Lub, ściślej, jest skończoną formalną sumą formy
∑ ja do ja x 1 ja 1 x 2 ja 2 ⋯ x n ja n (\ Displaystyle \ suma _ (I) c_ (I) x_ (1) ^ (i_ (1)) x_ (2) ^ (i_ (2)) \ cdots x_(n)^(i_(n))), GdzieW szczególności wielomian w jednej zmiennej jest skończoną sumą formalną postaci
do 0 + do 1 x 1 + ⋯ + do m x m (\ Displaystyle c_ (0) + c_ (1) x ^ (1) + \ kropki + c_ (m) x ^ (m)), GdzieZa pomocą wielomianu wyprowadza się pojęcia „równania algebraicznego” i „funkcji algebraicznej”.
Studia i zastosowanie[ | ]
Badanie równań wielomianowych i ich rozwiązań było prawdopodobnie głównym przedmiotem „algebry klasycznej”.
Z badaniem wielomianów wiąże się cały szereg przemian w matematyce: wprowadzenie do rozważań liczb zerowych, ujemnych, a następnie liczb zespolonych, a także pojawienie się teorii grup jako gałęzi matematyki oraz identyfikacja klas specjalnych funkcje w analizie.
Techniczna prostota obliczeń związanych z wielomianami w porównaniu z bardziej złożonymi klasami funkcji, a także fakt, że zbiór wielomianów jest gęsty w przestrzeni funkcji ciągłych na zwartych podzbiorach przestrzeni euklidesowej (patrz twierdzenie o aproksymacji Weierstrassa), przyczyniły się do rozwój metod rozwinięcia szeregów i rozwinięć wielomianów, interpolacja w analizie matematycznej.
Wielomiany odgrywają także kluczową rolę w geometrii algebraicznej, której przedmiotem są zbiory zdefiniowane jako rozwiązania układów wielomianów.
Specjalne właściwości współczynników przekształcających podczas mnożenia wielomianów są wykorzystywane w geometrii algebraicznej, algebrze, teorii węzłów i innych gałęziach matematyki do kodowania lub wyrażania właściwości różnych obiektów w wielomianach.
Powiązane definicje[ | ]
- Wielomian postaci do x 1 ja 1 x 2 ja 2 ⋯ x n ja n (\ Displaystyle cx_ (1) ^ (i_ (1)) x_ (2) ^ (i_ (2)) \ cdots x_ (n) ^ (i_ (n))) zwany jednomian Lub jednomian wieloindeksowy ja = (ja 1 , … , ja n) (\ Displaystyle I = (i_ (1), \ kropki, \, i_ (n))).
- Jednomian odpowiadający wieloindeksowi ja = (0 , … , 0) (\ displaystyle I = (0, \ kropki, \, 0)) zwany Wolny Członek.
- Pełny stopień(niezerowy) jednomian do ja x 1 ja 1 x 2 ja 2 ⋯ x n ja n (\ Displaystyle c_ (I) x_ (1) ^ (i_ (1)) x_ (2) ^ (i_ (2)) \ cdots x_ (n) ^ (i_ (N))) nazywana liczbą całkowitą | ja | = ja 1 + ja 2 + ⋯ + ja n (\ Displaystyle | I | = i_ (1) + i_ (2) + \ kropki + i_ (n)).
- Wiele multiindeksów I, dla którego współczynniki do ja (\ displaystyle c_ (ja)) niezerowy, tzw nośnik wielomianu, a jego wypukły kadłub jest Wielościan Newtona.
- Stopień wielomianu nazywa się maksimum potęg jego jednomianów. Stopień identycznego zera jest dalej określany przez wartość - ∞ (\ Displaystyle - \ infty).
- Nazywa się wielomian będący sumą dwóch jednomianów dwumianowy Lub dwumianowy,
- Nazywa się wielomian będący sumą trzech jednomianów trójmian.
