Ulikheter spiller en fremtredende rolle i matematikk. På skolen driver vi hovedsakelig med numeriske ulikheter, med definisjonen som vi vil begynne denne artikkelen. Og så skal vi liste opp og begrunne egenskapene til numeriske ulikheter, som alle prinsipper for å jobbe med ulikheter bygger på.
La oss umiddelbart merke at mange egenskaper ved numeriske ulikheter er like. Derfor vil vi presentere materialet i henhold til samme skjema: vi formulerer en egenskap, gir dens begrunnelse og eksempler, hvoretter vi går videre til neste eiendom.
Sidenavigering.
Numeriske ulikheter: definisjon, eksempler
Da vi introduserte begrepet ulikhet, la vi merke til at ulikheter ofte er definert av måten de er skrevet på. Så vi kalte ulikheter meningsfulle algebraiske uttrykk som inneholder tegnene som ikke er lik ≠, mindre<, больше >, mindre enn eller lik ≤ eller større enn eller lik ≥. Basert på definisjonen ovenfor er det praktisk å gi en definisjon av en numerisk ulikhet:
Møtet med numeriske ulikheter skjer i matematikktimene i første klasse, umiddelbart etter å ha blitt kjent med de første naturlige tallene fra 1 til 9, og blitt kjent med sammenligningsoperasjonen. Riktignok kalles de ganske enkelt ulikheter, og utelater definisjonen av "numerisk". For klarhetens skyld ville det ikke skade å gi et par eksempler på de enkleste numeriske ulikhetene fra det stadiet av studien deres: 1<2 , 5+2>3 .
Og videre fra naturlige tall strekker kunnskap seg til andre typer tall (heltall, rasjonelle, reelle tall), reglene for sammenligning studeres, og dette utvider variasjonen av typer numeriske ulikheter betydelig: −5>−72, 3> −0,275 (7−5, 6), .
Egenskaper til numeriske ulikheter
Arbeid med ulikheter tillater i praksis en rekke egenskapene til numeriske ulikheter. De følger av ulikhetsbegrepet vi introduserte. I forhold til tall er dette konseptet gitt av følgende utsagn, som kan betraktes som en definisjon av relasjonene "mindre enn" og "mer enn" på et sett med tall (det kalles ofte forskjellsdefinisjonen av ulikhet):
Definisjon.
- Antall a er større enn b hvis og bare hvis forskjellen a−b er et positivt tall;
- tallet a er mindre enn tallet b hvis og bare hvis forskjellen a−b er et negativt tall;
- tallet a er lik tallet b hvis og bare hvis forskjellen a−b er null.
Denne definisjonen kan omarbeides til definisjonen av relasjonene "mindre enn eller lik" og "større enn eller lik." Her er hans ordlyd:
Definisjon.
- Antall a er større enn eller lik b hvis og bare hvis a−b er et ikke-negativt tall;
- a er mindre enn eller lik b hvis og bare hvis a−b er et ikke-positivt tall.
Vi vil bruke disse definisjonene når vi skal bevise egenskapene til numeriske ulikheter, til en gjennomgang som vi fortsetter med.
Grunnleggende egenskaper
Vi begynner gjennomgangen med tre hovedegenskaper ved ulikheter. Hvorfor er de grunnleggende? Fordi de er en refleksjon av egenskapene til ulikheter i den mest generelle forstand, og ikke bare i forhold til numeriske ulikheter.
Numeriske ulikheter skrevet med tegn< и >, karakteristikk:
Når det gjelder numeriske ulikheter skrevet med de svake ulikhetstegnene ≤ og ≥, har de egenskapen refleksivitet (og ikke antirefleksivitet), siden ulikhetene a≤a og a≥a inkluderer tilfellet av likhet a=a. De er også preget av antisymmetri og transitivitet.
Så numeriske ulikheter skrevet med tegnene ≤ og ≥ har følgende egenskaper:
- refleksivitet a≥a og a≤a er sanne ulikheter;
- antisymmetri, hvis a≤b, så b≥a, og hvis a≥b, så b≤a.
- transitivitet, hvis a≤b og b≤c, så a≤c, og også, hvis a≥b og b≥c, så a≥c.
Beviset deres er veldig likt de som allerede er gitt, så vi vil ikke dvele ved dem, men gå videre til andre viktige egenskaper ved numeriske ulikheter.
Andre viktige egenskaper ved numeriske ulikheter
La oss supplere de grunnleggende egenskapene til numeriske ulikheter med en rekke resultater som er av stor praktisk betydning. Metoder for å estimere verdiene til uttrykk er basert på dem løsninger på ulikheter og så videre. Derfor er det tilrådelig å forstå dem godt.
I denne delen vil vi formulere egenskapene til ulikheter kun for ett tegn på streng ulikhet, men det er verdt å huske på at lignende egenskaper vil være gyldige for det motsatte tegnet, så vel som for tegn på ikke-strenge ulikheter. La oss forklare dette med et eksempel. Nedenfor formulerer og beviser vi følgende egenskap ved ulikheter: hvis a
For enkelhets skyld vil vi presentere egenskapene til numeriske ulikheter i form av en liste, mens vi vil gi den tilsvarende uttalelsen, skrive den formelt med bokstaver, gi et bevis og deretter vise eksempler på bruk. Og på slutten av artikkelen vil vi oppsummere alle egenskapene til numeriske ulikheter i en tabell. Gå!
