Naprzemienne rzędy. Znak Leibniza.
Zbieżność bezwzględna i warunkowa
Aby zrozumieć przykłady z tej lekcji, musisz dobrze rozumieć szeregi liczb dodatnich: rozumieć, czym jest szereg, znać znak niezbędny do zbieżności szeregu, umieć stosować testy porównawcze, test d'Alemberta , test Cauchy’ego. Temat można poruszyć niemal od zera, systematycznie studiując artykuły Rzędy dla manekinów I Objaw D'Alemberta. Objawy Cauchy’ego. Logicznie rzecz biorąc, ta lekcja jest trzecią z rzędu i pozwoli ci nie tylko zrozumieć naprzemienne rzędy, ale także utrwalić już przerobiony materiał! Nowości będzie niewiele, a opanowanie naprzemiennych rzędów nie będzie trudne. Wszystko jest proste i dostępne.
Co to jest szereg przemienny? Wynika to jasno lub prawie jasno z samej nazwy. Prosty przykład.
Przyjrzyjmy się serii i opiszmy ją bardziej szczegółowo:
A teraz będzie zabójczy komentarz. Elementy szeregu naprzemiennego mają naprzemienne znaki: plus, minus, plus, minus, plus, minus itd. do nieskończoności.
Wyrównanie zapewnia mnożnik: jeśli jest parzysty, to będzie znak plus, jeśli nieparzysty, będzie znak minus (jak pamiętasz z lekcji o ciągach liczbowych, to coś nazywa się „migającym światłem”). Zatem szereg naprzemienny jest „identyfikowany” przez minus jeden do stopnia „en”.
W praktycznych przykładach przemienność wyrazów szeregu może zapewnić nie tylko mnożnik, ale także jego rodzeństwo: , , , …. Na przykład:
Pułapką są „oszustwa”: , , itp. - takie mnożniki nie zapewniaj zmiany znaku. Jest całkowicie jasne, że dla dowolnego naturalnego: , , . Rzędy z oszustwami wpadają nie tylko szczególnie uzdolnionym uczniom, ale od czasu do czasu pojawiają się „sami” podczas rozwiązywania seria funkcjonalna.
Jak zbadać szereg przemienny pod kątem zbieżności? Skorzystaj z testu Leibniza. Nie chcę nic mówić o niemieckim gigancie myśli Gottfriedie Wilhelmie Leibnizie, ponieważ oprócz swoich dzieł matematycznych napisał kilka tomów o filozofii. Niebezpieczne dla mózgu.
Próba Leibniza: Jeśli członkowie serii naprzemiennej monotonnie zmniejszenie modułu, to szereg jest zbieżny.
Lub w dwóch punktach:
1) Szereg jest naprzemienny.
2) Wyrazy szeregu zmniejszają się w module: , i maleją monotonicznie.
Jeżeli te warunki są spełnione, to szereg jest zbieżny.
Krótka informacja o module jest podane w instrukcji Gorące formuły na szkolny kurs matematyki, ale dla wygody jeszcze raz:
Co oznacza „modulo”? Moduł, jak pamiętamy ze szkoły, „zjada” znak minus. Wróćmy do rzędu 
. Mentalnie usuń wszystkie znaki za pomocą gumki i spójrzmy na liczby. Zobaczymy to każdy następny członek serii mniej niż poprzedni. Zatem poniższe wyrażenia oznaczają to samo:
– Członkowie serii niezależnie od znaku maleją.
– Liczba członków serii maleje modulo.
– Liczba członków serii maleje Przez całkowita wartość.
– Moduł wspólny wyraz szeregu dąży do zera:
// Koniec pomocy
Porozmawiajmy teraz trochę o monotonii. Monotonia to nudna konsekwencja.
Członkowie serii ściśle monotonne spadek modułu, jeśli KAŻDY NASTĘPNY element szeregu modulo MNIEJ niż poprzednio: . Dla rzędu Spełniona jest ścisła monotoniczność zmniejszania, co można szczegółowo opisać: 
Albo możemy powiedzieć krótko: każdy kolejny członek serii modulo mniej niż poprzednio: .
Członkowie serii nie do końca monotonne zmniejszenie modulo, jeśli KAŻDY NASTĘPNY element szeregu modulo NIE jest WIĘKSZY od poprzedniego: . Rozważmy szereg z silnią: 
Występuje tu luźna monotoniczność, ponieważ pierwsze dwa wyrazy szeregu mają identyczny moduł. Oznacza to, że każdy kolejny członek serii modulo nie więcej niż poprzedni: .
