Dystans

od punktu do linii

Odległość między liniami równoległymi

Geometria, klasa 7

Do podręcznika L.S. Atanasyana

nauczyciel matematyki najwyższej kategorii

Miejska placówka oświatowa „Podstawowa szkoła średnia Upshinskaya”

Rejon Orsza Republiki Mari El

Długość prostopadła narysowane od punktu do linii, zwany dystans od tego momentu do prosty.

JAKIŚ ⏊ A

M є a, M różni się od N

Prostopadły , narysowany od punktu do linii, mniej każdy skłonny , poprowadzony z tego samego punktu do tej linii.

JESTEM – skłonny, poprowadzony z punktu A do linii a

JAKIŚ JESTEM

JAKIŚ - skłonny

JAKIŚ JAKIŚ

JAKIŚ AK

AK - skłonny

Odległość od punktu do linii

M

Odległość punktu M od prostej c wynosi...

N

Odległość punktu N od prostej c wynosi...

Z

Odległość punktu K od prostej c wynosi...

K

Odległość punktu F od prostej c wynosi...

F

Odległość od punktu do linii

JAKIŚ ⏊ A

JAKIŚ= 5,2 cm

VC ⏊ A

VC= 2,8 cm

Twierdzenie.

Wszystkie punkty każdej z dwóch równoległych linii są w równej odległości od drugiej linii

Dawać ǁ B

A є a, B є a,

Udowodnić: odległości punktów A i B od prostej a są równe.

JAKIŚ ⏊ b,B.K ⏊ B,

Udowodnij: AH = BK

Δ ANKA = ΔVKA(Dlaczego?)

Z równości trójkątów wynika AN = BK

Odległość od dowolnego punktu jednej z równoległych linii do drugiej linii nazywa się odległością między tymi liniami.

Twierdzenie odwrotne.

Wszystkie punkty płaszczyzny znajdujące się po jednej stronie danej prostej i w jednakowej odległości od niej leżą na prostej równoległej do danej.

JAKIŚ ⏊ b,B.K ⏊ B,

AH = BK

Udowodnij: AB ǁ B

Δ ANKA = ΔKVA(Dlaczego?)

Z równości trójkątów wynika … , ale są to utworzone wewnętrzne kąty poprzeczne … , oznacza AB ǁ NK

Jaka jest odległość między liniami b i c, jeśli jest to odległość między liniami A oraz b jest równe 4 i znajduje się pomiędzy liniami A ic równa się 5?

A ǁ B ǁ C

Jaka jest odległość między liniami b i a, jeśli odległość między liniami b i c wynosi 7, oraz między liniami A ic równa się 2?

Jaka jest odległość między liniami A oraz c, jeżeli odległość pomiędzy liniami b i c wynosi 10, oraz pomiędzy liniami B I A równa się 6?

Jaki jest zbiór wszystkich punktów na płaszczyźnie, które są w równej odległości od dwóch danych równoległych linii?

A ǁ B

Odpowiedź: Linia równoległa do tych linii i znajdująca się w równych odległościach od nich.

Jaki jest zbiór wszystkich punktów na płaszczyźnie znajdujących się w danej odległości od danej prostej?

Odpowiedź: Dwie linie równoległe do danej linii i znajdujące się w określonej odległości po przeciwnych jej stronach.

Och, och, och, och… no cóż, jest ciężko, jakby sam sobie czytał zdanie =) Jednak relaks przyda się później, tym bardziej, że dzisiaj kupiłem odpowiednie akcesoria. Przejdźmy zatem do pierwszej części, mam nadzieję, że do końca artykułu utrzymam pogodny nastrój.

Względne położenie dwóch linii prostych

Dzieje się tak, gdy publiczność śpiewa razem z chórem. Dwie linie proste mogą:

1) mecz;

2) być równoległe: ;

3) lub przecinają się w jednym punkcie: .

Pomoc dla manekinów : Proszę pamiętać o matematycznym znaku przecięcia, będzie on pojawiał się bardzo często. Oznaczenie oznacza, że ​​linia przecina się z linią w punkcie .

Jak określić względne położenie dwóch linii?

Zacznijmy od pierwszego przypadku:

Dwie linie pokrywają się wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające im współczynniki są proporcjonalne, czyli istnieje liczba „lambda”, która spełnia równość

Rozważmy linie proste i utwórz trzy równania z odpowiednich współczynników: . Z każdego równania wynika, że ​​zatem te linie się pokrywają.

Rzeczywiście, jeśli wszystkie współczynniki równania pomnóż przez –1 (zmień znak) i wszystkie współczynniki równania po przecięciu przez 2 otrzymasz to samo równanie: .

Drugi przypadek, gdy linie są równoległe:

Dwie linie są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki zmiennych są proporcjonalne: , Ale.

Jako przykład rozważmy dwie linie proste. Sprawdzamy proporcjonalność odpowiednich współczynników dla zmiennych:

Jednakże jest to całkiem oczywiste.

I trzeci przypadek, gdy linie się przecinają:

Dwie linie przecinają się wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki zmiennych NIE są proporcjonalne, czyli NIE ma takiej wartości „lambda”, aby równości były spełnione

Zatem dla prostych stworzymy układ:

Z pierwszego równania wynika, że ​​, a z drugiego równania: , co oznacza system jest niespójny(brak rozwiązań). Zatem współczynniki zmiennych nie są proporcjonalne.

Wniosek: linie się przecinają

W przypadku problemów praktycznych można skorzystać z omówionego właśnie schematu rozwiązania. Nawiasem mówiąc, bardzo przypomina algorytm sprawdzania wektorów pod kątem współliniowości, który oglądaliśmy na zajęciach Pojęcie liniowej (nie)zależności wektorów. Baza wektorów. Ale jest bardziej cywilizowane opakowanie:

Przykład 1

Znajdź względne położenie linii:

Rozwiązanie na podstawie badania wektorów kierunku prostych:

a) Z równań znajdujemy wektory kierunkowe linii: .

, co oznacza, że ​​wektory nie są współliniowe, a linie przecinają się.

Na wszelki wypadek postawię na skrzyżowaniu kamień z napisami:

Reszta przeskakuje kamień i podąża dalej, prosto do Nieśmiertelnego Kaszczeja =)

b) Znajdź wektory kierunkowe linii:

Linie mają ten sam wektor kierunkowy, co oznacza, że ​​są równoległe lub pokrywają się. Nie ma tu potrzeby liczenia wyznacznika.

Jest oczywiste, że współczynniki niewiadomych są proporcjonalne, a .

Sprawdźmy, czy równość jest prawdziwa:

Zatem,

c) Znajdź wektory kierunkowe linii:

Obliczmy wyznacznik złożony ze współrzędnych tych wektorów:
dlatego wektory kierunkowe są współliniowe. Linie są równoległe lub pokrywają się.

Współczynnik proporcjonalności „lambda” można łatwo zobaczyć bezpośrednio ze stosunku współliniowych wektorów kierunkowych. Można to jednak również znaleźć na podstawie współczynników samych równań: .

Sprawdźmy teraz, czy równość jest prawdziwa. Obydwa wolne terminy mają wartość zerową, więc:

Wynikowa wartość spełnia to równanie (na ogół spełnia je dowolna liczba).

W ten sposób linie się pokrywają.

Odpowiedź:

Już wkrótce nauczysz się (a nawet już nauczyłeś się), jak rozwiązać problem omawiany ustnie dosłownie w ciągu kilku sekund. W związku z tym nie widzę sensu proponowania czegokolwiek w zamian za samodzielne rozwiązanie, lepiej włożyć w geometryczny fundament kolejną ważną cegłę:

Jak skonstruować prostą równoległą do danej?

Za nieznajomość tego najprostszego zadania Słowik Zbójca surowo karze.

