Większość problemów życiowych rozwiązuje się w formie równań algebraicznych: sprowadzając je do najprostszej postaci, tj. do opracowania jednolitego modelu matematycznego. Sposób wprowadzania nowej zmiennej pozwala przy rozwiązywaniu równań i nierówności trygonometrycznych, wykładniczych, logarytmicznych przystąpić do kompilacji jednego, prostszego modelu: równania kwadratowego lub nierówności.

Przykład 1: Rozwiąż równanie 4 x + 2 x+1 – 24 = 0.

Rozwiązanie.

1. Pierwszy etap. Opracowanie modelu matematycznego.

Zauważając, że 4 x = (2 2 ) x = 2 2x = (2 x ) 2 i 2 x+1 = 2 2 x , przepisujemy podane równanie w postaci (2 x ) 2 + 2 2 x – 24 = 0.

Sensowne jest wprowadzenie nowej zmiennej: y = 2 X ; wtedy równanie przyjmie postać 2 + 2у – 24 = 0. Model matematyczny został opracowany. To jest równanie kwadratowe. 2. Drugi etap. Praca ze skompilowanym modelem. Po rozwiązaniu równania kwadratowego 2 + 2у – 24 = 0 względem y znajdujemy: y 1 = 4, y 2 = -6.

3. Trzeci etap. Odpowiedź na pytanie problemowe.

Ponieważ y = 2 x , Musimy więc rozwiązać dwa równania: 2 x = 4; 2 x = -6.

Z pierwszego równania znajdujemy: x = 2; drugie równanie nie ma pierwiastków, ponieważ dla dowolnych wartości x spełniona jest nierówność 2 x > 0.

Odpowiedź: 2.

Przykład 2. Zadanie znalezienia największych i najmniejszych wartości wielkości.

Zbiornik, który wygląda jak prostokątny równoległościan o kwadratowej podstawie, powinien pomieścić 500 litrów wody. Po której stronie podstawy będzie najmniejsza powierzchnia zbiornika (bez pokrywy)?

Rozwiązanie. Pierwszy etap. Opracowanie modelu matematycznego.

1) Zoptymalizowaną wartością (O.V.) jest powierzchnia zbiornika, ponieważ problem polega na ustaleniu, kiedy ta powierzchnia będzie najmniejsza. Oznaczmy O.V. literą S.

2) Pole powierzchni zależy od wymiarów prostokątnego równoległościanu. Zadeklarujmy jako zmienną niezależną (I.P.) bok kwadratu stanowiący podstawę zbiornika; Oznaczmy to literą x. Jest oczywiste, że x > 0. Nie ma innych ograniczeń, co oznacza 0

3) Jeżeli w zbiorniku mieści się 500 litrów wody, to objętość V zbiornika wynosi 500 dm 3 . Jeśli h jest wysokością zbiornika, to V = x 2 h, skąd znajdujemy h=Powierzchnia zbiornika składa się z kwadratu o boku x i czterech prostokątów o bokach x i. Oznacza,

S = x 2 + 4 · x= x 2 + .

Zatem S = X 2 +, gdzie x € (0; + ) (uwzględniliśmy, że V = 500)

Opracowano model matematyczny problemu.

Druga faza. Praca ze skompilowanym modelem.

Na tym etapie dla funkcji S = x 2 + , gdzie x € (0; + )

Musimy znaleźć nazwę. Do tego potrzebna jest pochodna funkcji:

S" = 2x - ;

S" = .

Na przedziale (0; +oo) nie ma punktów krytycznych i jest tylko jeden punkt stacjonarny: S” = 0 przy x = 10.

Zauważmy, że przy x 10 zachodzi nierówność S" > 0. Oznacza to, że x = 10 jest jedynym punktem stacjonarnym i punktem minimalnym funkcji na danym przedziale, a więc zgodnie z twierdzeniem z punktu 1, w tym punkt, w którym funkcja osiąga wartość minimalną.

Trzeci etap. Odpowiedź na pytanie problemowe.

Problem dotyczy tego, która strona podstawy powinna być, aby zbiornik miał jak najmniejszą powierzchnię. Ustaliliśmy, że bok kwadratu stanowiącego podstawę takiego zbiornika wynosi 10 dm.

Odpowiedź: 10 dm.