Zgodnie z warunkami twierdzenia Leibniza musi być spełniona malejąca monotoniczność (nie ma znaczenia, czy jest ona ścisła czy nieścisła). Ponadto członkowie serii mogą nawet wzrost modułu przez pewien czas, ale „ogon” szeregu musi koniecznie być monotonicznie malejący.
Nie ma się co bać tego, co nazbierałem, praktyczne przykłady postawią wszystko na swoim miejscu:
Przykład 1
Wspólnym wyrazem szeregu jest czynnik , co nasuwa naturalny pomysł sprawdzenia, czy spełnione są warunki testu Leibniza:
1) Sprawdzanie rzędu pod kątem naprzemienności. Zwykle w tym miejscu szczegółowo opisuje się serię decyzyjną 
i ogłosić werdykt „Seria jest naprzemienna”.
2) Czy wyrazy szeregu maleją w wartości bezwzględnej? Tutaj musisz rozwiązać granicę, która najczęściej jest bardzo prosta.
– wyrazy szeregu nie zmniejszają modułu, co automatycznie implikuje jego rozbieżność – z tego powodu, że granica 
nie istnieje *, czyli nie jest spełnione niezbędne kryterium zbieżności szeregu.
Przykład 9
Zbadaj szereg pod kątem zbieżności
Przykład 10
Zbadaj szereg pod kątem zbieżności 
Po wysokiej jakości badaniu numerycznych szeregów dodatnich i przemiennych, z czystym sumieniem możesz przejść do szeregów funkcjonalnych, które są nie mniej monotonne i monotonnie interesujące.
Jeśli dla przemiennego szeregu liczbowego
Spełnione są dwa warunki:
1. Wyrazy szeregu maleją w wartości bezwzględnej ty 1>ty 2>…>ty n>…,
2. 
wówczas szereg (19) jest zbieżny, a jego suma jest dodatnia i nie przekracza pierwszego wyrazu szeregu.
Konsekwencja. Pozostała część szeregu Leibniza ma znak pierwszego wyrazu i jest od niego mniejsza pod względem wartości bezwzględnej, tj.
Jeśli w szeregu naprzemiennym wyrazy szeregu monotonicznie maleją w wartościach bezwzględnych i imU n =0 (nà∞), to szereg jest zbieżny.
Dane: U 1 >U 2 >U 3 >... ; imU n =0 (nà∞); U 1 -U 2 +U 3 -U 4 +... , U i >0
Dowód: S 2 n ¾ parzysta suma częściowa:
S 2n =+U 1 -U 2 +U 3 -U 4 +...-U 2n ;
S 2n =(U 1 -U 2)+(U 3 -U 4)+...+(U 2n-1 -U 2n);
S 2n >0 ¾ wzrasta.
S 2n =U 1 -(U 2 -U 3)-(U 4 -U 5)-...-U 2n; S 2n 0; imS 2n =S (nà∞)
imS 2n+1 (nà∞) = im(S 2n +U 2n+1)=S;
Sumy parzyste i nieparzyste z tą samą granicą => szereg jest zbieżny.
1) Zauważ, że S>0, tj. znak sumy pokrywa się ze znakiem pierwszego wyrazu.
38.Zbieżność bezwzględna i warunkowa.
O. Zobacz serię 
(1)
zwany znakiem przemiany.
Próba Leibniza(narysuj symbol rzędu).
Aby szereg (1) сх-я wystarczy, że wartości bezwzględne maleją i →0 wraz ze wzrostem n, tj.
O. Jeśli seria składa się z wartości bezwzględnych ilości 
cx-xia, to mówimy, że szereg jest absolutnie zbieżny.
Twierdzenie: Jeśli szereg jest absolutny cx-xia, to szereg pierwotny ma postać xx-xia.
Dokument: 1 znak porównawczy
Rozważ rząd 
- szereg bezwzględnych wartości ilości
Wartość sx została udowodniona w oparciu o drugie kryterium porównania, zgodnie z którym seria ref sx jest bezwzględna.
A. Jeśli seria, obraz z wartości bezwzględnych jej wielkości, to exp-xia, a pierwotna seria to cx-xia, wówczas nazywa się ją warunkowo xx-xia.
39.Pojęcie szeregu potęgowego. Obszar zbieżności szeregu potęgowego. Twierdzenie Abela.