Przykład 2

Linię prostą wyznacza równanie. Napisz równanie prostej równoległej przechodzącej przez ten punkt.

Rozwiązanie: Oznaczmy nieznaną linię literą . Co mówi o niej ten stan? Prosta przechodzi przez ten punkt. A jeśli linie są równoległe, to oczywiste jest, że wektor kierunkowy linii prostej „tse” nadaje się również do zbudowania linii prostej „de”.

Wyciągamy wektor kierunkowy z równania:

Odpowiedź:

Przykładowa geometria wygląda prosto:

Testowanie analityczne składa się z następujących kroków:

1) Sprawdzamy, czy proste mają ten sam wektor kierunkowy (jeśli równanie prostej nie zostanie odpowiednio uproszczone, to wektory będą współliniowe).

2) Sprawdź, czy punkt spełnia otrzymane równanie.

W większości przypadków badania analityczne można łatwo przeprowadzić ustnie. Spójrz na te dwa równania, a wielu z Was szybko określi równoległość linii bez żadnego rysunku.

Przykłady samodzielnych rozwiązań będą dziś kreatywne. Bo nadal będziesz musiał konkurować z Babą Jagą, a ona, jak wiadomo, jest miłośniczką wszelkiego rodzaju zagadek.

Przykład 3

Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt równoległy do ​​prostej jeśli

Istnieje racjonalny i niezbyt racjonalny sposób rozwiązania tego problemu. Najkrótsza droga jest na końcu lekcji.

Pracowaliśmy trochę z liniami równoległymi i wrócimy do nich później. Przypadek zbiegających się linii jest mało interesujący, więc rozważmy problem, który jest Ci dobrze znany ze szkolnego programu nauczania:

Jak znaleźć punkt przecięcia dwóch linii?

Jeśli prosto przecinają się w punkcie , to jego współrzędne są rozwiązaniem układy równań liniowych

Jak znaleźć punkt przecięcia prostych? Rozwiąż system.

Proszę bardzo znaczenie geometryczne układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi- są to dwie przecinające się (najczęściej) linie na płaszczyźnie.

Przykład 4

Znajdź punkt przecięcia linii

Rozwiązanie: Istnieją dwa sposoby rozwiązania - graficzny i analityczny.

Metoda graficzna polega po prostu na narysowaniu podanych linii i ustaleniu punktu przecięcia bezpośrednio z rysunku:

Oto nasz punkt widzenia: . Aby to sprawdzić należy podstawić jego współrzędne do każdego równania prostej, powinny pasować zarówno tam, jak i tam. Innymi słowy, współrzędne punktu są rozwiązaniem układu. Zasadniczo przyjrzeliśmy się rozwiązaniu graficznemu układy równań liniowych z dwoma równaniami i dwiema niewiadomymi.

Metoda graficzna nie jest oczywiście zła, ale zauważalne są wady. Nie, nie chodzi o to, że siódmoklasiści tak decydują, chodzi o to, że stworzenie prawidłowego i DOKŁADNEGO rysunku zajmie trochę czasu. Poza tym niektóre linie proste nie są tak łatwe do skonstruowania, a sam punkt przecięcia może znajdować się gdzieś w trzydziestym królestwie poza kartką zeszytu.

Dlatego bardziej celowe jest poszukiwanie punktu przecięcia metodą analityczną. Rozwiążmy układ:

Do rozwiązania układu wykorzystano metodę dodawania równań wyraz po wyrazie. Aby rozwinąć odpowiednie umiejętności, weź lekcję Jak rozwiązać układ równań?

Odpowiedź:

Sprawdzenie jest banalne – współrzędne punktu przecięcia muszą spełniać każde równanie układu.

Przykład 5

Znajdź punkt przecięcia prostych, jeśli się przecinają.

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Wygodnie jest podzielić zadanie na kilka etapów. Analiza warunku sugeruje, że konieczne jest:
1) Zapisz równanie prostej.
2) Zapisz równanie prostej.
3) Znajdź względne położenie linii.
4) Jeśli linie przecinają się, znajdź punkt przecięcia.

Opracowanie algorytmu działania jest typowe dla wielu problemów geometrycznych i będę się na tym wielokrotnie skupiał.

Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji:

Zanim dotarliśmy do drugiej części lekcji, nie zużyła się nawet para butów:

Prostopadłe linie. Odległość punktu od linii.
Kąt pomiędzy liniami prostymi

Zacznijmy od typowego i bardzo ważnego zadania. W pierwszej części nauczyliśmy się budować linię prostą równoległą do tej, a teraz chatka na udkach kurczaka obróci się o 90 stopni:

Jak skonstruować prostą prostopadłą do danej?

Przykład 6

Linię prostą wyznacza równanie. Zapisz równanie prostopadłe do prostej przechodzącej przez ten punkt.

Rozwiązanie: Pod warunkiem wiadomo , że . Byłoby miło znaleźć wektor kierujący linii. Ponieważ linie są prostopadłe, sztuczka jest prosta:

Z równania „usuwamy” wektor normalny: , który będzie wektorem kierującym prostej.

Ułóżmy równanie linii prostej za pomocą punktu i wektora kierunku:

Odpowiedź:

Rozwińmy szkic geometryczny:

Hmmm... Pomarańczowe niebo, pomarańczowe morze, pomarańczowy wielbłąd.

Analityczna weryfikacja rozwiązania:

1) Wyciągamy wektory kierunkowe z równań i z pomocą Iloczyn skalarny wektorów dochodzimy do wniosku, że proste są rzeczywiście prostopadłe: .

Nawiasem mówiąc, możesz użyć normalnych wektorów, jest to jeszcze łatwiejsze.

2) Sprawdź, czy punkt spełnia otrzymane równanie .

Test ponownie można łatwo przeprowadzić ustnie.

Przykład 7

Znajdź punkt przecięcia prostych prostopadłych, jeśli równanie jest znane i okres.

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Problem obejmuje kilka działań, dlatego wygodnie jest formułować rozwiązanie punkt po punkcie.

Nasza ekscytująca podróż trwa:

Odległość od punktu do linii

Przed nami prosty pas rzeki i naszym zadaniem jest dotarcie do niego najkrótszą drogą. Nie ma żadnych przeszkód, a najbardziej optymalną trasą będzie poruszanie się po prostopadle. Oznacza to, że odległość punktu od linii to długość odcinka prostopadłego.

Odległość w geometrii tradycyjnie oznacza się grecką literą „rho”, na przykład: – odległość od punktu „em” do prostej „de”.

Odległość od punktu do linii wyrażone wzorem

Przykład 8

Znajdź odległość punktu od linii

Rozwiązanie: wystarczy ostrożnie podstawić liczby do wzoru i wykonać obliczenia:

Odpowiedź:

Zróbmy rysunek:

Znaleziona odległość punktu od linii jest dokładnie równa długości czerwonego odcinka. Jeśli narysujesz rysunek na papierze w kratkę w skali 1 jednostki. = 1 cm (2 komórki), wówczas odległość można zmierzyć zwykłą linijką.

Rozważmy inne zadanie oparte na tym samym rysunku:

Zadanie polega na znalezieniu współrzędnych punktu, który jest symetryczny względem punktu względem prostej . Sugeruję wykonanie kroków samodzielnie, ale przedstawię algorytm rozwiązania z wynikami pośrednimi:

1) Znajdź linię prostopadłą do tej linii.

2) Znajdź punkt przecięcia linii: .

Obydwa działania zostały szczegółowo omówione w tej lekcji.

3) Punkt jest środkiem odcinka. Znamy współrzędne środka i jednego z końców. Przez wzory na współrzędne środka odcinka znaleźliśmy .

Dobrze byłoby sprawdzić, czy odległość wynosi również 2,2 jednostki.