Konsekvens. Termisk multiplikasjon av identiske sanne ulikheter av formen a
Å legge til (eller trekke fra) et hvilket som helst tall på begge sider av en sann numerisk ulikhet gir en sann numerisk ulikhet. Med andre ord, hvis tallene a og b er slik at a
For å bevise det, la oss gjøre opp forskjellen mellom venstre og høyre side av den siste numeriske ulikheten, og vise at den er negativ under betingelsen a (a+c)−(b+c)=a+c−b−c=a−b. Siden etter betingelse a
Vi dveler ikke ved beviset for denne egenskapen til numeriske ulikheter for å subtrahere et tall c, siden på settet med reelle tall kan subtraksjon erstattes ved å legge til −c.
For eksempel, hvis du legger til tallet 15 på begge sider av den riktige numeriske ulikheten 7>3, får du den riktige numeriske ulikheten 7+15>3+15, som er det samme, 22>18.
Hvis begge sider av en gyldig numerisk ulikhet multipliseres (eller divideres) med det samme positive tallet c, får du en gyldig numerisk ulikhet. Hvis begge sider av ulikheten multipliseres (eller divideres) med et negativt tall c, og tegnet på ulikheten er reversert, vil ulikheten være sann. I bokstavelig form: hvis tallene a og b tilfredsstiller ulikheten a b·c.
Bevis. La oss starte med tilfellet når c>0. La oss gjøre opp forskjellen mellom venstre og høyre side av den numeriske ulikheten som bevises: a·c−b·c=(a−b)·c . Siden etter betingelse a 0 , da vil produktet (a−b)·c være et negativt tall som produktet av et negativt tall a−b og et positivt tall c (som følger av ). Derfor, a·c−b·c<0
, откуда a·c Vi dveler ikke ved beviset for den betraktede egenskapen for å dele begge sider av en sann numerisk ulikhet med det samme tallet c, siden divisjon alltid kan erstattes med multiplikasjon med 1/c. La oss vise et eksempel på bruk av den analyserte egenskapen på spesifikke tall. For eksempel kan du ha begge sider av den riktige numeriske ulikheten 4<6
умножить на положительное число 0,5
, что дает верное числовое неравенство −4·0,5<6·0,5
, откуда −2<3
. А если обе части верного числового неравенства −8≤12
разделить на отрицательное число −4
, и изменить знак неравенства ≤ на противоположный ≥, то получится верное числовое неравенство −8:(−4)≥12:(−4)
, откуда 2≥−3
. Fra den nettopp omtalte egenskapen å multiplisere begge sider av en numerisk likhet med et tall, følger to praktisk talt verdifulle resultater. Så vi formulerer dem i form av konsekvenser. Alle egenskapene som er diskutert ovenfor i dette avsnittet er forent av det faktum at først gis en korrekt numerisk ulikhet, og fra den, gjennom noen manipulasjoner med delene av ulikheten og tegnet, oppnås en annen korrekt numerisk ulikhet. Nå vil vi presentere en blokk med egenskaper der ikke én, men flere riktige numeriske ulikheter i utgangspunktet er gitt, og et nytt resultat oppnås fra deres felles bruk etter å ha addert eller multiplisert deres deler. Hvis tallene a, b, c og d tilfredsstiller ulikhetene a
La oss bevise at (a+c)-(b+d) er et negativt tall, dette vil bevise at a+c Ved induksjon strekker denne egenskapen seg til termin-for-term addisjon av tre, fire og generelt et hvilket som helst begrenset antall numeriske ulikheter. Så hvis for tallene a 1, a 2, …, a n og b 1, b 2, …, b n er følgende ulikheter sanne: a 1 a 1 +a 2 +...+a n . For eksempel får vi tre riktige numeriske ulikheter med samme fortegn −5<−2
, −1<12
и 3<4
. Рассмотренное свойство числовых неравенств позволяет нам констатировать, что неравенство −5+(−1)+3<−2+12+4
– тоже верное. Du kan multiplisere numeriske ulikheter med samme tegnledd med ledd, hvor begge sider er representert med positive tall. Spesielt for to ulikheter a
For å bevise det kan du multiplisere begge sider av ulikheten a
Denne egenskapen gjelder også for multiplikasjon av ethvert endelig antall sanne numeriske ulikheter med positive deler. Det vil si at hvis a 1, a 2, …, a n og b 1, b 2, …, b n er positive tall, og a 1 a 1 a 2…a n . Separat er det verdt å merke seg at hvis notasjonen for numeriske ulikheter inneholder ikke-positive tall, kan deres term-for-term multiplikasjon føre til ukorrekte numeriske ulikheter. For eksempel numeriske ulikheter 1<3
и −5<−4
– верные и одного знака, почленное умножение этих неравенств дает 1·(−5)<3·(−4)
, что то же самое, −5<−12
, а это неверное неравенство.
På slutten av artikkelen, som lovet, vil vi samle alle de studerte egenskapene i Tabell over egenskaper ved numeriske ulikheter:
Bibliografi.
- Moro M. I.. Matematikk. Lærebok for 1 klasse. begynnelse skole Om 2 timer Del 1. (Første halvdel av året) / M. I. Moro, S. I. Volkova, S. V. Stepanova. - M.: Utdanning, 2006. - 112 s.: ill.+Legg til. (2 separate l. ill.). - ISBN 5-09-014951-8.
