Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.
Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych
Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.
Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.
Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.
Jakie dane osobowe zbieramy:
- Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.
Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:
- Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą w sprawie wyjątkowych ofert, promocji i innych wydarzeń oraz nadchodzących wydarzeń.
- Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
- Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawienia rekomendacji dotyczących naszych usług.
- Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.
Ujawnianie informacji osobom trzecim
Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.
Wyjątki:
- Jeżeli jest to konieczne – zgodnie z przepisami prawa, procedurą sądową, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków organów rządowych na terytorium Federacji Rosyjskiej – do ujawnienia Twoich danych osobowych. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
- W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.
Ochrona danych osobowych
Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.
Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy
Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.
Przeanalizujmy funkcję \(y= \frac(x^3)(1-x) \) i zbudujmy jej wykres.
1. Zakres definicji.
Dziedziną definicji funkcji wymiernej (ułamka) będzie: mianownik nie jest równy zero, tj. \(1 -x \ne 0 => x \ne 1\). Domena $$D_f= (-\infty; 1) \cup (1;+\infty)$$
2. Punkty załamania funkcji i ich klasyfikacja.
Funkcja ma jeden punkt przerwania x = 1
Zbadajmy punkt x= 1. Znajdźmy granicę funkcji na prawo i na lewo od punktu nieciągłości, na prawo $$ \lim_(x \to 1+0) (\frac(x^3)(1 -x)) = -\infty $$ i na lewo od punktu $$ \lim_(x \to 1-0)(\frac(x^3)(1-x)) = +\infty $$ To jest punktem nieciągłości drugiego rodzaju, ponieważ jednostronne granice są równe \(\infty\).
Linia prosta \(x = 1\) jest asymptotą pionową.
3. Parzystość funkcji.
Sprawdzamy parzystość \(f(-x) = \frac((-x)^3)(1+x) \) funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.
4. Zera funkcji (punkty przecięcia z osią Wół). Przedziały znaku stałego funkcji.
Funkcja zerowa ( punkt przecięcia z osią Wołu): przyrównujemy \(y=0\), otrzymujemy \(\frac(x^3)(1-x) = 0 => x=0 \). Krzywa ma jeden punkt przecięcia z osią Wół o współrzędnych \((0;0)\).
Przedziały znaku stałego funkcji.
Na rozpatrywanych przedziałach \((-\infty; 1) \cup (1;+\infty)\) krzywa ma jeden punkt przecięcia z osią Ox, zatem dziedzinę definicji będziemy rozważać na trzech przedziałach.
Wyznaczmy znak funkcji na przedziałach z dziedziny definicji:
przedział \((-\infty; 0) \) znajdź wartość funkcji w dowolnym punkcie \(f(-4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
przedział \((0; 1) \) znajdujemy wartość funkcji w dowolnym punkcie \(f(0,5) = \frac(x^3)(1-x) > 0 \), w tym przedziale funkcja jest dodatni \(f(x ) > 0 \), tj. znajduje się powyżej osi Wołu.
przedział \((1;+\infty) \) znajdź wartość funkcji w dowolnym punkcie \(f(4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
5. Punkty przecięcia z osią Oy: przyrównujemy \(x=0\), otrzymujemy \(f(0) = \frac(x^3)(1-x) = 0\). Współrzędne punktu przecięcia z osią Oy \((0; 0)\)
6. Przerwy monotonii. Ekstrema funkcji.
Znajdźmy punkty krytyczne (stacjonarne), w tym celu znajdujemy pierwszą pochodną i przyrównujemy ją do zera $$ y" = (\frac(x^3)(1-x))" = \frac(3x^2(1 -x) + x^3)( (1-x)^2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) $$ równe 0 $$ \frac(x ^2(3 -2x))( (1-x)^2) = 0 => x_1 = 0 \quad x_2= \frac(3)(2)$$ Znajdźmy wartość funkcji w tym punkcie \( f(0) = 0\) i \(f(\frac(3)(2)) = -6,75\). Mamy dwa punkty krytyczne o współrzędnych \((0;0)\) i \((1,5;-6,75)\)
Przerwy monotonii.