- Współczynniki wielomianu są zwykle pobierane z określonego pierścienia przemiennego R (\ displaystyle R)(najczęściej pola, na przykład pola liczb rzeczywistych lub zespolonych). W tym przypadku, w odniesieniu do operacji dodawania i mnożenia, wielomiany tworzą pierścień (co więcej, algebra łączno-przemienna nad pierścieniem R (\ displaystyle R) bez dzielników zera), co jest oznaczone R [ x 1 , x 2 , … , x n ] . (\ displaystyle R.)
- Dla wielomianu p (x) (\ displaystyle p (x)) jedna zmienna, rozwiązując równanie p (x) = 0 (\ displaystyle p (x) = 0) nazywa się jego korzeniem.
Funkcje wielomianowe[ | ]
Pozwalać A (\ displaystyle A) istnieje algebra nad pierścieniem R (\ displaystyle R). Dowolny wielomian p (x) ∈ R [ x 1 , x 2 , … , x n ] (\ Displaystyle p (x) \ w R) definiuje funkcję wielomianową
p R: ZA → ZA (\ Displaystyle p_ (R): A \ do A).Najczęściej rozważanym przypadkiem jest ZA = R (\ displaystyle A = R).
Jeśli R (\ displaystyle R) jest ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych (a także dowolnym innym ciałem o nieskończonej liczbie elementów), funkcją fa p: R n → R (\ displaystyle f_ (p): R ^ (n) \ do R) całkowicie definiuje wielomian p. Jednak generalnie nie jest to prawdą, na przykład: wielomiany p 1 (x) ≡ x (\ Displaystyle p_ (1) (x) \ odpowiednik x) I p 2 (x) ≡ x 2 (\ Displaystyle p_ (2) (x) \ odpowiednik x ^ (2)) z Z 2 [ x ] (\ Displaystyle \ mathbb (Z) _ (2) [x]) zdefiniować identycznie równe funkcje Z 2 → Z 2 (\ Displaystyle \ mathbb (Z) _ (2) \ do \ mathbb (Z) _ (2)).
Funkcja wielomianowa jednej zmiennej rzeczywistej nazywana jest całą funkcją wymierną.
Rodzaje wielomianów[ | ]
Nieruchomości [ | ]
Podzielność [ | ]
Rola wielomianów nieredukowalnych w pierścieniu wielomianowym jest podobna do roli liczb pierwszych w pierścieniu liczb całkowitych. Na przykład prawdziwe jest twierdzenie: jeśli iloczyn wielomianów p q (\ displaystyle pq) jest wówczas podzielna przez nieredukowalny wielomian P Lub Q podzielony przez λ (\ displaystyle \ lambda). Każdy wielomian stopnia większego od zera można w danym polu rozłożyć na iloczyn czynników nieredukowalnych w unikalny sposób (aż do współczynników stopnia zerowego).
Na przykład wielomian x 4 - 2 (\ displaystyle x ^ (4) -2), nieredukowalny w dziedzinie liczb wymiernych, rozkłada się na trzy czynniki w dziedzinie liczb rzeczywistych i na cztery czynniki w dziedzinie liczb zespolonych.
Ogólnie rzecz biorąc, każdy wielomian ma jedną zmienną x (\ displaystyle x) rozkłada się w dziedzinie liczb rzeczywistych na czynniki pierwszego i drugiego stopnia, w dziedzinie liczb zespolonych na czynniki pierwszego stopnia (podstawowe twierdzenie algebry).
W przypadku dwóch lub więcej zmiennych nie można już tego powiedzieć. Nad dowolnym polem dla każdego n > 2 (\ displaystyle n> 2) istnieją wielomiany n (\ displaystyle n) zmienne, które są nieredukowalne w dowolnym rozszerzeniu tego ciała. Takie wielomiany nazywane są absolutnie nieredukowalnymi.
Pojęcie wielomianu
Definicja wielomianu: Wielomian jest sumą jednomianów. Przykład wielomianu:
tutaj widzimy sumę dwóch jednomianów i jest to wielomian, tj. suma jednomianów.
Wyrazy tworzące wielomian nazywane są wyrazami wielomianu.
Czy różnica jednomianów jest wielomianem? Tak, bo różnicę łatwo sprowadzić do sumy, np.: 5a – 2b = 5a + (-2b).