Model matematyczny to sposób opisu rzeczywistej sytuacji życiowej (zadania) za pomocą języka matematycznego. Sytuacja rzeczywista Model matematyczny Kristina i Gleb mają tę samą liczbę ocen x = y Kristina ma o 6 punktów więcej niż Gleb x + 6 = y x - 6 = y x + y= 6 Gleb ma 4 razy więcej ocen niż Kristina 4x = y x = y. 4 lata: x = 4

Pierwszy pracownik wykonuje to zadanie w t godzin, drugi wykonuje to samo zadanie w v godzin, przy czym pierwszy pracownik pracuje o 3 godziny dłużej niż drugi.

Trzy kilogramy jabłek kosztują tyle samo, co dwa kilogramy gruszek. Wiadomo, że 1 kg jabłek kosztuje x r., a 1 kg gruszek kosztuje x r. X r. przy rzece

Koszt szklanki soku z mandarynek wynosi r., a szklanka soku winogronowego wynosi r. Wiadomo, że 5 szklanek soku winogronowego kosztuje tyle samo, co 6 szklanek soku mandarynkowego.

Z punktów A i B rowerzysta z prędkością v 1 i motocyklista z prędkością v 2 odjechali jednocześnie ku sobie i spotkali się po t godzinach. t A B s v1v1 v2v2 Ruch w kierunku v = v 1 + v 2

Samochód o prędkości v 1 i autobus o prędkości v 2 opuściły punkt A jednocześnie w przeciwnych kierunkach v1v1 v2v2 A Ruch w przeciwnych kierunkach v = v 1 + v 2

Samochód osobowy i ciężarówka opuściły punkt A jednocześnie w tym samym kierunku, ich prędkości wynosiły odpowiednio x km/h i y km/h. X km/h Y km/ht Ruch w jednym kierunku v = x-y

Rowerzysta opuścił punkt A. W tym samym czasie pieszy opuścił punkt B, oddalony o 30 km w kierunku jazdy rowerzysty, w tym samym kierunku z prędkością x km/h. Wiadomo, że rowerzysta dogonił pieszego po t godzinach 30 km x km/h

12 Przy rozwiązywaniu problemów algebraicznie rozumowanie dzieli się na trzy etapy: sporządzenie modelu matematycznego; modele; praca z modelem matematycznym praca z modelem matematycznym (rozwiązywanie równania) model (rozwiązywanie równania) odpowiadanie na pytanie o problem. odpowiedź na pytanie problemowe. Etapy modelowania matematycznego

Co to jest model matematyczny?

Pojęcie modelu matematycznego.

Model matematyczny to bardzo prosta koncepcja. I bardzo ważne. To modele matematyczne, które łączą matematykę z prawdziwym życiem.

W prostych słowach, model matematyczny to matematyczny opis dowolnej sytuacji. To wszystko. Model może być prymitywny lub bardzo złożony. Niezależnie od sytuacji, taki jest model.)

W każdym (powtarzam - w jakimkolwiek!) w przypadku, gdy trzeba coś policzyć i obliczyć - zajmujemy się modelowaniem matematycznym. Nawet jeśli tego nie podejrzewamy.)

P = 2 CB + 3 CM

Wpis ten będzie matematycznym modelem kosztów naszych zakupów. Model nie uwzględnia koloru opakowania, daty ważności, uprzejmości kasjerów itp. Dlatego ona Model, nie jest to faktyczny zakup. Ale wydatki, tj. Czego potrzebujemy– przekonamy się na pewno. Jeśli oczywiście model jest poprawny.

Warto wyobrazić sobie, czym jest model matematyczny, ale to nie wystarczy. Najważniejsze jest, aby móc budować te modele.

Opracowanie (budowa) modelu matematycznego problemu.

Stworzenie modelu matematycznego oznacza przełożenie warunków problemu na formę matematyczną. Te. zamień słowa na równanie, wzór, nierówność itp. Co więcej, przekształć go tak, aby ta matematyka ściśle odpowiadała tekstowi źródłowemu. W przeciwnym razie otrzymamy model matematyczny jakiegoś innego, nieznanego nam problemu.)

Dokładniej potrzebujesz

Na świecie istnieje nieskończona liczba zadań. Dlatego podaj jasne instrukcje krok po kroku dotyczące sporządzenia modelu matematycznego każdy zadania są niemożliwe.

Ale są trzy główne punkty, na które należy zwrócić uwagę.

