi MD do przeciwprostokątnej CM i jest równy trzem pierwiastkom z trzy razy dwa. Oznacza to, że kąt CMD wynosi 30 stopni.
ROZDZIAŁ PIERWSZY PROSTE I PŁASZCZYZNY
V. KĄTY DWUSTRONNE, KĄT PROSTY Z PŁASZCZYZNĄ,
KĄT DWÓCH PRZEKRYWAJĄCYCH SIĘ PROSTYCH, KĄTY WIELOŚCINNE
Kąty dwuścienne
38. Definicje. Część płaszczyzny leżąca po jednej stronie dowolnej linii prostej leżącej w tej płaszczyźnie nazywa się półpłaszczyzna. Figura utworzona przez dwie półpłaszczyzny (P i Q, ryc. 26) wychodzące z jednej linii prostej (AB) nazywa się kąt dwuścienny. Nazywa się Direct AB krawędź, oraz półpłaszczyzny P i Q - imprezy Lub krawędzie kąt dwuścienny.
Kąt taki jest zwykle oznaczony dwiema literami umieszczonymi na jego krawędzi (kąt dwuścienny AB). Ale jeśli na jednej krawędzi znajduje się kilka kątów dwuściennych, wówczas każdy z nich jest oznaczony czterema literami, z których dwie środkowe znajdują się na krawędzi, a dwie zewnętrzne na ścianach (na przykład kąt dwuścienny SCDR) (ryc. 27).
Jeśli z dowolnego punktu D krawędzie AB (ryc. 28) zostaną narysowane na każdej powierzchni prostopadle do krawędzi, wówczas nazywany jest utworzony przez nie kąt CDE kąt liniowy kąt dwuścienny.
Wielkość kąta liniowego nie zależy od położenia jego wierzchołka na krawędzi. Zatem kąty liniowe CDE i C 1 D 1 E 1 są równe, ponieważ ich boki są odpowiednio równoległe i skierowane w tym samym kierunku.
Płaszczyzna kąta liniowego jest prostopadła do krawędzi, ponieważ zawiera dwie linie prostopadłe do niej. Zatem, aby otrzymać kąt liniowy, wystarczy przeciąć ścianę danego kąta dwuściennego z płaszczyzną prostopadłą do krawędzi i uwzględnić powstały kąt w tej płaszczyźnie.
39. Równość i nierówność kątów dwuściennych. Dwa kąty dwuścienne uważa się za równe, jeśli można je połączyć po wstawieniu; w przeciwnym razie dowolny kąt dwuścienny zostanie uznany za mniejszy, będzie stanowić część drugiego kąta.
Podobnie jak kąty w planimetrii, mogą istnieć kąty dwuścienne sąsiadujący, pionowy itp.
Jeżeli dwa sąsiednie kąty dwuścienne są sobie równe, wówczas każdy z nich nazywany jest kąt dwuścienny prawy.
Twierdzenia. 1) Równe kąty dwuścienne odpowiadają równym kątom liniowym.
2) Większy kąt dwuścienny odpowiada większemu kątowi liniowemu.
Niech PABQ i P 1 A 1 B 1 Q 1 (ryc. 29) będą dwoma kątami dwuściennymi. Wstawiamy kąt A 1 B 1 do kąta AB tak, aby krawędź A 1 B 1 pokrywała się z krawędzią AB, a powierzchnia P 1 z powierzchnią P.
Następnie, jeśli te kąty dwuścienne są równe, wówczas ściana Q 1 będzie pokrywać się ze ścianą Q; jeśli kąt A 1 B 1 jest mniejszy niż kąt AB, wówczas ściana Q 1 zajmie jakąś pozycję wewnątrz kąta dwuściennego, na przykład Q 2.
Zauważywszy to, weźmy punkt B leżący na wspólnej krawędzi i narysujmy przez niego płaszczyznę R, prostopadłą do tej krawędzi. Z przecięcia tej płaszczyzny z powierzchniami kątów dwuściennych uzyskuje się kąty liniowe. Oczywiste jest, że jeśli kąty dwuścienne pokrywają się, wówczas będą miały ten sam kąt liniowy CBD; jeśli kąty dwuścienne nie pokrywają się, jeśli np. ściana Q 1 przyjmie położenie Q 2, to większy kąt dwuścienny będzie miał większy kąt liniowy (mianowicie: / CBD > / C2BD).
40. Twierdzenia odwrotne. 1) Równe kąty liniowe odpowiadają równym kątom dwuściennym.
2) Większy kąt liniowy odpowiada większemu kątowi dwuściennemu .
Twierdzenia te można łatwo udowodnić poprzez sprzeczność.
