Vi møttes første gang på et algebrakurs i 7. klasse. Når vi så på grafen til funksjonen, tok vi ned den tilsvarende informasjonen: hvis vi beveger oss langs grafen fra venstre til høyre, samtidig beveger oss fra bunn til topp (som om vi klatrer en bakke), så erklærte vi funksjonen til være økende (fig. 124); hvis vi beveger oss fra topp til bunn (gå ned en bakke), så erklærte vi funksjonen som avtagende (fig. 125).
Matematikere er imidlertid ikke veldig glad i denne metoden for å studere egenskapene til en funksjon. De mener at definisjoner av begreper ikke bør være basert på en tegning - tegningen skal bare illustrere en eller annen egenskap ved en funksjon på dens grafikk. La oss gi strenge definisjoner av begrepene økende og minkende funksjoner.
Definisjon 1.
Funksjonen y = f(x) sies å være økende på intervallet X hvis, fra ulikheten x 1< х 2 - где хг и х2 - любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x 1) < f(x 2).
Definisjon 2. Funksjonen y = f(x) sies å være avtagende på intervallet X hvis ulikheten x 1< х 2 , где х 1 и х 2 - любые две точки промежутка X, следует ulikhet f(x 1) > f(x 2).
I praksis er det mer praktisk å bruke følgende formuleringer:
en funksjon øker hvis en større verdi av argumentet tilsvarer en større verdi av funksjonen;
en funksjon reduseres hvis en større verdi av argumentet tilsvarer en mindre verdi av funksjonen.
Ved å bruke disse definisjonene og egenskapene fastsatt i § 33 numeriske ulikheter, vil vi kunne rettferdiggjøre konklusjoner om økning eller reduksjon av tidligere studerte funksjoner.
1. Lineær funksjon y = kx +m
Hvis k > 0, øker funksjonen hele veien (fig. 126); hvis k< 0, то функция убывает на всей числовой прямой (рис. 127).
Bevis. La f(x) = kx +m. Hvis x 1< х 2 и k >Å, da, i henhold til egenskapen til 3 numeriske ulikheter (se § 33), kx 1< kx 2 . Далее, согласно свойству 2, из kx 1 < kx 2 следует, что kx 1 + m < kx 2 + m, т. е. f(х 1) < f(х 2).
Så fra ulikheten x 1< х 2 следует, что f(х 1) < f(x 2). Это и означает возрастание функции у = f(х), т.е. lineær funksjoner y = kx+ m.
Hvis x 1< х 2 и k < 0, то, согласно свойству 3 числовых неравенств, kx 1 >kx 2, og ifølge egenskap 2, fra kx 1 > kx 2 følger det at kx 1 + m> kx 2 + dvs.
Så fra ulikheten x 1< х 2 следует, что f(х 1) >f(x 2). Dette betyr en nedgang i funksjonen y = f(x), dvs. lineær funksjon y = kx + m.
Hvis en funksjon øker (minker) gjennom hele definisjonsdomenet, kan den kalles økende (minkende) uten å angi intervallet. For eksempel, om funksjonen y = 2x - 3 kan vi si at den øker langs hele tallinjen, men vi kan også si den kortere: y = 2x - 3 - økende
funksjon.
2. Funksjon y = x2
1. Tenk på funksjonen y = x 2 på strålen. La oss ta to ikke-positive tall x 1 og x 2 slik at x 1< х 2 . Тогда, согласно свойству 3 числовых неравенств, выполняется неравенство - х 1 >- x 2. Siden tallene - x 1 og - x 2 er ikke-negative, får vi ved å kvadrere begge sider av den siste ulikheten en ulikhet med samme betydning (-x 1) 2 > (-x 2) 2, dvs. Dette betyr at f(x 1) > f(x 2).
Så fra ulikheten x 1< х 2 следует, что f(х 1) >f(x 2).
Derfor avtar funksjonen y = x 2 på strålen (- 00, 0] (fig. 128).
1. Betrakt en funksjon på intervallet (0, + 00).
La x1< х 2 . Так как х 1 и х 2 - , то из х 1 < x 2 следует (см. пример 1 из § 33), т. е. f(x 1) >f(x 2).
Så fra ulikheten x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2). Dette betyr at funksjonen avtar på den åpne strålen (0, + 00) (fig. 129).
2. Betrakt en funksjon på intervallet (-oo, 0). La x 1< х 2 , х 1 и х 2 - negative tall. Da er - x 1 > - x 2, og begge sider av den siste ulikheten positive tall, og derfor (vi brukte igjen ulikheten påvist i eksempel 1 fra § 33). Neste har vi, hvor vi kommer fra.
Så fra ulikheten x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2) dvs. funksjonen reduseres på den åpne strålen (- 00 , 0)
Vanligvis kombineres begrepene "økende funksjon" og "avtagende funksjon" under det generelle navnet monoton funksjon, og studiet av en funksjon for å øke og redusere kalles studiet av en funksjon for monotonisitet.
Løsning.
1) La oss plotte funksjonen y = 2x2 og ta grenen til denne parabelen ved x< 0 (рис. 130).
2) La oss konstruere og velge dens del på segmentet (fig. 131).
3) La oss konstruere en hyperbel og velge dens del på den åpne strålen (4, + 00) (Fig. 132).
4) La oss avbilde alle tre "stykkene" i ett koordinatsystem - dette er grafen til funksjonen y = f(x) (fig. 133).
La oss lese grafen til funksjonen y = f(x).
1. Definisjonsdomenet til funksjonen er hele tallinjen.
2. y = 0 ved x = 0; y > 0 for x > 0.
3. Funksjonen avtar på strålen (-oo, 0], øker på segmentet, avtar på strålen, er konveks oppover på segmentet, konveks nedover på strålen)