W obliczeniach mogą pojawić się tutaj trudności, ale w wieży dużą pomocą jest mikrokalkulator, pozwalający obliczyć ułamki zwykłe. Doradzałem już wiele razy i będę polecał jeszcze raz.

Jak znaleźć odległość między dwiema równoległymi liniami?

Przykład 9

Znajdź odległość między dwiema równoległymi liniami

To kolejny przykład, który możesz podjąć samodzielnie. Dam ci małą wskazówkę: istnieje nieskończenie wiele sposobów rozwiązania tego problemu. Podsumowanie lekcji na koniec lekcji, ale lepiej spróbować zgadnąć samodzielnie, myślę, że twoja pomysłowość była dobrze rozwinięta.

Kąt między dwiema prostymi

Każdy narożnik jest ościeżem:


W geometrii za kąt pomiędzy dwiema prostymi przyjmuje się MNIEJSZY kąt, z czego automatycznie wynika, że ​​nie może być rozwarty. Na rysunku kąt wskazany przez czerwony łuk nie jest uważany za kąt pomiędzy przecinającymi się liniami. I jego „zielony” sąsiad lub zorientowany przeciwnie kącik „malinowy”.

Jeśli linie są prostopadłe, to dowolny z 4 kątów można przyjąć jako kąt między nimi.

Czym różnią się kąty? Orientacja. Po pierwsze, kierunek, w którym kąt jest „przewijany”, ma fundamentalne znaczenie. Po drugie, kąt zorientowany negatywnie jest zapisywany znakiem minus, na przykład jeśli .

Dlaczego ci to powiedziałem? Wydaje się, że możemy obejść się przy zwykłym pojęciu kąta. Faktem jest, że wzory, dzięki którym znajdziemy kąty, mogą łatwo dać wynik ujemny i nie powinno Cię to dziwić. Kąt ze znakiem minus nie jest gorszy i ma bardzo specyficzne znaczenie geometryczne. Na rysunku dla kąta ujemnego należy wskazać jego orientację strzałką (zgodnie z ruchem wskazówek zegara).

Jak znaleźć kąt między dwiema liniami prostymi? Istnieją dwie działające formuły:

Przykład 10

Znajdź kąt między liniami

Rozwiązanie I Metoda pierwsza

Rozważmy dwie linie proste określone równaniami w postaci ogólnej:

Jeśli prosto nie prostopadle, To zorientowany Kąt między nimi można obliczyć ze wzoru:

Zwróćmy szczególną uwagę na mianownik - dokładnie tak produkt skalarny wektory kierujące prostych:

Jeśli , to mianownik wzoru wyniesie zero, a wektory będą ortogonalne, a proste będą prostopadłe. Dlatego też zgłoszono zastrzeżenie dotyczące nieprostopadłości linii prostych w sformułowaniu.

W związku z powyższym wygodnie jest sformalizować rozwiązanie w dwóch etapach:

1) Obliczmy iloczyn skalarny wektorów kierunkowych prostych:
, co oznacza, że ​​linie nie są prostopadłe.

2) Znajdź kąt między prostymi, korzystając ze wzoru:

Korzystając z funkcji odwrotnej, łatwo jest znaleźć sam kąt. W tym przypadku używamy nieparzystości arcustangens (patrz. Wykresy i własności funkcji elementarnych):

Odpowiedź:

W Twojej odpowiedzi podajemy wartość dokładną, a także wartość przybliżoną (najlepiej w stopniach i radianach), obliczoną za pomocą kalkulatora.

No cóż, minus, minus, nic wielkiego. Oto ilustracja geometryczna:

Nic dziwnego, że kąt okazał się mieć negatywną orientację, ponieważ w opisie problemu pierwsza liczba jest linią prostą i właśnie od niej rozpoczęło się „odkręcanie” kąta.

Jeśli naprawdę chcesz uzyskać kąt dodatni, musisz zamienić linie, to znaczy wziąć współczynniki z drugiego równania i weź współczynniki z pierwszego równania. Krótko mówiąc, musisz zacząć od bezpośredniego .

W artykule skupiono się na wyznaczaniu odległości pomiędzy przecinającymi się liniami metodą współrzędnych. Najpierw podana jest definicja odległości pomiędzy przecinającymi się liniami. Następnie uzyskuje się algorytm pozwalający znaleźć odległość pomiędzy przecinającymi się liniami. Podsumowując, szczegółowo przeanalizowano rozwiązanie przykładu.

Nawigacja strony.

Odległość pomiędzy przecinającymi się liniami - definicja.

Zanim podamy definicję odległości pomiędzy liniami skośnymi, przypomnijmy sobie definicję linii skośnych i udowodnijmy twierdzenie dotyczące linii skośnych.

Definicja.

- jest to odległość pomiędzy jedną z przecinających się linii a płaszczyzną równoległą do niej przechodzącą przez drugą linię.

Z kolei odległość między prostą a płaszczyzną do niej równoległą to odległość od jakiegoś punktu prostej do płaszczyzny. Obowiązuje wówczas następujące sformułowanie definicji odległości pomiędzy przecinającymi się liniami.

Definicja.

Odległość pomiędzy przecinającymi się liniami to odległość od pewnego punktu jednej z przecinających się linii do płaszczyzny przechodzącej przez inną linię równoległą do pierwszej linii.

Rozważmy przecinające się linie a i b. Zaznaczmy pewien punkt M 1 na prostej a, narysujmy płaszczyznę równoległą do prostej a przechodzącą przez linię b i z punktu M 1 obniżmy prostopadłą M 1 H 1 do tej płaszczyzny. Długość prostopadłej M 1 H 1 to odległość między przecinającymi się liniami a i b.

Wyznaczanie odległości pomiędzy przecinającymi się liniami - teoria, przykłady, rozwiązania.

Podczas wyznaczania odległości pomiędzy przecinającymi się liniami główną trudnością jest często dostrzeżenie lub skonstruowanie odcinka, którego długość jest równa pożądanej odległości. Jeśli taki odcinek zostanie skonstruowany, to w zależności od warunków problemu jego długość można znaleźć za pomocą twierdzenia Pitagorasa, znaków równości lub podobieństwa trójkątów itp. Tak właśnie robimy, gdy znajdujemy odległość między przecinającymi się liniami na lekcjach geometrii w klasach 10-11.

Jeśli Oxyz zostanie wprowadzony w przestrzeń trójwymiarową i podane zostaną w niej przecinające się linie aib, to metoda współrzędnych pozwala nam poradzić sobie z zadaniem obliczenia odległości pomiędzy danymi przecinającymi się liniami. Przyjrzyjmy się temu szczegółowo.

Niech będzie płaszczyzną przechodzącą przez linię b, równoległą do linii a. Wtedy wymagana odległość pomiędzy przecinającymi się liniami a i b jest z definicji równa odległości od jakiegoś punktu M 1 leżącego na prostej a od płaszczyzny. Zatem jeśli wyznaczymy współrzędne pewnego punktu M 1 leżącego na prostej a i otrzymamy równanie normalne płaszczyzny w postaci, to możemy obliczyć odległość od punktu do płaszczyzny za pomocą wzoru (wzór ten uzyskano w artykule o wyznaczaniu odległości punktu od płaszczyzny). Odległość ta jest równa wymaganej odległości między liniami przecinającymi się.

Teraz szczegółowo.

Problem sprowadza się do uzyskania współrzędnych punktu M 1 leżącego na prostej a i znalezienia równania normalnego płaszczyzny.

Wyznaczenie współrzędnych punktu M 1 nie nastręcza żadnych trudności, jeśli dobrze znamy podstawowe typy równań prostej w przestrzeni. Ale warto bardziej szczegółowo zastanowić się nad uzyskaniem równania płaszczyzny.