Funkcja ma dwa punkty krytyczne (możliwe ekstrema), więc monotoniczność rozważymy na czterech przedziałach:
przedział \((-\infty; 0) \) znajdź wartość pierwszej pochodnej w dowolnym punkcie przedziału \(f(-4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x )^2) >
przedział \((0;1)\) znajdujemy wartość pierwszej pochodnej w dowolnym punkcie przedziału \(f(0,5) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^ 2) > 0\) , funkcja rośnie w tym przedziale.
przedział \((1;1,5)\) znajdujemy wartość pierwszej pochodnej w dowolnym punkcie przedziału \(f(1,2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^ 2) > 0\) , funkcja rośnie w tym przedziale.
przedział \((1,5; +\infty)\) znajdź wartość pierwszej pochodnej w dowolnym punkcie przedziału \(f(4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x) ^2)< 0\), на этом интервале функция убывает.
Ekstrema funkcji.
Badając funkcję, otrzymaliśmy dwa punkty krytyczne (stacjonarne) na przedziale dziedziny definicji. Ustalmy, czy są to skrajności. Rozważmy zmianę znaku pochodnej przy przejściu przez punkty krytyczne:
punkt \(x = 0\) pochodna zmienia znak z \(\quad +\quad 0 \quad + \quad\) - punkt nie jest ekstremum.
punkt \(x = 1,5\) pochodna zmienia znak z \(\quad +\quad 0 \quad - \quad\) - punkt jest punktem maksymalnym.
7. Przedziały wypukłości i wklęsłości. Punkty przegięcia.
Aby znaleźć przedziały wypukłości i wklęsłości, znajdujemy drugą pochodną funkcji i przyrównujemy ją do zera $$y"" = (\frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) )"= \frac(2x (x^2-3x+3))((1-x)^3) $$Przyrównane do zera $$ \frac(2x(x^2-3x+3))((1 -x)^3)= 0 => 2x(x^2-3x+3) =0 => x=0$$ Funkcja ma jeden punkt krytyczny drugiego rodzaju o współrzędnych \((0;0)\) .
Zdefiniujmy wypukłość na przedziałach z dziedziny definicji, biorąc pod uwagę punkt krytyczny drugiego rodzaju (punkt możliwego przegięcia).
przedział \((-\infty; 0)\) znajdź wartość drugiej pochodnej w dowolnym punkcie \(f""(-4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1- x)^ 3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
przedział \((0; 1)\) znajdujemy wartość drugiej pochodnej w dowolnym punkcie \(f""(0,5) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3) > 0 \), w tym przedziale druga pochodna funkcji jest dodatnia \(f""(x) > 0 \) funkcja jest wypukła w dół (wypukła).
przedział \((1; \infty)\) znajdź wartość drugiej pochodnej w dowolnym punkcie \(f""(4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
Punkty przegięcia.
Rozważmy zmianę znaku drugiej pochodnej przy przejściu przez punkt krytyczny drugiego rodzaju:
W punkcie \(x =0\) druga pochodna zmienia znak na \(\quad - \quad 0 \quad + \quad\), wykres funkcji zmienia wypukłość, tj. jest to punkt przegięcia o współrzędnych \((0;0)\).
8. Asymptoty.
Pionowa asymptota. Wykres funkcji ma jedną asymptotę pionową \(x =1\) (patrz akapit 2).
Asymptota ukośna.
Aby wykres funkcji \(y= \frac(x^3)(1-x) \) w \(x \to \infty\) miał asymptotę skośną \(y = kx+b\) , jest to konieczne i wystarczające , więc istnieją dwie granice $$\lim_(x \to +\infty)=\frac(f(x))(x) =k $$znajdziemy to $$ \lim_(x \to \infty) (\frac( x^3)(x(1-x))) = \infty => k= \infty $$ i druga granica $$ \lim_(x \to +\infty)( f(x) - kx) = b$ $, ponieważ \(k = \infty\) - nie ma asymptoty ukośnej.
