Når vi utleder den aller første formelen i tabellen, vil vi gå ut fra definisjonen av den deriverte funksjonen ved et punkt. La oss ta hvor x– noen ekte nummer, det er, x– et hvilket som helst tall fra definisjonsdomenet til funksjonen. La oss skrive ned grensen for forholdet mellom økningen av funksjonen og økningen av argumentet ved: 
Det skal bemerkes at under grensetegnet oppnås uttrykket, som ikke er usikkerheten til null delt på null, siden telleren ikke inneholder en uendelig verdi, men nøyaktig null. Med andre ord er økningen av en konstant funksjon alltid null.
Dermed, derivert av en konstant funksjoner lik null i hele definisjonsdomenet.
Derivat av en potensfunksjon.
Derivatformel strømfunksjon ser ut som 
, hvor eksponenten s– et hvilket som helst reelt tall.
La oss først bevise formelen for den naturlige eksponenten, det vil si for p = 1, 2, 3, …
Vi vil bruke definisjonen av derivat. La oss skrive ned grensen for forholdet mellom økningen av en potensfunksjon og økningen av argumentet: 
For å forenkle uttrykket i telleren, går vi til Newtons binomialformel: 
Derfor, 
Dette beviser formelen for den deriverte av en potensfunksjon for en naturlig eksponent.
Derivert av en eksponentiell funksjon.
Vi presenterer avledningen av derivatformelen basert på definisjonen:
Vi har kommet til usikkerhet. For å utvide den introduserer vi en ny variabel, og på . Deretter . I den siste overgangen brukte vi formelen for overgang til en ny logaritmisk base.
La oss bytte inn i den opprinnelige grensen: 
Hvis du husker det andre fantastisk grense, så kommer vi til formelen for den deriverte av eksponentialfunksjonen: 
Derivert av en logaritmisk funksjon.
La oss bevise formelen for den deriverte av en logaritmisk funksjon for alle x fra definisjonsdomenet og alle gyldige verdier for basen en logaritme Per definisjon av derivat har vi: 
Som du la merke til, under beviset ble transformasjonene utført ved å bruke egenskapene til logaritmen. Likestilling 
er sant på grunn av den andre bemerkelsesverdige grensen.
Derivater av trigonometriske funksjoner.
For å utlede formler for derivater av trigonometriske funksjoner, må vi huske noen trigonometriformler, så vel som den første bemerkelsesverdige grensen.
Per definisjon av den deriverte for sinusfunksjonen vi har 
.
La oss bruke forskjellen på sines-formelen: 
Det gjenstår å vende seg til den første bemerkelsesverdige grensen: 
Altså den deriverte av funksjonen synd x Det er fordi x.
Formelen for derivatet av cosinus er bevist på nøyaktig samme måte. 
Derfor er den deriverte av funksjonen fordi x Det er –sin x.
Vi vil utlede formler for tabellen med deriverte for tangent og cotangens ved å bruke påviste differensieringsregler (deriverte av en brøk). 
Derivater av hyperbolske funksjoner.
Reglene for differensiering og formelen for den deriverte av eksponentialfunksjonen fra tabellen med deriverte tillater oss å utlede formler for de deriverte av hyperbolsk sinus, cosinus, tangens og cotangens. 
Derivert av den inverse funksjonen.
For å unngå forvirring under presentasjonen, la oss betegne argumentet til funksjonen som differensiering utføres med, det vil si at det er den deriverte av funksjonen f(x) Av x.
La oss nå formulere regel for å finne derivater invers funksjon.
La funksjonene y = f(x) Og x = g(y) gjensidig invers, definert på intervallene og hhv. Hvis det på et punkt er en endelig ikke-null derivert av funksjonen f(x), så er det på punktet en endelig derivert av den inverse funksjonen g(y), og 
. I et annet innlegg 
.
Denne regelen kan omformuleres for alle x fra intervallet , så får vi 
.
La oss sjekke gyldigheten til disse formlene.
La oss finne den inverse funksjonen for den naturlige logaritmen 
(Her y er en funksjon, og x- argument). Etter å ha løst denne ligningen for x, får vi (her x er en funksjon, og y– hennes argument). Det er, 
og gjensidig inverse funksjoner.
Fra tabellen over derivater ser vi det 
Og 
.
La oss sørge for at formlene for å finne de deriverte av den inverse funksjonen fører oss til de samme resultatene: 
Et bevis og avledning av formelen for den deriverte av sinus - sin(x) presenteres. Eksempler på beregning av deriverte av sin 2x, sinus i kvadrat og terninger. Avledning av formelen for den deriverte av sinus av n-te orden.
Den deriverte med hensyn til variabelen x fra sinus til x er lik cosinus til x:
(sin x)′ = cos x.
Bevis
For å utlede formelen for den deriverte av sinus, vil vi bruke definisjonen av derivert:
.
For å finne denne grensen må vi transformere uttrykket på en slik måte at det reduseres til kjente lover, egenskaper og regler. For å gjøre dette må vi kjenne til fire egenskaper.
1)
Betydningen av den første bemerkelsesverdige grensen:
(1)
;
2)
Kontinuitet av cosinusfunksjonen:
(2)
;
3)
Trigonometriske formler. Vi trenger følgende formel:
(3)
;
4)
Begrens eiendom:
Hvis og, da
(4)
.
La oss bruke disse reglene til grensen vår. Først transformerer vi det algebraiske uttrykket
.
