Logaritmiske uttrykk, løsningseksempler. I denne artikkelen skal vi se på problemer knyttet til å løse logaritmer. Oppgavene stiller spørsmålet om å finne meningen med et uttrykk. Det skal bemerkes at begrepet logaritme brukes i mange oppgaver, og det er ekstremt viktig å forstå betydningen. Når det gjelder Unified State Exam, brukes logaritmen ved løsning av ligninger, i anvendte problemer, og også i oppgaver knyttet til studiet av funksjoner.
La oss gi eksempler for å forstå selve betydningen av logaritmen:
Grunnleggende logaritmisk identitet:
Egenskaper til logaritmer som alltid må huskes:
*Logaritmen til produktet er lik summen av logaritmene til faktorene.
* * *
*Logaritmen til en kvotient (brøk) er lik forskjellen mellom logaritmene til faktorene.
* * *
*Logaritmen til en eksponent er lik produktet av eksponenten og logaritmen til grunntallet.
* * *
*Overgang til ny stiftelse
* * *
Flere eiendommer:
* * *
Beregningen av logaritmer er nært knyttet til bruken av egenskaper til eksponenter.
La oss liste noen av dem:
Essensen av denne egenskapen er at når telleren overføres til nevneren og omvendt, endres eksponentens fortegn til det motsatte. For eksempel:
En konsekvens av denne egenskapen:
* * *
Når du hever en potens til en potens, forblir basen den samme, men eksponentene multipliseres.
* * *
Som du har sett, er selve konseptet med en logaritme enkelt. Hovedsaken er at du trenger god øvelse, som gir deg en viss ferdighet. Det kreves selvfølgelig kunnskap om formler. Hvis ferdighetene i å konvertere elementære logaritmer ikke er utviklet, kan du lett gjøre en feil når du løser enkle oppgaver.
Øv deg, løs de enkleste eksemplene fra matematikkkurset først, fortsett så til mer komplekse. I fremtiden vil jeg definitivt vise hvordan "stygge" logaritmer løses; det vil ikke være noen av disse på Unified State Exam, men de er av interesse, ikke gå glipp av det!
Det er alt! Lykke til!
Med vennlig hilsen Alexander Krutitskikh
P.S: Jeg ville være takknemlig hvis du forteller meg om nettstedet på sosiale nettverk.
-
Sjekk om det er negative tall eller ett under logaritmetegnet. Denne metoden kan brukes på uttrykk av formen log b (x) log b (a) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))). Det er imidlertid ikke egnet for noen spesielle tilfeller:
- Logaritmen til et negativt tall er udefinert i noen grunntall (f.eks. log (− 3) (\displaystyle \log(-3)) eller log 4 (− 5) (\displaystyle \log _(4)(-5))). Skriv i dette tilfellet "ingen løsning".
- Logaritmen av null til en hvilken som helst base er også udefinert. Hvis du blir tatt ln (0) (\displaystyle \ln(0)), skriv ned "ingen løsning".
- Logaritme av en til en hvilken som helst base ( log (1) (\displaystyle \log(1))) er alltid null, fordi x 0 = 1 (\displaystyle x^(0)=1) for alle verdier x. Skriv 1 i stedet for denne logaritmen og ikke bruk metoden nedenfor.
- Hvis logaritmer har forskjellige baser, for eksempel l o g 3 (x) l o g 4 (a) (\displaystyle (\frac (log_(3)(x))(log_(4)(a)))), og ikke er redusert til heltall, kan ikke verdien av uttrykket bli funnet manuelt.
-
Konverter uttrykket til én logaritme. Dersom uttrykket ikke gjelder de spesielle tilfellene ovenfor, kan det uttrykkes som en enkelt logaritme. Bruk følgende formel for dette: log b (x) log b (a) = log a (x) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))=\ log_(a)(x)).
- Eksempel 1: Tenk på uttrykket logg 16 logg 2 (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))).
