Hva du trenger å vite om ulikhetsikoner? Ulikheter med ikon mer (> ), eller mindre (< ) er kalt streng. Med ikoner mer eller lik (≥ ), mindre eller lik (≤ ) er kalt ikke streng. Ikon ikke lik (≠ ) skiller seg fra hverandre, men du må også løse eksempler med dette ikonet hele tiden. Og vi bestemmer.)
Ikonet i seg selv har ikke stor innflytelse på løsningsprosessen. Men på slutten av avgjørelsen, når du velger det endelige svaret, vises betydningen av ikonet i full kraft! Dette er hva vi vil se nedenfor i eksempler. Det er noen vitser der...
Ulikheter, som likheter, eksisterer trofast og utro. Alt er enkelt her, ingen triks. La oss si 5 > 2 er en ekte ulikhet. 5 < 2 - feil.
Denne forberedelsen jobber for ulikheter noen form og enkelt til det grufulle.) Du trenger bare å utføre to (bare to!) elementære handlinger riktig. Disse handlingene er kjent for alle. Men karakteristisk nok er feil i disse handlingene hovedfeilen i å løse ulikheter, ja... Derfor må disse handlingene gjentas. Disse handlingene kalles slik:
Identiske transformasjoner av ulikheter.
Identiske transformasjoner av ulikheter er veldig like identiske transformasjoner av ligninger. Egentlig er dette hovedproblemet. Forskjellene går over hodet på deg og...her er du.) Derfor vil jeg spesielt trekke frem disse forskjellene. Så, den første identiske transformasjonen av ulikheter:
1. Samme tall eller uttrykk kan legges til (trekkes fra) på begge sider av ulikheten. Noen. Dette vil ikke endre ulikhetstegnet.
I praksis brukes denne regelen som overføring av ledd fra venstre side av ulikheten til høyre (og omvendt) med fortegnsendring. Med en endring i begrepets fortegn, ikke ulikheten! En-til-en-regelen er den samme som regelen for ligninger. Men følgende identiske transformasjoner i ulikheter skiller seg betydelig fra de i ligninger. Så jeg markerer dem med rødt:
2. Begge sider av ulikheten kan multipliseres (deltes) med det sammepositivtAntall. For enhverpositivt Vil ikke endre seg.
3. Begge sider av ulikheten kan multipliseres (deltes) med det sammenegativ Antall. For enhvernegativAntall. Ulikhetstegnet fra dettevil endre seg til det motsatte.
Du husker (håper jeg...) at ligningen kan multipliseres/deles med hva som helst. Og for et hvilket som helst tall, og for et uttrykk med en X. Hvis det bare ikke var null. Dette gjør ham, ligningen, verken varm eller kald.) Den endres ikke. Men ulikheter er mer følsomme for multiplikasjon/divisjon.
Et tydelig eksempel for et langt minne. La oss skrive en ulikhet som ikke vekker tvil:
5 > 2
Multipliser begge sider med +3, vi får:
15 > 6
Noen innvendinger? Det er ingen innvendinger.) Og hvis vi multipliserer begge sider av den opprinnelige ulikheten med -3, vi får:
15 > -6
Og dette er en direkte løgn.) En fullstendig løgn! Bedrag av folket! Men så snart du endrer ulikhetstegnet til det motsatte, faller alt på plass:
15 < -6
Jeg banner ikke bare om løgner og bedrag.) "Glemte å endre likhetstegnet..."- Dette hjem feil i å løse ulikheter. Denne trivielle og enkle regelen har såret så mange mennesker! Som de glemte...) Så jeg sverger. Kanskje jeg husker...)
Spesielt oppmerksomme mennesker vil legge merke til at ulikhet ikke kan multipliseres med et uttrykk med X. Respekt til de som er oppmerksomme!) Hvorfor ikke? Svaret er enkelt. Vi kjenner ikke tegnet på dette uttrykket med en X. Det kan være positivt, negativt... Derfor vet vi ikke hvilket ulikhetstegn vi skal sette etter multiplikasjon. Bør jeg endre det eller ikke? Ukjent. Selvfølgelig kan denne begrensningen (forbudet mot å multiplisere/dele en ulikhet med et uttrykk med en x) omgås. Hvis du virkelig trenger det. Men dette er et tema for andre leksjoner.
Det er alle de identiske transformasjonene av ulikheter. La meg minne deg nok en gang om at de jobber for noen ulikheter Nå kan du gå videre til bestemte typer.
Lineære ulikheter. Løsning, eksempler.
Lineære ulikheter er ulikheter der x er i første potens og det er ingen divisjon med x. Type:
x+3 > 5x-5
Hvordan løses slike ulikheter? De er veldig enkle å løse! Nemlig: ved hjelp av reduserer vi den mest forvirrende lineære ulikheten rett til svaret. Det er løsningen. Jeg vil trekke frem hovedpunktene i vedtaket. For å unngå dumme feil.)