Jeśli określimy współrzędne pewnego punktu M 2, przez który przechodzi płaszczyzna, a także uzyskamy wektor normalny płaszczyzny w postaci , to możemy zapisać ogólne równanie płaszczyzny jako .

Jako punkt M 2 możesz przyjąć dowolny punkt leżący na prostej b, ponieważ płaszczyzna przechodzi przez linię b. Zatem współrzędne punktu M 2 można uznać za znalezione.

Pozostaje uzyskać współrzędne wektora normalnego płaszczyzny. Zróbmy to.

Płaszczyzna przechodzi przez linię b i jest równoległa do linii a. W konsekwencji wektor normalny płaszczyzny jest prostopadły zarówno do wektora kierunku linii a (oznaczmy to), jak i wektora kierunku linii b (oznaczmy to). Następnie możemy przyjąć i jako wektor, to znaczy . Po określeniu współrzędnych i wektorów kierunkowych linii prostych aib oraz obliczeniu , znajdziemy współrzędne wektora normalnego płaszczyzny.

Mamy więc ogólne równanie płaszczyzny: .

Pozostaje tylko doprowadzić ogólne równanie płaszczyzny do postaci normalnej i obliczyć wymaganą odległość między przecinającymi się liniami aib za pomocą wzoru.

Zatem, aby znaleźć odległość między przecinającymi się liniami a i b, potrzebujesz:

Spójrzmy na rozwiązanie przykładu.

Przykład.

W przestrzeni trójwymiarowej w prostokątnym układzie współrzędnych Oxyz dane są dwie przecinające się proste a i b. Wyznacza się linię prostą a

Nie minęła nawet minuta, a utworzyłem nowy akt Verdova i kontynuowałem tak fascynujący temat. Trzeba uchwycić momenty nastroju roboczego, więc nie będzie lirycznego wstępu. Będzie prozaiczne klapsy =)

Dwie proste przestrzenie mogą:

1) krzyżować się;

2) przecinają się w punkcie ;

3) być równoległe;

4) mecz.

Sprawa nr 1 różni się zasadniczo od pozostałych spraw. Dwie linie proste przecinają się, jeśli nie leżą w tej samej płaszczyźnie. Podnieś jedno ramię do góry, a drugie wyciągnij do przodu – oto przykład przecinania się linii. W punktach nr 2-4 muszą leżeć linie proste w jednej płaszczyźnie.

Jak znaleźć względne położenie linii w przestrzeni?

Rozważmy dwie bezpośrednie przestrzenie:

– linia prosta wyznaczona przez punkt i wektor kierunkowy;
– linia prosta wyznaczona przez punkt i wektor kierunkowy.

Dla lepszego zrozumienia zróbmy schematyczny rysunek:

Na rysunku jako przykład przedstawiono przecinające się linie proste.

Jak sobie poradzić z tymi prostymi liniami?

Znając punkty, łatwo jest znaleźć wektor.

Jeśli prosto krzyżować, następnie wektory nie współpłaszczyznowe(patrz lekcja Liniowa (nie)zależność wektorów. Baza wektorów), a zatem wyznacznik złożony z ich współrzędnych jest niezerowy. Lub, co w rzeczywistości oznacza to samo, będzie niezerowe: .

W przypadkach nr 2-4 nasza struktura „wpada” w jedną płaszczyznę i wektory współpłaszczyznowy, a iloczyn mieszany wektorów liniowo zależnych wynosi zero: .

Rozwińmy algorytm dalej. Udawajmy, że Dlatego linie albo przecinają się, są równoległe, albo pokrywają się.

Jeżeli wektory kierunkowe współliniowy, to linie są albo równoległe, albo pokrywające się. W przypadku ostatniego gwoździa proponuję następującą technikę: weź dowolny punkt na jednej linii i podstaw jego współrzędne do równania drugiej linii; jeśli współrzędne „pasują”, to linie się pokrywają, jeśli „nie pasują”, to linie są równoległe.

Algorytm jest prosty, ale praktyczne przykłady nadal będą pomocne:

Przykład 11

Znajdź względne położenie dwóch linii

Rozwiązanie: jak w przypadku wielu problemów geometrycznych, wygodnie jest sformułować rozwiązanie punkt po punkcie:

1) Z równań wyciągamy punkty i wektory kierunkowe:

2) Znajdź wektor:

Zatem wektory są współpłaszczyznowe, co oznacza, że ​​linie leżą w tej samej płaszczyźnie i mogą się przecinać, być równoległe lub pokrywać się.

4) Sprawdźmy kolinearność wektorów kierunkowych.

Stwórzmy układ z odpowiednich współrzędnych tych wektorów:

Z wszyscy z równań wynika, że ​​zatem układ jest spójny, odpowiednie współrzędne wektorów są proporcjonalne, a wektory są współliniowe.

Wniosek: linie są równoległe lub pokrywają się.

5) Sprawdź, czy proste mają punkty wspólne. Weźmy punkt należący do pierwszej prostej i podstawmy jego współrzędne do równań prostej:

Zatem linie nie mają punktów wspólnych i nie mają innego wyjścia, jak tylko być równoległe.

Odpowiedź:

Ciekawy przykład do samodzielnego rozwiązania:

Przykład 12

Znajdź względne położenie linii

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Należy pamiętać, że druga linia zawiera literę jako parametr. Logiczny. W ogólnym przypadku są to dwie różne linie, więc każda linia ma swój własny parametr.

I jeszcze raz apeluję, aby nie pomijać przykładów, zadania, które proponuję, nie są przypadkowe ;-)

Problemy z linią w przestrzeni

W końcowej części lekcji postaram się rozważyć maksymalną liczbę różnych problemów z liniami przestrzennymi. W tym przypadku zachowany zostanie pierwotny porządek historii: najpierw rozważymy problemy z przecinaniem się linii, potem z przecinającymi się liniami, a na koniec porozmawiamy o liniach równoległych w przestrzeni. Muszę jednak powiedzieć, że niektóre zadania tej lekcji można sformułować dla kilku przypadków lokalizacji linii jednocześnie i pod tym względem podział sekcji na akapity jest nieco arbitralny. Istnieją prostsze przykłady, są bardziej złożone przykłady i mam nadzieję, że każdy znajdzie to, czego potrzebuje.

Przekraczanie linii

Przypomnę, że linie proste przecinają się, jeśli nie ma płaszczyzny, w której obie leżą. Kiedy zastanawiałem się nad praktyką, przyszedł mi na myśl problem z potworem i teraz cieszę się, że mogę przedstawić wam smoka z czterema głowami:

Przykład 13

Biorąc pod uwagę linie proste. Wymagany:

a) udowodnić, że proste się przecinają;

b) znaleźć równania prostej przechodzącej przez punkt prostopadły do ​​danych prostych;

c) ułożyć równania prostej zawierającej wspólna prostopadła przekraczanie linii;

d) znajdź odległość między liniami.

Rozwiązanie: Ten, kto idzie, opanuje drogę:

a) Udowodnijmy, że proste się przecinają. Znajdźmy punkty i wektory kierunkowe tych linii:

Znajdźmy wektor:

Obliczmy mieszany produkt wektorów:

Zatem wektory nie współpłaszczyznowe, co oznacza, że ​​linie się przecinają i właśnie to należało udowodnić.

Chyba każdy już dawno zauważył, że przy przekroczeniu linii algorytm weryfikacji jest najkrótszy.

b) Znajdź równania prostej przechodzącej przez punkt i prostopadłej do prostych. Zróbmy schematyczny rysunek:

Dla odmiany zamieściłem direct ZA prosto, spójrz, jak jest trochę wymazany na skrzyżowaniach. Krzyżowanie? Tak, ogólnie rzecz biorąc, linia prosta „de” zostanie skrzyżowana z pierwotnymi liniami prostymi. Chociaż nie interesuje nas ten moment, wystarczy skonstruować prostą prostopadłą i to wszystko.