Asymptota pozioma: aby istniała asymptota pozioma konieczne jest istnienie granicy $$\lim_(x \to \infty)f(x) = b$$ znajdźmy ją $$ \lim_(x \to +\infty )(\frac( x^3)(1-x))= -\infty$$$$ \lim_(x \to -\infty)(\frac(x^3)(1-x))= -\ dwadzieścia dolarów
Nie ma asymptoty poziomej.
9. Wykres funkcji.
Badanie funkcji odbywa się według przejrzystego schematu i wymaga od studenta solidnej znajomości podstawowych pojęć matematycznych, takich jak dziedzina definicji i wartości, ciągłość funkcji, asymptota, punkty ekstremalne, parzystość, okresowość itp. . Student musi umieć swobodnie różniczkować funkcje i rozwiązywać równania, które czasami mogą być bardzo złożone.
Oznacza to, że w tym zadaniu sprawdzana jest znaczna warstwa wiedzy, a każda luka stanie się przeszkodą w uzyskaniu prawidłowego rozwiązania. Szczególnie często trudności pojawiają się przy konstruowaniu wykresów funkcji. Ten błąd jest natychmiast zauważalny dla nauczyciela i może znacznie zaszkodzić Twojej ocenie, nawet jeśli wszystko inne zostało zrobione poprawnie. Tutaj możesz znaleźć Problemy z badaniem funkcji online: przykłady badań, rozwiązania do pobrania, zadania zamówień.
Przeglądaj funkcję i kreśl wykres: przykłady i rozwiązania online
Przygotowaliśmy dla Ciebie wiele gotowych badań funkcyjnych, zarówno płatnych w książce rozwiązań, jak i bezpłatnych w dziale Przykłady badań funkcyjnych. Na podstawie rozwiązanych zadań będziesz mógł szczegółowo zapoznać się z metodologią wykonywania podobnych zadań i przeprowadzić swoje badania przez analogię.
Oferujemy gotowe przykłady kompletnych badań i wykreślania funkcji najpopularniejszych typów: wielomianów, funkcji ułamkowo-wymiernych, niewymiernych, wykładniczych, logarytmicznych, trygonometrycznych. Do każdego rozwiązanego problemu dołączony jest gotowy wykres z wyróżnionymi kluczowymi punktami, asymptotami, maksimami i minimami, a rozwiązanie odbywa się za pomocą algorytmu badania funkcji.
W każdym razie rozwiązane przykłady będą dla Ciebie bardzo pomocne, ponieważ obejmują najpopularniejsze typy funkcji. Oferujemy setki już rozwiązanych problemów, ale jak wiadomo, na świecie istnieje nieskończona liczba funkcji matematycznych, a nauczyciele są świetnymi ekspertami w wymyślaniu coraz trudniejszych zadań dla biednych uczniów. Tak więc, drodzy studenci, wykwalifikowana pomoc wam nie zaszkodzi.
Rozwiązywanie problemów związanych z badaniem funkcji niestandardowych
W takim przypadku nasi partnerzy zaoferują Ci inną usługę - pełne badanie funkcji online zamówić. Zadanie zostanie dla Ciebie wykonane zgodnie ze wszystkimi wymaganiami dotyczącymi algorytmu rozwiązywania takich problemów, co bardzo ucieszy Twojego nauczyciela.
Wykonamy dla Ciebie pełne badanie funkcji: znajdziemy dziedzinę definicji i dziedzinę wartości, zbadamy ciągłość i nieciągłość, ustalimy parzystość, sprawdzimy okresowość funkcji oraz znajdziemy punkty przecięcia z osiami współrzędnych . I oczywiście dalej korzystając z rachunku różniczkowego: znajdziemy asymptoty, obliczymy ekstrema, punkty przegięcia i skonstruujemy sam wykres.
Jeśli problem wymaga pełnego zbadania funkcji f (x) = x 2 4 x 2 - 1 wraz z konstrukcją jej wykresu, wówczas szczegółowo rozważymy tę zasadę.
Aby rozwiązać tego typu problem, należy skorzystać z własności i wykresów podstawowych funkcji elementarnych. Algorytm badawczy obejmuje następujące kroki:
Yandex.RTB R-A-339285-1
Znalezienie dziedziny definicji
Ponieważ badania prowadzone są w dziedzinie definicji funkcji, należy zacząć od tego kroku.