41. Konsekwencje. 1) Prosty kąt dwuścienny odpowiada prostemu kątowi liniowemu i odwrotnie.
Niech (ryc. 30) kąt dwuścienny PABQ będzie prosty. Oznacza to, że jest on równy sąsiadującemu kątowi QABP 1. Ale w tym przypadku kąty liniowe CDE i CDE 1 są również równe; a ponieważ sąsiadują ze sobą, każdy z nich musi być prosty. I odwrotnie, jeśli sąsiednie kąty liniowe CDE i CDE 1 są równe, to sąsiednie kąty dwuścienne są równe, czyli każdy z nich musi być prosty.
2) Wszystkie kąty dwuścienne proste są równe, ponieważ ich kąty liniowe są równe .
Podobnie łatwo jest udowodnić, że:
3) Pionowe kąty dwuścienne są równe.
4) Dwuścienny kąty o odpowiednio równoległych i identycznie (lub przeciwnie) skierowanych krawędziach są równe.
5) Jeśli za jednostkę kątów dwuściennych przyjmiemy kąt dwuścienny odpowiadający jednostce kątów liniowych, to możemy powiedzieć, że kąt dwuścienny mierzy się jego kątem liniowym.
Kąt dwuścienny. Liniowy kąt dwuścienny. Kąt dwuścienny to figura utworzona przez dwie półpłaszczyzny, które nie należą do tej samej płaszczyzny i mają wspólną granicę - linię prostą a. Półpłaszczyzny tworzące kąt dwuścienny nazywane są jego ścianami, a wspólna granica tych półpłaszczyzn nazywana jest krawędzią kąta dwuściennego. Kąt liniowy kąta dwuściennego to kąt, którego boki są promieniami, wzdłuż których ściany kąta dwuściennego przecinają się z płaszczyzną prostopadłą do krawędzi kąta dwuściennego. Każdy kąt dwuścienny ma dowolną liczbę kątów liniowych: przez każdy punkt krawędzi można poprowadzić płaszczyznę prostopadłą do tej krawędzi; Promienie, wzdłuż których ta płaszczyzna przecina ściany kąta dwuściennego, tworzą kąty liniowe.
Wszystkie kąty liniowe kąta dwuściennego są sobie równe. Udowodnijmy, że jeśli kąty dwuścienne utworzone przez płaszczyznę podstawy ostrosłupa KABC i płaszczyzny jego ścian bocznych są równe, to podstawa prostopadłej wyprowadzonej z wierzchołka K jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC.
Dowód. Przede wszystkim skonstruujmy kąty liniowe z równych kątów dwuściennych. Z definicji płaszczyzna kąta liniowego musi być prostopadła do krawędzi kąta dwuściennego. Dlatego krawędź kąta dwuściennego musi być prostopadła do boków kąta liniowego. Jeżeli KO jest prostopadłe do płaszczyzny bazowej, to możemy narysować OR prostopadłą AC, OR prostopadłą SV, OQ prostopadłą AB, a następnie połączyć punkty P, Q, R Z punktem K. W ten sposób skonstruujemy rzut ukośnego RK, QK , RK tak, aby krawędzie AC, NE, AB były prostopadłe do tych rzutów. W związku z tym krawędzie te są prostopadłe do samych nachylonych. I dlatego płaszczyzny trójkątów ROK, QOK, ROK są prostopadłe do odpowiednich krawędzi kąta dwuściennego i tworzą te równe kąty liniowe, które są wymienione w warunku. Trójkąty prostokątne ROK, QOK, ROK są przystające (ponieważ mają wspólną nogę OK i kąty przeciwne do tej nogi są równe). Zatem OR = OR = OQ. Jeśli narysujemy okrąg o środku O i promieniu OP, to boki trójkąta ABC są prostopadłe do promieni OP, OR i OQ, a zatem są styczne do tego okręgu.
Prostopadłość płaszczyzn. Płaszczyzny alfa i beta nazywane są prostopadłymi, jeśli kąt liniowy jednego z kątów dwuściennych utworzonych na ich przecięciu jest równy 90. Znaki prostopadłości dwóch płaszczyzn Jeżeli jedna z dwóch płaszczyzn przechodzi przez linię prostopadłą do drugiej płaszczyzny, wówczas te płaszczyzny są prostopadłe.