- Matematikk: lærebok for 5. klasse. allmennutdanning institusjoner / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. utg., slettet. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
- Algebra: lærebok for 8. klasse. allmennutdanning institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigert av S. A. Telyakovsky. - 16. utg. - M.: Utdanning, 2008. - 271 s. : jeg vil. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovich A.G. Algebra. 8. klasse. Om 2 timer Del 1. Lærebok for studenter ved generelle utdanningsinstitusjoner / A. G. Mordkovich. - 11. utg., slettet. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
Følgende egenskaper er sanne for alle numeriske uttrykk.
Eiendom 1. Hvis vi legger til det samme numeriske uttrykket på begge sider av en sann numerisk ulikhet, får vi en sann numerisk ulikhet, det vil si at følgende er sant: ; .
Bevis. Hvis . Ved å bruke de kommutative, assosiative og distributive egenskapene til addisjonsoperasjonen har vi: .
Derfor, per definisjon av forholdet "større enn" 
.
Eiendom 2. Hvis vi trekker fra det samme numeriske uttrykket fra begge sider av en sann numerisk ulikhet, får vi en sann numerisk ulikhet, det vil si at følgende er sant: ;
Bevis. Etter tilstand . Ved å bruke den forrige egenskapen legger vi det numeriske uttrykket til begge sider av denne ulikheten, og vi får: .
Ved å bruke den assosiative egenskapen til addisjonsoperasjonen har vi: , derfor 
, derfor.
Konsekvens. Ethvert begrep kan overføres fra en del av en numerisk ulikhet til en annen med motsatt fortegn.
Eiendom 3. Hvis vi legger til de riktige numeriske ulikhetene ledd for ledd, får vi den riktige numeriske ulikheten, det vil si sann:
Bevis. Ved egenskap 1 har vi: og ved å bruke transitivitetsegenskapen til relasjonen "mer", får vi: .
Eiendom 4. Ekte numeriske ulikheter av motsatt betydning kan trekkes fra begrep for begrep, og bevarer tegnet på ulikheten som vi trekker fra, det vil si: ;
Bevis. Per definisjon av sanne numeriske ulikheter 
. Ved eiendom 3, hvis . Som en konsekvens av egenskap 2 i denne teoremet kan et hvilket som helst ledd overføres fra en del av ulikheten til en annen med motsatt fortegn. Derfor, 
. Således, hvis.
Eiendommen er påvist på tilsvarende måte.
Eiendom 5. Hvis begge sider av en korrekt numerisk ulikhet multipliseres med det samme numeriske uttrykket som har en positiv verdi, uten å endre fortegnet på ulikheten, får vi en korrekt numerisk ulikhet, det vil si:
Bevis. Fra hva 
. Vi har: 
Deretter 
. Ved å bruke den distributive karakteren til operasjonen av multiplikasjon i forhold til subtraksjon, har vi: .
Da er forholdet per definisjon "større enn".
Eiendommen er påvist på tilsvarende måte.
Eiendom 6. Hvis begge deler av en korrekt numerisk ulikhet multipliseres med det samme numeriske uttrykket, som tar en negativ verdi, og endrer tegnet på ulikheten til det motsatte, får vi en korrekt numerisk ulikhet, det vil si: ;
Eiendom 7. Hvis begge sider av en sann numerisk ulikhet er delt med det samme numeriske uttrykket som har en positiv verdi, uten å endre tegnet på ulikheten, får vi en sann numerisk ulikhet, det vil si:
Bevis. Vi har: 
. Ved eiendom 5 får vi:. Ved å bruke assosiativiteten til multiplikasjonsoperasjonen har vi: 
derfor.
Eiendommen er påvist på tilsvarende måte.
Eiendom 8. Hvis begge deler av en korrekt numerisk ulikhet deles med det samme numeriske uttrykket som tar en negativ verdi, og endrer tegnet på ulikheten til det motsatte, får vi en korrekt numerisk ulikhet, det vil si: ;
Vi utelater beviset for denne eiendommen.
Eiendom 9. Hvis vi multipliserer, begrep for begrep, korrigerer numeriske ulikheter av samme betydning med negative deler, og endrer tegnet på ulikheten til det motsatte, får vi en korrekt numerisk ulikhet, det vil si:
Vi utelater beviset for denne eiendommen.
Eiendom 10. Hvis vi multipliserer, begrep for begrep, korrigerer numeriske ulikheter av samme betydning med positive deler, uten å endre tegnet på ulikheten, får vi en korrekt numerisk ulikhet, det vil si:
Vi utelater beviset for denne eiendommen.
Eiendom 11. Hvis vi deler den riktige numeriske ulikheten til den motsatte betydningen begrep for begrep med de positive delene, og beholder tegnet på den første ulikheten, får vi en riktig numerisk ulikhet, det vil si:
;
.
Vi utelater beviset for denne eiendommen.
Eksempel 1. Er ulikheter 
Og 
tilsvarende?
Løsning. Den andre ulikheten oppnås fra den første ulikheten ved å legge det samme uttrykket til begge delene, som ikke er definert ved . Dette betyr at tallet ikke kan være en løsning på den første ulikheten. Det er imidlertid en løsning på den andre ulikheten. Så det er en løsning på den andre ulikheten som ikke er en løsning på den første ulikheten. Derfor er disse ulikhetene ikke likeverdige. Den andre ulikheten er en konsekvens av den første ulikheten, siden enhver løsning på den første ulikheten er en løsning på den andre.