Przykład 1
Podany przykład polega na znalezieniu zer mianownika w celu wykluczenia ich z ODZ.
4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞
W rezultacie możesz uzyskać pierwiastki, logarytmy i tak dalej. Następnie można wyszukać ODZ pierwiastek stopnia parzystego typu g (x) 4 przez nierówność g (x) ≥ 0, dla logarytmu log a g (x) przez nierówność g (x) > 0.
Badanie granic ODZ i znajdowanie asymptot pionowych
Na granicach funkcji występują asymptoty pionowe, gdy jednostronne granice w takich punktach są nieskończone.
Przykład 2
Rozważmy na przykład punkty graniczne równe x = ± 1 2.
Następnie należy przestudiować funkcję, aby znaleźć granicę jednostronną. Wtedy otrzymujemy, że: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 fa (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 fa (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 fa (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞
To pokazuje, że jednostronne granice są nieskończone, co oznacza, że linie proste x = ± 1 2 są pionowymi asymptotami wykresu.
Badanie funkcji i tego, czy jest ona parzysta, czy nieparzysta
Gdy warunek y (- x) = y (x) jest spełniony, funkcję uważa się za parzystą. Sugeruje to, że wykres jest położony symetrycznie względem Oy. Gdy warunek y (- x) = - y (x) jest spełniony, funkcję uważa się za nieparzystą. Oznacza to, że symetria jest zależna od początku współrzędnych. Jeżeli choć jedna nierówność nie jest spełniona, otrzymujemy funkcję o postaci ogólnej.
Równość y (- x) = y (x) wskazuje, że funkcja jest parzysta. Podczas konstruowania należy wziąć pod uwagę, że będzie symetria w stosunku do Oy.
Aby rozwiązać nierówność, stosuje się przedziały zwiększania i zmniejszania z warunkami odpowiednio f " (x) ≥ 0 i f " (x) ≤ 0.
Definicja 1
Punkty stacjonarne- to są punkty, które zamieniają pochodną na zero.
Punkt krytyczny- są to punkty wewnętrzne z dziedziny definicji, w których pochodna funkcji jest równa zeru lub nie istnieje.
Podejmując decyzję, należy wziąć pod uwagę następujące uwagi:
- dla istniejących przedziałów rosnących i malejących nierówności postaci f " (x) > 0 punkty krytyczne nie są uwzględniane w rozwiązaniu;
- punkty, w których funkcja jest zdefiniowana bez skończonej pochodnej, należy ująć w przedziałach rosnących i malejących (przykładowo y = x 3, gdzie punkt x = 0 wyznacza funkcję, pochodna ma w tym miejscu wartość nieskończoności punkt, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 jest zawarte w rosnącym przedziale);
- Aby uniknąć nieporozumień, zaleca się korzystanie z literatury matematycznej zalecanej przez Ministerstwo Edukacji Narodowej.
Ujęcie punktów krytycznych w przedziałach rosnących i malejących, jeżeli spełniają one dziedzinę definicji funkcji.
Definicja 2
Dla określając przedziały wzrostu i spadku funkcji, należy znaleźć:
- pochodna;
- punkt krytyczny;
- podzielić dziedzinę definicji na przedziały za pomocą punktów krytycznych;
- określ znak pochodnej na każdym z przedziałów, gdzie + jest wzrostem, a - jest spadkiem.
Przykład 3
Znajdź pochodną w dziedzinie definicji f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .
Rozwiązanie
Aby rozwiązać, potrzebujesz:
- znajdź punkty stacjonarne, w tym przykładzie x = 0;
- znajdź zera mianownika, przykład przyjmuje wartość zero przy x = ± 1 2.
Umieszczamy punkty na osi liczbowej, aby wyznaczyć pochodną w każdym przedziale. Aby to zrobić, wystarczy pobrać dowolny punkt z przedziału i wykonać obliczenia. Jeśli wynik jest dodatni, na wykresie przedstawiamy +, co oznacza, że funkcja rośnie, a - oznacza, że maleje.
Na przykład f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, co oznacza, że pierwszy przedział po lewej stronie ma znak +. Rozważmy na osi liczbowej.