Szereg postaci , gdzie są liczby zwane współczynnikami szeregu, X– zmienna, tzw następny środek uspokajający. Przedział (-R;R) nazywany jest przedziałem szeregu kroków. Należy zauważyć, że dla x €(-R;R) szereg jest zbieżny bezwzględnie, a w punktach x= ± R szereg potęgowy może być zbieżny lub rozbieżny. Aby znaleźć promień zbieżności, można skorzystać z testu D'Alemberta lub Cauchy'ego. Twierdzenie. Jeśli jest | a n +1 / a n |=L, wtedy R=1/L= | na n / na n +1 |. (Dok. Rozważmy szereg a n x n . Zastosuj do niego test d’Alemberta. | a n +1 x n +1 / a n x n |= | a n +1 / a n |∙| x | =L∙| x |. Wynika z tego, że jeśli L ∙|x|<1, т,е. если | x |<1/L , то ряд сходится абсолютно. Если L∙| x |>1, to szereg jest rozbieżny. Twierdzenie zostało udowodnione.) Zauważ, że jeśli L=0, dla dowolnego | x | wtedy R=∞. Jeśli L=∞, dla dowolnego x≠0, to R=0. Jeżeli R=0, to szereg zbiega się w jednym punkcie x 0 =0; jeśli R=∞, to szereg zbiega się na całej osi liczbowej. Zatem przedział zbieżności szeregu an x n wynosi (-R;R). Aby znaleźć obszar zbieżności szeregu, należy osobno zbadać zbieżność w punktach x=R i x=-R; w zależności od wyników tych badań regionem rolniczym serii może być jeden z przedziałów: [-R;R],(-R;R),[-R;R],(-R;R]. Twierdzenie Abela: 1) Jeżeli szereg potęgowy a n x n jest zbieżny w x=x 0, to jest zbieżny bezwzględnie dla wszystkich x spełniających nierówność |x|<|x 0 |. 2) Если же ряд a n x n расходится при x=x 1 , то он расходится при всех x, удовлетворяющих условию |x|>|x 1 |. (Dok. 1) Ponieważ szereg liczbowy a n x 0 n jest zbieżny, to a n x 0 n =0. Oznacza to, że ciąg liczb (a n x 0 n ) jest ograniczony, następnie zapisujemy szereg potęgowy w postaci a 0 + a 1 x 0 (x/x 0) + a 2 x 0 2 (x 2 /x 0 2) +…+… = za n x 0 n (x/x 0) 2 . Rozważmy szereg wartości bezwzględnych. |a 0 | + |a 1 x 0 (x/x 0) | + |a 2 x 0 2 (x 2 /x 0 2) | +…+…<= M + M| x/x 0 | + M| x/x 0 | 2 +…= M(1+q+ q 2 +…). Это геометрическая прогрессия с q=(x/x 0)<1-сходится. Из признака сравнения следует абсолютная сходимость степенного ряда. 2)От противного. Пусть степенной ряд сходится при некотором x * , | x * |>x 1. Ale wtedy, zgodnie z pierwszą częścią twierdzenia, szereg potęgowy jest zbieżny dla wszystkich | x |< x * . В том числе должен сходится и при x= x 0 , так как | x |< | x * | . Но это противоречит предположению теоремы. Теорема доказана.)
Definicja. Szereg znaków naprzemiennych nazywa się naprzemiennymi, jeśli sąsiednie wyrazy mają różne znaki.
Przykładami szeregów naprzemiennych są postępy geometryczne o ujemnych mianownikach.
Według Leibniza dla szeregów znaków przemiennych istnieje dość ogólny, czuły i praktyczny test zbieżności.
Twierdzenie (test zbieżności Leibniza). Jeśli wartości bezwzględne wyrazów szeregu naprzemiennego
tworzą monotonicznie nierosnący ciąg zmierzający do zera, tj. jeśli
wówczas szereg (4.32) jest zbieżny.
Dowód. Mamy coś dla każdego
lub łączenie członków w grupy (suma zawiera tylko skończoną liczbę wyrazów, dlatego też podstawowe prawa działania obowiązują tu bez żadnych ograniczeń),
W oparciu o nierosnącą sekwencję wartości bezwzględnych wyrazów serii wszystkie nawiasy zawierają liczby nieujemne. Stąd,
Zatem sumy cząstkowe szeregu (4.32) o liczbach parzystych stanowią ciąg ograniczony.
Z drugiej strony z powodu tej samej monotonii
a zatem ciąg sum częściowych o liczbach parzystych nie jest malejący. Zatem ciąg ten ma granicę
Obie granice po prawej stronie istnieją, a druga z nich jest równa zeru pod warunkiem. W związku z tym istnieje ograniczenie po lewej stronie i dla niego
Razem z (4.35) daje nam to
czyli to, co było wymagane.
Konsekwencja. W przypadku szeregu przemiennego spełniającego test zbieżności Leibniza resztę można oszacować z góry w wartości bezwzględnej:
W rzeczywistości resztę można uznać za sumę szeregu
co, jak wynika ze sprawdzonego twierdzenia, nie przekracza wartości bezwzględnej swojego pierwszego wyrazu, którym w tym przypadku jest
Przykład. Zastosowane do serii
Daje znak Leibniza
co oznacza, że szereg jest zbieżny. (Zbieżność ta została ustalona na podstawie bezpośrednich obliczeń w § 2.)