Rysunek przedstawia równoległościan prostokątny. Jego podstawą są prostokąty ABCD i A1B1C1D1. A żebra boczne AA1 BB1, CC1, DD1 są prostopadłe do podstaw. Wynika z tego, że AA1 jest prostopadła do AB, czyli ściana boczna jest prostokątem. W ten sposób możemy uzasadnić właściwości prostokątnego równoległościanu: W prostokątnym równoległościanie wszystkie sześć ścian jest prostokątami. W prostopadłościanie prostokątnym wszystkie sześć ścian jest prostokątami. Wszystkie kąty dwuścienne równoległościanu prostokątnego są kątami prostymi. Wszystkie kąty dwuścienne równoległościanu prostokątnego są kątami prostymi.
Twierdzenie Kwadrat przekątnej równoległościanu prostokątnego jest równy sumie kwadratów jego trzech wymiarów. Wróćmy do rysunku i udowodnijmy, że AC12 = AB2 + AD2 + AA12 Ponieważ krawędź CC1 jest prostopadła do podstawy ABCD, kąt ACC1 jest prosty. Z trójkąta prostokątnego ACC1, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy AC12 = AC2 + CC12. Ale AC jest przekątną prostokąta ABCD, więc AC2 = AB2 + AD2. Ponadto CC1 = AA1. Zatem AC12= AB2+AD2+AA12 Twierdzenie zostało udowodnione.
Cel lekcji: wprowadzenie pojęcia kąta dwuściennego i jego kąta liniowego.
Zadania:
Edukacyjny: rozważ zadania dotyczące zastosowania tych koncepcji, rozwiń konstruktywną umiejętność znajdowania kąta między płaszczyznami;
Rozwojowy: rozwój twórczego myślenia uczniów, rozwój osobisty uczniów, rozwój mowy uczniów;
Edukacyjny: pielęgnowanie kultury pracy umysłowej, kultury komunikacyjnej, kultury refleksyjnej.
Typ lekcji: lekcja zdobywania nowej wiedzy
Metody nauczania: wyjaśniające i ilustrujące
Sprzęt: komputer, tablica interaktywna.
Literatura:
Geometria. Klasy 10-11: podręcznik. dla klas 10-11. ogólne wykształcenie instytucje: podstawowe i profilowe. poziomy / [L. S. Atanasjan, V. F. Butuzow, S. B. Kadomcew i in.] - wyd. 18. – M.: Edukacja, 2009. – 255 s.
Plan lekcji:
Moment organizacyjny (2 min)
Aktualizacja wiedzy (5 min)
Nauka nowego materiału (12 min)
Utrwalenie poznanego materiału (21 min)
Praca domowa (2 min)
Podsumowanie (3 min)
Podczas zajęć:
1. Moment organizacyjny.
Obejmuje powitanie klasy przez nauczyciela, przygotowanie sali na lekcję i sprawdzenie nieobecności.
2. Aktualizacja podstawowej wiedzy.
Nauczyciel: Na ostatniej lekcji napisałeś samodzielną pracę. Ogólnie rzecz biorąc, praca została napisana dobrze. Teraz powtórzmy to trochę. Jak nazywa się kąt w płaszczyźnie?
Student: Kąt na płaszczyźnie to figura utworzona przez dwa promienie wychodzące z jednego punktu.
Nauczyciel: Jak nazywa się kąt między liniami w przestrzeni?
Student: Kąt między dwiema przecinającymi się liniami w przestrzeni jest najmniejszym z kątów utworzonych przez promienie tych linii z wierzchołkiem w punkcie ich przecięcia.
Student: Kąt między przecinającymi się liniami to kąt między przecinającymi się liniami, odpowiednio, równoległymi do danych.
Nauczyciel: Jak nazywa się kąt między prostą a płaszczyzną?
Student: Kąt między linią prostą a płaszczyznąNazywa się dowolny kąt pomiędzy linią prostą a jej rzutem na tę płaszczyznę.
3. Studiowanie nowego materiału.
Nauczyciel: W stereometrii wraz z takimi kątami rozważa się inny rodzaj kąta - kąty dwuścienne. Pewnie już domyślacie się, jaki jest temat dzisiejszej lekcji, więc otwórzcie swoje zeszyty, zapiszcie dzisiejszą datę i temat lekcji.
Napisz na tablicy i w zeszytach:
10.12.14.
Kąt dwuścienny.
Nauczyciel : Aby wprowadzić pojęcie kąta dwuściennego należy przypomnieć, że każda prosta narysowana na danej płaszczyźnie dzieli tę płaszczyznę na dwie półpłaszczyzny(ryc. 1, a)
Nauczyciel : Wyobraźmy sobie, że zakrzywiliśmy płaszczyznę wzdłuż linii prostej, tak że dwie półpłaszczyzny z granicą nie leżą już w tej samej płaszczyźnie (ryc. 1, b). Wynikowa liczba to kąt dwuścienny. Kąt dwuścienny to figura utworzona przez linię prostą i dwie półpłaszczyzny o wspólnej granicy, które nie należą do tej samej płaszczyzny. Półpłaszczyzny tworzące kąt dwuścienny nazywane są jego ścianami. Kąt dwuścienny ma dwa boki, stąd nazwa kąt dwuścienny. Linia prosta – wspólna granica półpłaszczyzn – nazywana jest krawędzią kąta dwuściennego. Zapisz definicję w zeszycie.