Monomiany są również uważane za wielomiany. Ale jednomian nie ma sumy, więc dlaczego uważa się go za wielomian? Możesz dodać do tego zero i otrzymać jego sumę za pomocą zerowego jednomianu. Zatem jednomian jest szczególnym przypadkiem wielomianu; składa się z jednego wyrazu.
Liczba zero jest wielomianem zerowym.
Standardowa postać wielomianu
Co to jest wielomian w postaci standardowej? Wielomian jest sumą jednomianów i jeśli wszystkie te jednomiany tworzące wielomian są zapisane w postaci standardowej i nie powinno być wśród nich podobnych, wówczas wielomian jest zapisany w postaci standardowej.
Przykład wielomianu w postaci standardowej:
tutaj wielomian składa się z 2 jednomianów, z których każdy ma postać standardową, wśród jednomianów nie ma podobnych.
Teraz przykład wielomianu, który nie ma standardowej postaci:
tutaj dwa jednomiany: 2a i 4a są podobne. Należy je dodać, wówczas wielomian przyjmie postać standardową:
Inny przykład:
Czy ten wielomian można sprowadzić do postaci standardowej? Nie, jego druga kadencja nie jest zapisana w standardowej formie. Zapisując to w postaci standardowej, otrzymujemy wielomian w postaci standardowej:
Stopień wielomianu
Jaki jest stopień wielomianu?
Definicja stopnia wielomianu:
Stopień wielomianu to najwyższy stopień, jaki mają jednomiany tworzące dany wielomian w postaci standardowej.
Przykład. Jaki jest stopień wielomianu 5h? Stopień wielomianu 5h jest równy jeden, ponieważ wielomian ten zawiera tylko jeden jednomian i jego stopień jest równy jeden.
Inny przykład. Jaki jest stopień wielomianu 5a 2 h 3 s 4 +1? Stopień wielomianu 5a 2 h 3 s 4 + 1 jest równy dziewięć, ponieważ wielomian ten zawiera dwa jednomiany, pierwszy jednomian 5a 2 h 3 s 4 ma najwyższy stopień i jego stopień wynosi 9.
Inny przykład. Jaki jest stopień wielomianu 5? Stopień wielomianu 5 wynosi zero. Zatem stopień wielomianu składającego się tylko z liczby, tj. bez liter równa się zero.
Ostatni przykład. Jaki jest stopień wielomianu zerowego, tj. zero? Stopień wielomianu zerowego nie jest zdefiniowany.
wielomian, wyrażenie postaci
Axkyl┘..wm + Bxnyp┘..wq + ┘┘ + Dxrts┘..wt,
gdzie x, y, ..., w ≈ zmienne, a A, B, ..., D (współczynniki M) oraz k, l, ..., t (wykładniki ≈ nieujemne liczby całkowite) ≈ stałe. Poszczególne wyrazy postaci Ахkyl┘..wm nazywane są wyrazami M. Kolejność wyrazów, a także kolejność czynników w każdym wyrazie można dowolnie zmieniać; w ten sam sposób można wprowadzić lub pominąć wyrazy o zerowych współczynnikach, a w każdym wyrazie ≈ potęgi o zerowych współczynnikach. Kiedy struktura ma jeden, dwa lub trzy elementy, nazywa się ją jednomianem, dwumianem lub trójmianem. Dwa wyrazy równania nazywamy podobnymi, jeśli ich wykładniki dla identycznych zmiennych są parami równe. Podobni członkowie
A"хkyl┘..wm, B"xkyl┘..wm, ┘.., D"xkyl┘..wm
można zastąpić jednym (przynosząc podobne terminy). Dwa modele nazywamy równymi, jeżeli po redukcji podobnych wszystkie wyrazy o niezerowych współczynnikach okażą się parami identyczne (ale być może zapisane w innej kolejności), a także jeśli wszystkie współczynniki tych modeli okażą się równe zero. W tym drugim przypadku wielkość nazywa się identycznym zerem i oznacza się ją znakiem 0. Ilość jednej zmiennej x można zawsze zapisać w postaci
P(x) = a0xn+ a1xn-1 + ... + an-1x+ an,
gdzie a0, a1,..., an ≈ współczynniki.