La oss løse denne ulikheten:
x+3 > 5x-5
Vi løser det på nøyaktig samme måte som en lineær ligning. Med den eneste forskjellen:
Vi følger nøye med på ulikhetstegnet!
Det første trinnet er det vanligste. Med X-er - til venstre, uten X-er - til høyre... Dette er den første identiske transformasjonen, enkel og problemfri.) Bare ikke glem å endre tegnene til de overførte termene.
Ulikhetstegnet forblir:
x-5x > -5-3
Her er lignende.
Ulikhetstegnet forblir:
4x > -8
Det gjenstår å bruke den siste identiske transformasjonen: del begge sider med -4.
Delt på negativ Antall.
Ulikhetstegnet vil endres til det motsatte:
X < 2
Dette er svaret.
Slik løses alle lineære ulikheter.
Merk følgende! Punkt 2 er tegnet hvitt, dvs. umalt. Tom inni. Det betyr at hun ikke er med i svaret! Jeg tegnet henne så frisk med vilje. Et slikt punkt (tomt, ikke sunt!)) i matematikk kalles punktert punkt.
De resterende tallene på aksen kan merkes, men ikke nødvendig. Fremmede tall som ikke er relatert til vår ulikhet kan være forvirrende, ja... Du må bare huske at tallene øker i pilens retning, dvs. tall 3, 4, 5 osv. er til høyre er toere, og tallene er 1, 0, -1 osv. - til venstre.
Ulikhet x < 2 - streng. X er strengt tatt mindre enn to. Hvis du er i tvil, er det enkelt å sjekke. Vi erstatter det tvilsomme tallet i ulikheten og tenker: "To er mindre enn to, nei, selvfølgelig!" Nøyaktig. Ulikhet 2 < 2 stemmer ikke. En to til gjengjeld er ikke passende.
Er en ok? Sikkert. Mindre... Og null er bra, og -17, og 0,34... Ja, alle tall som er mindre enn to er bra! Og til og med 1,9999.... I det minste litt, men mindre!
Så la oss markere alle disse tallene på tallaksen. Hvordan? Det er alternativer her. Alternativ én - skyggelegging. Vi beveger musen over bildet (eller berører bildet på nettbrettet) og ser at området av alle x-er som oppfyller betingelsen x er skyggelagt < 2 . Det er alt.
La oss se på det andre alternativet ved å bruke det andre eksemplet:
X ≥ -0,5
Tegn en akse og merk tallet -0,5. Som dette:
Legg merke til forskjellen?) Vel, ja, det er vanskelig å ikke legge merke til... Denne prikken er svart! Overmalt. Dette betyr -0,5 er inkludert i svaret. Her kan verifiseringen forresten forvirre noen. La oss erstatte:
-0,5 ≥ -0,5
Hvordan det? -0,5 er ikke mer enn -0,5! Og det er mer ikon...
Det er greit. I en svak ulikhet passer alt som passer til ikonet. OG er lik god og mer flink. Derfor er -0,5 inkludert i svaret.
Så vi markerte -0,5 på aksen, det gjenstår å markere alle tallene som er større enn -0,5. Denne gangen markerer jeg området med passende x-verdier Bue(fra ordet bue), i stedet for skyggelegging. Vi holder markøren over tegningen og ser denne buen.
Det er ingen spesiell forskjell mellom skyggeleggingen og armene. Gjør som læreren sier. Hvis det ikke er noen lærer, tegn buer. I mer komplekse oppgaver er skyggelegging mindre tydelig. Du kan bli forvirret.
Slik tegnes lineære ulikheter på en akse. La oss gå videre til det neste trekk ved ulikhetene.
Skrive svaret for ulikheter.
Ligningene var gode.) Vi fant x og skrev ned svaret, for eksempel: x=3. Det er to former for å skrive svar i ulikheter. Den ene er i form av endelig ulikhet. Bra for enkle saker. For eksempel:
X< 2.
Dette er et fullstendig svar.
Noen ganger må du skrive ned det samme, men i en annen form, med numeriske intervaller. Da begynner opptaket å se veldig vitenskapelig ut):
x ∈ (-∞; 2)
Under ikonet ∈ ordet er skjult "tilhører".
Innlegget lyder slik: x tilhører intervallet fra minus uendelig til to ikke inkludert. Ganske logisk. X kan være et hvilket som helst tall fra alle mulige tall fra minus uendelig til to. Det kan ikke være en dobbel X, som er det ordet forteller oss "ikke inkludert".
Og hvor i svaret er det klart at "ikke inkludert"? Dette faktum er notert i svaret rund braketten rett etter de to. Hvis de to var inkludert, ville braketten vært torget. Her er det:]. Følgende eksempel bruker en slik parentes.