Kąt dwuścienny to figura utworzona przez linię prostą i dwie półpłaszczyzny o wspólnej granicy, które nie należą do tej samej płaszczyzny.
Nauczyciel : W życiu codziennym często spotykamy przedmioty, które mają kształt kąta dwuściennego. Daj przykłady.
Student : Półotwarty folder.
Student : Ściana pokoju jest połączona z podłogą.
Student : Dachy dwuspadowe budynków.
Nauczyciel : Prawidłowy. A takich przykładów jest mnóstwo.
Nauczyciel : Jak wiadomo, kąty w płaszczyźnie mierzy się w stopniach. Prawdopodobnie masz pytanie, w jaki sposób mierzy się kąty dwuścienne? Odbywa się to w następujący sposób.Zaznaczmy jakiś punkt na krawędzi kąta dwuściennego i narysujmy od tego punktu promień prostopadły do krawędzi na każdej ścianie. Kąt utworzony przez te promienie nazywany jest kątem liniowym kąta dwuściennego. Zrób rysunek w zeszytach.
Napisz na tablicy i w zeszytach.
O ∈ a, SA ⊥ a, WO ⊥ A, SABD– kąt dwuścienny,∠ AOB– kąt liniowy kąta dwuściennego.
Nauczyciel : Wszystkie kąty liniowe kąta dwuściennego są równe. Zrób sobie kolejny taki rysunek.
Nauczyciel : Udowodnijmy to. Rozważmy dwa kąty liniowe AOB iPQR. Promienie OA iPytanieleżą na tej samej powierzchni i są prostopadłeOK, co oznacza, że są współkierowane. Podobnie promienie OB iQRwspółreżyserowany. Oznacza,∠ AOB= ∠ PQR(jak kąty o wyrównanych bokach).
Nauczyciel : Cóż, teraz odpowiedzią na nasze pytanie jest sposób pomiaru kąta dwuściennego.Miara stopnia kąta dwuściennego jest miarą stopnia jego kąta liniowego. Narysuj ponownie obrazy kąta dwuściennego ostrego, prostego i rozwartego z podręcznika na stronie 48.
4. Utrwalenie studiowanego materiału.
Nauczyciel : Zrób rysunki do zadań.
№ 1 . Biorąc pod uwagę: ΔABC, AC = BC, AB leży w płaszczyźnieα, płyta CD ⊥ α, C∉ α. Konstruuj kąt liniowy kąta dwuściennegoCABD.
Student : Rozwiązanie:CM. ⊥ AB, DC ⊥ AB.∠ CMD - podążał za.
№ 2. Biorąc pod uwagę: ΔABC, ∠ C= 90°, BC leży na płaszczyźnieα, spółka z ograniczoną odpowiedzialnością⊥ α, A∈ α.
Konstruuj kąt liniowy kąta dwuściennegoABCO.
Student : Rozwiązanie:AB ⊥ PNE., SA⊥ BC oznacza system operacyjny⊥ Słońce.∠ ACO - podążał za.
№ 3 . Biorąc pod uwagę: ΔABC, ∠ C = 90°, AB leży w płaszczyźnieα, płyta CD⊥ α, C∉ α. Zbudowaćliniowy kąt dwuściennyDABC.
Student : Rozwiązanie: CK ⊥ AB, DC ⊥ AB,DK ⊥ AB oznacza∠ DKC - podążał za.
№ 4
. Dany:DABC- czworościan,DO⊥
ABC.Konstruować kąt liniowy kąta dwuściennegoABCD.
Student : Rozwiązanie:DM ⊥ słońce,DO ⊥ VS oznacza OM⊥ Słońce;∠ OMD - podążał za.
5. Podsumowanie.
Nauczyciel: Czego nowego nauczyłeś się dzisiaj na zajęciach?
Studenci : Tak zwany kąt dwuścienny, kąt liniowy, jak się mierzy kąt dwuścienny.
Nauczyciel : Co powtórzyli?
Studenci : To, co nazywa się kątem na płaszczyźnie; kąt pomiędzy liniami prostymi.
6.Zadanie domowe.
Napisz na tablicy i w swoich pamiętnikach: paragraf 22, nr 167, nr 170.