Odpowiedź:
- funkcja rośnie na przedziale - ∞; - 1 2 i (- 1 2 ; 0 ] ;
- następuje zmniejszenie przedziału [ 0 ; 1 2) i 1 2 ; + ∞ .
Na schemacie za pomocą + i - przedstawiono dodatniość i ujemność funkcji, a strzałki wskazują spadek i wzrost.
Ekstremalne punkty funkcji to punkty, w których funkcja jest zdefiniowana i przez które pochodna zmienia znak.
Przykład 4
Jeśli rozważymy przykład, w którym x = 0, wówczas wartość funkcji w nim jest równa f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. Gdy znak pochodnej zmienia się z + na - i przechodzi przez punkt x = 0, wówczas za punkt maksymalny uważa się punkt o współrzędnych (0; 0). Kiedy znak zmienia się z - na +, uzyskujemy minimum punktu.
Wypukłość i wklęsłość określa się rozwiązując nierówności postaci f „” (x) ≥ 0 i f „” (x) ≤ 0. Rzadziej używana jest nazwa wypukłość w dół zamiast wklęsłości i wypukłość w górę zamiast wypukłości.
Definicja 3
Dla wyznaczanie przedziałów wklęsłości i wypukłości niezbędny:
- znajdź drugą pochodną;
- znajdź zera drugiej funkcji pochodnej;
- podzielić obszar definicji na przedziały z pojawiającymi się punktami;
- określić znak przedziału.
Przykład 5
Znajdź drugą pochodną z dziedziny definicji.
Rozwiązanie
fa "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3
Znajdujemy zera licznika i mianownika, gdzie w naszym przykładzie mamy, że zera mianownika x = ± 1 2
Teraz należy nanieść punkty na oś liczbową i określić znak drugiej pochodnej każdego przedziału. Rozumiemy to
Odpowiedź:
- funkcja jest wypukła z przedziału - 1 2 ; 12;
- funkcja jest wklęsła od przedziałów - ∞ ; - 1 2 i 1 2; + ∞ .
Definicja 4
Punkt przegięcia– jest to punkt postaci x 0 ; fa (x 0) . Jeżeli ma styczną do wykresu funkcji, to po przejściu przez x 0 funkcja zmienia znak na przeciwny.
Innymi słowy jest to punkt, przez który przechodzi druga pochodna i zmienia znak, a w samych punktach jest równa zeru lub nie istnieje. Wszystkie punkty uważa się za dziedzinę funkcji.
Na przykładzie widać było, że nie ma punktów przegięcia, gdyż druga pochodna zmienia znak przechodząc przez punkty x = ± 1 2. One z kolei nie są objęte zakresem definicji.
Znajdowanie asymptot poziomych i ukośnych
Definiując funkcję w nieskończoności, należy szukać asymptot poziomych i ukośnych.
Definicja 5
Asymptoty ukośne są przedstawiane za pomocą linii prostych określonych równaniem y = k x + b, gdzie k = lim x → ∞ f (x) x i b = lim x → ∞ f (x) - k x.
Dla k = 0 i b różnych od nieskończoności stwierdzamy, że asymptota ukośna staje się poziomy.
Innymi słowy, za asymptoty uważa się linie, do których wykres funkcji zbliża się w nieskończoności. Ułatwia to szybkie zbudowanie wykresu funkcji.
Jeżeli nie ma asymptot, ale funkcja jest zdefiniowana w obu nieskończonościach, należy obliczyć granicę funkcji w tych nieskończonościach, aby zrozumieć, jak będzie się zachowywał wykres funkcji.
Przykład 6
Rozważmy to jako przykład
k = lim x → ∞ fa (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4
jest asymptotą poziomą. Po sprawdzeniu funkcji możesz przystąpić do jej konstruowania.
Obliczanie wartości funkcji w punktach pośrednich
Aby wykres był dokładniejszy, zaleca się znalezienie kilku wartości funkcji w punktach pośrednich.