Co wiadomo o bezpośrednim „de”? Punkt do niego należący jest znany. Nie ma wystarczającej liczby wektorów prowadzących.

Zgodnie z warunkiem linia prosta musi być prostopadła do prostych, co oznacza, że ​​jej wektor kierunkowy będzie prostopadły do ​​wektorów kierunkowych. Znane już z przykładu nr 9, znajdźmy iloczyn wektorowy:

Ułóżmy równania prostej „de” za pomocą punktu i wektora kierunkowego:

Gotowy. Zasadniczo możesz zmienić znaki w mianownikach i wpisać odpowiedź w formularzu , ale nie ma takiej potrzeby.

Aby to sprawdzić, należy podstawić współrzędne punktu do otrzymanych równań prostych, a następnie użyć Iloczyn skalarny wektorów upewnij się, że wektor jest rzeczywiście ortogonalny do wektorów kierunkowych „pe jeden” i „pe dwa”.

Jak znaleźć równania prostej zawierającej wspólną prostopadłą?

c) To zadanie będzie trudniejsze. Manekinom radzę pominąć ten punkt, nie chcę studzić Waszej szczerej sympatii do geometrii analitycznej =) Swoją drogą, może dla bardziej przygotowanych czytelników też będzie lepiej się wstrzymać, faktem jest, że pod względem złożoności przykład powinien być umieszczony na końcu artykułu, ale zgodnie z logiką prezentacji powinien się on znaleźć tutaj.

Musisz więc znaleźć równania linii zawierającej wspólną prostopadłą linii ukośnych.

- jest to odcinek łączący te proste i prostopadły do ​​tych prostych:

Oto nasz przystojniak: - wspólna prostopadła przecinających się linii. On jest jedyny. Nie ma drugiego takiego. Musimy utworzyć równania dla prostej zawierającej ten odcinek.

Co wiadomo o bezpośrednim „um”? Znany jest jego wektor kierunkowy, podany w poprzednim akapicie. Ale niestety nie znamy ani jednego punktu należącego do prostej „em”, ani nie znamy końców prostopadłych – punktów. W którym miejscu ta prostopadła linia przecina dwie pierwotne linie? W Afryce, na Antarktydzie? Ze wstępnego przeglądu i analizy stanu nie wynika wcale, jak rozwiązać problem... Istnieje jednak pewien skomplikowany trik związany z użyciem równań parametrycznych linii prostej.

Sformułujemy decyzję punkt po punkcie:

1) Przepiszmy równania pierwszej linii w postaci parametrycznej:

Rozważmy tę kwestię. Nie znamy współrzędnych. ALE. Jeżeli punkt należy do danej prostej, to jego współrzędne odpowiadają , oznaczmy go przez . Następnie współrzędne punktu zostaną zapisane w postaci:

Życie staje się coraz lepsze, jedna niewiadoma to wciąż nie trzy niewiadome.

2) To samo oburzenie należy powtórzyć w drugim punkcie. Przepiszmy równania drugiej prostej w postaci parametrycznej:

Jeżeli punkt należy do danej prostej, to z bardzo konkretnym znaczeniem jego współrzędne muszą spełniać równania parametryczne:

Lub:

3) Wektor, podobnie jak poprzednio znaleziony wektor, będzie wektorem kierującym linii prostej. Sposób skonstruowania wektora z dwóch punktów był omawiany od niepamiętnych czasów na zajęciach Wektory dla manekinów. Różnica polega na tym, że współrzędne wektorów są zapisywane z nieznanymi wartościami parametrów. Więc co? Nikt nie zabrania odejmowania odpowiednich współrzędnych początku wektora od współrzędnych końca wektora.

Istnieją dwa punkty: .

Znajdowanie wektora:

4) Ponieważ wektory kierunkowe są współliniowe, jeden wektor wyraża się liniowo przez drugi z pewnym współczynnikiem proporcjonalności „lambda”:

Lub współrzędna po współrzędnej:

Okazało się, że jest to najzwyklejsze układ równań liniowych z trzema niewiadomymi, które są standardowo rozwiązywalne, na przykład Metoda Cramera. Ale tutaj można wyjść z niewielką stratą; z trzeciego równania wyrazimy „lambda” i podstawimy go do pierwszego i drugiego równania:

Zatem: i nie potrzebujemy „lambdy”. To, że wartości parametrów okazały się takie same, jest czystym przypadkiem.

5) Niebo całkowicie się przejaśnia, podstawiamy znalezione wartości do naszych punktów:

Wektor kierunkowy nie jest szczególnie potrzebny, ponieważ znaleziono już jego odpowiednik.

Zawsze ciekawie jest sprawdzić po długiej podróży.

:

Otrzymuje się prawidłowe równości.

Podstawmy współrzędne punktu do równań :

Otrzymuje się prawidłowe równości.

6) Końcowy akord: utwórzmy równania linii prostej za pomocą punktu (możesz go wziąć) i wektora kierunku:

Zasadniczo można wybrać „dobry” punkt z nienaruszonymi współrzędnymi, ale jest to kwestia kosmetyczna.

Jak znaleźć odległość między przecinającymi się liniami?

d) Odcięliśmy czwartą głowę smoka.

Metoda pierwsza. Nawet nie metoda, ale mały, specjalny przypadek. Odległość między przecinającymi się liniami jest równa długości ich wspólnej prostopadłej: .

Skrajne punkty wspólnej prostopadłej znalezione w poprzednim akapicie, a zadanie jest elementarne:

Metoda druga. W praktyce najczęściej końce wspólnej prostopadłej są nieznane, dlatego stosuje się inne podejście. Płaszczyzny równoległe można poprowadzić przez dwie przecinające się linie proste, a odległość między tymi płaszczyznami jest równa odległości między tymi prostymi. W szczególności pomiędzy tymi płaszczyznami wystaje wspólna prostopadła.

W toku geometrii analitycznej z powyższych rozważań wyprowadza się wzór na znalezienie odległości pomiędzy przecinającymi się prostymi:
(zamiast naszych punktów „um jeden, dwa” możesz wziąć dowolne punkty linii).

Mieszany iloczyn wektorów już znaleziony w punkcie „a”: .

Iloczyn wektorowy wektorów znaleziony w akapicie „być”: , obliczmy jego długość:

Zatem:

Z dumą eksponujmy trofea w jednym rzędzie:

Odpowiedź:
A) , co oznacza, że ​​proste przecinają się, co należało udowodnić;
B) ;
V) ;
G)

Co jeszcze możesz powiedzieć o przekraczaniu granic? Pomiędzy nimi istnieje określony kąt. Ale uniwersalny wzór na kąt rozważymy w następnym akapicie:

Przecinające się przestrzenie proste koniecznie leżą w tej samej płaszczyźnie:

Pierwsza myśl to oprzeć się z całych sił na punkcie przecięcia. I od razu pomyślałam: po co odmawiać sobie właściwych pragnień?! Zajmijmy się nią teraz!

Jak znaleźć punkt przecięcia linii przestrzennych?

Przykład 14

Znajdź punkt przecięcia linii

Rozwiązanie: Przepiszmy równania prostych w postaci parametrycznej:

Zadanie to zostało szczegółowo omówione w przykładzie nr 7 tej lekcji (patrz. Równania prostej w przestrzeni). A tak przy okazji, same proste wziąłem z przykładu nr 12. Nie będę kłamać, jestem zbyt leniwy, żeby wymyślać nowe.

Rozwiązanie jest standardowe i spotykaliśmy się już, gdy próbowaliśmy znaleźć równania na wspólną prostopadłą przecinających się prostych.