§ 1 En universell måte å sammenligne tall på
La oss bli kjent med de grunnleggende egenskapene til numeriske ulikheter, og også vurdere en universell måte å sammenligne tall på.
Resultatet av å sammenligne tall kan skrives ved hjelp av likhet eller ulikhet. Ulikhet kan være streng eller ikke-streng. For eksempel er a>3 en streng ulikhet; a≥3 er en svak ulikhet. Måten tall sammenlignes på avhenger av typen tall som sammenlignes. For eksempel, hvis vi trenger å sammenligne desimalbrøker, sammenligner vi dem sted for siffer; Hvis du trenger å sammenligne vanlige brøker med forskjellige nevnere, må du bringe dem til en fellesnevner og sammenligne tellerne. Men det er en universell måte å sammenligne tall på. Den består av følgende: finn forskjellen mellom tallene a og b; hvis a - b > 0, det vil si et positivt tall, så a > b; hvis a - b< 0, то есть отрицательное число, то a < b; если a - b = 0, то a = b. Этот способ удобно использовать для доказательства неравенств. Например, доказать неравенство:
2b2 - 6b + 1 > 2b(b- 3)
La oss bruke en universell sammenligningsmetode. La oss finne forskjellen mellom uttrykkene 2b2 - 6b + 1 og 2b(b - 3);
2b2 - 6b + 1- 2b(b-3) = 2b2 - 6b + 1 - 2b2 + 6b; La oss legge til lignende ledd og få 1. Siden 1 er større enn null, et positivt tall, så 2b2 - 6b+1 > 2b(b-3).
§ 2 Egenskaper ved numeriske ulikheter
Egenskap 1. Hvis a> b, b > c, så a> c.
Bevis. Hvis a > b, så er forskjellen a - b > 0, det vil si et positivt tall. Hvis b >c, så er forskjellen b - c > 0 et positivt tall. La oss legge til de positive tallene a - b og b - c, åpne parentesene og legge til lignende ledd, vi får (a - b) + (b - c) = a - b + b - c = a - c. Siden summen av positive tall er et positivt tall, så er a - c et positivt tall. Derfor a > c, som er det som måtte bevises.
Eiendom 2. Hvis en< b, c- любое число, то a + с < b+ с. Это свойство можно трактовать так: «К обеим частям верного неравенства можно прибавить одно и то же число, при этом знак неравенства не изменится».
Bevis. La oss finne forskjellen mellom uttrykkene a + c og b+ c, åpne parentesene og legge til lignende termer, vi får (a + c) - (b+ c) = a + c - b - c = a - b. Etter betingelse a< b, тогда разность a - b- отрицательное число. Значит, и разность (a + с) -(b+ с) отрицательна. Следовательно, a + с < b+ с, что и требовалось доказать.
Eiendom 3. Hvis en< b, c - положительное число, то aс < bс.
Hvis en< b, c- отрицательное число, то aс >f.Kr.
Bevis. La oss finne forskjellen mellom uttrykkene ac og bc, sett c i parentes, så har vi ac-bc = c(a-b). Men siden a Hvis vi multipliserer et negativt tall a-b med et positivt tall c, så er produktet c(a-b) negativt, derfor er forskjellen ac-bc negativ, som betyr ac Hvis et negativt tall a-b multipliseres med et negativt tall c, vil produktet c(a-b) være positivt, derfor vil forskjellen ac-bc være positiv, som betyr ac>bc. Q.E.D. For eksempel, en Siden divisjon kan erstattes med multiplikasjon med det resiproke tallet, = n∙, kan den påviste egenskapen også brukes på divisjon. Dermed er betydningen av denne egenskapen som følger: «Begge sider av en ulikhet kan multipliseres eller divideres med det samme positive tallet, og tegnet på ulikheten endres ikke. Begge sider av ulikheten kan multipliseres eller divideres med et negativt tall, men det er nødvendig å endre tegnet på ulikheten til motsatt fortegn." La oss se på konsekvensen av egenskap 3. Konsekvens. Hvis en Bevis. La oss dele begge sider av ulikheten a
reduser brøkene og få Utsagnet er bevist. Faktisk, for eksempel 2< 3, но Egenskap 4. Hvis a > b og c > d, så a + c > b+ d. Bevis. Siden a>b og c >d er forskjellene a-b og c-d positive tall. Da er summen av disse tallene også et positivt tall (a-b)+(c-d). La oss åpne parentesene og gruppere (a-b)+(c-d) = a-b+ c-d= (a+c)-(b+ d). Med tanke på denne likheten vil det resulterende uttrykket (a+c)-(b+d) være et positivt tall. Derfor, a+ c> b+ d. Ulikheter av formen a>b, c >d eller a< b, c< d называют неравенствами одинакового смысла, а неравенства a>b, c Egenskap 5. Hvis a > b, c > d, så ac> bd, hvor a, b, c, d er positive tall. Bevis. Siden a>b og c er et positivt tall, får vi