La oss skrive ned svaret: x ≥ -0,5 med intervaller:
x ∈ [-0,5; +∞)
Lese: x tilhører intervallet fra minus 0,5, gjelder også, til pluss uendelig.
Infinity kan aldri slås på. Det er ikke et tall, det er et symbol. Derfor, i slike notasjoner, er uendelighet alltid ved siden av en parentes.
Denne formen for opptak er praktisk for komplekse svar som består av flere mellomrom. Men - bare for endelige svar. I mellomresultater, hvor det forventes en ytterligere løsning, er det bedre å bruke den vanlige formen, i form av en enkel ulikhet. Dette vil vi behandle i de aktuelle temaene.
Populære oppgaver med ulikheter.
De lineære ulikhetene i seg selv er enkle. Derfor blir oppgaver ofte vanskeligere. Så det var nødvendig å tenke. Dette, hvis du ikke er vant til det, er ikke veldig hyggelig.) Men det er nyttig. Jeg vil vise eksempler på slike oppgaver. Ikke for at du skal lære dem, det er unødvendig. Og for ikke å være redd når man møter slike eksempler. Bare tenk litt - og det er enkelt!)
1. Finn hvilke som helst to løsninger på ulikheten 3x - 3< 0
Hvis det ikke er veldig klart hva du skal gjøre, husk hovedregelen for matematikk:
Hvis du ikke vet hva du trenger, gjør det du kan!)
X < 1
Og hva? Ikke noe spesielt. Hva spør de oss om? Vi blir bedt om å finne to spesifikke tall som er løsningen på en ulikhet. De. passer svaret. To noen tall. Egentlig er dette forvirrende.) Et par 0 og 0,5 passer. Et par -3 og -8. Det er uendelig mange av disse parene! Hvilket svar er riktig?!
Jeg svarer: alt! Ethvert par med tall, som hvert er mindre enn ett, vil være riktig svar. Skriv hvilken du vil ha. La oss gå videre.
2. Løs ulikheten:
4x - 3 ≠ 0
Oppgaver i denne formen er sjeldne. Men som hjelpeulikheter, når man for eksempel finner ODZ, eller når man finner definisjonsdomenet til en funksjon, oppstår de hele tiden. En slik lineær ulikhet kan løses som en vanlig lineær ligning. Bare overalt unntatt "="-tegnet ( er lik) sett et skilt " ≠ " (ikke lik). Slik nærmer du deg svaret, med et ulikhetstegn:
X ≠ 0,75
I mer komplekse eksempler er det bedre å gjøre ting annerledes. Gjør ulikhet ut av likhet. Som dette:
4x - 3 = 0
Løs det rolig som lært og få svaret:
x = 0,75
Det viktigste er, helt til slutt, når du skriver ned det endelige svaret, ikke glem at vi fant x, som gir likestilling. Og vi trenger - ulikhet. Derfor trenger vi egentlig ikke denne X.) Og vi må skrive den ned med riktig symbol:
X ≠ 0,75
Denne tilnærmingen resulterer i færre feil. De som løser ligninger automatisk. Og for de som ikke løser ligninger, er ulikheter faktisk til ingen nytte...) Et annet eksempel på en populær oppgave:
3. Finn den minste heltallsløsningen på ulikheten:
3 (x - 1) < 5x + 9
Først løser vi rett og slett ulikheten. Vi åpner parentesene, flytter dem, tar med lignende... Vi får:
X > - 6
Gikk det ikke sånn!? Fulgte du skiltene!? Og bak medlemmenes tegn, og bak tegnet på ulikhet...
La oss tenke om igjen. Vi må finne et spesifikt tall som samsvarer med både svaret og betingelsen "minste heltall". Hvis det ikke går opp for deg med en gang, kan du bare ta et hvilket som helst tall og finne ut av det. To over minus seks? Sikkert! Finnes det et passende mindre antall? Selvfølgelig. For eksempel er null større enn -6. Og enda mindre? Vi trenger det minste mulig! Minus tre er mer enn minus seks! Du kan allerede fange mønsteret og slutte å gå dumt gjennom tall, ikke sant?)
La oss ta et tall nærmere -6. For eksempel -5. Svaret er oppfylt, -5 > - 6. Er det mulig å finne et annet tall mindre enn -5, men større enn -6? Du kan for eksempel -5,5... Stopp! Vi blir fortalt hel løsning! Ruller ikke -5,5! Hva med minus seks? Uh-uh! Ulikheten er streng, minus 6 er på ingen måte mindre enn minus 6!
Derfor er det riktige svaret -5.
Jeg håper alt er klart med valg av verdi fra den generelle løsningen. Et annet eksempel:
4. Løs ulikhet:
7 < 3x+1 < 13
Wow! Dette uttrykket kalles trippel ulikhet. Strengt tatt er dette en forkortet form for et system av ulikheter. Men slike trippelulikheter må fortsatt løses i noen oppgaver... Det kan løses uten noen systemer. I henhold til de samme identiske transformasjonene.