1. Co dziwne, każdy problem zawiera tekst.) Ten tekst z reguły zawiera jasne, otwarte informacje. Liczby, wartości itp.

2. Każdy problem ma ukryte informacje. To tekst, który zakłada dodatkową wiedzę w Twojej głowie. Bez nich nie ma mowy. Poza tym informacje matematyczne często skrywają się za prostymi słowami i... umykają uwadze.

3. Należy zadać dowolne zadanie łączenie danych ze sobą. To połączenie można podać zwykłym tekstem (coś równa się coś) lub można je ukryć za prostymi słowami. Często jednak pomija się proste i jasne fakty. A model nie jest w żaden sposób skompilowany.

Od razu powiem: aby zastosować te trzy punkty, trzeba przeczytać problem (i to uważnie!) kilka razy. Zwykła rzecz.

A teraz - przykłady.

Zacznijmy od prostego problemu:

Pietrowicz wrócił z połowów i dumnie zaprezentował rodzinie swój połów. Po bliższym zbadaniu okazało się, że 8 ryb pochodziło z mórz północnych, 20% wszystkich ryb pochodziło z mórz południowych, a ani jedna nie pochodziła z lokalnej rzeki, w której łowił Pietrowicz. Ile ryb Pietrowicz kupił w sklepie z owocami morza?

Wszystkie te słowa należy przekształcić w jakieś równanie. Aby to zrobić, potrzebujesz, powtarzam, ustalić matematyczne powiązanie pomiędzy wszystkimi danymi w zadaniu.

Gdzie zacząć? Najpierw wyodrębnijmy wszystkie dane z zadania. Zacznijmy po kolei:

Zwróćmy uwagę na pierwszy punkt.

Który jest tutaj? wyraźny informacje matematyczne? 8 ryb i 20%. Niewiele, ale nie potrzebujemy dużo.)

Zwróćmy uwagę na drugi punkt.

Szuka ukryty Informacja. To tu. Oto słowa: „20% wszystkich ryb„. Tutaj musisz zrozumieć Czym są odsetki i jak są naliczane? W przeciwnym razie problemu nie da się rozwiązać. To właśnie te dodatkowe informacje, które powinny znaleźć się w Twojej głowie.

Jest również matematyczny informacje, które są całkowicie niewidoczne. Ten pytanie zadaniowe: "Ile ryb kupiłem…” To także jest liczba. A bez tego nie powstanie żaden model. Dlatego oznaczmy tę liczbę literą "X". Nie wiemy jeszcze, ile x jest równe, ale to oznaczenie będzie dla nas bardzo przydatne. Więcej szczegółów na temat tego, co wziąć na X i jak sobie z tym poradzić, opisano w lekcji Jak rozwiązywać problemy z matematyki? Zapiszmy to od razu:

x sztuk - całkowita ilość ryb.

W naszym zadaniu ryby południowe podane są w procentach. Musimy je przerobić na kawałki. Po co? A co w takim razie każdy należy opracować problem modelu w tego samego rodzaju ilościach. Kawałki - więc wszystko jest w kawałkach. Jeśli podano, powiedzmy, godziny i minuty, przekładamy wszystko na jedną rzecz – albo tylko godziny, albo tylko minuty. Nie ma znaczenia, co to jest. To jest ważne, by wszystkie wartości były tego samego typu.

Wróćmy do ujawniania informacji. Kto nie wie co to jest procent nigdy tego nie ujawni, tak... A kto wie, od razu powie, że podane są tutaj procenty całkowitej liczby ryb. A my nie znamy tej liczby. Nic nie będzie działać!

Nie bez powodu podajemy całkowitą liczbę ryb (w kawałkach!) "X" wyznaczony. Nie uda się policzyć ryb południowych, ale czy uda się je spisać? Lubię to:

0,2 x szt. - ilość ryb z mórz południowych.

Teraz pobraliśmy wszystkie informacje z zadania. Zarówno oczywiste, jak i ukryte.

Zwróćmy uwagę na punkt trzeci.

Szuka związek matematyczny pomiędzy danymi zadania. To połączenie jest tak proste, że wielu go nie zauważa... Często się to zdarza. Tutaj warto po prostu zapisać zebrane dane na stosie i zobaczyć, co jest co.

Co my mamy? Jeść 8 sztuk ryba północna, 0,2 szt- ryby południowe i x ryba- całkowita kwota. Czy da się jakoś połączyć te dane? Tak, łatwo! Całkowita liczba ryb równa się suma południa i północy! No cóż, kto by pomyślał...) Zapisujemy więc:

x = 8 + 0,2x

To jest równanie model matematyczny naszego problemu.