Widzimy, że test zbieżności Leibniza ma dość szerokie zastosowanie, jest bardzo praktyczny i idealnie czuły. Nie stoi to w sprzeczności z tym, co zostało powiedziane na końcu § 5 rozdziału 3: warunkowa zbieżność szeregu przemiennego jest, że tak powiem, „przeciętnie”, faktem szerszym niż zbieżność szeregu o wyrazach dodatnich; dlatego okazuje się, że w pewnym sensie łatwiej jest go rozpoznać.
Zauważmy wreszcie, że kryterium Leibniza jest nie tylko wystarczającym, ale i koniecznym kryterium zbieżności dla szeregów naprzemiennych znaków o wyrazach monotonicznie malejących: jeżeli wówczas, w oparciu o niezbędne kryterium zbieżności z § 6 rozdziału 2, szereg
nie może się zbiegać.
Twierdzenie jest sformułowane w następujący sposób. Seria naprzemienna
jest zbieżny, jeśli spełnione są oba warunki:
Konsekwencja
Z twierdzenia Leibniza wynika wniosek, który pozwala oszacować błąd w obliczeniu niepełnej sumy szeregu:
Reszta zbieżnego szeregu przemiennego R N = S − S N będzie miała mniejszą wartość bezwzględną niż pierwszy odrzucony termin:
Źródła
- Bronshtein I. N., Semendyaev K. A. Podręcznik matematyki . - Wyd. 7., stereotypowe. - M.: Państwowe Wydawnictwo Literatury Technicznej i Teoretycznej, 1967. - s. 296.
Fundacja Wikimedia. 2010.
Zobacz, co oznacza „znak Leibniza” w innych słownikach:
Test Dirichleta jest twierdzeniem wskazującym warunki dostateczne zbieżności całek niewłaściwych i sumowalności szeregów nieskończonych. Nazwany na cześć niemieckiego matematyka Lejeune Dirichleta. Spis treści... Wikipedia
Test Diniego jest testem na punktową zbieżność szeregu Fouriera. Pomimo tego, że szereg Fouriera funkcji od jest do niego zbieżny w sensie normy, wcale nie ma obowiązku zbiegania się do niego punktowo (nawet w przypadku funkcji ciągłej). Jednak z niektórymi... ... Wikipedią
Znak porównania to stwierdzenie o jednoczesności rozbieżności lub zbieżności dwóch szeregów, oparte na porównaniu wyrazów tych szeregów. Spis treści 1 Formuła 2 Dowód ... Wikipedia
Test na zbieżność szeregu liczbowego, zaproponowany przez Łobaczewskiego w latach 1834–1836. Niech będzie malejący ciąg liczb dodatnich, wówczas szereg będzie zbieżny lub rozbieżny jednocześnie z szeregiem... Wikipedia
Znak zbieżności szeregu Fouriera: jeśli funkcja okresowa ma ograniczoną zmienność na odcinku, to jej szereg Fouriera zbiega się w każdym punkcie do liczby; jeśli funkcja jest ciągła w segmencie... Wikipedia
- (test Raabe Duhamela) test na zbieżność szeregów liczb dodatnich, opracowany przez Josepha Ludwiga Raabe i niezależnie przez Jeana Marie Duhamela. Spis treści 1 Formuła 2 Formuła ... Wikipedia
Test na zbieżność szeregów liczbowych z wyrazami dodatnimi, opracowany przez Josepha Bertranda. Spis treści 1 Formuła 2 Formuła w ekstremalnej formie… Wikipedia
Ogólne kryterium zbieżności szeregów liczbowych z wyrazami dodatnimi, ustalone w 1812 r. przez Carla Gaussa przy badaniu zbieżności szeregu hipergeometrycznego. Sformułowanie Niech zostanie podany szereg i ograniczony ciąg liczbowy. Zatem jeśli... ...Wikipedia
Test na zbieżność szeregów liczbowych z wyrazami dodatnimi, ustalony przez Wasilija Jermakowa. Jego specyfika polega na tym, że przewyższa wszystkie inne znaki swoją wrażliwością. Praca ta została opublikowana w artykułach: „Teoria ogólna... ... Wikipedia
Test na zbieżność szeregów liczbowych z wyrazami dodatnimi, opracowany przez Pierre'a Jameta. Spis treści 1 Formuła 2 Formuła w ekstremalnej formie… Wikipedia