ved å bruke egenskap 3 ac > bc. Siden c >d og b er et positivt tall, så bc > bd. Derfor, ved den første egenskapen ac > bd. Betydningen av den påviste egenskapen er som følger: "Hvis vi multipliserer term for term ulikheter med samme betydning, hvis venstre og høyre side er positive tall, får vi en ulikhet med samme betydning." For eksempel 6< a < 7, 4 < b< 5 тогда, 24 < ab < 35. Eiendom 6. Hvis en< b, a и b - положительные числа, то an< bn, где n- натуральное число. Bevis. Hvis vi multipliserer n gitte ulikhetsledd med ledd a< b, то, согласно утверждению свойства 5, получим an< bn. Прочесть доказанное утверждение можно так: «Если обе части неравенства - положительные числа, то их можно возвести в одну и ту же натуральную степень, сохранив знак неравенства». § 3 Anvendelse av eiendommer La oss se på et eksempel på bruken av egenskapene vi har vurdert. La 33< a < 34, 3 < b< 4. Оценить сумму a + b, разность a - b, произведение a ∙ b и частное a: b. 1) La oss beregne summen a + b. Ved å bruke egenskap 4 får vi 33 + 3< a + b < 34 + 4 или 36 < a+ b <38. 2) La oss beregne forskjellen a - b. Siden det ikke er noen subtraksjonsegenskap, erstatter vi differansen a - b med summen a + (-b). La oss først anslå (- b). For å gjøre dette, bruk egenskap 3, begge sider av ulikhet 3< b< 4 умножим на -1, при этом меняем знак неравенства на противоположный знак 3 ∙ (-1) >b∙ (-1) > 4 ∙ (-1). Vi får -4< -b< -3. Теперь можно сложить два неравенства одного знака 33< a < 34 и -4< -b< -3. Имеем 2 9< a - b <31. 3) La oss anslå produktet a ∙ b. Med egenskap 5 multipliserer vi ulikheter med samme fortegn Vi lærte om ulikheter på skolen, hvor vi bruker numeriske ulikheter. I denne artikkelen vil vi vurdere egenskapene til numeriske ulikheter, som prinsippene for å jobbe med dem er bygget fra. Egenskapene til ulikheter ligner egenskapene til numeriske ulikheter. Egenskapene, dens begrunnelse vil bli vurdert, og eksempler vil bli gitt. Yandex.RTB R-A-339285-1 Når vi introduserer begrepet ulikheter, har vi at definisjonen deres er laget av typen post. Det er algebraiske uttrykk som har tegn ≠,< , >, ≤ , ≥ . La oss gi en definisjon. Definisjon 1 Numerisk ulikhet kalt en ulikhet der begge sider har tall og numeriske uttrykk. Vi vurderer numeriske ulikheter i skolen etter å ha studert naturlige tall. Slike sammenligningsoperasjoner studeres trinnvis. De første ser ut som 1< 5 , 5 + 7 >3. Deretter blir reglene supplert, og ulikhetene blir mer kompliserte, da får vi ulikheter av formen 5 2 3 > 5, 1 (2), ln 0. 73 - 17 2< 0 . For å jobbe med ulikheter riktig, må du bruke egenskapene til numeriske ulikheter. De kommer fra begrepet ulikhet. Dette konseptet er definert ved hjelp av en uttalelse, som er utpekt som "mer" eller "mindre." Definisjon 2 Definisjonen brukes når man løser ulikheter med relasjonene "mindre enn eller lik", "større enn eller lik." Det skjønner vi Definisjon 3 Definisjonene vil bli brukt for å bevise egenskapene til numeriske ulikheter. La oss se på 3 hovedulikheter. Bruk av skilt< и >karakteristisk for følgende egenskaper: Definisjon 4 Eksempel 1 For eksempel gitt ulikheten 5< 11 имеем, что 11 >5, som betyr at dens numeriske ulikhet − 0, 27 > − 1, 3 vil bli omskrevet som − 1, 3< − 0 , 27 . Før du går videre til neste eiendom, merk at ved hjelp av asymmetri kan du lese ulikheten fra høyre til venstre og omvendt. På denne måten kan numeriske ulikheter modifiseres og byttes. Definisjon 5 Bevis 1 Det første utsagnet kan bevises. Tilstand a< b и b < c означает, что a − b и b − c являются отрицательными, а разность а - с представляется в виде (a − b) + (b − c) , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a − b и b − c . Отсюда получаем, что а - с является отрицательным числом, а значит, что a < c . Что и требовалось доказать. Den andre delen med transitivitetsegenskapen er påvist på lignende måte. Eksempel 2 Vi vurderer den analyserte egenskapen ved å bruke eksemplet med ulikheter − 1< 5 и 5 < 8 . Отсюда имеем, что − 1 < 8 . Аналогичным образом из неравенств 1 2 >1 8 og 1 8 > 1 32 følger det at 1 2 > 1 32. Numeriske ulikheter, som er skrevet med svake ulikhetstegn, har egenskapen