Først, la oss representere uttrykket som en enkelt logaritme ved å bruke formelen ovenfor: log 16 log 2 = log 2 (16) (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))=\log _(2)(16)). - Denne formelen for å "erstatte basen" til en logaritme er avledet fra de grunnleggende egenskapene til logaritmene.
- Eksempel 1: Tenk på uttrykket logg 16 logg 2 (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))).
-
Hvis mulig, evaluer verdien av uttrykket manuelt.Å finne logg a (x) (\displaystyle \log _(a)(x)), forestill deg uttrykket " en? = x (\displaystyle a^(?)=x)", det vil si, still følgende spørsmål: "Til hvilken makt bør du heve en, For å oppnå xÅ svare på dette spørsmålet kan kreve en kalkulator, men hvis du er heldig, kan du kanskje finne den manuelt.
- Eksempel 1 (fortsettelse): Omskriv som 2? = 16 (\displaystyle 2^(?)=16). Du må finne hvilket nummer som skal stå i stedet for "?"-tegnet. Dette kan gjøres ved prøving og feiling:
2 2 = 2 ∗ 2 = 4 (\displaystyle 2^(2)=2*2=4)
2 3 = 4 ∗ 2 = 8 (\displaystyle 2^(3)=4*2=8)
2 4 = 8 ∗ 2 = 16 (\displaystyle 2^(4)=8*2=16)
Så tallet vi ser etter er 4: log 2 (16) (\displaystyle \log _(2)(16)) = 4 .
- Eksempel 1 (fortsettelse): Omskriv som 2? = 16 (\displaystyle 2^(?)=16). Du må finne hvilket nummer som skal stå i stedet for "?"-tegnet. Dette kan gjøres ved prøving og feiling:
-
Legg igjen svaret i logaritmisk form hvis du ikke kan forenkle det. Mange logaritmer er svært vanskelige å beregne for hånd. I dette tilfellet, for å få et nøyaktig svar, trenger du en kalkulator. Men hvis du løser et problem i klassen, vil læreren mest sannsynlig være fornøyd med svaret i logaritmisk form. Metoden diskutert nedenfor brukes til å løse et mer komplekst eksempel:
- eksempel 2: hva er lik log 3 (58) log 3 (7) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7))))?
- La oss konvertere dette uttrykket til én logaritme: log 3 (58) log 3 (7) = log 7 (58) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7)))=\ log_(7)(58)). Merk at grunntallet 3 felles for begge logaritmene forsvinner; dette er sant uansett grunn.
- La oss omskrive uttrykket i skjemaet 7? = 58 (\displaystyle 7^(?)=58) og la oss prøve å finne verdien?:
7 2 = 7 ∗ 7 = 49 (\displaystyle 7^(2)=7*7=49)
7 3 = 49 ∗ 7 = 343 (\displaystyle 7^(3)=49*7=343)
Fordi 58 er mellom disse to tallene, er det ikke uttrykt som et helt tall. - Vi legger igjen svaret i logaritmisk form: log 7 (58) (\displaystyle \log _(7)(58)).
La oss se på eksempler på logaritmiske ligninger.
Eksempel 1: Løs ligningen
For å løse dette bruker vi potenseringsmetoden. Ulikheter >0 og >0 vil bestemme rekkevidden av akseptable verdier av ligningen. Ulikheten >0 er gyldig for alle verdier av x, siden en 5x>0 bare for positive verdier av x. Dette betyr at ODZ-ligningen er et sett med tall fra null til pluss uendelig. Ligningen tilsvarer en andregradsligning. Røttene til denne ligningen er tallene 2 og 3, siden produktet av disse tallene er lik 6, og summen av disse tallene er lik 5 - den motsatte verdien av koeffisienten b? Begge disse tallene ligger i intervallet, noe som betyr at de er røttene til denne ligningen. Merk at vi enkelt løste denne ligningen.