Suma wykładników dowolnego elementu modelu nazywana jest stopniem tego elementu. Jeżeli M nie jest identycznie zerowe, to wśród wyrazów o niezerowych współczynnikach (zakłada się, że wszystkie takie wyrazy są podane) znajduje się jeden lub więcej stopni najwyższych; ten największy stopień nazywany jest stopniem M. Identyczne zero nie ma stopnia. M. stopnia zerowego sprowadza się do jednego członu A (stałego, nierównego zero). Przykłady: xyz + x + y + z jest wielomianem trzeciego stopnia, 2x + y ≈ z + 1 jest wielomianem pierwszego stopnia (liniowe M), 5x2 ≈ 2x2 ≈ 3x2 nie ma stopnia, ponieważ jest identyczne zero . Model, którego wszystkie elementy są w tym samym stopniu, nazywany jest modelem jednorodnym lub formą; formy pierwszego, drugiego i trzeciego stopnia nazywane są liniowymi, kwadratowymi, sześciennymi i zgodnie z liczbą zmiennych (dwa, trzy) binarne (binarne), trójdzielne (potrójne) (na przykład x2 + y2 + z2 ≈ xy ≈ yz ≈ xz jest trójdzielną formą kwadratową ).
W odniesieniu do współczynników matematycznych przyjmuje się, że należą one do określonego obszaru (patrz Pole algebraiczne), na przykład obszaru liczb wymiernych, rzeczywistych lub zespolonych. Wykonując operacje dodawania, odejmowania i mnożenia na modelu opartym na prawach przemienności, kombinacji i rozdzielności ponownie otrzymujemy model.W ten sposób zbiór wszystkich modeli o współczynnikach z danego ciała tworzy pierścień (patrz Algebraika pierścień) ≈ pierścień wielomianów nad danym ciałem; pierścień ten nie ma dzielników zera, to znaczy iloczyn liczb różnych od 0 nie może dać 0.
Jeśli dla dwóch wielomianów P(x) i Q(x) można znaleźć wielomian R(x) taki, że P = QR, to mówimy, że P jest podzielne przez Q; Q nazywa się dzielnikiem, a R ≈ ilorazem. Jeśli P nie jest podzielne przez Q, to można znaleźć wielomiany P(x) i S(x) takie, że P = QR + S, a stopień S(x) jest mniejszy niż stopień Q(x).
Stosując wielokrotnie tę operację, można znaleźć największy wspólny dzielnik P i Q, to znaczy dzielnik P i Q, który jest podzielny przez dowolny wspólny dzielnik tych wielomianów (patrz algorytm Euklidesa). Macierz, którą można przedstawić jako iloczyn macierzy niższych stopni o współczynnikach z danego ciała, nazywa się redukowalną (w danym polu), w przeciwnym razie nazywa się ją nieredukowalną. Liczby nieredukowalne odgrywają w pierścieniu liczb rolę podobną do liczb pierwszych w teorii liczb całkowitych. Na przykład prawdziwe jest twierdzenie: jeśli iloczyn PQ jest podzielny przez nieredukowalny wielomian R, ale P nie jest podzielny przez R, to Q musi być podzielne przez R. Każde M stopnia większego od zera można rozłożyć na dane pole na iloczyn czynników nieredukowalnych w unikalny sposób (do współczynników stopnia zerowego). Na przykład rozkłada się na czynniki wielomian x4 + 1, nieredukowalny w dziedzinie liczb wymiernych
w przypadku liczb rzeczywistych i przez cztery czynniki – w przypadku liczb zespolonych. Generalnie każdy model jednej zmiennej x rozkłada się w zakresie liczb rzeczywistych na czynniki pierwszego i drugiego stopnia, a w zakresie liczb zespolonych na czynniki pierwszego stopnia (podstawowe twierdzenie algebry). Nie można już tego powiedzieć w przypadku dwóch lub większej liczby zmiennych; na przykład wielomian x3 + yz2 + z3 jest nieredukowalny w dowolnym polu liczbowym.