Vi må forenkle, bringe denne ulikheten til ren X. Men... Hva skal jeg flytte hvor?! Det er her det er på tide å huske at det er å flytte til venstre og høyre kortform første identitetstransformasjon.
Og hele skjemaet høres slik ut: Et hvilket som helst tall eller uttrykk kan adderes/subtraheres på begge sider av ligningen (ulikhet).
Det er tre deler her. Så vi vil bruke identiske transformasjoner på alle tre delene!
Så, la oss bli kvitt den midtre delen av ulikheten. La oss trekke en fra hele midtdelen. For at ulikheten ikke skal endre seg trekker vi en fra de to resterende delene. Som dette:
7 -1< 3x+1-1 < 13-1
6 < 3x < 12
Det er bedre, ikke sant?) Alt som gjenstår er å dele alle tre delene i tre:
2 < X < 4
Det er alt. Dette er svaret. X kan være et hvilket som helst tall fra to (ikke inkludert) til fire (ikke inkludert). Dette svaret skrives også med intervaller. Der er de det vanligste.
På slutten av leksjonen vil jeg gjenta det viktigste. Suksess i å løse lineære ulikheter avhenger av evnen til å transformere og forenkle lineære ligninger. Hvis samtidig se etter ulikhetstegnet, det vil ikke være noen problemer. Det er det jeg ønsker deg. Ingen problemer.)
Hvis du liker denne siden...
Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)
Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. La oss lære - med interesse!)
Du kan bli kjent med funksjoner og derivater.
Ulikheter spiller en fremtredende rolle i matematikk. På skolen driver vi hovedsakelig med numeriske ulikheter, med definisjonen som vi vil begynne denne artikkelen. Og så skal vi liste opp og begrunne egenskapene til numeriske ulikheter, som alle prinsipper for å jobbe med ulikheter bygger på.
La oss umiddelbart merke oss at mange egenskaper ved numeriske ulikheter er like. Derfor vil vi presentere materialet i henhold til samme skjema: vi formulerer en egenskap, gir dens begrunnelse og eksempler, hvoretter vi går videre til neste eiendom.
Sidenavigering.
Numeriske ulikheter: definisjon, eksempler
Da vi introduserte begrepet ulikhet, la vi merke til at ulikheter ofte defineres av måten de er skrevet på. Så vi kalte ulikheter meningsfulle algebraiske uttrykk som inneholder tegn som ikke er lik ≠, mindre<, больше >, mindre enn eller lik ≤ eller større enn eller lik ≥. Basert på definisjonen ovenfor, er det praktisk å gi en definisjon av en numerisk ulikhet:
Møtet med numeriske ulikheter skjer i matematikktimene i første klasse, umiddelbart etter å ha blitt kjent med de første naturlige tallene fra 1 til 9, og blitt kjent med sammenligningsoperasjonen. Riktignok kalles de ganske enkelt ulikheter, og utelater definisjonen av "numerisk". For klarhetens skyld ville det ikke skade å gi et par eksempler på de enkleste numeriske ulikhetene fra det stadiet av studien deres: 1<2 , 5+2>3 .
Og videre fra naturlige tall strekker kunnskap seg til andre typer tall (heltall, rasjonelle, reelle tall), reglene for sammenligning studeres, og dette utvider variasjonen av typer numeriske ulikheter betydelig: −5>−72, 3> −0,275 (7−5, 6), .
Egenskaper til numeriske ulikheter
Arbeid med ulikheter tillater i praksis en rekke egenskapene til numeriske ulikheter. De følger av ulikhetsbegrepet vi introduserte. I forhold til tall er dette konseptet gitt av følgende utsagn, som kan betraktes som en definisjon av relasjonene "mindre enn" og "mer enn" på et sett med tall (det kalles ofte forskjellsdefinisjonen av ulikhet):
Definisjon.
- Antall a er større enn b hvis og bare hvis forskjellen a−b er et positivt tall;
- tallet a er mindre enn tallet b hvis og bare hvis forskjellen a−b er et negativt tall;
- tallet a er lik tallet b hvis og bare hvis forskjellen a−b er null.
Denne definisjonen kan omarbeides til definisjonen av relasjonene "mindre enn eller lik" og "større enn eller lik." Her er hans ordlyd:
Definisjon.
- Antall a er større enn eller lik b hvis og bare hvis a−b er et ikke-negativt tall;
- a er mindre enn eller lik b hvis og bare hvis a−b er et ikke-positivt tall.
Vi vil bruke disse definisjonene for å bevise egenskapene til numeriske ulikheter, til en gjennomgang som vi fortsetter med.
Grunnleggende egenskaper
Vi begynner gjennomgangen med tre hovedegenskaper ved ulikheter. Hvorfor er de grunnleggende? Fordi de er en refleksjon av egenskapene til ulikheter i mest generell forstand, og ikke bare i forhold til numeriske ulikheter.
