Firkantet trinomium kalles et trinomium av formen a*x 2 +b*x+c, der a,b,c er noen vilkårlige reelle tall, og x er en variabel. Dessuten skal tallet a ikke være lik null.
Tallene a,b,c kalles koeffisienter. Tallet a kalles ledende koeffisient, tallet b er koeffisienten til x, og tallet c kalles frileddet.
Rot kvadratisk trinomium a*x 2 +b*x+c er en hvilken som helst verdi av variabelen x slik at kvadrattrinomialet a*x 2 +b*x+c forsvinner.
For å finne røttene til et kvadratisk trinomium er det nødvendig å løse kvadratisk ligning av formen a*x 2 +b*x+c=0.
Hvordan finne røttene til et kvadratisk trinomium
For å løse dette kan du bruke en av de kjente metodene.
- 1 vei.
Finne røttene til et kvadratisk trinomium ved hjelp av formelen.
1. Finn verdien til diskriminanten ved å bruke formelen D =b 2 -4*a*c.
2. Beregn røttene ved å bruke formlene, avhengig av verdien av diskriminanten:
Hvis D > 0, da har kvadrattrinomialet to røtter.
x = -b±√D / 2*a
Hvis D< 0, da har kvadrattrinomialet én rot.
Hvis diskriminanten er negativ, har det kvadratiske trinomiale ingen røtter.
- Metode 2.
Finne røttene til et kvadratisk trinomium ved å isolere full firkant. La oss se på eksemplet med det gitte kvadratiske trinomialet. En redusert kvadratisk ligning hvis ledende koeffisient er lik én.
La oss finne røttene til det kvadratiske trinomium x 2 +2*x-3. For å gjøre dette løser vi følgende andregradsligning: x 2 +2*x-3=0;
La oss transformere denne ligningen:
På venstre side av ligningen er det et polynom x 2 +2*x, for å representere det som kvadratet av summen trenger vi at det er en annen koeffisient lik 1. Legg til og trekk 1 fra dette uttrykket, vi får :
(x 2 +2*x+1) -1=3
Hva kan representeres i parentes som kvadratet til et binomial
Denne ligningen deles inn i to tilfeller: enten x+1=2 eller x+1=-2.
I det første tilfellet får vi svaret x=1, og i det andre x=-3.
Svar: x=1, x=-3.
Som et resultat av transformasjonene må vi få kvadratet av binomialet på venstre side, og et visst tall på høyre side. Høyresiden skal ikke inneholde en variabel.
Studie av et slikt objekt matematisk analyse som en funksjon har stor betydning og i andre vitenskapsfelt. For eksempel i økonomisk analyse atferd er stadig nødvendig å bli vurdert funksjoner fortjeneste, nemlig å bestemme dens største betydning og utvikle en strategi for å oppnå det.
Bruksanvisning
Studiet av enhver atferd bør alltid begynne med et søk etter definisjonsdomenet. Vanligvis etter tilstand spesifikk oppgave det er nødvendig å bestemme den største betydning funksjoner enten over hele dette området, eller over et spesifikt intervall av det med åpne eller lukkede grenser.
Basert på er den største betydning funksjoner y(x0), der ulikheten y(x0) ≥ y(x) (x ≠ x0) gjelder for ethvert punkt i definisjonsdomenet. Grafisk vil dette punktet være det høyeste hvis argumentverdiene er plassert langs abscisseaksen, og selve funksjonen langs ordinataksen.
For å bestemme den største betydning funksjoner, følg tre-trinns algoritmen. Vær oppmerksom på at du må kunne jobbe med ensidig og , samt beregne den deriverte. Så la en funksjon y(x) bli gitt, og du må finne den største betydning på et visst intervall med grenseverdier A og B.
Finn ut om dette intervallet er innenfor rammen av definisjonen funksjoner. For å gjøre dette, må du finne det ved å vurdere alle mulige begrensninger: tilstedeværelsen av en brøkdel i uttrykket, kvadratrot etc. Definisjonsdomenet er settet med argumentverdier som funksjonen gir mening for. Bestemme hvorvidt gitt intervall dens undergruppe. Hvis ja, gå til neste nivå.
Finn den deriverte funksjoner og løse den resulterende ligningen ved å likestille den deriverte til null. På denne måten får du verdiene til de såkalte stasjonære poengene. Vurder om minst én av dem tilhører intervallet A, B.
På det tredje stadiet, vurder disse punktene og bytt inn verdiene deres i funksjonen. Utfør følgende tilleggstrinn, avhengig av intervalltypen. Hvis det er et segment av formen [A, B], er grensepunktene inkludert i intervallet, dette er angitt med parentes. Beregn verdier funksjoner for x = A og x = B. Hvis intervallet er åpent (A, B), punkteres grenseverdiene, dvs. er ikke inkludert i den. Løs ensidige grenser for x→A og x→B. Et kombinert intervall av formen [A, B) eller (A, B), hvis grenser tilhører den, finner den andre ikke den ensidige grensen som x har en tendens til den punkterte verdien, og sett inn den andre funksjonen uendelig tosidig intervall (-∞, +∞) eller ensidig uendelig intervall av formen: , (-∞, B, fortsett i henhold til prinsippene som allerede er beskrevet, og for). uendelige, se etter grenser for henholdsvis x→-∞ og x→+∞.