Jeśli zmiennym x, y, ..., w zostaną podane określone wartości liczbowe (na przykład rzeczywiste lub zespolone), wówczas M również otrzyma określoną wartość liczbową. Wynika z tego, że każdy model można rozpatrywać jako funkcję odpowiednich zmiennych. Funkcja ta jest ciągła i różniczkowalna dla dowolnych wartości zmiennych; można ją scharakteryzować jako całą funkcję wymierną, czyli funkcję otrzymaną ze zmiennych i niektórych stałych (współczynników) poprzez dodawanie, odejmowanie i mnożenie wykonywane w określonej kolejności. Całe funkcje wymierne zaliczane są do szerszej klasy funkcji wymiernych, gdzie do wymienionych działań dodawany jest podział: dowolną funkcję wymierną można przedstawić jako iloraz dwóch M. Wreszcie funkcje wymierne zawarte są w klasie funkcji algebraicznych.
Jedną z najważniejszych właściwości matematyki jest to, że dowolną funkcję ciągłą można zastąpić przez matematykę dowolnie małym błędem (twierdzenie Weierstrassa; jego dokładne sformułowanie wymaga, aby dana funkcja była ciągła w pewnym ograniczonym, zamkniętym zbiorze punktów, na przykład na odcinek osi rzeczywistej). Fakt ten, udowodniony za pomocą analizy matematycznej, pozwala w przybliżeniu wyrazić matematycznie dowolną zależność między wielkościami badanymi w dowolnym zagadnieniu nauk przyrodniczych i technicznych. Metody takiego wyrażenia są badane w specjalnych działach matematyki (patrz Aproksymacja i interpolacja funkcji, Metoda najmniejszych kwadratów).
W algebrze elementarnej wielomian nazywany jest czasem wyrażeniem algebraicznym, w którym ostatnią czynnością jest na przykład dodawanie lub odejmowanie
Oświetlony. : Kurosh A.G., Course of Higher Algebra, wyd. 9, M., 1968; Mishina A.P., Proskuryakov I.V., Algebra wyższa, wyd. 2, M., 1965.
Po przestudiowaniu jednomianów przechodzimy do wielomianów. W tym artykule dowiesz się o wszystkich niezbędnych informacjach wymaganych do wykonania na nich działań. Zdefiniujemy wielomian wraz z towarzyszącymi definicjami składnika wielomianowego, czyli swobodnego i podobnego, rozważymy wielomian w postaci standardowej, wprowadzimy stopień i nauczymy się go znajdować oraz pracować z jego współczynnikami.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Wielomian i jego pojęcia - definicje i przykłady
Definicja wielomianu była już konieczna 7 zajęcia po przestudiowaniu jednomianów. Przyjrzyjmy się jego pełnej definicji.
Definicja 1
Wielomian Obliczana jest suma jednomianów, a sam jednomian jest szczególnym przypadkiem wielomianu.
Z definicji wynika, że przykłady wielomianów mogą być różne: 5 , 0 , − 1 , X, 5 a b 3, x 2 · 0 , 6 · x · (− 2) · y 12 , - 2 13 · x · y 2 · 3 2 3 · x · x 3 · y · z i tak dalej. Z definicji mamy to 1+x, za 2 + b 2 i wyrażenie x 2 - 2 x y + 2 5 x 2 + y 2 + 5, 2 y x są wielomianami.
Przyjrzyjmy się kolejnym definicjom.
Definicja 2
Członkowie wielomianu nazywane są jego jednomianami składowymi.
Rozważmy przykład, w którym mamy wielomian 3 x 4 − 2 x y + 3 − y 3, składający się z 4 wyrazów: 3 x 4, − 2 x y, 3 i - y 3. Taki jednomian można uznać za wielomian, który składa się z jednego wyrazu.
Definicja 3
Wielomiany zawierające 2, 3 trójmiany mają odpowiednią nazwę - dwumianowy I trójmian.
Wynika z tego wyrażenie formy x+y– jest dwumianem, a wyrażenie 2 x 3 q − q x x x + 7 b jest trójmianem.