Numeriske ulikheter skrevet med tegn< и >, karakteristikk:
Når det gjelder numeriske ulikheter skrevet med de svake ulikhetstegnene ≤ og ≥, har de egenskapen refleksivitet (og ikke antirefleksivitet), siden ulikhetene a≤a og a≥a inkluderer tilfellet av likhet a=a. De er også preget av antisymmetri og transitivitet.
Så numeriske ulikheter skrevet med tegnene ≤ og ≥ har følgende egenskaper:
- refleksivitet a≥a og a≤a er sanne ulikheter;
- antisymmetri, hvis a≤b, så b≥a, og hvis a≥b, så b≤a.
- transitivitet, hvis a≤b og b≤c, så a≤c, og også, hvis a≥b og b≥c, så a≥c.
Deres bevis er veldig likt de som allerede er gitt, så vi vil ikke dvele ved dem, men gå videre til andre viktige egenskaper ved numeriske ulikheter.
Andre viktige egenskaper ved numeriske ulikheter
La oss supplere de grunnleggende egenskapene til numeriske ulikheter med en rekke resultater som er av stor praktisk betydning. Metoder for å estimere verdiene til uttrykk er basert på dem løsninger på ulikheter og så videre. Derfor er det tilrådelig å forstå dem godt.
I denne delen vil vi formulere egenskapene til ulikheter kun for ett tegn på streng ulikhet, men det er verdt å huske på at lignende egenskaper vil være gyldige for det motsatte tegnet, så vel som for tegn på ikke-strenge ulikheter. La oss forklare dette med et eksempel. Nedenfor formulerer og beviser vi følgende egenskap ved ulikheter: hvis a
For enkelhets skyld vil vi presentere egenskapene til numeriske ulikheter i form av en liste, mens vi vil gi den tilsvarende uttalelsen, skrive den formelt med bokstaver, gi et bevis og deretter vise eksempler på bruk. Og på slutten av artikkelen vil vi oppsummere alle egenskapene til numeriske ulikheter i en tabell. Gå!
Konsekvens. Termisk multiplikasjon av identiske sanne ulikheter av formen a
Å legge til (eller trekke fra) et hvilket som helst tall på begge sider av en sann numerisk ulikhet gir en sann numerisk ulikhet. Med andre ord, hvis tallene a og b er slik at a
For å bevise det, la oss gjøre opp forskjellen mellom venstre og høyre side av den siste numeriske ulikheten, og vise at den er negativ under betingelsen a (a+c)−(b+c)=a+c−b−c=a−b. Siden etter betingelse a
Vi dveler ikke ved beviset for denne egenskapen til numeriske ulikheter for å subtrahere et tall c, siden på settet med reelle tall kan subtraksjon erstattes ved å legge til −c.
For eksempel, hvis du legger til tallet 15 på begge sider av den riktige numeriske ulikheten 7>3, får du den riktige numeriske ulikheten 7+15>3+15, som er det samme, 22>18.
Hvis begge sider av en gyldig numerisk ulikhet multipliseres (eller divideres) med det samme positive tallet c, får du en gyldig numerisk ulikhet. Hvis begge sider av ulikheten multipliseres (eller divideres) med et negativt tall c, og tegnet på ulikheten reverseres, vil ulikheten være sann. I bokstavelig form: hvis tallene a og b tilfredsstiller ulikheten a b·c.
Bevis. La oss starte med tilfellet når c>0. La oss gjøre opp forskjellen mellom venstre og høyre side av den numeriske ulikheten som bevises: a·c−b·c=(a−b)·c . Siden etter betingelse a 0 , da vil produktet (a−b)·c være et negativt tall som produktet av et negativt tall a−b og et positivt tall c (som følger av ). Derfor, a·c−b·c<0
, откуда a·c Vi dveler ikke ved beviset for den betraktede egenskapen for å dele begge sider av en sann numerisk ulikhet med det samme tallet c, siden divisjon alltid kan erstattes med multiplikasjon med 1/c. La oss vise et eksempel på bruk av den analyserte egenskapen på spesifikke tall. For eksempel kan du ha begge sider av den riktige numeriske ulikheten 4<6
умножить на положительное число 0,5
, что дает верное числовое неравенство −4·0,5<6·0,5
, откуда −2<3
. А если обе части верного числового неравенства −8≤12
разделить на отрицательное число −4
, и изменить знак неравенства ≤ на противоположный ≥, то получится верное числовое неравенство −8:(−4)≥12:(−4)
, откуда 2≥−3