Przykład 7
Z rozważanego przez nas przykładu konieczne jest znalezienie wartości funkcji w punktach x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4. Ponieważ funkcja jest parzysta, otrzymujemy, że wartości pokrywają się z wartościami w tych punktach, to znaczy otrzymujemy x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.
Napiszmy i rozwiążmy:
fa (- 2) = fa (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 fa (- 1) - fa (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 fa - 3 4 = fa 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 fa - 1 4 = fa 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08
Aby wyznaczyć maksima i minima funkcji, punkty przegięcia i punkty pośrednie, konieczne jest skonstruowanie asymptot. Dla wygodnego oznaczenia rejestrowane są przedziały zwiększania, zmniejszania, wypukłości i wklęsłości. Spójrzmy na zdjęcie poniżej.
Przez zaznaczone punkty należy poprowadzić linie wykresu, co umożliwi zbliżenie się do asymptot podążając za strzałkami.
Na tym kończy się pełna eksploracja funkcji. Zdarzają się przypadki konstruowania pewnych funkcji elementarnych, dla których stosuje się transformacje geometryczne.
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter
Przeprowadź pełne badanie i wykreśl funkcję
y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.
1) Zakres funkcji. Ponieważ funkcja jest ułamkiem zwykłym, musimy znaleźć zera w mianowniku.
1−x=0,⇒x=1,1−x=0,⇒x=1.
Z dziedziny definicji funkcji wykluczamy jedyny punkt x=1x=1 i otrzymujemy:
D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).
2) Przeanalizujmy zachowanie funkcji w pobliżu punktu nieciągłości. Znajdźmy jednostronne granice:
Ponieważ granice są równe nieskończoności, punkt x=1x=1 jest nieciągłością drugiego rodzaju, prosta x=1x=1 jest asymptotą pionową.
3) Wyznaczmy punkty przecięcia wykresu funkcji z osiami współrzędnych.
Znajdźmy punkty przecięcia z osią rzędnych OyOy, dla których przyrównujemy x=0x=0:
Zatem punkt przecięcia z osią OyOy ma współrzędne (0;8)(0;8).
Znajdźmy punkty przecięcia z osią odciętych OxOx, dla której ustawiamy y=0y=0:
Równanie nie ma pierwiastków, więc nie ma punktów przecięcia z osią OxOx.
Zauważ, że x2+8>0x2+8>0 dla dowolnego xx. Zatem dla x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) funkcja y>0y>0 (przyjmuje wartości dodatnie, wykres znajduje się nad osią x), dla x∈(1;+∞ )x∈(1; +∞) funkcja y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).
4) Funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta, ponieważ:
5) Zbadajmy funkcję pod kątem okresowości. Funkcja nie jest okresowa, ponieważ jest to ułamkowa funkcja wymierna.
6) Zbadajmy funkcję ekstremów i monotoniczności. Aby to zrobić, znajdujemy pierwszą pochodną funkcji:
Przyrównajmy pierwszą pochodną do zera i znajdźmy punkty stacjonarne (w których y′=0y′=0):
Mamy trzy punkty krytyczne: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Podzielmy całą dziedzinę definicji funkcji na przedziały z tymi punktami i wyznaczmy znaki pochodnej w każdym przedziale:
Dla x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) pochodna y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.
Dla x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) pochodnej y′>0y′>0 funkcja rośnie w tych przedziałach.
W tym przypadku x=−2x=−2 jest punktem minimum lokalnego (funkcja maleje, a następnie rośnie), x=4x=4 jest punktem maksimum lokalnego (funkcja rośnie, a następnie maleje).
Znajdźmy wartości funkcji w tych punktach: 
Zatem punkt minimalny to (−2;4)(−2;4), punkt maksymalny to (4;−8)(4;−8).
7) Zbadajmy funkcję pod kątem załamań i wypukłości. Znajdźmy drugą pochodną funkcji:
Przyrównajmy drugą pochodną do zera:
Powstałe równanie nie ma pierwiastków, więc nie ma punktów przegięcia. Ponadto, gdy x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 jest spełnione, czyli funkcja jest wklęsła, gdy x∈(1;+∞)x∈( 1;+ ∞) jest spełnione przez y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.
8) Zbadajmy zachowanie funkcji w nieskończoności, czyli w .