Eksempel 2: Løs ligningen
(logaritmen til uttrykket ti x minus ni til base tre er lik logaritmen av x til base en tredjedel)
Denne ligningen skiller seg fra den forrige ved at logaritmene har forskjellige baser. Og den vurderte metoden for å løse ligningen kan ikke lenger brukes her, selv om du kan finne utvalget av akseptable verdier og prøve å løse ligningen ved å bruke en funksjonell grafisk metode. Ulikheter >0 og x>0 bestemme rekkevidden av tillatte verdier av ligningen, som betyr. La oss se på en grafisk illustrasjon av denne ligningen. For å gjøre dette, la oss konstruere en punkt-for-punkt-graf av funksjonen og. Vi kan bare si at denne ligningen har en enkelt rot, den er positiv og ligger i intervallet fra 1 til 2. Det er ikke mulig å gi den nøyaktige verdien av roten.
Selvfølgelig er denne ligningen ikke den eneste som inneholder logaritmer med forskjellige baser. Slike ligninger kan bare løses ved å flytte til en ny logaritmebase. Vanskeligheter knyttet til logaritmer av forskjellige baser kan også oppstå i andre typer oppgaver. For eksempel når man sammenligner tall og.
En assistent for å løse slike problemer er teoremet
Teorem: Hvis a,b,c er positive tall, og a og c er forskjellige fra 1, så gjelder likheten
Denne formelen kalles formelen for å flytte til en ny base)
Dermed fra og mer. Siden, i henhold til formelen for å flytte til en ny base, lik og lik
La oss bevise teoremet om overgangen til en ny base av logaritmen.
For å bevise det, introduserer vi notasjonen = m, =n, =k(logaritmen av tallet BE til grunntall a er lik em, logaritmen til tallet BE til grunntall CE er lik en, logaritmen til tallet a til grunntall CE er lik ka). definisjonen av logaritmen: tallet b er a i potensen av m, tallet b er c i potensen av n, tallet a er c i potensen k. Så, la oss erstatte dens verdi i når vi hever en grad til en potens, multipliseres potensenes eksponenter, vi får at =, men derfor =, hvis basisene til graden er like, så er eksponentene til den gitte graden like =. Så = la oss gå tilbake til omvendt substitusjon: (logaritmen av tallet BE til grunntallet a er lik forholdet mellom logaritmen til tallet BE og grunntallet CE og logaritmen av tallet a til grunntallet CE)
La oss se på to konsekvenser av denne teoremet.
Første konsekvens. La oss i denne teoremet gå til grunntallet b. Deretter
(logaritmen av tallet BE til grunntallet BE delt på logaritmen av tallet a til grunntallet BE)
er lik en, så er den lik
Dette betyr at hvis a og b er positive tall og forskjellige fra 1, så er likheten sann
Konsekvens 2. Hvis a og b er positive tall, og EN tall som ikke er lik én, deretter for et hvilket som helst tall m, ikke lik null, er likheten sann
logaritme b basert på EN lik logaritmen b til en grad m basert på en til en grad m.
La oss bevise denne likheten fra høyre til venstre. La oss gå fra uttrykket (logaritmen av tallet være til potensen em til grunntallet a til potensen em) til logaritmen med grunntallet EN. Ved egenskapen til logaritmen kan eksponenten til et sublogaritmisk uttrykk flyttes frem - foran logaritmen. =1. Vi får det. (en brøk i telleren em multiplisert med logaritmen til tallet be til grunntallet og i nevneren em) Tallet m er ikke lik null ved betingelse, noe som betyr at den resulterende brøken kan reduseres med m. Vi får det. Q.E.D.
Dette betyr at for å flytte til en ny base av logaritmen, brukes tre formler
Eksempel 2: Løs ligningen
(logaritmen til uttrykket ti x minus ni til base tre er lik logaritmen av x til base en tredjedel)
Vi fant utvalget av akseptable verdier for denne ligningen tidligere. La oss bringe 3 til et nytt grunntall. For å gjøre dette, skriv det i denne logaritmen som en brøk. Telleren vil være logaritmen av x til base tre, nevneren vil være logaritmen av en tredjedel til base tre. er lik minus én, så vil høyre side av ligningen være lik minus
La oss flytte den til venstre side av ligningen og skrive den som: Ved egenskap er summen av logaritmer lik logaritmen til produktet, noe som betyr (logaritmen til uttrykket ti x minus ni til grunntall tre pluss logaritmen av x til grunntall tre) kan skrives som. (logaritmen til produktet ti x minus ni og x til grunntall tre) La oss utføre multiplikasjonen og få deler av ligningen
og på høyre side vil vi skrive null som, siden tre til null potens er én.