Proszę o tym pamiętać w tym problemie Nie jesteśmy proszeni o składanie czegokolwiek! To my sami, nieprzytomni, zdaliśmy sobie sprawę, że suma ryb południowych i północnych da nam całkowitą liczbę. Sprawa jest tak oczywista, że ​​pozostaje niezauważona. Ale bez tych dowodów nie można stworzyć modelu matematycznego. Lubię to.

Teraz możesz wykorzystać całą moc matematyki, aby rozwiązać to równanie). Właśnie po to opracowano model matematyczny. Rozwiążmy to równanie liniowe i otrzymujemy odpowiedź.

Odpowiedź: x=10

Stwórzmy model matematyczny innego problemu:

Zapytali Pietrowicza: „Czy masz dużo pieniędzy?” Pietrowicz zaczął płakać i odpowiedział: "Tak, tylko trochę. Jeśli wydam połowę wszystkich pieniędzy, a połowę reszty, to zostanie mi tylko jeden worek pieniędzy..." Ile pieniędzy ma Pietrowicz ?

Znowu pracujemy punkt po punkcie.

1. Poszukujemy jednoznacznych informacji. Nie znajdziesz tego od razu! Wyraźna informacja jest jeden torba z pieniędzmi. Jest jeszcze kilka innych połówek... Cóż, przyjrzymy się temu w drugim akapicie.

2. Szukamy ukrytych informacji. To są połówki. Co? Niezbyt jasne. Patrzymy dalej. Jest jeszcze jedno pytanie: „Ile pieniędzy ma Pietrowicz?” Oznaczmy kwotę pieniędzy literą "X":

X- wszystkie pieniądze

I znowu czytamy o problemie. Już to wiem Pietrowicz X pieniądze. Tutaj sprawdzą się połówki! Zapisujemy:

0,5x- połowa wszystkich pieniędzy.

Pozostała część również będzie równa połowie, tj. 0,5x. A połowę połowy można zapisać w ten sposób:

0,5 0,5x = 0,25x- połowa reszty.

Teraz wszystkie ukryte informacje zostały ujawnione i zapisane.

3. Poszukujemy powiązania pomiędzy zarejestrowanymi danymi. Tutaj możesz po prostu przeczytać cierpienie Pietrowicza i zapisać je matematycznie):

Jeśli wydam połowę wszystkich pieniędzy...

Nagrajmy ten proces. Wszystkie pieniądze - X. Połowa - 0,5x. Wydać znaczy zabrać. Fraza zamienia się w nagranie:

x - 0,5 x

tak, połowa reszty...

Odejmijmy drugą połowę reszty:

x - 0,5 x - 0,25x

wtedy zostanie mi tylko jeden worek pieniędzy...

I tutaj znaleźliśmy równość! Po wszystkich odjęciach pozostaje jeden worek pieniędzy:

x - 0,5 x - 0,25x = 1

Oto model matematyczny! To znowu równanie liniowe, rozwiązujemy, otrzymujemy:

Pytanie do rozważenia. Co to jest cztery? Rubel, dolar, juan? A w jakich jednostkach w naszym modelu matematycznym zapisywane są pieniądze? W torbach! To znaczy cztery torba pieniądze od Pietrowicza. Też dobrze.)

Zadania są oczywiście elementarne. Ma to na celu w szczególności uchwycenie istoty tworzenia modelu matematycznego. Niektóre zadania mogą zawierać znacznie więcej danych, w których łatwo się zgubić. Często zdarza się to w tzw. zadania kompetencyjne. Sposób wyodrębnienia treści matematycznych ze stosu słów i liczb pokazano na przykładach

Jeszcze jedna uwaga. W klasycznych zadaniach szkolnych (rury wypełniające basen, pływające gdzieś łódki itp.) wszystkie dane z reguły są dobierane bardzo ostrożnie. Istnieją dwie zasady:
- w zadaniu jest wystarczająco dużo informacji, aby go rozwiązać,
- W problemie nie ma zbędnych informacji.

To jest wskazówka. Jeśli w modelu matematycznym pozostaje jakaś niewykorzystana wartość, zastanów się, czy nie wystąpił błąd. Jeśli nie ma wystarczającej ilości danych, najprawdopodobniej nie wszystkie ukryte informacje zostały zidentyfikowane i zarejestrowane.