refleksivitet, fordi a ≤ a og a ≥ a kan ha tilfellet av likhet a = a. De er preget av asymmetri og transitivitet. Definisjon 6 Ulikheter som har tegnene ≤ og ≥ i skriften har følgende egenskaper: Beviset utføres på lignende måte. For å supplere de grunnleggende egenskapene til ulikheter, brukes resultater som er av praktisk betydning. Prinsippet for metoden brukes til å estimere verdiene til uttrykk, som prinsippene for å løse ulikheter er basert på. Dette avsnittet avslører egenskapene til ulikheter for ett tegn på streng ulikhet. Det samme gjøres for ikke-strenge. La oss se på et eksempel, formulere ulikheten hvis en< b и c являются любыми числами, то a + c < b + c . Справедливыми окажутся свойства: For en praktisk presentasjon gir vi den tilsvarende uttalelsen, som er skrevet ned og det gis bevis, eksempler på bruk vises. Definisjon 7 Legge til eller beregne et tall på begge sider. Med andre ord, når a og b tilsvarer ulikheten a< b , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c < b + c . Bevis 2 For å bevise dette må ligningen tilfredsstille betingelsen a< b . Тогда (a + c) − (b + c) = a + c − b − c = a − b . Из условия a < b получим, что a − b < 0 . Значит, (a + c) − (b + c) < 0 , откуда a + c < b + c . Множество действительных числе могут быть изменены с помощью прибавления противоположного числа – с. Eksempel 3 For eksempel, hvis vi øker begge sider av ulikheten 7 > 3 med 15, får vi at 7 + 15 > 3 + 15. Dette er lik 22 > 18. Definisjon 8 Når begge sider av ulikheten multipliseres eller divideres med samme tall c, får vi en sann ulikhet. Hvis du tar et negativt tall, vil tegnet endres til det motsatte. Ellers ser det slik ut: for a og b gjelder ulikheten når a< b и c являются положительными числами, то a· c < b · c , а если v является отрицательным числом, тогда a · c >b·c. Bevis 3 Når det er et tilfelle c > 0, er det nødvendig å konstruere forskjellen mellom venstre og høyre side av ulikheten. Da får vi at a · c − b · c = (a − b) · c . Fra tilstand a< b , то a − b < 0 , а c >0, da vil produktet (a − b) c være negativt. Det følger at a · c − b · c< 0 , где a · c < b · c . Другая часть доказывается аналогичным образом. Når du beviser, kan divisjon med et heltall erstattes av multiplikasjon med inversen av den gitte, det vil si 1 c. La oss se på et eksempel på en eiendom på visse tall. Eksempel 4 Begge sider av ulikhet 4 er tillatt< 6 умножаем на положительное 0 , 5 , тогда получим неравенство вида − 4 · 0 , 5 < 6 · 0 , 5 , где − 2 < 3 . Когда обе части делим на - 4 , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. отсюда имеем, что неравенство примет вид − 8: (− 4) ≥ 12: (− 4) , где 2 ≥ − 3 . La oss nå formulere følgende to resultater, som brukes til å løse ulikheter: Når du deler begge sider av ulikhet a< b разрешается на число a · b . Данное свойство используется при верном неравенстве 5 >3 2 vi har den 1 5< 2 3 . При отрицательных a и b c условием, что a < b , неравенство 1 a >1 b kan være feil. Eksempel 5 For eksempel − 2< 3 , однако, - 1 2 >1 3 er en feil ligning. Alle punkter forenes ved at handlinger på deler av ulikheten gir riktig ulikhet ved utgangen. La oss vurdere egenskaper der det i utgangspunktet er flere numeriske ulikheter, og resultatet oppnås ved å addere eller multiplisere delene. Definisjon 9 Når tallene a, b, c, d er gyldige for ulikheter a< b и c < d , тогда верным считается a + c < b + d . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства. Bevis 4 La oss bevise at (a + c) − (b + d) er et negativt tall, så får vi at a + c< b + d . Из условия имеем, что a < b и c < d . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям одинаковое число. Тогда увеличим неравенство a < b на число b , при c < d , получим неравенства вида a + c < b + c и b + c < b + d . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности. Egenskapen brukes for termin-for-term addisjon av tre, fire eller flere numeriske ulikheter. Tallene a 1 , a 2 , … , a n og b 1 , b 2 , … , b n tilfredsstiller ulikhetene a 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , можно доказать метод математической индукции, получив a 1 + a 2 + … + a n < b 1 + b 2 + … + b n .