Punkt przecięcia prostych należy do prostej, dlatego jego współrzędne spełniają równania parametryczne tej prostej i im odpowiadają bardzo specyficzną wartość parametru:

Ale ten sam punkt należy również do drugiej linii, zatem:

Przyrównujemy odpowiednie równania i przeprowadzamy uproszczenia:

Otrzymuje się układ trzech równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Jeżeli linie się przecinają (co udowodniono w przykładzie nr 12), to układ jest z konieczności spójny i ma unikalne rozwiązanie. Można to rozwiązać Metoda Gaussa, ale nie będziemy grzeszyć takim przedszkolnym fetyszyzmem, zrobimy to prościej: z pierwszego równania wyrażamy „te zero” i podstawiamy je do drugiego i trzeciego równania:

Dwa ostatnie równania okazały się w zasadzie takie same i wynika z nich, że . Następnie:

Podstawiamy znalezioną wartość parametru do równań:

Odpowiedź:

Aby to sprawdzić, podstawiamy znalezioną wartość parametru do równań:
Uzyskano te same współrzędne, które należało sprawdzić. Skrupulatni czytelnicy mogą zastąpić współrzędne punktu oryginalnymi równaniami kanonicznymi prostych.

Nawiasem mówiąc, można było zrobić odwrotnie: znaleźć punkt przez „es zero” i sprawdzić go przez „te zero”.

Znany matematyczny przesąd głosi: tam, gdzie mówi się o przecięciu prostych, zawsze unosi się zapach prostopadłości.

Jak skonstruować linię przestrzeni prostopadłą do danej?

(linie przecinają się)

Przykład 15

a) Zapisz równania prostej przechodzącej przez punkt prostopadły do ​​tej prostej (linie przecinają się).

b) Znajdź odległość punktu od prostej.

Notatka : klauzula „linie przecinają się” – istotne. Przez punkt
możesz narysować nieskończoną liczbę linii prostopadłych, które przetną się z linią prostą „el”. Jedyne rozwiązanie występuje w przypadku pociągnięcia linii prostej prostopadłej do danego punktu dwa dany linią prostą (patrz przykład nr 13, punkt „b”).

A) Rozwiązanie: Nieznaną linię oznaczamy przez . Zróbmy schematyczny rysunek:

Co wiadomo o linii prostej? Zgodnie z warunkiem przyznawany jest punkt. Aby ułożyć równania prostej, należy znaleźć wektor kierunkowy. Wektor jest całkiem odpowiedni jako taki wektor, więc sobie z nim poradzimy. Dokładniej, weźmy nieznany koniec wektora za kark.

1) Wyciągnijmy jego wektor kierunkowy z równań prostej „el” i przepiszmy same równania w postaci parametrycznej:

Wielu domyślało się, że teraz po raz trzeci podczas lekcji mag wyciągnie białego łabędzia z kapelusza. Rozważmy punkt o nieznanych współrzędnych. Ponieważ punkt jest , jego współrzędne spełniają równania parametryczne prostej „el” i odpowiadają określonej wartości parametru:

Lub w jednej linii:

2) Zgodnie z warunkiem linie muszą być prostopadłe, dlatego ich wektory kierunkowe są ortogonalne. A jeśli wektory są ortogonalne, to ich produkt skalarny równa się zeru:

Co się stało? Najprostsze równanie liniowe z jedną niewiadomą:

3) Wartość parametru jest znana, znajdźmy punkt:

I wektor kierunkowy:
.

4) Równania prostej ułożymy za pomocą punktu i wektora kierunkowego :

Mianowniki proporcji okazały się ułamkowe i dokładnie tak jest, gdy należy pozbyć się ułamków. Pomnożę je przez -2:

Odpowiedź:

Notatka : bardziej rygorystyczne zakończenie rozwiązania sformalizujemy w następujący sposób: ułóżmy równania prostej za pomocą punktu i wektora kierunku . Rzeczywiście, jeśli wektor jest wektorem prowadzącym linii prostej, to wektor współliniowy będzie oczywiście również wektorem prowadzącym tej prostej.

Weryfikacja składa się z dwóch etapów:

1) sprawdź wektory kierunkowe linii pod kątem ortogonalności;

2) podstawiamy współrzędne punktu do równań każdej prostej, powinny one „pasować” zarówno tam, jak i tam.

Było dużo mówienia o typowych działaniach, więc sprawdziłem na szkicu.

Swoją drogą zapomniałem o innym punkcie - skonstruować punkt „zyu” symetryczny do punktu „en” względem prostej „el”. Istnieje jednak dobry „płaski analog”, który można znaleźć w artykule Najprostsze zadania z linią prostą na płaszczyźnie. Tutaj jedyną różnicą będzie dodatkowa współrzędna „Z”.

Jak znaleźć odległość punktu od linii w przestrzeni?

B) Rozwiązanie: Znajdźmy odległość punktu od linii.

Metoda pierwsza. Odległość ta jest dokładnie równa długości prostopadłej: . Rozwiązanie jest oczywiste: jeśli znane są punkty , To:

Metoda druga. W praktycznych problemach podstawa prostopadłej jest często zapieczętowaną tajemnicą, dlatego bardziej racjonalne jest skorzystanie z gotowego wzoru.

Odległość punktu od prostej wyraża się wzorem:
, gdzie jest wektorem kierunkowym prostej „el” oraz – bezpłatny punkt należący do danej prostej.

1) Z równań linii wyciągamy wektor kierunkowy i najbardziej dostępny punkt.

2) Punkt jest znany z warunku, wyostrz wektor:

3) Znajdźmy produkt wektorowy i oblicz jego długość:

4) Oblicz długość wektora prowadzącego:

5) Zatem odległość punktu od linii:

Konspekt lekcji

Twierdzenie o sumie kątów trójkąta

1. Pełne imię i nazwisko: Sayfetdinova Gulnara Wasilewna

2. Miejsce pracy: Miejska budżetowa instytucja edukacyjna „Szkoła średnia Knyazevskaya” obwodu Tukaevsky w Republice Tatarstanu

3. Stanowisko: nauczyciel matematyki

4. Przedmiot: geometria

5. Klasa: 7. klasa

6. Temat lekcji: Odległość punktu od linii. Odległość między liniami równoległymi.

7. Podstawowy samouczek: Geometria.7-9 klas: podręcznik dla instytucji edukacyjnych / autor. L.S. Atanasyan, V.F. Butuzow,

S.B. Kadomcew i in., 2010

8. Cele:

Cel działania: stworzyć warunki do samodzielnego sformułowania i udowodnienia własności ukośnej i prostopadłej zrzuconej z punktu na prostą, twierdzenia o jednakowej odległości punktów na liniach równoległych; organizować działania uczniów w celu dostrzeżenia, zrozumienia i wstępnego utrwalenia nowej wiedzy i metod działania.

Cel edukacyjny:

Temat:

stosować pojęcia odległości punktu od linii, odległości między liniami przy rozwiązywaniu problemów

Metatemat:

UUD regulacyjny:

UUD poznawczy:

UUD komunikacji:

Osobisty UUD:

10. Metody nauczania: problematyczny, badawczy.
11.Formy organizacji zajęć edukacyjnych: frontalny, grupowy, parowy, indywidualny, struktury treningowe.

12.Sprzęt, warunki techniczne:

Komputer, projektor, ekran, Internet, oprogramowanie: Microsoft Power Point, miejsca w klasie - 4 osoby przy stole.

13.Czas trwania lekcji: 45 minut

14.Scenariusz lekcji

I . Organizowanie czasu.

II . Aktualizowanie wiedzy.

III . Ustalenie celu lekcji . Wprowadzenie nowego materiału.

VI. Zreasumowanie. Odbicie.

I . Organizowanie czasu.