W zadaniach kompetencyjnych i innych życiowych zasady te nie są ściśle przestrzegane. Bladego pojęcia. Ale takie problemy można również rozwiązać. Jeśli oczywiście ćwiczysz na klasycznych.)

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)

Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)

Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Pierwszy poziom

Modele matematyczne do egzaminu OGE i Unified State Exam (2019)

Pojęcie modelu matematycznego

Wyobraź sobie samolot: skrzydła, kadłub, ogon, wszystko razem - naprawdę ogromny, ogromny, cały samolot. Lub możesz zrobić model samolotu, mały, ale taki jak w prawdziwym życiu, te same skrzydła itp., Ale kompaktowy. Podobnie model matematyczny. Jest problem z tekstem, uciążliwy, można na niego patrzeć, czytać, ale nie do końca go zrozumieć, a tym bardziej nie jest jasne, jak go rozwiązać. A co jeśli stworzysz mały model dużego problemu tekstowego, model matematyczny? Co znaczy matematyczny? Oznacza to, że wykorzystując zasady i prawa notacji matematycznej, przekształcisz tekst w logicznie poprawną reprezentację za pomocą liczb i znaków arytmetycznych. Więc, model matematyczny to reprezentacja rzeczywistej sytuacji przy użyciu języka matematycznego.

Zacznijmy od prostego: liczba jest większa niż liczba o. Musimy to zapisać bez użycia słów, a jedynie językiem matematyki. Jeśli jest ich więcej, to okazuje się, że jeśli odejmiemy, to ta sama różnica tych liczb pozostanie równa. Te. Lub. Czy rozumiesz o co chodzi?

Teraz jest trudniej, teraz pojawi się tekst, który powinieneś spróbować przedstawić w formie modelu matematycznego, nie czytaj jeszcze, jak to zrobię, spróbuj sam! Istnieją cztery liczby: , i. Produkt jest dwa razy większy od produktu.

Co się stało?

W formie modelu matematycznego będzie to wyglądać następująco:

Te. produkt jest powiązany jako dwa do jednego, ale można to jeszcze bardziej uprościć:

No cóż, myślę, że dzięki prostym przykładom zrozumiesz o co chodzi. Przejdźmy do pełnoprawnych problemów, w których te modele matematyczne również wymagają rozwiązania! Oto wyzwanie.

Model matematyczny w praktyce

Problem 1

Po opadach deszczu poziom wody w studni może się podnieść. Chłopiec mierzy czas wpadania małych kamyczków do studni i oblicza odległość do wody ze wzoru, gdzie jest to odległość w metrach, a czas wpadania w sekundach. Przed deszczem czas opadania kamyków wynosił s. O ile musi podnieść się poziom wody po deszczu, aby zmierzony czas zmienił się na s? Wyraź odpowiedź w metrach.

O Boże! Jakie formuły, jaka studnia, co się dzieje, co robić? Czy czytałem w twoich myślach? Spokojnie, w problemach tego typu są jeszcze bardziej okropne warunki, najważniejsze jest, aby pamiętać, że w tym problemie interesują Cię formuły i relacje między zmiennymi, a znaczenie tego wszystkiego w większości przypadków nie jest zbyt ważne. Co widzisz tutaj przydatnego? Widzę to osobiście. Zasada rozwiązywania tych problemów jest następująca: bierzesz wszystkie znane wielkości i zastępujesz je.ALE czasami trzeba pomyśleć!

Idąc za moją pierwszą radą i podstawiając do równania wszystko, co znane, otrzymujemy:

To ja podstawiłem czas sekundy i obliczyłem wysokość, na jaką wzniósł się kamień przed deszczem. Teraz musimy policzyć po deszczu i znaleźć różnicę!

Teraz posłuchaj drugiej rady i zastanów się nad nią, pytanie określa, „o ile poziom wody musi się podnieść po deszczu, aby odmierzony czas zmienił się na s”. Od razu trzeba się zorientować, że po deszczu poziom wody podnosi się, co oznacza, że ​​czas opadania kamienia na poziom wody jest krótszy i tutaj ozdobne sformułowanie „aby odmierzony czas się zmienił” nabiera konkretnego znaczenia: opadanie czas nie zwiększa się, ale jest zmniejszany o wskazane sekundy. Oznacza to, że w przypadku rzutu po deszczu wystarczy odjąć c od początkowego czasu c i otrzymamy równanie na wysokość, na jaką kamień poleci po deszczu:

I na koniec, aby dowiedzieć się, o ile poziom wody musi się podnieść po deszczu, aby zmierzony czas zmienił się na s., wystarczy odjąć drugą wysokość od pierwszej wysokości spadku!