Eksempel 6 For eksempel gitt tre numeriske ulikheter med samme fortegn − 5< − 2 , − 1 < 12 и 3 < 4 . Свойство позволяет определять то, что − 5 + (− 1) + 3 < − 2 + 12 + 4 является верным. Definisjon 10 Termisk multiplikasjon av begge sider resulterer i et positivt tall. Når en< b и c < d , где a , b , c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c < b · d считается справедливым. Bevis 5 For å bevise dette trenger vi begge sider av ulikheten a< b умножить на число с, а обе части c < d на b . В итоге получим, что неравенства a · c < b · c и b · c < b · d верные, откуда получим свойство транизитивности a · c < b · d . Denne egenskapen anses som gyldig for antall tall som begge sider av ulikheten må multipliseres med. Deretter a 1 , a 2 , … , en n Og b 1, b 2, …, b n er positive tall, der en 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , то a 1 · a 2 · … · a n< b 1 · b 2 · … · b n
. Legg merke til at når du skriver ulikheter er det ikke-positive tall, så deres term-for-term multiplikasjon fører til feil ulikheter. Eksempel 7 For eksempel ulikhet 1< 3 и − 5 < − 4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1 · (− 5) < 3 · (− 4) , считается, что − 5 < − 12 это является неверным неравенством. Konsekvens:
Termisk multiplikasjon av ulikheter a< b с положительными с a и b , причем получается a n < b n
. La oss vurdere følgende egenskaper ved numeriske ulikheter. Konsekvens 1:
hvis en< b , то - a >-b. Konsekvens 2:
hvis a og b er positive tall og a< b , то 1 a >1 b. Konsekvens 1:
Hvis en< b , a
Og b
er positive tall, deretter en n< b n . Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter De viktigste typene ulikheter presenteres, inkludert Bernoulli, Cauchy - Bunyakovsky, Minkowski, Chebyshev ulikheter. Egenskapene til ulikheter og handlinger på dem vurderes. De grunnleggende metodene for å løse ulikheter er gitt. Universelle ulikheter tilfredsstilles for alle verdier av mengdene som er inkludert i dem. Hovedtypene for universelle ulikheter er listet opp nedenfor. 1) | a b | ≤ |a| + |b| ; | a 1 a 2 ... a n | ≤ |a 1 | + |a 2 | + ... + |a n | 2)
|a| + |b| ≥ | a - b | ≥ | |a| - |b| | 3)
4)
Cauchy-Bunyakovsky ulikhet 5)
Minkowskis ulikhet, for p ≥ 1 Tilfredsstillende ulikheter tilfredsstilles for visse verdier av mengdene som er inkludert i dem. 1)
Bernoullis ulikhet: 2)
3)
Chebyshevs ulikhet 4)
Generaliserte Chebyshev-ulikheter Egenskaper til ulikheter er et sett med regler som tilfredsstilles når de transformeres. Nedenfor er egenskapene til ulikhetene. Det er forstått at de opprinnelige ulikhetene er oppfylt for verdier av x i (i = 1, 2, 3, 4) som tilhører et forhåndsbestemt intervall. 1) Når rekkefølgen på sidene endres, endres ulikhetstegnet til det motsatte. 2) En likhet tilsvarer to ikke-strenge ulikheter med forskjellige tegn. 3) Transitivitetseiendom 4) Det samme tallet kan legges til (trekkes fra) på begge sider av ulikheten. 5) Hvis det er to eller flere ulikheter med tegnet i samme retning, kan venstre og høyre side legges til. 6) Begge sider av ulikheten kan multipliseres (deltes) med et positivt tall. 7) Begge sider av ulikheten kan multipliseres (deltes) med et negativt tall. I dette tilfellet vil tegnet på ulikhet endres til det motsatte. 8) Hvis det er to eller flere ulikheter med positive ledd, med tegnet i samme retning, kan venstre og høyre side multipliseres med hverandre. 9) La f(x) være en monotont økende funksjon. Det vil si, for enhver x 1 > x 2, f(x 1) > f(x 2). Da kan denne funksjonen brukes på begge sider av ulikheten, som ikke vil endre fortegnet på ulikheten. 10) La f(x) være en monotont avtagende funksjon, det vil si for enhver x 1 > x 2, f(x 1)< f(x 2)
.
Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный. Intervallmetoden er anvendelig hvis ulikheten inkluderer en variabel, som vi betegner som x, og den har formen: Intervallmetoden er som følger. 1) Finn definisjonsdomenet til funksjonen f(x) og merk det med intervaller på tallaksen. 2) Finn diskontinuitetspunktene til funksjonen f(x). For eksempel, hvis dette er en brøk, så finner vi punktene der nevneren blir null. Vi markerer disse punktene på tallaksen. 3) Løs ligningen 4) Som et resultat vil tallaksen deles inn i intervaller (segmenter) etter punkter. Innenfor hvert intervall som er inkludert i definisjonsdomenet, velger vi et hvilket som helst punkt og på dette tidspunktet beregner vi verdien av funksjonen. Hvis denne verdien er større enn null, plasserer vi et "+"-tegn over segmentet (intervall). Hvis denne verdien er mindre enn null, setter vi et "-"-tegn over segmentet (intervall). 5) Hvis ulikheten har formen: f(x) > 0, velg deretter intervaller med "+"-tegnet. Løsningen på ulikheten er å kombinere disse intervallene, som ikke inkluderer deres grenser. Denne metoden kan brukes på ulikheter av enhver kompleksitet. Det består i å bruke egenskapene (presentert ovenfor) for å redusere ulikhetene til en enklere form og få en løsning. Det er godt mulig at dette vil resultere i ikke bare ett, men et system av ulikheter. Dette er en universell metode. Det gjelder alle ulikheter. Referanser: Numeriske ulikheter: definisjon, eksempler
Egenskaper til numeriske ulikheter
Grunnleggende egenskaper
Andre viktige egenskaper ved numeriske ulikheter
Egenskaper til numeriske ulikheter
a ≤ a, a ≥ a er sanne ulikheter.
Hvis en< b и c - отрицательное число, то a · c >b·c.Formler for grunnleggende ulikheter
Formler for universelle ulikheter
Likhet oppstår bare når a 1 = a 2 = ... = a n.
Likhet gjelder hvis og bare hvis α a k = β b k for alle k = 1, 2, ..., n og noen α, β, |α| + |β| > 0.Formler for tilfredsstillende ulikheter
.
Mer generelt:
,
hvor , tall med samme tegn og større enn -1
:
.
Bernoullis Lemma:
.