Cel: przygotowanie uczniów do pracy, aktywizowanie uwagi do szybkiego włączania się w zajęcia.

Nauczyciel : Cześć chłopaki? Jak się czujesz? Podnieśmy go i rozpocznijmy lekcję z uśmiechem! Uśmiechajmy się do twarzy naszego partnera! Uśmiechnijmy się do ramienia naszego partnera!

II . Aktualizowanie wiedzy.

Nauczyciel : Uczysz się nowego przedmiotu z geometrii już od sześciu miesięcy i prawdopodobnie wiesz, czym jest twierdzenie. Jakie znasz metody dowodowe?

Możliwe odpowiedzi uczniów: Metoda przez sprzeczność, metoda konstruktywna, metoda dowodu w oparciu o aksjomaty i udowodnione wcześniej twierdzenia (slajd nr 2).

Nauczyciel: Kochani jakie macie skojarzenia ze słowem dystans?

Możliwe odpowiedzi uczniów: Odległość między miastami, odległość między filarami, odległość od czegoś do czegoś (slajd numer 3).

Nauczyciel: Jaka jest odległość między dwoma punktami?

Możliwe odpowiedzi uczniów: Długość sekcji (slajd nr 4).

Nauczyciel: Dokonaj wpisu na mapie technologicznej w ust. 1

Nauczyciel: Należy pamiętać, że w geometrii odległość odnosi się do najkrótszej odległości. Dokonaj wpisu na mapie technologicznej w ust. 2

Nauczyciel: Co można powiedzieć o względnym położeniu prostej AN i prostej a?

Nauczyciel: Jak nazywają się te linie?

Nauczyciel: A Jak nazywa się odcinek AN?

Nauczyciel: Pamiętaj: Prostopadła jest odcinkiem. Dokonaj wpisu na mapie technologicznej w pkt 3.

III. Ustalenie celu lekcji.Wprowadzenie nowego materiału.

Nauczyciel: Zadanie praktyczne:

Jesteśmy na polu, przez pole biegnie droga. Narysuj matematyczny model sytuacji. Musimy ruszać w drogę. Narysuj trajektorię (slajd nr 6).

Nauczyciel: Jak można zdefiniować tę trajektorię w języku matematycznym? Możliwe odpowiedzi uczniów: Prostopadły

Nauczyciel: Dlaczego nie? –

Spróbuj nadać mu nazwę (slajd nr 7).

Możliwe odpowiedzi uczniów: Skłonny.

Nauczyciel: Ile linii ukośnych można poprowadzić z tego punktu?

Możliwe odpowiedzi uczniów: Pęczek.

(slajd nr 7).

Nauczyciel: Więc myślisz, że najkrótsza droga jest prostopadła? Udowodnij to.

Nauczyciel: Udowodnij teraz, że dowolna linia nachylona jest większa od prostej prostopadłej.

Co widzimy na zdjęciu?

Możliwe odpowiedzi uczniów: trójkąt prostokątny (slajd nr 8).

Nauczyciel: Jak nazywają się prostopadłe i ukośne w tym trójkącie? Możliwe odpowiedzi uczniów: noga i przeciwprostokątna.

Nauczyciel: Dlaczego przeciwprostokątna jest większa od nogi?

Możliwe odpowiedzi uczniów: Naprzeciwko większego kąta znajduje się większy bok. Największy kąt w trójkącie prostokątnym jest kątem prostym. Naprzeciwko leży przeciwprostokątna.

Nauczyciel. Jak inaczej można nazwać segment AC? A co jeśli wrócimy do treści zadania?

Możliwe odpowiedzi uczniów: Odległość od punktu do linii .

Nauczyciel: Sformułuj definicję: „Odległość punktu od prostej wynosi... (długość prostopadłej poprowadzonej od tego punktu do prostej)” (slajd nr 9). Dokonaj wpisu na mapie technologicznej w pkt 4.

Nauczyciel: Zadanie praktyczne.

Znajdź odległość punktu B od linii prostych A D IDC za pomocą trójkąta rysunkowego i linijki (slajd nr 10) Mapa technologiczna punkt 6

Nauczyciel: Zadanie praktyczne. Skonstruuj dwie równoległe linie a i b. Na linii a zaznacz punkt A. Spuść prostopadłą z punktu A na linię b. Umieść punkt B u podstawy prostopadłej.

Co możesz powiedzieć o segmencie AB? (slajd nr 11).

Jest prostopadły zarówno do linii a, jak i linii b.

Nauczyciel: Dlatego nazywa się to wspólną prostopadłą (slajd nr 13). Dokonaj wpisu na mapie technologicznej w pkt 5

Nauczyciel: Dokonaj wpisu na mapie technologicznej w pkt 6

Nauczyciel: Zadanie. Wymagane jest ułożenie linoleum na podłodze w długim korytarzu. Wiadomo, że dwie przeciwległe ściany są równoległe. Na jednym końcu korytarza narysowano wspólną prostopadłą, której długość wynosiła 4 m. Czy warto ponownie sprawdzać długości wspólnych prostopadłych w innych miejscach korytarza? (slajd nr 14).

Możliwe odpowiedzi uczniów: Nie ma potrzeby, ich długości będą również równe 4.

Nauczyciel: Udowodnij to. Ale najpierw narysuj model matematyczny tej sytuacji. Aby to udowodnić, zaznacz co wiadomo i co należy udowodnić.

W jaki sposób w geometrii zwykle udowadnia się równość odcinków i kątów?

Możliwe odpowiedzi uczniów: Poprzez równość trójkątów zawierających te odcinki i kąty. Wymyśl konstrukcję, która pozwoli nam udowodnić równość tych trójkątów.

Struktura PojedynczyOkrągłyRudzik:

2. Czterech uczniów w zespole odpowiada raz.

Nauczyciel: Udowodnij równość odcinki AB i CD poprzez równość trójkątów . Na tablicy zapisz trzy warunki testu równości trójkątów.

1.Nauczyciel zadaje pytanie i daje czas do namysłu

Studenci wykonują dodatkowe konstrukcje, udowadniają równość trójkątów, wyciągają wniosek o równości odcinków AB i CD (slajd nr 15-17).

Nauczyciel: Segmenty AB i CD są równe. Co można powiedzieć o punktach A i C względem prostej BD?

Możliwe odpowiedzi uczniów: Są w równej odległości. Są w równej odległości (slajd nr 18).

Nauczyciel: Czy ta właściwość obowiązuje dla jakichkolwiek punktów?

Możliwe odpowiedzi uczniów: Tak

Nauczyciel: Spróbujmy sformułować tę własność. Z czego składa się oświadczenie majątkowe?

Możliwe odpowiedzi uczniów: Z warunku i wniosku (slajd nr 19,20).

Możliwe odpowiedzi uczniów: Jeśli punkty leżą na jednej z równoległych linii, to są w równej odległości od drugiej linii.

Nauczyciel: Edytuj tę właściwość bez spójników: if, then (slajd nr 21).

Możliwe odpowiedzi uczniów: Punkty leżące na jednej z równoległych linii są w równej odległości od drugiej linii.

Struktura Robina: Myśl-pisz-okrągły:

1.Nauczyciel zadaje pytanie i daje czas do namysłu

2. Uczniowie zastanawiają się i zapisują odpowiedź na kartce papieru

3. Uczniowie po kolei czytają swoją odpowiedź z kartki papieru.

Nauczyciel: Które stwierdzenie nazywa się odwrotnością?

Możliwe odpowiedzi uczniów: Jeśli warunek i wniosek zostaną zamienione.

Nauczyciel: Sformułuj stwierdzenie przeciwne (slajd nr 22).

Możliwe odpowiedzi uczniów: Jeśli punkty leżące na jednej z dwóch linii są w równej odległości od drugiej linii, to linie są równoległe.