Ved å bruke potenseringsmetoden får vi den kvadratiske ligningen =0. Ved egenskapen til koeffisientene a+b+c=0 er røttene til ligningen lik 1 og 0,1.
Men det er bare én rot i definisjonsdomenet. Dette er nummer én.
Eksempel 3. Regn ut. (tre i potensen fire ganger logaritmen av to til grunntallet tre pluss logaritmen til roten av to til grunntallet fem ganger logaritmen av tjuefem til grunntallet fire)
La oss først se på kraften til tre. Hvis potenser multipliseres, utføres handlingen med å heve en potens til en potens, så potensen av tre kan skrives som tre til fire potens. Logaritmer i et produkt med forskjellige baser; det er mer praktisk å redusere logaritmen med base fire til basen assosiert med fem. La oss derfor erstatte det med et uttrykk som er identisk med det. I henhold til formelen for å flytte til en ny base.
I henhold til den grunnleggende logaritmiske identiteten (og til potensen er logaritmen av antall bes til base a lik antall bes)
i stedet får vi I uttrykket velger vi kvadratet av grunntallet og det sublogaritmiske uttrykket. Vi får det. I henhold til formelen for overgang til en ny base, er det skrevet til høyre for løsningen, vi får i stedet for bare. Vi skriver kvadratroten av to som to i potensen halvparten og setter ved egenskapen til logaritmen eksponenten foran logaritmen. La oss få uttrykket. Dermed vil det beregnede uttrykket ha formen...
Dessuten er dette 16, og produktet er lik én, noe som betyr at verdien av uttrykket er 16,5.
Eksempel 4. Regn ut hvis log2= en,log3= b
For å regne ut skal vi bruke egenskapene til logaritmen og formlene for overgang til en ny base.
La oss forestille oss 18 som et produkt av seks og tre. Logaritmen til produktet er lik summen av logaritmene-faktorene, det vil si hvor er lik 1. Siden vi kjenner desimallogaritmene går vi fra logaritmen med grunntallet 6 til desimallogaritmen, får vi en brøk i teller (desimallogaritmen av tre) og i nevneren (desimallogaritmen av seks ). I dette tilfellet kan du allerede erstatte den med b. La oss faktor seks inn i faktorer på to og tre. Vi skriver det resulterende produktet som en sum av logaritmer lg2 og lg 3. Erstatt dem med henholdsvis a og b. Uttrykket vil ha formen: . Hvis dette uttrykket konverteres til en brøk ved reduksjon til en fellesnevner, vil svaret være
For å fullføre oppgaver knyttet til overgangen til en ny logaritmebase, må du kjenne formlene for overgang til en ny logaritmebase
- , der a,b,c er positive tall, en, c
- , hvor a, b er positive tall, en, b
- , hvor a,b er positive tall en, m
Følger av dens definisjon. Og så logaritmen til tallet b basert på EN er definert som eksponenten som et tall må heves til en for å få nummeret b(logaritme eksisterer bare for positive tall).
Av denne formuleringen følger det at beregningen x=log a b, tilsvarer å løse ligningen a x =b. For eksempel, log 2 8 = 3 fordi 8 = 2 3 . Formuleringen av logaritmen gjør det mulig å rettferdiggjøre at if b=a c, deretter logaritmen til tallet b basert på en er lik Med. Det er også tydelig at temaet logaritmer er nært knyttet til emnet potenser av et tall.
Med logaritmer, som med alle tall, kan du gjøre operasjoner med addisjon, subtraksjon og transformere på alle mulige måter. Men på grunn av at logaritmer ikke er helt vanlige tall, gjelder deres egne spesielle regler her, som kalles hovedegenskaper.