. Fra den nettopp omtalte egenskapen å multiplisere begge sider av en numerisk likhet med et tall, følger to praktisk talt verdifulle resultater. Så vi formulerer dem i form av konsekvenser. Alle egenskapene som er diskutert ovenfor i dette avsnittet er forent av det faktum at først gis en korrekt numerisk ulikhet, og fra den, gjennom noen manipulasjoner med delene av ulikheten og tegnet, oppnås en annen korrekt numerisk ulikhet. Nå vil vi presentere en blokk med egenskaper der ikke én, men flere riktige numeriske ulikheter i utgangspunktet er gitt, og et nytt resultat oppnås fra deres felles bruk etter å ha addert eller multiplisert deres deler. Hvis tallene a, b, c og d tilfredsstiller ulikhetene a
La oss bevise at (a+c)-(b+d) er et negativt tall, dette vil bevise at a+c Ved induksjon strekker denne egenskapen seg til term-for-term addisjon av tre, fire og generelt et hvilket som helst begrenset antall numeriske ulikheter. Så hvis for tallene a 1, a 2, …, a n og b 1, b 2, …, b n er følgende ulikheter sanne: a 1 a 1 +a 2 +...+a n . For eksempel får vi tre riktige numeriske ulikheter med samme fortegn −5<−2
, −1<12
и 3<4
. Рассмотренное свойство числовых неравенств позволяет нам констатировать, что неравенство −5+(−1)+3<−2+12+4
– тоже верное. Du kan multiplisere numeriske ulikheter med samme tegnledd med ledd, hvor begge sider er representert med positive tall. Spesielt for to ulikheter a
For å bevise det kan du multiplisere begge sider av ulikheten a
Denne egenskapen gjelder også for multiplikasjon av ethvert endelig antall sanne numeriske ulikheter med positive deler. Det vil si at hvis a 1, a 2, …, a n og b 1, b 2, …, b n er positive tall, og a 1 a 1 a 2…a n . Separat er det verdt å merke seg at hvis notasjonen for numeriske ulikheter inneholder ikke-positive tall, kan deres term-for-term multiplikasjon føre til ukorrekte numeriske ulikheter. For eksempel numeriske ulikheter 1<3
и −5<−4
– верные и одного знака, почленное умножение этих неравенств дает 1·(−5)<3·(−4)
, что то же самое, −5<−12
, а это неверное неравенство.
På slutten av artikkelen, som lovet, vil vi samle alle de studerte egenskapene i Tabell over egenskaper ved numeriske ulikheter:
Bibliografi.
- Moro M.I.. Matematikk. Lærebok for 1 klasse. begynnelse skole Om 2 timer Del 1. (Første halvdel av året) / M. I. Moro, S. I. Volkova, S. V. Stepanova. - M.: Opplysning, 2006. - 112 s.: illus.+Vedlegg. (2 separate l. ill.). - ISBN 5-09-014951-8.
- Matematikk: lærebok for 5. klasse. allmennutdanning institusjoner / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. utg., slettet. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
- Algebra: lærebok for 8. klasse. allmennutdanning institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigert av S. A. Telyakovsky. - 16. utg. - M.: Utdanning, 2008. - 271 s. : jeg vil. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovich A.G. Algebra. 8. klasse. Om 2 timer Del 1. Lærebok for studenter ved generelle utdanningsinstitusjoner / A. G. Mordkovich. - 11. utg., slettet. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
Ulikheter kalles lineære hvis venstre og høyre side er lineære funksjoner med hensyn til den ukjente størrelsen. Disse inkluderer for eksempel ulikheter:
2x-1-x+3; 7x0;
5 >4 - 6x 9- x< x + 5 .
1) Strenge ulikheter: ax +b>0 eller øks+b<0
2) Ikke-strenge ulikheter: ax +b≤0 eller øks+b≫ 0
La oss analysere denne oppgaven. En av sidene på parallellogrammet er 7 cm. Hva må være lengden på den andre siden slik at omkretsen av parallellogrammet er større enn 44 cm?
La den nødvendige siden være X cm I dette tilfellet vil omkretsen av parallellogrammet være representert med (14 + 2x) cm. Ulikheten 14 + 2x > 44 er en matematisk modell av problemet med omkretsen til et parallellogram. Hvis vi erstatter variabelen i denne ulikheten X på for eksempel tallet 16, så får vi den riktige numeriske ulikheten 14 + 32 > 44. I dette tilfellet sier de at tallet 16 er en løsning på ulikheten 14 + 2x > 44.
Løse ulikheten navngi verdien av en variabel som gjør den til en sann numerisk ulikhet.
Derfor er hvert av tallene 15,1; 20;73 fungerer som en løsning på ulikheten 14 + 2x > 44, men tallet 10, for eksempel, er ikke dens løsning.
Løs ulikhet betyr å etablere alle sine løsninger eller å bevise at det ikke finnes noen løsninger.
Formuleringen av løsningen på ulikheten er lik formuleringen av roten til ligningen. Og likevel er det ikke vanlig å betegne "roten til ulikhet."
Egenskapene til numeriske likheter hjalp oss med å løse ligninger. På samme måte vil egenskapene til numeriske ulikheter bidra til å løse ulikheter.