Otrzymujemy odpowiedź: na metr.

Jak widać, nie ma nic skomplikowanego, najważniejsze jest to, aby nie przejmować się zbytnio tym, skąd wzięło się tak niezrozumiałe, a czasem złożone równanie w warunkach i co wszystko w nim oznacza, uwierz mi na słowo, większość te równania są wzięte z fizyki, a tam dżungla jest gorsza niż w algebrze. Czasami wydaje mi się, że te zadania zostały wymyślone, aby zastraszyć studenta na egzaminie Unified State Exam mnóstwem skomplikowanych formuł i terminów i w większości przypadków nie wymagają prawie żadnej wiedzy. Wystarczy uważnie przeczytać warunek i zastąpić znane ilości we wzorze!

Oto kolejne zadanie, już nie z fizyki, ale ze świata teorii ekonomii, choć tu znowu nie jest wymagana znajomość nauk innych niż matematyka.

Problem 2

Zależność wielkości popytu (jednostki miesięcznie) na produkty przedsiębiorstwa monopolistycznego od ceny (w tysiącach rubli) wyraża się wzorem

Przychód przedsiębiorstwa za miesiąc (w tysiącach rubli) oblicza się za pomocą wzoru. Określ najwyższą cenę, przy której miesięczny dochód wyniesie co najmniej tysiąc rubli. Podaj odpowiedź w tysiącach rubli.

Zgadnij, co teraz zrobię? Tak, zacznę podłączać to, co wiemy, ale znowu będę musiał trochę pomyśleć. Zacznijmy od końca, musimy znaleźć który. Więc jest, jest to równe czemuś, znajdujemy, czemu jeszcze to jest równe, i jest temu równe, więc zapisujemy to. Jak widać, tak naprawdę nie przejmuję się znaczeniem tych wszystkich wielkości, po prostu patrzę na warunki, aby zobaczyć, co jest równe czemu, i to właśnie musisz zrobić. Wróćmy do problemu, już go masz, ale jak pamiętasz z jednego równania z dwiema zmiennymi, nie możesz znaleźć żadnej z nich, co robić? Tak, nadal mamy nieużywany kawałek w takim stanie. Teraz są już dwa równania i dwie zmienne, co oznacza, że ​​teraz można znaleźć obie zmienne - świetnie!

– czy potrafisz rozwiązać taki układ?

Rozwiązujemy przez podstawienie; zostało to już wyrażone, więc podstawmy to do pierwszego równania i uprościmy.

Otrzymujemy to równanie kwadratowe: , rozwiązujemy, pierwiastki są takie, . Zadanie polega na znalezieniu najwyższej ceny, przy której zostaną spełnione wszystkie warunki, które braliśmy pod uwagę tworząc system. Och, okazuje się, że taka była cena. Fajnie, więc znaleźliśmy ceny: i. Najwyższa cena, mówisz? OK, największy z nich oczywiście piszemy w odpowiedzi. No cóż, czy jest to trudne? Myślę, że nie i nie ma potrzeby się w to zbytnio zagłębiać!

A oto przerażająca fizyka, a raczej inny problem:

Problem 3

Aby określić efektywną temperaturę gwiazd, stosuje się prawo Stefana-Boltzmanna, zgodnie z którym gdzie jest moc promieniowania gwiazdy, jest stała, jest powierzchnia gwiazdy i jest temperaturą. Wiadomo, że powierzchnia pewnej gwiazdy jest równa, a jej moc promieniowania jest równa W. Znajdź temperaturę tej gwiazdy w stopniach Kelvina.

Jak to jest jasne? Tak, warunek mówi, co jest równe czemu. Wcześniej zalecałem podstawianie wszystkich niewiadomych na raz, ale tutaj lepiej najpierw wyrazić poszukiwaną niewiadomą. Zobacz, jakie to proste: jest wzór i w nim wiemy, i (to jest grecka litera „sigma”. Generalnie fizycy uwielbiają greckie litery, przyzwyczajają się do tego). A temperatura nie jest znana. Wyraźmy to w formie wzoru. Mam nadzieję, że wiesz, jak to zrobić? Takie zadania na egzamin państwowy w klasie 9 są zwykle podawane:

Teraz pozostaje tylko zastąpić cyfry zamiast liter po prawej stronie i uprościć:

Oto odpowiedź: stopnie Kelvina! A jakie to było straszne zadanie!