Ponieważ granice są nieskończone, nie ma asymptot poziomych.
Spróbujmy wyznaczyć asymptoty ukośne postaci y=kx+by=kx+b. Wartości k,bk,b obliczamy korzystając ze znanych wzorów:
Ustaliliśmy, że funkcja ma jedną asymptotę ukośną y=−x−1y=−x−1.
9) Dodatkowe punkty. Obliczmy wartość funkcji w innych punktach, aby dokładniej skonstruować wykres.
y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.
10) Na podstawie uzyskanych danych skonstruujemy wykres, uzupełnimy go o asymptoty x=1x=1 (kolor niebieski), y=−x−1y=−x−1 (kolor zielony) i zaznaczymy charakterystyczne punkty (fioletowe przecięcie z rzędną oś, ekstremum pomarańczowe, dodatkowe punkty czarne):
Zadanie 4: Problemy geometryczne, ekonomiczne (nie mam pojęcia jakie, oto przybliżony wybór problemów z rozwiązaniami i wzorami) 
Przykład 3.23. A
Rozwiązanie. X I y y
y = a - 2×a/4 =a/2. Ponieważ x = a/4 jest jedynym punktem krytycznym, sprawdźmy, czy znak pochodnej zmienia się przy przejściu przez ten punkt. Dla xa/4 S " > 0 i dla x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.
Przykład 3.24.
Rozwiązanie.
R = 2, H = 16/4 = 4.
Przykład 3.22. Znajdź ekstrema funkcji f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.
Rozwiązanie. Ponieważ f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x -2)(x - 3), to punkty krytyczne funkcji x 1 = 2 i x 2 = 3. Ekstrema mogą być tylko w te punkty.Tak więc jak przy przejściu przez punkt x 1 = 2 pochodna zmienia swój znak z plusa na minus, to w tym punkcie funkcja ma maksimum.Przechodząc przez punkt x 2 = 3 pochodna zmienia swój znak z minus do plus, dlatego w punkcie x 2 = 3 funkcja ma minimum.Po obliczeniu wartości funkcji w punktach
x 1 = 2 i x 2 = 3, znajdujemy ekstrema funkcji: maksimum f(2) = 14 i minimum f(3) = 13.
Przykład 3.23. Konieczne jest zbudowanie prostokątnego obszaru w pobliżu kamiennego muru, tak aby był on z trzech stron ogrodzony siatką drucianą, a czwarty bok przylegał do ściany. Do tego istnieje A metry liniowe siatki. W jakim formacie witryna będzie miała największą powierzchnię?
Rozwiązanie. Oznaczmy boki platformy przez X I y. Obszar witryny to S = xy. Pozwalać y- jest to długość boku przylegającego do ściany. Następnie, pod warunkiem, równość 2x + y = a musi być spełniona. Zatem y = a - 2x i S = x(a - 2x), gdzie
0 ≤ x ≤ a/2 (długość i szerokość podkładki nie może być ujemna). S " = a - 4x, a - 4x = 0 przy x = a/4, skąd
y = a - 2×a/4 =a/2. Ponieważ x = a/4 jest jedynym punktem krytycznym, sprawdźmy, czy znak pochodnej zmienia się przy przejściu przez ten punkt. Dla xa/4 S " > 0 i dla x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.
Przykład 3.24. Wymagane jest wykonanie zbiornika cylindrycznego zamkniętego o pojemności V=16p ≈ 50 m 3 . Jakie powinien być wymiary zbiornika (promień R i wysokość H), aby do jego wykonania zużyto jak najmniej materiału?
Rozwiązanie. Całkowita powierzchnia cylindra wynosi S = 2pR(R+H). Znamy objętość walca V = pR 2 N Þ N = V/pR 2 =16 p/ pR 2 = 16/ R 2 . Oznacza to S(R) = 2p(R2 +16/R). Znajdujemy pochodną tej funkcji:
S " (R) = 2p(2R- 16/R 2) = 4p (R- 8/R 2). S " (R) = 0 dla R 3 = 8, zatem
R = 2, H = 16/4 = 4.
Powiązana informacja.