Når vi løser en likning, erstatter vi den med en annen, enklere likning, men tilsvarende den gitte. Svaret på ulikheter finnes på en lignende måte. Når de endrer en likning til en ekvivalent likning, bruker de teoremet om å overføre ledd fra den ene siden av likningen til den motsatte og om å multiplisere begge sider av likningen med samme tall som ikke er null. Når du løser en ulikhet, er det en betydelig forskjell mellom den og en ligning, som ligger i det faktum at enhver løsning til en ligning kan verifiseres ganske enkelt ved å substituere inn i den opprinnelige ligningen. I ulikheter er denne metoden fraværende, siden det ikke er mulig å erstatte utallige løsninger i den opprinnelige ulikheten. Derfor er det et viktig konsept, disse pilene<=>er et tegn på ekvivalente eller ekvivalente transformasjoner. Transformasjonen kalles tilsvarende, eller tilsvarende, hvis de ikke endrer settet med løsninger.
Lignende regler for å løse ulikheter.
Hvis vi flytter et ledd fra en del av ulikheten til en annen, og erstatter fortegnet med det motsatte, får vi en ulikhet tilsvarende denne.
Hvis begge sider av ulikheten multipliseres (deltes) med det samme positive tallet, får vi en ulikhet tilsvarende denne.
Hvis begge sider av ulikheten multipliseres (deltes) med det samme negative tallet, og erstatter ulikhetstegnet med det motsatte, får vi en ulikhet tilsvarende det gitte.
Bruker disse regler La oss beregne følgende ulikheter.
1) La oss analysere ulikheten 2x - 5 > 9.
Dette lineær ulikhet, vil vi finne løsningen og diskutere de grunnleggende konseptene.
2x - 5 > 9<=>2x>14(5 ble flyttet til venstre side med motsatt fortegn), så delte vi alt på 2 og vi har x > 7. La oss plotte settet med løsninger på aksen x
Vi har fått en positivt rettet stråle. Vi noterer oss løsningssettet enten i form av ulikhet x > 7, eller i form av intervallet x(7; ∞). Hva er en spesiell løsning på denne ulikheten? For eksempel, x = 10 er en spesiell løsning på denne ulikheten, x = 12– Dette er også en spesiell løsning på denne ulikheten.
Det er mange delløsninger, men vår oppgave er å finne alle løsningene. Og det finnes vanligvis utallige løsninger.
La oss ordne opp i det eksempel 2:
2) Løs ulikhet 4a - 11 > a + 13.
La oss løse det: EN flytte den til den ene siden 11 flytter den til den andre siden, får vi 3a< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 ulikheten har formen en<8 .
4a - 11 > a + 13<=>3a< 24 <=>en< 8 .
La oss også vise settet en< 8 , men allerede på aksen EN.
Vi skriver enten svaret i form av ulikhet a< 8, либо EN(-∞;8), 8 slår seg ikke på.
Å opprettholde personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Se gjennom vår personvernpraksis og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.
Innsamling og bruk av personopplysninger
Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.
Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.
Nedenfor er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.
Hvilken personlig informasjon samler vi inn:
- Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, e-postadresse osv.
Hvordan vi bruker dine personopplysninger:
- Personopplysningene vi samler inn lar oss kontakte deg med unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
- Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende viktige meldinger og kommunikasjoner.
- Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
- Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende kampanje, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.
Utlevering av informasjon til tredjeparter
Vi utleverer ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.
Unntak:
- Om nødvendig - i samsvar med loven, rettslig prosedyre, i rettslige prosesser og/eller på grunnlag av offentlige forespørsler eller forespørsler fra offentlige myndigheter på territoriet til den russiske føderasjonen - for å avsløre din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlige viktige formål.
- I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til gjeldende etterfølger tredjepart.
Beskyttelse av personopplysninger
Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.
Respekter ditt privatliv på bedriftsnivå
For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetsstandarder til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.
For eksempel er ulikheten uttrykket \(x>5\).
Typer ulikheter:
Hvis \(a\) og \(b\) er tall eller , kalles ulikheten numerisk. Det er faktisk bare å sammenligne to tall. Slike ulikheter er delt inn i trofast Og utro.
For eksempel:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);
\(17+3\geq 115\) er en feil numerisk ulikhet, siden \(17+3=20\), og \(20\) er mindre enn \(115\) (og ikke større enn eller lik) .
Hvis \(a\) og \(b\) er uttrykk som inneholder en variabel, så har vi ulikhet med variabel. Slike ulikheter er delt inn i typer avhengig av innholdet:
|
\(2x+1\geq4(5-x)\) |
Variabel bare til første potens |
|||
|
\(3x^2-x+5>0\) |
Det er en variabel i andre potens (kvadrat), men det er ingen høyere potenser (tredje, fjerde osv.) |
|||
|
\(\log_(4)((x+1))<3\) |
||||
|
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\) |
Hva er løsningen på en ulikhet?