W dalszym ciągu dręczymy problemami fizycznymi.

Problem 4

Wysokość rzuconej piłki nad ziemią zmienia się zgodnie z prawem, gdzie jest to wysokość w metrach, a czas w sekundach, jaki upłynął od momentu rzucenia. Ile sekund piłka pozostanie na wysokości co najmniej trzech metrów?

To wszystko były równania, ale tutaj musimy określić, jak długo znajdowała się piłka na wysokości co najmniej trzech metrów, czyli na wysokości. Co wymyślimy? Dokładnie, nierówność! Mamy funkcję opisującą jak leci piłka, gdzie - to jest dokładnie ta sama wysokość w metrach, potrzebujemy wysokości. Oznacza

A teraz po prostu rozwiązujesz nierówność, najważniejsze jest, aby nie zapomnieć zmienić znaku nierówności z większego lub równego na mniejszy lub równy, gdy mnożysz przez obie strony nierówności, aby pozbyć się minusa z przodu.

To są pierwiastki, konstruujemy przedziały dla nierówności:

Interesuje nas przedział, w którym znajduje się znak minus, ponieważ nierówność przyjmuje tam wartości ujemne, jest to od do obu włącznie. Teraz włączmy mózg i zastanówmy się uważnie: dla nierówności użyliśmy równania opisującego lot piłki, ona jakoś leci po paraboli, tj. startuje, osiąga szczyt i opada, jak zrozumieć, jak długo pozostanie na wysokości co najmniej metrów? Znaleźliśmy 2 punkty zwrotne, tj. moment, w którym wznosi się ponad metry i moment, w którym spadając, osiąga ten sam poziom, te dwa punkty wyrażają się w postaci czasu, tj. wiemy, w której sekundzie lotu wszedł w interesującą nas strefę (powyżej metra), a w której ją opuścił (spadł poniżej znaku metra). Ile sekund był w tej strefie? Logiczne jest, że od czasu opuszczenia strefy odejmiemy czas wejścia do tej strefy. Odpowiednio: - tak długo przebywał w strefie powyżej metrów, oto odpowiedź.

Masz szczęście, że większość przykładów na ten temat można zaczerpnąć z kategorii problemów fizycznych, więc złap jeszcze jeden, to już ostatni, więc walcz, jeszcze trochę zostało!

Problem 5

Dla elementu grzejnego określonego urządzenia doświadczalnie uzyskano zależność temperatury od czasu pracy:

Gdzie jest czas w minutach, . Wiadomo, że jeśli temperatura elementu grzejnego będzie wyższa, urządzenie może się pogorszyć, dlatego należy je wyłączyć. Znajdź najdłuższy czas po rozpoczęciu pracy, przez który musisz wyłączyć urządzenie. Wyraź swoją odpowiedź w ciągu kilku minut.

Działamy według ustalonego schematu, najpierw spisujemy wszystko, co jest podane:

Teraz bierzemy wzór i przyrównujemy go do wartości temperatury, do której urządzenie może zostać nagrzane tak bardzo, jak to możliwe, aż do wypalenia, czyli:

Teraz zastępujemy cyfry tam, gdzie są znane, zamiast liter:

Jak widać, temperatura podczas pracy urządzenia opisana jest równaniem kwadratowym, co oznacza, że ​​rozkłada się ona wzdłuż paraboli, tj. Urządzenie nagrzewa się do określonej temperatury, a następnie schładza. Otrzymaliśmy odpowiedzi i dlatego w momencie i w minutach ogrzewania temperatura jest równa krytyczna, ale pomiędzy i minutami - jest nawet wyższa niż limit!

Oznacza to, że po minutach musisz wyłączyć urządzenie.

MODELE MATEMATYCZNE. KRÓTKO O NAJWAŻNIEJSZYCH RZECZACH

Najczęściej modele matematyczne wykorzystuje się w fizyce: prawdopodobnie trzeba było zapamiętać dziesiątki wzorów fizycznych. Wzór jest matematyczną reprezentacją sytuacji.