Oppgaven på dette stadiet
Fra et praktisk synspunkt er den største interessen i å bruke den deriverte for å finne de største og minste verdiene av en funksjon. Hva henger dette sammen med? Maksimere fortjeneste, minimere kostnader, bestemme den optimale belastningen av utstyr ... Med andre ord, på mange områder av livet må vi løse problemer med å optimalisere noen parametere. Og dette er oppgavene med å finne de største og minste verdiene til en funksjon.
Det skal bemerkes at de største og minste verdiene til en funksjon vanligvis søkes på et visst intervall X, som enten er hele domenet til funksjonen eller en del av definisjonsdomenet. Selve intervallet X kan være et segment, et åpent intervall 
, et uendelig intervall.
I denne artikkelen vil vi snakke om å finne de største og minste verdiene eksplisitt gitt funksjonén variabel y=f(x) .
Sidenavigering.
Den største og minste verdien av en funksjon - definisjoner, illustrasjoner.
La oss kort se på hoveddefinisjonene.
Den største verdien av funksjonen 
det for hvem som helst 
ulikhet er sant.
Den minste verdien av funksjonen y=f(x) på intervallet X kalles en slik verdi 
det for hvem som helst ulikhet er sant.
Disse definisjonene er intuitive: den største (minste) verdien av en funksjon er den største (minste) aksepterte verdien på intervallet som vurderes ved abscissen.
Stasjonære punkter– dette er verdiene til argumentet der den deriverte av funksjonen blir null.
Hvorfor trenger vi stasjonære punkter når vi skal finne de største og minste verdiene? Svaret på dette spørsmålet er gitt av Fermats teorem. Fra denne teoremet følger det at hvis en differensierbar funksjon har et ekstremum (lokalt minimum eller lokalt maksimum) på et tidspunkt, så er dette punktet stasjonært. Dermed tar funksjonen ofte sin største (minste) verdi på intervallet X i et av de stasjonære punktene fra dette intervallet.
Dessuten kan en funksjon ofte ta sine største og minste verdier på punkter der den første deriverte av denne funksjonen ikke eksisterer, og selve funksjonen er definert.
La oss umiddelbart svare på et av de vanligste spørsmålene om dette emnet: "Er det alltid mulig å bestemme den største (minste) verdien av en funksjon"? Nei ikke alltid. Noen ganger faller grensene til intervallet X sammen med grensene for definisjonsdomenet til funksjonen, eller intervallet X er uendelig. Og noen funksjoner i det uendelige og ved grensene for definisjonsdomenet kan få både uendelig store og uendelig små verdier. I disse tilfellene kan ingenting sies om funksjonens største og minste verdi.
For klarhet vil vi gi en grafisk illustrasjon. Se på bildene så blir mye klarere.
På segmentet
I den første figuren tar funksjonen de største (maks y) og minste (min y) verdiene ved stasjonære punkter plassert inne i segmentet [-6;6].
Tenk på saken som er avbildet i den andre figuren. La oss endre segmentet til . I dette eksemplet oppnås den minste verdien av funksjonen ved stasjonært punkt, og den største - på punktet med abscissen som tilsvarer intervallets høyre grense.
I figur 3 er grensepunktene til segmentet [-3;2] abscissen til punktene som tilsvarer funksjonens største og minste verdi.
På åpent intervall
I den fjerde figuren tar funksjonen de største (maks y) og minste (min y) verdiene ved stasjonære punkter plassert inne i åpent intervall (-6;6) .
På intervallet kan det ikke trekkes konklusjoner om den største verdien.
I det uendelige
I eksemplet vist i den syvende figuren tar funksjonen høyeste verdi(maks y) i et stasjonært punkt med abscisse x=1, og den minste verdien (min y) oppnås på høyre grense av intervallet. Ved minus uendelig nærmer funksjonsverdiene seg asymptotisk y=3.
I løpet av intervallet når funksjonen verken den minste eller største verdien. Når x=2 nærmer seg fra høyre, har funksjonsverdiene en tendens til minus uendelig (den rette linjen x=2 er vertikal asymptote), og ettersom abscissen har en tendens til pluss uendelig, nærmer funksjonsverdiene seg asymptotisk y=3. En grafisk illustrasjon av dette eksemplet er vist i figur 8.
Algoritme for å finne de største og minste verdiene av en kontinuerlig funksjon på et segment.
La oss skrive en algoritme som lar oss finne de største og minste verdiene av en funksjon på et segment.