Hvis du erstatter et tall i stedet for en variabel med en ulikhet, vil det bli til en numerisk.
Hvis en gitt verdi for x gjør den opprinnelige ulikheten til en sann numerisk, kalles den løsning på ulikhet. Hvis ikke, er ikke denne verdien en løsning. Og til løse ulikhet– du må finne alle løsningene (eller vise at det ikke finnes noen).
For eksempel, hvis vi erstatter tallet \(7\) i den lineære ulikheten \(x+6>10\), får vi riktig numerisk ulikhet: \(13>10\). Og hvis vi erstatter \(2\), vil den numeriske ulikheten \(8>10\) være feil. Det vil si at \(7\) er en løsning på den opprinnelige ulikheten, men \(2\) er det ikke.
Ulikheten \(x+6>10\) har imidlertid andre løsninger. Faktisk vil vi få de riktige numeriske ulikhetene når vi erstatter \(5\), og \(12\), og \(138\)... Og hvordan kan vi finne alle mulige løsninger? For dette bruker de For vårt tilfelle har vi:
\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)
Det vil si at ethvert tall større enn fire passer for oss. Nå må du skrive ned svaret. Løsninger på ulikheter er som regel skrevet numerisk, og markerer dem i tillegg på tallaksen med skyggelegging. For vårt tilfelle har vi:
Svar:
\(x\in(4;+\infty)\)
Når endres tegnet på ulikhet?
Det er én stor felle i ulikheter som studenter virkelig "elsker" å falle i:
Når du multipliserer (eller deler) en ulikhet med et negativt tall, blir den reversert ("mer" med "mindre", "mer eller lik" med "mindre enn eller lik", og så videre)
Hvorfor skjer dette? For å forstå dette, la oss se på transformasjonene av den numeriske ulikheten \(3>1\). Det er riktig, tre er faktisk større enn én. Først, la oss prøve å multiplisere det med et hvilket som helst positivt tall, for eksempel to:
\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)
Som vi kan se, forblir ulikheten sann etter multiplikasjon. Og uansett hvilket positivt tall vi multipliserer med, vil vi alltid få riktig ulikhet. La oss nå prøve å multiplisere med et negativt tall, for eksempel minus tre:
\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)
Resultatet er en feil ulikhet, fordi minus ni er mindre enn minus tre! Det vil si at for at ulikheten skal bli sann (og derfor var transformasjonen av multiplikasjon med negativ "lovlig"), må du reversere sammenligningstegnet, slik: \(−9)<− 3\).
Med deling vil det gå på samme måte, du kan sjekke det selv.
Regelen skrevet ovenfor gjelder alle typer ulikheter, ikke bare numeriske.
Eksempel: Løs ulikheten \(2(x+1)-1<7+8x\)Løsning:
|
\(2x+2-1<7+8x\) |
La oss flytte \(8x\) til venstre, og \(2\) og \(-1\) til høyre, og ikke glemme å endre tegnene |
|
\(2x-8x<7-2+1\) |
|
|
\(-6x<6\) \(|:(-6)\) |
La oss dele begge sider av ulikheten med \(-6\), og ikke glemme å endre fra "mindre" til "mer" |
|
La oss markere et numerisk intervall på aksen. Ulikhet, derfor "stikker" vi ut verdien \(-1\) i seg selv og tar det ikke som et svar |
|
|
La oss skrive svaret som et intervall |
Svar: \(x\in(-1;\infty)\)
Ulikheter og funksjonshemming
Ulikheter, akkurat som ligninger, kan ha begrensninger på , det vil si på verdiene til x. Følgelig bør de verdiene som er uakseptable i henhold til DZ utelukkes fra utvalget av løsninger.
Eksempel: Løs ulikheten \(\sqrt(x+1)<3\)
Løsning: Det er klart at for at venstresiden skal være mindre enn \(3\), må det radikale uttrykket være mindre enn \(9\) (tross alt fra \(9\) bare \(3\)). Vi får:
\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)
Alle? Enhver verdi på x mindre enn \(8\) vil passe oss? Nei! For hvis vi for eksempel tar verdien \(-5\) som ser ut til å passe til kravet, vil det ikke være en løsning på den opprinnelige ulikheten, siden det vil lede oss til å beregne roten til et negativt tall.
\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)
Derfor må vi også ta hensyn til restriksjonene på verdien av X – det kan ikke være slik at det er et negativt tall under roten. Dermed har vi det andre kravet for x:
\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)
Og for at x skal være den endelige løsningen, må den tilfredsstille begge kravene samtidig: den må være mindre enn \(8\) (for å være en løsning) og større enn \(-1\) (for å være tillatt i prinsippet). Ved å plotte det på talllinjen, har vi det endelige svaret:
Svar: \(\venstre[-1;8\høyre)\)