Legge til og subtrahere logaritmer.
La oss ta to logaritmer med samme base: logg en x Og logg et y. Da er det mulig å utføre addisjons- og subtraksjonsoperasjoner:
log a x+ log a y= log a (x·y);
log a x - log a y = log a (x:y).
logg a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = logg en x 1 + logg en x 2 + logg en x 3 + ... + logg a x k.
Fra logaritmekvotientsetning En annen egenskap for logaritmen kan oppnås. Det er alminnelig kjent at logg en 1= 0, derfor
Logg en 1 /b= logg en 1 - logg a b= -log a b.
Dette betyr at det er en likhet:
log a 1 / b = - log a b.
Logaritmer av to gjensidige tall av samme grunn vil skille seg fra hverandre utelukkende ved tegn. Så:
Logg 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.
Legge til og subtrahere logaritmer
Grunnleggende egenskaper ved logaritmer
Logaritmer, som alle tall, kan legges til, trekkes fra og transformeres på alle måter. Men siden logaritmer ikke er helt vanlige tall, er det regler her, som kalles hovedegenskaper.
Du trenger definitivt å kjenne disse reglene - uten dem kan ikke et eneste alvorlig logaritmisk problem løses. I tillegg er det svært få av dem – du kan lære alt på en dag. Så la oss komme i gang.
Tenk på to logaritmer med samme base: log en x og logg et y. Deretter kan de legges til og trekkes fra, og:
1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x − log a y = log a (x: y).
Så summen av logaritmer er lik logaritmen til produktet, og forskjellen er lik logaritmen til kvotienten. Vennligst merk: nøkkelen her er identiske grunner. Hvis årsakene er forskjellige, fungerer ikke disse reglene!
Disse formlene vil hjelpe deg med å beregne et logaritmisk uttrykk selv når dets individuelle deler ikke vurderes (se leksjonen "Hva er en logaritme"). Ta en titt på eksemplene og se:
Finn betydningen av uttrykket: logg 6 4 + logg 6 9.
Siden logaritmer har samme base, bruker vi sumformelen:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Finn betydningen av uttrykket: log 2 48 − log 2 3.
Basene er de samme, vi bruker forskjellsformelen:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Finn betydningen av uttrykket: log 3 135 − log 3 5.
Igjen er basene de samme, så vi har:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Som du kan se, består de opprinnelige uttrykkene av "dårlige" logaritmer, som ikke beregnes separat. Men etter transformasjonene får man helt normale tall. Mange tester er basert på dette faktum. Ja, testlignende uttrykk tilbys i fullt alvor (noen ganger med praktisk talt ingen endringer) på Unified State Examination.
La oss nå komplisere oppgaven litt. Hva om basen eller argumentet til en logaritme er en potens? Deretter kan eksponenten for denne graden tas ut av logaritmens fortegn i henhold til følgende regler:
1. logg a x n = n Logg en x;
3. 
Det er lett å se at den siste regelen følger de to første. Men det er bedre å huske det uansett - i noen tilfeller vil det redusere mengden beregninger betydelig.
Selvfølgelig gir alle disse reglene mening hvis ODZ til logaritmen blir observert: en > 0, en ≠ 1, x> 0. Og en ting til: lær å bruke alle formler ikke bare fra venstre til høyre, men også omvendt, dvs. Du kan legge inn tallene før logaritmetegnet i selve logaritmen. Dette er det som oftest kreves.
Finn betydningen av uttrykket: logg 7 49 6 .
La oss bli kvitt graden i argumentet ved å bruke den første formelen:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Finn betydningen av uttrykket:
Merk at nevneren inneholder en logaritme, hvis basis og argument er eksakte potenser: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2 . Vi har:
Jeg tror det siste eksemplet krever litt avklaring. Hvor har logaritmene blitt av? Helt til siste øyeblikk jobber vi kun med nevneren. Vi presenterte grunnlaget og argumentet for logaritmen som sto der i form av potenser og tok ut eksponentene - vi fikk en "tre-etasjers" brøk.