Nauczyciel: Dokonaj wpisu na mapie technologicznej w punktach 7,8.

Nauczyciel: Czy można zdefiniować takie pojęcie jak odległość między liniami równoległymi?

Możliwe odpowiedzi uczniów: Tak

Nauczyciel: Co można nazwać odległością między liniami równoległymi

Możliwe odpowiedzi uczniów: Długość wspólnej prostopadłej. Dokonaj wpisu na mapie technologicznej w pkt 5.

IV. Zastosowanie twierdzenia, wykonaniepraktyczna praca.

Nauczyciel: Praktyczna praca. Znajdź szerokość paska.

Jakim pojęciem matematycznym jest szerokość paska?

Nauczyciel: Gdzie jeszcze można zastosować te twierdzenia w życiu praktycznym?

VI. Zreasumowanie. Odbicie.

Nauczyciel: Z jakimi nowymi koncepcjami się zapoznałeś?

Czego nauczyłeś się na lekcji?

Gdzie w życiu zastosujemy to?

(slajd nr 26-28)

Nauczyciel: Dokonaj wpisu na mapie technologicznej w pkt 9

Zadanie domowe nr 276.279 – dowód twierdzenia odwrotnego.

Autoanaliza lekcji

Cele:

Cel działania: stworzyć warunki do samodzielnego formułowania i udowodnienia własności linii ukośnej i prostopadłej opadającej z punktu na prostą, stworzyć warunki do udowodnienia twierdzenia o równej odległości punktów na liniach równoległych; organizować działania uczniów w celu dostrzeżenia, zrozumienia i wstępnego utrwalenia nowej wiedzy i metod działania.

Cel edukacyjny: rozwiń wiedzę, że prostopadła jest mniejsza niż jakakolwiek inna nachylona, ​​poprowadzona z jednego punktu na linię prostą, przy czym wszystkie punkty każdej z dwóch równoległych linii są w jednakowej odległości od drugiej prostej.

Temat: uczeń będzie miał okazję nauczyć się:

zastosować twierdzenie do rozwiązywania problemów praktycznych

analizować, porównywać, uogólniać, wyciągać wnioski w celu rozwiązania praktycznych problemów.

Metatemat:

UUD regulacyjny:

umiejętność samodzielnego wyznaczania celów, wybierania i tworzenia algorytmów rozwiązywania edukacyjnych problemów matematycznych;

umiejętność planowania i prowadzenia działań mających na celu rozwiązanie problemów badawczych.

UUD poznawczy:

• • umiejętność ustalania związków przyczynowo-skutkowych, budowania logicznego rozumowania, wnioskowania, wniosków;

  • umiejętność stawiania hipotez przy rozwiązywaniu problemów edukacyjnych i rozumienia potrzeby ich testowania; umiejętność stosowania indukcyjnych i dedukcyjnych metod rozumowania, dostrzegania różnych strategii rozwiązywania problemów;

  • rozwijać wstępne pomysły na temat idei i metod matematyki jako uniwersalnego języka nauki, środka modelowania zjawisk i procesów;

  • umiejętność rozumienia i wykorzystywania rysunków i rysunków do ilustracji, interpretacji, argumentacji.

UUD komunikacji:

• umiejętność organizowania współpracy edukacyjnej i wspólnych działań z nauczycielem i uczniami, ustalania celów, podziału funkcji i ról uczestników, ogólnych sposobów pracy;

• umiejętność pracy w grupie: znajdowania wspólnego rozwiązania i rozwiązywania konfliktów w oparciu o uzgadnianie stanowisk i uwzględnianie interesów, słuchanie partnera, formułowanie, argumentowanie i obronę własnego zdania.

Osobisty UUD:

• kształtowanie kompetencji komunikacyjnych w zakresie komunikacji i współpracy we wspólnych działaniach edukacyjnych i badawczych;

  rozwój umiejętności jasnego, dokładnego, kompetentnego wyrażania swoich myśli w mowie ustnej i pisemnej, rozumienia znaczenia zadania, budowania argumentacji, podawania przykładów i kontrprzykładów;

  rozwój krytycznego myślenia, umiejętność rozpoznawania logicznie niepoprawnych stwierdzeń, odróżniania hipotezy od faktu;

  rozwijać twórcze myślenie, inicjatywę, zaradność i aktywność w rozwiązywaniu problemów geometrycznych.

Struktura fragmentu lekcji odpowiadała typowi – lekcja odkrywania nowej wiedzy. Zgodnie z celami i treścią materiału lekcja została podzielona na następujące etapy:

I . Organizowanie czasu.

II . Aktualizowanie wiedzy.

III . Ustalenie celu lekcji . Wprowadzenie nowego materiału.

IV. Zastosowanie twierdzenia, realizacja prac praktycznych.

VI. Zreasumowanie.

Przestrzegano wszystkich elementów konstrukcyjnych lekcji. Organizacja procesu edukacyjnego opiera się na metodzie działania.

Cel pierwszego etapuŁatwo było szybko zintegrować studentów z rytmem biznesowym.

Na drugim etapie zaktualizowano wiedzę niezbędną do pracy nad nowym materiałem.

Na trzecim etapieAby zdefiniować pojęcia odległości punktu od linii, koncepcja linii ukośnej przyciągnęła dzieci do praktycznych zajęć z elementami wyszukiwania. Najpierw na poziomie intuicyjnym uczniowie postawili hipotezę, następnie samodzielnie udowodnili własność prostopadłej i ukośnej poprowadzonej z jednego punktu na prostą.

Generalnie zadania praktyczne realizowałem przez całą lekcję, także podczas wstępnej konsolidacji. Pomagają przyciągnąć uczniów do samodzielnej aktywności poznawczej i rozwiązać problemy podejścia do uczenia się opartego na kompetencjach.

Do sformułowania i udowodnienia twierdzenia o jednakowej odległości punktów na prostych równoległych posłużyłem się zadaniem problematycznym, które przyczyniło się do sformułowania hipotezy o właściwościach rozpatrywanych obiektów i późniejszego poszukiwania dowodu słuszności postawionego założenia do przodu.

Organizując pracę nad sformułowaniem twierdzenia, a następnie twierdzenia odwrotnego, osiągnąłem swój celrozwój wstępnych pomysłów na temat idei i metod matematyki jako uniwersalnego języka nauki, środka modelowania zjawisk i procesów.

Zajęcia edukacyjne i poznawcze organizowano poprzez pracę frontalną, pracę indywidualną i grupową. Organizacja ta umożliwiła włączenie każdego ucznia w aktywne działania na rzecz osiągnięcia celu. Studenci współpracowali ze sobą, udzielając sobie wzajemnej pomocy.

Uważam, że czas został rozłożony racjonalnie. W krótkim czasie udało nam się wprowadzić pojęcia: odległość punktu od prostej, linii ukośnej, odległość między równoległymi prostymi, sformułować i udowodnić dwa twierdzenia oraz rozważyć zastosowanie twierdzenia w praktyce.

Dla przejrzystości podczas lekcji wykorzystałem prezentację. Użyłem specjalnego programu do demonstracji, aby porównać długość skośnej i prostopadłej, w której ożywają kształty geometryczne. Podczas lekcji wykorzystałem pracę uczniów na tablicy sygnalizacyjnej, co rozwiązuje problemy równego udziału uczniów w lekcji, kontroli nad przyswajaniem materiału i oczywiście aktywizuje ucznia na lekcji.

Uczniowie byli aktywni na lekcji, udało mi się ich zaangażować w działalność badawczą, twórczą, konstruktywną metodę dowodzenia twierdzenia, sformułowanie twierdzenia

Na koniec zajęć uczniowie sami formułowali temat.

Odbicie