Zgodnie z programem szkolnym pracowaliśmy z dwumianem liniowym w postaci a · x + b, gdzie a i b to pewne liczby, a x to zmienna. Rozważmy przykłady dwumianów liniowych postaci: x + 1, x · 7, 2 − 4 z przykładami trójmianów kwadratowych x 2 + 3 · x − 5 i 2 5 · x 2 - 3 x + 11.
Aby przekształcić i rozwiązać, należy znaleźć i przynieść podobne terminy. Na przykład wielomian w postaci 1 + 5 x - 3 + y + 2 x ma podobne wyrazy 1 i - 3, 5 x i 2 x. Dzielą się one na specjalną grupę zwaną podobnymi członkami wielomianu.
Definicja 4
Podobne wyrazy wielomianu są podobnymi terminami występującymi w wielomianie.
W powyższym przykładzie mamy, że 1 i - 3, 5 x i 2 x są podobnymi wyrazami wielomianu lub podobnymi wyrazami. Aby uprościć wyrażenie, znajdź i skróć podobne terminy.
Wielomian postaci standardowej
Wszystkie jednomiany i wielomiany mają swoje własne nazwy.
Definicja 5
Wielomian postaci standardowej jest wielomianem, w którym każdy zawarty w nim wyraz ma jednomian w postaci standardowej i nie zawiera wyrazów podobnych.
Z definicji jasno wynika, że wielomiany postaci standardowej można redukować, na przykład 3 x 2 − x y + 1 i __formula__, a wpis ma standardową formę. Wyrażenia 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z i 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z nie są wielomianami postaci standardowej, ponieważ pierwszy z nich ma podobne wyrazy w forma 3 · x 2 i − x 2, a drugi zawiera jednomian postaci x · y 3 · x · z 2, który różni się od wielomianu standardowego.
Jeśli wymagają tego okoliczności, czasami wielomian sprowadza się do postaci standardowej. Pojęcie wolnego terminu wielomianu jest również uważane za wielomian w postaci standardowej.
Definicja 6
Swobodny wyraz wielomianu jest wielomianem w postaci standardowej, który nie ma części dosłownej.
Innymi słowy, gdy wielomian w postaci standardowej ma liczbę, nazywa się go członkiem swobodnym. Wtedy liczba 5 jest wyrazem wolnym wielomianu x 2 z + 5, a wielomian 7 a + 4 a b + b 3 nie ma terminu wolnego.
Stopień wielomianu - jak go znaleźć?
Definicja stopnia samego wielomianu opiera się na definicji wielomianu w postaci standardowej oraz na stopniach jednomianów będących jego składnikami.
Definicja 7
Stopień wielomianu postaci standardowej nazywany jest największym ze stopni zawartych w jego zapisie.
Spójrzmy na przykład. Stopień wielomianu 5 x 3 − 4 jest równy 3, gdyż jednomiany wchodzące w jego skład mają odpowiednio stopnie 3 i 0, a większy z nich ma odpowiednio stopień 3. Definicja stopnia z wielomianu 4 x 2 y 3 − 5 x 4 y + 6 x jest równa największej z liczb, czyli 2 + 3 = 5, 4 + 1 = 5 i 1, co oznacza 5 .
Należy dowiedzieć się, w jaki sposób znajduje się sam stopień.
Definicja 8
Stopień wielomianu dowolnej liczby jest stopniem odpowiedniego wielomianu w postaci standardowej.
Kiedy wielomian nie jest zapisany w postaci standardowej, ale trzeba znaleźć jego stopień, należy go zredukować do postaci standardowej, a następnie znaleźć wymagany stopień.
Przykład 1
Znajdź stopień wielomianu 3 za 12 - 2 za b do do za do b + y 2 z 2 - 2 za 12 - za 12.