For å gjøre dette bruker vi formelen
(3)
.
I vårt tilfelle
; . Deretter
;
;
;
.
La oss nå gjøre erstatningen. Kl , .
.
La oss gjøre den samme erstatningen og bruke egenskapen kontinuitet (2):
.
Siden grensene som er beregnet ovenfor eksisterer, bruker vi egenskap (4):
.
Formelen for den deriverte av sinus er bevist.
Eksempler
La oss vurdere enkle eksempler finne deriverte av funksjoner som inneholder sinus. Vi vil finne derivater av følgende funksjoner:
y = sin 2x; y = synd 2 x og y = synd 3 x.
Eksempel 1
Finn den deriverte av synd 2x.
Løsning
Først, la oss finne den deriverte av den enkleste delen:
(2x)′ = 2(x)′ = 2 1 = 2.
Vi søker.
.
Her .
Svar
(sin 2x)′ = 2 cos 2x.
Eksempel 2
Finn den deriverte av sinus i annen:
y = synd 2 x.
Løsning
La oss omskrive den opprinnelige funksjonen i en mer forståelig form:
.
La oss finne den deriverte av den enkleste delen:
.
Bruk derivatformelen kompleks funksjon.
.
Her .
Du kan bruke en av trigonometriformlene. Deretter
.
Svar
Eksempel 3
Finn den deriverte av sinus i terninger:
y = synd 3 x.
Høyere ordens derivater
Merk at den deriverte av synd x første orden kan uttrykkes gjennom sinus som følger:
.
La oss finne andreordens deriverte ved å bruke formelen for den deriverte av en kompleks funksjon:
.
Her .
Nå kan vi merke den differensieringen synd x får argumentet til å øke med . Da har den n-te ordens deriverte formen:
(5)
.
La oss bevise dette ved hjelp av metoden matematisk induksjon.
Vi har allerede sjekket at for , formel (5) er gyldig.
La oss anta at formel (5) er gyldig for en viss verdi. La oss bevise at det følger av dette at formel (5) er tilfredsstilt for .
La oss skrive formel (5) på:
.
Vi differensierer denne ligningen ved å bruke regelen for å differensiere en kompleks funksjon:
.
Her .
Så vi fant:
.
Hvis vi erstatter , vil denne formelen ha formen (5).
Formelen er bevist.
Derivater av inverser presenteres trigonometriske funksjoner og avledning av deres formler. Uttrykk for høyere ordens derivater er også gitt. Lenker til sider med mer detaljert uttalelse utdataformler.
Først utleder vi formelen for arcsine-derivatet. La
y = arcsin x.
Siden arcsine er den inverse funksjonen til sinus, altså
.
Her er y en funksjon av x. Differensier med hensyn til variabelen x:
.
Vi bruker:
.
Så vi fant:
.
Fordi da. Deretter
.
Og den forrige formelen har formen:
. Herfra
.
På akkurat denne måten kan du få formelen for derivatet av buekosinus. Imidlertid er det lettere å bruke en formel som relaterer inverse trigonometriske funksjoner:
.
Deretter
.
En mer detaljert beskrivelse er presentert på siden "Utledning av derivatene av arcsine og arccosine". Der er det gitt utledning av derivater på to måter- diskutert ovenfor og i henhold til formelen for den deriverte av den inverse funksjonen.
Avledning av derivater av arctangens og arccotangent
På samme måte vil vi finne derivatene av arctangens og arccotangent.
La
y = arctan x.
Arctangens er den inverse funksjonen til tangent:
.
Differensier med hensyn til variabelen x:
.
Vi bruker formelen for den deriverte av en kompleks funksjon:
.
Så vi fant:
.
Derivat av arc cotangens:
.
Arcsine-derivater
La
.
Vi har allerede funnet den førsteordens deriverte av arcsine:
.
Ved å differensiere finner vi andreordens deriverte:
;
.
Det kan også skrives i følgende form:
.
Herfra får vi differensial ligning, som er tilfredsstilt av arcsine-derivatene av første og andre orden:
.
Ved å differensiere denne ligningen kan vi finne høyere ordens deriverte.
Derivat av arcsine av n-te orden
Den deriverte av arcsinus av orden n har neste visning:
,
hvor er et polynom av grad . Det bestemmes av formlene:
;
.
Her .
Polynomet tilfredsstiller differensialligningen:
.
Derivat av arccosine av n-te orden
Derivater for arc cosinus er hentet fra derivater for arc sinus ved å bruke den trigonometriske formelen:
.
Derfor er derivatene av disse funksjonene bare forskjellige i fortegn:
.
Derivater av arctangens
La .
.
Vi fant derivatet av lysbuecotangensen av første orden:
.
La oss bryte ned brøken til sin enkleste form:
Her er den imaginære enheten, .
.
Vi skiller én gang og bringer brøken til en fellesnevner:
.
Ved å erstatte , får vi:
Derivat av arctangens av n-te orden
;
.
Dermed kan derivatet av arctangensen av n-te orden representeres på flere måter:
Derivater av lysbue cotangens
.
La det være nå. La oss bruke formelen som forbinder inverse trigonometriske funksjoner:
.
Da skiller den n-te ordens deriverte av buetangensen seg bare i fortegn fra den deriverte av buetangensen:
.
Ved å erstatte , finner vi:
Referanser: N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Samling av problemer på høyere matematikk