Se "Bevis for ulikheter og Bernoullis lemma".
for a i ≥ 0 (i = 1, 2, ..., n).
på 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
Og 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
På 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
Og b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.
på 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
Og 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
og k naturlig
.
På 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
Og b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.
Egenskaper ved ulikheter
Hvis x 1< x 2
,
то x 2 >x 1.
Hvis x 1 ≤ x 2, så x 2 ≥ x 1.
Hvis x 1 ≥ x 2, så x 2 ≤ x 1.
Hvis x 1 > x 2 så x 2< x 1
.
Hvis x 1 = x 2, så x 1 ≤ x 2 og x 1 ≥ x 2.
Hvis x 1 ≤ x 2 og x 1 ≥ x 2, så er x 1 = x 2.
Hvis x 1< x 2
и x 2 < x 3
,
то x 1 < x 3
.
Hvis x 1< x 2
и x 2 ≤ x 3
,
то x 1 < x 3
.
Hvis x 1 ≤ x 2 og x 2< x 3
,
то x 1 < x 3
.
Hvis x 1 ≤ x 2 og x 2 ≤ x 3, så x 1 ≤ x 3.
Hvis x 1< x 2
,
то x 1 + A < x 2 + A
.
Hvis x 1 ≤ x 2, så x 1 + A ≤ x 2 + A.
Hvis x 1 ≥ x 2, så x 1 + A ≥ x 2 + A.
Hvis x 1 > x 2, så x 1 + A > x 2 + A.
Hvis x 1< x 2
,
x 3 < x 4
,
то x 1 + x 3 < x 2 + x 4
.
Hvis x 1< x 2
,
x 3 ≤ x 4
,
то x 1 + x 3 < x 2 + x 4
.
Hvis x 1 ≤ x 2, x 3< x 4
,
то x 1 + x 3 < x 2 + x 4
.
Hvis x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, så x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4.
Lignende uttrykk gjelder for tegnene ≥, >.
Hvis de opprinnelige ulikhetene inneholder tegn på ikke-strenge ulikheter og minst én streng ulikhet (men alle tegn har samme retning), resulterer addisjonen i en streng ulikhet.
Hvis x 1< x 2
и A >0, deretter A x 1< A · x 2
.
Hvis x 1 ≤ x 2 og A > 0, så A x 1 ≤ A x 2.
Hvis x 1 ≥ x 2 og A > 0, så A x 1 ≥ A x 2.
Hvis x 1 > x 2 og A > 0, så A · x 1 > A · x 2.
Hvis x 1< x 2
и A < 0
,
то A · x 1 >A x 2.
Hvis x 1 ≤ x 2 og A< 0
,
то A · x 1 ≥ A · x 2
.
Hvis x 1 ≥ x 2 og A< 0
,
то A · x 1 ≤ A · x 2
.
Hvis x 1 > x 2 og A< 0
,
то A · x 1 < A · x 2
.
Hvis x 1< x 2
,
x 3 < x 4
,
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 deretter x 1 x 3< x 2 · x 4
.
Hvis x 1< x 2
,
x 3 ≤ x 4
,
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 deretter x 1 x 3< x 2 · x 4
.
Hvis x 1 ≤ x 2, x 3< x 4
,
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 deretter x 1 x 3< x 2 · x 4
.
Hvis x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, x 1, x 2, x 3, x 4 > 0, så er x 1 x 3 ≤ x 2 x 4.
Lignende uttrykk gjelder for tegnene ≥, >.
Hvis de opprinnelige ulikhetene inneholder tegn på ikke-strenge ulikheter og minst én streng ulikhet (men alle tegn har samme retning), resulterer multiplikasjon i en streng ulikhet.
Hvis x 1< x 2
,
то f(x 1) < f(x 2)
.
Hvis x 1 ≤ x 2 så f(x 1) ≤ f(x 2) .
Hvis x 1 ≥ x 2 så f(x 1) ≥ f(x 2) .
Hvis x 1 > x 2, så f(x 1) > f(x 2).
Hvis x 1< x 2
,
то f(x 1) >f(x 2) .
Hvis x 1 ≤ x 2 så f(x 1) ≥ f(x 2) .
Hvis x 1 ≥ x 2 så f(x 1) ≤ f(x 2) .
Hvis x 1 > x 2 så f(x 1)< f(x 2)
.
Metoder for å løse ulikheter
Løse ulikheter ved hjelp av intervallmetoden
f(x) > 0
hvor f(x) er en kontinuerlig funksjon med et begrenset antall diskontinuitetspunkter. Ulikhetstegnet kan være hva som helst: >, ≥,<, ≤
.
f(x) = 0 .
Vi markerer røttene til denne ligningen på tallaksen.
Hvis ulikheten har formen: f(x) ≥ 0, legger vi til løsningen punkter hvor f(x) = 0. Det vil si at noen intervaller kan ha lukkede grenser (grensen tilhører intervallet). den andre delen kan ha åpne grenser (grensen tilhører ikke intervallet).
Tilsvarende, hvis ulikheten har formen: f(x)< 0
,
то выбираем интервалы с знаком „-“
.
Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Hvis ulikheten har formen: f(x) ≤ 0, legger vi til løsningen punkter hvor f(x) = 0.Løse ulikheter ved å bruke egenskapene deres
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Håndbok i matematikk for ingeniører og studenter, "Lan", 2009.