W egzaminie OGE i Unified State Exam znajdują się zadania dotyczące dokładnie tego tematu. Na egzaminie Unified State Exam (profil) jest to zadanie numer 11 (dawniej B12). W OGE - zadanie nr 20.

Schemat rozwiązania jest oczywisty:

1) Z tekstu warunku należy „wyodrębnić” przydatne informacje - co w problemach fizycznych piszemy pod słowem „Podane”. Ta przydatna informacja to:

• Formuła
• Znane wielkości fizyczne.

Oznacza to, że każda litera wzoru musi być powiązana z określoną liczbą.

2) Weź wszystkie znane wielkości i podstaw je do wzoru. Nieznana ilość pozostaje w formie litery. Teraz wystarczy rozwiązać równanie (zwykle dość proste) i odpowiedź jest gotowa.

No cóż, temat się skończył. Jeśli czytasz te słowa, oznacza to, że jesteś bardzo fajny.

Bo tylko 5% ludzi jest w stanie samodzielnie coś opanować. A jeśli przeczytasz do końca, to jesteś w tych 5%!

Teraz najważniejsza rzecz.

Zrozumiełeś teorię na ten temat. I powtarzam, to... to jest po prostu super! Już jesteś lepszy od zdecydowanej większości Twoich rówieśników.

Problem w tym, że to może nie wystarczyć...

Po co?

Za pomyślne zdanie egzaminu Unified State Exam, za rozpoczęcie studiów z ograniczonym budżetem i, CO NAJWAŻNIEJSZE, za całe życie.

Nie będę Cię do niczego przekonywał, powiem tylko jedno...

Ludzie, którzy otrzymali dobre wykształcenie, zarabiają znacznie więcej niż ci, którzy go nie otrzymali. To jest statystyka.

Ale to nie jest najważniejsze.

Najważniejsze, że są BARDZIEJ SZCZĘŚLIWI (są takie badania). Być może dlatego, że otwiera się przed nimi o wiele więcej możliwości i życie staje się jaśniejsze? nie wiem...

Ale pomyśl samodzielnie...

Czego potrzeba, aby na egzaminie Unified State Exam wypaść lepiej od innych i ostatecznie… być szczęśliwszym?

Zdobądź rękę, rozwiązując problemy z tego tematu.

Podczas egzaminu nie będziesz proszony o zadawanie teorii.

Będziesz potrzebować rozwiązywać problemy z czasem.

A jeśli ich nie rozwiązałeś (DUŻO!), na pewno popełnisz gdzieś głupi błąd lub po prostu nie będziesz miał czasu.

To jak w sporcie – trzeba to powtarzać wiele razy, żeby na pewno wygrać.

Znajdź kolekcję gdziekolwiek chcesz, koniecznie z rozwiązaniami, szczegółową analizą i decyduj, decyduj, decyduj!

Możesz skorzystać z naszych zadań (opcjonalnie) i oczywiście je polecamy.

Aby lepiej radzić sobie z naszymi zadaniami, musisz pomóc przedłużyć żywotność podręcznika YouClever, który aktualnie czytasz.

Jak? Istnieją dwie opcje:

1. Odblokuj wszystkie ukryte zadania w tym artykule - 299 rubli.
2. Odblokuj dostęp do wszystkich ukrytych zadań we wszystkich 99 artykułach podręcznika - 999 rubli.

Tak, w naszym podręczniku mamy 99 takich artykułów i dostęp do wszystkich zadań oraz wszystkich ukrytych w nich tekstów można od razu otworzyć.

W drugim przypadku Damy ci symulator „6000 problemów z rozwiązaniami i odpowiedziami, dla każdego tematu, na wszystkich poziomach złożoności.” To z pewnością wystarczy, aby w pełni opanować rozwiązywanie problemów na dowolny temat.

W rzeczywistości jest to znacznie więcej niż tylko symulator - cały program szkoleniowy. W razie potrzeby możesz także skorzystać z niego BEZPŁATNIE.

Dostęp do wszystkich tekstów i programów zapewniany jest przez CAŁY okres istnienia serwisu.

Podsumowując...

Jeśli nie podobają Ci się nasze zadania, znajdź inne. Tylko nie poprzestawaj na teorii.

„Rozumiem” i „Umiem rozwiązać” to zupełnie różne umiejętności. Potrzebujesz obu.

Znajdź problemy i rozwiąż je!