Rozwiązanie
Najpierw przedstawmy wielomian w postaci standardowej. Otrzymujemy wyrażenie w postaci:
3 za 12 - 2 za b do do za do b + y 2 z 2 - 2 za 12 - za 12 = = (3 za 12 - 2 za 12 - za 12) - 2 · (a · a) · (b · b) · (c · c) + y 2 · z 2 = = - 2 · za 2 · b 2 · do 2 + y 2 · z 2
Otrzymując wielomian o postaci standardowej, zauważamy, że wyraźnie wyróżniają się dwa z nich - 2 · a 2 · b 2 · c 2 i y 2 · z 2 . Aby znaleźć stopnie, liczymy i stwierdzamy, że 2 + 2 + 2 = 6 i 2 + 2 = 4. Jak widać, największy z nich to 6. Z definicji wynika, że 6 to stopień wielomianu − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2 , a zatem wartość pierwotna.
Odpowiedź: 6 .
Współczynniki wyrazów wielomianowych
Definicja 9Kiedy wszystkie wyrazy wielomianu są jednomianami postaci standardowej, wówczas w tym przypadku mają nazwę współczynniki wyrazów wielomianowych. Inaczej mówiąc, można je nazwać współczynnikami wielomianu.
Rozważając przykład, widać, że wielomian postaci 2 x - 0, 5 x y + 3 x + 7 zawiera 4 wielomiany: 2 x, - 0, 5 x y, 3 x i 7 z odpowiadającymi im współczynnikami 2, - 0, 5, 3 i 7. Oznacza to, że 2, − 0, 5, 3 i 7 uważa się za współczynniki wyrazów danego wielomianu w postaci 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7. Podczas konwersji należy zwrócić uwagę na współczynniki przed zmiennymi.
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter
Z definicji wielomian jest wyrażeniem algebraicznym reprezentującym sumę jednomianów.
Na przykład: 2*a^2 + 4*a*x^7 - 3*a*b^3 + 4; 6 + 4*b^3 to wielomiany, a wyrażenie z/(x - x*y^2 + 4) nie jest wielomianem, ponieważ nie jest sumą jednomianów. Wielomian jest czasami nazywany wielomianem, a jednomiany będące częścią wielomianu są członkami wielomianu lub jednomianów.
Złożone pojęcie wielomianu
Jeśli wielomian składa się z dwóch wyrazów, nazywa się go dwumianem, a jeśli składa się z trzech, nazywa się go trójmianem. Nazwy czteromian, pięciomian i inne nie są używane i w takich przypadkach mówi się po prostu wielomian. Takie nazwy, w zależności od liczby terminów, stawiają wszystko na swoim miejscu.
A termin jednomian staje się intuicyjny. Z matematycznego punktu widzenia jednomian jest szczególnym przypadkiem wielomianu. Jednomian to wielomian składający się z jednego wyrazu.
Podobnie jak jednomian, wielomian ma swoją własną standardową postać. Postać standardowa wielomianu to taki zapis wielomianu, w którym wszystkie zawarte w nim jednomiany jako wyrazy są zapisane w postaci standardowej i podane są podobne terminy.
Standardowa postać wielomianu
Procedura redukcji wielomianu do postaci standardowej polega na sprowadzeniu każdego z jednomianów do postaci standardowej, a następnie dodaniu wszystkich podobnych jednomianów. Dodanie podobnych wyrazów wielomianu nazywa się redukcją podobieństwa.
Na przykład przedstawmy podobne wyrazy w wielomianie 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b.
Terminy 4*a*b^2*c^3 i 6*a*b^2*c^3 są tutaj podobne. Suma tych wyrazów będzie jednomianem 10*a*b^2*c^3. Zatem pierwotny wielomian 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b można zapisać jako 10*a*b^2*c^3 - a* B . Ten wpis będzie standardową formą wielomianu.
Z faktu, że dowolny jednomian można sprowadzić do postaci standardowej, wynika również, że każdy wielomian można sprowadzić do postaci standardowej.
Kiedy wielomian sprowadza się do postaci standardowej, możemy mówić o takim pojęciu, jak stopień wielomianu. Stopień wielomianu to najwyższy stopień jednomianu zawarty w danym wielomianu.
Zatem np. 1 + 4*x^3 - 5*x^3*y^2 jest wielomianem piątego stopnia, gdyż maksymalny stopień jednomianu zawarty jest w wielomianie (5*x^3*y^ 2) jest piąty.