- Vi finner definisjonsdomenet til funksjonen og sjekker om den inneholder hele segmentet.
- Vi finner alle punktene der den første deriverte ikke eksisterer og som er inneholdt i segmentet (vanligvis finnes slike punkter i funksjoner med et argument under modultegnet og i strømfunksjoner med en brøk-rasjonell eksponent). Hvis det ikke er slike punkter, gå videre til neste punkt.
- Vi bestemmer alle stasjonære punkter som faller innenfor segmentet. For å gjøre dette, likestiller vi det til null, løser den resulterende ligningen og velger passende røtter. Hvis det ikke er noen stasjonære punkter eller ingen av dem faller inn i segmentet, gå videre til neste punkt.
- Vi beregner verdiene til funksjonen ved utvalgte stasjonære punkter (hvis noen), på punkter der den første deriverte ikke eksisterer (hvis noen), så vel som ved x=a og x=b.
- Fra de oppnådde verdiene for funksjonen velger vi den største og minste - de vil være henholdsvis de nødvendige største og minste verdiene for funksjonen.
La oss analysere algoritmen for å løse et eksempel for å finne de største og minste verdiene til en funksjon på et segment.
Eksempel.
Finn den største og minste verdien av en funksjon
- på segmentet ;
- på segmentet [-4;-1] .
Løsning.
Domenet til en funksjon er hele settet reelle tall, bortsett fra null, altså . Begge segmentene faller innenfor definisjonsdomenet.
Finn den deriverte av funksjonen med hensyn til: 
Det er klart at den deriverte av funksjonen eksisterer på alle punkter i segmentene og [-4;-1].
Vi bestemmer stasjonære punkter fra ligningen. Den eneste ekte rot er x=2. Dette stasjonære punktet faller inn i det første segmentet.
For det første tilfellet beregner vi verdiene til funksjonen i enden av segmentet og på det stasjonære punktet, det vil si for x=1, x=2 og x=4: 
Derfor den største verdien av funksjonen 
oppnås ved x=1, og den minste verdien 
– ved x=2.
For det andre tilfellet beregner vi funksjonsverdiene bare ved endene av segmentet [-4;-1] (siden det ikke inneholder et enkelt stasjonært punkt): 
Side 1
Teoretiske fakta:
Kvadrattrinomialet = ax2+ bx + c har en ekstremverdi som den tar når
Denne verdien er den minste hvis a > 0, og den største hvis a< 0. Если существует y(макс), то y(мин) не существует, и наоборот.
nr. 1. Utvid dette positivt tall Og i to termer slik at deres produkt er størst.
Løsning. La oss betegne en av de nødvendige leddene med x. Da vil det andre leddet være lik A - x, og deres produkt 
eller. 
Dermed førte spørsmålet til å finne verdien av x som dette kvadratiske trinomialet vil motta den største verdien ved. I følge teorem 4 eksisterer absolutt en slik verdi (siden her er den ledende koeffisienten lik - 1, dvs. negativ) og er lik I dette tilfellet, og derfor må begge leddene være lik hverandre.
For eksempel tillater tallet 30 følgende utvidelser:
Alle mottatte produkter er mindre enn
nr. 2. Det er en ledning med lengde L. Du må bøye den slik at du får et rektangel som begrenser størst mulig areal.
Løsning. La oss betegne (fig. 1) en av sidene i rektangelet med x. Da vil åpenbart den andre siden være et område 
eller 
. Denne funksjonen tar sin maksimale verdi på, som vil være den ønskede verdien til en av sidene av rektangelet. Da blir den andre siden , dvs. rektangelet vårt viser seg å være en firkant. Den resulterende løsningen på problemet kan oppsummeres i form av følgende teorem.
Av alle rektangler som har samme omkrets, har kvadratet det største arealet.
Kommentar.
Problemet vårt kan også enkelt løses ved å bruke resultatet fra oppgave 1.
Faktisk ser vi at arealet av rektangelet vi er interessert i er Med andre ord, det er et produkt av to faktorer x og Men summen av disse faktorene er 
,T. dvs. et tall som ikke er avhengig av valget av x. Dette betyr at saken kommer ned til å dekomponere tallet i to termer slik at produktet deres er størst. Som vi vet vil dette produktet være størst når begge ledd er like, dvs.
nr. 3. Fra de eksisterende brettene kan du bygge et gjerde på 200 m. Du må omslutte en rektangulær gård med dette gjerdet største området, ved å bruke en fabrikkvegg for den ene siden av gården.
trinomisk teorem derivert funksjon
Løsning. La oss betegne (fig. 2) en av sidene av gården med x. Da vil dens andre side være lik og arealet vil være det
I følge teoremet oppnås den største verdien av denne funksjonen av den når
Så siden av gården vinkelrett på fabrikkveggen skal være lik 50 m, hvorfra verdien for siden parallelt med veggen er 100 m, det vil si at gården skal ha formen av en halv firkant.